Tecnología. 8 Estrategia didáctica...Tecnología. Estrategia didáctica
Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad ...
65
Centro de Estudios de Ciencias de la Educación “Enrique José Varona” Universidad de Camagüey Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos (Tesis en Opción del Título Master en Enseñanza de la Matemática Media-superior) Por: Lic. Miguel Antonio ESPINAL JIMÉNEZ Tutora: Dr. C. Nancy MONTES DE OCA RECIO
Transcript of Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad ...
Centro de Estudios de Ciencias de la Educación
“Enrique José Varona”
Universidad de Camagüey
Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos
(Tesis en Opción del Título Master en Enseñanza de la Matemática Media-superior)
Por: Lic. Miguel Antonio ESPINAL JIMÉNEZ
Tutora: Dr. C. Nancy MONTES DE OCA RECIO
Universidad APEC
2010
INDICE
INTRODUCCION………………………………………………………………………………………...1
CAPÍTULO I: LA HABILIDAD INTERPRETAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL
PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE ESTA ASIGNATURA…………………………………... 7
1.1. Antecedentes y caracterización actual del proceso docente-educativo de la
Matemática en la República Dominicana………………………………………………………….….7
1.2. Desarrollo de habilidades en el proceso docente-educativo de la
matemática en el nivel medio………………………………………………………………………….12
1.3. La habilidad interpretar problemas en el proceso docente-educativo de la matemática…17
1.4 Diagnóstico inicial de la problemática…………………………………………………………….24
Conclusiones del capítulo I……………………………………………………………………………..28
CAPÍTULO II: ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DE LA HABILIDAD INTERPRETAR
PROBLEMAS MATEMÁTICOS…………………………………………………….30
2.1. Referentes teórico - metodológicos de la estrategia didáctica………………………………..30
2.2.- Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar
problemas matemáticos………………………………………………………………………………..36
2.3. Ilustración de un sistema de tareas para interpretar problemas en el tema ecuaciones
lineales……………………………………………………………………………………………………41
2.4. Valoración de la factibilidad de la estrategia didáctica…………………………………………50
CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………..52
RECOMENDACIONES………………………………………………………………………………….54
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………..55
ANEXOS
SÍNTESIS
Debido a las insuficiencias para interpretar problemas matemáticos en los estudiantes del nivel medio, se
ha considerado pertinente la búsqueda de alternativas metodológicas que eleven la calidad de la
enseñanza y, del mismo modo, posibiliten el desarrollo de habilidades en el proceso docente-educativo de
la matemática.
En correspondencia con ello, en este trabajo de investigación se propone el diseño de una estrategia
didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos. Se realiza una valoración
del proceso docente-educativo de la matemática en la República Dominicana, el desarrollo de
habilidades y la interpretación de problemas matemáticos como habilidad necesaria en el proceso,
considerando los aportes de diversos autores sobre el desarrollo de habilidades y la interpretación de
problemas matemáticos. Además de que se exponen los presupuestos teóricos en que se sustenta la
estrategia y se realiza una validación de la misma a través de una consulta a especialistas.
INTRODUCCIÓN
En República Dominicana, no fue hasta principios de la década de 1970 que el alumno dejara de ser un
ser pasivo en el aula para empezar a convertirse en el centro del proceso docente-educativo de la
matemática que, hasta entonces, “…estaba fundamentada en los principios de la escuela tradicional
y en una concepción del aprendizaje donde el maestro (…) era el centro del proceso…” (SEE 1994,
T2, p3).
El maestro, por ser el centro del proceso docente-educativo, hasta ese momento, basaba su enseñanza en
métodos tradicionales, por lo que, como se expresa claramente en el citado texto (1994), “Aprender se
reducía a memorizar, practicar y repetir.” (T2, p3).
El desarrollo de habilidades matemáticas estaba muy limitado debido a que: “La matemática era
presentada como un conjunto de verdades inmutables, exhibiendo sólo el producto final, dejando a
un lado las riquezas del proceso necesario para construir cada concepto, demostración o
solución.”(1994, T2, p3). Esto no permitía que el alumno experimentara un aprendizaje significativo a lo
largo del proceso.
Hoy día, a pesar de los intentos de los implicados en el proceso docente educativo de la matemática, nos
encontramos con una educación matemática que no logra ponerse a tono con la realidad que nos
circunscribe y permanece inmóvil entre dos corrientes, de las cuales, una no termina de debilitarse por
completo (tradicionalismo) y la otra no ha logrado fortalecerse en esencia (Didáctica Moderna). Esto ha
llevado a que, actualmente “…en la clase de matemática, en la mayoría de los casos, se presentan
los conceptos y procedimientos de manera aislada.” (1994, T2, p19).
El desarrollo de habilidades constituye uno de los fundamentos del proceso docente-educativo de la
matemática, pues A. Rebollar y M. Ferrer (2007) expresan:
…se considera a la habilidad como la construcción y dominio, por el alumno, del modo de actuar inherente a una
determinada actividad, que le permite buscar o utilizar conceptos, propiedades, relaciones, procedimientos, emplear
estrategias de trabajo, realizar razonamientos, emitir juicios y resolver ejercicios y problemas.
El estudio del desarrollo de habilidades matemáticas es de gran interés para investigadores de diversos
países; se tiene conocimiento de algunas de las investigaciones realizadas al respecto en España (A.
Gutiérrez, 1991; J. Kilpatric 1996; M. Bravo, 2002; R. Louro, 2001; J. Arrieta, 2002), en Cuba (R. Báez, D.
Prieto y I. González s/f; N. Monte de Oca y E. Machado, 2004; R. Darío 2007; E. Cala 2002; R. Cruz, 2002;
M. Bravo, 2002; M. Blanco 2000; A. Rebollar y M. Ferrer, 2007), en México (M. Galicia, 2004; I. Cisnero,
2007), en Venezuela (D. Palacios, 2007), en Argentina (M. Barberis, s/f), en Perú (M. Díaz, 2004), en
República Dominicana (J. Terrero, 2005; M. Vargas, 2005). Algunos de los trabajos citados fijan su
atención en el desarrollo de habilidades matemáticas en sentido general; otros siendo más específicos
tratan habilidades como demostrar, efectuar, argumentar y definir. Ellos muestran con claridad algunas de
las necesidades que existen actualmente en la escuela de que se implementen nuevas estrategias para el
desarrollo de habilidades matemáticas o que se fortalezcan las ya existentes.
Es recomendable revisar los conocimientos que trae el alumno consigo y así lograr las conexiones que
dan lugar a construir nuevos conocimientos sobre la base de lo que ya se conoce. Una vez hecha la
evaluación diagnóstica y la retroalimentación en orden a fortalecer las debilidades del alumno, introducir la
clase a partir del planteamiento y solución de problemas, pues D. Palacio (2002) sugiere:
La clase concebida a partir del planteamiento y resolución de problemas (…) aumenta el interés de los estudiantes al
ver la inmediata aplicación práctica de lo que estudia. El estudiante deja de ser un receptor de las ideas exclusivas del
profesor y se convierte en un protagonista de la actividad, con una activa participación. Los contenidos no se olvidan
con facilidad pues la mayoría de los problemas (…) permiten asociar el contenido matemático con los intereses de la
comunidad y del estudiante en particular.
Existe la necesidad de “…promover aprendizajes significativos.” (SEE, 2004, T1, p19), mediante la
aplicación de “…estrategias de problematización. A través de ellas se contrasta o se pone en
cuestión lo expuesto, lo percibido, lo observado, lo actuado en el entorno, las soluciones
propuestas.” (p20). Esta necesidad se hace cada vez más aguda debido a los retos actuales de la
escuela frente a las demandas de una sociedad en desarrollo que lucha por alcanzar los niveles máximos
de educación.
El desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos constituye el fundamento del proceso de
resolución de problemas y es inherente al proceso docente-educativo de la matemática. L. Santaló
(1985), citado posteriormente por M. Díaz, expresa que “enseñar matemática debe ser equivalente a
enseñar a resolver problemas. Estudiar matemática no debe ser otra cosa que pensar en la
solución de problemas.” (M. Díaz, 2004, p.48). Aunque no se debe ser tan radical como este autor que
señala la resolución de problemas como el único objetivo de la matemática, se deben considerar de
manera muy estricta sus afirmaciones en cuanto a esta parte tan importante de la matemática.
Escribir situaciones reales mediante el lenguaje matemático hace que el alumno pueda comprender el
nivel de abstracción del tema de forma más sencilla y le ayuda a interpretar fenómenos que se producen
en su entorno social desde los más simples hasta los más complejos de acuerdo con su grado de
asimilación.
En cuanto al tema particular de las ecuaciones, R. Louro, (2001) señala:
“...las ecuaciones deberían aparecer como resultado de matematizar un determinado problema. (…) El planteamiento
de problemas y su intento inicial de resolverlos, deben preceder (…) a la resolución de ecuaciones (…) y una vez
logradas las ecuaciones que lo interpretan, comienza la preocupación por hallar sus soluciones en el marco de la
estructura matemática en la cual están definidas. Un posterior análisis de las soluciones, permitirá elegir aquellas que
sean compatibles con el problema que las genere.”
Hay que considerar este señalamiento, no sólo en el tema de las ecuaciones, debido a que cada tema
matemático está estrechamente vinculado con la realidad humana. Introducir los temas a partir del
planteamiento de situaciones problémicas despertaría gran interés en el alumno, ya que no se trataría de
una mera práctica rutinaria sometida al formulismo tradicional, sino de un proceso lógico donde el
razonamiento es elemento esencial, así como la experimentación, la observación, y la reflexión.
El desarrollo de la habilidad interpretar problemas es considerada como parte esencial en el proceso
docente-educativo de la matemática. En una conferencia pronunciada en 1968, George Polya decía: “Está
bien justificado que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas
pueden, incluso, considerarse como la parte más esencial de la educación matemática”.” (M. Díaz,
2004, p48).
Según Isabel Cisneros, los conocimientos matemáticos deben ser herramientas fundamentales que
permitan resolver las situaciones problémicas del entorno. (I. Cisneros, 2007). El aprendizaje significativo
no se produce sin la motivación de que los conocimientos adquiridos se utilizarán para resolver
situaciones problémicas de la vida, pues surgen las preguntas: ¿En qué voy a utilizar este
conocimiento?, ¿para qué me servirá esto en el futuro?
Cuando la clase de matemática es impartida a partir del planteamiento y solución de problemas se logra
que el alumno pueda relacionar los contenidos de la asignatura a lo largo del proceso, pues que esto lo
mantiene en contacto directo con la realidad. Según M. Galicia (2004), en el nivel medio “…los alumnos
no relacionan contenidos de la asignatura de Matemática, ocasionando en ellos distracción y
pérdida de interés por la materia.”
Es necesario que en el proceso docente-educativo de la matemática en el nivel medio surjan las
posibilidades para el desarrollo de habilidades lógicas, en lo específico habilidades como identificar,
representar, asociar, determinar, entre otras; relacionar temas y conceptos e interpretar problemas. No
obstante, en estudios de caracterización y diagnóstico se pudo conocer que los estudiantes del nivel medio
del Politécnico Lic. Víctor Estrella Liz presentan dificultades para identificar a qué rama de la matemática
corresponden problemas dados, identificar datos conocidos y desconocidos, representar datos con
variables y símbolos adecuados, destacar las condiciones que cumplen los datos (relaciones,
operaciones), identificar conceptos matemáticos que intervienen en problemas dados y expresar con sus
palabras qué pide el problema. También se pudo determinar que los maestros presentan limitaciones para
desarrollar la habilidad interpretar problemas matemáticos por desconocer las operaciones necesarias, no
aprovechan las potencialidades de las clases y ejercicios de matemática para trabajar por el desarrollo de
los procesos relacionados con el sistema operacional de la interpretación de problemas.
Todo lo expuesto en el párrafo anterior tiene como causas fundamentales las insuficiencias metodológicas
para diseñar y trabajar con la habilidad interpretar problemas matemáticos, por parte de los docentes, que
no existe una atención sistemática de la habilidad con el fin de que los estudiantes se entrenen en su
sistema operacional. Existe la problemática de rutina y formulismo en la dirección del proceso docente-
educativo de la matemática, inadecuada orientación, ejecución y control de las acciones de aprendizaje,
los docentes confunden el concepto de habilidad con destreza y aptitud y anticipan los conceptos a los
alumnos, frenando los procesos lógicos del pensamiento.
De acuerdo con lo anteriormente planteado se formula como problema las insuficiencias para interpretar
problemas matemáticos en los estudiantes del nivel medio.
Objeto: El proceso docente-educativo de la matemática en el nivel medio.
Objetivo: Diseñar una estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas
matemáticos en el nivel medio.
Campo: El proceso de formación y desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
Idea a defender: Si se implementa una estrategia didáctica que contenga un sistema de tareas que hagan
transitar al estudiante por el sistema operacional de la habilidad y que tengan implícita una base
orientadora y el modo de actuar que se espera en el alumno se contribuye al desarrollo de la habilidad
interpretar problemas matemáticos.
Las tareas desarrolladas en este proceso de investigación pedagógica son las siguientes:
▪ Análisis de los antecedentes y caracterización actual del proceso docente-educativo de la matemática
en la República Dominicana.
▪ Valoración de las diversas tendencias en el desarrollo de habilidades matemáticas, en específico el
desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
▪ Caracterización de los estudiantes para valorar el desarrollo de la habilidad interpretar problemas
matemáticos en el segundo ciclo de nivel medio.
▪ Determinación de los fundamentos teóricos de la estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad
interpretar problemas matemáticos en el segundo ciclo de nivel medio.
▪ Elaboración del sistema de tareas para interpretar problemas matemáticos.
▪ Valoración de la factibilidad de la estrategia a través de una consulta a especialistas.
Métodos y técnicas
▪ Análisis documental para valorar diversas tendencias en el desarrollo de habilidades matemáticas, en
específico el desarrollo de la habilidad interpretar problemas en República Dominicana.
▪ Observación a clases para valorar la preparación didáctica y metodológica de los docentes de
matemática en el nivel medio.
▪ Encuestas y pruebas a estudiantes para analizar el desarrollo de la habilidad interpretar problemas
matemáticos en el segundo ciclo de nivel medio.
▪ Encuesta a docentes de matemática del nivel medio para analizar su preparación docente, científica y
metodológica para la impartición de esta ciencia.
▪ Consulta a especialistas en didáctica de la matemática para la validación teórica de la estrategia.
Resultados Científicos: Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas
matemáticos y sistema de tareas para favorecer la formación y desarrollo de la habilidad interpretar
problemas matemáticos.
La tesis está estructurada en dos capítulos. El Capítulo I contiene una valoración crítica del proceso
docente-educativo de la matemática en la República Dominicana, el desarrollo de habilidades y la
interpretación de problemas matemáticos como habilidad necesaria en el proceso, considerando, del
mismo modo, los aportes de diversos autores sobre el desarrollo de habilidades y la interpretación de
problemas matemáticos, además de que se trata de dar a conocer la realidad actual del proceso de
desarrollo de las habilidades matemáticas, en específico la habilidad interpretar problemas matemáticos en
el nivel medio, mediante el diagnóstico inicial de la insuficiencia que presentan los alumnos. En el Capítulo
II se exponen los presupuestos teóricos en que se sustenta la estrategia didáctica para el desarrollo de la
habilidad interpretar problemas matemáticos, se presenta la estrategia didáctica, las tareas que sustentan
y se realiza una validación de la misma a través de una consulta a especialistas.
CAPÍTULO I: LA HABILIDAD INTERPRETAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL PROCESO
DOCENTE EDUCATIVO DE ESTA ASIGNATURA.
En este capítulo se realiza una valoración del proceso docente-educativo de la matemática en la
República Dominicana, el desarrollo de habilidades y la interpretación de problemas matemáticos como
habilidad necesaria en el proceso, considerando, del mismo modo, los aportes de diversos autores sobre
el desarrollo de habilidades y la interpretación de problemas matemáticos, además de que se trata de dar
a conocer la realidad actual del proceso de desarrollo de las habilidades matemáticas, en específico la
habilidad interpretar problemas matemáticos en el nivel medio, mediante el diagnóstico inicial de la
insuficiencia que presentan los alumno.
1.1 Antecedentes y caracterización actual del proceso docente-educativo de la Matemática en la
República Dominicana.
Una de las tareas principales de la escuela en República Dominicana es, necesariamente, la formación de
un hombre capaz de integrarse de forma productiva a una sociedad en desarrollo que enfrenta retos de
supervivencia frente a los problemas sociales, políticos y económicos que aquejan todos los países del
mundo. Esto indica que no se debe perder tiempo en cuestiones triviales, sino determinar los elementos
esenciales para la dirección y desarrollo de los procesos lógicos que tienen lugar en la praxis dialéctica.
Para esto es de vital importancia que el maestro dominicano logre, no sólo la actualización continua en las
innovaciones científico-tecnológicas, mas aun, la inserción de nuevos elementos didácticos que hagan
cada vez más factible el proceso docente-educativo para la consecución del aprendizaje significativo en el
alumno.
La Matemática, como parte esencial en los currículos escolares, debe contribuir significativamente, a la
formación eficaz de este hombre, lograr la optimización de los procesos productivos y penetrar, cada vez
más rápido, en todos los dominios sociales. Según M. Rodríguez (2003), se aplica en innumerables
situaciones reales, “un producto cultural que precede a los niños en el tiempo y posee reglas o leyes
internas que han ido variando según las diferentes culturas” (p1). En este sentido, la formación
matemática del hombre contemporáneo como parte integrante de su personalidad recibe un significado
muy relevante.
Actualmente la Matemática no debe ser considerada como una de las asignaturas más "difíciles" en los
programas escolares, no como afirma Sonsoles (2003); ya que si se siguen los lineamientos didácticos
adecuados, el desarrollo de todos los procesos lógicos-matemáticos se torna muy fácil, aunque desde el
surgimiento mismo de la enseñanza formal haya existido este problema. El gran problema de la
enseñanza de la matemática desde sus inicios no es más que el uso de una metodología inadecuada por
parte de los maestros tradicionales, con un currículo cerrado que no da lugar a la intuición, el
razonamiento, la autorreflexión, “…los procesos necesarios para la construcción de conceptos,
demostración o solución” (SEE, 1994, T2, p3), y mantiene al alumno como un ser pasivo en el aula
sometido a la memorización de conceptos, la practica y la repetición.
Según J. Terrero (2005), la enseñanza de esta ciencia ha experimentado cambios profundos en su
concepción en las últimas décadas del siglo pasado. En los años 50, se caracterizaba por un enfoque
mecanicista. Alrededor de los años 60 se impuso un enfoque estructuralista debido al apasionamiento por
la teoría de conjuntos y las estructuras algebraicas; así los alumnos se formaban desconociendo el
significado de las matemáticas elementales y con pocas habilidades para su aplicación. Para solventar
esta situación se han desarrollado otras corrientes que se mueven entre el enfoque empirista y el enfoque
realista, que posee coincidencias con el punto de vista de la enseñanza desarrolladora, el aprendizaje
significativo, la enseñanza por problemas o el aprendizaje por descubrimiento, entre otras alternativas con
los mismos propósitos. En noviembre de 1959, las conclusiones del seminario de Royaumont
establecieron el camino a seguir para un cambio curricular en un buen número de países. A este nuevo
enfoque se le llamó “Matemática Moderna”. (SEE, 1994, T2, p3).
En República Dominicana, esta nueva concepción tuvo una gran influencia en el diseño del currículo de
Matemática, caracterizada por un cambio en los contenidos y una presentación distinta de los mismos, por
lo que se propone la Matemática como un sistema axiomático y deductivo, apartado de la intuición, pues
el nuevo enfoque la considera un sistema formal cerrado.
En República Dominicana específicamente, es en la década de los años 80 cuando se pierde la esperanza
que generó la inclusión de los “conjuntos” en los programas escolares y aparecen nuevas preocupaciones
en los docentes dominicanos sobre las directrices de la educación Matemática. Actualmente, coexisten en
nuestras aulas, prácticas de concepciones tradicionales y prácticas de la llamada Matemática Moderna. A
veces, en una misma aula, podemos encontrar ejemplos de los diferentes tipos de enfoques y
metodologías.
Pueden considerarse, actualmente, las afirmaciones de Wolfe y Crespo (1990), donde señalan que en
nuestras escuelas el rendimiento de los estudiantes en matemática es sumamente deficiente y que
comparado con otros países, aún países subdesarrollados, es sumamente bajo.
Por otro lado, se reconoce que el trabajo conjunto de todos, educadores, matemáticos y educadores
matemáticos, puede producir cambios positivos y significativos en la enseñanza de la Matemática. Estos
cambios deberán producirse enmarcados dentro de las nuevas tendencias en educación Matemática que
están propugnando las organizaciones profesionales de educadores matemáticos, a la luz de las
necesidades concretas de nuestra sociedad y acorde con los propósitos de la transformación curricular
que dentro del Plan Decenal de Educación se está llevando a cabo en la República Dominicana.
El nuevo currículum pues, integrando estos tres elementos citados, las nuevas tendencias en la educación
Matemática, las necesidades concretas de la sociedad y por último, los propósitos de la Transformación
Curricular, habrá de propiciar una visión renovada de la Matemática y de la educación Matemática.
En la propuesta curricular de la SEE, la enseñanza de la Matemática enfatiza, a través del conocimiento
sustantivo de la asignatura, la solución de problemas pertinentes, el desarrollo de competencias de
comunicación, y de pensamiento crítico, reflexivo, sistemático y creativo. Se enfatiza en la integración de
los diversos contenidos entre sí, así como la integración de los contenidos con los principios y con los
métodos, corrigiendo la fragmentación y el aislamiento de ideas.
Asimismo, se plantea una educación Matemática como recurso indispensable para la toma de decisiones
conscientes y responsables. Propicia, además, el desarrollo de valores y actitudes positivas hacia la
Matemática, que conduzcan a la apreciación de su gran valor como ciencia y su importante papel en el
nuevo orden social.
La puesta en ejecución del Plan Decenal a partir de 1992, tuvo como objetivo elevar la calidad de la
educación dominicana en un período de diez años.
Este plan tuvo como fundamentos teóricos las ideas de la teoría constructivita, cuya esencia está basada
en una construcción del conocimiento para el logro de un aprendizaje significativo, útil al alumno, se
prioriza la participación activa del estudiante, expresión oral y los derechos a opinar.
El logro de una enseñanza capaz de proporcionar a los estudiantes la posibilidad de aprender a aprender
adquiere una importancia de primer orden. Los objetivos de la educación no se pueden lograr sólo con la
utilización de los métodos explicativos e ilustrativos, los cuales no garantizan completamente la formación
de las capacidades necesarias a los futuros trabajadores en lo que respecta, fundamentalmente, a su
independencia y a la solución creadora de los problemas no rutinarios y profesionales que se presenten.
Lo planteado anteriormente pone de manifiesto la importancia de la aplicación de nuevos métodos en
escuelas y universidades, la cual constituye una de las vías para la erradicación de las deficiencias
existentes en el proceso docente-educativo de la educación dominicana.
Al terminar los diez años, se ha palpado una mejoría significativa, la escuela se ve como una institución no
sólo de instrucción, sino de formación y preparación del alumno para su incorporación en la sociedad, y
aunque quedan pendientes determinados desafíos como la calidad y equidad de la educación, sin dejar de
mencionar que a pesar de que fue una extraordinaria modificación, ésta no deja de tener algunas
deficiencias que inciden directamente en el proceso docente-educativo y una de ellas, específicamente la
que aborda esta investigación, es que no se contempla el desarrollo de habilidades en el currículo actual
como parte esencial del proceso docente-educativo de la matemática para los diferentes niveles de
educación.
La enseñanza de la Matemática en el Politécnico Lic. Víctor Estrella Liz, al igual que en los demás liceos y
colegios del país se rige por la documentación de este Plan Decenal en Acción, Transformación Curricular
en Marcha para la Enseñanza del Nivel Medio establecido por la Secretaría de Estado de Educación de la
República Dominicana.
Debido a los resultados alcanzados por el país en el "Primer Estudio Internacional Comparativo del
Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación", aplicado en el año 1997 en
once países latinoamericanos, que lo situaban en uno de los últimos lugares entre los participantes, la SEE
decidió acometer la tarea de mejorar la enseñanza de la Matemática en los diferentes niveles de
educación.
El desarrollo de habilidades en el proceso docente-educativo de la matemática en la educación media de
la República Dominicana, hasta la década de los 70 estuvo muy limitado debido a que, hasta entonces,
“La matemática era presentada como un conjunto de verdades inmutables, exhibiendo sólo el
producto final, dejando a un lado las riquezas del proceso necesario para construir cada concepto,
demostración o solución.” (SEE 1994, p3). Esto no permitía que el alumno experimentara un
aprendizaje significativo a lo largo del proceso, puesto que, como se expresa en el citado texto, “aprender
se reducía a memorizar, practicar y repetir” (p3). Es allí donde el alumno deja de ser un ser pasivo en el
aula para empezar a convertirse en el centro del proceso.
A partir de 1970 se introdujo un nuevo enfoque en el currículo de matemática llamado “Matemática
Moderna”, este se caracterizó por un cambio en los contenidos y una presentación distinta de toda la
asignatura.
La enseñanza de la matemática moderna no pudo resolver los problemas planteados en la enseñanza de
la matemática tradicional, dado que “…se propone la matemática como un sistema axiomático y
deductivo, apartado de la intuición, pues el nuevo enfoque la considera un sistema formal cerrado
(…) su estudio se inicia con conceptos primitivos, axiomas sobre dichos conceptos, se produce un
modelo para garantizar consistencia en el sistema, y luego se procede a desarrollar el cuerpo de
conocimientos, es decir, a demostrar teoremas.” (SEE 1994, T2, p3).
La no preparación de maestros y maestras para asimilar el nuevo enfoque permitió que volviesen a caer
en el tradicionalismo, provocando esto, la resistencia al cambio incitado por los avances tecnológicos e
innovaciones científicas en países desarrollados, por lo que, “…se descuidó en los estudiantes el
desarrollo de habilidades básicas asociadas al aprendizaje de la matemática…” Idem
Por su parte Chemello (1994) expresa: “Las tradicionales aritmética y geometría se convirtieron en
conjunto de números y conjunto de puntos”. De donde se puede claramente apreciar que las riquezas
del proceso necesario para construir cada concepto, demostración o solución se obviaron por completo.
En 1980, con la inclusión de los “conjuntos” en el currículo de matemática de los diferentes niveles de
educación, aparecen nuevas preocupaciones en los docentes dominicanos sobre los parámetros de la
educación matemática. En la actualidad se pueden considerar en las aulas prácticas de concepciones
tradicionales y prácticas de la llamada matemática moderna, lo que no permite que la educación
matemática logre ponerse a tono con la realidad que nos circunscribe.
La propuesta curricular de la Secretaría de Estado de Educación sugiere una educación matemática que
pueda contribuir significativamente al desarrollo de un sujeto preparado para identificar y resolver
situaciones problémicas nuevas y abiertas, razonar lógicamente, comunicar sus ideas, tomar iniciativas y
decisiones, aprender nuevas ideas, aprender nuevas tecnologías, trabajar cooperativamente y aceptar con
flexibilidad el cambio, un sujeto libre, creativo, crítico, con valores y convicciones que le permitan el
ejercicio pleno de su condición humana y capaz de insertarse productivamente en la sociedad. Para esto
es necesario el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas, específicamente la habilidad
interpretar problemas matemáticos, a lo largo del proceso de docente-educativo de las matemáticas, pues
se considera que: “La Matemática se origina, precisamente, a través del proceso activo y creativo de
formular, proponer, plantear, y resolver problemas.” (SEE, 1994, p7).
La resolución de problemas matemáticos, como competencia, incluye valores, conocimientos y
habilidades. No se puede desarrollar la capacidad para resolver problemas matemáticos sin tomar en
consideración el desarrollo de habilidades que forman parte del proceso docente-educativo de la
matemática y son inseparables del mismo.
La propuesta curricular de la SEE enfatiza que el cultivo y ejercicio de todas las habilidades matemáticas
forman parte del desarrollo intelectual del alumno, aumentando su capacidad de actuación.
En el mismo se establece el conocimiento matemático como una de las componentes de la educación del
ciudadano dominicano y crear las condiciones adecuadas para un acceso del sujeto al saber elaborado,
motor de la producción intelectual constante y del proceso de formación que centra su atención en la
autoformación y en la autorrealización de cada persona.
También considera que las facultades que los individuos ponen en juego cuando realizan una actividad o
proceso matemático, tal como abstraer, generalizar, expresarse con precisión, formular conjeturas y
someterlas a prueba, razonar con rigor matemático, establecer analogías, imaginar, intuir, etc., se basan
en conocimientos y que estos deberán estar acompañados del desarrollo de habilidades que permitan al
alumno enfrentar todo desafío frente a la situación de desarrollo científico-tecnológico e innovaciones que
se suceden en el tiempo alrededor del mundo y en nuestra sociedad.
1.2 Desarrollo de habilidades en el proceso docente-educativo de la matemática en el nivel medio.
La habilidad como modo de relacionarse el sujeto con el objeto, es la acción constituida por una serie de
operaciones que se realizan según un determinado método y con un objetivo consciente.
Las habilidades, tanto las particulares, como las generales, son resultado directo del proceso docente-
educativo, independientemente de las exigencias o requisitos que deben tenerse en cuenta para su
tratamiento habrá que contar con una adecuada dirección y planificación del mismo para lograr su
formación y desarrollo.
Los autores N. Montes de Oca y E. Machado (2004), expresan: “El desarrollo de las habilidades se
produce a través de la actividad que realiza el sujeto…” esto indica que, en las actividades que se van
realizando a lo largo del proceso docente-educativo de la matemática, deben desarrollarse habilidades
inherentes al proceso, que permitirán que el alumno pueda aumentar su capacidad para la resolución de
problemas matemáticos e ir perfeccionándola con el tiempo, dado que, se considera por habilidad aquella
formación psicológica ejecutora particular constituida por el sistema de operaciones dominadas que
garantiza la ejecución de la acción del sujeto bajo control consciente.
Para que los estudiantes alcancen un nivel consciente de dominio de una acción determinada, es preciso
que el docente planifique y organice el proceso teniendo en cuenta que su ejecución debe tener como uno
de los resultados el desarrollo de la habilidad en los educandos.
Las habilidades se forman en el mismo proceso de actividad en la que el alumno adquiere conocimientos,
en estrecha relación, con los hechos, conocimientos y experiencias, por lo que se debe garantizar que los
alumnos asimilen las formas de elaboración, los modos de actuar, las técnicas para aprender, las formas
de razonar de manera que con el conocimiento se logre también la formación de habilidades.
En el proceso docente educativo se destaca una interrelación entre los diferentes tipos de habilidades,
unas son el componente de otras. En particular la formación de habilidades lógicas solo es posible
mediante la formación y dominio de las habilidades específicas y estas solo se podrán desarrollar si se
favorecen y fomentan aquellas.
Varios autores en sus investigaciones se refieren a las fases en que transcurre la formación de una
habilidad, para garantizar la eficiencia de este proceso la mayoría de ellos sugieren las siguientes:
Planificación: determinación de las habilidades terminales y sus invariantes funcionales.
Organización: establecimiento de cuándo y con qué conocimientos se ejecutarán las acciones y sus
invariantes funcionales.
Ejecución: garantizar determinadas condiciones durante el proceso de ejecución del estudiante.
Control: establecer una escala analítico-sintética para la evaluación de las habilidades.
Cada una de estas fases constituye un detallado proceso en el que el profesor deberá tener en cuenta
como aspectos esenciales: las características de los estudiantes, las condiciones para la formación de
habilidades, así como las características propias del contenido de la enseñanza y la relación existente
entre el resto de los componentes del proceso, como los objetivos, que de hecho encierran las acciones
que devienen posteriormente en habilidades, así como los métodos de enseñanza-aprendizaje, que
garantizan las vías para las acciones y su sistematización.
Para los autores (Montes de Oca, 2004) los aspectos metodológicos a tener en cuenta en la planificación
del proceso para el desarrollo de habilidades son:
a) Derivar y formular los objetivos de aprendizaje especificando la acción concreta a ejecutar por el
alumno y el sistema de conocimientos.
b) Realizar un análisis del contenido de enseñanza.
c) Diseñar las tareas concretas con el contenido específico que serán ejecutadas por los estudiantes
en las diferentes actividades docentes para contribuir al desarrollo de la habilidad.
d) Diseñar el sistema de evaluación.
Los aspectos metodológicos a tener en cuenta en la ejecución del proceso.
a) Motivación y orientación de la ejecución.
b) La asimilación de la habilidad.
c) El dominio de la habilidad.
d) La sistematización de la habilidad.
e) La evaluación.
Este análisis realizado por Montes de Oca y Machado es de suma importancia para el desarrollo de
habilidades en sentido general y en lo particular el desarrollo de la habilidad interpretar problemas
matemáticos, por lo que se tendrá en cuenta por parte del autor para el diseño de la estrategia didáctica.
Las habilidades matemáticas.
El proceso docente educativo de la matemática posee un alto grado de complejidad, por el hecho de
intervenir en él componentes de naturalezas diferentes, entre los que se incluyen, el profesor, con la alta
responsabilidad de dirigir el acto de enseñar, el alumno en quien recae el acto de aprender y los
contenidos matemáticos (sistema de conocimientos y habilidades matemáticas), entre otras.
Si a ello se agrega, las características propias de la actividad matemática, la cual según Schoenfeld
(1985), describe la forma de trabajar del matemático como un proceso de descubrimiento, vital, continuo,
en el cual la intuición juega un papel de guía, la elección de un camino, búsqueda de ejemplos, ensayos,
vuelta atrás, modificaciones, nuevos ensayos, o elección de otro camino. Es una experiencia gratificante y
enriquecedora. Nos permitimos añadir que este proceso de descubrimiento se apoya en una formación
que dé al conocimiento el lugar de gran importancia que le corresponde.
Frecuentemente, las clases de matemáticas carecen de todas estas propiedades que el referido autor
enumera, los profesores generalmente presentan a los estudiantes los resultados como productos
totalmente acabados, de manera organizada y coherente, con lo que desaparece la emoción del
descubrimiento de algo nuevo, quedando solamente la pequeña satisfacción de adquirir ciertas habilidades
que habrán de exhibirse en un momento determinado.
Es por ello que somos partidarios de la idea de que la metodología de la enseñanza que se util ice en el
aula por parte del docente ha de estar dirigida a lograr que el estudiante construya sus propios métodos,
técnicas, procedimientos de aprendizaje; por lo que la tarea fundamental es la construcción social de los
conocimientos matemáticos y los métodos a emplear por el alumno, la construcción de las estrategias que
le posibilitan enfrentar las tareas, entre ellas la resolución de problemas matemáticos.
Las habilidades matemáticas han sido abordadas por diversos investigadores (E. Cala 2002; R. Cruz,
2002; M. Bravo, 2002; M. Blanco 2000). Y varios han dirigido su atención al desarrollo de habilidades
lógicas, como base del desarrollo de habilidades Matemáticas, entre ellos se destacan los trabajos de
Hernández (1998), que se centra en algunas habilidades lógicas (identificar, definir, demostrar) y en la
caracterización de diferentes habilidades matemáticas.
Al ser inherentes las habilidades lógicas a toda rama del saber se posibilita la realización de ideas, juicios
y razonamientos adecuados. Su importancia está bien delimitada para el buen desarrollo del proceso,
aunque no así su ejecución, pues en general no tienen, dentro del proceso docente, un nivel adecuado de
tratamiento por parte de los docentes en la formación del pensamiento de los alumnos.
Por su parte Vázquez (1998), las define como “Conjunto de acciones que tiene el sujeto para interactuar
con el objeto de estudio, se utilizan como base para la planificación, dirección y ejecución de las acciones
internas que realiza el mismo en su interacción con dicho objeto” (1998).
Una de las ramas del saber que más ha estudiado estas habilidades es la enseñanza de las Matemáticas
por estar la estructura de esta ciencia basada en la lógica formal, lo que implica el desarrollo de
habilidades del pensamiento y además por la complejidad que ha presentado la asimilación de esta
disciplina a lo largo de la historia de su enseñanza.
Los autores A. Rebollar y M. Ferrer (2007) consideran que “…las habilidades básicas son las que
expresan la construcción y dominio de los métodos de solución o análisis de un problema,
constituyen objetivos parciales en la preparación para resolver problemas en un complejo de
materia determinado”. Enfatizan que “…en ellas se pueden concretar métodos de solución para uno
o varios tipos de problemas”.
En el mismo orden, sostienen que el contenido del proceso de resolución de problemas refleja la exigencia
en cuanto a la sistematización de las habilidades referidas a la elaboración o utilización de conceptos,
propiedades, relaciones, procedimientos algorítmicos o heurísticos que posibilitan el desarrollo del
proceso, porque además brindan métodos de solución para el/los problema(s) que al alumno se plantean.
Sin embargo desde la posición del autor, la formación de habilidades generales a partir de las específicas
no siempre ayuda a crear una base orientadora completa y la vía que parte de las habilidades generales
como base para la formación de las específicas ofrece condiciones favorables para una comprensión más
clara del modo de actuación más completo e integral que se espera del alumno que es la resolución de
problemas.
Se comparte la idea que la estructura del proceso de enseñanza aprendizaje a partir de problemas
favorece que el proceso de formación de las habilidades se oriente de la habilidad general e integradora
que se expresa en el modo de actuar para resolver problemas hacia todas aquellas habilidades
matemáticas que son requeridas y que deben ser ejercitadas y sistematizadas en cada eslabón didáctico
del proceso.
Estas precisiones sobre las habilidades favorecen la interpretación de los niveles de desarrollo del alumno,
con la determinación de hasta donde puede o no llegar con relación a los problemas que como objetivo de
su formación tiene que aprender a resolver en un contexto determinado.
Las ventajas que, en primer lugar, se reconocen en esta concepción están en el diseño y planificación de
la asignatura ya que se orienta hacia la determinación de las habilidades en los niveles de sistematicidad
del proceso docente educativo, para luego determinar las tareas docentes que guían la actividad del
alumno en la conformación del modo de actuar correspondiente a cada etapa.
En este proceso, el cambio, el desarrollo o transición a estados o niveles que expresan nuevas cualidades
no se produce de forma aislada a los restantes procesos pedagógicos y psicológicos, así como otros
factores que intervienen en el alumno cuando ejecuta la actividad.
Las tareas que realiza el alumno para asimilar una o varias habilidades se basan en un sistema de
acciones que, como abstracción, puede describir en un modelo lo esencial del proceder o modo de actuar,
pero que no desconoce las cualidades de la personalidad del alumno, sus condiciones previas, los
métodos de enseñanza del maestro, las características de los materiales docentes, la influencia del
colectivo estudiantil, etc.
Además, A. Rebollar y M. Ferrer (2007), enfatizan que “…se considera a la habilidad como la
construcción y dominio, por el alumno, del modo de actuar inherente a una determinada actividad,
que le permite buscar o utilizar conceptos, propiedades, relaciones, procedimientos, emplear
estrategias de trabajo, realizar razonamientos, emitir juicios y resolver ejercicios y problemas” .
Esta definición es aceptada y asumida por el autor de la tesis.
1.3.- La habilidad interpretar problemas en el proceso docente-educativo de la matemática.
En la literatura psicopedagógica se recogen tres momentos o fases fundamentales en el desarrollo de
cualquier actividad, estas son: orientación, ejecución y control.
La resolución de problemas, considerada como una actividad, no está exenta de esos tres momentos. En
este sentido, la literatura relativa a la enseñanza de la solución de problemas, hace un despliegue de esos
tres momentos de la actividad que van desde comprender el problema, concebir el plan, ejecución del
plan y visión retrospectiva (Polya, 1968; Labarrere, 1988). Estos autores plantean la necesidad de “abrir”
el esquema con el fin de “dar recursos para profundizar en el significado de cada paso y en el qué hacer
para lograr la meta en cada caso.
Al respecto Labarrere plantea que: “La solución de un problema no debe verse como un momento final,
sino como todo un complejo proceso de búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental.
Este complejo proceso de trabajo mental se materializa en el análisis de la situación ante la cual uno se
halla: en la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas; en el descubrimiento y selección de
posibilidades; en la previsión y puesta en práctica de procedimientos de solución”. (A. F. Labarrere, 1988,
p. 86).
Por otro lado, la resolución de problemas, desde el punto de vista didáctico pretende, en lo fundamental,
modificar los significados atribuidos previamente a los elementos del problema y/o utilizar los
conocimientos donde comprender el proceso y alcanzar una idea es lo más importante.
La interpretación de problemas es esencial en este proceso y aunque es mayormente ubicada en la
primera fase, desde nuestro punto de vista atraviesa transversalmente la resolución de problemas. La
resolución de problemas es un proceso en el que se hace indispensable utilizar oportuna y correctamente,
por parte del profesor, la información que brinda su enunciado y la forma en que estos pueden ser
utilizados en diferentes momentos de la clase y con diferentes objetivos.
Siguiendo los lineamientos de C. Álvarez, (1999), la habilidad para interpretar problemas matemáticos
debe expresar uno de los objetivos centrales de la escuela dominicana de preparar al hombre para la vida,
educarlo para servir a la humanidad participando desde la misma escuela en la construcción de la
sociedad, es prepararlo para resolver problemas como resultado de que en su estancia en la institución
docente aprenda a resolverlos. Este objetivo se propone lograr que el alumno enfrente la resolución de
problemas "como instrumento formativo fundamental".
Es necesario que el alumno interprete antes de modelar problemas matemáticos, dado que para la
resolución de problemas se debe empezar por la parte mas simple y no por la mas compleja de acuerdo
con el nivel de abstracción de dichos problemas.
En el modelo clásico de G. Polya para la resolución de problemas matemáticos se observa que la primera
fase es la de comprender el problema. Esta primera fase es a la que en este trabajo de investigación se le
denomina interpretación del problema. Al observar detenidamente este modelo nos damos cuenta de
que, en realidad es muy amplio y se necesita trabajar más a fondo cada una de sus particularidades.
La habilidad para interpretar problemas matemáticos es la construcción y dominio, por el alumno, de
los modos de actuar y métodos de solución de problemas utilizando los conceptos, leyes, propiedades,
relaciones y procedimientos, en calidad de instrumentos y las estrategias de trabajo heurístico para la
sistematización de esos instrumentos en una o varias vías de solución. (C. Álvarez, 1999, p3).
La habilidad para interpretar problemas, en especial, no se debe formar a partir de la repetición de
acciones ya elaboradas previamente sin atender a cómo se han asimilado y el nivel de significación que
éstas tienen para los alumnos atendiendo a sus experiencias, su disposición hacia la actividad; de ahí la
necesidad de enfocar como parte de la formación de esta habilidad la etapa en que transcurre la
estructuración del sistema de conocimientos a partir de situaciones problémicas en donde predominan
como elementos principales los conceptos, propiedades, relaciones y procedimientos.
El planteamiento de problemas se comprende como un medio para estimular en el alumno la
interpretación de una determinada situación, analizar las condiciones que se dan para luego
discernir las vías de solución, partiendo de los conceptos, teoremas y procedimientos que son los
instrumentos de que dispone y los modos de sistematizarlos en función de un objetivo según la
interpretación realizada.
Es recomendable revisar los conocimientos que trae el alumno consigo y así lograr las conexiones que
dan lugar a construir nuevos conocimientos sobre la base de lo que ya se conoce. Una vez hecha la
evaluación diagnóstica y la retroalimentación en orden a fortalecer las debilidades del alumno, introducir la
clase a partir del planteamiento y solución de problemas, pues D. Palacio (2002) sugiere que la clase
concebida a partir del planteamiento y resolución de problemas aumenta el interés de los estudiantes al
ver la inmediata aplicación práctica de lo que estudia. El estudiante deja de ser un receptor de las ideas
exclusivas del profesor y se convierte en un protagonista de la actividad, con una activa participación. Los
contenidos no se olvidan con facilidad pues la mayoría de los problemas permiten asociar el contenido
matemático con los intereses de la comunidad y del estudiante en particular.
El desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos constituye el fundamento del proceso de
resolución de problemas y es inherente al proceso docente-educativo de la matemática.
Escribir situaciones reales mediante el lenguaje matemático hace que el alumno pueda comprender el
nivel de abstracción del tema de forma más sencilla y le ayuda a interpretar fenómenos que se producen
en su entorno social desde los más simples hasta los más complejos de acuerdo con su grado de
asimilación.
Con relación al tema particular de las ecuaciones, R. Louro, (2001) señala que:
“…las ecuaciones deberían aparecer como resultado de matematizar un determinado problema. El planteamiento de
problemas y su intento inicial de resolverlos, deben preceder a la resolución de ecuaciones y una vez logradas las
ecuaciones que lo interpretan, comienza la preocupación por hallar sus soluciones en el marco de la estructura
matemática en la cual están definidas. Un posterior análisis de las soluciones, permitirá elegir aquellas que sean
compatibles con el problema que las genere.”
Hay que considerar este señalamiento, no sólo en el tema de las ecuaciones, debido a que cada tema
matemático está estrechamente vinculado con la realidad humana. Introducir los temas a partir del
planteamiento de situaciones problémicas despertaría gran interés en el alumno, ya que no se trataría de
una mera práctica rutinaria sometida al formulismo tradicional, sino de un proceso lógico donde el
razonamiento es elemento esencial, así como la experimentación, la observación, y la reflexión.
El desarrollo de la habilidad interpretar problemas es considerada como parte esencial en el proceso
docente-educativo de la matemática. En una conferencia pronunciada en 1968, George Polya decía: “Está
bien justificado que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas
pueden, incluso, considerarse como la parte más esencial de la educación matemática”. (M. Díaz,
2004, p48).
Parafraseando a Isabel Cisnero, los conocimientos matemáticos deben ser herramientas fundamentales
que permitan resolver las situaciones problémicas del entorno. (I. Cisnero, 2007). El aprendizaje
significativo no se produce sin la motivación de que los conocimientos adquiridos se utilizarán para
resolver situaciones problémicas de la vida, pues surgen las preguntas: ¿En qué voy a utilizar este
conocimiento?, ¿para qué me servirá esto en el futuro?
D. Portales (2002) explica que “…las personas asignan significados a través de un proceso de
Interpretación”. Cuando se interpreta se descifran todos los elementos que conforman el todo, lo que
permite asignar significados concretos. En la interpretación de problemas matemáticos se deberán
descifrar todos los elementos (datos) que los conforman y asignar significados a cada uno de esos
elementos.
Portales (s/f) también explica que las características intrínsecas del proceso de interpretación son: a) La
que indica, asimismo, las cosas sobre las cuales está interactuando; b) Manipula significados, controla,
suspende, reagrupa y transforma significados a la luz de la actual situación y en la dirección de su acción.
Cuando se interpreta un problema se asignan significados a cada uno de los datos que lo componen, tanto
conocidos como desconocidos, se manipulan esos significados de modo que se puedan establecer las
relaciones que permitan la modelación de dicho problema. El alumno deberá controlar, suspender,
reagrupar y transformar esos datos de acuerdo con la situación problémica que se platee.
Para R. Domínguez (1999), la interpretación es el acto de relacionar una información nueva con la que ya
se conoce, lo que requiere como mínimo:
▪ La existencia de datos en la memoria con los que pueda relacionarse el texto.
▪ La existencia de procedimientos que permitan establecer relaciones útiles entre los mensajes
y las estructuras de conocimientos.
S. Allende (2006), considera “…un dominio adecuado de la habilidad interpretar, si el alumno es
capaz de, una vez descompuesto el todo en sus partes, determinar las relaciones esenciales entre
sus componentes y establecer finalmente la relación entre la estructura y la función, considerando
al fenómeno como un todo teniendo en cuenta sus leyes y posibilidades de cambio”. El alumno
deberá ver el problema como un todo que pueda, luego, dividirlo en sus partes (datos conocidos y
desconocidos) y determinar las relaciones esenciales entre sus componentes, tal como lo explica Allende.
A su vez R. Viña (2008), en cuanto al desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos,
sostiene que la tarea docente debe estructurarse en tres momentos íntimamente relacionados en toda
actividad: la orientación, la ejecución y el control.
En cada etapa se tendrán en cuenta los distintos pasos para el logro del desarrollo de la habilidad como
son:
• Presentación al estudiante de la importancia de adquirir y consolidar las habilidades.
• Explicación de la estructura de la habilidad.
• Demostración de cómo ejecutar las acciones.
• Aplicación de la habilidad en forma independiente, operar con ella.
Una vez logrado esto, se necesita un perfeccionamiento continuo y un control adecuado, teniendo en
cuenta los diferentes indicadores de calidad.
Además considera un sistema efectivo de acciones aquel donde se propicien situaciones de aprendizaje
que fomenten la motivación y la conciencia de la actividad, siempre iniciándose en la actividad grupal
hasta el logro del trabajo individual, independiente para un fin: Lograr ejecuciones creativas atendiendo a
la personalidad e individualidad de cada estudiante.
La habilidad interpretar problemas matemáticos es parte fundamental en el proceso de resolución de
problemas, dado que para resolver se debe interpretar primero. M. Ferrer (2000), al estructurar el sistema
de habilidades matemáticas de una unidad temática como parte del proceso de planificación del proceso
docente-educativo la autora propone los siguientes pasos:
• Determinar la habilidad general de la unidad. En su determinación y formulación expresa las
características y exigencias del modo de actuar y métodos de solución más generalizados que el
alumno debe construir y llegar a dominar en esa etapa del proceso. El programa de la asignatura debe
revelar, con orientaciones metodológicas, los métodos de enseñanza y aprendizaje más apropiados y
los conceptos, teoremas, procedimientos y estrategias de trabajo que constituyen el núcleo central del
sistema de conocimientos y habilidades matemáticas, así como las cualidades que en el orden
formativo aporta la resolución de problemas.
• El diagnóstico de las condiciones, que posee el alumno, para resolver problemas y otras habilidades
matemáticas precedentes que aporta una caracterización del nivel de preparación del alumno y sus
potencialidades para el análisis, comprensión y búsqueda de vías de solución de ejercicios y
problemas, así como las bases para la selección de las situaciones prácticas e intramatemáticas a
partir de las cuales se orientará a los alumnos hacia las habilidades general y básicas y se realizará la
dosificación del contenido en los sistemas de clases.
• La determinación de las habilidades matemáticas básicas como métodos de solución inherentes a la
habilidad general son las que determinan los sistemas de clases de la unidad temática. De la habilidad
general se determinan los componentes fundamentales del modo de actuación a partir del diagnóstico
de los alumnos y el tiempo necesario y conveniente para el desarrollo de cada habilidad básica.
El sistema de clases se planifica y dirige en función de la habilidad matemática básica, en el sistema
se distingue tanto la etapa de construcción como de fijación de ese método de solución, en las que se
garantiza, por tanto, el nivel de profundidad y sistematicidad necesarios.
• La derivación de las habilidades matemáticas elementales como los principales procedimientos que se
sistematizan en las habilidades matemáticas básicas pueden constituir o no objetivos de una o varias
clases del sistema. Significa que en la formación de las habilidades matemáticas básicas se introducen
nuevos procedimientos específicos asociados al trabajo con conceptos, teoremas o procedimientos
que requieren del espacio de una o varias clases, pero que la orientación ha de estar clara hacia los
objetivos del sistema de clases. Las habilidades matemáticas elementales, que son condiciones
previas, aparecen como acciones dominadas por el alumno por lo que ellas no constituyen objetivos de
las clases dentro del sistema, aunque sí actividades de repaso para su reactivación y de
sistematización de las nuevas habilidades.
• La derivación de la habilidad, para cada clase, a partir de la habilidad matemática básica debe
precisar aquellas que corresponden al proceso de construcción del modo de actuar (elaboración del
nuevo contenido) y cuáles se dirigen al dominio de ese modo de actuar a través de actividades de
fijación y aplicación.
• Las actividades dirigidas a la orientación de los alumnos hacia el sistema de habilidades presupone la
orientación hacia la habilidad matemática general y sus componentes a través de los problemas
prácticos o matemáticos cuya solución justifica que se ocupen de construir métodos de solución y
llegar a dominarlos para resolver sistemas de problemas con el contenido objeto de estudio.
• La formación y desarrollo del sistema de habilidades tendrá su expresión en la capacitación de los
alumnos para la búsqueda de vías de solución a ejercicios y problemas, que revelen el dominio de un
modo de actuación.
E. Cala (2002), propone algunas alternativas metodológicas para la elaboración del sistema de tareas
dirigido a la formación y desarrollo de conceptos que podrían ser de gran ayuda para el desarrollo de la
habilidad interpretar problemas matemáticos. Estas son las siguientes:
• Diagnosticar la preparación del alumno para las exigencias del proceso de enseñanza –
aprendizaje del concepto que se desea formar.
• Establecer las relaciones entre los conceptos del sistema.
• Determinar los elementos del conocimiento que necesita revelar el alumno.
• Concebir indicaciones que conduzcan al alumno a una búsqueda activa y reflexiva.
• Definir un sistema jerárquico de habilidades, un sistema de principios didácticos y una clasificación
para las tareas.
• Definir una línea de desarrollo y las vías a utilizar para formar el concepto.
• Valorar el vínculo que tiene el contenido a tratar con la vida práctica.
• Determinar los valores de la personalidad y los procesos lógicos del pensamiento a desarrollar en
los estudiantes y concebir la forma en que se estimulará este desarrollo.
• Someter al análisis crítico el sistema de tareas elaborado.
Según R. Darío (2007), para la dinámica del proceso de desarrollo de habilidades es necesario tener en
cuenta que es un momento decisivo donde se produce la interacción directa entre el profesor y el alumno.
En esta etapa el maestro debe organizar y garantizar determinadas condiciones para la ejecución exitosa
por parte de los estudiantes de las tareas y actividades diseñadas. Son necesarias las siguientes fases:
• Propiciar la ejecución de tareas que permitan a los estudiantes, en dependencia de sus propios
recursos realizar las operaciones esenciales de una determinada ejecución del modo que se le
sea más cómodo y eficiente. Esto posibilita crear un ambiente de aceptación y confianza en el
aula, permite la obtención de las diferencias individuales.
• El estudiante debe realizar de manera frecuente y periódica, bajo determinadas condiciones,
tareas cada vez más complejas, con diferentes conocimientos, pero cuya esencia sea la misma.
• Retroalimentación del resultado: Cuando se está sistematizando la habilidad se requiere su
perfeccionamiento continuo, por eso cada intento requiere que el sujeto conozca el resultado,
valore el error y repita el intento, procurando corregirlo correctamente. En la etapa de su formación
requiere de la ayuda del maestro.
• Fomentar el papel de la motivación y la conciencia. La presencia de estos factores facilitan mucho
la adquisición de las ejecuciones, resultan elementos imprescindibles en su formación.
• En la fase de formación de la habilidad, los estudiantes deben reflexionar sobre los modos en que
realizaron sus ejecuciones. Es precisamente en estos momentos donde resulta muy útil el trabajo
en grupos.
• El trabajo en equipo es necesario en la medida que avance la actividad, los miembros del equipo
deben ir reduciéndose hasta que el estudiante trabaje solo, lo cual crea las condiciones para el
trabajo individual independiente.
• Para evaluar la habilidad es beneficioso el trabajo en equipo donde sus miembros se evalúen unos
a otros. Esto permite la confrontación de sus propias ejecuciones y ayuda a la sistematización de
las mismas.
• En la ejecución se tendrán en cuenta las tareas a ejecutar según las fases o momentos del
proceso, los cuales son: motivación y orientación del contenido, dominio de la habilidad y
sistematización de la habilidad.
1.4 Diagnóstico inicial de la problemática.
En la República Dominicana, hasta 1992, las exigencias educativas, para el desarrollo de la cultura del
pueblo, prescindían de los elementos necesarios para estar acordes con los avances científico-
tecnológicos que se manifestaban de manera continua en los países desarrollados y con niveles óptimos
de organización y sistematicidad. Es en esa fecha cuando se inicia el proceso de optimización de la
educación dominicana con un proyecto que se desarrollaría en un período de diez años llamado “Plan
Decenal de Educación en Acción”. Este proyecto ha prestado gran atención al desarrollo cultural de la
nación. En estos momentos se manifiestan los esfuerzos por lograr una orientación eficaz hacia una mayor
integración de su cultura general, donde el conocimiento como máxima instancia de la vida es
determinante, así como, el desarrollo de habilidades y la adquisición de valores. Para alcanzar estas
exigencias se requiere la actualización continua de los docentes, con vista a la aplicación de un estilo de
dirección apropiado en el desarrollo de los procesos docente-educativos para el mejoramiento efectivo de
su desempeño profesional de frente al reto de “elevar la calidad de la educación” (propósito principal del
Plan Decenal).
Para realizar el diagnóstico inicial del trabajo docente con la habilidad interpretar problemas matemáticos,
el autor de la presente Tesis hizo 9 visitas a clases para efectuar la medición concreta de la efectividad
obtenida en la aplicación de los instrumentos didácticos necesarios para la consecución del aprendizaje
significativo en correspondencia con las exigencias actuales, teniendo como base las dimensiones e
indicadores de la guía de observación (Anexo 2). Las 9 clases resultaron estar sometidas a los
lineamientos de la escuela tradicional más que a los de la escuela moderna. En cuanto al concepto de
habilidad, los docentes no tenían ninguna definición clara y precisa, puesto que la confundieron con
destreza y aptitud. Explicaron que no tenían conocimiento acerca de metodologías utilizadas para el
desarrollo de habilidades. El 33% utiliza el trabajo en equipos, pero no la co-evaluación y la auto-
evaluación atendiendo a las diferencias individuales; el otro 67% resultó mal en su totalidad en cuanto a
esta tentativa.
En conclusión, el 33% de las clases observadas resultó regular y el 67% restante resultó mal. Aquí se
resaltan las dificultades que, en ese sentido, aún permanecen, por lo que es evidente que la intervención
pedagógica debe estar dirigida a elevar el desempeño de los profesores en los indicadores afectados
(Anexo 2).
Para comprobar el tratamiento didáctico que se le da a la habilidad, fueron revisados los planes de clase
en los diferentes contenidos, la frecuencia con que se rediseñan para fortalecer el proceso de desarrollo
de la misma, si se asignan tareas de interpretación de problemas matemáticos suficientes y la
interdisciplinariedad. Se pudo comprobar que la habilidad interpretar problemas matemáticos ni siquiera
aparece como tal en dichos programas.
Se realizó una encuesta (Anexo 1), además de las visitas a clases, lo que permitió conocer criterios acerca
del tratamiento metodológico que recibe la habilidad interpretar problemas matemáticos en las clases de
Matemática. Ninguno de los maestros encuestados conoce metodologías actuales para el desarrollo de
habilidades matemáticas y mucho menos las fases metodológicas que se deben tomar en cuenta a la hora
de planificar el proceso de desarrollo de una habilidad, además se pudo comprobar que esta habilidad no
está presente en los programas de clases. Todos los maestros encuestados se mostraron confusos en
cuanto al concepto de habilidad, aunque estuvieron de acuerdo con que es de vital importancia el
desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos en sus alumnos. En cuanto a la pregunta:
¿.Está usted de acuerdo con la propuesta curricular de la SEE para el desarrollo de habilidades
matemáticas? El 50% se mostró indeciso, el 20% lo desaprueba y el 30% lo aprueba totalmente. Lo que
evidencia con claridad el alto porcentaje de los docentes que no conocen la propuesta curricular de la
SEE, dado que ésta no contempla ninguna estrategia metodológica para el desarrollo de habilidades.
(Anexo I).
En observación de clases, revisión de planes de clases, cuadernos de apuntes y proyectos de centro se
pudieron constatar formulaciones ambiguas, imprecisas, no esenciales y llenas de incoherencias,
estableciendo la brevedad, coherencia, precisión y concreción como indicadores para la evaluación de la
calidad de estas acciones formativas. Se pudo considerar, también, que los propósitos educativos sólo
alcanzan un nivel de asimilación reproductivo, y en la mayoría de los casos, las tareas están totalmente
divorciadas de los propósitos generales y específicos, lo que permite considerar las deficiencias en la
dirección del proceso docente-educativo de la matemática en el nivel medio, por lo que los alumnos
presentan un pobre desarrollo de las habilidades matemáticas, específicamente la habilidad interpretar
problemas matemáticos, pues que no se considera lo esencial para lograr el aprendizaje significativo y,
con esto, el desarrollo de esta habilidad.
En grupos focales y pruebas aplicadas a alumnos del cuarto año de la educación media (Anexo 3), se
pudo comprobar las dificultades que presentan, pues el 10% son capaces de identificar la rama de la
matemática con la que se corresponde un problema dado, pero no determinan los datos conocidos y
desconocidos, no son capaces de identificar los conceptos que intervienen en el problema, condiciones
que cumplen los datos y luego explicar con sus propias palabras qué les pide el problema. Sólo el 2% de
los alumnos que recibieron las pruebas interpretaron correctamente los problemas dados. El 88%
respondió totalmente mal todas las preguntas. En conclusión el 10% resultó regular, el 2% bien y el 88%
totalmente mal. (Anexo 3).
Hay que señalar, evidentemente, que los resultados son muy deficientes, pues existe una cantidad
considerable de alumnos que no poseen el dominio de la habilidad interpretar problemas matemáticos. Se
pudo observar las características de un alumno abismado, lleno de interrogantes cuando, en los grupos
focales, comenzaban a mostrar sus inquietudes con expresiones tales como: “Los profesores nos dejan
trabajar solos y no nos explican”; “yo no entiendo la matemática”; “la matemática es muy difícil”; “los
mismos profesores, muchas veces, no la entienden”; “yo tuve un profesor que explicaba muy bien y yo lo
entendía, pero los demás siempre explicaban mal”; “si a mí me explican bien, yo entiendo”; “la matemática
no es difícil, si la explican bien”.
De 7 docentes encuestados, ninguno asegura trabajar la habilidad interpretar problemas matemáticos, al
mismo tiempo de que desconocen las operaciones para desarrollar esta habilidad en sus estudiantes.
El 86% de los docentes oscila entre 40 y 55 años de edad y el resto entre 30 y 35 años, el 26% tiene
maestrías en educación superior, el 13% tiene el nivel de especialidad y el resto sólo alcanza el nivel de
licenciatura. Entre los encuestados ninguno trabaja la habilidad interpretar problemas matemáticos.
A pesar de los avances logrados por la escuela secundaria dominicana debido al plan decenal de
educación y los esfuerzos conjuntos de todos los actores del sistema educativo dominicano, se puede
considerar de manera absoluta que el docente dominicano no cuenta con una concepción teórico-
metodológica integral lo suficientemente desarrolladora, que les permita tener una visión de conjunto en su
manera de actuar dando respuesta a los propósitos previamente concebidos por la educación, por medio
de las actividades que elabore en sus clases. Existen distintas concepciones en los maestros, que los
llevan a orientarse por elementos particulares de las asignaturas y no les permiten lograr la
interdisciplinariedad en el accionar educativo.
Es de vital importancia considerar que para lograr “la excelencia de la educación” no se debe prescindir
del dominio metodológico para diseñar y trabajar las habilidades matemáticas, pues que éstas no deben
trabajarse de forma rutinaria, sometidas al formulismo tradicional, sino bajo la dirección conciente de la
actividad cognoscitiva, tendiente al conocimiento de las fortalezas y debilidades del sistema, sometida a
una concepción teórico-metodológica que permita precisar sólo lo esencial a lo largo del proceso, para la
planificación, la organización, la ejecución y el control de las acciones de aprendizaje. Un problema de vital
importancia para lograr el aprendizaje significativo es la sobrepoblación de alumnos por aulas. Es muy
difícil para el maestro dominicano atender a las diferencias individuales de su grupo cuando tiene de 40 a
50 alumnos en una sola aula. El maestro debe conocer a sus alumnos, pues que no se enseña a quien no
se conoce y para esto deben atenderse las diferencias individuales de cada grupo formado por no más de
25 alumnos.
Existe la problemática de rutina y formulismo en la dirección del proceso docente-educativo de la
matemática, pues en las observaciones a clases se pudo considerar que el docente anticipa los conceptos
a los alumnos, les muestra una fórmula, realiza algunos ejercicios rutinarios y asigna otros similares a
estos para que ellos, siguiendo el mismo algoritmo, puedan desarrollarlos de forma reproductiva. Los
alumnos no pueden lograr un aprendizaje significativo, pues no se está dando lugar a la intuición, el
razonamiento, la auto-reflexión, la indagación y el descubrimiento para la formación de conceptos, la
identificación y representación de elementos que permiten la definición de objetos matemáticos, así como
el análisis y la experimentación. Esto muestra, también, la insuficiencia metodológica por parte de los
maestros para diseñar y trabajar las habilidades matemáticas, específicamente la habilidad interpretar
problemas matemáticos, que carece de una atención sistemática a lo largo del proceso docente-educativo
de la matemática en nuestro país.
En su práctica docente, el autor del presente trabajo de investigación, ha podido observar la resistenc ia al
cambio por parte de los alumnos, pues, en la mayoría de los casos en que la actividad docente es
sometida a una concepción metodológica diferente a la tradicional, se muestran renuentes y comienzan a
pedir que se les definan los conceptos y se les den las formulas para realizar los ejercicios “tal como se
ha hecho siempre”. Esto significa que, además de que tenemos la problemática de resistencia al cambio
por parte de los docentes, está el reto de orientar las nuevas generaciones por caminos que conduzcan al
éxito profesional mediante una dinámica formativa con un currículo abierto y flexible en todas sus
dimensiones. El alumno debe prepararse, no para someterse a modelos matemáticos rutinarios que
supuestamente “resuelven problemas”, sino para crear esos modelos matemáticos mediante la
interpretación de los problemas, ya que la interpretación de dichos problemas se antepone a su
modelación.
Conclusiones del capítulo I
Es determinante para la escuela dominicana la formación de un hombre capaz de integrarse de forma
productiva a una sociedad en desarrollo que enfrenta retos de supervivencia frente a los problemas
sociales, políticos y económicos que aquejan todos los países del mundo. Esto indica que no se debe
perder tiempo en cuestiones triviales, sino determinar los elementos esenciales para la dirección y
desarrollo de los procesos lógicos que tienen lugar en la praxis dialéctica. Para esto es de vital importancia
que el maestro dominicano logre, no sólo la actualización continua en las innovaciones científico-
tecnológicas, mas aun, la inserción de nuevos elementos didácticos que hagan cada vez más factible el
proceso docente-educativo para la consecución del aprendizaje significativo en el alumno.
La interpretación de problemas matemáticos como habilidad necesaria en el proceso docente-educativo de
la matemática es uno de los elementos fundamentales para la formación de este hombre, dado que el
cultivo y ejercicio de todas las habilidades matemáticas forman parte del desarrollo intelectual del alumno,
aumentando su capacidad de actuación.
En este sentido se debe resaltar, después de un análisis completo de la propuesta curricular de la SEE,
que el maestro dominicano no cuenta con una propuesta metodológica para la dirección del proceso de
desarrollo de habilidades matemáticas, en específico la habilidad interpretar problemas matemáticos.
Como resultado del diagnóstico al analizar el comportamiento y desarrollo de las habilidades en el nivel
medio en el Politécnico Lic. Víctor Estrella Liz, se pudo constatar que el desconocimiento del concepto de
habilidad por parte de los docentes juega un papel muy relevante. Los docentes se orientan por
elementos particulares de la asignatura basados en diversas concepciones que carecen de fundamentos
metodológicos. No se diseña el trabajo con las habilidades matemáticas. Existe rutina y formulismo en el
trabajo docente con la asignatura, el maestro anticipa los conceptos a los alumnos, les muestra una
fórmula, realiza algunos ejercicios rutinarios y asigna otros similares a estos para que ellos, siguiendo el
mismo algoritmo, puedan desarrollarlos de forma reproductiva. No existe una atención sistemática a la
habilidad interpretar problemas matemáticos. Los alumnos, en la mayoría de los casos, se resisten al
cambio, ya que están acostumbrados a la rutina y el formulismo tradicional. Hay sobrepoblación de
alumnos en las aulas. No se realizan los procesos de coevaluación, autoevaluación ni se atienden las
diferencias individuales de los grupos. En la mayoría de los casos se evalúan los alumnos sin conocerles.
Existe una cantidad considerable de alumnos que no poseen el dominio de la habilidad interpretar
problemas matemáticos.
Los docentes aseguran no trabajar la habilidad interpretar problemas matemáticos, al mismo tiempo de
que desconocen las operaciones para desarrollar esta habilidad en sus estudiantes.
CAPÍTULO II: ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DE LA HABILIDAD INTERPRETAR
PROBLEMAS MATEMÁTICOS.
En este capítulo se exponen los presupuestos teóricos en que se sustenta la estrategia didáctica para el
desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos, se presenta la estrategia didáctica, las tareas
que sustentan y se realiza una validación de la misma a través de una consulta a especialistas.
2.1. Referentes teórico - metodológicos de la estrategia didáctica.
Enfoque histórico-cultural (Vygotsky, 1987) y la teoría de la actividad de A.N. Leontiev (1977).
Se considera al alumno como un ser social, producto de las distintas interacciones sociales que le
involucran a lo largo de su vida dentro y fuera de la escuela. Es en estas interacciones donde se producen
las funciones cognoscitivas superiores, destacándose que la personalidad se origina y manifiesta en la
actividad, la comunicación y la interacción con los grupos humanos. Esta característica condiciona y
explica la unidad existente entre la actividad externa y actividad interna de la personalidad; así como su
carácter activo, ya que el sujeto juega un rol determinante, tanto en la apropiación de la cultura, como en la
regulación de su propia actividad;
Como resultado de esta interacción continua entre las condiciones internas del individuo y las condiciones
de vida externas se produce el conjunto de vivencias muy particulares de cada individuo que conduce a la
formación y desarrollo de una personalidad única e irrepetible; y sus formaciones psicológicas, como es en
este caso las habilidades
Bajo este enfoque se considera que las habilidades constituyen formaciones psicológicas caracterizada
por la unidad de las funciones de carácter inductor y ejecutor, que se forman y desarrollan como resultado
de la interacción entre lo biológico y lo social en el individuo.
La noción de zona de desarrollo próximo permite el fundamento de las estrategias para el desarrollo de
habilidades, en específico la habilidad interpretar problemas matemáticos, en su orientación hacia las
potencialidades del alumno, considerando que éstas no deben tomar como punto de partida único el nivel
de desarrollo real. Para que el alumno pueda llegar a estadios superiores en su aprendizaje, no importa el
nivel de desarrollo que haya alcanzado, sino la existencia de las posibilidades que permitan este logro.
La noción de la zona de desarrollo próximo en el proceso docente-educativo anticipa la elaboración de
sistemas de tareas que se sometan al nivel de abstracción que se desea alcanzar de acuerdo con el
grado de complejidad en los diferentes niveles de desempeño, de modo que el alumno pueda alcanzar
niveles superiores, que sean capaces de generar la voluntaria colaboración, radicando, en este orden,
uno de los principales desafíos de la didáctica en su concreción: establecer a partir de las tareas
planteadas, niveles de dificultades individuales y colectivas que sean, a su vez, asequibles y posibles de
realizar para llevar a los estudiantes a estadios superiores.
Dado que la motivación de los alumnos y su disposición intencional son procesos que deben estimularse
de manera simultánea durante la actividad de aprendizaje, es indispensable la unidad de lo afectivo y lo
cognitivo. El escolar no deberá prescindir del acompañamiento continuo de su maestro, el cual deberá
estar siempre en disposición de buscar la forma más adecuada de crear un ambiente de confianza y
respeto en la interrelación maestro-alumno. A medida que aumente la confianza del alumno en el
proceso, podrá expresar mejor sus inquietudes, sus dudas, su progreso en la formación de conceptos y
desarrollo de habilidades; y el maestro podrá aprovechar este ambiente de libertad para llevarle a niveles
superiores.
La evaluación debe dirigirse no sólo a los productos del nivel de desarrollo real de los alumnos, sino
sobre todo para determinar su nivel de desarrollo potencial. En este sentido la evaluación debe ser
dinámica, en oposición al esquema tradicional que sigue la rigidez de un examen, obviando todos los
elementos necesarios para lograr una evaluación objetiva. La situación interactiva, en donde se
manifiestan las competencias de los escolares para efectuar sistemas de tareas con menor o mayor
ayuda del docente, es donde se realiza la evaluación dinámica.
Actualmente las ideas de vygostsky ejercen gran influencia en muchos sistemas educativos, en países
que luchan por mejorar cada vez más la dirección de los procesos formativos mediante las innovaciones
que permiten poner al hombre a tono con la realidad que le envuelve. Además de que constituye la base
teórico-metodológica de la concepción materialista-dialéctica del aprendizaje.
Aprendizaje desarrollador (A. Ortiz, 2005)
“La clase actual debe transformar la participación del estudiante en la búsqueda y aplicación del
conocimiento desde una posición pasiva hacia una posición activa, una enseñanza que conduzca
al desarrollo de potencialidades del estudiante.” El estudiante debe contar con todas las herramientas
necesarias para lograr el aprendizaje deseado, las cuales deben proveerse a lo largo del proceso, dado
que, como persona en proceso de formación, tiene el potencial para alcanzar las metas, pero aún no sabe
cómo, por qué y para qué.
Para dirigir el aprendizaje de los/as estudiantes con un enfoque desarrollador, según A. Ortiz, es
necesario tener en cuenta las siguientes acciones:
• Estructurar el proceso a partir del protagonismo del estudiante en los distintos momentos de la
actividad de aprendizaje, orientado hacia la búsqueda activa del contenido de enseñanza.
• Partir del diagnóstico de la preparación y desarrollo del estudiante. Atender las diferencias
individuales en el tránsito del nivel logrado hacia el que se aspira.
• Organización y dirección del proceso de enseñanza aprendizaje, desde posiciones reflexivas del
estudiante, que estimulen el desarrollo de su pensamiento y su independencia cognoscitiva.
• Estimular la formación de conceptos y el desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento y el
alcance del nivel teórico, en la medida en que se produce la apropiación de los procedimientos y
se eleva la capacidad de resolver problemas.
• Orientar la motivación hacia la actividad de estudio y mantener su constancia.
• Desarrollar la necesidad de aprender y entrenarse en cómo hacerlo.
• Desarrollar formas de actividad y comunicación que permitan favorecer el desarrollo individual,
logrando una adecuada interacción de lo individual con lo colectivo en el proceso de aprendizaje.
Para Ortiz, “…la clase propicia un aprendizaje desarrollador de potencialidades del estudiante si
logra la participación consciente, reflexiva, valorativa para la transformación de su pensamiento y
sus sentimientos en la búsqueda de su identidad individual, local, nacional e internacional.”
Es por esto que estamos de acuerdo en que el proceso debe estructurase desde una óptica que permita
ver el estudiante como centro de abstracción en su desarrollo, que en los distintos momentos de la
actividad de aprendizaje cuente con la asistencia del/la maestro, la orientación necesaria, que se definirá
en cada intervención, hacia la búsqueda activa del contenido de enseñaza, considerando sólo lo
necesario para la consecución de los propósitos. El alumno como eje central, en función del cual deben
girar todos los demás elementos del proceso, será cada vez más vulnerable, cuanto menos atención se le
preste. Esto indica que atender las diferencias individuales en el tránsito del nivel logrado hacia el
que se aspira producirá mejores resultados.
Los maestros, como “peritos arquitectos”, deberán planificar la actividad de docente-educativo
considerando el protagonismo del estudiante a lo largo del proceso, sus posiciones reflexivas,
organizativas y de colaboración. Esto permitirá el fortalecimiento de la organización y dirección del
proceso en orden a estimular el desarrollo del pensamiento e independencia cognoscitiva de los
alumnos.
Mediante la formación de conceptos el alumno podrá relacionar los contenidos de un grado con los de
el anterior, logrando las conexiones necesarias en el proceso para mantenerse en contacto con la realidad,
a medida que se desarrollan los procesos lógicos del pensamiento y el alcance del nivel teórico,
pues que apreciar la realidad, tal cual es, permite la apropiación de los procedimientos necesarios para
la creación de modelos matemáticos de situaciones problémicas. Cuando el/la alumno puede crear
modelos matemáticos de situaciones problémicas que tienen lugar en la praxis dialéctica, es porque ha
alcanzado el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
Requerimientos a tener en cuenta para el diseño de tareas docentes desarrolladoras (N. Gómez y
A. Díaz, s/f)
Fruto de una generalización teórica sobre este tema, con el fin de que constituya una guía orientadora que
ilustre lo esencial de las exigencias o fines en el proceso de su diseño. Estos requerimientos son:
a) Partir del diagnóstico, para superar los niveles reales de desarrollo del estudiante, con tareas docentes
de nivel de complejidad creciente, clara redacción e intencionalidad en sus exigencias, un adecuado
nivel de asequibilidad, así como el empleo de alternativas pedagógicas para dar respuesta al trabajo
con la diversidad.
b) Poseer estructuración lógica y coherencia entre sus partes, manifestando unidad entre los
componentes del proceso de docente-educativo personal y personalizado, así como la combinación
inteligente de los aspectos instructivos, educativos y desarrolladores.
c) Presentar un carácter problémico que promueva la activación, así como la utilización consciente de
procedimientos dirigidos a la autorreflexión y autorregulación del aprendizaje.
d) Consolidar los llamados “Pilares del Conocimiento” en su contenido, así como el uso de
procedimientos didácticos generalizadores, integradores y transferibles que permitan solucionar
problemas con una visión totalizadora de la realidad mediante la utilización de vías interdisciplinares.
e) Diseñar actividades originales y amenas que movilicen procesos afectivo-motivacionales, en estrecho
vínculo con los intereses cognoscitivos individuales y grupales y estimulen la significatividad
conceptual, experiencial y afectiva en el estudiante.
f) Reforzar valores y rasgos positivos de la personalidad que conlleven al logro de modos de actuación
en correspondencia con las exigencias de la sociedad.
g) Acercar al estudiante al camino de la actividad científica desde posiciones materialistas, sobre la base
del planteamiento de hipótesis, identificación y solución de problemas con el uso de métodos
investigativos.
Concepción teórica de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
La enseñanza de la interpretación de problemas, de acuerdo con el enfoque de Vygotsky (1987), debe
sustentarse en el carácter productivo y esencial de la interacción social, dado que los procesos
psicológicos de los niños están culturalmente mediatizados, se estructuran históricamente y surgen de la
actividad. Si el desarrollo de la habilidad se logra mediante el perfeccionamiento de la acción, se puede
asegurar que la actividad posee los componentes esenciales de la habilidad.
El logro de la habilidad interpretar problemas matemáticos se obtendrá contextualizando las actividades
que realiza el alumno con fundamento en prácticas constantes de interpretación de problemas, destacando
cada uno de los elementos y características esenciales de la realidad social que condicionan dichos
problemas. A lo largo de la actividad el alumno deberá contar siempre con la ayudad del docente.
El docente, cuyo rol tiene gran relevancia a lo largo del proceso de desarrollo de la habilidad interpretar
problemas matemáticos, debe planificar el proceso de acuerdo con los criterios anteriormente expuestos y
guiarlo con la mayor rigurosidad posible en cuanto a su organización, ejecución y control. Parafraseando a
Nicolás Balacheff (1999), la construcción del conocimiento tiene lugar en lo que Vygotsky (1987) llamó
Zona de Desarrollo próximo, donde el alumno puede aprender por si solo y con la ayuda del maestro y sus
compañeros. El maestro deberá orientar el proceso en la dirección que señalan los propósitos educativos
estableciendo los niveles de dificultad correspondientes en la interpretación de situaciones problémicas del
entorno social del alumno.
La matemática como ciencia posee su lenguaje, forma de expresión compuesta por signos, símbolos,
definiciones y principios que se clasifican en axiomas, postulados, teoremas y corolarios, en sus diferentes
ramas. Para la interpretación de problemas es necesario que el alumno del segundo ciclo del nivel medio
pueda identificar a qué rama de la matemática corresponde el problema en cuestión, qué conceptos
forman parte de éste, sus datos conocidos y desconocidos, condiciones que cumplen los datos para
expresar la relación existente entre los mismos, y finalmente poder crear un modelo matemático de dicho
problema. En la planificación del proceso el maestro debe tomar en cuenta todos estos parámetros y
asegurarse, mediante una evaluación diagnóstica, de que el alumno posea las herramientas necesarias
para realizar las tareas propuestas en cada paso hasta lograr el propósito deseado.
Se puede claramente considerar que junto al proceso de desarrollo de la habilidad de interpretación de
problemas matemáticos se han de desarrollar otras habilidades, tales como identificar, representar,
clasificar, argumentar, caracterizar, entre otras, y propicia la creación de modelos matemáticos de
situaciones problémicas. Además de que promueve la autorregulación del aprendizaje y el razonamiento
lógico matemático.
En este sentido, la interpretación debe ser concebida como herramienta básica de los procesos lógicos
del pensamiento, que permite caracterizar cada una de las partes de un todo para obtener conclusiones
válidas en razonamientos sucesivos y desempeña funciones cognoscitivas en los diferentes ámbitos
socioculturales. Cuanto mejor sea la interpretación de los fenómenos u objetos en estudio, mayor será la
probabilidad de obtener resultados excelentes. La interpretación de problemas matemáticos está
enmarcada en la realidad social de dichos problemas.
La interpretación permite que el alumno pueda desarrollar capacidad de autonomía e independencia
obteniendo resultados excelentes por si solo y, con esto, aumenta, también, su autoestima.
Teniendo en cuenta lo anteriormente planteado se precisó que interpretar problemas matemáticos en el
segundo ciclo del nivel medio exige:
• Leer el problema varias veces hasta familiarizarse con él.
• Identificar a qué rama de la matemática corresponde dicho problema.
• Identificar los datos desconocidos y conocidos.
• Representar los datos mediante el uso de variables y símbolos adecuados.
• Destacar las condiciones que cumplen los datos, tanto conocidos como desconocidos.
o Operaciones.
o Relaciones.
• Identificar los conceptos matemáticos que intervienen en dicho problema.
• Expresar con sus palabras qué pide el problema.
Si la acción, al ser sistematizada deviene en habilidad y en el proceso docente-educativo la tarea se
constituye en la acción misma, entonces la ejecución de tareas que tengan como objetivo dicha acción y
que necesiten la realización de su sistema operacional traerá como resultado el desarrollo de la habilidad
en el estudiante.
En resumen, podemos inferir que si el estudiante realiza de manera frecuente y periódica, bajo
determinadas condiciones, tareas cada vez más complejas, con diferentes conocimientos que exijan el
tránsito por el sistema operacional, se logrará el dominio de la habilidad por parte de los alumnos.
2.2.- Estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
Para fundamentar la estrategia didáctica es necesario definir qué se entiende por estrategia didáctica,
partiendo de la revisión de diferentes fuentes bibliográficas.
S. Colunga y J. García (s/f), señalan que toda estrategia incluye la selección y articulación práctica de
todos los componentes del proceso docente-educativo. Para ellos, en este mismo orden, “…se interpreta
como estrategias del proceso docente-educativo a secuencias integradas, más o menos extensas y
complejas, de acciones y procedimientos seleccionados y organizados, que atendiendo a todos los
componentes del proceso, persiguen alcanzar los fines educativos propuestos.”
El autor de esta tesis asume la definición que ofrecen S. Colunga y J. García, dado que permite un
acercamiento a la definición del concepto, y esto favorece el alcance de los objetivos educativos.
Para M. Rodríguez y A. Rodríguez (s/f), la estrategia didáctica es la proyección de un sistema de acciones
a corto, mediano y largo plazo que permite la transformación del proceso docente-educativo en una
asignatura, nivel o institución tomando como base los componentes del mismo y que permite el logro de
los objetivos propuestos en un tiempo concreto.
La estrategia que se propone en este trabajo de investigación consta de:
• Objetivo general.
• Requerimientos para su aplicación o premisas
• Actores
• Etapas
• Acciones.
Objetivo general:
Contribuir a la formación y desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos en el segundo
ciclo del nivel medio.
Requerimientos para su aplicación:
▪ Disposición de los docentes a aplicar nuevas estrategias para el logro de los propósitos
educacionales.
▪ Cooperación del cuerpo directivo de centros educativos para la motivación y preparación de los
docentes.
▪ Disposición al cambio de la fragmentación de los temas por el sistema operacional de la habilidad.
Actores:
Profesores y estudiantes, los cuales interactúan en el proceso desempeñando funciones distintas y
relacionadas entre sí. El profesor prepara la actividad, organiza y dirige el proceso sirviendo de guía y
ayudante para conducir al alumno a estadios superiores. El estudiante como ente social activo, aprende en
función de sí, con la ayuda del maestro, sus compañeros y todos los que puedan intervenir en el proceso.
Etapas de la estrategia:
La estrategia consta de cuatro etapas: diagnóstico, planificación, ejecución y evaluación.
En cuanto al proceso de formación y desarrollo de la habilidad se concibe la evaluación y el control como
función de dicho proceso; esto es, la evaluación de la habilidad se realiza desde el propio sistema de
tareas que se diseña para su desarrollo y formación.
Descripción de los objetivos y las acciones de la estrategia por etapas.
Diagnóstico de la preparación y desarrollo del/la alumno/a.
Objetivo: Identificar las necesidades de los estudiantes, las condiciones y potencialidades relacionadas
con la habilidad interpretar problemas matemáticos.
Acciones:
1. Selección y/o elaboración de instrumentos para la realización del diagnóstico de la preparación y
desarrollo del alumno, para iniciar el desarrollo de la habilidad. De acuerdo con el tema en estudio, el
docente deberá seleccionar y/o elaborar los instrumentos necesarios para determinar el conocimiento
del nivel logrado por los alumnos respecto de los antecedentes ya adquiridos y potencialidades que
posibiliten el desarrollo de la habilidad.
2. Aplicación de los instrumentos seleccionados a los implicados en la estrategia. A la hora de aplicar
los instrumentos seleccionados a los implicados en la estrategia, se debe considerar la diversidad de
formas en que el/la docente puede interactuar con los alumnos, no sólo siguiendo de manera rutinaria
el viejo esquema del examen. Tal es el ejemplo del maestro que crea situaciones en que los
alumnos muestran sus conocimientos y potencialidades mediante el debate y lluvias de ideas en un
ambiente de libertar, democracia y respeto, y así logra la plenitud de la exploración de la zona real de
desarrollo de sus alumnos.
3. Análisis de los principales resultados obtenidos.
Mediante el conocimiento del nivel logrado por los/as alumnos/as respecto de los antecedentes ya
adquiridos, se destacan los indicadores necesarios para la estructuración y desarrollo del proceso
considerando los niveles de ayuda necesarios para la realización de las tareas.
Planificación.
Objetivo: Estructurar las actividades de docente-educativo estableciendo los parámetros necesarios en
relación con los que establece el programa general de la asignatura con mira a fortalecer los propósitos del
mismo.
Acciones:
1. Perfeccionar los objetivos del programa de manera que queden declaradas explícitamente las
habilidades que se deben desarrollar, en específico la habilidad interpretar problemas matemáticos.
2. Seleccionar los contenidos de cada tema a partir de las potencialidades que ellos tienen para
desarrollar la habilidad.
3. Diseñar tareas según los requerimientos necesarios.
Las tareas deben contener preguntas que orienten al alumno a la realización del sistema operacional
expresado con anterioridad, según la secuencia básica de las acciones siguientes:
▪ Identificar la rama de la matemática a que corresponden problemas dados luego de leerlos
varias veces hasta lograr un nivel de familiarización.
▪ Determinar palabras, términos, datos desconocidos asignándole el significado según el
contexto en que se encuentran, datos conocidos utilizando una simbología adecuada para su
representación.
▪ Reconocer condiciones que cumplen los datos, tales como operaciones, relaciones, y asignar
significado.
▪ Identificar los conceptos matemáticos que intervienen en dichos problemas.
▪ Expresar las ideas obtenidas para la realización del autocontrol y autocorrección.
▪ Aplicar la significación del mensaje a otro contexto.
Cada tarea debe hacer transitar al alumno por el sistema operacional de la habilidad, ellas pueden
concebirse según las orientaciones expresadas en lo anterior, y desde ellas pueden potenciarse aquellas
operaciones que se consideren necesarias para un determinado estadio de formación de la habilidad y
según las condiciones de los alumnos.
4. Elaborar materiales didácticos como complemento del libro de texto.
Se deben elaborar materiales didácticos de apoyo que posibiliten trabajar en la interpretación de
problemas matemáticos, que permitan hacer énfasis en los aspectos de interacción y cooperación del
proceso de docente-educativo e integrar tareas de búsqueda de información, de indagación y de
exploración. Desde estas concepciones, se requieren materiales que, al estar centrados en el/la alumno,
tengan la flexibilidad necesaria para que se ajusten a las condiciones de aprendizaje, teniendo en cuenta
las particularidades de cada estudiante y el contexto social y cultural en el que estos se desenvuelven. Se
sugiere la preparación de lecturas básicas y opcionales, guías de debates, etc. Esta acción conlleva
necesariamente a la interacción de los docentes, coordinar acciones entre ellos para la elaboración de
dichos materiales, ponerse de acuerdo en caso que existan diversas concepciones y opiniones para que
los materiales cumplan su función, según los objetivos que persiguen.
Concebir el sistema de evaluación.
La evaluación ha de ser:
Objetiva: Porque ha de considerarse todo lo que pueda ser objeto de sensibilidad a lo largo del proceso.
Diagnóstica: Porque se deben identificar las necesidades de los estudiantes, las condiciones y
potencialidades relacionadas con la orientación definida en estrecha armonía con la motivación y los
valores, la preparación en matemática para iniciar el desarrollo de la habilidad.
Participativa: Porque el alumno como ente social activo/a está en plena libertad para considerar fortalezas
y debilidades del proceso aportando ideas para mejorar, así como todos los demás actores.
Dinámica: Porque se debe considerar la situación interactiva, en donde se manifiestan las potencialidades
de los estudiantes para efectuar las tareas asignadas con menor o mayor ayuda del docente.
Continua: Porque en cada espira que transita el/la alumno/a se manifiestan sus potencialidades y se
pueden apreciar las fortalezas y debilidades.
Hay que señalar que en cada tarea asignada, el docente debe explicar de manera explícita todos los por
menores que se tomarán en cuenta para la evaluación del proceso. Esto servirá de orientación para que el
alumno pueda ir pensando en las herramientas necesarias a utilizar para la consecución de los propósitos.
Ejecución.
Objetivo: Materializar las acciones de la etapa de planificación y utilizar métodos que permitan contribuir al
desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
En esta etapa interactúan directamente el docente y los alumnos, los alumnos entre sí y todos estos con
los procesos que acontecen en el entorno social a través de la tarea, creándose las condiciones propicias
para la formación y desarrollo de la habilidad.
El momento de la ejecución es el proceso en sí mismo, durante el cual se aprende. En este el docente
debe crear las condiciones propicias para que:
• Los alumnos desarrollen el pensamiento crítico y creador en la interpretación de problemas de
diversa índole y complejidad.
• Se genere un ambiente adecuado para que el grupo pueda trabajar de manera colaborativa y
cooperativa.
• Se acentúe la formación y desarrollo de actitudes y valores que busquen la generación de
conocimientos socialmente condicionados y que estos no sólo sean el resultado de la
memorización.
• El proceso docente-educativo esté centrado en el alumno y su actividad.
Hay que considerar que en los primeros momentos de la ejecución de las tareas, la ayuda del maestro
debe ser más frecuente incluyendo orientaciones que permitan que los alumnos puedan transitar las
delimitaciones circunscritas en el proceso adquiriendo las herramientas necesarias para el desarrollo de la
habilidad, posteriormente el nivel de ayuda se va disminuyendo hasta lograr la independencia del
estudiante en la ejecución de las tareas.
Es de tarea en tarea que debe desarrollarse la clase en el nivel medio de acuerdo con esta concepción, tal
como se ilustra en el sistema de tarea propuesto en lo adelante.
Evaluación de la estrategia.
Se incluye la evaluación de la estrategia, lo cual permite la retroalimentación permanente para el
perfeccionamiento de la misma.
Objetivos: Valorar la marcha de la aplicación de la estrategia en cada una de las etapas y realizar las
adecuaciones necesarias para su perfeccionamiento.
Acciones:
1. Valorar la actividad desplegada por los docentes en cuanto a la formación y desarrollo de la
habilidad interpretar problemas matemáticos en sus estudiantes, a partir de la autoevaluación y del
criterio de los estudiantes.
2. Valorar la actividad de los estudiantes y sus resultados en relación con la habilidad interpretar
problemas matemáticos.
3. Llevar a cabo las modificaciones y ajustes necesarios para el perfeccionamiento de la estrategia
para su aplicación coherente en el proceso docente-educativo de la matemática en el nivel medio.
2.3. Ilustración de un sistema de tareas para interpretar problemas en el tema ecuaciones lineales.
A continuación se propone un sistema de tareas para interpretar problemas, de ecuaciones lineales en una
y dos variables, ordenados en cuatro grupos. En el primer grupo se dan orientaciones dirigidas a la fase
inicial del desarrollo de la habilidad para que el/la alumno/a identifique los tipos de datos, tanto conocidos
como desconocidos, condiciones que cumplen los datos, y la forma de expresarlos.
En el segundo grupo se ofrecen preguntas heurísticas en orden a fortalecer la creatividad del/la alumno/a.
El tercer grupo está orientado a que el alumno formule preguntas para otros/as usando como herramientas
básicas el diálogo y la colaboración. El cuarto grupo tiene la finalidad de que el/la alumno/a muestre el
desarrollo de la habilidad de interpretación, mediante la resolución de problemas relacionados con el tema
indicado.
Para la interpretación de un problema se debe leer varias veces hasta familiarizarse con él, identificar a
qué rama de la matemática corresponde, los conceptos matemáticos que intervienen, los datos
desconocidos y conocidos representándolos con variables y símbolos adecuados y destacando las
condiciones que cumplen, y finalmente expresar con sus palabras qué pide el problema.
Ejemplos de tareas.
1. Lee cada uno de los problemas siguientes, luego expresa lo que se te pide en cada caso.
La suma de cinco números consecutivos es 40. ¿Cuáles son esos números?
▪ Tipo de datos expresados en este problema.
._____________________________________________
▪ Número de cantidades desconocidas. .
▪ Cantidades conocidas. .
▪ Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones
necesarias. . . Forma una sola expresión con todas
las cantidades desconocidas de acuerdo con la frase “la suma de cinco números consecutivos”.
. .
▪ Escribe una sola expresión para la relación existente entre las cantidades desconocidas y las
conocidas.
. .
▪ Explica con tus palabras las características de este problema.
b. En un estante de una biblioteca hay un total de 625 libros. El número de libros de novelas es el
doble del de cuentos y el de ciencia ficción tiene 35 ejemplares menos que el de cuentos.
¿Cuántos libros hay de cada género?
o Tipo de datos expresados en este problema. .
o Número de cantidades desconocidas. .
o Cantidades conocidas. .
o Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones
necesarias. .
o Forma una sola expresión con todas las cantidades desconocidas de acuerdo con la frase “En
un estante de una biblioteca hay un total de (…) libros”.
. .
o Escribe una sola expresión para la relación existente entre las cantidades desconocidas y las
conocidas. .
o Explica con tus palabras las características de este problema.
c. Las capacidades de dos recipientes, A y B, suman 230 litros. Si al recipiente A le faltan 6 litros
para igualar el doble de la capacidad del B, ¿cuál es la capacidad de cada recipiente?
▪ Tipo de datos expresados en este problema. .
▪ Número de cantidades desconocidas. .
▪ Cantidades conocidas. .
▪ Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y
relaciones necesarias. .
▪ Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y
conocidas.
. .
▪ Explica con tus palabras las características de este problema.
d. El perímetro de una habitación rectangular es 14m. ¿Cuáles son sus dimensiones, si tres veces el
largo equivale a cuatro veces el ancho?
o Tipo de datos expresados en este problema. .
o Número de cantidades desconocidas. .
o Cantidades conocidas. .
o Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las
operaciones y relaciones necesarias.
. .
o Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y
conocidas.
. .
o Explica con tus palabras las características de este problema.
e. En el patio de la casa de José hay una mata de aguacate y una de mango. El año pasado la cosecha
de mangos fue igual al doble de la cosecha de aguacates y la diferencia de ambas cosechas fue igual
a ¿Cuál fue el número de la cosecha de mangos y cuál el de la cosecha de aguacates?
▪ Tipo de datos expresados en este problema. .
▪ Número de cantidades desconocidas. .
▪ Cantidades conocidas. .
▪ Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y
relaciones necesarias. .
▪ Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y
conocidas. .
▪ Explica con tus palabras las características de este problema.
2. Lee varias veces cada uno de los siguientes problemas y responde las preguntas que se presentan a
continuación.
a. Si sumamos la mitad y la tercera parte a la edad de Juan se tendrá un resultado de 66 años. ¿Cuál es
la edad de Juan?
o ¿A qué tipo de datos corresponden las cantidades expresadas en este problema?
o ¿Cómo se puede expresar la mitad y la tercera parte de un número cualquiera?
o ¿Cómo expresarías la edad de Juan?
o ¿Cómo expresaría la edad de Juan con su mitad y su tercera parte?
o ¿Cómo se podría establecer la relación existente entre la edad de Juan, su mitad, su tercera
parte y 66 años de acuerdo con lo que dice el problema?
o ¿Podrías expresar con tus palabras qué pide este problema?
b. Tres llaves de agua A; B y C llenan un depósito. La llave B aportó el doble de agua de la llave A y a la
llave C le faltaron 5 litros para aportar el triple de lo que aportó la B. Si la cantidad total de agua
aportada por las llaves A, B y C fue de 355 litros. ¿Cuántos litros aportó cada una de las llaves?
▪ ¿A qué tipo de datos corresponden las cantidades expresadas en este problema?
▪ ¿Cuáles de las cantidades que se expresan en este problema son conocidas?
▪ ¿Cuáles expresiones se pueden asociar con cantidades desconocidas?
▪ ¿Hay alguna cantidad desconocida de la cual dependan las demás? ¿Cuál?
▪ ¿Cómo la expresarías?
▪ ¿Cómo expresarías las demás a partir de ésta?
▪ ¿Qué relación existe entre la cantidad total de agua y la sumatoria de las cantidades
desconocidas que expresaste?
▪ ¿Cómo establecerías esta relación?
▪ Explica con tus palabras qué pide este problema.
c. El perímetro de un terreno pentagonal es de 283m, uno de sus lados es el doble del menor, otros dos
exceden en 1 y 2 el doble del menor y al otro lado le faltan 10m para ser 3 veces el menor. ¿Cuál es la
medida de cada lado?
▪ ¿A qué tipo de datos corresponden las cantidades expresadas en este problema?
▪ ¿Qué se entiende por perímetro y terreno pentagonal?
▪ Hay un lado del terreno del cual dependen todos los demás, ¿podrías determinarlo?
▪ ¿Cómo lo representarías?
▪ A partir de este lado, ¿podrías representar los demás? ¿Cómo lo harías?
▪ Una vez representados todos los lados del terreno, ¿se podría formar la expresión del su
perímetro? ¿Cómo lo harías?
▪ ¿Hay alguna cantidad conocida expresada en este problema? ¿Cuál es?
▪ ¿Se puede establecer alguna relación entre la expresión del perímetro del terreno y esta
cantidad que ya conocemos? Explique.
▪ ¿Podrías expresar qué pide el problema? Explica con tus palabras.
d. Hace 10 años la edad de Pedro era 1/5 la edad de Juan, al cabo de 24 años la edad de Pedro será 3/5
la edad de Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno?
• ¿Cómo son los datos expresados en este problema?
• ¿En este problemas se expresan cantidades conocidas? ¿Cuáles?
• ¿Cuáles palabras se pueden asociar con cantidades desconocidas?
• ¿Estas cantidades desconocidas se pueden expresar con la misma variable?
• ¿En qué depende una de otra?
• Si se necesita más de una variable para representar las cantidades, ¿podrías decir Cuáles
conceptos matemáticos intervienen en este problema?
• ¿Cómo expresarías la edad de Juan?
• ¿Cómo expresaría la edad de Pedro hace 10 años en relación con la edad de Juan?
• ¿Como expresarías la edad de Pedro al cabo de 23 años con relación a la edad de Juan?
• Explica con tus palabras qué pide el problema.
e. El doble de un número sumado al triple de otro es 39. Si se le resta el segundo al doble del primero,
la diferencia es 3. ¿Cuáles son esos números?
o ¿Qué tipo de datos se expresan en este problema?
o ¿En este problema observa algunas cantidades que sean conocidas? ¿Cuáles?
o ¿Cuáles expresiones se pueden asociar con cantidades desconocidas?
o ¿Cómo expresarías esas cantidades?
o ¿Existe alguna que dependa de otra para su expresión?
o ¿Cómo se relaciona una con otra?
o ¿Existe más de una relación?
o ¿Podrías expresar esas relaciones?
o ¿Qué conceptos matemáticos se pueden apreciar en este problema?
o Expresa con tus palabras qué pide el problema.
3. Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes problemas y escribe a continuación las preguntas que
les harías a tus compañeros de modo que ellos puedan expresar la características de los datos
conocidos y desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen
las cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el
problema y finalmente puedan decir qué les pide el problema.
a. Si sumamos a un número su mitad y su cuarta parte, el resultado es 119. ¿Cuál es ese
número?
b. El perímetro de una superficie rectangular es de 148m. Si la longitud de la anchura es de 34m,
determine la longitud de la largura.
c. En la repartición de un terreno con un área de 2,000m2 a cuatro hermanos, el primero recibe el
21%, el segundo el 22.5%, el tercero el 27.5% y el cuarto recibe el 29% restante. Determine
qué cantidad del terreno recibe cada uno.
d. Una camioneta transporta tres cajas de papas. Las tres tienen un peso total de 125 kilos. Una
de las cajas pesa el doble de la más liviana y a la otra le faltan 15 kilos para pesar el triple.
¿Cuánto pesa cada una de las cajas de papas?
e. Determine el área aproximada del círculo decorativo del Jardín Botánico de Santo Domingo, si
tiene una longitud de 31.42m.
4. Resuelve cada uno de los siguientes problemas conforme al sistema operacional indicado.
(Determinar la rama de la matemática a que corresponde, características de los datos conocidos y
desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las
cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el
problema y explicar con tus palabras qué pide el problema).
a. El perímetro de una superficie rectangular es de 448m. Si la longitud de la anchura es de 84m,
determine la longitud de la largura.
b. Una camioneta transporta tres cajas de papas. Las tres tienen un peso total de 325 kilos. Una
de las cajas pesa el doble de la más liviana y a la otra le faltan 25 kilos para pesar el triple.
¿Cuánto pesa cada una de las cajas de papas?
c. El perímetro de un terreno hexagonal es de 426m, uno de sus lados es el doble del menor,
otros tres exceden en 1, 2 y 3 el doble del menor y al otro lado le faltan 70m para ser 3 veces
el menor. ¿Cuál es la medida de cada lado?
d. Determina dos números positivos sabiendo que la tercera parte del primero es igual a la
séptima parte del segundo y que la diferencia entre ambos es 28.
e. Una guagua de 60 pasajeros realiza el viaje desde Santo Domingo hasta Santiago-Puerto
Plata. Los que viajan a Santiago pagan $200.00 y $250.00 los que viajan a Puerto Plata. Si al
término del viaje el dinero obtenido suma $12,650.00, ¿Cuántos pasajeros eran de Santiago y
Cuantos de Puerto Plata?
Explica el proceso seguido en cada caso, desde el inicio, haciendo énfasis en las condiciones que
cumplen las cantidades desconocidas, dependencia entre ellas y relación con las cantidades conocidas.
Tareas para la evaluación
En lo adelante se propone un grupo de problemas cuya finalidad es valorar distintas fases del desarrollo
de la habilidad de interpretación.
1. Lee varias veces el siguiente problema, luego expresa lo que se te pide.
La diferencia de dos números es 8 y 1/9 de su suma es 12. Determina los números.
• Tipo de datos expresados en este problema. .
• Número de cantidades desconocidas. .
• Cantidades conocidas. .
• Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y
relaciones necesarias. .
• Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y conocidas.
.
• Explica con tus palabras las características de este problema.
2. En el siguiente problema, responde las preguntas que se te hacen, luego de leerlo varias veces.
Las diferencias entre las longitudes de las dimensiones de un rectángulo es 8. Si el largo equivale a 3
veces el ancho, determine la longitud de cada uno.
▪ ¿Qué tipo de datos se expresan en este problema?
▪ ¿En este problema observa algunas cantidades que sean conocidas? ¿Cuáles?
▪ ¿Cuáles expresiones se pueden asociar con cantidades desconocidas?
▪ ¿Cómo expresarías esas cantidades?
▪ ¿Existe alguna que dependa de otra para su expresión?
▪ ¿Cómo se relaciona una con otra?
▪ ¿Existe más de una relación?
▪ ¿Podrías expresar esas relaciones?
▪ ¿Qué conceptos matemáticos se pueden apreciar en este problema?
▪ Expresa con tus palabras qué pide el problema.
3. Lee Varias veces el siguiente problema y escribe a continuación las preguntas que les harías a tus
compañeros de modo que ellos puedan expresar la características de los datos conocidos y
desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las
cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el
problema y finalmente puedan decir qué les pide el problema.
En el examen de matemática José y María obtuvieron las calificaciones más sobresalientes del primer
grado en el Politécnico Lic. Víctor Estrella Liz. El triple de la calificación de José menos el doble de la
calificación de María es 80. Determine ambas calificaciones sabiendo que 1/5 de la calificación de
María menos 1/9 de la calificación de José es igual a 9.
4. Resuelve el siguiente problema conforme al sistema operacional indicado. (Determinar la rama de la
matemática a que corresponde, características de los datos conocidos y desconocidos, palabras
asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las cantidades desconocidas y
relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el problema y explicar con tus
palabras qué pide el problema). Lugo Explica el proceso seguido desde el inicio haciendo énfasis en
las condiciones que cumplen las cantidades desconocidas, dependencia entre ellas y relación con las
cantidades conocidas.
En un taller de ebanistería hay 60 empleados, un grupo tiene un sueldo de $6,200.00 y otro grupo
tiene el sueldo de $11,500.00. Si el total de la nómina es $504,500.00, determine cuántos empleados
ganan $6,200.00 y cuántos ganan $11,500.00.
Los tipos de tareas docentes propuestas, como poseedoras de las exigencias del proceso de formación y
desarrollo de la habilidad; así como los principales aportes dispuestos en la estructuración de las mismas,
en la unidad temática seleccionada, tienen la finalidad de fortalecer su base orientadora y el modo de
actuar que se espera en el alumno, que deberá manifestarse de acuerdo con los niveles de desarrollos
que se proponen en esta tesis; concediendo vital importancia a las distintas áreas del conocimiento
matemático, y los diferentes niveles didácticos que son fundamentales para la enseñanza de la
matemática.
2.4. Valoración de la factibilidad de la estrategia didáctica.
La vía utilizada para realizar el análisis sobre la pertinencia y la factibilidad de aplicación de la estrategia
fue el método de criterio de especialistas. Se empleó el método Delphi, con la variante sugerida por el Dr.
Luis Campistrous y la Dra. Celia Rizo. (L. Campistrous y C. Rizo, 2008).
Determinación de los especialistas:
Se seleccionaron 12 especialistas a los que se les solicitó llenaran el cuestionario, según el formato que
se anexa (Anexo 4). Después de haber obtenido las respuestas de manera satisfactoria se pudo
considerar que estos cumplen los requerimientos necesarios para ser considerados/as como especialistas.
La selección se efectuó sobre la base de los resultados obtenidos en el análisis del documento ya referido.
En el proceso de selección de los especialistas, se tuvieron en cuenta las siguientes variables:
1. Centro donde labora actualmente.
2. Años de experiencia como docente de Matemática
3. Cargo que ocupa
4. Grado científico
5. Categoría docente
A continuación se especificará cada uno/a de los especialistas consultados/as:
7 licenciados de centros públicos del nivel medio con más de 20 años de experiencia.
3 Profesores de matemática con nivel de maestría en enseñanza de la matemática media y superior.
2 doctores en matemática.
Para precisar el grado de conocimiento y actualización de los/as especialistas sobre la temática se empleó
luego el procedimiento basado en los criterios auto-valorativos. Para el mismo se tomó en cuenta la
autoevaluación de los especialistas acerca de su competencia y de las fuentes que le permiten argumentar
sus criterios.
Para el dominio acerca de la esfera sobre la cual se les consultó, con una escala valorativa desde 1 hasta
10, siendo 1 el valor mínimo y 10 el valor máximo, y estimando el valor 10 como excelente, el 9 como muy
bueno, el 8 como bueno, el 7 como regular y desde 6 hasta 1 mal. El valor promedio de su autoevaluación
fue 8; con un valor mínimo de 7 y un máximo de 9. En este sentido el límite inferior se consideró apropiado
para la trascendencia valorativa de la evaluación de los/as especialistas. Las frecuencias de los datos
correspondientes a esta valoración se ofrecen en la tabla del anexo 4.
Se procedió, entonces, a la formulación de una escala para efectuar la valoración integral de la estrategia
(anexo 5). Para la valoración de los especialistas se incluyó el siguiente cuestionario:
• ¿Cómo valora la estrategia didáctica en sentido general?
• Existe correspondencia entre la estrategia didáctica y los problemas presentados.
• La estrategia didáctica favorecerá el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos
en el nivel medio en el centro educativo Politécnico Lic. Víctor Estrella Liz.
Para evaluar los criterios descritos se utilizaron cinco categorías, asignando un valor numérico desde 1
hasta 5 a cada una de ellas:
5. Muy adecuada. 4. Bastante adecuada 3.Adecuada 2.Poco adecuada 1. Inadecuada
Cada especialista debía colocar cada atributo a evaluar en una de estas cinco categorías y una vez
realizada la consulta se pudo determinar que todas las valoraciones estuvieron oscilando entre las
categorías 5 y 4. De ahí se obtuvieron las tablas de frecuencias simples y frecuencias relativas que se
muestran en las tablas de frecuencias y cuadros del anexo 5. Los cálculos correspondientes se realizaron
con el paquete estadístico Excel.
CONCLUSIONES
A partir de los resultados obtenidos en el proceso de investigación realizado se puede concluir que:
▪ El proceso docente-educativo de la matemática en la República Dominicana se ha caracterizado por
distintas concepciones metodológicas que en el tiempo de su aplicación no quedaron bien definidas y
en la actualidad chocan entre sí. Pues en algunas ocasiones la clase de matemática es sometida a la
repetición, la práctica y la memorización, y el maestro es el centro del proceso; en otras se puede
observar la aplicación de distintas concepciones metodológicas en una misma clase. El docente
dominicano no cuenta con una concepción teórico-metodológica integral lo suficientemente
desarrolladora, que les permita tener una visión de conjunto en su manera de actuar dando respuesta
a los propósitos previamente concebidos por la educación, por medio de las actividades que elabore
en sus clases. Las distintas concepciones existentes en los maestros, los llevan a orientarse por
elementos particulares de las asignaturas y no les permiten lograr la interdisciplinariedad en el
accionar educativo.
▪ A partir de la valoración de las diversas tendencias en el desarrollo de habilidades matemáticas, en
específico el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos se considera que la
interpretación como herramienta básica de los procesos lógicos del pensamiento ha de ser
considerada habilidad necesaria para la resolución de problemas matemáticos, pues ésta permite la
caracterización individual de las partes de un todo para obtener conclusiones válidas en
razonamientos sucesivos, y desempeña funciones cognoscitivas en los diferentes ámbitos
socioculturales. Mediante ésta, el alumno logra ponerse en contacto directo con la realidad dialéctica
en que se encuentra enmarcado el problema en cuestión.
▪ El diagnóstico de los estudiantes para valorar el desarrollo de la habilidad interpretar problemas
matemáticos en el segundo ciclo de nivel medio arrojó resultados muy deficientes, pues existe una
cantidad considerable de alumnos que no poseen el dominio de la habilidad interpretar problemas
matemáticos. Se pudo observar las características de un alumno abismado, lleno de interrogantes
cuando, en los grupos focales, comenzaban a mostrar sus inquietudes con expresiones tales como:
“Los profesores nos dejan trabajar solos y no nos explican”; “yo no entiendo la matemática”; “la
matemática es muy difícil”; “los mismos profesores, muchas veces, no la entienden”; “yo tuve un
profesor que explicaba muy bien y yo lo entendía, pero los demás siempre explicaban mal”; “si a mí
me explican bien, yo entiendo”; “la matemática no es difícil, si la explican bien”.
▪ La estrategia didáctica para el desarrollo de la habilidad interpretar problemas matemáticos en el
segundo ciclo de nivel medio, como uno de los aportes del proceso de investigación realizado hace
posible la integración del sistema de conocimientos matemáticos al sistema de acciones y operaciones
de la habilidad, campo de estudio, a partir de tareas docentes que pongan al alumno en contacto
directo con la realidad que le circunscribe.
▪ Los tipos de tareas docentes propuestas, como poseedoras de las exigencias del proceso de
formación y desarrollo de la habilidad, campo de estudio; así como los principales aportes dispuestos
en la estructuración de la misma, en la unidad temática seleccionada, tienen la finalidad de fortalecer
su base orientadora y el modo de actuar que se espera en el alumno que deberá manifestarse de
acuerdo con los niveles de desarrollos que se proponen en esta tesis. Concediendo vital importancia a
las distintas áreas del conocimiento matemático, y los diferentes niveles didácticos que son
fundamentales para la enseñanza de la matemática.
▪ Los resultados obtenidos en la fase de consulta a los especialistas seleccionados a partir de la
aplicación de encuestas, corroboraron especialmente que es posible lograr un mejoramiento, tanto
cualitativo como cuantitativo en el nivel de desarrollo que deben alcanzar los estudiantes en cuanto a
las invariantes funcionales de la habilidad interpretar problemas matemáticos.
RECOMENDACIONES
• Generalizar la propuesta a otros niveles de enseñanza de la matemática.
• Elaborar materiales metodológicos para la preparación de los maestros en los cursos de formación
y superación docente.
BIBLIOGRAFÍA
1. Bravo Estévez, María L. (2002). Una estrategia didáctica para la enseñanza de las
demostraciones geométricas. Tesis doctoral, Universidad de Oviedo. España.
2. Peña Geraldino, Rafael (1998). Educación Media, Matemática III. Editorial Antillas. República
Dominicana.
3. Gutiérrez Rodríguez, Ángel (1991). La investigación en Didáctica de las Matemáticas. Madrid.
4. KILPATRIC, J. (1996). Valoración de la investigación en Didáctica de las Matemáticas: más allá
del valor aparente. Ministerio de Educación y Ciencia. Madrid.
5. Llivina Lavigne, Miguel J. (1998). Una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la
capacidad para resolver problemas matemáticos. Universidad Pedagógica “Enrique José Varona”.
Cuba.
6. Molina Moloon, Andrés (2005). Matemática I. Editorial Santillana.
7. --------------------------------------- Matemáticas primero de primer ciclo. Editorial Santillana. República
Dominicana.
8. --------------------------------------- Matemática 3 serie ámbar. Editorial Santillana. República
Dominicana.
9. Palacio Salazar, Daniela (2007). Enseñanza de la simetría matemática a través del arte.
Universidad Central de Venezuela.
10. Pérez, María A. (2003). Aprendizaje cooperativo de las ecuaciones algebraicas. Tesis de maestría.
pontificia universidad católica madre y maestra. República Dominicana.
11. Rebollar Morote, Alfredo y Ferrer, Maribel (2007). Proyecto de investigación la enseñanza de la
matemática basada en problemas y ejercicios. Santiago de Cuba.
12. ----------------------------------------. Modelo didáctico para el tratamiento metodológico de las
habilidades matemáticas. Santiago de Cuba.
13. Secretaría de Estado de Educación (1994). Fundamentos del Currículum Tomo I. Editora Alfa y
Omega. República Dominicana.
14. ------------------------------------ Fundamentos del Currículum Tomo II. Editora Alfa y Omega.
República Dominicana.
15. -------------------------------------- Propuesta curricular. Editora Alfa y Omega. República Dominicana.
16. Álvarez de Zayas, Carlos (s/f). Epistemología de la Educación. República de Cuba.
17. ------------------------------- (1995). Metodología de la investigación científica. Centro De Estudios De
Educacion Superior "Manuel F.Gran". República De Cuba.
18. ------------------------------ (1996). Hacia una escuela de excelencia. La Habana. Editorial Pueblo y
Educación.
19. Bermúdez, R y M. Rodríguez (1996). Teoría y metodología del aprendizaje. La Habana. Editorial Pueblo y Educación.
20. López Fernández, Ana Gloria (1998). El Aprendizaje Significativo De La Matemática En El Nivel
Medio Básico. Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona. República de Cuba.
21. Barcia Martínez, Robert (2000). La preparación geométrica de los estudiantes de la
licenciatura en educación primaria. Universidad Carlos Rafael Rodríguez. Cienfuego. República
de Cuba.
22. Estrada Aguilera, Pablo Ernesto (2000). Una concepción metodológica para la enseñanza de la
matemática en los institutos politécnicos agrícolas. Instituto Superior Pedagógico Enrique José
Varona. República de Cuba.
23. Hernández Rojas, Gerardo; “Paradigmas de la psicología educativa”, en fundamentos del
desarrollo de la tecnología educativa. bases socio psicopedagógicas; ILCE. México. 1999.
24. Colunga Santos, Silvia (2006). Aprendizaje, inteligencia y creatividad. su estimulación a través del
proceso docente-educativo; Universidad de Camagüey, Cuba.
25. Marín Rodríguez, Carmen (2006). La categoría actividad su importancia en la dirección eficiente
del proceso docente educativo; Universidad de Camagüey.
26. Mitians Martínez, Albertina (2006). La escuela y el desarrollo de la creatividad. Universidad de La
Habana.
27. Para comprender el aprendizaje. Instituto Superior Pedagógico "Enrique José Varona". República
de Cuba.
28. Montes de Oca Recio, Nancy; Machado Ramírez, Evelio F. (2004). La formación y desarrollo de
habilidades en el proceso docente-educativo; Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona.
República de Cuba.
29. Pérez castillo, Juan Carlos (1999). Metodología para el tratamiento de las expresiones decimales
en la escuela primaria. Universidad de Cienfuegos “Carlos Rafael Rodríguez”. República de Cuba.
30. Colunga Santos, Silvia y García Ruiz (s/f). Jorge. Algunas variantes de concreción de los
modelos teóricos: las estrategias, las metodologías y los programas de intervención educativa.
Universidad de Camagüey e Instituto Superior Pedagógico “José Martí” de Camagüey, Cuba.
31. Abreu Toribio, Luis Alberto (2003). Procedimiento didáctico para el diseño del proceso docente-
educativo de las funciones trigonométricas en el preuniversitario utilizando la solución de
problemas. Instituto Superior Pedagógico José de la Luz Caballero Holguín. República de Cuba.
32. ------------------------------------------ (s/f). La modelación, los modelos y su importancia para las
ciencias de la educación. Universidad de Camagüey e Instituto Superior Pedagógico “José Martí”
de Camagüey, Cuba.
33. Rebollar Morote, Alfredo (2000). Una variante para la estructuración del proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática, a partir de una nueva forma de organizar el contenido, en la
escuela media cubana. Instituto Superior Pedagógico "Frank País García". República de Cuba.
34. Fernández González, José (s/f). Qué piensan los profesores de cómo se debe enseñar. Instituto
Superior Pedagógico “José Martí” de Camagüey, Cuba.
35. Corona, Fonseca, Figueiras y Hernández (s/f). Vinculación de los fundamentos filosóficos del
método de simulación con la modelación como método científico general de investigación. Hospital
Universitario Gustavo Aldereguía Lima. Cienfuegos, Cuba.
36. Bernardino A. Almeida Carazo (2000). La integración de los componentes organizacionales del
proceso docente educativo en la evaluación del aprendizaje. República de Cuba.
37. Santos, Altagracia (2005). Educación media matemáticas 4. Editorial Santillana. República
Dominicana.
38. Baldor, Aurelio (1982). Álgebra. Ediciones y distribuciones Códice, S. A. Madrid.
39. Sierra Salcedo, Regla Alicia (s/f). Modelación y estrategia: algunas consideraciones desde una
perspectiva pedagógica. Instituto Superior Pedagógico “José Martí” de Camagüey, Cuba.
40. Colectivo de autores (s/f). Aproximación al estudio de la metodología como resultado científico.
Universidad pedagógica “Félix Varela”, santa clara, villa clara, cuba.
41. Diccionario Enciclopédico Nauta Mayor (1998). ILCE, México.
42. Peña Geraldino, Rafael (2005). Matemática Básica. Editorial Las Antillas. República Dominicana.
43. Rodríguez, María Antonia y Rodríguez, Alvarina (s/f). La estrategia como resultado científico de la
investigación educativa. Universidad Pedagógica “Félix Varela”, Santa Clara, Villa Clara, Cuba.
44. Sigarreta Almira, José María (2001). Incidencia del tratamiento de los problemas matemáticos en el formación
de valores. Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz Caballero Holguín”. República de cuba.
45. Rosales Marrero, Floro Antonio (2003), Una Alternativa para desarrollar la independencia
cognoscitiva en el aprendizaje de la Matemática a través de la formulación de preguntas. Instituto
de Formación Pedagógica José de la Luz Caballero Holguín”. República de Cuba.
46. Fuentes Toledano, Irradia (s/f). La formulación de problemas en la asignatura Matemática de la
Secundaria básica. ISP Frank, Santiago de Cuba.
47. Cruz Ramírez, Miguel (2002). Estrategia metacognitiva en la formulación de problemas para la
enseñanza de la matemática. Instituto de Formación Pedagógica José de la Luz Caballero
Holguín”. República de Cuba.
48. Prieto Valdés, Doris Vivian y Báez Olazábal Raúl (s/f). La mejora de la calidad en la enseñanza
de estadística en las carreras de ingeniería. Universidad de Camagüey.
49. Gámez García, Jorge Antonio (1997). Una propuesta didáctica para incidir en el desarrollo de la
habilidad deducción de propiedades en la enseñanza de la matemática. Instituto Superior
Pedagógico "Enrique José Varona". República de Cuba.
50. Gómez Arbelo, Julio Alexis (2000). La Habilidad Fundamentar, una estrategia didáctico-
pedagógica para su desarrollo. Instituto Superior Pedagógico "Enrique José Varona". República de
Cuba.
51. Fernández borrego, Violeta Lidia (2000). Recomendaciones metodológicas para el desarrollo de la habilidad
fundamentar mediante la enseñanza de la geometría. Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz Caballero
Holguín”. República de cuba.
52. Blanco Hernández, Maura Dolores (2000). Propuesta metodológica para la formación y desarrollo
de las habilidades definir, fundamentar y demostrar en la unidad de Geometría Plana de séptimo
grado. Instituto Superior Pedagógico "Enrique José Varona". República de Cuba.
53. Castro Hermidas, Neldi V. (1998). Una propuesta de instrucción heurística mediante la disciplina
geometría. Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz Caballero Holguín”. República de cuba.
54. Cruz Ferrás, Aldo (2002). La instrucción heurística en la enseñanza de la geometría.
República de Cuba.
55. López Fernández, Ana Gloria (1998). El aprendizaje significativo de la matemática en el nivel
medio básico. Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona. República de cuba.
56. González Rodríguez, Blanca Esther (2001). La preparación del profesor para la utilización de la
modelación matemática en el proceso de enseñanza – aprendizaje. Ministerio De Educación
Superior Universidad Central “Marta Abreu” De Las Villas. República de Cuba.
57. Alonso Berenguer, Isabel (2001). La resolución de problemas matemáticos. Una alternativa
didáctica centrada en la representación. Universidad de Oriente Centro de estudios de la
educación superior “Manuel F. Gran”. República de Cuba.
58. Sánchez Santiesteban, José L. (2002). Estrategias específicas para favorecer el proceso de
resolución de problemas sobre funciones y geometría analítica. Instituto Superior Pedagógico “José de
la Luz Caballero Holguín”. República de cuba.
59. Llivina Lavigne, Miguel Jorge (1998). “Una Propuesta Metodológica para contribuir al desarrollo
de la capacidad para resolver problemas matemáticos”. . Instituto Superior Pedagógico Enrique
José Varona. República de cuba.
60. Ferrer Vicente, Maribel (2002). la resolución de problemas en la estructuración de un sistema de
habilidades matemáticas en la escuela media cubana. Instituto Superior Pedagógico "Frank País
García". República de cuba.
61. Domínguez Vázquez, Raúl (1999). Propuesta metodológica para una enseñanza explícita de la
resolución de problemas matemáticos. Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño. (IPLAC).
62. Cala Lovaina, Ermes (2002). “El sistema de tareas como una alternativa metodológica dirigida a
la formación y desarrollo del concepto función en los escolares del noveno grado de la secundaria
básica. ”Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz Caballero Holguín”. República de cuba.
63. Matos Hernández, Eneida y Fuentes González, Homero (s/f). El informe de tesis: un tipo de
texto argumentativo, sus contradicciones. CEES “Manuel F. Gran”, Universidad de Oriente.
64. M. Martínez (s/f). Comportamiento humano. Universidad de Camagüey e Instituto Superior
Pedagógico “José Martí” de Camagüey, Cuba.
65. Marrero Ramírez, Oscar S. (2000). Una alternativa para la preparación matemática de los
alumnos de duodécimo grado en la provincia de Camagüey. Instituto Superior Pedagógico
“José Martí” Camagüey. República de cuba.
66. Hernández Benítez, José Angel (2003). La visualización como alternativa didáctica para la
enseñanza del cálculo infinitesimal. ”Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz Caballero Holguín”.
República de cuba.
67. Corral, Roberto (s/f). Tendencias pedagógicas contemporáneas. Universidad de La Habana, Cuba.
68. Barberis, María Silvana(s/f). Resolución de problemas de matemática. Desarrollo de una nueva
estrategia metodológica personalizada. Universidad Nacional de las Pampas.
69. Montes de Oca Recio, Nancy (2003). La argumentación en el lenguaje de la matemática: su
contextualización en la asignatura de Geometría I. Camagüey.
70. Rodríguez, María Antonia y Rodríguez, Alvarina (s/f). La estrategia como resultado científico de
la investigación educativa. Universidad Pedagógica “Félix Varela”, Santa Clara, Villa Clara, Cuba.
71. Hurtado Curbelo, Fermín José (2003). La habilidad procesar datos cuantitativos en la enseñanza
de la matemática de la secundaria básica Instituto Central De Ciencias Pedagógicas Ministerio De
Educación República De Cuba.
72. Ortega Valdez, Eloy (s/f). El sistema de tarea para el trabajo independiente creativo de los alumnos
en la enseñanza de la matemática en el nivel medio superior. Universidad de Cienfuego “Carlos
Rafael Rodríguez”. República De Cuba.
73. Sierra Salcedo, Regla Alicia (s/f).Modelación y estrategia: algunas consideraciones desde una
perspectiva pedagógica. República De Cuba.
74. Colectivo de Autores Aproximación al estudio de la metodología como resultado científico.
Universidad Pedagógica “Félix Varela”, Santa Clara, Villa Clara, Cuba.
75. Hernández Matos, Eneida y Fuentes González, Homero (s/f). El informe de tesis: un tipo de
texto argumentativo, sus contradicciones. CEES “Manuel F. Gran”, Universidad de Oriente.
76. Ortiz Torres, Emilio (s/f). El peligro del eclecticismo en las investigaciones psicopedagógicas
contemporáneas. El caso de las concepciones de Vigotsky y Piaget. Universidad de Holguín
"Oscar Lucero Moya". Cuba.
77. Vega, Luís (s/f). Argumentación. República De Cuba.
78. Ortiz Torres, Emilio (s/f). El peligro del eclecticismo en las investigaciones psicopedagógicas
contemporáneas. El caso de las concepciones de Vigotsky y Piaget. Universidad de Holguín
"Oscar Lucero Moya". CUBA.
79. Colectivo de Investigadores (2002). Orientaciones para la elaboración de los informes de
proyectos de investigación. Instituto Superior Pedagógico “José Martí” de Camagüey, Cuba.
80. Dolores, Crisólogo (2005). Algunos aspectos de la socioepistemología y la visualización en el aula.
Universidad Autónoma de Guerrero. Madrid-Buenos Aires-México.
81. Báez Olazábal, Raúl (s/f). Desarrollo y formación de habilidades en la asignatura de estadística
en contexto de universalización de la enseñanza. Universidad de Camaguey. Cuba.
82. Colectivo de Autores (s/f). Teoría de la educación. Instituto Central de Ciencias Pedagógicas,
Cuba.
83. Valera Alfonso, orlando (s/f). Problemas actuales de la pedagogía y la psicología pedagógica.
Instituto Central de Ciencias Pedagógicas, Cuba.
84. Chávez Rodríguez, Justo A. (s/f). Actualidad de las tendencias educativas. Instituto Central de
Ciencias Pedagógicas, Cuba.
85. Secretaría de Educación Pública (2006). Aprende a enseñar matemática en la escuela secundaria.
Argentina.
86. Báez, Prieto y González (s/f). Desarrollo de habilidades en la asignatura de estadística en contexto
de universalización de la enseñanza. Sistema didáctico digital. Universidad de Camaguey. Cuba.
87. Palacio Salazar, Daniela (2007). Enseñanza de simetrías matemáticas a través del arte: Propuesta
para promover un estudio integral. Caracas, Venezuela.
88. Rodríguez Ada G. Sanz, Teresa (s/f). Tendencias Pedagógicas Contemporáneas. Universidad de
La Habana, Cuba
89. Campos Campos, Yolanda (1972). Hacia una didáctica de la matemática en la educación
secundaria. Tesis. México.
90. ---------------------------------------. (1999) Paradigmas psicoeducativos. México.
91. Bravo Estévez, María de Lourdes y Arrieta Gallastegui, José Joaquín (s/f). El método Delphi. Su
implementación en una estrategia didáctica para la enseñanza de las demostraciones
geométricas. Universidad de Cienfuegos, Cuba y Universidad de Oviedo, España.
92. Díaz Abanto, Marcos (2004). Orientaciones para el trabajo pedagógico. Ministerio de Educación
de la República del Perú.
93. Ortiz Ocaña, Alexander Luís (2005). El aprendizaje desarrollador: Una nueva estrategia
pedagógica. Centro de Estudios Pedagógicas y Didácticos Barranquilla. República de Cuba.
