Estudio probabilístico de modelos de difusión tipo...

Trabajo Fin de Máster

Máster en Estadística Aplicada

DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Universidad de Granada

Estudio probabilístico de modelos

de difusión tipo Bertalanffy con

funciones terapéuticas

por

Carmen María Sánchez Campoy

Dirigido por

Dra. Dª. Patricia Román Román

GRANADA 2013

ESTUDIO PROBABILÍSTICO DE MODELOS DE DIFUSIÓN TIPO BERTALANFFY CON FUNCIONES TERAPÉUTICAS

1


ÍndiceÍndiceÍndiceÍndice

Introducción 3

Capítulo 1. Proceso de difusión Bertalanffy 7

1.1. Estudio de la curva von Bertalanffy ....................................................................... 7

1.2. Obtención de un proceso de difusión asociado a la curva von Bertalanffy ........... 11

1.2.1. Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal .............. 11

1.2.2. Obtención a partir del modelo de crecimiento determinístico mediante la inclusión de ruido blanco ......................................................... 12

1.2.3. Obtención por paso al límite de modelos discretos asociados al modelo de crecimiento ............................................................................. 14

1.3. Distribución del proceso Bertalanffy .............................................................. 15

1.3.1. Estudio a partir de la ecuación diferencial estocástica ................................ 17

1.3.2. Distribución a partir de las ecuaciones parciales de Kolmogorov ............... 23

1.4. Características del proceso tipo Bertalanffy ................................................... 32

1.4.1. Funciones media, moda y cuantiles ............................................................. 32

1.4.2. Momentos unidimensionales. Función varianza .......................................... 34

1.4.3. Momentos cruzados. Función covarianza .................................................... 35

Capítulo 2. Introducción de terapias en el proceso Bertalanffy: estudio probabilístico de los modelos obtenidos 37

2.1. Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento .......................... 38

2.1.1. Distribución y expresión de las trayectorias del proceso ............................. 38

2.1.2. Características del proceso .......................................................................... 48

2.2. Modelo II: Función Terapia afectando al parámetro c ........................................... 53



2



2.3. Modelo III: Función Terapia afectando al parámetro k .......................................... 68



2.4. Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones terapia en los modelos introducidos ........................................................................ 83

2.4.1. Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento ................ 84

2.4.2. Modelo II: Función terapia afectando al parámetro c ................................... 93

2.4.3. Modelo III: Función terapia afectando al parámetro k .................................. 99

Capítulo 3. Estimación de terapias en el proce so Bertalanffy 107

3.1. Estimación de los parámetros del proceso Bertalanffy sin el efecto de una terapia .................................................................................... 108

3.2. Relación entre las principales características del proceso Bertalanffy y el modelo I .................................................................. 116

3.3. Estimación de la función terapia en el modelo I .............................................. 117

3.4. Estudio de simulación ................................................................................. 119

Bibliografía 129

Anexo. Programación en R 133


3


IIIIntroducntroducntroducntroducciónciónciónción

El crecimiento es una característica muy relevante en diversos campos de aplicación tales como biología, economía, sociología y medicina entre otros. Por ello, no es de extrañar, que se hayan dedicado múltiples esfuerzos a la hora de encontrar modelos matemáticos que describan de forma fidedigna el comportamiento de fenómenos de crecimiento.

Podemos encontrar un amplio abanico de opciones a la hora de clasificar las curvas de crecimiento, conforme a sus distintas propiedades, siendo la más usual la que tiene en cuenta el valor límite que puede alcanzar dicha curva. En tal caso, y siempre que nos centremos en modelos crecientes, podemos distinguir entre curvas acotadas y no acotadas superiormente.

El origen de estas curvas lo podemos asociar a modelos determinísticos. Merece especial atención el propuesto por R. Malthus [15], asociado a la curva exponencial (modelo malthusiano). Se trata de un modelo matemático que intenta explicar el crecimiento de poblaciones humanas con curvas no acotadas. Por su parte, Verhulst [22] propuso el modelo logístico, asociado a una curva acotada y con forma sigmoidal. Dicho modelo contempla que el crecimiento de la población no solo depende de su tamaño sino también de la distancia del mismo a su cota superior. Otra variante que encontramos es el modelo de crecimiento propuesto por Gompertz [7], similar al logístico pero en el que el punto de inflexión se alcanza en la primera parte del ciclo de crecimiento.

Von Bertalanffy [23], biólogo y filósofo austriaco, presentó en 1938, un modelo para el estudio del crecimiento individual de diferentes tipos de poblaciones animales, en especial para poblaciones de peces. Como la mayoría de los modelos de crecimiento, la curva von Bertalanffy [23] se trata de una adaptación del modelo logístico Verhulst [22], en el que se asume que existe una cota superior de la variable de crecimiento, que podría en teoría ser alcanzada, y que la tasa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre esa cota y el que se posee en un instante de tiempo determinado.

La curva de crecimiento de von Bertalanffy viene definida por la siguiente expresión:

( )( ) 1 k t aL t L e− −∞ = − ; ; 0t a k≥ > , (1)


4


donde, k y a son parámetros de la curva y L∞ es la cota superior de la variable.

Actualmente, es el modelo más utilizado para el estudio del crecimiento en los peces, aunque sus aplicaciones han sido demostradas y utilizadas en otras especies animales.

La expresión general para la curva de von Bertalanffy, denominada curva de crecimiento Bertalanffy generalizada (ver García-Rodríguez et al. [6]), es:

( )( ) 1bk t aB t B e− −

∞ = − ; ; 0t a k≥ > , (2)

donde el parámetro b puede ser conocido o desconocido. Por ejemplo, el valor b igual a uno (curva (1)) se utiliza cuando la variable en estudio es la longitud. Sin embargo, cuando se centra en el peso, el valor b igual a tres se asocia con el crecimiento isométrico de la especie (la relación longitud-peso permanece constante para todos los individuos), mientras que el caso b distinto de tres se relaciona con el crecimiento alométrico (no hay relación constante).

Debido a la importancia de estas curvas, se han desarrollado procedimientos con el fin de estimar los parámetros de las mismas. Por ejemplo, Rafail [16], desarrolló un procedimiento basado en una relación lineal entre los logaritmos de los incrementos de crecimiento por unidad de tiempo frente al tiempo como variable independiente.

Sin embargo, los modelos determinísticos no incluyen la variabilidad entre individuos de la misma edad, o la variabilidad ambiental (fluctuaciones o perturbaciones que pudieran existir en el sistema en estudio).

A fin de tener en cuenta estas variaciones, se han considerado varios modelos estocásticos asociados con la curva Bertalanffy. El primer tipo de modelo, de acuerdo con la clasificación proporcionada por Russo et al. [19], es el descrito por una ecuación diferencial estocástica, obtenida mediante la inclusión de un término de ruido en la respectiva ecuación diferencial ordinaria del modelo determinista.

En este contexto, y en lo que concierne al modelo de crecimiento de Bertalanffy, Lv y Pitchford [14], han considerado recientemente tres modelos estocásticos asociados a la curva (1). Dichos modelos se construyen a partir de ecuaciones diferenciales estocásticas cuya parte no aleatoria es una curva von Bertalanffy.

Un segundo tipo de modelos estocásticos son aquellos que suponen que los parámetros de la curva de von Bertalanffy son diferentes para cada miembro de la población, y por lo tanto, se consideran variables aleatorias con una cierta distribución de probabilidad. En este sentido, Cheng y Kuk [5], consideran los parámetros del modelo como efectos aleatorios siguiendo una distribución normal trivariante. Más recientemente, Tovar-Avila et al. [21], han considerado una reparametrización de la tasa de crecimiento de von Bertalanffy con tres funciones de distribución diferentes: Weibull, gamma y log-normal. Estos modelos tienen en cuanta las variaciones entre los distintos individuos de una población, pero no la variabilidad ambiental causada por múltiples factores que no siempre pueden ser cuantificados, y que pueden ser incluso desconocidos.


5


Russo et al. [19], con el fin de superar los defectos de los modelos mencionados, introdujo un tipo de modelo estocástico en relación con la curva de von Bertalanffy como solución de ecuaciones estocásticas que incluye una clase de procesos estocásticos estrictamente crecientes. Tales modelos contemplan tanto las variabilidades aleatorias individuales como ambientales.

En situaciones prácticas, el uso de modelos estocásticos para ajustar, predecir u obtener conclusiones sobre el crecimiento requieren la estimación de los parámetros desconocidos.

Kimura [13], ha estudiado métodos de verosimilitud bajo la hipótesis de errores independientes y normalmente distribuidos utilizando métodos clásicos no lineales de mínimos cuadrados. Más tarde, Wang [24] introdujo funciones de estimación insesgadas para una clase de modelos de crecimiento que incorporan componentes estocásticos y variables explicativas. Más recientemente, Hart y Chute [12], han propuesto un nuevo método lineal de efectos mixtos para la estimación de los parámetros de crecimiento para datos sin información explícita de la edad.

Russo et al. [19] también trataron el problema de la estimación de parámetros sobre la base de las distribuciones de probabilidad de la variable de crecimiento en cada uno de los instantes de tiempo observados.

Sin embargo, en el caso de los modelos descritos por procesos estocásticos que sean soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, una estimación eficiente de los parámetros se debe basar en los datos que proporcionan información de la evolución de las variables a lo largo del tiempo.

Este Trabajo Fin de Master parte del estudio de un proceso de difusión asociado con la curva Bertalannfy propuesto por Román-Román et al. [18] para modelizar patrones de crecimiento del tipo Bertalanffy. Dicho modelo se construye a partir de la ecuación determinística (cuya solución es dicha curva), introduciendo una componente estocástica con la condición de que la función media del proceso, solución de la ecuación diferencial estocástica obtenida, sea de una curva del mismo tipo. Esta característica justifica el uso de tal función para el ajuste y la predicción en aplicaciones prácticas a datos que muestren patrones de comportamiento Bertalanffy, excepto por pequeñas fluctuaciones aleatorias.

Además de realizar un estudio probabilístico del proceso introducido, en este trabajo, se estudia la estimación máximo verosímil de los parámetros del proceso (así como de algunas características de interés) en base a un muestro discreto de trayectorias.

Ahora bien, en las situaciones de la vida real, el patrón de crecimiento de una población puede verse afectada por factores exógenos que modifican su comportamiento. Por ejemplo, en la ganadería y en la agricultura, un virus o un cambio en la dieta puede dificultar o aumentar las tasas de crecimiento. En medicina, el efecto de un determinado tratamiento puede modificar el patrón de crecimiento de los tumores.


6


Para contemplar dichos cambios, el procedimiento habitual consiste en la introducción de una función dependiente del tiempo en la tendencia de los procesos originales, dando lugar a lo que se suele llamar procesos con factores exógenos. En este sentido, Albano et al. [1], [2] y [3], en el contexto del crecimiento de tumores, estudiaron procesos de difusión asociados a la curva de crecimiento de Gompertz. A dichas funciones que, en este caso, modelizan el efecto de una terapia se les suele llamar funciones terapia o funciones terapéuticas.

El objetivo fundamental de este trabajo es el estudio de modelos estocásticos obtenidos mediante la modificación del proceso de Bertalanffy introducido por Román-Román et al. [18] (para el caso particular de b=1) mediante la inclusión de funciones terapéuticas que modifiquen su comportamiento.

Así el trabajo comienza con un primer capítulo donde se estudia la obtención y características del proceso de difusión Bertalanffy citado con anterioridad. En el segundo capítulo se introducen tres modelos modificados mediante la inclusión de funciones terapias que afectan de distinta forma al crecimiento mostrado por el modelo original. Se realiza un estudio probabilístico de ellos que incluye la obtención de sus trayectorias, distribuciones finito dimensionales, función de densidad de transición y características fundamentales. Además, en este capítulo se incluye un estudio de simulación que permite mostrar de forma gráfica la influencia de diversas funciones terapia en los modelos introducidos

Aunque el objetivo inicial de este Trabajo Fin de Máster era el estudio probabilístico de modelos de difusión tipo Bertalanffy con funciones terapéuticas, lo hemos ampliado para abordar el tema de la estimación de tales funciones. En una primera aproximación, nos hemos centrado en el modelo I, dejando el estudio en los modelos II y III para una investigación posterior.

En el capitulo tres se presenta un procedimiento de estimación seguido de un estudio de simulación para mostrar la validez del mismo.

Por último, en un Anexo se incluye la programación en R utilizada en el presente trabajo.


7


CapítuloCapítuloCapítuloCapítulo 1 1 1 1

PPPProceso de difusión Bertalanffyroceso de difusión Bertalanffyroceso de difusión Bertalanffyroceso de difusión Bertalanffy En este capítulo, se estudia la obtención y características de un proceso de difusión

asociado a la curva de crecimiento de von Bertalanffy.

Para comenzar se presenta un estudio de la curva von Bertalanffy junto con sus principales características, y una nueva reescritura de la misma en términos del valor inicial que será la utilizada en la definición del proceso. Además, se realiza un estudio gráfico de la interpretación de los parámetros.

A continuación se procede a la obtención de un proceso de difusión asociado a la curva Bertalanffy usando tres metodologías: como modificación de un proceso lognormal, a partir del modelo de crecimiento determinístico mediante la inclusión de un ruido blanco, y por paso al límite de un modelo discreto asociado al modelo de crecimiento determinístico.

Para finalizar, se incluye un estudio probabilístico de este proceso consistente en la obtención de sus trayectorias, distribuciones finito dimensionales, función de densidad de transición y la demostración del carácter gaussiano y markoviano del proceso. Este estudio se realiza a partir de la ecuación diferencial estocástica que define al proceso, así como a partir de las ecuaciones de Kolmogorov que verifican la función de densidad de transición. Una vez obtenida la distribución del proceso a partir de la distribuciones unidimensionales y condicionadas, se deducen las siguientes características: funciones media, moda y de cuantiles, junto con sus versiones condicionadas; momentos unidimensionales y función varianza; momentos cruzados y función covarianza

1.1. 1.1. 1.1. 1.1. Estudio de la curva von BertalanffyEstudio de la curva von BertalanffyEstudio de la curva von BertalanffyEstudio de la curva von Bertalanffy La curva de crecimiento de von Bertalanffy, viene definida por la siguiente expresión:

( )( ) 1 k t af t f e− −∞ = − ; ; 0t a k≥ > , (1.1)

donde:


8


- ( )f t es el valor de la variable bajo estudio (habitualmente la longitud de un

individuo) en el instante t.

- f∞ es la cota superior de la variable en estudio, que corresponde con el valor

máximo que podría alcanzar cuando t tiende a infinito.

- k representa el parámetro de curvatura o la tasa de crecimiento de von Bertalanffy, que determina la velocidad con la que el individuo alcanza la cota

f∞ .

- a llamado parámetro de condición inicial, determina el instante en el que la longitud, es igual a cero y puede ser negativo. a no es un parámetro biológico, está incluido para corregir o ajustar el modelo a la talla o tamaño inicial de la población.

Consideramos 0 0t ≥ como el instante a partir del cual vamos a observar la variable

en estudio, siendo 0 0x > el valor observado en dicho instante, es decir, 0 0( )f t x= .

Puesto que el parámetro a determina el instante en el que la variable es igual a cero,

( ) 0f a = , y puede ser negativo, llegamos a la conclusión de que 0a t< , dado que la

función es creciente.

Podemos encontrar así, una expresión para la cota superior f∞ , dependiente del

valor inicial, bajo las hipótesis de que 0 0( )f t x= y denotando kac e= :

00 1 ktx f ce−

∞ = − ⇒ 0

0

1 kt

xf

ce∞ −=−

,

de donde se obtiene una nueva expresión de la curva de crecimiento Bertalanffy:

00

1( )

1

kt

kt

cef t x

ce

−

−

−=−

; 0

ln; 0

ct t a k

k≥ > = > . (1.2)

Haciendo un estudio de esta curva, llegamos a la conclusión de que cumple las siguientes propiedades:

• Es estrictamente creciente, no presentando ningún punto crítico y la

inflexión de la curva se produce en el instante ln( )c

ak

= , momento en el que la

longitud de la especie es cero:

( ) 0,f t > ln( )

,c

tk

∀ ∈ +∞

y ln( )

0c

fk

=

.

• 0

0lim ( )1 ktt

xf t

ce−→∞=

−, por lo que la cota depende del valor inicial.


9


En las siguientes gráficas, podemos ver ejemplos de representaciones de la curva de von Bertalanffy, en las que se observa como influyen los valores de los parámetros en la curvatura y en la velocidad a la que aumenta el tamaño de la variable en estudio. Para ello, se ha fijado el valor de algunos de sus parámetros y tomado diferentes valores para otros:

Caso1: Consideramos como valores fijos, una cota máxima de 50 cm y como instante en el que la longitud de la especie es cero, de -0.2 días. Para distintos valores del parámetro k y con valores de tiempo t tomados en días, en la Figura 1.1, se tiene las siguientes gráficas de la curva (1.1):

Figura 1.1. Curva von Bertalanffy tomando distintos valores de k y parámetros fijos

50 y 0.2f a∞ = = −

Podemos apreciar, como el valor del parámetro k influye en la curvatura y en la velocidad de crecimiento, ya que, cuanto mayor es k, más se acentúa la concavidad de la curva y en menos tiempo se llega a valores cercanos a la cota máxima.

Cabe señalar que el parámetro k toma valores positivos, como condición establecida en cualquier curva de crecimiento, hecho que será de interés en las simulaciones que se plantean a lo largo del trabajo.

Caso2: Si consideramos ahora, cero como el instante de tiempo en el que comenzamos a observar el crecimiento de la especie y que la longitud, en ese momento es de 2 cm, fijando un valor de k de 0.5 y proporcionando distintos valores del parámetro c, se observan las gráficas de la Figura 1.2.


10


Figura 1.2. Curva von Bertalanffy tomando distintos valores de c y parámetros fijos

0 00, 2 y k 0.5t x= = =

Como podemos observar, el valor del parámetro c influye en la magnitud de la variable y en su valor límite, cuanto mayor es c mayor tamaño llega a tener la variable. Si probamos con otro valor de k, observamos que la forma de la curva se mantiene, aumentando el valor de la variable en los mismos instantes de tiempo, como se aprecia en la Figura 1.3.

Figura 1.3. Curva von Bertalanffy tomando distintos valores de c y parámetros fijos

0 00, 2 y k 1.5t x= = =

Puesto que c es un parámetro nuevo, que hemos introducido en la expresión de la

curva (1.2), definiéndolo como kac e= , es interesante buscar una interpretación de su significado y estudiar las condiciones que debe cumplir.

Por su expresión, vemos que depende de los parámetros k y a . Como 0kae > , c siempre tomara valores positivos. Por otro lado, puesto que se tiene que cumplir que:


11


0

ln ct t

k≥ > ⇒ para valores fijos de 0 y t k , se tiene que: 0t kc e< .

Por tanto, hemos llegado a la conclusión que c influye en el tamaño de la longitud de

la especie, y tiene que cumplir la condición: 00 t kc e< < . Dada la influencia que tienen los parámetros en la curva de crecimiento, serán de

interés su estudio en los procesos de difusión que generemos. En este trabajo, c y k jugarán un papel importante, puesto que, al afectarles con funciones terapéuticas se intentará controlar esa influencia en los procesos Bertalanffy.

Pasamos a continuación a la obtención de un proceso de difusión asociado a la

curva Bertalanffy, aplicando para ello tres métodos distintos.

1.2. 1.2. 1.2. 1.2. Obtención de un pObtención de un pObtención de un pObtención de un proceso de difusión asociado a roceso de difusión asociado a roceso de difusión asociado a roceso de difusión asociado a la la la la curva curva curva curva von von von von BertalanffyBertalanffyBertalanffyBertalanffy

Existen diferentes caminos para la obtención de un proceso de difusión asociado a la curva de crecimiento Bertalanffy, en esta sección vamos a desarrollar varios de ellos:

1.2.1.1.2.1.1.2.1.1.2.1. Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal Obtención del proceso como modificación del proceso lognormal

Aplicando la metodología desarrollada por Gutiérrez et al. [11] en el contexto de curva gompertziana, buscamos un proceso de difusión para el cual la solución de la ecuación de Fokker-Planck, en ausencia de ruido, sea la curva Bertalanffy dada por la expresión (1.2). Una vez obtenido el proceso pasaremos a verificar que se cumple que la función media condicionada al valor inicial, coincida con la mencionada curva, condición impuesta por Tan [20] (en la obtención de un proceso de nacimiento y muerte asociado con la curva Gompertz) y que es de gran interés con fines de ajuste y predicción en aplicaciones a datos reales.

Teniendo en cuenta lo anterior, consideramos la ecuación de primer orden:

[ ]kt

f ckxf

t e c x

∂ ∂= −∂ − ∂

, 00, x t t> ≥ ,

con la condición inicial 0

0 0 0lim ( , , ) ( )t t

f x t x t x xδ→

= − , que tiene por solución:

00 0 0

1( , , )

1

kt

kt

cef x t x t x x

ceδ

−

−

−= − − ,

lo que implica que la población en estudio crece de acuerdo con la curva (1.2).


12


Consideramos ahora la ecuación de Fokker-Planck del proceso de difusión lognormal homogéneo con densidad de probabilidad de transición f y momentos infinitesimales:

1( )A x xα= y 2 22( )A x xσ= , 0α σ > ,

es decir, la ecuación:

[ ]2 2

222

fxf x f

t x x

σα∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂

, 00,x t t> ≥ .

Modificando la media infinitesimal cambiando α por el término ( )kt

ckh t

e c=

−, se

tiene que:

[ ]2 2

22

( )2

fh t xf x f

t x x

σ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂

, 00,x t t> ≥ . (1.3)

Esta ecuación corresponde a la ecuación adelantada de un nuevo proceso de difusión con momentos infinitesimales:

1( , )kt

ckA x t x

e c=

− y 2 2

2( , )A x t xσ= , (1.4)

con 0k > , 00 t kc e< < y 0σ > .

Es obvio que la solución de (1.3), cuando 2σ se anula, es la curva (1.2).

1.2.2.1.2.2.1.2.2.1.2.2. Obtención a partir del modelo de crecimiento determinObtención a partir del modelo de crecimiento determinObtención a partir del modelo de crecimiento determinObtención a partir del modelo de crecimiento determinístico ístico ístico ístico mediante la inclusión de ruido blancomediante la inclusión de ruido blancomediante la inclusión de ruido blancomediante la inclusión de ruido blanco

Es inmediato ver que para ( ) 1 ktf t f ce−∞ = − se tiene que:

(́ ) 1 ( )1

ktkt kt

kt kt

cke ckf t f cke f ce f t

ce e c

−− −

∞ ∞ − = = − = − − ,

por lo que (́ ) ( ) ( )f t h t f t= con ( )kt

ckh t

e c=

−.

El que se cumpla esta igualdad, nos da pié a la obtención del proceso de difusión tipo Bertalanffy a partir de la ecuación de crecimiento determinística

( )

( )kt

dx t ckx t

dt e c=

−, 0 0( )x t x= , (1.5)

que se puede considerar como una generalización del modelo de crecimiento determinístico malthusiano:

( )( )

dx tx t

dtα= ,


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considerando para nuestro caso en lugar de α, ( )kt

ckh t

e c=

− , una tasa de fertilidad

determinística dependiente del tiempo.

Para la obtención del proceso, añadimos a la fertilidad un ruido blanco ( )tΛ con

varianza 2σ , es decir, consideramos la tasa de fertilidad como ( ) ( )h t t+ Λ , llegándose

así, a la ecuación de Langevin:

( )( ) ( ) ( )

kt

dX t ckX t X t t

dt e c= + Λ

−

0 0( )X t x= ,

que, a su vez, da lugar a la ecuación diferencial estocástica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt

ckdX t X t d t X t dW t

e cσ= +

−

0 0( )X t x= ,

donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar.

La solución de esta ecuación diferencial, que veremos en la sección 1.3 siguiente,

corresponde a un proceso de difusión no homogéneo { }0( );X t t t≥ en +R y con

momentos infinitesimales:

1( , ) ( )A x t h t x= y 2 22( , )A x t xσ= ,

donde ( )kt

ckh t

e c=

− o

2

( )2kt

ckh t

e c

σ= +−

, dependiendo de si se usa la integral de ɵIto o

la de Stratonovich para resolver la ecuación.

Además la función media condicionada al valor inicial 0x es:

( )0

0 0 0( ) ( ) exp ( )t

tE X t X t x x h dθ θ = = = ∫

ɵ0

0

0

2

0 0

1 por la solución de

1

1exp ( ) por la solución de Stratonovich

1 2

kt

kt

kt

kt

cex Ito

ce

cex t t

ce

σ

−

−

−

−

− −=

− − −

Puesto que queríamos que esta media tuviera como resultado la expresión de la

curva (1.2), elegimos la solución de ɵIto .


14


Por tanto, se define el proceso de difusión Bertalanffy asociado a la curva de

crecimiento (1.2) como un proceso de difusión { }0( );X t t t≥ en +R y con momentos

infinitesimales:

1( , )kt

ckA x t x

e c=

− y 2 2

2( , )A x t xσ= ,

que coincide con el proceso del apartado anterior.

1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2.3. Obtención Obtención Obtención Obtención por paso al límite de por paso al límite de por paso al límite de por paso al límite de un modelo discreto aun modelo discreto aun modelo discreto aun modelo discreto asociadosociadosociadosociado al al al al modelo de crecimientomodelo de crecimientomodelo de crecimientomodelo de crecimiento

Nos planteamos obtener el proceso como límite de un modelo discreto estocástico de crecimiento con fertilidad diferencial por unidad de tiempo dependiente de t. Este método, se basa en una versión discreta de la ecuación determinística (1.5):

( 1) ( )n n nkn

ckx x x

e cτ τ ττ τ+ − =−

, 0,1,...n = ,

que se aproxima a (1.5) cuando n → ∞ y 0τ → , con n tτ = .

A continuación, introducimos el ambiente aleatorio en el modelo.

Para ello, consideramos que el cambio relativo que se produce en el tamaño de la

población durante el intervalo de tiempo [ , ( 1) ]n nτ τ+ , kn

ck

e cττ−

, para 0,1,...n = , puede

verse como el valor medio de una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli

independientes, { }nZ τ 0,1,...n = verificando:

1( )

2 2( )n kn

ckP Z

e cτ ττσ τ

σ= = +

−,

1( )

2 2( )n kn

ckP Z

e cτ ττσ τ

σ= − = −

−,

donde 0σ > , es una constante que depende de la amplitud de la fluctuaciones ambientales.

Teniendo en cuenta lo anterior, los momentos de nZ τ son:

[ ]n kn

ckE Z

e cτ τ τ=−

,

2 2[ ]nE Z τ σ τ= ,

2[ ]pnE Z τ

+ ( ) ( ) ( )2 221 11 ( )

2 2 2 2

p pp

kn kn

ck cko

e c e cτ ττ τσ τ σ τ τσ σ

+ ++ = + + − − = − −

, p∀ ∈ℕ .


15


Aleatorizamos el modelo reemplazando el término kn

ck

e cττ−

por nZ τ , obteniéndose

que:

( 1) ( )n n n nX X Z Xτ τ τ τ+ − = , 0,1,...n = .

A partir de esta expresión, y usando las expresiones de los momentos de nZ τ ,

podemos calcular los momentos de los incrementos ( 1) ( )n nX Xτ τ+ − condicionados a

nX xτ = que son:

[ ]( 1) ( )

1 1n n n n n n n kn

x ckE X X X x E Z X X x E Z x

e cτ τ τ τ τ τ τ ττ τ τ+ − = = = = = −,

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 2( 1) ( )

1 1n n n n n n n

xE X X X x E Z X X x E Z xτ τ τ τ τ τ τ σ

τ τ τ+ − = = = = =

,

( ) ( )2 2

( 1) ( )

1 1p p

n n n n n nE X X X x E Z X X xτ τ τ τ τ ττ τ+ +

+ − = = = =

( )2 2

2 ( )p pp

n

x x oE Z τ

ττ τ

+ ++ = =

p∀ ∈ℕ .

De esta forma, cuando n → ∞ y 0τ → , con n tτ = , nX τ converge al proceso de

difusión con momentos infinitesimales:

1( , )kt

ckA x t x

e c=

− y 2 2

2( , )A x t xσ= ,

coincidiendo con el proceso ya obtenido en los apartados anteriores.

1.31.31.31.3. . . . DistribuciónDistribuciónDistribuciónDistribución del proceso Bertalanffy del proceso Bertalanffy del proceso Bertalanffy del proceso Bertalanffy

La distribución del proceso, puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt


e cσ= +

−

0 0( )X t x= ,

donde ( )W t denota un proceso Wiener estándar, o mediante las ecuaciones en

derivadas parciales de Kolmogorov, siendo sus ecuaciones adelantada y atrasada:


16


[ ]2 2

222kt

f ckxf x f

t e c x x

σ∂ ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂

, 00,x t t> ≥

2 2

20 0 2

0 0 0

02kt

f ck f fx x

t e c x x

σ∂ ∂ ∂+ + =∂ − ∂ ∂

, 0 00,x t t> ≥ .

Ambas formas se han desarrollado en el contexto del proceso de difusión lognormal con factores exógenos por Gutiérrez et al. [10], del cual el proceso Bertalanffy es un caso particular. Para nuestro caso, es conocido que la función de densidad de probabilidad de transición del proceso es:

22

22

1ln ln ( )

1 21 1( , , ) exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cet s

y cef x t y s

t sx t s

σ

σπσ

−

−

− − + − − = − −−

, s t< ,

que corresponde con una distribución lognormal, esto es:

221

( ) ( ) ln ln ( );( )1 2

kt

ks

ceX t X s y y t s t s

ce

σ σ−

−

− = Λ + − − − −

∼ .

Debido al carácter markoviano del proceso se pueden calcular las distribuciones finitodimensionales a partir de la función de densidad de probabilidad de transición del proceso y de la distribución inicial.

Además, la consideración de dos distribuciones iniciales: una distribución

degenerada, [ ]0 0( ) 1P X t x= = y una distribución lognormal 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ ,

garantiza que las distribuciones finitodimensionales sean lognormales. Hay que notar que la primera elección puede considerarse como un caso particular de la segunda

considerando 0 0ln( )xµ = y 0 0σ = . Además, la distribución inicial degenerada es la

situación real cuando sólo se disponga de una trayectoria muestral, mientras que el caso de la distribución inicial lognormal requiere varias trayectorias muestrales. En este

caso, el vector aleatorio '1( ( ),..., ( ))nX t X t , sigue una distribución lognormal n-

dimensional ( , )n µΛ ∑ , donde:

0

2

0 0

1ln ( )

1 2

ikt

i ikt

cet t

ce

σµ µ−

−

−= + − − − , 1,...,i n=

{ }( )2 20 0,ij i jMin t t tσ σ∑ = + − , , 1,...,i j n= .

En este trabajo se aborda la obtención de la distribución del proceso de forma directa a través de las dos metodologías previamente citadas. Además, se prueba el carácter gaussiano y markoviano del proceso considerado.


17


1.1.1.1.3333.1. .1. .1. .1. Estudio a partir de la ecuación diferencial estocásticaEstudio a partir de la ecuación diferencial estocásticaEstudio a partir de la ecuación diferencial estocásticaEstudio a partir de la ecuación diferencial estocástica....

Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal que define el proceso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt


e cσ= +

− (1.6)

0 0( )X t x= ,

donde como ya hemos comentado, ( )W t denota un proceso Wiener estandar.

Existencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectoriasExistencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectoriasExistencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectoriasExistencia y unicidad de solución. Expresión de las trayectorias

Para este fin, es conocido que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, para asegurar la existencia y unicidad de solución se suelen imponer condiciones de tipo Lipschitz. En ese sentido tenemos el siguiente resultado, cuya demostración puede consultarse en Arnold [4]:

• Teorema 1.1

Consideremos la ecuación diferencial estocástica:

( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( )dX t a X t t d t b X t t dW t= + (1.7)

0(0)X x= , 0t t T≤ < < ∞ ,

donde ( )W t representa el proceso de Wiener estándar y 0x es una variable aleatoria

independiente de 0( ) ( )W t W t− para 0t t≥ . Supongamos que las funciones a y b están definidas

y son medibles en [ ]0,t T x R y verifican las siguientes condiciones:

Existe una constante K > 0 tal que:

� (Condición de Lipschitz).

( , ) ( , ) ( , ) ( , )a x t a y t b x t b y t K x y− + − ≤ − , [ ]0,t t T∀ ∈ , ,x y∀ ∈R

� (Restricción sobre el crecimiento).

( )2 2 2( , ) ( , ) 1a x t b x t K x+ ≤ + , [ ]0,t t T∀ ∈ , x∀ ∈R .

Entonces, la ecuación (1.7) tienen una única solución en [ ]0,t T y con valores en R , continua

con probabilidad uno, que satisface la condición inicial; esto es, si X(t) e Y (t) son soluciones de

(1.7) con igual valor inicial 0x , entonces:

0

sup ( ) ( ) 0 0t t T

P X t Y t≤ ≤

− > =

.

Si aplicamos este Teorema 1.1, a la ecuación diferencial con la que vamos a trabajar, se cumplen las condiciones establecidas en el mismo, puesto que, siendo

( , ) ( )a x t h t x= y ( , )b x t xσ= , se tiene:


18


� (Condición de Lipschitz ).

( , ) ( , ) ( , ) ( , )kt kt

ck cka x t a y t b x t b y t x y x y

e c e cσ σ− + − ≤ − + − =

− −

kt kt

ck ckx y x y x y

e c e cσ σ = − + − = + − ≤ − −

[ ]0 , ktt t T

ckMax x y K x y

e cσ

∈

≤ + − ≤ − − .

� (Restricción sobre el crecimiento ).

2 2

2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , )kt kt

ck cka x t b x t x x x

e c e cσ σ

+ ≤ + = + ≤ − −

[ ]0

2 22 2 2 2 2

,(1 ) (1 ) (1 )

kt ktt t T

ck ckx Max x K x

e c e cσ σ

∈

≤ + + ≤ + + ≤ + − − .

Donde [ ] [ ]0 0

22

, ,;

kt ktt t T t t T

ck ckK Max Max Max

e c e cσ σ

∈ ∈

= + + − − , por lo que se cumple que

existe solución y es única.

Pasemos a continuación a obtenerla:

Para resolver la ecuación propuesta vamos a considerar el cambio de variable

( ) ln( ( ))Y t X t= y aplicando la fórmula de ɵIto , resolver la ecuación diferencial

estocástica que verifica el nuevo proceso ( )Y t . Veamos el teorema de la fórmula de ɵIto :

• Teorema 1.2 (Fórmula de ɵIto )

Consideremos la ecuación diferencial estocástica:

( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( )dX t a X t t dt b X t t dW t= + ,

y sea ( , )g x t una función continua con derivadas parciales continuas. Entonces:

2 2

2

( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), )( ( ), ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( )

2

g X t t g X t t b X t t g X t t g X t tdg X t t a X t t d t b X t t dW t

t x x x

∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂

.

Aplicando dicha fórmula se tiene que:

2 2

2

1 ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( )kt

ck X tdY t X t dt X t dW t

e c X t X t X t

σ σ = − + = −


19


2

( )2kt

ckdt dW t

e c

σ σ = − + −

.

Luego queremos resolver:

2

( ) ( )2kt

ckdY t dt dW t

e c

σ σ = − + −

0 0 0( ) ln( )Y t y x= = .

La solución viene determinada a partir de la ecuación integral de ɵIto :

0 0

2

0( ) ( )2

t t

kt t

ckY t y d dW

e cθσ θ σ θ

= + − + = − ∫ ∫

0 0 0

2

0 ( )2

t t t

kt t t

cky d d dW

e cθσθ θ σ θ = + − + = −

∫ ∫ ∫

0

2

0 0 0

1ln ( ) ( ( ) ( ))

1 2

kt

kt

cey t t W t W t

ce

σ σ−

−

−= + − − + − − .

La solución de la ecuación diferencial estocástica (1.6), la obtenemos deshaciendo el cambio de variable propuesto para la resolución:

0

2

0 0 0

1( ) exp( ( )) exp ln ( ) ( ( ) ( ))

1 2

kt

kt

ceX t Y t y t t W t W t

ce

σ σ−

−

−= = + − − + − = −

0

2

0 0 0

1exp ( ( ) ( )) ( )

1 2

kt

kt

cex W t W t t t

ce

σσ−

−

−= − − − − ,

obteniendo así las trayectorias del proceso ( )X t .

Carácter gaussiano del procesoCarácter gaussiano del procesoCarácter gaussiano del procesoCarácter gaussiano del proceso

A continuación, vamos a demostrar que el proceso ( )Y t es gaussiano. Sabemos que

un proceso es gaussiano si cualquier vector ( )1( ),..., ( ) 'nY t Y t se distribuye según una

ley normal multivariante.

Puesto que: 1

0

0

1 0 1 0 1 02

0 0 0

1ln

1( ) ( ) ( )

2( ) ( ) ( )1

ln1

n

kt

kt

ktn n n

kt

ce

ceY t t t W t W ty

b

Y t y t t W t W tce

ce

σ σ

−

−

−

−

− − − −

= + − + − − − −

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,


20


y el vector ( )1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 'nW t W t W t W t− −⋯ se distribuye de forma normal. Por ser el

proceso Wiener { }0( );W t t t≥ gaussiano, se tiene que el vector ( )1( ),..., ( ) 'nY t Y t es

normal, al ser una transformación lineal de ( )1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 'nW t W t W t W t− −⋯ . Por

tanto, { }0( );Y t t t≥ es un proceso gaussiano.

Carácter markoviCarácter markoviCarácter markoviCarácter markoviano del procesoano del procesoano del procesoano del proceso

Para comprobar que también se trata de un proceso de Markov, haremos uso del siguiente teorema:

• Teorema 1.3

Sea { }( );X t t T∈ un proceso gaussiano con función de covarianza XC . Entonces, el proceso

es markoviano si y sólo sí para cualquier 1 2 3t t t T< < ∈ se verifica:

1 2 2 31 3

2 2

( , ) ( , )( , )

( , )X X

XX

C t t C t tC t t

C t t= .

Para aplicar el teorema, precisamos de la función covarianza de ( )Y t , necesitando

de la función media para su cálculo. Teniendo en cuenta que la media de ( )W t es cero,

se tiene que:

[ ]0

2

0 0 0

1( ) ln ( ) ( ( ) ( ))

1 2

kt

kt

ceE Y t E y t t W t W t

ce

σ σ−

−

−= + − − + − = −

[ ]0

2

0 0 0

1ln ( ) ( ( ) ( ))

1 2

kt

kt

cey t t E W t W t

ce

σ σ−

−

−= + − − + − = −

0

2

0 0

1ln ( )

1 2

kt

kt

cey t t

ce

σ−

−

−= + − − − .

Luego:

[ ] [ ]( ) [ ]( )( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YC s t Cov Y t Y s E Y t E Y t Y s E Y s = = − − =

( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) ( )E W t W t W s W tσ σ= − − =

( )20 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )W W W WC t s C t t C t s C t tσ= − − + =

( )20 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )t s t t t s t tσ= ∧ − ∧ − ∧ + ∧ =

( ) ( )2 20 0 0 0( ) ( )t s t t t t s tσ σ= ∧ − − + = ∧ − , siendo ( ) min( , )t s t s∧ = .


21


Aplicando el teorema 2.3, para 0 1 2 3t t t t≤ < < , se tiene:

( ) ( )

( )2 2

1 2 0 2 3 01 2 2 32

2 2 2 2 0

( ) ( )( , ) ( , )

( , ) ( )Y Y

Y

t t t t t tC t t C t t

C t t t t t

σ σσ

∧ − ∧ −= =

∧ −

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )2

1 0 2 0 2 21 0 1 3 0 1 3

2 0

( ) ,Y

t t t tt t t t t C t t

t t

σσ σ

− −= = − = ∧ − =

−.

Por tanto, { }0( );Y t t t≥ es un proceso de Markov y como consecuencia de lo mismo

{ }0( );X t t t≥ es markoviano, al ser una transformación de ( )Y t a través de una función

medible de Borel.

Distribuciones Distribuciones Distribuciones Distribuciones bibibibidimensionalesdimensionalesdimensionalesdimensionales y función de densidad de transición y función de densidad de transición y función de densidad de transición y función de densidad de transición del proceso del proceso del proceso del proceso

Puesto que los procesos { }0( );Y t t t≥ , hemos visto que son normales, se tiene que

los procesos { }0( );X t t t≥ son lognormales. Obtenemos a continuación las densidades

bidimensionales para { }0( );X t t t≥ , con las que deduciremos la función de densidad de

transición.

Como { }0( );W t t t≥ es un proceso de Wiener, se tiene que:

[ ]02

0

( ) ( )0;

( ) ( ) W

W s W tN

W t W t

− → ∑ −

,

con 0 0

0 0W

s t s t

s t t t

− − ∑ = − −

para s t< , por ser ( , )WC s t s t= ∧ .

Su función de densidad es:

11

2

1 1( , ) exp ( , ) ( , ) '

22s t s t W s t

W

f w w w w w wπ

− = − ∑ ∑

.

Realizamos el cambio de variable:

0

2

1 0 0 0

1( ) exp ln ( ) ( ( ) ( ))

1 2

ks

s s kt

cex g w x s t W s W t

ce

σ σ−

−

−= = − − + − − ,

0

2

2 0 0 0

1( ) exp ln ( ) ( ( ) ( ))

1 2

kt

t t kt

cex g w x t t W t W t

ce

σ σ−

−

−= = − − + − − ,

con transformación inversa:


22


0

21

1 0 0

1 1( ) ln( ) ln( ) ln ( )

1 2

ks

s s s kt

cew g x x x s t

ce

σσ

−−

−

−= = − − + − − ,

0

21

2 0 0

1 1( ) ln( ) ln( ) ln ( )

1 2

kt

t t t kt

cew g x x x t t

ce

σσ

−−

−

−= = − − + − − ,

y jacobiano: 2

10

1

10

s

s t

t

xJ

x x

x

σσ

σ

= = .

Por lo que, obtenemos la expresión:

( )1 11 2( , ) ( ), ( )s t s th x x f g x g x J− −= =

( ) ( )11

2 2

1 1exp ln( ) , ln( ) ln( ) , ln( ) '

22s s t t s s t t

W s t

x x x xx x

µ µ µ µπσ

− = − − − ∆ − − ∑

,

con:

0

2

0 0

1ln( ) ln ( )

1 2

kt

t kt

cex t t

ce

σµ−

−

−= + − − −

0

2

0 0

1ln( ) ln ( )

1 2

ks

s kt

cex s t

ce

σµ−

−

−= + − − −

2Wσ∆ = ∑ .

Luego, hemos llegado a la conclusión de que ( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∆∼ con

( , ) 't sµ µ µ= .

Puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:

0

22

1 0 0 0

1( ) ln( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

kt

ceX t x t t t t

ce

σ σ−

−

−Λ + − − − − ∼ .

Para obtener la función de densidad de transición, calculamos para s t< la

distribución de ( ) ( ) sX t X s x= que se distribuye mediante una lognormal de la forma:

1( ( ) ( ) ) ( , )sX t X s x η ν= → Λ ,

con:

2( )t sη σ= −


23


0

2

0 0

1ln( ) ln ( )

1 2

kt

kt

cex t t

ce

σν−

−

−= + − − + −

0

2 20

0 020

( ) 1ln( ) ln( ) ln ( )

( ) 1 2

ks

s kt

s t cex x s t

s t ce

σ σσ

−

−

− −+ − + − − = − −

21

ln( ) ln ( )1 2

kt

s ks

cex t s

ce

σ−

−

−= + − − − .

Así, la función de densidad de transición:

22

22

1ln ln ( )

1 21 1( , , ) exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cet s

y cef x t y s

t sx t s

σ

σπσ

−

−

− − + − − = − −−

, para s t< .

1.31.31.31.3.2 Distribución .2 Distribución .2 Distribución .2 Distribución a partir de las ecuaciones parciales de Koa partir de las ecuaciones parciales de Koa partir de las ecuaciones parciales de Koa partir de las ecuaciones parciales de Kollllmogorovmogorovmogorovmogorov Las ecuaciones de Fokker-Plank o adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para el

proceso de Bertalanffy son:

2 2

22

( , , )( , , ) ( , , )

2kt

f x t y s ckxf x t y s x f x t y s

t e c x x

σ∂ ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂

, 0,x t s> ≥

22

22

( , , ) ( , , ) ( , , )0

2kt

f x t y s f x t y s f x t y scky y

s e c y y

σ∂ ∂ ∂+ + =

∂ − ∂ ∂, 0,y t s> ≥ .

Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones

1( , )kt

ckA x t x

e c=

− y 2 2

2( , )A x t xσ= ,

conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, necesitamos de los siguientes teoremas:

• Teorema 1.4

Supongamos que los momentos infinitesimales A1 y A2 verifican, para todo valor x del espacio

de estados y [ ]0,t t T∀ ∈ , las siguientes condiciones:

1. Existen unas constantes positivas 0σ y k tales que:


24


a) 2

1( , ) 1A x t K x≤ +

b) 2

0 20 ( , ) 1A x t K xσ< ≤ ≤ +

2. (Condición de Hölder). Existen constantes positivas γ y k tales que:

a) 1 1( , ) ( , )A x t A y t K x yγ− ≤ −

b) 2 2( , ) ( , )A x t A y t K x yγ− ≤ − .

Entonces se verifica:

i) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera

establecida. Además, para t > s, ( , , )F x t y s es derivable respecto de x, por lo que

admite densidad, que también verificará la ecuación atrasada con condición

frontera del tipo delta de Dirac.

ii) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,X t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas, que

verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de distribución

de transición ( , , )F x t y s .

iii) Si, además, las condiciones del enunciado son cumplidas por 1( , ) A x t

x

∂∂

, 2( , ) A x t

x

∂∂

y

22

2

( , ) A x t

x

∂∂

, entonces la función( , , )

( , , )F x t y s

f x t y sx

∂=

∂ es la única solución

fundamental de la ecuación adelantada.

Si aplicamos el teorema a nuestras funciones 1( , )A x t y 2( , )A x t se tiene que se

cumplen las condiciones exigidas:

1.

1.a) Se tiene: 21( , ) 1

kt

ckA x t x M x

e c= ≤ +

−, puesto que 21x x≤ + y

siendo M el máximo de la función ( )kt

ckh t

e c=

− (M existe ya que ( )h t es

continua en un intervalo cerrado y acotado).

1.b) Se tiene: 22( , ) 1A x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > , existe

0ε > tal que 0 xε< < , por lo que:

220 ( , ) 1A x t x xσε σ σ< < = ≤ + .

Por tanto, tomando 0σ εσ= y { }ax ,K m M σ= se cumple:

21( , ) 1A x t K x≤ + y 2

0 20 ( , ) 1A x t K xσ< ≤ ≤ + .


25


2. (Condición de Hölder ).

2.a) Se tiene: 1 1( , ) ( , )kt

ckA x t A y t x y M x y

e c− = − ≤ −

−

2.b) En este caso se tiene: 2 2( , ) ( , )A x t A y t x y x yσ σ σ− = − ≤ − .

Por tanto, tomando 1γ = y { }ax ,K m M σ= se cumple:

1 1( , ) ( , )A x t A y t K x yγ− ≤ − y 2 2( , ) ( , )A x t A y t K x y

γ− ≤ − .

Por otra parte, se tiene que:

1( , ) ( )

A x th t

x

∂ =∂

22( , ) 2

A x tx

xσ∂ =

∂

222

2

( , ) 2

A x t

xσ∂ =

∂,

cumplen las condiciones del teorema.

Por todo ello, podemos afirmar que:

1) La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera.

2) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,X t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas,

que verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de

distribución de transición ( , , )F x t y s .

3) La función ( , , )

( , , )F x t y s

f x t y sx

∂=

∂ es la única solución fundamental de la

ecuación adelantada.

Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar, cuya solución es conocida. Esta cuestión, fué estudiada por Cherkasov (1957) y Ricciardi (1977) [17], que analizaron con detalle este problema, dando condiciones necesarias y suficientes para que exista tal tipo de transformación.

Dicho estudio se lleva a cabo observando cómo se ven alterados los momentos infinitesimales de ( )X t por medio de la transformación que veremos a continuación e

igualando los nuevos momentos resultantes a los del proceso Wiener estándar.

Este proceso que vamos a aplicar podemos resumirlo teóricamente como sigue:

"Sea { }0( );X t t t≥ un proceso de difusión con media y varianza infinitesimal 1( , )A x t y

2( , )A x t , respectivamente, y sea { }0( '); ' 'W t t t≥ el proceso Wiener estándar con media

infinitesimal cero y varianza infinitesimal igual a uno. Sea f la densidad de transición del

proceso ( )X t y 'f la del proceso Wiener.


26


Las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo:

' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=

' ( )t tφ= ' ( )s sφ= ,

que cambien la ecuación atrasada del proceso ( )X t en la del proceso de Wiener:

2

2

'( ', ' ', ') '( ', ' ', ')10

' 2 '

f x t y s f x t y s

s y

∂ ∂+ =

∂ ∂,

cuya solución es:

( )21 ( ' ')

'( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')

x yf x t y s t s

t sπ

− −= − − − .

La cuestión que se plantea es cuándo se podrá transformar un proceso de difusión cualquiera

en el Wiener, esto lo resuelve el siguiente teorema:

• Teorema 1.5

Una condición necesaria y suficiente para que un proceso de difusión con función densidad de

transición ( , , )f x t y s y momentos infinitesimales A1 y A2 pueda transformarse al proceso

Wiener estándar es que existan funciones arbitrarias C1(t) y C2(t) que verifiquen:

[ ]( )

1 22 22

221 1 3

22

( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1

( , ) ( )4 2 ( , )

x

z

A y tC t A y tA x tA x t tA x t C t dy

x A y t

∂ + ∂ ∂= + + ∂

∫ . (1.8)

En tal caso la transformación es:

2

11 2

121 2 1 2 2

2

( )1 1 1' ( , ) ( ) exp ( ) ( )exp ( )

2 2 2( , )

t x t

s z t s

kx x t k C u du dy C C u du d k

A y t

θψ θ θ = = − − − +

∫ ∫ ∫ ∫

( )1

1 2 3' ( ) exp ( )t

t st t k C u du d k

θφ θ= = − +∫ ∫ .

• Nota: Puesto que, para cada t,

1

2

2

( , ) '( )0

( , )

x t t

x A x t

ψ φ ∂ = > ∂ , la transformación ' ( , )x x tψ= es

biyectiva y la relación entre las densidades de transición del proceso Wiener y el transformado

será:

( , )( , , ) '( ', ' ', ')

x tf x t y s f x t y s

x

ψ∂=∂

."

Veamos si, en nuestro caso, se verifican las condiciones del teorema y poder así aplicar la transformación indicada y obtener la función de densidad de transición.

Para el proceso Bertalanffy bajo estudio, la ecuación (1.8) queda de la forma:


27


( )

2 22 2

1 32 2 2

( )12 ( )

4 2

x

kt z

C t yck xx x C t dy

e cy

σσσσ

= + + = −

∫

2

1 2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

x

z

x xx C t C t dy

y

σ σσσ

= + + =∫

2

1 2

1( ) ( ) ln

2 2 2

x x xx C t C t

z

σσ = + +

.

Si consideramos 2( ) 0C t = se tiene: 2

1

1( )

2 2kt

ckC t

e c

σσ= +−

,

de donde despejando tendríamos que:

2

1

2( )

2kt

ckC t

e c

σσ

= − − .

La transformación sería, según el teorema:

2

11 22

121 2

( )1 1 2 1' ( , ) ( ) exp 0 exp 0

2 2 2 2

t x t

ks z t s

k ckx x t k du dy du d k

y e c

θ

θσψ θ

σ σ = = − − − − + = −

∫ ∫ ∫ ∫

2

1 122 2

1 12

( ) ( )1

2

x t

kz t

k k ckdy d k

y e cθσ θ

σ σ

= − − + = − ∫ ∫

2

1 122 2

1 12 2

( ) ( ) 1ln ln ( )

1 2

kt

kt

k kx cet t k

z ce

σσ σ

−

−

− = − − − + = −

2

1 1 12 2 2

1 1 12 2

( ) ( ) ( )1ln ln ( )

1 2

kt

kt

k k kx cet t k

z ceσ

σ σ

−

−

− = − + − + = −

2

12

1 2 2

1 1 1( ) ln ln ( )

1 2

kt

kt

x cek t t k

z ce

σσ σ

−

−

− = − + − + − .

( )1 1

1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t

t s tt t k du d k k d k k t t k

θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .

Haciendo operaciones obtenemos:

2

12

1 2 2

1 1 1' ' ( ) ln ln ( )

1 2

kt

kt

x cex y k t t k

z ce

σσ σ

−

−

− − = − + − + − −

2

1

21 2 2

1 1 1( ) ln ln ( )

1 2

ks

kt

y cek s t k

z ce

σσ σ

−

−

− − − + − − = −

12

1

1 1 1( ) ln ln ( )

1 2

kt

ks

x cek t s

y ce

σσ σ

−

−

−= − + − − .


28


1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .

Como

1

21( , ) kx t

x x

ψσ

∂ =∂

, se tiene que la función de densidad de transición viene dada

por la expresión:

( )1

22 11( , ) ( ' ')

( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')

kx t x yf x t y s f x t y s t s

x x t s

ψ πσ

− ∂ −= = − − = ∂ −

21

211

21

211

1 1 1( ) ln ln ( )

1 21exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cek t s

y cek

k t sx k t s

σσ σ

πσ

−

−

− − + − − = − = −−

22

22

1ln ln ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cet s

y ce

t sx t s

σ

σπσ

−

−

− − + − − = − −−

,

que coincide con la función de densidad de una distribución lognormal, por lo que deducimos que:

22

1

1( ) ( ) ln( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

ks


ce

σ σ−

−

−= Λ + − − − − ∼ .

Centrémonos ahora en el cálculo de las distribuciones uni y bidimensionales. Para

ello, como el proceso es de Markov, basta seleccionar la distribución inicial del proceso. Trataremos el caso en el que la distribución inicial es degenerada y el caso de

distribución inicial es una lognormal 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ .

Partimos de la función de densidad de transición del proceso para 0 0( ) ( )X t X t x= :

0

22

0 0 1 0 0 0

1( ) ( ) ln( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

kt

ceX t X t x x t t t t

ce

σ σ−

−

−= Λ + − − − − ∼ .

Distribución inicial DegeneradaDistribución inicial DegeneradaDistribución inicial DegeneradaDistribución inicial Degenerada

Para el caso en que la distribución inicial es degenerada, [ ]0 0( ) 1P X t x= = , la

distribución unidimensional de ( )X t coincide con la distribución de 0 0( ) ( )X t X t x= ,

luego su función de densidad viene dada por:


29


0

22

00

0 0 2200

1ln ln ( )

1 21 1( , ) ( , , ) exp

2 ( )2 ( )

kt

kt

x cet t

x cef x t f x t x t

t tx t t

σ

σπσ

−

−

− − + − − = = − −−

.

Es decir,

0

22

1 0 0 0

1( ) ln( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

kt

ceX t x t t t t

ce

σ σ−

−

−Λ + − − − − ∼ .

Para obtener la distribución conjunta de ( )( ), ( ) 'X t X s debemos distinguir de entrada

dos casos:

- Si t s> , entonces:

( , ; , ) ( , ) ( , , )f x t y s f y s f x t y s= =

0

22

00

2200

1ln ln ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

ks

kt

y ces t

x ce

s ty s t

σ

σπσ

−

−

− − + − − = − × −−

22

22

1ln ln ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cet s

y ce

t sx t s

σ

σπσ

−

−

− − + − − × − = −−

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.

Luego, la distribución bidimensional corresponde a una lognormal de la forma:

( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0

2

0 0

1ln( ) ln ( )

1 2

1ln( ) ln ( )

1 2

kt

kt

ks

kt

cex t t

ce

cex s t

ce

σ

µσ

−

−

−

−

−+ − − − = − + − − −

y 0 02

0 0

t t s t

s t s tσ

− − ∑ = − −

.

- Si t s< , de forma análoga se tendría que la distribución bidimensional es

( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ con:


30


0

0

2

0 0

2

0 0

1ln( ) ln ( )

1 2

1ln( ) ln ( )

1 2

kt

kt

ks

kt

cex t t

ce

cex s t

ce

σ

µσ

−

−

−

−

−+ − − − = − + − − −

y 0 02

0 0

t t t t

t t s tσ

− − ∑ = − −

.

Generalizando, podemos decir que la distribución bidimensional es:

( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0

2

0 0

1ln( ) ln ( )

1 2

1ln( ) ln ( )

1 2

kt

kt

ks

kt

cex t t

ce

cex s t

ce

σ

µσ

−

−

−

−

−+ − − − = − + − − −

y 0 02

0 0

( )

( )

t t s t t

s t t s tσ

− ∧ − ∑ = ∧ − −

.

Distribución inicial Distribución inicial Distribución inicial Distribución inicial lognormallognormallognormallognormal

Para el caso en que la distribución inicial es lognormal, 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ , la función

de densidad de ( )0( ), ( ) 'X t X t es:

0 0 0 0 0 0( , ; , ) ( , ) ( , , )f x t x t f x t f x t x t= =

( )( )2

0 0

2200 0

ln1 1exp

22

x

x

µσπσ

− = − ×

0

22

00

2200

1ln ln ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt

kt

x cet t

x ce

t tx t t

σ

σπσ

−

−

− − + − − × − = −−

( ) ( )11

20

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xxµ µ

π

− = − − ∑ − ∑

.

Luego, ( )0 2( ), ( ) ( , )X t X t µΛ ∑∼ , con:

0

0

2

0 0

1ln ( )

1 2

kt

kt

cet t

ce

µµ σµ

−

−

= − + − − −

y

2 20 02 2 20 0 0( )t t

σ σσ σ σ

∑ = − + .

Y puesto que, las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene que:

0

22 2

1 0 0 0 0

1( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

kt

ceX t t t t t

ce

σµ σ σ−

−

−Λ + − − − + − ∼ .


31


Para obtener la distribución conjunta de ( )( ), ( ) 'X t X s distinguimos igual que antes

entre dos casos:


( , ; , ) ( , ) ( , , )f x t y s f y s f x t y s= =

( )0

22

0 0

2 22 20 00 0

1ln ln ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( ( ) )

ks

kt

cey s t

ce

s ty s t

σµ

σ σπ σ σ

−

−

− − − + − − = − × − +− +

22

22

1ln ln ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cet s

y ce

t sx t s

σ

σπσ

−

−

− − + − − × − = −−

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0

2

0 0

1ln ( )

1 2

1ln ( )

1 2

kt

kt

ks

kt

cet t

ce

ces t

ce

σµµ

σµ

−

−

−

−

−+ − − − = − + − − −

y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t s t

s t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ con:

0

0

2

0 0

2

0 0

1ln ( )

1 2

1ln ( )

1 2

kt

kt

ks

kt

cet t

ce

ces t

ce

σµµ

σµ

−

−

−

−

−+ − − − = − + − − −

y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t t t

t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( ) 2( ), ( ) ( , )X t X s µΛ ∑∼ ,

con:


32


0

0

2

0 0

2

0 0

1ln ( )

1 2

1ln ( )

1 2

kt

kt

ks

kt

cet t

ce

ces t

ce

σµµ

σµ

−

−

−

−

−+ − − − = − + − − −

y

2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0

( ) (( ) )

(( ) ) ( )

t t s t t

s t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −

∑ = + ∧ − + − .

Gracias a la propiedad de Markov, se podría obtener de forma análoga las distribuciones de cualquier dimensión, siendo en todos los casos lognormales.

1.41.41.41.4. . . . Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso tipo Bertalanffy tipo Bertalanffy tipo Bertalanffy tipo Bertalanffy Para continuar con el estudio del proceso de difusión asociado a la curva de

crecimiento ( )X t , vamos a obtener las principales medidas de posición y momentos

asociados a él. Puesto que conocemos las distribuciones finito-dimensionales del mismo, podemos calcular dichas características de forma inmediata. Sabemos, por el

apartado anterior que para una distribución inicial lognormal, 20 0 0( ) ( , )X t µ σΛ∼ , la

distribución de las variables del proceso es:

0

22 2

1 0 0 0 0

1( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

kt

ceX t t t t t

ce

σµ σ σ−

−

−Λ + − − − + − ∼ ,

y las distribuciones condicionadas:

22

1

1( ) ( ) ln( ) ln ( ), ( )

1 2

kt

ks


ce

σ σ−

−

−= Λ + − − − − ∼ .

1.41.41.41.4.1. .1. .1. .1. Funciones media, moda y cuantiles Funciones media, moda y cuantiles Funciones media, moda y cuantiles Funciones media, moda y cuantiles

Conocemos las expresiones de estas funciones para distribuciones lognormales de parámetros µ y σ, luego, podemos particularizarlas a nuestro caso de forma inmediata.

En concreto haremos uso de que si ( )2,X µ σΛ∼ :

[ ]2

exp2

E Xσµ

= +

,

[ ] ( )2expMo X µ σ= − ,

( )[ ] ( )1expcuantil X Z αα µ σ−− = + ,

donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar.


33


• Función Media :

[ ]0

2 220 0

0 0

( )1( ) ( ) exp ln ( )

1 2 2

kt

kt

t tcem t E X t t t

ce

σ σσµ−

−

− +−= = + − − + = −

[ ]00

1( )

1

kt

kt

ceE X t

ce

−

−

−=−

, 0t t≥ .

• Función Moda :

[ ]0

22 2

0 0 0 0

1( ) ( ) exp ln ( ) ( ( ) )

1 2

kt

kt

ceMo t Mo X t t t t t

ce

σµ σ σ−

−

−= = + − − − − + −

[ ]0

20 0

1 3( ) exp ( )

1 2

kt

kt

ceMo X t t t

ceσ

−

−

− = − − − , 0t t≥ .

• Función de Cuantiles :

( )[ ]( ) ( )C t cuantil X tα α= − =

0

22 2

0 0 1 0 0

1exp ln ( ) ( )

1 2

kt

kt

cet t Z t t

ce ασµ σ σ

−

−−

−= + − − + − + = −

( )[ ]00

1( )

1

kt

kt

cecuantil X t

ceα

−

−

−= − ×−

[ ] [ ]2

20 1 0 0 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))

2t t Z t t Var X t Var X tα

σ σ− × − − + − + −

.

donde, 1Z α− es el αth cuantil de una distribución normal estandar, 0t t≥ .

• Función Media Condicionada :

( ) ( ) ( )m t s E X t X s y= = =

2 21 ( )exp ln( ) ln ( )

1 2 2

kt

ks

ce t sy t s

ce

σ σ−

−

− −= + − − + = −

1

1

kt

ks

cey

ce

−

−

−=−

, t s> .


34


• Función Moda Condicionada :

( ) ( ) ( )Mo t s Mo X t X s y= = =

221

exp ln( ) ln ( ) ( )1 2

kt

ks

cey t s t s

ce

σ σ−

−

−= + − − − − = −

21 3

exp ( )1 2

kt

ks

cey t s

ceσ

−

−

− = − − − , t s> .

• Función de Cuantiles Condicionada :

( )( ) ( ) ( )C t s cuantil X t X s yα α= − = =

22

1

1exp ln( ) ln ( ) ( )

1 2

kt

ks

cey t s Z t s

ce ασ σ

−

−−

−= + − − + − = −

22

1

1exp ( ) ( )

1 2

kt

ks

cey t s Z t s

ce ασ σ

−

−−

− = − − + − − , t s> .


1111....4444.2..2..2..2. Momentos unidimensionales Momentos unidimensionales Momentos unidimensionales Momentos unidimensionales. Función v. Función v. Función v. Función varianzaarianzaarianzaarianza

Sabemos que los momentos centrados en el origen de cualquier orden pueden obtenerse mediante:

0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = ,

y haciendo uso de que si ( )2,X µ σΛ∼ , 2 21

exp2

rE X r rµ σ = + , se tiene que:

0

22 2

0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) exp ln( ) ln ( ) ( )

1 2 2

ktr

kt

ceE X t X t x r x t t r t t

ce

σ σ−

−

− = = + − − + − = −

0

2

0

1exp ( 1)( )

1 2

rktro kt

cex r r t t

ce

σ−

−

−= − − − .

Entonces:

0

2

0 0 0

1( ) ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rktr r

kt

ceE X t X t X t r r t t

ce

σ−

−

− = − − −

.

Luego, los momentos centrados en el origen tienen la expresión:


35


0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = =

0

2

0 0

1( ) exp ( 1)( )

1 2

rktr

kt

ceE X t r r t t

ce

σ−

−

−= − − = −

0

2

0 0

1( ) exp ( 1)( )

1 2

rktr

kt

ceE X t r r t t

ce

σ−

−

− = − − −

.

Para 1r = , obtenemos la función media, momento centrado de orden 1, que coincide con la obtenida en el apartado anterior:

[ ] [ ]00

1( ) ( )

1

kt

kt

ceE X t E X t

ce

−

−

−= − .

Para 2r = , momento centrado de orden 2:

( )0

2

2 2 20 0

1( ) ( ) exp ( )

1

kt

kt

ceE X t E X t t t

ceσ

−

−

− = − −

.

Con estos dos momentos, podemos calcular la varianza de ( )X t de la forma:

[ ] [ ]22( ) ( ) ( )Var X t E X t E X t = − =

( ) [ ]0 0

2 222 2

0 0 0

1 1( ) exp ( ) ( )

1 1

kt kt

kt kt

ce ceE X t t t E X t

ce ceσ

− −

− −

− − = − − − −

[ ] ( ) [ ] ( )( )0

222 2

0 0 0 0

1( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1

1

kt

kt

ceVar X t t t E X t t t

ceσ σ

−

−

− = − + − − − .

1.41.41.41.4....3. Momentos cruzados. Función c3. Momentos cruzados. Función c3. Momentos cruzados. Función c3. Momentos cruzados. Función covarianzaovarianzaovarianzaovarianza

Para el cálculo de los momentos cruzados comenzamos distinguiendo dos casos:

-Sea t s> , entonces, sabemos que:

1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X s E X s E X t X s = = .

De forma análoga al cálculo de los momentos respecto al origen del apartado anterior, deducimos que:

1

1 1

2

1 1

1( ) ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rktr r

ks

ceE X t X s X s r r t s

ce

σ−

−

− = − − −

,

y, por tanto:

1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r rE X t X s E X s E X t X s = =


36


1

2 1

2

1 1

1( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rktr r

ks

ceE X s X s r r t s

ce

σ−

−

−= − − = −

1

1 2

2

1 1

1( ) exp ( 1)( )

1 2

rktr r

ks

ceE X s r r t s

ce

σ−+

−

− = − − −

.

-Sea t s< , entonces, de forma análoga:

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rE X t X s E E X t X s X t E X t E X s X s = = =

2

1 2

2

2 2

1( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rksr r

kt

ceE X t X t r r s t

ce

σ−

−

−= − − = −

2

1 2

2

2 2

1( ) exp ( 1)( )

1 2

rksr r

kt

ceE X t r r s t

ce

σ−+

−

− = − − −

.

Conociendo los momentos cruzados, basta considerar aquél con 1 2 1r r= = , y las

funciones medias de los procesos, para calcular la covarianza:

-Si t s> , entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ]( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s= = − =

[ ] [ ]2 1 1( ) ( ) ( )

1 1

kt kt

ks ks

ce ceE X s E X s E X s

ce ce

− −

− −

− − = − = − −

[ ] 1( )

1

kt

ks

ceVar X s

ce

−

−

−= − .

-Si t s< , entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ]( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s= = − =

[ ] [ ]2 1 1( ) ( ) ( )

1 1

ks ks

kt kt

ce ceE X t E X t E X t

ce ce

− −

− −

− − = − = − −

[ ] 1( )

1

ks

kt

ceVar X t

ce

−

−

−= − .

Luego, una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:

[ ]( )

( )

1( , ) ( )

1

k t s

k t s

ceC s t Var X t s

ce

− ∨

− ∧

−= ∧ − ,

siendo { }min ,t s t s∧ = y { }max ,t s t s∨ = .


37



IIIIntroducntroducntroducntroducción de terapias en elción de terapias en elción de terapias en elción de terapias en el proce proce proce proce---- so Bso Bso Bso Bertalanffyertalanffyertalanffyertalanffy:::: estudio probabilístico estudio probabilístico estudio probabilístico estudio probabilístico de los modelos obtenidosde los modelos obtenidosde los modelos obtenidosde los modelos obtenidos

Hasta ahora hemos estudiado el proceso Bertalanffy, definido como un proceso de

difusión { }0( );X t t t≥ con valores en +R y con momentos infinitesimales:

1( , )kt

ckA x t x

e c=

− y 2 2

2( , )A x t xσ= .

En este capítulo vamos a considerar la alteración del modelo de difusión mediante la inclusión de funciones terapéuticas que modifiquen su comportamiento. Para ello, introduciremos en su tendencia un término exógeno por medio de una función ( )C t

dependiente del tiempo.

Existen diferentes posibilidades de insertar funciones terapéuticas. En los apartados siguientes, se estudiarán varias formas posibles. En todos ellos comenzaremos

definiendo un nuevo proceso { }0( );CX t t t≥ con momentos infinitesimales que lleven

incluida la función terapia.

Una vez tengamos definidos los nuevos procesos con terapia, obtendremos su distribución, la expresión de las trayectorias, así como sus principales características. Este estudio se hará de forma análoga al realizado para el proceso Bertalanffy del capítulo anterior.

Además, en este capítulo se incluye un estudio de simulación que permite mostrar de forma gráfica la influencia de diversas funciones terapia en los modelos


38


introducidos. Este estudio es de gran importancia ya que proporciona información sobre qué modelo podría ser más apropiado para modelizar datos reales en presencia de una terapia que muestren un comportamiento modificado frente a los datos que se obtendrían en ausencia de dicha terapia.

2222....1. 1. 1. 1. Modelo Modelo Modelo Modelo IIII: Función Terapia afectando a: Función Terapia afectando a: Función Terapia afectando a: Función Terapia afectando al proceso de l proceso de l proceso de l proceso de

crecimiento.crecimiento.crecimiento.crecimiento.

Sea { }1 0( );CX t t t≥ un proceso de difusión que toma valores en +R y con media y

varianza infinitesimal:

1 ( , ) ( )Ckt

ckA x t C t x

e c = − −

y 2 22 ( , )CA x t xσ= ,

donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T y c, k y σ representan a los mismos

parámetros vistos en el proceso de Bertalanffy estudiado en el capítulo anterior.

Nos centramos a continuación en el estudio de este nuevo proceso.

2222....1111.1.1.1.1.... Distribución y expresión de las trayectorias del proceso Distribución y expresión de las trayectorias del proceso Distribución y expresión de las trayectorias del proceso Distribución y expresión de las trayectorias del proceso

De la misma forma que se hizo para el proceso Bertalanffy, la distribución del proceso puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución en este caso de:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C Ckt

ckdX t C t X t dt X t dW t

e cσ = − + −

1 0 0( )CX t x= ,

donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar, o mediante las ecuaciones en


2 2

22

( )2

CC C

kt

f ckC t xf x f

t e c x x

σ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ − ∂ ∂ , 00,x t t> ≥

2 2

20 0 2

0 0 0

( )2

C C C

kt

f ck f fC t x x

t e c x x

σ∂ ∂ ∂ + − + ∂ − ∂ ∂ , 0 00,x t t> ≥ .

Demostraremos que la función de densidad de probabilidad de transición del proceso en este caso es:


39


22

22

1ln ln ( ) ( )

1 21 1( , , ) exp

2 ( )2 ( )

kt t

ks sC

x ceC d t s

y cef x t y s

t sx t s

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − = − −−

∫, s t< ,


22

1 1

1( ) ( ) ln ln ( ) ( );( )

1 2

kttC C

ks s

ceX t X s y y C d t s t s

ce

σθ θ σ−

−

− = Λ + − − − − − ∫∼ .

Cálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectoriasCálculo de las trayectorias

Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C Ckt

ckdX t C t X t dt X t dW t

e cσ = − + −

(2.1)

1 0 0( )CX t x= ,


Comenzaremos estudiando la existencia y unicidad de solución de dicha ecuación, mediante la aplicación del Teorema 1.1 del Capítulo 1:

Si lo aplicamos a la ecuación diferencial (2.1), con la que vamos a trabajar, se cumplen las condiciones establecidas en el mismo, puesto que, siendo:

( , ) ( )kt

cka x t C t x

e c = − −

y ( , )b x t xσ= , se tiene:


( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )kt kt

ck cka x t a y t b x t b y t C t x C t y x y

e c e cσ σ − + − ≤ − − − + − = − −

( ) ( )kt kt

ck ckC t x y x y C t x y

e c e cσ σ = − − + − = − + − ≤ − −

[ ]0 ,

( )ktt t T

ckMax C t x y K x y

e cσ

∈

≤ − + − ≤ − − .


2 2

2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , ) ( ) ( )kt kt

ck cka x t b x t C t x x C t x

e c e cσ σ

+ ≤ − + = − + ≤ − −


40


2

2 2( ) (1 )kt

ckC t x

e cσ

≤ − + + ≤ −

[ ]0

22 2 2

,( ) (1 ) (1 )

ktt t T

ckMax C t x K x

e cσ

∈

≤ − + + ≤ + − ,

donde [ ] [ ]0 0

22

, ,( ) ; ( )

kt ktt t T t t T

ck ckK Max Max C t Max C t

e c e cσ σ

∈ ∈

= − + − + − − , por lo que se

cumple que existe solución y es única.

Pasemos a continuación a obtenerla:

Para la resolver la ecuación propuesta vamos a considerar el cambio de variable

1 1( ) ln( ( ))C CY t X t= que, en aplicación de la fórmula de ɵIto (Teorema 1.2), tiene por

ecuación diferencial estocástica:

2

2

21

1 1 11 11

( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( )( )

CC C C

kt C CC

X tckdY t C t X t dt X t dW t

e c X t X tX t

σ σ = − − + = −

2

( ) ( )2kt

ckC t dt dW t

e c

σ σ = − − + −

.

Luego, queremos resolver:

2

1 ( ) ( ) ( )2

Ckt

ckdY t C t dt dW t

e c

σ σ = − − + −

1 0 0 0( ) ln( )CY t y x= = ,

cuya solución viene determinada, a partir de la ecuación integral de ɵIto , por:

0 0

2

1 0( ) ( ) ( )2

t tCkt t

ckY t y C d dW s

e cθσθ θ σ

= + − − + = − ∫ ∫

0 0 0 0

2

0 ( ) ( ) ( )2

t t t t

kt t t t

cky d C d d s dW s

e cθσθ θ θ σ = + − − + = −

∫ ∫ ∫ ∫

0 0

2

0 0 0

1ln ( ) ( ) ( ( ) ( ))

1 2

ktt

kt t

cey C d t t W t W t

ce

σθ θ σ−

−

−= + − − − + − − ∫ .

La solución de la ecuación diferencial (2.1), la obtenemos deshaciendo el cambio de variable propuesto para la resolución:


41


0 0

2

1 1 0 0 0

1( ) exp( ( )) exp ln ( ) ( ) ( ( ) ( ))

1 2

kttC C

kt t

ceX t Y t y C d t t W t W t

ce

σθ θ σ−

−

−= = + − − − + − = − ∫

( )0 0

2

0 0 0

1exp ( ) exp ( ( ) ( )) ( )

1 2

ktt

kt t

cex C d W t W t t t

ce

σθ θ σ−

−

−= − − − − − ∫ ,

obteniendo así las trayectorias del proceso 1 ( )CX t .

Distribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de Komogorov

Nos centramos ahora en la obtención de la distribución del proceso de difusión del modelo I, mediante las ecuaciones parciales de Kolmogorov, con las que demostraremos que siguen una distribución lognormal.

Como ya habíamos adelantado al comienzo, las ecuaciones de Fokker-Plank adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para nuestro caso son:

2 2

22

( , , )( ) ( , , ) ( , , )

2

CC C

kt

f x t y s ckC t xf x t y s x f x t y s

t e c x x

σ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ − ∂ ∂ , 0,x t s> ≥

22

22

( , , ) ( , , ) ( , , )( ) 0

2

C C C

kt

f x t y s f x t y s f x t y sckC t y y

s e c y y

σ∂ ∂ ∂ + − + = ∂ − ∂ ∂ , 0,y t s> ≥ .

Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones:

1 ( , ) ( )Ckt

ckA x t C t x

e c = − −

y 2 22 ( , )CA x t xσ= ,

conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, utilizamos los teoremas vistos en el capítulo 1.

Si aplicamos el Teorema 1.4 a nuestras funciones 1 ( , )CA x t y 2 ( , )CA x t , se cumplen

las condiciones exigidas en el mismo:

1.

1.a) Se tiene: 21 ( , ) ( ) 1C

kt

ckA x t C t x M x

e c= − ≤ +

−, puesto que 21x x≤ +

y siendo M el máximo de la función ( ) ( )kt

ckh t C t

e c= −

− (M existe ya que

( )h t es continua en un intervalo cerrado y acotado).

1.b) Se tiene: 22 ( , ) 1CA x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > , existe


220 ( , ) 1CA x t x xσε σ σ< < = ≤ + .


42



21 ( , ) 1CA x t K x≤ + y 2

0 20 ( , ) 1CA x t K xσ< ≤ ≤ + .


2.a) Se tiene: 1 1( , ) ( , ) ( )C Ckt

ckA x t A y t C t x y M x y

e c− = − − ≤ −

−.

2.b) En este caso se tiene: 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t x y x yσ σ σ− = − ≤ − .


1 1( , ) ( , )C CA x t A y t K x yγ− ≤ − y 2 2( , ) ( , )C CA x t A y t K x y

γ− ≤ − .


1 ( , ) ( )

C

kt

A x t ckC t

x e c

∂ = −∂ −

22 ( , ) 2

CA x tx

xσ∂ =

∂

222

2

( , ) 2

CA x t

xσ∂ =

∂,




2) Existe un proceso de Markov [ ]{ }0( ); ,CX t t t T∀ ∈ con trayectorias continuas,

que verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función

de distribución de transición ( , , )CF x t y s .


( , , )C

C F x t y sf x t y s

x

∂=



Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar, como ya se hizo en el capítulo anterior para el proceso Bertalanffy sin terapias.


' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=

' ( )t tφ= ' ( )s sφ=

Veamos si se verifican las condiciones del Teorema 1.5; en este proceso, concretamente:


43


( )

12

2 2 2221 1 3

22

( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1

( , ) ( )4 2

( , )

CC

CCxC

zC


xA y t

∂+ ∂ ∂= + + ∂

∫ .

Sustituyendo se tiene:

( )

2 22 2

1 32 2 2

( )1( ) 2 ( )

4 2

x

kt z

C t yck xC t x x C t dy

e cy

σσσσ

− = + + = −

∫

21 2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

x

z

x xx C t C t dy

y

σ σσσ

= + + =∫

21 2

1( ) ( ) ln

2 2 2

x x xx C t C t

z

σσ = + +

.

Si consideramos 2( ) 0C t = se tiene:

21

1( ) ( )

2 2kt

ckC t C t

e c

σσ − = + − ,


2

1

2( ) ( )

2kt

ckC t C t

e c

σσ

= − − − .


11 2

121

( )1 1' ( , ) ( ) exp 0

2 2

t x

s z

kx x t k du dy

yψ

σ = = − − ×

∫ ∫

2

2

2

2 1( ) exp 0

2 2

t

kt s

ckC du d k

e c

θ

θσθ θ

σ × − − − + = −

∫ ∫

2

1 122 2

1 12

( ) ( )1( )

2

x t

kz t

k k ckdy C d k

y e cθσθ θ

σ σ

= − − − + = − ∫ ∫

2 2

1 122 2

1 12 2

( ) ( ) 1ln ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

k kx ceC d t t k

z ce

σθ θσ σ

−

−

− = − − − − + = − ∫

2 2

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 12 2

( ) ( ) ( ) ( )1ln ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

k k k kx ceC d t t k

z ceθ θ σ

σ σ σ

−

−

− = − + + − + = − ∫

2 2

12

1 2 2

1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

x cek C d t t k

z ce

σθ θσ σ σ

−

−

− = − + + − + − ∫ .

( )1 1

1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t


θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .


44



2 2

12

1 2 2

1 1 1 1' ' ( ) ln ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

x cex y k C d t t k

z ce

σθ θσ σ σ

−

−

− − = − + + − + − − ∫

2 2

1

21 2 2

1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )

1 2

kss

kt t

y cek C d s t k

z ce

σθ θσ σ σ

−

−

− − − + + − − = − ∫

12

1

1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )

1 2

ktt

ks s

x cek C d t s

y ce

σθ θσ σ σ

−

−

−= − + + − − ∫ .

1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .

Como

1

21( , ) kx t

x x

ψσ

∂ =∂


por la expresión:

( )1

22 11( , ) ( ' ')

( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')

C kx t x yf x t y s f x t y s t s

x x t s

ψ πσ

− ∂ −= = − − = ∂ −

21

211

21

211

1 1 1 1( ) ln ln ( ) ( )

1 21exp

2 ( )2 ( )

kt t

ks s

x cek C d t s

y cek

k t sx k t s

σθ θσ σ σ

πσ

−

−

− − + + − − = − = −−

∫

22

22

1ln ln ( ) ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt t

ks s

x ceC d t s

y ce

t sx t s

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − = − −−

∫ ,

que coincide con la función de densidad de una distribución lognormal, por lo que:

22

1 1 1

1( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )

1 2

kttC C

ks s


ce

σθ θ σ−

−

−= Λ + − − − − − ∫∼ .

Como el proceso es de Markov, para calcular las distribuciones uni y bidimensionales, basta seleccionar la distribución inicial del proceso. Trataremos los casos en los que la distribución inicial es degenerada y en los que la distribución inicial

es una lognormal 21 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ .

Para obtener estas distribuciones utilizaremos la función de densidad de transición

del proceso para 1 1 0 0( ) ( )C CX t X t x= :

0 0

22

1 1 0 0 1 0 0 0

1( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )

1 2

kttC C

kt t

ceX t X t x x C d t t t t

ce

σθ θ σ−

−

−= Λ + − − − − − ∫∼ .


45


Distribución inicial Degenerada

Si la distribución inicial es degenerada, 1 0 0( ) 1CP X t x = = , entonces, la distribución

unidimensional de 1 ( )CX t coincide con la distribución de 1 1 0 0( ) ( )C CX t X t x= , luego su

función de densidad viene dada por:

0 0

22

00

0 0 2200

1ln ln ( ) ( )

1 21 1( , ) ( , , ) exp

2 ( )2 ( )

kt t

kt tC C

x ceC d t t

x cef x t f x t x t

t tx t t

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − = = − −−

∫,

es decir,

0 0

22

1 1 0 0 0

1( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )

1 2

kttC

kt t

ceX t x C d t t t t

ce

σθ θ σ−

−

−Λ + − − − − − ∫∼

Para obtener la distribución conjunta de ( )1 1( ), ( ) 'C CX t X s debemos distinguir dos

casos:


( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t y s f y s f x t y s= =

0

0

22

00

2200

1ln ln ( ) ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

ks s

kt t

y ceC d s t

x ce

s ty s t

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − = − × −−

∫

22

22

1ln ln ( ) ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt t

ks s

x ceC d t s

y ce

t sx t s

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − × − = −−

∫

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

1ln( ) ln ( ) ( )

1 2

1ln( ) ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

kss

kt t

cex C d t t

ce

cex C d s t

ce

σθ θµ

σθ θ

−

−

−

−

−+ − − − − = − + − − − −

∫

∫

y 0 02

0 0

t t s t

s t s tσ

− − ∑ = − −

.


46



( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:

0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

1ln( ) ln ( ) ( )

1 2

1ln( ) ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

kss

kt t

cex C d t t

ce

cex C d s t

ce

σθ θµ

σθ θ

−

−

−

−

−+ − − − − = − + − − − −

∫

∫

y 0 02

0 0

t t t t

t t s tσ

− − ∑ = − −

.


( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

1ln( ) ln ( ) ( )

1 2

1ln( ) ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

kss

kt t

cex C d t t

ce

cex C d s t

ce

σθ θµ

σθ θ

−

−

−

−

−+ − − − − = − + − − − −

∫

∫

,

0 02

0 0

( )

( )

t t s t t

s t t s tσ

− ∧ − ∑ = ∧ − −

.

Distribución inicial lognormal

Para el caso de distribución inicial lognormal, 21 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , consideramos que

la terapia en el instante inicial es cero, 0( ) 0C t = . La función de densidad de

( )1 0 1( ), ( ) 'C CX t X t es:

0 0 0 0 0 0( , ; , ) ( , ) ( , , )C C Cf x t x t f x t f x t x t= =

( )( )2

0 0

2200 0

ln1 1exp

22

x

x

µσπσ

− = − ×

0

0

22

00

2200

1ln ln ( ) ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt t

kt t

x ceC d t t

x ce

t tx t t

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − × − = −−

∫

( ) ( )11

20

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xxµ µ

π

− = − − ∑ − ∑

.

Luego, ( )1 0 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X t µΛ ∑∼ , con:


47


0 0

0

2

0 0

1ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

ceC d t t

ce

µµ σµ θ θ

−

−

= − + − − − −

∫ y

2 20 02 2 20 0 0( )t t

σ σσ σ σ

∑ = − + .


0 0

22 2

1 1 0 0 0

1( ) ln ( ) ( ), ( )

1 2

kttC

kt t

ceX t C d t t t s

ce

σµ θ θ σ σ−

−

−Λ + − − − − + − ∫∼ .

Para obtener la distribución conjunta de ( )1 1( ), ( ) 'C CX t X s distinguimos, igual que

antes, dos casos:



( )

00

22

0 0

2 22 20 00 0

1ln ln ( ) ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( ( ) )

ks s

kt t

cey C d s t

ce

s ty s t

σµ θ θ

σ σπ σ σ

−

−

− − − + + − − = − × − +− +

∫

22

22

1ln ln ( ) ( )

1 21 1exp

2 ( )2 ( )

kt t

ks s

x ceC d t s

y ce

t sx t s

σθ θ

σπσ

−

−

− − + + − − × − = −−

∫

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

1ln ( ) ( )

1 2

1ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

kss

kt t

ceC d t t

ce

ceC d s t

ce

σµ θ θµ

σµ θ θ

−

−

−

−

−+ − − − − = − + − − − −

∫

∫

y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t s t

s t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:


48


0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

1ln ( ) ( )

1 2

1ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

kss

kt t

ceC d t t

ce

ceC d s t

ce

σµ θ θµ

σµ θ θ

−

−

−

−

−+ − − − − = − + − − − −

∫

∫

y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t t t

t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + −


( )1 1 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

1ln ( ) ( )

1 2

1ln ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

kss

kt t

ceC d t t

ce

ceC d s t

ce

σµ θ θµ

σµ θ θ

−

−

−

−

−+ − − − − = − + − − − −

∫

∫

y

2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0

( ) (( ) )

(( ) ) ( )

t t s t t

s t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −

∑ = + ∧ − + − .


2222.1.2. .1.2. .1.2. .1.2. Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso

Conocidas las distribuciones finitodimensionales, vamos a obtener las principales medidas de posición y momentos asociados al proceso del modelo I. Sabemos, por el

apartado anterior que para una distribución inicial lognormal, 21 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , la

distribución de las variables del proceso es:

0 0

22 2

1 1 0 0 0

1( ) ln ( ) ( ), ( )

1 2

kttC

kt t

ceX t C d t t t s

ce

σµ θ θ σ σ−

−

−Λ + − − − − + − ∫∼ ,


22

1 1 1

1( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ), ( )

1 2

kttC C

ks s


ce

σθ θ σ−

−

−= Λ + − − − − − ∫∼ .

Funciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantiles


1( ) ( )C Cm t E X t = =


49


0 0

2 220 0

0 0

( )1exp ln ( ) ( ) ( )

1 2 2

ktt

kt t

t tceC d t t

ce

σ σσµ θ θ−

−

− +−= + − − − + = − ∫

( )0 01 0

1( ) exp ( ) ( )

1

kttC

kt t

ceE X t C s d s

ce

−

−

− = − − ∫ , 0t t≥ .

• Función Moda :

1( ) ( )C CMo t Mo X t = =

0 0

22 2

0 0 0 0

1exp ln ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

1 2

ktt

kt t

ceC d t t t t

ce

σµ θ θ σ σ−

−

−= + − − − − − + = − ∫

( )0 0

21 0 0

1 3( ) exp ( ) ( ) exp ( )

1 2

kttC

kt t

ceMo X t C d t t

ceθ θ σ

−

−

− = − − − − ∫ , 0t t≥ .


( )( ) ( )C CC t cuantil X tα α = − =

0 0

22 2

0 0 1 0 0

1exp ln ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

ktt

kt t

ceC d t t Z t t

ce ασµ θ θ σ σ

−

−−

−= + − − − + − + = − ∫

( )[ ] ( )0 00

1( ) exp ( ) ( )

1

ktt

kt t

cecuantil X t C d

ceα θ θ

−

−

−= − − ×− ∫

[ ] [ ]2

20 1 0 0 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))

2t t Z t t Var X t Var X tα

σ σ− × − − + − + −

.



1 1( ) ( ) ( )C C Cm t s E X t X s y = = =

2 21 ( )exp ln( ) ln ( ) ( )

1 2 2

ktt

ks s

ce t sy C d t s

ce

σ σθ θ−

−

− −= + − − − + = − ∫

( )1exp ( )

1

ktt

ks s

cey C d

ceθ θ

−

−

−= −− ∫ , t s> .


50



1 1( ) ( ) ( )C C CMo t s Mo X t X s y = = =

221

exp ln( ) ln ( ) ( ) ( )1 2

ktt

ks s

cey C d t s t s

ce

σθ θ σ−

−

−= + − − − − − = − ∫

( ) 21 3exp ( ) exp ( )

1 2

ktt

ks s

cey C d t s

ceθ θ σ

−

−

− = − − − − ∫ , t s> .


( ) 1 1( ) ( ) ( )C C CC t s cuantil X t X s yα α = − = =

22

1

1exp ln( ) ln ( ) ( ) ( )

1 2

ktt

ks s

cey C d t s Z t s

ce ασθ θ σ

−

−−

−= + − − − + − = − ∫

( ) 22

1

1exp ( ) exp ( ) ( )

1 2

ktt

ks s

cey C d t s Z t s

ce ασθ θ σ

−

−−

− = − − − + − − ∫ , t s> .


MomeMomeMomeMomentos unidimensntos unidimensntos unidimensntos unidimensionales. Función vionales. Función vionales. Función vionales. Función varianzaarianzaarianzaarianza

Sabemos que los momentos centrados en el origen de cualquier orden pueden obtenerse mediante la expresión:

0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = .

Puesto que:

1 1 0 0( ) ( )C r CE X t X t x = =

0 0

22 2

0 0 0

1 1exp ln( ) ln ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2

ktt

kt t

cer x C d t t r t t

ce

σθ θ σ−

−

−= + − − − + − = − ∫

( )0 0

2

0

1exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttr

o kt t

cex r C d r r t t

ce

σθ θ−

−

−= − − − − ∫ .

Entonces:

( )0 0

2

1 1 0 1 0 0

1( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttC r C C r

kt t

ceE X t X t X t r C d r r t t

ce

σθ θ−

−

− = − − − − ∫ .



51


1 1 1 0( ) ( ) ( )C r C r CE X t E E X t X t = =

( )0 0

2

1 0 0

1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttC r

kt t

ceE X t r C d r r t t

ce

σθ θ−

−

−= − − − = − ∫

( )0 0

2

1 0 0

1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttC r

kt t

ceE X t r C d r r t t

ce

σθ θ−

−

− = − − − −

∫ .


( )0 01 1 0

1( ) ( ) exp ( ) ( )

1

kttC C

kt t

ceE X t E X t C d

ceθ θ

−

−

− = − −

∫ .


( ) ( )0 0

2

2 2 21 1 0 0

1( ) ( ) exp 2 ( ) ( ) exp ( )

1

kttC C

kt t

ceE X t E X t C d t t

ceθ θ σ

−

−

− = − − −

∫ .

Con estos dos momentos, podemos calcular la varianza de 1 ( )CX t de la forma:

22

1 1 1( ) ( ) ( )C C CVar X t E X t E X t = − =

( ) ( )0 0

2

2 21 0 0

1( ) exp 2 ( ) ( ) exp ( )

1

kttC

kt t

ceE X t C d t t

ceθ θ σ

−

−

− = − − − −

∫

( )0 0

22

1 0

1( ) exp 2 ( ) ( )

1

kttC

kt t

ceE X t C d

ceθ θ

−

−

− − − = −

∫

( ) ( ) ( )( )0 0

222 2

1 0 0 1 0 0

1exp 2 ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1

1

kt t C Ckt t

ceC d Var X t t t E X t t t

ceθ θ σ σ

−

−

− = − − + − − − ∫

Momentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función covarianzaovarianzaovarianzaovarianza



De forma análoga al cálculo de los momentos respecto al origen del apartado anterior, tenemos que:

( )1

1 1

2

1 1 1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttr rC C C

ks s

ceE X t X s X s r C d r r t s

ce

σθ θ−

−

− = − − − − ∫ .

y, por tanto:

1 2 2 11 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r rC C C C CE X t X s E X s E X t X s = =


52


( )1

2 1

2

1 1 1 1 1

1( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttr rC C

ks s

ceE X s X s r C d r r t s

ce

σθ θ−

−

−= − − − = − ∫

( )1

1 2

2

1 1 1 1

1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkttr rC

ks s

ceE X s r C d r r t s

ce

σθ θ−

+−

− = − − − −

∫ .


1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r rC C C C C C C CE X t X s E E X t X s X t E X t E X s X s = = =

( )2

1 2

2

1 1 2 2 2

1( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkssr rC C

kt t

ceE X t X t r C d r r s t

ce

σθ θ−

−

−= − − − = − ∫

( )2

1 2

2

1 2 2 2

1( ) exp ( ) ( ) exp ( 1)( )

1 2

rkssr rC

kt t

ceE X t r C d r r s t

ce

σθ θ−

+−

− = − − − −

∫ .

Conociendo los momentos cruzados, basta considerar 1 2 1r r= = , y la función media

del proceso, para calcular la covarianza:


1 1 1 1 1 1( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CC s t Cov X t X s E X t X s E X t E X s = = − =

( )21

1( ) exp ( ) ( )

1

kttC

ks s

ceE X s C d

ceθ θ

−

−

− = − − −

∫

( )1 1

1( ) exp ( ) ( ) ( )

1

kttC C

ks s

ceE X s C d E X s

ceθ θ

−

−

− − − = −

∫

( )1

1( ) exp ( ) ( )

1

kttC

ks s

ceVar X s C d

ceθ θ

−

−

− = − −

∫ .



( )21

1( ) exp ( ) ( )

1

kssC

kt t

ceE X t C d

ceθ θ

−

−

− = − − −

∫

( )1 1

1( ) exp ( ) ( ) ( )

1

kssC C

kt t

ceE X t C d E X t

ceθ θ

−

−

− − − = −

∫

( )1

1( ) exp ( ) ( )

1

kssC

kt t

ceVar X t C d

ceθ θ

−

−

− = − −

∫ .

Una vez visto los dos casos, una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:


53


( )( )

1 ( )

1( , ) ( ) exp ( ) ( )

1

k t st sC

k t s t s

ceC s t Var X t s C d

ceθ θ

− ∨ ∨

− ∧ ∧

− = ∧ − −

∫ ,


2222....2. 2. 2. 2. Modelo Modelo Modelo Modelo IIIIIIII: F: F: F: Función terapia unción terapia unción terapia unción terapia afectandoafectandoafectandoafectando al parámetro c al parámetro c al parámetro c al parámetro c

Sea { }2 0( );CX t t t≥ un proceso de difusión que toma valores en +R , con media y


1

( ( ))( , )

( ( ))C

kt

c C t kA x t x

e c C t

−= − − y 2 2

2 ( , )CA x t xσ= ,


parámetros vistos en el proceso Bertalanffy estudiado en el capítulo anterior.

Debemos tener en cuenta que estamos afectando con una terapia a un parámetro del proceso que debe cumplir las condiciones impuestas por la curva de von Bertalanffy. Como vimos en el capítulo primero, el parámetro c, debía cumplir que:

00 t kc e< < .

Luego, el hecho de que quede afectado por una terapia implicaría condiciones para dicha función, para que esta restricción se siga cumpliendo, C(t) debe verificar:

00 ( ) t kc C t e< − < 0 0t t k∀ ≥ > ,

o, equivalentemente,

0 ( )t kc e C t c− < < 0 0t t k∀ ≥ > .

Realizamos a continuación el estudio probabilístico del proceso.

2222....2.12.12.12.1.... Distribución y exp Distribución y exp Distribución y exp Distribución y expresión de las trayectorias del proceso resión de las trayectorias del proceso resión de las trayectorias del proceso resión de las trayectorias del proceso

Como ya hemos comentado, la distribución del proceso puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución en este caso de:

( ( ))( ) ( ) ( ) ( )

( ( ))C C C

kt

c C t kdX t X t dt X t dW t

e c C tσ −= + − −

0 0( )CX t x= ,




54


2 2

22

( ( ))

( ( )) 2

CC C

kt

f c C t kxf x f

t e c C t x x

σ ∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − − ∂ ∂

, 00,x t t> ≥

22

20 0 2

0 0 0

( ( ))

( ( )) 2

C C C

kt

f f fc C t kx x

t e c C t x x

σ ∂ ∂ ∂−+ + ∂ − − ∂ ∂ , 0 00,x t t> ≥ .

Igual que para el proceso Bertalanffy, demostraremos que la función de densidad de probabilidad de transición del proceso en este caso es:

22

22

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1( , , ) exp

2 ( )2 ( )

t

ksC

x c C kd t s

y e c Cf x t y s

t sx t s

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − = − −−

∫, s t< ,


22

2 2

( ( ))( ) ( ) ln ( ); ( )

( ( )) 2

tC CksC

c C kX t X s y y d t s t s

e c Cθθ σθ σ

θ − = Λ + − − − − −

∫∼ .



2 2 2

( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ))C C C

kt

c C t kdX t X t d t X t dW t

e c C tσ −= + − −

(2.2)

2 0 0( )CX t x= ,

donde ( )W t denota un proceso Wiener estandar.

La existencia y unicidad de solución de dicha ecuación, se tiene aplicando el Teorema 1.1 del Capítulo 1, viendo que se cumplen las condiciones impuestas en el mismo.

En este caso, ( ( ))

( , )( ( ))kt

c C t ka x t x

e c C t

−= − − y ( , )b x t xσ= , y se tiene:


( ( )) ( ( ))

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ( )) ( ( ))kt kt

c C t k c C t ka x t a y t b x t b y t x y x y

e c C t e c C tσ σ − −− + − ≤ − + − = − − − −

( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))kt kt

c C t k c C t kx y x y x y

e c C t e c C tσ σ

− −= − + − = + − ≤ − − − −


55


[ ]0 ,

( ( ))

( ( ))ktt t T

c C t kMax x y K x y

e c C tσ

∈

−≤ + − ≤ − − − .


2 22 2 2 2 2 2 2( ( )) ( ( ))

( , ) ( , )( ( )) ( ( ))kt kt

c C t k c C t ka x t b x t x x x


− − + ≤ + = + ≤ − − − −

2

2 2( ( ))(1 )

( ( ))kt

c C t kx

e c C tσ

− ≤ + + ≤ − −

[ ]0

2

2 2 2

,

( ( ))(1 ) (1 )

( ( ))ktt t T

c C t kMax x K x

e c C tσ

∈

− ≤ + + ≤ + − −

,

donde [ ] [ ]0 0

2

2

, ,

( ( )) ( ( ));

( ( )) ( ( ))kt ktt t T t t T

c C t k c C t kK Max Max Max


∈ ∈

− − = + + − − − −

, por lo que

se cumple que existe solución y es única. Calculemos dicha solución:


2 2( ) ln( ( ))C CY t X t= que en aplicación de la fórmula de ɵIto (Teorema 1.2), tiene por


2

2

22

2 2 22 22

( )( ( )) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) 2 ( )( )

CC C C

kt C CC

X tc C t kdY t X t dt X t dW t

e c C t X t X tX t

σ σ −= − + = − −

2( ( ))( )

( ( )) 2kt

c C t kdt dW t

e c C t

σ σ −= − + − − .

Luego, queremos resolver:

2

2

( ( ))( ) ( )

( ( )) 2C

kt

c C t kdY t dt dW t

e c C t

σ σ −= − + − −

2 0 0 0( ) ln( )CY t y x= = ,


0 0

2

2 0

( ( ))( ) ( )

( ( )) 2

t tCkt t

c C kY t y d dW s

e c Cθθ σ θ σ

θ −= + − + = − − ∫ ∫


56


0 0 0

2

0

( ( ))( )

( ( )) 2

t t t

kt t t

c C ky d d dW s

e c Cθθ σθ θ σ

θ −= + − + = − −

∫ ∫ ∫

0

2

0 0 0

( ( ))( ) ( ( ) ( ))

( ( )) 2

t

kt

c C ky d t t W t W t

e c Cθθ σθ σ

θ −= + − − + − − −

∫ . (2.3)


0

2

2 2 0 0 0

( ( ))( ) exp( ( )) exp ( ) ( ( ) ( ))

( ( )) 2

tC Ckt

c C kX t Y t y d t t W t W t

e c Cθθ σθ σ

θ −= = + − − + − = − −

∫

0

2

0 0 0

( ( ))exp ( ) exp ( ( ) ( )) ( )

( ( )) 2

t

kst

c C s kx d s W t W t t t

e c C s

σσ −= − − − − − ∫ ,


Distribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de KomogorovDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de Komogorov

Nos centramos ahora en la obtención de la distribución del proceso de difusión del modelo II, mediante las ecuaciones parciales de Kolmogorov, con las que demostraremos que siguen una distribución lognormal.

Las ecuaciones de Fokker-Plank adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para nuestro caso son:

2 22

2

( , , ) ( ( ))( , , ) ( , , )

( ( )) 2

CC C

kt

f x t y s c C t kxf x t y s x f x t y s

t e c C t x x

σ∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − − ∂ ∂

, 0,x t s> ≥

222

2

( , , ) ( , , ) ( , , )( ( ))0

( ( )) 2

C C C

kt

f x t y s f x t y s f x t y sc C t ky y

s e c C t y y

σ∂ ∂ ∂ −+ + = ∂ − − ∂ ∂ , 0,y t s> ≥ .

Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones,

1

( ( ))( , )

( ( ))C

kt

c C t kA x t x

e c C t

−= − − y

2 22 ( , )CA x t xσ= ,

conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, aplicamos los teoremas vistos en el capítulo 1.

Por el Teorema 1.4 nuestras funciones 1 ( , )CA x t y 2 ( , )CA x t , tienen que cumplir las

condiciones siguientes:


57


1.

1.a) Se tiene: 21

( ( ))( , ) 1

( ( ))C

kt

c C t kA x t x M x

e c C t

−= ≤ +− −

, puesto que

21x x≤ + y siendo M el máximo de la función ( ( ))

( )( ( ))kt

c C t kh t

e c C t

−=− −

(M

existe ya que ( )h t es continua en un intervalo cerrado y acotado).

1.b) Se tiene: 22 ( , ) 1CA x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > , existe


220 ( , ) 1CA x t x xσε σ σ< < = ≤ + .


2

1 ( , ) 1CA x t K x≤ + y 2

0 20 ( , ) 1CA x t K xσ< ≤ ≤ + .

2. (Condición de Hölder).

2.a) Se tiene: 1 1

( ( ))( , ) ( , )

( ( ))C C

kt

c C t kA x t A y t x y M x y

e c C t

−− = − ≤ −− −

.




γ− ≤ − .


1 ( , ) ( ( ))

( ( ))

C

kt

A x t c C t k

x e c C t

∂ −=∂ − −

22 ( , )

2CA x t

xx

σ∂ =∂

222

2

( , ) 2

CA x t

xσ∂ =

∂,








( , , )C


x

∂=




58


Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar.

Igual que en el modelo anterior, las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo:

' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=

' ( )t tφ= ' ( )s sφ=

Veamos si se verifican las condiciones del Teorema 1.5; en este proceso, concretamente

( )

12

2 2 2222 1 3

22

( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1

( , ) ( )4 2

( , )

CC

CCxC

zC


xA y t

∂+ ∂ ∂= + + ∂

∫ .


( )

2 22 2

1 32 2 2

( )( ( )) 12 ( )

( ( )) 4 2

x

kt z

C t yc C t k xx x C t dy

e c C ty

σσσσ

− = + + = − −

∫

2

1 2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

x

z

x xx C t C t dy

y

σ σσσ

= + + =∫

2

1 2

1( ) ( ) ln

2 2 2

x x xx C t C t

z

σσ = + +

.


2

1

( ( )) 1( )

( ( )) 2 2kt

c C t kC t

e c C t

σσ − = + − − ,


2

1

2 ( ( ))( )

( ( )) 2kt

c C t kC t

e c C t

σσ −= − − −

.


11 2

121

( )1 1' ( , ) ( ) exp 0

2 2

t x

s z

kx x t k du dy

yψ

σ = = − − ×

∫ ∫

2

2

2

2 ( ( )) 1exp 0

( ( )) 2 2

t

kt s

c C kdu d k

e c C

θ

θθ σ θ

σ θ − × − − + = − −

∫ ∫

2

1 122 2

1 12

( ) ( )1 ( ( ))

( ( )) 2

x t

kz t

k k c C kdy d k

y e c Cθθ σ θ

σ σ θ −= − − + = − −

∫ ∫


59


2

1 122 2

1 12 2

( ) ( ) ( ( ))ln ( )

( ( )) 2

t

kt

k kx c C kd t t k

z e c Cθθ σθ

σ σ θ − = − − − + = − − ∫

2

1 1 12 2 2

1 1 12 2

( ) ( ) ( )( ( ))ln ( )

( ( )) 2

t

kt

k k kx c C kd t t k

z e c Cθθ θ σ

σ σ θ− = − + − + = − −

∫

2

1

21 2 2

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

( ( )) 2

t

kt

x c C kk d t t k

z e c Cθθ σθ

σ σ θ − = − + − + − −

∫ .

( )1 1

1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t


θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .


2

1

21 2 2

1 1 ( ( ))' ' ( ) ln ( )

( ( )) 2

t

kt

x c C kx y k d t t k

z e c Cθθ σθ

σ σ θ − − = − + − + − − −

∫

2

1

21 2 2

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

( ( )) 2

s

kt

y c C kk d s t k

z e c Cθθ σθ

σ σ θ − − − + − − = − −

∫

12

1

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

( ( )) 2

t

ks

x c C kk d t s

y e c Cθθ σθ

σ σ θ −= − + − − −

∫ .

1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .

Como

1

21( , ) kx t

x x

ψσ

∂ =∂


por la expresión:

( )1

22 11( , ) ( ' ')

( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')


x x t s

ψ πσ

− ∂ −= = − − = ∂ −

21

211

21

211

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

( ( )) 21exp

2 ( )2 ( )

t

ks

x c C kk d t s

y e c Ck

k t sx k t s

θθ σθ

σ σ θ

πσ

− − + − − − = − = −−

∫

22

22

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1exp

2 ( )2 ( )

t

ks

x c C kd t s

y e c C

t sx t s

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − = − −−

∫ ,



60


22

2 2 1

( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )

( ( )) 2

tC Cks


e c Cθθ σθ σ

θ −= → Λ + − − − − −

∫ .

Pasamos ahora a calcular las distribuciones uni y bidimensionales como hicimos en los otros modelos. Para obtener estas distribuciones utilizaremos la función de

densidad de transición del proceso para 2 2 0 0( ) ( )C CX t X t x= :

0

22

2 2 0 0 1 0 0 0

( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )

( ( )) 2

tC Ckt

c C kX t X t x x d t t t t

e c Cθθ σθ σ

θ −= Λ + − − − − −

∫∼ .


Si la distribución inicial es degenerada, 2 0 0( ) 1CP X t x = = , la distribución



0

22

00

0 0 2200

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1( , ) ( , , ) exp

2 ( )2 ( )

t

ktC C

x c C kd t t

x e c Cf x t f x t x t

t tx t t

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − = = − −−

∫.

es decir,

0

22

2 1 0 0 0

( ( ))( ) ln( ) ( ), ( )

( ( )) 2

tCkt

c C kX t x d t t t t

e c Cθθ σθ σ

θ −Λ + − − − − −

∫∼

Para obtener la distribución conjunta de ( )2 2( ), ( ) 'C CX t X s debemos distinguir dos

casos:



0

22

00

2200

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1exp

2 ( )2 ( )

s

kt

y c C kd s t

x e c C

s ty s t

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − = − × −−

∫

22

22

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1exp

2 ( )2 ( )

t

ks

x c C kd t s

y e c C

t sx t s

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − × − = −−

∫

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


61



( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0

2

0 0

( ( ))ln( ) ( )

( ( )) 2

( ( ))ln( ) ( )

( ( )) 2

t

kt

s

kt

c C kx d t t

e c C

c C kx d s t

e c C

θ

θ

θ σθθ

µθ σθ

θ

−+ − − − − = −+ − −

− −

∫

∫ y

0 02

0 0

t t s t

s t s tσ

− − ∑ = − −

.


( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:

0

0

2

0 0

2

0 0

( ( ))ln( ) ( )

( ( )) 2

( ( ))ln( ) ( )

( ( )) 2

t

kt

s

kt

c C kx d t t

e c C

c C kx d s t

e c C

θ

θ

θ σθθ

µθ σθ

θ

−+ − − − − = −+ − −

− −

∫

∫ y

0 02

0 0

t t t t

t t s tσ

− − ∑ = − −

.


( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0

2

0 0

( ( ))ln( ) ( )

( ( )) 2

( ( ))ln( ) ( )

( ( )) 2

t

kt

s

kt

c C kx d t t

e c C

c C kx d s t

e c C

θ

θ

θ σθθ

µθ σθ

θ

−+ − − − − = −+ − −

− −

∫

∫ y

0 02

0 0

( )

( )

t t s t t

s t t s tσ

− ∧ − ∑ = ∧ − −

.


Para la distribución inicial lognormal, 22 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , consideramos que la

terapia en el instante inicial es cero, 0( ) 0C t = . La función de densidad de

( )2 0 2( ), ( ) 'C CX t X t es:


( )( )2

0 0

2200 0

ln1 1exp

22

x

x

µσπσ

− = − ×


62


0

22

00

2200

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1exp

2 ( )2 ( )

t

kt

x c C kd t t

x e c C

t tx t t

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − × − = −−

∫

( ) ( )11

20

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xxµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


0

0

2

0 0

( ( ))( )

( ( )) 2

t

kt

c C kd t t

e c Cθ

µµ θ σµ θ

θ

= − + − − − −

∫ y

2 20 02 2 20 0 0( )t t

σ σσ σ σ

∑ = − + .


0

22 2

2 1 0 0 0

( ( ))( ) ( ), ( )

( ( )) 2

tCkt

c C kX t d t t t s

e c Cθθ σµ θ σ σ

θ −Λ + − − − + − −

∫∼ .

Para obtener la distribución conjunta de ( )2 2( ), ( ) 'C CX t X s distinguimos igual que

antes entre dos casos:



( )

0

22

0 0

2 22 20 00 0

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1exp

2 ( )2 ( ( ) )

s

kt

c C ky d s t

e c C

s ty s t

θθ σµ θ

θσ σπ σ σ

− − − + − − − = − × − +− +

∫

22

22

( ( ))ln ( )

( ( )) 21 1exp

2 ( )2 ( )

t

ks

x c C kd t s

y e c C

t sx t s

θθ σθ

θσπσ

− − + − − − × − = −−

∫

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:


63


0

0

2

0 0

2

0 0

( ( ))( )

( ( )) 2

( ( ))( )

( ( )) 2

t

kt

s

kt

c C kd t t

e c C

c C kd s t

e c C

θ

θ

θ σµ θθ

µθ σµ θ

θ

−+ − − − − = −+ − −

− −

∫

∫ y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t s t

s t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:

0

0

2

0 0

2

0 0

( ( ))( )

( ( )) 2

( ( ))( )

( ( )) 2

t

kt

s

kt

c C kd t t

e c C

c C kd s t

e c C

θ

θ

θ σµ θθ

µθ σµ θ

θ

−+ − − − − = −+ − −

− −

∫

∫ y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t t t

t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( )2 2 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0

2

0 0

( ( ))( )

( ( )) 2

( ( ))( )

( ( )) 2

t

kt

s

kt

c C kd t t

e c C

c C kd s t

e c C

θ

θ

θ σµ θθ

µθ σµ θ

θ

−+ − − − − = −+ − −

− −

∫

∫

y

2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0

( ) (( ) )

(( ) ) ( )

t t s t t

s t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −

∑ = + ∧ − + − .


2222.2.2. .2.2. .2.2. .2.2. Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso Conocidas las distribuciones finitodimensionales del proceso, vamos a obtener las

principales medidas de posición y momentos asociados al proceso del modelo II. Sabemos, por el apartado anterior que para una distribución inicial lognormal,

22 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , la distribución de las variables del proceso es:

0

22 2

2 1 0 0 0

( ( ))( ) ( ), ( )

( ( )) 2

tCkt

c C kX t d t t t s


θ −Λ + − − − + − −

∫∼ ,



64


0

22

2 2 1

( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )

( ( )) 2

tC Ckt


e c Cθθ σθ σ

θ −= Λ + − − − − −

∫∼ .

Funciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantilesFunciones media, moda y cuantiles


2( ) ( )C Cm t E X t = =

0

2 220 0

0 0

( )( ( ))exp ( )

( ( )) 2 2

t

kt

t tc C kd t t

e c Cθσ σθ σµ θ

θ − +−= + − − + = − −

∫

0

2 0

( ( ))( ) exp

( ( ))

tCkt

c C kE X t d

e c Cθθ θ

θ −

= − − ∫ , 0t t≥ .

• Función Moda :

2( ) ( )C CMo t Mo X t = =

0

22 2

0 0 0 0

( ( ))exp ( ) ( ( ) )

( ( )) 2

t

kt

c C kd t t t t


θ −= + − − − − + = − −

∫

0

22 0 0

( ( )) 3( ) exp exp ( )

( ( )) 2

tCkt

c C kMo X t d t t

e c Cθθ θ σ

θ − = − − − − ∫ , 0t t≥ .


( ) 2( ) ( )C CC t cuantil X tα α = − =

0

22 2

0 0 1 0 0

( ( ))exp ( ) ( )

( ( )) 2

t

kt

c C kd t t Z t t

e c C αθθ σµ θ σ σ

θ − −= + − − + − + = − −

∫

( )0

2 0

( ( ))( ) exp

( ( ))

tCkt

c C kcuantil X t d

e c Cθθα θ

θ −

= − × − − ∫

22

0 1 0 2 0 2 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))2

C Ct t Z t t Var X t Var X tασ σ−

× − − + − + − ,



65



2 2( ) ( ) ( )C C Cm t s E X t X s y = = =

2 2( ( )) ( )exp ln( ) ( )

( ( )) 2 2

t

ks

c C k t sy d t s

e c Cθθ σ σθ

θ − −= + − − + = − −

∫

( ( ))

exp( ( ))

t

ks

c C ky d

e c Cθθ θ

θ −= − − ∫ , t s> .


2 2( ) ( ) ( )C C CMo t s Mo X t X s y = = =

22( ( ))

exp ln( ) ( ) ( )( ( )) 2

t

ks

c C ky d t s t s

e c Cθθ σθ σ

θ −= + − − − − = − −

∫

2( ( )) 3

exp exp ( )( ( )) 2

t

ks

c C ky d t s

e c Cθθ θ σ

θ − = − − − − ∫ , t s> .



22

1

( ( ))exp ln( ) ( ) ( )

( ( )) 2

t

ks

c C ky d t s Z t s

e c C αθθ σθ σ

θ − −= + − − + − = − −

∫

2

21

( ( ))exp exp ( ) ( )

( ( )) 2

t

ks

c C ky d t s Z t s

e c C αθθ σθ σ

θ − − = − − + − − −

∫ , t s> .


MomentoMomentoMomentoMomentos unidimensionales. Función vs unidimensionales. Función vs unidimensionales. Función vs unidimensionales. Función varianzaarianzaarianzaarianza


0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = .

Puesto que:

2 2 0 0( ) ( )C r CE X t X t x = =

0

22 2

0 0 0

( ( )) 1exp ln( ) ( ) ( )

( ( )) 2 2

t

kt

c C kr x d t t r t t

e c Cθθ σθ σ

θ −= + − − + − = − −

∫


66


0

2

0

( ( ))exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tro kt

c C kx r d r r t t

e c Cθθ σθ

θ −= − − − −

∫ .

Entonces:

0

2

2 2 0 2 0 0

( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tC r C C rkt

c C kE X t X t X t r d r r t t

e c Cθθ σθ

θ − = − − − −

∫ .


2 2 2 0( ) ( ) ( )C r C r CE X t E E X t X t = =

0

2

2 0 0

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tC rkt

c C kE X t r d r r t t

e c Cθθ σθ

θ −= − − = − −

∫

0

2

2 0 0

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tC rkt

c C kE X t r d r r t t

e c Cθθ σθ

θ −

= − − − − ∫ .


02 2 0

( ( ))( ) ( ) exp

( ( ))

tC Ckt

c C kE X t E X t d

e c Cθθ θ

θ −

= − − ∫ .


( )0

2 2 22 2 0 0

( ( ))( ) ( ) exp 2 exp ( )

( ( ))

tC Ckt

c C kE X t E X t d t t

e c Cθθ θ σ

θ −

= − − − ∫ .


22

2 2 2( ) ( ) ( )C C CVar X t E X t E X t = − =

( )0

2 22 0 0

( ( ))( ) exp 2 exp ( )

( ( ))

tCkt

c C kE X t d t t

e c Cθθ θ σ

θ −

= − − − − ∫

0

2

2 0

( ( ))( ) exp 2

( ( ))

tCkt

c C kE X t d

e c Cθθ θ

θ −

− = − − ∫

( ) ( )( )0

22 22 0 0 2 0 0

( ( ))exp 2 ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1

( ( ))

t C Ckt

c C kd Var X t t t E X t t t

e c Cθθ θ σ σ

θ − = − + − − − − ∫ .

Momentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función cMomentos cruzados. Función covarianzaovarianzaovarianzaovarianza




67



1 1

2

2 2 2 1 1 1

( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tr rC C Cks

c C kE X t X s X s r d r r t s

e c Cθθ σθ

θ − = − − − −

∫ ,

y, por tanto:


2 1

2

2 2 1 1 1

( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tr rC Cks

c C kE X s X s r d r r t s

e c Cθθ σθ

θ −= − − = − −

∫

1 2

2

2 1 1 1

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

tr rCks

c C kE X s r d r r t s

e c Cθθ σθ

θ+ −

= − − − − ∫ .



1 2

2

2 2 2 2 2

( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

sr rC Ckt

c C kE X t X t r d r r s t

e c Cθθ σθ

θ −= − − = − −

∫

1 2

2

2 2 2 2

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

( ( )) 2

sr rCkt

c C kE X t r d r r s t

e c Cθθ σθ

θ+ −

= − − − − ∫ .





2

2

( ( ))( ) exp

( ( ))

tCks

c C kE X s d

e c Cθθ θ

θ −

= − − − ∫

2 2

( ( ))( ) exp ( )

( ( ))

tC Cks

c C kE X s d E X s

e c Cθθ θ

θ −

− = − − ∫

2

( ( ))( ) exp

( ( ))

tCks

c C kVar X s d

e c Cθθ θ

θ −

= − − ∫ .



2

2

( ( ))( ) exp

( ( ))

sCkt

c C kE X t d

e c Cθθ θ

θ −

= − − − ∫


68


2 2

( ( ))( ) exp ( )

( ( ))

sC Ckt

c C kE X t d E X t

e c Cθθ θ

θ −

− = − − ∫

2

( ( ))( ) exp

( ( ))

sCkt

c C kVar X t d

e c Cθθ θ

θ −

= − − ∫ .

Una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:

2

( ( ))( , ) ( ) exp

( ( ))

t sCkt s

c C kC s t Var X t s d

e c Cθθ θ

θ∨

∧

− = ∧ − −

∫ ,


2222....3333. Modelo . Modelo . Modelo . Modelo IIIIIIIIIIII: Función terapia afectando: Función terapia afectando: Función terapia afectando: Función terapia afectando al parámetro k al parámetro k al parámetro k al parámetro k

Sea { }3 0( );CX t t t≥ un proceso de difusión que toma valores en +R y con media y


1 ( ( ))

( ( ))( , )C

k C t t

c k C tA x t x

e c−

− = − y 2 2

2 ( , )CA x t xσ= ,


parámetros vistos en el proceso Bertalanffy estudiado en el capítulo anterior.

La afección de una terapia C(t) en este modelo implicaría la variación de k, parámetro de curvatura o la tasa de crecimiento de von Bertalanffy, que determina la velocidad con la que el individuo alcanza la cota máxima.

Puesto que k debe cumplir la propiedad de ser positivo, como vimos en el capítulo primero, el afectarle con una terapia implica condiciones para la función que seleccionemos, ya que se tiene que cumplir:

( ) 0k C t− > , es decir, ( )C t k< 0 0t t k∀ ≥ >

Realizamos a continuación el estudio probabilístico del proceso.

2222.3.1. .3.1. .3.1. .3.1. Distribución y expresión de las trayectorias del prDistribución y expresión de las trayectorias del prDistribución y expresión de las trayectorias del prDistribución y expresión de las trayectorias del proceso oceso oceso oceso

La distribución del proceso puede ser obtenida mediante la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas como solución en este caso de:

3 3 3( ( ))

( ( ))( ) ( ) ( ) ( )C C C

k C t t

c k C tdX t X t dt X t dW t

e cσ−

− = + −

3 0 0( )CX t x= ,


69




2 2

2( ( )) 2

( ( ))

2

CC C

k C t t

f c k C txf x f

t e c x x

σ−

∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂ , 00,x t t> ≥

2 2

20 0( ( )) 2

0 0 0

( ( ))

2

C C C

k C t t

f c k C t f fx x

t e c x x

σ−

∂ − ∂ ∂ + + ∂ − ∂ ∂ , 0 00,x t t> ≥ .

Como veremos, la función de densidad de probabilidad de transición del proceso en este caso es:

22

( ( ))

22

( ( ))ln ( )

21 1( , , ) exp

2 ( )2 ( )

t

k CsC

x c k Cd t s

y e cf x t y s

t sx t s

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − = − −−

∫, s t< ,


22

3 3 ( ( ))

( ( ))( ) ( ) ln ( );( )

2

tC Ck CsC

c k CX t X s y y d t s t s

e cθ θθ σθ σ−

− = → Λ + − − − − ∫ .



3 3 3( ( ))

( ( ))( ) ( ) ( ) ( )C C C

k C t t

c k C tdX t X t dt X t dW t

e cσ−

− = + − (2.4)

3 0 0( )CX t x= ,


Estudiamos la existencia y unicidad de solución de dicha ecuación, mediante la aplicación del Teorema 1.1 del Capítulo 1. Se cumplen las condiciones establecidas en el mismo, puesto que, siendo:

( ( ))

( ( ))( , )

k C t t

c k C ta x t x

e c−

− = − y ( , )b x t xσ= , se tiene:


( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))( , ) ( , ) ( , ) ( , )

k C t t k C t t

c k C t c k C ta x t a y t b x t b y t x y x y

e c e cσ σ− −

− − − + − ≤ − + − = − −


70


( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))k C t t k C t t

c k C t c k C tx y x y x y

e c e cσ σ− −

− − = − + − = + − ≤ − −

[ ]0

( ( )),

( ( ))k C t tt t T

c k C tMax x y K x y

e cσ−∈

− ≤ + − ≤ − − .


2 2

2 2 2 2 2 2 2( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))( , ) ( , )

k C t t k C t t

c k C t c k C ta x t b x t x x x

e c e cσ σ− −

− − + ≤ + = + ≤ − −

2

2 2( ( ))

( ( ))(1 )

k C t t

c k C tx

e cσ−

− ≤ + + ≤ −

[ ]0

22 2 2

( ( )),

( ( ))(1 ) (1 )

k C t tt t T

c k C tMax x K x

e cσ−∈

− ≤ + + ≤ + − ,

donde [ ] [ ]0 0

22

( ( )) ( ( )), ,

( ( )) ( ( ));

k C t t k C t tt t T t t T

c k C t c k C tK Max Max Max

e c e cσ σ− −∈ ∈

− − = + + − − , por lo que se

cumple que existe la solución y es única. Pasemos a obtener dicha solución:


3 3( ) ln( ( ))C CY t X t= que en aplicación de la fórmula de ɵIto (Teorema 1.2), tiene por


2

2

23

3 3 3( ( ))3 33

( )( ( )) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( )( )

CC C C

k C t t C CC

X tc k C tdY t X t dt X t dW t

e c X t X tX t

σ σ−

− = − + = −

2

( ( ))

( ( ))( )

2k C t t

c k C tdt dW t

e c

σ σ−

−= − + − .

Luego queremos resolver:

2

3 ( ( ))

( ( ))( ) ( )

2C

k C t t

c k C tdY t dt dW t

e c

σ σ−

−= − + −

3 0 0 0( ) ln( )CY t y x= = ,


0 0

2

3 0 ( ( ))

( ( ))( ) ( )

2

t tCk Ct t

c k CY t y d dW s

e cθ θθ σ θ σ−

−= + − + = − ∫ ∫


71


0 0 0

2

0 ( ( ))

( ( ))( )

2

t t t

k Ct t t

c k Cy d d dW s

e cθ θθ σθ θ σ−

−= + − + =−∫ ∫ ∫

0

2

0 0 0( ( ))

( ( ))( ) ( ( ) ( ))

2

t

k Ct

c k Cy d t t W t W t


−= + − − + −−∫ .


0

2

3 3 0 0 0( ( ))

( ( ))( ) exp( ( )) exp ( ) ( ( ) ( ))

2

tC Ck Ct

c k CX t Y t y d t t W t W t


−= = + − − + − = − ∫

0

2

0 0 0( ( ))

( ( ))exp exp ( ( ) ( )) ( )

2

t

k Ct

c k Cx d W t W t t t


− = − − − − ∫ ,


Distribución del proceso a paDistribución del proceso a paDistribución del proceso a paDistribución del proceso a partir de las ecuaciones parciales de Komogorovrtir de las ecuaciones parciales de Komogorovrtir de las ecuaciones parciales de Komogorovrtir de las ecuaciones parciales de Komogorov

Nos centramos ahora en la obtención de la distribución del proceso del modelo III, mediante las ecuaciones parciales de Kolmogorov, con las que demostraremos que siguen una distribución lognormal.

Las ecuaciones de Fokker-Plank adelantada y la de Kolmogorov o atrasada para nuestro caso son:

2 2

2( ( )) 2

( , , ) ( ( ))( , , ) ( , , )

2

CC C

k C t t

f x t y s c k C txf x t y s x f x t y s

t e c x x

σ−

∂ − ∂ ∂ = − + ∂ − ∂ ∂ , 0,x t s> ≥

22

2( ( )) 2

( , , ) ( , , ) ( , , )( ( ))0

2

C C C

k C t t

f x t y s f x t y s f x t y sc k C ty y

s e c y y

σ−

∂ ∂ ∂− + + = ∂ − ∂ ∂ , 0,y t s> ≥ .

Para ver que estas ecuaciones tienen solución y que las funciones,

1 ( ( ))

( ( ))( , )C

k C t t

c k C tA x t x

e c−

−=−

y 2 22 ( , )CA x t xσ= ,

conducen a un proceso de difusión cuyos momentos coinciden con ellas, utilizamos los teoremas vistos en el capítulo 1.

Si aplicamos el Teorema 1.4 a nuestras funciones 1 ( , )CA x t y 2 ( , )CA x t , se tiene que

se cumplen las condiciones del mismo, puesto que:


72


1.

1.a) Se tiene: 21 ( ( ))

( ( ))( , ) 1C

k C t t

c k C tA x t x M x

e c−

−= ≤ +−

, puesto que 21x x≤ +

y siendo M el máximo de la función ( ( ))

( ( ))( )

k C t t

c k C th t

e c−

−=−

(M existe ya que

( )h t es continua en un intervalo cerrado y acotado).

1.b) Se tiene: 22 ( , ) 1CA x t x xσ σ= ≤ + . Por otro lado, dado que 0x > ,

existe 0ε > tal que 0 xε< < , por lo que:

220 ( , ) 1CA x t x xσε σ σ< < = ≤ + .


21 ( , ) 1CA x t K x≤ + y 2

0 20 ( , ) 1CA x t K xσ< ≤ ≤ + .


2.a) Se tiene: 1 1 ( ( ))

( ( ))( , ) ( , )C C

k C t t

c k C tA x t A y t x y M x y

e c−

−− = − ≤ −−

.




γ− ≤ − .


1( ( ))

( , ) ( ( ))C

k C t t

A x t c k C t

x e c−

∂ −=∂ −

22 ( , ) 2

CA x tx

xσ∂ =

∂

222

2

( , ) 2

CA x t

xσ∂ =

∂,








( , , )C


x

∂=




73


Pasamos ahora a obtener la función de densidad de transición como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov, mediante la búsqueda de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar.


' ( , )x x tψ= ' ( , )y y sψ=

' ( )t tφ= ' ( )s sφ=

Veamos si se verifican las condiciones del Teorema 1.5; en este proceso, concretamente:

( )

12

2 2 2221 1 3

22

( , ) ( ) ( , )( , )( , ) 1

( , ) ( )4 2

( , )

CC

CCxC

zC


xA y t

∂+ ∂ ∂= + + ∂

∫ .


( )

2 22 2

1 3( ( ))2 2 2

( )( ( )) 12 ( )

4 2

x

k C t t z

C t yc k C t xx x C t dy

e cy

σσσσ

−

− = + + = −

∫

21 2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

x

z

x xx C t C t dy

y

σ σσσ

= + + =∫

21 2

1( ) ( ) ln

2 2 2

x x xx C t C t

z

σσ = + +

.


21( ( ))

( ( )) 1( )

2 2k C t t

c k C tC t

e c

σσ−

− = + − ,


2

1 ( ( ))

2 ( ( ))( )

2k C t t

c k C tC t

e c

σσ −

−= − − .


11 2

121

( )1 1' ( , ) ( ) exp 0

2 2

t x

s z

kx x t k du dy

yψ

σ = = − − ×

∫ ∫

2

2

2( ( ))

2 ( ( )) 1exp 0

2 2

t

k Ct s

c k Cdu d k

e c

θ

θ θθ σ θ

σ −

− × − − + = − ∫ ∫

2

1 122 2

1 12( ( ))

( ) ( )1 ( ( ))

2

x t

k Cz t

k k c k Cdy d k

y e cθ θθ σ θ

σ σ −

−= − − + = − ∫ ∫


74


2

1 122 2

1 12 2( ( ))

( ) ( ) ( ( ))ln ( )

2

t

k Ct

k kx c k Cd t t k

z e cθ θθ σθ

σ σ −

− = − − − + = − ∫

2

1 1 12 2 2

1 1 12 2( ( ))

( ) ( ) ( )( ( ))ln ( )

2

t

k Ct

k k kx c k Cd t t k

z e cθ θθ θ σ

σ σ −

− = − + − + = − ∫

2

1

21 2 2( ( ))

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

2

t

k Ct

x c k Ck d t t k

z e cθ θθ σθ

σ σ −

− = − + − + − ∫ .

( )1 1

1 3 1 3 1 1 3' ( ) exp 0 ( )t t


θφ θ θ= = − + = + = − +∫ ∫ ∫ .


2

1

21 2 2( ( ))

1 1 ( ( ))' ' ( ) ln ( )

2

t

k Ct

x c k Cx y k d t t k

z e cθ θθ σθ

σ σ −

− − = − + − + − − ∫

2

1

21 2 2( ( ))

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

2

s

k Ct

y c k Ck d s t k

z e cθ θθ σθ

σ σ −

− − − + − − = − ∫

12

1 ( ( ))

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

2

t

k Cs

x c k Ck d t s

y e cθ θθ σθ

σ σ −

−= − + − − ∫ .

1 1 3 1 1 3 1' ' ( ) ( ) ( )t s k t t k k s t k k t s− = − + − − − = − .

Como

1

21( , ) kx t

x x

ψσ

∂ =∂


por la expresión:

( )1

22 11( , ) ( ' ')

( , , ) '( ', ' ', ') 2 ( ' ') exp2( ' ')


x x t s

ψ πσ

− ∂ −= = − − = ∂ −

21

211 ( ( ))

21

211

1 1 ( ( ))( ) ln ( )

21exp

2 ( )2 ( )

t

k Cs

x c k Ck d t s

y e ck

k t sx k t s

θ θθ σθ

σ σ

πσ

−

− − + − − = − = −−

∫

22

( ( ))

22

( ( ))ln ( )

21 1exp

2 ( )2 ( )

t

k Cs

x c k Cd t s

y e c

t sx t s

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − = − −−

∫ ,



75


22

3 3 1 ( ( ))

( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )

2

tC Ck Cs



−= → Λ + − − − − ∫ .

Para obtener las distribuciones uni y bidimensionales, utilizaremos la función de

densidad de transición del proceso para 3 3 0 0( ) ( )C CX t X t x= :

0

22

3 3 0 0 1 0 0 0( ( ))

( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )

2

tC Ck Ct

c k CX t X t x x d t t t t


−= Λ + − − − − ∫∼ .


Para la distribución inicial degenerada, 3 0 0( ) 1CP X t x = = , la distribución



0

22

0( ( ))0

0 0 2200

( ( ))ln ( )

21 1( , ) ( , , ) exp

2 ( )2 ( )

t

k CtC C

x c k Cd t t

x e cf x t f x t x t

t tx t t

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − = = − −−

∫,

es decir,

0

22

3 1 0 0 0( ( ))

( ( ))( ) ln( ) ( ), ( )

2

tCk Ct

c k CX t x d t t t t


−Λ + − − − − ∫∼

Para obtener la distribución conjunta de ( )3 3( ), ( ) 'C CX t X s debemos distinguir de

entrada dos casos:



0

22

0( ( ))0

2200

( ( ))ln ( )

21 1exp

2 ( )2 ( )

s

k Ct

y c k Cd s t

x e c

s ty s t

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − = − × −−

∫

22

( ( ))

22

( ( ))ln ( )

21 1exp

2 ( )2 ( )

t

k Cs

x c k Cd t s

y e c

t sx t s

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − × − = −−

∫


76


( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0( ( ))

2

0 0( ( ))

( ( ))ln( ) ( )

2

( ( ))ln( ) ( )

2

t

k Ct

s

k Ct

c k Cx d t t

e c

c k Cx d s t

e c

θ θ

θ θ

θ σθµ

θ σθ

−

−

−+ − − − = −+ − − −

∫

∫ y

0 02

0 0

t t s t

s t s tσ

− − ∑ = − −

.


( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ con:

0

0

2

0 0( ( ))

2

0 0( ( ))

( ( ))ln( ) ( )

2

( ( ))ln( ) ( )

2

t

k Ct

s

k Ct

c k Cx d t t

e c

c k Cx d s t

e c

θ θ

θ θ

θ σθµ

θ σθ

−

−

−+ − − − = −+ − − −

∫

∫ y

0 02

0 0

t t t t

t t s tσ

− − ∑ = − −

.


( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0( ( ))

2

0 0( ( ))

( ( ))ln( ) ( )

2

( ( ))ln( ) ( )

2

t

k Ct

s

k Ct

c k Cx d t t

e c

c k Cx d s t

e c

θ θ

θ θ

θ σθµ

θ σθ

−

−

−+ − − − = −+ − − −

∫

∫ y

0 02

0 0

( )

( )

t t s t t

s t t s tσ

− ∧ − ∑ = ∧ − −

.


Para la distribución inicial lognormal, 22 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , consideramos que la

terapia en el instante inicial es cero, 0( ) 0C t = , la función de densidad de

( )3 0 3( ), ( ) 'C CX t X t es:


( )( )2

0 0

2200 0

ln1 1exp

22

x

x

µσπσ

− = − ×


77


0

22

0( ( ))0

2200

( ( ))ln ( )

21 1exp

2 ( )2 ( )

t

k Ct

x c k Cd t t

x e c

t tx t t

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − × − = −−

∫

( ) ( )11

20

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xxµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


0

0

2

0 0( ( ))

( ( ))( )

2

t

k Ct

c k Cd t t

e cθ θ

µµ θ σµ θ−

= − + − − − ∫

y

2 20 02 2 20 0 0( )t t

σ σσ σ σ

∑ = − + .


0

22 2

3 1 0 0 0( ( ))

( ( ))( ) ( ), ( )

2

tCk Ct

c k CX t d t t t s

e cθ θθ σµ θ σ σ−

−Λ + − − − + − ∫∼ .

Para obtener la distribución conjunta de ( )3 3( ), ( ) 'C CX t X s distinguimos, igual que

antes, entre dos casos:



( )

0

22

0 0( ( ))

2 22 20 00 0

( ( ))ln ( )

21 1exp

2 ( )2 ( ( ) )

s

k Ct

c k Cy d s t

e c

s ty s t

θ θθ σµ θ

σ σπ σ σ

−

− − − + − − = − × − +− +

∫

22

( ( ))

22

( ( ))ln ( )

21 1exp

2 ( )2 ( )

t

k Cs

x c k Cd t s

y e c

t sx t s

θ θθ σθ

σπσ

−

− − + − − × − = −−

∫

( ) ( )11

2

1 1exp ln( ) ' ln( )

22X X

xyµ µ

π− = − − ∑ −

∑.


( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,


78


con:

0

0

2

0 0( ( ))

2

0 0( ( ))

( ( ))( )

2

( ( ))( )

2

t

k Ct

s

k Ct

c k Cd t t

e c

c k Cd s t

e c

θ θ

θ θ

θ σµ θµ

θ σµ θ

−

−

−+ − − − = −+ − − −

∫

∫ y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t s t

s t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ , con:

0

0

2

0 0( ( ))

2

0 0( ( ))

( ( ))( )

2

( ( ))( )

2

t

k Ct

s

k Ct

c k Cd t t

e c

c k Cd s t

e c

θ θ

θ θ

θ σµ θµ

θ σµ θ

−

−

−+ − − − = −+ − − −

∫

∫ y

2 2 2 20 0 0 02 2 2 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t t t

t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + −

∑ = + − + − .


( )3 3 2( ), ( ) ( , )C CX t X s µΛ ∑∼ ,

con:

0

0

2

0 0( ( ))

2

0 0( ( ))

( ( ))( )

2

( ( ))( )

2

t

k Ct

s

k Ct

c k Cd t t

e c

c k Cd s t

e c

θ θ

θ θ

θ σµ θµ

θ σµ θ

−

−

−+ − − − = −+ − − −

∫

∫

y

2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0

( ) (( ) )

(( ) ) ( )

t t s t t

s t t s t

σ σ σ σσ σ σ σ + − + ∧ −

∑ = + ∧ − + − .


2222.3.2. .3.2. .3.2. .3.2. Características del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del procesoCaracterísticas del proceso

Conocidas las distribuciones finito dimensionales del proceso, vamos a obtener las principales medidas de posición y momentos asociados al proceso del modelo III. Sabemos, por el apartado anterior que para una distribución inicial lognormal,

23 0 0 0( ) ( , )CX t µ σΛ∼ , la distribución de las variables del proceso es:

0

22 2

3 1 0 0 0( ( ))

( ( ))( ) ( ), ( )

2

tCk Ct

c k CX t d t t t s


−Λ + − − − + − ∫∼ ,


0

22

3 3 1 ( ( ))

( ( ))( ) ( ) ln( ) ( ), ( )

2

tC Ck Ct



−= Λ + − − − − ∫∼ .


79


Funciones media,Funciones media,Funciones media,Funciones media, moda y cuantiles moda y cuantiles moda y cuantiles moda y cuantiles


3( ) ( )C Cm t E X t = =

0

2 220 0

0 0( ( ))

( )( ( ))exp ( )

2 2

t

k Ct

t tc k Cd t t

e cθ θσ σθ σµ θ−

− +−= + − − + = − ∫

0

3 0 ( ( ))

( ( ))( ) exp

tCk Ct

c k CE X t d

e cθ θθ θ−

− = − ∫ , 0t t≥ .

• Función Moda :

3( ) ( )C CMo t Mo X t = =

0

22 2

0 0 0 0( ( ))

( ( ))exp ( ) ( ( ) )

2

t

k Ct

c k Cd t t t t


−= + − − − − + = − ∫

0

23 0 0( ( ))

( ( )) 3( ) exp exp ( )

2

tCk Ct

c k CMo X t d t t

e cθ θθ θ σ−

− = − − − ∫ , 0t t≥ .


( ) 3( ) ( )C CC t cuantil X tα α = − =

0

22 2

0 0 1 0 0( ( ))

( ( ))exp ( ) ( )

2

t

k Ct

c k Cd t t Z t t

e c αθ θθ σµ θ σ σ−−

−= + − − + − + = − ∫

( )[ ]0

0 ( ( ))

( ( ))( ) exp

t

k Ct

c k Ccuantil X t d

e cθ θθα θ−

− = − = × − ∫

22

0 1 0 3 0 3 0exp ( ) ( ) ln( ( )) ln( ( ))2

C Ct t Z t t Var X t Var X tασ σ−

× − − + − + − .



3 3( ) ( ) ( )C C Cm t s E X t X s y = = =

2 2

( ( ))

( ( )) ( )exp ln( ) ( )

2 2

t

k Cs

c k C t sy d t s

e cθ θθ σ σθ−

− −= + − − + = − ∫


80


( ( ))

( ( ))exp

t

k Cs

c k Cy d

e cθ θθ θ−

− = − ∫ , t s> .


3 3( ) ( ) ( )C C CMo t s Mo X t X s y = = =

22

( ( ))

( ( ))exp ln( ) ( ) ( )

2

t

k Cs

c k Cy d t s t s


−= + − − − − = − ∫

2

( ( ))

( ( )) 3exp exp ( )

2

t

k Cs

c k Cy d t s

e cθ θθ θ σ−

− = − − − ∫ , t s> .



22

1( ( ))

( ( ))exp ln( ) ( ) ( )

2

t

k Cs

c k Cy d t s Z t s

e c αθ θθ σθ σ−−

−= + − − + − = − ∫

2

21( ( ))

( ( ))exp exp ( ) ( )

2

t

k Cs

c k Cy d t s Z t s

e c αθ θθ σθ σ−−

− = − − + − − ∫ , t s> .


MomeMomeMomeMomentos unidimensionales. Función vntos unidimensionales. Función vntos unidimensionales. Función vntos unidimensionales. Función varianzaarianzaarianzaarianza


0( ) ( ) ( )r rE X t E E X t X t = .

Puesto que:

3 3 0 0( ) ( )C r CE X t X t x = =

0

22 2

0 0 0( ( ))

( ( )) 1exp ln( ) ( ) ( )

2 2

t

k Ct

c k Cr x d t t r t t


−= + − − + − = − ∫

0

2

0( ( ))

( ( ))exp exp ( 1)( )

2

tro k Ct

c k Cx r d r r t t

e cθ θθ σθ−

− = − − − ∫ .

Entonces:

0

2

3 3 0 3 0 0( ( ))

( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )

2

tC r C C rk Ct

c k CE X t X t X t r d r r t t

e cθ θθ σθ−

− = − − − ∫ .


81



3 3 3 0( ) ( ) ( )C r C r CE X t E E X t X t = =

0

2

3 0 0( ( ))

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

2

tC rk Ct

c k CE X t r d r r t t

e cθ θθ σθ−

− = − − = − ∫

0

2

3 0 0( ( ))

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

2

tC rk Ct

c k CE X t r d r r t t

e cθ θθ σθ−

− = − − − ∫ .


03 3 0 ( ( ))

( ( ))( ) ( ) exp

tC Ck Ct

c k CE X t E X t d

e cθ θθ θ−

− = − ∫ .


( )0

2 2 21 3 0 0( ( ))

( ( ))( ) ( ) exp 2 exp ( )

tC Ck Ct

c k CE X t E X t d t t

e cθ θθ θ σ−

− = − − ∫ .


22

3 3 3( ) ( ) ( )C C CVar X t E X t E X t = − =

( )0

2 23 0 0( ( ))

( ( ))( ) exp 2 exp ( )

tCk Ct

c k CE X t d t t

e cθ θθ θ σ−

− = − − − ∫

0

2

3 0 ( ( ))

( ( ))( ) exp 2

tCk Ct

c k CE X t d

e cθ θθ θ−

− − = − ∫

( ) ( )( )0

22 23 0 0 3 0 0( ( ))

( ( ))exp 2 ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) 1

t C Ck Ct

c k Cd Var X t t t E X t t t

e cθ θθ θ σ σ−

− = − + − − − ∫ .

Momentos cruzados. FuMomentos cruzados. FuMomentos cruzados. FuMomentos cruzados. Función cnción cnción cnción covarianzaovarianzaovarianzaovarianza




1 1

2

3 3 3 1 1 1( ( ))

( ( ))( ) ( ) ( ) exp exp ( 1)( )

2

tr rC C Ck Cs

c k CE X t X s X s r d r r t s

e cθ θθ σθ−

− = − − − ∫ .

y, por tanto:



82


2 1

2

3 3 1 1 1( ( ))

( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )

2

tr rC Ck Cs

c k CE X s X s r d r r t s

e cθ θθ σθ−

− = − − = − ∫

1 2

2

3 1 1 1( ( ))

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

2

tr rCk Cs

c k CE X s r d r r t s

e cθ θθ σθ+

−

− = − − − ∫ .



1 2

2

3 3 2 2 2( ( ))

( ( ))( ) ( ) exp exp ( 1)( )

2

tr rC Ck Cs

c k CE X t X t r d r r s t

e cθ θθ σθ−

− = − − = − ∫

1 2

2

3 2 2 2( ( ))

( ( ))( ) exp exp ( 1)( )

2

tr rCk Cs

c k CE X t r d r r s t

e cθ θθ σθ+

−

− = − − − ∫ .





2

3 ( ( ))

( ( ))( ) exp

tCk Cs

c k CE X s d

e cθ θθ θ−

− = − − ∫

3 3( ( ))

( ( ))( ) exp ( )

tC Ck Cs

c k CE X s d E X s

e cθ θθ θ−

− − = − ∫

3 ( ( ))

( ( ))( ) exp

tCk Cs

c k CVar X s d

e cθ θθ θ−

− = − ∫ .



2

3 ( ( ))

( ( ))( ) exp

sCk Ct

c k CE X t d

e cθ θθ θ−

− = − − ∫

3 3( ( ))

( ( ))( ) exp ( )

sC Ck Ct

c k CE X t d E X t

e cθ θθ θ−

− − = − ∫

3 ( ( ))

( ( ))( ) exp

sCk Ct

c k CVar X t d

e cθ θθ θ−

− = − ∫ .

Una fórmula general de la función covarianza es la siguiente:

3 2 ( ( ))

( ( ))( , ) ( ) exp

t sCk Ct s

c k CC s t Var X t s r d

e cθ θθ θ

∨

−∧

− = ∧ − ∫ ,



83


2.42.42.42.4. . . . Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones Estudio de simulación: Influencia de diversas funciones

terapterapterapterapia en los modelos introducidos.ia en los modelos introducidos.ia en los modelos introducidos.ia en los modelos introducidos.

Con el fin de llevar a la práctica los modelos matemáticos propuestos hasta ahora y para hacernos una idea de la influencia que tiene la función dependiente del tiempo que se ha incluido en la tendencia de dichos modelos, presentamos a continuación un estudio de simulación, en el que evaluamos distintas funciones terapéuticas. En concreto, hemos considerado el caso de las funciones constantes, lineales y logarítmicas, para el primer y tercer modelo y funciones positivas acotadas para el segundo modelo.

En todos los casos, para el proceso de Bertalanffy sin terapias (que representaría en la práctica a un grupo de control) hemos elegido los siguientes valores para los parámetros 0,5k = , 0,6c = , 0,01σ = , por lo que el proceso de difusión sin terapia

( )X t , tiene momentos infinitesimales:

1 0,5

0,3( , )

0,6tA x t x

e=

− y

22( , ) 0,0001A x t x= .

Para todos los modelos se han simulado 100 trayectorias en el intervalo de tiempo

[0,30], en instantes 1

10i

it

−= , 1,...,301i = , y con una distribución inicial degenerada

(0) 10X = .

En el siguiente gráfico, Figura 2.1, se tienen las trayectorias de la muestra simulada del proceso sin terapia ( )X t , para los parámetros indicados, con la media representada

mediante una línea de color negro.

Figura 2.1. Trayectorias de la muestra simulada del proceso X (t) con distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = .


84


Se aprecia un rápido crecimiento en los primeros instantes, para luego estabilizarse en valores cercanos a 25.

Como ya hemos comentado, en los apartados siguientes, vamos a realizar simulaciones de los distintos modelos con diferentes funciones terapias, para determinar las variaciones que se producen en las representaciones. En cada caso, la media de las trayectorias de los procesos simulados, se traza para diferentes funciones C(t), con el fin de entender mejor el efecto que produce la terapia respecto al modelo original.

2.4.1. 2.4.1. 2.4.1. 2.4.1. Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.Modelo I: Función Terapia afectando al proceso de crecimiento.

Para el proceso { }1 0( );CX t t t≥ , definido en el capítulo 2, una vez fijados los

parámetros indicados, la media y la varianza infinitesimal, quedan de la forma:

1 0,5

0,3( , ) ( )

0,6C

tA x t C t x

e

= − − y

22 ( , ) 0,0001CA x t x= .

donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T . Vamos a ir proponiendo distintos casos

para C e interpretando los resultados obtenidos.

La afección de una terapia C(t) en este caso, implicaría la variación de la tasa de

crecimiento α ( 1( , )A x t xα= media infinitesimal), por lo que el estudio de este modelo

es equivalente a evaluar la influencia de un cambio en la función ( )h t definida para el

modelo original.

•••• Función constante C(t)=C

Comenzamos la simulación proponiendo como terapia, una función constante ( ) 0.02C t = . En la Figura 2.2, se representan las trayectorias de la muestra simulada

del proceso 1 ( )CX t afectada por dicha terapia.

Figura 2.2. Trayectorias de la muestra simulada del proceso X (t) con la distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.02.


85


Como podemos observar las trayectorias en un primer momento tienen un comportamiento creciente similar al proceso sin terapia y pasado un pequeño periodo de tiempo las trayectorias comienzan a decrecer. Esto nos indica la gran influencia de la función terapia en el proceso de crecimiento, que sería muy útil en muchos campos, como en la medicina.

Figura 2.3. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos

X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).

En la Figuran 2.3, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.2, para comprender mejor la influencia de la terapia. Como podemos observar el crecimiento de la variable es menor en el proceso con terapia, empezando a decrecer a partir de un momento.

Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t C= , siendo C una

constante, con valores que van de 0,01 a 0,1 tomados de 0,03 en 0,03. De esta manera podemos ver cómo influye el valor de la constante. En la Figura 2.4, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.

Figura 2.4 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X

C(t) con

distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=C.


86


Como podemos apreciar en dicha Figura, cuanto mayor es la constante C, antes empiezan las trayectorias a decrecer y menor tamaño de la variable se obtiene. Se observa cómo las trayectorias decrecen hasta valores cercanos a cero, por debajo del tamaño inicial 10.

Al afectar con una función terapia positiva al proceso de crecimiento, en este caso constante, ésta se hace negativa a partir de un momento, provocando el decrecimiento de la trayectoria.

Esto ocurre así, puesto que la función ( )kt

kch t

e c=

−es decreciente con límite cero

cuando t tiende a infinito, por lo que, llegado un momento ( )h t C− se hace negativo.

Así, si la constante considerada es negativa se produce lo contrario, un crecimiento mayor de la variable, como podemos comprobar en el siguiente gráfico (Figura 2.5), para una función ( ) 0,02C t = − , obteniéndose en poco tiempo valores por encima de 25

y continuando creciendo a lo largo del tiempo sin llegar a estabilizarse como ocurría con el modelo original.

Figura 2.5. Trayectorias de la muestra simulada del proceso XC(t) con distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.02

En la Figura 2.6, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.5. Como podemos observar el crecimiento de la variable es mayor, mientras que la media del proceso no afectado, se estabiliza en poco tiempo en valores cercanos a 25, la media del nuevo modelo continua creciendo no estabilizándose en ningún punto.


87


Figura 2.6 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos X(t)

(línea roja) y XC(t) (línea negra).

•••• Función lineal C(t)=Ct

Proponemos ahora como función terapia, ( )C t una función lineal. Nos centramos en

el caso de ( )C t Ct= , 0t t≥ , ya que el efecto del término independiente se ha estudiado

en el apartado anterior.

Como es de esperar, por las conclusiones obtenidas, cuando ( )C t sea positiva, a

partir de un instante las trayectorias comenzarán a decrecer. Puesto que las funciones lineales son monótonas, el decrecimiento de la trayectoria irá en aumento conforme pase el tiempo.

El caso contrario ocurrirá cuando ( )C t sea negativa, aumentando la longitud de la

especie de forma cada vez más rápida.

Figura 2.7 Trayectorias de la muestra simulada del proceso con la distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.01t


88


Para comprobar estos hechos, hemos considerado el caso particular ( ) 0.01C t t= .

En la Figura 2.7, se representan las trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia. Podemos observar que las trayectorias en un primer momento tienen un comportamiento creciente, pasando a decrecer rápidamente de forma exponencial.

En la Figuran 2.8, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia, en donde se aprecia ese decrecimiento mayor que el caso anterior de funciones constantes.

Figura 2.8 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos X(t)

(línea roja) y XC(t) (línea negra).

Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t Ct= , siendo C una

constante, con valores que van de 0,001 a 0,005 tomados de 0,001 en 0,001. De esta manera, podemos observar el efecto de la terapia en las trayectorias. En la Figura 2.9, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.


C(t) con

distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=Ct.


89


Como podemos apreciar en dicha Figura, cuanto mayor es la constante C de la función lineal, antes empieza el decrecimiento y menor valor se obtiene en menos tiempo. Se observa como las trayectorias decrecen hasta valores cercanos a cero, por debajo del tamaño inicial 10.

Figura 2.10 Trayectorias de la muestra simulada del proceso X

C(t) con distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.02t

Si consideramos el caso, ( ) 0,02C t t= − se tiene que el crecimiento de las

trayectorias se hace cada vez mayor, como se aprecia en la Figura 2.10. Podemos ver como se llegan a valores por encima de los 2000 en poco tiempo, cuando en el proceso sin terapia se estabilizaban en valores cercanos a 25. Se tiene pues, un crecimiento exponencial mucho mayor que el de origen, por la influencia de la terapia. Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:

Figura 2.11 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los procesos



90


•••• Función logarítmica C(t)=C 0ln(e+Ct)

Proponemos ahora una función terapia logarítmica, de la forma 0( ) ln( )C t C e Ct= + ,

0t t≥ , 0C > . Comenzamos estudiando el caso particular ( ) 0.02 ln( 0.1 )C t e t= + .

En la Figura 2.12, se representan las trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia.

Figura 2.12 Trayectorias de la muestra simulada del proceso con distribución inicial

degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.02ln(e+0.1t)

Las trayectorias en un primer momento tienen un comportamiento creciente como en los casos anteriores, y en poco tiempo se produce un rápido decrecimiento. En la Figura 2.13, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia, en donde se tiene ese decrecimiento.




91


Consideramos ahora, distintas funciones definidas por 0( ) ln( )C t C e Ct= + , siendo

0 0.02C = y 0.1, 0.15 y 0.2C = . De esta manera podemos observar el efecto de la

terapia en las trayectorias para una variación de C. En la Figura 2.14, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores. Se observa que cuanto mayor es la constante C de la función logarítmica, se consigue menor valor de la variable.


C(t) con

distribución inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y

C(t)=0.02ln(e+Ct)

Si fijamos ahora la constante C y hacemos variar C0, siendo 0.1C = y

0 0.01, 0.015 y 0.02C = , observamos el efecto de dicha variación en la terapia en la

Figura 2.15, donde se representan las medias para cada proceso afectado. Se observa que cuanto mayor es la constante C0, menor valor de la variable se consigue.


C(t) con

distribución inicial degenerada , (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y

C(t)=C0ln(e+0.1t)


92


Consideramos ahora el caso, ( ) 0.02 ln( 0.1 )C t e t= − + . Se tiene que el crecimiento

de las trayectorias se hace cada vez mayor, como podemos ver en la Figura 2.16.

Figura 2.16 Trayectorias de la muestra simulada del proceso XC(t) con distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.02ln(e+0.1t)

Podemos apreciar cómo se llegan a valores por encima de los 60 en poco tiempo, cuando en el proceso sin terapia se estabilizaban en valores cercanos a 25. Se tiene pues, un crecimiento mayor que el de origen, por la influencia de la terapia. Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:




93


2.4.2. 2.4.2. 2.4.2. 2.4.2. Modelo IModelo IModelo IModelo II: Función tI: Función tI: Función tI: Función terapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al parámetro cparámetro cparámetro cparámetro c....

Para el proceso { }2 0( );CX t t t≥ , una vez fijados los parámetros elegidos al principio,

se tiene una media y varianza infinitesimal:

1 0,5

0,5(0,6 ( ))( , )

(0,6 ( ))C

t

C tA x t x

e C t

−= − − y

22 ( , ) 0,0001CA x t x= .

donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T . Además, como ya estudiamos con

anterioridad, debe ser una función acotada de la forma:

0 ( )ktc e C t c− < < 0t t∀ ≥ .

Puesto que 0 0t = y 0,6c = , se tiene que:

0,4 ( ) 0,6C t− < < 0t∀ ≥ .

Vamos a ir proponiendo distintos casos para C(t), cumpliendo estas condiciones e interpretando los resultados obtenidos.

La afección de una terapia C(t) en este modelo implicaría la variación en el crecimiento de la especie, por lo que el estudio de este modelo es interesante para futuros experimentos.






inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.01


94


Como podemos observar en dicha Figura, las trayectorias se comportan de forma similar a las de los procesos sin terapia, ahora bien, la longitud en la que parece se estabilizan, son valores más pequeños que en el modelo original, este hecho, nos indica la gran influencia de la función terapia en el parámetro c, que sería de gran utilidad en muchos campos, cuando no se quiera variar el comportamiento del crecimiento, sino sólo reducir o aumentar los valores del tamaño de la especie.

En la Figuran 2.19, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.18, para comprender mejor la influencia de la terapia. como podemos observar el valor de la variable se estabiliza en un valor menor a 25 a partir de un momento.




constante, con valores que van de 0,1 a 0,4 tomados de 0,1 en 0,1. De esta manera podemos observar cómo influye el valor de la constante. En la Figura 2.20, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.

Figura 2.20. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de X

C(t) con



95


Como podemos apreciar, cuanto mayor es la constante C, menor valor alcanza la variable. En todos los casos, el comportamiento de la especie es similar al original.

Al afectar con una función terapia positiva, al parámetro c, en este caso una constante menor que 0.6, provocamos que la variable se comporte de la misma forma con valores más pequeños; esto es debido a que con ello reducimos el valor de c.




Si tomamos, valores negativos para la función terapia dentro del intervalo

( )0.4,0.6− , el valor de c aumentaría y la variable se comportaría de la misma forma

que en el modelo original, pero con valores más grandes. Esta afirmación, queda comprobada, para una función ( ) 0,1C t = − , en el gráfico de la Figura 2.21.

La longitud de la especie se estabiliza con valores entre 30 y 35, por encima del modelo original. Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:




96


•••• Función acotada racional

Puesto que no podemos considerar cualquier tipo de función terapia, ya que ésta debe estar acotada, proponemos una función racional del tipo:

2

2( )

1

CtC t

t=

+ 0t∀ ≥ .

Como C(t) debe estar acotada por: 0,4 ( ) 0,6C t− < < 0t∀ ≥ , la constante C que

seleccionemos debe encontrarse entre esos valores.

Establecidos estos límites, comenzamos considerando la función: 2

2

0.3( )

1

tC t

t=

+.

En la Figura 2.23, se representan las trayectorias de la muestra simulada del

proceso 2 ( )CX t afectada por dicha terapia.


inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.1t2/(t

2+1).

Como podemos observar, las trayectorias se comportan de forma similar a las del proceso sin terapia, pero la variable toma valores más pequeños que en el caso original, estabilizándose en valores medios por debajo de 20, para la terapia considerada.

En la Figura 2.24, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.23, para comprender mejor la influencia de la terapia. Como podemos observar la variable toma valores menores a partir de un momento, siendo el comportamiento de las trayectorias similar en ambos procesos.


97




Consideramos ahora, distintas funciones definidas por 2

2( )

1

CtC t

t=

+, siendo C una

constante, con valores que van de 0,1 a 0,4 tomados de 0,1 en 0,1. De esta manera podemos observar cómo influye el valor de dicha constante. En la Figura 2.25, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.

Figura 2.25 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de XC(t) con


C(t)=Ct2/(t

2+1).

Como podemos apreciar, cuanto mayor es la constante C, menor valor alcanza la variable. En todos los casos, el comportamiento de la especie es similar al original.


98




inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.3t2/(t

2+1)

Igual que antes, si consideramos una función negativa, las trayectorias serían similares a las del proceso sin terapia, pero con valores mayores observados en los mismos periodos de tiempo. Lo podemos comprobar, en el gráfico de la Figura 2.26,

para una función 2

2

0.3( )

1

tC t

t

−=+

. Los valores de la variable se estabilizan con valores

medios entre 30 y 35.

Si comparamos las medias de los procesos con y sin terapia se tiene la gráfica siguiente:




99


2.4.3. 2.4.3. 2.4.3. 2.4.3. Modelo IModelo IModelo IModelo III: Función tII: Función tII: Función tII: Función terapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al erapia afectando al parámetro kparámetro kparámetro kparámetro k....

Para el proceso { }3 0( );CX t t t≥ , una vez fijados los parámetros indicados al principio,

la media y la varianza infinitesimal, quedan de la forma:

1 (0,5 ( ))

(0,5 ( ))( , )

0,6C

C t t

C t cA x t x

e −

− = − y

22 ( , ) 0,0001CA x t x= .

donde C(t) es una función continua en [ ]0,t T . Además, como ya estudiamos con

anetrioridad, debe ser una función acotada superiormente, de la forma que:

( )C t k< 0t t∀ ≥

Puesto que 0 0t = y 0,5k = , se tiene que:

( ) 0,5C t < 0t∀ ≥

Vamos a ir proponiendo distintos casos para C(t), cumpliendo estas condiciones, e interpretando los resultados obtenidos.

La afección de una terapia C(t) en este modelo implicaría la variación en la velocidad con la que el individuo alcanza la cota máxima, afectando pues a la curvatura de las trayectorias.





inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=0.4


100


Como podemos observar la curvatura de las trayectorias se suavizan, llegando en un instante posterior a valores cercanos a 25. En la Figura 2.29, representamos las medias de las trayectorias de las Figuras 2.1 y 2.28, para comprender mejor la influencia de la terapia.



En el modelo original se produce el crecimiento de la especie en un pequeño periodo de tiempo, llegando a estabilizarse pasado el mismo; lo que conseguimos con la terapia, es prolongar dicho crecimiento, llegando a la madurez en instantes posteriores que en el caso sin terapia. Se crece de forma más lenta, pero llegando a estabilizarse en los mismos niveles de longitud que en los procesos sin terapia.


constante, con valores que van de 0,1 a 0,4 tomados de 0,1 en 0,1. De esta manera podemos observar cómo influye el valor de la constante. En la Figura 2.30, se representan las medias de las trayectorias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.


C(t) con



101


Como podemos apreciar, cuanto mayor es la constante C, más lento se produce el crecimiento, siendo más suave la curvatura de la trayectoria.

Al afectar con una función terapia positiva al parámetro k, en este caso constante, se provoca el suavizado de la concavidad de la curva.

Esto ocurre así, puesto que en estos casos estaríamos reduciendo el parámetro de curvatura. Si la constante considerada es negativa se produce lo contrario, un aumento de la curvatura de la gráfica, como podemos comprobar para una función ( ) 0,9C t = − .

Figura 2.31. Trayectorias de la muestra simulada del proceso X



Se observa como en menos tiempo se llega a la madurez y como la curvatura se hace más ruda. De forma más clara, en la Figura 2.32, vemos la diferencia que hay con la del proceso original, haciendo una comparación de las trayectorias medias.

Figura 2.32 Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de los

procesos X(t) (línea roja) y XC(t) (línea negra).


102


•••• Función lineal C(t)=Ct

Proponemos ahora como función terapia, ( )C t una función lineal. Puesto que debe

cumplirse que ( ) 0.5C t < 0t∀ ≥ , nos centramos en el caso de ( )C t Ct= , 0t t≥ ,con C

negativa.

Consideramos el caso particular ( ) 0.9C t t= − . En la Figura 2.33, se representan las

trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia.

Figura 2.33. Trayectorias de la muestra simulada del proceso con la distribución

inicial degenerada, (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=-0.9t

Podemos observar que la curvatura de la trayectoria se hace más notable, así como que, en muy poco tiempo, se produce un crecimiento de la variable para luego mantenerse o aumentar muy lentamente. Este hecho podría ser interesante en aquellos campos de la ciencia en los que deseamos un crecimiento rápido. En la Figuran 2.34, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia.




103


Podemos observar, como el crecimiento hasta la madurez es más rápido pero el tamaño alcanzado es más pequeño.

Consideramos ahora, distintas funciones definidas por ( )C t Ct= , siendo C una

constante, con valores que van de -2, a -0,5 tomados de 0,5 en 0,5. De esta manera podemos observar el efecto de dicho cambio en las trayectorias. En la Figura 2.35, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.

Figura 2.35. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de XC(t) con la

distribución inicial degenerada y (0) 10, 0.5, 0.6, 0.01X k c σ= = = = y C(t)=Ct.

Como podemos apreciar, cuanto menor es la constante C, menor valor de la variable se alcanza.

Si afectamos con terapias constantes al parámetro k, provocamos un crecimiento más lento o más rápido dependiendo de si es positiva o negativa la terapia, pero llegando a valores de madurez iguales que los del modelo original. Ahora bien, si afectamos con terapias lineales que tienden a menos infinito, obtenemos un crecimiento más rápido, pero con tamaños menores en la madurez.

•••• Función logarítmica C(t)=C 0ln(e+Ct)

Proponemos ahora una función terapia logarítmica, de la forma 0( ) ln( )C t C e Ct= + ,

0t t≥ , 0C > y 0 0C < , para que se cumplan las condiciones de la elección de la terapia.

Comenzamos estudiando el caso particular ( ) 2 ln( 3 )C t e t= − + . En la Figura 2.36, se

representan las trayectorias de la muestra simulada afectada por dicha terapia.


104


Figura 2.36. Trayectorias de la muestra simulada del proceso con la


C(t)=-2ln(e+3t).

Podemos observar que la curvatura de la trayectoria se hace más notable, así como que, en muy poco tiempo se produce un crecimiento de la variable para luego mantenerse o aumentar muy lentamente. El tamaño de madurez se reduce con la aplicación de esta función terapia. En la Figuran 2.37, comparamos las medias de las trayectorias con y sin terapia.



Se aprecia claramente, como el crecimiento hasta la madurez es más rápido pero el tamaño alcanzado es más pequeño.

Veamos ahora cómo influye en la trayectoria la variación de las constantes C y C0 de la función terapia. Para ello, fijamos una de ellas y damos distintos valores a la otra y viceversa. Consideramos, en primer lugar, ( ) 2 ln( )C t e Ct= − + , siendo C una constante,


105


con valores que van de 1 a 5 tomados de 1 en 1. En la Figura 2.38, se representan las medias para cada proceso afectado por las funciones terapias anteriores.


C(t) con la


C(t)=-2ln(e+Ct).

En todas se acentúa la curvatura de la trayectoria y cuanto mayor es la constante C, menor tamaño se alcanza.

Consideramos ahora, 0( ) ln( 3 )C t C e t= + , siendo C0 una constante, con valores que

van de -9, a -1 tomados de 2 en 2. En la Figura 2.39, se representan las medias para cada proceso afectado por estas funciones.

Figura 2.39. Medias de las trayectorias de las muestras simuladas de XC(t) con


C(t)=C0ln(e+3t).


106


En todas se acentúa la curvatura de la trayectoria y en este caso, cuanto mayor es la constante C0, menor tamaño se alcanza.


107



EEEEstimación stimación stimación stimación dededede terapias terapias terapias terapias en en en en elelelel pro pro pro pro----cesocesocesoceso B B B Bertalanffyertalanffyertalanffyertalanffy

En el capítulo anterior se ha realizado un estudio probabilístico de procesos de difusión Bertalanffy a los que hemos incluido funciones terapéuticas clasificándolos en varios modelos. Se ha establecido un patrón de posibles modificaciones del comportamiento del proceso original X(t) cuando se incluyen terapias de distinta clase y afectando a diferentes parámetros.

En el análisis realizado se puede considerar que la forma funcional del efecto de la terapia es conocido. Sin embargo, parece razonable suponer que en las aplicaciones, la función C(t) será desconocida, siendo esto, un hecho muy común en los estudios experimentales. Por otro lado, el conocimiento de dicha forma funcional es fundamental, ya que permite introducir un control externo para el sistema y para explicar cómo actúa la terapia.

Aunque el objetivo de este Trabajo Fin de Máster era el estudio probabilístico de modelos de difusión tipo Bertalanffy con funciones terapéuticas, hemos creído conveniente abordar el tema de la estimación de tales funciones. En una primera aproximación, nos vamos a centrar en el modelo I, dejando el estudio en los modelos II y III para una investigación posterior.

Así, el objetivo de este capítulo es encontrar, para el modelo I, un procedimiento de estimación de la función C(t). La idea es tomar el modelo X(t) como punto de partida y luego utilizar la información proporcionada por los individuos en un grupo de tratamiento para tratar de aproximar la función C. Más precisamente, se supone que el grupo de control va a ser modelado por el proceso Bertalanffy X(t) estudiado en el capítulo 1, mientras que el grupo tratado se modela por medio de un proceso del tipo


108


1 ( )CX t . De esta manera, los parámetros del proceso original se pueden estimar

mediante el uso de trayectorias del grupo de control y, a continuación, C se estima a partir de la información proporcionada por las trayectorias de los grupos tratados y relaciones adecuadas entre los dos modelos.

En los siguientes apartados, nos centraremos en la estimación máximo verosímil de los parámetros del proceso Bertalanffy, la relación existente entre las características de los modelos con y sin terapia aplicada, procediendo a continuación a establecer una metodología para estimar la función terapéutica incluida en el modelo.

Finalizamos el capítulo con un estudio de simulación para mostrar la validez de la metodología propuesta para tres elecciones de funciones terapéuticas: constante, lineal y logarítmica.

3333.1.1.1.1.... Estimación Estimación Estimación Estimación de los parámetros del proceso de los parámetros del proceso de los parámetros del proceso de los parámetros del proceso Bertalanffy Bertalanffy Bertalanffy Bertalanffy sin el efecto de una terapiasin el efecto de una terapiasin el efecto de una terapiasin el efecto de una terapia....

Realizamos en este apartado la estimación máximo verosímil de los parámetros del proceso de difusión tipo Bertanlaffy sin terapias, introducido en el capítulo 1.

La mayoría de las ecuaciones que obtendremos, no tienen solución explícita, por lo que será necesario recurrir a métodos numéricos para encontrar una solución, como ya veremos más adelante.

Puesto que los procesos de difusión son procesos de Markov, esta propiedad permite que a partir de la distribución inicial del proceso y las transiciones se tenga cualquier distribución finitodimensional y, con ello, podamos aplicar la teoría de estimación máximo verosímil.

Sea { }0( );X t t t≥ el proceso de difusión objeto de estudio con momentos

infinitesimales:

1( , )kt

ckA x t x

e c=

− y

2 22( , )A x t xσ= ,

cuya función de densidad de transición viene dada por la expresión:

22

22

1ln ln ( )

1 21 1( , , ) exp

2 ( )2 ( )

kt

ks

x cet s

y cef x t y s

t sx t s

σ

σπσ

−

−

− − + − − = − −−

, s t< .

Consideraremos el caso de muestreo discreto, es decir, supondremos que se

dispone de observaciones del proceso en instantes de tiempo, 1,..., nt t , en los cuales

se observan las variables 1( ),..., ( )nX t X t .


109


Tomamos una muestra obtenida a partir de la observación de d trayectorias en instantes de tiempo ijt , 1,...,i d= , 1,..., ij n= . Llamamos ijx , 1,...,i d= , 1,..., ij n= a

los valores observados.

No es necesario que los instantes de observación sean los mismos para cada trayectoria, si bien el instante inicial conviene que sí lo sea ya que hay que imponer

una distribución inicial. Así pues, consideraremos que 1 1it t= , para 1,...,i d= .

Cuando la distribución inicial es degenerada, [ ]1 1( ) 1P X t x= = , la función de

verosimilitud de la muestra es:

21 1

1 2

( , , ) ( , , )ind

X ij ij ij iji j

L c k f x t x tσ − −= =

= ∏∏ .

Si la distribución inicial es lognormal, es decir, 21 1 1( ) ( , )X t µ σΛ∼ , la función de

verosimilitud queda de la forma:

2 21 1 1 1 1 1

1 2

( , , , , ) ( ) ( , , )ind

X i ij ij ij iji j

L c k f x f x t x tµ σ σ − −= =

= ∏ ∏ .

Consideraremos el caso lognormal, ya que el de la distribución inicial degenerada, se puede considerar un caso particular de este.

Reparametrizando mediante 1

Dc

= y kA e−= , y teniendo en cuenta lo anterior,

podemos reescribir la función de densidad de transición de la forma:

1

22

11

1 1 2211

ln ln ( )21 1

( , , ) exp2 ( )2 ( )

ij

ij

tij

ij ijtij

ij ij ij ijij ijij ij ij

x D At t

x D Af x t x t

t tx t t

σ

σπσ

− −−

− −−−

− − + − − = −− −

.

Tomamos logaritmos en la función de verosimilitud de la muestra, con los nuevos parámetros:

( ) ( ) ( )2 21 1 1 1 1 1

1 1 2

ln ( , , , , ) ln ( ) ln ( , , )ind d

X i ij ij ij iji i j

L A D f x f x t x tµ σ σ − −= = =

= +∑ ∑∑ .

Llamando a 1

d

ii

n n=

=∑ , la función de log-verosimilitud es:

( ) ( ) 2

1 12 21 1 22

1 11 1

ln1 1ln ( , , , , ) ln exp

22

di

Xi i

xL A D

x

µµ σ σ

σπσ=

− = − +

∑


110


1

22

11

221 2 11

ln ln ( )21 1

ln exp2 ( )2 ( )

ij

iji

tij

ij ijtndij

i j ij ijij ij ij

x D At t

x D A

t tx t t

σ

σπσ

− −−

= = −−

− − + − − + − =− −

∑∑

( ) 2

1 1 1 122 21 1 2

1 1 1 1 1 21

ln1ln( ) ln(2 ) ln( ) ln( )

2

ind d d d di

i iji i i i i j

xx x

µπ σ

σ= = = = = =

− = − − − − − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑

1 12 2

11 2 1 2 1 2

ln(2 ) ln( ) ln( )i i in n nd d d

ij iji j i j i j

t tπ σ −= = = = = =

− − − − − −∑∑ ∑∑ ∑∑

1

22

11

21 2 1

ln ln ( )21

2 ( )

ij

iji

tij

ij ijtndij

i j ij ij

x D At t

x D A

t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − − −−∑∑ .

Haciendo operaciones llegamos a:

( ) ( ) 22 2 21 1 1 1 1 12

1 11

1ln ( , , , , ) ln( ) ln(2 ) ln( ) ln

2 2 2

d d

X i ii i

d dL A D x xµ σ σ π σ µ

σ= =

= − − − − − − ∑ ∑

2

11 2 1 2

1ln( ) ln(2 ) ln( ) ln( )

2 2 2

i in nd d

ij ij iji j i j

n d n dx t tπ σ −

= = = =

− −− − − − − −∑∑ ∑∑

1

22

11

21 2 1

ln ln ( )21

2 ( )

ij

iji

tij

ij ijtndij

i j ij ij

x D At t

x D A

t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − − −−∑∑ .

Calculamos las derivadas parciales correspondientes a cada parámetro e igualamos a cero la expresión resultante:

• ( ) ( )1 12

11 1

ln 12 ln 0

2

dX

ii

Lx µ

µ σ =

∂= − = ∂ ∑ ,

• ( ) ( ) 2

1 12 2 411 1 1

ln 1ln 0

2 2

dX

ii

L dx µ

σ σ σ =

∂= − + − = ∂ ∑ ,

• ( ) 1

2

11

21 2 1

ln ln ( )2ln

( )

ij

iji

tij

ij ijtndijX

i j ij ij

x D At t

x D AL

A t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − −∂ = −∂ −∑∑ x


111


x

1 11

1

1 1

1

2

( ) ( )

( )

ij ij ij ijij

ij ij

t t t ttij ij

t t

t A D A t A D AD A

D A D A

− −−

∞ −

− −−− − + −− =

− −

1

2

11

21 2 1

ln ln ( )2

( )

ij

iji

tij

ij ijtndij

i j ij ij

x D At t

x D A

t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − − = −−∑∑ x

x 1 1

1

1 1

1( ) ( )

( )( )

ij ij ij ij

ij ij

t t t t

ij ij

t t

t A D A t A D A

D A D A

− −

∞ −

− −−− − + −

− −,

• ( ) 1

2

11

21 2 1

ln ln ( )2ln

( )

ij

iji

tij

ij ijtndijX

i j ij ij

x D At t

x D AL

D t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − −∂ = −∂ −∑∑ x

x

1 1

1 2

( ) ( )

( )

ij ij ij

ij ij

t t t

t t

D A D A D A

D A D A

− −

−

− − − − =− −

1

2

11

21 2 1

ln ln ( )2

( )

ij

iji

tij

ij ijtndij

i j ij ij

x D At t

x D A

t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − − = −−∑∑ x

x

1

10

( )( )

ij ij

ij ij

t t

t t

A A

D A D A

−

−

− =− −

,

• ( )

2 2

ln 1

2XL n d

σ σ∂ −= − −

∂

1

22

1 11

41 2 1

12 ln ln ( ) ( )

2 21

2 ( )

ij

iji

tij

ij ij ij ijtndij

i j ij ij

x D At t t t

x D A

t t

σ σ

σ

− − −−

= = −

−− + − − − − +−∑∑

1

22

11

41 2 1

ln ln ( )21

02 ( )

ij

iji

tij

ij ijtndij

i j ij ij

x D At t

x D A

t t

σ

σ

− −−

= = −

−− + − − + =−∑∑ .

De las dos primeras ecuaciones que hemos obtenido, podemos despejar un

estimador para los parámetros 1µ y 21σ :

- De la primera deducimos que:

( )1 11

ln 0d

ii

x µ=

− = ∑ ⇒ ( )1 11

ln 0d

ii

x dµ=

− =∑ ,


112


llegando a que: � ( )1 11

1ln

d

ii

xd

µ=

= ∑ .

- De la segunda se tiene que:

( ) 221 1 1

1

ln 0d

ii

d xσ µ=

− + − = ∑ ⇒ � ( ) �22

1 111

1ln

d

ii

xd

σ µ=

= − ∑ ,

llegando a que: � ( ) ( )2

2

1 1 11 1

1 1ln ln

d d

i ii i

x xd d

σ= =

= −

∑ ∑ .

El resto de ecuaciones obtenidas, forman un sistema de ecuaciones que no tiene solución explícita, por lo que se propone un método numérico para encontrar una solución del sistema. Podemos simplificar el problema considerando que los instantes

de tiempo estén igualmente espaciados, es decir, 1ij ijt t h−− = .

Tomando 1ij ijt t h−= + . se tiene que:

1 1 1 1( 1)ij ij ij ij ijt t t h t t hA A A A A A− − − −+− = − = −

En este caso el sistema de ecuaciones, haciendo las correspondientes operaciones, queda de la forma:

1 1 1 1

1 1

2

1 21 11 1

1 2

ln ln2 (1 )

0( )( )

ij

ij ij ij iji

ij ij

tij

t t t th h hndij ij

t h ti j

x D Ah

x D A Dt A A DhA A hA A

h D A D A

σ− − − −

− −

− − −− −

+= =

−− + − − − + =− −∑∑ ,

1 1

1 1

2

1

1 2

ln ln2 ( 1)

0( )( )

ij

ij iji

ij ij

tij

t tn hdij

t h ti j

x D Ah

x D A A A

h D A D A

σ− −

− −

−

+= =

−− + − − =− −∑∑ ,

1

22 2

1 2 1

( ) ln ln2

iji

ij

tndij

ti j ij

x D An d h h h

x D A

σσ σ−

= = −

−− + − + − − ∑∑

1

22

1 2 1

ln ln 02

iji

ij

tndij

ti j ij

x D Ah

x D A

σ−

= = −

−− − + = − ∑∑ .

Denotando por 1 1, ( )( )ij ijt h tA DijS D A D A− −+= − − y

1

, lnij

ij

tA D

ij t

D AT

D A −

−= − , se tiene:


113


1 1 11 21 121,

,1 2 1

(1 )ln 0

2

ij ij ijit t th h hnd

ij ijA Dij A D

i j ij ij

x Dt A A DhA A hA AT h

x S

σ − − −− − −−

= = −

− − +− + =

∑∑ ,

12,

,1 2 1

( 1)ln 0

2

ijitn hd

ij A Dij A D

i j ij ij

x A AT h

x S

σ −

= = −

−− + = ∑∑ ,

22 2

2 2 , ,

1 2 1 21 1

( ) ln ln 02 2

i in nd dij ijA D A D

ij iji j i jij ij

x xn d h h T h T h

x x

σ σσ σ= = = =− −

− + − + − − + =

∑∑ ∑∑ .

Desarrollando cada ecuación obtenemos las siguientes expresiones:

1 1 11 1 11 1 1, 2

, , ,1 2 1 2 1 21

(1 ) 2 ln 2ij ij iji i i

t t tn n nd d dij ij ij ijh A D

ijA D A D A Di j i j i jij ij ij ij

x t A t A t AD A T h

x S S Sσ

− − −− − −− − −

= = = = = =−

− − +

∑∑ ∑∑ ∑∑ +

1 1 12 2 21 , 2

, , ,1 2 1 2 1 21

2 ln 2ij ij iji i i

t t tn n nd d dijh A D


x A A AhA T h

x S S Sσ

− − −−

= = = = = =−

+ − +

∑∑ ∑∑ ∑∑ -

1 1 11 , 2

, , ,1 2 1 2 1 21

2 ln 2 0ij ij iji i i

t t tn n nd d dijh A D


x A A ADhA T h

x S S Sσ

− − −−

= = = = = =−

− − + =

∑∑ ∑∑ ∑∑ ,

1 1 1, 2

, , ,1 2 1 2 1 21

2 ln 2 0ij ij iji i i

t t tn n nd d dij A D


x A A AT h

x S S Sσ

− − −

= = = = = =−

− + =

∑∑ ∑∑ ∑∑ ,

2 4 2 2 , 2 ,

1 2 1 2 1 21 1

4( ) ( ) 4 ln 4 ( ) 8 ln 0i i in n nd d d

ij ijA D A Dij ij

i j i j i jij ij

x xn d h h n d T T

x xσ σ

= = = = = =− −

− + − − − + =

∑∑ ∑∑ ∑∑ .

Para simplificar más las ecuaciones, consideramos la siguiente notación:

1,

1 ,1 2

iji tndA D

A Di j ij

AX

S

−

= ==∑∑

1,

2 ,1 2 1

lniji

tndijA D

A Di j ij ij

xAX

S x

−

= = −

=

∑∑

1, ,

3 ,1 2

iji tndA D A D

ijA Di j ij

AX T

S

−

= ==∑∑

, ,1

1 2

indA D A D

iji j

Y T= =

=∑∑

, ,

21 2 1

lnind

ijA D A Dij

i j ij

xY T

x= = −

=

∑∑

, , 23

1 2

( )ind

A D A Dij

i j

Y T= =

=∑∑


114


1

1,1* ,

1 2

ijitnd

ijA DA D

i j ij

t AX

S

−−

= ==∑∑

1

1,2* ,

1 2 1

lniji

tndij ijA D

A Di j ij ij

t A xX

S x

−−

= = −

=

∑∑

1

1, ,3* ,

1 2

ijitnd

ijA D A DijA D

i j ij

t AX T

S

−−

= ==∑∑

12,

1 ,1 2

iji tndA D

A Di j ij

AW

S

−

= ==∑∑

12,

2 ,1 2 1

lniji

tndijA D

A Di j ij ij

xAW

S x

−

= = −

=

∑∑

12, ,

3 ,1 2

iji tndA D A D

ijA Di j ij

AW T

S

−

= ==∑∑

2

1 2 1

lnind

ij

i j ij

xZ

x= = −

=

∑∑ ,

y se obtiene:

, , 2 , 1 , , 2 ,

2* 3* 1* 2 3 1(1 ) 2 2 2 2h A D A D A D h A D A D A DD A X X hX hA W W hWσ σ− − − + + − + −

1 , , 2 ,

2 3 12 2 0h A D A D A DDhA X X hXσ− − − + = ,

, , 2 ,

2 3 12 2 0A D A D A DX X hXσ− + = ,

2 4 2 , ,

3 24( ) ( ) 4 4 8 0A D A Dn d h h n d Z Y Yσ σ− + − − − + = .

Podemos observar como la segunda ecuación aparece incluida como un término en la primera, quedando el sistema:

, , 2 , 1 , , 2 ,

2* 3* 1* 2 3 1(1 ) 2 2 2 2 0h A D A D A D h A D A D A DD A X X hX hA W W hWσ σ− − − + + − + = ,

, , 2 ,

2 3 12 2 0A D A D A DX X hXσ− + = ,

2 4 2 , ,

3 24( ) ( ) 4 4 8 0A D A Dn d h h n d Z Y Yσ σ− + − − − + = .

A partir de la segunda ecuación podemos obtener un estimador para el parámetro 2σ :

, , 2 ,

2 3 12 2 0A D A D A DX X hXσ− + = ⇒ �, , , ,2

3 2 3 2, ,

1 1

2 2 2A D A D A D A D

A D A D

X X X X

hX h Xσ − −= = .

Sustituyendo este resultado en el resto de ecuaciones se llega a:


115


, , , ,, , , 1 , , ,3 2 3 2

2* 3* 1* 2 3 1, ,1 1

(1 ) 0A D A D A D A D

h A D A D A D h A D A D A DA D A D

X X X XD A X X X hA W W W

X X− − −− − + + − + =

,

, , , , 2, ,3 2 3 2

3 2, , 21 1

( )2( ) ( ) 2 0

( )

A D A D A D A DA D A D

A D A D

X X X Xn d n d Z Y Y

X X

− −− + − − − + = .

Llamando , ,

, 3 2,

1

A D A DA D

A D

X XC

X

−= , el sistema se reescribe finalmente como sigue:

, , , , 1 , , , ,

2* 3* 1* 2 3 1(1 ) 0h A D A D A D A D h A D A D A D A DD A X X C X hA W W C W− − − + + − + = ,

( )2, , , ,3 22( ) ( ) 2 0A D A D A D A Dn d C C n d Z Y Y− + − − − + = .

El sistema de ecuaciones que hemos obtenido es bastante complejo y su solución no puede obtenerse de forma explícita. Para resolverlo, hará falta un procedimiento numérico, necesitando de una solución inicial, de la que dependerá la convergencia del método que se utilice.

Es por ello que necesitamos de una solución inicial buena, para lo cual nos basamos en la información de la muestra proporcionada por las trayectorias observadas del proceso.

Dada la curva de von Bertalanffy:

( ) 1 ktf t f ce−∞ = − ; 0

ln; 0

ct t k

k≥ > > y con 0

0 0( ) 1 ktf t x f ce−∞ = = − ,

tomando 1

Dc

= y kA e−= , se tiene: 0

0 1tx A

f D∞

= − , de donde despejando D:

0

01

tAD

x

f∞

=−

,

lo que permite establecer una relación entre k y c; concretamente 0ktc eα= donde,

01x

fα

∞

= − . Ahora bien, la expresión de la curva von Bertalanffy queda:

( )0( )( ) 1 k t tf t f eα − −∞= − ,

que tiene un sólo parámetro desconocido. Se propone para cada trayectoria muestral,

calcular k mediante un ajuste mínimo cuadrático a la curva. Para esto, el valor 0x

f∞

se

aproxima por la media de los valores 1

, i

i

i n

x

x, 1,...,i d= . Finalmente, el valor inicial para

A es la exponencial de la media de las estimaciones de k obtenidas.


116


Con los valores iniciales para A y D, se resuelve de forma numérica el último sistema de ecuaciones planteado y a partir de la estimación de A y D obtenidas, se estima

2σ por:

�

�

� �

� ��

� �

�

� �

1 1

1

,

, ,2 1 2 1 2 1

,1 2

ln2

ij iji i

iji

t tn nd dijA D

ijA D A Di j i j ijij ij

tnd

A Di j ij

xA AT

xS S

h A

S

σ

− −

−

= = = = −

= =

−

=∑∑ ∑∑

∑∑

.

3333.2.2.2.2. . . . Relación entre las principales características Relación entre las principales características Relación entre las principales características Relación entre las principales características del del del del proceso Bertalanffy y el modelo proceso Bertalanffy y el modelo proceso Bertalanffy y el modelo proceso Bertalanffy y el modelo IIII

Conocidas las expresiones de las trayectorias para los dos procesos, 1 ( )CX t y ( )X t

estas se relacionan entre sí mediante la igualdad:

( )0

1 ( ) ( )exp ( ) ( )tC

tX t X t C dθ θ= −∫ .

Para las principales características de los procesos, se obtienen las siguientes relaciones:

• Función Media:

[ ] ( )0

1 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC

tE X t E X t C dθ θ = − ∫ , 0t t≥ .

• Función Moda:

[ ] ( )0

1 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC

tMo X t Mo X t C dθ θ = − ∫ , 0t t≥ .

• Función de Cuantiles:

( ) ( )[ ] ( )0

2 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC

tcuantil X t cuantil X t C dα α θ θ − == − − ∫ , 0t t≥ .

• Función Media Condicionada:

( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( )tC C

sE X t X s y E X t X s y C dθ θ = = = − ∫ , t s> .

• Función Moda Condicionada:

( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( )tC C

sMo X t X s y Mo X t X s y C dθ θ = = = − ∫ , t s> .

• Función de Cuantiles Condicionada:

( ) ( ) ( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( )tC C

scuantil X t X s y cuantil X t X s y C dα α θ θ − = = − = − ∫ .


117


• Función Varianza:

[ ] ( )0

1 ( ) ( ) exp 2 ( ) ( )tC

tVar X t Var X t C dθ θ = − ∫ .

• Función Covarianza:

( ) ( )0

1 ( , ) ( , )exp 2 ( ) ( ) exp ( ) ( )t t sC

t t sC s t C s t C d C dθ θ θ θ

∨

∧= − −∫ ∫ .

3333.3.3.3.3.... Estimación Estimación Estimación Estimación de la función de la función de la función de la función terapia en el modelo terapia en el modelo terapia en el modelo terapia en el modelo IIII Presentamos a continuación, un planteamiento matemático que nos da la

oportunidad de estimar la función terapia, mediante un procedimiento basado en la relación entre la función media del modelo I y la del proceso Bertalanffy sin terapia.

Para realizar la estimación propuesta, consideramos una muestra obtenida a partir de la observación de d1 trayectorias del proceso sin terapia (grupo de control no tratados), ijx , 11,...,i d= , 1,...,j n= y d2 trayectorias del proceso con terapia (grupo

tratado), Cijx , 21,...,i d= , 1,...,j n= observados en los mismos instantes de tiempo

1,..., nt t .

Las expresiones que relacionan las trayectorias y las medias del proceso Bertalanffy y este modelo son:

( )0

1 ( ) ( )exp ( ) ( )tC

tX t X t C dθ θ= −∫ ,

y

[ ] ( )0

1 ( ) ( ) exp ( ) ( )tC

tE X t E X t C dθ θ = − ∫ .

De esta última podemos despejar la función ( )C t de la forma:

[ ]( )

( ) ln( )

CE X tdC t

dt E X t

= −

. (3.1)

Mediante el uso de esta ecuación, podemos encontrar una aproximación de la función terapia C(t), y por lo tanto para este caso, de la tasa de crecimiento proporcional al valor del proceso.

Metodología propuesta

Continuando con la expresión (3.1) de la función terapia C(t), y puesto que

[ ] [ ]00

1( ) ( )

1

kt

kt

ceE X t E X t

ce

−

−

−=−

, podemos reescribirla como:


118


[ ] [ ]0

0

00

( ) ( ) 1( ) ln ln

1 ( ) 1( )

1

C C kt

kt kt

kt

E X t E X td d ceC t

cedt dt E X t ceE X t

ce

−

− −

−

− = − = − − −

−

.

Si llamamos [ ]0

0

( ) 1( ) ln

( ) 1

C kt

kt

E X t cea t

E X t ce

−

−

− = −

, uno de los pasos del proceso

consistirá en estimar esta función mediante interpolación. La expresión de C(t) queda de la forma:

{ }( ) ( )d

C t a tdt

= − .

Estamos pues, en condiciones de aplicar el siguiente procedimiento:

• A partir de los valores de la muestra ijx , estimamos los parámetros del

proceso sin terapa ( )X t . Obteniéndose así, en este primer paso, estimaciones

para ,c k y 2σ .

• Llamamos a jx y Cjx , las medias de los valores de trayectorias en el instante

de tiempo jt , correspondientes a los procesos sin y con terapia

respectivamente, es decir:

1

1 1

dij

j

i

xx

d=

=∑ y 2

1 2

CdC ijj

i

xx

d=

=∑ .

Obtenemos la función m(t) mediante la interpolación de los valores:

1

1

1ln

1 j

C ktj

j kt

x cem

cex

−

−

− = −

, 1,...,j n= .

Esta función m(t) nos proporciona una estimación de ( )a t .

Hay que tener en cuenta que si 1 0t t= , la hora de inicio de la terapia, la

distribución de 1( )X t y 1( )CX t son iguales, por lo que 1x y 1C

x deben ser

aproximadamente iguales y por lo tanto, así lo consideraremos (presumiendo

que 1( ) 0C t = ).

• Por último, obtenemos un estimador de la función terapia mediante la expresión:

�( ) '( )C t m t= − .


119


La consistencia del estimador propuesto �( )C t , se deriva de la consistencia de los

estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros ,c k y 2σ y de la convergencia

uniforme del método de interpolación (por ejemplo, interpolación spline cúbica).

Una vez encontrado el estimador de la función terapia, es interesante el estudio del error de estimación; en concreto, se pueden usar:

- Error absoluto en t: �( ) ( ) ( )aE t C t C t= −

- Error relativo en porcentaje en t: �( ) ( )

( ) 100( )r

C t C tE t

C t

−=

y sus correspondientes valores medios.

La expresión de las trayectorias del modelo I utilizando la función terapia estimada viene dada por la siguiente igualdad:

�

ɵ

ɵ ( ) ��

0

2

1 0 0 0 0

1( ) exp ( ) ( ) exp ( ( ) ( )) ( )

21

ktC

kt

ceX t x m t m t W t W t t t

ce

σσ−

−

− = − − − − −

ɵ

ɵ,

donde ( )m t es la función obtenida mediante la interpolación de los valores jm .

3.4.3.4.3.4.3.4. Estudio de simulaciónEstudio de simulaciónEstudio de simulaciónEstudio de simulación Al igual que en el capítulo anterior, para el proceso Bertalanffy sin terapias (que

representaría en la práctica a un grupo de control) hemos elegido los siguientes valores para los parámetros 0,5k = , 0,6c = , 0,01σ = , por lo que el proceso de difusión sin

terapa ( )X t , tiene momentos infinitesimales:

1 0,5

0,3( , )

0,6tA x t x

e=

− y

22( , ) 0,0001A x t x= .

Para todos los modelos (Bertalanffy sin terapia y modelo I con las distintas terapias seleccionadas) se han simulado 100 trayectorias en el intervalo de tiempo [0,30], en

instantes 1

10i

it

−= , 1,...,301i = , y con una distribución inicial degenerada, con

(0) 10X = .

Caso 1: FCaso 1: FCaso 1: FCaso 1: Función terapiaunción terapiaunción terapiaunción terapia constante constante constante constante....

Consideramos la función terapia ( ) 0.05C t = . Siguiendo la metodología propuesta

vamos a obtener un estimador de la terapia, mediante la interpolación de los valores:

1

1

1ln

1 j

C ktj

j kt

x cem

cex

−

−

− = −

, 1,...,j n= ,


120


que genera una función m(t), de donde se obtiene la estimación de ( )C t , mediante la

expresión: �( ) '( )C t m t= −

Una vez programado el algoritmo, la función terapia resultante tiene la siguiente gráfica:

Figura 3.1. Función terapia estimada

En la gráfica de la Figura 3.1 se pueden observar fluctuaciones demasiado significativas a pesar de haber utilizado una interpolación mediante funciones cúbicas a trozos (splines), que las reduce. Es por ello que nos planteamos un suavizado de la curva. En la Figura 3.2, podemos ver la función suavizada de la terapia estimada.

Figura 3.2. Función terapia estimada y su función suavizada

Gráficamente podemos decir en una primera valoración, que la función terapia suavizada parece tomar valores constantes cercanos a 0.05, como la terapia elegida.

Para comprobar esta percepción, calculamos los errores absolutos y relativos de la terapia estimada con y sin suavizado.


121


Representando gráficamente los errores absolutos, �( ) ( ) ( )aE t C t C t= − .

A modo de comparativa tenemos la Figura 3.3 donde encontramos a la izquierda los errores absolutos de la función terapia estimada mediante la interpolación de los valores sin suavizado y a la derecha los de la función estimada suave. Como se puede apreciar el caso de suavizado tiene errores más pequeños.

Figura 3.3. Errores absolutos de la función terapia real y estimada para los casos

de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).

Calculando los errores relativos en porcentaje, �( ) ( )

( ) 100( )r

C t C tE t

C t

−= , obtenemos

una situación similar, como se muestra en la Figura 3.4.

Figura 3.4. Porcentajes de errores relativos de la función terapia real y estimada

para los casos de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).

Del cálculo de la media de los errores relativos en porcentaje, concluimos que la estimación sin suavizado presenta un error del 4.769% frente a la estimación con


122


suavizado que tiene un error de 0.20%, mejorando este último, la estimación de la terapia.

Hemos llegado a obtener una función terapia estimada bastante buena.

Para terminar el estudio, representamos la media de trayectorias simuladas de los procesos con terapia estimada suavizada y las comparamos con las del modelo con terapia real. Se obtienen valores muy similares, como se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5 Medias de las trayectorias de B1 (proceso XC(t)) y de B2 (proceso X

C(t)

con C(t) estimada suavizada).

Caso 2: Caso 2: Caso 2: Caso 2: Función lineal C(t)=CtFunción lineal C(t)=CtFunción lineal C(t)=CtFunción lineal C(t)=Ct

Consideramos ahora la función terapéutica ( ) 0.03C t t= . Siguiendo la metodología

propuesta obtenemos la siguiente gráfica de la función terapia estimada:



123


En esta ocasión no observamos las fluctuaciones del caso anterior. Aún así, dada la gran mejoría que tuvo en la estimación un suavizado de los puntos antes de interpolar, nos planteamos como queda la curva suavizada. En la Figura 3.7, mostramos dicho suavizado.


No encontramos apenas diferencias de forma gráfica. Para comprobar si se ha mejorado o no con el suavizado y si la estimación obtenida es buena, calculamos los errores absolutos y relativos.



Figura 3.8 Errores absolutos de la función terapia real y estimada para los casos de

sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).


124


Calculando los errores relativos en porcentaje, �( ) ( )

( ) 100( )r

C t C tE t

C t

−= , obtenemos

una situación similar, como se muestra en la Figura 3.9.

Del cálculo de la media de los errores relativos en porcentaje, , concluimos que la estimación sin suavizado presenta un error del 1.01% frente a la estimación con suavizado que tiene un error de 0.197%, mejorando este último la estimación de la terapia. Hemos llegado a obtener una función terapia estimada bastante buena.

. Figura 3.9. Porcentajes de errores relativos de la función terapia real y estimada


Podemos apreciar que en los primeros instantes es donde más error relativo se tiene tendiendo a cero en poco tiempo.

Para terminar el estudio, representamos la media de las trayectorias simuladas de los procesos con terapia estimada con y sin suavizado y las comparamos con las del modelo con terapia real, obtenemos valores muy similares, como se muestra en la Figura 3.10.

Figura 3.10 Medias de las trayectorias de B1 (proceso X

C(t)), de B2 (proceso X

C(t)

con C(t) estimada sin suavizado) y de B3 (proceso XC(t) con C(t) estimada

suavizada).


125


Caso 3: Caso 3: Caso 3: Caso 3: Función logarítmica C(t)=CFunción logarítmica C(t)=CFunción logarítmica C(t)=CFunción logarítmica C(t)=C0000ln(e+Ct)ln(e+Ct)ln(e+Ct)ln(e+Ct)

Consideramos la función terapéutica ( ) 0.2 ln( 0.03 )C t e t= + . Siguiendo la

metodología propuesta obtenemos la siguiente gráfica de la función terapia estimada:


En esta ocasión observamos de nuevo fluctuaciones como las del caso primero. Para corregirlas y mejorar así la estimación de la función terapia, realizamos un suavizado de los puntos antes de interpolar. En la Figura 3.12 mostramos dicho suavizado.


Calculamos los errores absolutos y relativos, para comprobar la mejoría que tiene el suavizado de la curva.



126



Figura 3.13 Errores absolutos de la función terapia real y estimada para los casos

de sin y con suavizado (izquierda y derecha respectivamente).

Calculando los errores relativos en porcentaje,

�( ) ( )( ) 100

( )r

C t C tE t

C t

−=

obtenemos una situación similar, como se muestra en la Figura 3.14.

Del cálculo de la media de los errores relativos en porcentaje, concluimos que la estimación sin suavizado presenta un error del 1.024% frente a la estimación con suavizado que tiene un error de 0.187%, mejorando este último la estimación de la terapia.

Hemos llegado a obtener una función terapia estimada bastante buena.

Figura 3.14 Porcentajes de errores relativos de la función terapia real y estimada



127


Para terminar el estudio, representamos la media de las trayectorias simuladas de los procesos con terapia estimada con y sin suavizado y las comparamos con las del modelo de terapia real. Obtenemos valores muy similares, para la terapia estimada suavizada y la real, no siendo así en el caso de la terapia estimada sin suavizado, como se muestra en la Figura 3.15.

Figura 3.15 Medias de las trayectorias de B1 (proceso X

C(t)), de B2 (proceso X

C(t)

con C(t) estimada sin suavizado) y de B3 (proceso XC(t) con C(t) estimada

suavizada).


128



129


BBBBibliografíaibliografíaibliografíaibliografía

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132



133


Anexo. Programación en RAnexo. Programación en RAnexo. Programación en RAnexo. Programación en R

Gráficos de la curva von Bertalanffy Gráficos de la curva von Bertalanffy Gráficos de la curva von Bertalanffy Gráficos de la curva von Bertalanffy

# 1º gráfico

# fijamos los parámetros y damos distintos valores a k

f1<-function(t,k,f0,a){f0*(1-exp(-k*(t-a)))}

f0<-50

a<- -0.2

tiempo<-seq(0,3,0.05)

kas<-c(1,0.5,0.1)

datos<-outer(tiempo,kas,f1,f0,a)

colores<- seq(2:4)

par(mai=c(1,1,1,1))

matplot(tiempo,datos , type="l", lty=1,lwd=2,col=co lores,

ylab="longitud", main= "Bertalanffy 1")

t<-c("k=","k=","k=")

texto<- cbind(t,kas)

tk<-paste(texto[,1] , texto[,2])

legend("topleft", legend=tk,col=colores,fill=colore s)

# 2º gráfico

# fijamos los parámetros y damos distintos valores a c

f2<-function(t,c,t0,x0,k){x0*(1-c*exp(-k*t))/(1-c*e xp(-k*t0))}

t0<-0

x0<-2

k<-0.5


Ces<-c(0.9,0.8,0.3)

datos<-outer(tiempo,Ces,f2,t0,x0,k)


134


colores<- seq(2:4)

par(mai=c(1,1,1,1))


ylab="longitud", main= "Curva de Von Bertalanffy (k =0.5)")

t<-c("c=","c=","c=")

texto<- cbind(t,Ces)



k<-1.5 #para otro valor de k


Ces<-c(0.9,0.8,0.3)

datos<-outer(tiempo,Ces,f2,t0,x0,k)

colores<- seq(2:4)

par(mai=c(1,1,1,1))


ylab="longitud", main= "Curva de Von Bertalanffy (k =1.5)")

t<-c("c=","c=","c=")

texto<- cbind(t,Ces)



Funciones utilizadas en la simulación de los prFunciones utilizadas en la simulación de los prFunciones utilizadas en la simulación de los prFunciones utilizadas en la simulación de los procesos con y sin terapiaocesos con y sin terapiaocesos con y sin terapiaocesos con y sin terapia

#FUNCIONES PARA SIMULAR PROCESO BERTALANFFY

library(splines) # para la interpolación en la estimación de la terapia

################################################### ###################

# Funciones que generan trayectorias del proceso de Wiener estándar

# n: longitud de la trayectoria

# tra: numero de trayectorias que simular

# h: paso entre dos instantes sucesivos

################################################### ###################

Wiener2<-function(n,tra,h)

{

Wiener2<-array(0,c(n,tra))

for(i in 1:tra) Wiener2[,i]<-cumsum(c(0,rnorm(n- 1,0,sqrt(h))))

print(Wiener2)

}


135


################################################### ###################

# Función que genera trayectorias de un proceso tip o Bertalanffy

# Ini: Distribución Inicial (0: degenerada en x0; 1:lognormal(mo,sigma0))


# tra: numero de trayectorias que simular


# t0: instante inicial

# c,k: parametros curva Bertalanffy

# sigma: parámetro de los momentos infinitesimales

################################################### ###################

Bertalanffy<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,si gma0,c,k)

{

Win<-Wiener2(n,tra,h)

if (Ini==0) Inicial<-rep(x0,tra) else Inicial<-r lnorm(tra,m0,sigma0)

Bertalanffy<-array(0,c(n,tra))

Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)

Bertalanffy<-t(Inicial*t((1-c*exp(-k*Tiempo))/(1 -c*exp(-k*t0))*exp(sigma*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))

print(Bertalanffy)

}

################################################### #################### Función integral

# Calculas todas las integrales definidas

# entre cada instante de tiempo y el instante inici al

# integrando: es la función a integrar

# Tiempo: es el vector de tiempos

################################################### ###################

F_integral<-function(integrando,Tiempo)

{

res<-vector()

n<-length(Tiempo) #nº de elementos del vector de Tiempos

for (i in 1:n)

{

res1<-integrate(integrando,lower=Tiempo[1],upper=Tiempo[i ],subdivisions=1000)

res<-c(res,res1[[1]])

}

F_integral<-res

}


136


# INTRODUCCIÓN DE TERAPIAS EN EL PROCESO DE BERTALA NFFY

################################################### ###################

# Bertalanffy1: Modelo 1

# Función terapia afectando a la tasa de crecimient o proporcional al

# tamaño de la especie



# tra: numero de trayectorias a simular





# terapia: La función terapia

################################################### ###################

Bertalanffy1<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,s igma0,c,k,terapia)

{



Bertalanffy1<-array(0,c(n,tra))


Integral<-F_integral(terapia,Tiempo)

Bertalanffy1<-t(Inicial*t(exp(-Integral)*(1-c*ex p(-k*Tiempo))/(1-c*exp(-k*t0))*exp(sigma*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0) )))

print(Bertalanffy1)

}

################################################### ###################

# Bertalanffy2: Modelo 2

# Función terapia afectando al parámetro c








# terapia:La función terapia

################################################### ###################


{


137





MI<-function(t){(c-terapia(t))*k/(exp(k*t)-(c-te rapia(t)))}


Integral<-F_integral(MI,Tiempo)

Bertalanffy2<-t(Inicial*t(exp(Integral)*exp(sigm a*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))

print(Bertalanffy2)

}

################################################### #################### Bertalanffy3: Modelo 3

# Función terapia afectando al parámetro k









################################################### ###################


{




MI<-function(t){c*(k-terapia(t))/(exp((k-terapia (t))*t)-c)}


Integral<-F_integral(MI,Tiempo)

Bertalanffy3<-t(Inicial*t(exp(Integral)*exp(sigm a*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))

print(Bertalanffy3)

}

################################################### #################### Bertalanffy5: con terapia estimada

# Función terapia afectando al parámetro k






138






################################################### ###################

Bertalanffy5<-function(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,s igma0,c,k,mt)

{





Bertalanffy5<-t(Inicial*t(exp(mt(Tiempo)-mt(t0)) *(1-c*exp(-k*Tiempo))/(1-c*exp(-k*t0))*exp(sigma*Win-(sigma^2/ 2)*(Tiempo-t0))))

print(Bertalanffy5)

}

################################################### ###################

# comparacion_medias: Dibuja la gráfica de comparac ión de dos medias

#

# media:vector c on los valores medios del proceso BT con terapia

# mst: Vector con los valores medios del proceso BT sin terapia

################################################### ###################

comparacion_medias<-function(media,mst)

{

ymax<-max(c(mst,media)) #cálculo de los valores máximo y mínimo

ymin<-min(c(mst,media)) #para ajustar el ejey

inc<-0.1*(ymax-ymin)

ejey<-c(ymin-inc,ymax+inc)

titulo<-paste("Comparación de las medias del proce so \ncon y sin terapia ")

plot(Tiempo,media,main=titulo,lty=1,lwd=5,col=1,ty pe="l",xlab="Tiempo",ylim=ejey,ylab="Trayectorias medias")

lines(Tiempo,mst,type='l',lwd=5,col=2)

legend("bottomright", legend=c("con terapia","sin terapia"),col=1:2,fill=1:2)

}

Simulaciones y gráficas del procSimulaciones y gráficas del procSimulaciones y gráficas del procSimulaciones y gráficas del proceso Bertalanffy sin terapia.eso Bertalanffy sin terapia.eso Bertalanffy sin terapia.eso Bertalanffy sin terapia.

# ESTABLECIMIENTO DE LOS PARÁMETROS PARA LAS SIMULACIONESS

Ini<-0 #degenerada en x0

x0<-10

n<-301 #longitud de la trayectoria (nº de instantes)

tra<-100 # número de trayectorias a simular


139


h<-0.1 # paso entre dos instantes sucesivos

t0<-0 #instante inicial

sigma<-.01

m0<-1

sigma0<-0.01

c<-0.6

k<-0.5

Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h) #vector de tiempos

# EJECUCIÓN PROCESO BERTALANFFY SIN TERAPIAS

BT<- Bertalanffy(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0, c,k)

titulo<-paste(" Trayectorias simuladas de un proces o \n tipo Bertalanffy sin terapias")

matplot(Tiempo,BT,main=titulo,lty=1,lwd=1,type="l", xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias")

#cálculo y representación de la media

media<-rep(0,n)

for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT[i,])

lines(Tiempo,media,type='l',lwd=5)

mst<-media #guardamos los valores medios del proceso sin terap ia

SiSiSiSimulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el modelo I.delo I.delo I.delo I.

# MODELO 1. SIMULACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA

# Ejecución con terapias constantes

terapia<-function(t){0*t+0.02}

BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0 ,c,k,terapia)

titulo<-" Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función constante"



media<-rep(0,n)



#comparación de las medias

comparacion_medias(media,mst)

#diferentes valores de la constante (función terapi a)

medias<-NULL

media<-rep(0,n)


140


ctes<-seq(0.01,0.1,0.01)

nsim<-length(ctes) #nº de terapias constantes simuladas

colores<-seq(1,nsim)

for (i in 1:nsim){

integrando<-function(t){0*t+ctes[i]}

BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma0,c,k, integrando)

#cálculo de las medias

for(j in 1:n) media[j]<-mean(BT[j,])

medias<-cbind(medias,media)

}

# Representación de las Medias

titulo="Representación de los valores medios de las \ntrayectorias para distintas terapias"

matplot(Tiempo,medias,main=titulo,lty=1,col=colores ,lwd=2,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias medias")

#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)

texto<- cbind(t,ctes)


legend("bottomleft", legend=tk,col=colores,fill=col ores)

###################################################

#Ejecución con terapias y funcion lineal

terapia<-function(t){-0.02*t}


titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función lineal"



media<-rep(0,n)






medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-seq(0.001,0.005,0.001)

nsim<-length(ctes) #nº de terapias simuladas



141


for (i in 1:nsim){

integrando<-function(t){ctes[i]*t}

BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k, integrando)




}




#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)



legend("bottomleft", legend=tk,col=colores,fill=col ores)

##############################################

#Ejecución con terapias y funcion logaritmica

terapia<-function(t){-0.02*log(exp(1)+0.1*t)}


titulo<-paste(" Trayectorias simuladas de un proces o tipo Bertalanffy\ncon terapia función logarítmica")



media<-rep(0,n)






medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-c(0.1,0.15,0.2)



for (i in 1:nsim){

integrando<-function(t){0.02*log(exp(1)+ctes[i]*t) }


142


BT<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k, integrando)




}




#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)



legend("topright", legend=tk,col=colores,fill=color es)

SiSiSiSimulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el momulaciones y gráficas para el modelo II.delo II.delo II.delo II.

# MODELO 2. SIMULACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA

#Ejecución con terapias # MODELO 2#

#terapias constantes

terapia<-function(t){0*t-0.1}


titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función constante"



media<-rep(0,n)





#diferentes valores de la constante (función terapi a

medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-seq(0.1,0.4,0.1)



for (i in 1:nsim){

terapia<-function(t){0*t+ctes[i]}


143


BT<- Bertalanffy2(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)




}




#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)



legend("bottomright", legend=tk,col=colores,fill=co lores)

################################################### ###################

#terapias racionales acotadas

terapia<-function(t){0.3*t^2/(t^2+1)}


titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia"



media<-rep(0,n)





#diferentes valores de la constante función terapia

medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-seq(0.1,0.4,0.1)



for (i in 1:nsim){

terapia<-function(t){ctes[i]*t^2/(t^2+1)}






144


}




#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)




SiSiSiSimulaciones y gráficmulaciones y gráficmulaciones y gráficmulaciones y gráficas para el moas para el moas para el moas para el modelo IIdelo IIdelo IIdelo IIIIII.... # MODELO 3. SIMULACIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA

# Ejecución con terapias constantes

terapia<-function(t){0*t-0.9}


titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia función constante"



media<-rep(0,n)






medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-seq(0.1,0.4,0.1)

nsim<-length(ctes) #nº de terapias constantes simul adas


for (i in 1:nsim){

terapia<-function(t){0*t+ctes[i]}





}


145





#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)




################################################### #########

#Ejecución con terapias y funcion lineal

terapia<-function(t){-0.9*t}


titulo<-paste(" Trayectorias simuladas de un proces o tipo Bertalanffy\ncon terapia")



media<-rep(0,n)






medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-seq(0.5,2,0.5)



for (i in 1:nsim){

terapia<-function(t){-ctes[i]*t}





}





146


#componer leyenda

t<-rep("c= -",nsim)




##############################################

#Ejecución con terapias y funcion logaritmica

terapia<-function(t){-2*log(exp(1)+3*t)}


titulo<-"Trayectorias simuladas de un proceso tipo Bertalanffy\ncon terapia"



media<-rep(0,n)






medias<-NULL

media<-rep(0,n)

ctes<-seq(1,5,1)



for (i in 1:nsim){

terapia<-function(t){-2*log(exp(1)+ctes[i]*t)}





}




#componer leyenda

t<-rep("c=",nsim)





147


Estimación de la función terapia para el Modelo IEstimación de la función terapia para el Modelo IEstimación de la función terapia para el Modelo IEstimación de la función terapia para el Modelo I

# Bertalanffy con terapia estimada MODELO I

terapia<-function(t){0.2*log(exp(1)+0.03*t)}

BT1<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,terapia)

media<-rep(0,n)

#calculo de la media trayectorias en cada instante

for(i in 1:n) media[i]<-mean(BT1[i,])

#####################c(t) sin suavizado############ ####

#calculo de mj

mj<-rep(0,n)

for(i in 1:n) mj[i] <- log((media[i]/media[1]) * (( 1-c*exp(-k*t0))/(1-c*exp(-k*Tiempo[i]))))

#interpolamos

mt<-splinefun(Tiempo,mj)

ct<-function(t){-mt(t,deriv=1)}

#Gráfica ct

datos<-ct(Tiempo)

ymax<-max(datos) #cálculo de los valores máximo y mínimo

ymin<-min(datos) #para ajustar el ejey

inc<-(ymax-ymin)


titulo<-"Función terapia estimada"

plot(Tiempo,ct(Tiempo),main=titulo,lty=1,lwd=2,col= 1,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Terapia estimada",ylim=ejey)

#Error absoluto

dife<-abs(terapia(Tiempo)-ct(Tiempo))

titulo="Diferencia entre la aproximacion y valor re al C(t)"

matplot(Tiempo,dife,type="s",main=titulo, ylim=c(0,0.05),lty=1,lwd=1,xlab="Tiempo",ylab="Erro r Absoluto")

#Error relativo

dife2<-abs(terapia(Tiempo)-ct(Tiempo))/abs(terapia( Tiempo))*100

titulo=" % error y valor medio"

plot(Tiempo,dife2,type="s",main=titulo,col=2, ylim=c(0,100),lty=1,lwd=2,xlab="Tiempo",ylab="% err or")

m_err_pct<-mean(dife2)

#m_err_pct<-mean(dife2[2:n]) #para el caso C*t que el primero divide por cero

m_err_pct


148


#####################c1(t) con suavizado en mj##### ###########

#calculo de mj

mj<-rep(0,n)

for(i in 1:n) mj[i] <- log((media[i]/media[1]) * (( 1-c*exp(-k*t0))/(1-c*exp(-k*Tiempo[i]))))

#suavizado de los puntos

suave<-loess(mj~Tiempo)

suave$fitted

mt1<-splinefun(Tiempo,suave$fitted)

ct1<-function(t){-mt1(t,deriv=1)}

#Gráfica ct1

datos<-ct1(Tiempo)



inc<-20*(ymax-ymin)


titulo<-"Función terapia estimada"

plot(Tiempo,ct1(Tiempo),main=titulo,lty=1,lwd=2,col =1,type="l",xlab="Tiempo",ylab="Terapia estimada",ylim=ejey)

#Error absoluto

dife<-abs(terapia(Tiempo)-ct1(Tiempo))

titulo="Diferencia entre la aproximacion y valor re al C(t)"

matplot(Tiempo,dife,type="s",main=titulo, ylim=c(0,0.05),lty=1,lwd=1,xlab="Tiempo",ylab="Erro r Absoluto")

#Error relativo

dife2<-abs(terapia(Tiempo)-ct1(Tiempo))/abs(terapia (Tiempo))*100

titulo=" % error y valor medio"

plot(Tiempo,dife2,type="s",main=titulo,col=2, ylim=c(0,100),lty=1,lwd=2,xlab="Tiempo",ylab="% err or")

m_err_pct<-mean(dife2)

#m_err_pct<-mean(dife2[2:n]) #para el caso C*t que el primero divide por cero

m_err_pct

################################################### ###################

#Grafica ct estimada y ct suavizada

datos<-ct(Tiempo)



inc<-(ymax-ymin)



149


titulo<-"Función terapia estimada y suavizada"

plot(Tiempo,ct(Tiempo),main=titulo,lty=1,lwd=3,col= 1,type="l",xlab= "Tiempo",ylab="Terapia estimada",ylim=ejey)

lines(Tiempo,ct1(Tiempo),type='l',lwd=2,col=2)

###Trayectorias con terapia real, ct estimada y sin suavizado

BT2<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,-mt(t,deriv=1))

media_B2<-rep(0,n)


for(i in 1:n) media_B2[i]<-mean(BT2[i,])

#Trayectorias con ct1 estimada con suavizado

BT3<- Bertalanffy1(Ini,x0,n,tra,h,t0,sigma,m0,sigma 0,c,k,ct1)

media_B3<-rep(0,n)


for(i in 1:n) media_B3[i]<-mean(BT3[i,])


titulo<-"Comparación de las medias de las Trayector ias"

ymax<-max(c(media,media_B2,media_B3)) #cálculo valores máximo-mínimo

ymin<-min(c(media,media_B2,media_B3)) #para ajustar el ejey

inc<-(ymax-ymin)/10


plot(Tiempo,media,main=titulo,lty=1,lwd=5,col=2,typ e="l",xlab="Tiempo",ylab="Trayectorias",ylim=ejey)

lines(Tiempo,media_B2,type='l',lwd=5,col=1)

lines(Tiempo,media_B3,type='l',lwd=5,col=3)

legend("topright", legend=c("B2","B1","B3"),col=1:3 ,fill=1:3)

Estudio probabilístico de modelos de difusión tipo...

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