ESTRATEGIAS USADAS POR LOS NIÑOS PARA ABORDAR...
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ESTRATEGIAS USADAS POR LOS NIÑOS PARA ABORDAR SITUACIONES MULTIPLICATIVAS ANTES DE TRABAJAR LOS ALGORITMOS CLÁSICOS. UNA MIRADA DESDE LA UNITIZACIÓN Y NORMACIÓN NIDIA STELLA MARTÍNEZ MELO NATALIA LORENA ROJAS RODRÍGUEZ UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ 2016
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ESTRATEGIAS USADAS POR LOS NIÑOS PARA ABORDAR SITUACIONES
MULTIPLICATIVAS ANTES DE TRABAJAR LOS ALGORITMOS CLÁSICOS. UNA
MIRADA DESDE LA UNITIZACIÓN Y NORMACIÓN
NIDIA STELLA MARTÍNEZ MELO NATALIA LORENA ROJAS RODRÍGUEZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
BOGOTÁ 2016
ESTRATEGIAS USADAS POR LOS NIÑOS PARA ABORDAR SITUACIONES
MULTIPLICATIVAS ANTES DE TRABAJAR LOS ALGORITMOS CLÁSICOS. UNA
MIRADA DESDE LA UNITIZACIÓN Y NORMACIÓN
NIDIA STELLA MARTÍNEZ MELO NATALIA LORENA ROJAS RODRÍGUEZ
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de Magister en Educación
con Énfasis en Educación Matemática
Director
Pedro Javier Rojas Garzón
Doctor en Educación
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
BOGOTÁ
2016
Para todos los efectos legales, declaramos que el presente trabajo es original y en aquellos
casos en los cuales se ha requerido de trabajo de otros autores o investigadores, se han dado los respectivos créditos.
“La universidad no será responsable de las ideas expuestas por los graduandos en el trabajo.”
Artículo 117, Capítulo 5º, Acuerdo 029 de 1988.
DEDICATORIA
Dando gracias a Dios por permitirme hacer misión desde la educación, dedico este trabajo a mis padres,
quienes con su ejemplo nos enseñan a vivir en el amor y en el compartir.
A mis hermanos, quienes están siempre dispuestos a apoyar y a servir. A mis sobrinas y sobrino, quienes con su ternura me
generan momentos de alegría y felicidad.
A mis estudiantes, quienes con su alegría
me inspiran a encontrar nuevas formas de diseñar rutas de aprendizaje.
Nidia
A Carlos, Valeria, Santiago y Annie por ser el motor y la felicidad de mi vida.
A mi Mamá por su apoyo incondicional.
Natalia.
AGRADECIMIENTOS
A nuestro director, Pedro Javier Rojas Garzón, por ser ejemplo de liderazgo
en los procesos de formación de maestros y por sus importantes aportes al desarrollo de la presente investigación.
A los docentes de la Maestría, por sus contribuciones
desde el desarrollo de los seminarios.
A las directivas y profesores de los colegios Cafam y Jorge Gaitán Cortés.IED. quienes facilitaron los espacios para realizar
las entrevistas con las niñas y niños seleccionados.
A las niñas y los niños entrevistados por su disposición durante el desarrollo de las entrevistas y a sus padres por permitirles
trabajar con nosotros.
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
1 PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................................ 1
1.1 CONTEXTUALIZACIÓN ..................................................................................................... 1
1.2 ANTECEDENTES .............................................................................................................. 1
1.3 DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ........................................................ 7
2 REFERENTES TEÓRICOS .......................................................................................................... 8
2.1 TIPOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS ....................................................................... 8
2.2 UNITIZACIÓN, NORMACIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN COMO CAMBIO DE UNIDAD ........... 10
2.3 ESQUEMAS Y ESTRATEGIAS ........................................................................................... 15
3 DISEÑO METODOLÓGICO .................................................................................................... 17
3.1 DISEÑO DEL INSTRUMENTO .......................................................................................... 17
3.2 PILOTAJE....................................................................................................................... 18
3.2.1 Descripción y análisis de la prueba piloto .............................................................. 18
3.2.2 Resultado del proceso de pilotaje ......................................................................... 21
3.3 RECOLECCIÓN Y SISTEMATIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN ............................................. 22
3.3.1 Organización de los datos en una matriz ............................................................... 23
3.3.2 Descripción y transcripción de apartes de las entrevistas ...................................... 27
4 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS UTILIZADAS .................................................. 28
4.1 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE ESTRATEGIAS USADAS POR SITUACIÓN ............................ 29
4.1.1 Situación “Haciendo pulseras” .............................................................................. 30
4.1.2 Situación Descubriendo fichas ............................................................................... 33
4.1.3 Situación “Empacando Pastelitos” ......................................................................... 38
4.1.4 Situación “Armemos Trenes” ................................................................................ 41
4.1.5 Situación “Sigamos armando trenes” .................................................................... 46
4.1.6 Un nuevo reto para construir trenes ..................................................................... 52
4.1.7 Situación Repartiendo dulces ................................................................................ 56
4.1.8 Séptima situación: Refrigerios ............................................................................... 62
4.1.9 Resultados del análisis por situación ..................................................................... 65
4.2 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS POR ESTUDIANTE. ................................ 66
4.2.1 El caso de Lorenzo................................................................................................. 67
4.2.2 El caso de Samuel.................................................................................................. 68
4.2.3 El caso de Avril y Tomás ........................................................................................ 69
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................................ 71
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................... 74
ANEXO: INSTRUMENTO PARA EL DESARROLLO DE LA ENTREVISTA ............................................... 76
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Resumen de las clasificaciones de los problemas verbales de multiplicación y división. .... 8
Tabla 2: Disposición matriz organización de datos. ...................................................................... 23
Tabla 3: Ejemplo de primeras conclusiones sobre las dos primeras situaciones a partir de los datos
organizados en la matriz. .............................................................................................................. 23
Tabla 4: Ejemplo de primeras conclusiones sobre las situaciones 3,4,5,6,7,8, a partir de los datos
organizados en la matriz. .............................................................................................................. 24
Tabla 5: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Haciendo Pulseras” ........ 31
Tabla 6: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Descubriendo Fichas” .... 36
Tabla 7: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Empacando Pastelitos”... 40
Tabla 8: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Armemos Trenes”. ......... 42
Tabla 9: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Sigamos armando trenes”47
Tabla 10: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Un nuevo reto para
construir trenes” ........................................................................................................................... 52
Tabla 11: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Repartiendo dulces” ..... 57
Tabla 12: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación “Refrigerios” ................. 62
Tabla 13: Estrategias usadas por Lorenzo, Samuel, Avril y Tomás en todas las situaciones. .......... 66
INDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Solución dada por un niño en la situación "Armemos trenes" 19
Ilustración 2: Estudiante realizando conteo de chaquiras apoyándose en la imagen. 30
Ilustración 3: Entrevista individual a Natalia en la situación "Haciendo pulseras" 30
Ilustración 4: pareja de estudiantes, “encerrando” chaquiras, como parte de su estrategia. 31
Ilustración 5: Entrevista por parejas en la situación “Haciendo pulseras”. 31
Ilustración 6 Estudiante diferenciando con sus manos, unidades filas y unidades fichas. 34
Ilustración 7: Entrevista individual, situación “Descubriendo fichas”. 34
Ilustración 8: Samuel realizando doble conteo; usando sus manos. 35
Ilustración 9: Entrevista individual (Samuel) en la situación "Descubriendo fichas". 35
Ilustración 10: Ejemplo de conteo de uno en uno, sin reconocimiento de grupos o relaciones. 37
Ilustración 11: Estudiante mostrando la forma como realizó un doble conteo. 39
Ilustración 12: Entrevista individual en la situación "Pastelitos". 39
Ilustración 13: Estudiante realizando doble conteo, por múltiplos. 40
Ilustración 14: Entrevista individual (Santiago) en la situación "Pastelitos". 40
Ilustración 15: Estudiante realizando conteo de uno en uno. 43
Ilustración 16: Entrevista individual en la situación "Armemos trenes". 43
Ilustración 17:Pareja de estudiantes movilizando una estrategia. 44
Ilustración 18: Explicación escrita pareja de estudiantes. 44
Ilustración 19: Entrevista por parejas en la situación "Armemos trenes". 44
Ilustración 20: Estudiante evidenciando reconocimiento de relaciones. 45
Ilustración 21: Entrevista individual en la situación "Armando trenes". 45
Ilustración 22: Estrategia de un estudiante para la situación "Sigamos armando trenes". 48
Ilustración 23 :Entrevista individual en la situación "Sigamos armando trenes". 48
Ilustración 24: Estudiante realizando equivalencia entre regletas. 48
Ilustración 25: Estudiante realizando equivalencia entre regletas. 49
Ilustración 26 : Entrevista individual en la situación "Sigamos armando trenes". 49
Ilustración 27:Dibujo hecho por un estudiante para explicar su estrategia 51
Ilustración 28: Entrevista de parejas en la situación "Sigamos armando trenes". 51
Ilustración 29: Reconocimiento de equivalencias entre regletas evidenciado por un estudiante. 54
Ilustración 30: Entrevista individual en la situación "Un nuevo reto para construir trenes". 54
Ilustración 31 : Estudiante evidenciando la formación de unidades compuestas. 55
Ilustración 32: Entrevista individual en la situación "Un nuevo reto para construir trenes". 55
Ilustración 33: Representación gráfica de la situación “Sigamos armando trenes” hecha por un estudiante. 56
Ilustración 34: Explicación dada por un estudiante en la situación "Un nuevo reto para construir trenes". 56
Ilustración 35: Explicación escrita dada por una pareja de estudiantes en la situación "Repartiendo dulces". 59
Ilustración 36: Entrevista por parejas en la situación "Repartiendo dulces". 59
Ilustración 37: Explicación dada por una estudiante de doble conteo por múltiplos. 60
Ilustración 38: Estudiante explicando estrategia de una situación de producto de medidas. 64
Ilustración 39: Entrevista individual de la situación "Refrigerios". 64
INTRODUCCIÓN
Algunos estudios muestran que los niños pueden resolver situaciones multiplicativas desde
la educación infantil (4-6 años) usando estrategias informales (Caballero, 2005; Bosh,
Castro y Segovia, 2007; Castro y Hernández, 2014) y poseen esquemas matemáticos,
algunas veces funcionales y otras no (Steffe, 1994), que perduran a pesar del trabajo
realizado por su profesor.
Steffe y Cobb (1988, citado por Olive, 2001, p.1) y Steffe (1994), desarrollaron trabajos
sobre los tipos de secuencias numéricas usadas por los niños y sus esquemas
multiplicativos, en los cuales se evidencia la construcción de unidades en los procesos de
conteo y se reconoce el inicio del pensamiento multiplicativo.
Los procesos de formación de unidades y de reinterpretación de las unidades formadas en
términos de las situaciones en las que están involucradas, han sido denominados por Lamon
(1994) unitización y normación, respectivamente.
En el presente estudio se realiza un análisis de las estrategias utilizadas por niñas y niños de
primero y segundo grado de educación básica primaria (7-8 años de edad), de dos
instituciones educativas de la ciudad de Bogotá (una oficial y una privada), para resolver
situaciones multiplicativas antes de recibir instrucción sobre multiplicación y división.
Tales estrategias son analizadas en el marco de la unitización y normación.
En el primer capítulo de este informe de investigación se da a conocer el planteamiento de
la investigación teniendo en cuenta la contextualización del problema que surge desde la
experiencia de las autoras en instituciones de educación básica, se presenta una síntesis de
los antecedentes encontrados sobre las estrategias de los niños para abordar situaciones
multiplicativas y se delimita el problema.
En el segundo capítulo se presentan los referentes teóricos que están constituidos por
algunas clasificaciones de problemas multiplicativos, una reflexión acerca de la
importancia de la unidad en la resolución de este tipo de problemas, los procesos de
unitización y normación y se finaliza con una distinción entre esquemas y estrategias.
En el tercer capítulo se presenta el diseño metodológico, relacionando el proceso de
construcción del instrumento de recolección de información, su pilotaje mediante
entrevistas individuales y en parejas, la toma de decisiones para la definición del
instrumento final y se explicita la forma como se sistematizó la información. Algunas de las
situaciones que conforman el instrumento de recolección de información fueron diseñadas a
partir de la clasificación de problemas multiplicativos propuesta por Vergnaud (1991) y
otras tomando como referencia situaciones planteadas por Steffe (1994) para identificar los
esquemas multiplicativos de los niños.
En el cuarto capítulo se hace la descripción y el análisis de las estrategias utilizadas por los
estudiantes cuando abordaron las situaciones de tipo multiplicativo. El análisis se centra en
identificar si reconocen diferentes unidades simples o compuestas (nuevas unidades
formadas por unidades simples, Lamon, 1994) y el uso que hacen de éstas, en particular si
forman unidades (unitización) y si con ellas reinterpretan la situación (normación). Se
analiza además, si independientemente del niño o de la niña que aborde la situación
prevalecen algunas estrategias, como también si los niños o las niñas tienden a usar alguna
estrategia independientemente de la situación.
Finalmente, en el último capítulo se presentan las conclusiones obtenidas como resultado
de este estudio y algunas recomendaciones para futuros trabajos.
1
1 PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN La infancia tiene sus propias maneras de ver, pensar y sentir;
nada hay más insensato que pretender
sustituirlas por las nuestras. Jean Jacques Rousseau
Filósofo Francés
En este capítulo se dan a conocer algunos antecedentes y la contextualización de la
problemática abordada en el presente trabajo, la cual surge inicialmente de la experiencia
de las autoras en instituciones de educación básica, se presenta además la delimitación del
problema de investigación.
1.1 ANTECEDENTES
Los trabajos realizados por Bosch, Castro y Segovia (2007) y por Castro y Hernández
(2014) citan estudios que muestran que los niños desde la educación infantil (en edades de
5 y 6 años) pueden resolver variedad de problemas de estructura multiplicativa y se basan
en estrategias informales apoyándose en el uso de objetos y en el conteo. Particularmente
Bosch, Castro y Segovia (2007) diseñaron una situación basada en los saltos de una rana
(12 saltos) en la que pudieron explorar el pensamiento multiplicativo de los niños de 5
años, categorizar las respuestas y establecer relaciones entre categorías. Como conclusiones
respecto al uso de unidades múltiples vieron que los niños subitizaban a la hora de saltar de
dos en dos y de tres en tres piedras; en los grupos de cuatro la mayoría de las veces
contaban, aunque algunos subitizaban y al agrupar de a seis, contaban.
En el trabajo de Castro y Hernández (2014), analizaron la forma de descomposición de una
cantidad de 24 objetos en grupos (filas) iguales, preguntando tanto por el número de filas
como por el número de objetos de cada fila, encontrando que casi la totalidad de los niños
lograron solución a las situaciones planteadas, algunos una solución, otros dos, otros tres y
otros cinco soluciones.
2
Kouba (1989) y Mulligan (1992), citados por Mulligan y Watson (1998), clasificaron las
estrategias de cálculo utilizadas en la solución de problemas observando métodos de conteo
cada vez más sofisticados:
Conteo directo: Se usan materiales físicos para modelar el problema y los objetos son
simplemente contados sin referencias obvias a la estructura multiplicativa.
Conteo rítmico: Siguiendo la estructura del problema (p.e. “1,2; 3,4; 5,6”; o “6; 5, 4; 3,2”)
con un conteo simultáneo del número de grupos, como un “doble conteo”.
Conteo a saltos: Conteo por múltiplos (“2,4,6” o “6,4,2”).
Cálculo aditivo: El conteo es reemplazado por cálculos tales como “2+2=4, 4+2=6”, o “6-
2=4, 4-2=2”
Cálculo multiplicativo: Los cálculos toman forma de hechos conocidos (por ejemplo, “tres
veces dos es 6”, o hechos derivados, por ejemplo “3x2=2+2+2”
Wright, Mulligan y Gould (2000, citado por Caballero, 2005) distinguieron cinco niveles
evolutivos en el conocimiento temprano de los niños sobre la multiplicación y la división
vinculados a estrategias que poseían de la reorganización del conteo y de las estrategias de
adición y sustracción: (1) Agrupamiento inicial, (2) Conteo perceptual por múltiplos, (3)
Comparación figurativa de grupos. Cuentan el número de ítems no visibles de los diferentes
grupos, (4) Repetición abstracta de la composición de un grupo. Por ejemplo, si se tienen
seis grupos cada uno de tres elementos, uno de estos grupos es una unidad y al mismo
tiempo tiene tres elementos, y (5) Multiplicación y división como operación.
Caballero (2005) hace una revisión de otros autores (p.e., Anghileri, 1989; Kouba, 1989,
Mulligan, 1992; Carpenter et al., 1999) quienes consideran el grado de abstracción de los
procedimientos y los agrupan en cinco categorías:
- De representación directa y recuento unitario: Reciben este nombre todas aquellas
estrategias que se apoyan en la utilización de objetos físicos para representar las relaciones
descritas en el enunciado del problema.
3
- De doble recuento: representan un nivel de abstracción más avanzado puesto que los
sujetos son capaces de integrar dos secuencias de conteo.
- Recuento transaccional: los niños calculan la respuesta del problema utilizando una
secuencia de conteo basada en múltiplos de un mismo factor.
- Estrategias de conteo: en la medida en que los niños van adquiriendo más habilidades
matemáticas cambian las estrategias basadas en la representación directa por las de conteo.
(Carpenter et al., 1999; citado por Caballero, 2005).
- Estrategias memorísticas y hechos numéricos: son combinaciones que los niños conocen
de memoria (hechos numéricos) o las pueden combinar de otras conocidas (hechos
derivados).
En este estudio Caballero (2005) mostró que todos los niños independientemente de la edad
recurrían en su mayoría a representación directa, seguidos de los procedimientos
memorísticos. Concretamente encontró 4 tipos de estrategias de representación directa para
los problemas de multiplicación, ordenado en cuatro niveles de acuerdo a su complejidad:
Nivel 1: adición repetida con representación 1 a 1. Ejemplo: las gallinas preparan la
cena, colocan en la casa roja, en la casa azul y en la casa amarilla 3 sacos de trigo en
cada casa, ¿cuántos sacos de trigo han colocado en total? Oscar de tres años colocó
tres casas y a continuación un saco en cada casa, después otro y luego otro hasta
completar tres en cada casa. Una vez hecho esto contó los sacos.
Nivel 2: Adición repetida con representación por múltiplos. Ejemplo: Ana de 5 años
colocó 3 casas, cogió tres sacos y los colocó en una, de nuevo cogió otros tres sacos
y los colocó en la otra y tres más para la última.
Nivel 3: Adición repetida con representación 1 a 1 y doble conteo. Por ejemplo
Chandra, cogió 3 sacos, después contó otros 3 y contó 4,5,6 y por último 3 más,
7,8,9.
4
Nivel 4: Adición repetida con representación de un único factor y doble conteo.
Ejemplo: Adrian de cinco años, cogió 3 sacos y añadió los que faltaban
mentalmente 4,5,6, pausa, 7, 8, 9.
Esta autora clasificó también algunas estrategias de conteo identificadas:
Nivel 1: Contar todo. Ejemplo: Enrique contó 1,2,3 pausa, 4,5,6, pausa, 7,8,9, utilizando
los dedos como apoyo.
Nivel 2: Contar a partir del primer factor. Parten de 3 (cardinal del primer conjunto) y
cuentan, 4,5,6 pausa, 7, 8, 9.
En cuanto a los procedimientos memorísticos que utilizaban los niños destaca que estaban
basados en el repertorio de “sumas dobles”, que ya dominaban.
En relación con los problemas de división, tanto para los de división partitiva como para los
problemas de división de medida, clasificó las estrategias utilizadas, en dos categorías:
estrategias de reparto y estrategias de adición, estableciendo los correspondientes niveles:
Estrategias basadas en reparto:
Nivel 1a: Ensayo y error. Ana María (5 años) repartió 12 gallinas en tres casas así: primero
3, 3 y 6. Luego 2, 5 y 5 hasta conseguir grupos equivalentes 4, 4 y 4.
Nivel 2a: Reparto de 1 en 1.
Nivel 3a: Reparto por múltiplos: María (5 años) cogió 12 gallinas y las 3 casas, colocó 3
gallinas en cada casa y a no haber agotado los elementos situó otra gallina.
Estrategias basadas en adición repetida:
Nivel 1b: Representa y cuenta. Ejemplo: 6 gallinas van a dormir y en cada casa caben dos
gallinas. ¿Cuántas casas se necesitan? Virginia (4 años) cogió 2 gallinas y las metió en una
casa, otras 2 en otra casa y 2 más en una tercera, después las contó todas para comprobar si
tenía 6. Por último contó las casas y respondió 3.
5
Nivel 2b: Representa con doble conteo. Ejemplo: Blanca (4 años). Dispuso 2 gallinas en 1
casa, cogió otra casa y colocó otras 2 gallinas pero al mismo tiempo contó 3, 4. Por último
cogió otra casa y situó otras 2 gallinas 5, 6 y respondió 3.
Nivel 4: Representa un único término y prosigue mentalmente. Representan el dividendo y
el divisor y llevaban a cabo un reparto mental sin usar objetos físicos.
1.2 CONTEXTUALIZACIÓN
La pregunta orientadora a partir de la cual se planteó esta investigación, surgió desde la
revisión de antecedentes y desde la experiencia de trabajo en el aula con niños, niñas y
jóvenes de los grados quinto y séptimo, a cargo de la autoras de este trabajo, en relación
con los procesos de enseñanza–aprendizaje de la proporcionalidad y de algunos conceptos
asociados como los de divisibilidad, máximo común divisor (mcd), mínimo común
múltiplo (mcm) y fracción.
La revisión teórica inicial permitió reconocer que los conceptos anteriormente referidos
están relacionados con el desarrollo del pensamiento multiplicativo y que, desde el trabajo
desarrollado por los integrantes del Grupo Mescud (Matemáticas Escolares de la
Universidad Distrital, 2007- 2011), se ubica en la línea de investigación Transición
aritmética–álgebra.
Desde la práctica docente en grado séptimo surgieron algunas inquietudes relacionadas con
los procesos de enseñanza del concepto de proporcionalidad, por cuanto el uso de algunos
números generaba dificultad en la solución de situaciones que involucran este concepto; por
ejemplo, resolver problemas de proporcionalidad con números como 2 y 4, ó 5 y 10,
resultaba menos difícil que si se trabajaba con números como 13 y 26, ó 7 y 14. Además,
se observó que en situaciones similares algunos estudiantes tendían a aplicar la denominada
“regla de tres” de manera automática, sin analizar la validez del procedimiento utilizado en
situaciones específicas, incluso usando dicha regla en aquellas que no tienen que ver con
proporcionalidad.
Por otro lado, desde la práctica docente en grado quinto, al diseñar actividades de
enseñanza- aprendizaje para abordar conceptos como múltiplo, divisor, mcm, mcd y
6
fracción, fue posible identificar la relación entre estos conceptos y las dos primeras
definiciones del libro V de Euclides (1991) –esto es, la relación “ser parte de”, vista como
análoga a la relación “ser divisor de” y también la relación “ser múltiplo de”–. Dichas
definiciones preceden, en Euclides, a la definición de razón que da pie a la definición de
magnitudes proporcionales.
Desde los trabajos de Vergnaud (1990), las situaciones cuyo tratamiento implica una o
varias multiplicaciones y los conceptos que permiten analizarlas, tales como proporción,
razón, fracción, múltiplo y divisor, forman parte del campo conceptual de las estructuras
multiplicativas.
En relación con la formación inicial del pensamiento multiplicativo, Rojas, Romero, Mora,
Bonilla, Rodríguez y Castillo (2011) llaman la atención sobre el siguiente hecho que se
presenta en las aulas de clase, al menos en Colombia: una tendencia en los primeros grados
de escolaridad –implícita o explícita– a enfocar la multiplicación y la división desde el
modelo MADA, es decir, la multiplicación agranda y la división achica. Dichos autores
plantean que este hecho suele generar obstáculos en la compresión de la multiplicación y
división, por ejemplo, de números racionales, donde dicho modelo no funciona, y proponen
como alternativa reconocer y trabajar la multiplicación como cambio de unidad. Para
sustentar esta propuesta, destacan que en los libros V y VII de Elementos de Euclides se
presenta de manera explícita el tratamiento de la unidad, de los cambios de unidad y de
reinterpretaciones en términos de las nuevas unidades, resaltando además que en la
actualidad surgen de manera “espontánea” en estudiantes matematizaciones que usan
procesos de unitización y normación en ausencia de posibilidad de usar algoritmos como el
de la regla de tres. La unitización consiste en construir una unidad de referencia o un todo-
unidad y la normación consiste en reconceptualizar un sistema en términos de esa unidad.
En el trabajo desarrollado por Martínez y González (2006), a partir del diseño e
implementación de actividades de aprendizaje para la construcción y uso significativo del
concepto de proporcionalidad (fundamentado en las primeras cinco definiciones del libro
V, de Elementos de Euclides), encontraron que los estudiantes usaron sus propias
estrategias para resolver situaciones de proporcionalidad, hecho que corrobora los
7
planteamientos de Lamon (1994), en tanto tales estrategias estaban enmarcadas dentro de
los procesos que esta autora denomina unitización y normación.
De acuerdo con lo anteriormente expuesto, la problemática a investigar se ubica en el
campo de la estructura multiplicativa y genera la siguiente pregunta de investigación:
¿Qué estrategias utilizan las niñas y los niños para resolver situaciones multiplicativas antes
de abordar los algoritmos clásicos en la escuela y cómo pueden ser analizadas en el marco
de los procesos de unitización y normación?
1.3 DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
El propósito general de la presente investigación es identificar y analizar, en el marco de los
procesos de unitización y normación, estrategias utilizadas por niñas y niños de primero y
segundo grado de Educación Básica Primaria (7-8 años) para abordar situaciones
multiplicativas antes de recibir instrucción en la escuela sobre multiplicación y división.
Para este propósito se diseñó una variedad de situaciones multiplicativas que pudieran ser
trabajadas por estas niñas y niños, y que permitieran dar cuenta de las estrategias puestas en
juego para su abordaje.
Lo anterior exigió la definición de categorías de análisis en el marco de la unitización y de
la normación, que permitieran clasificar dichas estrategias; además de identificar la posible
relación entre éstas y la naturaleza de tales situaciones.
8
2 REFERENTES TEÓRICOS
En este apartado se presentan algunas clasificaciones de los tipos de problemas
multiplicativos, seguida de una reflexión acerca de la importancia de la unidad en la
resolución de este tipo de problemas y los procesos de unitización y normación, finalizando
con una distinción entre esquemas y estrategias.
2.1 TIPOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
Distintos autores han realizado clasificaciones de problemas verbales de multiplicación y
división (Bell, et al., 1989; Vergnaud, 1983 y 1988; Swartz, 1988; Nescher, 1992; Kuoba,
1989; Greer; 1992; Carpenter, et al., 1999, citados por Caballero, 2005). Esta autora,
establece similitudes entre tales clasificaciones y las organiza en la siguiente tabla:
Tabla 1: Resumen de las clasificaciones de los problemas verbales de multiplicación y división.
Bell et al. (1989)
Vergnaud
(1983,1988)
Schwartz (1988) Nesher (1992) Kuoba (1989) Greer (1992) Carpenter et al.
(1999)
1. Multiplicación
Asimétrica.
a. Grupos múltiples.
b. Medidas
repetidas.
c. Porcentajes.
d. Cambio tamaño.
e. Mezcla.
1.
Isomorfismo
de medida.
1.Problemas
con estructura
1.Problemas que
describen una
regla de
correspondencia.
2. Problemas de
comparación
multiplicativa.
1. Problemas
con conjuntos
equivalentes.
2. Problemas
escalares o
comparación
multiplicativa.
1. Problemas
con conjuntos
equivalentes.
2. Problemas
escalares o
comparación
multiplicativa.
1. Problemas de
agrupamiento y
partición.
2. Problemas de
multiplicación
comparativa.
2. Multiplicación
simétrica.
a. Problemas de
área.
b. Problemas de
combinación.
2. Producto
de medida.
2. Problemas
con estructura
.
3. Problemas de
multiplicación
cartesiana.
3. Problemas
producto
cartesiano.
3. Problemas
producto
cartesiano.
4. Problemas de
área rectangular.
3. Problemas
simétricos.
3.
Proporción múltiple.
3. Problemas
con estructura
3. Problemas no
simétricos.
Caballero, 2005, pp.101
De acuerdo con esta organización, es posible observar que las distintas clasificaciones
sobre los tipos de problemas multiplicativos, pueden agruparse bajo las tres categorías de
Vergnaud (1983, 1988).
Particularmente en Vergnaud (1991), los problemas de isomorfismos de medidas se
caracterizan porque la forma de relación multiplicativa es una relación cuaternaria entre
cuatro cantidades, dos son medidas de un cierto tipo y las otras son medidas de otro tipo
como ocurre en el siguiente ejemplo:
9
Ejemplo1: Se tienen 3 cajas con cuatro galletas cada una, ¿cuántas galletas hay en total?
Existe una correspondencia entre dos tipos de unidades, las cajas de galletas y las galletas.
Cajas de galletas
Galletas
1 4
2 8
3 12
En la situación particular del ejemplo 1, se está preguntando el caso en el que la cantidad de
cajas de galletas (3) es un dato conocido y f(3), cantidad de galletas, es el dato desconocido,
para encontrar su valor, es posible realizar una multiplicación.
1
4
1
(1 caja de
galletas)
f(1)
(4 galletas)
3
3 (3 cajas de
galletas)
f(3) (12 galletas)
Tomando esta misma situación, la incógnita podría ser otro valor de alguna de las
magnitudes, por ejemplo f(1):
Ejemplo 2: Se quiere empacar 12 galletas en 3 cajas. ¿Cuántas galletas se deben colocar en cada caja?
1
1
(1 caja de galletas)
f(1)
(4 galletas)
3 12 3
(3 cajas de
galletas)
f(3)
(12 galletas)
De manera similar, considerando el mismo isomorfismo de medidas, la incógnita podría ser
la cantidad de cajas:
Ejemplo 3: Se empacaron 12 galletas colocando 4 en cada caja. ¿Cuántas cajas se utilizaron?
1
4 1
(1 caja de
galletas)
f(1)
(4 galletas)
12
3
(3 cajas de
galletas)
f(3)
(12 galletas)
10
Problemas como los mostrados en los ejemplos 1, 2 y 3 son llamados por Kouba (1989,
citada por caballero 2005), de multiplicación, cuando la cantidad desconocida es el
producto (ejemplo 1); de división partitiva, cuando la cantidad desconocida es el número de
elementos de cada conjunto (ejemplo 2) y; de división de medida, cuando la cantidad
desconocida es el número de conjuntos (ejemplo 3).
La otra relación que utiliza Vergnaud (1991) en su clasificación es ternaria, en la cual una
de las cantidades es el producto de las otras dos y la denomina producto de medida. Como
ejemplo de este tipo de relación que identificó este autor, se muestra el siguiente:
Ejemplo: Para el refrigerio del descanso cada niño tendrá la posibilidad de escoger algo de comer,
empanada o arepa. También podrá escoger algo de beber, jugo de mora, jugo de lulo o jugo de naranja.
¿Cuántos posibles refrigerios se pueden armar?
El número de refrigerios es igual al producto entre la cantidad de cosas para comer y la
cantidad de cosas para beber.
Una vez referenciadas algunas de las distintas clasificaciones de problemas multiplicativos,
se pasará al análisis sobre la importancia de la unidad en los procesos de solución de los
problemas multiplicativos.
2.2 UNITIZACIÓN, NORMACIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN COMO CAMBIO
DE UNIDAD
Como se mencionó en el apartado de contextualización del problema, las ideas relacionadas
con las dos primeras definiciones del libro V de Euclides han estado presentes en las
prácticas de las autoras de este trabajo en el abordaje de temáticas relacionadas con la
razón, la proporción, la fracción, las relaciones “ser múltiplo de” y “ser divisor de” que
como lo menciona Vergnaud (1990) forman parte del campo conceptual de las estructuras
multiplicativas. Tales definiciones son:
Definición 1: Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor.
Definición 2: Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.
En este sentido, desde la reflexión teórica en torno al desarrollo de esta investigación, el
concepto de “unidad” toma un significado fundamental para el abordaje de temáticas
relacionadas con el campo de las estructuras multiplicativas.
11
La expresión “mide a” hace pensar que una magnitud que mide a otra se convierte en una
unidad. Así, por ejemplo, tres como cantidad de alguna magnitud, puede ser pensado como
una unidad cuando se afirma que: “tres” es parte de “doce” puesto que “tres” mide a “doce”
ya que cabe exactamente cuatro veces.
Una definición más específica de unidad se encuentra en el libro VII de Euclides:
Una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay, se llama una.
Rojas et al. (2011) desarrollan el concepto de multiplicación como cambio de unidad, esto
es: “… entender que cuando se multiplica, lo que esencialmente se hace es expresar una
cantidad o magnitud –no necesariamente entera- de cierta cantidad o magnitud en términos
de otra unidad, y que para llevar a cabo tal cambio de unidad, se realizan procesos de
unitización y normación” (p.58).
Lamon (1994) define la unitización como la construcción de una unidad de referencia o un
todo-unidad y, la normación, como la reconceptualización de un sistema en términos de
una unidad fija o estándar. Esta autora señala también que las estructuras multiplicativas
combinan dos magnitudes con diferentes etiquetas, para producir una cantidad cuya
etiqueta no es la misma. Muestra como ejemplo que cinco bolsas de dulces con seis dulces
por bolsa, producen 30 dulces (no bolsas ni dulces por bolsa). Considera también la
importancia de la relación entre los números y sus referentes, es decir, la vinculación entre
las unidades de medida y las cantidades de magnitud para la comprensión de relaciones y
operaciones.
Por su parte, Rojas et al. (2011) resaltan que abordar la multiplicación como cambio de
unidad evita la práctica de resolver los problemas en términos puramente numéricos pues
“exige no desconocer que cuando se habla de cantidad, se habla de cantidad de algo, de
cantidad de una cierta unidad” (p.58).
En lo que se refiere a las cantidades, Puig y Cerdán (1995) destacan que un cantidad es un
par ordenado (x, u), en el que x es un número y u una unidad de una magnitud. Las
cantidades pueden ser extensivas, cuando expresan la extensión de una entidad o substancia
y se refieren a un conjunto, montón o trozo, por ejemplo 8 lápices; o pueden ser intensivas
12
cuando se refieren a razones, como velocidad, densidad, estudiantes por profesor, entre
otras.
Desde esta perspectiva se encuentra que la “unidad” y por tanto la unitización han estado en
las gafas teóricas de estudios relacionados con los números fraccionarios (Lamon, 1996;
McCloskey y Norton, 2008 y 2009), con la proporcionalidad (Lamon, 1994) y con la
formación del concepto de multiplicación en la educación inicial (Rojas et al., 2011; Olive,
2011, citado por Bosh, 2012).
En relación con la normación, Lamon (1994) estudió las estrategias inter e intra usadas por
los estudiantes antes de recibir instrucción al resolver situaciones del cálculo del término
desconocido de una proporción. La estrategia intra hace referencia a utilizar como unidad
uno de los valores de un espacio de medida para determinar cuántas de esas unidades están
contenidas en otro valor del mismo espacio de medida, luego se hace un proceso similar en
el segundo espacio de medida usando como unidad el valor allí dado, como ocurre en el
siguiente ejemplo: Tres empanadas cuestan 4200 pesos, ¿cuánto cuestan 12 empanadas?
Empanadas Precio
3 4200
12
Si se analiza el problema usando una estrategia intra dentro del espacio de medida,
“cantidad de empanadas”, es posible encontrar el factor escalar “4” que relaciona los dos
valores (3 y 12), contando la cantidad de veces que está 3 en 12.
Empanadas Precio
3 4200
12
El operador escalar 4 debe ser aplicado a la cantidad dada, al interior del otro espacio de
medida, para obtener el “precio” de las 12 empanadas: .
Una estrategia inter consiste en encontrar una relación funcional entre los dos espacios de
medida:
X4 X4
13
Por otra parte, retomando el tema de la formación de unidades se relaciona a continuación
lo referente a la educación inicial.
En la educación infantil para el abordaje de situaciones multiplicativas, la construcción de
unidades resulta crucial, Olive (2011, citado por Bosch, 2012, p. 22), afirma que:
“para establecer los esquemas multiplicativos, los niños comienzan formando unidades
compuestas; a continuación usan dichas unidades como entradas en operaciones posteriores,
tales como contar, combinar, comparar, segmentar y repartir; seguidamente, consiguen formar
una composición numérica de las unidades compuestas como resultado de las operaciones; y
por último; son capaces de “(re)interiorizar” la secuencia numérica para tomar los resultados
de las operaciones con unidades compuestas como “material” de operaciones posteriores”.
En este sentido resulta viable comprender cómo se va dando la construcción de unidades
(unitización) en los niños a partir de las secuencias de conteo, pues de acuerdo con Olive
(2001), una de las estructuras fundamentales que los niños desarrollan en su primera
infancia son las secuencias numéricas.
Steffe y Cobb (1988, citado por Olive, 2001) desarrollaron una descripción de los tipos de
secuencias numéricas de los niños:
Secuencia numérica inicial: los niños con esta secuencia numérica son capaces de hacer
actos de conteo por ejemplo de dos en dos, pero no son capaces de identificar cuántos
“doses” han contado, puesto que el “dos” no existe como una sola cosa1.
Secuencia tácitamente anidada: el niño es capaz de reprocesar una secuencia numérica
inicial de manera que sus elementos se convierten en un ítem contable. Por ejemplo: se
colocan 12 objetos en una caja y 15 en otra, se pregunta al niño: ¿cuántos objetos son en
total? El niño empieza a contar desde 12 levantando sus dedos, 13 (un dedo), 14 para dos
dedos, 15 para tres dedos,… 22 para diez dedos levantados,… 27 para 15. La secuencia de
1 a 15 es tácitamente anidada dentro de la secuencia de 1 a 27. Hay una conciencia de 15
como un todo compuesto, no solo el resultado de contar de 1 a 15.
1 Se subrayan las expresiones que hacen referencia a la formación de unidades. En la secuencia numérica
inicial, aún el “dos” no se ha constituido como una cosa contable. En los siguientes tipos de secuencias las
unidades van adquiriendo su carácter de “unidad” como tal.
14
Para los niños con una secuencia tácitamente anidada tiene sentido la pregunta: ¿Cuántos
“doses” hay?, porque el “dos” ya existe como una sola cosa. Pueden contar de dos en dos
hasta 12, llevando el seguimiento de cuántos “doses” hay.
Secuencia explícitamente anidada: los niños con esta secuencia pueden establecer
esquemas multiplicativos que involucran dos niveles de unidades. Por ejemplo, al formar
una colección de seis elementos, cada uno de los seis, es un cinco. Además los 30
elementos pueden tomarse como una composición de 30. Lo que no pueden hacer es tomar
los seis grupos de cinco como una cosa que pueden usar para un ejercicio posterior. Pueden
producir unidades de unidades pero no pueden todavía simbolizarlas.
La re-interiorización de la secuencia explícitamente anidada resulta en unidades
compuestas iterables de la misma forma que la re-interiorización de la tácitamente anidada
resulta de la iteración de “unos”.
Secuencia numérica generalizada: Steffe (1994) la visualiza como las raíces de la
multiplicación. Su construcción sirve para la iterabilidad de las unidades compuestas. Por
ejemplo: uno es tres, dos es seis, tres es nueve…
Unidad compuesta: es una unidad compuesta de unidades. Por ejemplo el número seis
(como unidad compuesta) puede ser pensado como contenedor de seis unos.
Unidades compuestas iterables: Antes que emerjan como unidades iterables, surgen como
unidades compuestas experienciales y como unidades compuestas abstractas. Cuando el
niño comprende este tipo de unidades, es que capaz por ejemplo de identificar cuántos
dieces hay desde treinta hasta noventa.
Tomando como punto de partida estas secuencias numéricas Steffe (1994) indagó por los
esquemas multiplicativos de los niños. Un esquema consiste en tres partes: primero, existe
una situación concebida por el niño como provocadora, con lo cual asocia una actividad y
sus resultados; segundo, un procedimiento específico del niño y, tercero, existe un
resultado (percibido así por el niño).
15
Este autor afirma que para que una situación quede establecida como multiplicativa es
necesario que al menos se coordinen dos unidades compuestas en tal forma que una de
estas esté distribuida a lo largo de los elementos de otra unidad compuesta.
El autor describe respuestas de los estudiantes que permiten identificar en ellos esquemas
pre-multiplicativos, esquemas de coordinación de unidades, esquema de adición como
suma repetida, entre otros.
Un esquema pre-multiplicativo: se presenta cuando el niño puede resolver situaciones
multiplicativas, pero la coordinación de unidades solo ocurre en representación actuada. Se
entiende ésta como la que ocurre, bien con el material concreto, o bien utilizando alguna
representación que sea lo más parecido a tener este material.
Esquema de coordinación de unidades: en el ejemplo dado por el autor le presentan a una
niña una pieza roja de papel y varias piezas azules, de manera que las seis piezas azules
cubren exactamente una pieza roja, luego quitan las piezas azules y colocan dos cuadrados
naranja que cubrían la una pieza azul. Enseguida le preguntó cuántos cuadrados naranja
deberían colocarse para cubrir la pieza roja (sin permitirle realizar ningún reemplazo con el
material). La niña golpeó la mesa dos veces por cada uno de seis dedos pronunciando
palabras número 1,2; 3,4; 5,6; 7,8; 9,10; 11,12. En este caso distribuyó unidades de dos a lo
largo de una unidad de seis2.
Esquema de adición como suma repetida: Se establece una unidad compuesta como unidad
contable, sin necesidad de pensar una a lo largo de la otra. Por ejemplo, al establecer 3
como unidad contable, puede decir: 3,6,9,12….
2.3 ESQUEMAS Y ESTRATEGIAS
Mc Closkey y Norton (2009) aclaran que los esquemas son constructos usados por los
profesores e investigadores para modelar estructuras cognitivas de los estudiantes. Los
investigadores atribuyen esquemas a los estudiantes para explicar y predecir sus acciones
con el fin de proporcionar información acerca de la instrucción. Plantean que un esquema
2 Esta situación con la que Steffe indagó por los esquemas multiplicativos de los niños, fue tomada como
referencia para el diseño de una situación en la que se indagará por las estrategias utilizadas por los niños para
resolver las situaciones multiplicativas dentro de la presente investigación.
16
encaja en la observación que el profesor hace del estudiante en la misma forma que una
teoría científica encaja en las observaciones de un fenómeno natural. El profesor no puede
fácilmente decir que un esquema no existe sin las mentes de los estudiantes, como Kepler
no podría decir que las leyes de movimiento planetario existen sin los planetas.
Retomando los componentes de un esquema, dichos autores se refieren al segundo
componente que mencionamos anteriormente “un procedimiento específico del niño” como
las acciones mentales o las operaciones que son activadas en las situaciones reconocidas.
Presentan un ejemplo en el que al pedirle a un estudiante que sume 8 más 5, éste usa una
acción mental de conteo desde 8 que puede ser representado por el estudiante diciendo: “8,
9 es uno, 10 es dos, 11 es tres, 12 es cuatro y 13 es cinco”. Los profesores pueden atribuir a
este estudiante un esquema de conteo. Situaciones percibidas como aquellas que involucran
adición, o unión de objetos, encajan en plantillas de reconocimiento y desencadenan un
esquema.
Siguiendo las ideas de Mc Closkey y Norton (2009) los esquemas ocurren fuera de la
conciencia de los estudiantes y son activados a la vez y no a manera de proceso. Son
además, construcciones que realizan los profesores o investigadores con el propósito de
explicar las acciones (incluidas las verbalizaciones) que realizan los estudiantes.
Particularmente, estos autores, analizan las operaciones que son utilizadas en el trabajo con
números fraccionarios: unitizar, particionar, desanclar e iterar.
Por otra parte, en lo que se refiere a estrategias, Rodríguez et al. (2008) afirman que las
estrategias matemáticas constituyen métodos flexibles y orientados a una meta, como
podría ser la resolución de un problema aritmético.
De acuerdo con lo planteado anteriormente, reconocemos que unitizar es una operación que
forma parte de un esquema y las estrategias son acciones que se desarrollan de manera
consciente en el abordaje de una situación.
17
3 DISEÑO METODOLÓGICO
En este capítulo se describe la manera como se desarrolló la investigación, en la primera
parte se relaciona el proceso de diseño del instrumento de recolección de la información,
explicitando el pilotaje y la toma de decisiones para la definición de un instrumento final. A
continuación se da a conocer la forma como se recolectó y se sistematizó la información.
3.1 DISEÑO DEL INSTRUMENTO
El estudio realizado es una investigación de tipo cualitativo en la que se utilizó como
herramienta metodológica la entrevista estructurada basada en tareas (Goldin, 1998), las
cuales se desarrollaron tanto de manera individual (6 entrevistas) como en grupos de dos (4
entrevistas), realizadas a niñas y niños con edades entre los siete y los ocho años que
cursaban primero y segundo grado en dos instituciones educativas de la ciudad de Bogotá,
cinco de ellos en un colegio oficial y nueve en un colegio privado; instituciones en las
cuales curricularmente no se había trabajado aún la multiplicación y la división.
En las entrevistas individuales, el entrevistador leyó las situaciones que debían abordar los
estudiantes quienes tenían a su disposición material que podían utilizar (regletas de
Cuisenaire, lápiz y papel). En las entrevistas de parejas, se les entregó a los estudiantes las
situaciones a resolver mediante un instrumento escrito y el entrevistador solamente
intervenía si lo consideraba necesario. Las respuestas dadas en forma individual y la
dinámica de abordaje de las situaciones propuestas en parejas de niños, fueron registradas
mediante video.
Las tareas para desarrollar se diseñaron a partir de 9 situaciones multiplicativas así:
- Un problema de multiplicación, uno de división partitiva, uno de división cuotitiva y
uno de producto de medida, teniendo en cuenta la clasificación de Vergnaud (1991).
- Dos situaciones de arreglos rectangulares con algunas fichas ocultas y tres situaciones
con regletas de Cuisenaire, tomando como referente algunas preguntas del experimento
de Steffe (1994).
18
3.2 PILOTAJE
Se realizó pilotaje de las preguntas mediante una entrevista individual con material
concreto (regletas de Cuisenarire) y dos entrevistas en parejas. Se hizo registro de video.
Teniendo en cuenta las respuestas dadas por los estudiantes en la prueba piloto se ajustaron
las preguntas y su correspondiente orden.
3.2.1 Descripción y análisis de la prueba piloto
A continuación se describe parte de lo ocurrido durante la implementación del pilotaje de
acuerdo con lo observado en las maneras de proceder de los niños al abordar cada una de
las situaciones planteadas:
Primera situación: fichas escondidas.
En la imagen pueden ver un grupo de fichas. Detrás de esta tarjeta azul escondí
otros tres grupos de fichas iguales al grupo que pueden ver. ¿Cuántas fichas hay
escondidas? ¿Cuántas fichas hay en total?
Se formularon otras dos situaciones similares a esta, una con tres fichas visibles y dos
grupos de tres fichas escondidos y otra, con un grupo de tres fichas visibles y cinco grupos
de tres fichas escondidos.
En el proceso de abordaje de las situaciones por parte de los estudiantes se observó uno de
los niños, Camilo, contó “grupos de fichas” y “fichas” indistintamente, sin tener en cuenta
el tipo de unidad. Por ejemplo, tres fichas visibles y dos grupos de fichas le daban cinco.
Por su parte, el compañero de Camilo, Andrés, se dio cuenta que había que contar grupos y
también había que contar fichas. En la situación en la que se le presentó un grupo de tres
fichas visibles y dos grupos de tres fichas cada uno, escondidos, Andrés hizo su conteo:
“tres y tres seis y tres doce”; Camilo lo corrigió y le aclaró, “tres y tres seis y tres 9”.
Posteriormente cuando abordaron la situación en la que se les mostró un grupo de tres
fichas visibles y se les dijo que había otros cinco grupos de fichas escondidos, realizaron un
doble conteo, al afirmar 3, 6, 9, 12, (12,13,14), mientras que llevaron con sus dedos la
cuenta a la vez que miraron la cantidad de veces que contaron grupos de tres.
19
Angie, una niña que participó de entrevista individual, realizó grupos de tres con los dedos
de ambas manos y señalando los grupos visibles dijo: “hay tres, y otros tres son 6 y otros
tres son 9”.
Segunda situación: “Armemos trenes”
Se les permitió a los niños usar las regletas de Cuisenaire. Al
abordar la situación ignoraron las regletas rojas y usaron de una
vez las blancas para saber cuántas blancas equivalían a la
rosada, como se observa en la ilustración 1 de la solución dada
en una de las entrevistas.
Tercera situación: “Sigamos armando trenes”
Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un “tren” de una ficha
verde. Un “tren con dos fichas blancas es tan largo como un “tren” de una ficha roja. ¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para que sea tan
largo como un “tren” de una ficha verde?
Andrés contó sobre el papel haciendo dos toques en cada ficha roja, 1,2; 3,4; 5,6. Luego se
le pidió que explicara y dijo “como en cada una hay dos entonces serían 2,4,6.
Cuarta situación: “empacando pastelitos”
Natalia encontró en la cocina tres platos, cada uno con cuatro pastelitos, como pueden ver en la imagen. Todas los pasteles que encontró las
colocó en una bolsa.
El total de pasteles que colocó en la bolsa es: _____________
Andrés abordó la situación diciendo: “serían 4, 8”, después hizo tres toques con sus dedos y
dijo: “12”. En papel escribieron: sumando cuatro por cada plato.
Un “tren” con dos fichas rojas es tan largo como un “tren” con una ficha rosada.
Un “tren” con dos fichas blancas es tan largo como un “tren” con una ficha roja.
¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para ser igual de largo a un “tren”
con una ficha rosada?
El total de fichas blancas es:_________
Ilustración 1: Solución dada por un
niño en la situación "Armemos
trenes"
20
Por otra parte, Angie casi que contestó de inmediato y dijo: “doce”. Señalando una regleta
roja dijo: “cada esquina es un pastel, entonces hay 4 esquinas serían 4,8, 12”.
Quinta situación: “Haciendo pulseras”
Con 24 chaquiras rojas se harán pulseras, colocando 4 chaquiras en cada
pulsera. ¿Cuántas pulseras se pueden hacer con las chaquiras?
La cantidad de pulseras que se puede hacer es: ______
En esta situación los niños usaron el lápiz para encerrar cada grupo de 4 chaquiras y
contarlos, de manera que establecieron una coordinación entre la cantidad de grupos y de
pulseras, obteniendo como respuesta: “seis pulseras”. Mostraron claridad en que cada grupo
de cuatro pulseras que habían encerrado, correspondía a una pulsera.
Sexta situación: “Repartiendo dulces”
Andrés empezó diciendo: “hay 12, entonces son, 4, no, serían a cada uno 3. Luego dice 3,3
(mostrando tres para cada niño), 6...+3+3, 6 y 6, 12. Andrés formó unidades de tres y
parece que le dio resultado hacer un grupo de dos unidades de tres y luego otro grupo de
dos unidades de 6.
Por otra parte, Angie, al tener como material concreto las regletas, colocó 4 regletas rojas y
dijo: “como cada ficha roja son 2, entonces de a 2 dulces para cada uno; irían 8 dulces y me
faltan 4 por repartir. Entonces una ficha roja serían 2 dulces (con el dedo señaló la mitad
de la regleta roja) uno para cada amigo y otra ficha roja serían otros dos dulces, uno para
cada amigo. En total le tocan 3 dulces para cada amigo”.
Séptima situación: “Un nuevo reto para construir trenes”
Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un tren
con dos fichas verde claro.
Con fichas rojas se quiere armar un “tren” que sea igual
Voy repartir 12 dulces entre mis cuatro amigos. Si todos deben recibir la misma
cantidad,
¿Cuántos le debo dar a cada uno?
21
de largo a un tren con cuatro fichas verdes.
¿Cuántas fichas rojas se necesitan?
Andrés respondió rápidamente que eran seis fichas rojas, y frente a la pregunta de cómo lo
obtuvo, respondió: “porque dice cuatro verdes y se necesitan tres rojas para armar dos
verdes y como son cuatro, tres más tres seis y dos más dos cuatro”.
Octava Situación: “refrigerios”.
En el colegio de Daniel, los niños tienen varias maneras de escoger su
refrigerio:
De comer pueden escoger: Empanada o Arepa. De beber pueden
escoger entre jugo de mango, de mora o de lulo (Hay gran cantidad de
cada uno).
¿Cuántos refrigerios distintos se ofrecen? La cantidad de refrigerios distintos que se ofrecen es ______
Para Andrés y Camilo esta situación resultó “difícil” de comprender. La primera respuesta
dada fue 5 refrigerios sumando las dos comidas con las tres bebidas. Los niños discutieron,
Andrés dijo que eran tres posibilidades y dio ejemplos de armar refrigerios. Camilo dijo
que solo dos posibilidades porque repartió la empanada y la arepa y le sobró un jugo.
Después de un rato la entrevistadora les dijo que se imaginaran que había muchas arepas,
muchas empanadas y muchos niños en la fila. En ese momento Andrés empezó a armar
posibilidades y, con la ayuda de Camilo contaron: empanada y jugo de mora, uno;
empanada y jugo de lulo, dos… así hasta completar 6.
Por su parte, Angie, a cada imagen de los jugos le colocó al lado una regleta blanca
diciendo que eso era “lo de comer” y a cada imagen de la empanada y arepa le puso una
regleta blanca al lado diciendo que era” lo de tomar”.
3.2.2 Resultado del proceso de pilotaje
De acuerdo con lo observado durante el pilotaje, se verificó que con las situaciones
formuladas y las intervenciones de las entrevistadoras sí era posible obtener información
relacionada con las estrategias utilizadas por los estudiantes. Además se tomaron algunas
decisiones:
22
3.2.2.1 Ajuste en el diseño del instrumento. Cambiar el orden de las situaciones formuladas;
las dos primeras serán la de las pulseras y la de los dulces debido a lo “fáciles” que
resultaron para los estudiantes, las dos siguientes situaciones serán las de fichas escondidas.
En las situaciones de trenes se cambia la forma de los dibujos con el propósito de no sugerir
una forma de solución, mientras que la situación de los pastelitos permanece igual. La
situación “Un nuevo reto para construir trenes” se puede complejizar un poco agregando
otras dos fichas verdes y a la situación de los refrigerios se le agrega una nota que dice que
hay gran cantidad para cada producto.
3.2.2.2 Definición de las situaciones del instrumento final para la recolección de la
información. Se tomó la decisión de formular las situaciones que enumeramos a
continuación con sus correspondientes títulos: “Haciendo pulseras”, “Repartiendo dulces”,
“Descubriendo fichas”, “Armemos trenes”, “Sigamos armando trenes”, “Empacando
pastelitos”, “Refrigerios”, “Un nuevo reto para construir trenes” (ver anexo).
3.2.2.3 Ajuste en el desarrollo de la entrevista y el registro de datos. En el pilotaje para
algunos casos se trató de no registrar la cara de los niños, hecho que desvió la atención y
por momentos no quedó completo lo que hacían con las manos o con las fichas, o la misma
expresión del rostro que en ocasiones ayuda a ver cómo están actuando. Por esta razón se
decidió solicitar al colegio y los padres autorización para la filmación, protegiendo los
derechos de los niños. Al tener la autorización, el registro de video será más completo.
La intervención del entrevistador debe ser enfocada a indagar por la estrategia específica
del niño, la experiencia piloto demostró que en ocasiones los señalamientos con las manos
o con las palabras del entrevistador direccionaba o afectaba la forma de proceder del niño.
3.3 RECOLECCIÓN Y SISTEMATIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
En cada una de dos instituciones educativas, una de carácter privado y la otra de carácter
oficial, se realizaron entrevistas individuales y en parejas de estudiantes, para un total de
diez entrevistas. La información recolectada se sistematizó de dos maneras: la primera,
consistió en consignar apartes de las entrevistas en una matriz ubicando horizontalmente las
situaciones y verticalmente los nombres de los niños; la segunda consistió en describir y
23
transcribir algunas de las entrevistas y resaltar expresiones clave, relacionadas con el
trabajo con las unidades simples y las unidades compuestas.
3.3.1 Organización de los datos en una matriz
Se consignaron algunos apartes de los registros de video en una matriz de Excel en la que
se dispusieron de manera horizontal las situaciones diseñadas y de manera vertical los
nombres de los niños entrevistados.
Tabla 2: Disposición matriz organización de datos.
Situación
Estudiante
Haciendo pulseras Repartiendo dulces …
Santiago
.
.
Conclusiones
Qué se
observa de las
unidades?
Con la información recolectada en esta disposición se obtuvieron unas primeras
conclusiones de lo ocurrido en cada una de las situaciones como aparece en el siguiente
ejemplo:
Tabla 3: Ejemplo de primeras conclusiones sobre las dos primeras situaciones a partir de los datos organizados en la matriz.
Estudiante Situación 1: “Haciendo pulseras”
Con 24 chaquiras rojas se harán
pulseras, colocando 4 chaquiras en
cada pulsera. ¿Cuántas pulseras se
pueden hacer con las chaquiras?
Situación 2: “Repartiendo dulces”
Voy repartir 12 dulces entre mis
cuatro amigos. Si todos deben recibir
la misma cantidad, ¿cuántos le debo
dar a cada uno?
Santiago Doble conteo. Conteo de 4 en 4
usando un hecho numérico.
(4,8,12,…) Siguiendo la pista del
número de grupos con los dedos.
Sumó de tres en tres hasta completar
12.
24
Lorenzo Con material concreto armó
grupos de 4 y los contó.
Ensaya primero con dos y luego con
tres haciendo correspondencia con
material concreto.
Violeta y Alex En el dibujo encerraron en grupos
de 4 y contaron la cantidad de
grupos.
Contó la mitad de 12, seis y luego la
mitad de seis, tres.
Conclusiones En 6 de las nueve entrevistas armaron primero los grupos y
después los contaron. En los otros
dos hicieron un doble conteo
simultáneo. En esos dobles conteos
se cuentan unidades pulseras y
unidades chaquiras.
En cinco de las nueve entrevistas primero ensayaron cuál es la cantidad
de elementos de cada grupo. Después
establecen una correspondencia o
cuentan de 3 en tres. En otra van
haciendo partición por mitades.
¿Qué se observa
de las unidades?
El problema requiere armar
unidades de 4 y contarlas. Las
unidades "chaquiras" se cambiarían por unidades pulseras.
La unidad “dulces por niño”, se pone
en correspondencia con los niños.
Los registros sobre lo ocurrido con las demás situaciones dando respuesta a unas primeras
conclusiones y a la pregunta, ¿qué se observa de las unidades?, se presenta en la tabla 4:
Tabla 4: Ejemplo de primeras conclusiones sobre las situaciones 3,4,5,6,7,8, a partir de los datos organizados en la matriz.
Situación Conclusiones ¿Qué se observa de las
unidades?
Situación 3. Descubriendo fichas
(tareas 1 y 2): En la imagen
pueden ver un grupo de fichas.
Detrás de esta tarjeta azul escondí otros tres grupos de fichas iguales
al grupo que pueden ver.
(Se deja visible un grupo de dos
fichas en la primera tarea y se
esconden tres grupos. En la
segunda tarea, se deja ver un grupo
de tres fichas y se esconden cinco).
¿Cuántas fichas hay escondidas?
¿Cuántas fichas hay en total?
Se observan dos tipos de
doble conteo, según los
hechos numéricos que
tengan los niños.
En los "dobles conteos" se
consideraron dos tipos de
unidades: las filas y las fichas
por fila. Tales "dobles conteos" se dieron de manera natural.
Situación 4. Empacando pastelitos:
Natalia encontró en la cocina tres
platos, cada uno con cuatro
pastelitos, como pueden ver en la
Usan doble conteo o
siguen secuencias de 4 en
4. Usaron unidades de 1 o
En el doble conteo se tiene en
cuenta la unidad pasteles por
plato y pasteles en total.
25
imagen. Todos los pasteles que
encontró los colocó en una bolsa.
unidades de 4.
Situación 5. Armemos trenes (1):
Un “tren” con dos fichas rojas es
tan largo como un “tren” con una
ficha rosada.
Un “tren” con dos fichas blancas
es tan largo como un “tren” con
una ficha roja. ¿Cuántas fichas
blancas debe tener un “tren” para
ser igual de largo a un “tren” con
una ficha rosada?
De las siete entrevistas, en 3
usan unidades simples y en 4
unidades compuestas. En las
respuestas de unidades
compuestas se coordinan unidades de 1 a lo largo de dos
unidades de dos.
Situación 6. Sigamos armando trenes: Un “tren” de tres fichas
rojas es tan largo como un “tren”
de una ficha verde. Un tren con
dos fichas blancas es tan largo
como un tren con una ficha roja.
¿Cuántas fichas blancas debe
tener un “tren” para que sea tan largo como un nuevo “tren” de dos
fichas verdes?
En 4 entrevistas hace uso de las unidades
compuestas (rojas) que
forman parte de la regleta
verde. En tres de ellas
tienen en cuenta también
las dos unidades verdes
que son unidades de seis.
El problema requiere pensar en unidades de "1", unidades de "2"
y unidades de "6"
Situación 7. Refrigerios: En el
colegio de Daniel los niños tienen
varias maneras de escoger su
refrigerio. De comer pueden
escoger empanada o arepa. De
beber pueden escoger entre juego
de mango, jugo de mora o jugo de
lulo. ¿Cuántos refrigerios distintos se ofrecen?
En 6 de las 9 entrevistas
contestaron 5. En algunos
casos no distinguieron
entre unidades refrigerios y
unidades jugo o cosas de
comer. En algunas
distinguen la unidad
refrigerio, sin embargo no llevan la "cuenta" de
cuantas posibilidades hay.
En las otras entrevistas
contestan 6; usando como
estrategia una unidad fija y
"uniéndolos" con las otras
unidades para hacer
unidades refrigerio.
Es necesario realizar unidades
refrigerios, unidades "jugo" y
unidades "algo de comer"
Situación 8. Un nuevo reto para construir trenes: Un tren con tres
fichas rojas es tan largo como un
tren con dos fichas verde claro.
¿Cuántas fichas rojas tendrá un
tren para que sea igual de largo a
otro nuevo tren que se armó con
Se observaron conteos de verdes y rojas, a la vez que
se acudía a algún registro
para llevar el número de
veces de los dobles
conteos.
Presencia de unidades de dos y unidades de tres de manera
simultánea.
26
seis fichas verde claro?
Al analizar las maneras de proceder para solucionar la pregunta de la primera situación, se
encontró que el doble conteo ocurrió en dos niveles. El primero, armar grupos y luego
contarlos y, el segundo, correspondió a hacer un conteo simultáneo.
Como resultado de este primer análisis surgió una primera aproximación a la definición de
las categorías:
Para situaciones de división cuotitiva:
o Armar unidades compuestas y contarlas al final.
o Simultáneamente se arman las unidades y se cuentan (doble conteo),
mediante conteo de uno en uno o por múltiplos.
Para situaciones de Multiplicación:
o Formar unidades con pausas: 1,2,3, pausa, 4,5,6, pausa…
o Usar parte de una secuencia de múltiplos y luego completar de uno en uno.
o Usar una secuencia de múltiplos.
Para situaciones de división partitiva:
o Formación de unidades por ensayo y error, mediante representación directa,
coteo por múltiplos o repartos de uno en uno.
o Aplicación de operadores simultáneos a los dos espacios de medida.
En el abordaje de las diferentes situaciones se encontró que:
- El conteo por múltiplos, es utilizado en los tres tipos de problemas.
- El doble conteo haciendo pausas para contar las unidades de la situación de división
cuotitiva, es similar a la formación de unidades haciendo pausas para resolver las
situaciones de multiplicación.
Con estas categorías se hizo un primer ejercicio de clasificar las estrategias de los
estudiantes como se muestra en el siguiente ejemplo de acuerdo con lo observado en las
entrevistas de un estudiante a lo largo de la solución de las 3 situaciones propuestas:
Situación división cuotitiva: Armó unidades de 4 con material concreto y después las contó.
División partitiva: Ensayo y error usando correspondencias con material concreto. Tomó
unas fichas para representar a los niños y otras para representar los dulces.
27
Multiplicación (Fichas escondidas): Conteo por múltiplos. Contó de dos en dos las fichas
organizadas en arreglos de dos y de tres en tres los otros arreglos.
Para continuar con la definición de las categorías de análisis, se realizó a la par la
transcripción y descripción de algunas entrevistas, resaltando palabras clave, como se
muestra en el siguiente apartado:
3.3.2 Descripción y transcripción de apartes de las entrevistas
Se realizó transcripción de algunas entrevistas y en ellas se resaltaron palabras clave que
brindaran información relacionada con la búsqueda objeto de esta investigación, como se
muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Estudiante Natalia en una situación de división partitiva
Al resolver la situación de reparto de dulces, hizo un conteo por múltiplos y fue realizando
una correspondencia entre los dos espacios de medida. Señaló los niños a la vez que iba
repartiendo los dulces de a tres, situación que mostró en el dibujo. Si relacionamos la forma
de solución de esta situación con la que utilizó en la situación de las chaquiras, diremos que
está haciendo un conteo simultáneo de las unidades de los dos espacios de medida.
En la primera situación de división cuotitiva tenía que armar las unidades y a la vez
contarlas, mientras que en la división partitiva (reparto de los dulces), el tamaño del reparto
lo hizo por ensayo y error y luego procedió de manera similar a como procedió en la
primera situación. La diferencia está en que en la situación de división cuotitiva (chaquiras)
cuenta de 1 en 1 hasta constituir cada unidad de 4, mientras que en la segunda al estar ya
constituida la unidad, sólo falta hacer el recorrido de las unidades de tres, hasta completar
el grupo de 12. Su conteo en esta ocasión fue por múltiplos.
Como resultado de estas dos formas de sistematización de la información se obtuvo la
definición final de las categorías que se presenta en el siguiente capítulo.
28
4 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS UTILIZADAS
En este capítulo se presenta una descripción de las diversas estrategias utilizadas por las
niñas y los niños (7-8 años) cuando abordan situaciones de tipo multiplicativo, antes de
recibir instrucción. El análisis estará centrado en identificar si reconocen diferentes
unidades, simples o compuestas (formadas por unidades simples), y el uso que hacen de
éstas, en particular, si forman unidades (unitización) y si con ellas reinterpretan la situación
dada (normación).
En el abordaje de situaciones multiplicativas por parte de las niñas y los niños se observó
que algunas veces realizaban conteos de uno en uno sin reconocer la necesidad de formar
grupos, otras veces formaban grupos del mismo tamaño y los contaban, ya sea mediante un
doble conteo de manera simultánea, o formándolos y contándolos al final. Desde las
diversas maneras en que realizaron sus conteos fue posible identificar los procesos seguidos
para la conformación de las unidades compuestas (unitización), por ejemplo, 1,2, uno, 1,2,
dos, 1,2, tres; o 1,2 pausa, 3,4, pausa; o contando directamente por múltiplos 2, 4,6.
Lo planteado anteriormente corrobora lo afirmado por Steffe y Cobb (1988, citado por
Olive, 2001) y por Steffe (1994), con respecto a que los tipos de secuencias numéricas y los
esquemas multiplicativos de los niños proporcionan elementos para comprender la forma
como ellos construyen unidades en sus procesos de conteo.
Por otra parte, la normación se hizo evidente cuando algunos niños abordaron ciertas de las
situaciones planteadas, pues se observó la reinterpretación en términos de unidades de dos,
unidades de tres o unidades de seis, en lugar de trabajar las situaciones con unidades
simples (unidades de uno).
Desde esta perspectiva, las estrategias usadas pueden ser clasificadas así:
1. Conteo de uno en uno sin reconocimiento de grupos o de relaciones. Realizan
conteos de uno en uno pero no forman grupos o no los reconocen. En esta categoría
se ubican estrategias en la que las niñas y los niños realizaron conteos unitarios, sin
evidencia de tener en cuenta las relaciones dadas en el problema o de reconocer las
diferentes unidades presentes en la situación.
29
2. Conteo o reparto de uno en uno con reconocimiento de grupos o de relaciones.
Realizan conteos de uno en uno y forman grupos del mismo tamaño (realizando
conteos simples). Los niños cuyas estrategias se ubican en esta categoría realizaron
conteo de unidades simples evidenciando tener en cuenta las relaciones dadas en la
situación o realizaron repartos de grupos iguales.
3. Doble conteo reiniciando en uno. Forman grupos de igual tamaño (unidades
compuestas), realizando doble conteo pero reiniciando cada vez el conteo en 1 [por
ejemplo, 1, 2, uno; 1, 2, dos; 1, 2, tres; …].
4. Doble conteo, haciendo pausa en los múltiplos. Forman grupos de igual tamaño
(unidades compuestas), realizando doble conteo: por un lado, usando secuencias de
uno en uno haciendo pausa en los múltiplos y, de manera simultánea, un segundo
conteo de los grupos [por ejemplo, uno, dos, pausa; tres, cuatro, pausa; cinco, seis,
pausa;…, llevando un segundo conteo con los dedos].
5. Doble conteo por múltiplos. Usan unidades compuestas, haciendo un doble conteo
directamente sobre los múltiplos [por ejemplo: dos, 1; cuatro, 2; seis, 3;…].
6. Equivalencia entre distintos tipos de unidad y/o reinterpretación en términos de las
nuevas unidades. Reconoce o establece una nueva unidad distinta a la dada en la
situación y reinterpreta en términos de esta nueva unidad. [Por ejemplo: si una
regleta roja equivale a dos regletas blancas y una regleta verde oscuro equivale a
seis blancas, entonces una regleta verde oscuro equivale a tres regletas rojas. La
regleta roja se convierte en una nueva unidad para medir las regletas verde oscuro].
7. Uso coordinado de unidades compuestas. Establece dos tipos de unidades
compuestas, reinterpreta la situación en términos de las nuevas unidades formadas y
opera con ellas de manera coordinada mediante doble conteo. [Por ejemplo: si dos
son tres, cuatro son seis y seis son nueve].
4.1 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE ESTRATEGIAS USADAS POR
SITUACIÓN
En esta sección se realiza una descripción de las estrategias usadas por las niñas y los niños
al abordar las diversas situaciones propuestas y se analiza si el tipo de situación incide en
las estrategias utilizadas.
30
Para la presentación del análisis se organizaron las situaciones de acuerdo con su estructura
en el siguiente orden: “Haciendo pulseras”, “Descubriendo fichas”, “Empacando
pastelitos”, “Armemos trenes”, “Sigamos armando trenes”, “Un nuevo reto para construir
trenes”, “Repartiendo dulces” y “Refrigerios”.
4.1.1 Situación “Haciendo pulseras”
HACIENDO PULSERAS: Con 24 chaquiras rojas se harán pulseras, colocando 4 chaquiras en cada pulsera. ¿Cuántas pulseras se pueden hacer con las chaquiras?
Con esta situación se buscaba indagar por las estrategias movilizadas por los estudiantes en
un caso de división cuotitiva que, desde la clasificación propuesta por Vergnaud (1991),
tendría el siguiente esquema como relación cuaternaria:
Chaquiras Pulseras
4 1
24 x
Las niñas y los niños movilizaron estrategias de doble conteo reiniciando en uno, doble
conteo haciendo pausa en los múltiplos y doble conteo por múltiplos.
Algunos ejemplos sobre la forma como los niños y las niñas abordaron la situación y las
estrategias de doble conteo utilizadas por ellos, se presentan a continuación:
Ejemplo1: En entrevista individual, Natalia (8 años). No dejó visibles sus manos, observó la hoja y
respondió:
N: Seis.
E: ¿Por qué?
N: 1,2,3,4 ; 1,2,3,4 ; 1,2,3,4… [Tomando el lápiz y contando
apoyada en la representación gráfica dada en el instrumento
escrito, hasta agotar las 24 chaquiras, como se ve en la
ilustración 2]
E: ¿Cómo supiste que eran 6?
N: Porque son 24 y cuando tú tienes 24, puedes hacer 6 cosas
con 24 cosas.
E: Si, ¿pero cómo supiste que eran 6?
N: Contándolas
E: ¿Cómo las contaste? N: …las uní [señalando cuatro chaquiras de la imagen] y luego
así: 1,2,3,4,… 1,2,3,4, ahí serían 2 , 1,2,3,4 serían 3; acá hay
otras cuatro serían 4, acá otras cuatro serían 5, acá otras cuatro
serían 6.
Ilustración 2: Estudiante realizando
conteo de chaquiras apoyándose en la imagen.
Ilustración 3: Entrevista individual a Natalia en la situación "Haciendo pulseras"
31
Ejemplo 2: Violeta y Alex (7 y 8 años de edad). Fueron entrevistados en pareja y se les suministró un instrumento escrito para responder a las preguntas formuladas.
V y A: [Los estudiantes leyeron la situación y a continuación
encerraron en grupos de cuatro chaquiras y losccontaron a la par. Se
les escuchaba murmurar: uno, dos tres cuatro, uno, dos, tres, cuatro.
Una vez terminaron, respondieron:”seis” y escribieron en su hoja.
Enseguida intervino la entrevistadora]
E: ¿Cómo supieron que eran seis?
V: Contándolas y encerrándolas. [A continuación leyeron la parte que indica que expliquen cómo llegaron a la respuesta
y se pusieron de acuerdo para responder]
V: Las contamos, uno, dos, tres, cuatro y las encerrábamos. En el instrumento escribieron:
Ilustración 5: Entrevista por parejas en la situación “Haciendo pulseras”.
Obsérvese que en estas dos entrevistas las niñas y el niño movilizaron estrategias de doble
conteo reiniciando en uno para formar las unidades de cuatro. En la tabla 5 se presenta la
síntesis de las estrategias utilizadas al abordar esta situación.
Tabla 5: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Haciendo Pulseras"
HACIENDO PULSERAS: Con 24 chaquiras rojas se harán pulseras, colocando 4 chaquiras en cada pulsera. ¿Cuántas pulseras se pueden hacer con las chaquiras
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Estrategia:
Doble conteo reiniciando en
uno (Categoría
3).
Brayan. Hizo grupos de 2 usando material concreto y los juntó para formar
grupos de 4. Después contó los grupos de 4.
Natalia. Organizó cada grupo contando hasta 4 y llevó el conteo de los grupos:
1, 2, 3,4, uno; 1, 2, 3,4, dos.
Lorenzo. Con material concreto armó grupos de 4 y los contó: 1, 2, 3,4, pausa, 1,
2, 3,4... Una vez formados los grupos los contó.
Violeta y Alex. En el dibujo encerraron en grupos de 4 y contaron la cantidad de grupos.
Valerie y Martín. Verificaron que estuvieran las 24 chaquiras, encerraron en grupos de 4 y los contaron.
Avril y Tomás. Cada vez que contaba 4, hacía una (dice Tomás); contaba de 2 en 2 y cada vez que tenía 4, hacía una (dice Avril).
Doble conteo haciendo
pausa en los
Samuel. Con material concreto armó grupos de 4 y los contó teniendo en cuenta que estuvieran los 24 objetos. En su conteo de uno en uno hizo pausa en los
múltiplos de cuatro.
Ilustración 4: pareja de estudiantes, “encerrando” chaquiras, como parte de su estrategia.
32
múltiplos.
(Categoría 4)
Gabriel. Fue sacando de la bolsa de cuatro en cuatro fichas, haciendo conteos (1,
2, 3,4; 1, 2, 3,4) cuando tenía 8, dijo: llevo dos y apenas voy ocho. Continuó
haciendo grupos de cuatro y contando 9,10,11,12, pausa, 13,14,15,16… hasta
agotar las 24.
Doble conteo
por múltiplos.
(Categoría 5)
Santiago. Conteo de 4 en 4 (4,8,12..) haciendo registro del número de grupos
con los dedos.
David y Jary. En el dibujo encerraron en grupos de 4. Hicieron conteo de
chaquiras (4,8,12… ) y conteo de pulseras.
En las 10 entrevistas se evidenció maneras diferenciadas de realizar doble conteo; la
mayoría “reiniciando en uno” (en 6 de ellas), otros “haciendo pausa en los múltiplos” (en
2 entrevistas) o mediante un “conteo por múltiplos” (en 2 entrevistas). En todos los casos
llevaron la cuenta de la cantidad de “cuatros” involucrados en la situación, hecho que
interpretado desde Olive (2001) muestra que estas niñas y niños tienen una secuencia
tácitamente anidada.
La solución “exitosa” a la pregunta formulada en la situación, acudiendo a tres distintas
estrategias, indica que no presentó un alto grado de dificultad, hecho que podría obedecer
como lo dice Vergnaud (1991) a que se les da la unidad explícita en el problema o como lo
citan Mulligan y Watson (1998) al tamaño de los números.
Otra de las diferenciaciones que es posible reconocer a partir de las formas de proceder de
las niñas y los niños está referida a quienes hacen el doble conteo reiniciando en uno y a
quienes hacen el doble conteo haciendo pausa en los múltiplos, los segundos están llevando
también la cuenta de las unidades simples, como ocurre con los que hacen el doble conteo
por múltiplos.
Hechos relevantes
A manera de conclusión, se observó que la estrategia que más se utilizó fue doble conteo
reiniciando en uno, (en 6 de 10 entrevistas). La situación invitaba primero a formar cada
unidad compuesta y contar la totalidad de estas unidades.
33
4.1.2 Situación Descubriendo fichas
DESCUBRIENDO FICHAS (Tarea 1): En la imagen pueden ver un grupo de fichas. Detrás de esta tarjeta azul escondí otros tres grupos de fichas iguales al
grupo que pueden ver. ¿Cuántas fichas hay escondidas? ¿Cuántas fichas hay
en total?
(Tarea 2): En la imagen pueden ver un grupo de fichas. Detrás de la tarjeta azul
escondí otros cinco grupos de fichas iguales al grupo de fichas que pueden ver.
Entre las fichas que pueden ver y las que están escondidas, ¿cuántas hay en
total?
De acuerdo con la clasificación propuesta por Vergnaud (1991), esta situación corresponde
a isomorfismos de medidas en los que los dos espacios de medida son “las filas” y “las
fichas”, cuando es dada la “cantidad de fichas por fila”. El esquema de relación cuaternaria
es el siguiente:
Primera tarea Segunda tarea
Filas Fichas Filas Fichas
1 2 1 3
3 5
Las cantidades presentes en la primera tarea de la situación, interpretado desde Puig (1995),
son: “1 fila” (cantidad extensiva), “2 fichas por fila” (cantidad intensiva), 3 filas (cantidad
extensiva), para dar respuesta sobre cantidad total de fichas (cantidad extensiva). Al
interpretar lo que sería el abordaje de la situación como cambio de unidad, se tendría que 3
filas, de 2 fichas/fila, se convierten en 1 grupo de 6 fichas.
Sobre el abordaje de esta situación por parte de las niñas y los niños entrevistados se
presentan tres ejemplos. El primero corresponde al trabajo realizado por Lorenzo, quien
antes de resolver las tareas planteadas, formuló interrogantes que se interpretan como
“preguntas por las cantidades presentes en la situación” y utilizó una estrategia de conteo
por múltiplos, tanto en la primera como en la segunda tarea. Se continúa con Valerie y
Martín, quienes empezaron haciendo un doble conteo reiniciando en uno y continuaron con
un doble conteo por múltiplos. Enseguida se muestra la forma de trabajo de Samuel, quien
realizó todo el tiempo doble conteo haciendo pausa en los múltiplos. Finalmente, se
presenta una tabla en la que se sintetizan las estrategias utilizadas en todas las entrevistas
realizadas.
34
Ejemplo 1: Lorenzo (7 años).
E: Te voy a mostrar estas fichitas. Este es un grupo de dos fichas. [Colocó dos fichas sobre la
mesa]. Aquí detrás de esta carpeta te voy a esconder otros tres grupos iguales. ¿Cuántas fichas hay
escondidas?
L: ¿Otros tres grupos de dos fichas? [Mostrando con una
mano tres dedos y con la otra mano dos dedos]
E: Si. L: Seis. [Mostró seis dedos].
E: ¿Cómo hiciste para saber que eran seis?
L: Sumé.
E: ¿Cómo sumaste? L: Como acá hay tres grupos de dos fichas [señalando la
carpeta donde estaban escondidas las fichas], entonces
sumé 2,4 y 6.
E: ¿Y con las que estás viendo?
L: 2, 4 ,6 y… 8. [Mostrando sus dedos en grupos de dos]
E: Ahora… este es un grupo de tres fichas,
escondí otros cinco grupos [la entrevistadora dejó tres
fichas visibles y escondió las otras detrás de la carpeta].
L: ¿Cinco grupos?. ¿De tres?
E: Si.
L: 3,6,9, (10,11),12, (13,14) 15, espera, creo que lo hice mal. [Se queda pensando, tiene su mano empuñada y mueve sus dedos de uno en uno, a la vez que murmura su secuencia de tres en tres]. 15.
E: ¿Cómo supiste que eran 15?
L: Sumé tres veces cinco.
E: ¿Y cómo hiciste?
L: Sumé 3, 6,9, 12 y 15.
E: ¿Cómo paraste en 15?
L: Porque como tú dijiste que eran cinco grupos, entonces sólo sumé cinco veces tres.
Ilustración 7: Entrevista individual, situación “Descubriendo fichas”.
Obsérvese que la primera pregunta que formula Lorenzo sugiere que ha diferenciado dos
tipos de cantidades presentes en la situación:
“¿Otros tres grupos de dos fichas?, la cantidad de “filas” (grupos) y la cantidad de “fichas
por fila”. Una vez aclaró esta diferencia procedió a hacer doble conteo por múltiplos como
se muestra en las expresiones subrayadas (aunque cuando no recordó la secuencia completa
hizo conteos intermedios).
Ejemplo 2: Martín y Valerie (8 años), entrevista en parejas. Se usa M para Martín, V para Valerie y E para
entrevistador:
M: [lee la situación] En la imagen pueden ver un grupo de fichas (se muestran tres). Detrás de la
tarjeta azul escondí otros cinco grupos de fichas iguales al grupo de fichas que pueden ver.
M: 1, 2, 3, más 3 son 6, más 6 son 12 más 3…
V: 9 M: No, Valery, mira 1, 2, 3; 1, 2, 3, ¿cuánto te da?
V: 6
M: Mas 1, 2, 3
V: 9
M: Mas 1, 2, 3 da doce porque seis más seis da doce.
Ilustración 6 Estudiante diferenciando con sus manos, unidades filas y unidades fichas.
35
V: Repite el conteo] 1,2,3,6,9,12.
M: doce más tres… V: mmm 15.
M: Entonces 15. [Lee en la hoja que se les entregó]. Entre las fichas que pueden ver y las que están
escondidas, ¿cuántas hay en total?
Hay en total 15 fichas. Martín escribe 15 fichas y Valerie se queda pensando]. Expliquen el
procedimiento que usaron para llegar a la respuesta leyó Martín]. E: ¿Están seguros que son 15?
M: Nos faltaron estas de acá arriba [señalando las fichas visibles] ¿18? [Le preguntó a Valerie].
V: Sí.
E: ¿Están seguros que son 18?
V: Sí porque contamos.
M: Porque contamos de tres en tres.
V: Tres, seis, nueve, doce, quince... y dieciocho.
M: Leyó en la hoja] expliquen el procedimiento que hicieron para llegar a la respuesta V: Contando de tres en tres.
Ilustración8: Entrevista por parejas en la situación "Descubriendo fichas"
Valerie y Martín empezaron entre juntos con doble conteo reiniciando en uno, mientras
Martín iba armando las unidades de tres, Valerie iba obteniendo resultados parciales
correspondientes a los múltiplos de tres. El conteo realizado se fue perfeccionando hasta
llegar a conteo por múltiplos.
Ejemplo 3: Samuel (7 años).
E: Observa que hay un grupo con tres fichas. Detrás de esta carpeta escondí cinco grupos iguales a
ese. Entre las fichas que puedes ver y las que están escondidas, ¿cuántas fichas son?
S: [Tomó de una en una las tres fichas visibles y contó usando su mano izquierda.] 1,2,3, pausa,
[registró con su dedo índice una vez]. 4,5,6 pausa, [tomando nuevamente de una en una cada una
de las tres fichas para contarlas y registró con su dedo corazón la segunda vez]. 7,8,9, pausa [tomó
nuevamente las tres fichas de una en una y registró con su dedo anular], 10,11,12… [se quedó pensando.] Hay 15. [No mostró uso de su dedo pulgar dentro de su
conteo].
E: ¿Escondidas o en total?
S: Escondidas.
E: ¿Y en total?
S: [Inició nuevamente su conteo tomando las tres fichas visibles
cada vez que contaba una] 1,2,3 pausa, 4,5,6, pausa, 7,8,9, pausa,
10,11,12, pausa, 13,14,15. Hay 15 detrás.
E: ¿Y en total entre las que están escondidas
y las que tienes ahí, cuántas son?
S: mmm 18. E: ¿Cómo llegaste a 18?
S: Hice lo mismo que en el anterior, empecé con 15 y luego puse las 3.
Ilustración 9: Entrevista individual (Samuel) en la situación "Descubriendo fichas".
La estrategia usada por Samuel fue doble haciendo pausa en los múltiplos. El primer
conteo lo hizo contando las fichas, mientras que registró un segundo conteo de “veces de
tres” usando sus dedos de la otra mano.
Ilustración 8: Samuel realizando doble conteo; usando sus manos.
36
Las estrategias utilizadas en las demás entrevistas, al igual que las presentadas en los
ejemplos anteriores, se relacionan en la tabla 6.
Tabla 6: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Descubriendo Fichas"
DESCUBRIENDO FICHAS: En la imagen pueden ver un grupo de fichas. Detrás de la tarjeta azul
escondí otros cinco grupos de fichas iguales al grupo de fichas que pueden ver. Entre las fichas que pueden ver y las que están escondidas, ¿cuántas hay en total?
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Conteo de uno
en uno sin
reconocimiento
de grupos o de
relaciones.
Categoría 1.
Brayan. Inicialmente respondió 8, contó 3 más 5 sin tener en cuenta si son
grupos de fichas o fichas. En total contesta 11.
Doble conteo
haciendo pausa
en los múltiplos.
(Categoría 4)
Natalia. Hizo su conteo usando los dedos por debajo de la mesa, se le escuchó
un murmullo, 1,2,3,..4,5,6 … Cuando se le preguntó por el procedimiento
utilizado, afirmó que contó con los dedos. En el momento en el que se le
descubrieron las fichas, la contó de uno en uno haciendo pausa en los
múltiplos.
Samuel. Usó las tres fichas de material concreto y fue contando haciendo pausa
en los múltiplos mientras registró un segundo conteo (de las veces de grupos de tres) usando sus dedos.
Doble conteo
por múltiplos.
(Categoría 5)
Santiago. Contó de tres en tres 6 veces hasta llegar a 18.
Gabriel. Explicó: tengo dos grupos que sé que me dan seis y me quedan tres
por descifrar,… ya descifré tres, tengo nueve, entonces…ya me quedan dos
grupos, entonces el otro grupo es doce, ahí ya me falta solo un grupo, 13,
14,15.
Lorenzo. Contó con los dedos de tres en tres y dijo: 3, 6, 9,12. Ahí parece que
perdió la cuenta y reinició contando con los dedos de tres en tres y dijo 15.
Explicó que sumó 5 de tres.
David y Jary. Contestaron 15. Primero hicieron un círculo y dentro dibujaron 3
palitos. Luego contaron 3, 6, 9,12, (13, 14,15) 15. En total hay 18.
Violeta y Alex. Contaron de tres en tres: 3,6,9,12 (13,14,15), 18.
Valerie y Martín. Inicialmente hicieron conteos reiniciando en uno y en la
parte final contaron de tres en tres.
Avril y Tomás. Tomás hizo un conteo: 3,6, 9, (10,11) ,12… Se quedó en
silencio y dijo 15. Explicó que sumó 3+3+3+3+…y repitió su explicación:
1,2,3, uno; 1,2,3, da seis; 1,2,3, da… hizo su cuenta da 9, 1,2,3 da 12 y 1,2,3
da…, otra vez se queda pensando, da 15). La niña dibujó cinco grupos de tres
fichas cada uno y contó también por múltiplos, solo que se demoraba un poco más, al parecer completando las secuencias cuando no las tenía.
37
A diferencia de Lorenzo, parece que Brayan (ver tabla 6) no se percató de la presencia de
dos tipos de cantidades y sumó “filas” y “fichas por fila” como si fueran un mismo tipo de
unidad, dando como respuesta 8 (3+5=8), sin diferenciar 3 filas y 5 fichas por fila. Se
infiere que su estrategia es de conteo de uno en uno sin reconocimiento de grupos o de
relaciones, porque no diferenció los tipos de unidades presentes en la situación. Al parecer
tampoco observó que las filas están compuestas por varias unidades simples (fichas), lo que
ratificó cuando se le preguntó por el total, pues continuó “agregando tres más” a su cuenta.
Ilustración 10: Ejemplo de conteo de uno en uno, sin reconocimiento de grupos o relaciones.
Por su parte, Samuel al parecer requiere tomar una por una cada ficha (unidad de uno) para
ser contada y una vez completa cada unidad de tres, registra su conteo usando los dedos.
Las unidades de tres solo existen en representación actuada, hecho que permite identificar
en Samuel, de acuerdo con Steffe (1994), un esquema pre-multiplicativo. Además, de
acuerdo con Olive (2001), la forma de realizar el conteo lo ubica como un contador
perceptual pues los objetos deben estar en su campo visual para ser contados y por tanto los
resultados aún están fuera de él y no pueden ser tomados para hacer nuevos conteos.
A diferencia de lo ocurrido con Samuel, Valerie y Martín parecen haber interiorizado y
usado los resultados de las unidades compuestas obtenidas, hecho que se observó cuando
convirtieron su doble conteo reiniciando en uno en un conteo por múltiplos. Esto corrobora
lo dicho por Richard y Cobb citados por Olive (2011) quienes afirman que las actividades
de conteo de los niños progresan a través de diferentes tipos de actividad, desde el conteo
perceptual de ítems hasta el conteo de unidades abstractas.
Al igual que Valerie y Martín en otras seis entrevistas, las niñas y los niños usaron doble
conteo por múltiplos, acudiendo en algunos casos a conformar las unidades cuando no
B: [con tres dedos de la mano empieza el conteo a partir de 3] tres, cuatro, cinco seis
siete, ocho.
E: ¿ocho en total o las que están escondidas?
B: escondidas.
E: ¿y en total?
B: serían nueve, diez once. Serian 11 las que están escondidas.
38
tenían aún construidas las secuencias (e.g.: 3,6,9,12,13,14,15). En otra entrevista, como
ocurrió con Samuel, la niña (Natalia) hizo doble conteo haciendo pausa en los múltiplos.
La forma como hicieron explícito el uso de unidades de dos se observó cuando Valerie en
entrevista junto con Martín, para resolver la primera tarea, explicó a la entrevistadora la
forma como determinó la cantidad de fichas:
Valerie: "escondí otros tres pares" y contó: 1,2, pausa, 3,4, pausa, 5,6
La palabra par, no se dijo explícitamente en el problema, sin embargo lo relacionaron con
“un grupo de dos fichas”
Hechos relevantes
En general, las unidades múltiples usadas (grupos de 2 o de 3) parecieron ser fácilmente
reconocibles en especial las de dos. Se observó que solamente en 2 de las 10 entrevistas
reportadas se usaron estrategias de doble conteo haciendo pausa en los múltiplos, mientras
que en las demás se usó doble conteo por múltiplos, completando en algunos casos las
secuencias, cuando estas no estaban constituidas.
4.1.3 Situación “Empacando Pastelitos”
EMPACANDO PASTELITOS: Natalia encontró en la cocina tres platos, cada uno con
cuatro pastelitos, como pueden ver en la imagen. Todos los pasteles que encontró los
colocó en una bolsa. ¿Cuántos pasteles colocó en la bolsa?
En esta situación de isomorfismos de medida, los dos espacios de medida son la cantidad de
platos y la cantidad total de pasteles.
Las cantidades de la situación, interpretado desde Puig (1995), son: “1 plato” (cantidad
extensiva), “4 pastelitos por plato” (cantidad intensiva), “3 platos” (cantidad extensiva)
para determinar la cantidad total de pastelitos (cantidad extensiva) en “tres platos”
(cantidad extensiva).
Platos Pastelitos
4pastelitos 1
4
3
39
En el abordaje de esta situación, las niñas y los niños usaron estrategias de doble conteo
haciendo pausa en los múltiplos y doble conteo por múltiplos. Algunos ejemplos sobre la
forma como las niñas y los niños abordaron la situación, se presentan a continuación:
Ejemplo 1: Lorenzo (7 años)
E: Natalia encontró en la cocina tres platos, cada plato tiene cuatro pastelitos así como están en la imagen.
El total de pasteles que encontró los colocó en una bolsa. ¿Cuántos pasteles colocó en la bolsa?
L. ¿Cuántos platos había?
E: 3 platos
L: ¿En cada plato había 4 pastelitos?
E: Sí.
L: Entonces, ¿cuántos pastelitos hay en total?
E: ¿Cuántos metió dentro de la bolsa? Dice, todos los metió dentro de una
bolsa.
L ¿Entonces cuantos hay en total? Serían cuatro, más cuatro, ocho, más cuatro (mientras señala 4 dedos de su mano) nueve, diez, once y doce.
L: doce pastelitos.
Ilustración 12: Entrevista individual en la situación "Pastelitos".
Al igual que en la tarea anterior, Lorenzo se preguntó nuevamente sobre las cantidades
presentes en la situación, ¿cuántos platos había? ¿En cada plato había cuatro pastelitos?
Una vez diferenciados los tipos de unidad procedió a hacer un doble conteo por múltiplos
coordinando las unidades (pasteles por plato) a lo largo de las unidades platos y contando:
4+4 serian 8 y más otros 4 serían 9, 10, 11,12 llevando la cuenta con los dedos.
La secuencia de cuatro de Lorenzo podría empezar a construirse a partir de tareas como la
que aquí se propone. De acuerdo con Lamon (1994), cuando el niño empieza a sustituir sus
dedos por los números, adopta una forma más poderosa de agrupar como indicación de una
organización conceptual de más alto nivel.
Por su parte, Santiago hizo también un doble conteo por múltiplos, como se muestra en el
ejemplo 2.
Ilustración 11: Estudiante mostrando la forma como realizó un doble conteo.
40
Ejemplo 2: Santiago (8 años)
E: Natalia entró a la cocina y habían tres platos. Cada plato tenía cuatro pastelitos. Todos los metió entre
una bolsa. ¿Cuántos metió en la bolsa?
S: ¿tres platos?
E: Sí.
S: Doce. E: ¿Cómo lo hiciste tan rápido?
S: Sumando de cuatro en cuatro
E: ¿Y cómo?
S: Cuatro, ocho, doce. [mientras señala con los dedos
de la mano, un dedo a la vez que cuenta cuatro, ocho,
doce]
Ilustración 14: Entrevista individual (Santiago) en la situación "Pastelitos".
La estrategia de Santiago se puso en evidencia cuando la entrevistadora preguntó cuál fue
su forma de proceder, dijo que: “4,8,12; sumando de cuatro en cuatro”.
En este caso podemos identificar una interiorización de la secuencia numérica de cuatro,
en la que “cuatro” parece estar constituida como unidad abstracta, no solo por la rapidez de
su respuesta, sino por la forma de explicar.
Las demás estrategias, junto con las presentadas en los dos ejemplos, se relacionan en la
tabla 7:
Tabla 7: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Empacando Pastelitos"
EMPACANDO PASTELITOS: Natalia encontró en la cocina tres platos, cada uno con cuatro pastelitos, como pueden ver en la imagen. Todos los pasteles que encontró los colocó en una bolsa.
¿Cuántos pastelitos colocó en la bolsa?
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Conteo de uno en
uno con
reconocimiento de
grupos o de relaciones
(Categoría 2).
Brayan. Con material concreto representó los platos y en frente de cada uno
colocó 4 fichas indicando los pastelitos. Finalmente las contó uno por uno y
contestó 12.
Doble conteo
haciendo pausa en
los múltiplos.
(Categoría 4)
Natalia. Bajó su cabeza contando con sus dedos por debajo de la mesa. Se le
alcanzó a escuchar el murmullo 1, 2, 3,4… 12.
Samuel. El niño dice que imaginó que ahí estaban los pastelitos y contó, 1,
2,3,4 pausa, 5,6,7,8, pausa, 9,10,11,12.
Doble conteo por Santiago. De inmediato respondió 12. Cuando se le preguntó cómo lo hizo,
Ilustración 13: Estudiante realizando doble conteo, por múltiplos.
41
múltiplos.
(Categoría 5)
dijo que sumando de 4 en 4. 4,8,12.
Gabriel…Ya tengo dos grupos de los cuatro pasteles. Cuatro más cuatro me
da ocho, me falta un grupo…9, 10, 11,12.
Lorenzo. Cuatro más cuatro serían ocho y más otros cuatro, serían 9,
10,11,12 llevando la cuenta con los dedos.
Violeta y Alex. 4, 8, (9,10,11 y 12)
David y Jary. Contestan 12. Porque 3 platos con 4 pasteles serían 3,6,9,12
Valerie y Martín. Inicialmente Martín respondió 16, aclarando que sumó
cuatro más cuatro que sonocho y ocho más ocho son dieciséis.. Al volver a
leer dijo ocho más cuatro, doce. Finalmente explicaron que sumaron de
cuatro en cuatro.
Avril y Tomás. Tomás contó 4,8, (9, 10,11,12) colocó 12.
En 7 de las 10 entrevistas realizaron doble conteo por múltiplos que puede obedecer a que
las niñas y los niños ya han incorporado algunas secuencias numéricas de conteo de cuatro
en cuatro (4,8,12), lo cual correspondería a hechos numéricos recordados (Caballero, 2005).
La situación, ya sea por las cantidades o por la estructura, hace que se movilice este tipo de
conteo al igual que ocurrió en la situación “Descubriendo fichas”. Además resultó de bajo
grado de dificultad al parecer porque la unidad (pasteles por plato) fue dada y por las
pequeñas cantidades involucradas (entre 1 y 12).
Hechos relevantes.
Al igual que la situación de las fichas escondidas, la unidad está dada de manera explícita
(4 pastelitos/plato) hecho que al parecer genera “facilidad” para su abordaje y se movilizan
estrategias de doble conteo por múltiplos o doble conteo haciendo pausa en los múltiplos.
Todas las niñas y todos los niños en esta situación fueron capaces de reconocer las unidades
presentes (unidades /plato, pastelitos y pastelitos/por plato).
4.1.4 Situación “Armemos Trenes”
ARMEMOS TRENES (1): Un “tren” con dos fichas rojas es tan largo como un
“tren” con una ficha rosada. Un “tren” con dos fichas blancas es tan largo como
un “tren” con una ficha roja. ¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para ser igual de largo a un “tren” con una ficha rosada?
42
De acuerdo con la clasificación propuesta por Vergnaud (1991), esta situación puede ser
considerada como un doble isomorfismo. Su estructura es la siguiente:
Regletas blancas Regletas rojas Regletas rosadas
2 1
2 1
En el abordaje de la situación las niñas y los niños entrevistados usaron estrategias de
conteo de uno en uno sin reconocimiento de grupos o de relaciones, conteo de uno en uno
con reconocimiento de grupos o de relaciones y, de equivalencia entre distintos tipos de
unidad y/o reinterpretación en términos de las nuevas unidades, como se muestra en la
tabla 8.
Tabla 8: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Armemos Trenes".
ARMEMOS TRENES: Un “tren” con dos fichas rojas es tan largo como un “tren” con una ficha
rosada. Un “tren” con dos fichas blancas es tan largo como un “tren” con una ficha roja.
¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para ser igual de largo a un “tren” con una ficha
rosada?
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Conteo de uno en uno sin
reconocimiento de grupos
o de relaciones.
(Categoría 1).
Lorenzo (7años). No tuvo en cuenta las regletas rojas. Emparejó las
fichas blancas con la ficha rosada y perceptualmente dijo que le
faltaría una en el "espacio" que quedaba. Su solución fue 3 fichas
blancas.
Conteo de uno en uno con
reconocimiento de grupos
o de relaciones (Categoría
2).
Brayan (7 años). Tomó cuatro fichas blancas y las emparejó con la
ficha rosada. Respondió 4.
Samuel (7 años). Colocó una ficha blanca y una roja al frente de la
ficha rosada. Dice que “separó el rojito”. Luego pasó la ficha blanca
que tenía al inicio y la puso al final para contar un total de cuatro.
David y Jary (8 años). David le dice a Jary mirando la imagen de la
hoja: “Si acá hay dos, acá hay otras dos. Dibuje la rosada, así por
la mitad y después por la mitad. Las rojas no porque no las tenemos
en cuenta”.
Avril y Tomás. "Me paré en el tren rosado y empecé a contar, hice
cuadritos en mi mente". Contó de una en una las fichas blancas que
podría haber e ignoró las rojas.
Valerie y Martín. La niña contó de uno en uno, apoyándose en la
figura.
Equivalencia entre
distintos tipos de unidad
y/o reinterpretación en
términos de las nuevas
unidades. (Categoría 6)
Violeta y Alex. Inicialmente a partir de la imagen contaron todas las
regletas blancas que estarían a lo largo las dos regletas rojas, la
rosada y las blancas, es decir, 10 blancas. Después fijaron su mirada
en la rosada y contaron dos veces las fichas blancas, pero también
haciendo referencia a las fichas rojas, obteniendo 4.
43
Gabriel usó la relación entre la roja y las dos blancas para dar cuanta
de las fichas blancas en la rosada.
Natalia. No tocó las fichas, de una vez respondió cuatro. Aquí son
dos [señalando una ficha roja] y aquí son otras dos, en total cuatro.
Santiago. Respondió 4. Dijo que porque sabía que la roja eran dos
y… dos y dos eran 4.
La forma de proceder de Lorenzo, en la que parece realizó un conteo de uno en uno sin
reconocimiento de grupos o de relaciones, se presenta de manera detallada en el ejemplo 1
de fragmento de entrevista que se muestra a continuación:
Ejemplo 1: Lorenzo (7 años).
E: Con dos fichas rojas se hace un tren igual de largo a uno con
una ficha rosada. Un tren con dos fichas blancas es igual de largo
a uno con una ficha roja. ¿Cuántas fichas blancas debe tener un
“tren” para ser igual de largo a un “tren” con una ficha rosada?
[Entre el entrevistador y el niño organizan las regletas colocando
las dos fichas rojas enfrente de la rosada y las dos blancas un poco
más lejos, como aparece en la primera imagen].
L: [Quitó las fichas rojas, colocó una ficha rosada y al frente 2 fichas blancas, colocó su dedo en el espacio faltante para igualar
la rosada]. Me faltaría uno.
E: ¿Cómo lo hiciste?
L: Medí el tamaño de las blancas y supe que era uno.
E: ¿Cuántas fichas blancas hacen un tren igual de largo a uno con
una ficha rosada?
L: Tres
Ilustración 16: Entrevista individual en la situación "Armemos trenes".
Lorenzo abordó la situación usando solamente las regletas blancas y rosadas, posiblemente
porque así lo pide la pregunta: ¿cuántas fichas blancas debe tener un tren para ser igual de
largo a un tren con una ficha rosada? Al parecer ignoró las regletas rojas y se basó en su
observación perceptual estimando que en el espacio libre cabría una regleta blanca. En su
manera de proceder usó una estrategia de conteo de uno en uno en la que parece no hubo
reconocimiento de las relaciones explicitadas en la información sobre la situación.
A diferencia de Lorenzo, Samuel, quien también basó su conteo en la observación
perceptual, usó primero una regleta blanca y luego la roja haciendo uso de la equivalencia
entre la roja y dos blancas (cuando afirma: separé el rojito). Su conteo fue también de uno
en uno, pero mantuvo precisión: 1 blanca, 1 roja (2 blancas) y otra blanca para completar
cuatro.
Ilustración 15: Estudiante realizando conteo de uno en uno.
44
David y Jary no parecen haber visto la necesidad de usar las rojas, pues se basaron en la
imagen para determinar que partiendo la rosada encontrarían las cuatro blancas. Al parecer
de manera similar procedieron Martín y Valerie.
Alex y Violeta hicieron inicialmente un doble conteo por múltiplos, haciendo referencia a
las fichas blancas contenidas en todas las regletas, pero en un momento dado, reinterpretan
la situación en términos de regletas rojas para dar respuesta a la pregunta formulada como
se muestra a continuación:
Ejemplo 2: Alex y Violeta (7 y 8 años respectivamente).
[Los niños leyeron la situación y se quedaron pensando]
A: ¡Ah ya lo entendí! Acá se cuenta es de dos en dos. Dos, cuatro… [Violeta interrumpe]
V: Ocho...
A: [Se devolvió a donde estaban las dos blancas y las señaló dirigiéndose
a Violeta] Mire, acá hay dos, acá hay otras dos [señalando hasta la mitad de la
rosada] ,6 [señalando la otra parte de la rosada], 8,10, [mostrando las regletas
rojas]. E: Lean nuevamente el problema. [Los niños volvieron a leer el problema,
primero en voz alta por turnos y después mentalmente]
A: [Contó nuevamente] Dos, cuatro, seis, ocho, diez. [Violeta empezó a escribir
10 en la hoja].
E: ¿Cuál es la pregunta del problema?
V: ¿Cuántas fichas blancas debe tener un tren para que sea igual de largo a un
tren con una ficha rosada? ¡Ah! Con una ficha rosada… o sea una de estas [mira
a Alex y señala la ficha rosada].
A: Si son fichas blancas entonces debería ser dos fichas rojas, una blanca..., borre el 10, ponga el 4. [Se
quedó pensando]. Ah… solo fichas blancas entonces es 4 [escribe 4]. E: ¿Por qué?
A: Porque dice que cuántas fichas blancas son iguales para completar un tren de una ficha rosada, entonces
conté estos [señalando en la hoja las fichas blancas] de a dos y me dio 4… y como esta es una ficha rosada
[señalando la ficha rosada], debe dar cuatro.
E: ¿Tú estás de acuerdo? [Le preguntó a Violeta]
V: Si.
E: Si te convence lo escribes, si no te convence, le puedes discutir. [Dirigiéndose a Violeta]
V: [Tomó la hoja y escribió lo que Alex le dictó:
Ilustración 18: Explicación escrita pareja de estudiantes.
Ilustración 19: Entrevista por parejas en la situación "Armemos trenes".
El conteo inicial realizado por Alex, 2, 4, 6, 8,10, a lo largo de todas las regletas, muestra el
uso de “dos regletas blancas” como unidad de medida, para todas las figuras. La unidad de
Ilustración 17:Pareja de estudiantes movilizando una estrategia.
45
“dos fichas blancas” no parece inicialmente haber sido establecida como resultado de la
equivalencia entre las regletas blancas y rojas dada en la información, sino que es obtenida
de manera perceptual a partir de la imagen generando un conteo figurativo. Sin embargo,
hay un momento en el que expresan que las cuatro blancas deberían ser dos rojas,
estableciendo equivalencia entre dos tipos de unidades (regletas blancas y rojas).
En las siguientes entrevistas las niñas y los niños parecen haber establecido la relación entre
regletas blancas, rojas y rosadas, de manera que la regleta roja, equivalente a dos blancas,
se convierte en la unidad de medida para responder a la pregunta formulada en la tarea. La
estrategia usada por Gabriel se describe en forma detallada en el ejemplo 3.
Ejemplo 3: Gabriel (7 años).
E: Vamos a hacer trenes. [La entrevistadora deja sobre la mesa una ficha rosada, dos rojas y dos blancas].
Tú puedes armar un tren con dos fichas blancas. [Gabriel tomó dos fichas blancas y las juntó]. Y ese tren
con dos fichas blancas es igual de largo a un tren con una ficha roja. [Gabriel tomó una ficha roja y la
colocó al frente de las dos fichas blancas]. Y si armamos un tren con dos fichas
rojas,… [Gabriel tomó la otra ficha roja] Va a ser igual de largo a un tren con
una ficha rosada. [Gabriel tomó la ficha rosada y la colocó al frente de las dos
rojas, ver ilustración 22]. La pregunta es: ¿Cuántas fichas blancas debe tener un
tren para que sea igual de largo a un tren con una ficha rosada?
G: [Se quedó pensando y luego respondió] 4 fichas.
E: ¿Cómo sacaste el 4?
G: Porque si una ficha roja era igual que un tren de dos fichas blancas,
pues yo dije… bueno… si dos fichas rojas dan lo mismo de largo que el tren
de la ficha rosada, pues son cuatro porque si acá me alcanzaron a quedar
dos por encima [señalando la parte en donde están las fichas blancas]
Acá también me pueden caber dos por encima, [señalando la otra parte
de la regletas rojas]o sea por encima de esto, [señalando la parte donde
no hay regletas blancas]. E: ¿Y el cuatro de dónde sale?
G: De estas dos fichas [señalando las fichas rojas] Porque yo hice la cuenta con estas dos fichas.
E: ¿Cuál cuenta?
G: Pues yo dije aquí tengo dos blancas y me di cuenta de que… de una supe que eran cuatro.
E: ¿Qué haces para que te de cuatro?
G: Yo miré y dije; ahí me caben otras dos.
Ilustración 21: Entrevista individual en la situación "Armando trenes".
En las expresiones subrayadas de la transcripción de la entrevista, se observa que Gabriel
hizo uso de la relación entre las regletas blancas y rojas. De manera similar, pero sin utilizar
las fichas en forma física, procedieron Natalia y Santiago en entrevistas individuales.
Gabriel, Natalia y Santiago parecen haber utilizado la ficha roja como unidad compuesta
equivalente a dos fichas blancas, con la que es posible medir la regleta rosada. Este
Ilustración 20: Estudiante evidenciando reconocimiento de relaciones.
46
proceso, desarrollado por los estudiantes, evidencia una reinterpretación en términos de una
nueva unidad (ficha roja), en otras palabras, Alex, Gabriel, Natalia y Santiago
materializaron un proceso de normación como producto de establecer equivalencia entre
distintos tipos de unidad (fichas blancas, rojas y rosadas).
Hechos relevantes
En el abordaje de la situación se observó que en 6 de las 10 entrevistas usaron estrategias
basadas en el conteo perceptual o figurativo acudiendo al uso de material concreto o a la
imagen mostrada en el instrumento. En una de las 6 al parecer no hubo reconocimiento de
relaciones y se hizo conteo de uno en uno, en 5 de estas 6 el conteo perceptual o figurativo
fue de uno en uno con reconocimiento de relaciones. En las otras cuatro entrevistas se
estableció equivalencia entre los distintos tipos de unidad (regletas rojas, blancas y
rosadas) con reinterpretación en términos de las unidades formadas (normación).
4.1.5 Situación “Sigamos armando trenes”
SIGAMOS ARMANDO TRENES: Un “tren” de tres fichas rojas es tan largo como
un “tren” de una ficha verde. Un tren con dos fichas blancas es tan largo como un
tren con una ficha roja.
¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para que sea tan largo como un
nuevo “tren” de dos fichas verdes?
En esta situación, al igual que en la situación anterior, hay un doble isomorfismo de
medidas con la estructura que se muestra a continuación:
Regletas blancas Regletas rojas Regletas verdes
3 1
2 1
2
Todas las cantidades presentes (3 regletas rojas, 1 regleta verde, 2 regletas blancas, 1
regleta roja y dos regletas verdes) son extensivas y entre estas existe una relación dada de
manera explícita.
En el abordaje de la situación las niñas y los niños entrevistados usaron estrategias de
conteo de uno en uno sin reconocimiento de grupos o relaciones, conteo de uno en uno con
reconocimiento de grupos o relaciones y equivalencia entre distintos tipos de unidad y/o
reinterpretación en términos de las nuevas unidades como se muestra en la tabla 9.
47
Tabla 9: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Sigamos armando trenes"
SIGAMOS ARMANDO TRENES: Un “tren” de tres fichas rojas es tan largo como un “tren” de
una ficha verde. Un tren con dos fichas blancas es tan largo como un tren con una ficha roja.
¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para que sea tan largo como un nuevo “tren” de
dos fichas verdes?
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Conteo de uno
en uno sin
reconocimiento
de grupos o de
relaciones.
(Categoría 1).
Brayan deslizó las fichas blancas a lo largo de una verde y respondió que una
eran siete. Luego se le preguntó lo que pasaría si tuviera dos verdes y se le
volvió a explicar la relación entre blancas rojas y verdes. Aunque identificó
que entre la roja y las dos blancas tenía cuatro blancas, nuevamente deslizó
las regletas blancas a lo largo de las dos verdes y contó 11 fichas blancas.
Lorenzo. Contestó 10. Usando su dedo índice estimó que la regleta blanca
cabría 10 veces.
David y Jary. Dibujaron dos regletas verdes y algunas fichas blancas en la
parte de abajo. David llegó a cinco y dijo que serían 10. Jary siguió
contando de uno en uno en la otra ficha verde, 5,6,7,8,9.
Violeta y Alex. Se apoyaron en el dibujo tratando de encontrar la cantidad de
fichas blancas que hay en las dos verdes. Dibujaron otra verde. Contaron 15.
Conteo de uno
en uno con
reconocimiento
de grupos o de
relaciones
(Categoría 2).
Samuel usó las regletas que tenía (una verde, una rosada y una roja) para
armar el equivalente a dos fichas verdes. A continuación pasó la regleta
blanca a lo largo de las "dos verdes" y contó que cabía 12 veces. Solamente
usó la unidad simple.
Equivalencia
entre distintos
tipos de unidad
y/o
reinterpretación
en términos de
las nuevas
unidades.
(Categoría 6)
Gabriel. Dijo: Si hago la cuenta bien, ahí me da seis, tendré que sumar
entonces.. 7,8,9,10,11 y 12 (contando seis con sus dedos). Son 12 fichas
blancas. Me dio un doce.
Natalia. Contestó seis. Tres grupos de dos blancas. Dije que cada roja son
dos fichas blancas.
Santiago respondió 12. Dijo que porque ya sabía que eran tres rojas y
entonces eran 6 y 6+6 son doce.
Valerie y Martín. Apoyándose en la gráfica miraron cuántas blancas cabían
en la verde. Dijeron que eran 6 y después sumaron 6+6, 12.
Avril y Tomás. Avril buscó hacer conteos perceptuales mientras Tomás usó
la relación entre las regletas rojas, blancas y verdes.
En las maneras de proceder de Brayan y Lorenzo, en entrevista individual y de David y
Jary y Violeta y Alex, en las entrevistas de parejas, se observa que primó el conteo
perceptual o figurativo de uno en uno sin el reconocimiento de las relaciones dadas. Ellos
necesitaron contar las fichas ya fuera de manera concreta o apoyándose en la imagen y no
48
tuvieron en cuenta que la regleta roja era tan larga como dos blancas o que la regleta verde
era tan larga como tres rojas.
Por su parte Samuel, al igual que en el abordaje de las situaciones anteriores, aunque hizo
también un conteo perceptual de uno en uno estuvo siempre pendiente de la exactitud,
como se muestra a continuación en el fragmento de su entrevista:
Ejemplo 1: Samuel (7 años)
E: Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un “tren” de una ficha verde. Un “tren” de dos fichas
blancas es tan largo como un “tren” de una ficha roja. ¿Cuántas fichas blancas debe
tener un “tren” para que sea tan largo como un nuevo “tren” de dos fichas verdes?
S: [Samuel tomó una ficha verde oscuro y armó otra igual de larga con una ficha roja
y una rosada que quedó en la mesa después de solucionar la tarea anterior]
E: ¿Qué estás haciendo?
S: Estoy haciendo igual a dos verdes. [Verificó que una rosada y una roja equivalían
a una verde y finalmente las colocó otra vez en hilera. Enseguida midió a lo largo
del tren de “dos verdes” usando la ficha blanca] Doce
E: ¿Por qué 12?
S: Porque empecé a contar otra vez así [iba colocando la ficha blanca a lo largo de sus dos regletas verdes formadas]
E: ¿Así cómo?
S: Uno, dos… hasta doce, [pasando la regleta blanca a lo largo de su tren de dos fichas verdes].
Ilustración 23 :Entrevista individual en la situación "Sigamos armando trenes".
No se observa que Samuel de manera explícita haya usado la información de que tres rojas
equivalían a una verde, pero posiblemente usó la información sobre la relación entre la roja
y las dos blancas y sobre la relación entre las blancas y la rosada que trabajó en la tarea de
la situación anterior. Aún así prefirió verificar, colocando la rosada y la roja frente a la
verde, que efectivamente su nueva regleta fuera igual a la verde. La estrategia de Samuel
fue de conteo de uno en uno con reconocimiento de relaciones pues parece haber usado las
relaciones construidas en la situación anterior.
En las siguientes entrevistas se observó que las niñas y los niños
hicieron uso de las relaciones dadas en la situación sobre la
equivalencia entre los distintos tipos de unidad y no usaron un conteo
perceptual. Por ejemplo, Gabriel (ver tabla 9 e ilustración 26) dejó a
la vista las fichas y en un momento dado parece haber usado la equivalencia entre las
Ilustración 22: Estrategia de un estudiante para la situación "Sigamos armando trenes".
Ilustración 24: Estudiante realizando equivalencia entre regletas.
49
regletas rojas, blancas y verdes para afirmar que en la verde ya había 6 blancas, de manera
que para contar las siguientes 6 inició en 7 hasta completar 12. Gabriel usó la información
obtenida, es decir, la siguiente regleta sería equivalente a seis blancas. Natalia también hizo
uso de las relaciones dadas y reinterpretó en términos de una unidad como se observa en el
siguiente fragmento de entrevista:
Ejemplo 2: Natalia (8 años).
E: un tren con tres fichas rojas es tan largo como un tren de una ficha verde y un tren con dos fichas blancas
es igual de largo a un tren con una ficha roja, ¿cuántas fichas blancas debe tener un tren para que sea
igual de largo a un tren con una ficha verde?
N: 5
E: ¿Cómo supiste que eran 5? N: Porque faltarían 3 de éstas [señalando con el lápiz la ficha roja] para
tener un vagón largo como el verde, entonces necesitarías un grupo de tres
de éstas [señala la roja],
E: ¿Tres grupos de qué color?… hay rojas, hay verdes, hay blancas,
¿a cuáles te refieres?
N: Necesitaría tres grupos de dos blancas.
E: Y esas,… ¿Cuántas blancas son?
N: 5
E: ¿Cómo hacemos para comprobarlo?
N: [Colocó al lado de una ficha roja una blanca] así faltarían 3 más y una 5.
N: Si no estuviera la blanca, me faltarían 6, porque 6 de éstas [señalando la ficha blanca] hacen una de ésta
[señalando la ficha verde] pero como hay una me faltan 5.
Ilustración 26 : Entrevista individual en la situación "Sigamos armando trenes".
Natalia construyó una nueva unidad, conformada por dos fichas blancas, para medir la ficha
verde, reconociendo a su vez que esta nueva unidad equivale a una ficha roja. Esa unidad
(conformada por dos fichas blancas o por una roja) iterada tres veces completa la ficha
verde. Se evidencia entonces que Natalia no sólo reconoció una unidad compuesta
(unitización) sino que la usó para reinterpretar la situación desde esta nueva unidad
(normación).
De manera similar Santiago, en entrevista individual, parece interiorizar que tres unidades
de dos, equivalen a seis unidades de uno. Pasó de una situación que estaba en términos de
unidades de uno a unidades de dos, es decir, hizo normación. Enseguida creó una nueva
unidad de seis y la iteró dos veces, en un segundo momento de normación. Ahora esas dos
unidades de seis fueron equivalentes a una unidad de doce.
Por su parte en la entrevista realizada a Avril y Tomás, se observa que Avril intentó hacer
un conteo figurativo mientras Tomás hizo uso de las relaciones dadas, como se muestra en
el siguiente fragmento de la entrevista:
Ilustración 25: Estudiante realizando equivalencia entre regletas.
50
Ejemplo 3: Avril y Tomás (8 años).
[Los niños hicieron lectura de la situación y se quedaron silencio, como pensando en lo que se les pedía]
E: Lo que están pensando lo pueden decir en voz alta.
[Avril hizo cuatro marcas sobre la ficha verde, intentando medir la cantidad de blancas, mientras que
Tomás se quedó pensando]
E: ¿Qué estás marcando Avril?
A: Los cuadritos blancos. [Siguió haciendo sus marcas, se quedó pensando y murmuró]- Son seis, creo-. T: [Tomás siguió pensando el problema por su cuenta, volvía y lo leía]
A: [También por su parte seguía pensando el problema, intentaba medir con el lápiz].
T: Dos, cuatro, seis. Son seis.
E: ¿Son seis fichas de qué?
T: Son seis fichas blancas. ¿Son seis las que tiene qué…?
A:[ Interrumpió y volvió a leer la pregunta del problema].
T: Si por eso.
A: ¿Seis? [Avril se quedó pensando y volvió a mirar la hoja].
T: [Volvió a leer la información del problema, pero esta vez en voz alta].Sumé dos, cuatro, seis.
[Explicándole a Avril].
A: A mí me da cinco.
E: Pónganse los dos de acuerdo si son cinco o son seis. T: [Volvió a leer el problema y empezó a dibujar cuadritos].
E: ¿Qué estás dibujando?
T: Fichas blancas.
T: [Completó su dibujo de seis cuadritos y le explicó a Avril] 1, 2, 3, 4, 5,6. Señalando cada cuadrito.
A: Yo estaba tratando con la línea, ahí se ve cuántos cuadritos hay.
E: Pónganse de acuerdo los dos. Ustedes tienen algo parecido. Cuéntale tú lo que estás pensando
[dirigiéndose a Avril] y lo escuchas después a él.
A: Yo estaba midiendo con el lápiz para mirar cuántos cuadritos eran, [colocó el lápiz sobre el dibujo y
empezó como a hacer las marquitas con la uña, explicándole a Tomás] y me da cinco.
E: ¿Tú qué piensas Tomás de lo que está haciendo Avril?
T: Yo pienso que es extraño. Es que yo no las mido. Yo no pongo las rayitas sino que voy calculando… A: [Interrumpió] a ver, a ver…
E: Cuéntale cómo estás calculando.
T: Dos da dos, más dos… cuatro…
E: Cuéntale cuáles son esos dos que estás sumando. ¿Qué son?
T: Fichas blancas.
A: Ummm… llegó el avión al aeropuerto [haciendo referencia que había entendido lo que le explicaron]
T: ¿Entonces cuál es…?
E: Pero tú no terminaste tu idea. ¿Qué eran esas dos que estabas sumando? ¿Dos fichas blancas que de
dónde salen?
T: Dos fichas blancas, da dos. Entonces voy una ficha roja. Entonces pongo dos… Son cinco [Pareció
confundido entre sus cálculos y la respuesta de Avril]. E: ¿Por qué? Leamos nuevamente.
A: [Lee la situación y para pensando en voz alta].Como una ficha roja forma dos cuadritos de… entonces
bajé una línea aquí [señalando la parte de la regleta verde que coincide en longitud con una ficha roja]… y
pues me dio ahí. Luego otros dibujitos para saber cuánto son…
E: ¿Y si el dibujo estuviera mal hecho? ¿Cómo usarían la información?
A: [Volvió a intentar medir con su dedo índice]
T: Pues lo haríamos usando nuestra mente. Nuestra mente es como una computadora. Entonces uno va
haciendo las cuentas en su memoria.
E: Entonces cuéntale a Avril cómo lo estabas haciendo tú en tu memoria.
T: Yo lo estaba haciendo cogiendo dos… entonces… ya que dos blancas eran tan grandes como un tren con
una ficha roja… Yo cogí… entonces puse dos fichas blancas en mi memoria… entonces cojo y hago un
cuadro rojo. E: ¿Y por qué allá dibujaste seis? ¿Qué significaban esas seis?
51
T: Significa que hay tres fichas rojas.
E: ¿Tú si le entiendes Avril que esas seis blancas que dibujó significan esas tres rojas?
T: [Tomás encerró cada dos fichas en un cuadrito, ver ilustración 29]
Con dos hago una ficha roja. Cojo dos, hago otra ficha roja y cojo dos y hago otra ficha roja. Y quedan tres
fichas rojas.
E: ¿Avril tú estás de acuerdo?
A: [Avril se queda pensando mientras que Tomás está nuevamente leyendo la situación, luego de unos
segundos interrumpe con expresión de alegría] Sí estoy de acuerdo con él.
E: [Lee nuevamente la situación haciendo énfasis en la pregunta].
T: ¿Con dos? [Con expresión de sorpresa]
E: Con dos fichas verdes.
T: [Se queda pensando y murmura] Seis más seis… ah… doce.
A: Doce [Reafirma].
E: ¿Por qué doce?
A: Porque sumamos… eh… Yo puse en mi cabeza los cuadritos y empecé de
tres en tres… [Señalando los tres grupos que encerró Tomás] ah… no… ah…sí…sí… Entonces llegué y puse
tres y después otros tres [nuevamente señalando los tres cuadritos que encerró Tomás].
E: ¿Otros tres qué?
A: Cuadritos blancos. Y aquí como hay dos… [Se quedó pensando] cuatro, seis… y pues otro seis… daba
doce. E: ¿Y tú Tomás?
T: Yo pensé… coger uno, dos, tres [señalando en el dibujo], y otros tres porque son dos fichas verdes,
entonces cogí dos “tres”… y cogí dos “seis” y los uní y me dieron doce.
E: ¿Están de acuerdo?
T y A: Sí.
E: Entonces escriban la respuesta.
Ilustración 28: Entrevista de parejas en la situación "Sigamos armando trenes".
Esta situación resultó compleja para la niña y el niño. Obsérvese cómo se encuentran dos
maneras de proceder, el trabajo desde lo figurativo por parte de Avril, frente al trabajo
desde el establecimiento de las relaciones por parte de Tomás. El niño además expresó en
palabras haber puesto dos fichas blancas en su memoria y que con ellas hizo un cuadro
rojo. Cuando se le preguntó por el significado de las seis fichas blancas que dibujó, expresó
claramente que significaban tres fichas rojas y además fue capaz de acudir a otro tipo de
representación en un contexto discreto de la relación entre las blancas y las rojas para
explicarle a su compañera. Por su parte Avril se mantuvo atenta a su procedimiento, pero
también al trabajo de Tomás, tanto que hacia el final de la entrevista explicó de dónde salía
el doce que expresó su compañero: puse tres y después otros tres, haciendo referencia a los
dos grupos de tres; pero también a los tres grupos de dos: y aquí como hay dos… cuatro,
seis; además se refirió al otro seis para llegar a doce. Es posible que el resultado de un
trabajo realizado en equipo le haya permitido a Avril ir un poco más allá de su conteo
figurativo.
Ilustración 27:Dibujo hecho por un estudiante para explicar su estrategia
52
Se observa que el doble isomorfismo de medidas, propio de la situación para relacionar las
cantidades fue tenido en cuenta dentro de su abordaje de manera explícita en lo que se
presenta en la explicación de Avril: puse tres (tres rojas que equivalen a una verde) y
después otros tres (la otra verde). Y como aquí hay dos (dos blancas que equivalen a la
roja).
Hechos relevantes
La situación resultó compleja para los estudiantes en términos de las relaciones
involucradas. En 5 de las 10 entrevistas las niñas y los niños acudieron a conteos
perceptuales o figurativos de uno en uno con o sin reconocimiento de relaciones. En las
otras cinco entrevistas las niños y los niños establecieron relaciones entre las cantidades
involucradas y reinterpretaron las situaciones en términos de nuevas unidades de dos, o de
seis.
4.1.6 Un nuevo reto para construir trenes
UN NUEVO RETO PARA CONSTRUIR TRENES:
Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un tren con dos fichas
verde claro.
¿Cuántas fichas rojas tendrá un tren para que sea igual de largo a otro tren
nuevo que se armó con seis fichas verde claro?
En esta situación de isomorfismo de medida los dos espacios de medida son las fichas rojas
y las fichas verdes. Su estructura es como se muestra a continuación:
En el abordaje de la situación las niñas y los niños entrevistados usaron estrategias de
conteo de uno en uno sin reconocimiento de relaciones, conteo de uno en uno con
reconocimiento de relaciones, doble conteo haciendo pausa en los múltiplos y uso
coordinado de dos tipos de unidad de manera simultánea como se muestra en la tabla 10.
Tabla 10: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Un nuevo reto para construir trenes"
UN NUETO RETO PARA CONSTRUIR TRENES: Un tren con tres fichas rojas es tan largo como
un tren con dos fichas verde claro. ¿Cuántas fichas rojas tendrá un tren para que sea igual de
largo a otro nuevo tren que se armó con seis fichas verde claro?
Fichas rojas Fichas verdes
3 2
6
53
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Conteo de uno en uno
sin reconocimiento de
grupos o de
relaciones. (Categoría
1).
Lorenzo. Colocó las tres regletas rojas frente a las dos verdes que le
fueron entregadas. Estimó hasta donde podría llegar el largor de otras
dos regletas verdes y concluyendo que las rojas que habría en total
serían 7.
David y Jary. David. Los niños se observaron distraídos durante la
entrevista. Dibujaron cuatro verdes y seis rojas a continuación. Al
parecer David logró establecer que si repetía un grupo de fichas verdes,
también repetía un grupo de rojas, sin embargo no culminaron la tarea.
Conteo de uno en uno
con reconocimiento de
grupos o de
relaciones. (Categoría 2)
Brayan. Tomo dos regletas verdes y tres regletas rojas, contó las tres
rojas, 1,2,3. Movió los dos grupos de regletas y continuó su conteo de
rojas, las volvió a mover y respondió que en total fueron 8 rojas.
Conteo haciendo pausa en los
múltiplos. (Categoría
4)
Valerie y Martín. Sobre las dos fichas verdes, Valerie marcó con sus
uñas las tres fichas rojas y contó 1,2,3; enseguida contó 4,5,6 (haciendo
figurativamente extensiones de las dos regletas verdes) pausa, 7,8,9,
pausa, 10, 11,12.
Uso coordinado de de
unidades
compuestas.(Categoría
7)
Samuel. Se le suministraron dos regletas verdes y tres rojas. Mantuvo
fijas las dos regletas y contó de uno en uno las rojas, a la vez que las
movía haciendo pausa en los múltiplos de tres.
Gabriel dispuso dos fichas verdes y enfrente las tres fichas rojas. Tomó
la línea se separó las dos fichas verdes como referencia de las veces
que contaba dos fichas verdes y tres rojas a la vez, como se ilustra:
Cuando llevaba seis, ahí ya llevaba cuatro fichas verdes, ahí ya
llevaba la segunda raya de la mitad y con el otro grupo de dos fichas ya tuve el resultado sin tener que contarlo, porque como dije 3+3+3 da
9 y no tuve que contarlas.
Avril y Tomás. En su explicación Tomás dibujó las fichas verde claro
de dos en dos, luego hizo marcas cada dos y escribió un tres por cada
dos, después contó 3 más 3, 6, más 3,9.
Santiago. No usó las fichas, expresó: porque si dos son tres, los otros
dos serían 6 y los otros dos serían 9. Está contando a la par las
unidades de dos y las unidades de tres.
Entre las descripciones presentadas en la tabla, se destaca que la estrategia usada por
Brayan hubiera podido clasificarse como de conteo por múltiplos, sin embargo el hecho de
que contara dos veces una misma ficha podría constituir evidencia de que aún no visualiza
las unidades de tres con las que se aborda la situación.
La estrategia usada por Valerie y Martín evidencia un conteo por múltiplos en unidades de
tres, sin embargo al parecer olvidaron un segundo conteo de la cantidad de unidades de tres.
54
Por otra parte, llama especialmente la atención el uso coordinado de dos tipos de unidades,
las unidades de tres y las unidades de dos, que constituye una estrategia de normación y
que además se desarrolló de manera distinta en las entrevistas de Samuel, Gabriel y
Santiago (en forma individual) y la de Tomás y Avril en pareja. La de Samuel se presenta
de manera detallada en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1: Samuel (7 años).
E: Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un tren con dos fichas
verde claro. ¿Cuántas fichas rojas tendrá un tren para que sea igual de largo
a otro tren nuevo que se armó con seis fichas verde claro. [Después de varios
minutos de mover las fichas mientras pensaba una solución, Samuel tomó dos fichas verdes e hizo un conteo en el aire como para saber la cantidad de veces
que las usaría. Enseguida las mantuvo fijas y a empezó a colocar las tres
rojas contándolas] 1, 2,3 pausa,[ volvió a la primera ficha y contó], 4, 5,6
pausa,[nuevamente volviendo a la primera ficha], 7, 8,9.
E: ¿Por qué supiste que eran 9?
S: Me mantuve concentrado en estas [señalando las rojas] contándolas
y en estas [señalando las verdes] para que no me pasara.
E: ¿Qué estabas contando de las verdes?
S: Hasta llegar el 6.
E: ¿Cómo lo hiciste?
S: Primero pensé que acá estaba un dos [juntó las dos fichas verdes y
contó tres rojas], 4, 5,6, y me puse a pensar en este que eran cuatro
(señalando nuevamente las dos fichas verdes) y el tercero era el último, antes eran 4 y aquí eran 5 y 6
(haciendo referencia a las regletas verdes).
Ilustración 30: Entrevista individual en la situación "Un nuevo reto para construir trenes".
El conteo realizado por Samuel para las fichas rojas continuó siendo de uno en uno
haciendo pausa en los múltiplos, mientras que su conteo de fichas verdes fue de dos en dos.
Las dos fichas verdes parecen haberse configurado como unidad cuando Samuel expresó
primero pensé que acá había un dos. Además llevó en su cuenta un tercer conteo que es el
de las veces que contó sus unidades de tres (fichas rojas) y de dos (fichas verdes) que se
observa cundo dice y el tercero era el último. Samuel reinterpretó la situación en términos
de una nueva unidad “dos verdes, tres rojas” que está contando a la par.
Esta manera de proceder de Samuel podría considerarse como uno de las estrategias previas
a la que menciona Lamon (1994) como estrategia intra de multiplicación por un escalar. En
el nivel de Samuel, él toma tres “dos” y cuenta a la vez tres “tres”, posteriormente esto
puede convertirse en una estrategia de aplicar un mismo operador en los dos espacios de
Ilustración 29: Reconocimiento de equivalencias entre regletas
evidenciado por un estudiante.
55
medida (espacio de medidas regletas verdes y espacio regletas rojas, 2x3 verdes implica
2x3rojas).
Por su parte, Gabriel contó también de manera simultánea dos tipos de unidades
compuestas pero a diferencia de Samuel contó los dos grupos usando múltiplos. De manera
similar procedió Santiago como se muestra en el siguiente fragmento de entrevista:
Ejemplo 2: Santiago (7 años)
E: Un tren con tres fichas rojas… S: Es igual a dos verde claro.
E: ¿Cuántas rojas se necesitan para armar un tren que sea igual
de largo a otro con seis verde claro?
S: [Movió sus dedos, se quedó pensando y murmuró] 2, 4, 6. [A
continuación movió sus mismos tres dedos de la mano izquierda y
murmuró: 3, 6,9. Luego en voz alta afirmó nueve].
-E: ¿Cómo lo pensaste?
-S: Porque si dos son tres, los otros dos serían seis y los otros dos
serían nueve.
Ilustración 32: Entrevista individual en la situación "Un nuevo reto para construir trenes".
En la forma de trabajar de Santiago, es posible identificar tres momentos de formación y
uso de unidades compuestas:
Momento 1: Establece una unidad “dos verdes claro” y analiza cuántas veces “mide” a seis
verde claro. Se evidencia cuándo señala con tres dedos y expresa 2,4,6. Tres veces dos
verde claro equivalen a seis verde claro.
Momento 2: La unidad “tres rojas” debe ser iterada también tres veces como se hizo con la
unidad “dos verdes”. Al iterar tres veces “tres rojas” se obtiene nueve rojas.
Momento 3: Cuando Santiago explica cómo resolvió la situación, ha construido una nueva
unidad que es “dos- tres”, y afirma: “porque si dos son tres, cuatro son seis y seis son
nueve”.
Por otra parte se destaca también la forma de proceder de Tomás en entrevista realizada en
parejas, por la forma como acude a una representación para explicarle a su compañera.
Tomás representó en su dibujo las seis regletas verdes y realizó marcas para cada dos
verdes a la vez que explicó, como se muestra en el siguiente fragmento de entrevista:
Ejemplo 3: Tomás (7 años)
Ilustración 31 : Estudiante evidenciando la formación de unidades compuestas.
56
T: [Dibujó las fichas verdes, hizo la primera marca y escribió el número
tres] Estas son tres fichas rojas. [Hizo la siguiente marca] estás son otras
tres fichas rojas [escribió su segundo “tres”], estas son otras tres fichas
rojas, entonces yo sumo, tres más tres seis, más tres, nueve.
Ilustración 34: Explicación dada por un estudiante en la situación "Un nuevo reto para construir trenes".
Hechos relevantes
El abordaje de esta situación dio lugar a que los estudiantes entrevistados usaran una nueva
estrategia de coordinación de dos tipos de unidades compuestas, para el caso unidades de
tres y unidades de dos. Los conteos de estos dos tipos de unidades ocurrieron de manera
diferente:
- Conteo figurativo en el que se extendían las dos unidades verdes o las unidades tres
rojas como si se colocaran varias veces, simulando un movimiento del material
concreto o de las imágenes dadas en el instrumento escrito.
- Fijar un tipo de unidad y mover la otra. Se fijaron las dos fichas verdes y se
movieron las rojas, llevando el conteo de las veces que debían moverse las fichas
rojas.
- Establecimiento de una unidad “razón” “dos verdes tres rojas” para ser contadas de
manera simultánea.
4.1.7 Situación Repartiendo dulces
En el abordaje de esta situación se buscaba indagar las estrategias movilizadas por los
estudiantes en un caso de división partitiva que, desde la clasificación propuesta por
Vergnaud (1991), tiene el siguiente esquema como relación cuaternaria:
REPARTIENDO DULCES: Voy repartir 12 dulces entre mis cuatro amigos. Si
todos deben recibir la misma cantidad, ¿cuántos le debo dar a cada uno?
Ilustración 33: Representación gráfica de la situación “Sigamos armando trenes” hecha por un estudiante.
57
Dulces Niños
12 4
1
Las cantidades involucradas en la situación, interpretado desde Puig (1995), son: 12 filas
(cantidad extensiva), 4 niños (cantidad extensiva), 1 niño (cantidad extensiva) y se pide
determinar la cantidad intensiva (dulces/niño). Esto significa que la tarea consiste en
encontrar el tamaño de la unidad que mide cuatro veces a 12.
Para encontrar esta unidad los niños acudieron en la mayoría de los casos a ensayo y error y
después procedieron a realizar algún tipo de conteo para hacer la verificación.
Las niñas y los niños movilizaron estrategias de conteo o reparto de uno en uno con
reconocimiento de grupos o de relaciones, doble conteo reiniciando en uno, doble conteo
por múltiplos y uso coordinado de unidades compuestas.
En la tabla 11 se relacionan las descripciones de las estrategias utilizadas:
Tabla 11: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Repartiendo dulces"
REPARTIENDO DULCES: Voy repartir 12 dulces entre mis cuatro amigos. Si todos deben
recibir la misma cantidad, ¿cuántos le debo dar a cada uno?
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
Conteo o reparto de uno en uno con
reconocimiento de
grupos o de
relaciones, (Categoría
2).
Brayan. Repartió de uno en uno en correspondencia con los niños hasta agotar los 12 dulces.
Estrategia: Doble
conteo reiniciando en
uno (Categoría 3).
Lorenzo. Representó con material los amigos. Enseguida tomó 12
tapas, que representaban los dulces y las repartió de a tres. “Tres para
este, tres para este, tres para este y cómo solo me quedaron tres, si era
así”.
David y Jary. Primero repartieron de a dos dulces para cada niño,
David afirmó que repartieron 8 dulces de a dos en dos para cada niño. Después que la entrevistadora volvió a leer, hicieron un nuevo reparto:
1,2,3 palitos, para un niño, 1,2,3 palitos, otro niño… hasta agotar los
palitos que representaron los dulces.
Avril y Tomás. Avril dibujó los doce dulces. Tomás hizo un doble
conteo reiniciando en uno: 1,2,3,4, una persona, 1,2,3,4, dos personas,
1,2,3,4 tres personas. Avril observó lo que hizo Tomás y dijo que
58
serían de a tres, encerrando sus dibujos en grupos de tres.
Samuel. Tomó 12 fichas blancas. La entrevistadora volvió a leer: los
vas a repartir entre cuatro amigos. Ensayó primero repartiendo de a
cinco y luego ensayó con tres. Finalmente organizó cuatro grupos de tres.
Gabriel fue sacando las fichas de cuatro en cuatro y observó que no le funcionó. Así que prefirió organizar sus fichas en forma de “culebrita”
como el mismo lo expresó, los agrupó en grupos de tres y vio que le
quedaron cuatro grupos. Respondió: el resultado son tres dulces para
cada niño... Son cuatro grupos de tres dulces.
Doble conteo por
múltiplos. (Categoría
5)
Natalia ensaya primero con cuatro dulces y luego con tres haciendo una
correspondencia con los niños.
Santiago primero responde 4 y luego de manera rápida dice 3 porque
sumé de tres en tres hasta completar 12.
Uso coordinado de de
unidades
compuestas.(Categoría
7)
Violeta y Alex. Contó la mitad de 12, seis y luego la mitad de seis, tres.
(Es similar a una estrategia intra a la que refiere Lamon (1994)
El reparto de uno en uno realizado por Brayan muestra solamente el uso de unidades
simples mientras que en las formas de proceder de Lorenzo, Samuel, Gabriel, David y Jary,
Avril y Tomás se observa la necesidad de usar unidades compuestas, cuyo tamaño es
determinado por ensayo y error.
Las estrategias de estos niños y niñas han sido consideradas doble conteo reiniciando en
uno, por cuanto lo primero que ellos hicieron fue conformar la unidad para responder la
pregunta formulada y continuar el abordaje de la situación como si se tratara de un
problema de división cuotitiva. Estos niños podrían estar usando secuencias tácitamente
anidadas de manera que una vez han encontrado el tamaño de la unidad, verifican cuántas
de estas se pueden forman con las 12 unidades simples (dulces). Este hecho corrobora lo
dicho por Steffe (1994) citado por Olive (2001), quien afirma que los niños con una
secuencia tácitamente anidada resolverían un problema de división partitiva como si fuera
de división cuotitiva una vez se establecido el tamaño de la unidad.
Respecto a las maneras de proceder de las niñas y niños entrevistados, se destaca la
estrategia de doble conteo reiniciando en uno usada por Avril y Tomás, como se muestra en
el siguiente fragmento de entrevista:
59
Ejemplo 1: Avril y Tomás (8 años)
A: ¿Podemos dibujar?
E: Sí, claro.
A: Dibujó en el papel 12 bolitas representando los dulces, Tomás señalaba las imágenes y se mostraba haciendo algún
tipo de cuenta] E: Lo que estás pensando háblalo.
T: Yo pienso a cada persona darle cuatro. 1, 2, 3,4 una
persona; 1, 2, 3, 4 dos personas; 1, 2, 3,4… solo tres
personas. Se quedó pensando]. A: ¿Serían de a 3 no?
T: ¡Ay… sí!
T: 1 persona, 2 personas, tres personas mientras que Avril fue encerrando cada tres bolitas en un rectángulo].
T: La cantidad de dulces que le doy a cada amigo es…
Avril escribió en su hoja 3 dulces y Tomás continuó leyendo]. Expliquen cómo llegaron a la respuesta
Tomás que quedó pensando…] E: ¿Qué fue lo primero que hicieron?
A: Dibujamos los dulces y continuó consignando la respuesta en su hoja de trabajo] y practicamos con 4 y no fue la respuesta correcta, intentamos con 3 y si
fue la respuesta correcta.
Ilustración 36: Entrevista por parejas en la situación "Repartiendo dulces".
Avril y Tomás lograron además de solucionar la tarea, hacer una representación de su
solución y explicar de manera escrita su proceso.
Samuel y Gabriel, con material concreto, también dispusieron en hilera las fichas, al
parecer de esta manera pudieron visualizar que la unidad de tres mide a doce, en tanto que
pudieron apreciar grupos de igual tamaño, a diferencia de David y Jary que tienen que
hacer la correspondencia entre niños y dulces.
Por otra parte, Natalia, Santiago y Gabriel también empezaron por ensayo y error a buscar
la cantidad de dulces por niño y una vez establecida esta cantidad, procedieron como si
fuera una situación de división cuotitiva haciendo doble conteo por múltiplos. La estrategia
de Natalia se describe en el ejemplo:
Ejemplo 2: Natalia (ocho años). Se usa la letra E para la entrevistadora y la N para Natalia.
Ilustración 35: Explicación escrita dada por una pareja de estudiantes en la situación "Repartiendo dulces".
60
Aunque Santiago y Natalia hacen doble conteo por múltiplos, al parecer las secuencias de
Santiago son más elaboradas y están constituidas como unidades abstractas como se
muestra en el siguiente fragmento de la entrevista:
Ejemplo 3: Santiago (8 años)
S: ¿Cuántos niños?
E: Cuatro niños.
S: Cuatro.
E: ¿Cuatro?
S: Ah… no. [Mueve sus dedos y sus labios pensando otra vez y a continuación responde] Tres.
E: ¿Por qué sabes que son tres?
S: Porque sumé de tres en tres, 3,6, 9, 12 [llevando con sus dedos su conteo de cada vez que contaba tres].
Para Santiago y para Natalia el tres es una unidad iterable. Natalia está haciendo una
correspondencia pero a la vez está teniendo en cuenta la cantidad total de 12 dentro de su
conteo. Santiago itera cuatro veces el tres hasta completar 12. La diferencia que hay entre
Natalia y Santiago es que Natalia mantiene presentes los dos espacios de medida, mientras
que Santiago trabaja solamente con un espacio y solamente tiene en cuenta que se trata de
cuatro grupos de tres.
Por otra parte, la estrategia usada por Violeta y Alex fue bien distinta de las demás. En el
siguiente fragmento de entrevista se muestra la forma como ocurrió:
A: La mitad de doce, seis, [se quedó pensando] tres por cada uno.
E:¿Cómo lo hiciste?
A: Contando en la mente.
E: ¿Qué contaste en la mente?
A: Conté cuál es la mitad de doce, me dio seis. Cuál es la mitad de seis y con eso resolví para darle a los
cuatro.
E: Voy a repartir doce dulces entre mis cuatro amigos. Si cada uno debe
recibir la misma cantidad, ¿cuántos le debo dar a cada uno?
N: ¿Cuatro dulces?
E: ¿Por qué cuatro?
N: Porque si a cada uno le das cuatro [señalando una de las imágenes del
niño] a él le das cuatro, a él le das cuatro, dan ocho, aquí otros cuatro,
dieciséis ,mmmmmm [queda pensativa]; no… cuatro, ocho,
once….dieciséis…. no. [Vuelve a quedar pensativa]
E: Son 12 dulces para repartir entre los cuatro… N: [Señalando la hoja] a ella le darías tres, a él le darías tres, serían seis; a él
tres, que da, nueve y a ella otros tres que te dan 12.
Ilustración 37: Explicación dada por una estudiante de doble conteo por múltiplos.
61
E: ¿Hay alguna manera de verificar que es correcta la solución? ¿Tú por qué crees que está bien Violeta?
¿Está bien lo que tu compañero hizo?
V: Sí porque dijo, tengo doce y sumo seis más seis entonces daría doce. Y entre los seis que hay ahí puedo
repartir tres y tres y así. Y entre los seis que hay al otro lado puedo repartir tres y tres. Tres dulces para un
amigo, tres dulces para otro amigo, tres dulces para otro amigo y tres dulces para otro amigo.
Al parecer Alex tenía alguna experiencia previa de repartos que utilizó para abordar la
situación, pero además Violeta pudo explicarla claramente. En la explicación de Violeta se
observa que ese primer reparto de seis y seis pudiera ser para dos niños y los otros seis para
los otros dos niños, de manera que al final ese seis se reparte también para dos niños y el
otro para los otros dos niños. Alex y Violeta trabajaron primero con una unidad 12 dulces,
que transformaron en dos unidades de seis dulces y finalmente en cuatro unidades de tres
dulces. Las unidades número de dulces parecen haber sido trabajadas en correspondencia
con las cantidades de niños.
Las maneras de proceder de Valerie y Martín no fueron clasificadas, por cuanto hicieron
una interpretación del problema que los llevó a repartir de a 12 dulces a cada niño.
Hechos relevantes
En la mayoría de los casos (al tratarse de una situación de división partitiva), la primera
parte de la solución consistió en identificar la cantidad de elementos que debía tener cada
una de las unidades compuestas y tratarla como un problema de división cuotitiva, de
manera que la estrategia predominante fue de “doble conteo reiniciando en uno”. Este
hecho corrobora lo dicho por Steffe (1994) citado por Olive (2001), quien afirma que los
niños pueden hacer suposiciones sobe el tamaño de las unidades para luego resolver el
problema como si fuera de división cuotitiva.
Por otra parte, se identificó que en esta situación usaron una estrategia que no se observó en
los antecedentes consultados y que consistió en hacer reparto por mitades de manera
simultánea en los dos espacios de medida. Esta estrategia se ha identificado en este trabajo
como de uso coordinado de unidades compuestas.
62
4.1.8 Séptima situación: Refrigerios
REFRIGERIOS: En el colegio de Daniel, los niños tienen varias maneras de escoger su refrigerio. De comer pueden escoger: Empanada o Arepa (Hay gran cantidad de
cada una). De beber pueden escoger entre jugo de mango, de mora o de lulo (Hay
gran cantidad de cada uno). ¿Cuántos refrigerios distintos se ofrecen?
Dentro de la clasificación propuesta por Vergnaud (1991), esta es una situación de producto
de medida en que se establece una relación ternaria entre tres cantidades, la cantidad de
comidas, la cantidad de bebidas y el producto cartesiano, entre estas, esto es:
- El conjunto formado por las comidas empanada y arepa .
- El conjunto formado por las bebidas, jugo de lulo, jugo de mango y jugo de
mora,
- El conjunto formado por las posibles parejas del producto cartesiano CXB, para
formar el conjunto de refrigerios:
Las cantidades involucradas en la situación son 1 arepa, 1 empanada, 1 jugo de lulo, 1 jugo
de mora, 1 jugo de mango, que son representantes de las cantidades 2 comidas y tres
bebidas. De manera que cada pareja del conjunto R consiste en la asociación de un
elemento del primer conjunto con un elemento del segundo conjunto, dando lugar a la
unidad “refrigerio” que se constituye de dos cosas (algo de comer y algo de beber).
En esta situación no se les da la unidad “refrigerio” de manera explícita, hecho que al
parecer generó cierto nivel de dificultad. Además, si bien la cantidad de comidas y de
bebidas podría existir de manera concreta, las unidades “refrigerios” requieren ser tratadas
como unidades abstractas.
Las estrategias utilizadas para abordar la situación se describen en la tabla
Tabla 12: Estrategias usadas por los niños en el abordaje de la situación "Refrigerios"
Refrigerios: En el colegio de Daniel los niños tienen varias maneras de escoger su refrigerio. De
comer pueden escoger empanada o arepa. De beber pueden escoger entre juego de mango, jugo
de mora o jugo de lulo. ¿Cuántos refrigerios distintos se ofrecen?
ESTRATEGIA DESCRIPCIÓN
63
Conteo de uno
en uno sin
reconocimiento
de grupos o de
relaciones.
(Categoría 1).
Natalia. Dijo 6 señalando un jugo, otro jugo, otro jugo, una arepa, una
empanada, agregando finalmente una arepa y un jugo, contando este último
como 1. No diferenció las unidades refrigerios de las unidades jugos.
Brayan inicialmente dijo 5 , sumando tres jugos y dos (cosas de comer).
Después empezó a mencionar varias opciones: un jugo de lulo y una
empanada, un jugo de mora y una arepa, jugo de mango y una arepa; jugo de
mora y otra arepa, jugo de lulo y empanada, jugo de mango y arepa, sin
embargo, no llevó la cuenta de los refrigerios que iba diciendo al parecer no
los identificó como unidades contables.
Samuel. Por momentos respondió que eran tres posibilidades y armó estos
refrigerios, en otro momento dijo que eran 5. Finalmente dijo que eran tres y
decidió dejar hasta ahí.
Lorenzo respondió 5. Sumó 2 comidas y 3 bebidas.
David y Jary. Inicialmente David contestó 5 refrigerios obtenidos de sumar
3 jugos y 2 cosas de tomar. Luego Jary dijo que solo dos porque solo hay dos cosas de comer sobraría un jugo, pero que si hubiera otra cosa de comer, ahí
si serían tres. Finalmente se mantienen en que serían dos porque hay dos
cosas de comer.
Violeta y Alex Sumaron las empanadas y los jugos y obtuvieron 5.
Valerie y Martín. Respondieron 3, y después dijeron que se podían otros.
Aunque mostraban posibilidades, no lograron ver cada refrigerio como
unidad contable.
Conteo de uno
en uno con
reconocimiento
de grupos o de
relaciones
(Categoría 2).
Gabriel respondió “cinco refrigerios”. Enseguida mencionó las posibilidades:
jugo de lulo y empanada, jugo de mora y arepa… Continuó enumerando
todas las posibilidades y contó seis.
Avril y Tomás. Avril tomó como punto de referencia primero la empanada y
la unió con cada bebida, después hizo lo mismo con la arepa y llegó a seis.
Doble conteo
haciendo pausa
en los múltiplos.
(Categoría 4)
Santiago. Enumera una a una las posibilidades para explicar cómo lo hizo
cuando respondió 6.
En 7 de las 10 entrevistas las niñas y los niños realizaron conteo de uno en uno sin
reconocimiento de grupos o relaciones. En algunos casos contaron individualmente las
“cosas de comer” con las “cosas de beber” y las sumaron, sin reconocer la unidad
“refrigerio”. En dos casos se evidenció que pudieron identificar los refrigerios que estarían
conformados por algo de comer y algo de beber pero no lograron llevar un registro o un
conteo de las posibilidades existentes.
64
En contraste con algunas de las situaciones anteriores, donde se mencionó que las
cantidades pequeñas favorecieron su abordaje, en esta situación no ocurrió lo mismo, al
parecer porque el tipo de unidades requieren un mayor grado de abstracción donde no es
posible por ejemplo hacer conteos perceptuales. Sin embargo, Santiago al parecer logró
identificar las unidades y contarlas, como se muestra en el siguiente fragmento de
entrevista:
Ejemplo: Santiago (8 años)
E: Imagínate que en el colegio les dieran refrigerio. En el refrigerio les dan algo de comer y algo de beber. Cuando tu pasas a la fila puedes escoger algo de comida: o arepa o empanada. Puedes también escoger algo de bebida: jugo de naranja, mora o lulo. La pregunta es, si tú vas a escoger refrigerio, tienes muchas posibilidades, con una comida y una bebida. ¿Cuántas posibilidades tienes?
S: Cinco. E: ¿Cuáles serían? S: La arepa, la empanada, el jugo de naranja, el jugo de mora y el jugo de lulo. E: ¿Cómo va a ser tu refrigerio entonces? S: Empanada y jugo de lulo. E: ¿Hay más posibilidades de que escojas?
S: [Se queda pensando y responde] Si. E: ¿Cuáles?
S: La arepa con el jugo de mora o la arepa con el jugo de naranja. E: ¿Y cuántas posibilidades te dan así? S: Tres. E: ¿Tres? ¿Cuáles serían? S: La empanada con… tres no. E: ¿No son tres? ¿Entonces cuántas son? S: Seis. E: ¿Por qué seis? S: Porque se cogen la empanada con el de lulo, la empanada con el de mora, la empanada con el de naranja. La arepa
con el de lulo, la arepa con el de mora y la arepa con el de naranja. E: ¿Listo y serían seis o hay otra posibilidad? S: [Se queda pensando] Si serían solo seis. E: ¿No hay más posibilidades? S: Se queda mirando la hoja y responde que no.
Ilustración 39: Entrevista individual de la situación "Refrigerios".
Cuando Santiago respondió seis, no hizo ningún conteo usando el material ni tampoco sus
dedos, solamente observó la imagen presentada en la hoja. Si se tiene en cuenta que había
hecho las combinaciones con una comida (arepa), se percató que le hacían falta las
combinaciones con la otra comida (empanada). De manera que a las tres posibilidades
iniciales (arepa con cada bebida), era necesario agregar otras tres posibilidades (empanada
con cada bebida). Santiago formó unidades de tres, donde cada tres eran las comidas
asociadas a una bebida. Parece ser que al contar estas unidades de tres siguió usando su
conteo por múltiplos. A diferencia de las demás situaciones, Santiago no identificó desde el
Ilustración 38: Estudiante explicando estrategia de una situación de producto de medidas.
65
principio las unidades para contar. Tal vez se hubiera podido indagar más, bajo el supuesto
que se agregara otra cosa de comer.
Hechos relevantes
En algunas de las entrevistas realizadas las niñas y los niños no diferenciaron las unidades
involucradas en la situación, en dos casos lograron mostrar las posibilidades de refrigerios
pero no lograron identificarlos como elementos contables. Solamente en tres casos las niñas
y los niños lograron dar cuenta de las seis posibilidades de refrigerio. La situación pareció
compleja por la exigencia de unidades abstractas.
4.1.9 Resultados del análisis por situación
De acuerdo con el análisis sobre las estrategias utilizadas por los niños en el abordaje de las
situaciones multiplicativas propuestas se puede concluir que:
- En las situaciones de división cuotitiva y de división partitiva predominó la
estrategia de doble conteo reiniciando en uno al parecer debido a la necesidad de
formar las unidades para luego ser contadas.
- En la situación de las pulseras y en la situación de los dulces no hubo ningún
estudiante que hiciera conteos sin reconocimiento de grupos o de relaciones, en este
sentido las dos situaciones no representaron dificultad para las niñas y los niños
entrevistados.
- Las situaciones “Descubriendo fichas” y “Empacando pastelitos” tienen la misma
estructura y predominaron las estrategias de doble conteo haciendo pausa en los
múltiplos o doble conteo por múltiplos. La estructura de la situación preguntaba por
hallar en la primera situación y por n la segunda situación, que
necesariamente llevaba a una respuesta sobre un múltiplo de cinco o de tres,
respectivamente. Los dobles conteos realizados por las niñas y los niños reflejaron
la importancia de los dos tipos de unidad involucrados en la situación.
- En las dos primeras situaciones con regletas: “Armando trenes” y “Sigamos
armando trenes" se observó que primaron los conteos perceptuales o figurativos de
uno en uno, sin embargo, hubo un buen número de estudiantes que lograron
66
establecer relaciones entre los distintos tipos de (unidad) y utilizarlos para
reinterpretar las situaciones en términos de las nuevas unidades formadas.
- La situación “Un nuevo reto para construir trenes” dio lugar a estrategias de
coordinación de dos tipos de unidades compuestas, en la que se dieron conteos
figurativos con movimiento del material concreto, en algunos casos manteniendo
fija una unidad mientras se movía la otra y, en otros, moviendo simultáneamente los
dos tipos de unidades. Esta situación también dio lugar a la construcción de una
unidad “razón” dos verdes tres rojas para ser contadas de manera simultánea.
- La situación de los refrigerios resultó compleja para los estudiantes, al parecer
porque implicaba el uso de unidades abstractas.
De acuerdo con lo anterior se puede afirmar que los tipos de situaciones influyeron en las
estrategias utilizadas por los niños.
4.2 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS POR ESTUDIANTE.
¿Mantuvieron las niñas y los niños el uso de estrategias similares en el abordaje de las
situaciones propuestas a pesar de la distinta naturaleza de las mismas? Para obtener una
aproximación de respuesta a esta pregunta, se analizaron los casos de uno de los estudiantes
de cada institución que fue entrevistado de manera individual y dos de los estudiantes que
fueron entrevistados en pareja. Con el análisis de las entrevistas de parejas se buscó además
identificar si sus integrantes movilizaban estrategias diferenciadas o construían una entre
los dos. En la tabla 13 se presenta la síntesis de las estrategias utilizadas a lo largo de todas
las situaciones por parte de los estudiantes seleccionados.
Tabla 13: Estrategias usadas por Lorenzo, Samuel, Avril y Tomás en todas las situaciones.
Situación Lorenzo Samuel Avril y Tomás
Haciendo pulseras Doble conteo reiniciando en
uno.
Doble conteo haciendo
pausa en los múltiplos.
Doble conteo reiniciando en
uno.
Descubriendo
fichas Doble conteo por múltiplos. Doble conteo haciendo pausa en los múltiplos.
Empacando
pastelitos Doble conteo por múltiplos. Doble conteo haciendo pausa en los múltiplos.
Armemos trenes Conteo de uno en uno sin
reconocimiento de grupos o
Conteo de uno en uno con reconocimiento de grupos o
relaciones.
67
relaciones.
Sigamos armando trenes
Conteo de uno en uno sin reconocimiento de grupos o
relaciones.
Conteo de uno en uno con reconocimiento de grupos o
relaciones.
Equivalencia entre distintos tipos de unidad y/o
reinterpretación en términos
de las nuevas unidades.
Un nuevo reto para
formar trenes
Conteo de uno en uno sin
reconocimiento de grupos o
relaciones.
Uso coordinado de unidades compuestas. Las unidades de
tres contadas de uno en uno
haciendo pausa en los
múltiplos y las de dos por
múltiplos.
Uso coordinado de unidades
compuestas.
Repartiendo dulces Doble conteo reiniciando en uno.
Refrigerios Conteo de uno en uno sin reconocimiento de grupos o
relaciones.
Conteo de uno en uno con
reconocimiento de grupos o
relaciones.
4.2.1 El caso de Lorenzo
Al abordar las situaciones “Haciendo pulseras” y "Repartiendo dulces”, Lorenzo se mostró
como contador perceptual usando estrategia de doble conteo reiniciando en uno utilizando
material concreto. No se observó la necesidad de verificar la totalidad de las 24 unidades
simples en el caso de las pulseras o de las 12 en el caso de los dulces, de esta manera solo
fue necesario formar unidades compuestas y contarlas como tales.
Cuando Lorenzo pasó a abordar la situación “Descubriendo fichas” y “Empacando
pastelitos”, evidenció haber identificado y usado las unidades de tres o las unidades cuatro,
que coordinó a lo largo de las 15 o 12 unidades simples, respectivamente, usando
estrategias de doble conteo por múltiplos, completando las series con conteos de uno en
uno en los casos en los que aún no tenía las secuencias completas.
En contraste con lo anterior, cuando Lorenzo pasó a abordar las situaciones de los trenes no
evidenció haber establecido las relaciones necesarias entre los tamaños de las regletas para
construir y usar unidades compuestas. De esta manera, es posible que las unidades
utilizadas en las situaciones anteriores solamente fueran unidades compuestas
experienciales, que debieron ser formadas en el abordaje de cada situación para operar con
ellas.
De acuerdo con lo ocurrido, es posible que las estrategias usadas por Lorenzo como
contador perceptual o figurativo le permitieron dar respuesta a las preguntas formuladas en
68
contextos discretos, en los que podía tomar los objetos de uno en uno para ser contados y
por ende conformar las unidades, pero no a las preguntas formuladas en contextos
continuos, en las que se requería establecer relaciones entre unidades de medida y construir
nuevas unidades.
4.2.2 El caso de Samuel
Al abordar la situación de las pulseras Samuel empezó realizando un conteo de uno en uno
reiniciando en uno (no doble conteo), sin embargo, debido a que la cantidad de fichas que
se le entregó fue mayor a 24 y a la intervención de la entrevistadora recalcando que la
totalidad de las chaquiras era de 24, cambio su estrategia por la de doble conteo haciendo
pausa en los múltiplos.
Esta misma estrategia la utilizó al abordar la mayoría de situaciones, de manera que las
unidades compuestas (4 chaquiras/pulsera, 3 fichas /fila, 4 pasteles/por plato) no solamente
existieron de manera independiente, sino también como parte de un todo (grupos de 4 en
24, grupos de 3 en 15, grupos de 4 en 12).
En la situación de los dulces la estrategia no fue la misma, pues lo primero que hizo fue
contar 12 fichas para representar los dulces y colocarlas de manera que pudiera organizar
grupos iguales. Por la forma como dispuso las fichas pareciera que más que contar de uno
en uno, se ocupó de que los grupos fueran del mismo tamaño en una especie de
subitización.
En el abordaje de las dos primeras situaciones con regletas, aunque tuvo en cuenta las
relaciones dadas en la información, no dejó de lado lo perceptual y acudió a experiencias
de verificación como: 1) colocó frente a la regleta a la regleta rosada, una regleta blanca y
una roja, completando lo que serían tres regletas blancas y, enseguida, movió la regleta
blanca a continuación de la roja para verificar que completaría “4 regletas blancas” que
equivalían a un tren rosado; 2) comparar su tren formado por con una regleta rosada y una
roja para que efectivamente fuera igual de largo a uno verde, colocando las fichas frente a
frente. Finalmente en los dos casos realizó conteos de uno en uno con reconocimiento de
relaciones.
69
Por otra parte, al abordar la situación “Un nuevo reto para construir trenes” movió sus
fichas para encontrar la forma de contar las unidades rojas y verdes al mismo tiempo. La
unidad “dos verdes”, posiblemente por su tamaño pudo ser contada como unidad abstracta
“un dos”, pero la unidad “3 rojas” requirió para Samuel ser armada siempre para contarla,
acudiendo nuevamente a su conteo de uno en uno haciendo pausa en los múltiplos.
De manera general, se observó que Samuel construyó unidades experienciales en contextos
discretos (por ejemplo en las situaciones de las fichas y de los pastelitos) y continuos (en
las situaciones con regletas) como parte de sus estrategias de doble conteo de uno en uno
haciendo pausa en los múltiplos, o en los conteos a lo largo de las unidades formadas con
las regletas en los casos de los trenes.
4.2.3 El caso de Avril y Tomás
Avril y Tomás se mostraron como contadores perceptuales en el momento de abordar la
primera situación “Haciendo Pulseras”, pues armaron los grupos y los contaron usando una
estrategia de doble conteo reiniciando en uno. De manera similar procedieron en la
situación “Repartiendo dulces”.
En las siguientes situaciones mientras que Avril usaba estrategias basadas en conteos
perceptuales, formando unidades compuestas experienciales, Tomás parecía formar
unidades compuestas abstractas y operaba con éstas. Por ejemplo, en la situación
“Descubriendo fichas” (ver tabla 6, pág. 38), Tomás hizo conteo por múltiplos de tres, pero
también explicó su manera de proceder acudiendo a un doble conteo reiniciando en uno,
mientras que Avril, hizo sus dibujos de las fichas y los también por múltiplos aunque
tomando más tiempo, al parecer para completar las secuencias de tres.
En la situación “Armemos trenes”, Avril apoyándose en la imagen explicó su forma de
proceder: Me paré en el tren rosado y empecé a contar, hice cuadritos en mi mente. Sin
embargo, esta estrategia no le fue útil en el abordaje de la situación “Sigamos Armando
Trenes" pues cuando intentó dibujar los cuadritos (regletas blancas) en la regleta verde, le
daba como resultado 5 (ver ilustración 30, pag.54), hecho que puso a dudar a Tomás pues
no coincidía con los cálculos que estaba haciendo. Para completar su proceso, Tomás
representó cada ficha roja como equivalente a dos blancas y las encerró en un rectángulo
(ver ilustración 29). Con esta ayuda a Avril movilizó sus estrategias para contar tres grupos
70
de dos blancas (equivalente a seis regletas blancas) como un grupo al que le podía agregar
otro grupo de tres grupos de dos blancas (otras seis regletas blancas). Las explicaciones de
Tomás en las que evidenció reinterpretar en términos de unidades de dos y además
representar, le permitió usar estas representaciones como evidencia también de lograr
establecer alguna equivalencia entre distintos tipos de unidad.
Hechos relevantes
Lorenzo, Samuel y Avril acudieron a conteos usando o bien material concreto o bien las
figuras. La construcción de sus unidades compuestas se fue dando de manera experiencial
para luego hacer dobles conteos reiniciando en uno, dobles conteos haciendo pausa en los
múltiplos o dobles conteos por múltiplos. Las estrategias usadas en contextos discretos por
Lorenzo y Avril, no les fueron útiles a la hora de abordar las situaciones de contextos
discretos. Sin embargo, Avril tuvo la posibilidad de movilizar nuevas estrategias a partir de
trabajar conjuntamente con Tomás. Por su parte Tomás, mostró siempre su habilidad para
realizar sus conteos por múltiplos y explicar su estrategia acudiendo a dobles conteos
reiniciando en uno o dobles conteos haciendo pausa en los múltiplos.
Las situaciones de los trenes requirieron del establecimiento de relaciones entre los tamaños
de las regletas, de manera que los conteos perceptuales sin el reconocimiento de tales
relaciones, ya no fueron útiles en términos de lograr la respuesta esperada. Una vez
establecidas las relaciones, Samuel continuó usando doble conteo haciendo pausa en los
múltiplos, pero a la vez incorporando las unidades compuestas de dos.
71
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo, y a manera de síntesis, se presentan las conclusiones obtenidas a partir del
análisis realizado en el desarrollo del presente trabajo y se ofrece una respuesta a la
pregunta de investigación sobre las estrategias que utilizan las niñas y los niños (7-8 años)
para resolver situaciones multiplicativas antes de abordar los algoritmos clásicos en la
escuela y cómo pueden ser analizadas en el marco de los procesos de unitización y
normación. Finalmente, se formulan algunas recomendaciones que surgieron durante el
desarrollo de esta investigación, relacionadas con el diseño de las tareas, con la dinámica de
las entrevistas y con las actividades de aula relacionadas con la resolución de problemas,
las cuales pueden ser de utilidad para futuras investigaciones.
Un aspecto a destacar, a partir de la forma en que las niñas y los niños trabajaron las
diversas situaciones propuestas, es una manera “natural” de armar y reconocer unidades
compuestas, así como de realizar conteos de dichas unidades y de sus elementos
constitutivos; usualmente iniciaban con conteos de uno en uno, haciendo pausa en los
múltiplos, y a medida que iban encontrando formas rápidas de contar, pasaban a realizar
conteos por múltiplos (unidades compuestas), por ejemplo, cinco grupos de tres fichas
fueron contados con múltiplos de tres.
Se destaca también que las situaciones en las que se indagó desde contextos continuos, en
las que resultó difícil para las niñas y los niños contar objetos de uno en uno, dio lugar a
reconsiderar las categorías de análisis inicialmente previstas, en las que se evidencian
claramente procesos de unitización (reconocimiento y uso de unidades compuestas), para
dar cuenta de dos categorías emergentes, relacionadas más explícitamente con procesos de
normación (re-significación de las situaciones en términos de tales unidades compuestas), a
partir de las cuales se complementó el análisis realizado. Tales categorías fueron: 1)
Equivalencia entre distintos tipos de unidad y/o reinterpretación en términos de las nuevas
unidades y 2) Uso coordinado de unidades compuestas.
Las entrevistas en grupo fueron la oportunidad para que se pusieran en evidencia las
explicaciones de las niñas y los niños, dirigidas hacia sus pares, sobre sus maneras de
proceder recurriendo, en una misma entrevista, a distintas formas de conteo (reiniciando en
72
uno, haciendo pausa en los múltiplos o por múltiplos) y a representaciones gráficas,
generando que sus pares, además de lograr comprender su interpretación, avanzaran por
ejemplo, de la consideración de unidades simples que podían ser contadas de una en una, a
considerar unidades de unidades que también podían ser contadas, dando paso a la re-
significación de las situaciones en términos de las unidades compuestas (normación).
Se encontró relación entre la naturaleza de las situaciones propuestas y las estrategias
utilizadas por parte de los niños y niñas en su abordaje. En las situaciones de división
partitiva y cuotitiva predominaron estrategias de doble conteo reiniciando en uno y en los
isomorfismos de medidas que usualmente se resolverían por multiplicación, doble conteo
haciendo pausa en los múltiplos y doble conteo por múltiplos.
Como resultado de análisis de las estrategias utilizadas por niño, se observó que uno de los
niños acudió en la mayoría de las situaciones a usar su estrategia de doble conteo haciendo
pausa en los múltiplos, un segundo estudiante dio distintas explicaciones a su par sobre sus
estrategias de conteo y otro estudiante movilizó nuevas estrategias gracias a la interacción
con su par, desde donde se puede inferir que el contexto de las situaciones y la dinámica de
su abordaje influye en las decisiones que pueda tomar una niña o un niño sobre sus
estrategias. En términos vigotskianos “el marco del niño es puramente situacional, en tanto
el marco del adulto es conceptual” (Vigotsky, 1986/1934, p. 133).
Otros aspectos puntuales a destacar son los siguientes:
- Las situaciones de tipo multiplicativo, donde apareció explícita la unidad, fueron más
fáciles de abordar por parte de los niños y de las niñas que las situaciones donde se
preguntó por la unidad o en las que ésta no aparecía explícita.
- Las situaciones de producto de medida fueron en general difíciles de abordar por los
niños, posiblemente porque requería del trabajo con unidades abstractas para unas
edades en las que los niños se mostraron en la mayoría de los casos como contadores
perceptuales.
- El tamaño de las cantidades no necesariamente tiene que ver con la complejidad del
problema, como se corrobora con la situación de los refrigerios; que siendo cantidades
pequeñas (2-3) representó un nivel de dificultad “alto” para los niños en comparación
73
con la situación de los pastelitos o de “repartiendo dulces” en donde se usaron también
cantidades pequeñas pero se abordó por los niños de forma más fácil.
- Las secuencias numéricas que ya han aprendido los niños, facilitan también las
estrategias usadas, en caso que no la tengan aprendida la construyen haciendo conteos de
uno en uno para formar las unidades compuestas.
RECOMENDACIONES
Como resultado de los análisis hechos en la presenta investigación, damos a conocer
algunas consideraciones a tener en cuenta para futuras investigaciones o para el desarrollo
de actividades en el aula de clase:
- La situación “Haciendo Pulseras” (pág. 32) podría formularse sin el dibujo o en el caso
de material concreto darle la posibilidad de que la cantidad se fichas sea mayor a 24.
- Es importante recalcar en los procesos de enseñanza-aprendizaje las unidades de las que
se esté hablando, pues se observó que un niño pude sumar números indistintamente sin
tener claridad sobre las cantidades.
- El diseño de situaciones multiplicativas en contextos continuos (como la situación: “Un
nuevo reto para construir trenes”), ofrece la posibilidad de trabajar aspectos relacionados
con proporcionalidad particularmente, situaciones que implican el cálculo del término
desconocido de una proporción, desde los primeros grados.
- El trabajo de grupo y el uso de representaciones por parte de las niñas y niños deben ser
aprovechados en la escuela para que los niños progresen en sus estrategias para resolver
problemas.
74
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niveles: una investigación en curso. PNA, 1(4), 170-190.
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Kozulin). Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. (Obra original publicada
póstumamente en ruso en 1934 y en inglés en 1962).
76
ANEXO: INSTRUMENTO PARA EL DESARROLLO DE LA ENTREVISTA
Nombre:
Curso: Fecha: Edad:
HACIENDO PULSERAS
Con 24 chaquiras rojas se harán pulseras, colocando 4 chaquiras en cada pulsera.
¿Cuántas pulseras se pueden hacer con las chaquiras?
La cantidad de pulseras que se puede hacer es: _________
Expliquen cómo llegaron a la respuesta:
77
REPARTIENDO DULCES
Voy repartir 12 dulces entre mis cuatro amigos.
Si todos deben recibir la misma cantidad, ¿cuántos le debo dar a cada uno?
La cantidad de dulces que le doy a cada amigo es_________
Expliquen cómo llegaron a la respuesta:
78
DESCUBRIENDO FICHAS
Expliquen el procedimiento que usaron para llegar a la respuesta.
En la imagen pueden ver un grupo de fichas.
Detrás de esta tarjeta azul escondí otros tres
grupos de fichas iguales al grupo que pueden
ver.
¿Cuántas fichas hay escondidas?
La cantidad de fichas escondidas es_________
Entre las fichas que pueden ver y las que están
escondidas, ¿cuántas fichas hay en total?
En total hay_______ fichas.
79
Expliquen el procedimiento que usaron para llegar a la respuesta.
En la imagen pueden ver un grupo de fichas. Detrás
de la tarjeta azul escondí otros cinco grupos de
fichas iguales al grupo de fichas que pueden ver.
Entre las fichas que pueden ver y las que están
escondidas, ¿cuántas hay en total?
Hay en total ________ fichas.
80
ARMEMOS TRENES
¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para ser igual de largo a un “tren” con una
ficha rosada?
El total de fichas blancas es:_________
Expliquen el procedimiento que usaron para llegar a la respuesta.
Un “tren” con dos fichas rojas es tan largo como un “tren”
con una ficha rosada.
Un “tren” con dos fichas blancas es tan largo como un
“tren” con una ficha roja.
81
SIGAMOS ARMANDO TRENES
Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un “tren” de una ficha verde.
|
Un “tren” de dos fichas blancas es tan largo como un “tren” de una ficha roja.
¿Cuántas fichas blancas debe tener un “tren” para que sea tan largo como un nuevo “tren”
de dos fichas verdes?
La cantidad total de fichas blancas que debe tener el nuevo tren es: _______
Expliquen cómo llegaron a su respuesta:
82
EMPACANDO PASTELITOS
Natalia encontró en la cocina tres platos, cada uno con cuatro pastelitos, como
pueden ver en la imagen. Todos los pasteles que encontró los colocó en una bolsa.
El total de pasteles que colocó en la bolsa es: _____________
Expliquen cómo llegaron a su respuesta:
83
REFRIGERIOS: En el colegio de Daniel, los niños tienen varias maneras de escoger su
refrigerio:
De comer pueden escoger: Empanada o Arepa (Hay gran cantidad de cada una).
De beber pueden escoger entre jugo de mango, de mora o de lulo (Hay gran cantidad de
cada uno).
¿Cuántos refrigerios distintos se ofrecen?
La cantidad de refrigerios distintos que se ofrecen es ______
Expliquen cómo llegaron a la respuesta:
84
UN NUEVO RETO PARA CONSTRUIR TRENES:
Un “tren” con tres fichas rojas es tan largo como un tren
con dos fichas verde claro.
¿Cuántas fichas rojas tendrá un tren para que sea igual de largo a otro tren nuevo que se
armó con seis fichas verde claro?
El número total de fichas rojas del tren nuevo es:__________
Expliquen cómo llegaron a la respuesta:
