Estudio de las líneas notables de los triángulos ...

Estudio de las líneas notables de los triángulos utilizando geometría

dinámica para potenciar los niveles de razonamiento geométrico

Javier Sánchez Quintero

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Bogotá D.C., Colombia

2017

Estudio de las líneas notables de los triángulos utilizando geometría

dinámica para potenciar los niveles de razonamiento geométrico

Javier Sánchez Quintero

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Omar Duque Gómez

Doctor en Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Bogotá D.C., Colombia

2017

A Dios

A mis padres, a mi Esposa y a mis Hijas.

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en

el bello y maravilloso mundo del saber”

Albert Einstein

Agradecimientos

A Omar Duque Gómez, director de mi trabajo quien con su voz de aliento y fe en mí, me

acompañó orientándome con sus conocimientos.

A Reinaldo Montañez, Profesor que inspiro este trabajo en la asignatura de geometría de la

maestría, por su lectura y recomendaciones.

A mis Padres Sixta y Jesús, por su sacrificio, amor y entrega.

A mis hermanos y hermanas, especialmente a Martha y Fabiola que con su ayuda hicieron

posible la culminación de esta meta.

A mis hijas Laura y Stephanie, bendición de Dios.

A mi Esposa Yaneth, fuente de inspiración y cómplice de mis metas y sueños.

Al ingeniero Luis Armando Maldonado “QEPD”, quien fuera mi gran amigo.

A mis estudiantes Villemaristas y mis estudiantes de la Universidad Manuela Beltrán, quienes

representan la inspiración y los directos responsables por mejorar mis prácticas pedagógicas, mi

razón de ser un buen Docente.

A mis amigos de clase de la maestría Dídimo Vera y Alejandro Triana.

A todos los que hicieron posible este trabajo.

Resumen

Este trabajo aborda la conceptualización de las líneas notables de un triángulo, potenciando

niveles de razonamiento mediante el uso de la geometría dinámica (GeoGebra), buscando de esta

manera una innovación didáctica que contribuya en la realización de trabajos con estudiantes de

grado octavo (ciclo IV). Con el propósito de que los estudiantes redescubran propiedades y

teoremas ya establecidos en el estudio de la geometría del triángulo, se proponen actividades en

las cuales se involucre el uso de la herramienta TIC GeoGebra, tomando como referente tres

fases del aprendizaje, según el modelo de Van Hiele.

Palabras claves: Triángulo, Razonamiento Geométrico, Pensamiento Espacial, Modelo de Van

Hiele, Software GeoGebra.

Abstract

This research study deals with the conceptualization of the noticeable lines of a triangle,

enhancing levels of reasoning through the use of dynamic geometry (GeoGebra), seeking a

didactic innovation that contributes in the accomplishment of eighth grade students tasks (cycle

IV). This is done with the purpose of the students rediscovering properties and theorems already

established in the study of the geometry of the triangle. Activities are proposed in which the use

of the ICT Geogebra tool is involved, using three phases of learning as reference, according to

the model of Van Hiele.

Tabla de Contenido

RESUMEN ............................................................................................................................................................. 5

ABSTRACT ............................................................................................................................................................. 5

LISTA DE ILUSTRACIONES ........................................................................................................................................ 8

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 13

CAPÍTULO 1. ASPECTOS HISTÓRICOS ..................................................................................................................... 15

1.1. MATEMÁTICAS EN EGIPTO Y MESOPOTAMIA ....................................................................................................... 15

1.2. EL MUNDO GRIEGO ......................................................................................................................................... 16

1.3. BABILONIOS .................................................................................................................................................. 18

1.4. CHINA .......................................................................................................................................................... 18

CAPÍTULO 2. ASPECTOS DISCIPLINARES ................................................................................................................ 19

2.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................. 19

2.2. PRECONCEPTOS .............................................................................................................................................. 21

2.3. DEFINICIONES ................................................................................................................................................ 21

2.4. ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO ............................................................................................................................. 23

2.5. CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS ............................................................................ 24

2.6. CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS ........................................................................ 26

2.7. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO .......................................................................................................................... 28

2.8. DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO .......................................................................................................................... 30

2.9. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ......................................................................................................................... 31

DEFINICIONES .............................................................................................................................................................. 31

DOS ÁNGULOS SON CONGRUENTES, SI TIENEN LA MISMA MEDIDA. DOS SEGMENTOS SON ............................................................ 31

CONGRUENTES, SI TIENEN LA MISMA MEDIDA. .................................................................................................................... 31

2.11. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO ....................................................................................................... 33

2.12. MEDIANAS .................................................................................................................................................... 33

2.13. MEDIATRIZ .................................................................................................................................................... 35

2.14. BISECTRICES .................................................................................................................................................. 36

2.15. ALTURAS ...................................................................................................................................................... 38

3.1. MARCO CONCEPTUAL ...................................................................................................................................... 39

3.2. ESTÁNDARES PARA EL CONJUNTO DE GRADOS OCTAVO Y NOVENO ............................................................................ 40

3.3. GEOGEBRA Y LA GEOMETRÍA DINÁMICA .............................................................................................................. 41

3.4. EL MODELO DE VAN HIELE Y LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO ................................................................................. 43

3.5. MARCO METODOLÓGICO ................................................................................................................................. 45

3.6. POBLACIÓN Y NIVEL EDUCATIVO DE LOS ESTUDIANTES ........................................................................................... 46

3.7. TEMÁTICA DE LA PROPUESTA ............................................................................................................................ 46

3.8. OBJETIVOS .................................................................................................................................................... 46

3.8.1. Objetivo general ................................................................................................................................... 46

3.8.2. Objetivos Específicos Conceptuales ...................................................................................................... 46

3.8.3. Objetivos específicos didácticos ............................................................................................................ 47

3.9. ACTIVIDADES ................................................................................................................................................. 47

CAPÍTULO 4. PROPUESTA DIDÁCTICA .................................................................................................................... 50

4.1. DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES ...................................................................................................................... 50

4.2. METODOLOGÍA .............................................................................................................................................. 50

4.3. ACTIVIDAD 1: ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO .................................................................................... 51

4.4. ACTIVIDAD 2: ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS ............................................................................ 62

4.5. ACTIVIDAD 3: ESTUDIO DE LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO ................................................... 68

4.6. ACTIVIDAD 4: ESTUDIO DE LAS BISECTRICES E INCENTRO DE UN TRIÁNGULO ................................................................ 74

4.7. ACTIVIDAD 5: ESTUDIO DE LAS ALTURAS Y ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO ............................................................... 81

4.8. ACTIVIDAD 6: ESTUDIO DE LAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO ........................................................... 85

4.9. ACTIVIDAD 7: ESTUDIO DE LA RECTA DE EULER ..................................................................................................... 90

4.10. ACTIVIDAD 8: PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS ....................................................................................................... 96

4.1.1. ACTIVIDAD DE COMPLETAR ..................................................................................................................... 100

4.1.2. LAS TRES MEDIANAS EN UN TRIÁNGULO ........................................................................................... 103

4.1.3. LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO ..................................................................................................... 108

4.1.4. LAS TRES MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO SON CONCURRENTES. ........................................................ 110

4.1.5. LAS ALTURAS EN UN TRIÁNGULO ............................................................................................................ 112

4.1.6. LAS BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO ....................................................................................................... 118

4.1.7. TEOREMA: LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO SON CONCURRENTES ............................................... 122

CONCLUSIONES ................................................................................................................................................... 125

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................................................... 126

Lista de Ilustraciones

Ilustración 1. Torre Eifel ............................................................................................................... 19

Ilustración 2. Puente del Alamillo de Sevilla ................................................................................ 20

Ilustración 3 Elementos del triángulo ............................................................................................ 23

Ilustración 4. Ángulo exterior triángulo ........................................................................................ 24

Ilustración 5. Triángulo Equilátero ................................................................................................ 25

Ilustración 6. Triángulo Isósceles .................................................................................................. 25

Ilustración 7. Triángulo Escaleno .................................................................................................. 26

Ilustración 8. Triángulo Rectángulo .............................................................................................. 27

Ilustración 9. Triángulo Acutángulo .............................................................................................. 27

Ilustración 10. Triángulo Obtusángulo .......................................................................................... 28

Ilustración 11. Propiedad: suma de ángulos internos 180° ............................................................ 29

Ilustración 12. Suma de ángulos externos ..................................................................................... 29

Ilustración 13. Ángulo externo igual a la suma de ángulos internos ............................................. 30

Ilustración 14. Medianas Concurrentes ......................................................................................... 34

Ilustración 15. Propiedades de las medianas ................................................................................. 34

Ilustración 16. Propiedad de las medianas..................................................................................... 35

Ilustración 17. Mediatrices concurrentes ....................................................................................... 36

Ilustración 18 Bisectrices Concurrentes ........................................................................................ 37

Ilustración 19 Propiedades de las bisectrices ................................................................................ 37

Ilustración 20. Alturas concurrentes .............................................................................................. 38

Ilustración 21 Presentación GeoGebra .......................................................................................... 51

Ilustración 22 Construcción del triángulo ..................................................................................... 52

Ilustración 23 Construcción del triángulo ..................................................................................... 52

Ilustración 24 Construcción triángulo ........................................................................................... 53

Ilustración 25 Elementos del triángulo .......................................................................................... 53

Ilustración 26 Triángulo con medidas ........................................................................................... 54

Ilustración 27 Transformando triángulo con comando arrastre..................................................... 54

Ilustración 28 Mediante arrastre cumplir con la orden .................................................................. 55

Ilustración 29 Macro para construir triángulos.............................................................................. 56

Ilustración 30 Actividad clasificación de triángulos .................................................................... 57

Ilustración 31 Paso 1 Construcción triángulo Equilátero .............................................................. 58

Ilustración 32 Paso 2 Construcción triángulo equilátero ............................................................... 59


Ilustración 34 Paso 4 Construcción triángulo equilátero .............................................................. 60



Ilustración 37 Triángulo equilátero ............................................................................................... 61

Ilustración 38 Propiedades de los elementos del triángulo............................................................ 62

Ilustración 39 Incluyendo hoja de cálculo en la macro ................................................................. 64

Ilustración 40 Ejercicio propiedades del triángulo ........................................................................ 65


Ilustración 42 Ejercicio suma de ángulos exteriores ..................................................................... 66

Ilustración 43 Ejercicio propiedades de los triángulos .................................................................. 66


Ilustración 45 Construyendo mediatrices ...................................................................................... 68

Ilustración 46 Construyendo mediatrices ...................................................................................... 69

Ilustración 47 Trazando mediatrices.............................................................................................. 69

Ilustración 48 Punto de intersección Circuncentro ........................................................................ 70

Ilustración 49 Propiedad de las mediatrices .................................................................................. 71

Ilustración 50 Ejercicio mediatrices .............................................................................................. 71

Ilustración 51 Ejercicio mediatrices .............................................................................................. 72

Ilustración 52 Macro para trazar mediatrices ................................................................................ 73

Ilustración 53 Construyendo bisectrices ........................................................................................ 74

Ilustración 54 Trazando bisectrices ............................................................................................... 75

Ilustración 55 Trazando bisectrices ............................................................................................... 75

Ilustración 56 Incentro: punto donde concurren las bisectrices .................................................... 76

Ilustración 57 Trabajando bisectrices ............................................................................................ 76

Ilustración 58 Propiedades de las bisectrices ................................................................................ 77

Ilustración 59 Propiedad de las bisectrices .................................................................................... 77

Ilustración 60 Circunferencia inscrita bisectrices .......................................................................... 78

Ilustración 61 Verificando bisectrices ........................................................................................... 78

Ilustración 62 Ejercicio de aplicación bisectrices.......................................................................... 79

Ilustración 63 Ejercicio de aplicación bisectrices.......................................................................... 80

Ilustración 64 Construyendo alturas .............................................................................................. 81

Ilustración 65 Trazando alturas ..................................................................................................... 82

Ilustración 66 Punto de concurrencia de las alturas ...................................................................... 82

Ilustración 67 Ubicando el Ortocentro .......................................................................................... 83

Ilustración 68 Ejercicio de aplicación de alturas .......................................................................... 83

Ilustración 69 Macro para trazar alturas ........................................................................................ 84

Ilustración 70 Construyendo medianas ......................................................................................... 85

Ilustración 71 Puntos medios del triángulo .................................................................................. 86

Ilustración 72 Medianas del triángulo ........................................................................................... 87

Ilustración 73 Baricentro punto donde concurren las medianas .................................................... 87

Ilustración 74 Ejercicio de aplicación medianas ........................................................................... 88

Ilustración 75 Construyendo recta de Euler .................................................................................. 90

Ilustración 76 Ubicando punto de corte de alturas ........................................................................ 91

Ilustración 77 Ocultando alturas .................................................................................................... 91


Ilustración 79 Baricentro del triángulo .......................................................................................... 92

Ilustración 80 Ocultando medianas ............................................................................................... 93

Ilustración 81 Mediatrices del triángulo ........................................................................................ 93

Ilustración 82 Circuncentro del triángulo ..................................................................................... 94

Ilustración 83 Ocultando mediatrices ............................................................................................ 94

Ilustración 84 Recta de Euler......................................................................................................... 95

Ilustración 85 Propiedades de las Medianas .................................................................................. 96


Ilustración 87 Punto de corte las medianas ................................................................................... 97

Ilustración 88 Triángulos formados por las medianas ................................................................... 98

Ilustración 89 Midiendo áreas de triángulos ................................................................................. 98

lustración 90 Comparando áreas de triángulos .............................................................................. 99

12

Índice de tablas

Tabla 1 Estándares propuesta………………………………………………………………..… 34

Tabla 2 Estándares propuesta………………………………………………………………….. 38

Tabla 3 Estándares propuesta………………………………………………………………….. 42

Tabla 4 Estándares propuesta…………………………………………………………………...50

Tabla 5 Estándares propuesta……………………………………………………………………51

Tabla 6 Estándares propuesta……………………………………………………………………78

13

INTRODUCCIÓN

La propuesta didáctica que se pone de presente en este trabajo, está dirigida a estudiantes de

grado octavo de básica secundaria. Según los lineamientos curriculares del Ministerio de

Educación Nacional M.E.N. (Ministerio de Educación Nacional, 2009), en este grado se enseñan

las líneas notables de un triángulo, usualmente se dibujan usando lápiz y papel y se identifican de

forma estática, dejando de lado las propiedades y relaciones que hay entre ellas; es decir, se

adolece de la posibilidad dinámica y visual que permite que el estudiante realice conjeturas

redescubriendo las relaciones que guardan con el triángulo. La intencionalidad de esta propuesta,

es precisamente que la herramienta del software GeoGebra se convierta en un medio para el

aprendizaje significativo involucrando las Tecnologías de la Información y la Comunicación TIC

en el estudio de la geometría del triángulo.

Esta propuesta está conformada por cuatro capítulos a saber: en el primer capítulo, se presenta

algunos aspectos históricos, realizando un recorrido a través del cual se muestran diversos

estudios realizados por diferentes civilizaciones sobre el triángulo y las relaciones que este

guarda con otras disciplinas, para ello se revisó como referente el libro Historia y Filosofía de las

Matemáticas (Ruiz, 2003), de igual manera se tomó aspectos relacionados con el tema que

expone Mariano Perero en su libro Historia e Historias de Matemáticas (Perero, 1994). En el

segundo capítulo, se tratan aspectos disciplinares, se exponen los conceptos básicos del triángulo,

propiedades, líneas notables (bisectrices, medianas, alturas y mediatrices), puntos concurrentes

(incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro), con algunos resultados importantes de las

propiedades de estas rectas, para ello se ha tomado como guía el libro de Geometría de Clemens

14

(Clemens, 1998), del cual se han tomado algunas definiciones, postulados y teoremas referentes a

los elementos del triángulo. Por último, se exponen los teoremas y el tratamiento disciplinar del

estudio propio de las líneas notables del triángulo, tomando como referente el libro de Germán

Rincón Abella de la Universidad Antonio Nariño, titulado “Un Recorrido por la Geometría”

(Rincon Abella, 1994) . En el cuarto capítulo, se presenta la propuesta didáctica, la cual se

compone de un conjunto de ocho actividades, empezando por el estudio de los elementos del

triángulo, continuando con el estudio de las propiedades y las restantes seis el estudio de las

líneas notables del triángulo pensadas de manera secuencial, utilizando el software GeoGebra;

teniendo en cuenta la forma como razonan y establecen conjeturas los estudiantes en el proceso

de aprendizaje de la geometría, desde las distintas fases que propone el modelo de Van Hiele

(Gamboa Araya & Vargas Vargas, 2013).

15

CAPÍTULO 1. ASPECTOS HISTÓRICOS

En el transcurso de este capítulo, se presenta un recorrido histórico sobre las diversas formas

mediante las cuales diferentes civilizaciones desde la antigüedad han realizado estudios del

triángulo y las relaciones que este tiene con otras disciplinas. Este estudio es importante en la

medida que nos permite conocer las formas cómo ha evolucionado el concepto del triángulo, su

historia, su filosofía hasta el día de hoy.

“Los orígenes de la geometría se remontan a la época cavernícola, eran principios descubiertos

para satisfacer necesidades, tales como: construcción, artesanía, astronomía, entre otras. Uno de

los lugares donde se encontraron los primeros matemáticos fue en el antiguo valle del Indo

(Harappan) alrededor del 3000 A.C. donde hallaron triángulos” (Ruiz, 2003).

1.1. Matemáticas en Egipto y Mesopotamia

En estos pueblos usaban la geometría como una herramienta para resolver problemas prácticos.

La aritmética y la geometría no aparecen separadas; más bien, lo que se daba era una aplicación

de álgebra y aritmética a problemas relacionados con figuras geométricas que emergían en

situaciones del entorno. Según Heródoto, (Ruiz, 2003), “los resultados geométricos de los

egipcios estaban vinculados a asuntos relativos con las crecidas del rio Nilo, ya que necesitaban

medir constantemente las parcelas de tierra debido a que las inundaciones del Nilo borraban los

linderos que eran referencia para pagar impuestos; de esta manera, encontraron procedimientos

para calcular áreas de triángulos rectángulos y trapezoides”.

16

1.2. El mundo griego

En la transición de la geometría de Egipto a Grecia se encuentra a Tales de Mileto (600 A.C.) que

con su trabajo busca dar solución a problemas prácticos como el “cálculo de las alturas de las

pirámides a través de un método de comparación de sus sombras con la sombra de un palo de

altura conocida, es decir, a través del uso de propiedades de los triángulos semejantes” (Ruiz,

2003). A Tales de Mileto se le atribuye la predicción de un eclipse de sol en el año 585 A.C., por

ello se le considera uno de los siete sabios de Grecia.

La geometría griega es un gran legado para la humanidad, dentro de los pensadores que más

contribuyeron al desarrollo de esta área del conocimiento se encontró a Pitágoras y Euclides. En

la ciudad de Alejandría produjeron la obra que por más de 200 años ha servido de soporte para

estudios geométricos llamada “Los Elementos de Euclides” de gran importancia ya que en ella se

puede encontrar las bases fundamentales de la geometría euclidiana. La obra está compuesta de

13 libros sobre temas de geometría, aritmética y algebra; contiene 467 teoremas sobre geometría

plana (libros I al IV), teoría de la proporción (libros V al VI), teoría de números (libros VII a X) y

geometría del espacio (libros XI al XIII). Cada libro tiene definiciones y teoremas salvo el

primero que contiene además 5 postulados y 5 nociones comunes o axiomas. Los axiomas son

verdades evidentes en sí mismas y comunes a todas ciencias. Los postulados son acogidos como

verdades evidentes en sí mismas y específicas de una ciencia en particular. (Lancheros Ibañez,

2016)

Los tres primeros postulados se conocen como herramientas euclidianas ya que van a permitir

realizar construcciones geométricas.

Proposición 1 Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Llama especial interés observar como en los elementos de Euclides usando sus tres primeros

postulados se construye un triángulo equilátero.

Proposición 4 Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y tienen

iguales los ángulos contenidos, por los lados iguales, entonces también tienen la base igual a la

17

base, el triángulo igual al triángulo, y los ángulos restantes respectivamente iguales a los ángulos

restantes respectivamente, a saber, aquellos opuestos a los lados iguales.

En esta proposición reconocemos uno de los casos de congruencia de triángulos al notarlo como

L-A-L; lado, ángulo, lado

Proposición 5 En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y

prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre si.

Proposición 16 En todo triángulo si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor

que cada uno de los ángulos internos y opuestos.

Proposición 17 En todo triángulo dos ángulos tomados juntos de cualquier manera, son menores

que dos rectos.

Proposición 19 En todo triángulo al ángulo mayor lo subtiende el lado mayor.

Proposición 20 En todo triángulo dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores

que el restante.

Proposición 22 Con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas, construir un triángulo así es

necesario que dos rectas tomadas a la vez en cualquier forma deberán ser mayor que la restante.

Intuitivamente se podría pensar que con tres segmentos cualesquiera podrían construirse un

triángulo, este teorema nos muestra que esta intuición no es correcta y enuncia una condición

suficiente y necesaria para construir un triángulo dado tres segmentos arbitrarios.

Proposición 32 En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo

externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos”. “La suma de los tres ángulos

internos del triángulo es igual a dos rectos.

Es importante tener en cuenta que el sistema euclidiano de los Elementos no es métrico, años más

tarde, Eudoro siguió la tradición pitagórica de la exclusión de los inconmensurables. Lo que hizo

18

fue, en esencia, introducir la noción de magnitud, que no era un número, pero servía para tratar

ángulos, segmentos, áreas y volúmenes que varían de una manera continua.

1.3. Babilonios

En lo que se refiere a la geometría, conocían las áreas de rectángulos, triángulos rectángulos,

triángulos isósceles y trapecios. De igual manera, conocían y usaban el teorema de Pitágoras.

Como prueba de esto se encontró escrito en una tablilla un problema que plantea la siguiente

situación: “hallar el radio del círculo circunscrito al triángulo de lados 50, 50, y 60”. Además de

esto, tenían conocimiento de algunas propiedades de los triángulos semejantes, demostraron el

teorema: “En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular desde el ángulo recto hasta la

hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre si

y al triángulo entero” (Ruiz, 2003).

1.4. China

La obra más destacada en el estudio de la geometría es el “chiu chang”, esta se compone de 246

problemas repartidos en 9 capítulos, los cuales fueron considerados temas de interés social en

ese escenario. Comentadores posteriores, como Liu Hui, en el siglo XIII ampliaron estos trabajos.

En un primer capítulo (Fang Thien) se incluyen las reglas para calcular áreas de triángulos,

trapecios, círculos, rectángulos, así como una aritmética de fracciones. El teorema Kou ku se

trata del teorema de Pitágoras, este aparece demostrado en un texto antiguo llamado Chou Pei.

19

CAPÍTULO 2. ASPECTOS DISCIPLINARES

2.1. Introducción

En la Geometría sin lugar a dudas el triángulo ocupa un lugar importante y así ha sido

demostrado a través de la historia, en la familia de los polígonos se encontró que el triángulo es

indeformable precisamente por su rigidez hace que sea utilizado en múltiples construcciones; un

ejemplo hermoso es la Torre de Eiffel de Paris Francia que está conformada por una seriación de

triángulos. La Torre de Eiffel, fue construida en conmemoración del centenario de la Revolución

Francesa, fue inaugurada el 31 de marzo de 1989.

Ilustración 1. Torre Eifel

Fuente: Geometría del triángulo (Nuñez Caballero, 2007)

20

Otro de los múltiples ejemplos es el famoso puente del Alamillo de Sevilla, que fue construido

entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava, su característica principal es que tiene un

solo brazo que soporta todo su peso; está formado por triángulos oblicuángulos semejantes.

Ilustración 2. Puente del Alamillo de Sevilla

Fuente: Geometría del triángulo (Nuñez Caballero, 2007)

A través de la historia de la humanidad el triángulo cumple un papel protagonista en el estudio de

la geometría, por ser el polígono más consistente, a parte del hecho que todo polígono puede

descomponerse en un número finito de triángulos; por esta razón es importante la comprensión de

sus elementos y propiedades.

Para la elaboración de este capítulo se toman como referentes dos libros:

Moise, (Moise, 1968) presenta el libro “Geometría Moderna” Libro clásico que es usado por la

mayor parte de profesores que enseñan geometría en educación secundaria; se han tomado

textualmente algunas definiciones, postulados, teoremas de los elementos del triángulo y sus

propiedades.

21

German, (Rincon Abella, 1994), expone en su libro “Un recorrido por la geometría” en el

capítulo 1 Geometría del triángulo, paginas 3-26, la demostración de los teoremas de las líneas

notables del triángulo.

2.2. Preconceptos

Los siguientes conceptos son fundamentales en el estudio de la geometría del triángulo, es

importante tener en cuenta que se consideran conceptos primitivos, es decir carecen de

definición.

Punto: ubicación, sin longitud, anchura ni longitud

Recta: longitud ilimitada, derecha, sin grosor, ni extremos.

Plano: ilimitado continuo en todas las direcciones, llano, sin grosor.

Espacio: ilimitado, sin longitud, anchura ni altura.

2.3. Definiciones

A continuación Clemens (Clemens, 1998) define conceptos que relaciona el estudio del

triángulo.

Definición 1.2 Puntos colineales son puntos que están en la misma recta.

Definición 1.3: Puntos coplanares son puntos que se encuentran en un mismo plano.

Definición 1.4: Rectas intersecantés son dos rectas con un punto en común.

Definición 1.5: Rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan.

22

Definición 1.6: Rectas concurrentes son tres o más rectas coplanares que tienen un punto en

común.

Definición 1.7: Un Segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que

están entre A y B; el número AB se llama la longitud del segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅

Definición 1.8: El Rayo, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es el conjunto de puntos que es la reunión del segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ y el

conjunto de todos los puntos C para los cuales es cierto que B está entre A y C. el punto A se

llama el extremo de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Definición 1.9: Un punto B se llama punto medio de un segmento 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , si B está entre A y C y

AB=BC

Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.

Definición 1.10: Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que

los contiene a todos.

Definición 1.11: si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta,

entonces su reunión es un Ángulo. Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el extremo

común se llama el vértice.

Si los rayos son 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, entonces el ángulo se indica con < BAC o con < CAB; es indiferente

que lado se nombra primero.

Definición 1.12: Si A, B, C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los

segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ se llama un Triángulo, y se indica con ∆𝐀𝐁𝐂. Los puntos A, B, C

se llaman vértices y los segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ se llaman lados. Todo triángulo ∆𝐀𝐁𝐂. De

termina tres ángulos: < BAC, con < ABC, con < BCA. A éstos los llamamos ángulos del

∆𝐀𝐁𝐂 . Si está claro a qué triángulo nos referimos, frecuentemente podemos asignarlos por < A,

< B y < C.

23

Definición 1.13: un Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a

una distancia fija de un punto dado del plano. Un círculo es la unión de la circunferencia y todos

los puntos del plano que encierra la circunferencia.

Definición 1.14: dos Segmentos son Congruentes si tienen la misma longitud.

Definición 1.15: dos Ángulos son Congruentes si tienen la misma medida.

Definición 1.16: un Ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90˚.

Definición 1.17: un Ángulo recto es un ángulo que mide 90˚.

Definición 1.18: un Ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90˚

Postulado: Principio que se admite como cierto sin necesidad de ser demostrado

2.4. Elementos del triángulo

Los elementos del triángulo son: los vértices, los lados, y los ángulos.

Ilustración 3 Elementos del triángulo

24

Fuente:

https://lasmatematicasysuensenanzaenlasecundaria.files.wordpress.com/2015/07/elementos-

triángulo-1.jpg

Todo triángulo ∆ABC, determina tres ángulos <BAC, <ABC, <ACB, se denominan ángulos del

triángulo ∆ABC. Si está claro a que triángulo nos referimos podemos decir que los ángulos son:

<A, <B y <C, teniendo como referencia los vértices del triángulo, por lo tanto los lados del

triángulo se simbolizan con letras minúsculas a, b, c, respectivamente, como se observa en la

anterior ilustración.

Definición 4.5: el Ángulo exterior de un triángulo es el ángulo que forma un par lineal (cuando

tienen un par de lados que son semirrectas opuestas y que tienen un lado común), con uno de los

ángulos del triángulo.

Ilustración 4. Ángulo exterior triángulo

Según Clemens (Clemens, 1998), los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y la

medida de sus ángulos.

2.5. Clasificación del triángulo según la medida de sus lados

Según la medida de los lados los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Las

ilustraciones son hechas en Geogebra en un macro que se construyó donde digitando las medidas

25

de los lados el programa determina si es posible la construcción o no y lo clasifica de acuerdo a la

medida de estos.

Triángulo equilátero: Todos sus lados tienen la misma longitud.

Ilustración 5. Triángulo Equilátero

Triángulo isósceles: al menos dos de sus lados tienen la misma longitud.

Ilustración 6. Triángulo Isósceles

26

Triángulo escaleno: sus tres lados tienen diferente longitud.

Ilustración 7. Triángulo Escaleno

2.6. Clasificación del triángulo según la medida de sus ángulos

Para clasificar los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos, se debe tener en cuenta cómo

se clasifican éstos de acuerdo a su amplitud. El instrumento permite encontrar la medida de un

ángulo es el transportador. La medida de un ángulo se llama amplitud del ángulo y se mide en

sentido contrario a las manecillas del reloj. Desde la época de Euclides el patrón de medida es el

ángulo recto cuya medida es de 90 grados sexagesimales.

Teniendo en cuenta la clasificación de los ángulos según su amplitud, se pueden clasificar los

triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos internos.

Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama

hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos. Valga la aclaración que ningún triángulo tiene

dos ángulos rectos.

27

Ilustración 8. Triángulo Rectángulo

Triángulo acutángulo: todos sus ángulos son agudos.

Ilustración 9. Triángulo Acutángulo

28

Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

Ilustración 10. Triángulo Obtusángulo

2.7. Propiedades del triángulo

Teniendo en cuenta las herramientas que ofrece el programa Geogebra, se han diseñado

actividades que encontramos en el siguiente capítulo y que nos permite que el estudiante

redescubra las propiedades del triángulo, utilizando el comando arrastre. Dichas ilustraciones son

resultado de estas actividades.

En la geometría de Clemens (Clemens, 1998) se encuentra los siguientes teoremas con sus

respectivas demostraciones:

Teorema 4.11 (Clemens, 1998)“Teorema del ángulo exterior: La medida del ángulo exterior de

un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los ángulos no contiguos”, p.154.

29

Teorema 6.4: (Clemens, 1998) “la suma de los ángulos de un triángulo es 180˚”, p. 208

Ilustración 11. Propiedad: suma de ángulos internos 180°

Teorema 6.5: (Clemens, 1998)“La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360˚”, p. 209

Ilustración 12. Suma de ángulos externos

30

Teorema 6.6: (Clemens, 1998)” la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la

suma de sus dos ángulos interiores no contiguos”.p. 209

Ilustración 13. Ángulo externo igual a la suma de ángulos internos

Los dos teoremas que a continuación se enuncian, son muy importantes en la caracterización de

la existencia de un triángulo; es decir si es construible o no es construible.

Teorema 7.9: (Clemens, 1998)”si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales,

entonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor es menor que la longitud del lado opuesto

al ángulo mayor”, p. 248

Teorema 7.10: (Clemens, 1998) “si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales,

entonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto es menor que la medida del ángulo

opuesto al lado más largo”, p. 249.

2.8. Desigualdad del triángulo

Postulado de la desigualdad del triángulo: la suma de las longitudes de dos de sus lados de un

triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

31

2.9. Congruencia de triángulos

Definiciones

Dos ángulos son congruentes, si tienen la misma medida. Dos segmentos son

Congruentes, si tienen la misma medida.

Definición

Sea ABC ↔ DEF una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados

correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son congruentes,

entonces la correspondencia ABC ↔ DEF, se llama una congruencia entre los dos triángulos.

Definiciones

Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los

extremos del segmento

Un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados del triángulo que están en los

lados del ángulo.

LOS POSTULADOS DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS

Postulado 15 El postulado LAL, toda correspondencia LAL es una congruencia.

Postulado 16 El postulado ALA, toda correspondencia ALA es una congruencia.

Postulado 17 El postulado LLL, toda correspondencia LLL es una congruencia

2.10 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes son

congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces la correspondencia se

llama una semejanza y decimos que los triángulos son semejantes.

Teorema 12-1 El teorema fundamental de la proporcionalidad

Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados,

entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales.

32

Teorema 12-2 Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados

segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.

2.10.1 LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA SEMEJANZA

Teorema 12-3 El teorema de la semejanza AAA

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes son

congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

Teorema 12-3.1 Corolario AA

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos correspondientes son

congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

Teorema 12-3.2

Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos,

entonces determina un triángulo semejante al triángulo dado.

Teorema 12-4

Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹, y ∆𝐷𝐸𝐹~∆𝐺𝐻𝐼, entonces ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐺𝐻𝐼 En un triángulo rectángulo

cualquiera, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en otros dos que son

semejantes entre sí y semejantes también al triángulo original.

Teorema 12-5 El teorema de semejanza LAL

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de lados correspondientes son

proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes entonces la correspondencia es una

semejanza.

Teorema 12-6 Teorema de la semejanza LLL

Se da una correspondencia entre dos triángulos. Si los lados correspondientes son proporcionales,

entonces la correspondencia es una semejanza.

33

Teorema 12-7

En un triángulo rectángulo cualquiera, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al

triángulo en otros dos que son semejantes entre si y semejantes también al triángulo original.

Teorema 12-8

Se dan un triángulo rectángulo y la altura correspondiente a la hipotenusa.

La altura es la media geométrica v de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la

hipotenusa.

Cada cateto es la media geométrica de la hipotenusa y el segmento de ésta adyacente al cateto.

Teorema 12-9

Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de dos

lados correspondientes cualesquiera.

2.11. Lineas y puntos notables del triángulo

Al realizar un estudio del triángulo, se debe tener en cuenta que los triángulos poseen elementos

primarios (vértices, lados, ángulos), como también poseen elementos secundarios, que

corresponden a las rectas notables con sus respectivos puntos de concurrencia, que se forman a

partir de la intersección de un mismo tipo de rectas notables. A continuación se describen las

características de cada recta con su correspondiente punto notable.

En el libro Geometría Moderna (Moise, 1968), se realiza un estudio profundo de las líneas

notables del triángulo, el autor expone una serie de teoremas con sus respectivas demostraciones:

2.12. Medianas

Sea ∆𝐀𝐁𝐂 un triángulo. Se establecen Aˈ Bˈ y Cˈ los puntos medios de los lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑪̅̅ ̅̅

Las rectas AAˈ⃡⃗⃗⃗⃗⃗ , BBˈ⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ Y CCˈ⃡⃗⃗⃗ ⃗, que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto, se llaman

las medianas del ∆𝐴𝐵𝐶. Se simboliza la longitud de la mediana AAˈ como 𝑚𝑎, BBˈ como 𝑚𝑏 y

CCˈ como 𝑚𝑐.

34

Teorema 1.1: las tres medianas son concurrentes, el punto donde concurren las medianas se

llama baricentro. El Baricentro siempre se encuentra al interior del triángulo.

La demostración del teorema de concurrencia de las medianas la encuentras en (Moise pág. 489)

La siguiente ilustración corresponde a una construcción lograda con la herramienta de Geogebra,

Ilustración 14. Medianas Concurrentes

Teorema 1.2 Las medianas dividen el triángulo en seis triángulos de igual área.

La siguiente ilustración corresponde a una construcción lograda con la herramienta de Geogebra,

Ilustración 15. Propiedades de las medianas

35

Teorema 1.3 La longitud de la mediana es menor o igual que la semisuma de los dos lados

adyacentes.

La siguiente ilustración corresponde a una construcción hecha con la herramienta de Geogebra,

Ilustración 16. Propiedad de las medianas

2.13. Mediatriz

Sea ∆𝐀𝐁𝐂 un triángulo y sea D el punto medio de uno de sus lados, se llama mediatriz la

perpendicular trazada al lado desde D. Todo triángulo tiene tres mediatrices.

Teorema 1.4 Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes, el punto donde concurren

las mediatrices se llama circuncentro.

La siguiente ilustración corresponde a una construcción hecha en Geogebra, es interesante

verificar que el circuncentro no siempre queda al interior del triángulo, en la propuesta se explica

esto utilizando el comando arrastre de Geogebra

36

Ilustración 17. Mediatrices concurrentes

2.14. Bisectrices

La bisectriz de un ángulo de un triángulo es el segmento que está en el rayo que divide al ángulo

en dos partes iguales, sus extremos son el vértice de ese ángulo y un punto del lado opuesto

Teorema 1.7. Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes, el punto donde concurren las

bisectrices se llama incentro. El incentro siempre se encuentra en el interior cualquiera que sea el

triángulo. La demostración de la concurrencia de las bisectrices, se encuentra en (Moise, 1989,

pág. 487)

37

Ilustración 18 Bisectrices Concurrentes

El punto donde concurren las bisectrices, el incentro, equidista de los lados del triángulo. Es el

centro de la circunferencia inscrita en todo triángulo.

Ilustración 19 Propiedades de las bisectrices

38

2.15. Alturas

La recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto, se llama altura

del triángulo. En todo triángulo es posible construir tres alturas una a cada lado del triángulo al

opuesto del vértice.

Teorema 1.12. Las tres alturas de un triángulo son concurrentes, el punto donde concurren las

alturas se llama ortocentro.

El ortocentro no siempre se encuentra en el interior del triángulo. En los triángulos con un ángulo

obtuso, el ortocentro se ubica exterior al triángulo; en el caso de los triángulos rectángulos

coincide con el vértice del ángulo recto.

La demostración del teorema de concurrencia de las alturas de un triángulo la encuentras en

(Moise pág. 483).

Ilustración 20. Alturas concurrentes

39

APITULO 3. ASPECTOS DIDÁCTICOS

3.1. Marco conceptual

En el estudio de la geometría se hacen construcciones usando regla y compás. Por ejemplo, dado

un segmento dividirlo en tres partes iguales, usando sólo compás y regla (¡sin marcas!); construir

un triángulo equilátero cuyos lados sean congruentes a un segmento dado; dados una recta l, un

punto P sobre l y un punto Q exterior a l, construir un círculo que pase por Q y sea tangente a l.

(Sánchez Botero, 1994). En esta propuesta se harán construcciones geométricas usando las

herramientas con las cuales cuenta el software de geometría dinámica, GeoGebra y se espera con

esto captar la atención de los estudiantes.

En cuanto a las referencias consultadas para la realización de esta propuesta se mencionan

algunas, como:

Lancheros Ibáñez, (Lancheros Ibañez, 2016) presenta “Una Secuencia didáctica para la

enseñanza de propiedades y elementos del triángulo utilizando el programa Carmetal”.

Rincón Artunduanga, (Rincon Artunduanga, 2013) presenta “Un estudio de la influencia en el

proceso de enseñanza aprendizaje de los puntos notables de un triángulo, usando CAR”.

Flores, (Flores, 2011) presenta “El estudio de los poliedros a los polígonos usando herramientas

tecnológicas para potenciar el avance entre niveles de razonamiento Geométrico”.

40

Haldane Acevedo, (Haldane Acevedo, 2011) presenta “El desarrollo histórico del teorema de

Pitágoras desde los babilonios hasta los griegos”.

“Los lineamientos del M.E.N. proponen considerar tres aspectos: los conocimientos básicos,

los procesos de pensamiento y el contexto.

Los conocimientos básicos comprenden tanto los procesos específicos de desarrollo del

pensamiento matemático, como los sistemas conceptuales asociados, estos son el pensamiento

numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento

métrico y sistemas de medida, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pensamiento

variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

Los procesos generales incluyen el razonamiento, resolución y planteamiento de problemas,

comunicación, modelización, elaboración comparación y ejercitación de procedimientos.

En el contexto se ubican las situaciones problemáticas que pueden referirse a la vida diaria, a

las mismas matemáticas, o a otras ciencias”. (Ministerio de Educación Nacional, 2009)

Los estándares que propone el M.E.N. en el área de matemáticas son criterios que buscan que el

estudiante no solo aprenda conocimientos sino que pueda aplicar estos saberes en su cotidianidad;

en esta propuesta se centra en el pensamiento espacial y sistemas geométricos.

3.2. Estándares para el conjunto de grados octavo y noveno

Tabla 1 Estándares propuesta

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

Estándar Actividad donde se

trabaja

Hacer conjeturas y verificar propiedades de congruencias y semejanzas entre

figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de

problemas.

1,2

41

Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en la

demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).Aplicar y justificar

criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y

formulación de problemas.

4,5,6,

Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la

matemática y en otras disciplinas.

En todas las

actividades

Los estudiantes requieren del estudio de distintas relaciones espaciales, que les permitan

interactuar y optimizar los espacios de acuerdo a las necesidades que vayan surgiendo día a día;

donde se destacan los procesos de localización en relación con los sistemas de referencia y del

estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas

transformaciones. El trabajo con objetos dimensionales y tridimensionales y sus movimientos y

transformaciones permite integrar nociones sobre volumen, área y perímetro. Así la geometría

activa se presenta como una alternativa para afianzar el pensamiento espacial, en tanto se

constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación en el espacio.

3.3. GeoGebra y la geometría dinámica

GeoGebra fue creado en el año 2011, por Markus Hohenwarter, quien estudió en Austria en la

universidad de Salzburgo y Geogebra fue su trabajo final de Maestría.

GeoGebra es una herramienta TIC que puede ser utilizada tanto por docentes como estudiantes en

los diferentes niveles de formación: primaria, secundaria y universitaria. Por ser un ambiente

colaborativo desde su creación (2011) ha ido creciendo y mejorando la herramienta por distintos

colaboradores; es así como existen varias versiones para descargar desde la web

www.GeoGebra.org desde luego se recomienda descargar la versión más reciente.

Esta propuesta busca proponer un ambiente de aprendizaje (GeoGebra) que proporcione a los

estudiantes herramientas facilitadoras para redescubrir teoremas acerca del estudio del triángulo.

El uso del software GeoGebra permite al estudiante explorar conjeturas, como medio para el

desarrollo de conceptos y la organización (deductiva) de colecciones pequeñas de resultados.

http://www.geogebra.org/

42

GeoGebra es un software libre, que permite que cualquier estudiante o educador pueda tener

acceso a su instalación y manejo, convirtiéndose en un ambiente colaborativo en los procesos de

enseñanza y aprendizaje de la matemática.

Surge la pregunta ¿por qué innovar nuestras metodologías incorporando esta clase de

herramienta?; ¿cuáles son las bondades que ofrece el enseñar temas de geometría con GeoGebra?

Según (Marques Graells, 1999) las bondades que ofrece el innovar la enseñanza de la geometría

con GeoGebra se tiene:

Motivación: los alumnos se sienten muy motivados con la utilización de este medio.

Actividad intelectual continua: les mantiene activos y con un nivel de atención máximo.

Desarrollo de la iniciativa: se les da la oportunidad de experimentar, de tomar decisiones y

de equivocarse, sin que suponga ello un retroceso en sus ganas de Interactuar con el

ordenador.

Aprendizaje a partir del ensayo-error: la interacción que se establece alumno-ordenador

proporciona un proceso de feedback rápido permitiéndole conocer sus errores en el mismo

momento en el que se producen, para su corrección inmediata.

La generación actual de jóvenes se caracteriza por gustarles el uso de la tecnología, es algo que

los motiva, los apasiona; es por esto que se ve pertinente utilizar una herramienta dinámica como

es GeoGebra que va a facilitar a los estudiantes el estudio de los elementos y propiedades del

triángulo. En esta propuesta cobra especialmente importancia la funcionalidad de arrastre para

que el estudiante construyendo un solo triángulo pueda tener la opción mediante el comando

arrastre modificarlo y así establecer que datos cambian y cuales permanecen invariantes, lo que

conlleva a redescubrir teoremas en el estudio de la geometría del triángulo; es diferente que uno

como docente le informe a los estudiantes que la suma de los ángulos internos de cualquier

triángulo es 180 grados, en vez de orientarlo haciendo uso del GeoGebra ellos puedan concluir

dicho resultado. Es uno de los tantos ejemplos que podríamos trabajar el aprendizaje

significativo.

43

3.4. El modelo de Van Hiele y los Niveles de Razonamiento

La teoría propuesta por los esposos Van Hiele resulta de gran utilidad para comprender la

evolución del razonamiento geométrico, pues permite considerar la construcción de los conceptos

y el establecimiento de relaciones de manera gradual a través de actividades que involucran la

resolución de problemas, el investigar y demostrar, lo que se encuentra en estrecha relación con

lo expuesto anteriormente.

Comprender la complejidad del razonamiento en geometría, no es un asunto trivial. El intentar

dar una definición para comprender la evolución del razonamiento geométrico, la teoría

propuesta por los esposos Van Hiele permite considerar la construcción de los conceptos y el

establecimiento de relaciones de manera gradual a través de actividades.

A continuación se presenta una caracterización de los primeros tres niveles del modelo de Van

Hiele, atendiendo a que el alcance de esta experiencia obedece a estos niveles, puesto que el

cuarto nivel y el quinto nivel no se contemplan dentro de la propuesta.

“Nivel I Visualización o Reconocimiento. Las figuras se distinguen por sus formas

individuales, como un todo, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por

ejemplo, un pre-adolescente de trece años puede reproducir un triángulo rectángulo en

posición no canónica solamente cuando es dibujado con una orientación en el plano, pero si

este dibujo lo rotamos o trasladamos en el plano el estudiante ya no lo va a reconocer

fácilmente, en la propuesta se evidencia con el uso de GeoGebra en las actividades 1 y 2.

Nivel II Análisis. Comienza aquí a desarrollarse la conciencia de que las figuras constan de

partes; (lados, vértices, ángulos). Estas propiedades van siendo comprendidas a través de

observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de

modelos, etc. El pre-adolescente, por ejemplo, ve que un triángulo tiene tres ángulos, tres

lados, tres vértices; que los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y de

acuerdo a las medidas de sus ángulos, que un triángulo no puede haber dos ángulos rectos

También se reconoce la congruencia y la semejanza de los triángulos, pero el niño es todavía

44

incapaz de inferir si el punto de corte de las alturas (ortocentro) está en el interior o exterior

del triángulo, en la propuesta se evidencia con el uso de GeoGebra en las actividades 3, 4 y 5.

Nivel III Abstracción u ordenamiento. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar

clarificadas, pero sólo con ayuda y guía, comienza a establecerse las relaciones entre las líneas

notables de un polígono de tres lados y sus propiedades entre los elementos del mismo. En la

propuesta se evidencia con el uso de GeoGebra en las actividades 6 y 7.” (Gamboa Araya &

Vargas Vargas, 2013)

En cada una de las actividades de la propuesta se enfatiza los tres primeros niveles de Van Hiele,

similarmente conviene tener en cuenta para la enseñanza, descripciones de muestras de

«habilidades en geometría», en términos de los niveles de desarrollo como las presentadas por

(Hoffer, 1990), las cuales se describen en la tabla siguiente (sólo en relación con los tres primeros

niveles):

Tabla 2. Niveles modelo de Van hiele

Nivel Habilidad I Reconocimiento II Análisis III Clasificación

Visual

Reconocer diferentes

figuras de un dibujo.

Reconocer

información

contenida en una

figura

Notar las propiedades

de una figura.

Identificar una figura

como parte de una

mayor

Reconocer

interrelaciones entre

diferentes tipos de

figuras. Reconocer

propiedades comunes

de diferentes tipos de

figuras

Verbal

Asociar el nombre

con una figura

señalada. Interpretar

frases que describen

figuras.

Describir

adecuadamente varias

propiedades de una

figura

Definir palabras

adecuada y

concisamente.

Formular frases que

muestren relaciones

entre figuras

Dibujo Hacer dibujos de

figuras nombrando

Traducir información

verbal dada en un

Dadas ciertas figuras

ser capaz de construir

45

adecuadamente las

partes

dibujo. Utilizar las

propiedades dadas de

una figura para

dibujarla o

construirla

otras relacionadas

con las primeras

Lógica

Darse cuenta de que

hay similitudes y

diferencias entre las

figuras. Comprender

la conservación de las

figuras en distintas

posiciones

Comprender que las

figuras pueden

clasificarse en

diferentes tipos.

Notar que las

propiedades sirven

para distinguir las

figuras

Comprender las

cualidades de una

buena definición.

Usar las propiedades

para determinar si

una clase de figuras

está contenida en otra

Aplicada

Identificar formas

geométricas en

objetos físicos

Reconocer

propiedades

geométricas de

objetos físicos.

Representar

fenómenos en un

modelo

Comprender el

concepto de un

modelo matemático

que representa

relaciones entre

objetos

3.5. Marco Metodológico

Desde la didáctica de la matemática, se considera pertinente, tener en cuenta el modelo Van Hiele

y sus fases del aprendizaje, entendidas, por estos autores, como etapas de graduación y

organización de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que

le lleva a nivel superior de razonamiento. Las actividades están diseñadas de tal forma que

permite al estudiante redescubrir los conocimientos básicos utilizando el software de GeoGebra,

especialmente haciendo uso del comando arrastre para obtener varios triángulos y ver que

propiedades y características se mantienen inherentes a dichas transformaciones.

46

3.6. Población y Nivel Educativo de los Estudiantes

Este trabajo fue pensado para aplicarlo en el nivel de educación básica ciclo IV, conformado por

estudiantes, cuyas edades oscilan entre 12 y 15 años, de estratos 2, 3 y 4 del Colegio Villemar el

Carmen IED, Fontibón, jornada mañana.

Los preconceptos con los que llegan los estudiantes a grado octavo, corresponden a las temáticas

trabajadas durante el ciclo III; como punto, recta, semirrecta, segmento, ángulo, clasificación de

ángulos, medida de ángulos, plano cartesiano, entre otras.

3.7. Temática de la Propuesta

La propuesta que se formula tiene como propósito reconocer, verificar y conjeturar algunas de las

propiedades del triángulo y las propiedades de las líneas: bisectrices, medianas, alturas y

mediatrices como puntos notables: incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro.

3.8. Objetivos

3.8.1. Objetivo general

Innovar la enseñanza del estudio de las líneas notables del triángulo, implementando GeoGebra

como herramienta didáctica con el fin de mejorar la comprensión de dichos aprendizajes.

3.8.2. Objetivos Específicos Conceptuales

Identificar las clases, los componentes y las propiedades de los polígonos de tres lados.

Construir diferentes triángulos y trazar las líneas notables e identificar cada una de ellas.

Identificar y comparar líneas notables en el triángulo, redescubriendo propiedades entre ellas.

47

Fortalecer la comprensión de procesos de razonamiento (inductivo, deductivo y conjetural), como

medio para el análisis y la argumentación.

3.8.3. Objetivos específicos didácticos

Generar ambientes de aprendizaje que motiven a los estudiantes hacia la exploración del

conocimiento, mediante la utilización del software GeoGebra.

Propiciar el avance en el desarrollo del razonamiento geométrico, del nivel de reconocimiento al

nivel de clasificación u ordenamiento, de acuerdo con la propuesta de los Van Hiele.

Implementar las fases del aprendizaje propuestas por Van Hiele, como marco metodológico en el

aula, con el fin de generar la construcción gradual de los conceptos y el desarrollo de habilidades

de pensamiento geométrico.

3.9. Actividades

Pensando en el Éxito que deben tener las actividades, se le da un orden secuencial para facilitar

los procesos mentales de los estudiantes, como: Preconceptos, Objetivos, Desarrollo de la

actividad, Sección de ejercicios y Aplicación. Cada una de las actividades está diseñada pensando

en integrar los primeros tres niveles de razonamiento, propuestos en el modelo de Van Hiele, con

el manejo del software GeoGebra. A continuación se explica los pasos que conforman cada

actividad:

1. Preconceptos: pre-saberes que deben contar los estudiantes para poder desarrollar la

actividad.

2. Objetivos: qué se propone con la actividad. Finalidad de la misma.

3. Desarrollo de la actividad: se intenta exponer de forma clara y concisa los diferentes pasos

para lograr la construcción que se busca en GeoGebra.

48

4. Sección de Ejercicios: el estudiante valiéndose de la construcción y mediante la animación o

el arrastre resolverá las actividades redescubriendo propiedades del triángulo y sus puntos y

líneas notables.

5. Formalizando: se consolidan los conceptos trabajados y se confronta con el trabajo del

estudiante.

6. Aplicación: trabajo con lugares geométricos de los puntos notables y problema de aplicación

que relacione el concepto estudiado.

Esta propuesta busca que el estudiante sea participe en la construcción de su propio conocimiento

fortaleciendo la parte explorativa, es decir que manipule los diferentes comandos, de GeoGebra

en la construcción de triángulos estáticos y dinámicos que les permite realizar conjeturas y

poderlos llevar hacia un conocimiento específico. Como valor agregado se deja unos applet para

la construcción de las líneas notables del triángulo. Los ejercicios formulados en cada una de las

actividades fueron pensados para que los estudiantes utilicen el software Geogebra, con la

finalidad de redescubrir propiedades y teoremas en el estudio de los triángulos, enfatizando en la

transformación de las figuras que llevan al estudiante a realizar conjeturas.

Se realiza una categorización posible del trabajo con los estudiantes al desarrollar las diferentes

actividades propuestas, según Ortegón. N (Ortegon, Salas , & Samper, 2013)

Tabla 3. Categorización

CATEGORÍA SIGNIFICADO

Respuesta fuera de

contexto (RFC)

Realiza una interpretación incorrecta de la situación y lo

asocia a otro tipo de respuestas que no tienen relación

con lo que se está preguntando

Condicional implícita (CI) Reconoce la condicional que subyace a la situación pero

no lo menciona de forma explícita en su respuesta

Identifica dependencia

(ID) Identifica la dependencia entre las propiedades

mencionadas en la situación.

No identifica dependencia (NID)

No identifica relaciones de dependencia entre

propiedades.

49

Condicional explicita

Condicional implícita sin formato (CESF) ) Responde con una condicional pero no usa el formato

si… entonces

Es importante dedicar suficiente tiempo en la elaboración de las preguntas en el desarrollo de las

actividades, teniendo en cuenta el conocimiento al cual se desee llevar a los estudiantes.

50

CAPÍTULO 4. PROPUESTA DIDÁCTICA

4.1. Desarrollo de las actividades

El programa GeoGebra es un software libre de geometría dinámica que facilita realizar diferentes

construcciones medir longitudes y ángulos buscando que el desarrollo de las actividades tenga

éxito es importante socializar y realizar con los estudiantes una ambientación de los principios

básicos del manejo de GeoGebra; es así que se invitó a los estudiantes a visitar la página

https://wiki.geogebra.org/es/Manual, reforzando en clase con ejercicios y construcciones

sencillas.

4.2. Metodología

La propuesta es pensada para ser aplicada en el colegio distrital Villemar el Carmen en la jornada

de la mañana en grado octavo; se cuenta con cuatro grupos con un promedio de 38 estudiantes

por grupo, la jornada está organizada en tres bloques de clase de 110 minutos y los estudiantes

rotan por los salones dependiendo de la clase que les corresponda. En matemáticas contamos con

cuatro salones donde uno de ellos está equipado con 25 portátiles un videobean como también

contamos con servicio de internet, hay un computador fijo para el profesor, para el desarrollo de

cada una de las actividades se asigna un portátil por cada dos estudiantes estableciendo como

regla de trabajo que ambos interactúen con el equipo en la elaboración de cada una de las

actividades propuestas. Luego que se ha descargado el programa en los computadores, se da

inicio a la inducción sobre el manejo y uso de herramientas básicas del programa y se continua

con el desarrollo de las demás actividades.

https://wiki.geogebra.org/es/Manual

51

4.3. Actividad 1: Estudio de los elementos del triángulo

Los estudiantes trabajan por pares, siguiendo las instrucciones establecidas por el Docente quién

hará preguntas orientando a que los estudiantes establezcan conjeturas sobre la construcción.

Establecerán si el triángulo construido es dinámico o estático y que parte del algoritmo hace que

una figura geométrica sea dinámica o estática, asignarán medidas e identificarán las partes del

triángulo, mediante el comando arrastre modificarán el triángulo.

1. Preconceptos

Punto, Recta, Segmento, Ángulo, puntos colineales, medida de ángulos

2. Objetivos

Utilizando la herramienta de GeoGebra construir el triángulo.

Clasificar los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

3. Desarrollo de la actividad

Abrir GeoGebra

Recomendación: es importante trabajar GeoGebra, sin cuadricula ni ejes coordenados.

Ilustración 21 Presentación GeoGebra

52

Ubique tres puntos no colineales, para ello da click en ; y con el mouse realice clic en tres

partes distintas del plano.

Ilustración 22 Construcción del triángulo

Haciendo click en ubique segmentos que determinan los tres puntos.

Ilustración 23 Construcción del triángulo

53

Dele color diferente a los lados del triángulo y cambie el grosor de los segmentos coloque el

cursor sobre cada segmento y de clic derecho, se despliega una ventana y puede asignar color y

grosor de los lados del segmento.

Ilustración 24 Construcción triángulo

Mida los lados del triángulo, haciendo click en con Geogebra

Ilustración 25 Elementos del triángulo

54

Mida los ángulos haciendo click en con ayuda del programa de GeoGebra

Ilustración 26 Triángulo con medidas

Con el comando arrastre va a modificar el triángulo construido haciendo variar la medida de

los lados y los ángulos del triángulo.

Ilustración 27 Transformando triángulo con comando arrastre

55

¿Es posible mediante el arrastre en GeoGebra lograr un triángulo con dos lados de la misma

medida?

Ilustración 28 Mediante arrastre cumplir con la orden

¿Qué puede inferir acerca de la medida de sus ángulos?

Respuesta esperada: “Si un triángulo tiene dos lados de igual medida, entonces sus ángulos

opuestos, tienen la misma medida”.

¿Es posible modificar el triángulo inicial de tal manera que los tres lados tenga la misma

medida?

Ayuda: Utiliza el comando medir ángulo dada su amplitud haciendo click,

56

Debe inferir cuanto debe medir los ángulos para que sus lados sean iguales.

4. Sección de ejercicios

1) Complete los espacios en blanco de acuerdo a su experiencia en la construcción del triángulo

con GeoGebra

Un triángulo tiene ____ lados, ___ vértices y ___ ángulos;

2) Abrir la siguiente construcción hecha en GeoGebra; copia el link y descarga el archivo,

recuerda que debes tener instalado GeoGebra en tu equipo.

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=

triángulos+lados++copia.ggb

Ilustración 29 Macro para construir triángulos

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=triangulos+lados++copia.ggb


57

Asígnale distintos valores a los lados del triángulo y registra que sucede con los valores que da

Tabla 4. Propiedades del triángulo

Lado a Lado b Lado c Ángulo

A

Ángulo

B

Ángulo

C

Existe el

Triángulo

Como se

llama el

triángulo

2 2 2

3 4 5

3 3 4

4 5 7

9 13 17

3) Clasificación de los triángulos según la medida de sus lados.

4) Relacione las dos columnas teniendo en cuenta los conceptos estudiados en clase, sobre la

clasificación de los triángulos de acuerdo a la longitud de sus lados y la medida de los

ángulos

Ilustración 30 Actividad clasificación de triángulos

Fuente tomada de: (Educaplay, 2017)

58

5) Completar el siguiente cuadro

Abrir la siguiente construcción hecha en GeoGebra; copia el link y descarga el archivo, recuerda

que debes tener instalado GeoGebra en tu equipo.



Se buscará que el estudiante explore las posibilidades de la construcción de triángulos, mediante

el macro de Geogebra y complete el siguiente cuadro; escribe SI donde sea posible la

construcción y NO donde, no sea posible la construcción.

Tabla 5 clasificación del triángulo

ACTUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

ESCALENO

ISÓSCELES

EQUILATERO

5. Formalizando

Construcción de un triángulo equilátero con GeoGebra.

Trace un segmento.

Ilustración 31 Paso 1 Construcción triángulo Equilátero

Trace una circunferencia de radio AB y centro en A y que pase por B



59

Ilustración 32 Paso 2 Construcción triángulo equilátero

Trace una nueva circunferencia con el mismo radio pero con centro en B y que pase por A


60

Determine el punto de intersección de las dos circunferencias, haciendo click en y luego click

en cada una de las circunferencias.


Trace segmentos determinados por los puntos A, C y B, C; haciendo click en el comando de

esta forma queda determinado el triángulo Equilátero.


61

Mida los ángulos para verificar que es un triángulo equilátero, haciendo click en . Mida los

lados para verificar que tienen la misma medida, haciendo click en el comando


Oculte las circunferencias haciendo click en el comando

Ilustración 37 Triángulo equilátero

62

4.4. Actividad 2: Estudio de las propiedades de los triángulos

Los estudiantes avanzarán en la incorporación de hojas de cálculo, mediante el comando de

arrastre generaran datos aleatorios y compararán las diferentes columnas para interpretar y

redescubrir las propiedades del triángulo. Se hará especial énfasis en la categorización de las

condiciones suficientes y necesarias para que un triángulo sea construible o no construible dando

las longitudes de sus lados, la medida de sus ángulos.

1. Preconceptos

Triángulo, Ángulo Adyacente, Ángulo Exterior, Medida de ángulos, Manejo hoja de cálculo,

manejo Excel básico.

2. Objetivos

Redescubrir y verificar las diferentes propiedades de los elementos de un triángulo, apoyados

en el uso de GeoGebra.


Utilizando el siguiente Link podemos descargar el siguiente archivo en GeoGebra

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=sumaangul

os+180+(1).ggb

Ilustración 38 Propiedades de los elementos del triángulo

63

En la hoja de cálculo, las celdas A B y C; registran las medidas de los ángulos del triángulo; La

celda D registra la suma de las medidas de los ángulos del triángulo, La Celda E registra la suma

de las medidas de los ángulos γ y β; La Celda F registra la medida del ángulo δ Exterior al

ángulo.

Con el comando arrastre modifique el triángulo y observe como cambias las medidas de los

ángulos. ¿Qué sucede con las medidas registradas en la celda D? ¿Varía? ¿Se mantiene

Constante?

Compare las medidas Registradas en las celdas E y F ¿Qué puedes concluir?


1) Abrir y descargar el siguiente archivo de GeoGebra.



Dar click en vista y habilitar hoja de cálculo



64

Ilustración 39 Incluyendo hoja de cálculo en la macro

Celda A digitar la medida del lado AC

Celda B digitar la medida del lado AB

Celda C digitar la medida del lado BC

Celda D Suma de las medidas de los lados AC +AB

Celda E: Suma de las medidas de los lados AC+BC

2) Utilizando el archivo de GeoGebra, decidir si los siguientes conjuntos de números dados

podrían ser las longitudes de los lados de un triángulo

(4, 5, 7) (4, 5, 17) (6, 13, 17) (9, 13, 17) (7, 7 13)

Puedes probar con otras ternas de números.

3) Teniendo en cuenta el numeral anterior compare cada una de las celdas D y E con las celdas

A, B; y Las Celdas A y C respectivamente.

¿Qué puedes Inferir?

5. Formalizando

Propiedad: Un lado de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.

Utilizando propiedades de los triángulos

A partir del siguiente triángulo responde:

65

De acuerdo a la siguiente gráfica responda las preguntas 1, 2 y 3

Ilustración 40 Ejercicio propiedades del triángulo

1) ¿Cuánto miden los ángulos C y B?

2) ¿Cuál es el lado mayor? _____ ¿por qué? _____________

3) Dados los lados a, b y c de un triángulo responde falso o verdadero a las siguientes

proposiciones:

a+b›c

a<b+c

a›b-c

a=b+c

4) ¿Cuál es la medida del ángulo < DAC?

El triángulo ABC es equilátero y el triángulo ∆BCD es Isósceles rectángulo. ¿Cuánto mide el

ángulo α


66

6. Resolver los siguientes ejercicios

En el triángulo ∆ABC de la figura, los ángulos <ABD, <BCE, <CAE son sus tres ángulos

exteriores. Si <ABD=3x-20⁰, <BCE= 2x-15⁰ y <CAE= x+52⁰; ¿cuánto mide x?

Ilustración 42 Ejercicio suma de ángulos exteriores

El triángulo ∆ABC es rectángulo en B. El ángulo < BAC mide x y el ángulo < BCD mide 5x.

¿Cuánto mide el complemento de x?

Ilustración 43 Ejercicio propiedades de los triángulos

67

El triángulo ABC es isósceles con base AB. Si ángulo α=130⁰, ¿cuánto mide el ángulo ABC?


Propiedad: La suma de las medidas de los ángulos Interiores de todo triángulo es 180 grados

Propiedad: El Valor de un ángulo Exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de

los ángulos interiores no adyacentes.

A continuación se plantean actividades encaminadas al estudio de las rectas notables en un

triángulo y los puntos de intersección de estas rectas; Estudio de las mediatrices y el

Circuncentro, Estudio de las medianas y el Baricentro, estudio de las alturas y el ortocentro,

estudio de las bisectrices y el incentro.

68

4.5. Actividad 3: Estudio de las mediatrices y el circuncentro de un triángulo

Los estudiantes construirán las mediatrices de un triángulo y establecerán el punto intercepto

(circuncentro) con el comando medida de longitud verificaran que el circuncentro a cada vértice

del triángulo son equidistantes es decir guardan la misma longitud, luego construirán la

circunferencia circunscrita del triángulo; con el comando arrastre establecerán si el circuncentro

siempre queda al interior del triángulo independientemente del triángulo (acutángulo,

obtusángulo o rectángulo). Al final de la actividad se deja un vínculo para descargar un archivo

con la herramienta construir mediatrices.

1. Preconceptos

Recta Perpendicular, Punto Medio, Circunferencia

2. Objetivo

Reconoce las mediatrices y el circuncentro de un triángulo.


Abrir GeoGebra

Construya un triángulo.

Ilustración 45 Construyendo mediatrices

69

Ubique los puntos medios de los lados del triángulo, haciendo click en y escoja la opción

punto medio.

Ilustración 46 Construyendo mediatrices

Trace rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasen por los puntos medios

Ilustración 47 Trazando mediatrices

70

Señale el punto de intersección de las rectas que acaba de trazar y con click derecho asígnele

grosor y color. Este punto se llama Circuncentro.

Ilustración 48 Punto de intersección Circuncentro

Dibuje un triángulo

Ubique el punto medio de cada lado del triángulo

Click en y modifique el triángulo

Complete cada uno de los siguientes enunciados, apoyándose en la construcción que acaba de

hacer.

Si el Circuncentro queda en el interior se trata de un triángulo _______

Si el Circuncentro queda en el exterior del triángulo se trata de un triángulo _________

Si el Circuncentro queda sobre un lado del triángulo se trata de un triángulo __________

71

La distancia del Circuncentro a los tres vértices es igual, es decir se puede construir una

circunferencia con centro en circuncentro y pase por los vértices.

Ilustración 49 Propiedad de las mediatrices


1) El punto 0 corresponde al circuncentro del triángulo ABC. ¿cuánto mide el ángulo ABO?

Ilustración 50 Ejercicio mediatrices

72

5. Ejercicio de aplicación

Se piensa construir un parque que quede a la misma distancia de 3 casas, las cuales aparecen en la

siguiente figura:

Ilustración 51 Ejercicio mediatrices

73

Indica exactamente donde debe quedar el parque. Utiliza para ello la construcción de las

mediatrices y el circuncentro.

Como refuerzo al estudio de las mediatrices, se deja una nueva herramienta construida GeoGebra,

para facilitar el estudio por parte de los estudiantes.

Copiar y descargar el siguiente archivo que se encuentra en Dropbox,

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=jsmediatriz

triángulo+(1).ggb

Ilustración 52 Macro para trazar mediatrices

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=jsmediatriztriangulo+(1).ggb

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=jsmediatriztriangulo+(1).ggb

74

4.6. Actividad 4: Estudio de las bisectrices e incentro de un triángulo

Los estudiantes construirán las bisectrices de un triángulo y establecerán el punto intercepto

(incentro) con el comando perpendicular establecerán las perpendiculares del incentro a cada lado

del triángulo verificarán que el incentro es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

con el comando arrastre establecerán si el incentro siempre queda al interior del triángulo

independientemente del triángulo (acutángulo, obtusángulo o rectángulo). Al final de la actividad

se deja un vínculo para descargar un archivo con la herramienta construir bisectrices.

1. Preconceptos

Triángulo, bisectriz de un ángulo distancia de un punto a un lado, circunferencia.

2. Objetivos

Realiza construcciones de las bisectrices de un triángulo

Reconoce las bisectrices y el incentro de un triángulo


Abrir GeoGebra

Trace un triángulo y determine los vértices y lados del mismo.

Ilustración 53 Construyendo bisectrices

75

Trace la bisectriz de cada ángulo

Haciendo click en el comando click en cada vértice del triángulo, teniendo cuidado que el

vértice del ángulo quede en el centro.

Ilustración 54 Trazando bisectrices

Proceda a trazar las dos bisectrices restantes

Ilustración 55 Trazando bisectrices

76

Con el comando trace punto de intercesión de las bisectrices que llamamos Incentro

Ilustración 56 Incentro: punto donde concurren las bisectrices

Con el comando haga click en las bisectrices

Ilustración 57 Trabajando bisectrices

77

Propiedad de las Bisectrices: La distancia desde el Incentro a cada uno de los lados es la misma.

Trace rectas perpendiculares desde el Incentro a cada uno de los lados del triángulo.

Ilustración 58 Propiedades de las bisectrices

Determine el intercepto de la recta perpendicular y el lado del triángulo, para ello se hace click en

el comando

Ilustración 59 Propiedad de las bisectrices

78

Trace circunferencia haciendo centro en el Incentro y que pase por el punto de intersección de las

perpendiculares con los lados del triángulo, se utiliza el comando .

Ilustración 60 Circunferencia inscrita bisectrices

Se establece los puntos de intersección de la circunferencia con cada uno de los lados del

triángulo, y así de esta manera debe medirse los radios para verificar la propiedad de las

Bisectrices.

Ilustración 61 Verificando bisectrices

79


1) En la figura el punto O corresponde al incentro del triángulo ABC. ¿Cuánto mide el ángulo

BCA?

Ilustración 62 Ejercicio de aplicación bisectrices

5. Formalizando

En el siguiente enlace podrá descargar un archivo en GeoGebra que le facilitara trazar las

bisectrices de cualquier triángulo.

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=bisec

triángulojs.ggt

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=bisectriangulojs.ggt

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=bisectriangulojs.ggt

80

6. Aplicación

Si se desea construir tres casas que estén situadas a igual distancia de un colegio y sobre la

carretera. ¿En qué punto deben ir las casas y donde estaría la escuela? Si las carreteras están

representadas por los siguientes segmentos. Sitúa el punto exacto de las casas y el colegio,

utilizando para ello la construcción de las bisectrices y el incentro.

Ilustración 63 Ejercicio de aplicación bisectrices

81

4.7. Actividad 5: Estudio de las alturas y ortocentro de un triángulo

Los estudiantes construirán las alturas de un triángulo y establecerán el punto donde concurre las

alturas (ortocentro), con el comando arrastre establecerán si el ortocentro siempre queda al

interior del triángulo independientemente del triángulo (acutángulo, obtusángulo o rectángulo).

Al final de la actividad se deja un vínculo para descargar un archivo con la herramienta construir

alturas.

1. Preconceptos

Triángulos, altura

2. Objetivos

Realiza construcciones de las alturas de un triángulo

Reconoce las alturas y el ortocentro de un triángulo


Abrir GeoGebra

Trace tres puntos y los segmentos determinados por ellos

Ilustración 64 Construyendo alturas

82

Trace la altura de cada uno de los vértices del triángulo.

Ilustración 65 Trazando alturas

Trace las demás alturas

Ilustración 66 Punto de concurrencia de las alturas

Determine el punto donde concurren, las tres alturas (ortocentro).

83

Ilustración 67 Ubicando el Ortocentro


1) ¿Cuánto mide el ángulo <ABD si 𝐵𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅es una altura del triángulo ∆ABC?

Ilustración 68 Ejercicio de aplicación de alturas

84

2) Con ayuda de GeoGebra construye un triángulo obtusángulo Isósceles, con lados iguales a 5

cm y un ángulo de 120 grados; luego trace las alturas y determine el ortocentro.

3) Con ayuda de GeoGebra construye un triángulo escaleno cuyos lados midan 6 cm, 7 cm y 8

cm; luego trace las alturas y determine el ortocentro.

4) Construye y trace en cada uno de los siguientes triángulos las alturas y determine el

ortocentro, luego establezca si el ortocentro está en el interior o exterior del triángulo,

mediante el comando arrastre, ubique el mouse en un vértice y mueva modificando el

triángulo.

Tabla 6. Características de los puntos concurrentes

Triángulo Agudo Triángulo Obtuso Triángulo Recto

Dibujo

Punto Interior o

Exterior

5) En el siguiente enlace se puede descargar un archivo en GeoGebra que facilitara trazar las

alturas de cualquier triángulo.

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=ALTURA

TRIÁNGULOJ2.ggt

Ilustración 69 Macro para trazar alturas

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=ALTURATRIANGULOJ2.ggt

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=ALTURATRIANGULOJ2.ggt

85

Haciendo click en el comando a partir de cualquier triángulo puedes trazar las alturas, basta

con ir haciendo clic en los tres vértices.

4.8. Actividad 6: Estudio de las medianas y el baricentro de un triángulo

Los estudiantes construirán las medianas de un triángulo y con el comando arrastre establecerán

si el baricentro siempre queda al interior del triángulo independientemente del triángulo

(acutángulo, obtusángulo o rectángulo). Al final de la actividad se deja un vínculo para descargar

un archivo con la herramienta construir medianas.

1. Preconceptos

Triángulo, punto medio de un segmento

2. Objetivos

Construye las medianas de un triángulo y determina el baricentro utilizando GeoGebra

Reconoce las medianas y el baricentro de un triángulo

3. Desarrollo de la actividad:

Abrir GeoGebra

Trace un triángulo determinando sus vértices y sus lados

Ilustración 70 Construyendo medianas

86

Determine el punto medio de cada lado del triángulo

Ilustración 71 Puntos medios del triángulo

Trace los segmentos que determinan los vértices, y el punto medio del lado opuesto

respectivamente.

87

Ilustración 72 Medianas del triángulo

Determine el punto donde concurren las Medianas, se llama Baricentro.

Ilustración 73 Baricentro punto donde concurren las medianas

88


1) Si en tu colegio se está construyendo el comedor y se piensa hacer una mesa en forma

triangular, cuyas medidas serán 4m, 4m y 6m; Indica el punto exacto donde debería ir la base

de la mesa para que esta esté en equilibrio.

2) AF es mediana del triángulo ABC. Si AF tiene la misma medida que FC, ¿Cuánto mide el

ángulo CAB?

Ilustración 74 Ejercicio de aplicación medianas

89

Problema 1.1 Construir un triángulo dadas las longitudes de las tres medianas.

Problema 1.2 Sea ABCD un trapecio, con base AB y CD. Las diagonales AC y BD se cortan en

P, y los lados AD y BC se cortan en Q. Demostrar que PQ corta a las bases en sus puntos medios.

Problema 1.3 sea ABC un triángulo acutángulo. La circunferencia con diámetro BC corta a la

mediana AAˈ, en el punto M. Sea D, el pie de la perpendicular desde M hasta BC. La

perpendicular desde D hasta MB corta a MB y AB respectivamente en E y P, y la perpendicular

desde D hasta MC corta a MC y AC respectivamente en F y Q, Demostrar que PQ es paralela EF.

Problema 1.4 La suma de las medianas es mayor que las tres cuartas partes del perímetro del

triángulo.

5. Aplicación

En el siguiente enlace podrás descargar un archivo en GeoGebra que te facilitara trazar las

medianas de cualquier triángulo.

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=MEDIANAS

TRIÁNGULO.ggt

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=MEDIANASTRIANGULO.ggt

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=MEDIANASTRIANGULO.ggt

90

4.9. Actividad 7: Estudio de la recta de Euler

Utilizando la herramienta para construir alturas, mediatrices y medianas, facilitaran la ubicación

de los puntos notables de estas líneas notables, donde los estudiantes con el asombro verificarán

que los puntos ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales; es decir se establece la recta

de Euler. Con el comando arrastre establecerán la conjetura si permanece la recta de Euler al

modificar el triángulo.

1. Preconceptos

Alturas de un triángulo, mediatrices de un triángulo, medianas de un triángulo. Manejo de

GeoGebra.

2. Objetivos

Profundizar en el estudio de las relaciones de los puntos de intersección de las líneas de un

triángulo.

3. Desarrollo de la actividad:

Abrir GeoGebra

Trace un triángulo

Ilustración 75 Construyendo recta de Euler

91

Trace dos alturas del triángulo

Ilustración 76 Ubicando punto de corte de alturas

Oculte las alturas

Ilustración 77 Ocultando alturas

Trace las medianas

92


Determine el punto concurrencia de las medianas “Baricentro”

Ilustración 79 Baricentro del triángulo

Ocultar las medianas

93

Ilustración 80 Ocultando medianas

Trace las mediatrices

Ilustración 81 Mediatrices del triángulo

Determine el punto donde concurren las mediatrices (circuncentro)

94

Ilustración 82 Circuncentro del triángulo

Oculte las mediatrices

Ilustración 83 Ocultando mediatrices

¿Los tres puntos serán colineales?

95

Ilustración 84 Recta de Euler

Una vez finalizada la actividad se deja al estudiante un link donde pueden descargar una

construcción hecha por el autor; haciendo clic en vista, protocolo de construcción, allí podrán

hacer retro-alimentación con lo realizado por ellos “estudiantes” comparándolo con el hecho por

parte del profesor.

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=RECTA+DE+E

ULER.ggb

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=RECTA+DE+EULER.ggb

https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=RECTA+DE+EULER.ggb

96

4.10. Actividad 8: Propiedad de las Medianas

Los estudiantes construirán las medianas de un triángulo y establecerán el punto donde concurren

(baricentro) con el comando medida de área establecerá conjetura comparando los seis triángulos

que se forman del baricentro a los vértices. Con el comando arrastre y previamente agregando

una hoja de cálculo generan datos aleatorios para establecer la conjetura establecida.

1. Preconceptos

Medianas de un triángulo, Concepto de área, manejo básico de GeoGebra.

2. Objetivo

Redescubrir el teorema de concurrencia “las áreas de los triángulos que se forman del baricentro

a los vértices del triángulo son iguales” (Rincon Abella, 1994) utilizando GeoGebra.


Con ayuda del programa de Geogebra les pediremos a nuestros estudiantes, que midan el área de

los triángulos que se forman al trazar las medianas, y de esta manera que redescubran el teorema

de concurrencia.

Abrir GeoGebra

Construya un triángulo

Ilustración 85 Propiedades de las Medianas

97

Trace las medianas


Ilustración 87 Punto de corte las medianas

98

Se hace click en el comando polígono y click en el Baricentro, vértice C y punto medio F;

repite el mismo proceso para el triángulo OEA. Verificando que tienen la misma área.

Ilustración 88 Triángulos formados por las medianas

Ilustración 89 Midiendo áreas de triángulos

I

99

lustración 90 Comparando áreas de triángulos

Es importante que el estudiante, con el comando arrastre modifique el triángulo inicial,

observando que la conjetura pre-establecida con las áreas de los triángulos se mantiene.

100

4.1.1. ACTIVIDAD DE COMPLETAR

Estimados estudiantes daremos un paseo por los teoremas de concurrencia de las líneas notables de los

triángulos, es importante tener a la mano la herramienta GeoGebra para que vayan construyendo paso a

paso la demostración y de esta manera poder completar los espacios que encuentren para armar la

demostración de cada uno de los teoremas. Sean todos bienvenidos.

Comenzaremos con el siguiente teorema que utilizaremos el resultado para demostrar que las medianas

del triángulo concurren en un punto llamado Baricentro.

Teorema del segmento medio. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es

paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.

Demostración:

Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.

Sea los puntos D y E puntos medios de los

segmentos AB̅̅ ̅̅ y ____ respectivamente.

Dibujamos el segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

Debemos probar que el segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , es

paralelo al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y además que

1

2𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =𝐷𝐸̅̅ ̅̅ .

101

Dibujamos una recta paralela al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , que

pase por el punto C.

Dibujamos la prolongación del segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ,

que se intersecta con la recta 𝐶𝐹⃡⃗ ⃗⃗ , en el punto ___

Como E, es punto medio del segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

podemos afirmar que AE es congruente con CE.

El ángulo < 𝐷𝐸𝐴 es congruente con el ángulo

_____; ángulos opuestos por el vértice

El ángulo < 𝐸𝐴𝐷 es congruente con el ángulo

______ ángulos alternos internos entre rectas

paralelas 𝐴𝐵 ⃡⃗ ⃗⃗⃗⃗ y 𝐶𝐹⃡⃗ ⃗⃗ , la recta secante 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗.

Por el criterio ALA, los triángulos ∆𝐴𝐸𝐷 y

_____ son congruentes; como los triángulos son

congruentes podemos afirmar que los lados

𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ,____ son congruentes.

102

Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos

paralelos y congruentes, entonces es un

paralelogramo. “𝐹𝐶̅̅̅̅ es congruente con el lado

____”, entonces 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ es paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ luego 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

es paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

Los lados 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ y ____ son congruentes por ser

lados opuestos del paralelogramo BDFC

DE+EF=DF=BC, como 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ son

congruentes podemos afirmar 2DE= BC, es

decir __1

2𝐵𝐶 = DE

103

4.1.2. LAS TRES MEDIANAS EN UN TRIÁNGULO

Teorema: las tres medianas de un triángulo son concurrentes. El punto de

concurrencia se llama __________ .

Demostración:

Dado el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶

D y F son puntos medios de los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

y _____ respectivamente.

104

Los segmentos 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son medianas del

triángulo ____

Sea G el punto de intersección de los segmentos

____ y 𝐶𝐷.̅̅ ̅̅ ̅

Los triángulos ∆𝐹GD y ___ son semejantes por

el criterio AA :

< 𝐷𝐺𝐹 y ___ son opuestos por el vértice

< 𝐺𝐷𝐹 y ___ son alternos internos entre rectas

paralelas, 𝐷𝐹⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐵𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, con la secante 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ .

< 𝐺𝐹𝐷 y ____ son alternos internos entre las

rectas paralelas 𝐷𝐹⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐵𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, y la secante 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ .

105

Recordemos que: si dos triángulos son

semejantes entonces sus lados correspondientes

son proporcionales y sus ángulos

correspondientes son congruentes.

Puesto que ∆𝐹GD y ∆BGC son semejantes

podemos afirmar:

𝐵𝐺

𝐹𝐺 =

𝐺𝐶

𝐺𝐷= 2 .

Así G divide en razón 2:1 a las medianas 𝐵𝐹,̅̅ ̅̅̅ y

____

II PARTE: demostraremos que la mediana 𝐴𝐸,̅̅ ̅̅̅

y la mediana ___ se cortan en un punto H razón

2:1 a partir del vértice.

El punto F es punto medio del segmento ____

El punto E es el punto medio del segmento ___

Dibujamos el segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ;

𝐹𝐸̅̅ ̅̅ es paralelo a ____ Por teorema del

segmento medio.

106

Los triángulos ∆𝐻𝐹𝐸 y ___ son semejantes por

el criterio A-A-A

El ángulo < 𝐹𝐻𝐸 es congruente con el ángulo

____, por ser ángulos opuestos por el vértice.

El ángulo < 𝐻𝐹𝐸 es congruente con el ángulo

____ por ser ángulos alternos internos entre

rectas paralelas 𝐵𝐴⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐹𝐸⃡⃗⃗⃗ ⃗

El ángulo < 𝐻𝐸𝐹 es congruente con el ángulo

____ por ser ángulos alternos internos entre

rectas paralelas 𝐵𝐴⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐹𝐸⃡⃗⃗⃗ ⃗

De otra parte Por el teorema del segmento

medio. El segmento que une los puntos medios

de los lados de un triángulo es paralelo al tercer

lado y tiene la mitad de su longitud.

1

2𝐴𝐵 = 𝐹𝐸

Teniendo en cuenta las dos anteriores premisas

podemos afirmar:

𝐴𝐵

𝐹𝐸 =

𝐵𝐻

𝐻𝐹=

𝐴𝐻

𝐻𝐸= 2

107

Así H divide en razón 2:1 a las medianas ____

y 𝐴𝐸.̅̅ ̅̅̅

Hemos demostrado que las tres medianas

concurren en un punto, que lo llamamos

________

De la parte I y de la parte II podemos concluir

𝐴𝐵

𝐹𝐸 =

𝐵𝐻

𝐻𝐹=

𝐵𝐺

𝐹𝐺 =

𝐺𝐶

𝐺𝐷= 2 Especialmente :

𝐵𝐻

𝐻𝐹=

𝐵𝐺

𝐹𝐺

Concluimos que el punto G y el punto H son el

mismo punto.

Ahora bien, sólo existe un punto en el interior de

un segmento que lo divide en una razón dada, lo

que implica que G =H

108

4.1.3. LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO

Para demostrar que las mediatrices de un triángulo son concurrentes, primero mostraremos dos

resultados importantes que nos ayudarán para la demostración que las mediatrices de un triángulo

son concurrentes.

Teorema: de la mediatriz.

La mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que

equidistan de los extremos del segmento.

Primera parte: Si el punto D está en la mediatriz de un segmento, entonces D equidista de los

extremos del segmento; es decir 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ Y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son congruentes.

Sea 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Un segmento

Ubicamos su punto medio y lo llamamos C

Dibujamos la mediatriz por su punto medio; Sea D un

punto de la mediatriz.

Los ángulos < DCA y < DCB son ángulos ___, por

ser 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗ ⃗ mediatriz del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

Los segmentos 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ Y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ son ___ por ser C punto

medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Los triángulos ___ y ∆𝐷𝐶𝐵; son congruentes por el

criterio de LAL

Entonces los segmentos 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son ___, es decir

que D equidista de los extremos del segmento.

Se ha demostrado que todo punto de la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos del

segmento.

109

Segunda parte: Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces el punto está en

la mediatriz del segmento 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son congruentes entonces el punto D pertenece a la

mediatriz

Sea 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ un segmento, y sea D un punto que equidista de los

puntos A y B

Si D pertenece al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ entonces D = C; porque el

segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , solo tiene un punto medio.

Si D no está en el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , entonces tenemos la recta 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗ ⃗.

Por el criterio LLL Los triángulos ∆ 𝐷𝐶𝐴 y ∆ 𝐷𝐶𝐵 son ___ :

𝐷𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son congruentes por hipótesis

𝐷𝐶̅̅ ̅̅ lado común para ambos triángulos

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ son congruentes por ser el punto C, punto medio de

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Por lo tanto el ángulo ___ y el ángulo < 𝐷𝐶𝐵 son congruentes

y adyacentes, lado común 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ luego los ángulos son rectos.

Hemos probado que 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es perpendicular a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , es decir, el

punto D está en la mediatriz del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Se ha demostrado que si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces este punto

pertenece a la mediatriz del segmento.

110

4.1.4. LAS TRES MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO SON CONCURRENTES.

Demostración:

Sea el triángulo ∆ABC.

Determinamos los puntos medios de los lados

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , los llamamos D y E, respectivamente.

Dibujamos las mediatrices de los segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

Las mediatrices de los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se

intersecan en un punto, que llamaremos O.

Como O pertenece a la mediatriz del segmento

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , podemos afirmar que O equidista de los

extremos del segmento, es decir ____= OC.

111

Como O pertenece a la mediatriz del segmento

BC, podemos afirmar que O equidista de los

extremos del segmento, es decir ____ = OC.

De lo anterior podemos afirmar que

OA=OC=OB, luego OA = OB

O equidista del punto A y del punto B, es decir,

O pertenece a la mediatriz del lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

El punto donde concurren las tres mediatrices, se

llama ___ y es el centro de una circunferencia

que pasa por los vértices del triángulo.

112

4.1.5. LAS ALTURAS EN UN TRIÁNGULO

Teorema: las tres alturas de un triángulo son concurrentes. El punto de concurrencia se

conoce como el ortocentro del triángulo.

Demostración:

Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.

Por el punto A dibujamos la recta 𝑙1 paralela al lado

opuesto 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

Por el punto B dibujamos la recta 𝑙2 paralela al lado

opuesto 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

113

Por el punto C dibujamos la recta 𝑙3 paralela al lado

opuesto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Teniendo en cuenta que dos rectas de las que se acaban de

trazar no son paralelas, estas rectas se intersecan.

La recta __ se interseca con la recta ___ en el punto D.

Las recta __ se intersecta con la recta __ en el punto E

Las recta __ se interseca con la recta__ en el punto F

Con un color subraye las rectas e identifique cada una de

ellas.

Los puntos D, E y F, definen el triángulo _____.

114

Primera parte:

En el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, dibujamos la altura del vértice A al

lado opuesto 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , el punto de intersección de la altura con

el segmento BC, es el punto ___.

La recta 𝑙1 es paralela al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y la recta 𝑙2, es

paralela al segmento ____, por lo tanto el cuadrilátero

________ es un paralelogramo, luego DA=BC.

La recta 𝑙1 es paralela al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y la recta 𝑙3, es

paralela al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , por lo tanto el cuadrilátero

_____ es un paralelogramo, luego BC =AE.

115

Como DA=BC= AE tenemos que DA = AE, es decir A

equidista de los extremos del segmento ____ .

Como la recta 𝑙1 es paralela al lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y el ángulo

< 𝐴𝐾𝐵 es recto por AK ser altura del triángulo ABC que

pasa por A al lado opuesto BC, se tiene que el ángulo

< 𝐾𝐴𝐸 es recto.

Es decir 𝐴𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗ es perpendicular a 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

concluimos

Como A equidista de los extremos del segmento, DE, la

altura 𝐴𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗ es mediatriz del lado 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , del triángulo ∆DEF.

Segunda parte

En el triángulo ∆ABC, dibujamos la altura del vértice C

al lado opuesto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ; el punto I es el punto común de la

altura y el lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Probaremos que la altura 𝐼𝐶⃡⃗ ⃗ del triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, es la

________ del segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ .

En el paralelogramo, tenemos que los lados FC y BA son

congruentes, “los lados paralelos de un paralelogramo son

congruentes”.

116

En el paralelogramo _____, tenemos que los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y

𝐶𝐸̅̅̅̅ son congruentes; luego FC=AB=CE, concluimos que

FC= EC. Como C equidista de los extremos del segmento

𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , C es punto medio; el ángulo < 𝐴𝐼𝐶 es recto por ser

𝐶𝐼⃡⃗ ⃗ la altura del ∆𝐴𝐵𝐶 , como 𝑙3⃡⃗ es paralelo al segmento

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , tenemos que el ángulo < 𝐼𝐶𝐹 es recto, es decir que

la altura 𝐶𝐼⃡⃗ ⃗ es perpendicular al segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ .

concluimos

La altura 𝐶𝐼⃡⃗ ⃗ es mediatriz del lado 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , del triángulo

∆DEF.

En el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, dibujamos la altura del vértice B al

lado opuesto 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , el punto de intersección de la altura con

el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , es el punto J.

En el paralelogramo _____, tenemos que los lados 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ y

𝐶𝐴̅̅ ̅̅ son congruentes; luego FC=BA=CE, concluimos que

_____= CE.

Como B equidista de los extremos del segmento, DF, la

altura BJ es mediatriz del lado DF, del triángulo ∆DEF.

117

Hemos probado que las alturas del triángulo ∆ABC, son

las mediatrices del triángulo ∆DEF. Como las

mediatrices son concurrentes, este punto resulta ser donde

concurren las alturas y se llama el ______ del triángulo

∆ABC.

118

4.1.6. LAS BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO

Teorema: las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes

Para demostrar que las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes, el punto donde

concurren se llama incentro del triángulo; debemos demostrar que el incentro equidista de los

lados del triángulo. Demostraremos que La bisectriz de un ángulo, es el conjunto de todos los

puntos del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo.

La demostración está dividida en dos partes,

Primera parte: Si P está en el interior del ángulo < 𝐵𝐴𝐶 , y P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶,⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ entonces

P está en la bisectriz del ángulo < 𝐵𝐴𝐶

Demostración:

Sea el ángulo < 𝐵𝐴𝐶

Dibujamos la recta l, ubicamos un punto p.

119

Dibujamos la recta perpendicular del punto P a la

semirrecta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Sea M el punto de intersección de

dicha recta con el rayo 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, recta 𝑃𝑀⃡⃗⃗⃗⃗⃗

Dibujamos la recta perpendicular del punto P a la

recta AC. Sea N el punto de intersección de dicha

recta, con el rayo 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, recta 𝑃𝑁⃡⃗⃗⃗ ⃗.

“Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo

rectángulo son congruentes con la hipotenusa y

un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces

los triángulos son congruentes”.

Tenemos:

Los ángulos ___ y < 𝑁 son ángulos rectos, por

construcción.

MP=NP por hipótesis, “P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

“.

𝐴𝑃̅̅ ̅̅ Hipotenusa para ambos triángulos, lado

común.

120

Los triángulos rectángulos ∆𝐴𝑀𝑃 y _____ son

congruentes, luego el ángulo < 𝑃𝐴𝑀 y el ángulo

< 𝑃𝐴𝑁, son congruentes, Luego 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ es bisectriz

del < 𝐵𝐴𝐶.

Demostración de la parte II

Si P está en la bisectriz del ángulo < 𝐵𝐴𝐶, y P diferente A, y P está en el interior del < 𝐵𝐴𝐶

entonces P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.

Sea el ángulo < 𝐵𝐴𝐶

Construimos la bisectriz 𝐴𝑃⃡⃗⃗⃗ ⃗ del ángulo

< 𝐵𝐴𝐶

121

Dibujamos rectas perpendiculares que

pasen por el punto P a las semirrectas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Sea M el punto sobre 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , tal que 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ es

perpendicular 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Sea N el punto sobre 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ , tal que 𝑃𝑁̅̅ ̅̅ es

perpendicular 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Probemos:

El ángulo < 𝑀𝐴𝑃 y el ángulo < 𝑁𝐴𝑃

son congruentes “ definición de bisectriz”

El lado 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ es común para ambos

triángulos, 𝐴𝑃 ̅̅ ̅̅̅es la hipotenusa de cada

uno de los triángulos, luego

El triángulo ____ y el triángulo ∆𝐴𝑁𝑃

son congruentes.

“Si la hipotenusa y el ángulo agudo de un

triángulo rectángulo son congruentes con

la hipotenusa y el ángulo agudo de otro

triángulo rectángulo, entonces los

triángulos son congruentes”.

𝐴𝑃̅̅ ̅̅ Hipotenusa común para ambos

triángulos.

< 𝐵𝐴𝑃 congruente con el ángulo < 𝐶𝐴𝑃

Luego el triángulo ∆𝐴𝑀𝑃 y el triángulo

_____ son congruentes

Podemos afirmar en especial que los lados

𝑁𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ son congruentes es decir, el

punto P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ____ .

122

4.1.7. Teorema: las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes

Demostración:

Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶

Dibujamos las bisectrices de los ángulos

< 𝐴𝐶𝐵 y______ .

Determinamos el punto común a ambas

bisectrices y lo llamamos ____ .

123

Como D pertenece a la bisectriz del ángulo

< 𝐴𝐶𝐵; D equidista de los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y ____

luego DH = DG

El punto D pertenece a la bisectriz del ángulo

< 𝐴𝐵𝐶 ; el punto D equidista de los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y

____ es decir, DF = DG

De los dos anteriores pasos tenemos :

DH = DG= DF, tenemos DH = DF; es decir

El punto D equidista de los lados AB y AC

luego

El punto D pertenece a la bisectriz del ángulo

______.

124

Como el punto D equidista de los tres lados del

triángulo, podemos afirmar que el punto D es el

centro de una circunferencia inscrita en el

triángulo.

El punto D es el punto donde concurren las

bisectrices de los ángulos internos del triángulo;

recibe el nombre de______ del triángulo.

125

CONCLUSIONES

Se espera que los estudiantes con el uso del software GeoGebra mejoren la comprensión de las

líneas notables del triángulo.

Al utilizar GeoGebra en la enseñanza de la geometría del triángulo, se espera que los estudiantes

se motiven y participen formulando conjeturas y redescubriendo teoremas ya establecidos.

La labor diaria como docentes en el aula, en un contexto escolar donde se evidencian las

dificultades que presentan los estudiantes con el aprendizaje de las matemáticas y la geometría y

donde se suceden diferentes acontecimientos que tienen que ver con el análisis del proceso de

enseñanza y aprendizaje, en este contexto se prioriza potenciar los niveles de razonamiento

innovando la didáctica para lo cual se propone el uso de GeoGebra como herramienta que le

permita al estudiante el razonamiento analítico o grafico o los dos para hacer comparaciones y

concluir a partir de la observación y la experimentación gráfica.

Las actividades propuestas tienen como propósito fundamental que el estudio de la geometría

incluya el análisis de las líneas notables de los triángulos; sus propiedades, clasificaciones, las

medianas, mediatrices alturas, y algunos resultados importantes donde resaltamos la recta de

Euler, el análisis de los anteriores componentes conducirá al estudiante a plantearse diferentes

preguntas: ¿para qué me sirve? ¿Hacia dónde me lleva? ¿Cómo lo aplico? Preguntas, análisis y

respuestas conducirán a potenciar el razonamiento y la inquietud por la búsqueda de nuevo

conocimiento.

126

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