Estudio comparativo de métodos de identificación de vórtices
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ISSSD 2020 ONLINE _________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 294 Proccedings of the ISSSD 2020 Volume 1 Estudio comparativo de métodos de identificación de vórtices Angélica Viridiana Román-Martínez 1,* , Silvia Hidalgo-Tobón 1,2 , Julio García-Flores 3 & Pilar Dies-Suárez 2 1 Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa, CDMX, México 2 Departamento de Imagenología, Hospital Infantil de México Federico Gómez, CDMX, México 3 Departament of Radiology and Cardiac Sciences, University of Calgary, Calgary, AB, Canada * Email: [email protected] Abstract La técnica ―Flujo 4D‖ de Imagen por Resonancia Magnética proporciona los campos de velocidad del flujo sanguíneo en el tiempo, presente en alguna cavidad cardíaca [Pineda, et al., 2014]. Resulta de interés analizar la información de estos campos para detectar alguna anormalidad en el funcionamiento del corazón. Debido a la forma y movimiento de este órgano, es normal encontrar la formación de vórtices en el flujo sanguíneo; presenciar un comportamiento anómalo de los vórtices es señal de una inadecuada funcionalidad [Pinochet, et al., 2011], que ayudaría al médico a detectar una posible patología cardíaca. Existen varios criterios de identificación de vórtices, los más utilizados son el Criterio de Q y Criterio de Lambda2 [Jeong, et al., 1995]; ambos son similares en el sentido de que parten del análisis del gradiente de velocidad, entonces, es necesario evaluar su capacidad de detección [Evin, et al., 2019], ya que ―la caracterización cuantitativa del flujo de vórtice podría proporcionar una herramienta objetiva para evaluar la función‖ en determinadas zonas del corazón [Elbaz, et al., 2014]. El objetivo del presente trabajo es realizar un estudio comparativo entre estos criterios usando el modelo teórico-físico ―Vórtice de Burgers‖. Utilizar dicho modelo permite un análisis analítico con el propósito de establecer ventajas y desventajas entre ambos criterios, demostrar su precisión para determinar el tamaño del tubo vortical y caracterizar las consecuencias de la variación de parámetros físicos del modelo en los métodos de identificación. Los resultados muestran que los dos criterios son exitosos al detectar el vórtice principal, el criterio de Q permite un cálculo más inmediato; sin embargo, el criterio de Lambda2 es superior por su postulación. La finalidad de contrastar es obtener conclusiones analíticas, previas al uso en datos reales de Flujo 4D. Keywords: Burgers Vortex; Q Criterion; Lambda2 Criterion.
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Proccedings of the ISSSD 2020 Volume 1
Estudio comparativo de métodos de identificación de vórtices
Angélica Viridiana Román-Martínez1,*, Silvia Hidalgo-Tobón1,2,
Julio García-Flores3 & Pilar Dies-Suárez2
1Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa, CDMX, México
2Departamento de Imagenología, Hospital Infantil de México Federico Gómez, CDMX, México
3Departament of Radiology and Cardiac Sciences, University of Calgary, Calgary, AB, Canada
*Email: [email protected]
Abstract
La técnica ―Flujo 4D‖ de Imagen por Resonancia Magnética proporciona los campos de
velocidad del flujo sanguíneo en el tiempo, presente en alguna cavidad cardíaca [Pineda, et
al., 2014]. Resulta de interés analizar la información de estos campos para detectar alguna
anormalidad en el funcionamiento del corazón. Debido a la forma y movimiento de este
órgano, es normal encontrar la formación de vórtices en el flujo sanguíneo; presenciar un
comportamiento anómalo de los vórtices es señal de una inadecuada funcionalidad
[Pinochet, et al., 2011], que ayudaría al médico a detectar una posible patología cardíaca.
Existen varios criterios de identificación de vórtices, los más utilizados son el Criterio de Q
y Criterio de Lambda2 [Jeong, et al., 1995]; ambos son similares en el sentido de que
parten del análisis del gradiente de velocidad, entonces, es necesario evaluar su capacidad
de detección [Evin, et al., 2019], ya que ―la caracterización cuantitativa del flujo de vórtice
podría proporcionar una herramienta objetiva para evaluar la función‖ en determinadas
zonas del corazón [Elbaz, et al., 2014]. El objetivo del presente trabajo es realizar un
estudio comparativo entre estos criterios usando el modelo teórico-físico ―Vórtice de
Burgers‖. Utilizar dicho modelo permite un análisis analítico con el propósito de establecer
ventajas y desventajas entre ambos criterios, demostrar su precisión para determinar el
tamaño del tubo vortical y caracterizar las consecuencias de la variación de parámetros
físicos del modelo en los métodos de identificación. Los resultados muestran que los dos
criterios son exitosos al detectar el vórtice principal, el criterio de Q permite un cálculo más
inmediato; sin embargo, el criterio de Lambda2 es superior por su postulación. La finalidad
de contrastar es obtener conclusiones analíticas, previas al uso en datos reales de Flujo 4D.
Keywords: Burgers Vortex; Q Criterion; Lambda2 Criterion.
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1.- INTRODUCCIÓN
La imagen de resonancia magnética (IRM) es una técnica sofisticada que utiliza un potente
campo magnético externo, ondas de radio y gradientes de campo magnético para producir
imágenes del interior del cuerpo. La técnica de resonancia magnética ―Flujo 4D‖ es un
proceso para obtener imágenes 3D del comportamiento del flujo sanguíneo en el tiempo. A
pesar de que la información obtenida en imágenes tridimensionales por sí misma es valiosa,
resulta de interés analizar los campos de velocidad obtenidos de Flujo 4D. La formación de
vórtices en las cavidades cardíacas es normal, sin embargo, la formación anómala de
vórtices puede usarse como una herramienta objetiva para evaluar el funcionamiento del
corazón.
En el presente trabajo se realiza un estudio comparativo analítico entre dos métodos de
identificación de vórtices usualmente utilizados en la técnica Flujo 4D, usando un modelo
físico cuyas variables se asemejan a los parámetros de la sangre presente en la aorta del
corazón humano.
1.1.- Teoría
La Angiografía por Resonancia Magnética de Contraste de Fase (PC-MRA por sus siglas
en inglés) crea contraste entre la sangre y el tejido estático para examinar los vasos
sanguíneos presentes en el corazón. Cuando se toma esta clase de imágenes en tres
direcciones y contemplando el tiempo del ciclo cardíaco es posible caracterizar datos de
velocidad de la sangre y otras medidas hemodinámicas por medio de la técnica Flujo 4D.
Esto permite que ―la técnica tenga muchas aplicaciones potenciales en la práctica clínica,
ya que brinda al especialista información valiosa sobre la función y el estado del sistema
cardiovascular‖ [Pineda, et al., 2014].
El nombre de la técnica es "time-resolved three-dimensional flow-sensitive MRI with three-
directinal velocity enconding" o simplemente Flujo 4D, la cual adquiere imágenes de
trazadores de partículas, líneas de flujo y vectores de velocidad que son representaciones de
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la trayectoria de la sangre a través del sistema cardiovascular [Pineda, et al., 2014]. El campo
de velocidad del flujo sanguíneo en la aorta se visualiza como (ver figura 1).
Figura 5.Campo de velocidad de la aorta empleando la técnica Flujo 4D.
Si un conjunto de vectores describe un movimiento rotatorio alrededor de un eje, entonces,
en esa región hay un vórtice, los cuales son comunes en cualquier fluido dinámico. Se
considera normal la presencia de vórtices de sangre en el corazón debido a su movimiento
de contracción y dilatación (sístole y diástole) del ciclo cardíaco; incluso ―tal formación de
vórtices puede ayudar en el cierre eficiente de la válvula mitral, el llenado diastólico
eficiente, minimizando la pérdida de energía cinética y previniendo la formación de
trombos‖ [Elbaz, et al., 2014]; a su vez, ―se ha demostrado que se desarrolla una formación
de vórtice alterada (llenado temprano) en pacientes con disfunción diastólica y
miocardiopatía isquémica dilatada, lo que sugiere una relación entre la formación de vórtice
anormal y la disfunción del ventrículo izquierdo‖ [Elbaz, et al., 2014].
Los campos de velocidad obtenidos por medio de Flujo 4D permiten hacer uso de criterios
de identificación de vórtices, que son métodos que se usan para resaltar un comportamiento
vortical en un fluido. Los dos criterios que se emplean en el presente trabajo hacen uso del
tensor gradiente del campo de velocidades .
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Criterio de Q. Se basa en el análisis del segundo invariante, definido como:
‖ ‖ ‖ ‖ (1)
donde y son la parte simétrica y antisimétrica de respectivamente,
(2)
(3)
La parte antisimétrica corresponde al movimiento de rotación puro del sistema y la parte
simétrica corresponde al movimiento irrotacional puro. ―El segundo invariante es una
medida local del exceso de velocidad de rotación en relación a la velocidad de
deformación‖ [Chen, et al., 2015]. Se buscan las regiones donde haya mayor magnitud de
vorticidad, es decir, .
Criterio de . Considera el principio de mínima presión para detectar un vórtice.
Partiendo de la ecuación de Navier-Stokes transformada en la ecuación de transporte de
vorticidad y despreciando los efectos de viscosidad, así como el esfuerzo de inestabilidad
irrotacional, se obtiene una ecuación en términos de la parte simétrica y antisimétrica del
gradiente de velocidad:
(4)
donde en el lado derecho queda en términos del tensor de presión que brinda información
sobre la presión local externa. ―La ocurrencia de un mínimo local de presión requiere dos
eigenvalores positivos del tensor de presión‖ [Jeong, et al., 1995]. Ya que es un
tensor simétrico, sus eigenvalores serán reales. Si se ordenan de la siguiente manera:
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―el criterio de identificación de vórtice es equivalente a la condición resultante de ‖
[Kolar, 2007].
Un modelo de vórtice en tres dimensiones es el vórtice de Burgers (ver figura 2), cuya
importancia radica en que su campo vectorial es una solución de las ecuaciones de Navier-
Stokes que describen a los fluidos viscosos. Las ecuaciones que describen el campo de
velocidades en coordenadas cartesianas son:
(
( )
)
(
( )
)
(5)
donde es la viscosidad cinemática, con dimensiones de ⁄ , es la circulación, que
indica la intensidad del vórtice, cuyas dimensiones son ⁄ y la distancia del centro
a las paredes del vórtice.
Figura 6. Vórtice de Burgers.
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2.- MATERIALES Y MÉTODOS
2.1.- Metodología
El flujo de la sangre es laminar en los vasos sanguíneos en estados normales y se vuelve
turbulenta rebasando cierta velocidad crítica; el número de Reynolds especifica la
probabilidad de que haya turbulencia relacionando el diámetro del vaso, la velocidad de la
sangre, la densidad y la viscosidad sanguínea. En los seres humanos sanos, la aorta
ascendente rebasa la velocidad crítica en el nivel máximo de la expulsión sistólica [Barrett,
et al., 2017], por tanto, hay turbulencia y presencia de vórtices.
Se hace uso del modelo físico vórtice de Burgers en su representación en coordenadas
cartesianas, con valores de parámetros similares a los de la aorta humana del ser humano.
La viscosidad cinemática correspondiente a la sangre a es de ⁄ , la
circulación con un valor de ⁄ [Sotelo, et al., 2017] y la distancia del eje a la
pared del tubo vortical se elije menor al tamaño aproximado del radio de la aorta
ascendente para adultos normales, que es de [Cobiella, et al., 2009].
Para los cálculos y las gráficas se hace uso del programa computacional Wolfram
Mathematica 12.1 Student Edition [© 2020 Wolfram]. Se toma para los
primeros cálculos de comparación, se calcula el gradiente del campo de velocidades del
flujo sanguíneo en la aorta, quedando una matriz de 3X3 la cual depende de las
coordenadas . Para obtener la parte simétrica y antisimétrica es necesario calcular la
matriz transpuesta del gradiente de velocidad, y con ello se obtienen y (ecs. 2 y 3). Para
aplicar el criterio de , se obtienen sus normas correspondientes, lo que permite encontrar
el invariante (ecuación 1) como una función dependiente de la posición , ya que
no depende de . Se grafica para identificar los puntos donde hay regiones de
movimiento rotacional puro, es decir, . De la misma manera, para aplicar el criterio
de se construye el tensor (ec. 4), del cual se calculan sus eigenvalores que
dependen de la posición, lo que permite graficar e identificar las regiones donde es
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negativo, que son donde se localiza el vórtice. Ambas gráficas y se
comparan y se analizan sus diferencias.
El núcleo vortical está caracterizado como el punto analítico donde sea máximo positivo
y donde sea mínimo negativo.
Se procede a examinar si cada criterio logra identificar el radio del vórtice, ya que se tiene
el tamaño original del tubo vortical . Para esto, se determinan los puntos donde la
gráfica unidimensional (criterio de Q) y (criterio de ) corta al eje
, (se toma debido a la simetría axial del modelo) y se mide la distancia entre
intersecciones, la cual correspondería a dos veces el radio del vórtice. Se obtienen sus
correspondientes desviaciones porcentuales relativas respecto al valor .
Por último, se varían los parámetros y . Para el primero se consideran los siguientes
valores , se comparan los valores máximos de y
mínimos de para cada uno de estos, con el propósito de ver sus variaciones a medida que
incrementa el tamaño del tubo vortical. Se toman los siguientes valores para la circulación
⁄ , con el fin de determinar en qué
momento cada uno de los métodos deja de detectar a el vórtice. Debido a que la circulación
es un parámetro que indica la intensidad del vórtice, valores pequeños de están asociados
a vórtices débiles difíciles de detectar.
3.- RESULTADOS
La figura 3 las gráficas tridimensionales de y , cuando .
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Figura 7. Gráficas de Q y de .
A continuación, se muestra una tabla indicando los puntos analíticos donde Q es máximo y
es mínimo.
Tabla 1. Valores máximos de Q y mínimo de , para .
Criterio de Q Q es máximo en { } { }
Criterio de es mínimo en { } { }
En la siguiente figura, se muestra el tamaño del radio del vórtice determinado por cada
criterio.
Figura 8. Gráficas unidimensionales de Q y .
El criterio de Q determinó un tamaño de , obteniendo una desviación relativa
porcentual de con respecto al valor . El criterio de determino un
tamaño de , con una desviación relativa porcentual de con respecto a
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. Finalmente, se muestran las tablas de valores (máximo de y mínimo de ) para cada
uno de los criterios, cuando se varía el parámetro y .
Tabla 2. Variación del parámetro .
Radio del tubo vortical Criterio de Q Criterio de
2.5 17.5112 -52.6109
5 1.0943 -3.2829
7.5 0.2161 -0.6396
10 0.0684 -0.2051
12.5 0.0280 -0.0836
15 0.0135 -0.0405
17.5 0.0072 -0.0218
Tabla 3. Variación del parámetro .
Circulación (
)
Criterio de Q Criterio de
150 0.0135 -0.0405
135 0.0092 -0.0318
120 0.0054 -0.0243
105 0.0020 -0.0174
90 0.0008 -0.0116
75 -0.0033 -0.0067
60 -0.0054 -0.0027
45 -0.0069 0.0045
30 -0.0081 0.0027
15 -0.0087 0.0036
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4.- DISCUSIÓN
Ambos criterios parten del gradiente del campo velocidad; por construcción el criterio de
es superior debido a que parte de conceptos físicos, haciendo uso de la ecuación de
transporte de vorticidad y analizando el mínimo local de presión. Lo anterior es una ventaja
sobre el criterio de , que si bien, es más intuitivo a la hora de diferenciar la región donde se
encuentra el movimiento rotacional, queda en desventaja al comparar su construcción con el
criterio de .
En la figura 3 se puede observar que ambos criterios localizan el vórtice en el centro, lugar
donde se encuentra el núcleo vortical de acuerdo con el modelo vórtice de Burgers. El lugar
específico donde localizan al vórtice analíticamente obtiene pequeñas diferencias, el criterio
de se acerca más al origen que el criterio de (ver tabla 1), esto puede deberse a que las
aproximaciones no son tan precisas, ya que al tener una indeterminación en el origen el dato
depende de las aproximaciones límite.
En la figura 4 se muestran las gráficas unidimensionales, el criterio de subestima el valor
de con una alta desviación porcentual. El criterio de sobreestima en un ,
de manera que ningún criterio determina con precisión el ancho del vórtice.
Al momento de variar el parámetro se puede ver (tabla 2) que los valores de y
disminuyen conforme el radio del tubo vortical se hace más grande, esto se debe a que la
concentración de vorticidad es superior cuando el tubo vortical es pequeño. Es notorio que
los valores de tienden más rápido a cero que los valores de conforme incrementa, lo
que indica que si tenemos vórtices más anchos con circulación fija, son más fáciles de
detectar con el criterio de . Cuando se varía el parámetro resulta algo más interesante, ya
que haciendo cada vez menos intensos los vórtices (disminuyendo ) se complica su
identificación. Se muestra que el criterio de deja de detectar el vórtice a una circulación de
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⁄ , y el criterio de deja de detectar el vórtice a una circulación de
⁄ ; por lo tanto, el criterio de es más sensible que el criterio de .
5.- CONCLUSIONES
Se muestra una forma analítica de determinar las diferencias entre dos criterios de
identificación de vórtices, el criterio de y el criterio de , utilizados en datos de Flujo
4D. Ambos métodos se comportan bien al momento de identificar un solo vórtice. Cuando
se varían los parámetros se obtiene información clara de que método es superior, al
momento de variar el tamaño del radio del tubo vortical, el valor de se hace pequeño
más rápido conforme el ancho del vórtice aumenta, en comparación con el valor de . A
su vez, al variar la circulación , el valor de se mantuvo negativo para valores pequeños
de la circulación, indicando que sigue detectando el vórtice, en contraste con el valor de
el cual dejo de ser positivo para los mismos valores de , indicativo de que ya no detecta el
vórtice. Es por ello que el criterio del es óptimo por su sensibilidad, lo que resulta útil
para su aplicación con datos numéricos.
Se concluye que el criterio de sobresale al ser comparado con el criterio de . Esta
comparación proporciona cierta confianza en el uso del criterio de como método de
identificación de vórtices en datos de Flujo 4D, para caracterizar el comportamiento de los
vórtices en el flujo sanguíneo.
REFERENCIAS
Barrett, K; et al. (2017). GANONG Fisiología Médica. 25º edición, McGrawHill Education: México.
Chen, Q; et al. (2015). Comparison of vortex identification criteria for planar velocity fields in wall turbulence. Physics of Fluids, 27: 085101-1.
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Cobiella, J. (2009). Qué es la dilatación de la aorta ascendente. Capítulo de libro,
Fundación BBVA: España.
Elbaz, M; et. al. (2014). Vortex flow during early and late left ventricular filling in normal
subjects: quantitative characterization using retrospectively-gated 4D flow cardiovascular magnetic resonance and three-dimensional vortex core analysis. J Cardiovasc Magn Reson, 16:78.
Evin, M; et al. (2019). Left ventricule vortex detection by 3D+t phase contrast MRI: a feasibility study. Comp Meth Biomech and Biomed Engine, 22(S1): S71-S73.
Jeong, J; et. al. (1995). On the identification of a vortex. J Fluid Mech, 285:69-94.
Kolar, V. (2007). Vortex identification: New requirements and limitations. International Journal of Heat and Fluid Flow, 28(4): 638-652.
Pineda, JA; et al. (2014). Introducción prática al análisis hemodinámico del sistema cardiovascular mediante la técnica ―4D Flow‖. Radiol, 56(6): 485-495.
Pinochet, N; et. al. (2011). 4D FLOW: Una nueva herramienta de diagnóstico para cardiopatías congénitas. Rev Chil Radiol, 17(3): 134-140.
Sotelo, J; et. al. (2017). Three-Dimensional Quantification of Vorticity and Helicity from
3D Cine PC-MRI Using Finite-Elemnt Interpolation. Magn Reson Med, 79(1): 541-553.
