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RR AA ZZ OO NN AA MM II EE NN TT OO

GG EE OO MM ÉÉ TT RR II CC OO

ÍÍNNDDIICCEE

PP RR EE SS EE NN TT AA CC II ÓÓ NN PP aa gg .. 33

ÍÍ NN DD II CC EE PP aa gg .. 55

TT RR II ÁÁ NN GG UU LL OO SS PP aa gg .. 77

PP EE RR ÍÍ MM EE TT RR OO SS PP aa gg .. 33 55

ÁÁ RR EE AA SS PP aa gg .. 44 99

TRIÁGULOS

CAPÍTULO

1

TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN Dados tres puntos A, B y C no

colineales, la reunión de los segmentos

AB , BC y AC se llama triángulo.

ELEMENTOS

- Vértices: A, B, C

- Lados: AB , BC y AC

- Ángulos:

Internos: ABC , BCA , CAB

Externos: FAE , CBE , BCD

* Notaciones:

Triángulo ABC: ABC

Perímetro del ABC: 2p(ABC)

Semiperímetro del ABC: p (ABC)

INTERIOR Y EXTERIOR DE UN

TRIÀNGULO

Un triángulo separa al plano en tres

subconjuntos de puntos:

- Los puntos que pertenecen al

triángulo: A, B,C, M,etc

- Los puntos interiores al ABC: P es

un punto interior al ABC.

- Los puntos exteriores al ABC:

Q punto exterior al ABC relativo a AB

L punto exterior al ABC relativo a BC

S punto exterior al ABC relativo a AC

CLASIFICACIÓN DE LOS

TRIÁNGULOS

A. Según la medida de sus ángulos:

1. Triángulo Acutángulo.

Es aquel que tiene sus tres ángulos

agudos.

2. Triángulo Obtusángulo.

C

B

A D

E

F

c

b

a

2p(ABC) = a + b + c

a + b + cp ( ABC)=

2

H A

B

P

C

Q L

S M

INTERIOR

EXTERIOR

ABC B , BCA C ,

CAB A ; son los ángulos

internos o simplemente

ángulos del triángulo ABC.

Se conviene en designar las medidas

de los lados de un triángulo, con la

letra minúscula correspondiente al

vértice del ángulo opuesto a dicho

lado. Así:

AB = c ; BC = a ; AC = b

La reunión del triángulo con

todos sus puntos interiores se

llama región triangular.

B

A C

< 90º

< 90º

< 90º

Es aquel que tiene un ángulo obtuso

y dos ángulos agudos.

Nota: A este triángulo se le llama:

“triángulo ABC obtuso en A”

3. Triángulo Rectángulo.

Es aquel que tiene un ángulo recto y

dos ángulos agudos.

B. Según la medida de sus lados:

1. Triángulo Escaleno.

Es aquel triángulo que tiene sus tres

lados de diferente magnitud.

2. Triángulo Isósceles.

Es aquel triángulo que tiene dos

lados de igual longitud; en

consecuencia, los ángulos opuestos a

dichos lados serán de igual medida.

En el ABC isósceles:

: medida de los ángulos en la base.

: medida del ángulo en el vértice.

Se cumple que: 90º

y 180º

2

ó 90º

2

3. Triángulo Equilátero.

Es aquel triángulo que tiene sus tres

lados de igual longitud; en consecuencia,

sus tres ángulos serán de 60º.

TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. Suma de Ángulos Internos:

“En todo triángulo la suma de las

medidas de sus tres ángulos

interiores es igual a 180º ”

2. Suma de Ángulos Externos:

(considerando uno por vértice)

“ La suma de las medidas de los

ángulos exteriores de un triángulo es

igual a 360º ”

B

A C

a

b

c

* a > b y a > c

B

A C

c a

b + = 90º

AB y AC:Catetos

BC:Hipotenusa

c a y b a

> 90º

< 90º

< 90º

A los triángulos acutángulos y

obtusángulos se les denomina

“OBLICUÁNGULOS”

AB BC AC

y además

AB BC

m A m C

AB BC AC

m A m B m C 60º

B

A C 60º

60º

60º

B

A C

BASE

B

A C

“Todo triángulo

equilátero es

equiángulo”

Se cumple:

+ + = 180º

B

A C

3. Teorema del Ángulo Exterior:

“En todo triángulo, la medida de un

ángulo exterior es igual a la suma de

las medidas de dos ángulos interiores

del triángulo no adyacentes a él ”

4. Propiedad de Correspondencia:

“ En todo triángulo se cumple que a

mayor lado se opone mayor ángulo

y viceversa ”

5. Teorema de EXISTENCIA

(Desigualdad Triangular)

“En todo triángulo, la longitud de

uno de sus lados está comprendida

entre la suma y la diferencia de los

otros dos lados”

También se cumple:

LÍNEAS NOTABLES Y PUNTOS

NOTABLES

1. MEDIANA:

Segmento que parte de un vértice y llega

al punto medio del lado opuesto.

Nota: BM es la mediana relativa al

lado AC .

El punto de intersección de las medianas

se llama BARICENTRO.

G: Baricentro, Gravicentro o

Centriode (Es el centro de gravedad

del triángulo)

Propiedad:

El baricentro divide a la mediana en dos

segmentos que están en relación de 2 a 1

BG 2

GM 1 , AG 2

GP 1 , CG 2

GQ 1

2. ALTURA:

Segmento perpendicular al lado opuesto

o su prolongación.

A

B

C M

P Q G

B

A

C

x

y

z

e

B

A

C

B

A

C

c

a

C

B

A

c

b

a

Sea a b c

se cumple:

Se cumple:

x + y + z = 360º

Se cumple:

e = +

Si b > a:

>

b - c < a < b + c

a - c < b < a + c

a - b < c < a + b

A

B

C M

BM: mediana

A

B

C H H

B

C A

BH es la altura relativa al lado AC .

El punto de intersección de las alturas se

llama ORTOCENTRO.

Todo triángulo tiene un solo ortocentro y

puede estar ubicado:

- Dentro si es acutángulo

- En el vértice del recto si es

rectángulo

- Fuera del mismo si es obtusángulo

3. BISECTRIZ:

Segmento limitado por el lado opuesto,

que divide a su ángulo en otros dos de

igual medida.

Donde

BP : bisectriz interior

BQ : bisectriz exterior

INCENTRO:

Punto de intersección de las bisectrices

interiores.

- Centro de la circunferencia inscrita.

- Equidista de los lados

I: Incentro

EXCENTRO:

Punto de intersección de dos bisectrices

exteriores y una interior.

- Es centro de la circunferencia

ex-inscrita.

Ea: Excentro relativo al lado BC

- Todo triángulo tiene 3 ex-centros,

uno relativo a cada lado

A P C Q

B

Ea

Re

Re Re

A C

B

I

r

r r

Acutángulo

Obtusángulo

Rectángulo

Donde:

E1: Ex–centro relativo al lado AB

E2: Ex–centro relativo al lado BC

E3: Ex–centro relativo al lado AC

4. MEDIATRIZ.

Es la recta o segmento de recta que

divide a un segmento por su punto medio

en forma perpendicular.

L1: mediatriz de AC

MP: mediatriz de AC

El punto de intersección de las

mediatrices se llama CIRCUNCENTRO.

- Centro de la circunferencia circunscrita

- Equidista de los vértices del triángulo.

Y se ubica:

Todo triángulo tiene un solo

circuncentro y puede estar ubicado:

- Dentro si es acutángulo.

- En punto medio de la hipotenusa si

es rectángulo.

- Fuera del mismo si es obtusángulo.

1. En todo triángulo equilátero, sus

puntos notables se confunden.

El Baricentro, es también ortocentro,

incentro y circuncentro.

Baricentro

OrtocentroO

Incentro

Circuncentro

E1 E2

E3

A C

B

O

O O

A C

P

L1

M

B

Acutángulo Obtusángulo

Rectángulo

OBSERVACIONES

O

2. En todo triángulo isósceles las

alturas relativas a los lados iguales

son iguales.

CH AP

Nota: Los mismo ocurre con las

bisectrices y medianas.

CK AT CM AN

3. La altura relativa al lado desigual,

corta a éste un su punto medio.

Esta altura es mediana, mediatriz y

bisectriz a la vez, del lado desigual.

Si AB BC

y BH AC

AH HC

PROPIEDADES IMPORTANTES

1. Propiedad del “PANTALONCITO”

x a b c

Demostración:

Prolongamos AD hasta E (E en BC),

para obtener triángulos:

ABE: = a + b (Angulo Exterior)

DEC: x = + c (Angulo Exterior)

x = a + b + c

2. Propiedad de la “ESTRELLITA”

c

a

b d

e

b

c a x

b

c a x

B

C A

D E

A C

B

H P

A C

B

K T

A C

B

M N

B

H A C

Por eso cuando se tiene un

triángulo isósceles se

recomienda trazar su altura. Tu profe Markito

a b c d e 180º

Demostración:

En ACEI: (Propiedad del Pantaloncito)

= a + c + e

BID: (Suma de Ángulos Internos)

b + + d = 180º

b + (a + c + e) + d = 180º

a + b + c + d + e = 180º

3. Propiedad de la “Mariposa” o

Propiedad de la “Corbatita”

a b

Demostración:

AMO: = a + b (Angulo Exterior)

ROC: = + (Angulo Exterior)

a + b = +

4. Ángulo formado por dos Bisectrices

Interiores

Bx 90

2

Demostración:

ACI: + x + = 180º

+ = 180º - x… (I)

ABC: 2 + B + 2 = 180º

2 ( + ) = 180º - B … (II)

I en II: 2 (180º - x) = 180º - B

Bx 90º

2

5. Ángulo formado por dos Bisectrices

Exteriores

Ax 90

2

Demostración:

BEC: + x + = 180º

+ = 180º - x… (I)

ABC: 2 + (180º A ) + 2 = 360º

2 ( + ) =360º- (180º A )

2 ( + ) =180º A … (II)

I en II: 2 (180º - x) = 180º A

a

b

C

I

B

A

x

A C

E B x

c

a

b d

e

C

A

B D

E

I

a

b

A

M

R

C

O

A C

E B x

180º A

Ax 90º

2

6. Ángulo formado por una Bisectriz

Interior y otra Exteriores

Bx

2

Demostración:

ACE: = + x (Angulo Externo)

- = x… (I)

ABC: 2 = 2 + 2B

2 ( - ) = 2B … (II)

I en II: 2 (x) = 2B

Bx

2

7. Ángulo formado la Bisectriz y la

Altura que parten del mismo

vértice

x

2

Demostración:

Como AD es bisectriz:

m ABD m DBC x

AHB: + = 90º… (I)

BHC: + 2x + = 90º … (II)

(I)- (II): - - 2x = 0

x2

8. Propiedad:

a bx

2

9. Propiedad:

a bx

2

10. Propiedad del “Pescadito”

m n

11. En todo Cuadrilátero se cumple:

360º

12. Propiedad:

x y

A

B E

C

x

A H D C

B

x

A H D C

B

x

x

a

b

x

a b x

mn

y x

PROPIEDADESS GENERALES

1. TEOREMA DE LA BASE MEDIA

En todo triángulo, el segmento que une

los puntos medios de dos lados es

paralelo al tercero y mide su mitad.

Si: AM = MB y CN = NB

MN // AC y 1MN AC

2

2. MEDIANA RELATIVA A LA

HIPOTENUSA:

En todo triángulo rectángulo, la longitud

de la mediana relativa a la hipotenusa es

na mitad de ésta.

Si: MN es MEDIANA

1AM MB MC AC

2

3. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ “Todo punto de la mediatriz de un

segmento equidista los extremos de

dicha mediatriz ”

APB es Isósceles

4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ “Todo punto que pertenece a la bisectriz

de un ángulo equidista de los lados de

dicho ángulo”

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTABLES

1. Triángulo Rectángulo de 45º-45º

( 45º-45º)

En todo triángulo rectángulo de 45º -

45º, el cateto que se opone a un ángulo

de 45º mide la mitad de la hipotenusa

multiplicada por 2 .


( 30º-60º )

En todo triángulo rectángulo de 30º-60º,

se cumple que:

- El cateto que se opone a un

ángulo de 30º mide la mitad de

la hipotenusa.

- El cateto que se opone a un

ángulo de 60º mide la mitad de

la hipotenusa multiplicada por 3 .

45º

k 45º

k

k 2

45º

45º k k

2

k

2

60

30º

2k k

k 3

B

O A

P

MN es base media

B

M N

A C

x

2x

Si: 1L :Mediatriz

AP PB

A B

P

L1

PA PB

OA OB

A

B

C M

Si OP:Bisec triz


( 37º-53º)

Sólo en los triángulos rectángulos de

37º-53º, SUS LADOS ESTAN EN

PROGRESIÓN ARITMÉTICA.


( 15º-75º)

En todo triángulo rectángulo de 15º -

75º, se tiene:

6. Triángulos Rectángulos de 53º

2

y 37º

2

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

En la figura hallar el valor de AC, si

AB = 20m.

A) 10 m B) 10 2 m

C) 10 6 m D) 10 3 m

E) 5 3 m

Solución:

Trazamos AH BC , para obtener

(45º-45º) y (30º-60º)

Luego:

AHB (30º-60º):

Si AB = 20

BH = 10 (Opuesto a 30º)

y AH = 10 3 (Opuesto a 60º)

AHC (45º-45º):

Si AH = 10 3

AC = AH 2 (Hipotenusa)

AC = (10 3 ) 2

AC 10 6

EJEMPLO 2

3kk 10

k

37º

2

2kk 5

k

53º

2

CLAVE: C

4k

37

535k

3k

75

15

4k

( 6 2)k

(6

2)k

75

15

k

(6

2)k

(23

)k

Si viene un problema con

ángulos de 15º o 75º,

frecuentemente se usa la

suma o resta de 30º y 45º

60º

75º

A C

B

30º

45º

60º

A C

B

H

45º

20

Hallar el valor del segmento AC , en el

gráfico que se muestra a continuación,

si BC = 2 m.

A) 2 B) 2

2

C) 2 2

D) 6

3

E) 2

Solución:

Prolongamos AB , así el ángulo externo

en B seria 45º (Notable)

Trazamos CH AB , para obtener

(45º-45º) y (30º-60º)

Luego:

BHC (45º-45º):

Si BC = 2

CH = 1 (Opuesto a 45º)

AHC (30º-60º):

Como CH = 1

AC = 2CH (Opuesto a 60º)

AC = 2 (1)

AC 2

TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas,

determinan sobre dos o más rectas

secantes, segmentos cuyas

longitudes son proporcionales.

AB DE

BC EF

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Si dos triángulos son semejantes,

entonces tienen sus ángulos

respectivamente congruentes y sus

lados homólogos respectivamente

proporcionales.

KDF

AC

EF

BC

DE

AB

K : Constante o razón de semejanza

NOTA: Lados Homólogos son aquellos

lados que se oponen a ángulos

congruentes.

OBSERVACIONES

1. Si ABC A'B'C'

CLAVE: C

A

B

C

D

E

F

B

A C D

E

F

30º

A C

B

15º

30º

A C

B

15º

45º

45º 60º

H

2

EFDBCA

FEDCBA

FDECAB

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

KR

R

r

r

h

h

c

c

b

b

a

a

''''''

2. Si EF // AC

ABCEBFy

FC

BF

EA

BE

3. Si EF // AC

a m

b n

y EBF ABC

PROYECCIÓN ORTOGONAL

P' : Proyección Ortogonal de P sobre L

A'B': Proyección Ortogonal de AB sobre L

RELACIONES MÉTRICAS EN

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

AH: Proyección ortogonal de AB sobre

la hipotenusa

HC: Proyección ortogonal de BC sobre

la hipotenusa

1. Teorema del Cuadrado del Cateto:

bna .2 bmc .2

2. Teorema de Pitágoras:

222 cab

3. Teorema del Cuadrado de la Altura:

nmh .2

4. Teorema del producto de Catetos:

cahb ..

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO

a

A

m

n b C

E F

B

A

E

B

F

C

A

B

C

R

r h

A'

B'

C'

R'

r' h'

P B

A

M

N' P' B' A' M'

N

L

A

B

C H

a c

b

m n

Averiguaremos si un triángulo es

acutángulo, rectángulo u obtusángulo,

con las siguientes relaciones:

Siendo: a > b y a > c

Se tiene que:

1. Si: a2 < b2 + c2 < 90º

Luego ABC es Acutángulo

2. Si: a2 = b2 + c2 = 90º

Luego ABC es Rectángulo

3. Si: a2 > b2 + c2 > 90º

Luego ABC es Obtusángulo

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Los lados de un triángulo miden 15,

18 y 20 metros. ¿Qué tipo de

triángulo es?

A) Isósceles B) Obtusángulo

C) Acutángulo D) Rectángulo

E) Equilátero

Solución:

Aplicamos las relaciones de la

Naturaleza de un triángulo y se tendría:

202 < 182 + 152 < 90º

Acutángulo

EJEMPLO 2

Las bases de un trapecio miden 4m y

12m, y los lados no paralelos 4m y

5m. Hallar el perímetro del triángulo

mayor que se forma al prolongar los

lados no paralelos.

(UNSAAC 2001 – II)

A) 21,5m B) 29,5m

C) 27,5m D) 25,5m

E) 23.5m

Solución:

Notamos que: ARK MRO

Por los que usamos proporciones:

x x 4x 2

4 12

y y 5 5y

4 12 2

Finalmente:

ERÍMETROP MRO = 12+(x+4)+(y+5)

ERÍMETRO

P MRO = 25.5 m

EJEMPLO 3

Oswaldo hace un recorrido de la

siguiente manera: 50 pasos al SUR,

CLAVE: D

R

x+4 y+5

M

4

12 O

K

y

5 4

A

x

A

B

C

15

18

20

CLAVE: C

A

B

C

c

b

a

100 pasos al NORTE, 70 pasos al

ESTE, luego 80 pasos al SUR. ¿A

cuantos pasos del punto de partida se

encuentra?

(UNSAAC 2001 – II)

A) 58 10 B) 10 58

C) 10 85 D) 158 10

E) 58 58

Solución:

Realizamos el gráfico de acuerdo a los

datos del problema y se tiene:

Finalmente en el triángulo sombreado

aplicamos el Teorema de Pitágoras:

2 2 2D 70 30

2 2 2 2D 10 7 3

D 10 58

EJEMPLO 4

Las longitudes de los catetos de un

triángulo rectángulo son entre sí,

como 2 es a 3. ¿En que relación

están las longitudes de sus

proyecciones sobre la hipotenusa?

(UNSAAC 2002 – I PRIMERA

OPCION)

A) 4

9

B) 2

3

C) 1

2

D) 2

3

E) 3

5

Solución:

Usamos los teoremas de Relaciones

Métricas en triángulos rectángulos.

(Teorema del Cuadrado del Cateto)

2

x2k m b … (I)

2

x3k n b … (II)

Dividimos (I) y (II)

2x

2x

an2k

n b3k

a 4

b 9

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1

CLAVE: A

h

H A C m n

3k 2k

B

b

N

S

D

O

70

70

50

100 50 80

30

2

1

3

4

N

CLAVE: B

En la siguiente figura, calcular el

valor de “x”, si el segmento AC es

bisectriz del ángulo “A” y a- b = 20º

A) 140º B) 150º C) 90º

D) 100º E) 110º

Solución:

ADO: a + b = 40º… (I) ( externo)

Dato: a – b = 20º… (II)

(I) + (II) a = 30º

Finalmente:

BOA: x + a + 40º = 180º

x + 30º + 40º = 180º

x = 110º

PROBLEMA 2

Sabiendo que el segmento AB mide

40cm. Hallar la medida del segmento

PQ.

A) 5 B) 10 C) 15

D) 20 E) 25

Solución:

ABC: (30º-60º)

Si AB = 40 AC = 20

PCA: (45º-45º)

Como AC = 20 PC = 20

QCA: (53º-37º)

Cómo AC = 4K=20 K = 5

Luego QC = 3K QC = 15

PQ = 5

PROBLEMA 3

40

30º

45º

53º

37º 20 = 4k A C

B

Q

P

3k=15

5 20

a b

40º

x

A

B C

D

O

CLAVE: A

CLAVE: E

a a

40º 40º x O

A

B C

D b

30º

45º

53º

A

B

P

Q

C

En la figura, si la medida de AE es

igual a la medida de BE, hallar la

medida del ángulo “x”.

A) 20º B) 10º C) 30º

D) 25º E) 15º

Solución:

Si: AE = BE BAE = ABE = 25º

ABE: = 25º+25º ( Externo)

= 50º

DEC: = x + 30º ( Externo) 50 = x +30º

x = 20º

Podemos usar la propiedad de la “Mariposa”

25º + 25º = x + 30º

x = 20º

PROBLEMA 4

En el interior del triángulo equilátero

ABC, se sitúa un punto “A” de tal

manera que el ángulo AQC mide 90º

y el ángulo QAC mide 55º. Hallar la

medida del ángulo BCQ.

A) 35º B) 15º C) 25º

D) 45º E) 60º

Solución:

AQC: QAC = 55º (Dato)

ACQ = 35º

ABC: ACB = 60º

35º + x = 60º x = 25º

PROBLEMA 5

En la figura AB = BC. Determinar el

valor del ángulo ADC.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 75º B) 105º C) 80º

D) 45º E) 35º

CLAVE: C

CLAVE: A

60º

55º 35º x

Q

A C

B

30º

A

B D

C

E x

25º

A

B

D

C

40º

A C

B D

x

30º 25º

25º

A C

B D

x

30º 25º

25º

E

ABC Isósceles

BH es bisectriz.

ABH = HBC= 40º

También Si: AB = BC

2 = 50º = 50º

ABE: + 80º + x = 180º

x = 75º

PROBLEMA 6

En la figura adjunta determinar el

valor de “a+b”

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 33 B) 38 C) 36

D) 34 E) 36

Solución:

BCD: (30° - 60°)

BC = DC 3

b = 3 ( 3 )

b = 3

ABC: (45° - 45°)

AC = BC AC = 3

a = 3 3

PROBLEMA 7

Determinar el valor del ángulo x, en

la figura:

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 80º B) 75º C) 85º

D) 70º E) 60º

Solución:

CAR: 4 + 30º = 90°

= 15°

AMO: + x = 90° x = 75°

PROBLEMA 8

CLAVE: B

CLAVE: A

CLAVE: A

A C

B

D

b

a

45º 60º

3

2

x

30º

2

x

30º M

C

O R A

3 a

b = 3

45º 60º

45º30º

A D

B

C3

Solución:

40º 40º

x x x

50º

H A

D

B

C

E

Hallar el valor del ángulo “x” en la

siguiente figura, si BM=MC y

AB=BC.

(UNSAAC CBU INT 2000)

A) 20º B) 40º C) 25º

D) 45º E) 30º

Solución:

ABC: Isósceles

BAC = BCA = 50º

BMC: Isósceles

MBC = MCB = 50º

Luego en ABC

50 + (x + 50) + 50 = 180º

x = 30º

PROBLEMA 9

En la siguiente figura determinar el

valor de “x”.


37º

53º

x

2 2

A) 28 B) 23 C) 3

28

D) 213 E) 3

34

Solución:

ABC: (37° - 53°)

2 2 3k 2 2k

3

Luego: x 4k

8 2x

3

PROBLEMA 10

CLAVE: CCLAVE: E

53º

37º

x = 4k

A B

C

k322

A C

B

50ºx

50º

H50º

A

x

B

M C

50º

La suma de las medidas de los

ángulos “marcados” en la figura

adjunta, es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 120º B) 150º C) 360º

D) 270º E) 180º

Solución:

Propiedad del “Pantaloncito”

En ABCF:

= a + b + c

Luego: FED: + d + e = 180º

a + b +c + d +e = 180º

PROBLEMA 11

Calcular la longitud de AB en el

triángulo ABC, de la figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 10 B) 14 C) 16

D) 12 E) 8

Solución:

Trazamos BH AC para aprovechar el

ángulo de 60º.

BHC (30º -60º)

HC = 3 BH = 3 3

Luego en BHA. (Teor. Pitagoras)

2 2 2x 13 (3 3)

x = 14

PROBLEMA 12

Determinar la medida de AB , en la

figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 27 B) 30 C) 25

D) 20 E) 28

Solución:

PAM: (30° - 60°)

CLAVE: B

CLAVE: E

B

b

A

C

c

e

E

d

D

F

a

A

B

C

x 6

30º

H 13 3 16

60º

3 3

A

P

6

Q R

BN M 60º 45º

53º 254

x

37º

2

A

P

6

Q R

BN M 60º 45º

53º 254 2

A

B

C

6

1660º

Si AP = 6 AM = 3

QMN: (45° - 45°)

Si QM = 4 2 MN = 4

RNB: (37° - 53°)

Si RN = 25

RN = 5k = 25

k = 5

NB = 3k NB = 15

Luego: AB = AM + MN + NB

x = 27

PROBLEMA 13

En la figura adjunta: AB = BC.

Hallar la medida del ángulo X.

(UNSAAC CBU 2000 II)

A) 30º B) 20º C) 25º

D) 15º E) 35º

Solución:

ABC Isósceles

CAB = ACB = x

CAB: x + x = 50º ( externo)

x = 25

PROBLEMA 14

En la figura adjunta, calcular el valor

de X.


A

B

C

15

12 X

37º

A) 5 B) 10 C) 12

D) 6 E) 8

Solución:

ABC: (37° - 53°)

CB = 15

3k = 15 k = 5

Luego: AB = 4k

AB = 20

Finalmente: x = AB – 12

x = 20 - 12

x = 8

PROBLEMA 15

A B

C

37º

4k = 2012 x

15 = 3k

CLAVE: ECLAVE: C

CLAVE: A

A

C

B D 40ºX 50º

A

C

B D40º X

En la figura adjunta. Determinar el

valor de 2X.


A) 120º B) 130º C) 180º

D) 100º E) 140º

Solución:

MAZ: = x + x ( Externo)

= 2x

RUK: = x + x ( Externo)

= 2x

LIT: = x + x ( Externo)

= 2x

Luego en LUZ tenemos sus 3 ángulos

externos

6x = 360º

x = 60º

2x = 120º

PROBLEMA 16

Las bases de un trapecio miden 4

metros y 12 metros y los lados no

paralelos 4 metros y 5 metros. Hallar

el perímetro del triángulo mayor en

metros, que se forma al prologarse

los lados no paralelos.

(UNSAAC CBU 2000 II) A) 20.5 B) 26.5 C) 25.5

D) 24.5 E) 18.5

Solución:

ARK MRQ (son semejantes,

por lo tanto usamos proporcionales)

x x 4x 2

4 12

y y 5y 2.5

4 12

Finalmente el perímetro del triángulo

MRO (2p) sería:

2p = (4 + x) + ( y + 5) + 12

2p = 25.5

PROBLEMA 17

CLAVE: C

CLAVE: A

x

x

x x

x

x

A R

K

x

x

U Z

x x

M

I T

x

x

L

12 M O

5

K

y x

R

4 A

4

Nada puede conseguir el

hombre si no es a través

del sacrificio.

En la figura: Hallar AE

A) 9 + 4 3 B) 16 C) 21

D) 12 + 4 3 E) 13

Solución:

De la figura: AE = AC + CE

Entonces calculamos AC y CE

BAC: (37° - 53°)

Si BC = 15

BC = 5k k = 3

Pero: AC = 3k AC = 9

DCE: (30° - 60°)

Si DE = 8

DE = 2a a = 4

Pero: CE = a CE = 4

Finalmente:

AE = AC + CE

AE = 9 + 4

AE = 13

PROBLEMA 18

Determinar la suma de los ángulos

marcados en la siguiente figura:

A) 160º B) 240º C) 120º

D) 180º E) 360º

Solución:

En este problema nos están pidiendo:

“ + + + “

Para empezar a resolver este problema,

prolongamos AD hasta E (E en BC), con

la finalidad de formar los triángulos

ABE y DEC.

Luego:

ABE: = + ( externo)

DEC: + + = 180º

( + ) + + = 180º

+ + + = 180º

OTRA FORMA:

CLAVE: D

A

B

D C

E

CLAVE: E

A

B

D

EC53º 60º

15

8

37º

30º

A

B

D

E C

53º 60º

15 8

Propiedad del “Pantaloncito”

En ABCD:

180º - = + +

+ + + = 180º

PROBLEMA 19

Hallar el valor de “x” en la siguiente

figura:

A) 6 B) 9 C) 6 2

D) 6 3 E) 9 2

Solución:

BEC: (30° - 60°)

Si BC = 6 (Hipotenusa)

CE = 3 (Opuesto a 30º)

ABC: (30° - 60°)

Si BC = 6 (Opuesto a 30º)

AC = 12 (Hipotenusa)

Luego: AE = AC - CE

AE = 12 - 3

AE = 9

Finalmente:

DEA (45° - 45°)

Si AE = 9

AE = 9 2

x = 9 2

PROBLEMA 20

En la figura, ABCD es un

rectángulo, hallar “x”


A) 18 B) 24 C) 32

D) 30 E) 20

C

A

B

D

E

x

8

37º

45º

30º 45º

x

6

CLAVE: E

CLAVE: D

A

B

D

C 180º-

A

B C

D

E

x

6

3

9

30º 60º

30º 45º

45º

Solución:

ABF: (45° - 45°)

AB = BF = 8

ECF: (45° - 45°)

EC = CF = 3k

ECB: (37° - 53°)

Si: EC = 3k

BC = 4k

8 + 3k = 4k

k = 8

Luego: x = 3k + 8

x = 32

PROBLEMA 21

Determinar la suma de los ángulos

resaltados.


A) 180º B) 720º C) 540º

D) 240º E) 360º

Solución:

Nos piden: “a + b + c + d + e + f + g + h”

Entonces tomamos los triángulos:

MTZ: a + f + = 180º

LIA: b + e + = 180º

RES: c + h + = 180º

KUO: d + g + = 180º

Sumando las 4 ecuaciones se tiene:

a + b + c + d + e + f + g + h + (+++) = 720º

Pero en LUZE: + + + = 360º

Finalmente:

a + b + c + d + e + f + g + h + (360º) = 720º

a + b + c + d + e + f + g + h = 360º

PROBLEMA 22

En la longitud adjunta, determinar la

longitud “x”.


A) 12 2 B) 14 2 C) 10 2

30º45º

x

8

CLAVE: E

M

A

R K

I

T

S

U

O

Z

E

L a

b

c d

e

f

g h

CLAVE: C

A

B

D

E

x

8

37º

45º

45º

45º

45º C F

3k

3k 8

8

D) 8 2 E) 9 2

Solución:

BEC: (30° - 60°) Si BC = 8 (Hipotenusa)

CE = 4 (Opuesto a 30º)

ABC: (30° - 60°) Si BC = 8 (Opuesto a 30º)

AC = 16 (Hipotenusa)

Luego: AE = AC - CE

AE = 16 - 4

AE = 12

Finalmente:

DEA (45° - 45°)

Si AE = 12

x 12 2

PROBLEMA 23

En la figura L1 // L2, calcular “”,

sabiendo que el triángulo ABC es

equilátero.


A) 80º B) 120º C) 160º

D) 100º E) 140º

Solución:

Como el ABC es equilátero:

A = B = C = 60º

BUM: + 60º = 100º ( externo)

= 40º

Luego: Propiedad del “Serruchito”

+ (180º-) = 60º

= 160º

PROBLEMA 24

En la siguiente figura. Hallar la

medida del ángulo :

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 60º B) 80º C) 90º

CLAVE: C

A

L1

L2

U

P

60º

180º-

CLAVE: E

A

B C

D

E

x

8

4

12

30º 60º

30º

45º

45º

A

B

C

100º

L1

L2

U

M

P

60º

60º

180º-

A B

D

C

2x

A

B

C

100º

L1

L2

D) 20º E) 100º

Solución:

Si AD = DB ADB Isósceles

Luego: DAB = DBA= 2x

ADB: CDB = 2x + 2x ( externo)

CDB = 4x

Si CD = CB DCB Isósceles

Luego: CDB = CBD = 4x

DCB: 4x + 4x + x = 180º

x = 20º

Finalmente:

ACB: CBE = 2x + x ( externo)

= 3x

= 3 (20º)

= 60º

PROBLEMA 25

Calcular el valor del ángulo “x”, si

AB = AC; BD = BC

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 40º B) 36º C) 30º

D) 25º E) 50º

Solución:

Como BD = BC DBC Isósceles

Luego: BAC = BCD = 50º

Tambien AB = AC BAC Isósceles

Luego: ABC = ACB = 50º

Finalmente:

DBC: 50 + (x + 50) + 50 = 180

x = 30

PROBLEMA 26

Calcular la medida del lado AE del

siguiente polígono ABCDEA.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 36 B) 28 C) 6

D) 8 E) 10

CLAVE: C

x

50º

D A

B

50º

50º

C

CLAVE: A

A B

D

C

2x 4x

4x

x

2x

E

x

50º

D C A

H A C E

B

D

45º

37º

3630º

Solución:

DEC (30º-60º):

Si DE = 36 (Opuesto a 60º)

EC = 6 (Opuesto a 30º)

CEB (37º-53º):

Si EC = 6 (Opuesto a 37º)

BE = 8 (Opuesto a 53º)

AEB (45º - 45º)

AE = BE

AE = 8

PROBLEMA 27

En la figura, ABC es un triángulo

isósceles (AB = AC). Determinar x

si AD = AE.


A) 15º B) 20º C) 10º

D) 30º E) 45º

Solución:

Si ABC isósceles AB = AC

Luego: m ABC = ACB = .

Si AD = AE ADE isósceles

Luego: ADE = AED = .

Seguidamente:

DEC: ADE = + x ( externo)

= + x … (I)

BAD: ADC = + 30º ( externo)

+ x = + 30º… (II)

Finalmente:

(I) en (II): + 30º = ( + x) + x

x = 15º

PROBLEMA 28

En un triángulo isósceles EFG, de

base FG , se toman los puntos M y

N sobre EF y EG respectivamente,

de modo que: FM = MN = EN. Si el

ángulo G del triángulo dado mide

80º, hallar el ángulo MNF .


A) 20º B) 30º C) 10º

D) 80º E) 60º

CLAVE: D

E

D

45º

37º 45º

53º

60º

30º

6

8

A

B

36

x 8C

CLAVE: E

A

B D

E

C x

30º

A

B D

E

C

x

30º

Solución:

Como FG es la base EF = EG

Luego: EGF = EFG = 80º

EFG: EGF + EFG + FEG = 180º

80º + 80º + FEG = 180º

FEG = 20º

Nos dan: MN=NE

MEN es Isósceles

Luego: MEN = NME = 20º

Como: MN = MF MNF es Isósceles

Luego: MNF = MFN = x

Finalmente:

NME = x + x (externo)

20º = 2x

x = 10º

PROBLEMA 29

En la figura AC = 2, determinar 2x.


A) 3 B) 2 C) 2 1

D) 2 1 E) 3 1

Solución:

Trazamos CH AB para aprovechar los

ángulos de 30º y 45º

CHA (30º-60º):

Si CA = 2 (Hipotenusa)

CH = 1 (Opuesto a 30º)

y HA = 3 (Opuesto a 60º)

CHB (45º-45º):

Si CH = 1 (Opuesto a 45º)

HB = 1 (Opuesto a 45º)

BDA (30º-60º)

Si BD = x (Opuesto a 30º)

AB = 2x (Hipotenusa)

Pero: AB = 1 + 3

2x = 3 + 1

x

45º

D C

30º

B

15º H

60º

2

1 2x

1 3

A

CLAVE: C

20º

G

80º 80º

x

x

20º

N

M

E

F

x

45º

D A C

30º

B

El ÉXITO es la

envoltura del sacrificio.

PERÍMETRO

Es la suma de las medidas de los lados de

una figura geométrica.

Se representa con “2p”

Cuando vemos “p” en alguna

fórmula, esto significa

semiperímetro, y es la mitad del

perímetro.

Perímetro del ABC: 2p(ABC)

PERÍMETROS DE POLÍGONOS

REGULARES

El perímetro de un Polígono Regular es

igual al número de lados multiplicado por

la longitud de un lado.

2p n l

Donde:

n: número de lados

l: longitud de un lado

CIRCUNFERENCIA:

Es la curva plana y cerrada, cuyos puntos

equidistan de un punto interior llamado

centro.

* La distancia de un punto cualquiera

de la circunferencia al centro, se

denomina RADIO.

CÍRCULO:

Es la región plana determinada por la

unión de la circunferencia y su interior.

Es el conjunto de todos los puntos de la

circunferencia y de los interiores a la

misma.

Donde:

O: Centro (del círculo o la circunferencia)

r : Radio (del círculo o la circunferencia)

P: Punto de la circunferencia

O: Punto interior de la

circunferencia

O no pertenece a la

circunferencia pero si al círculo.

C

B

A

c

b

a

2p(ABC) = a + b + c

Semiperímetro del ABC (p)

a + b + cp =

2

r O

P CÍRCULO

CIRCUNFERENICIA

Por lo tanto:

- La circunferencia tiene

longitud, más no área.

- El círculo tiene área y su

perímetro es la longitud de

su circunferencia.

PERÍMETROS CAPÍTULO

2

LONGITUD DE LA

CIRCUNFERENCIA (Lc)

Es el límite hacia el cual se aproximan los

perímetros (P) de los polígonos regulares

inscritos cuando su número de lados

aumenta indefinidamente.

nlim P Lc

EL NÚMERO “ ”

El número “pi”, también llamado

“Número LEUDOLFINO” (en honor a

Ludolf Van Ceulen, Matemático Alemán

u Holandés que determino su valor hasta

con 354 lugares decimales); es el valor

constante de la razón de la longitud de

una circunferencia (Lc) a su diámetro.

Lc

D Lc D

Pero D = 2r Lc 2 r

EL VALOR DE “ ”

El número “pi” es el más importante de la

ciencia matemática, y es

inconmensurable, así también como su

cuadrado, su cubo, etc.

Su valor aproximado es: 3.14159265359

Su Cuadrado es: 9.869604401089

Su Cubo es: 31.0062766803

Su Inverso es: 0.318309886184

Su Raíz Cuadrada es: 1.772453850906

Su Logaritmo en Base 10 es: 0.497149872

El número “pi” siempre a sido un número

interesante para los matemáticos, así

tenemos:

Los Babilonios ( = 3 )

Arquímedes ( 2 decimales )

Francois Viette ( 7 decimales )

Métius ( 8 decimales )

Adrien Romanus ( 16 decimales )

L. V. Ceulen ( 35 decimales )

SHARPS ( 73 decimales )

Lagny ( 127 decimales )

Vega ( 140 decimales )

Dhase ( 200 decimales )

Rutherford ( 440 decimales )

Shangks ( 530 decimales )

Y otros han aportado valores racionales

aproximados de “pi”; tales como:

Arquímedes:

223.142...

7

Adriano Mecio:

3553.1415929...

113

Papiro de Ahmés: 2

163.16049...

9

Los Hindúes:

39273.1416...

1250

Cuando se realizan trabajos de mucha

precisión se usa 3.1416 , que

viene a ser un trabajo aproximado por

exceso con un error menor que

0.0001.

B A

Lc = 2r

B A

D =2r

LONGITUD DE UN ARCO

Realizamos una Regla de Tres Simple:

AB

Lc 360º

L º

ABL Lc

360º

Pero: Lc 2 r

Como D = 2r

PROPIEDADES

1. LONGITUD DE EN FUNCIÓN

AL DIÁMETRO DE UNA

SEMICIRCUNFERENCIA

AB

180ºL 2 r

360º

ABPero r

2

2. LONGITUD DE UNA LÍNEA

CURVA FORMADA POR

SEMICIRCUNFERENCIAS

La suma de las longitudes de las

semicircunferencias con sus diámetros

sobre AB, equivale a la longitud de una

semicircunferencia de diámetro AB.

Demostración:

Sabemos por la propiedad anterior que:

AB

ABL

2

Luego, también se tendía:

AM

MN

NB

AM MN NB

AML

2

MNL

2

NBL

2

AM MN NBL L L

2 2 2

AM MN NB

AM MN NBL L L

2

AM MN NB

ABL L L

2

AB

ABL

2

AB

DL

360º

B A

r

ABL 2 r

360º

B A

AB

ABL

2

AB

ABL

2

B

A

O

r

r AB

L

B A M N

La propiedad anterior, también la

podemos aplicar si la figura se presenta

de esta forma:

3. SEMICIRCUNFERENCIAS

CUYOS DIÁMETROS ESTÁN

FORMADAS SOBRE UN

SEGMENTO

La suma de las longitudes de las

semicircunferencias con sus diámetros

sobre un segmento AB, es igual a la

medida de AB, multiplicada por y

dividida por 2.

Nota: Las curvas formadas sobre AB son

todas semicircunferencias.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

A UNA CIRCUNFERENCIA

1RA. PROPIEDAD

Las tangentes trazadas desde un punto

exterior a una circunferencia son iguales.

PA PB

2DA. PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos

circunferencias son iguales.

AB CD

3RA. PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos

circunferencias son iguales.

MN PQ

TEOREMAS IMPOTANTES

M

P

Q

N

A

B

C D

A

B

O

P

R

R

De ahora en adelante:

B A

AB

ABL

2

B A

AB

ABL

2

ABL Significa longitud de las curvas

(semicircunferencias) en AB , y es

igual a:

AB

ABL

2

1. TEOREMA DE PONCELET

“En todo triángulo rectángulo, la suma de

los catetos es igual a la hipotenusa mas el

diámetro de la circunferencia inscrita”

Se anuncia también así “En todo

triángulo rectángulo, la suma de los

catetos es igual a la suma de los

diámetros de las circunferencias inscrita y

circunscrita”

AB BC AC 2r

AB BC 2R 2r

2. TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero circunscrito a una

circunferencia, la suma de dos lados

opuestos es igual a la suma de los otros

dos lados.

AB CD BC AD

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Hallar el perímetro de la figura

sombreada, si los arcos formados

sobre este segmento son todos

semicircunferencias; y el segmento

MO mide 20.

A) 10 B) 20 C) 5

D) 10(+2) E) 20(+1)

Solución:

Sabemos que:

MA AR RC CO MOy que : L L L L L

Luego:

SOMBR.

MOPerím. MO

2

SOMBR.

20Perím. 20

2

SOMBR.Perím. 10 2

EJEMPLO 2

C

A

B

D

A C

B

r

R

MO

MOL

2

CLAVE: D

SOMBR. MO MA AR RC COPerím. L L L L L

O M

O M A R C

Debes tener cuidado, cuando te

pregunten: “de la figura

sombreada”, por que en este

ejemplo vemos que la figura

sombreada esta formada por

semicircunferencias y también

por segmentos.

Hallar el perímetro de la figura

sombreada, si los arcos mostrados

son semicircunferencias; y el

segmento AB mide 20.

A) 10 B) 20 C) 5

D) 10(+2) E) 20(+1)

Solución:

SOMBR.

AB ABPerím.

2 2

SOMBR.

20 20Perím.

2 2

SOMBR.Perím. 10 10

SOMBR.

Perím. 20

EJEMPLO 3

El triángulo ABC es un triángulo

equilátero, los arcos son

semicircunferencias. Hallar el

perímetro de la región sombreada, si

el perímetro del triángulo es 12.

A) 3 B) 4 C) 6

D) 8 E) 4(+3)

Solución:

Dato: PERIM. ABC = 12

AB + BC + AC = 12

Luego: AB = BC = AC = 4

SOMBR.

AB BC ACPerím.

2 2 2

SOMBR.

4 4 4Perím.

2 2 2

SOMBR.Perím. 6

EJERCICIOS

B A M N

CLAVE: C

A

B

C

A

B

C

CLAVE: B

SOMBR. AB ABPerím. L L

SOMBR. AB BC ACPerím. L L L

B A

En este caso, la figura

sombreada esta

limitada solamente por

semicircunferencias.

PROBLEMA 1

El lado del rombo mide 13 m y la

diagonal menor mide 10m. Hallar el

perímetro de la región sombreada.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 19 + 61 m B) 11 + 61 m

C) 18 + 61 m D) 25 + 61 m

E) 20 + 61 m

Solución:

BHA: (Teorema de Pitágoras)

2 2 213 5 BH

BH 12

BHA: (Teorema de Pitágoras)

2 2 2PC 5 PH 2 2 2PC 5 6

PC 61

Finalmente:

SOMBREADOPerím BP BC PC

SOMBREADOPerím 6 13 61

SOMBREADOPerím 19 61

PROBLEMA 2

En el cuadrado ABCD de 10 cm. de

lado, se ha trazado

semicircunferencias en cada lado.

Calcular el perímetro de la región

sombreada.

A) 20 cm. B) 20( + 4) cm.

B) 20 ( + 1) cm. D) 10 ( + 4) cm.

E) 20 ( + 2) cm.

Solución:

S CURVAS SEGMENTOSP L L

Donde: P s = Perímetro Sombreado

Dato: Lado del Cuadrado = 10 cm.

CLAVE: A

5 5 A

P

6

6

13

D

B

C H

13

13 13

x x

2

A

D C

B

10

A B

C D

5

5

5

5

Luego: AB = BC = CD = AD = 10 cm.

Primero calculamos la suma se las

longitudes de los segmentos que limitan a

la región sombreada SEGMENTOSL .

SEGMENTOSL AB BC CD AD

SEGMENTOSL 10 10 10 10

SEGMENTOSL 40

Seguidamente calculamos la suma se las

longitudes de las curvas que limitan a la

región sombreada CURVASL , para lo

cual usamos la propiedad.

Luego:

CURVAS

AB BC CD ADL

2 2 2 2

CURVAS

10 10 10 10L

2 2 2 2

CURVASL 20

Finalmente:

S CURVAS SEGMENTOSP L L

SP 40 20

SP 20 2

NOTITA: Para no operar tanto debemos

darnos cuenta que:

Si AB = BC = CD = AD

PROBLEMA 3

En la figura AEB es una

semicircunferencia, ¿cuál es el

perímetro de la figura cerrada

ADCBEA?


A) 16 + B) 8 +

C) 14 + D) 12 +

E) 13 +

Solución:

ERÍMETRO DEAP AB BC CD L

ERÍMETRO

ADP 6 2 6

2

ERÍMETRO

2P 14

2

ERÍMETRO

P 14

PROBLEMA 4

CLAVE: C

CLAVE: D

A

E

B C

D

2

6

AB

ABL

2

AB BC CD ADL L L L

1

B

D C 6

6

2 E

A

CURVAS AB BC CD ADL L L L L


sombreada que tiene forma de la letra

“L”, sabiendo que consta de dos

rectángulos iguales contiguos, cada

uno de largo “A” metros y ancho “B”

metros.


A) 2(2A + B) B) 2A + 2B

C) 4A + B D) 4A – 2B

E) 7A 4B

2

Solución:

Para calcular el perímetro, sumamos todos los lados de la región sombreada. Empezando del lado indicado en un solo sentido (en este caso en sentido horario)

ERIMP A B (A B) A B (A B)

ERIMP 4A 2B

ERIMP 2 2A B

NOTA: También podemos sumar todos

los segmentos horizontales y luego todos

los verticales, y al final ambos resultados

parciales para obtener el total.

PROBLEMA 5

En la figura se tiene seis triángulos

rectángulos isósceles. La razón del

perímetro de la región sombreada al

perímetro de la región no sombreada;

es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 4 B) 2 C) 3

D) 1

2E) 2

Solución:

De la figura:

1 2 3 4 5 6P P P P P P K

Luego:

S 1 3 4 6 SP P P P P P 4K

NS 2 5P P P 2K

1

1

1

1

2

2P1

P2

P3

P4

P5

P6

CLAVE: A

1

A

A

A

B

B

B B

A-B

INIC

IO

Finalmente:

NS

Ps 4K

P 2K

NS

Ps2

P

PROBLEMA 6

En la figura adjunta, ABCD es un

cuadrado de lado 4 cm. El perímetro

de la región sombreada en cm es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 2(12 ) B) 2(5 )

C) 10 D) 20

E) 2(10 2 )

Solución:

De la figura:

SOMBREADO EXTERIOR INTERIORP P P

Luego:

Hallamos EXTERIORP

EXTERIORP AB BC CD AD

EXTERIORP 4 4 4 4

EXTERIORP 16

Hallamos INTERIORP

INTERIORP MR NP MN PR

2 2

INTERIOR(2) (2)

P 4 44 4

INTERIORP 8 2

Finalmente:

SOMBREADOP (16) (8 2 )

SOMBREADOP 2(12 )

PROBLEMA 7




A) 2 4 B) 4 C) 4 2 D) 4 2

E) 2 4

CLAVE: A

A

B C

D

4

P

M R

N

O 2

2

2

2

CLAVE: B

A

B C

D

O

22

Solución:

De la figura:

SOMBREADO AB

P AP PB L

Hallamos AP y PB en APB (45º-45º)

Si: AB 2 2 AP = PB = 2

Hallamos AB

L

AB

ABL

2 (Propiedad)

AB

2 2L

2

ABL 2

Finalmente:

SOMBREADO AB

P AP PB L

SOMBREADOP 2 2 2

SOMBREADOP 2 4

PROBLEMA 8

Hallar la suma de los perímetros de

los 4 triángulos equiláteros, sabiendo

que AB mide 12 cm.

A) 18 cm. B) 36 cm.

C) 26 cm. D) 40 cm.

E) 72 cm.

Solución:

De la figura:

ERÍMETROP 3a 3b 3c 3d

ERÍMETROP 3(a b c d)

Pero nos dan: AB = 12

a + b + c + d = 12

Finalmente:

ERÍMETROP 3(a b c d)

ERÍMETROP 3(12)

ERÍMETRO

P 36

PROBLEMA 9

En la figura adjunta, determinar en

centímetros el perímetro de la región

sombreada, si todos los círculos

tienen un radio igual a 2 centímetros:

A) 16 B) 18 C) 4

D) 8 E) 24

CLAVE: B

A B a

a a

b

b b

c

c c

d

d d

CLAVE: E

O 22

A B

P

45º 45º

2 2

A B

Solución:

De la figura el perímetro de la región

sombreada es igual a la suma las

longitudes de los arcos exteriores:

YML, LO, OV, VEZ, ZU, UY

y los arcos interiores:

YAL, LRY, UKO,OIU, ZTV, VSZ

Pero nos podemos dar cuenta que al

sumar los arcos YML y LRY se obtiene

la circunferencia MLRY, de manera

similar en los otros arcos al sumarlos se

obtiene una circunferencia, luego

podemos hallar el perímetro de la región

sombreada de la siguiente forma:

CYML LRY

CYAL LO OIU UY

CUKO OV VSZ ZU

CZTV VEZ

SOMBREADO C

L L L

L L L L L

L L L L L

L L L

Perímetro 4L

Las cuatro circunferencias tienen

radios iguales por los tanto tienen la

misma longitud de circunferencia.

Finalmente:

SOMBREADOPerímetro 4 2 r

SOMBREADOPerímetro 4 2 2

SOMBREADOPerímetro 16

PROBLEMA 10

Hallar el perímetro del triángulo

rectángulo ABC.


A) 28 B) 20 C) 34

D) 24 E) 30

Solución:

ABC (Teorema de Pitágoras)

2 2 2

5x 3x 2x 4

2 2 225x 9x 4x 16x 16

212x 16x 16 0

23x 4x 4 0

x = 2

Luego, el perímetro sería:

ERÍMETROP 5x 3x 2x 4

ERÍMETROP 10x 4

ERÍMETROP 10(2) 4

ERÍMETRO

P 24

A

B C

2x + 4

5x 3x

CLAVE: A

L

M

O

Z

E

Y U

V

A R K I T S

A

B C

2x + 4

5x 3x

OTRA FORMA (MÁS RÁPIDA):

Observemos que este es un triángulo

Notable (3-4-5), entonces:

Luego: 4x = 2x + 4

x = 2

Finalmente el perímetro:

ERÍMETROP 5x 3x 4x

ERÍMETROP 12x

ERÍMETROP 12(2)

ERÍMETROP 24

PROBLEMA 11

Hallar el perímetro de la región

sombreada.


A) 9 B) 10 C) 12

D) 18 E) 6

Solución:

De la figura:

AOB BOC ACP L L L

AB BCP 2 r

2 2 360º

6 6 90ºP 2 (6)

2 2 360º

P 3 3 3

P 9

PROBLEMA 12

En la figura mostrada, hallar el

perímetro de la región sombreada, si

el radio de la circunferencia es r = 2a.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 32 a B) 12 a C) 16 a

D) 8 a E) 20 a

Solución:

Resolvimos un problema muy similar

anteriormente, por lo que podemos

afirmar que:

CLAVE: A

6

m

6

m

B

A

C

O

CLAVE: D

A

B C

3x 5x

2x 4

4x

6

m

6

m

B

A

C

r r r r r

SOMBREADOPerímetro = 5 L

SOMBREADOPerímetro = 5 [2 (2a)]

SOMBREADOPerímetro = 20 a

PROBLEMA 13


sombreada en la siguiente figura, si

AO = OB y los arcos son porciones

de circunferencias.


A) 15 B) 10 C) 6

D) 16 E) 12

Solución:

De la figura podemos ver que :

SOMBR

2 R OA OBPerím

4 2 2

SOMBR

2 (8) 8 8Perím

4 2 2

SOMBRPerím 12

PROBLEMA 14

Determinar el perímetro de la región

sombreada, de la figura.


A) 16a ( + 2) B) 4a ( + 2)

C) 8a ( + 2) D) 8a ( - 2)

E) 8a (2 - )

Solución:

De la figura, se deduce que:

SOMBRPerím = 4 + 4L (r = a)

SOMBRPerím = 4(4a) + 4[2 (a)]

SOMBRPerím = 8 a ( + 2)

A

8

B

O

CLAVE: C

CLAVE: E

A

8

B

O

8

CLAVE: E

a

SOMBR AO OBABPerím L L L

= 4a

a

ÁREA:

El área de una superficie limitada

cualquiera es su extensión, indicada por

un número positivo único acompañada de

la unidad adecuada (cm2, m2, u2, etc.).

DEBEMOS RECORDAR QUE:

I. Las Figuras Equivalentes tienen

igual área, sin importar la forma.

1 2A A

II. Las Figuras Semejantes tienen igual

forma, y sus áreas son proporcionales

a los cuadrados de sus elementos

homólogos.

Por ejemplo:

Caso de 2 Triángulos Semejantes:

2 2 21

2 2 22

S AB BC AC

S MN NL ML

Caso de 2 Círculos:

22

21

22

21

2

1

r

r

D

D

S

S

PRINCIPALES FÓRMULAS DE

FIGURAS CONOCIDAS

A. REGIONES TRIÁNGULARES

1. FÓRMULA GENERAL:

- Triángulo Acutángulo

bh

S2

- Triángulo Rectángulo

A

B

C

S1

M

N

L

S2

A2 A1

D1

S1 r1

D2

S2 r2

b

A C H

B

h

Áreas CAPÍTULO

3

49 INFORMES E INSCRIPCIONES

Av. de la Cultura 1020 Of. 203. 2do. Nivel. 244856

b hS

2

- Triángulo Obtuso

b hS

2

2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

2L 3

S4

2

h 3S

3

3. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA:

b c SenS

2

4. FÓRMULA DE HERÓN:

a b cp

2

S p p a p b p c

5. EN FUNCIÓN DE SU INRADIO:

S pr

6. EN FUNCIÓN AL CIRCUNRADIO

abc

S4R

7. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

CIRCUNSCRITO

nmS

8. EN FUNCIÓN A LOS EX-RADIOS

E INRADIO

A

C

B

h

b

C A

B

H

L L

L

h

C A H b

B

h

B

C A b

c a

A

B

C

c

b

b

a

h

B

C A b

c a R

A b

B

C

c a r

b

A

B

C

r

m n

ABC a b cS r R R R#

B. ÁREAS DE REGIONES

CUADRANGULARES

1. CUADRADO:

2S L

2D

S2

2. RECTÁNGULO:

S ab

2 2 2D a b

3. PARALELOGRAMO:

S bh

S abSenθ

4. ROMBO:

D dS

2

5. TRAPECIO:

B bS h

2

6. TRAPEZOIDE:

DdSen

S2

7. CUADRILÁTERO INSCRITO:

a b c d

p2

S p a p b p c p d

8. CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO

rpS

C. REGIONES POLIGONALES

1. POLÍGONO CIRCUNSCRITO:

Ra

C A

B

Rb

Rc

r

L

L D

b

a D

D

d

b

B

h

a

b

c

d

r

d D

b

a

h

rpS

2. POLÍGONO REGULAR

px apS

D. REGIONES CIRCULARES

1. Círculo:

2rS

2. Sector Circular:

2SECTOR

θS π r

360

SECTOR

LRA

2

3. Segmento Circular:

2 2

AB

π r θ r SenθS

360 2

4. Zona o Faja Circular:

ZC CD ABS S S

5. Corona Circular:

2 2CCS π(R r )

6. Trapecio Circular:

2 2TC

θS π R r

360

Al Sector Circular, también se

le conoce como Triángulo

Circular o Triángulo Mixtilíneo

y su área se calcula así:

B

A

O

R

r

O

r

ap

B

D

A

C

R

r

R

B

A

O

B

A

O L

R

R

1 2TC

L LS R r

2

ALGUNAS RELACIONES

IMPORTANTES DE ÁREAS

A) Propiedad de la Mediana.

B) 1RA Propiedad de los Puntos Medios

C) 2DA Propiedad de los Puntos Medios

D) Se cumple que:

E) Se cumple que:

F) Se cumple que:

G) Se cumple que:

H) Se cumple que:

I) Se cumple que:

J) Propiedad del Triángulo Rectángulo:

R

r

O L1 L2

R-r

El área de un Trapecio

Circular, también se puede

calcular con la fórmula para un

trapecio y sería así:

T 1 2A S S

1S

2S

S

S

SS

S SS

S

S

1S2S

3S

S

S S

SSS

TA

S2

TAS

6

TA

S4

1 2S S

S S

TA

S2

TA

S2

TA

S4

TA

S2

S

1S

2S

S

Si los lados de un triángulo rectángulo

son líneas homologas de figuras

semejantes construidas sobre ellos,

entonces la suma de las áreas de regiones

construidas sobre los catetos es igual al

área de la región apoyada en la

hipotenusa. Por consiguiente:

K) Lúnulas de Hipócrates:

FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

IMPORTANTES

1. TEOREMA DE PONCELET

“En todo triángulo rectángulo, la suma de

los catetos es igual a la hipotenusa mas el

diámetro de la circunferencia inscrita”

a c b 2r

2. TEOREMA DE MENELAO

“Toda secante a un triángulo, determina

con dos lados del triángulo, cuatro

segmentos parciales, y con la

prolongación del tercero otros dos

segmentos parciales. de tal forma que el

producto de tres de ellos no consecutivos

es igual al producto de los otros tres

tampoco consecutivos”

abc xyz

PROBLEMAS

PROBLEMA 1

ABCD es un cuadrado, M y N son

puntos medios. ¿Qué parte de la

figura falta sombrear?

A) 3/8 B) 4/8 C) 7/8

D) 5/8 E) 6/8

Solución:

C B M

O

A N D

A D

B C M

N

3S

S

S

S

O

2S

1 2 3S S S

BA

C2S

1S

ABC 1 2S S S

A C

B

r c a

b

A

B

C D

EF

RECTA SECANTE

O TRANSVERSAL

Usamos la propiedad de la mediana vista

en la teoría, por ejemplo:

En CNA MO mediana

NOA NOCA A S

De manera similar para las otras regiones

Finalmente:

NS

T

A 5S

8SA

NS T

5A A

8

PROBLEMA 2

Hallar el área de la región sombreada,

sí ABCD es un cuadrado de 12cm de

lado y ABE es un triángulo

equilátero.

A) 36 cm2 B) 72 cm2

C) 86 cm2 D) 70 cm2

E) 75 cm2

Solución:

2cm72As

2

612

2

612As

AAAs BECAEA

También podemos usar la propiedad:

AAs

2 Donde: E Punto Interior.

212As

2

2As 72 cm

PROBLEMA 3

¿Qué fracción representa la región

sombreada de la siguiente figura?

A) 3/8 B) 1/6 C) 1/2

D) 5/8 E) 2/5

Solución:

Sabemos que en este tipo de problemas, es conveniente poner un valor al área de la región más pequeña, que en nuestro

CLAVE: B

CLAVE: D

B C

A D

A D

B C 12

E

12

6

6

A A

2A A

A A

2A

A

A

A

caso es la mitad de un cuadrado, que puede ser un rectángulo o un triángulo.

Así ponemos “A” a la mitad del área de la región que encierra en cuadrado.

Luego:

T

As 6A

12AA

T

1As A

2

PROBLEMA 4

Encontrar la fracción que representa

la región sombreada en el siguiente

cuadrado:

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 1/8 B) 5/16 C) 1/4

D) 3/16 E) 1/2

Solución:

Observamos que podemos dividir la figura en triángulos congruentes. Luego contamos el número de triángulos sombreados y el total de triángulos que existen, para obtener la siguiente relación:

T

5As

16A

#

#

T

5As A

16

PROBLEMA 5

En el triángulo equilátero mostrado

en la figura; AC = 6m, DC = 4m, AE

= 4m. Calcular el área del triángulo

AED.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 4 5 m2 B) 2 3 m2

C) 4 3 m2 D) 2 5 m2

E) 3 m2

Solución:

CLAVE: B CLAVE: C

A

E

B

D

C

Deducimos que BEA es equilátero

AE = 2

Usamos la fórmula trigonométrica para hallar el área de la región triangular DEA.

Luego: DEA

4 x 2S Sen120º

2#

DEA

4 x 2 3S

2 2#

2DEAS 2 3 m#

PROBLEMA 6

En la figura mostrada; si el área de la

región sombreada es 200 cm2. Hallar

el área del cuadrado ABCD, sabiendo

que BOC y COD son semicírculos.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 400 cm2 B) 100 cm2

C) 600 cm2 D) 800 cm2

E) 300 cm2

Solución:

En este tipo de problemas sabemos que debemos trasladar regiones para obtener una región de área conocida; así obtenemos:

ABCDDEA

SS

2#

ABCD DEAS 2S #

ABCDS 2 200

2ABCDS 400m

PROBLEMA 7

En la figura mostrada: 12 y 16

unidades son las medidas de las bases

del trapecio isósceles inscrito en la

circunferencia de 10 unidades de

radio. ¿Cuál es el área del trapecio?

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 172 u2 B) 196 u2 C) 164 u2

D) 156 u2 E) 144 u2

Solución:

CLAVE: A

A

B C

D

CLAVE: B

A

B C

D

O

A C

B

2 2

2 60°

60°

60°

4 4

60° 6

120°

E D

Para calcular el área sombreada,

necesitamos hallar la altura.

Trazamos los radios OA y OB , para

formar triángulos rectángulos, entonces:

En ONA (37º-53º): b = 6

En BOM (37º-53º): a = 8

MN = a + b

MN = 14 (Altura del Trapecio)

Luego: 16 12A 14

2

2A 196

PROBLEMA 8

En la figura mostrada, hallar el área

de la región sombreada, sabiendo que

el sector circular ABC, es la cuarta

parte de un círculo de radio AB =

4cm.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 3 cm2 B) 2 cm2

C) 5 cm2 D) 4 cm2

E) 6 cm2

Solución:

Como BAC es un cuadrante (la cuarta

parte de una circunferencia)

AC = AB = 4

BAC (45º-45º): BC = 24

Luego el radio del círculo sería 2 2

Finalmente:

22

S

4A 2 2

4

As 4

PROBLEMA 9

Hallar el área del sector circular de

4m de radio y 8m de arco.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 4 m2 B) 64 m2 C) 16 m2

D) 32 m2 E) 12 m2

Solución:

Para calcular rápidamente el área de esta región, usamos la fórmula para el Triangulo Circular.

C

S BAA A A

CLAVE: DCLAVE: B

B C

A D

O

N

M

10

10

8 8

6 6

a

b A B

C

4

4

O

22

22

8

4 A

C

A B

O

S

8 4A

2

2SA 16m

PROBLEMA 10

En la figura mostrada, cada

“cuadradito” tiene un área de 4 cm2.

¿Cuál es el área de la región

sombreada?

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 23 cm2 B) 18 cm2

C) 16 cm2 D) 15 cm2

E) 20 cm2

Solución:

Dato 2a 4 a = 2

Luego:

S BAD BCDA A A # #

S

BD x AH BD x CQA

2 2

2

44

2

64

As

2SA 20cm

Que en este problema vino así:

PROBLEMA 11

La figura ABCD es un trapecio y

BCD un cuarto del círculo de radio

igual a 6cm. Hallar el área de la

región sombreada si AD = 12 cm.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 6 (9 - ) cm2 B) 9 (6 +) cm2

C) 48 - 9 cm2 D) 9 (6 - ) cm2

E) 32 + 9 cm2

b

h

A

CLAVE: E CLAVE: C

A

B C

D

A

B

C Q

H

a=2

a=2

D

4 6

b

h A

b hA

2

b hA

2

Recuerda que el área de un triángulo

obtusángulo se calcula así:

Solución:

Nos dan el radio del cuadrante

CD = CB = 6cm

Por lo tanto la base menor del trapecio mide 6 cm.

Luego:

2

S

612 6A 6

2 4

2SA 9(6 )cm

PROBLEMA 12


sombreada, sabiendo que el área del

cuadrado ABCD es 64 cm2

A) 4 ( )423 + cm. B) 3 ( )423 + cm.

C) 3 ( )324 + cm. D) 2 ( )324 + cm.

E) 2 ( )423 + cm.

Solución:

Dato: ABCDA 64

2L 64 L 8

Ahora: Si L = 8 BH = HC = 4

Luego usamos el (45º-45º)

DO OB OC 4 2

Finalmente

S ERIM ERIMP P AHO P DOC # #

SP 4 2 8 8 2 8

SP 4 3 2 4 cm

PROBLEMA 13

En el cuadrado ABCD, de 20 cm. de

lado, los puntos M, N, P, Q, E, F, G y

H son puntos medios,

respectivamente. ¿Cuál es el área del

cuadrado EFGH?

A) 200 cm2 B) 50 cm2

C) 100 cm2 D) 150 cm2

CLAVE: A

A

D C

B

O

L=8

4

4

4 2

44 2

4 2

CLAVE: C

A M B

N

C Q D

P

H G

F E

A D

B C 6

6

12

SA A A

A

D C

B

E) 250 cm2

Solución:

Usamos la siguiente propiedad:

ABCDMNPQ

AA

2

Luego:

ABCDMNPQ

AA

2

2

MNPQ MNPQ

20A A 200

2

MNPQEFGH

AA

2

EFGH MNPQ

200A A 100

2

OTRA FORMA:

Dividimos el cuadrado en triángulos

congruentes:

Observamos que existen 16 triángulos en

el cuadrado ABCD, entonces:

ABCDA 16A #

220 16A # A 25#

Finalmente: EFGHA 4A #

2EFHGA 100cm

PROBLEMA 14

Calcular el área del triángulo ABC

A) 350 m2 B) 400 m2

C) 450 m2 D) 250 m2

E) 300 m2

Solución:

Como AB = BC ABC isósceles

Luego AH = HC = 15.

BHA: (37º-53º)

Si AH = 3k= 15 (Opuesto a 37º)

k = 5

Luego: BH = 4k (Opuesto a 53º)

BH = 4(5) BH = 20

Finalmente:

ABC

AC x BHA

2#

53º A

B

C 15

37º

H

CLAVE: C

A B

N

C Q D

P

H G

F E

M

CLAVE: C

53º A C

30 m

B A Q D

N

M P A

B

C

ABC

30 x 20A

2#

2ABCA 300cm#

PROBLEMA 15


si el triángulo ABC es equilátero de

lado 12m y E, F, G son puntos

medios de los lados ACyBCAB , ,

respectivamente.

A) 12(3 3 -) m2 B) 3(12 3 -) m2

C) 3( 3 -12) m2 D) 12( 3 -) m2

E) 3(4 3 -) m2

Solución:

De la figura: S 1 2A 2A A

Hallamos A1: 2

1 1

3 9A A

2 2

Ahora hallamos A2.

2

22

12 3 60ºA 2 6

4 360º

2A 36 3 12

Luego: SOMBA 2A1 A2

SOMB

9A 2 36 3 12

2

2SOMBA 3 12 3 m

PROBLEMA 16

Calcular el área de la región

sombreada, si cada cuadrito tiene

2cm. de lado.

A) 96 cm2 B) 100 cm2

C) 80 cm2 D) 114 cm2

E) 120 cm2

Solución:

Dividimos la región total, en 5 regiones de áreas conocidas (4 triángulos rectángulos y un rectángulo); luego tendríamos:

CLAVE: B

CLAVE: E

A

B

C

E F

G

A1

A2

A4

A3

A5

2

A

B

C

E F

6

6 6

6

3 3 3 3

A1 A1

A2

S 1 2 3 4 5A A A A A A

Entonces, calculamos:

1

2 10A 10

2

2

8 6A 24

2

3

4 4A 8

2

4A 12 4 48

5

6 8A 24

2

Finalmente:

S 1 2 3 4 5A A A A A A

2SA 114cm

PROBLEMA 17

Si la longitud de la circunferencia es

24. ¿Cuánto mide el área del

círculo?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 122 B) 12 C) 144

D) 24 E) 14

Solución:

Dato: 24Lc

2 r 24 r 12

Luego:

PROBLEMA 18

¿Qué fracción del área del cuadrado,

representa la parte no sombreada de

la figura?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 9/16 B) 1/2 C) 7/16

D) 4/5 E) 3/16

Solución:

En este problema, observamos que el cuadrado mayor queda dividido en 4 cuadrados, si cada uno de ellos tiene un área de “4A”, entonces se tiene el siguiente esquema: Luego tendríamos:

CLAVE: C

CLAVE: D

2

A 12

A 144

r

A

2A

A

A

A

A A

A

A

2A

2A

2A

NS

S

A 9A

A 16A

NS

9A As

16

PROBLEMA 19

En la figura, ¿qué fracción del área

del cuadrado MNPQ representa la

región sombreada?

A) 2

5B)

2

3C)

4

5

D) 3

4E)

1

2

Solución:

Luego de trasladar regiones, para obtener, una región de área conocida, tenemos:

Luego: S T

1A A

2

PROBLEMA 20

Un círculo tiene igual perímetro que

un cuadrado cuya diagonal mide

8 cm. El área del círculo es:

A) 16

cm2. B) 4

cm2

C) 16

cm2. D)

4

cm2

E) 16 cm2.

Solución:

Dato: BD = 8 BD = 2 2

BAC: (45º- 45º)

Como BD = 2 2 AB = AD = 2

ABCDPerímetro 8

Luego, por condición del problema:

ABCDPerímetro Lc

Entonces: Lc 2 r

48 2 r r

Finalmente:

CLAVE: C

CLAVE: E

N P

M Q

CLAVE: A

N

M Q

P

2

2

A

B C

D

r 2 2

24

A

216A cm

2A r

PROBLEMA 21

En la figura adjunta, el área del

trapecio ABCD es 40 cm2. Entonces

el área del rectángulo ABEF es:

A) 30 cm2 B) 25 cm2

C) 80 cm2 D) 45 cm2

E) 20 cm2

Solución:

ABCDA 40

9k 3kh 40

2

20kh

3

Luego: ABEFA 3k h

ABEF

20A 3

3

2ABEFA 20cm

PROBLEMA 22

Determinar el área sombreada de la

figura; Si AB = 16 cm.

A) 60 cm2 B) 32 cm2

C) 64 cm2 D) 16 cm2

E) 12 cm2

Solución:

Trasladamos regiones así tenemos:

Luego:

As 32

PROBLEMA 23

Hallar el área de la siguiente figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

2

8As

2

AAs

2

CLAVE: B

A B

CLAVE: E

A B

A B

E F D C 9k

3k

53º

18 cm

12 cm

A B

D C F

E

h

9k 3k

3k

A) 100 cm2 B) 150 cm2

C) 140 cm2 D) 120 cm2

E) 110 cm2

Solución:

Trazamos CH AD para obtener el

BAC: (37º- 53º)

HD = 3K = 6 K = 2

y CH = 4k CH = 8

Pero: CH = AD = 8 (Altura del Trapecio)

Luego:

PROBLEMA 24

En la figura, calcular el área en

metros cuadrados de toda la región

sombreada, ABC es una

semicircunferencia.

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 3 B) 2 C)7

D) 5 E) 1

Solución:

ABCAs A # 2 1As

2

2As 1m

PROBLEMA 25

La relación entre el área sombreada y

el área del trapecio isósceles es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 1

2B)

1

3C)

2

5

D) 1

4E)

1

6

Solución:

CLAVE: E

CLAVE: D

12

18

h =

8 37º

53º

4k =8

3k = 6 A

B C

D12 H

O 2m

A

B

C

3a

a

ABCD

18 12A 8

2

2ABCDA 120cm

O 2m

A

B

C 1 1

1

Primero hallamos:

SOMBREADA

ahA

2

TRAPECIO

a 3aA h

2

Finalmente se tiene:

SOMBREADA

TRAPECIO

ah

A 2

3a aAh

2

SOMBRADA

TRAPECIO

A 1

A 4

PROBLEMA 26

Hallar el área del cuadrilátero ABCD,

si el área del triángulo AMP es 30 m2.


A) 120 m2 B) 64 m2

C) 106 m2 D) 96 m2

E) 92 m2

Solución:

De la figura:

PAM ABCD BAM CPM PADA A A A A

x x xx

a 4b a b 2a 3b30 2a 4b

2 2 2

11ab30 8ab

2

2ab 12m

Finalmente:

ABCD xA 2a 4b

ABCDA 8ab

ABCDA 8 12

2ABCDA 96m

PROBLEMA 27

Calcular el área del triángulo

isósceles en m2, si su altura es 12 m y

el perímetro del triángulo es 36 m


A) 36 B) 60 C) 90

D) 80 E) 120

CLAVE: D

A D

C M B

2a

4b

a a

2b

P

N

b

b

A D

C MB

CLAVE: D

a

3aaa

h

No nos dicen que es un cuadrado,

por eso colocamos lados diferentes.

Dato: ABCPerímetro 36#

2a 2b 36

a b 18

b 18 a … (I)

Teorema de Pitágoras en AHB:

2 2 2b a 12 … (II)

Remplazamos (I) en (II):

2 2 218 a a 12 a 5

Finalmente: xABC

2a 12A

2#

2ABCDA 60m

PROBLEMA 28


área del círculo sombreado en cm2.


A) (3 + 2 2 ) B) (2 - 3 2 )

C) (3 - 2 2 ) D) (2 + 3 2 )

E) (3 - 2 )

Solución:

Para calcular el área del círculo, bastará

calcular el radio del dicho círculo.

CAD (45º - 45º)

Como: AB = 2 (Opuesto a 45º)

AC = 2 2 (Hipotenusa)

Pero de la figura: AC = 1 + 2 r + 1

2 2 = 2 + 2 r

Luego: r 2 1

Finalmente: 2A r

2

A 2 1

A 3 2 2

PROBLEMA 29

El área de la región sombreada en

cm2, en la figura dada es:


A) 4 (8 - ) B) 4 (4 - )

C) 8 (4 + ) D) 4 (8 + )

E) 2 (16 - )

Solución:

CLAVE: C

2cm

2cm

A

B C

D

1

1

r r

CLAVE: B

2 c

m

2 cm 4 cm

4 c

m

Solución: B

b 12 b

Solución: B

b 12 b

De la figura: S ABCDA A 4A

Pero “A” es la cuarta parte de un círculo,

por lo tanto: 4 A A

Finalmente:

S ABCDA A 4A

S ABCDA A A

2 2SA L r

2 2SA 4 (2)

SA 4 4

PROBLEMA 30

Hallar el área de la región no

sombreada en cm2. Si el radio del

círculo mayor mide 2 cm. y el ángulo

AOB mide 120º.


A) 4

3 B)

3

4 C)

3

8

D) 8

3 E) 4

Solución:

Trasladamos regiones y obtenemos un

sector circular de 120º, como se muestra:

Luego:

2SA r

360º

2S

120ºA (2)

360º

S

4A

3

PROBLEMA 31

En la figura, cada cuadradito tiene un

área de 4 cm2. ¿Qué parte del área

total del rectángulo ABCD es el área

sombreada?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 4

5B)

3

5C)

8

15

D) 2

3E)

2

7

Solución:

CLAVE: B

O

A B

120º r =2

CLAVE: B

4

4

A

A A

A

AS

O

A B

A

B C

D

El área de cada triángulo es “A”; por la

tanto el área de cada cuadradito sería

“2A”.

Por lo tanto se tendría:

S

TOTAL

A 18A

A 30A

S TOTAL

3A A

5

PROBLEMA 32

En la figura, ¿Qué fracción del área

del rectángulo ABCD representa la

región sombreada?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 1

3B)

5

8C)

1

4

D) 2

3E)

1

2

Solución:

Trazamos AC ABC ACDA A# #

Usamos la propiedad de la mediana:

ABC: AM es mediana

ABM AMCA A A # #

ACD: AN es mediana

ACN ANDA A A # #

Finalmente:

S

TOTAL

A 2A

A 4A

S TOTAL

1A A

2

PROBLEMA 33

En la figura adjunta. ¿Qué parte del

área del hexágono regular representa

la región sombreada?

A) 2

3B) 3

8C) 5

6

D) 1

2E)

3

1

Solución:

CLAVE: E

A

B C

D

A

A

N

A A

M

CLAVE: B

B C

D

2A 2A 2A

2A

2A

2A

A A

A

A A A

A

A

B C

D

El hexágono es regular por lo que lo

dividimos en 6 triángulos equiláteros.

Trasladamos la región indicada y luego:

S

TOTAL

A 2A

A 6A

S TOTAL

1A A

3

PROBLEMA 34

En la figura adjunta el área de la

región sombreada es 23 cm2

.

Determinar el área en cm2 del

triángulo formado al unir los centros

de las circunferencias siendo estas

iguales.

A) 3

4 B) 3 C)

3

5

D) 3

2 E)

3

3

Solución:

Al unir los centros A, B y C se obtiene un

triángulo equilátero; para calcular el área

que encierra este triángulo equilátero

ABC necesitamos saber cuánto mide su

lado, para lo que necesitamos calcular el

radio de la circunferencia.

Dato: SA 3

2

Pero de la figura:

S ABCA A 3A #

Luego:

2

2S

L 3A 3 r

4 360º

22(2r) 3 60º

3 3 r2 4 360º

22 r

3 r 32 2

23 r 32 2

r 1

Finalmente:

A B

C

r r

r r

r r A A

A

60º 60º

60º

CLAVE: E

A

2

ABC

L 3A

4#

2

ABC

2(1) 3A

4#

ABCA 3#

PROBLEMA 35

Hallar el área de la región sombreada:

A) 5 B) 7 C) 2

D) 3 E) 9

Solución:

ABQ: PM // AQ

PM es Base Media de AQ

y AQPM PM 1

2

Ahora como PM = 1

de la figura MN = 3

También de la figura: QH = 2

Finalmente:

xMQN

MN QHA

2#

xMQN

3 2A

2#

SA 3

PROBLEMA 36


área en cm2 del trapecio AOBC.

A) 3 B) 5

2

C) 2

3

D) 3

2

E) 2

5

Solución:

P

4 B C

N

D A Q

M

2

2

2 2

1 3

2

H

CLAVE: D

CLAVE: B

4

4

O

C

A

4cm

3cm

B

DCB Triángulo Notable (37º-53º)

BD = 5

En este trapecio para hallar el su área de

la región que encierra, necesitamos su

altura (r) y su base menor (r).

Para hallar “r” aplicamos el Teorema de

Poncetet en DCB.

CD + CB = BD +2 r

3 + 4 = 5 + 2 r

r = 1

Finalmente:

TRAPECIO

BC OAA CA

2

TRAPECIO

4 1A 1

2

TRAPECIO

5A

2

PROBLEMA 37

En la figura, “E” es el punto medio de

AC . El área de la región sombreada,

es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 2( 3 - 48) B) 20 ( 3 - 96)

D) 100 (2 3 -48) D) 2(200 3 -96)

E) 2 (100 3 -48)

Solución:

ABC (30º-60º):

Como AC = 40 (Hipotenusa)

AB = 20 (Opuesto a30º)

y BC = 20 3 (Opuesto a60º)

ADE (37º-53º):

AE = 20 (Hipotenusa)

5k = 20 k = 4

AD = 3k (Opuesto a30º)

AD = 12

BC = 4k (Opuesto a60º)

y BC = 16

A C 37º

E 40

30º 53º

B

D

20 20

4k 3k

O

C

A

4

3

B

r

r

D

5

CLAVE: B

30º

A

D

B

C 37º

E 40

Nada es imposible, a

menos que uno esté de

acuerdo en que lo es.

Luego: S ABC ADEA A A # #

x xS

AB BC AD DEA

2 2

x xS

20 20 3 12 16A

2 2

SA 200 3 96

SA 8 25 3 12

Buscando la respuesta de las alternativas

se tiene:

SA 2 100 3 48

PROBLEMA 38

En la figura: AC y BC son

tangentes al círculo. El área de la

región sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 3 33

B) 9 33

C) 39

3

D) 33

3

E) 3 3

Solución:

Primero trazamos OC para obtener

triángulos rectángulos notables de 30º y

60º

OAC (30º-60º):

Si OA = 3 (Opuesto a 30º)

AC = 3 3 (Opuesto a 60º)

Luego:

AOBS OACB SECTORA A A

OAC AOBS SECTORA 2 A A #

x 2

S

3 3 3 120ºA 2 3

2 360º

SA 9 3 3

SA 3 3 3

Buscando la forma en la que esta

respuesta se presenta en las alternativas,

se tiene:

SA 9 3

3

B

C

A

3

60º

3

60º 30º 30º

O

3 3

3 3

CLAVE: B

CLAVE: E

B

C

A

3

120º

3

PROBLEMA 39

En la figura: los vértices del triángulo

equilátero de lado de longitud 12 son

centros de círculos de radio 6. El área

de la región sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 6 3 B) 16 3 3

D) 4 4 3 3 D) 9 3

E) 18 2 3

Solución:

Trasladamos regiones y se obtiene un

triángulo equilátero y un semicírculo:

S ABC 1A A A #

2 2

S

12 3 6A

4 2

SA 36 3 18

SA 18 2 3

PROBLEMA 40

El porcentaje del área sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 50% B) 40% C) 55%

D) 60% E) 45%

Solución:

x

S

TOTAL x

b h

A 2

A b h

S TOTAL

1A A

2

S TOTALA 50%A

xS

b hA

2

b

h

b

h

A1

A C

B 6 6

6 6 M 12 CLAVE: A

CLAVE: E

Para calcular el área de la región

sombreada hemos usado esta

formula:

PROBLEMA 41

Si en el gráfico P y Q son puntos

medios. ¿Qué parte del círculo falta

sombrear?

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 2

3B)

1

3C)

1

4

D) 1

2E)

3

4

Solución:

Área del círculo menor (A1):

21A a

Área del círculo mayor (A2):

2

2A 2a 22A 4 a

Finalmente:

21

22

A a

A 4 a

1 2

1A A

4

PROBLEMA 42

¿Qué fracción representa la parte

sombreada respecto al área total?


A) 2

3B) 3

5C)

3

1

D) 3

4

E) 2

5

Solución:

Dividimos el la figura en triángulos, para

obtener regiones de áreas iguales, como

se muestra a continuación:

Luego:

S

TOTAL

A 6

A 18

#

#

S TOTAL

1A A

3

P Q a a 2a

CLAVE: CCLAVE: C

P Q

PROBLEMA 43


si: AB = BC; DC = DE; BD = 30 cm.


A) 900 cm2 B) 300 cm2

C) 250 cm2 D) 150 cm2

E) 450 cm2

Solución:

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en

el BCD:

2 2 2a b 30

2 2a b 900 … (I)

Luego:

AS = A ABC + A CDE

x xS

a a b bA

2 2

2 2

S

a bA

2

… (II)

Remplazando (I) en (II).

S

900A

2

2SA 450cm

PROBLEMA 44

Hallar el área de un cuadrado, si la

mitad de su diagonal mide 3 2 cm.


A) 54 cm2 B) 18 2 cm2

C) 36 cm2 D) 36 2 cm2

E) 12 cm2

Solución:

Dato: d3 2

2

d 6 2

Finalmente sabemos que:

2d

A2

26 2

A2

2A 36cm

PROBLEMA 45

Hallar el área de un rombo cuya

diagonal mayor es el doble de la

menor y su perímetro es igual a

80cm.


A) 300 cm2 B) 300 5 cm2

C) 64 5 cm2 D) 320 cm2

E) 160 cm2

30 cm

A

B

E

D

C

b b a a

CLAVE: C

CLAVE: E

30 cm

A

B

E

D

C

A

C B

D

d

Solución:

Dato: ROMBOPerímetro 80

4L 80

L 20 … (I)

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en

BOA:

22 2L x 2x

L x 5 … (II)

Remplazando (I) en (II)

20 x 5 20x

5

Finalmente:

xROMBO

BD ACA

2

x

ROMBO

4x 2xA

2

2ROMBOA 4 x

2

ROMBO

20A 4

5

2ROMBOA 320cm

PROBLEMA 46

En la figura, el área del triángulo

ABH es igual a 4m2; además CD x

AH = 12m2. Hallar el área del

trapecio ABCD.


A) 10 m2 B) 15 m2

C) 30 m2 C) 20 m2

E) 40 m2

Solución:

Dato: ABHA 4#

xb h4

2

xb h 8

También nos dan este dato:

xCD AH 12 xa h 12

Luego:

TRAPECIO

a b ah bhA h

2 2

TRAPECIO

12 8A

2

2SA 10m

D

A B

C H a

b

h

CLAVE: D

D

A B

C H

A C

B

D

O

L L

L L

x x

2x

2x

PROBLEMA 47

En la figura, hallar el área de la

región sombreada.


A) 8 + 16 B) 16 + 4

C) 16 + 8 D) 8 + 8

E) 8 + 4

Solución:

Dividimos la región en tres regiones

conocidas (un cuadrado y dos cuartos de

círculo)

De la figura: S 1 2A 2A A

2

2S

4A 2 4

4

SA 16 8

PROBLEMA 48

Hallar el área de la figura sombreada.

Si cada cuadradito tiene un área de

20cm2.


A) 310 cm2 B) 280 cm2

C) 320 cm2 D) 230 cm2

E) 200 cm2

Solución:

Dato: 2L 20

De la figura:

S 1 2 3A A A A

x xS x

2L 5L 2L 3LA 4L 2L

2 2

2 2 2SA 5L 3L 8L 2

SA 16L

SA 16 20

2SA 320cm

A2

A1 A3

L

L

A

B

C E

F G

D A B

C D N

4

M

4

A2

A1

A1 4

4

O

CLAVE: C CLAVE: A

A B

C D 8

8

8 8

PROBLEMA 49

La figura ABCD es un cuadrado de

lado igual a 2 cm. Hallar el área en

cm2 de la región sombreada.


A) 1

4 2

B) 1

4 2

C) 2 D) 3 1

E) 1

3 2

Solución:

Trazamos OE AD AE = ED = 1

Luego de la figura:

2x2

S

1 1145ºA 2

360º 4 2

S

1A

4 2

PROBLEMA 50

En la figura, ABCD es un trapecio

isósceles, EBCF es un cuadrado de 64

m2 de área y AD = 26m. Calcular la

suma de áreas de las regiones

triangulares ABE y CFD.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 36 m2 B) 72 m2

C) 64 m2 D) 81 m2

E) 48 m2

Solución:

Dato: BCFEA = 64

L2 = 64 L = 8

Luego: AD = 26

2h + L = 26 h = 9

Pero: x = y

A D

C

E F

x y

64

h h

L L

L

26

L

B

A D

B C

E F

B C

D A

O 2

1 1 E 45º

P

CLAVE: B CLAVE:

B C

D A

O

S PDA AOE OEDA A A A

C

y: L hx

2

8(9)x 36

2

x y 72

PROBLEMA 51

En la figura mostrada: ABCD y

PQRC son cuadrados, siendo “P”

punto medio del lado .BC Calcular

qué parte del área de la región no

sombreada es el área de la región

sombreada.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 2/3 B) 5/6 C) 3/2

D) 2/5 E) 5/12

Solución:

De la figura se tiene:

NS

As 8A

A 20A

S NS

2A A

5

PROBLEMA 52

Hallar el área que encierra el

cuadrado ABCD, si el radio de la

semicircunferencia es R = 5m.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 25 m2 B) 16 m2 C) 9 m2

D) 8 m2 E) 20 m2

Solución:

DOC: 52 = (2x)2 + x2 x2 = 5

Luego AABCD = (2x) 2

AABCD = 4 x 2 AABCD = 4 (5)

2ABCDA 20m

PROBLEMA 53

Hallar el área del círculo inscrito en

el triángulo ABC, si AB, = 5 cm y

BC = 12cm

(UNSAAC CBU 2002 I)

A

A A

A 2A

2A

2A

2A

2A

2A

2A

2A

CLAVE: D

A B

D C

P Q

R

CLAVE: B

CLAVE: E

A O D

B C

R

A O D

B C

5 2x

x x

A) 2 cm2 B) 9 cm2 C)4 cm2

D) 6 cm2 E) 8 cm2

Solución:

Teorema de Pitágoras:

ABC: AC2 = 122 + 52

AC = 13

Teorema de Poncelet:

5 + 12 = 13 + 2r

r = 2

Luego: 2

círculoA 2

círculoA 4

PROBLEMA 54

En el siguiente cuadriculado, cada

“cuadradito” tiene un área de 9 cm2.

El área de la región sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 54 cm2 B) 72 cm2

C) 36 cm2 D) 24 cm2

E) 27 cm2

Solución:

Dato: 2 = 9 = 3

De la figura: As = A1 + A2

6 9 6 9As

2 2

2SA 54cm

PROBLEMA 55

¿Qué parte de la región sombreada,

representa la región no sombreada?


A1

=3

A2

A 9

B

C

D

9 H

F

=3

A B

C

12 13

5

CLAVE: A

CLAVE: C

A B

C

A) 1/4 B) 1/3 C) 2/3

D) 3/4 E) 1/2

Solución:

Usamos la siguiente propiedad:

Luego, se tendría:

NS

S

A A B C D E F

A 3A 3B 3C 3D 3E 3F

NS

S

A A B C D E F

A 3 A B C D E F

NS S

1A A

3

PROBLEMA 56

En el triángulo AEB, los segmentos

interiores son medianas. Hallar el

área de la región rectangular ABCD;

si el área de la región triangular PBQ

es 2u2.


A) 32 u2 B) 60 u2 C) 65 u2

D) 72 u2 E) 64 u2

Solución:

Usamos la propiedad de la mediana:

Luego tendríamos:

ABCD AEBA 2A #

2SA 64u

PROBLEMA 57

Calcular el área de la región

cuadrangular ABCD, inscrito en el

semicírculo de centro O y radio R. Si

el área del semicírculo sombreado

mide 25u

2

.


A Q

D E C

P 16 8

4 2 2

B E

A C

B

A

D

A A

B

C

D

E

F

3A

3B

3C

3D

3E

3F

A C

M N

B

A

3A

CLAVE: E CLAVE: B

A Q B

D E C

P

ABCMBN

AA

4

A) 20 u2 B) 16 u2 C) 20 u2

D) 25 u2 E) 15 u2

Solución:

Dato: A = 25

u2

22r 5

r 52 2

Luego: 2

ABCDA 2r

2ABCDA 20u

PROBLEMA 58

Determinar el área de la región de un

trapecio isósceles ABCD. Si el área

del círculo es 36 u2; donde CD es

la mitad del diámetro AB .


A) 227 2 u B) 227 3 u

C) 218 3 u D) 36 u2

E) 27 u2

Solución:

Dato: A 36

2r 36 r 6

Luego observamos que: el área pedida es

igual a 3 triángulos equiláteros:

TRAPECIOA 3 S

2

TRAPECIO

r 3A 3

4

TRAPECIOA 27 3

PROBLEMA 59


si ABCD es un cuadrado de lado 2m.


A) /2 m2 B) m2

CLAVE: B

A B

C D

O r r

r

rr S

A O D

B C

R 2r

r r

CLAVE: C

O D

B C

R

A

A B

C D B

A

C

D

C) 4 m2 D) 2 m2

E) 3 m2

Solución:

De la figura se tiene que:

ABCDAs = [A -A ] + 8x

22 (1/ 2)

As = [22 - (1) ] + 82

2SA 4m

PROBLEMA 60

En la figura ABCD y EFGH son cuadrados cuyos lados tienen medidas iguales; E es el centro del cuadrado ABCD.¿Cuánto mide el área de la región cuadrangular ABCD, si el área de la region

sombreada mide m24 2 ?

A) m216 B) m

212 2 C) m2

12

D) m2

8 2 E) m2

16 2

Solución:

Trazamos las diagonales (estas se cortan

en el punto E)

Luego de trasladar la región:

A ABCD = 4 As

2ABCDA 16 2 m

PROBLEMAS PROPUESTOS

SOBRE TRIÁNGULOS

1. Se desea cercar los lados AB y AC de

un terreno que tiene la forma de la

figura siguiente:

¿Cuántas estacas se necesitan, si las

estacas se colocan cada 3 metros?

(UNSAAC CBU 2003 I)

a) 36 b) 29 c) 32

d) 31 e) 30

2. En la siguiente figura, determinar :

fedcba

(UNSAAC CBU 2003 I)

A

B

C 60º

30 3m

CLAVE: E

A D

B C

E

G

H

F

C B

D

1/2

1/2

2

1 x

A

CLAVE: C

A D

B C

E

F

H

G

a) 360º b) 270º c) 540º

d) 180º e) 720º

3. En la siquiente figura, ABCD es un

cuadrado y AED es un triángulo

equilátero. Hallar el valor del ángulo

“x”. (UNSAAC CBU 2003 I)

a) 80º b) 105º c) 100º

d) 75º e) 115º

4. Los lados de un triangulo miden,

respectivamente; 10, 9 y 8 cm. Si

cada lado se disminuye en “x” cm, se

convierte en un triangulo rectangulo.

¿Cuánto mide el perímetro de dicho

triángulo rectángulo?

a) 12cm b) 10cm c) 13cm

d) 15cm e) 14cm

5. En la siguiente figura


Hallar la suma de los angulos :

if2e2dcba

a) 360º b) 270º c) 720º

d) 620º e) 540º

6. En la figura adjunta, AD = DC = 6m,

si CB = CA. Calcular DB.


a) 3 5 m b) m8 c) m10

d) 6 5 m e) 10 5 m

7. Se da un trapecio con bases de

longitudes 3cm. y 6cm. y con altura

de 4cm. de longitud. Hallar la

distancia del punto de intersección de

los lados no paralelos a la base

mayor.

(UNSAAC 2000 II)

a) 6cm b) 9cm c) 8cm

d) 4cm e) 5cm

8. La bisectriz del ángulo recto de un

triángulo rectángulo forma con la

hipotenusa un ángulo de 115°. El

ángulo que forma dicha bisectriz con

la bisectriz exterior del menor de los

ángulos agudos, mide:

(UNSAAC 2001 II)

a) 25° b) 30° c) 20°

d) 35° e) 45°

9. En un triángulo rectángulo, la longitud

de la hipotenusa y uno de los catetos

miden 12m y 4 5 m , respectivamente.

La longitud de la altura relativa a la

hipotenusa mide (en m.):(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

a) 8 5 b) 3 5 c) 8

d) 5

3e)

8 5

3

10. En la siguiente figura, la longitud de

“x”, es:

A

E

D

B

x

C

b

a c

d

e f

a

c

e f

i

b

d

A

B

D

C

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

a) 3 2 b) 2 3 c) 2 2

d) 3 e) 6

11. La hipotenusa de un triángulo

rectángulo mide 10cm. y uno de los

catetos mide 8cm. Hallar la altura del

triángulo tomando como base la

hipotenusa.

(UNSAAC 2000 I)

a) 6cm b) 4.8cm c) 4cm

d) 3.5cm e) 10cm

12. En el triángulo ABC mostrado en la

figura BH = 4m, AC = 4m. Hallar la

longitud del lado del cuadrado

inscrito PQRS.

(UNSAAC 2000 I)

a) 2 2 m b) 3m c) 1 m

d) 2m e) 2 m

13. Una escalera se apoya a una pared de

4 3 metros de altura, de modo que

sus extremos superiores coinciden.

Los ángulos que forman la escalera

con el piso y la pared con el piso son

de 30° y 90° respectivamente. Hallar

la distancia del extremo inferior de la

escalera a la pared.

(UNSAAC 2000 I)

a) 12m b) 6m c) 9m

d) 15m e) 6 3 m

14. Se tiene un triángulo en donde dos de

sus lados miden 3 y 4. Hallar el

perímetro del triángulo. Si el tercer

lado es el doble de uno de los otros

dos lados.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

15. Los lados de un triángulo rectángulo

forman una progresión aritmética

cuya razón es 3m. Hallar el perímetro

del triángulo.

a) 36m b) 32m c) 28m

d) 24m e) 21m

16. Calcular el valor de “x” en la figura.

a) 32 b) 16 c) 316

d)

3

32 e)

3

16

17. Calcular el valor de “m + n” en la

figura.

x

6

45°

15°

A H P S C

B

Q R

30º x

B C

A

D

8 3

a) 4 3 b) 7 3

c) 7 3 d) 3 3

e) 8 3

18. Calcular “x” en el gráfico

a) 40 2 b) 40 c) 20 2

d) 20 e) 10 2

19. En la figura se sabe que > 90º, y

que AC es un número entero.

Calcular la suma del máximo y

mínimo valor entero que puede tener

“x”.

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

20. El la figura hallar “x”

a) 30º b) 40º c) 50º

d) 60º e) 80º

21. De la figura hallar “”

a) 10° b) 15° c) 20°

d) 30° e) 40°

22. Hallar “x” en la figura

a) 50° b) 60° c) 70°

d) 80° e) 40°

23. Si AB = DC y DA = DB, hallar “x”.

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 45° e) 53°

24. En un triángulo rectángulo uno de sus

ángulos agudos mide 22°30´; si

queremos calcular la longitud de la

hipotenusa ¿entre qué número

debemos de dividir a la hipotenusa?

A

B

C

D

8

x

10

2

80º 40º

100º 20º

x

37° 60° m

n

3

10

x

100°

40°

100°

70° x

B

D

A C x

a) 2 b) 2 2 c) 4

d) 2 e) 3

25. En la figura, hallar BC

a) 12 b) 16 c) 20

d) 15 e) 18

26. La hipotenusa y un cateto suman

162m. Si el otro cateto mide 80m.

Hallar la hipotenusa.

a) 82m b) 68m c) 84m

d) 90m e) 86m

27. En el interior de un cuadrado ABCD

se toma el punto P y luego se traza

PH BC, tal que BH=2 y HC=8. Si

mAPD=90°, hallar PH.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

28. Calcular “ ”, si los 2 cuadrados son

congruentes.

a) 30° b) 37° c) 53°

d) 16° e) 15°

29. Calcular “ ” en:

a) 20° b) 35° c) 37°

d) 45° e) 60°

30. En la figura siguiente la medidas de

los ángulos ˆBAC y ˆACB son 60° y

90° respectivamente, además se

trazan las bisectrices de los ángulos

interiores las que se intersectan en el

punto D. Sea DM la mediana del

triángulo ADB hallar la medida de

los ángulo ˆMDB .

a) 20° b) 30° c) 45°

d) 55° e) 60°

31. Calcular el valor de “x”:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

32. En la figura calcular el valor del

ángulo “ ” si AD y BC son

bisectrices de los ángulos A y C

respectivamente.

3

x

C

A BM

D

30

A B

CD

A D C

B

6 10

a) 95° b) 110° c) 115°

d) 120° e) 125°

33. Cuatro rectas se intersecan como se

muestra en la figura. Calcular el valor

de: (x y z w)

a) 360° b) 450° c) 540°

d) 630° e) 720°

34. Hallar el ángulo formado por la

intersección de las bisectrices de los

ángulos exteriores de los ángulos

agudos de un triángulo rectángulo.

a) 60° b) 45° c) 30°

d) 65° e) 75°

35. Si sabemos que “E” es el punto

medio de AB . Además ABCD es un

cuadrado. Hallar :

a) 12° b) 14° c) 15°

d) 16° e) 20°

36. En la figura se muestra una lámina

metálica de forma rectangular. Si

AD 4 cm. y AB 4 3 cm.

Calcular la longitud que recorre el

vértice A cuando la lamina haya dado

una vuelta completa en el sentido

indicado.

a) 3 ( 3 1)cm b) ( 3 3) cm

c) (2 3 3 ) cm d) 2 ( 2 2)cm

e) 2 ( 3 3)cm

37. Si AB 5m y BC 12 , hallar la

medida de MN

a) 1 b) 2 c) 2.5

d) 4 e) 5

38. Hallar el valor del ángulo “ ” si

sabemos que ABCD es un cuadrado.

a) 100° b) 105° c) 110°

d) 116° e) 150°

39. Calcular el valor de “x” en:

A CM N

B

A B

CD

A B

CD

E

F

D

A

C

B

A C

60

20

D B

w

z

x

y

a) a b

2ab

b)

ab

2a b c)

a b

ab

d) ab

a b e)

3a b

2ab

40. En la figura ABCD es un cuadrado de

lado “a”. Calcular el radio de la

circunferencia.

a) a 3

2 b)

a

2 c)

3a

5

d)a 2

2 e)

3a

8


SOBRE PERÍMETROS

1. Hallar el perímetro de la figura

sombreada:

a) 20a b) 28a c) 30a

d) 32a e) 34a

2. Hallar el perímetro de la siguiente

figura:

a) 2(a + 2b + c – d) b) 2(a + 2b – c + d)

c) 2a + 4b + c – 2d d) a + 2b + 2c – 2d

e) 5(a + 3b + 10c – d)


figura:

a) 30 b) 46 c) 40

d) 36 e) 42

4. Hallar el perímetro de la región

sombreada, de la figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

a) 44 b) 36 c) 54

d) 64 e) 62

5. En la figura adjunta. Determinar el

perímetro de la región sombreada


4

4

15

8

a

a

a

2a

a a 3a

d

c

a

b

2

2 6

6

B C

DA

A

ab

m n

x

a) 22a

3b) 7a

3c) 20a

3

d) 11a

3e) 3a

22


figura.

(UNSAAC CBU 2002 I)

a) 2 (a – b + 2c) b) 2 (a + 2b + c)

c) 2 (a + b + c) d) 2 (a + 2b + 2c)

e) 2 (2a + b + c)

7. El peimetro de la region sombreada,

es:

(UNSAAC CBU INT. 2003)

a) 30R b) 25R c) 38R

d) 36R e) 32R

8. En la siguiente figura, hallar el



a) + 4 b) 2(4+3) c) 3(2+)

d) 2 + 3 e) 2(4 + )

9. Un arquitecto diseña la siguiente reja

para ventana. Si los arcos son

semicircunferencias iguales y

asumiendo 7

22 ; hallar la

longitud total de acero que se

requiere.

a) 490 b) 560 c) 720

d) 680 e) 620


figura:

a) 2 (a + b – d) b) 2 (a + b + d )

c) 4 (a + b – d) d) 3 (a – b – d)

e) 2 (2a + b – c)

11. Hallar el perímetro de la figura

sombreada si todas las curvas son


c

c

d

b

a

70

b b

c

a

b

2a

a a 3

6R

1

1

4

4

a) 8 b) 16 c) 12

d) 6(+3) e) 12(+2)

12. La figura mostrada está formada por

hexágonos regulares iguales. Hallar

el perímetro de toda la figura si cada

hexágono tiene 48 cm. de perímetro.

a) 176cm b) 184cm c) 160cm

d) 168cm e) 240cm

13. En un triángulo equilátero de lado 4;

se unen los puntos medios de los

lados, formando otro triángulo

equilátero, y se repite la operación

indefinidamente. Hallar el límite de la

suma de los perímetros de todos los

triángulos.

a) 21 b) 8 c) 24

d) 18 e) 12

14. Cuál es el perímetro de la figura, si

ABCD es un cuadrado de 10 cm. de

lado y los dos arcos son


a) 10(+2) b) 5(+2) c) 5

d) 20(+2) e) 10(+4)

15. Hallar el perímetro de la región

marcada si cada cuadradito tiene

1cm. de lado.

a) 26 b) 27 c) 28

d) 25 e) 24

16. Se tiene un pentágono ABCDE tal

que: AB = BC = CD = DE = b y

ABC ACD ADE 90º . Calcular

el perímetro del pentágono ABCDE.

a) 2b b) 6b c) 8b

d) 10b e) 12b

17. Del gráfico calcule el perímetro del

polígono ABCDE

a) 2 6 +15 b) 3 6 +14 c) 3 6

d) 5 6 +15 e) 7 6 +15

2m

4m

B

AA 5m

3m

C

D

E

A B

D C

6 10

8

10. Hallar el perímetro del trapecio, si la

altura es igual a la base menor:

a) 20 b) 22 c) 24

d) 26 e) 28

19. Calcular el perímetro de la región

sombreada, si AB = 15.

a) 20 b) 25 c) 30

d) 35 e) 40

20. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre el

lado AD se traza una

semicircunferencia interior, luego

desde C se traza una tangente a la

semicircunferencia la cual corta a AB

en F. Hallar el perímetro del triángulo

BCF si el lado del cuadrado mide 6.

a) 12 b) 14 c) 18

d) 22 e) 24


SOBRE ÁREAS

1. El perímetro de un cuadrado es el

doble del perímetro de un triángulo

equilátero, cuya área es igual a

9 3 cm2. Hallar el área del cuadrado.


a) 64cm2 b) 100cm2 c) 49cm2

d) 81cm2 e) 121cm2

2. Calcular el perimetro de la región

sombreada en cm, sabiendo que P, Q,

R y S son puntos medios en el

cuadrados ABCD cuyo lado mide

10cm .

(UNSAAC CBU INT. 2003)

a) 10 2 b) 11 3 c) 8 5

d) 12 2 e) 8 3

3. En la figura: AB = AP y CD = DP,

el area del cuadrilátero ABCD es:


a) 2

(x y)

4

b)

2 2x xy y

2

c) 2

(x y)

2

d)

2 2x y

2

e) 2 2

x xy y

4

4. En la siguiente figura, el diámetro

del círculo de centro O, mide 8cm.

Hallar el área de la región sombreada.

a) 18cm2 b) 20cm2 c) 14cm2

d) 16cm2 e) 17cm2

5. En la figura, el área de la region

sombreada y no sombreada en el

x

y

D

C

B

A P

4

10

C

R

D

P

Q

B S A

Q P

B

D A

O

C

A

B

C

M

N

círculo mayor de radio R = 4 metros,

son de igual medida. El área en

metros cuadrados de la región

sombreada, es:

a) 6 b) 4 c) 12

d) 10 e) 8

6. Se quiere revestir un piso rectangular

con losas circulares de igual radio,

colocadas tangentes unas con otras.

Si se sabe que tanto a lo largo como a

lo ancho entran losas completas.

¿Cuál es el máximo porcentaje que se

cubrirá del piso con las losas?

(SAN MARCOS 2003)

a) 27.5% b) 20% c) 25%

d) 30% e) 22.5%

7. Los lados no paralelos y la base

menor de un trapecio isósceles son

iguales entre sí y miden 15 metros. Si

la base mayor mide 33m. El área del

trapecio en metros cuadrados, es:

(UNSAAC 2000 I)

a) 128 b) 576 c) 72

d) 144 e) 288

8. Un lote de terreno es de forma

rectangular y se sabe que su

perímetro es igual a 74m., mientras

que el cuadrado de su diagonal es

igual a 769m2. ¿Cuál es el área del

lote?

(UNSAAC 2000 II)

a) 600m2 b) 150m2 c) 500m2

d) 100m2 e) 300m2

9. Si el área de la figura sombreada es

8m2. entonces el lado del cuadrado

ABCD mide:

(UNSAAC 2001 II)

a) 6 2 m b) 6 m c) 2 m

d) 4 m e) 4 2 m

10. En la siguiente figura se tiene dos

circunferencias concéntricas donde

OA = AB = 1. Si OB = BC = OC,

calcular el área de la región

sombreada.

(UNSAAC 2002 II)

a) 3

32

b) 3

3

c) 2

33

d) 3

6

e) 34

11. La pintura de un cuadro tiene un

largo de 60 cm. y un ancho de 35 cm.

Calcular el área del marco rectangular

en cm2, si se tiene un ancho igual a

2,5cm. (UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN))

A) 250 B) 500 C) 300

D) 450 E) 325

12. Hallar el área del círculo inscrito en

un hexágono regular, cuya área es de

36 3 m2.


A) 18 m2 B) 30 3 m2

D

A B

C

C

A B

O

D

C) 24 3 m2 D) 18 3 m2

E) 26 3 m2

13. Calcular el área del círculo que está

inscrito en un sector circular de 60°

de ángulo central y 15cm de radio.

(UNSAAC 2002 I)

A) 15cm2 B) 25cm2 C) 18cm2

D) 20cm2 E) 30cm2

14. Calcular el área de la región de un

triángulo rectángulo si su hipotenusa

mide 8 y uno de sus ángulos internos

mide 22°30”

A) 4 B) 8 C) 22

D) 212 E) 28

15. Si el triángulo es rectángulo, hallar el

área marcada en:

A) 3(4-) B) 2(5-) C) 6(4-)

D) 4(6-) E) 3(6-)

16. El lado de un hexágono regular mide

9. Determine el lado de otro

hexágono regular, cuya área de su

región es igual a 4/9 del área de la

región del primer hexágono.

A) 5 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

17. El cubo mostrado tiene 2m. de arista.

Hallar el área de la figura limitada

por el triángulo sombreado.

A) 4 3 B) 3 3

2C) 3 2

D) 2 3 E) 4 3

18. Hallar el área de la región sombreada

en la siguiente figura:

A) (- 3 ) u2 B) 2(+ 3 ) u2

C) 2(- 3 ) u2 D) (+ 3 ) u2

E) 3 3 u2

19. Los lados de un triángulo son tres

números consecutivos, el perímetro

es 60m. El área de triángulo es:

A) 152.4 m2 B)145.8 m2

C) 120.6 m2 D)172.3 m2

E) 170 m2

20. En la figura E, F, G y H son puntos

medios del cuadrado ABCD.

Entonces la razón entre el área

sombreada y el área no sombreada

es:

B F C

G

DHA

E

6

8

-2 2 -1 1 0 X

Y

A) 3

13 B)

5

16 C)

5

13

D) 2

15 E)

7

13

21. Si el lado de un cuadrado inscrito en

un círculo C1 es L, entonces el área

de la figura sombreada, en función

del radio R de la circunferencia C1,

es:

A) 2R

4

B) 2

1 R4

C) 22 R

4

D) 2

4 R4

E) 23R

4

22. La altura de un triángulo es los 3/4 de

la base más 4m. Si la base es la

solución positiva de: 22x -13x-24 0 ,

el área del triángulo es:

A) 60 m2 B) 80 m2 C) 40 m2

D) 50 m2 E) 65 m2

23. Hallar la relación entre el área

sombreada y el área no sombreada.

A) 7

10 B)

6

13 C)

7

10

D) 6

17 E)

7

13

24. Hallar el área sombreada, si

consideramos que la figura ABCD es

un cuadrado, además

DB DE a 2 .

A) 2a B)

2a

2 C)

2a

4

D) 2

a

3 E)

2a

5

25. Hallar el área sombreada de la figura:

A) 2

R (16 2 ) B) 2

2R (15 2 )

C) 2

3R ( 6) D) 2

2R (8 3)

E) 2

2R (32 9 )

26. El área del cuadrado ABCD es 40m2.

Hallar el área sombreada sabiendo

que M, N, O, y R son puntos medios

de los lados.

A) 10 B) 20 C) 32

A B

CD

M

N

O

R

R

10

4

34

B

D C E

A

L

R

D) 36 E) 38

27. Calcular el área de la región

sombreada en el cuadrado.

A) 2

5a

2B)

24a

5 C)

26a

7

D) 2

5a

3E)

25a

7

28. En el cubo de arista 4m., calcular el

área sombreada:

A) 8 2 B) 4 2 C) 2 2

D) 16 E) 8

29. En el cuadrado ABCD, de lado “a” M

y N son puntos medios. Hallar el área

de la región sombreada.

A) 2

7a

10B)

28a

15 C)

29a

20

D) 2

11a

20E)

27a

10

30. Determinar el área de la región

sombreada, si ABCD es un cuadrado

de lado “a”. Además M y N son

puntos medios.

A) 2

2a

46B)

25a

41 C)

25a

48

D) 2

5a

35E)

27a

35

31. Si las bases de un trapecio miden 4 y

6 metros y su altura es de 2m.

Calcular el área del triángulo cuyos

vértices son los puntos medios de las

diagonales y el punto de corte de los

lados no paralelos.

A) 2.4 m2 B) 2.5 m2 C) 2.6 m2

D) 2.7 m2 E) 2.8 m2

32. En la figura mostrada ABCD es un

cuadrado: Calcular el área sombreada

si tenemos que “O” es el centroide

del cuadrado.

A B

D C

4

4

a

a

A B

D C

A B

CD M

N

A

B C

D

EF

A B

D

N

M C

A) 3( 2) B) 2( 2) C) 2

D) 3( 1) E) 3( 3)

33. Hallar el área sombreada, si AB 8 ,

siendo ABCD un cuadrado.

A) 4 (2 3 2) B) 8 (7 3 5)

C) 8 (6 5) D) 8 (7 2 2)

E) 9 (7 3 5)

34. El área del cuadrado ABCD es igual a

20m2, siendo M y N puntos medios.

Hallar el área del triángulo

sombreado.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 5.5 E) 6


sombreada, si MN mide 4m. y AB,

AN y AM son diámetros.

A) 4 m2. B) 8 m2. C) /2 m2

D) 6 m2. E) 3 m2.

36. Si Rr 5 R, hallar el área de la

región sombreada.

A) 8 B) 10 C) 12

D) 15 E) 20

37. En la figura mostrada calcular el área

sombreada si AB AC 2 , además

F y M son centros de las


A) 3 3

23 8

B)

2 32

2 3

C) 3 3

34 3

D)

2 24

3 7

E) 2

38. Hallar el área de la región sombreada

si: mLUZ = 120°. y “U” es centro

de las dos semicircunferencias.

(AU = R)

A) 2R

34

B) 23R

316

C)

2R3

8

U

L Z

A B N

M

A B

A B

CD

A B

CD

N

M

rR

A

F

M

B

C

60

D) 2R

4 E)

2R

3

39. En la figura mostrada, calcular el área

sombreada de la región ABC. Si

r 4 y R 6 .

A) 3

4 B)

48

25 C)

13

4

D) 3

5E)

3

7

40. En un cuadrado ABCD de lado 3 2 ,

se toma Q, en la diagonal BD, de

modo que las áreas ABCQ y CQD

sean iguales. Hallar DQ.

A) 2 B) 4 C) 6

D) 3 E) 1

41. En una pirámide regular de base

cuadrada de 10m de lado )cuál es

el área de la sombra que proyecta

una de sus caras laterales en su base

a las 12 meridiano.

A) 100m2 B) 75 m2 C) 50 m2

D) 25m2 E) 12 m2

42. En la figura mostrada calcular la

suma de las áreas “x” e “y”. Si el área

del triángulo mixtilíneo AMBC es

40m2. y el área de la lúnula

sombreada es 10m2. (“x” e “y” son

semicircunferencias)

A) 10m2 B) 20m2 C) 30m2

D) 40m2 E) 50m2

43. Hallar el área del cuadrado ABCD

siendo “R” el radio del semicírculo y

“r” el radio del círculo.

A) Rr B) 2 2

R r C) 2Rr

D) 4Rr E) 2 2

2(R r )

44. Calcula el área de la región

sombreada:

A) 222 2 B) 250 2

C) 267 2 D) 278 2

E) 288 2

45. En la figura mostrada se pide calcular

el área sombreada, si los radios miden

6 m. y 2 m.

B

C A x

M y

A

rB

CR

A

D C

Br

R

A B

CD

24

24

A) 228

3

B) 28

93

C) 308

3

D) 35

84

E) 408

3

46. El perímetro de un trapecio es 42m.

y la base menor mide 3m. Hallar el

área del trapecio (en m2) si sus

diagonales son bisectrices de los

ángulos obtusos.

A) 96 B) 84 C) 90

D) 102 E) 114

47. Calcular el área del cuadrado

inscrito en un semicírculo de

radio " 1m" sabiendo que uno de

sus lados está sobre su diámetro

A) 4/5 B) 5/4 C) 1

D) 3/2 E) 1/2


sombreada, si el área de la región

triangular ABC es 14m2.

A) 1 m2. B) 2 m2. C) 3m2

D) 4 m2. E) 5 m2.

49. En la figura mostrada calcular el área

de la región sombreada si el área de

la región triangular ABC es 70m2. (Si

P y Q trisecan a BC y MN trisecan a

AC)

a) 1 m2. b) 4 m2. c) 9 m2.

d) 16 m2. e) 25 m2.

50. En la figura ABCD es un cuadrado, si

AB 10 . Calcular el área de la

región sombreada aproximada.

A) 50.25 B) 52.38 C) 53.42

D) 55.02 E) 56.38

Parábola de la

Educación Iba un hombre caminando por el desierto

cuando oyó una voz que le dijo:: “Levanta algunos guijarros, mételos en tu bolsillo y mañana te sentirás a la vez triste y contento”.

Aquel hombre obedeció. Se inclinó, recogió un puñado de guijarros y se los metió en el bolsillo.

A la mañana siguiente, vio que los guijarros se habían convertido en diamantes, rubíes y esmeraldas.

Y se sintió feliz y triste. Feliz, por haber cogido guijarros; triste por no

haber cogido más. Lo mismo ocurre con la educación

W. Cunningham

A C M N

B

P

a a a

2b

b

A C M N

B

P

Q

6

21

O

O

A B

CD

R RAAZZOONNAAMMI NTTOO … · LÍNEAS NOTABLES Y PUNTOS NOTABLES 1. MEDIANA: Segmento que parte de...

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