Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal ...

ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL

RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ.

MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ, COLOMBIA

JUNIO DE 2011

___________________________________

FIRMA

_________________________

FECHA







BOGOTÁ, COLOMBIA

JUNIO DE 2011



TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL


DIRECTOR

DANIEL MAURICIO RUIZ VALENCIA

INGENIERO CIVIL M.Sc.




BOGOTÁ, COLOMBIA

JUNIO DE 2011

Bogotá, 11 de Julio de 2011

Ingeniera

Sandra Patricia Jarro Sanabria

Directora de Carrera

Ingeniería Civil

Pontificia Universidad Javeriana

Apreciada Ingeniera:

Por medio de la presente hacemos entrega del proyecto de grado titulado: “ESTIMACIÓN

DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE

PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ”.

Atentamente,

Maria Claudia Borrero Chaux

C.C.: 1 020 752 060

REGLAMENTO DE LA PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Art. 23 de la resolución No. 13 del 6 de Julio de 1964

“La Universidad no se hace responsable por los conceptos emitidos por sus alumnos en sus trabajos de tesis. Solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque las tesis no contengan ataques o polémicas puramente personales; antes bien, se ve en ellas el anhelo de buscar la verdad y la justicia”.

FORMATO DE DESCRIPCIÓN DE LA TESIS

AUTOR (O AUTORES)

Apellidos Borrero Chaux Nombres Maria Claudia .

TÍTULO DEL TRABAJO



CIUDAD BOGOTÁ AÑO DE ELABORACIÓN 2011 .

NÚMERO DE PÁGINAS 188

TIPO DE ILUSTACIONES Esquemas de Word, modelos en SAP2000, esquemas de

AutoCAD, gráficas en Excel y esquemas de Bestfit. .

MATERIAL ANEXO Esquemas de SAP2000, esquemas de Bestfit, archivos Microsoft

Excel. .

FACULTAD Ingeniería PROGRAMA Ingeniería Civil

TÍTULO OBTENIDO Ingeniero Civil

MENCIÓN

DESCRIPTORES

Deriva elástica, deriva inelástica, análisis no lineal estático, variabilidad de las

propiedades mecánicas de los materiales, análisis no lineal Pushover, cortante basal

resistente.

Bogotá, 11 de Julio de 2011

Señores

BIBLIOTECA GENERAL

Pontificia Universidad Javeriana

Ciudad

Respetados Señores,

Autorizo a los interesados, consultar y reproducir (parcial o totalmente) el contenido del

trabajo de grado titulado: “ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL

CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN

BOGOTÁ”, presentado por la estudiante Maria Claudia Borrero Chaux como requisito para

optar por el título de Ingeniero Civil, en el año 2011, siempre que mediante la

correspondiente cita bibliográfica se les dé crédito al trabajo de grado y a sus autores.

Atentamente,


C.C.: 1 020 752 060

AGRADECIMIENTOS

La autora agradece cordialmente a:

CESAR AUGUSTO BORRERO GARCÍA, Ingeniero Civil, padre maravilloso y ejemplo de

vida, por su apoyo, su dedicación y su amor.

A mi madre, mi hermano, mis familiares, mis amigos y todos aquellos conocidos y

desconocidos que me apoyaron, colaboraron y acompañaron incondicionalmente durante

la realización del trabajo.

RICARDO JARAMILLO RIVERA y CARLOS EDUARDO RIVEROS PEDRAZA,

compañeros de estudio y futuros ingenieros civiles, por su gran colaboración y su eterna

paciencia.

DANIEL MAURICIO RIUZ VALENCIA, Ingeniero Civil y Director del trabajo grado, por la

colaboración, las enseñanzas, las correcciones, la confianza y la paciencia durante el

desarrollo del trabajo.

A mis padres, mi hermano y mi familia.

A todos aquellos que sueñan.

Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.

Introducción Página 11 de 188

TABLA DE CONTENIDO

1 Introducción ............................................................................................................. 27

1.1 Objetivos............................................................................................................ 29

1.1.1 Objetivo general ......................................................................................... 29

1.1.2 Objetivos específicos .................................................................................. 29

1.2 Alcance .............................................................................................................. 29

2 Marco teórico ........................................................................................................... 30

2.1 Conceptos básicos del análisis no lineal ............................................................ 30

2.1.1 Análisis no lineal por la geometría .............................................................. 30

2.1.2 Análisis no lineal por el material .................................................................. 31

2.2 Materiales .......................................................................................................... 32

2.2.1 Concreto inconfinado .................................................................................. 32

2.2.2 Concreto confinado ..................................................................................... 34

2.2.3 Acero de refuerzo ....................................................................................... 35

2.3 Diagrama momento curvatura ............................................................................ 36

2.3.1 Determinación de la curva teórica del diagrama M-f para vigas

simplemente reforzadas ........................................................................................... 38

2.3.1.1 Punto A: primer agrietamiento ........................................................... 41

2.3.1.2 Punto B: punto de fluencia del acero ................................................. 42

2.3.1.3 Punto C punto último ......................................................................... 44

2.3.2 Determinación de la curvatura teórica del diagrama M – φ para columnas . 46

2.3.2.1 Punto A: Primer agrietamiento .......................................................... 48

2.3.2.2 Punto B: Punto de fluencia del acero a tensión ................................. 48

2.3.2.3 Punto C punto ultimo ......................................................................... 51

2.4 Nivel de desempeño de las estructuras ............................................................. 53

2.4.1 Elementos estructurales ............................................................................. 53

2.4.2 Elementos no estructurales ........................................................................ 55


Página 12 de 188 Introducción

2.4.3 Nivel global de desempeño ......................................................................... 55

2.5 Respuesta histerética ........................................................................................ 57

2.6 Deriva inelástica ................................................................................................ 62

2.7 Variabilidad de las propiedades mecánicas de los materiales de Bogotá........... 64

2.7.1 Concreto ..................................................................................................... 64

2.7.2 Acero de refuerzo ....................................................................................... 68

3 Análisis de la variabilidad de los materiales ............................................................. 70

3.1 Concreto ............................................................................................................ 70

3.2 Acero de refuerzo .............................................................................................. 74

3.3 Generación de números aleatorios ................................................................... 82

3.4 Fórmula para determinar el módulo de elasticidad ............................................. 85

4 Diseño de pórticos ................................................................................................... 88

4.1 Metodología de diseño....................................................................................... 90

4.1.1 Avalúo de Cargas. ...................................................................................... 90

4.1.1.1 Carga muerta .................................................................................... 91

4.1.1.2 Carga viva ......................................................................................... 93

4.2 Metodología de Análisis ..................................................................................... 94

4.2.1 Dimensionamiento de elementos estructurales ........................................... 95

4.2.2 Modos de vibración. .................................................................................... 97

4.2.3 Diseño de concreto reforzado. .................................................................... 99

5 Deriva Elástica ....................................................................................................... 104

5.1 Visual Basic ..................................................................................................... 105

5.2 Piedemonte-B .................................................................................................. 107

5.2.1 Análisis dinámico elástico espectral .......................................................... 108

5.2.2 Fuerza Horizontal Equivalente .................................................................. 112

5.3 Lacustre-500 .................................................................................................... 117



5.3.1 Análisis dinámico elástico espectral .......................................................... 117

5.3.2 Fuerza Horizontal Equivalente .................................................................. 121

5.4 Análisis de resultados ...................................................................................... 126

6 Deriva inelástica ..................................................................................................... 130

6.1 Visual Basic ..................................................................................................... 131

6.2 Piedemonte-B .................................................................................................. 136

6.3 Lacustre-500 .................................................................................................... 157

6.4 Análisis de resultados ...................................................................................... 175

7 Cortante basal resistente ....................................................................................... 177

7.1 Piedemonte-B .................................................................................................. 177

7.2 Lacustre-500 .................................................................................................... 179

8 Conclusiones y recomendaciones .......................................................................... 182

9 Referencias ............................................................................................................ 185



ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2-1 Propiedades de la sección ............................................................................... 42

Tabla 2-2 Propiedades de la sección ............................................................................... 47

Tabla 2-3 Niveles de desempeño. Tomado de (ATC-40, 1996)....................................... 57

Tabla 2-4 Pasos para ir de carga a deflexión en sistemas elásticos. Teoría de Navier.

Tomado de (García, 1998) ............................................................................................... 59

Tabla 2-5 Valores estadísticos para el total de barras ensayadas. Tomado de (González et

al, 2005) ........................................................................................................................... 69

Tabla 3-1 Análisis estadístico Resistencia a la compresión del concreto (f'c) .................. 71

Tabla 3-2 Análisis estadístico Módulo elástico del concreto (E). ..................................... 73

Tabla 3-3 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) ............................................. 75

Tabla 3-4 Análisis estadístico Resistencia última (fu) ....................................................... 76

Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1" ................ 78

Tabla 3-6 Análisis estadístico Resistencia última (fu) para barras de 1”. ......................... 80

Tabla 3-7 Análisis estadístico fu/fy ................................................................................... 81

Tabla 3-8 Análisis estadístico de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión

del concreto (f'c) .............................................................................................................. 83

Tabla 3-9 Análisis estadístico de 1000 valores aleatorios de la resistencia a la fluencia (fy)

........................................................................................................................................ 84

Tabla 4-1 Características de los materiales ..................................................................... 89

Tabla 4-2 Características espectros de diseño ................................................................ 89

Tabla 4-3. Características de la losa de entrepiso............................................................ 91

Tabla 4-4. Avalúo de carga muerta para pisos intermedios. ............................................. 91

Tabla 4-5. Peso por metro lineal vigas para pisos intermedios......................................... 92

Tabla 4-6. Avalúo de carga muerta para la cubierta. ........................................................ 92

Tabla 4-7. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta. .............................................. 92

Tabla 4-8. Avalúo de carga Viva. ..................................................................................... 93

Tabla 4-9. Dimensiones de elementos estructurales ........................................................ 96

Tabla 4-10 Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para

Piedemonte-B. ................................................................................................................. 98

Tabla 4-11. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa Lacustre-

500. ................................................................................................................................. 99

Tabla 4-12 Refuerzo para pórtico Lacustre. ................................................................... 101



Tabla 4-13 Refuerzo para pórtico Piedemonte ............................................................... 103

Tabla 5-1 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del

espectro - Piedemonte. .................................................................................................. 109

Tabla 5-2 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método del

espectro - Piedemonte. ................................................................................................. 110


espectro - Piedemonte. .................................................................................................. 110

Tabla 5-4 Fuerza horizontal equivalente - Piedemonte. ................................................ 112

Tabla 5-5 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE -

Piedemonte.................................................................................................................... 113

Tabla 5-6 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método FHE -

Piedemonte.................................................................................................................... 114

Tabla 5-7 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE –

Piedemonte.................................................................................................................... 115


espectro. Lacustre. ........................................................................................................ 118


espectro – Lacustre. ...................................................................................................... 119


espectro - Lacustre. ....................................................................................................... 120

Tabla 5-11 Fuerza Horizontal Equivalente - Lacustre. ................................................... 122

Tabla 5-12 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE –

Lacustre. ........................................................................................................................ 123

Tabla 5-13 Análisis estadístico de 500 valores de deriva elástica por el método de FHE –

Lacustre. ........................................................................................................................ 124

Tabla 5-14 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE

– Lacustre. ..................................................................................................................... 124

Tabla 5-15 Resumen resultados deriva elástica para Piedemonte B.............................. 127

Tabla 5-16 Resumen resultados deriva elástica para Lacustre 500. .............................. 127

Tabla 6-1 Valores mínimos de f'c y fy. ........................................................................... 137

Tabla 6-2 Valores máximos de f'c y fy ........................................................................... 143

Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y

Pushover. ...................................................................................................................... 144

Tabla 6-4 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte. ............ 152



Tabla 6-5 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. ........... 153

Tabla 6-6 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. .......... 155

Tabla 6-7 Valores mínimos de f'c y fy ........................................................................... 157

Tabla 6-8 Valores máximos de f'c y fy ........................................................................... 162

Tabla 6-9 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y

Pushover. ...................................................................................................................... 162

Tabla 6-10 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre. .............. 170

Tabla 6-11 Análisis estadístico deriva inelástico. Nivel de daño IO - Lacustre. .............. 171

Tabla 6-12 Anbálisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. ........... 173

Tabla 6-13 Resumen de resultados deriva inelástica - Piedemonte. .............................. 175

Tabla 6-14 Resumen de resultados deriva inelástica – Lacustre.................................... 175

Tabla 7-1 Análisis estadístico cortante basal resistente - Piedemonte. .......................... 178

Tabla 7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre. ............................... 180



ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 2-1 Diagrama momento - curvatura ..................................................................... 40

Gráfica 3-1 Histograma Resistencia a la compresión del concreto (f’c). ........................... 71

Gráfica 3-2 Histograma Módulo elástico del concreto (E)............................................... 72

Gráfica 3-3 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) ...................................................... 74

Gráfica 3-4 Histograma Resistencia última (fu) ............................................................... 76

Gráfica 3-5 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". .......................... 78

Gráfica 3-6 Histograma Resistencia última (fu) para barras de 1”. ................................. 79

Gráfica 3-7 Histograma fu/fy ............................................................................................ 81

Gráfica 3-8 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la

resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema

internacional. ................................................................................................................... 85

Gráfica 3-9 Regresión estadística para el módulo de elasticidad. .................................... 87

Gráfica 4-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá. ......................... 90

Gráfica 5-1 Comportamiento de la deriva en función del número de simulaciones......... 105

Gráfica 5-2 Espectro de diseño Piedemonte-B. (Tomado de la Microzonificación sísmica

de Bogotá, Decreto 523 de 2010). ................................................................................. 107

Gráfica 5-3 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro -

Piedemonte.................................................................................................................... 108

Gráfica 5-4 Resultados típicos deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte 111

Gráfica 5-5 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE –

Piedemonte.................................................................................................................... 113

Gráfica 5-6 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. ......... 116

Gráfica 5-7 Espectro de diesño Lacustre-500. Tomado de la Microzonificación sísmica de

Bogotá. .......................................................................................................................... 117

Gráfica 5-8 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro -

Lacustre. ........................................................................................................................ 118

Gráfica 5-9 Resultados deriva elástica por el método del espectro - Lacustre ............... 121

Gráfica 5-10 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE –

Lacustre. ........................................................................................................................ 122

Gráfica 5-11 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE – Piedemonte. ....... 125

Gráfica 5-12 Probabilidad de excedencia de la deriva máxima con respecto a la deriva de

diseño. ........................................................................................................................... 129



Gráfica 6-1 Curva Pushover para valores mínimos - Piedemonte. ................................ 137

Gráfica 6-2 Curva Pushover para valores máximos – Piedemonte ............................... 143

Gráfica 6-3 Resultados típicos de Pushover para Piedemonte....................................... 150

Gráfica 6-4 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Piedemonte. ........ 156

Gráfica 6-5 Curva Pushover para valores mínimos – Lacustre ..................................... 158

Gráfica 6-6 Curva Pushover para valores máximos – Lacustre ...................................... 162

Gráfica 6-7 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Lacustre. (Tomado de

Bestfit). .......................................................................................................................... 169

Gráfica 6-8 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Lacustre ............. 174



ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2-1 Diferencia de la respuesta entre análisis lineal y no lineal. Tomado de

http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm ............................................................. 30

Figura 2-2 Análisis no lineal por la geometría de una estructura Tomado de

http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm ............................................................. 31

Figura 2-3 Carga y descarga de la unión viga – columna de acero bajo cargas dinámicas.

Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm .......................................... 31

Figura 2-4 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto inconfinado. (Tomado

de XTRACT, 2004) .......................................................................................................... 33

Figura 2-5 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto confinado. (Tomado

de XTRACT, 2004) .......................................................................................................... 34

Figura 2-6 Curva esfuerzo - deformación para el acero. (Tomado de XTRACT, 2004) .... 35

Figura 2-7 Deformaciones unitarias de un elemento sometido a flexión. Tomado de (Ruiz,

2000) ............................................................................................................................... 37

Figura 2-8 Curva típica del diagrama de momento-curvatura de una sección sub reforzada

(cuantía menor a la balanceada). Tomado de (Ruiz, 2000).............................................. 38

Figura 2-9 Curva teórica para el diagrama momento – curvatura para sección

sobrerreforzada. Tomado de (Ruiz, 2000) ....................................................................... 38

Figura 2-10 Dimensiones de la sección transversal. Tomado de (Ruiz,2000) .................. 40

Figura 2-11 Dimensiones de la sección transversal de una viga en concreto reforzado.

Tomado de (Ruiz, 2000) .................................................................................................. 42

Figura 2-12 Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz,

2000) ............................................................................................................................... 43

Figura 2-13 Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de resistencia última de la

sección. Tomado de (Ruiz, 2000) .................................................................................... 44

Figura 2-14 Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado.

Tomado de (Ruiz, 2000) .................................................................................................. 46

Figura 2-15 Propiedades geométricas de una columna de concreto reforzado. Tomado de

(Ruiz, 2000) ..................................................................................................................... 47

Figura 2-16 Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz,

2000) ............................................................................................................................... 50

Figura 2-17 Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de sección. Tomado

de (Ruiz, 2000) ................................................................................................................ 52



Figura 2-18 Curva de capacidad típica. Tomado de (ATC-40, 1996)............................... 54

Figura 2-19 Estructura somedita a un evento sísmico. Tomado de (Crisafulli, 2002) ...... 58

Figura 2-20 Curva esfuerzo - deformación para un material inelástico. Tomado de

(García, 1998) .................................................................................................................. 58

Figura 2-21 Curva típica de momento-giro de una viga de concreto reforzado. Tomado de

(Marín, 2004) ................................................................................................................... 59

Figura 2-22 Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. Tomado de (García y

Ramírez, 2004) ................................................................................................................ 61

Figura 2-23 Modelos de histéresis. Adaptada de (García, 1998)...................................... 62

Figura 2-24Deriva máxima en ensayos para a) Todos los especímenes y b) Especímenes

que no fueron llevados a la falla. (Tomado de Dymiotis,Ch.et al.,1999) ........................... 63

Figura 2-25 Regresión estadística que dió origen a la fórmula del módulo de elasticidad de

la referencia AIS (1998) (promedio nacional). Extractado (escaneado) de Cortés, Zabaleta

y Amézquita (1995) .......................................................................................................... 66

Figura 2-26 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la

resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema

internacional. Tomado de: Ruiz, Vacca y León, 2007 ...................................................... 67

Figura 3-1 Distribución de probabilidad Resistencia a la compresión del concreto (f'c).

(Tomado de Bestfit) ......................................................................................................... 72

Figura 3-2 Distribución de probabilidad Módulo de elasticidad del concreto (E). Tomado

de Bestfit .......................................................................................................................... 73

Figura 3-3 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy). Tomado de Bestfit

........................................................................................................................................ 75

Figura 3-4 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu). Tomado de Bestfit. ....... 77

Figura 3-5 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1".

Tomado de Bestfit. ........................................................................................................... 79

Figura 3-6 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu) para barras de 1”. Tomado

de Bestfit. ......................................................................................................................... 80

Figura 3-7 Distribución de probabilidad de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la

compresión del concreto (f'c). Tomado de Bestfit. ............................................................ 83

Figura 3-8 Distribución de probabilidad de 1000 valores aleatoreos del esfuerzo de

fluencia del acero (fy). (Tomado de Bestfit). ..................................................................... 84

Figura 4-1. Planta Típica adaptada de García (1996). ..................................................... 88



Figura 4-2. Esquema pórtico eje 3. .................................................................................. 88

Figura 4-3 Sección transversal losa. ................................................................................ 91

Figura 4-4. Asignaciones de carga muerta. Tomado de SAP2000® ................................ 93

Figura 4-5. Asignación de carga viva. (Tomado de SAP2000®)....................................... 94

Figura 4-6 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Piedemonte. Tomado de

SAP2000® ........................................................................................................................ 96

Figura 4-7 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Lacustre. Tomado de

SAP2000® ........................................................................................................................ 97

Figura 4-8 Orientación y dimensiones columnas Lacustre. ............................................ 100

Figura 4-9 Orientación columnas para pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000® .......... 100

Figura 4-11Sección transversal COLY. Lacustre ........................................................... 101

Figura 4-10 Sección transversal COLCENTRO. Laustre ................................................ 101

Figura 4-12 Sección transversal CCENTRO. Lacustre ................................................... 101

Figura 4-15 Orientación y dimensiones columnas Piedemonte. ..................................... 102

Figura 4-16 Orientación columnas para pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000®.... 102

Figura 4-14 Sección transversal Viga 5. Lacustre .......................................................... 102

Figura 4-13 Sección transversal Viga 1-4. Lacustre ....................................................... 102

Figura 4-18 Sección transversal COLCENTRO. Piedemonte ......................................... 103

Figura 4-17 Sección transversal COLY. Piedemonte ..................................................... 103

Figura 4-19 Sección transversal Viga5. Piedemonte. ..................................................... 103

Figura 4-20 Sección transversal Viga 1-4. Piedemonte. ................................................. 103

Figura 5-1 Distribución de probabilidad para 1000 valores de deriva elástica por el método

del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). ........................................................... 109

Figura 5-2 Distribución de proabilidad para 500 valores de deriva elástica por el método

del espectro – Piedemonte. (Tomado de Bestfit) ........................................................... 110

Figura 5-3 Distribución de probabilidad para 1500 valores de deriva elástica por el método

del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) ............................................................ 111

Figura 5-4 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el

método de FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). ...................................................... 114


método FHE – Piedemonte. (Tomado de Bestfit). .......................................................... 115


método FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). ........................................................... 115




método del espectro – Lacustre. (Tomado de Bestfit). ................................................... 119


método del espectro - Lacustre. (Tomado de Bestfit). .................................................... 120


método del espectro. (Tomado de Bestfit). .................................................................... 120


método FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit). ............................................................... 123


método de FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit). .......................................................... 124


método de FHE - Lacustre. (Tomado de Bestfit). ........................................................... 125

Figura 5-13 Deriva máxima permitida en la NSR-10. (Tomado de (AIS, 2010)). ............ 126

Figura 5-14 Análisis estadísticos y funciones de distribución de probabilidad ajustada para

la deriva de los dos edificios diseñados (con Piedemonte B y con Lacustre 500) y para

análisis modal espectral y para fuerza horizontal equivalente ........................................ 128

Figura 6-1 Diagrama de momento rotación con los niveles de daño ............................. 130

Figura 6-4 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA5. ......................................................... 136

Figura 6-2 Sección transversal COLY ............................................................................ 136

Figura 6-3 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®). ....................... 136

Figura 6-5 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos -

Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 138































Figura 6-20 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- máximos -
































Figura 6-35 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Piedemonte. (Tomado de

Bestfit). .......................................................................................................................... 151

Figura 6-36 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte.

...................................................................................................................................... 152

Figura 6-37 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte.

(Tomdado de Bestfit) ..................................................................................................... 154

Figura 6-38 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS -

Piedemonte. (Tomado de Bestfit). .................................................................................. 155

Figura 6-39 Sección transversal CCENTRO. (Tomado de SAP2000®).......................... 157

Figura 6-40 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®) ...................... 157

Figura 6-41 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA 5. (Tomado de SAP2000®) ............... 157

Figura 6-42 Sección transversal COLY. (Tomado de SAP2000®) .................................. 157


Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 158








Lacustre. Tomado de SAP2000®. ................................................................................... 159









































Figura 6-66 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre.

(Tomado de Bestfit). ...................................................................................................... 170

Figura 6-67 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño IO - Lacustre.


Figura 6-68 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre.


Figura 6-69 Deriva inelástica. (Tomado de (AIS, 2010)) ................................................ 176

Figura 7-1 Distribución de probabilidad cortante basal resistente – Piedemonte. (Tomado

de Bestfit) ...................................................................................................................... 179

Figura 7-2 Distribución de probabilidad cortante basal resistente - Piedemonte. (Tomado

de Bestfit) ...................................................................................................................... 180



1 INTRODUCCIÓN

Los parámetros más importantes que utilizan los ingenieros calculistas para el diseño de

edificaciones de concreto reforzado son: Módulo de elasticidad, resistencia a la

compresión del concreto a los 28 días, el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo, la

geometría de los elementos estructurales, las cargas y la ubicación y la cantidad del acero

de refuerzo. Al tener en cuenta simultáneamente esas variables, se diseñan las

edificaciones de acuerdo con la normatividad existente (ACIS,2010).

Para considerar la variabilidad de la resistencia de los materiales y de las cargas que

actúan sobre los sistemas estructurales, se utiliza desde hace más de 25 años en

Colombia el método LRFD (Load and Resistance Factor Design), en el cual se mayoran

las cargas y se disminuyen las resistencias con el fin de tener adecuados valores de

factores de seguridad. Este método de diseño parte de análisis probabilísticos cuyo

fundamento se explica en detalle en (Sánchez, 2004). Dichas combinaciones de carga

fueron derivadas para el diseño estructural de elementos, más no para evaluar los

desplazamientos que se presentan en un sistema estructural que ha sido afectado por

cargas externas. Sin embargo, en la actualidad se utilizan dichas combinaciones de carga

tanto para el diseño como para evaluar la flexibilidad.

En el caso específico de Bogotá la carga sísmica es la que normalmente controla el

diseño de los edificios; siendo la deriva sísmica uno de los parámetros que mayor

influencia tiene en el tamaño de los elementos estructurales. La deriva elástica depende

de tres parámetros básicamente: la carga sísmica, el módulo de elasticidad del concreto,

y las dimensiones de los elementos estructurales. Según la referencia (Gallego y Sarria,

2006) la incertidumbre del módulo de elasticidad aumenta la incertidumbre de la rigidez de

un sistema estructural; y se menciona que estudios de confiabilidad han establecido que

los resultados de los modelos numéricos pueden dar errores de hasta el 30% de la

estimación real de los desplazamientos de un edificio. Esto puede ser la diferencia entre

un desastre y la supervivencia de los elementos estructurales y no estructurales de una

edificación.

De acuerdo con la referencia (Ruiz, Vacca y León, 2007) para el caso de Bogotá y para el

concreto de 21MPa, el concreto puede tener un módulo de elasticidad que varía entre

7500MPa y 22500MPa. Esta variación automáticamente genera que las derivas



calculadas mediante modelos numéricos sean diferentes a las reales y corrobora las

anotaciones que hicieron (Gallego y Sarria, 2006).

Por otro lado, la deriva inelástica calculada mediante análisis no lineales estáticos de

Pushover, como los descritos en (ATC40, 1996), depende tanto de la rigidez inicial de los

materiales como de sus valores de resistencia: Resistencia a la compresión del concreto a

los 28 días, y esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (f’c y fy). De acuerdo con (DIACO

y CIMOC 2000) y (Ruiz, Vacca y León, 2007), fy y f’c también son variables aleatorias.

Específicamente en el estudio de (DIACO y CIMOC, 2000) se estableció que el

coeficiente de variación para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en el

país era del 7%. Sin embargo, para el caso específico de Bogotá no se han encontrado

publicaciones que muestren dicha variación; siendo este uno de los objetivos específicos

del trabajo que se va a realizar.

En la literatura técnica y científica nacional, no abundan análisis de confiabilidad que

consideren comportamientos inelásticos del concreto reforzado sometidos a carga sísmica

y usando materiales colombianos. Dentro de los pocos documentos que estudiaron este

tema está el de (Muñoz et al, 2005) y (Prieto et al, 2005) en donde se realizaron análisis

de confiabilidad para una edificación indispensable (hospital) que no fue construido con la

norma sismoresistente vigente. De acuerdo con todo lo anterior existe un vacío

conceptual de la variabilidad que pueden tener las derivas elásticas e inelásticas así como

el cortante basal resistente de edificaciones de concreto construidas en Bogotá. Es

precisamente este vacío el que pretende llenar el presente trabajo.



1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo general

Evaluar la variabilidad de la deriva elástica e inelástica y del cortante basal resistente de

pórticos de concreto reforzado diseñados con la NSR-10 y con la microzonificación

sísmica de Bogotá.

1.1.2 Objetivos específicos

Determinar la variación del esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en

Bogotá.

Estimar las funciones de distribución de probabilidad de la deriva inelástica con

base en análisis no lineales estáticos de Pushover.

Determinar la variación en el comportamiento estructural de pórticos de concreto

reforzado considerando la aleatoriedad de las propiedades mecánicas del concreto

y el acero usados en Bogotá.

1.2 ALCANCE

El alcance de este trabajo está definido por las siguientes limitaciones:

El estudio realizado sólo es aplicable a Estructuras construidas en Concreto

Reforzado de acuerdo con la NSR-10 y la Microzonificación Sísmica para Bogotá

(2010).

El análisis de las edificaciones se realizó mediante modelos computacionales, por

lo cual constituye un análisis teórico y no hay verificación experimental del mismo.

El análisis se realizó en pórticos planos y no se tuvo en cuenta los efectos

tridimensionales ni de la cimentación.


Página 30 de 188 Marco teórico

2 MARCO TEÓRICO

(Adaptado de Romero, A; Becerra, O (2006))

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS NO LINEAL

El análisis lineal asume que la relación entre cargas y desplazamientos resultantes es

lineal, es decir, se cumple el principio de superposición: si se duplica la magnitud de la

carga se obtiene el doble de respuesta del modelo (desplazamientos, deformaciones y

tensiones resultantes). Sin embargo, todas las estructuras construidas se comportan de

forma no lineal a partir de un cierto nivel de la carga. Por tanto, un análisis lineal como el

que se realiza normalmente, puede ser adecuado, pero en otros muchos la solución lineal

producirá resultados erróneos, en cuyo caso se deberá realizar un análisis no lineal,

tomando en cuenta la fluencia y la falla de los elementos.

Figura 2-1 Diferencia de la respuesta entre análisis lineal y no lineal. Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm

2.1.1 Análisis no lineal por la geometría

En el análisis no lineal, una importante fuente de no linealidades se debe al efecto de los

grandes desplazamientos en la configuración geométrica global de la estructura. En un

análisis lineal los desplazamientos inducidos son muy pequeños, de tal forma que se

ignoran los cambios de rigidez de la estructura causados por las cargas. En cambio, las

estructuras y las características mecánicas de los materiales con grandes

desplazamientos pueden experimentar importantes cambios en la geometría debido a que

las cargas inducidas por la deformación pueden provocar una respuesta no lineal de la

estructura en forma de rigidización (stress stiffening) o ablandamiento (stress softening).


Marco teórico Página 31 de 188

Figura 2-2 Análisis no lineal por la geometría de una estructura Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm

2.1.2 Análisis no lineal por el material

Otra importante causa de no linealidad se debe a la relación no lineal existente entre

esfuerzo y deformación. Esta situación ocurre cuando el material no sigue la Ley de Hook,

es decir, los esfuerzos no son directamente proporcionales a las deformaciones. Algunos

materiales se comportan linealmente sólo si las deformaciones son muy pequeñas, pero a

medida que la deformación o la carga aumentan, la relación deja de ser lineal.

Existen diferentes factores que hacen que un material tenga un comportamiento no lineal

como la dependencia de la curva de esfuerzo-deformación del material de la historia de

cargas (problemas con plasticidad), la duración de la carga (análisis de fluencia - creep) o

la temperatura (problemas termo-plásticos). Un ejemplo de comportamiento no lineal por

el material es el caso de plastificación de la unión viga-columna de acero durante un

sismo.

Figura 2-3 Carga y descarga de la unión viga – columna de acero bajo cargas dinámicas. Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm



2.2 MATERIALES

Los elementos estructurales están hechos de concreto reforzado y según (AIS, 2010),

siempre se debe colocar refuerzo transversal al eje del elemento, aunque sea con la

cuantía mínima, esto hace que los elementos tengan una zona de concreto confinada lo

que hace que la resistencia a la compresión de los elementos estructurales sea mayor.

Según (Ruiz, 2000), el concreto sin confinamiento, cargado uniaxialmente en compresión

tiene una relación de Poisson del orden de 0.15 a 0.20 en los estados iniciales de carga

cuando se introducen niveles de deformación axial altos. Las deformaciones transversales

se vuelven muy grandes debido a una microfisuración progresiva interna, lo cual conlleva

a un aumento del volumen del concreto, cuando los esfuerzos se acercan a los valores de

la resistencia no confinada del concreto. La falla ocurre por ruptura longitudinal del

concreto. Cuando hay refuerzo transversal, se sabe que a niveles bajos de deformación

longitudinal el refuerzo transversal está sometido a esfuerzos muy bajos y por lo tanto

está en un estado no confinado. Por esta razón la curva esfuerzo-deformación presentada

por Kent y Park es la misma para concreto confinado y no confinado para deformaciones

unitarias inferiores a 0.002. Se supone que a estos valores de deformación unitaria y por

lo tanto de esfuerzos, el refuerzo transversal no está confinando el núcleo central del

elemento estructural, en cuanto el volumen de concreto no se ha expandido lo suficiente

por efectos del módulo de Poisson del material. En la medida que las deformaciones

transversales se hacen mayores, el refuerzo transversal induce confinamiento en el

concreto del núcleo. Por lo tanto, el refuerzo transversal aplica una presión de

confinamiento pasiva la cual mejora substancialmente la relación esfuerzo-deformación

del concreto para valores altos de deformación.

2.2.1 Concreto inconfinado

En la Figura 2-4 se muestra la curva característica de esfuerzo – deformación para el

concreto inconfinado conocida como la curva de Mander para el concreto inconfinado.



Figura 2-4 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto inconfinado. (Tomado de XTRACT, 2004)

Donde:

ξcc = Deformación unitaria del concreto en la máxima resistencia (0.002)

ξcu = Deformación última del concreto

ξsp = Deformación de descascaramiento

f´c = Resistencia de compresión del concreto a los 28 días

fcu = Esfuerzo para la deformación ξcu

fcp = Resistencia del concreto después del descascaramiento

Ec = Módulo de elasticidad del concreto

Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el

cual se obtiene la curva que se muestran en la referencia (Mander, 1988) son las

siguientes:

Cuando la deformación es lenta y hasta que llega a f´c

r

cc

cxr

rxff

1

**´ (Ec 2.1)

cc

cx

(Ec 2.2)



secEE

Er

c

c

(Ec 2.3)

Donde:

f´cc = Resistencia a la compresión del concreto confinado

ξc = Deformación longitudinal a compresión del concreto

Ec = Módulo de elasticidad tangente del concreto

Esec = Módulo de elasticidad secante

Cuando la deformación unitaria es menor a la deformación de descascaramiento se utiliza

la siguiente ecuación:

ucsp

cucucpcuc ffff

* (Ec 2.4)

Esta resistencia para el concreto inconfinado se utiliza para la zona de la sección de los

elementos de concreto reforzado que queda afuera del acero transversal.

2.2.2 Concreto confinado

En la Figura 2-5 se muestra la curva esfuerzo-deformación para el concreto confinado,

conocida como la curva de Mander para una sección circular de concreto confinado.

Figura 2-5 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto confinado. (Tomado de XTRACT, 2004)



Donde:

ξcc = Deformación unitaria del concreto en la máxima resistencia (0.002)

ξcu = Deformación última del concreto.

f´c = Resistencia de compresión del concreto a los 28 días.

fcc = Resistencia máxima del concreto confinado (aproximadamente 25% más de la

resistencia del concreto).

Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el

cual se obtiene la curva que se muestran en la referencia (Mander, 1988) son las

siguientes:

r

cc

cxr

rxff

1

**´ (Ec 2.5)

1

´

´*51002.0

c

cc

ccf

f (Ec 2.6)

Este aumento en la resistencia se debe a las presencia del acero transversal. El aumento

es válido para deformaciones menores a 0.002 (deformación para la máxima resistencia).

2.2.3 Acero de refuerzo

La curva característica para el acero basada en el modelo bilineal de endurecimiento por

deformación parabólica se muestra en la Figura 2-6.

Figura 2-6 Curva esfuerzo - deformación para el acero. (Tomado de XTRACT, 2004)



Donde:

fy = Esfuerzo de fluencia.

ξcc = Deformación de fluencia.

ξsh = Deformación de la fase de endurecimiento.

fy = Esfuerzo último o de rotura.

ξu = Deformación ultima del material.

El comportamiento del modelo se representa por la ecuación:

shu

u

yuus ffff

* (Ec 2.7)

2.3 DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA

El radio de curvatura de una sección se mide con respecto al eje neutro de la sección. El

radio de curvatura, R, la profundidad del eje neutro kd, la deformación del concreto en la

fibra extrema a compresión y la deformación del acero a tensión varían a lo largo del

miembro.

Si se considera un pequeño elemento de longitud dx, componente de un elemento

estructural sometido a flexión, se puede elaborar un grafico (ver Figura 2-7) a partir del

cual se establecen las siguientes relaciones:

kd

dx

kd

dx

R

dx sc

1

(Ec. 2.8)

kdkdR

sc

1

1 (Ec. 2.9)



Figura 2-7 Deformaciones unitarias de un elemento sometido a flexión. Tomado de (Ruiz, 2000)

Como 1/R es la curva del elemento (rotación por unidad de longitud), entonces se tiene

que:

dkdkd

cssc

)1( (Ec. 2.10)

La curvatura (f) puede variar a lo largo de la longitud del miembro de las fluctuaciones del

eje neutro y de las deformaciones. Con incrementos en el momento, las fracturas en el

concreto reducen la rigidez de la sección, reducción que es mayor para las secciones que

no poseen demasiado refuerzo de acero longitudinal. De acuerdo con (García, 1998)

cuando el acero fluye, se presenta un gran incremento en la curvatura para

aproximadamente el mismo momento flector. El momento va creciendo lentamente y

luego baja hasta la falla, que se define cuando el concreto llega a la deformación unitaria

de ξc.

La ecuación Ec. 2.10 se fundamenta en la suposición de que las secciones transversales

son planas.

Una curva típica para una sección con poco acero (con cuantía inferior a la balanceada o

sub-reforzada) se presenta en la Figura 9.



Figura 2-8 Curva típica del diagrama de momento-curvatura de una sección sub reforzada (cuantía menor a la balanceada). Tomado de (Ruiz, 2000)

Si la sección tiene demasiado acero, el diagrama Momento curvatura se vuelve no lineal

cuando el concreto entra en el rango inelástico de la curva esfuerzo deformación, y la falla

ocurre de manera frágil a menos que tenga confinado el concreto. Es por esta razón que

en la práctica se usan vigas con contenido de acero menor al balanceado, para asegurar

que no se va a presentar una falla frágil de la sección.

2.3.1 Determinación de la curva teórica del diagrama M-f para vigas

simplemente reforzadas

En una sección sobrerreforzada, la relación momento curvatura, se puede tomar

elastoplástica. La distribución teórica debe estar compuesta por dos segmentos con una

marcada tendencia lineal, y dos curvas (Ver Figura 2-9).

Figura 2-9 Curva teórica para el diagrama momento – curvatura para sección sobrerreforzada. Tomado de (Ruiz, 2000)



En un inicio se tiene una recta que cambia abruptamente su pendiente cuando se

presenta una micro fisura, la cual logra atravesar la sección a tensión del concreto, luego

se presenta otra recta que llega un momento tal que se presenta una rótula plástica, ya

que la sección presenta altas curvaturas para pequeños incrementos de momento.

Cuando se llega al rango inelástico de la estructura, la curva de esfuerzo contra

deformación se comporta de manera diferente dependiendo de sí el concreto está

confinado o no. Cuando el concreto no está confinado, su comportamiento es como el de

un cilindro estándar, en el cual f’c es la resistencia máxima a la compresión. La curvatura

inicial es una parábola que al llegar a f’c se convierte en una recta con pendiente negativa,

teniendo una pendiente mayor (menos negativa) en concreto no confinado.

Conociendo las curvas de esfuerzo deformación del concreto y del acero, puede

determinarse el diagrama M-f para diferentes configuraciones de refuerzo del elemento

estructural analizado. Cuando se tiene un bajo nivel de esfuerzos, en el cual el concreto

se comporta elásticamente, el eje neutro de la sección se encuentra en el centroide. En el

momento en que aparece la primera grieta el eje neutro comienza a desplazarse hacia la

zona de compresión, originándose un aumento en el esfuerzo de compresión debido a

que aumenta la fuerza y disminuye el área efectiva que soporta los esfuerzos. En este

punto la tensión es absorbida únicamente por el acero de tal forma que se conserva el

equilibrio en toda la sección. De acuerdo con (Reyes,1989), la aparición de la primera

grita hace que las deformaciones aumenten en el miembro así mismo cuando un concreto

es de alta resistencia, es fácil que se presenten descascaramientos debidos a la fragilidad

del material.

El diagrama de momento-curvatura puede definirse con tres puntos básicos como se

muestra en la Gráfica 2-1:

Punto A: Primer agrietamiento del concreto

Punto B: Fluencia del acero a tensión

Punto C: Punto de resistencia última del concreto



Gráfica 2-1 Diagrama momento - curvatura

La teoría que se desarrollará a continuación está basada en unidades de fuerza en kg y

unidades de desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades, deben

cambiarse algunas constantes.

Figura 2-10 Dimensiones de la sección transversal. Tomado de (Ruiz,2000)

Nomenclatura utilizada en los materiales estructurales:

Acero de refuerzo:

As = Área de acero de refuerzo a tensión

A’s = Área de acero de refuerzo a compresión

Es = Módulo de elasticidad del acero

Fy = Esfuerzo de fluencia del acero



Concreto:

f’c = Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días

Ec = Módulo de elasticidad del concreto.

2.3.1.1 Punto A: primer agrietamiento

Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto:

fr = Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento

(Ec 2.11)

Deformación unitaria en el primer agrietamiento

c

r

E

f (Ec. 2.12)

n = Relación modular

c

s

E

En (Ec. 2.13)

Cálculo de deformaciones unitarias en el acero

s = Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada

y = Deformación unitaria de fluencia en el acero

y

s

s

sE

f (Ec. 2.14)

Calculo de la inercia de la sección transformada (Ver Figura 2-11)



Figura 2-11 Dimensiones de la sección transversal de una viga en concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000)

Yb = Localización de la fibra extrema a compresión medida a partir del centroide de

la sección.

Yt = Localización de la fibra extrema a tensión medida a partir del centroide de la

sección.

bt YhY (Ec. 2.15)

Tabla 2-1 Propiedades de la sección

Material Área

(A)

Centroide

(Y) AY IO AY

2 IO+AY

2

Concreto Bh Yb-h/2 bh(Yb-h/2) bh3/12 Bh(Yb-h/2)

2 bh3/12+bh(Yb-h/2)2

Acero (n-1)As d-Yb (n-1)As(d-Yb) -------- (n-1)As(d-Yb)2 (n-1)As(d-Yb)2

TOTAL A YA yyo IIYA 2

2.3.1.2 Punto B: punto de fluencia del acero

Ocurre cuando el esfuerzo del acero que se encuentra a tensión (As) llega a un valor de fy.

Sea Kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego K es

una fracción de la altura efectiva d.

d

KdK (Ec. 2.16)



Se debe proceder a verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero

se encuentra en su esfuerzo de fluencia. Se compara c con o=0.002. Si c<o=0.002,

entonces se debe usar las siguientes expresiones:

2

o

c

o

c

co

co

412

4

(Ec. 2.17)

Si c>o=0.002, entonces se deben usar las siguientes expresiones para y para :

2231

2

c

c

o

o

c

o Z

(Ec. 2.18)

326122

111

2

2

3

2

2

co

c

o

c

o ZZ

(Ec. 2.19)

Realizando la sumatoria de fuerzas, a partir del diagrama de cuerpo libre de la Figura 2-12

se tiene:

Figura 2-12 Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000)

En este punto s=y, luego Ts=Asfy. Del equilibrio de fuerzas se tiene que:

cs CT fcbkdfA ys (Ec. 2.20)

De compatibilidad de deformaciones se tiene:

kkdd c

yccyc

(Ec. 2.21)



Y reemplazando:

yc

c

cys bdffA

(Ec. 2.22)

Pero es una función de c y por lo tanto utilizando tanteos se busca un valor de c que

cumpla la ecuación anterior. Con el valor de c se busca , y el momento se obtiene con:

kdfAM ysy 1 (Ec. 2.23)

La curvatura se calcula con:

kd

cy

(Ec. 2.24)

2.3.1.3 Punto C punto último

Figura 2-13 Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de resistencia última de la sección. Tomado de (Ruiz, 2000)

En este punto ξc = ξcu del equilibrio de fuerzas se tiene que:

cs CT fcbkdsfy (Ec. 2.25)

De compatibilidad de deformaciones:

kdd

cuycu

k

cu

scu

(Ec. 2.26)



Y reemplazando:

scu

cu

cys bdffA

(Ec. 2.27)

Si 002.08.0

002.0 200

cc , entonces se deben usar las siguientes

expresiones para α y para :

2231

2

00

0 c

cc

(Ec. 2.28)

326122

111

2

00

2

3

0

2

0

c

(Ec. 2.29)

Si 002.08.0

200

cc entonces deben usarse las siguientes expresiones para

α y para :

2.032.0

3

4.1 0

cc

(Ec. 2.30)

2

2

0

2

0

21.0

3

256.032.0

12

8.311 c

c

(Ec. 2.31)

Pero cu es conocido, por lo tanto α y también. Esto permite despejar el valor de s

que cumple la ecuación

scu

cu

cYS bdffA

Finalmente el momento se obtiene con la siguiente expresión:

kAsFydMu 1 (Ec. 2.32)



La curvatura se calcula con:

kd

cuy

(Ec. 2.33)

Así mismo pueden ser calculados los diagramas de momento curvatura para columnas y

vigas doblemente reforzadas.

2.3.2 Determinación de la curvatura teórica del diagrama M – φ para

columnas

Toda la teoría que se desarrollará a continuación está basada en unidades de fuerza en

Kg y desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades, deben cambiarse

algunas constantes.

Figura 2-14 Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000)

Nomenclatura utilizada en los materiales estructurales:

Acero de refuerzo

As = Área de acero de refuerzo a tensión.

A’s = Área de acero de refuerzo a compresión.

Es = Módulo de elasticidad del acero (se asumirá igual a 2039000 kg/cm2)

fy = Esfuerzo de fluencia del acero



Concreto

f’c = Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días.

Ec = Módulo e elasticidad del concreto. Se asumirá un valor de 12500 (f’c1/2)

El diagrama de momento-curvatura puede definirse con tres puntos básicos:

Punto A: Primer agrietamiento del concreto

Punto B: Fluencia del acero a tensión

Punto C: Punto de resistencia última del concreto.

En la Figura 2-15 y en la Tabla 2-2 se tienen las propiedades geométricas de la sección

correspondiente a una columna de concreto reforzado.

Figura 2-15 Propiedades geométricas de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000)

Tabla 2-2 Propiedades de la sección

Material Área

(A)

Centroide

(Y) AY Io AY2 Io + AY2

Concreto bh Yb-h/2 bh(Yb-h/2) bh3/12 bh(Yb-h/2)

2 bh

3/12 + bh(Yb-h/2)

2

Acero a

tensión (n-1)As Yt-(h-d) (n-1)As (Yt-(h-d)) --------- (n-1)As (Yt-(h-d))

2 (n-1)As (Yt-(h-d))

2

Acero a

compresión (n-1)A’s Yb-d’ (n-1)A’s (Yb-d’) (n-1)A’s (Yb-d’)

2 (n-1)A’s (Yb-d’)

2

TOTAL ΣA ΣAY ΣAY2 + Io = Iyy



2.3.2.1 Punto A: Primer agrietamiento

Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto

fr = Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento.

fr= 2(f’c1/2) (Ec. 2.34)

Deformación unitaria en el primer agrietamiento

c

rr

f

(Ec. 2.35)

n = Relación modular

c

s

E

En (Ec. 2.36)

Cálculo de deformaciones unitarias en el acero

s = Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada

y = Deformación unitaria de fluencia en el acero

s' = Deformación unitaria en el acero a compresión para la carga aplicada.

y

s

s

sE

f (Ec. 2.37)

ycykd

dkd'

''

(Ec. 2.38)

2.3.2.2 Punto B: Punto de fluencia del acero a tensión

Sea Kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego K es

una fracción de la altura efectiva d.

d

KdK (Ec. 2.16)

El acero en la zona a tensión se encuentra en fluencia, por lo tanto ys .



Se debe verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero se

encuentra en su esfuerzo de fluencia. Por relaciones de triángulos de llega a la siguiente

expresión:

K

Kyc

1 (Ec. 2.39)

Se compara c con .002.00 Si 002.00 c , entonces se debe usar las

siguientes expresiones para α y para :

2

c

c

c

c

c

cc

412

4

0

(Ec. 2.40)

Si 002.08.0

002.0 200

cc , entonces se debe usar las siguientes


2231

2

00

c

cc

o

(Ec. 2.41)

326122

111

2

0

2

3

0

2

2

0 c

cc

(Ec. 2.42)

Parámetro Z

chu f '

)tan(

002.0

5.0

5050

(Ec. 2.43)

70'

'002.021.050

c

cu

f

f (Ec. 2.44)

h

shS

b ''

4

350 (Ec. 2.45)

s = Relación del volumen del esfuerzo transversal al volumen de concreto en el

núcleo confinado, medido fuera-fuera de los estribos

''b = Ancho del estribo medido fuera-fuera

hS = Espaciamiento de estribos



Se debe cumplir equilibrio entre las fuerzas actuantes y las fuerzas resistentes. Para esto,

se realiza una sumatoria de fuerzas en la Figura 2-16, con lo que se obiene:

fsAkdbfPfAF scys '' (Ec. 2.46)

Donde se tiene el acero a tensión trabajando en fluencia (Asfy), el concreto trabajando a

compresión kdbf c' , y el acero a compresión trabajando a un esfuerzo sss fAf .

Figura 2-16 Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000)

Se realiza la verificación del acero a compresión:

Si

kd

dkdcs

'' , el acero a compresión no fluye.

Si ycskd

dkd

'' , el acero a compresión fluye y se tiene que ys ' .

Posteriormente se calcula el esfuerzo al que está sometido el acero a compresión:

Si el acero a compresión no fluye, sssf ''

Si el acero a compresión fluye, yssf ''



Sea My el momento de fluencia, se calcula con respecto al centroide de la sección de la

columna.

kd

hkdbf

dhfAfA cssysy

2'

2

'2'' (Ec. 2.47)

Finalmente se debe calcular la curvatura de la sección en fluencia del acero a tensión, con

la siguiente expresión:

kd

c

y

(Ec. 2.48)

2.3.2.3 Punto C punto ultimo

En este punto cuc , y no se tiene en cuenta el endurecimiento por deformación del

acero de refuerzo.

Si 002.08.0

002.0 20

ccc , entonces se debe usar las siguientes


2231

2

00

0 c

cc

(Ec. 2.49)

326122

111

2

0

2

3

0

2

2

0 c

cc

(Ec. 2.50)

Si 002.08.0

200

cc entonces deben usarse las siguientes expresiones para α

y para :

2.032.0

3

4.1 0

cc

(Ec. 2.51)

2

2

0

2

21.0

3

256.032.0

12

8.311 c

c

c

(Ec. 2.52)



Se realiza una sumatoria de fuerzas con respecto a la Figura 2-17, con lo que se obtiene

la siguiente expresión:

fsAkdbfPfAF scys '' (Ec. 2.53)

Figura 2-17 Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de sección. Tomado de (Ruiz, 2000)

Se supone que ys ff ' . Luego se debe verificar lo siguiente:

bf

PfAAkd

c

yss

'

'

(Ec. 2.54)

Si kd>d’=5cm (se supuso un recubrimiento de 5 cm para el refuerzo), entonces el acero a

compresión fluye, por lo tanto ys ff . Si por el contrario kd<d’=5cm, se debe recalcular sf

Para realizar lo anterior se debe seguir el siguiente procedimiento:

Se calcula kd con la ecuación

bf

PfAAkd

c

yss

'

'

Luego se calcula s' con la ecuación ycskd

dkd

'' .



Luego se calcula sssf '' .

Este valor calculado debe ser semejante al valor supuesto. De lo contrario se debe

reiniciar el proceso suponiendo el sf ' hallado mediante esta última ecuación.

Por último se calcula el momento último de la sección mediante la siguiente ecuación:

kd

hkdbf

dhfAfA cssysu

2'

2

'2'' (Ec. 2.55)

y la curvatura última de la sección con la siguiente ecuación:

kd

cu

u

(Ec. 2.56)

2.4 NIVEL DE DESEMPEÑO DE LAS ESTRUCTURAS

El documento (ATC-40, 1996) “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”

clasifica por separado el nivel de desempeño de la estructura y el nivel de desempeño de

los elementos no-estructurales para que al tener en cuenta ambos niveles de desempeño

se pueda estimar el nivel de desempeño de la edificación.

2.4.1 Elementos estructurales

Estos niveles describen el posible estado de daño de los elementos estructurales. Las

siglas SP (Structural Performance) anteceden las siglas correspondientes a los niveles de

daño.

SP-1 Ocupación Inmediata (IO): El sistema resiste cargas verticales y horizontales,

permanece prácticamente inalterado, el peligro a la vida es despreciable. Se pueden

presentar daños estructurales menores, pero el edificio sigue funcionando en su totalidad.

SP-2 Rango de Daños Controlados (IO-LS): La vida de los ocupantes no corre peligro

pero posiblemente pueden ser afectados, los daños estructurales se encuentran

controlados.



SP-3 Protección a la Vida (LS): Se presenta un daño significativo en la estructura; sin

embargo, la mayoría de los elementos se mantienen aunque no se puede garantizar la

protección a la vida. Costos elevados asociados a las reparaciones estructurales.

SP-4 Rango de seguridad limitada (LS-CP): Estado de daño que varía entre las

condiciones de Seguridad y Estabilidad Estructural, con alto peligro para los ocupantes.

SP-5 Estabilidad estructural (D): Estado de daño en el cual el sistema estructural está

en el límite de experimentar un colapso parcial o total. Han sucedido daños sustanciales,

con una significativa degradación de la rigidez del sistema que resiste las cargas laterales.

Aún cuando el sistema que soporta las cargas verticales mantiene la capacidad suficiente

para evitar el colapso, existe un elevado peligro para los ocupantes y transeúntes, así

como un peligro elevado en caso de réplicas. Estas edificaciones requieren reparaciones

estructurales significativas.

SP-6 Colapso (E): No corresponde a un nivel de desempeño de la estructura, sino a una

condición en la cual sólo se incluye una evaluación de los componentes No Estructurales.

En la Figura 2-18 se muestra una curva de capacidad típica, mostrando gráficamente lo

descrito anteriormente.

Figura 2-18 Curva de capacidad típica. Tomado de (ATC-40, 1996)



2.4.2 Elementos no estructurales

Estos niveles describen los posibles estados de daño de los componentes no

estructurales. Se definen cuatro estados de daño: Operacional, ocupación inmediata,

seguridad y amenaza, la sigla NP (“Non Structural Performance”), antecede las siglas de

los niveles de daño.

NP-A Operacional: Después del sismo, los sistemas, componentes y elementos no

estructurales permanecen sin daño y funcionando. Todos los equipos y las máquinas

deben permanecer operando, aunque algunos servicios externos no estén del todo

disponibles.

NP-B Ocupación Inmediata: Los sistemas, componentes y elementos estructurales

permanecen en su sitio, con pequeñas interrupciones que no comprometen o limitan su

funcionamiento.

NP-C Seguridad: Contempla considerables daños en sistemas, componentes y

elementos no estructurales, pero sin colapso o interrupción de los mismos que puedan

atentar seriamente contra los ocupantes. No debería haber fallo en los componentes, sin

embargo, el equipamiento y las maquinas pueden quedar fuera de servicio.

NP-D Amenaza: Incluye importantes daños en sistemas, componentes y elementos no

estructurales, pero sin colapso de los grandes y pesados elementos que pongan en

peligro a grupos de personas. El peligro a la vida por daños en los componentes

estructurales es alto.

NP-E No considerado: no corresponde a un nivel de desempeño de los elementos no

estructurales, sino con una condición en la cual se incluye una evaluación sísmica de los

componentes estructurales.

2.4.3 Nivel global de desempeño

Los niveles globales de desempeño describen los posibles estados de daño para la

edificación. Estos niveles de desempeño se obtienen de la apropiada combinación de los

niveles de desempeño de la estructura y de los componentes no estructurales. En la

Tabla 2-3 se muestra las posibles combinaciones en donde se destacan los cuatro niveles

de desempeño de edificaciones que se referencian más frecuentemente:



Operacional (1-A), Ocupación Inmediata (1-B), Protección a la Vida (3-C), y Estabilidad

Estructural (5-E), así como los niveles de desempeño posibles (2A, 2B,…). La sigla NR

corresponde a niveles de desempeño No Recomendables en el sentido de que no deben

ser considerados en la evaluación.

1-A Operacional: Se relaciona básicamente con la funcionalidad. Los daños en

componentes permanecen funcionando. Cualquier reparación requerida no perturbará

ninguna función. Se mantiene la seguridad de los ocupantes. Se mantienen las funciones

de los servicios de la edificación, incluso cuando los externos a la misma no estén

disponibles.

1-B Ocupación Inmediata: Los espacios de la edificación, los sistemas y los

equipamientos permanecen utilizables. Se mantienen en funcionamiento los servicios

primarios. Quizás algunos servicios secundarios presenten pequeñas interrupciones de

fácil e inmediata reparación. Se mantiene la seguridad de los ocupantes.

1-C Protección a la Vida: Estado de daño que representa una baja probabilidad de

atentar contra la vida. Constituye el nivel de desempeño de la edificación que se espera

alcanzar con la aplicación de los actuales códigos sísmicos. Se caracteriza por presentar

daños limitados en los componentes estructurales y el eventual fallo o volcamiento de los

componentes no estructurales, con posibilidad incluso de falla en algún elemento

peligroso o en alguno de los componentes primarios (servicios de agua y electricidad…), y

secundarios (acabados, fachadas...), siempre que no atente contra la vida de los usuarios.

5-E Estabilidad Estructural: Estado de daño en el que prácticamente no queda reserva

alguna del sistema resistente a carga lateral que permita soportar una réplica, solo se

mantiene cierta capacidad del sistema resistente a cargas verticales para mantener la

estabilidad de la estructura, de manera que el peligro para la vida es muy alto. El nivel de

daño estructural implica que no se requiere la revisión de los componentes no

estructurales. El peligro de los ocupantes y transeúntes por el colapso o falla de

componentes no estructurales exige el desalojo de la edificación.



Tabla 2-3 Niveles de desempeño. Tomado de (ATC-40, 1996)

SP-1

Ocupación Inmediata

SP-2 Rango Daño

Controlado

SP-3 Protección

a la Vida

SP-4 Rango

Seguridad Limitada

SP-5 Estabilidad Estructural

SP-6 Colapso

NP-A Operacional

1-A Operacional

2-A NR NR NR NR

NP-B 2-B Ocupación Inmediata

Ocupación Inmediata

2-B 3-B NR NR NR

NP-C 3-C

Seguridad 1-C 2-C Protección

a la Vida 47-C 5-C NR

NP-D Amenaza

NR 2-D 3-D 4-D 5-D 6-D

NP-E Estabilidad estructural

NR NR 3-E 4-E 5-E

Estabilidad Estructural

No Aplicable

2.5 RESPUESTA HISTERÉTICA

Este tipo de amortiguamiento es muy importante cuando se está hablando de análisis

estructural sometido a fuerza sísmica, ya que la característica fundamental de éste

análisis es que se tiene en cuenta que el comportamiento de un determinado evento

depende de la historia de una acción previa que hace que las características del sistema

cambien en cada momento, de donde se desarrolla el concepto de no linealidad. Este

concepto implica necesariamente que los materiales después de haber soportando cierto

grado de exigencia; no vuelven a su estado original.

Para que se produzca histéresis es necesario analizar el caso de un ciclo de carga –

descarga (similar al efecto de un sismo, ver la Figura 2-26) en donde existen fuerzas

aplicadas en dos sentidos opuestos; si no existieran deformaciones permanentes y si los

materiales se comportaran elásticamente en todo momento, no habría histéresis, pero

como en algunas ocasiones, las fuerzas que actúan sobre el sistema sobrepasan los

límites de la elasticidad, los materiales no se recuperan y se producen deformaciones

permanentes.



Figura 2-19 Estructura somedita a un evento sísmico. Tomado de (Crisafulli, 2002)

Figura 2-20 Curva esfuerzo - deformación para un material inelástico. Tomado de (García, 1998)

Según la teoría elástica, es posible a partir de las cargas aplicadas en un elemento, llegar

hasta sus deflexiones. Esto se hace llevando a cabo un proceso de cálculo que incluye

pasar por la determinación del cortante, momento, curvatura y rotación, hasta llegar a las

deflexiones punto a punto del elemento (Tabla 2-4). La restricción que presenta este

procedimiento es que sólo es válido para sistemas en los cuales los materiales se

mantienen en los rangos elásticos de esfuerzos y además que se presenten

deformaciones pequeñas como se explica en (Ruiz, 2000).



Tabla 2-4 Pasos para ir de carga a deflexión en sistemas elásticos. Teoría de Navier. Tomado de (García, 1998)

Las expresiones tienen una aplicabilidad muy limitada cuando se está trabajando con

concreto reforzado debido a que, como se ha expuesto anteriormente, el concreto sólo se

comporta elásticamente hasta un valor muy pequeño de deformaciones. Adicionalmente,

el comportamiento elástico del acero de refuerzo, aunque abarca deformaciones mayores

a las del concreto, desaparece cuando se sobrepasa el esfuerzo de fluencia.

Considerando que el concreto reforzado es la combinación de estos dos materiales, su

comportamiento deja de ser elástico desde que se presenta la primera fisura, por lo que

las expresiones mostradas en la Figura 2-21 no pueden ser utilizadas. A pesar de esto, es

posible hallar las deflexiones en un elemento de concreto reforzado integrando su

diagrama de momento – giro a lo largo de su longitud.

Figura 2-21 Curva típica de momento-giro de una viga de concreto reforzado. Tomado de (Marín, 2004)



En la Figura 2-21 se puede ver que la sección se comporta elásticamente hasta que se

presente la primera fisura en el concreto (punto 1 - Mcr). Hasta este punto todos los

cálculos se realizan con la inercia de la sección total sin fisurar Ig. A partir de ahí el eje

neutro se eleva debido de la fisura y el comportamiento sigue siendo similar al inicial

hasta que fluye el acero de refuerzo (punto 2 - My). Desde este punto cambia el

comportamiento debido a la fluencia del acero, en la cual aumenta la curvatura sin que

aumente el momento. Esta etapa termina cuando se presenta el inicio del endurecimiento

por deformación del acero (punto 3 - Mu), en la cual la curva aumenta su resistencia hasta

que el acero llegue a su resistencia máxima. En este momento se da la resistencia

máxima del concreto (Mu). De ahí la resistencia del elemento empieza a descender hasta

que se presenta la falla por tensión del acero. Este comportamiento se presenta para

vigas con cuantías menores a la balanceada, y además se garantiza que no va a haber

falla por cortante ni falla de adherencia entre el concreto y el acero (García, 1998).

Ahora, si se analiza el comportamiento de una viga en voladizo a la cual se le aplica una

carga en el extremo libre (Figura 2-22), se pueden apreciar las distribuciones de las

curvaturas en los casos de que la carga sea la de fluencia y que sea la carga última. En el

caso de la carga de fluencia, se observa una distribución uniforme de las curvaturas. Pero

al pasar a la carga que provoca el momento último de la sección, hay una concentración

de curvaturas grande en una zona adyacente a la base del voladizo. En esta zona se

presenta el mayor momento de toda la viga y además las más grandes rotaciones. Esta

zona se llama articulación plástica, y la longitud en la que se presenta esta concentración

de curvaturas se llama longitud de plastificación (Lp en la Figura 2-22) (García, 1998).

Según (Ruiz, 2000) la longitud de plastificación se define como la zona donde el momento

aplicado sobre la sección iguala o excede el momento de fluencia del acero. Es decir, la

zona del elemento estructural donde la curvatura es mayor a la curvatura de fluencia (φY)

pero inferior a la curvatura última (φU). Esta zona de plastificación no posee una

distribución uniforme, sino que por el contrario es variable. En gran medida la distribución

de la curvatura depende de la formación de grietas de flexión, que no son otra cosa que

concentración de curvatura.



Figura 2-22 Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. Tomado de (García y Ramírez, 2004)

Existen diferentes modelos de ciclos de histéresis, cada uno con diferentes hipótesis con

el objeto de representar adecuadamente el comportamiento de los materiales o de las

estructuras teniendo en cuenta sus diversas características de deformación. Algunos de

estos modelos son: el modelo elastoplastico (Figura 2-23 a), el cual maneja niveles de

elasticidad hasta que llega al punto en que se deforma sin aumentar la carga, luego se

descarga y se devuelve manteniendo un comportamiento elástico hasta que se carga de

nuevo y vuelve a llegar al punto de plasticidad. Este es uno de los métodos más

convencionales, también existen otros métodos que se basan en análisis experimentales

como ensayos sobre mesas vibratorias y curvas de fuerza- deformación de diferentes

materiales. Ejemplo de esto son el modelo de Ramberg – Osgood (Figura 2-23 b.), y el de

rigidez degradante (Figura 2-23 c.).



a. Elastoplastico b. Ramberg – Osgood c. rigidez degradante

Figura 2-23 Modelos de histéresis. Adaptada de (García, 1998)

2.6 DERIVA INELÁSTICA

En la literatura existen pocas referencias en las que se haya realizado investigaciones o

estudios similares al presente, sin embargo, en la investigación realizada por (Dymiotis,

Ch., et al., 1999), en el que se estudió el comportamiento de la deriva de pórticos de

concreto reforzado a escala y en tamaño original, mencionan que a nivel mundial existen

valores máximos recomendados para que la estructura no llegue al colapso, dichos

valores oscilan entre 2% y 6%.

Según las referencias (Kappos, 1991) y (Vision, 2000) se debe ser precavidos con

valores de deriva entre 2% y 3%, ya que una estructura de concreto reforzado que llegue

a estos valores tiene una gran probabilidad de colapsar. Por otro lado, según (Ghobarah y

El-Attar, 1997), una deriva del 3% está asociada a daños que pueden ser remediados a

corto plazo, y valores de deriva cercanos a 5.6%, provocan el colapso de la estructura.

En la Figura 2-24 a) se muestran los resultados de la investigación realizada por

(Dymiotis,Ch. et al, 1999), para todos los especímenes ensayados. Posteriormente, se

hace una depuración de los resultados y en la Figura 2-24 b) se muestran aquellos

especímenes que no llegaron a la falla con las cargas aplicadas. Con lo anterior, se

consideró que los resultados de la Figura 2-24 corresponde a la deriva en la cual se

presenta fluencia en los materiales, pero la estructura no llega a la falla. La media de los

resultados es 4.30% y la distribución que mejor se ajusta a la serie de datos es la

LogNormal.



Finalmente, hacen la aclaración que los ensayos de los especímenes no fueron

controlados por los investigadores, sino que fueron una recopilación de investigaciones

pasadas, por lo que los resultados dependen de las condiciones en las que se realizaron.

Figura 2-24Deriva máxima en ensayos para a) Todos los especímenes y b) Especímenes que no fueron llevados a la falla. (Tomado de Dymiotis,Ch.et al.,1999)



2.7 VARIABILIDAD DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS

MATERIALES DE BOGOTÁ

El comportamiento mecánico de un material refleja la relación entre la fuerza aplicada y la

respuesta que tiene el material ante esta, en otras palabras, la relación entre la fuerza

aplicada y la deformación del material.

Una de las propiedades mecánicas más importantes en cualquier material es la

resistencia, definiendo resistencia como la capacidad del material de soportar un

esfuerzo.

En Bogotá, una gran parte de las edificaciones están hechas de concreto reforzado, por lo

que, conocer las propiedades mecánicas del acero y el concreto ha sido tema de

constante estudio.

De acuerdo con (González et al, 2005) las diferencias entre los resultados analíticos y

experimentales de respuestas de edificios sometidos a eventos sísmicos, son

ocasionadas por las incertidumbres involucradas en el proceso de diseño, que hacen

referencia a la variación entre la resistencia real y nominal de los materiales, las

diferencias entre las solicitaciones reales y las empleadas en el diseño, y el grado de

aproximación entre el modelo propuesto y el construido.

2.7.1 Concreto

Cuando el concreto llega a obra, se realiza un control de calidad para aceptarlo mediante

ensayos in-situ, adicionalmente se toman cilindros de concreto que posteriormente son

ensayados en laboratorios. Aunque el supuesto es que los concretos que llegan a obra

tienen exactamente la resistencia que especifica la concretera, puede tener pequeñas

diferencias, que aunque son aceptadas en obra, pueden tener efectos sobre el módulo de

elasticidad. Adicionalmente, aunque las buenas prácticas de trabajo para la manipulación,

fundición, compactación o vibrado y curado del concreto en obra deben asegurar un

adecuado porcentaje de esa resistencia, existen diferencias que afectan directamente el

módulo de elasticidad y por consiguiente en la flexibilidad de la estructura, lo que da como

resultado una variación en la deriva de la estructura.



Según la referencia (Ruiz, Vacca, León, 2007), en el caso colombiano, el módulo de

elasticidad para el concreto de peso normal puede determinarse experimentalmente a

partir de las curvas esfuerzo-deformación obtenidas para un grupo representativo de

cilindros estándar de concreto, como la pendiente de la línea trazada desde el origen

hasta el punto en la curva esfuerzo-deformación correspondiente a un esfuerzo de 0,45f’c

en compresión, sin embargo, de acuerdo con la Norma Técnica Colombiana (NTC) 4025

(Método de ensayo para determinar el módulo de elasticidad estático y la relación de

Poisson en concreto a compresión), se calcula el módulo de elasticidad como:

Ec. 2.57

En donde

E = módulo de elasticidad secante, en MPa (psi)

s2 = esfuerzo correspondiente al 40% de la carga última.

s1 = esfuerzo correspondiente a la deformación longitudinal, 1, de las 50

millonésimas, en MPa

= deformación longitudinal producida por el esfuerzo s2.

Según (Ruiz, Vacca y León, 2007), aunque es probable que este diferencia en la

definición no tenga una marcada influencia en el valor final del módulo de elasticidad (por

cuanto ambas alternativas de cálculo corresponden a líneas secantes), debería existir una

unificación de criterios al respecto.

Por otro lado, siendo f’c la resistencia a la compresión del concreto y E el módulo de

elasticidad del mismo, en la referencia (AIS, 1998) se planteaba la expresión

(en MPa) siendo la constante 3.900 el valor medio para toda la información

nacional sin distinguir el origen del agregado, expresión que es resultado de la regresión

estadística realizada en la investigación de la referencia (Cortez, Zabaleta y Amézquita,

1995) que se muestra en la Figura 2-25 . La dispersión de los datos de la Figura 2-25 es

excesivamente alta y el factor R2 es muy bajo (0.149).



Figura 2-25 Regresión estadística que dió origen a la fórmula del módulo de elasticidad de la referencia AIS (1998) (promedio nacional). Extractado (escaneado) de Cortés, Zabaleta y Amézquita (1995)

En la actualización de la NSR-98, publicada en el año 2010, NRS-10, la expresión fue

modificada. Según la referencia (AIS, 2010), para concreto de densidad normal, E puede

tomarse como (en MPa).

La dependencia del módulo de elasticidad de la raíz cuadrada de la resistencia a la

compresión tuvo su origen en (Pauw, 1960), donde se reporta que E puede estimarse

como

donde es el peso unitario del concreto y es una constante

adimensional.

Según la referencia (Gallego y Sarria, 2006), el parámetro

toma valores que oscilan

entre 9.900 y 14.000 en unidades Kg y cm y anotan que esta es una variación sumamente

grande y peligrosa porque si el valor del módulo E usado en obra es menor que el usado

en el diseño, necesariamente los desplazamientos, rotaciones y deformaciones serán

mayores que los calculados.

De acuerdo con (Ruiz, Vacca y León, 2007), en la Figura 2-26 se muestra la línea de

ajuste (ubicada en el centro) con su respectivo R2, el cual es de 0,57 (bajo). Se muestran

las líneas inferior por encima de las cuales se encuentra el 90% de los datos. Señalan

también que, la cota superior propuesta coincide con el promedio nacional que propone la



referencia (AIS, 1998) y que sugiere la referencia (AIS,2010), demostrando que usar un

coeficiente de 12.500 (en kg/cm2) para Bogotá es muy poco conservativo, y peor aún,

usar un coeficiente de 15.000 (en kg/cm2) que equivaldría a un coeficiente de 4700 en

MPa como se presenta ahora en la NSR10.

Figura 2-26 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional. Tomado de: Ruiz, Vacca y León, 2007

Como se observa en la Figura 2-26, los datos del módulo de elasticidad están

concentrados entre los 150.000 y los 230.000 kg/cm2, aunque se tienen valores entre

24.000 y 350.000 kg/cm2.

y = 3319.5(fć)1/2

R2 = 0.5714

E = 2750 (fć) 1/2

y = 3900 (fć)1/2

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

0 5 10

Mó

du

lo d

e e

las

tic

ida

d -

E -

(MP

a)

Raíz (fć) (MPa 1/2)

y = 10598(fć)1/2

R2 = 0.5714

E = 8800 (fć) 1/2

E = 12500 (fć) 1/2

0

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

350,000

400,000

0 10 20 30 40 50

Mó

du

lo d

e e

las

tic

ida

d -

E -

(kg

/cm

2)

Raíz (fć) (kg-f 1/2 /cm)

A)

B)



Con base en el análisis efectuado en (Ruiz, Vacca y León, 2007), se proponen las

siguientes expresiones para la estimación del módulo de elasticidad del concreto (E) en

Bogotá:

(en kg/cm2) Ec. 2.58 a

(en MPa) Ec. 2.58 b

En la referencia (Ruiz, Vacca y León, 2007) se comparan las expresiones obtenidas en la

investigación con las del promedio nacional de la referencia AIS (1998) (

en unidades kg/cm2 y (en MPa), dando como resultado una

disminución del 42% en el módulo de elasticidad estimado. Adicionalmente, se menciona

que las derivas calculadas subirían automáticamente un 42%, y por esta razón, las

edificaciones diseñadas con la referencia (AIS, 1998) y con la microzonificación sísmica

(vigente en el momento) no cumplirían con el requisito de mantener las derivas por debajo

del 1%.

2.7.2 Acero de refuerzo

Con el fin de reducir las incertidumbres en la variación de la resistencia del acero de

refuerzo (González et al, 2005) realizaron una investigación con la que relacionan los

criterios teóricos de las propiedades mecánicas del acero y los resultados obtenidos

mediante ensayos experimentales.

En el estudio realizado por (González et al, 2005), se realizó un análisis estadístico de las

variables principales que definen las propiedades mecánicas del acero de acuerdo con el

diámetro de la varilla y la empresa productora de acero.

En la Tabla 2-5 se presentan los resultados obtenidos por (González et al, 2005) para el

número total de barras ensayadas, en donde es la estimación de la media aritmética,

es la estimación de la desviación estándar y V es el coeficiente de variación.

Adicionalmente, se presentan los valores máximos y mínimos, así como los percentiles 5

y 95.



Tabla 2-5 Valores estadísticos para el total de barras ensayadas. Tomado de (González et al, 2005)

Con lo anterior se puede ver que el valor mínimo obtenido fue de 419.93 MPa, que de

acuerdo con (González et al, 2005), es aproximadamente igual al mínimo nominal

especificado por la Norma Técnica Colombiana NTC 2289, que especifica un valor de

420MPa. Sin embargo, en la norma también se establece como valor máximo de fluencia

540 MPa, y el valor máximo encontrado fue igual a 538,804 MPa. Esta característica

puede ser desfavorable debido a que pueden presentarse modos de falla frágiles.

Adicionalmente, en el estudio de (DIACO y CIMOC, 2000) se estableció que el coeficiente

de variación para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en el país era del

7%.


Página 70 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales

3 ANÁLISIS DE LA VARIABILIDAD DE LOS MATERIALES

Las propiedades de los materiales no tienen valores exactos, razón por la cual siempre

existe dispersión y variabilidad en los resultados. Las Normas Técnicas Colombianas

establecen rangos en los cuales es posible tener resultados satisfactorios, sin embargo,

existen pocos estudios en los que se relacione la variabilidad de los materiales con el

diseño de estructuras de concreto reforzado en Colombia.

Por otro lado, en la literatura se encontraron pocos estudios relacionados con la

variabilidad de las propiedades mecánicas del acero de refuerzo utilizado en la

construcción en Bogotá. Como consecuencia, se realizó el análisis del esfuerzo de

fluencia del acero (fy) y la resistencia última (fu) basado en resultados de ensayos de

laboratorio.

Con la variabilidad de las propiedades mecánicas del concreto y del acero se generaron

1000 números aleatorios para realizar posteriormente las simulaciones de Montecarlo (en

la propuesta se había indicado solamente 100).

Con el fin de establecer la distribución de probabilidad de las variables estudiadas, se

empleó, por medio del programa Bestfit, la técnica de bondad del ajuste para la curva de

densidad de probabilidad acumulada de Kolgomorov-Smirnov, y se estableció la

distribución óptima para la serie de datos.

3.1 CONCRETO

De acuerdo con lo mencionado anteriormente, y para conocer la variabilidad de las

propiedades mecánicas del concreto: resistencia a la compresión (f’c) y módulo de

elasticidad (E), se acudió a los datos utilizados en la investigación realizada en (Ruiz,

Vacca y León, 2007) y se adicionaron los reportes de ensayos realizados entre los años

2007 y 2010 del Laboratorio de Pruebas y Ensayos del Departamento de Ingeniería Civil

de la Pontificia Universidad Javeriana, para un total de 1514 datos.

El histograma de frecuencias y el análisis estadístico para la resistencia a la compresión

de los datos recopilados se presenta en la Gráfica 3-1 y la Tabla 3-1.


Análisis de la variabilidad de los materiales Página 71 de 188

Gráfica 3-1 Histograma Resistencia a la compresión del concreto (f’c).

Tabla 3-1 Análisis estadístico Resistencia a la compresión del concreto (f'c)

Resistencia (f´c) (kg-f/cm2)

Media 301.23

Error típico 3.50

Mediana 269.00

Moda 284.00

Desviación estándar 136.17

Varianza de la muestra 18541.77

Coeficiente de asimetría 1.88

Mínimo 13.54

Máximo 941.59

Cuenta 1514

Nivel de confianza (95.0%) 6.86

Los valores de f’c varían entre 941.59 Kg-f/cm2 (92.37 MPa) y 13.54 Kg-f/cm2 (1.33 MPa).

De acuerdo con el análisis estadístico realizado, la muestra tiene una media de 301.23

Kg-f/cm2 y una desviación estándar de 136.17 Kg-f/cm2.

Con el fin de conocer la distribución de probabilidad para los valores de f’c, se utilizó la

herramienta Bestfit. En la Figura 3-1 se muestra el histograma de frecuencias y la

distribución que más se ajusta: LogLogistica.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

20 60

100

140

180

220

260

300

340

380

420

460

500

540

580

620

660

700

740

780

820

860

900

940

Frec

uen

cia

Resistencia f'c (kg-f/cm2)

Frecuencia % acumulado



Figura 3-1 Distribución de probabilidad Resistencia a la compresión del concreto (f'c). (Tomado de Bestfit)

El histograma de frecuencias y el análisis estadístico para el módulo de elasticidad del

concreto de los datos recopilados se presenta en la Gráfica 3-2 y la Tabla 3-2.

Gráfica 3-2 Histograma Módulo elástico del concreto (E)

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

2000

0

3000

0

4000

0

5000

0

6000

0

7000

0

8000

0

9000

0

1000

00

1100

00

1200

00

1300

00

1400

00

1500

00

1600

00

1700

00

1800

00

1900

00

2000

00

2100

00

2200

00

2300

00

2400

00

2500

00

2600

00

2700

00

2800

00

2900

00

3000

00

3100

00

3200

00

3300

00

3400

00

3500

00

3600

00

3700

00

3800

00

3900

00

4000

00

Frec

uenc

ia

Módulo (kg-f/cm2)




Tabla 3-2 Análisis estadístico Módulo elástico del concreto (E).

Módulo elástico (kg-f/cm2)

Media 179275.93

Error típico 1132.74

Mediana 176167.50

Moda 179302.00




Mínimo 23836.00

Máximo 370277.76

Cuenta 1514.00


Los valores del módulo de elasticidad de la muestra oscilan entre 370277.76 kg-f/cm2

(36324.25 MPa) y 23836 kg-f/cm2 (2338.31 MPa). La media de la muestra es de

179275.93 kg-f/cm2 y la desviación estándar de 44075.24 kg-f/cm2.

En la Figura 3-2 se muestra la distribución de probabilidad para el módulo de elasticidad,

de acuerdo con el análisis realizado en Bestfit, la distribución de probabilidad que se

ajusta es LogLogistica.

Figura 3-2 Distribución de probabilidad Módulo de elasticidad del concreto (E). Tomado de Bestfit



3.2 ACERO DE REFUERZO

Para determinar la variación del esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo en Bogotá, se

tomaron los reportes de ensayos realizados entre los años 2005 y 2010 del Laboratorio de

Pruebas y Ensayos del Departamento de Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad

Javeriana, para un total de 986 datos.

Inicialmente se realizó un análisis para todos los datos sin diferenciar el diámetro de las

barras ensayadas.

El histograma de frecuencias y el análisis estadístico del esfuerzo de fluencia del acero

(fy) de todos los datos, sin diferenciar su diámetro, se presentan en la Gráfica 3-3 y en la

Tabla 3-3.

Gráfica 3-3 Histograma Resistencia a la fluencia (fy)

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

140

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

510

520

530

540

550

560

570

580

590

600

610

Fre

cue

nci

a

Resistencia a la fluencia (MPa)




Tabla 3-3 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy)


Media 425.97

Error típico 0.78

Mediana 424.22

Moda 419.73




Mínimo 277.00

Máximo 602.28


De acuerdo con el análisis estadístico, los valores de fy varían entre 277MPa y

602.28MPa. La media de la muestra es 425.97MPa y la desviación estándar es

24.21MPa.

En la Figura 3-3 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la

variabilidad del esfuerzo de fluencia (fy): LogLogistica.

Figura 3-3 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy). Tomado de Bestfit



En la Gráfica 3-4 y en la Tabla 3-4 se muestra el histograma de frecuencia y el análisis

estadístico de los valores de la resistencia última (fu).

Gráfica 3-4 Histograma Resistencia última (fu)

Tabla 3-4 Análisis estadístico Resistencia última (fu)

Resistencia última (Mpa)

Media 630.58

Error típico 1.02

Mediana 628.90

Moda 621.85



Coeficiente de asimetría -0.61

Mínimo 373.37

Máximo 790.27

Cuenta 986.00


Los valores de la resistencia última (fu) varían entre 373.37MPa y 790.27MPa. La media

de la muestra es 630.58MPa y la desviación estándar es 32.02MPa.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

35

0

37

0

39

0

41

0

43

0

45

0

47

0

49

0

51

0

53

0

55

0

57

0

59

0

61

0

63

0

65

0

67

0

69

0

71

0

73

0

75

0

77

0

79

0

Fre

cue

nci

a

Resistencia última (MPa)




La distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la variabilidad de la resistencia

última (fu) se muestra en la Figura 3-4. De acuerdo con esto, la distribución que mejor se

ajusta es LogLogistica.

Figura 3-4 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu). Tomado de Bestfit.

Adicionalmente, se tomaron los resultados obtenidos en los ensayos para barras de 1” y

se les realizó el correspondiente análisis estadístico.

En la Gráfica 3-5 y en la Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para

barras de 1" se presentan el histograma de frecuencias y el análisis estadístico para la

resistencia a la fluencia (fy) para las barras de 1”.



Gráfica 3-5 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1".

Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1"

Resistencia a la fluencia (Mpa)

Media 419.819

Error típico 2.372

Mediana 414.697

Moda 408.502




Mínimo 397.079

Máximo 507.627

Cuenta 71


Para los valores de barras de diámetro igual a 1”, los valores de la resistencia a la fluencia

(fy) oscilan entre 397.079MPa y 507.627MPa. La media de la muestra es 419.82MPa y la

desviación estándar es 18.98MPa.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

5

10

15

20

25

30

35

0

36

0

37

0

38

0

39

0

40

0

41

0

42

0

43

0

44

0

45

0

46

0

47

0

48

0

49

0

50

0

51

0

52

0

53

0

54

0

55

0

Fre

cue

nci

a





En la Figura 3-5 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la

variación de la resistencia a la fluencia (fy) para las barras de 1”: LogLogistica.

Figura 3-5 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". Tomado de Bestfit.

El histograma de frecuencias y el análisis estadístico de los valores de la resistencia

última para los barras de 1” se muestran en la Gráfica 3-6y en la Tabla 3-6.

Gráfica 3-6 Histograma Resistencia última (fu) para barras de 1”.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

5

10

15

20

25

51

0

52

0

53

0

54

0

55

0

56

0

57

0

58

0

59

0

60

0

61

0

62

0

63

0

64

0

65

0

66

0

67

0

68

0

69

0

70

0

71

0

72

0

73

0

74

0

75

0

Fre

cue

nci

a

Resistencia a última (MPa)




Tabla 3-6 Análisis estadístico Resistencia última (fu) para barras de 1”.

Resistencia última (Mpa)

Media 622.778

Error típico 3.017

Mediana 621.852

Moda 615.076




Mínimo 560.093

Máximo 696.196

Cuenta 71


Para las varillas de 1”, la resistencia última (fu) varía entre 560.09MPa y 696.20MPa. La

media de la muestra es 622.78MPa y la desviación estándar es 25.42MPa.

En la Figura 3-6 se muestra la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la

variación de la resistencia última de las varillas de 1”.

Figura 3-6 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu) para barras de 1”. Tomado de Bestfit.



Para realizar el análisis del presente trabajo, fue necesario conocer la relación existente

entre la variación del esfuerzo último del acero (fu) y esfuerzo de fluencia (fy). En

consecuencia, se realizó la división del esfuerzo último sobre el esfuerzo de fluencia y se

realizó el histograma de frecuencias mostrado en la Gráfica 3-7 y el análisis estadístico

que se encuentra en la Tabla 3-7.

Gráfica 3-7 Histograma fu/fy

Tabla 3-7 Análisis estadístico fu/fy

fu/fy

Media 1.48

Error típico 2.11E-03

Mediana 1.48

Moda 1.51


Varianza de la muestra 4.37E-03


Mínimo 1.00

Máximo 1.96

Cuenta 986

Nivel de confianza (95.0%) 4.13E-03

La relación fu/fy oscila entre 1.00 y 1.96. La media de la muestre es 1.48 y la desviación

estándar 0.07. Con esto, se planteó la ecuación Ec. 3.1

Ec. 3.1

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

50

100

150

200

250

300

350

1.03

1.06

1.09

1.12

1.15

1.18

1.21

1.24

1.27 1.3

1.33

1.36

1.39

1.42

1.45

1.48

1.51

1.54

1.57 1.6

1.63

1.66

1.69

1.72

1.75

1.78

1.81

1.84

1.87 1.9

1.93

1.96

1.99

2.02

Fre

cue

nci

a

fu/fy




3.3 GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Conociendo la variabilidad de las características mecánicas del acero de refuerzo y del

concreto, se generaron 1500 valores aleatorios para la resistencia a la compresión del

concreto (f’c) y 1000 valores aleatorios para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo

(fy). Se utilizó la herramienta “Generación de números aleatorios” del menú “Análisis de

datos” del programa Microsoft Excel. De los 1500 valores de resistencia a la compresión

se seleccionaron 1000 para hacer los cálculos de la variabilidad de la deriva elástica

(2000 corridas, 1000 por cada edificio). Por su parte para las modelaciones de la deriva

inelástica se tomaron 200 datos aleatorios de resistencia a la compresión del concreto y

200 datos de resistencia a la fluencia del acero para una total de 80.000 corridas para dos

edificios (40.000 corridas por edificio).

Las distribuciones de probabilidad de estas dos variables (fy y f’c) son LogLogistica, sin

embargo, para la generación de los números aleatorios se consideró, para las dos

variables, una distribución Normal. De acuerdo con (González et al, 2005) los valores que

caracterizan la curva esfuerzo-deformación del acero, se consideran variables continuas,

por lo cual se puede buscar una aproximación de ajuste a una distribución normal. Por

otro lado, en el análisis estadístico realizado, se obtuvo el índice de confiabilidad, que, de

acuerdo con las referencias (Mays, L, et al, 1992) y (Ang.A.H-S, 1973), se utiliza aún para

funciones de distribución de probabilidad diferentes a la normal con resultados

satisfactorios, pues consideran este procedimiento como aproximado con un error mínimo

y aceptable.

A continuación se presentan los análisis estadísticos realizados para los valores aleatorios

generados, confirmando que la media de los valores aleatorios es similar a la obtenida

con los valores originales. Adicionalmente se presentan las figuras de Bestfit que

muestran la distribución Normal para cada una de las series.

Los valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto oscilan entre

12.44kg-f/cm2 y 729.80 kg-f/cm2. La media obtenida con los valores originales es

301.23kg-f/cm2, la media de los valores aleatorios es 307.36 kg-f/cm2. En la Figura 3-7 se

muestra la distribución Normal asociada a los 1500 valores generados.



Tabla 3-8 Análisis estadístico de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c)

Aleatorios f’c

Media 307.36

Error típico 3.36

Mediana 301.81

Moda 537.23




Mínimo 12.44

Máximo 729.80

Cuenta 1500.00


Figura 3-7 Distribución de probabilidad de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c). Tomado de Bestfit.

Los 1000 valores aleatorios que se generaron para el esfuerzo de fluencia del acero

varían entre 351.20MPa y 503.93MPa. La media de estos valores es de 425.53MPa,

similar a la media obtenida en el análisis estadístico realizado para todos los datos de la

resistencia a la fluencia, 425.97MPa. Por otro lado, en la Figura 3-8 se muestra la

distribución de probabilidad que mejor se ajusta: Normal.



Tabla 3-9 Análisis estadístico de 1000 valores aleatorios de la resistencia a la fluencia (fy)

Aleatorios fy

Media 425.525

Error típico 0.754

Mediana 425.391

Moda 424.551




Mínimo 351.204

Máximo 503.927

Cuenta 1000.000


Figura 3-8 Distribución de probabilidad de 1000 valores aleatoreos del esfuerzo de fluencia del acero (fy). (Tomado de Bestfit).



3.4 FÓRMULA PARA DETERMINAR EL MÓDULO DE

ELASTICIDAD

Al graficar el módulo de elasticidad y raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del

concreto se obtiene la relación planteada por el Código Colombiano de Construcción

Sismo Resistente (NSR-10). Sin embargo, siguiendo las recomendaciones hechas en

(Ruiz, Vacca y León, 2007), para concretos de Bogotá, y con los datos recolectados para

este trabajo, se obtuvo la Gráfica 3-8 A) y B).

Gráfica 3-8 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional.

E = 10591(f'c)1/2

R² = 0.5763

0

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

350,000

400,000

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00

Mó

du

lo d

e el

asti

cid

ad -

E -(

(kg

-f 1

/2/c

m)

Raíz (f´c) (kg-f 1/2/cm)

E= 3317.1(f'c)1/2

R² = 0.5763

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Mó

du

lo d

e e

last

icid

ad -

E -

(MP

a 1

/2)

Raíz (f´c) (MPa 1/2)

A)

B)



Con la Gráfica 3-8 A) y B), se determinó la regresión lineal de la distribución de puntos y

se obtuvieron las ecuaciones Ec. 3.1 a y b.

(en kg/cm2) Ec. 3.1 a

(en MPa) Ec. 3.1 b

Con estas ecuaciones se calculó el módulo de elasticidad para realizar las simulaciones y

determinar la variabilidad de la deriva elástica e inelástica. Vale la pena aclarar que estas

nuevas regresiones, calculadas con los datos usados en (Ruiz, Vacca y León, 2007) y

varios cientos de datos adicionales no arrojaron una gran variación. Específicamente en

(Ruiz, Vacca y León, 2007) se reportó una regresión en MPa muy similar a la anterior

(véase la ecuación 3.2).

(en MPa) Ec. 3.2

En la Gráfica 3-9 se presenta la línea de ajuste mostrada anteriormente, con su respectivo

R2 (0.57). Por otro lado, se muestran las líneas que definen el intervalo de confianza (al

99 %) de la ecuación de ajuste por mínimos. Es obvio que en la zona en donde hay

menos datos la incertidumbre crece de forma importante (f`c0.5<4 y f`c0.5>6).

Obsérvese también que la curva sugerida por la normativa vigente en

MPa, está muy por encima de la ecuación de ajuste para los concretos bogotanos que se

observa en la figura, ya que el coeficiente que multiplica a (4700 en MPa) es un 39%

inferior al valor de la regresión estadística (3317 en MPa).

Aunque en la referencia AIS (2010) se deja la opción de usar valores de E inferiores,

queda únicamente como una simple sugerencia que muchos calculistas nunca usarán.



Gráfica 3-9 Regresión estadística para el módulo de elasticidad.


Página 88 de 188 Diseño de pórticos

4 DISEÑO DE PÓRTICOS

De acuerdo con la actualización del Código Colombiano de Construcción Sismo

Resistente NSR – 10 y la microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010), y

tomando como referencia la planta usada por García (1996), se realizó el diseño de 2

edificios tridimensionales con losas en una dirección, siendo los pórticos cargueros

aquellos con mayores luces entre apoyos.

Figura 4-1. Planta Típica adaptada de García (1996).

Para las simulaciones, se tomó el diseño del pórtico central correspondiente al eje 3, de 5

pisos, con luces de 9 metros y altura de entrepiso de 3 m.

Figura 4-2. Esquema pórtico eje 3.


Diseño de pórticos Página 89 de 188

El diseño del edificio se realizó con base en las características típicas de los materiales

con los que se diseña en Bogotá.

Tabla 4-1 Características de los materiales

Características de los materiales

γconcreto 24 kN/m³

f'c 28 MPa

Econcreto 20636.86 MPa

fy 420 MPa

El módulo de elasticidad se determinó mediante la ecuación Ec. 4.1. tomada

directamente de la NSR-10. Vale la pena aclarar, que a pesar de que en apartados

anteriores se indicó que para Bogotá usar este valor de módulo pueden ser poco

conservativo, se buscó en el presente trabajo realizar un diseño a la luz de la

normatividad vigente y no con las recomendaciones hechas por diferentes autores.

(en MPa) Ec. 4.1

Para realizar el análisis, se tomaron los dos casos más críticos para suelo rocoso (donde

el estrato de suelo es pequeño) y el segundo caso suelo blando (donde el estrato de suelo

rocoso se encuentra a gran profundidad). Se utilizaron dos espectros de diseño

característicos de la nueva microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010):

Piedemonte B y Lacustre-500.

En la Tabla 4-2 se muestran el ancho de la plataforma y la aceleración espectral en la

plataforma para cada espectro de diseño.

Tabla 4-2 Características espectros de diseño

Piedemonte B Lacustre-500

Plataforma 0 - 0,56 segundos 0 - 1.82 segundos

Aceleración espectral

0.731 g 0.356 g



Gráfica 4-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá.

4.1 METODOLOGÍA DE DISEÑO

El diseño de los pórticos se realizó de acuerdo con los lineamientos del Reglamento de

Construcción Sismo Resistente NSR-10 (Decreto 926 de 2010), y los espectros de diseño

mencionados anteriormente, seleccionados de la microzonificación sísmica de Bogotá

(Decreto 523 de 2010).

Teniendo en cuenta que se planteó realizar el análisis de la variabilidad de la deriva en

pórticos de concreto reforzado de Bogotá, se asumió un sistema aporticado en una

dirección y se realizó el análisis sobre pórticos cargueros en la dirección en las que las

luces eran mayores (dirección X)

4.1.1 Avalúo de Cargas.

Se determinaron las cargas muertas y vivas para establecer el peso total de los pórticos,

incluyendo el peso de los elementos estructurales y no estructurales.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 1 2 3 4 5 6 7

Sa (

g)

Periodo (s)

Espectro de Diseño

CERROS PIEDEMONTE APIEDEMONTE B PIEDEMONTE CLACUSTRE-50 LACUSTRE-100LACUSTRE-200 LACUSTRE-300LACUSTRE-500 LACUSTRE ALUVIAL-200



4.1.1.1 Carga muerta

El avalúo de la carga muerta se realizó según lo consignado en el título B de la NSR-10.

Se determinó el peso del entrepiso por metro cuadrado para poderlo asignar por metro

lineal a los pórticos.

En la Tabla 4-1 se mencionan las características de los materiales con los que se

diseñaron los pórticos. En la Tabla 4-3 se muestran las dimensiones del entrepiso y en la

Tabla 4-4 se establece el peso por metro cuadrado del entrepiso y elementos no

estructurales para los pisos intermedios (piso 2, 3, 4 y 5).

Tabla 4-3. Características de la losa de entrepiso.

Longitud 7.5 m

Altura entrepiso calculado 0.405 m

Altura entrepiso 0.42 m

Losa superior 0.05 m

Losa inferior 0.03 m

Altura vigueta 0.34 m

Ancho vigueta 0.15 m

Figura 4-3 Sección transversal losa.

Tabla 4-4. Avalúo de carga muerta para pisos intermedios.

Carga Muerta (kN/m²) Pisos 2-penúltimo

Losa superior 1.2 kN/m²

Losa inferior 0.72 kN/m²

Vigueta 1.224 kN/m²

Casetón 0.2 kN/m²

Muros divisorios 2.931 kN/m²

Afinado 1.5 kN/m²

TOTAL 7.775 kN/m²



Con el peso por metro cuadrado de entrepiso, se establece el peso por metro lineal

tomando el área aferente de los pórticos (7.5 m).

Tabla 4-5. Peso por metro lineal vigas para pisos intermedios.

Pórticos Cargueros Pisos 2-penúltimo

Vigas 58.319 kN/m

El avalúo de cargas del último piso, correspondiente a la cubierta, se realiza aparte, pues

los elementos no estructurales tenidos en cuenta para dicho avalúo son diferentes (ver

Tabla 4-6). Adicionalmente, en la Tabla 4-7 se establece el peso por metro lineal para el

pórtico.

Tabla 4-6. Avalúo de carga muerta para la cubierta.

Carga Muerta (kN/m²) Cubierta

Losa superior 1.2 kN/m²

Losa inferior 0.5 kN/m²

Vigueta 1.224 kN/m²

Capa Bituminosa 0.22 kN/m²

Casetón 0.2 kN/m²

TOTAL 3.344 kN/m²

Tabla 4-7. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta.

Pórticos Cargueros Cubierta

Vigas 25.08 kN/m

En la Figura 4-4 se muestra mediante un esquema de SAP2000® la asignación de la

carga muerta para los pórticos con los valores obtenidos en la Tabla 4-4 y en la Tabla 4-6.



Figura 4-4. Asignaciones de carga muerta. Tomado de SAP2000®

4.1.1.2 Carga viva

El avalúo de la carga viva en los pórticos se realizó de acuerdo al título B de la NSR-10.

Conociendo la carga por metro cuadrado correspondiente a vivienda, se determinó la

carga por metro lineal para el pórtico en sus pisos intermedios (piso 2, 3, 4 y 5) como se

muestra en la Tabla 4-8.

Tabla 4-8. Avalúo de carga Viva.

Carga Viva (kN/m²)

Uso: Residencial 1.8 kN/m²

Pórticos Cargueros

Vigas 13.5 kN/m

En la Figura 4-5, se muestra la distribución de la carga viva en el pórtico.



Figura 4-5. Asignación de carga viva. (Tomado de SAP2000®)

4.2 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS

El análisis estructural de una edificación se puede realizar mediante diferentes métodos

definidos en El Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10. Existe la

posibilidad de realizarlo por el método de la fuerza horizontal equivalente, en donde a

partir de la rigidez de cada piso, se asignan cargas horizontales en el centro de masa del

piso, de acuerdo con la aceleración espectral de la zona en la que vaya a ser construida

la edificación.

Sin embargo, esta metodología asume periodos de edificaciones basándose únicamente

en su altura, y no en su rigidez y su masa, que son las verdaderas variables que

gobiernan el periodo fundamental de una estructura.

El análisis de los pórticos se realizó mediante el método de análisis dinámico elástico

espectral. Los requerimientos más importantes de esta metodología incluyen el garantizar

una participación máxima de mínimo 90%, por lo que se debe juzgar cuántos modos

utilizar para el análisis.

La herramienta para realizar el presente trabajo es el programa de análisis SAP2000®,

que diferencia una asignación de cargas de una asignación de masas. Es por esto que se

requiere indicarle al programa la fuente de masas que se debe utilizar para realizar el

análisis modal. Para este caso, las mismas cargas muertas (incluidas las cargas debidas



al peso propio de los elementos) fueron la fuente de masa para la asignación de masas,

utilizando la función de “Mass Source”.

Finalmente, para conocer el comportamiento sísmico de la estructura aprovechando sus

formas modales de movimiento, se utilizan los espectros de diseño de Piedemonte-B y

Lacustre-500 de la microzonificación Sísmica de Bogotá. Ingresando estos como

funciones de “Response Spectrum” y agregando casos de análisis de espectro de

respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz cuadrada de la

suma de los cuadrados, conocida en SAP2000® como SRSS (Square Root Sum Square).

4.2.1 Dimensionamiento de elementos estructurales

De acuerdo con el capítulo B del Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente

NSR-10, para el método de resistencia, se deben evaluar las solicitaciones de carga

mediante 7 combinaciones de carga, que combinan carga muerta, carga viva, carga de

viento, carga de sismo, cargas de presión lateral del suelo, cargas de empozamiento de

agua y granizo.

Las dimensiones de las vigas y de las columnas se variaron hasta conseguir cumplir con

una deriva máxima del 1% para cada una de las 7 combinaciones de carga.

Con las dimensiones preliminares de los elementos estructurales que garantizan derivas

inferiores al 1%, se procedió a revisar las solicitaciones de fuerzas internas (axial, cortante

y momento) de cada una de las combinaciones de carga.

Las solicitaciones de carga se realizan teniendo en cuenta que la fuerza sísmica debe

estar atenuada por el factor R de capacidad de disipación de energía, que para Bogotá,

estando en una zona de amenaza sísmica intermedia, debe garantizar una disipación

moderada de energía, o DMO. (AIS, 2010). De acuerdo con lo anterior y con la referencia

(AIS, 2010), el valor del factor R que se utilizó fue 5.

En términos generales, el diseño de las vigas estuvo gobernado principalmente por la

combinación de carga B.2.4-2 (AIS, 2010), en donde se aplica un 20% más de carga

muerta, y un 60% más de carga viva como factores de mayoración.



Para el caso de las columnas, la combinación de carga B.2.4-5 (AIS, 2010) que aplica un

factor de mayoración de 1.2 para la carga muerta, y a esto le suma tanto la carga viva

como la carga sísmica sin mayorar

Al finalizar el predimensionamiento gobernado por derivas, y las dimensiones finales con

la comprobación de solicitaciones, se obtuvieron para los dos pórticos, tres tipos de

columnas y dos tipos de vigas diferenciadas en su refuerzo.

Tabla 4-9. Dimensiones de elementos estructurales

Tipo

Piedemonte-B Lacustre-500

Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m) Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m)

VIGA5 - 0.5 0.7 - 0.5 0.6

VIGA1-4 - 0.5 0.7 - 0.5 0.6

COLCENTRO 1.8 0.5 - 0.4 1.9 -

COLY 0.6 2 - 0.5 1.6 -

CCENTRO - - - 1.9 0.4 - Nota: Dir x corresponde a la dimensión en dirección del pórtico y Dir y corresponde a la dimensión en dirección

perpendicular al pórtico

En la Figura 4-6 y en la Figura 4-7 se muestra la asignación de las vigas y de las

columnas en el pórtico.

Figura 4-6 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000®



Figura 4-7 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000®

4.2.2 Modos de vibración.

Los modos de vibración de las estructuras dependen de su masa y su rigidez, y éstas

están gobernadas por las dimensiones de sus elementos. Así pues, con las dimensiones

finales, se obtuvieron las siguientes formas modales y factores de participación modal de

masa, tanto para cada modo, como acumulativas. Se realizó un análisis en el plano XZ, lo

que hace que la participación de la masa que aparece en la Tabla 4-10 y en la Tabla 4-11

sea en dirección X.



Tabla 4-10 Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para Piedemonte-B.

Piedemonte-B

Modo Periodo

(s) Participación de

Masa (%)

Participación de Masa Acumulada

(%)

1 0.90 66.35% 66.35%

2 0.23 24.39% 90.74%

3 0.10 0.00% 90.74%

4 0.10 0.00% 90.74%

5 0.10 0.00% 90.74%

6 0.10 4.32% 95.06%

7 0.08 0.00% 95.06%

8 0.08 0.00% 95.06%

9 0.06 4.37% 99.42%

10 0.05 0.58% 100.00%

11 0.04 0.00% 100.00%

12 0.04 0.00% 100.00%

13 0.04 0.00% 100.00%

14 0.03 0.00% 100.00%

15 0.03 0.00% 100.00%

16 0.02 0.00% 100.00%

17 0.02 0.00% 100.00%

18 0.02 0.00% 100.00%

19 0.02 0.00% 100.00%

20 0.02 0.00% 100.00%



Tabla 4-11. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa Lacustre-500.

Lacustre-500

Modo Periodo

(s) Participación de

Masa (%)

Participación de Masa Acumulada

(%)

1 0.90 75.98% 75.98%

2 0.24 14.62% 90.60%

3 0.12 5.99% 96.59%

4 0.08 0.00% 96.59%

5 0.08 0.00% 96.59%

6 0.08 0.00% 96.59%

7 0.07 2.65% 99.24%

8 0.06 0.00% 99.24%

9 0.06 0.00% 99.24%

10 0.05 0.76% 100.00%

11 0.03 0.00% 100.00%

12 0.03 0.00% 100.00%

13 0.03 0.00% 100.00%

14 0.02 0.00% 100.00%

15 0.02 0.00% 100.00%

16 0.02 0.00% 100.00%

17 0.02 0.00% 100.00%

18 0.02 0.00% 100.00%

19 0.01 0.00% 100.00%

20 0.01 0.00% 100.00%

Como se puede apreciar, se restringió el caso de análisis modal a 20 modos, ya que esta

combinación garantizó una participación acumulada de masa de más del 90%, como lo

exige la NSR-10. (AIS, 2010).

4.2.3 Diseño de concreto reforzado.

El diseño del refuerzo de las vigas y las columnas sólo se realizó en los nudos, ya que en

los nudos es donde se presentan las rótulas plásticas, que se necesitan para el análisis

no lineal estático de Pushover, adicionalmente estas zonas en donde ocurre la

plastificación y es donde se concentran las mayores solicitaciones sísmicas. Por otro lado,

no se tomó en cuenta la reducción del refuerzo longitudinal en las columnas, aunque en



los últimos pisos la solicitación fuera menor. Sin embargo, las vigas intermedias tuvieron

un diseño diferente a las vigas de cubierta por la distribución de esfuerzos en las mismas.

En la Figura 4-9 y en la Figura 4-16 muestra la orientación de los elementos en cada

pórtico, en la Tabla 4-12 y en la Tabla 4-13 se muestra el refuerzo longitudinal tanto para

vigas como para columnas. Finalmente se muestran las secciones transversales de los

elementos estructurales indicando las dimensiones y el refuerzo de cada una.

Figura 4-8 Orientación y dimensiones columnas Lacustre.

Figura 4-9 Orientación columnas para pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000®



Tabla 4-12 Refuerzo para pórtico Lacustre.

Tipo

Lacustre-500 Refuerzo

Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m)

VIGA5 - 0.5 0.6 5 No 7

VIGA1-4 - 0.5 0.6 9 No 8

COLCENTRO 0.4 1.9 - 16 No 8

COLY 0.5 1.6 - 16 No 8

CCENTRO 1.9 0.4 - 16 No 8

Figura 4-11 Sección transversal COLCENTRO. Laustre

Figura 4-10Sección transversal COLY. Lacustre

Figura 4-12 Sección transversal CCENTRO. Lacustre



Figura 4-15 Orientación y dimensiones columnas Piedemonte.

Figura 4-16 Orientación columnas para pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000®

Figura 4-14 Sección transversal Viga 1-4. Lacustre

Figura 4-13 Sección transversal Viga 5. Lacustre



Tabla 4-13 Refuerzo para pórtico Piedemonte

En los dos pórticos el diseño a cortante estuvo gobernado por parámetros constructivos

ya que el cortante es absorbido por el concreto. Esto debido a las dimensiones de los

elementos y la dimensión de las luces de los pórticos.

Un análisis no lineal estático de Pushover implica que son los nudos de los elementos

estructurales los que se plastifican, por lo que sólo se calculó el refuerzo longitudinal, el

refuerzo transversal para la zona cercana a los nudos, o zona de confinamiento, y no se

realizó un cálculo de la separación de los flejes en zonas diferentes a los nudos.

Figura 4-17 Sección transversal COLCENTRO. Piedemonte

Figura 4-18 Sección transversal COLY. Piedemonte

Figura 4-20 Sección transversal Viga 1-4. Piedemonte.

Figura 4-19 Sección transversal Viga5. Piedemonte.

Tipo

Piedemonte-B Refuerzo

Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m)

VIGA5 - 0.5 0.7 6 No 7

VIGA1-4 - 0.5 0.7 9 No 8

COLCENTRO 1.8 0.5 - 18 No 8

COLY 0.6 2 - 24 No 8


Página 104 de 188 Deriva Elástica

5 DERIVA ELÁSTICA

El análisis de la variabilidad de la deriva elástica se realizó mediante dos métodos

propuestos en el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10): El

análisis dinámico elástico espectral y la fuerza horizontal equivalente.

Para los dos métodos, se define la deriva elástica como:

Ec.5.1

Donde:

: Deriva máxima

: Desplazamiento horizontal máximo de un punto en el piso i.

: Desplazamiento horizontal máximo de un punto localizado en el mismo eje

vertical localizado en el piso inmediatamente inferior (i-1).

: Altura del piso i.

Para realizar el análisis se tomaron 1000 valores aleatorios de la resistencia a la

compresión del concreto (f’c) generados como se describió en el numeral 3.3. Con estos

valores se utilizó la ecuación Ec. 3.1a para determinar 1000 valores de módulo de

elasticidad del concreto.

Las estadísticas y los diagramas de frecuencia se realizaron mediante la herramienta

Microsoft Excel y el análisis para conocer la distribución de probabilidad se realizó

mediante el programa Bestfit. Lo anterior con las derivas máximas obtenidas en las

simulaciones.

Con el fin de establecer si la muestra estadística de 1500 puntos era confiable para

estimar cada una de las cuatro derivas, se presenta en la Gráfica 5-1 la evolución de las

derivas elásticas para diferentes simulaciones, en donde se hace evidente que a partir

200 simulaciones los valores medios de las deriva estimadas se mantienen

aproximadamente constantes. Las derivas de los dos edificios diseñados y los dos

análisis tienen un comportamiento similar puesto que se analizaron los mismos 1500


Deriva Elástica Página 105 de 188

datos de f `c y E para las edificaciones. Por otro lado, la desviación estándar de las

muestras analizadas tuvo un comportamiento similar.

Gráfica 5-1 Comportamiento de la deriva en función del número de simulaciones

5.1 VISUAL BASIC

Con el fin de realizar las simulaciones para la obtención de la deriva elástica, se utilizó la

interfaz que tiene el programa SAP2000® desde su versión 11 para manejar la mayoría de

sus comandos desde la aplicación Visual Basic. Con esto, se creó una macro en Microsoft

Excel que hace ciclos en los que cambia el valor del módulo de elasticidad del concreto

en el modelo del pórtico plano realizado en SAP2000® y guarda los resultados en Excel.

A continuación se muestra el código utilizado con sus respectivos comentarios.

Sub Sap2000_modulo()

Dim SapObject As Sap2000.SapObject Dim ret As Long Dim coordmodulo As Range Dim coordfc As Range Dim totale As Integer Dim Nmodulo As Integer

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1 10 100 1000

De

riva

pro

me

dio

(%)

Número de simulaciones

Modal espectral Lacustre 500 Modal espectral Piedemonte B

Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre 500 Fuerza Horizontal Equivalente Piedemonte B



Dim Nfc As Integer Dim modulo As Double Dim fc As Double Dim Poi As Double Dim ExTe As Double Dim NumResult As Long Dim obj() As String Dim elm() As String Dim acase() As String Dim StepType() As String Dim stepnum() As Double Dim u1() As Double Dim u2() As Double Dim u3() As Double Dim r1() As Double Dim r2() As Double Dim r3() As Double Dim i As Integer Dim resultados As Range 'Variación Módulo de Elasticidad del Concreto Poi = Range("c5") ExTe = Range("c6") Set coordmodulo = Range("e3:e102") Set coordfc = Range("f3:f102") totale = coordmodulo.Rows.Count For Nmodulo = 1 To totale modulo = coordmodulo(Nmodulo, 1).Value fc = coordfc(Nmodulo, 1).Value 'Propiedades material "Concreto" 'ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete_1("Concreto", fc, False, fcsfactor, SSType, SSHysType, StrainAtfc, strainUltimate) ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete("Concreto", fc, False, 1, 1, 2, 0.002, 0.003) ret = SapModel.PropMaterial.SetMPIsotropic("Concreto", modulo, Poi, ExTe) 'Correr modelo ret = SapModel.Analyze.RunAnalysis 'Limpiar todos los casos y combos en resultados ret = SapModel.Results.Setup.DeselectAllCasesAndCombosForOutput 'Escoger casos para mostrar resultados ret = SapModel.Results.Setup.SetCaseSelectedForOutput("100x30ypiedemonte") 'Obtener los desplazamientos de los nudos



ret = SapModel.Results.JointDispl("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, u1, u2, u3, r1, r2, r3) 'Pasar los resultados a Excel Set resultados = Range("h3:dc102") For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Nmodulo).Value = u1(i) Next i 'Desbloquear archivo ret = SapModel.SetModelIsLocked(False) Next Nmodulo End Sub

Nótese que se tomó un valor constante para la relación de Poisson igual a 0.2 y un valor

constante para el coeficiente de expansión térmica igual a 9.9 x 10-6. Adicional a esto, el

valor strainUltimate se tomó como 0.003 y el valor StrainAtfc se tomó como 0.002.

5.2 PIEDEMONTE-B

En la Gráfica 5-2 se presenta el espectro de diseño de la zona Piedemonte-B tomado de

la Microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010), con el que se realizó el

análisis de la deriva elástica.

Gráfica 5-2 Espectro de diseño Piedemonte-B. (Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá, Decreto 523 de 2010).



5.2.1 Análisis dinámico elástico espectral

Como se mencionó anteriormente, para realizar el análisis dinámico elástico espectral se

ingresó el espectro correspondiente a Piedemonte-B como una función de “Response

Spectrum” y agregando el caso de análisis de espectro de respuesta, utilizando el método

de combinación estadística de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en

SAP2000® como SRSS (Square Root Sum Square).

Con el caso de análisis definido en SAP2000®, se realizaron 1000 simulaciones y se

encontró la deriva máxima para cada simulación. Posteriormente, con los valores

encontrados de deriva elástica, se obtuvieron los resultados presentados en la Gráfica 5-3

y en la Tabla 5-1. Adicional a esto, se determinó la distribución de probabilidad que mejor

se ajustara a estos resultados, obteniendo una distribución Pearson5 como se muestra en

la Figura 5-1.

Gráfica 5-3 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.4

0.4

5

0.5

0.5

5

0.6

0.6

5

0.7

0.7

5

0.8

0.8

5

0.9

0.9

5 1

1.0

5

1.1

1.1

5

1.2

1.2

5

1.3

1.3

5

1.4

1.4

5

1.5

1.5

5

1.6

1.6

5

1.7

1.7

5

1.8

1.8

5

1.9

1.9

5 2

2.0

5

Fre

cue

nci

a

Deriva




Tabla 5-1 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte.

Deriva

Media 0.861

Error típico 0.008

Mediana 0.792

Moda 0.795




Mínimo 0.521

Máximo 1.964

Cuenta 1000.000


Figura 5-1 Distribución de probabilidad para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).

De acuerdo con la Figura 5-1 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la

deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de



diseño Piedemonte-B, puede tener una deriva que toma valores entre 0.37% y 1.36%,

teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.7 %.

Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y

determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a

1500 simulaciones.

Tabla 5-2 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método del espectro - Piedemonte.

Deriva

Media 0.852


Máximo 1.964

Mínimo 0.530

Figura 5-2 Distribución de proabilidad para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro – Piedemonte. (Tomado de Bestfit)

Tabla 5-3 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte.

Deriva

Media 0.853


Máximo 1.964

Mínimo 0.521



Figura 5-3 Distribución de probabilidad para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit)

De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.852, con

1000 simulaciones 0.861 y con 1500 simulaciones 0.853, lo que verifica que con 1000

simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por

consiguiente para la distribución de probabilidad.

En la Gráfica 5-4 se muestran algunos de resultados típicos de la deriva en cada piso del

pórtico para diferentes módulos de elasticidad.

Gráfica 5-4 Resultados típicos deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte

1

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Pis

o

Deriva



5.2.2 Fuerza Horizontal Equivalente

Las fuerzas sísmicas horizontales para realizar el análisis de la deriva elástica al pórtico

se obtuvieron tomando como referencia lo mencionado en el Capítulo A.4 del Código

Colombiano de construcción Sismo Resistente (NSR-10). Vale la pena aclarar que se usó

siempre el mismo periodo especificado en la norma sismo resistente; a pesar de que es

obvio que en la medida que se cambia el módulo de elasticidad varía el periodo

estructural. Sin embargo debe recordarse que la fórmula para calcular el periodo de una

edificación en la NSR-10 NO depende de la rigidez ni tampoco de la masa; simplemente

depende del sistema estructural y de la altura de la edificación.

En la Tabla 5-4 se presenta la fuerza sísmica horizontal Fx aplicada al pórtico para

realizar el análisis mediante la Fuerza Horizontal Equivalente (FHE).

Tabla 5-4 Fuerza horizontal equivalente - Piedemonte.

Piso Peso piso

(kN) h (m) Wxh

Cvx Fx (kN) Vs

5 1388.88 15 20833.2

0.20 1827.73 1827.73

4 2769.12 12 33229.44

0.32 2915.27 4743.01

3 2769.12 9 24922.08

0.24 2186.46 6929.46

2 2769.12 6 16614.72

0.16 1457.64 8387.10

1 2769.12 3 8307.36

0.08 728.82 9115.92

Σ 12465.36 103906.8

1.00 9115.92

En la Gráfica 5-5 y en la Tabla 5-5 se presentan los resultados obtenidos para 1000

derivas elásticas máximas, derivadas de las 1000 simulaciones realizadas con el método

de Fuerza Horizontal Equivalente. En la Figura 5-4 se muestra la distribución de

probabilidad que mejor se ajusta a los resultados: Pearson5.



Gráfica 5-5 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE – Piedemonte.

Tabla 5-5 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte.

Deriva

Media 0.998

Error típico 0.009

Mediana 0.918

Moda 0.694




Mínimo 0.603

Máximo 2.276

Cuenta 1000.000


0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

0.6

0.6

5

0.7

0.7

5

0.8

0.8

5

0.9

0.9

5 1

1.0

5

1.1

1.1

5

1.2

1.2

5

1.3

1.3

5

1.4

1.4

5

1.5

1.5

5

1.6

1.6

5

1.7

1.7

5

1.8

1.8

5

1.9

1.9

5 2

2.0

5

2.1

2.1

5

2.2

2.2

5

2.3

Fre

cue

nci

a

Deriva




Figura 5-4 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).



diseño Piedemonte-B, puede tener una deriva que toma valores entre 0.43% y 1.57%,


Con el fin de verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis

estadístico y determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a

500 y a 1500 simulaciones.

Tabla 5-6 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método FHE - Piedemonte.

Deriva - 500

Media 0.988


Máximo 2.276

Mínimo 0.614



Figura 5-5 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método FHE – Piedemonte. (Tomado de Bestfit).

Tabla 5-7 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE – Piedemonte.

Deriva

Media 0.998


Máximo 2.335

Mínimo 0.268

Figura 5-6 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).







En la Gráfica 5-6 se muestran resultados típicos obtenidos de la deriva elástica para los

pisos del pórtico, variando el módulo de elasticidad del concreto, analizado por el método

de la Fuerza Horizontal Equivalente.

Gráfica 5-6 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE - Piedemonte.

1

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Pis

o

Deriva



5.3 LACUSTRE-500

En la Gráfica 5-7 se muestra el espectro de la zona Lacustre-500 de la Microzonificación

sísmica de Bogotá, con el que se realizó el análisis de la deriva elástica.

Gráfica 5-7 Espectro de diesño Lacustre-500. Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá.

5.3.1 Análisis dinámico elástico espectral

El análisis dinámico elástico espectral se realizó ingresando el espectro correspondiente a

Lacustre-500 como una función de “Response Spectrum” y agregando el caso de análisis

de espectro de respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz

cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en SAP2000® como SRSS (Square Root

Sum Square).

Con el caso de análisis definido en SAP2000®, se realizaron 1000 simulaciones y se

encontró la deriva máxima para cada simulación. Posteriormente, con los valores

encontrados de deriva elástica, se obtuvieron los resultados presentados en la Gráfica 5-8

y en la Tabla 5-8. Adicional a esto, se determinó la distribución de probabilidad que mejor

se ajustara a estos resultados, obteniendo una distribución Pearson5 como se muestra en

la Figura 5-7.



Gráfica 5-8 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre.

Tabla 5-8 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro. Lacustre.

Deriva

Media 0.931

Error típico 0.008

Mediana 0.856

Moda 0.654




Mínimo 0.563

Máximo 2.123

Cuenta 1000.000


0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

140

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9 2

2.1

2.2

Fre

cue

nci

a

Deriva




Figura 5-7 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro – Lacustre. (Tomado de Bestfit).



diseño Lacustre-500, puede tener una deriva que toma valores entre 0.40% y 1.47%,




1500 simulaciones.

Tabla 5-9 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro – Lacustre.

Deriva

Media 0.921


Máximo 2.123

Mínimo 0.573



Figura 5-8 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre. (Tomado de Bestfit).

Tabla 5-10 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre.

Deriva

Media 0.931


Máximo 2.178

Mínimo 0.250

Figura 5-9 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro. (Tomado de Bestfit).







En la Gráfica 5-9 se muestran los resultados típicos de deriva elástica en cada piso,

utilizando el método del análisis dinámico elástico espectral, variando el módulo de

elasticidad del concreto (E).

Gráfica 5-9 Resultados deriva elástica por el método del espectro - Lacustre

5.3.2 Fuerza Horizontal Equivalente

Las fuerzas sísmicas horizontales para realizar el análisis de la deriva elástica al pórtico

se obtuvieron tomando como referencia lo mencionado en el Capítulo A.4 del Código

Colombiano de construcción Sismo Resistente (NSR-10).

En la Tabla 5-1 se presenta la fuerza sísmica horizontal Fx aplicada al pórtico para

realizar el análisis mediante la Fuerza Horizontal Equivalente (FHE).

1

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Pis

o

Deriva



Tabla 5-11 Fuerza Horizontal Equivalente - Lacustre.

Peso piso h Wxh Cvx Fx Vs

5 1329.12 15 19936.8 0.20 851.84 851.84

4 2638.08 12 31656.96 0.32 1352.61 2204.45

3 2638.08 9 23742.72 0.24 1014.46 3218.90

2 2638.08 6 15828.48 0.16 676.30 3895.21

1 2638.08 3 7914.24 0.08 338.15 4233.36

Σ 11881.44

99079.2 1.00 4233.36

Los resultados obtenidos en las 1000 simulaciones realizadas con el método de Fuerza

Horizontal Equivalente se muestran en la Gráfica 5-8 y en la Tabla 5-8. En la Figura 5-10

se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados: Pearson5.

Gráfica 5-10 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE – Lacustre.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0

20

40

60

80

100

120

140

0.6

0.6

5

0.7

0.7

5

0.8

0.8

5

0.9

0.9

5 1

1.0

5

1.1

1.1

5

1.2

1.2

5

1.3

1.3

5

1.4

1.4

5

1.5

1.5

5

1.6

1.6

5

1.7

1.7

5

1.8

1.8

5

1.9

1.9

5 2

2.0

5

2.1

2.1

5

2.2

2.2

5

Fre

cue

nci

a

Deriva




Tabla 5-12 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE – Lacustre.

Deriva

Media 0.968

Error típico 0.009

Mediana 0.890

Moda 0.674




Mínimo 0.585

Máximo 2.208

Cuenta 1000.000

Nivel de confianza(95.0%) 0.017

Figura 5-10 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit).



diseño Lacustre-500, puede tener una deriva que toma valores entre 0.41% y 1.52%,

teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.8%.





1500 simulaciones.

Tabla 5-13 Análisis estadístico de 500 valores de deriva elástica por el método de FHE – Lacustre.

Deriva

Media 0.958


Máximo 2.208

Mínimo 0.596

Figura 5-11 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método de FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit).

Tabla 5-14 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE – Lacustre.

Deriva

Media 0.967


Máximo 2.208

Mínimo 0.227



Figura 5-12 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE - Lacustre. (Tomado de Bestfit).





En la Gráfica 5-11 se presentan resultados típicos de la deriva elástica en cada piso,

calculadas mediante el método de la Fuerza Horizontal Equivalente, variando el módulo

de elasticidad.

Gráfica 5-11 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE – Piedemonte.

1

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Pis

o

Deriva



5.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS

De acuerdo con el numeral A.6.1.3 del Código Colombiano de Construcción Sismo

Resistente (NSR-10), la necesidad de controlar la deriva está asociada con evitar la

deformación inelástica de los elementos estructurales y no estructurales, garantizar la

estabilidad global de la estructura durante un temblor y evitar los daños a los elementos

estructurales que no hacen parte del sistema de resistencia sísmica y a los elementos no

estructurales, tales como muro divisorios, particiones, enchapes, acabados, instalaciones

eléctricas, mecánicas, etc. Por esta razón, en el numeral A.6.4.1, define para estructuras

de concreto reforzado que la deriva máxima debe ser del 1% (Figura 5-13).

Figura 5-13 Deriva máxima permitida en la NSR-10. (Tomado de (AIS, 2010)).

En la actualidad, las estructuras que se diseñan deben cumplir con la NSR-10, y en su

versión anterior con el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-98).

Estas normas presentan el mismo límite de deriva máxima para estructuras de concreto

reforzado que es del 1%.

Sin embargo, en las simulaciones realizadas a pórticos diseñados con los requisitos

establecidos en la NSR-10, la microzonificación sísmica de Bogotá y variando únicamente

el módulo de elasticidad del concreto (E), se encontró que las derivas tienen una

variabilidad ligada directamente con la variabilidad del módulo de elasticidad en concretos

de Bogotá.

Lo que quiere decir que una estructura de concreto reforzado diseñada con materiales de

Bogotá y con una deriva de diseño de 0.7%, como el pórtico analizado en la zona de

Piedemonte, puede alcanzar derivas de hasta 1.57% (Tabla 5-15), lo que se traduce en

un aumento de más del 100% en la deriva de diseño y un aumento de hasta el 60% con

respecto a la máxima estipulada en la NSR-10.



Tabla 5-15 Resumen resultados deriva elástica para Piedemonte B.

Deriva elástica - Piedemonte B

Deriva de diseño 0.70

Espectro FHE

Simulaciones

Media (μ) 0.861 0.998

Desviación estándar (σ) 0.247 0.286

μ + 2σ 1.355 1.570

Por otro lado, se puede realizar el mismo análisis en el caso de una estructura de

concreto reforzado diseñada con materiales de Bogotá, en la zona Lacustre 500, con una

deriva de diseño igual a 0.8%. De acuerdo con el análisis realizado, para estas

condiciones, la deriva puede alcanzar valores de hasta 1.52% (Tabla 5-16) si se realiza

mediante el método de la Fuerza Horizontal Equivalente, lo que equivale a un aumento de

más del 100% en la deriva de diseño, y un aumento de 65% con respecto a la deriva

máxima estipulada en la NSR-10.

Tabla 5-16 Resumen resultados deriva elástica para Lacustre 500.

Deriva elástica - Lacustre 500

Deriva de diseño 0.80

Espectro FHE

Simulaciones

Media (μ) 0.931 0.968

Desviación estándar (σ) 0.267 0.278

μ + 2σ 1.465 1.523

La diferencia entre la deriva de diseño y la deriva real que se puede presentar en un

evento sísmico, como consecuencia de la variabilidad de las propiedades mecánicas de

los materiales. Esto puede significar el daño de elementos no estructurales o la

estabilidad global de la estructura, o en palabras de (Gallego, M.; Sarria, A., 2006), puede

ser la diferencia entre un desastre y la supervivencia de los elementos estructurales y no

estructurales de una edificación.



Figu

ra 5

-14

Aná

lisi

s es

tadí

stic

os y

func

ione

s de

dis

trib

ució

n de

pro

babi

lida

d aj

usta

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ara

la d

eriv

a de

los

dos

edif

icio

s di

seña

dos

(con

Pie

dem

onte

B y

con

Lacu

stre

500

) y

para

aná

lisi

s m

odal

esp

ectr

al y

par

a fu

erza

hor

izon

tal e

quiv

alen

te



En la Figura 5-14 se muestra el resumen de los resultados obtenidos para el pórtico

diseñado con el espectro de Lacustre-500 y Piedemonte-B por los métodos Modal

Espectral y Fuerza Horizontal Equivalente. Adicionalmente se señala el límite señalado en

la NSR-10 para la deriva máxima (1%), con lo anterior, se puede ver que en el peor de los

casos el 62% de la muestra estadística (para FHE y para el edificio diseñado en

Piedemonte B) cumplan con una deriva máxima de 1%. Lo anterior es consistente con

que el coeficiente de asimetría en todos los casos indica que las funciones de distribución

tienen la tendencia hacia valores superiores al límite del 1%.

Por otro lado en la Gráfica 5-12 se presentan las probabilidades de excedencia asociadas

con las funciones de distribución de probabilidad de la Figura 5-14. De acuerdo con estos

datos, en promedio 52 de cada 100 edificios de cinco pisos construidos en Bogotá con la

NSR-10 y tendrían derivas mayores a la deriva de diseño al ser cometidas a las fuerzas

sísmicas de la nueva microzonificación (Decreto 523 de 2010).

Gráfica 5-12 Probabilidad de excedencia de la deriva máxima con respecto a la deriva de diseño.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Pro

bab

ilid

ad d

e ex

ced

enci

a

Deriva máxima/Deriva de diseño

Modal espectral Lacustre 500 Modal Espectral Piedemonte B

Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre 500 Fuerza Horizontal Equivalente Piedemonte B


Página 130 de 188 Deriva inelástica

Sigla Nivel de daño

B Esfuerzo de fluencia de la sección

IO Nivel de ocupación inmediata

LS Nivel de protección a la vida

CP Prevención de colapso

C Rango de seguridad limitada

D Estabilidad estructural

E Colapso

6 DERIVA INELÁSTICA

La deriva inelástica se define como la máxima deriva presentada en el pórtico en cada

paso considerado en el análisis no lineal estático de Pushover.

Para realizar el análisis no lineal estático de Pushover, es necesario asignar a las vigas y

a las columnas los diagramas momento curvatura y adicionalmente, a las columnas, se

les debe asignar el diagrama de interacción. Ya que los valores de los diagramas

momento curvatura y el diagrama de interacción se determinan con las características de

los materiales y de las secciones, se asignaron automáticamente mediante la herramienta

SAP2000®.

Con los parámetros necesarios para el análisis, el programa está en capacidad de inducir

esfuerzos generados por incrementos en el desplazamiento de la estructura, de tal forma

que se puede observar cómo se degrada la rigidez de cada elemento. La variación del

comportamiento de los elementos es monitoreada por el programa SAP2000® a través de

los siguientes niveles de desempeño:

Figura 6-1 Diagrama de momento rotación con los niveles de daño


Deriva inelástica Página 131 de 188

Un análisis de Pushover muestra el mecanismo de colapso de una estructura en pasos de

carga, adicionalmente desplaza a la estructura una distancia definida al inicio del análisis.

Con los resultados obtenidos en cada simulación se calcularon las derivas máximas en el

paso 3, 4, 5 y 6 del análisis de Pushover, pues como se observará en el desarrollo del

presente capítulo, es en estos pasos donde los pórticos presentan rótulas B, IO y LS.

De acuerdo con el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), la

deriva, determinada con análisis no lineales se debe tomar verificando el desempeño de

la totalidad de los elementos estructurales en un rango de desempeño no mayor a

“Protección a la vida”, correspondiente a LS en el programa SAP2000®.

Cada pórtico fue sometido a 40.000 análisis no lineales estáticos de Pushover (uno para

cada combinación de f’c y fy), lo que hacen un total de 80.000 simulaciones. Fueron

40.000 análisis teniendo en cuenta que se combinaron 200 valores aleatorios de f`c con

200 valores aleatorios de fy, para un total de 40.000 datos. Vale la pena mencionar que

para el cálculo de las rótulas (automáticas por SAP 2000) la relación entre la resistencia

máxima del acero (fu) y la resistencia a la fluencia del acero (fy) se mantuvo en el valor

medio de los análisis estadísticos de laboratorio presentados en capítulos anteriores.

Dicho valor se supuso constante en 1.48=fu/fy.

6.1 VISUAL BASIC

Similar a la deriva elástica, se realizó una macro en Microsoft Excel para realizar las

simulaciones y obtener la deriva inelástica. De igual manera, se utilizó la interfaz que tiene

el programa SAP2000® desde su versión 11 para manejar la mayoría de sus comandos

desde la aplicación Visual Basic. En este caso, se creó una macro en Microsoft Excel que

hace ciclos en los que cambia el valor del módulo de elasticidad del concreto (f’c), el valor

del esfuerzo de fluencia del acero (fy) y el valor de la resistencia última del acero (fu) en el

modelo del pórtico plano realizado en SAP2000® y guarda los resultados en Excel.

El código utilizado para obtener los resultados de la deriva inelástica se presente a

continuación:

Sub Sap2000_modulo() Dim SapObject As Sap2000.SapObject Dim ret As Long Dim coordmodulo As Range



Dim coordfc As Range Dim coordfy As Range Dim totale As Integer Dim totalfy As Integer Dim Nmodulo As Integer Dim Nacero As Integer Dim modulo As Double Dim fc As Double Dim fy As Double Dim fu As Double Dim Poi As Double Dim col As Double Dim Ncol As Double Dim ExTe As Double Dim NumResult As Long Dim obj() As String Dim elm() As String Dim acase() As String Dim StepType() As String Dim stepnum() As Double Dim u1() As Double Dim u2() As Double Dim u3() As Double Dim r1() As Double Dim r2() As Double Dim r3() As Double Dim i As Integer Dim resultados As Range Dim fuerza As Range Dim f1() As Double Dim f2() As Double Dim f3() As Double Dim m1() As Double Dim m2() As Double Dim m3() As Double Dim j As Double Dim k As Double Dim resultreac As Range Dim contador As Double 'Variación E concreto, f'c concreto, fy Acero Sheets("Hoja1").Select Poi = Range("c5") ExTe = Range("c6") col = "1" Ncol = col der = 1



Set coordmodulo = Range("e3:e102") Set coordfc = Range("f3:f102") Set coordfy = Range("g3:g5") totale = coordmodulo.Rows.Count totalfy = coordfy.Rows.Count For Nmodulo = 1 To totale modulo = coordmodulo(Nmodulo, 1).Value fc = coordfc(Nmodulo, 1).Value 'Propiedades material "Concreto" 'ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete_1("Concreto", fc, False, fcsfactor, SSType, SSHysType, StrainAtfc, strainUltimate) ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete("Concreto", fc, False, 1, 0, 0, 0.002, 0.003) ret = SapModel.PropMaterial.SetMPIsotropic("Concreto", modulo, Poi, ExTe) For Nacero = 1 To totalfy fy = coordfy(Nacero, 1).Value fu = 1.4845 * fy 'Propiedades material "Acero" ‘ret = SapModel.PropMaterial.SetORebar("Acero", fy, fu, efy, efu, SSType, SSHys, StainAtHardening, StrainUltimate, UseCaltransSSDefaults(False, True)) ret = SapModel.PropMaterial.SetORebar("Rebar", fy, fu, fy, fu, 0, 0, 0.012, 0.14, False) 'Correr modelo ret = SapModel.Analyze.RunAnalysis 'Escoger casos para mostrar resultados ret = SapModel.Results.Setup.SetCaseSelectedForOutput("pushx") 'Extraer resultados 'Desplazamientos de los nudos ret = SapModel.Results.JointDispl("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, u1, u2, u3, r1, r2, r3) 'Pasar los resultados a Excel Set resultados = Range("i3:iv699") For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Ncol).Value = u1(i) Next i 'Fuerzas en los nudos



ret = SapModel.Results.JointReact("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, f1, f2, f3, m1, m2, m3) For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Ncol + 1).Value = f1(i) Next i 'Cantidad de datos k = 0 For i = 0 To NumResult If resultados(i + 1, Ncol).Value = 0 Then j = k + 1 k = j Else i = NumResult End If Next i 'Suma de Fuerzas For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 2).Value = (resultados(i + 1, Ncol + 1) + resultados(i + 1 + k * 6, Ncol + 1).Value + resultados(i + 1 + k * 12, Ncol + 1).Value + resultados(i + 1 + k * 18, Ncol + 1).Value + resultados(i + 1 + k * 24, Ncol + 1).Value) * -1 Next i 'Desplazamientos j = k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 3).Value = resultados(NumResult - j, Ncol).Value j = j - 1 Next i 'Derivas 'Deriva piso 1 - 2 j1 = 5 * k - 1 j2 = 4 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 4).Value = ((resultados(NumResult - j2, Ncol).Value - resultados(NumResult - j1, Ncol).Value) / 3) * 100 j1 = j1 - 1 j2 = j2 - 1 Next i 'Deriva piso 2 - 3 j2 = 4 * k - 1



j3 = 3 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 5).Value = ((resultados(NumResult - j3, Ncol).Value - resultados(NumResult - j2, Ncol).Value) / 3) * 100 j2 = j2 - 1 j3 = j3 - 1 Next i 'Deriva piso 3 - 4 j3 = 3 * k - 1 j4 = 2 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 6).Value = ((resultados(NumResult - j4, Ncol).Value - resultados(NumResult - j3, Ncol).Value) / 3) * 100 j3 = j3 - 1 j4 = j4 - 1 Next i 'Deriva piso 4 - 5 j4 = 2 * k - 1 j5 = 1 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 7).Value = ((resultados(NumResult - j5, Ncol).Value - resultados(NumResult - j4, Ncol).Value) / 3) * 100 j4 = j4 - 1 j5 = j5 - 1 Next i Range("c19") = contador contador = contador + 1 'Desbloquear archivo ret = SapModel.SetModelIsLocked(False) Next Nacero Next Nmodulo End Sub En las simulaciones, el material Concreto tomó un valor constante para la relación de

Poisson igual a 0.2 y un valor constante para el coeficiente de expansión térmica igual a

9.9 x 10-6. Adicional a esto, el valor strainUltimate se tomó como 0.003 y el valor StrainAtfc

se tomó como 0.002. En el material Acero, el valor StainAtHardening se tomó como 0.012

y el valor StrainUltimate se tomó como 0.14.



6.2 PIEDEMONTE-B

El programa SAP2000® genera automáticamente las rótulas plásticas de los elementos y

los diagramas de interacción de las columnas, para esto, se debe definir la sección de los

elementos y su respectivo refuerzo. En las siguientes figuras se muestra la sección

transversal de las columnas y las vigas para el pórtico diseñado con el espectro de diseño

Piedemonte-B.

Figura 6-4 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA5. (Tomado de SAP2000®)

Con los límites asociados a la generación de los valores aleatorios para f’c y fy, se

realizaron análisis no lineales estáticos de Pushover y con esto se determinaron los

valores dentro de los que estan las curvas generadas por las simulaciones.

En la Gráfica 6-1 se muestra la curva de Pushover para los valores mínimos obtenidos de

los valores aleatorios.

Figura 6-2 Sección transversal COLY (Tomado de SAP2000®).

Figura 6-3 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®).



Tabla 6-1 Valores mínimos de f'c y fy.

Valores Mínimos

fy 351.20 MPa

fu 521.36 M|Pa

f'c 5.02 MPa

Gráfica 6-1 Curva Pushover para valores mínimos - Piedemonte.

El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la

fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 3910kN.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fue

rza

(kN

)

Desplazamiento (m)



En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores

mínimos de f’c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 2 se presentan las primeras rótulas B

(fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las

primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas

columnas.

Figura 6-5 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.





El mismo análisis se realizó para los valores máximos obtenidos en la generación de los

valores aleatorios. En la Gráfica 6-2 se muestra la curva de Pushover para los valores

máximos.

Tabla 6-2 Valores máximos de f'c y fy

Máximos

fy 503.93 MPa

fu 748.08 MPa

f'c 71.2 MPa

Gráfica 6-2 Curva Pushover para valores máximos – Piedemonte

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fue

rza

(kN

)

Desplazamiento (m)




fuerza máxima a la que llegó el pórtico con los valores máximos fue 8230kN, menor a la

fuerza máxima inducida por el método de la fuerza horizontal equivalente que fue de

9115.92 kN (Tabla 6-3)Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva

máxima con el método FHE y Pushover.

Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover.

Método fuerza horizontal

equivalente Pushover

Fuerzas máximas inducidas en el

pórtico (kN) 9115.92 8230,43

Deriva (%) 0.84 1.02 0.71*

*NOTA: De acuerdo con la NSR-10 cuando se realiza un análisis no lineal se pueden multiplicar las derivas por 0.7.





columnas.

Figura 6-20 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.





En la Gráfica 6-3 se muestran algunas de las 40.000 diferentes curvas del análisis de

Pushover obtenidas en las simulaciones realizadas incluyendo la que da una mayor

resistencia y una menor resistencia.



Gráfica 6-3 Resultados típicos de Pushover para Piedemonte.

Los resultados de las simulaciones en el paso 3, 4 y 5 del análisis de Pushover se

muestran en la Figura 6-35.

En el histograma de los valores de deriva máxima registrados en los pasos 3, 4 y 5 se

puede observar rangos en los que se presentan histogramas con una distribución

definida, por lo que se analizaron los resultados obtenidos en 3 rangos de deriva. El

primero, derivas entre 0.30% y 0.65%, el segundo, derivas entre 0,65% y 1.1% y el

tercero derivas entre 1.1 a 1.5%.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fue

rza

(kN

)

Desplazamiento (m)

Max Min



Figura 6-35 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Piedemonte. (Tomado de Bestfit).

Es muy importante anotar que al igual que en los trabajos de (Muñoz et al, 2005) y (Prieto

et al, 2005) en el presente trabajo también se obtuvo histograma histogramas con

frecuencias claramente diferenciables para diferentes niveles de desplazamiento.

De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover con los

valores medios de f’c y fy de la generación de números aleatorios, se determinó que el

primer rango, correspondiente a derivas entre 0.30% y 0.65%, genera en el pórtico un

nivel de daño B (esfuerzo de fluencia). Esto se corroboró al determinar la curva de

pushover para el pórtico calculado con los valores medios de f`c y de fy.

El análisis estadístico para las derivas que oscilan entre 0.30% y 0.65% se presenta en la

Tabla 6-4. Adicionalmente en la Figura 6-36 se presenta la distribución de probabilidad

que mejor se ajusta a los valores (Weibull).



Tabla 6-4 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte.

B

Media 0.471


Mediana 0.457

Moda 0.448



Curtosis -0.379


Rango 0.358

Mínimo 0.292

Máximo 0.650

Suma 20104.470

Cuenta 42677


Figura 6-36 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte.

Con un nivel de confianza del 95% la deriva para que se genere un nivel de daño B

(esfuerzo de fluencia) en pórticos de concreto reforzado diseñados en la zona

Piedemonte-B, varía entre 0.35% y 0.62%.



En el segundo rango, en donde las derivas varían entre 0.65% y 1.1%, el pórtico tiene un

nivel de daño en el que hay rótulas B (esfuerzo de fluencia), pero predominan las rótulas

que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata).

El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-5 y la distribución de probabilidad que

mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura 6-37.

Tabla 6-5 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte.

IO

Media 0.863

Error típico 0.001

Mediana 0.871

Moda 0.818



Curtosis -0.729


Rango 0.450

Mínimo 0.650

Máximo 1.100

Suma 27992.805

Cuenta 32425




Figura 6-37 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. (Tomdado de Bestfit)

Con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zona

Piedemonte, tiene un nivel de daño IO (ocupación inmediata), en algunos de sus

elementos, si la deriva varía entre 0.69% y 1.06%.

El tercer rango, correspondiente a derivas que varían entre 1.1% y 1.5%, presenta rotulas

con un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), rótulas con un nivel de daño IO (ocupación

inmediata) y empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección a la vida).

Esto se corroboró al determinar la curva de pushover para el pórtico calculado con los

valores medios de f`c y de fy.



Para el tercer rango, con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado

diseñado en la zona Piedemonte, llega a un nivel de daño LS (Protección a la vida), en

algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 1.12% y 1.40%.



Tabla 6-6 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte.

LS

Media 1.496

Error típico 0.001

Mediana 1.424

Moda 1.101



Curtosis 0.890


Rango 1.648

Mínimo 1.100

Máximo 2.748

Suma 135113.496

Cuenta 90334


Figura 6-38 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).



Finalmente en la Gráfica 6-4 se presenta el histograma de frecuencias de los pasos 3, 4 y

5 con las distribuciones de probabilidad para cada intervalo de derivas.

Grá

fica

6-4

Res

umen

dis

trib

ució

n de

pro

babi

lida

d de

riva

inel

ásti

ca -

Pie

dem

onte

.



6.3 LACUSTRE-500

En las siguientes figuras se muestra la sección transversal de las columnas y las vigas

para el pórtico diseñado con el espectro de diseño Lacustre-500.

En la Gráfica 6-5 se muestra la curva de Pushover para los valores mínimos obtenidos de

los valores aleatorios.

Tabla 6-7 Valores mínimos de f'c y fy

Valores Mínimos

fy 351.20 MPa

fu 521.36 MPa

f'c 5.02 MPa

Figura 6-39 Sección transversal CCENTRO. (Tomado de SAP2000®).

Figura 6-40 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®)

Figura 6-42 Sección transversal COLY. (Tomado de SAP2000®)

Figura 6-41 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA 5. (Tomado de SAP2000®)



Gráfica 6-5 Curva Pushover para valores mínimos – Lacustre


fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 1893kN.





columnas.

Figura 6-43 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fue

rza

(kN

)

Desplazamiento (m)



La curva Pushover para los valores máximos se muestra en la Gráfica 6-6.

Tabla 6-8 Valores máximos de f'c y fy

Máximos

fy 503.93 MPa

fu 748.08 MPa

f'c 71.2 MPa

Gráfica 6-6 Curva Pushover para valores máximos – Lacustre


fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 7549kN. Este valor es mayor que la fuerza

máxima inducida por el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente, que fue de

4233.36kN.

Tabla 6-9 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover.

Método fuerza horizontal

equivalente Pushover

Fuerzas máximas inducidas en el

pórtico (kN) 4233.36 7549

Deriva (%) 0.95 1.41 0.99* *NOTA: De acuerdo con la NSR-10 cuando se realiza un análisis no lineal se pueden multiplicar las derivas por 0.7.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fue

rza

(kN

)

Desplazamiento (m)




máximos de f’c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B



columnas.





En la Gráfica 6-3 se muestran diferentes curvas del análisis de Pushover obtenidas en las

simulaciones realizadas.

Los resultados de las simulaciones en el paso 3, 4 y 5 del análisis de Pushover se

muestran en la Gráfica 6-7.

En el histograma de los valores de deriva máxima registrados en los pasos 3, 4 y 5 se

puede observar rangos en los que se presentan histogramas con una distribución

definida, por lo que se analizaron los resultados obtenidos en 3 rangos de deriva. El

primero, derivas entre 0.35% y 0.65%, el segundo, derivas entre 0,65% y 0.96% y el

tercero derivas entre 0.96% a 1.2%.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fue

rza

(kN

)

Dezplazamiento (m)

Min Max



Gráfica 6-7 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Lacustre. (Tomado de Bestfit).

De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover con los

valores medios de f’c y fy de la generación de números aleatorios, se determinó que el

primer rango, correspondiente a derivas entre 0.35% y 0.65%, genera en el pórtico un

nivel de daño B (esfuerzo de fluencia).

El análisis estadístico para derivas entre 0.35% y 0.65% se muestra en la Tabla 6-10. En

la Figura 6-66 se muestra el histograma de frecuencias con la distribución de

probabilidades que mejor se ajusta los resultados, Weibull.



Tabla 6-10 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre.

B

Media 0.544


Mediana 0.548

Moda 0.577



Curtosis -0.554


Rango 0.283

Mínimo 0.372

Máximo 0.655

Suma 18586.971

Cuenta 34141


Figura 6-66 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre. (Tomado de Bestfit).



Con un nivel de confianza del 95%, la deriva para que un pórtico de concreto reforzado

diseñado en la zona Lacustre-500 alcance un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), varía

entre 0.44% y 0.65%.

En el segundo rango, en donde las derivas varían entre 0.65% y 0.96%, el pórtico tiene un

nivel de daño en el que hay rótulas B (esfuerzo de fluencia), pero predominan las rótulas

que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata).



Tabla 6-11 Análisis estadístico deriva inelástico. Nivel de daño IO - Lacustre.

IO

Media 0.819

Error típico 0.000

Mediana 0.823

Moda 0.816



Curtosis -0.745


Rango 0.305

Mínimo 0.655

Máximo 0.960

Suma 33355.104

Cuenta 40737




Figura 6-67 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño IO - Lacustre. (Tomado de Bestfit).

Con un nivel de confianza del 95%, la deriva para que un pórtico de concreto reforzado

diseñado en la zona Lacustre-500 alcance un nivel de daño IO (ocupación inmediata) en

algunos de sus elementos, varía entre 0.44% y 0.65%.

El tercer rango, con derivas que oscilan entre 0.96% y 1.2%, presenta rotulas con un nivel

de daño B (esfuerzo de fluencia), rótulas con un nivel de daño IO (ocupación inmediata) y

empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección a la vida).



Para el tercer rango, con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado

diseñado en la zonaLacustre-500, llega a un nivel de daño LS (Protección a la vida), en

algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 0.90% y 1.20%.



Tabla 6-12 Anbálisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre.

LS

Media 1.332

Error típico 0.001

Mediana 1.321

Moda 0.962



Curtosis -0.833


Rango 0.993

Mínimo 0.960

Máximo 1.953

Suma 133150.649

Cuenta 99953


Figura 6-68 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. (Tomado de Bestfit).



Grá

fica

6-8

Res

umen

dis

trib

ució

n de

pro

babi

lida

d de

riva

inel

ásti

ca -

Lac

ustr

e

Finalmente en la Gráfica 6-8 se presenta el histograma de frecuencias de los pasos 3, 4 y

5 con las distribuciones de probabilidad para cada intervalo de derivas.



6.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Los resultados obtenidos en el presente trabajo se resumen en la Tabla 6-13 y en la Tabla

6-14, en donde se muestran las derivas en las que los elementos de los pórticos llegaron

a estados de daño B (esfuerzo de fluencia), IO (ocupación inmediata), y LS (protección de

la vida).

Tabla 6-13 Resumen de resultados deriva inelástica - Piedemonte.

Deriva inelástica - Piedemonte B

B IO LS

Media (μ)

Desviación estándar

(σ) μ + 2σ

Media (μ)


(σ) μ + 2σ

Media (μ)


(σ) μ + 2σ

0.471 0.074 0.619 0.863 0.115 1.093 1.260 0.072 1.404

Tabla 6-14 Resumen de resultados deriva inelástica – Lacustre.

Deriva inelástica - Lacustre 500

B IO LS

Media (μ)


(σ) μ + 2σ

Media (μ)


(σ) μ + 2σ

Media (μ)


(σ) μ + 2σ

0.544 0.055 0.654 0.819 0.074 0.967 1.070 0.061 1.192

La deriva de diseño de los pórticos diseñados con los espectros Piedemonte-B y

Lacustre-500 es 0.70% y 0.80% respectivamente. Con los resultados expuestos

anteriormente, los elementos de los pórticos llegarían a un nivel de daño B (esfuerzo de

fluencia). Sin embargo, la variabilidad de la deriva podría llevar estos pórticos a tener

rótulas con nivel de daño IO (ocupación inmediata) y hasta LS (protección de la vida).

Por otro lado, el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), señala

que la deriva se puede obtener de los resultados de un análisis inelásticos verificando el

desempeño de la totalidad de los elementos estructurales en un rango no mayor a

Protección a la vida, y multiplicándola por 0.7. (Figura 6-69).



Figura 6-69 Deriva inelástica. (Tomado de (AIS, 2010))

Si se toma como referencia lo mencionado, la deriva del pórtico diseñado con el espectro

Piedemonte-B es 0.88% y la deriva del pórtico diseñado con el espectro Lacustre-500 es

0.74%.


Cortante basal resistente Página 177 de 188

7 CORTANTE BASAL RESISTENTE

Según el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), el cortante en

la base se debe calcular como la suma algebraica, tomada en la base, de todas las

fuerzas sísmicas horizontales del edificio, en otras palabras, el cortante basal es la fuerza

total sísmica en la base de la estructura.

Con el fin de establecer la distribución de probabilidad del cortante basal resistente de los

pórticos analizados, se tomaron los pasos 3, 4 y 5 del análisis no lineal estático de

Pushover.

7.1 PIEDEMONTE-B

Con la suma algebraica de las fuerzas en la base del pórtico diseñado con el espectro

Piedemonte-B, se realizó el análisis estadístico que se presenta en la Tabla 7-1.

Adicionalmente, se realizó el análisis para conocer la distribución de probabilidad que

mejor se ajusta a la serie de datos. La distribución LogLogística se presenta en la


Página 178 de 188 Cortante basal resistente

Figura 7-1.

Tabla 7-1 Análisis estadístico cortante basal resistente - Piedemonte.

Cortante basal (kN)

Media 5456.74

Error típico 2.57

Mediana 5298.69

Moda 4804.56



Curtosis -0.52


Rango 4880.95

Mínimo 3111.75

Máximo 7992.70

Suma 545674063.76

Cuenta 100000.00




Los valores del cortante basal resistente para el pórtico diseñado con el espectro

Piedemonte oscilan entre 3111.7kN y 7992.7kN. La serie de datos tiene una media igual a

5456.74kN y una desviación estándar de 811.51kN.

Figura 7-1 Distribución de probabilidad cortante basal resistente – Piedemonte. (Tomado de Bestfit)

7.2 LACUSTRE-500

El análisis estadístico realizado para los resultados obtenidos de cortante basal resistente

en el modelo del pórtico diseñado con el espectro de Lacustre-500 se muestra en la Tabla

7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre. . En la Figura 7-2 se presenta

la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, LogLogística.


Página 180 de 188 Cortante basal resistente

Tabla 7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre.

Cortante basal (kN)

Media 3149.43

Error típico 1.83

Mediana 3096.36

Moda 2598.87



Curtosis 0.42


Rango 3827.37

Mínimo 1294.82

Máximo 5122.18

Suma 263617018.84

Cuenta 100000


Figura 7-2 Distribución de probabilidad cortante basal resistente - Piedemonte. (Tomado de Bestfit)



El cortante basal resistente para el modelo del pórtico diseñado con el espectro de

Lacustre, tiene valores que varían entre 1294.82kN y 5122.18kN. Los resultados tienen

media igual a 3149.43kN y desviación estándar de 528.51kN. De acuerdo con esto, con

un nivel de confianza de 95% el cortante basal resistente podría llegar a 4206.45kN.


Página 182 de 188 Conclusiones y recomendaciones

8 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Con el fin de determinar la variabilidad de la deriva elástica, la deriva inelástica y el

cortante basal resistente en pórticos de concreto reforzado diseñados con la NSR-10, la

microzonificación sísmica de Bogotá y las características mecánicas de los materiales con

los que se construye en Bogotá, se realizaron análisis estadísticos para conocer algunos

parámetros importantes.

Dentro de estos se incluyen la media y la desviación estándar de las diferentes variables,

ajustes de distribución de probabilidad, análisis lineales para determinar la deriva elástica,

siguiendo los métodos de la Fuerza Horizontal Equivalente y Análisis dinámico elástico

espectral y análisis no lineales estáticos de Pushover, para conocer el mecanismo de

colapso de los pórticos, la deriva inelástica y el cortante basal resistente.

Los resultados proporcionan las siguientes conclusiones:

Los resultados del análisis de la variabilidad de las propiedades mecánicas para el

concreto y el acero en Bogotá muestran que los valores de f’c varían entre 92.37

MPa y 1.33 MPa, tienen una media de 30.1MPa y una desviación estándar de 13.6

MPa. Los valores del módulo de elasticidad oscilan entre 36324.25 MPa y

2338.31 MPa, con una media de 17927.5 MPa y desviación estándar de

4407.5MPa. Los valores de fy varían entre 277MPa y 602.28MPa, con una media

de la muestra es 425.97MPa y la desviación estándar es 24.21MPa.

La ecuación sugerida por la normativa vigente (NSR-10) en MPa,

está muy por encima de la ecuación de ajuste para los concretos bogotanos, ya

que el coeficiente que multiplica a (4700 en MPa) es un 39% inferior al valor

de la regresión estadística (3317 en MPa).

El análisis de la variabilidad de la deriva elástica muestra que con un nivel de

confianza del 95%, un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el

espectro de diseño Piedemonte-B de la Microzonificación Sísmica de Bogotá,

puede tener una deriva que toma valores entre 0.37% y 1.36%.


Conclusiones y recomendaciones Página 183 de 188

Por otro lado, en el caso de estructuras diseñadas con el espectro Lacustre 500, la

deriva puede alcanzar valores de hasta 1.52%, lo que equivale a un aumento de

más del 100% en la deriva de diseño, y un aumento de 65% con respecto a la

deriva máxima estipulada en la NSR-10.

En promedio 52 de cada 100 edificaciones de cinco pisos construidas en Bogotá

con la norma NSR-10 tendrían derivas mayores a la deriva de diseño al ser

sometidas a las fuerzas sísmicas de la nueva microzonificación

De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover para

el pórtico diseñado con el espectro Lacustre-500, derivas entre 0.35% y 0.65%,

generan un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), derivas que varían entre 0.65%

y 0.96%, generan un nivel de daño en el que predominan las rótulas que han

llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata) y para derivas que oscilan entre

0.96% y 1.2%, empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección

a la vida).

De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover para

el pórtico diseñado con el espectro Piedemonte – B, derivas entre 0.30% y 0.65%,

generan en el pórtico un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), derivas que varían

entre 0.65% y 1.1%, generan en el pórtico un nivel de daño en el que predominan

las rótulas que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata) y para derivas

que varían entre 1.1% y 1.5%, empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño

LS (protección a la vida).

Teniendo en cuenta en que la deriva de diseño de los pórticos diseñados con los

espectros Piedemonte-B y Lacustre-500 es 0.70% y 0.80% respectivamente, los

resultados obtenidos en el análisis no lineal estático de Pushover, muestran que

los elementos de los dos pórticos llegaran a un nivel de daño B (esfuerzo de

fluencia) si alcanzaran las derivas de diseño. Sin embargo, debido a la variabilidad

de la deriva, los pórticos podrían llegar a tener rótulas, en algunos de sus

elementos, con nivel de daño IO (ocupación inmediata) y hasta LS (protección de

la vida).


Página 184 de 188 Conclusiones y recomendaciones

A la luz de los resultados anteriores, el hecho de que el módulo de elasticidad del

concreto haya aumentado en la actualización de la Norma de Construcción Sismo

Resistente (NSR-10), es incompatible con los niveles de seguridad, pues si se considera

la variabilidad de los materiales como en casos de Bogotá, la deriva puede llegar hasta

duplicarse, teniendo las respectivas consecuencias para los elementos estructurales y no

estructurales.

Lo anterior se agrava aún más, teniendo en cuenta la disminución de la amenaza sísmica

en la Microzonificación Sísmica para Bogotá, en la cual la aceleración espectral

disminuyere en un 70% en algunos casos.


Referencias Página 185 de 188

9 REFERENCIAS

AIS (Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica) (2010). Normas Colombianas de

Diseño y Construcción Sismo Resistente (NSR-10). Bogotá Colombia.

Ang, A.H.-S. (1973). Structural Risk Analysis and Reliability-Based Design. Journal of

Structural Engineering Division, 99, 1973, Pag 20-35

ATC (Applied Technology Council) (1996). ATC40 (1996) Seismic Evaluation and

Retrofit of Concrete Building Vol. 1. Seismic Safety Commission. California, USA.

Cortes, J.; Zabaleta, J; & Amésquita, A (1995). Resumen final y conclusiones sobre el

ciclo investigativo del módulo de elasticidad del concreto. Trabajo de grado para acceder

al título de ingeniero civil. Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá.

Crisafulli, F.; Villafañe, E. (2002). Espectros de Respuesta y de Diseño. Ingeniería

Sismorresistente. Universidad Nacional de Cuyo.

Decreto 523 de 2010 por el cual se Adopta la Microzonificación sísmica de Bogotá D.C.

DIACO y CIMOC. (2000). Estudio de las características mecánicas de resistencia del

acero de refuerzo usado en Colombia. Elaborado por CIMOC para DIACO, Agosto 2000.

Dymiotis, Ch.; Kappos, A; Chryssanthopoulos, K; (1999). Seismic Reliability if RC

Frames with Uncertain Drift and Membes Capacity. Journal of Structural Engineering, Vol.

125, No. 9.

Gallego, M. & Sarria, A. (2006). El concreto y los terremotos. Conceptos,

comportamiento, patología y rehabilitación. Asociación Colombiana de Productores de

Concreto (Asocreto), Instituto del Concreto.

García, L. E. (1996) Economic considerations of displacement-based seismic design of

structural concrete buildings. Structural Engineering International Vol 6 n°4, 1669.IABSE.

Zurich, Suiza.

García, L. E. (1998) Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. Editorial

Universidad de los Andes. Bogotá, Colombia.

García, L. E. (1998). Notas de clase del curso Hormigón II. Universidad de los Andes.


Página 186 de 188 Referencias

García, L. E, Ramírez J. (2004). Notas de clase del curso ICIV-4403. Rigidez de

elementos de concreto reforzado. Universidad de los Andes.

Ghobarah, a.; Aly, N. M. y El-Attar, M. (1997). Performance level criteria and evaluation.

Proc., Int, Workhop on Seismic Des. Methodologies for the Next Generation of Codes, 207

– 215.

Gómez, C. A. (2005) Análisis No Lin eal Estático “Pushover”. Hospital Universitario San

Ignacio. Modulo B. Trabajo de grado para acceder al título de ingeniero civil. Pontificia

Universidad Javeriana. Bogotá.

González, V.; Botero J.C.; Rochel R.; Vidal J.; Álvalrez, M. (2005). Propiedades

mecánicas del acero de refuerzo utilizado en Colombia. Revista Ingeniería y Ciencia.

Volumen 1. Número 1. Pp 67 – 76.

IBÉRICA DE INGENIERÍA. Simulación y Análisis.

www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm. Copyright © 2001.

Kappos, A. J. (1991). Analytical prediction of the collapse earthquake for R/C buildings:

Suggested methodology. Earthquake Engrg., Vol 3, 6.1/33-40.

Mander, J.B. Priestley, M.J.N. (1988). Observed stress strain behavior of confined

concrete. Journal of Structural engineering, ASCE, Vol 114, Nº8, pp 1827-1849.

Marín, J. A. (2004) Rehabilitación de un pórtico de concreto reforzado mediante

disipadores de energía pasivos, metálicos construidos en Colombia. Trabajo de grado

para acceder al título de ingeniero civil. Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá.

Mays. L, Tung. Y. (1992). Hydrosystems Engineering and Management. McGraw Hill

Series in Water Resources and Environmental Engineering. New York: Mc Graw Hill

Muñoz, E. Ruiz, D. Prieto, J. (2005). Estimación de la confiabilidad estructural de una

edificación indispensable mediante análisis no lineales estáticos de pushover. Congreso

Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica, IX Jornadas. Artículo N° A10-13.

Concepción, Chile.


Referencias Página 187 de 188

NTC. Norma Técnica Colombiana. Concretos. Método de ensayo para determinación del

módlo de elasticidad estático y la relación de Poisson en concreto a la compresión. (NTC

4025). Octubre 2002

NTC. Norma Técnica Colombiana. Barras corrugadas y lisas de acero de baja aleación,

para refuerzo de concreto. (NTC 2289), Octubre 2002.

Pauw, A. (1960). Static Modulus of Elasticity of Concrete as Affected by Density. ACI

Journal, vol. 57, N° 6.

Prieto, J. Muñoz, E. Ruiz, D. Ramos A. (2005). Estimación de la incertidumbre aleatoria

del punto de desempeño de una edificación esencial. Congreso Chileno de Sismología e

Ingeniería Antisísmica, IX Jornadas. Artículo N° A04-02. Concepción, Chile.

Reyes, C. A. (1989) Influencia en la ductilidad de la separación de estribos en la zona de

confinamiento. Trabajo de grado para acceder al título de ingeniero civil. Universidad de

los Andes. Bogotá.

Romero, A; Becerra, O (2006). Análisis no lineal dinámico del comportamiento de

edificaciones de concreto reforzado sometidas a diferentes movimientos sísmicos en la

ciudad de Bogotá. Trabajo de grado para acceder al título de ingeniero civil. Pontificia

Universidad Javeriana. Bogotá.

Ruiz, D. (2000) Análisis no lineal simplificado de estructuras. Trabajo de grado para

acceder al título de ingeniero civil. Facultad de Ingeniería. Universidad de los Andes.

Bogotá.

Ruiz, D. Romero, A. Becerra, O. (2008). Estimación del daño sísmico de pórticos de

concreto reforzado en Bogotá mediante análisis no lineales en función del tiempo. Revista

de la Escuela Colombiana de Ingeniería N° 69 Enero - Marzo. pp 15-27.

Ruiz, D. Vacca, H y León, M. (2007). Propuesta de modificación de la ecuación para la

estimación del módulo de elasticidad del concreto en función de la resistencia a la

compresión para Bogotá. Revista de la Escuela Colombiana de Ingeniería N°67 Julio –

Septiembre. pp 7-15.

Sánchez, Mauricio (2004). “Introducción a la confiabilidad y evaluación de riesgos”.

Facultad de Ingeniería, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia.


Página 188 de 188 Referencias

Vision 2000 Committee. (1995). Performance seismic engineering of buildings – Part 2:

Conceptual framework. Structural Engineers Association of California.

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