Estructura de los...

Estructura de los PLARI-Semigrupos

Sebastian Perdomo Leiva

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacion, Proyecto Curricular de Matematicas

Bogota, Colombia

2017

Estructura de los PLARI-Semigrupos

Sebastian Perdomo Leiva

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Matematico

Directora:

Magister Veronica Cifuentes Vargas

Lınea de Investigacion:

Algebra, Teorıa de Semigrupos

Grupo de Investigacion:

ITENUA

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacion, Proyecto Curricular de Matematicas

Bogota, Colombia

2017

Dedicado a mis padres y hermanos.

Agradecimientos

Quisiera resaltar a un conjunto de personas que mas que un apoyo fueron quienes vieron en

mi a alguien dispuesto a salir adelante ante cualquier adversidad y que siempre estuvieron

dispuestas a ensenarme lo capaz que era de luchar por mis suenos. Primero ante todo mi

madre Lenney que siempre me dio ese aliento para enfrentar la intensidad y el rigor del dıa

a dıa en las matematicas. A mis hermanos Juan Manuel, Maria Fernanda y Angela Lucia

quienes han sido mis amigos y companeros en el transcurso de mi vida. De ellos he aprendido

un monton de cosas, sobre todo a no darme por vencido y a ser disciplinado. A mi padre

Fernando que siempre me ha abierto la mente, ensenandome la verdadera riqueza que se

encuentra en el estudio y el aprendizaje. Me ha hecho entender el valor de los momentos en

familia. Le agradezco a la profesora Veronica Cifuentes por haberme acompanado y ensenado

desde que empece a incursionar el algebra y tambien por tenerme paciencia y el vincularme

con grandez especialistas en el campo como Adolfo Ballester y Enric Cosme. Le agradezco

a los miembros del grupo ITENUA. Con ellos aprendı a encontrar las herramientas para mi

enfocarme en la linea del algebra.

ix

Resumen

El siguiente trabajo consiste en crear una estructura para los semigrupos primitivos am-

plios a izquierda. Para esto, es necesario tener en cuenta las extensiones de las relaciones de

Green R∗,L∗ entre otras. Recuerdece que un semigrupo es un conjunto S con una operacion

interna · tal que para cualquier x, y, z ∈ S se tiene, (x · y) · z = x · (y · z). Se dice que para

a, b ∈ S, aR∗b si y solo si para todo x, y ∈ S11 ax = ay si y solo si bx = by. Tambien se dice

que aL∗b si y solo si para todo x, y ∈ S1 se debe tener que xa = ya si y solo si xb = yb. Un

elemento e de un semigrupo S es llamado idempotente cuando bajo la operacion interna · de

S, e2 = e. Se dira que un semigrupo S es amplio a izquierda cuando cada R∗ − clase de S

tiene al menos un idempotentes y todos los idempotentes de S conmutan entre si. Ademas se

debe tener que para a, e2 ∈ S, ae = (ae)†a 2. Se puede ver que si S es amplio, cada R−clasetiene un unico idempotente y por lo tanto (ae)† es unico. Se denotara E(S) el conjunto de

los idempotentes de S y adicionalmente se les dotara a sus sus elementos de un orden ≤llamado orden natural donde e ≤ f si y solo si ef = fe = e. Se definira a un idempotente

e ∈ S como primitivo si y solo si para culaquier, f ≤ e se debe tener que f = e o f = 0 si S

es un semigrupo con 0. Se dira que S es primitivo si todos sus idempotentes son primitivos.

En la parte final del trabajo se construira una matriz de Rees en bloques primitiva amplia y

se creara un isomorfismo de dicha matriz con los semigrupos primitivos amplios a izquierda

en los que aS 6= {0}, denominados como en [18] los PLARI − semigrupos.Palabras clave: (Semigrupos inversos, Extensiones de las Relaciones de Green, Semi-

grupos de Matrices de Rees en Bloques.)

Abstract

In the following work consist in create a structure for the primitive left ample semigroups.

For this, it is necessary to consider the extent of Green relationships R∗,L∗ between others.

Remember that a semigroup is set with inner operation · such as for all x, y, z ∈ S we ha-

ve, (x · y) cdotz = x · (y · z). Will be say that for a, b ∈ S, aR∗b if and only if, for all

x, and ∈ S1 ax = ay if and only if bx = by. Also, will be say that aL∗b if and only if for

all x, y ∈ S1 we have that xa = ya if and only if xb = yb. A element e front to semigroup

S it’s called idempotent when e2 = e. Will be say that semigroups it’s left ample when each

R∗ − class it has at most to idempotent and all idempotent commute. Also must comply

that ae = (ae)†a, with a, e2 = e ∈ S. will be denote E(S) the set of all idempotents from S

and additionally we will give its elements a order ≤ called natural order when e ≤ f if and

only if ef = fe = e will be defined an a idempotent as a primitive if for all e ≤ f it implies

1El termino “1” en S1 significa que el semigrupo S es tiene elemento identidad 1.2El simbolo † denotado como (t)† indica a idempotente de la R∗t − clase.

x

f = e or f = 0. Will be that a semigroups is primitive if all its idempotents are primitive.

In the final part of the work will be Build a primitive ample Rees matrix and will be create

a isomorphism with the primitive ample semigroups in which aS 6= {0}. for a ∈ S called as

in [18] PLARI-semigroups.

Keywords: (Inverse Semigroups, Extensions of Green Relations, Blocked Rees Matrix

Semigroups.)

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

1 Preliminares 5

1.1 Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Relaciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Semigrupos Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Matrices de Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Los PLARI- semigrupos 23

2.1 S-sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Extensiones de las Relaciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Semigrupos de Matrices de Rees en Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Bibliografıa 43

Introduccion Historica

El estudio de los semigrupos primitivos amplios surge como una generalizacion no regular

de los semigrupos inversos. El origen de estos semigrupos se remonta al siglo XIX cuando se

dejaba atras la geometrıa Euclidiana y se da inicio a la creacion de nuevas geometrıas; esta

situacion genero confusion debido a que la geometrıa Euclidiana la cual habıa ocupado una

privilegiada posicion se habıa dejado de considerar y con esto la geometrıa habıa sufrido un

irreversible cambio de direccion; Dicha geometrıa vino a ser vista como un caso particular de

una gran variedad de geometrıas. Pero con esta situacion surgio el problema de como estas

geometrıas deberıan ser clasificadas y como la relacion entre estas deberıa estabilizarse. La

idea del programa Klein’s Erlanger era ordenarlas por el grupo de simetrıas de su geometrıa.

Los grupos de simetrıas son todas las estructuras que se preservan bajo biyecciones. De esto

cualquier geometrıa puede construir un grupo. Esto es por que el grupo de simetrıa induce a

una relacion de equivalencia entre figuras geometricas. Propiedades geometricas pueden ser

vistas mas bien como propiedades de clases de figuras individuales y ası la geometrıa puede

ser vista como la teorıa de grupos invariantes.

Esta clasificacion en teorıa de grupos de geometrıas puede ser usada estableciendo una rela-

cion entre geometrıas. Sea g una geometrıa con un grupo de simetrıas G supongase que G′ es

un subgrupo de G. Figuras equivalentes con respecto G′ son equivalentes con respecto a G,

pero no inversamente. Ası el subgrupo G′ puede ser usado para construir una geometrıa g′,

esta es mas rica que la geometrıa g. En este sentido las clasicas geometrıas no Euclidianas y

el cırculo, la esfera y lıneas geometricas de Mobius, Lie y Plucker pueden ser construidas de

geometrıas proyectivas como las geometrıas Euclidiana, la afın y la equiforme. No es de ex-

tranarse que Cayley haya escrito que ”todas las geometrıas son proyectivas”. Pero en efecto,

existen geometrıas las cuales simplemente no pueden ser acomodadas dentro del marco de

la teorıa de grupos. Esto mencionado ası como el siguiente pasaje es tomado de [11] En el

que Veble y Whitehead indican la dificultad:

Contenido 3

Pero mucho antes de que el programa de Erlanger se hubiera formulado, existıan geo-

metrıas que no pertenecıan adecuadamente a sus categorıas, llamemoslas, las geometrıas

Riemanianas. [. . . ] Espacios Riemanianos [. . . ] cuyos grupos de automorfismos se redu-

cen solo a la identidad. Tales geometrıas no pueden ser caracterizadas obviamente por un

grupo.

J. H. C. Whitehead en este obituario de Elie Cartan resalta el punto que entre la formulacion

del Programa Erlanger y la formulacion de la Relatividad General, los fundamentos de la

geometrıa fueron dominados por el enfoque de los Kleins pero que

despues de descubrir la relatividad general la cual se basaba en la geometrıa Riemania-

na, este se dio cuenta de que el programa Erlanger no era el mas adecuado como una

descripcion de la geometrıa general.

Sin embargo el hecho de que el programa Erlanger no se trabajo para todas las geometrıas

animo a muchos matematicos a introducirse y generalizar esto. Este punto era explicitamente

dicho por Veble y Whitehead en:

Esta es por lo tanto, una fuerte tendencia entre geometras contemporaneos en busqueda

de una generalizacion del programa Erlanger que pueda reemplazar este por medio del

concepto de grupos.

En otras palabras, si el grupo de simetrıas no es suficiente para caracterizar la geometrıa

quizas exista una estructura mas general la cual pueda. En particular el camino para gene-

ralizar el programa de Erlanger es basado en el concepto de pseudo grupo introducido por

Sophus Lie.

En los 1880’s, Sophus Lie empieza a estudiar los denominados grupos continuos, parcialmente

como un intento de desarrollar la teorıa de Galois para ecuaciones diferenciales. Los objetos

estudiados por Lie consistieron de familias de difeomorfismos parciales de una variedad de-

finida por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales las cuales fueron cerradas bajo la

composicion y con inversos. Lie distinguio dos clases de tales grupos: los finitos y los infinitos.

Los grupos finitos continuos son escencialmente representaciones por difeomorfismos de un

abstracto, finito dimensional grupo de Lie. Los grupos infinitos continuos no son grupos sino

simplemente grupos por gusto. Estas estructuras han venido a ser llamadas pseudogrupos

de Lie.

4 Contenido

Un pseudogrupo de Lie sin sus ecuaciones diferenciales es solo una coleccion de homeomor-

fismos parciales entre subconjuntos abiertos de un espacio topologico el cual es cerrado bajo

composicion y con inversos. Veble y Whitead reconocieron en tales estructuras las cuales

ellos llamaron simplemente pseudogrupos, adecuados vehıculos algebraicos para generalizar

el programa de Erlanger al desarrollo de la teorıa de variedades diferenciales:

Los objetos geometricos y los espacios los cuales ellos determinan son clasificados por

medio del pseudo-grupo de transformaciones de puntos regulares, dos objetos pertenecen

a una misma clase si y solo si, ellos son equivalentes. Este es pseudo-grupo, mas bien

que el grupo [. . . ], el cual es relevante, ya que un objeto geometrico no necesariamente

se define sobre toda una simple variedad [. . . ]. Esta clasificacion de objetos geometri-

cos es el espıritu del programa Erlanger, bajo el pseudo-grupo empieza una inevitable

generalizacion equivalentemente en el mas estrecho sentido.

Ası el programa Erlanger se generalizo reemplazando grupo de simetrıas por pseudogrupo.

Tales pseudogrupos puede ser usados para definir muchas de las estructuras basicas de la

geometrıa diferencial; direccionados en pseudogrupos, este camino aumento una nueva cues-

tion. Los grupos de transformaciones son representaciones de grupos abstractos, ası que es

natural preguntarse cual es la correspondiente estructura abstracta para los pseudogrupos.

Esta es la cuestion la cual sirve como ımpetu para definir los semigrupos inversos.

CAPITULO 1

Preliminares

1.1. Nociones basicas

En esta seccion se manejaran terminos y notaciones de [1, 10, 14] Ası que para empezar, si

R es una relacion en un conjunto E, dos elementos x y y de E estan relacionados por R si

(x, y) ∈ R, lo cual es denotado como xRy.Una relacion R es reflexiva si, para cada x ∈ E, xRx; simetrica si, para cada x, y ∈ E, xRyimplique yRx; antisimetrica si, para cada x, y ∈ E, xRy y yRx implica x = y y transitiva

si, para cada x, y, z ∈ E, xRy y yRz implica xRz.

Definicion 1.1.1. (Preorden) Una relacion es un preorden si esta es reflexiva y transitiva,

un orden (o orden parcial) si esta es reflexiva, transitiva y antisimetrica y una relacion de

Equivalencia (o una equivalencia) si esta es reflexiva, transitiva y simetrica.

Proposicion 1.1.1. Sea A un conjunto donde esten definidas ρ, τ dos relaciones de equiva-

lencia. La interseccion ρ∩τ de estas dos relaciones de equivalencias es de nuevo una relacion

de equivalencia.

Demostracion. Dados a, b, c ∈ A; se puede ver que ρ ∩ τ es reflexiva; ya que aρa y aτa.

Entonces a(ρ ∩ τ)a. Es simetrica ya que aρb y aτb implican respectivamente bρa y bτa;

entonces, b(ρ∩ τ)a; es transitiva ya que si aρb, bρc, aτb, bτc; entonces por la transitividad

de ρ y τ , se tiene que aρc y aτc; de donde a(ρ ∩ τ)c.

Es conocido que una relacion de equivalencia genera una particion del conjunto y ademas se

puede definir un orden ≤ en el conjunto de las relaciones por contenencias.

A continuacion se dara un ejemplo comunmente usado pero aquı se mostrara de una forma

general para conjuntos cualquiera sin estructura definida.

Ejemplo 1.1.1. Dados X, Y conjuntos no vacıos con ϕ : X → Y una funcion . La relacion

6 1 Preliminares

kerϕ = {(x, x′) ∈ X ×X|ϕ(x) = ϕ(x′)}

es reflexiva, ya que ϕ(x) = ϕ(x) por lo tanto (x, x) ∈ kerφ. Es simetrica, ya que sı ϕ(x) = ϕ(y)

entonces ϕ(y) = ϕ(x) y es transitiva, ya que sı ϕ(x) = ϕ(y) y ϕ(y) = ϕ(z) entonces

ϕ(x) = ϕ(z). por lo tanto kerϕ es una relacion de equivalencia en X la cual es llamada la

equivalencia Kernel o el kernel de ϕ.

Definicion 1.1.2. Sea S un conjunto no vacıo con una operacion interna (S, ·). Se dira que

S es semigrupo si la operacion interna es asociativa.

Definicion 1.1.3. A menudo se trabajara con un tipo especial de semigrupos estos se

denominan los semigrupos monoides denotado por S1 son los semigrupos en los que existe

1 tal que a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ S1.

Si S es un semigrupo, entonces se denota S1 = S∪{1} donde 1 es un nuevo elemento identidad

si S no tiene elemento identidad o 1 es el elemento identidad en S. Normalmente, se considera

una notacion multiplicativa; es decir, denotara la actuacion de · entre dos elementos s, t ∈ S,

de la siguiente manera: st = s · t.

Ejemplo 1.1.2. El conjunto N+ de los enteros positivos es un semigrupo conmutativo con

la adicion usual de enteros. Este tambien es un semigrupo conmutativo con la multiplicacion

usual de enteros.

Ejemplo 1.1.3. Sea n un entero positivo. Sea Bn el conjunto de todas las matrices de

tamano n× n con entradas unos y ceros tal que una sea con todas sus entradas ceros y las

demas con una unica entrada 1; equipada con la multiplicacion usual de matrices, Bn es un

semigrupo. Por ejemplo,

B2 =

{ (1 0

0 0

),

(0 1

0 0

),

(0 0

1 0

),

(0 0

0 1

),

(0 0

0 0

) }Este semigrupo es comunmente llamado el ejemplo de Conteo universal ya que este puede

ser usado al mencionar cualquier Ejemplo de Conteo segun [14]. En teorıa de semigrupos.

Poniendo

a =

(0 1

0 0

)y b =

(0 0

1 0

)se obtiene

ab =

(1 0

0 0

), ba =

(0 0

0 1

)y 0 =

(0 0

0 0

).

Ası B2 = {a, b, ab, ba, 0}. Ademas, la relaciones aa = bb = 0, aba = a y bab = b definen la

multiplicacion en B2

1.1 Nociones basicas 7

Ejemplo 1.1.4. El conjunto U1 = {1, 0} definido por esta tabla de multiplicacion, (1∗1 = 1

y 0 ∗ 1 = 0 ∗ 0 = 1 ∗ 0 = 0) es un monoide

Mas generalmente, para cada entero no negativo n, el monoide Un es definido en el conjunto

{1, a1, . . . , an} por la operacion aiaj = aj para cada i, j ∈ {1, . . . , n} y 1ai = ai1 = ai para

1 ≤ i ≤ n.

A continuacion se caracterizan algunos semigrupos que tienen subestructuras o elementos

particulares que seran utiles para algunas construcciones de estructuras mas complejas.

Definicion 1.1.4. Un subconjunto de un semigrupo que es cerrado bajo la operacion del

semigrupo se denomina un subsemigrupo.

Definicion 1.1.5. Un semigrupo S es llamado semigrupo cancelativo a izquierda(derecha)

si para todo a, b, c ∈ S, ca = cb implica a = b y (ac = bc implica a = b).

Definicion 1.1.6. (Elementos especiales). Sea S un semigrupo. Se dira que:

e ∈ S es idempotente, si e2 = e.

1 ∈ S es la identidad, si 1s = s1 = s, para todo s ∈ S.

0 ∈ S es un cero, si 0s = s0 = 0, para todo s ∈ S.

Observacion 1.1.1. Claramente la existencia de identidad o cero implica su correspondiente

unicidad.

Para lo que sigue, en este trabajo se empleara la siguiente notacion. Si S es un semigrupo,

E(S) = {e ∈ S : e2 = e}(el conjunto de idempotentes de S).

Definicion 1.1.7. Si X, Y ⊆ S son subconjuntos de S, se define el producto de X y Y por

XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }.

Observacion 1.1.2. Sea e idempotente de S1, el conjunto eSe = {ese ∈ S : s ∈ S} es un

monoide cuya identidad es e ya que si x ∈ eSe existe un s ∈ S tal que x = ese y por lo

tanto se tiene, ex = xe = x, y de igual forma para y ∈ eSe ey = ye = y y por lo tanto

exy = xye = xy, es decir xy ∈ eSe. El conjunto eSe es el mayor monoide en S que tiene

”e” como identidad. Se define Se = {s ∈ eSe : ∃s′ ∈ S, s′s = ss′ = e}. Se es el mayor grupo

contenido en S y que tiene e como elemento identidad.

Definicion 1.1.8. Un morfismo de semigrupos es una aplicacion ϕ de un semigrupo S a un

semigrupo cualquiera T tal que para cualquier s1, s2 ∈ S, ϕ(s1s2) = ϕ(s1)ϕ(s2). Similarmente

un morfismo de monoides es una aplicacion ϕ de un monoide S en un monoide T que

satisface ademas ϕ(1) = 1.

Un morfismo ϕ es monomorfismo si ϕ es inyectivo, es epimorfismo si es sobreyectivo y es

isomomorfismos si es biyectivo. Para denotar si S y T son isomorfos, Se usara la notacion

S ' T .

8 1 Preliminares

Definicion 1.1.9. (Definicion Congruencias) Sea ρ ⊆ S×S una relacion de equivalencia en

un semigrupo S. Se dice que ρ es una congruencia a derecha(izquierda) si para a, b, u ∈ S,

aρb implica auρbu. (para a, b, u ∈ S, aρb implica uaρub ). Se puede ver que una relacion es

de congruencia si y solo si es una relacion estable, es decir que es de congruencia si y solo

si sρt y uρv implica (su)ρ(tv), para s, t, u, v ∈ S. Para mostrar esto si sρt y uρv entonces

suρsvρtv.

Si ρ es una congruencia en S se define la multiplicacion en S/ρ por [s]ρ[t]ρ = [st]ρ para

s, t ∈ S. Entonces S/ρ se convierte en un semigrupo el cual es llamado el ”semigrupo

factor”

1.2. Relaciones de Green

Las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia que describen los elementos de

un semigrupo por los ideales principales que genera. Su nombre es debido a James Alexan-

der Green, quien las presento en [6]. Las relaciones son fundamentales para entender una

estructura de semigrupo tal como lo menciono John Howie en [8], estas relaciones son tan

omnipresentes que cuando uno se encuentra con un nuevo semigrupo, casi siempre la prime-

ra pregunta que se hace es ¿como son sus relaciones de Green? Por supuesto, las relaciones

tambien existen en un grupo, pero no aportan mucho ya que la multiplicacion siempre es

invertible. En esta seccion se usara terminos y notaciones de [1, 7].

Definicion 1.2.1. Sea S un semigrupo e I ⊆ S conjunto de S. Entonces:

Si IS = I, se dira que I es un ideal a derecha de S.

SI = I, se dira que I es un ideal a izquierda de S.

Si SIS = I, se dira que I es un ideal de S.

Definicion 1.2.2. (Preorden de Green). Sea S un semigrupo y s, t ∈ S. Se definen los

siguientes preordenes de Green:

s ≤R t si, y solo si sS1 ⊆ tS1

s ≤L t si, y solo si S1s ⊆ S1t

s ≤J t si, y solo si S1sS1 ⊆ S1tS1

s ≤H t si, y solo si s ≤R t y s ≤L t

Observacion 1.2.1. Cada relacion es un preorden (es reflexiva y transitiva tambien llamado

un quasiorden). Para todos los cuatro preordenes de Green a ≤ b se tiene en caso que a sea

multiplo de b. Si S tiene elemento cero y elemento identidad, entonces 0 ≤ x ≤ 1 para todo

x ∈ S bajo los cuatro preordenes.

1.2 Relaciones de Green 9

Definicion 1.2.3. (Relaciones de Green). Sea S un semigrupo y s, t ∈ S. Las relaciones de

equivalencia de Green, R, L, H y J se definen por:

sRt si, y solo si sS1 = tS1.

tLs si, y solo si S1s = S1t.

sJ t si, y solo si S1sS1 = S1tS1.

sHt si, y solo si sRt y sLt.

Se denotara por Ks a la K clase (con K = R,L,J ,H) de un elemento s ∈ S.

Observacion 1.2.2. Se puede ver que R, es una relacion de equivalencia. Es reflexiva ya que

para a ∈ S aS1 = aS1; es simetrica ya que para x, y ∈ S xRy si y solo si xS1 = yS1 pero

esto se tiene si y solo si yS1 = xS1 por tanto yRx; es transitiva ya que para x, y, z ∈ S

con xRy y yRz se obtiene xS1 = yS1 y yS1 = zS1, por lo tanto xS1 = zS1. Analogamente

se puede ver que L es una relacion de equivalencia. Se puede ver que H es una relacion

de equivalencia por lo visto en la observacion 1.1.1. Para ver que J es una relacion de

equivalencia se procede de la siguiente manera. Se puede ver que es reflexiva ya que para

x ∈ S, S1xS1 = S1xS1 por lo tanto xJ x; es simetrica ya que dados a, b ∈ S aJ b si y

solo si S1aS1 = S1bS1, pero esto se tiene si y solo si S1bS1 = S1aS1. Por lo tanto, bJ a; es

transitiva ya que para a, b, c ∈ S aJ b y bJ c si y solo si S1aS1 = S1bS1 y S1bS1 = S1cS1;

esto se tiene si solo si S1aS1 = S1cS1. Por lo tanto aJ c.

Proposicion 1.2.1. Sea S un semigrupo.

(1) Si e es un idempotente de S entonces s ≤R e si y solo si es = s y s ≤L e si y solo si

se = s.

(2) Si s ≤R sxy, entonces sRsxRsxy. Si s ≤L yxs, entonces sLxsLyxs.

Demostracion. Se mostrara la prueba de solamente la primera parte de cada apartado, ya

que la otra parte es dual.

(1) Si s ≤R e, entonces s = eu para algun u ∈ S1. Esto se sigue que es = e(eu) = (ee)u =

eu = s. Inversamente, si es = s, entonces s ≤R e por definicion 1.2.2.

(2) Si s ≤R sxy, entonces s ≤R sx ≤R sxy ≤R s, de donde sRsxRsxy.

La primera parte de la proposicion 1.2.1 se puede extender al preorden ≤H .

Corolario 1.2.1. Sean S un semigrupo y s ∈ S y e un idempotente de S. Entonces s ≤H esi y solo si es = s = se.

10 1 Preliminares

Observacion 1.2.3. La restriccion del preorden ≤H a E(S) es un orden, llamado el orden

natural y sera denotado por ≤ .

Corolario 1.2.2. Dado S un semigrupo y e, f idempotentes de S. Las siguientes condiciones

son equivalentes:

(1) e ≤ f,

(2) ef = e = fe,

(3) fef = e,

Demostracion. (1) =⇒ (2). Si e ≤ f entonces usando el corolario 1.2.1 se obtiene ef = e =

fe. (2) =⇒ (3). Si ef = e = fe entonces fef = ffe = fe = e. (3) =⇒ (1) Se usa el hecho

que e es multiplo de f y por lo visto en la observacion 1.2.1. se llega a que e ≤ f.

Observacion 1.2.4. De lo anterior se puede concluir que dado un semigrupo S si existe dos

idempotentes eHf se puede ver que e ≤H f y e ≥H f entonces e = fe = ef = f . De este

modo cada H− clase tiene un unico idempotente.

Ejemplo 1.2.1. Sea S un semigrupo generado por 4 idempotentes, e, f, g, h, como se muestra

a continuacion. Cuando todos lo elementos de un semigrupos son idempotentes al semigrupo

se le suele llamar una banda. Note que las L-clases son las siguientes (corresponden a aquellas

e f g h

e e e g g

f f f h h

g e e g g

h f f h h

columnas con los mismos elementos):

[e] = {e, f} [g] = {g, h}

Por otro lado, las R−clases son las siguientes (corresponden a aquellas filas que tienen los

mismos elementos):

[e] = {e, g} [f ] = {f, h}

Ası, las H−clases, que son la interseccion de las anteriores es:

[e] = {e} [f ] = {f} [g] = {g} [h] = {h}

Por ultimo, observando la tabla se puede ver que solo se tiene una J−clase:


S1xS1 = S, ∀x ∈ S.

Ası, se ve que en general cada relacion de equivalencia es diferente.

Proposicion 1.2.2. En un semigrupo S, las relaciones ≤R i ≤L conmmutan. Consecuen-

temente lo hacen RiL.

Demostracion. Sea x, y ∈ S tales que x (≤R ◦ ≤L) y.

Supongase que x ≤R z y z ≤L y, entonces,

x = zv, z = uy ⇒ x = uyv ≤L yv ≤R y.

por tanto, x (≤R ◦ ≤L) y.

Ası, se tiene que (≤R ◦ ≤L) ⊆ (≤L ◦ ≤R) y analogamente se tiene para la otra inclusion.

por tanto, ≤L i ≤R conmutan.

Observacion 1.2.5. Para ver que R y L conmutan es decir s(R◦L)t = s(L◦R)t; se procede

de la siguiente manera: Dados a, b ∈ S tales que aR ◦ Lb entonces por la definicion de

composicion de relaciones existe un c ∈ S tal que aRc y cLb entonces como R,L son

relaciones de equivalencias, ambas son reflexivas y por lo tanto, c = a o c = b, de donde

aLaRb y ası R ◦ L ⊆ L ◦ R. La otra contenencia se puede mostrar de manera analoga.

Definicion 1.2.4. Sea S un semigrupo. Se dice que s, t ∈ S estan D − relacionados si

s(R ◦ L)t = s(L ◦ R)t

Observacion 1.2.6. Definiendo D como anteriormente. Entonces D es reflexiva, simetrica (ya

que L y R conmutan).

Corolario 1.2.3. Dadas las relaciones de Green en un semigrupo S

H = R∩ L ⊆ L,R ⊆ D ⊆ J

Demostracion. Para probar que H ⊂ D, se puede ver que si xHy entonces xRy y xLy. De

donde

xLxRy

y de igual forma,

xRyLy,

por lo tanto xDy.Para ver que D ∈ J , si sLzRt; entonces:

s = uz, z = tv ⇒ s = utv

y analogamente, t = u′sv′, por tanto, S1sS1 = S1tS1.

Observacion 1.2.7. Si S es finito D = J .

12 1 Preliminares

Debido a que no hay un preorden en D, S/D no es un conjunto parcialmente ordenado. En

particular, cada D−clase es una union de L−clases, y una union de R−clases. Ademas, la

definicion de D muestra que una L−clase y una R−clase se intersectan si y solo si ellas estan

contenidas en alguna D−clase. Esta relacion entre L,R, y D puede ser visualizada por la

imagen caja de huevos de una D−clase

· · ·· · ·

......

.... . .

En el que la caja de imagenes de una D−clase D, las filas de la imagen son las R−clases

contenidas en D, las columnas de la imagen son las L−clases contenidas en D, y las celdas

de la imagen son las H−clases contenidas en D. Esta representacion se puede generalizar a

J − clases como se ve en la figura 1-1.

Figura 1-1: Representacion de las relaciones de Green

Ejemplo 1.2.2. En general, si S no es finito, no se tiene la igualdad de la Observacion 1.2.7

ya que por ejemplo al considerar el semigrupo infinito:

S =

{ (a 0

b 1

): a, b ∈ Q+

}con la multiplicacion usual de matrices se puede ver que en primer lugar, las R,L−clases se

reducen a un unico elemento. En efecto sea:

A =

(a 0

b 1

), C =

(c 0

d 1

)tales que existe:


(p 0

q 1

),

de manera que: (p 0

q 1

)(a 0

b 1

)=

(pa 0

qa+ b 1

)=

(c 0

d 1

).

Entonces, se infiere que p = ca−1 y q = (d− b)a−1; con lo que queda, d > b.

Ası, se concluye que si C ≤L A, se ha de cumplir que d > b y analogamente, si A ≤L C,se tiene como condicion que b > d, con lo que no es posible tener estos dos requisitos; por

tanto, no pueden estar L − relacionados A y C. Con un razonamiento similar, se concluye

que A y C no estan R− relacionados y por tanto, se concluye lo siguiente:

∀A ∈ S, [A]R = [A]L = {A}

Ası, la matriz que se obtiene para H = R∩ L y para D = R ◦ L es [A]H = [A]D = {A}.No obstante, se puede ver que solo tiene una J−clase igual a todo S; es decir,

∀A ∈ S, S1AS1.

Sean:

A =

(a 0

b 1

), C =

(c 0

d 1

).

Entonces, se puede escribir:(a 0

b 1

)=

(l 0

1 1

)(c 0

d 1

)(r 0

s 1

)=

(lrc 0

r(c+ d) + s 1

).

En S es tal que b− s > 0 ya que si r = (b− s)(c+ d)−1, r debe pertenecer a Q+ por la forma

en como esta definido S. Ademas, c, d ∈ Q+ por tanto, (c + d) ∈ Q+. Si l = a(cr)−1 se ve

efectivamente que todos los elementos de S estan J − relacionados. Ası, se ha mostrado un

ejemplo de un semigrupo S no finito, en donde D y J no coinciden.

A continuacion se mostrara que la multiplicacion por un elemento adecuado induce a una

biyeccion entre R,L, y H−clases. Esta es la principal propiedad de las relaciones de Green.

Lema 1.2.1. (Lema de Green) Sea S un semigrupo. Entonces:

1 Si sLt y u, v ∈ S1 tal que us = t, vt = s existen las aplicaciones

ϕ : Rs −→ Rt, ψ : Rt −→ Rs

definidas por ϕ(x) = ux y ψ(y) = vy, que son biyecciones una inversa de la otra.

Ademas, si x, x′ ∈ Rs y xHx′ entonces ϕ(x)Hϕ(x′).

14 1 Preliminares

2 Si sRt y u, v ∈ S1 tal que su = t, tv = s. Existen las aplicaciones

ϕ : Ls −→ Lt ψ : Lt −→ Ls

definidas por ϕ(x) = xu y ψ(y) = yv, que son biyecciones una inversa de la otra.

ademas, si x, x′ ∈ Ls y xHx′ se puede obtener ϕ(x)Hϕ(x′).

3 Si sLrRt y u, v, w, z ∈ S1son tales que us = r, vr = s, rw = t y tz = r, existen las

aplicaciones

ϕ : Hs −→ Ht ψ : Ht −→ Hs

definida por ϕ(x) = uxw y ψ(y) = vyz, que son biyecciones una inversa de la otra.

Demostracion. Se probara solo 1, ya que 2 es dual y 3 se sigue directamente de 1 y 2. Sea

x ∈ Rs. Claramente, se tiene que uxS = usS (ya que ambos x y s pertenecen a una misma

R − clase que a la vez es una relacion de congruencia) es decir, uxRus = t; por tanto,

ϕ(x) = ux ∈ Rt esta bien definida. Similarmente, ψ esta bien definida. Para este caso, se

puede ver que ψ ◦ ϕ = 1Rs , ya que si x ∈ Rs entonces x = sz para algun z ∈ S1; ası

(ψ ◦ϕ)(x) = ψ(ux) = vux = vusz = vtz = sz = x. Para el otro caso, analogamente se puede

tener que ϕ ◦ ψ = 1Rt , quedando probada la parte de las biyecciones. Ahora, supongase que

x, x′ ∈ Rs y xHx′. Entonces, existen z, z′ ∈ S1 tales que zx = x′ y z′x′ = x (ya que en

particular, estan L − relacionados ). De donde se obtiene

(uzv)ux = uz(ψ ◦ϕ)(x) = uzx = ux′ Igualmente (uz′v)ux′ = uz′(ψ ◦ϕ)(x′) = uz′x′ = ux.

por lo tanto

ϕ(x) = uxLux′ = ϕ(x′)

Pero, por definicion ϕ(x), ϕ(x′) ∈ Rt; ası se llega a que ϕ(x)Hϕ(x′), como se querıa probar.

Lema 1.2.2. Para una H-clase H de un semigrupo S las siguientes afirmaciones son equi-

valentes:

(1) ab ∈ H para algunos a, b ∈ H;

(2) H contiene un idempotente;

(3) H es un subsemigrupo de S;

(4) H es un subgrupo de S.

1.3 Semigrupos Inversos 15

Demostracion. Ya que (4) ⇒ (3) ⇒ (1) y (4) ⇒ (2) ⇒ (1) solo es necesario mostrar que

(1) implica (4). Asumase que a, b ∈ H, ab ∈ H. Entonces abLb y por el Lema de Green

implica que x 7−→ ax es una biyeccion de Hb = H sobre Hab = H. Por lo tanto aH = H una

biyeccion entre dos conjuntos crea una equivalencia. Para cualquier c ∈ H se tiene ahora

acRc, y dualmente por el Lema de Green implica que x 7−→ xc es una biyeccion de Ha = H

sobre Hac = H. Por lo tanto Hc = H para todo c ∈ H y ademas se puede ver que H es

un subsemigrupo de S. Para mostrar esto si x 7−→ xc y x 7−→ cx son permutaciones de H

para cualquier c ∈ H. Esto implica facilmente que H es un grupo. Primero a = ea ası que

ee = e. Para todo x ∈ H; se puede ver que ex = xe = x. Ya que x 7−→ xc y y 7−→ cy son

permutaciones de H para cualquier c ∈ H tiene una inversa a izquierda xc = e e inversa a

derecha cy = e. Entonces x = xe = xcy = ey = y y cualquier c ∈ H tiene una misma inversa

de dos lados.

Observacion 1.2.8. Sea e ∈ S, se puede notar que teniendo definitivamente Se como el

subgrupo maximal de S que tiene a e como elemento identidad se llega a que por definicion

de H−clase es claro que Se ⊆ He ya que si s ∈ Se, se = es = s y ademas existe s′ tal que

ss′ = s′s = e, entonces He = Se; es decir la H−clase del idempotente e, He, es el subgrupo

maximal de S que tiene a e como identidad.

1.3. Semigrupos Inversos

Si por ejemplo a pertenece a un subgrupo G de S, entonces su elemento inverso b = a−1

en G satisface aba = a y bab = a y es un (semigrupo) inverso de a ∈ S. El concepto

general de inversos fue introducido independientemente en [17, 15]. Ambos autores llegaron

a los semigrupos inversos mediante el estudio de transformaciones parciales uno a uno de un

conjunto. Una transformacion parcial α de un conjunto X es una funcion de A a B, donde

A y B son subconjuntos de X. α y β pueden ser compuestos (de izquierda a derecha) en el

dominio mas grande sobre el cual tiene sentido componerlos:

dom αβ = [ im α ∩ dom β ]α−1

Donde α−1 denota la preimagen bajo α. Las transformaciones parciales ya habıan sido es-

tudiadas en el contexto de pseudogrupos. Sin embargo, Wagner fue el primero que observo

que la composicion de las transformaciones parciales es un caso especial de la composicion

de las relaciones binarias. Reconocio tambien que el dominio de la composicion de dos trans-

formaciones parciales puede ser el conjunto vacıo, por lo que introdujo una transformacion

vacıa para tener en cuenta esto. Con la adicion de esta transformacion vacıa, la composi-

cion de las transformaciones parciales de un conjunto se convierte en una operacion binaria

asociativa definida en todas partes. Bajo esta composicion, la recopilacion IX de todas las

transformaciones uno a uno parciales de un conjunto X forma un semigrupo inverso, llamado

16 1 Preliminares

inverso simetrico. Su relacion con las relaciones de Green fue explorada en [12] obteniendo

los principales resultados en esta seccion.

Definicion 1.3.1. Dos elementos s, s′ de un semigrupo son inversos si ss′s = s y s′ss′ = s′.

El conjunto de todos los inversos de s ∈ S sera denotado por V (s).

Definicion 1.3.2. Un semigrupo S es llamado inverso si cada elemento x ∈ S tiene preci-

samente un unico inverso y ∈ S.

Ejemplo 1.3.1. Para cualquier conjunto X, sea IX el conjunto de todas las biyecciones

parciales en X, es decir biyecciones entre subconjuntos de X bajo la composicion de funciones

parciales forma un monoide inverso. Para mostrar esto primero se puede ver que es un

semigrupo ya que si f, g ∈ IX entonces se puede ver que fg sigue siendo una funcion parcial

uno ya que sin importar si su imagen es vacıa se puede considerar la funcion vacıa y tambien

se puede ver que la composicion parcial de funciones uno a uno es una funcion uno a uno. Para

ver esto si f(x) = f(y) implica x = y y g(s) = g(t) implica s = t para x, y, s, t ∈ X. Entonces

f(g(s)) = f(g(t)) implica g(s) = g(t) y esto implica s = t. Para ver que es asociativo, dado

h ∈ IX

(f(gh))(x) = f((gh)(x))

= f(g(h(x)))

= (fg)(h(x))

= ((fg)h)(x).

Si se considera la funcion identidad 1X como elemento unidad, se puede ver que IX es un

monoide. Para ver que es inverso se mostrara que f = fgf y g = gfg si y solo si g = f−1.

Primero supongase que f = fgf y g = gfg. Sea y ∈ dom(g) y poniendo x = g(y) entonces

x = (gfg)(y) ası que x = g(f(x)) pero g es una biyeccion parcial, de este modo, y = f(x).

Por lo tanto x = f−1(y), lo cual resulta g ⊆ f−1. Ahora sea y ∈ dom(f−1) y poniendo

x = f−1(y), se tiene que f(x) = y. Entonces (fgf)(x) = y ası que f(g(y)) = y. Pero f es

una biyeccion parcial entonces g(y) = x, de lo cual se obtiene f−1 ⊆ g. Consecuentemente

se ha mostrado que f−1 = g. La inversa es trivial.

Definicion 1.3.3. Es comun el denotar en un semigrupo inverso S, el inverso de a ∈ S por

a′.

Proposicion 1.3.1. En un semigrupo inverso S, todo los idempotentes conmutan.

Demostracion. Dados e, f ∈ S idempotentes. Si x = (ef)′ el inverso de ef . Considere el

elemento fxe; este es idempotente ya que

(fxe)2 = f(xefx)e = fxe.

y este es inverso de ef ya que


fxe(ef)fxe = (fxe)2 = fxe y ef(fxe)ef = (ef)x(ef) = ef.

Se mostrara que ef = fe. Por lo mostrado arriba f(ef)′e es un idempotente inverso de

ef ası que (ef)′ = f(ef)′e por unicidad de inverso. De esto se llega a que (ef)′ es un

idempotente. Cualquier idempotente es auto invertible y por otro lado (ef)′ es inverso de

ef por lo tanto (ef)′ = ef de la unicidad de inversos. De donde ef es un idempotente. Se

ha mostrado que el conjunto de los idempotentes es cerrado bajo la multiplicacion. De esto

se sigue que fe es tambien un idempotente. Pero (ef)fe(ef) = effeef = (ef)(ef) = ef y

(fe)ef(fe) = feeffe = (fe)(fe) = fe ya que ef y fe son idempotentes. Ası ef y fe son

inversos de ef . De donde ef = fe.

Proposicion 1.3.2. Sea S un semigrupo inverso; si a, b ∈ S son tales que a′, b′ ∈ S son

inversos de a y b respectivamente. Entonces (ab)′ = b′a′.

Demostracion. Sea a = aa′a; a′ = a′aa′; b = bb′b b′ = b′bb′. Por lo tanto, a′a, aa′, bb′, b′b

son idempotentes y de la proposicion anterior, estos conmutan; ası

(ab)(b′a′)(ab) = a(bb′)(a′a)b

= a(a′a)(bb′)b

= ab.

y tambien

(b′a′)(ab)(b′a′) = b′(a′a)(bb′)a′

= b′(bb′)(a′a)a′

= (b′bb′)(a′aa′)

= b′a′.

De esta manera b′a′ es un inverso de ab y por la unicidad del inverso (ab)′ = b′a′.

Si x es un elemento de un semigrupo este podrıa tener varios inversos como se puede ver a

continuacion.

Ejemplo 1.3.2. 2 (El semigrupo de transformacion T3) El semigrupo de transformacion

T3, consiste de las seis permutaciones representadas en la figura 1-2 junto con las 21 no

invertibles aplicaciones de la Figura 1-3. (Las aplicaciones estan dispuestas en un diagrama

de caja de huevo; en la misma fila o columna de una caja tienen el mismo dominio o imagen

respectivamente). Sea

x = ( 1 2 31 1 1 ), y = ( 1 2 3

2 2 2 ), z = ( 1 2 33 3 3 ).

xyx = ( 1 2 31 1 1 ) ( 1 2 3

2 2 2 ) ( 1 2 31 1 1 ) = ( 1 2 3

1 1 1 ) = x,

yxy = ( 1 2 32 2 2 ) ( 1 2 3

1 1 1 ) ( 1 2 32 2 2 ) = ( 1 2 3

2 2 2 ) = y.

xzx = ( 1 2 31 1 1 ) ( 1 2 3

3 3 3 ) ( 1 2 31 1 1 ) = ( 1 2 3

1 1 1 ) = x,

zxz = ( 1 2 33 3 3 ) ( 1 2 3

1 1 1 ) ( 1 2 33 3 3 ) = ( 1 2 3

1 1 1 ) = z.

18 1 Preliminares

Figura 1-2: Los elementos de S3.

Figura 1-3: Los elementos restantes de T3.

Ası x tiene al menos dos inversos y y z.

Segun [7] en un semigrupo, el numero y la localizacion de los inversos de a esta determinada

por la localizacion de los idempotentes en la D − clase de a.

Proposicion 1.3.3. Hb contiene un inverso de a, sı y solo si Hb ⊆ Da y Ra ∩Lb, Rb ∩Laambos contienen idempotentes. Entonces Hb contiene exactamente un inverso de a.

Demostracion. Si b ∈ V (a), entonces aba = a, bab = b se puede ver de inmediato que

ab ∈ Ra∩Lb y ba ∈ Rb∩La, en particular b ∈ Da ya que b = babRbaLa. Tambien abab = ab

y baba = ba, ası que ab y ba son idempotentes.

Si c ∈ Hb es otro inverso de a, entonces de igual forma c ∈ Da de donde Hc ⊆ Da; tambien

ac y ca son idempotentes, ac ∈ Ra ∩ Lc = Ra ∩ Lb, y ca ∈ Rc ∩ La = Rb ∩ La. Por lo tanto

ac = ab y ca = ba, ya que, por la observacion 1.2.4 una H − clase no puede contener mas

que un idempotente.

Inversamente asumase que Hb ⊆ Da y que existen idempotentes e ∈ Ra ∩Lb y f ∈ Rb ∩La.Ası a, b, e y f estan localizados en la imagen caja de huevos de Da como se sigue:


a e

f b

De f ∈ La se obtiene f = ra y a = xf para algun r, x ∈ S1, ası que a = xf = xff = af ;

similarmente para e ∈ Ra e = as y a = ea, para algun s ∈ S1. Por el Lema de Green,

a : Rb −→ Ra; x 7−→ ax y r : Ra −→ Rb, y 7−→ ry son mutuamente inversas, preservando

biyecciones en L−clases; dualmente, a : Lb −→ La, x 7−→ xa y s : La −→ Lb, y 7−→ ys son

mutuamente inversas que preservan biyeccion enR−clases. Sea c = fs = ras = re. Entonces

c ∈ Rf ∩ Lc = Rb ∩ La. Tambien ac = are = are = e, ca = fsa = fsa = f, aca = ea = a, y

cac = fc = ffs = fs = c, ası que c ∈ V (a).

Se puede deducir facilmente de lo anterior que Hb y el subgrupo maximal contenido en la

misma D − clase son isomorfos.

Un elemento a de S es regular(von Neuman regular) si satisface las condiciones equivalentes

de abajo.

Lema 1.3.1. Para un elemento a de un semigrupo S lo siguiente es equivalente:

(1) a tiene un inverso.

(2) axa = a para algun x ∈ S.

(3) Ra contiene un idempotente.

(4) La contiene un idempotente.

Demostracion. Si axa = a, entonces axaxa = axa = a, xaxaxax = xax, y xax ∈ V (a). Ası

(2) implica (1). Por la proposcion 1.3.3 (1) implica (3) y (4). Si Ra contiene un idempotente

e, entonces e = au, a = ev para algun u, v ∈ S1; por otro lado a = ea, y x = ue satisfacen

axa = auea = eea = a, ası (3) implica (2). Dualmente (4) implica (2).

A continuacion se mostrara que en un semigrupo, el numero y la localizacion de inversos de

a viene determinada por la localizacion de los idempotentes en la D−clase de a

Corolario 1.3.1. Si una D−clase D contiene un elemento regular, entonces cualquier ele-

mento de D es regular y cualquier L−clase ( R-clase) contenida en D contiene un idempo-

tente.

Demostracion. Sea a ∈ D regular. Por la proposicion 1.3.3 Ra contiene un idempotente; si

se toma un elemento b ∈ Ra se puede ver que b = au y a = bv para u, v ∈ S1, entonces

como a es regular a = axa para x ∈ S1 ası bvxb = axb = axau = au = b de modo que b es

regular y ası cualquier elemento de Ra es regular. De igual manera de puede demostrar que

cualquier elemento de La es regular. Ahora si se toma un elemento r ∈ D se debe tener que

20 1 Preliminares

rRtLa para algun t ∈ S1; usando lo que se ha mostrado se puede llegar a que t es regular

y de esto se obtiene inmediatamente que r es regular, entonces cualquier elemento de D es

regular. Para ver que cualquier R−clase de D contiene un idempotente se toma un elemento

s ∈ D, este por supuesto debe ser regular s = srs para algun r ∈ S1 entonces srsr = sr y

ademas srRs (ya que (sr)s = s y sr = s(rsr), por lo tanto tanto Rs tiene un idempotente

para cualquier s ∈ S1. Analogamente se puede mostrar que Ls tiene un idempotente para

cualquier s ∈ S1.

Observacion 1.3.1. El conjunto de los elementos regulares de un semigrupo es denotado por

Reg(S). Ya que un idempotentes es su propio inverso, E(S) es un subconjunto de Reg(S).

1.4. Matrices de Rees

Los semigrupos de matriz Rees son una clase especial de semigrupo introducida por David

Rees en [16]. Son de fundamental importancia en la teorıa semigrupos porque se utilizan

para clasificar ciertas clases de semigrupos simples.

Definicion 1.4.1. Sean A,B dos conjuntos finitos no vacıos y sea G◦ un grupo con cero.

Una matriz de Rees C, es una aplicacion

C : B × A −→ G◦.

donde G◦ denota el grupo con cero 0 a partir del grupo G

Se denotara por C(b, a) el valor de C en (b, a) ∈ B × A.

Definicion 1.4.2. Se dice que una matriz de Rees es regular si no tiene cada fila o columna

nula. Es decir para cada a0, b0 existen b, a respectivamente tales que C(b, a0) 6= 0 6= C(b0, a)

Observacion 1.4.1. Sea g ∈ G, a0 ∈ A y b0 ∈ B, se denotara ga0b0 la matriz de Rees tal que

ga0b0(b, a) = 0 si (b, a) 6= (b0, a0) y ga0b0(b0, a0) = g.

Definicion 1.4.3. Sea G un grupo y sea C : B×A −→ G◦ una matriz de Rees. Se denomina

un semigrupo asociado a una matriz de Rees C sobre un grupo G al conjunto:

M◦(G,A,B,C) = {ga0b0 : g ∈ G◦, a0 ∈ A, b0 ∈ B}.

Este semigrupo opera bajo una multiplicacion de la siguiente forma.

ga0b0g′a′0b′0

= (gC(b0, a′0)g′)a0b′0

Observacion 1.4.2. La asociatividad es clara ya que:

1.4 Matrices de Rees 21

(ga0b0g′a′0b′0)g′′a′′0 b′′0 = (gC(b0, a

′0)g′)a0b′0g

′′a′′0 b′′0

= ((gC(b0, a′0)g′)C(b0, a

′0)g′′)a0b′′0

= (gC(b0, a′0)(g′C(b0, a

′0)g′′))a0b′′0

= ga0b0(g′C(b0, a

′0)g′′)a′0b′′0

= ga0b0(g′a′0b′0g′′a′′0 b′′0 )

por tanto, se tiene la igualdad y se conserva la propiedad asociativa en G◦

Por otro lado, se puede ver que los idempotentes no nulos de M◦(G,A,B,C) tienen una

forma muy caracterıstica, ya que si gab es un idempotente no nulo entonces:

gabgab = gab ⇐⇒ (gC(b, a)g)ab = gab ⇐⇒ g = (C(b, a))−1

y si gab 6= 0, es idempotente no nulo, entonces C(b, a) 6= 0. por tanto, los idempotentes, no

nulos vienen determinados por aquello (b, a) tales que C(b, a) 6= 0. es decir E(M◦) = {gab ∈S : C(b, a) 6= 0}

Ejemplo 1.4.1. (Semigrupos 0-bandas Rectangulares) Sea A = {1, . . . ,m}, B = {1, . . . , n},C = gab una matriz regular B × A sobre {0, 1}, S = (B × A) ∪ {0} un semigrupo con

multiplicacion

(b, a)(b′, a′) =

{(b, a′) si gab′ = 1

0 e.o.c, (b, a)0 = 0(b, a) = 0.

De este modo se puede ver que S = M◦(G◦, A,B,C). Un caso particular de este ejemplo

es al tomar P = ( 0 11 0 ). Si se toma al conjunto S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} al operar sus

22 1 Preliminares

elementos

(1, 1)(1, 1) = 0 ya que g11 = 0

(1, 1)(1, 2) = 0 ya que g11 = 0

(1, 1)(2, 1) = (1, 1) ya que g12 = 1

(1, 1)(2, 2) = (1, 2) ya que g12 = 1

(1, 2)(1, 1) = (1, 1) ya que g21 = 1

(1, 2)(1, 2) = (1, 2) ya que g21 = 1

(1, 2)(2, 1) = 0 ya que g22 = 0

(1, 2)(2, 2) = 0 ya que g22 = 0

(2, 1)(1, 1) = 0 ya que g11 = 0

(2, 1)(1, 2) = 0 ya que g11 = 0

(2, 1)(2, 1) = (2, 1) ya que g12 = 1

(2, 1)(2, 2) = (2, 2) ya que g12 = 1

(2, 2)(1, 1) = (2, 1) ya que g21 = 1

(2, 2)(1, 2) = (2, 2) ya que g21 = 1

(2, 2)(2, 1) = (2, 1) ya que g21 = 1

(2, 2)(2, 2) = 0 ya que g22 = 0

El conjunto S forma un semigrupo asociado a la matriz de Rees P

CAPITULO 2

Los PLARI- semigrupos

En este capıtulo se dara a conocer una teorıa sobre la cual se desenvuelven los semigrupos

mediante los ”s-sistemas”. Este concepto es analogo a lo que son las acciones en los grupos

y los modulos en los anillos. Se mostraran sus morfismos y el producto tensorial definido en

este tipo de conjunto. Esto es necesario ya que mas adelante se utilizaran en las extensiones

de las relaciones de Green y tambien en la construccion de las matrices de Rees en bloque,

las cuales seran fundamentales para el teorema de la estructura de los PLARI-semigrupos.

Se usara la terminologıa y se tomaran definiciones de [3, 4, 5, 8, 9, 10, 18].

2.1. S-sistemas

Definicion 2.1.1. Si M es un conjunto y S1 es un semigrupo con identidad 1, se dice que

M es un S− sistema a derecha si existe una aplicacion Ψ : M ×S1 −→M con la propiedad

((x, s)Ψ, t)Ψ = (x, st)Ψ y (x, 1)Ψ = x (x ∈M, s, t ∈ S).

Igualmente, M es un S − sistema a izquierda si existe una aplicacion producto Φ : S1 ×M −→M tal que

(t, (s, x)Φ)Φ = (ts, x)Φ y (1, x)Φ = x (x ∈M, s, t ∈ S).

En aras de la brevedad, se va a escribir xs en lugar de (x, s)Ψ y sx en lugar de (s, x)Φ. De

esto se puede ver que los S − sistemas son representaciones de monoides por funciones de

conjuntos.

Definicion 2.1.2. Si S1 y T 1 son semigrupos con identidad se dice que M es un (S, T ) −bisistema si es un S − sistema a derecha, un T − sistema a izquierda y si, para todo

s ∈ S, t ∈ T y x ∈M,

(sx)t = s(xt).

24 2 Los PLARI- semigrupos

Estas definiciones son por supuesto de cerca el analogo a las definiciones de los modulos a

derecha,(izquierda) y los modulos bimodulos. En [2] (capıtulo 11) se usa el termino “operando

” en lugar de sistema y en [10] se usa el termino “S − acto.en vez de S − sistema.

Ejemplo 2.1.1. Si se toma cualquier monoide S1. Sea K un ideal a derecha de S si ks ∈ Kpara cualquier k ∈ K y s, t ∈ S1 se puede usar la asociatividad en S y ver que (ks)t = k(st)

de esta manera se concluye que K es un S− sistema a derecha. En particular sS1 y S1s son

S − sistemas a izquierda y a derecha respectivamente y sSs es un (S, S)− bisistema. si R

es un submonoide de S entonces RSR es un (R,R)− bisistema

Ejemplo 2.1.2. Sea X un (S, U)−bisistema, Y un (U, T )−bisistema. Entonces si se define

la operacion producto en X×Y como s(x, y) = (sx, y) para s ∈ S1, (x, y) ∈ X×Y ) y (x, y)t =

(x, yt) tal que (s1s2)(x, y) = s1(s2x, y), 1S(x, y) = (x, y), (x, y)(t1t2) = (x, yt1)t2, (x, y)1T =

(x, y), para todo s, s1, s2 ∈ S1 y t, t1, t2 ∈ T , de este modo se puede ver que X × Y tiene

estructura de un (S, T )− bisistema.

Definicion 2.1.3. Dado M un S-sistema a derecha (izquierda) y ρ una relacion de con-

gruencia en M . Se define la multiplicacion por un elemento de S1 en el cociente M/ρ =

{[a]ρ : a ∈ A} por

[a]ρs = [as]ρ

Tal que [a]ρ(s1s2) = [as1]ρs2 y [a]ρ1 = [a]ρ. De esta manera M/ρ se convierte en un S −sistema a derecha(izquierda). Llamado S − sistema cociente a derecha(izquieda) de M por

la congruencia ρ.

Definicion 2.1.4. Si P y Q son S − sistemas a derecha, Una funcion f : P −→ Q es un

S − homomorfismo a derecha de S − sistemas si para cualquier x ∈ P y cualquier s ∈ S1

f(xs) = f(x)s.

Una similar definicion de S − homomorfismos es aplicada a los S − sistemas a izquierday a los (S, T )− sistemas como (S,T)-homomorfismos.

Lema 2.1.1. (1) La composicion fg de S − homomorfismos de S − sistemas a dere-

cha(izquierda) f : M → N, g : N → R es un S−homomorfismo a derecha(izquierda).

(2) La funcion inversa de un S − homomorfismo a derecha(izquierda) biyectivo es un

S − homorfismo a derecha(izquierda).

Demostracion. (1) Sea h = fg, x ∈M, s ∈ S1 entonces

h(xs) = (fg)(xs) = f(g(xs)) = f(g(x)s)

= f(g(x))s = (fg)(x)s = h(x)s

2.1 S-sistemas 25

(2) Sea f : M → N un homomorfimo biyectivo de S − sistemas. Si para cualquier y ∈N, s ∈ S1

f(f−1(ys)) = ys = f(f−1(y))s = f(f−1(y)s)

y como f es inyectiva se obtiene que f−1(ys) = f−1(y)s de donde f−1 es un S −homomorfismo a derecha.

Teorema 2.1.1. (Teorema de S − Homomorfismos de S-sistemas a derecha(izquierda)).

Sean M,N S−sistemas a derecha, f : M → N un S−homomorfismo a derecha y ρ =kerf .

Entonces f ′ : M/ρ→ N donde f ′([x]ρ) = f(x), x ∈M, es un S − homomorfismo a derecha

tal que el siguiente diagrama

Mf //

πρ

��

N

M/ρ

f ′

==

es conmutativo si f es sobreyectivo, es decir f ′πρ = f, donde πρ denota la proyeccion canonica

f bajo ρ.

Demostracion. Se define f ′ : M/ρ → N por f ′([x]ρ) = f(x) para todo x ∈ M. Supongase

[x]ρ = [x′]ρ para x, x′ ∈ M. Entonces (x, x′) ∈ ρ y ası f(x) = f(x′). por lo tanto,, f ′([x]ρ) =

f(x) = f(x′) = f([x′]ρ) ası f ′ esta bien definida.

Para ver que f ′ es un S − homomorfismo a derecha se procede usando la definicion del

producto de S − sistema cociente a derecha de la siguiente manera

f ′([x]ρs) = f ′([xs]ρ)

= f(xs)

= f(x)s

= f ′([x]ρ)s.

Para ver que f ′ es inyectiva supongase que f ′([x]ρ) = f ′([x′]ρ). Entonces f(x) = f(x′), por lo

tanto, (x, x′) ∈ kerf. De donde [x]ρ = [x′]ρ, ası f ′ es inyectiva. La sobreyectividad se puede

obtener trivialmente; si f es sobreyectiva entonces para todo x ∈ M existe un y ∈ N tal

que f(x) = y, pero f(x) = f ′([x]ρ) = y. Por lo tanto, tambien se cumple que para todo

w = [x]ρ ∈ As/ρ existe un y ∈ N tal que f ′(w) = y. Ası, f ′ es sobreyectivo.

Definicion 2.1.5. Si X, Y son (S, T ) − sistemas entonces, f : X −→ Y es un (S, T ) −homomorfismo si β es una S − homomorfismo a izquierda y una T − homomorfismo a

derecha).


Definicion 2.1.6. Si X es un (S, U)− sistema, Y un (U, T )− sistema y Z es un (S, T )−sistema entonces, β : X×Y −→ Z es un U−bihomomorfismo si es un (S, T )−homorfismoy ademas β(xu, y) = β(x, uy) para x ∈ X, y ∈ Y, u ∈ U .

Analogamente se puede cumplir el teorema 2.1.1 para (S, T ) − homomorfismos e incluso

para U − bihomorfsimos

La menor relacion de equivalencia en cualquier conjunto Z es la que contiene todos los

pares (z, z) para z ∈ Z. Tiene que ser aquella que es reflexivas y cualquier otra relacion de

equivalencia debe contenerla. La relacion de equivalencia mas grande es el conjunto de todos

los pares (z1, z2) ∈ Z2. Un ejemplo de dicha relacion usado para definir el producto tensorial

en S − sistemas descrito en [9].

Para definir el producto tensorial de M y N (S, S)− sistemas, se parte de lo enunciado en

el teorema 2.1.1 pero en este caso para S − bihomomorfismos.

Definicion 2.1.7. Dados M,N (S, S)− bisistemas tal que M×N es un (S, S)− bisistema.

Sea ρ la menor relacion de equivalencia en M ×N que identifica todas las parejas

((xs, y), (x, sy)) ∈ (M ×N)2, x ∈M, s ∈ S1, y ∈ N .

Si πρ : M×N −→ (M×N)/ρ y f : M×N −→ (M×N)2 son dos S−bihomomorfismos con

ρ =kerf donde f es sobreyectivo. Entonces por el teorema 2.1.1 existe un S−bihomomorfismobiyectivo f ′ tal que el siguiente diagrama

M ×N f //

πρ

��

(M ×N)2

(M ×N)/ρ

f ′

88

es conmutativo es decir f = f ′πρ y donde πρ denota la proyeccion canonica. De esta manera

se puede definir en producto tensorial x⊗S y = f(x, y) y por ser f un S − bihomorfismo se

puede ver que

xs⊗ y = x⊗ sy Para x ∈M, y ∈ N, s ∈ S

Para x ∈M, y ∈ N, s ∈ S

Con M y N como se describen, el tensor producto M ⊗S N es simplemente un conjunto. Si

M y N tienen estructura extra, el tensor producto hereda alguna de estas. Precisamente, si

M es un (T, S)− bisistema y N es un (S, U)− bisistema entonces M ⊗S N se convierte en

un (T, U)− bisistema con

t(x⊗ y) = (tx⊗ y); (x⊗ y)u = (x⊗ yu)

para t ∈ T, u ∈ U, x⊗ y ∈M ⊗S N .

2.2 Extensiones de las Relaciones de Green 27

2.2. Extensiones de las Relaciones de Green

En esta seccion se dara una extension de las relaciones de Green usando el concepto de

los ideales principales de un semigrupo. Este concepto es inspirado de la teoria de anillos.

Recuerdese que un anillo R se dice que es principal proyectivo, notado como PP a izquier-

da(derecha) si cada ideal principal izquierdo(derecho) de R considerado como un R-modulo,

es proyectivo.

Los conceptos de PP-anillos a izquierda y PP-anillos a derecha se introdujeron por primera

vez alrededor de 1960. Naturalmente, un anillo R se dice que es PP si R es tanto PP a

izquierda como a derecha. Es sabido que la clase de PP-anillos contiene las clases de anillos

regulares, los anillo hereditarios, anillos de Baer, P-Q Anillos Baer y anillos semi-hereditarios

con sus propias subclases. La literatura de los PP-anillos ha tenido un extenso estudio por

muchos teoricos. Cabe destacar que la definicion de PP-anillos se extendio a los semigrupos,

en particular, Fountain introdujo el concepto de PP-monoides a izquierdaen el artıculo [12]

en 1977. El llamo un monoide abundante [12] si es ambos un PP-monoide a izquierda y PP-

monoide a derecha. Similar a los PP-anillos, la clase de los Semigrupos abundante contiene

la clase de los semigrupos regulares como su propia subclase. Pastijn introduce las exten-

siones de relaciones de Green en [13] las cuales se denotan por R∗,L∗,H∗,J ∗ definidas a

continuacion. Fountain [4] y [12] observo primero que dichas extensiones pueden ser aplica-

das al estudio de los PP-semigrupos a izquierda y a los semigrupos abundantes. Una serie

de documentos han indicado que las relaciones de extensiones de las relaciones de Green

son particularmente apropiadas en el estudio de semigrupos abundantes; que desempenan

exactamente el mismo papel que las relaciones habituales de Green en Semigrupos regulares.

Definicion 2.2.1. Un S−sistema P es proyectivo cuando para cualquier S−sistema M,N

y para cada S − epimorfismo g : M → N y cada S − homomorfismo h : P → N existe un

S − homomorfismo k : P →M tal que gk = h.

Definicion 2.2.2. Un ideal R de un semigrupo S es llamado principal a izquierda(derecha)

cuando R = s ∪ sS,(R = Ss ∪ s) para algun s ∈ S.

Definicion 2.2.3. Un monoide S1 es llamado principal proyectivo a izquierda(derecha)

denotado por PP a izquierda(derecha) cuando cada ideal principal a izquierda(derecha) de

S1 es proyectivo.

Definicion 2.2.4. Sea S1 un monoide con un conjunto de idempotentes E(S1) y sea e un

elemento de E(S1). Un elemento a ∈ S1 es e− cancelable a izquierda(derecha) cuando ae =

a(ea = a) y para cualquier elementos s, t ∈ S y as = at(sa = ta) implica es = et(se = te).

Observacion 2.2.1. Equivalentemente, se puede decir que a es e − cancelable a izquier-

da(derecha) probando que as = at(sa = ta) si y solo si es = et(se = te) para todo s, t ∈ S1.

La prueba es de la siguiente manera: Si a es e− cancelable a izquierda se tiene que ax = ay


implica ex = ey para x, y ∈ S1 y ae = a. De este modo si ex = ey entonces aex = aey y

por lo tanto, ax = ay. Por lo tanto, queda probado en una direccion. Para probar la otra

implicacion, si se tiene que as = at(sa = ta) si y solo si es = et(se = te) para s, t ∈ S1 en

particular cuando s = e y t = 1 (s = 1 y t = e), se obtiene ae = a(e = ea). Ası se termina

la prueba.

Esta equivalencia significa que existe un S − isomorfismo de ideales principales a izquier-

da(derecha) eS1(S1e) sobre aS1(S1a) que envıa e a a. Se puede ver esto facilmente si se

define una aplicacion ϕ : aS1 −→ eS1 tal que ϕ(as) = es, s ∈ S1. Se puede ver que si

a es e − cancelable y ax = ay esto implica ex = ey x, y ∈ S1. Esto significa que ϕ esta

bien definida. Tambien se tiene que es un S − homomorfismo a izquierda; para ver esto

se usa el hecho que ϕ(as) = es = ϕ(a)s. Ademas es sobreyectiva ya que para todo x = at

siempre existe y = et solo por el hecho de ser eS1 un S − sistema a derecha; de este modo

ϕ(x) = y, t ∈ S1. Para mostrar la inyectividad si ϕ(as1) = ϕ(as2) s1, s2 ∈ S1, entonces

es1 = es2 y por ser a e − cancelable de lo mostrado al inicio de la observacion se obtiene

as1 = as2, y por lo tanto ϕ es un s− isomorfismo a izquierda.

Ejemplo 2.2.1. Si S es regular y a ∈ S, entonces existe un a′ ∈ S tal que a = aa′a = a(a′a).

De esto se puede ver que (a′a)(a′a) = (a′aa′)a = a′a, luego a′a ∈ E(S), ademas si as = at

para cualesquiera s, t ∈ S esto implica a′as = a′at y por lo tanto, a es a′a − cancelable a

derecha.

Definicion 2.2.5. Sea S un semigrupo. Una traslacion parcial a derecha(izquierda) λ :

S −→ S es una funcion parcial tal que

(1) ∆λ el dominio de λ, es un ideal a derecha(izquierda) de S.

(2) Para todo a ∈ ∆λ, x ∈ S, λ(ax) = λ(a)x(λ(xa) = xλ(a)).

Es inmediato ver que si λ es una traslacion de S entonces esta puede ser un S−homomorfismosi se restringe la funcion solo a su dominio ∆λ de S.

Lema 2.2.1. Un monoide S1 es PP a izquierda si y solo si para cada elemento a en S1

existe un elemento e en E(S1) tal que a es e− cancelable a derecha.

Demostracion. Si por hipotesis se tiene que S1 es PP a derecha por la definicion 2.1.3 para

un S − epimorfismo λ que es una traslacion a izquierda de ideales principales de S1,

λ : eS1 −→ S1, e ∈ E(S) cuyo dominio sea ∆λ = eS1 e imagen sea Im= S1 definida

como λ(ex) = x con x ∈ S1; y para θ : eS1 −→ S1 un S − homorfismo definido como

θ(ex) = x para x ∈ S1, existe un S − homorfismo en este caso π1 : S1 −→ S1 definido por

π1(x) = 1x para x ∈ S1 tal que λ = π1θ. Se puede ver θ es inyectivo ya que si θ(ex) = θ(ey)

entonces x = y; y entonces ex = ey; θ es sobreyectivo ya que para p = ay, θ(p) = y.

Tambien se ve que π1 es la identidad por tanto un S − isomorfismo derecha de donde se

puede tener que λ = π1θ es un S − isomorfismo a derecha λ : S1 −→ eS1 de tal modo


que λ(x) = ex = eex = λ(ex), s, x ∈ S1; por lo tanto, ya que λ es inyectivo se obtiene

ex = x. Ahora para ver que se cumple la segunda parte de la definicion 2.1.4 nuevamente

se aplica la proyectividad de los ideales principales a izquierda de S1; para λ : xS1 −→ eS1

un S − epimorfismo traslacion a izquierda con dominio ∆λ = xS1 y para θx : xS1 −→ S1

un S − homorfismo a izquierda definido como θx(xs) = s, x,s ∈ S1; existe la proyeccion

πe : S1 −→ eS1 definido como πe(s) = es, e ∈ E(S), s ∈ S1 tal que λ = πeθx. Ası para ver

que θx es inyectivo si θx(ax) = θx(bx), x, a, b ∈ S1 se llega a que a = b y entonces ax = bx.

Tambieen θx es sobreyectivo ya que para b = xy se tiene que θx(xy) = y. De modo que si

xs = xt, x, s, t ∈ S1 se llega a que es = λ(xs) = λ(xt) = et y ası se ha demostrado la

primera implicacion. Para demostrar la segunda si para cualquier elemento a ∈ S1 existe

un e ∈ E(S1) tal que a es e − cancelable a izquierda entonces a = ea esto significa que

existe un isomorfismo entre S1 y eS1. Si se define este isomorfismo como θe : S1 −→ eS1,

este S − isomorfismo se puede descomponer como producto de dos S − isomorfismos

πa : S1 −→ aS1 y λ : aS1 −→ eS1; tales que θ = λπa es decir aS1 es un ideal principal

proyectivo. Por lo tanto S1 es PP -monoide a izquierda.

Definicion 2.2.6. Si S1 es un PP -monoide a derecha en el cual sus idempotentes conmutan

y ademas para todo a ∈ S1, e ∈ E(S1) eS1∩aS1 = eaS1 entonces S es un semigrupo tipo-A.

Teorema 2.2.1. Sea S1 un PP -monoide a izquierda y supongase que los idempotentes de

S1 conmuntan. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) S1 es un semigrupo tipo-A

(ii) Sean a, e ∈ S1 y e un idempotente. Si ea es j−cancelable a izquierda, entonces ea = aj

j ∈ S1.

Demostracion. Asumase que la condicion (i) se tiene. Sea a, e ∈ S1, e2 = e y sea ea j −cancelable a izquierda. Entonces existe un S1 − homorfismo φ : aS1 → ajS1 de la forma

φ(eas) = ajs para s ∈ S1. Si b ∈ eaS1 ∩ ajS1, entonces b = eas = ajt para algun s, t ∈ S1,

ya que b = eb y eb = eajt = eat entonces φ(b) = φ(eb) = φ(eat) = ajt = b. Por ser ea

j − cancelable a izquierda entonces ea = aej, ademas por (i) se tiene que eS1 ∩ ajS1 =

eajS1 = eaS1, luego ea ∈ ajS1, ası que ea ∈ eaS1 ∩ ajS1 y entonces ea = φ(ea) = aj.

Para mostrar la otra implicacion. Asumase que la condicion (ii) se tiene y sean a, e ∈ S1 tal

que e2 = e. Si b ∈ eS1∩aS1 entonces b = et = as con s, t ∈ S1 y por lo tanto eb = b y b = as.

De este modo b = eas y ası b ∈ eaS1. Se ha mostrado que eS1 ∩ aS1 ⊆ eaS1. Ahora para

ver la otra contenencia, si b ∈ eaS1 entonces se sabe que eas ⊆ eS1 de este modo b ∈ eS1 y

ya que ea = aj donde ea es j − cancelable a derecha entonces b ∈ aS1. luego b ∈ eS1 ∩ aS1,

entonces eS1 ∩ aS1 = eaS1 y ası S1 es un monoide tipo− A.

Definicion 2.2.7. Sea S un semigrupo y sea a, b ∈ S. Entonces se dice que aR∗b si y solo

si para todo x, y ∈ S1, xa = ya si y solo si xb = yb.


Definicion 2.2.8. Sea S un semigrupo y sea a, b ∈ S. Entonces se dice que aL∗b si y solo si

Para todo x, y ∈ S1, ax = ay si y solo si bx = by.

Analogamente aH∗b si y solo si aR∗b y aL∗b.Observacion 2.2.2. De estas definiciones se puede concluir que S1 es un PP-monoide a derecha

si y solo si, cada L∗ − clase de S contiene un idempotente. Ademas cuando S1 es PP a

derecha aL∗b si y solo si existe un idempotente e ∈ S tal que a, b son ambos e− cancelablesa izquierda.

Observacion 2.2.3. Se puede ver que para a, b ∈ S un semigrupo; aL∗b(aR∗b) si y solo si

existe un S − isomorfismo de ideales principales a izquierda(derecha) ϕ : aS1 7−→ bS1 que

envıa a al elemento b. Para mostrar esto se define una aplicacion ϕ : aS1 7−→ bS1 tal que

ϕ(as) = bs, s ∈ S1. Se puede ver que si aL∗b entonces ax = ay implica bx = by x, y ∈ S1.

Esto significa que esta bien definida. Se puede ver que es un S − homomorfismo a derecha,

se usa el hecho que ϕ(as) = bs = ϕ(a)s. Ademas es sobreyectiva ya que para todo x = at

siempre existe y = bt solo por el hecho de ser bS1 un S − sistema a derecha; de este modo

ϕ(x) = y, t ∈ S1. Para mostrar la inyectividad si ϕ(as1) = ϕ(as2) s1, s2 ∈ S1, entonces

bs1 = bs2 y por estar aL∗b se obtiene as1 = bs2. y por lo tanto ϕ es un s − isomorfismoa derecha. El otro lado de la implicacion se obtiene de inmediato ya que si ax = ay y ϕ es

un S − isomorfismo ϕ(ax) = ϕ(ay) y por lo tanto bx = by para todo x, y ∈ S1. Ahora si

bx = by entonces ϕ(ax) = ϕ(ay) y por el hecho de ser ϕ un S − isomorfismo; es inyectivo,

por lo tanto; ax = ay y ası aL∗b.

Teorema 2.2.2. Si S es un semigrupo; entonces R ⊆ R∗ y R∗ es una congruencia a derecha

en S. Ademas L ⊆ L∗ y L∗ es una congruencia.

Demostracion. (1) Supongase (a, b) ∈ R luego aS1 = bS1, de esta manera existen u, v ∈ S1

tales que b = au y a = bv. Si se asume que xa = ya entonces xb = xau = yau = yb.

De igual forma si se asume que xb = yb entonces xa = xbv = ybv = ya y ası xa = ya

si y solo si xb = yb, para todo x, y ∈ S1. En consecuencia (a, b) ∈ R∗ y ası R ⊆ R∗

(2) Si (a, b) ∈ R∗ entonces para todo x, y ∈ S1, xa = ya si y solo si xb = yb; por lo tanto,

xac = yac si y solo si xbc = ybc para algun c ∈ S1 de donde (ac, bc) ∈ R∗.Analogamente se procede para R∗.

Lema 2.2.2. Si a, e2 = e ∈ S un semigrupo; entonces aR∗e si y solo si ea = a y para

cualquier x, y ∈ S1, xa = ya implica que xe = ye.

Demostracion. Por la definicion 2.2.7 xa = ya si y solo si xe = ye para x, y ∈ S1 de este

modo como e2 = e esto implica inmediatamente que ae = a para x = e y y = 1. esto termina

la prueba.

Observacion 2.2.4. Se puede concluir del lema 2.2.1 y de la observacion 2.2.2 que un monoide

S es PP a derecha(izquierda) respectivamente si y solo si cada L∗ − clase(R∗ − clase)


contiene al menos un idempotente. La existencia de un elemento de identidad no es relevante

para la Caracterizacion y en lo que sigue de este trabajo se manejaran algunas clases de

semigrupos cuyos idempotentes conmutan y en el cual cada R∗− clase(L∗− clase) contiene

un idempotente. De esto se llega a la siguientes definiciones.

Definicion 2.2.9. Un semigrupo S es llamado abundante si cada R∗clase y L∗−clase tiene

al menos un idempotente.

Observacion 2.2.5. Se puede ver que si los idempotentes de cada R∗ − clase,(L∗ − clase)

conmutan entonces dados e, f idempotentes eR∗f se obtiene del lema 2.2.2 e = ef = fe = f

por lo tanto, cada R∗ − clase,(L∗ − clase) tiene un unico idempotente.

Definicion 2.2.10. Un semigrupo S es llamado adecuado a izquierda(derecha) si cada

R∗ − clase(L∗ − clase) contiene un unico idempotente. De este modo (a)†((a)∗) denotan

el idempotente de su R∗a − clase(L∗a − clase) respectivamente.

Una caracterizacion general se da para los monoides Tipo−A usando el lema 2.2.1 pero de

un modo mas general sin interes en la identidad viene dada en la siguiente definicion.

Definicion 2.2.11. Sea S es un semigrupo adecuado a izquierda, se dice que es Amplio a

izquierda(derecha) si para a, e2 = e ∈ S. Se tiene que ae = (ae)†a(ea = a(ea)∗).

Ejemplo 2.2.2. sea a = ( 1 00 0 ), b = ( 1 0

1 0 ). Poniendo

T = {2na, 2nb |n ≥ 0}.

Entonces para ver que T es un semigrupo con el producto usual de matrices. se puede

ver que (2na2ma = 2n+ma, 2jb2kb = 2j+kb, 2ta2ub = 2t+ua, 2ub2ta = 2u+tb, pa-

ra n,m, j, k, u, v ≥ 1). por lo tanto, T es cerrado. Ademas se puede ver que es asocia-

tivo por las asociatividad del producto usual de matrices. Ahora si se forma un semigrupo

S = {a, b, c, d, e, f, g, h, u, v, w, x, y, z, an, bm} por la tabla de Cayley de la siguiente pagina.

En efecto la multiplicacion es definida extendiendo la multiplicacion en el semigrupo de ma-

trices T , donde E(S) = {a, b, c, d} es el conjunto de todos los idempotentes de S. Se puede

verificar que las L∗ − clases de S son {a, b, an, bi|n, i ≥ 1}, {c, d, e, f, h, u, v, w, x, y, z} y las

L∗ − clases de S son {a, an|n ≥ 1}.{b, bi|i ≤ 1}, {c, e, g, u, w, y} y {d, f, h, v, x, z}. Ası cada

R∗− clase y cada R∗− clase contiene un idempotente y ası por definicion S es un semigru-

po abundante. Tambien es importante destacar que E(S) es un subsemigrupo de S y para

cualquier elemento x, y ∈ E(S) se tiene que xyx = xy. Cuando este caso se tiene se le suele

llamar a E(S) una banda regular a izquierda. Ademas

S1 = {a, b, c, d, e, f, g, h, u, v, w, x, y, z}

Es un semigrupo inverso a izquierda de S. Ya que cualquier elemento de S \S1 no es regular

entonces S no es un semigrupo inverso a izquierda. Tambien, cada idempotente de S no

conmuta entre sı, por lo tanto, S no es un semigrupo amplio.


Donde an = 2na, am = 2ma, bi = 2ib y bj = 2jb para cualquier i, j,m, n ≥ 1.

Ejemplo 2.2.3. Los Semigrupos inversos son amplios a izquierda. Para mostrar esto, sea

S un semigrupo inverso y a ∈ S . Entonces existe un unico a′ ∈ S tal que a = a(a′a)

y a′ = a′aa′. De este modo se puede ver que si ax = ay entonces a′ax = a′ay . Ademas

si a′ax = a′ay entonces a = aa′ax = aa′ay = ay por lo tanto aR∗aa′ y tambien aa′ es

idempotente de donde cada R∗a − clase tiene un idempotente. Por lo visto en la proposicion

1.3.1 los idempotentes conmutan; ası que solo falta ver que para e idempotente en S ae =

(ae)†a, para probar esto se toman a, e2 = e ∈ S. De esta manera existe un unico inverso

(ae)′ de ae tal que (ae)(ae)′(ae) = ae y (ae)′(ae)(ae)′ = (ae)′. Por lo tanto se puede ver que

((ae)(ae)′)2 = (ae)(ae)′. Ası (ae)(ae)′ es idempotente; ademas ((ae)(ae)′)(ae) = (ae) y para

x, y ∈ S si x(ae) = y(ae) esto implica x(ae)(ae)′ = y(ae)(ae)′. De esto y usando el lemma

2.2.2 (ae)(ae)′R∗(ae) y ası (ae)(ae)′ = (ae)† y como (ae)′ = ea′ por la proposicion 1.3.2 y

a′a es idempotente. Entonces

(ae)†a = (ae)(ae)′a

= (ae)(ea′)a

= a(ee)(a′a)

= ae(a′a)

= a(a′a)e

= (aa′a)e

= ae

De este modo se concluye que los semigrupos inversos son amplios.


Es conocido el orden natural en E(S), el cual se define como e ≤ f si y solo si e = ef = fe.

Definicion 2.2.12. Sea S un semigrupo; un idempotente e ∈ S es primitivo si para cualquier

idempotente f ∈ S si e ≤ f implica e = f o e = 0 si S tiene cero. S es primitivo si todos

sus idempotentes son primitivos.

Definicion 2.2.13. Un semigrupo primitivo y amplio a izquierda es llamado PLA−semigrupo.

Lema 2.2.3. Sea S un PLA-semigrupo con cero 0, si a, b ∈ S, e, f ∈ E(S), Entonces

(1) aR∗ab o ab = 0

(2) ae = 0 o ae = a. Ademas, si aS 6= {0}, entonces existe un unico a� ∈ E(S) tal que

aa� = a.

(3) Si e 6= f entonces ef = 0.

Demostracion. (1) Asumase que ab 6= 0. Ya que por ser S amplio a izquierda sus idempo-

tentes conmutan. Ası se tiene que a†(ab)† = (ab)†a† de donde

((ab)†a†)((ab)†a†) = ((ab)†(a†(ab)†)a†)

= (ab)†(ab)†a†

= (ab)†a†

por lo tanto (ab)†a† = a†(ab)† ∈ E(S) y como a†(ab)† = ((ab)†a†)a† = a†((ab)†a†)

con esto se puede ver que (ab)†a† ≤ a†. Pero a† es primitivo, luego (ab)†a† = a† o

(ab)†a† = 0.

Si (ab)†a† = 0 entonces (ab)† = 0 y ya que ab = (ab)†ab por ser abR∗(ab)† del le-

ma 2.2.2. Esto es contrario a ab 6= 0.

Entonces (ab)†a† = a†. Ademas tambien se puede ver que a†(ab)† = a†(ab)†(ab)† =

(ab)†a†(ab)† por lo tanto a†(ab)† ≤ (ab)† pero por ser S primitivo se tiene que o

a†(ab)† = (ab)† o a†(ab)† = 0. Si a†(ab)† = 0 entonces (ab)† = 0 y ya que ab = (ab)†ab

por ser abR∗(ab)† del Lema 2.2.2. Esto es contrario a ab 6= 0.

De este modo a†(ab)† = (ab)† y asi aR∗a†R(ab)†R∗ab.

(2) (i) Supongase ae 6= 0, Entonces por (1), (ae)†R∗aeR∗aR∗a†, por tanto (ae)† = a†.

Ası por ser S amplio a izquierda se tiene que ae = (ae)†a = a†a = a.

(ii) Ahora asumase que aS 6= {0}. Entonces existe x ∈ S tal que ax 6= 0. Pero

ax†x = ax 6= 0, luego por la prueba anterior ax† = a.


(iii) (Unicidad) Si existe otro g ∈ E(S) tal que ag = a, entonces a = ag Ya que a 6= 0

se tiene que ag 6= 0. De esto y usando lo mostrado en el item (1) x†R∗ax† =

a = agR∗g por lo tanto x†, g son idempotentes de una misma R∗ − clase y como

cada R∗ − clase tiene un unico idempotente por ser S amplio entonces x† = g.

Consecuentemente, existe un unico a� ∈ E(S) tal que aa� = a.

(3) Supongase e 6= f y ef 6= 0; Por el item (2) se tiene que ef = 0 o ef = e. Si la segunda

igualdad se tiene, entonces por el item (1) fR∗e y por ser S adecuado los idempotentes

de cada R∗ − clase conmutan es decir fe = ef = e de donde e ≤ f ; ahora por ser

S primitivo, e = 0 o e = f , Ası e = 0 de donde ef = 0. Por lo tanto se llega a una

contradiccion.

Observacion 2.2.6. Este Lemma se puede tener para el caso en que S sea un Semigrupo

primitivo y amplio a derecha por medio de las L∗ − clases.

2.3. Semigrupos de Matrices de Rees en Bloques

En esta seccion se construira un semigrupo desde un conjunto de monoides y bisistemas

sobre estos semigrupos. Esta construccion generaliza el concepto de semigrupos asociados a

una matriz de Rees y se llamara semigrupo de matrices de Rees en bloques, ya que usara

una matriz particionada en submatrices o bloques. El caso mas general es de poco interes

por lo tanto se impondran una serie de condiciones para obtener lo que se llamara un PA

semigrupos matriz Rees en bloques. Estos son amplios y primitivos. El producto tensor de

los S − sistemas proporciona una notacion conveniente para usar en su definicion.

Lema 2.3.1. Sea M,N (S, T ) − bisistemas y P,Q (T, U) − bisistemas. Si φ : M → N

es un (S, T ) − homomorfismo y ψ : P → Q es un (T, U) − homomorfismo, entonces

la funcion φ ⊗ ψ : M ⊗T P → N ⊗T Q definida por (m ⊗ p)(φ ⊗ ψ) = mφ ⊗ pψ es un

(S, U)− homomorfismo.

Demostracion. Se puede ver que φ⊗ ψ es un S − homomorfismo a izquierda ya que

(s(m⊗ p))(φ⊗ ψ) = (sm⊗ p)(φ⊗ ψ)

= (sm)φ⊗ pψ= s(mφ⊗ pψ).

Analogamente se muestra que φ⊗ ψ es U − homomorfismo a derecha.

Se puede ver que si M es un (S, T ) − bisistema entonces S ⊗M es un (S, T ) − bisistemaya que teniendo en la estructura del producto tensorial anteriorimente vista se tiene que

s1(s⊗m) = ((s1s)⊗m) y (s⊗m)t = ((s⊗mt) s, s1 ∈ S, t ∈ T,m ∈ M . Analogamente se

puede ver que M ⊗ T es un (S, T )− bisistema.

2.3 Semigrupos de Matrices de Rees en Bloques 35

Lema 2.3.2. Sea M es un (S, T ) − bisistema, si ω : S ×M → M(τ : M ⊗ T → M) tales

que ω(s ⊗m) = sm.(τ(m ⊗ t) = mt), entonces ω y τ son S − isomorfismo a izquierda y

T − isomorfismo a derecha respectivamente.

Demostracion. Para ver que ω es un S − homomorfismo se toman s, s1 ∈ S,m ∈M ası:

ω(s1s⊗m) = (s1s)m

= s1(sm)

= s1ω(s⊗m)

de esta manera ω es un S − homomorfismo a izquierda. Analogamente se demuestra que τ

es un T − homorfismo a derecha. Asi para ver que es inyectivo si ω(s1 ⊗m1) = ω(s2 ⊗m2)

para s1, s2 ∈ S1,m1,m2 ∈ M entonces sm1 = sm2 de donde 1⊗ (s1m1) = 1⊗ (s2m2) y por

una propiedad del producto tensoria mencionada en la definicion 2.1.7 se obtiene

s1 ⊗m1 = 1⊗ (s1m1)

= 1⊗ (s2m2)

= (1s2)⊗m2

= s2 ⊗m2

La sobreyectivida de ω se obtiene inmediatamente por el hecho de ser M un (S, T )−bisitemapara s ∈,m ∈ M siempre va a existir un q ∈ m tal que sm = q ∈ M . De este modo cada

elemento del dominio de ω siempre va a tener una imagen q ∈ M . Por lo tanto se ha

mostrado que ω es un S − isomorfismo a izquierda. Analogamente se puede ver que τ es

un T − isomorfismo a derecha.

Lema 2.3.3. Si M es un (S, T )−bisistema, N es un (T, U)−bisistema, y P es un (U, V )−bisistema, entonces la funcion σ : M⊗ (M⊗P ) −→ (M⊗N)⊗P definida como σ(m⊗ (n⊗p)) = (m⊗ n)⊗ p, m ∈M,n ∈ N, p ∈ P es un (S, V )− isomorfismo de M ⊗T (N ⊗U P )

sobre (M ⊗T N)⊗U P.

Demostracion. Para ver que σ es un (S, V ) − homomorfismo se procede de la siguiente

manera:

σ(s(m⊗ (n⊗ p))) = σ((sm)⊗ (n⊗ p)))= ((sm)⊗ n)⊗ p= (s(m⊗ n)⊗ p)= s((m⊗ n)⊗ p)= sσ(m⊗ (n⊗ p)).


Por lo tanto se ha mostrado que σ es un S − homorfismo a izquierda. Analogamente se

muestra que σ en un V − homomorfismo a derecha. Para ver que σ es inyectivo, para

m1,m2 ∈M,n1, n2 ∈ N, p1, p2 ∈ P si

σ(m1 ⊗ (n1 ⊗ p1)) = σ(m2 ⊗ (n2 ⊗ p2))

(m1 ⊗ n1)⊗ p1 = (m2 ⊗ n2)⊗ p2

Pero usando la inyectividad del producto tensorial segun la definicion 2.1.7 se concluye

que σ es inyectiva. sobreyectividad se obtiene de inmediato ya que para cualquier m ∈M,n ∈ N, p ∈ P de la definicion del producto tensorial implica que siempre va a existir

q = (m⊗ n)⊗ p ∈ (M ⊗N)⊗ P tal que σ(m⊗ (n⊗ p)) = q.

Cuando no puede haber ambiguedad al omitir la S en M ⊗SN. Se identifica M ⊗T (N ⊗U P )

y (M ⊗T N)⊗U P via isomorfismo del lema anterior y simplemente se escribe M ⊗N ⊗ P .

En lo que resta de este trabajo se centrara en mostrar el teorema de la estructura de los

PLARI − semigrupo. Primero se hara la construccion de las matrices de Rees en bloques.

Despues se manejaran los idempotentes de cada R∗− clase en la indexacion de las entradas

de la matriz en donde se creara un isomorfismo con los PLA − semigrupos caraterizando

sus idempotentes mediante el teorema 2.2.3.

Definicion 2.3.1. Un semigrupo amplio primitivo a izquierda S es llamado un PLARI-

semigrupo si para cualquier a ∈ S \ {0}, aS 6= {0}.

Teorema 2.3.1. Un semigrupo S es un PLARI-semigrupo si y solo si S es isomorfo a algun

LA semigrupo matriz de Rees en bloques.

Demostracion. Como principio se construiran las matrices de Rees en bloques

Construccion

Sea I,Λ conjuntos no vacıos y sea Γ un conjunto no vacıo de ındices. Se denotara P (I) =

{Iγ : γ ∈ Γ}, P (Λ) = {Λγ : γ ∈ Γ} el conjunto de particiones indexadas de I y Λ respecti-

vamente. Es decir I =⋃γ∈Γ Iγ y Λ =

⋃γ∈Γ Λγ. Se hace una convencion, que i, j, k, h pueden

denotar miembros de I; λ, µ, υ, ρ pueden denotar miembros de Λ y α, β, γ, δ pueden denotar

elementos de Γ.

Para cada para (α, β) ∈ Γ × Γ sea Mαβ un conjunto tal que para cada α,Mαα = Tα es un

monoide con identidad 1α y para α 6= β, se tienen dos opciones o Mαβ = ∅ o Mαβ es un

(Tα, Tβ)− bisistema. ademas Mαβ 6= {0}.

Una matriz I × Λ es una matriz cuyas entradas estan indexadas por (i, λ) donde i ∈ I

y λ ∈ Λ.


Cuando una matriz esta compuesta de bloques, el conjunto de indices de las entradas de la

matriz es decir I × Λ se particiona en Iα × Λβ donde cada (α, β)-bloque en una submatriz

Iα × Λβ. El conjunto en el cual sus entradas se indexan, se reservan solo a Iα × Λβ, es decir

si (i, λ) es una entrada de la matriz I × Λ entonces existen α y β tal que i ∈ Iα, λ ∈ Λβ,

esto significa que la posicion (i, λ) se encuentra en el (α, β)− bloque. Los (α, α)-bloques son

llamados los bloques diagonales de la matriz.

Se denotara por S, el conjunto que consiste de la matriz cero I × Λ (denotada por 0) junto

con todas las matrices I ×Λ con una singular entrada no cero donde una entrada de no cero

en el (α, β)-Bloque. Esta entrada toma el valor de un elemento de Mαβ.

Siguiendo la convencion usada, (a)iλ denota la I×Λ matriz con entrada a en la (i, λ) posicion

y cero en otra posicion, donde la (i, λ) se encuentra en el (α, β)-bloque, con i ∈ Iα, λ ∈ Λβ.

Con el fin de definir una multiplicacion de S, se introduce la matriz sandwich Λ × I de

Rees C = (Cλ,j) donde una entrada en el (α, β)−bloque de C es Cλ,j ∈ Mαβ. A fin de ser

capaz de formar el producto de la matriz (a)iλC(b)jµ donde (a)iλ, (b)jµ ∈ S Se adopta la

convencion de que 0x = 0 = x0 para cualquier elemento x de {0} ∪ {Mαβ : α, β ∈ Γ} y se

imponen las siguientes condiciones:

(M) Para todo α, β, γ ∈ Γ, si Mαβ,Mβγ son ambos no vacios, entonces si Mαγ es no vacıo,

existe un (Tα, Tγ) − homomorfismo ϕαβγ : Mαβ ⊗Mβγ −→ Mαγ tal que ϕαβγ es el

isomorfismo canonico del Lema 2.3.2 y tal que el cuadrado.

Mαβ ⊗Mβγ ⊗Mγδ Mαβ ⊗Mβδ

Mαγ ⊗Mγδ Mαδ

ϕαβγ ⊗ Iγδ

Iαβ ⊗ ϕαβγ

ϕαγδ

ϕαβδ

Es conmutativo donde aquı I denota la identidad.

Para a ∈ Mαβ, b ∈ Mβγ, se denotara (a ⊗ b)ϕαβγ por ab. Ahora sea A,B ∈ S. Si A = 0 o

B = 0, entonces ACB = 0. Asumase entonces que A = (a)iλ y B = (b)jµ son distintos de

cero. Si C(λ, j) = 0, entonces (aC(λ, j))b = 0 = a(C(λ, j)b) ası que ACB = 0. Asumase

que C(λ, j) 6= 0 y sea (i, λ) ∈ Iα × Λβ, (j, µ) ∈ Iγ × Λδ. Entonces a ∈ Mαβ, b ∈ Mδγ, y

C(λ, j) ∈ Mβλ Ası que por la condicion (M), (aC(λ, j))b = a(C(λ, j)b) es un elemento de

Mαδ bien definido y (aC(λ, j)b)iµ ∈ S. Entonces se tiene un producto definido en S por


AB = ACB. Es sencillo ver que este producto es asociativo ya que si D = (d)kν entonces

((a)iλ(b)jµ)(d)kν = (aC(λ, j)b)iµ(d)kν

= ((aC(λ, j)b)C(µ, k)d)iν

= (aC(λ, j)(bC(µ, k)d))iν

= (a)iλ(bC(µ, k)d)jν

= (a)iλ(bC(µ, k)d)jν

= (a)iλ((b)jµ(d)kν)

ası que S es un semigrupo el cual se denota porM◦(Mαβ; I,Λ,Γ;C) y es llamado Semigrupo

de matrices de Rees en bloques. Por supuesto cuando Γ es un solo elemento Γ = {1}, en-

tonces S es solo el semigrupo de matriz de Ress M◦(T1, I,Λ;C).

Para asegurar la abundancia y para localizar los idempotentes de S facilmente se imponen

las siguientes condiciones adicionales.

(C) Si a, a1, a2 ∈ Mαβ, b, b1, b2 ∈ Mβγ, entonces ab1 = ab2 implica b1 = b2; Tambien a1b =

a2b implica a1 = a2.

(U) Para cada α ∈ Γ y cada λ ∈ Λα(i ∈ Iα) existe un elemento i de Iα(λ de Λα) tal que

C(λ, i) es una unidad en Tα

(R) Si Mαβ,Mβα son ambos conjuntos no vacios donde α 6= β, entonces aba 6= a para todo

a ∈Mαβ, b ∈Mβα.

La condicion (R) se impone para garantizar que una matriz con una entrada no-cero en un

bloque no diagonal no puede ser un elemento habitual del semigrupo matriz. Esto nos ayuda

a encontrar los idempotentes en el semigrupo matriz. En particular, se evita que tengan

idempotentes no primitivos.

Definicion 2.3.2. Por un PA semigrupo matriz de Rees en bloques se entendera aquel que

satisface las condiciones (C), (U), y (R).

En lo que sigue de este trabajo se centrara en los PA semigrupo matriz de Rees en bloques

a izquierda denotados como LABM(Mαβ; I,Γ) donde I = Λ y el producto de cualquera dos

de sus elementos A = (a)ij, B = (b)kl


AB =

{(ab)il si j = k;

0 si j 6= k,

Proposicion 2.3.1. Sea (a)ij ∈ LABM(Mαβ; I,Γ) \ {0} con a ∈Mαβ.

(1) (a)ij es un idempotentes si y solo si i = j y a = 1α.

(2) (a)ijR∗(1α)ii.

(3) (a)ij es regular si y solo si α = β y a es unidad de Tα.

(4) (a)ijLABM(Mαβ; I,Γ) 6= {0}.

Demostracion. (1) Si (a)ij es un idempotente, entonces 0 6= (a)ij = (a)2ij, Ası i = j y

a2 = a. La segunda igualdad implica α = β y de la condicion (C) a = 1α.

(2) Obviamente, (a)ii = (1α)ii(a)ij. Sea (x)kl, (y)pq ∈ LABM(Mαβ; I,Γ) y se asume que

(x)kl(a)ij = (y)pq(a)ij. Considerense los siguientes casos:

Si (x)kl(a)ij = 0, entonces (x)kl = 0 o l 6= i. De esto se sigue que (x)kl(1α)ii = 0.

Si (x)kl(a)ij = (y)pq(a)ij 6= 0, luego j = k = p, l = i = q y ax = ay. La segunda

igualdad puede implicar por la condicion (C) que x = y. Ası (x)kl(1α)ii = (x)ki =

(y)pi = (y)pq(1α)ii.

teniendo probado que si (x)kl(a)ij = (y)pq(a)ij entonces (x)kl(1α)ii = (y)pq(1α)ii. En

efecto, (x)kl(1α)ii = (y)pq(1α)ii implica (x)kl(a)ij = (y)pq(a)ij. Ası (a)ijR∗(1α)ii.

(3) Asumase que (a)ij es regular. Entonces existe (b)ji tal que (a)ij(b)ji(a)ij = (a)ij. De

esto se sigue que a = aba. Por la condicion (R), se muestra que α = β y a = aba. Por

la condicion (C), la segunda igualdad conduce a ab = 1α, ası que a es una unidad de

Tα. Si a es una unidad de Tα entonces existe un b ∈ Tα tal que 1β = ba = ab = 1α de

donde se puede tener aba = a y ası (a)ij(b)ji(a)ij = (a)ij. Por lo tanto (a)ij es regular.

(4) Sea (a)ij ∈ LABM(Mαβ; I,Γ) con a ∈ Mαβ. Claramente, (a)ij(1β)jj = (a)ij, ası que

(a)ijLABM(Mαβ; I,Γ) 6= {0}.

Teorema 2.3.2. LABM(Mαβ; I,Γ) es un PLA-semigrupo.

Demostracion. Por la proposicion 2.3.1 LABM(Mαβ; I,Γ) es un semigrupo abundante a

izquierda y

E(LABM(Mαβ; I,Γ)) = {(1α)ii : α ∈ Γ} ∪ {0}.


Ahora, por la definicion de LABM(Mαβ; I,Γ), para cualquier u, v ∈ E(LABM(Mαβ; I,Γ)),

se ve facilmente que us = 0. De esto sigue que cualquier idempotente de LABM(Mαβ; I,Γ) es

primitivo y que E(LABM(Mαβ; I,Γ)) es un semigrupo ordenado es decir un semiretıculo con

la multiplicacion de LABM(Mαβ; I,Γ). Ası LABM(Mαβ; I,Γ) es un semigrupo adecuado

y primitivo a izquierda. Sea (a)klLABM(Mαβ; I,Γ) con a ∈M. Ya que

(a)kl(1α)ii =

{0 = 0(a)kl si k 6= i;

(a1α)ki = (a)ki = (1β)kk(a)kl si l = i,

Se tiene que LABM(Mαβ; I,Γ) es amplio a izquierda.

El teorema de la estructura

En esta seccion se establecera el teorema de la estructura de los semigrupos amplios primi-

tivos a izquierda.

Teorema 2.3.3. Sea S un PLA-semigrupo. Si aS 6= {0} para todo a ∈ S \ {0}, entonces S

es isomormorfo a algun semigrupo de matrices de Rees en bloques.

Demostracion. Asumase S es un PLA-semigrupo que satisfaces las condiciones dadas, y sea

P el conjunto de todos los idempotentes no cero de S. Si se define el conjunto

Q = {Dx : x ∈ Reg(S) \ {0}},

donde Dx es la D−clase de x en S. Para cualquier α ∈ Q se utilizara Pα para denotar

el conjunto de idempotentes de α y ademas se toma un elemento 1α de Pα. Claramente,

P = ∪α∈QPα por ser S abundante. Por otro lado se denota Nαβ = (1αS1β) \ {0}.

Lema 2.3.4. (1) Nαα es un monoide cancelativo a derecha.

(2) Nαβ es un (Nαα, Nββ)− bisistema.

Demostracion. (1) Nαα es un subsemigrupo de S y 1α es la identidad de Nαα. Sea a, x, y ∈Nαα. Por el Lema 2.2.3 (1), 1αR∗a. Si xa = ya implica x1α = y1α, ası que x = y. De

esto se sigue que Nαα es un monoide cancelativo a derecha.

(2) Por la definicion de Nαβ, es claro que Nαβ es un (Nαα, Nββ)-bisistema.

Ahora sea α, β, γ ∈ Q. Se define la funcion φαβγ como sigue:

φαβγ : Nαβ ⊗Nβγ → Nαγ; a⊗ b 7→ ab.


Evidentemente, φαβγ es un (Nαα, Nββ)−homomorfismo. Del Lema 2.3.2 se puede ver que

φαβγ es un (Nαα, Nββ)−isomomorfismo y por tanto satisface la condicion (M).

Asumase a1, a2 ∈ Nαβ, b ∈ Nβγ y a1b = a2b. Ya que 1βb = b 6= 0, se tienes por el teorema

2.2.3 (1) que 1βR∗b. De la igualdad a1b = a2b, se obtiene que a1 = a11β = a21β = a2, ası que

la condicion (C) a derecha se tiene.

Sea c ∈ Nαβ, d ∈ Nβα y α 6= β. Note que 1αc = c 6= 0 y 1βd = d 6= 0. Se observa que

cR∗1α, dR∗1β. Se pretende ver que cdc 6= c. Si no se tiene, entonces c es regular, cd 6= 0

y dc 6= 0. Por el Lema 2.2.3, las dos igualdades implican que cdR∗c, cR∗dc. Por lo tanto,

cdR∗1α, dcR∗1β. Pero cdcd = cd y dcdc = dc luego cd, dc ∈ E(S). Ya que S es un semigrupo

amplio a izquierda, cd = 1α y dc = 1β. Ası 1αRcLdc = 1β. Esto sigue que 1αD1β. Ası que

por como se definio 1α y 1β α = β, contrario a que α 6= β. Por lo tanto, la condicion (R) se

tiene.

Para cualquier i ∈ Pα se fija un ai tal que 1αRaiLi. De esto sigue que 1α = aia−1i y i = a−1

i ai,

donde a−1i es la inversa de ai. Sea s un elemento arbitrario de S. Se tiene el siguiente lema.

Lema 2.3.5. Existe un unico s◦ ∈ Nπσ tal que s = a−1s†s◦as� , donde s� tiene el mismo sentido

que en el Lema 2.2.3, y π, σ ∈ Q tal que s† ∈ Pπ, s� ∈ Pσ.

Demostracion. Ya que s† = a−1s†as† , 1π = as†a

−1s†, s� = a−1

s� as� y 1σ = as�a−1s� , se tiene

s = s†ss� = a−1s†· as†sa−1

s� · as�

De este modo s◦ = as†sa−1s�

Si existe s1 ∈ Nπσ tal que s = a−1s†· s1 · as� , entonces a−1

s†· s1 · as� = a−1

s†· as†sa−1

s� · as� , ası que

s1 = 1πs11σ = as† · a−1s†s1as� · a−1

s� = as†sa−1s�

Esto prueba el Lema.

Se forma el semigrupo de matrices de Rees LABM(Nαβ;P,Q) y se define

θ : S → LABM(Nαβ;P,Q); s 7→ (s◦, s†, s�), 0 7→ 0.

Por el Lema 2.2.3(2) y 2.3.5, θ esta bien definida. Ahora sea s, t,∈ S. Si (s◦, s†, s�) =

(t◦, t†, t�), entonces s◦ = t◦, s† = t† y s� = t�. Por el Lema 2.3.5 s = a−1s†sas� = a−1

t†tat� = t

ası que θ es inyectiva. Sea (x, i, j) ∈ LABM(Nαβ;P,Q) con i ∈ Pα, j ∈ Pβ y x ∈ Nαβ.

Entonces x = 1αx1β, ası que x = ai · a−1i xaj · a−1

j ya que 1α = aia−1i y 1β = aja

−1j . Se sigue

que a−1i xaj 6= 0 ya que x 6= 0. Se denota b = a−1

i xaj. Se tiene que ib = ia−1i · xaj = b, ası

que por el lema 2.2.3(1), iR∗b, en otras palabras, b† = i. Luego, como b = bj, por el Lema

2.2.3(2), b� = j. Ahora por el Lema 2.3.5, b◦ = x. Entonces bθ = (x, i, j). Esto muestra que

θ es sobreyectivo.

Operando


(sθ)(tθ) =

{0 si s� 6= t†;

(s◦t◦, s†, t†) En otro caso.

Por otra parte, considerense los siguientes dos casos

Si st = 0, entonces se debe llegar a que (sθ)(tθ) = 0 y esto se debe tener si s� 6= t†. Para

mostrar esto se procede por medio de reduccion al absurdo. De esta manera supongase

que st = 0 y s� = t†, entonces si st = 0 se debe tener que s = 0 o t = 0; si s = 0

entonces st† = 0; si t = 0 entonces t† = 0 y por lo tanto st† = 0. Ahora se tomara el

caso en que s 6= 0 y t = 0 entonces usando el lema 2.2.3(3) s = ss� = st† 6= 0 lo cual

es una contradiccion ya que se habia supuesto que t = 0 y de aquı se obtiene st† = 0.

Por lo tanto si st = 0 entonces s� 6= t†; por lo tanto (sθ)(tθ) = 0.

Si st 6= 0, entonces

(1) a−1(st)†

(st)◦a(st)◦ = st = a−1s†s�as�a

−1t†t◦at� = a−1

s†· s◦ · t◦ · at� ,

ya que por el Lema 2.2.3(3) s� = t†, de esto se obtiene

(2) a−1(st)†

(st)◦a(st)† = st = a−1s†s◦as� · a−1

t†t◦at� = a−1

s†s◦t◦at� .

Note que s† · st = st y st · (st)� = st = st · t�. Por el Lema 2.2.3 (1) y (2), se observa

que s†R∗stR∗(st)† y t� = (st)�. La anterior formula implica que s† = (st)† ya que S

es un semigrupo amplio a izquierda. Ahora por el Lema 2.3.5 y la equivalencia (2), se

puede obtener que (st)◦ = s◦t◦, ası que (st)θ = (s◦t◦, s†.t�) = (sθ)(tθ).

por lo tanto, se tiene (st)θ = (sθ)(tθ). Consecuentemente, θ es un homomorfismo. Se completa

la prueba.

Sumando la Proposicion 2.3.1, el Teorema 2.3.2 Se obtiene la primera implicacion es decir que

la matriz de Rees en a la que es isomorfo el semigrupo S es primitiva y amplia a izquierda, y

ademas para a ∈ S se tiene aS 6= {0} es decir un PLARI −Semigrupo. La otra implicacion

se obtiene del teorema 2.3.3. Con esto se obtiene la demotracion del teorema de la estructura

de los PLARI − semigrupos.

Bibliografıa

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