Estatística Aplicada à Eng. Quimica (cap_01_a_07)

8/6/2019 Estatstica Aplicada Eng. Quimica (cap_01_a_07)

1/57

1

UNIJU - Universidade Regional do Noroeste do

Estado do Rio Grande do Sul

Estatstica Aplicada a Engenharia

Compilado por

Luiz Carlos Martinelli Jr.Professor UNIJU - Campus Panambi

Panambi, 2001


2/57

2

Sumrio

1 Ferramentas Estatsticas ................................................................................................................................. 4 1.1 - O que Estatstica? ................................................................................................................................ 4 1.2 - Onde se aplica a Estatstica na Engenharia?........................................................................................... 4 1.3 - Definies Bsicas da Estatstica ........................................................................................................... 6

2. Planejamento para Coleta e Anlise de Dados .............................................................................................. 7 2.1 - Exemplo 1: Folha de verificao para a distribuio do processo de produo ..................................... 9 2.2 - Exemplo 2: Folha de verificao para item defeituoso ........................................................................10 2.3 Exemplo 3: Folha de verificao para localizao de defeitos ............................................................ 11

3 - Estatstica Descritiva.................................................................................................................................. 13 4 - Grficos Estatsticos................................................................................................................................... 13

4.1 - Diagramas ............................................................................................................................................ 14 4.2 - Estereogramas ...................................................................................................................................... 16 4.3 - Pictogramas .......................................................................................................................................... 16 4.4 - Cartogramas ......................................................................................................................................... 16 4.5 - Grficos dos Dados na Ordem Cronolgica......................................................................................... 17 4.6 - Histogramas de Freqncia ou Distribuio de Freqncias................................................................ 17

4.6.1 - Como construir um Histograma ....................................................................................................23 4.6.2 - Tipos de Histograma ..................................................................................................................... 24

4.7 - Caractersticas amostrais ...................................................................................................................... 26 4.8 - Medidas de Tendncia Central ............................................................................................................. 27 4.9 - Medidas de Disperso .......................................................................................................................... 27 4.10 - Clculo de Mdias e Desvios Padres a partir de Tabelas de Freqncia.......................................... 29

5 - Diagramas de Disperso............................................................................................................................ 30 5.1 - Como Construir um Diagrama de Disperso........................................................................................ 31 5.2 - Como Interpretar os Diagramas de Disperso...................................................................................... 33 5.3 - Clculo de Coeficientes de Correlao................................................................................................. 34

6 Ajustamento de Curvas e o Mtodo dos Mnimos Quadrados.................................................................... 36 6.1 - Equaes das Curvas de Ajustamento.................................................................................................. 37 6.2 - O Mtodo dos Mnimos Quadrados ..................................................................................................... 37 6.3 - Relaes No-Lineares......................................................................................................................... 38 6.4 - A Parbola de Mnimos Quadrados...................................................................................................... 40 6.5 - Regresso ............................................................................................................................................. 41 6.6 - Aplicaes das Sries Temporais......................................................................................................... 43 6.7 - Problemas que envolvem mais de duas variveis................................................................................. 44

7 - Modelos de Probabilidade para Experimentos ............................................................................................ 45 7.1 - Espao Amostral .................................................................................................................................. 46 7.2 - Eventos................................................................................................................................................. 47 7.3 - Anlise Combinatria........................................................................................................................... 47 7.4 - Teoremas.............................................................................................................................................. 48 7.5 - Distribuies Discretas de Probabilidade............................................................................................. 48 7.6 - Distribuies Contnuas de Probabilidade............................................................................................ 50

Referncias Bibliogrficas................................................................................................................................56


3/57

3

Observaes

Esta apostila foi organizada com objetivo de fornecer aos alunos da disciplina Estatstica Aplicada a Engenharia material de pesquisa e estudo, complemento da sala de aula.

O material aqui exposto tem como origem, alm das minhas anotaes, as anotaes do Prof. LusFrancisco Marcon Ribeiro, quando professor desta disciplina e uma coletnea de vrios livros de Estatstica,Controle Estatstico de Processo e sobre Qualidade citados nas Referncias Bibliografias desta.


4/57

4

1 FERRAMENTASESTATSTICAS

1.1 - O que Estatstica?Segundo JURAN:

1. a cincia da tomada de deciso perante incertezas;2. Coleta, anlise e interpretao de dados;3. um kit de ferramentas que ajuda a resolver problemas;4. Base para a maior parte das decises tomadas quanto ao controle da qualidade, assim como em quase

todas as outras reas da atividade humana moderna.

Vista dessa forma, a Estatstica no deve ser confundida como uma disciplina isolada, e sim,compreendida como uma ferramenta ou um conjunto de ferramentas, disponvel para a soluo de problemasem diversas reas do conhecimento.

Segundo FEIGENBAUM: Preciso significativamente aumentada em produo de itens e produtostem sido acompanhada pela necessidade de mtodos aperfeioados para medio, especificao e registrodela. A estatstica, denominada cincia das medies, representa uma das tcnicas mais valiosas utilizadasnas quatro tarefas, e isso tem ficado cada vez mais evidente.

1.2 - Onde se aplica a Estatstica na Engenharia?

As aplicaes concentram-se fundamentalmente em dois campos de ao: oControle Estatstico doProcesso e oControle Estatstico da Qualidade .

Definies segundo JURAN:

1. Processo: qualquer combinao especfica de mquinas, ferramentas, mtodos, materiais e/ou pessoasempregadas para atingir qualidades especficas num produto ou servio. Estas qualidades so chamadasde caractersticas de qualidade, que podem ser uma dimenso, propriedade do material, aparncia, etc.

2. Controle: um ciclo de feedback (realimentao) atravs da qual medimos o desempenho real,comparando-o com o padro, e agimos sobre a diferena.

3. Controle Estatstico do Processo (CEP): aplicao de tcnicas estatsticas para medir e analisar avariao nos processos.

4. Controle Estatstico da Qualidade (CEQ): aplicao de tcnicas estatsticas para medir e aprimorar aqualidade dos processos. CEQ inclui CEP, ferramentas de diagnstico, planos de amostragem e outrastcnicas estatsticas.

Segundo FEIGENBAUM, provavelmente, mais importante do que os prprios mtodos estatsticos,tm sido o impacto causado sobre o pensamento industrial pela filosofia que representam. O ponto de vista


5/57

5

estatstico resume-se essencialmente nisto: a variabilidade na qualidade do produto deve ser constantementeestudada:

Dentro de lotes de produto;

Em equipamentos de processo; Entre lotes diferentes de um mesmo produto; Em caractersticas crticas e em padres; Em produo piloto, no caso de novos produtos.

Esse ponto de vista, que enfatiza o estudo da variao, exerce efeito significativo sobre certasatividades no controle da qualidade.

Ainda segundo FEIGENBAUM, cinco ferramentas estatsticas tornaram-se amplamente utilizadas

nas tarefas de controle da qualidade:1. Distribuio de freqncias;2. Grficos de controle;3. Aceitao por amostragem;4. Mtodos especiais;5. Confiabilidade.

Na abordagem do papel dos mtodos estatsticos no gerenciamento de processos de produo,KUME tambm faz referncia variabilidade. Diz que, (...) independentemente dos tipos de produtos ou de

mtodos de produo usados, as causas de produtos defeituosos so universais. Variao, esta a causa.Variaes nos materiais, na condio dos equipamentos, no mtodo de trabalho e na inspeo so as

causas dos defeitos.Ainda segundo KUME, (...) os mtodos estatsticos so ferramentas eficazes para a melhoria do

processo produtivo e reduo de seus defeitos.O primeiro passo na busca da verdadeira causa de um defeito a cuidadosa observao do fenmeno

do defeito. Aps tal observao cuidadosa, a verdadeira causa torna-se evidente.As ferramentas estatsticas, diz KUME, conferem objetividade e exatido observao. As mximas

da forma estatstica de pensar so:

1. Dar maior importncia aos fatos do que os conceitos abstratos;2. No expressar fatos em termos de intuio ou idias. Usar evidncias obtidas a partir de

resultados especficos da observao;3. Os resultados da observao, sujeitos como so a erros e variaes, so partes de um todo

obscuro. A principal meta da observao descobrir esse todo obscuro;4. Aceitar o padro regular que aparece em grande parte dos resultados observados como uma

informao confivel.


6/57

6

O conhecimento dominado ato o presente momento no nada mais que um embasamento parahipteses futuras. Uma vez que isso tenha sido compreendido, a forma de pensar mencionada pode ser

aproveitada para aprofundar a compreenso do processo produtivo e dos meios para melhor-lo.

1.3 - Definies Bsicas da Estatstica

1) FENMENO ESTATSTICO: qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possvel daaplicao do mtodo estatstico. So divididos em trs grupos:

Fenmenos de massa ou coletivo: so aqueles que no podem ser definidos por uma simplesobservao. A estatstica dedica-se ao estudo desses fenmenos. Ex: A natalidade na Grande Vitria,O preo mdio da cerveja no Esprito Santo, etc.

Fenmenos individuais: so aqueles que iro compor os fenmenos de massa. Ex: cadanascimento na Grande Vitria, cada preo de cerveja no Esprito Santo, etc.

Fenmenos de multido: quando a s caractersticas observadas para a massa no se verificam parao particular.

2) DADO ESTATSTICO: um dado numrico e considerado a matria-prima sobre a qual iremos aplicaros mtodos estatsticos.3) POPULAO: o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma caracterstica comum.4) AMOSTRA: uma parcela representativa da populao que examinada com o propsito de tirarmosconcluses sobre a essa populao.

5) PARMETROS:So valores singulares que existem na populao e que servem para caracteriz-la.Paradefinirmos um parmetro devemos examinar toda a populao.Ex: Os alunos do 2 ano da UniversidadeFederal do Cear (UFC) tm em mdia 1,70 metros de estatura.6) ESTIMATIVA: um valor aproximado do parmetro e calculado com o uso da amostra.7) ATRIBUTO:quando os dados estatsticos apresentam um carter qualitativo, o levantamento e os estudosnecessrios ao tratamento desses dados so designados genericamente de estatstica de atributo.

Exemplo de classificao dicotmica do atributo: A classificao dos alunos da UNIJU quanto ao sexo.atributo: sexo..........................classe: alunos da UNIJUdicotomia: duas subclasses ( masculino e feminino)

Exemplo de classificao policotmica do atributo: Alunos da UNIJU quanto ao estado civil.atributo: estado civil...............classe: alunos da UNIJUdicotomia: mais de duas subclasses ( solteiro, casado, divorciado, vivo, etc.)

8) VARIVEL:, convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um fenmeno. Varivel Qualitativa: Quando seu valores so expressos por atributos: sexo, cor da pele,etc.


7/57

7

Varivel Quantitativa: Quando os dados so de carter nitidamente quantitativo, e o conjunto dosresultados possui uma estrutura numrica, trata-se portanto da estatstica de varivel e se dividem em

: Varivel Discreta ou Descontnua : Seus valores so expressos geralmente atravs de nmeros

inteiros no negativos. Resulta normalmente de contagens.Ex: N de alunos presentes s aulas deintroduo estatstica econmica no 1 semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

Varivel Contnua: Resulta normalmente de uma mensurao, e a escala numrica de seus possveisvalores corresponde ao conjunto R dos nmeros Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valorentre dois limites. Ex.: Quando voc vai medir a temperatura de seu corpo com um termmetro de mercrio oque ocorre o seguinte: O filete de mercrio, ao dilatar-se, passar por todas as temperaturas intermediriasat chegar na temperatura atual do seu corpo.

Exerccio 01

Classifique as variveis emqualitativas ou quantitativas (contnuas ou discretas):. Cor dos olhos das alunas... Resp:qualitativa . ndice de liquidez nas ndstrias capixabas... Resp:quantitativa contnua . Produo de caf no Brasil... Resp:quantitativa contnua . Nmero de defeitos em aparelhos de TV... Resp:quantitativa discreta . Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa... Resp:quantitativa contnua

. O ponto obtido em cada jogada de um dado... Resp:q

2. PLANEJAMENTO PARACOLETA EANLISE DEDADOS

As ferramentas devem ser utilizadas de maneira eficiente para alcanar o sucesso. Para tanto, oprocesso deve incluir:

1. planejamento cuidadoso da coleta de dados;2. anlise de dados para tirar concluses estatsticas e3. transio para a resposta ao problema tcnico original.

Segundo JURAN, alguns passos-chave so:1. Coletar informaes anteriores suficientes para traduzir o problema de engenharia em problema

especfico que possa ser avaliado por mtodos estatsticos;2. Planejar a coleta de dados:

a. Determinar o tipo de dados necessrios quantitativos (mais custo, mais til) e qualitativos;b. Determinar se quaisquer dados prvios esto disponveis e so aplicveis ao presente

problema;


8/57

8

c. Se o problema exigir uma avaliao de vrias decises alternativas, obter informaes sobreas conseqncias econmicas de uma deciso errada.

d. Se o problema exigir a estimao de um parmetro, definir a preciso necessria para aestimativa;

e. Determinar se o erro de medio grande o suficiente para influenciar o tamanho calculadoda amostra ou o mtodo da anlise de dados;

f. Definir as suposies necessrias para calcular o tamanho da amostra exigido;g. Calcular o tamanho da amostra necessrio considerando a preciso desejada do resultado,

erro amostral, variabilidade dos dados, erros de medio e outros fatores;h. Definir quaisquer requisitos para preservar a ordem das medies quando o tempo for um

parmetro chave;

i. Determinar quaisquer requisitos para coletar dados em grupos definidos diferentescondies a serem avaliadas;

j. Definir o mtodo de anlise de dados e quaisquer hipteses necessrias;k. Definir os requisitos para quaisquer programas de computador que venham a ser

necessrios.3. Coletar dados:

a. Usar mtodos para assegurar que a amostra selecionada de forma aleatria;b. Registrar os dados e tambm as condies presentes no momento de cada observao;c. Examinar os dados amostrais para assegurar que o processo mostra estabilidade suficiente

para se fazer previses vlidas para o futuro.4. Analisar os dados:

a. Selecionar os dados;b. Avaliar as hipteses previamente estabelecidas. Se necessrio, tomar atitudes corretivas

(novas observaes);c. Aplicar tcnicas estatsticas para avaliar o problema original;d. Determinar se dados e anlises adicionais so necessrios;e. Realizar anlises de sensibilidade variando estimativas amostrais importantes e outros

fatores na anlise e observando o efeito sobre as concluses finais.

5. Rever as concluses da anlise de dados para determinar se o problema tcnico original foi avaliadoou se foi modificado para se enquadrar nos mtodos estatsticos.

6. Apresentar os resultados:a. Estabelecer as concluses de forma significativa, enfatizando os resultados nos termos do

problema original, e no na forma dos ndices estatsticos usados na anlise;b. Apresentar graficamente os resultados quando apropriado. Usar mtodos estatsticos

simples no corpo do relatrio e colocar as anlises complexas em um apndice.7. Determinar se as concluses do problema especfico so aplicveis a outros problemas ou se os

dados e clculos poderiam ser teis para outros problemas.


9/57

9

Como dito acima, quando for preciso coletar dados essencial esclarecer sua finalidade e ter valores

que reflitam claramente os fatos. Alm disso, em situaes reais, a simplicidade deve ser uma linha mestra.O formulrio, normalmente de papel, deve ser produzido com os itens a serem verificados de forma que osdados possam ser coletados de forma fcil e concisa.

O formulrio, ou FOLHA DE VERIFICAO, deve:1. facilitar a coleta de dados;2. organizar os dados simultaneamente coleta para que possam ser facilmente usados mais tarde e3. conter dados, os quais podem (devem) ser registrados atravs de marcas ou smbolos simples.

A seguir tm-se alguns tipos de folhas de verificao:

1. Folha de Verificao do processo de produo;2. Folha de Verificao para verificao de item defeituoso;3. Folha de Verificao para localizao de defeitos e4. Folha de Verificao para verificao de defeito.

2.1 - Exemplo 1: Folha de verificao para a distribuio do processo de produoSuponha que se queira conhecer a variao nas dimenses de um certo tipo de pea cuja

especificao de usinagem seja 8,3000,008mm. Para estudar a distribuio dos valores caractersticos doprocesso, so normalmente usados histogramas (grficos). Valores como a mdia e varincia so calculadoscom base no histograma e a forma da distribuio tambm examinada de vrias maneiras.

Na construo de um grfico, muito incmodo coletar uma grande quantidade de dados e, emseguida, desenhar um grfico mostrando a distribuio das freqncias. Uma maneira mais simples classificar os dados exatamente no instante de sua coleta. O formulrio abaixo um exemplo de uma folha deverificao que deve ser previamente preparada. Cada vez que uma medio feita, uma marca colocada naquadrcula apropriada, para que se tenha o grfico pronto no momento em que as medies forem encerradas.


10/57

10

Figura 1 - Folha de Verificao para Distribuio do Processo Produtivo

2.2 - Exemplo 2: Folha de verificao para item defeituosoA figura abaixo mostra uma folha de verificao usada no processo de inspeo final de um certo

produto de plstico. O inspetor faz uma marca sempre que encontra um defeito. No fim do dia, ele podeverificar rapidamente a quantidade total e os tipos de defeitos que ocorreram.

O mero conhecimento da quantidade total de defeitos no nos leva s aes corretivas, mas se umafolha de verificao for utilizada, pistas muito importantes podem ser obtidas para a melhoria do processo,porque os dados mostram claramente quais tipos de defeitos so freqentes e quais no so.

Mas necessrio definir claramente, de antemo, como os defeitos devem ser registrados quandoforem encontrados dois ou mais num mesmo produto e, ento, dar instrues completas para as pessoas quefaro a contagem.

Na folha de verificao abaixo, entretanto, a quantidade total de defeitos foi de 62 porque, em algunscasos, foram encontrados dois ou mais defeitos num mesmo item.


11/57

11

Figura 2 - Folha de Verificao para Itens Defeituosos

2.3 Exemplo 3: Folha de verificao para localizao de defeitosDefeitos externos tais como riscos e manchas so encontrados em todos os tipos de produtos e

muitos esforos esto sendo feitos em vrias fbricas para reduzi-los. A folha de verificao para localizao

de defeitos tem uma funo poderosa na soluo deste tipo de problema.Geralmente, as folhas de verificao desse tipo tm um croqui ou uma vista ampliada onde so

anotadas as marcas, permitindo a observao da distribuio das ocorrncias de defeitos.A figura abaixo mostra um exemplo utilizado por um fabricante de mquinas na inspeo de

aceitao de peas fundidas. O defeito a ser verificado bolha presa. Anteriormente o fornecedor eraapenas informado sobre a rejeio ou aceitao de cada lote e a quantidade de defeitos por lote. A qualidade,contudo, no havia apresentado nenhuma melhoria.

A introduo da folha de verificao possibilitou um estudo mais detalhado dos lotes, indicando ondehavia maior probabilidade de ocorrer bolhas. Com esta informao, a qualidade da pea melhorou muito

porque ficou mais fcil encontrar as causas dos defeitos.Esta folha de verificao conduz facilmente tomada de aes e indispensvel para o diagnstico

do processo, porque as causas dos defeitos podem, freqentemente, ser encontradas atravs do exame doslocais onde ocorrem os defeitos e pela cuidadosa observao do processo para determinar o por que osdefeitos se concentram nesses locais.

A folha de verificao da figura abaixo usada para apontar a localizao de defeitos. Alm disso,folhas de verificao so algumas vezes usadas para uma estratificao ainda maior, de modo a encontrar ascausas de defeitos. De forma geral, a maioria dos estudos voltados deteco das causas de defeitos envolve aassociao dos dados de causas com os dados dos correspondentes efeitos, disposio dos dados numa ordem


12/57

12

que mostre claramente esta correspondncia, e mais tarde, anlise dos dados atravs da estratificao porcausas ou da construo de disperso.

Figura 3 - Folha de Verificao para Localizao de Defeitos

Figura 4 - Folha de Verificao para Localizao de Defeitos

ExerccioNum processo de polimento de lentes, trabalham dois operrios, cada um operando duas mquinas.

Ultimamente, a frao defeituosa deste processo tem aumentado. Os operrios esto solicitando umamudana de mquinas, alegando que as que esto atualmente em uso so muito velhas. O pessoal tcnico


13/57

13

encarregado do processo diz que os operrios deveriam ser mais cuidadosos porque eles esto cometendoerros por falta de ateno.

O que voc faria numa situao semelhante? Explique detalhadamente.

3 - ESTATSTICADESCRITIVA

Viu-se anteriormente um roteiro para coleta e anlise de dados. As sries de dados, basicamente, soprovenientes de duas fontes: os dados histricos e os dados de experimentos planejados.

Os dados histricosso sries de dados existentes e, em geral, analisar estatisticamente esses dados mais econmico (tempo e despesas) se comparado com dados obtidos a partir de experimentos planejados.Mesmo com uma anlise estatstica complexa, em geral, pouco sucesso se obtm com tais dados. No controlede um processo, algumas razes para esse insucesso ocorrer so:

As variveis do processo podem estar altamente correlacionadas entre si, tornando impossvel distinguir aorigem de um determinado efeito.

As variveis do processo podem ter sido manipuladas para controlar o resultado do processo. As variveis do processo tm abrangncia pequena em relao ao intervalo de operao do processo. Outras variveis que afetam o resultado do processo podem no ter sido mantidas constantes, e serem as

reais causadoras dos efeitos observados no processo.Por essas razes, recomenda-se a anlise de sries de dados histricos apenas para a indicao de

variveis importantes a serem observadas em um experimento planejado.

Os dados de experimentos planejadosso coletados com o objetivo estudar e analisar umproblema. So dados reunidos em diversas sries de variveis com aparente importncia em um processo,enquanto se mantm constantes (com valores registrados) todas as outras variveis que possivelmentepoderiam alterar o resultado.

Aqui tratar-se- de mtodos prticos de organizao de dados. Segundo SPIEGEL4: A parte daestatstica que procura somente descrever e analisar um certo grupo, sem tirar quaisquer concluses ouinferncias sobre um grupo maior, chamadaestatstica descritiva ou dedutiva.

Freqentemente dois ou mais mtodos de organizao so utilizados para descrever com clarezadados coletados. Alguns desses mtodos so: grficos dos dados na ordem cronolgica, distribuio e

histogramas de freqncia, caractersticas amostrais, medidas de tendncia central e medidas de disperso.

4 - GRFICOSESTATSTICOS

So representaes visuais dos dados estatsticos que devem corresponder, mas nunca substituir astabelas estatsticas. Tm como caractersticas principais, o uso de escalas, a existncia de um sistema decoordenadas, a simplicidade, clareza e veracidade de sua representao.

4 M. R. SPIEGEL. Estatstica. So Paulo: Makron Books, 1993.


14/57

14

Os grficos podem ser:

1. Grficos de informao: grficos destinados principalmente ao pblico em geral, objetivando

proporcionar uma visualizao rpida e clara. So grficos tipicamente expositivos, dispensandocomentrios explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informaesdesejadas estejam presentes ou

2. Grficos de anlise: grficos que prestam-se melhor ao trabalho estatstico, fornecendo elementosteis fase de anlise dos dados, sem deixar de ser tambm informativos. Os grficos de anlisefreqentemente vm acompanhados de uma tabela estatstica. Inclui-se, muitas vezes um textoexplicativo, chamando a ateno do leitor para os pontos principais revelados pelo grfico.

Mas o uso indevido de Grficos pode trazer uma idia falsa dos dados que esto sendo analisados,

chegando mesmo a confundir o leitor, tratando-se, na realidade, de um problema de construo de escalas..

Os grficos pode ser classificados em:Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas..

4.1 - DiagramasSo grficos geomtricos dispostos em duas dimenses. So os mais usados na representao de

sries estatsticas. Eles podem ser :.1 - Grficos em barras horizontais..2 - Grficos em barras verticais ( colunas ).

Quando as legendas no so breves usa-se de preferncia os grficos em barras horizontais.Nesses grficos os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionais aosrespectivos dados. A ordem a ser observada a cronolgica, se a srie for histrica, e adecrescente, se for geogrfica ou categrica.


15/57


16/57

16

4.2 - Estereogramas So grficos geomtricos dispostos em trs dimenses, pois representam volume. So usados nas

representaes grficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de grfico fica difcil de serinterpretado dada a pequena preciso que oferecem.

4.3 - PictogramasSo construdos a partir de figuras representativas da intensidade do fenmeno. Este tipo de grfico

tem a vantagem de despertar a ateno do pblico leigo, pois sua forma atraente e sugestiva. Os smbolosdevem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas que apenas mostram uma viso geral do

fenmeno, e no de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:

4.4 - Cartogramas So ilustraes relativas a cartas geogrficas (mapas). O objetivo desse grfico o de figurar os

dados estatsticos diretamente relacionados com reas geogrficas ou polticas.


17/57

17

Dados obtidos de uma amostra servem como base para uma deciso sobre a populao. Quanto

maior for o tamanho da amostra, mais informao obtemos sobre a populao. Porm, um aumento dotamanho da amostra tambm implica um aumento da quantidade de dados e isso torna difcil compreender a

populao, mesmo quando esto organizados em tabelas. Em tal caso, precisa-se de um mtodo quepossibilite conhecer a populao num rpido exame.

Um histograma atende s necessidades, por meio da organizao de muitos dados num histograma,pode-se conhecer a populao de maneira objetiva.

4.5 - Grficos dos Dados na Ordem CronolgicaRepresentao grfica do resultadoY versus a ordem cronolgica de execuo do experimento

(diagrama do resultadoY versus tempot ). Nesse tipo de grfico, alguns dos possveis fenmenos que podem

ser observados so: Curva de aprendizagem dos experimentadores (pontos no incio do experimento). Tendncias dentro de um determinado perodo (horas, turnos, dias, etc.), freqentemente em funo de

aquecimento, fadiga, e outros fatores relacionados com o tempo.

Aumento ou diminuio da variabilidade dos dados com o tempo, podendo representar curva deaprendizagem ou caractersticas relativas ao material.

4.6 - Histogramas de Freqncia ou Distribuio de Freqncias uma ferramenta estatstica apropriada para a apresentao de grandes massas de dados numa forma

que torna mais clara a tendncia central e a disperso dos valores ao longo da escala de medio, bem como afreqncia relativa de ocorrncia dos diferentes valores.

Para um melhor entendimento do procedimento de distribuio de freqncias apresentar-se- doisexemplos de organizao de dados, apresentado por JURAN e KUME.

A tabela 4.1 apresenta dados brutos (dados que no foram numericamente organizados) demedidas de resistncia eltrica de 100 bobinas. Essa forma de apresentao de dados de difcilentendimento.


18/57

18

Tabela 4.1 Dados Brutos: Resistncia (ohms) de 100 bobinas

3,37 3,34 3,38 3,32 3,33 3,28 3,34 3,31 3,33 3,343,29 3,36 3,30 3,31 3,33 3,34 3,34 3,36 3,39 3,343,35 3,36 3,30 3,32 3,33 3,35 3,35 3,34 3,32 3,383,32 3,37 3,34 3,38 3,36 3,37 3,36 3,31 3,33 3,303,35 3,33 3,38 3,37 3,44 3,32 3,36 3,32 3,29 3,353,38 3,39 3,34 3,32 3,30 3,39 3,36 3,40 3,32 3,333,29 3,41 3,27 3,36 3,41 3,37 3,36 3,37 3,33 3,363,31 3,33 3,35 3,34 3,35 3,34 3,31 3,36 3,37 3,353,40 3,35 3,37 3,32 3,35 3,36 3,38 3,35 3,31 3,343,35 3,36 3,39 3,31 3,31 3,30 3,35 3,33 3,35 3,31

A tabela 4.2 apresenta os mesmos dados depois da tabulao. As marcaes na coluna tabulaotm a funo de evidenciar qual a tendncia central e a disperso. A coluna Freqncia a contagemdessas marcaes.

Tabela 4.2 Tabulao de valores de resistncia de 100 bobinas

Resistncia Tabulao Freqncia Freqncia(ohms) Acumulada3,44 | 1 1

3,43 13,42 13,41 | | 2 33,40 | | 2 53,39 | | | | 4 93,38 | | | | | 6 153,37 | | | | | | | 8 233,36 | | | | | | | | | | | 13 363,35 | | | | | | | | | | | | 14 503,34 | | | | | | | | | | 12 62

3,33 | | | | | | | | 10 723,32 | | | | | | | | 9 813,31 | | | | | | | | 9 903,30 | | | | 5 953,29 | | | 3 983,28 | 1 993,27 | 1 100Total 100


19/57

19

A tabela 4.2 mostra uma escala de valores entre 3,44 e 3,27 ou 17 intervalos de 0,01 cada.Quando se deseja reduzir o nmero de tais intervalos, os dados so agrupados em classes. Agrupar os dados

em classes uma importante ferramenta para resumir grandes massas de dados brutos, no entanto acarretaperda de alguns detalhes.

A seguir, so apresentados os passos recomendados por JURAN para construir uma distribuio defreqncia:

1o) Decidir quanto aonmero de classes.A Tabela 4.3 apresenta diretrizes adequadas para a maioria dos casos. Segundo JURAN, essas

diretrizes no so rgidas e devem ser adaptadas quando necessrio.

Tabela 4.3 Nmero de clulas na distribuio de freqnciasNmero de Nmero recomendadoobservaes de classes

20 - 50 651 - 100 7101 - 200 8201 - 500 9501 - 1000 10

Mais de 1000 11 a 20

2o) Calcular aproximadamente adimensoi da classe.

A dimenso da classe i = maior observao - menor observao

nmero de classesDeve-se arredondar o resultado para algum nmero conveniente.

3o) Construir as classes, fazendo uma lista dos seus limites. Deve-se observar que:

a- Os limites de classedevem ter um decimal a mais que os dados reais, sendo o ltimo dgito igual a 5.b- A dimenso da classedeve ser constante para toda a distribuio de freqncia.

4o) Enquadrar e assinalar cada observao dentro da classe apropriada (coluna Tabulao) e calcular afreqncia f para cada classe (colunas Freqncia e Freqncia acumulada).

Aplicando-se cada passo distribuio de freqncia dos valores de resistncia, observa-se que:

Pela tabela 4.3, o nmero de classes recomendado para 100 observaes 7. Considerando-se 7 classes, e sabendo-se que a maior observao 3,44e a menor observao 3,27

(amplitude R = 0,17), ento o intervalo de classe calculado (3,44 - 3,27)/7 que igual a 0,024.Arredondando para 0,03, observa-se que a amplitude passa a ser 7 x 0,03que igual a 0, 21(maior


20/57

20

que a amplitude real de 0,17) e abrange toda a escala real das observaes. No entanto se recalcularmosa amplitude, agora considerando 6 classes, obtm-se 6 x 0,03 que igual a 0, 18 (maior que a

amplitude real de 0,17) e igualmente abrange toda a escala real das observaes, com a vantagem deutilizar um nmero menor de classes. A partir dessas consideraes decide-se agrupar os dados da tabela

4.1 numa distribuio de freqncia de somente seis classes com 0,03de extenso cada. Constroem-se as classes conforme a tabela 4.4.

Tabela 4.4 Distribuio de freqncia dos valores de resistnciaResistncia (ohms)

Limites Pontos Freqncia Freqnciamedianos acumulada

3,265 - 3,295 3,28 5 53,295 - 3,325 3,31 23 283,325 - 3,355 3,34 36 643,355 - 3,385 3,37 27 913,385 - 3,415 3,40 8 993,415 - 3,445 3,43 1 100

100

Uma das muitas maneiras de representar graficamente uma distribuio de freqncia, o histogramade freqncia. A Figura 4.1 mostra os dados de resistncia eltrica da tabela 4.4 representados na forma dehistograma.

36

27

8

1

23

5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

3,283,265 - 3,295

3,313,295 - 3,325

3,343,325 - 3,355

3,373,355 - 3,385

3,403,385 - 3,415

3,433,415 - 3,445

classes de resistncia (ohms)

f r e q

n c

i a

Figura 4.1- Histograma de resistncia.


21/57

21

Os histogramas so largamente utilizados na comparao de aptido de processos com seus limitesde tolerncias. Segundo JURAN, anlises de histogramas, para que sejam tiradas concluses alm dos dados

amostrais, devem ser baseadas em pelo menos 50 medies.

Um outro exemplo de organizao de dados proposto por KUME. Deseja-se investigar adistribuio dos dimetros de eixos de ao produzidos em um processo de usinagem, os dimetros de 90 eixosforam medidos conforme mostra a Tabela 4.5.

Tabela 4.5 -Dados originais do problemaAmostra 01-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

2,510 2,527 2,529 2,520 2,535 2,533 2,525 2,531 2,5182,517 2,536 2,523 2,514 2,523 2,510 2,515 2,545 2,527

2,522 2,506 2,523 2,512 2,526 2,542 2,520 2,524 2,5112,522 2,541 2,523 2,534 2,525 2,524 2,519 2,522 2,5192,510 2,512 2,519 2,526 2,532 2,530 2,526 2,520 2,5312,511 2,515 2,528 2,530 2,522 2,521 2,527 2,519 2,5272,519 2,521 2,543 2,532 2,502 2,522 2,522 2,519 2,5292,532 2,536 2,538 2,526 2,530 2,535 2,542 2,529 2,5282,543 2,529 2,518 2,523 2,522 2,540 2,540 2,522 2,519 R

e s u l

t a d o d a s

M e d

i e s

( m m

)

2,525 2,524 2,534 2,520 2,514 2,528 2,528 2,513 2,521

Procedimento ExemploEtapa 1 Calcular a amplitude (R) Obtenha o maior e o menor dos valores observados ecalcule R.R = (o maior valor) (o menor valor)O maior e o menor dos valores observados podem serfacilmente obtendo-se o mximo e o mnimo dosvalores de cada coluna da tabela de observaes.Depois, tomando-se o maior dos valores mximos e omenor dos valores mnimos, acha-se os limites databela.

Etapa 1 Calcular R R foi obtida a partir do maior e do menor valoresobservados (Tabela 4.6)O maior valor = 2,545O menor valor = 2,502

Portanto:R = 2,545 2,502 = 0,043

Etapa 2 Determinar o intervalo de classe O intervalo de classe determinado de forma queamplitude, que compreende o maior e o menor dosvalores, seja dividida em intervalos de mesmotamanho.Para obter o tamanho dos intervalos, dividaR por 1, 2ou 5 (ou 10; 20; 50 ou 0,1; 0,2; 0,5; etc.) de forma aobter de 5 a 20 intervalos de classe de tamanho igual.Quando houver duas possibilidades, use o tamanho deintervalo menor se o nmero de valores observadosfor maior ou igual a 100, e o tamanho de intervalo

Etapa 2 Determinar o intervalo de classe

0,043 / 0,002 = 21,5 adota-se 22(nmero inteiro mais prximo)




22/57

22

maior se houver 99 ou menos valores observados.Etapa 3 Preparar a tabela de freqncia Prepare um formulrio como o da Tabela 4.7, no qual

possam ser registradas as classes, o ponto mdio, asmarcas de freqncia, freqncia, etc.

Etapa 3 Preparar a tabela de freqncia

Prepare uma tabela conforme mostra a Tabela 4.7

Tabela 4.6 -Determinao da Amplitude

Amostra 01-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-902,510 2,527 2,529 2,520 2,535 2,533 2,525 2,531 2,5182,517 2,536 2,523 2,514 2,523 2,510 2,515 2,545 2,5272,522 2,506 2,523 2,512 2,526 2,542 2,520 2,524 2,5112,522 2,541 2,523 2,534 2,525 2,524 2,519 2,522 2,5192,510 2,512 2,519 2,526 2,532 2,530 2,526 2,520 2,5312,511 2,515 2,528 2,530 2,522 2,521 2,527 2,519 2,5272,519 2,521 2,543 2,532 2,502 2,522 2,522 2,519 2,5292,532 2,536 2,538 2,526 2,530 2,535 2,542 2,529 2,5282,543 2,529 2,518 2,523 2,522 2,540 2,540 2,522 2,519 R

e s u l

t a d o d a s

M e d

i e s

( m m

)

2,525 2,524 2,534 2,520 2,514 2,528 2,528 2,513 2,521 M e n o r e

M a i o r v a l o r e s

d a T a b e l a

Mximo 2,543 2,541 2,543 2,534 2,535 2,542 2,542 2,545 2,531 2,545Mnimo -9 -9 -9 -9 -9 -9 -9 -9 -9 2,502

Etapa 4 Determinar os limites das classesDetermine os limites dos intervalos, de forma queenglobem o menor e o maior dos valores registrados, eanote-os na tabela de freqncia.Determine, primeiro, o limite inferior da primeira classee adicione a este o tamanho do intervalo para obter olimite entre a primeira e a segunda classe. Quando fizerisso, assegure-se de que a primeira classe contm omenor valor observado e que os valores dos limitestenham uma casa decimal a mais do que a preciso dosvalores medidos. Depois, adicione sucessivamente o tamanho dointervalo ao valor do limite anterior para obter osegundo limite, o terceiro, e assim por diante, everifique se a ltima classe inclui o maior valorobservado.

Etapa 4 Determinar os limites das classesOs limites da primeira classe devem serdeterminados como 2,5005 e 2,5055 de forma que aclasse inclua o menor valor 2,502; os limites dasegunda classe devem ser determinados como2,5055 e 2,5105, e assim por diante. Registre esses limites numa tabela de freqncia.

Etapa 5 Calcular o ponto mdio da classeUsando a equao seguinte, calcule o ponto mdio dasclasses e anote-os na tabela de freqncia.

Ponto mdio da primeira classe

2classeprimeiradainferioresuperiorlimitesdossoma=

Ponto mdio da segunda classe

2classesegundadainferioresuperiorlimitesdossoma=

Etapa 5 Calcular o ponto mdio da classePonto mdio da primeira classe

503,22

5055,25005,2 =+= ,

Ponto mdio da segunda classe

508,22

5105,25055,2 =+=


23/57

23

e assim por diante.Os pontos mdios da segunda classe, da terceira classee demais classes, tambm podem ser obtidos da

seguinte forma:Ponto mdio da segunda classe = ponto mdio daprimeira classe + intervalo de classe

Ponto mdio da terceira classe = ponto mdio dasegunda classe + intervalo de classe

e assim por diante.

Etapa 6 - Obter as freqnciasLeia os valores observados um por um e registre asfreqncias obtidas em cada classe usando marcas decontagem em grupos de 5, como segue:

Freqncia 1 2 3 4 5Notao dafreqncia

/ // /// //// ////

Freqncia 6 7 ...Notao dafreqncia

//// / //// // ...

Etapa 6 - Obter as freqncias Registre as freqncias (Tabela 4.7)

ClassePonto Mdio

da ClasseMarcas de Freqncias Freqncia f

1 2,5005 2,5055 2,503 / 12 2,5055 2,5105 2,508 //// 4

3 2,5105 2,5155 2,513 //// //// 94 2,5155 2,5205 2,518 //// //// //// 14

5 2,5205 2,5255 2,523 //// //// //// //// // 226 2,5255 2,5305 2,528 //// //// //// //// 197 2,5305 2,5355 2,533 //// //// 108 2,5355 2,5405 2,538 //// 59 2,5405 2,5455 2,543 //// / 6

Total - - 90Observao: (1) A soma das freqncias f tem que ser igual quantidade ( n) de dados levantados. (2) Afreqncia relativa, quando necessria, obtida pela diviso de f por n .

4.6.1 - Como construir um HistogramaEm uma folha de papel quadriculado, marque o eixo horizontal com uma escala. melhor que a

escala no seja baseada nos limites de intervalo das classes e sem na unidade de medida dos dados, 10 gramascorrespondendo 10mm, por exemplo. Isto torna-a conveniente para fazer comparaes entre vrioshistogramas que descrevem fatores e caractersticas semelhantes, bem como com especificaes (padres).Deixe um espao aproximadamente igual ao intervalo de classe em cada extremidade do eixo horizontal,antes da primeira e aps a ltima classe.

Marque o eixo vertical do lado esquerdo com uma escala de freqncia e, se necessrio, trace o eixovertical do lado direito e marque-o com uma escala de freqncia relativa. A altura da classe com a


24/57

24

freqncia mxima deveria ser de 0,5 a 2,0 vezes a distncia entre os valores mximo e mnimo do eixohorizontal.

Marque os valores dos limites das classes no eixo horizontal. Usando o intervalo de classe como

base, desenhe um retngulo cuja altura corresponda freqncia daquela classe.Trace uma linha no histograma para representar a mdia e, se for o caso, trace tambm os limites daespecificao.

Numa rea em branco do histograma, anote o histrico dos dados (o perodo em que os dados foramcoletados, etc.), a quantidade de dados ( n), a mdia x e o desvio-padro ().

4.6.2 - Tipos de Histograma possvel obter informaes teis sobre a populao pela anlise da forma do histograma. As

seguintes formas so tpicas, podendo utiliza-las como modelos para anlise de um processo.


25/57

25

a) Tipo geral(simtrico ou em forma de sino)

Forma: O valor mdio do histograma est no meio da amplitude dos dados. A freqncia mais alta nomeio e torna-se gradualmente mais baixa na direo dos extremos. A forma simtrica.Nota: Esta a forma que ocorre mais freqentemente.

b) Tipo pente(tipo multi-modal)Forma: Vrias classes tm, como vizinhas, classes com menor freqncia.Nota: Esta forma ocorre quando a quantidade de dados includos na classe varia de classe para classe ou

quando existe uma tendncia particular no modo como os dados so arredondados

c) Tipo assimtrico positivo(tipo assimtrico negativo)Forma: O valor mdio do histograma fica localizado esquerda (direita) do centro da amplitude. A

freqncia decresce de modo um tanto abrupto em direo esquerda (direita), porm de modosuave em direo direita (esquerda). assimtrica.

Nota: Esta forma ocorre quando o limite inferior (superior) controlado, ou teoricamente, ou por um valorde especificao, ou quando valores menores (maiores) do que um valor no ocorrem.

d) Tipo abrupto esquerda(tipo abrupto direita)Forma: O valor mdio do histograma fica localizado bem esquerda (direita) do centro da amplitude. A

freqncia decresce abruptamente esquerda (direita), e suavemente em direo direita (esquerda). assimtrica.

Nota: Esta uma forma que ocorre freqentemente quando feita uma inspeo separadora 100% porcausa da baixa capacidade do processo e tambm quando a assimetria positiva (negativa) se tornaainda mais extrema.


26/57

26

e) Tipo achatado Forma: As freqncias das classes formam um achatamento porque as classes possuem mais ou menos a

mesma freqncia, exceto aquelas das extremidades.

Nota: Esta forma ocorre com a mistura de vrias distribuies que tm diferentes mdias.f) Tipo abrupto esquerda(tipo abrupto direita)Forma: A freqncia baixa prximo ao meio da amplitude de dados e existe um pico em cada lado.Nota: Esta forma ocorre quando duas distribuies, com mdias muito diferentes, so misturadas.

g) Tipo pico isolado Forma: Num histograma do tipo geral existe mais um pequeno pico isolado.Nota: Esta uma forma que surge quando h uma pequena incluso de dados provenientes de uma

distribuio diferente, como nos casos de anormalidade de processo, erro de medio ou incluso dedados de um processo diferente.

4.7 - Caractersticas amostraisA estatstica descritiva prope um mtodo simples de extrair informaes de uma massa de nmeros

aparentemente sem lgica. Estas caractersticas podem representar: Umvalor tpicoou central. Enquadram-se mdia, mediana e moda. Umamedida de disperso. Enquadram-se varincia, desvio-padro e amplitude. Uma medida defreqncia. Enquadra-se a curva de percentil.

Umacurva de percentil um grfico de a distribuio percentil acumulada dos dados (freqnciaacumulada)versus os valores dos dados. Por exemplo para os dados de resistncia das 100 bobinas da Tabela4.2 constri-se a curva de percentil conforme a Figura 4.2.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3 , 2

7

3 , 2

9

3 , 3

1

3 , 3

3

3 , 3

5

3 , 3

7

3 , 3

9

3 , 4

1

3 , 4

3

resistncia x

e s c a

l a p e r c e n

t i l y

mediana = 3,34

Figura 4.2- Curva de percentil para um conjunto de dados.


27/57

27

Percebe-se pela curva que, por exemplo, 5% dos dados esto com ou abaixo de 3,29, e assim pode-se avaliar as chances de ocorrncia dos valores. A maioria dos trabalhos estatsticos usa a curva de percentilsob o nomefuno de distribuiodos dados. Observa-se ainda que nenhum dos dados descartado (ou

agrupado) na elaborao da curva, preservando todas as informaes, ao contrrio do histograma dos dados.

4.8 - Medidas de Tendncia Central A maioria das distribuies de freqncia exibe uma tendncia central, isto , uma forma tal que a

maior parte das observaes se acumula na rea entre os dois extremos. Tendncia Central um dos conceitosfundamentais em toda a anlise estatstica.

H trs medidas principais de tendncia central: mdia aritmtica, mediana e moda.A Mdia Aritmtica (ou simplesmente mdia) usada para distribuies simtricas ou quase

simtricas, ou para distribuies que tm um nico pico dominante. calculada somando-se as observaes edividindo-se pelo nmero de observaes.

X n

ii

n

x= =

1 (4.1)

A Mediana o valor central quando os dados esto ordenados por valor. usada para reduzir oefeito dos valores extremos ou para dados que possam ser ordenados mas que no sejam economicamentemensurveis (tons de cor, aparncia visual, odores). Na curva percentil, o valor da escala horizontal onde acurva alcana a altura 50%.

A Moda o valor que ocorre com maior freqncia. usada para distribuies extremamenteassimtricas, situaes irregulares onde dois picos so encontrados, ou para eliminar os efeitos dos valoresextremos.

4.9 - Medidas de Disperso Os dados esto sempre dispersos ao redor da zona de tendncia central, e a extenso dessa disperso

chamada disperso ou variao. Uma medida de disperso a segunda das duas medidas mais fundamentaisem toda a anlise estatstica.

H vrias medidas de disperso. A mais simples a Amplitude , que a diferena entre os valoresmximo e mnimo dos dados. Como a amplitude baseada em dois nmeros, mais til quando o nmero deobservaes pequeno ( cerca de 10 ou menos).

O Desvio-Padro a medida mais importante de variao, ele determina a disperso dos valores emrelao mdia. A definio do Desvio-Padro da amostra :

1)(2

= n X X s (4.2)

Onde: s o desvio-padro amostral, X os valores observados, X a mdia aritmtica e n o nmero deobservaes.

Quando necessrio distinguir entre o desvio padro de uma populao e o de uma amostra dela

extrada, adota-se freqentemente o smbolo () e (s) respectivamente.Para fins de clculo uma frmula equivalente :

)1()()( 22

=

nn X X n

s (4.3)


28/57


29/57

29

102

4565 == Aq

2523080

=

= Bq

4.10 - Clculo de Mdias e Desvios Padres a partir de Tabelas de Freqncia

Como exemplo, pode-se calcular a mdia e o desvio padro dos dimetros de 90 eixos, conformemostrado na Tabela 4.7. Como a quantidade de dados grande e os dados esto agrupados em uma tabela defreqncia, a mdia e o desvio padro so calculados como segue:

Tabela 4.7 - Tabela de Freqncias de uma amostra 90 eixos N Classe Ponto Mdio x Freqncia f d' d.f d.f

1 2,5005 2,5055 2,503 1 -4 -4 16

2 2,5055 2,5105 2,508 4 -3 -12 36

3 2,5105 2,5155 2,513 9 -2 -18 36

4 2,5155 2,5205 2,518 14 -1 -14 14

5 2,5205 2,5255 2,523 22 0 0 0

6 2,5255 2,5305 2,528 19 1 19 19

7 2,5305 2,5355 2,533 10 2 20 40

8 2,5355 2,5405 2,538 3 3 15 459 2,5405 2,5455 2,543 6 4 24 96

Total 90 - 30 302


30/57

30

Procedimento Exemplo

Etapa 1Prepare um formulrio de clculo como o da TabelaEtapa 2Anote os limites das classes, os pontos mdios dasclasses e a freqncia f .Etapa 3 Atribua o ponto mdio0 (d = 0) para a classe quetem freqncia f mxima e anote0 na colunau.

Escreva 1, -2, ... na direo dos menores valoresobservados e, +1, +2, ... na direo dos maioresvalores observados.

A relao entre x e d expressa pela seguinteequao:

( )i A x

d ='

onde, A o ponto mdio da classe ondeu = 0i o tamanho do intervalo de classe

Etapa 3Atribua 0 (zero) ao ponto mdio da classe nmero 5 dacolunad .

A = 2,523i = 0,005

Etapa 4 Insira os produtos ded e f na coluna fd , e osprodutos ded e fd na coluna f(d)

Obtenha a soma de cada coluna e anote-as nosespaos reservados.

...''' 2211 ++= d f d f f d ( ) ( ) ...''' 222211 ++= d f d f f d

Etapa 4 N. 1 fd = (-4) . 1 = -4N. 2 fd = (-3) . 4 = -12.N. 1 f(d) = (-4) . 1 = 16N. 2 f(d) = (-3) . 4 = 36.

3024...)12()4(' =+++= fd 30296...3616)'( =+++= d f

Etapa 5 Calcule x usando a seguinte equao:

+=

n fd

i A x'

Etapa 5

( )mm x 52467,200167,0523,29030.005,0523,2 =+=+=

Etapa 6 Calcules ( ) usando a equao:

( ) ( )

)1(

''2

2

= nn

fd fd

is

Etapa 6

( )mms 00906,0)190(

9030302

005,0

2

=

=

5 - DIAGRAMAS DEDISPERSO (1)

Na prtica, muitas vezes essencial estudar a relao entre duas variveis associadas como, porexemplo, o grau a dimenso de uma pea de mquina ir variar em funo da mudana da velocidade de umtorno.

1 KUME, HITOSHI, 1993, Mtodos Estatsticos para Melhoria da Qualidade, Captulo 6, pp. 74-95


31/57

31

Para estudar a relao entre duas variveis, tais como dito acima, pode-se usar o chamadodiagramade disperso . Diagrama de Disperso uma forma de grfico onde simplesmente representa-se graficamentecada par de variveis de uma srie de dados em um sistema de eixos.

Tomando como exemplo os dados da Tabela 5.1 abaixo, pode-se construir um diagrama dedisperso:

Tabela 5.1Ponto de Dados X1 X2 Y

1 -2 1 102 -1 -2 53 0 -5 0

5.1 - Como Construir um Diagrama de Disperso

Um diagrama de disperso construdo conforme as seguintes etapas:

Etapa 1Coletar dados em pares ( X ,Y ) entre os quais deseja-se estudar as relaes, e organize-os em uma

tabela. desejvel que se tenha pelo menos 30 pares de dados.

Etapa 2 Encontrar os valores mximo e mnimo, tanto para X como paraY . Defina as escalas dos eixos

horizontal e vertical de forma que ambos os comprimentos sejam aproximadamente iguais; assim, o diagramaficar mais fcil de interpretar.

Determinar, para cada eixo, entre 3 e 10 divises para as unidades da escala de graduao, e utilizenmeros inteiros para torna-lo mais fcil de ler. Quando duas variveis consistirem em um fator e umacaracterstica da qualidade, use o eixo horizontal X para o fator e o eixo verticalY para a caracterstica daqualidade.

Etapa 3 Marcar os dados num papel milimetrado. Quando os mesmos valores de dados forem obtidos a partir

de diferentes observaes, mostre estes pontos, desenhando crculos concntricos ( ), ou marcando osegundo ponto rente ao primeiro.

Etapa 4 Inserir todos os itens necessrios. Certificar de que os seguintes itens sejam includos para que

qualquer pessoa, alm do autor do diagrama, possa entende-lo num rpido exame:

a. Ttulo do diagrama;b. Perodo de tempo;

c. Quantidade de pares de dados;d. Denominao e unidade de medida de cada eixo;e. Nome (etc.) da pessoa que elaborou o diagrama.

Exemplo 5.1 Um fabricante de tanques plsticos, que os fabricava pelo processo de moldagem a sopro, encontrou

problemas de tanques defeituosos com paredes finas. Suspeitou-se que a variao da presso do ar, dia a dia,era a causa das paredes finas no-conformes. A Tabela 5.2 mostra dados sobre a presso de sopro e apercentagem defeituosa.


32/57

32

Tabela 5.2 Dados da Presso de Sopro e Percentagem Defeituosa

de Tanques de Plstico

Data Presso deSopro(kgf/cm)

Percent.Defeituosa(%)

Data Presso deSopro(kgf/cm)

Percent.Defeituosa(%)

Out 1 8,6 0,889 Out 22 8,7 0,8922 8,9 0,884 23 8,5 0,8773 8,8 0,874 24 9,2 0,8854 8,8 0,891 25 8,5 0,8665 8,4 0,874 26 8,3 0,8968 8,7 0,886 29 8,7 0,8969 9,2 0,911 30 9,3 0,92810 8,6 0,912 31 8,9 0,88611 9,2 0,895 Nov 1 8,9 0,90812 8,7 0,896 2 8,3 0,881

15 8,4 0,894 5 8,7 0,88216 8,2 0,864 6 8,9 0,90417 9,2 0,922 7 8,7 0,91218 8,7 0,909 8 9,1 0,92519 9,4 0,905 9 8,7 0,872

Etapa 1Conforme visto na Tabela 5.2, existem 30 pares de dados.

Etapa 2Neste exemplo, indicamos a presso de sopro por X (eixo horizontal) e a percentagem defeituosa por

Y (eixo vertical).Assim:

O valor mximo de x: xmx = 9,4 (kgf/cm)O valor mnimo de x: xmn= 8,2 (kgf/cm)

O valor mximo de y: ymx = 0,928 (%)O valor mnimo de y: ymn = 0,864 (%)

Marca-se divises para graduao:

no eixo horizontal em intervalos de 0,5(kgf/cm) de 8,0 a 9,5(kgf/cm)no eixo vertical em intervalos de 0,01(%) de 0,85 a 0,93(%)

Etapa 3Marca-se os pontos no grfico.

Etapa 4Anota-se o perodo de tempo a que se refere a amostra coletada (1 de outubro a 9 de novembro), a

quantidade de amostras ( n = 30 ), o eixo horizontal (presso de sopro [kgf/cm]), o eixo vertical (percentagemdefeituosa [%]), e o ttulo do diagrama (diagrama de disperso da presso do sopro e a percentagemdefeituosa).


33/57

33

Figura 5.1 Exemplo de Diagrama de Disperso

5.2 - Como Interpretar os Diagramas de Disperso

Assim como possvel avaliar o formato de uma distribuio em um histograma, a distribuioglobal dos pares de dados pode ser interpretada a partir de um diagrama de disperso. Ao proceder a leitura, aprimeira coisa que se deve fazer examinar se h ou no pontos atpicos no diagrama. Geralmente, pode-se julgar que quaisquer pontos afastados do grupo principal (Figura 5.2) resultaram de erros na medio ou

registro de dados, ou foram causados por alguma mudana nas condies de operao. necessrio excluiresses pontos para anlise da correlao. Contudo, ao invs de desprezar completamente estes pontos, deveriaser dada a devida ateno causa de tais irregularidades pois, muitas vezes, informaes inesperadas, pormmuito teis, so obtidas descobrindo-se por que eles ocorreram.

Existem muitos tipos de padres de disperso, e alguns destes so dados da Figura 5.3. Nesta figura,tanto na .1 como na .2,Y aumenta comX; este o caso dacorrelao positiva. E ainda, como a .1 mostra estatendncia de forma notvel, diz-se que ela apresenta forte correlao positiva. As Figuras .4 e .5 mostram ooposto da correlao positiva, pois medida que X aumenta,Y diminui; este o caso da chamadacorrelaonegativa. A Figura .4 indica uma forte correlao negativa. A Figura .3 mostra o caso em que X e Y no tmnenhuma relao especfica; portanto, dizemos queno h correlao. Na Figura .6, medida que X aumenta,Y varia num padro curvo. Isto ser explicado posteriormente.

Figura 5.2 Exemplo de Pontos Suspeitos


34/57

34

.1 - Correlao Positiva .2 - Correlao Negativa

.3 - Pode haverCorrelao Positiva .4 -Pode haverCorrelao Negativa

.5 - No H Correlao .6 - No H Correlao Figura 5.3 Exemplos de Correlao

5.3 - Clculo de Coeficientes de Correlao

Para estudar a relao entre X e Y importante traar primeiro um diagrama de disperso, entretanto,a fim de conhecer a fora da relao em termos quantitativos, til calcular ocoeficiente de correlao deacordo com a seguinte definio:

( )( ) ( )YY S XX S

XY Sr

.= (5.1)

onde:


35/57

35

( ) ( ) ( )

= ==

==

n

i

n

ni

i

n

ii n

X X X X XX S

1

2

12

1

2 (5.2)

( ) ( ) ( )

= ==

==

n

i

n

ni

i

n

ii n

Y Y Y Y YY S

1

2

12

1

2 (5.3)

( ) ( )( ) ( )

= ==

===

n

i

n

ni

n

ni

ii

n

iii n

Y X Y X Y Y X X XY S

1

11

1

. (5.4)

onde n a quantidade de pares de dados eS(XY) chamado decovarincia .

O coeficiente de correlao,r , est no intervalo 1 r +1. Se o valor absoluto der for maior que1, houve claramente um erro de clculo e deve-se refaze-lo. No caso de forte correlao positiva, ele atingeum valor prximo de +1 e, de forma anloga, numa forte correlao negativa, ele fica prximo de 1.

Quando| r | est prximo de 1, ele indica uma forte correlao entre X e Y . Quando se aproxima de0 (zero), implica numa correlao fraca.

Quando |r | = 1, os dados estaro sobre uma linha reta.

Exemplo 5.2

Calculemos o coeficiente de correlao para oExemplo 5.1, dos tanques de plstico. A Tabela 5.3abaixo apresenta os clculos, a partir dela obtm-se os resultados desejados.

( ) ( ) 88,230

2,26302,23122

1

2

12 ==

==

=n

i

n

ni

i n

X X XX S

( ) ( ) 00840,030816,2697833,23

2

1

2

12 ==

==

=n

i

n

ni

i n

Y Y YY S

( ) ( ) 0913,030 816,26.2,2633570,235.

111 ==

= = ==

n

i

n

n

i

n

n

i

ii n

Y X

Y X XY S

( )( ) ( )

59,000840,0.88,2

0913,0.

=== yyS xxS

xySr

O valor der 0,59, existindo portanto uma correlao positiva entre a presso de sopro e apercentagem defeituosa de tanques de plstico.


36/57

36

Tabela 5.3 Preparao para o clculo do coeficiente de correlao.Data X Y X Y X.Y

Out. l2345

8,68,98,88,88,4

0,8890,8840,8740,8910,874

73,9679,2177,4477,4470,56

0,790320,781460,763880,793880,76388

7,64547,86767,69127,84087,3416

89101112

8,79,28,69,28,7

0,8860,9110,9120,8950,896

75,6984,6473,9684,6475,69

0,785000,829920,831740,801020,80282

7,70828,38127,84328,23407,7952

1516171819

8,48,29,28,79,4

0,8940,8640,9220,9090,905

70,5667,2484,6475,6988,36

0,799240,746500,850080,826280,81902

7,50967,08488,48247,90838,5070

2223242526

8,78,59,28,58,3

0,8920,8770,8850,8660,896

75,6972,2584,6472,2568,89

0,795660,769130,783220,749960,80282

7,76047,45458,14207,36107,4368

Nov.

29303112

8,79,38,98,98,3

0,8960,9280,8860,9080,881

75,6986,4979,2179,2168,89

0,802820,861180,785000,824460,77616

7,79528,63047,88548,08127,3123

56789

8,78,98,79,18,7

0,8820,9040,9120,9250,872

75,6979,2175,6982,8175,69

0,777920,817220,831740,855630,76038

7,67348,04567,93448,41757,5864

Total 263,2 26,816 2312,02 23,97833 235,3570

6 AJUSTAMENTO DECURVAS E OMTODO DOSMNIMOSQUADRADOS (2)

Num diagrama de disperso possvel, freqentemente, visualizar uma curva regular que seaproxima dos dados. Essa curva denominada de ajustamento.

Relao Linear Relao No-LinearFigura 6.1 Exemplo de Curvas em Diagramas de Disperso

2 SPIEGEL, M.R., 1976, Estatstica, Cap. 13, pp.362-400. / RIBEIRO, L. F. M., 1999, Notas de Aula


37/57

37

O problema geral da determinao das equaes de curvas que se acomodem a certos conjuntos de

dados denominado AJUSTAMENTO DE CURVAS.

6.1 - Equaes das Curvas de Ajustamento

Para fins de referncia, relaciona-se abaixo alguns tipos de curvas de ajustamento e suas equaes.Todas as letras, exceto X e Y , representam constantes. As letras X e Y referem-se, freqentemente, a variveisindependentes e dependentes, respectivamente, embora esses papis possam ser permutados.

(1) X aaY 10 += Linha Reta(2) 2210 X a X aaY ++= Parbola ou Curva do 2 Grau(3) 32

2210 X a X a X aaY +++= Curva do 3 Grau

(4) 44322210 X a X a X a X aaY ++++= Curva do 4 Grau(5) nn X a X a X aaY ++++= ...2210 Curva de Graun

onde o segundo membro das equaes so denominados polinmios do 1, 2, 3, 4 e n -simo graus.

As funes definidas pelas quatro primeiras equaes so, s vezes, denominadas Funes Linear,Quadrtica, Cbica e do 4 Grau, respectivamente.

Como outras equaes possveis (entre muitas usadas na prtica), menciona-se as seguintes:

(6) X aa

Y 10

1+= ou X aaY 10

1 += Hiprbole

(7) X abY = ou ( ) X aa X baY 10logloglog +=+= Curva Exponencial(8) baX Y = ou X baY logloglog += Curva Geomtrica(9) gabY X += Curva Exponencial Modificada(10) gaX Y b += Curva Geomtrica Modificada(11) X b pqY = ou gabqb pY X X +=+= logloglog Curva de Gompertz(12) h pqY

X b += Curva de Gompertz Modificada

(13)gab

Y X +

= 1 ou gabY

X +=1 Curva Logstica

(14) ( )2210 loglog X a X aaY ++=

Para decidir qual a curva a adotar, conveniente a obteno de diagramas de disperso das variveistransformadas. Por exemplo, se o diagrama de disperso delog Y em funo deX apresentar uma relaolinear, a equao ter o aspecto da (7), enquanto, se o delog Y em funo delog X for linear, a equao ter oformato de (8).

Emprega-se, freqentemente, para tal finalidade, grficos no qual uma ou ambas as escalas sologartmicas (semilog ou log-log [dilog]).

6.2 - O Mtodo dos Mnimos Quadrados

Antes, necessrio instituir uma definio da melhor reta de ajustamento, da melhor parbola deajustamento, etc.


38/57

38

Figura 6.2 - A melhor curva de ajustamento

Para conseguir uma definio possvel, considere-se a Figura 6.2 na qual os dados estorepresentados pelos pontos ( X 1,Y 1), ( X 2,Y 2), ..., ( X n,Y n). Para um valor dado de X , por exemplo X 1, haver umadiferena entre y1 e p valor correspondente determinado nacurva C.

Como est representado na figura, essa diferena e1, que , muitas vezes, designada como desvio,erro ou resduo e pode ser positivo, negativo ou nulo. De modo semelhante, obtm-se os desviose2, e3, ...,en.

Uma medida de qualidade do ajustamentoda Curva C aos dados apresentados (aderncia) proporcionada pela quantidade e2 + e3 + ... +en. Se ela pequena, o ajustamento bom, se grande, oajustamento est ruim.

Portanto, uma definio pode ser feita:

De todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, a que tem a propriedade de apresentar omnimo valor de e2 + e3 + ... +en denominada a melhor curva de ajustamento.

Diz-se que uma curva que apresenta essa propriedade ajusta os dados no sentido dos mnimosquadrados e denominada curva de mnimos quadrados.

6.3 - Relaes No-Lineares

As relaes no-lineares podem, s vezes, ser transformadas em lineares mediante a transformaoadequada das variveis, conforme pode ser visto no exemplo a seguir.

Exemplo 6.1A Tabela 6.1 d os valores experimentais da pressoP de uma massa dada de gs, que correspondem

a vrios valores do volumeV. De acordo com os princpios da Termodinmica, deve existir entre essasvariveis uma relao da formaPV = C, em que e C so constantes.

(a) Determinar os valores de e C;(b) Escrever a equao de correlao entreP e V; e(c) EstimarP paraV = 100pol.

Tabela 6.1 - Valores de Presso em funodo Volume de um gs

V (pol) 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0P (psi) 61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1

Soluo:


39/57

39

Como C PV = , tem-se:C V P logloglog =+ V C P logloglog =

fazendo-se: logV = XlogP = Y

a equao fica: X aaY 10 += (reta de regresso)

onde: C a log0 = e =1a

Clculo dos Coeficientesa0 e a1 da reta de regresso pelo mtodo dos mnimos quadrados.

Tabela 6.2

V (pol) P (psi) X = log V Y = log P X X.Y54,3 61,2 1,7348 1,7868 3,0095 3,099761,8 49,5 1,7910 1,6946 3,2076 3,035072,4 37,6 1,8597 1,5752 3,4586 2,929488,7 28,4 1,9479 1,4533 3,7944 2,8310118,6 19,2 2,0741 1,2833 4,3018 2,6617194 10,1 2,2878 1,0043 5,2340 2,2977

Total 11,6953 8,7975 23,0061 16,8544

1 Etapa:9492,1

66953,11 ===

n X

X

4662,16

7975,8 ===nY

Y

2 Etapa: Utilizando-se as equaes (5.2) e (5.4):

( ) ( ) 2092,06

6953,110059,232

1

2

12 ==

==

=n

i

n

ni

i n

X X XX S

( ) ( ) 2939,06

7975,8.6953,118543,16.

1

11 ==

==

==n

i

n

ni

n

ni

ii

n

Y X Y X XY S

3 Etapa:( )( )

4049,12092,02939,0

1 === XX S XY S

a

( ) 2046,49492,1.4049,14662,110 === X aY a

Assim:

(a) =1a ( ) 4049,14049,11 === a


40/57


41/57

41

6.5 - Regresso

Deseja-se, freqentemente, com base em dados amostrais estimar o valor de uma varivelY ,correspondente ao conhecido de uma varivel X . Isso pode ser alcanado mediante a avaliao do valor deY ,a partir de uma curva de mnimo quadrado que se ajuste aos dados amostrais. A curva resultante denominada deregresso de Y para X , visto queY avaliado a partir de X .

Se se desejar estimar o valor de X a partir de um atribudo aY , usa-se umacurva de regresso de X para Y , o que importa em uma permutao das varveis no diagrama de disperso, de modo que X passa a sera varivel dependente eY a independente.

Em geral, a reta ou curva de regresso deY para X no igual de X paraY .

Exemplo 6.2 No Exemplo 5.1, dos tanques plsticos com paredes finas defeituosas, constatou-se que havia uma

correlao positiva entre a presso de sopro e a percentagem defeituosa. A fim de evitar esse problema,pergunta-se:

- Quando a presso de sopro estiver em um certo valor, qual ser a espessura das paredes formadas?- Como a presso de sopro deve ser controlada para que as paredes do tanque no fiquem finas?

Para realizar essa anlise e poder responder s perguntas feitas, necessrio compreender,quantitativamente, a relao entre a presso de sopro e a espessura da parede.

A Tabela 6.3 mostra os dados de uma experincia na qual a presso de sopro foi mudada e, em cadavez, a espessura das paredes foi medida. A Figura 6.4 um diagrama de disperso baseado nestes dados.

Tabela 6.3 Presso de Sopro x Espessura da ParedePresso de sopro(kgf/cm) 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

4,62 4,12 3,21 2,86 1,834,50 3,88 3,05 2,53 2,024,43 4,01 3,16 2,71 2,24

Espessura daParede (mm)

4,81 3,67 3,30 2,62 1,95

Figura 6.4 Relao entre a Presso de Ar e a Espessura da Parede

Pode-se representar a presso do sopro por x e a espessura da parede por y, admitindo uma relao linear: x y += (6.4)

onde: uma constante chamado decoeficiente de regresso


42/57

42

Tal reta geralmente chamada dereta de regresso , onde y a varivel resposta (ou variveldependente), e x a varivel explicativa (ou varivel independente). A forma quantitativa de entender arelao entre x e y , pela busca de uma forma de regresso entre x e y , chamada de Anlise de Regresso .

Seja (Xi,Yi) (para 1 i n) um conjunto den pares de dados observados. Sejam e osvalores estimados e e , e sejaei o resduo entreY i e i X + , isto :

( )iii X ye += (1 i n) (6.5)

Pelo mtodo dos mnimos quadrados, e so obtidos como os valores que minimizam=

n

iie

1

2 , a

soma dos quadrados dos resduos. Esse mtodo aplicado atravs das seguintes etapas:

Etapa 1

Obtenha X e Y a partir dos dados.

Etapa 2 Calcule S(XX) e S(XY).

Etapa 3

Obtenha de( )( ) XY S XX S= (6.6)

e obtenha de

X Y = (6.5)

os valores de e obtidos dessas etapas minimizam a soma dos quadrados dos resduos.Agora, usando os dados daTabela 6.3, pode-se calcular a reta de regresso.

Tabela 6.4Presso Espessura X X.Y

1 8,0 4,62 64 36,962 8,0 4,5 64 363 8,0 4,43 64 35,444 8,0 4,81 64 38,485 8,5 4,12 72,25 35,026 8,5 3,88 72,25 32,987 8,5 4,01 72,25 34,0858 8,5 3,67 72,25 31,1959 9,0 3,21 81 28,8910 9,0 3,05 81 27,4511 9,0 3,16 81 28,4412 9,0 3,3 81 29,713 9,5 2,86 90,25 27,1714 9,5 2,53 90,25 24,03515 9,5 2,71 90,25 25,74516 9,5 2,62 90,25 24,8917 10,0 1,83 100 18,3


43/57

43

18 10,0 2,02 100 20,219 10,0 2,24 100 22,420 10,0 1,95 100 19,5

Total 180 65,52 1630 576,88

1 Etapa:0,9

20180===

n X

X

276,320

52,65 ===nY

Y

2 Etapa:

( ) ( ) 0,1020180

1630

2

1

2

12

==

= ==n

i

n

ni

i n

X

X XX S

( ) ( ) 8,126

52,65.18088,576.

1

11 ==

==

==n

i

n

ni

n

ni

ii n

Y X Y X XY S

3 Etapa:( )( )

28,10,108,12 ===

XX S XY S

80,140,9).28,1(276,3 ==

Assim, a reta de regresso expressa por: X Y 28,180,14 =

A cada aumento de 1(kgf/cm) da presso do ar, a espessura da parede diminui de 1,28(mm). AFigura 6.5 mostra a reta de regresso calculada acima.

Figura 6.5 Relao entre a Presso de Ar e a Espessura da Parede

6.6 - Aplicaes das Sries Temporais


44/57

44

Se a varivel independente X corresponder ao tempo, os dados representaro os valores deY emdiversos momentos. Os dados ordenados em relao ao tempo so denominados sries temporais.

A curva de regresso deY para X , neste caso denominada de tendncia e freqentemente

empregada para as finalidades de estimao, predio (ato de predizer) ou previso.

6.7 - Problemas que envolvem mais de duas variveis

Podem ser tratadas de maneira anloga aos de duas. Por exemplo, pode haver uma relao entre trsvariveis X , Y e Z que pode ser descrita pela expresso:

Y a X aa Z 210 ++= que denominada equao linear das variveis X , Y e Z.

Em um sistema tridimensional de coordenadas retangulares, essa equao representa um plano e ospontos amostrais reais ( X 1,Y 1), ( X 2,Y 2), ..., ( X n,Y n) podem dispersar-se em posies no muito distantes desseplano, que pode ser denominado de ajustamento.

Mediante a extenso do mtodo dos mnimos quadrados, pode-se falar de um plano de mnimos

quadrados de ajustamento dos dados.Se o nmero de variveis exceder a trs, perde-se a intuio geomtrica porque, ento, serianecessrio considerar espaos de quatro ou mais dimenses.

Os problemas que envolvem a avaliao de uma varivel a partir de duas ou mais outras sodenominados problemas de regresso mltipla.


45/57

45

7 - MODELOS DEPROBABILIDADE PARAEXPERIMENTOS (3)

Antes de se apresentar os diferentes modelos de probabilidade, importante que se tenha perfeitamenteclaro o entendimento da diferena entre amostra e populao (ou universo). Utilizando-se mais uma vezas conceituaes de JURAN (1992, p.33), pode-se dizer que: Uma amostra um nmero limitado de medidastiradas de uma fonte maior. Uma populao uma grande fonte de medidas das quais a amostra retirada.A partir das conceituaes anteriores, apresenta-se a conceituao de distribuio de probabilidade esuas classificaes: distribuio contnua de probabilidade e distribuio discreta de probabilidade.

Segundo JURAN (1992, p.33), ainda: Uma distribuio de probabilidade uma frmula matemticaque relaciona os valores da caracterstica com a sua probabilidade de ocorrncia na populao.

Quando a caracterstica que est sendo medida puder assumir qualquer valor (sujeito exatido doprocesso de medio), sua distribuio de probabilidade chamada distribuio contnua de probabilidade. Umexemplo: a distribuio de freqncias dos dados de resistncias eltricas medidas.

Asdistribuies contnuas de probabilidademais comuns so:(1) a Distribuio Normal;(2) a Distribuio Exponencial e(3) a Distribuio de Weibull.

Distribuio Forma Funo de Probabilidade Comentrios sobre Aplicao

Normal

( )2

2

2

21

= X

e y

= mdia= desvio padro

Aplicvel quando houver umaconcentrao de observaes sobrea mdia e for igualmente provvelque as observaes ocorrem acimae abaixo da mdia. Variao nasobservaes geralmente oresultado de muitas pequenascausas.

Exponencial

X

e y

= 1

Aplicvel quando provvel quemais observaes ocorram abaixoda mdia do que acima.

Weibbull ( )( ) = X e X y 1

Aplicvel na descrio de umagrande variedade de padres devariao incluindo casosparticulares da normal eexponencial

Quando a caracterstica medida puder assumir somente certos valores especficos (por exemplo,inteiros 1, 2, 3, etc.), sua distribuio de probabilidade chamada de distribuio discreta de probabilidade. Umexemplo: a distribuio do nmero de defeitos r numa amostra de cinco itens, pois r s pode ser 0, 1, 2, 3, 4ou 5, nunca 1,5 defeitos.

As distribuies discretas de probabilidademais comuns so:(1) a Distribuio de Poisson;(2) a Distribuio Binomial;(3) a Distribuio Binomial Negativa e(4) a Distribuio Hipergeomtrica.

Distribuio Forma Funo de Probabilidade Comentrios sobre AplicaoPoisson ( )

!r enp

ynpr

= n = nmero de tentativasr = nmero de ocorrncias

p = probabilidade de ocorrncia

O mesmo que a binomial, porm,empregada particularmentequando h muitas oportunidadesde ocorrncia de um evento, masuma pequena probabilidade(menos de 0,10) em cada tentativa

3 JURAN, J.M. & GRYNA, F.M. Controle da Qualidade Handbook. Vol. VI. pp. 33-69


46/57

46

Binomial

( )r nr q p

r nr n

y = !!!

n = nmero de tentativasr = nmero de ocorrncias

p = probabilidade de ocorrnciaq = 1 - p

Aplicvel na definio daprobabilidade der ocorrncias emn tentativas de um evento, que temuma probabilidade de ocorrnciade p em cada tentativa.

Binom. Negativo ( )( ) ( )

sr q psr

sr y

!!1!1

+=

r = nmero de ocorrnciass = diferena entre nmero de

tentativa e nmero deocorrncias

p = probabilidade de ocorrnciaq = 1 - p

Aplicvel na definio daprobabilidade quer ocorrnciasexigiro um total der + s tentativas de um evento que temuma probabilidade de ocorrnciasde p em cada tentativa (note que onmero total de tentativasn r + s).

Hipergeomtrica

=n

N r n

d N

r

d

y

Aplicvel na definio daprobabilidade der ocorrncias emn tentativas de um evento quandoh um total ded ocorrncias emuma populao de N .

A seguir explicar-se- como as distribuies de probabilidade podem ser usadas em uma amostra deobservaes para inferir sobre a populao maior.

7.1 - Espao Amostral A estatstica trabalha com os resultados dos experimentos. Quando algum experimento realizado,

algum resultado ocorre; denota-se um resultado tpico pelo smbolo e. Tal resultado chamado evento simples.Se for feita uma lista de todos os possveis resultados de interesse do experimento, essa srie chamada

de espao amostral.

Exemplo: Se for realizado o experimento de jogar para cima trs moedas e observar-se se o resultado cara (F) ou coroa (C), o espao amostral conter os oito resultados possveis.

FFF FFC FCF CFF FCC CFC CCF CCC

Para simplificao de notao, denota-se esses resultados, respectivamente, por

e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8.

Associa-se um nmero chamado probabilidade a cada um dos eventos simples. Probabilidade aproporo de vezes que cada evento simples ocorreria num nmero muito grande de experimentos deste tipo.

Exemplo: Qual a probabilidade de FFF ocorrer?Geralmente tomada como sendo 125,08

1 = , j que ela ocorre em cerca de81 das vezes de um grandenmero de experimentos onde 3 moedas so lanadas.

Denota-se a probabilidade de um evento simples e por P(e); assim, para o exemplo, P(FFF) =81 .

Adicionando a proporo de vezes que cada e no espao amostral ocorreu, deve-se obter uma somaigual a 1.

Por exemplo, no lanamento de moedas:P(e1)+ P(e2)+ P(e3)+ P(e4)+ P(e5)+ P(e6)+ P(e7)+ P(e8)= 1


47/57

47

7.2 - Eventos Muitas vezes no se est interessado em um evento simples, mas sim numa combinao deles, chamado

evento composto.

Por exemplo: o evento mais caras que coroas, no exemplo do lanamento de 3 moedas, ocorre se, esomente se, um dos eventos simples e1, e2, e3, e4 ocorrer.

A freqncia com a qual obtm-se mais caras que coroas ser a soma das freqncias relativas de e1,e2, e3 e e4.

Ento: P(mais caras que coroas) = P(e1)+ P(e2)+ P(e3)+ P(e4)

Para facilitar a escrita, freqentemente denota-se o evento de interesse por um smbolo, como A parao evento mais caras que coroas, logo, P(mais caras que coroas) = P(A)

Portanto: A probabilidade de um evento composto a soma das probabilidades de todos os eventossimples que o formam.

No exemplo anterior: P(A) =2

1

8

1

8

1

8

1

8

1 =+++

Isto , espera-se encontrar mais caras que coroas em mais ou menos 50% de tais experimentos.Neste exemplo tm-se eventos simples igualmente provveis, isto , P(ei) = P(e j) para todo i, j.Quando isto for verdade, segue-se que para qualquer evento composto A tm-se

amostralespaonopontosdenmeroAemsimpleseventosdenmero)( = AP

Para o exemplo anterior: P(A) =21

84 =

Diz-se que dois eventos compostos A1 e A2 so mutuamente excludentes se nenhum e1 estiver em A1 eA2, ao mesmo tempo.

Por exemplo: Se A1 o evento 2 caras e A2 o evento mais coroas que caras, ento A1 e A2 somutuamente excludentes, pois A1={e1, e3, e4} e A2={e5, e6, e7, e8} no tm qualquer evento em comum.

Com freqncia expressamos o fato de que A1 e A2 so mutuamente excludentes com smbolos,escrevendo A1 A2 =.

Se A1 e A2 so mutuamente excludentes, ento para o evento A1 ou A2 tem-seP(A1 ou A2) = P(A1) + P(A2)

Assim, conclui-se que para quaisquer eventos A e A1 a Regra da Adio :P(A ou A1) = P(A) + P(A1) - P(A e A1)

Para eventos mutuamente excludentes (caso particular), P(A e A1) zero, de forma que a equao sereduziria para duas parcelas, como j foi visto.

7.3 - Anlise Combinatria A teoria das probabilidades fundamenta as decises baseadas em amostragem. Percebe-se que

a probabilidade sempre ser expressa como um nmero em 1,0 (certeza de ocorrncia de um dado evento) e 0,0(impossibilidade de ocorrncia), e a definio mais intuitiva de probabilidade aquela baseada numainterpretao de freqncia.

No caso simples, quando um evento A pode ocorrer em s casos de um total de n possveise igualmente provveis, ento a probabilidade de que o evento ocorra :

possveiscasosdetotalnmerosucedidoscasosbemnmero

ns

AP ==)(

Contar s e n pode ser complexo, nesse caso chamado de problema de anlisecombinatria.


48/57

48

Exemplo: Um lote consiste em 100 itens. Um nico item selecionado ao acaso, e assim, cadaum dos 100 itens tem chance igual de ser selecionado. Suponha que um lote contm um total de 8 itens no-conformes. Ento: a probabilidade de retirada de um nico item no-conforme :

%808,01008 ===ns

7.4 - Teoremas Teorema 1Se P(A) for a probabilidade de um evento A, ento a probabilidade de que A no ocorra

P(no A) = 1-P(A)

Teorema 2 Se A e B so dois eventos, ento a probabilidade de que A ou B ocorra

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)

Teorema 3 Se A e B so dois eventos, ento a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B P(A e B) = P(A) x P(BA)

Onde P(B A) a probabilidade de que B ocorra, supondo-se que A j tenha ocorrido.

Exemplo: Um sistema complexo consiste em 2 subsistemas principais. A probabilidade dedesempenho bem sucedido do primeiro subsistema 0,95; a probabilidade correspondente do segundosubsistema 0,90. Ambos subsistemas devem operar com xito a fim de alcanar o sucesso do sistema todo. Aprobabilidade da operao bem sucedida do sistema todo , portanto

P(A e B) = 0,95 x 0,90 = 0,855

Os teoremas mostrados podem ser expandidos para qualquer nmero de eventos.

7.5 - Distribuies Discretas de ProbabilidadeDistribuies Discretas de Probabilidade so usadas para modelar situaes onde o resultado de

interesse pode assumir apenas alguns valores discretos (tais como 0 ou 1 para falha ou sucesso, ou 0, 1, 2, 3, ...como nmero de ocorrncias de algum evento de interesse).

.1 - Distribuio Uniforme DiscretaSe cada um dos valores x1, ..., xn igualmente provvel de ocorrer como resultado de um experimento,

ento dizemos que o valor obtido tem a distribuio uniforme na srie de valores x1, ..., xn.O modelo que leva a uma distribuio uniforme a seleo aleatria a partir de uma populao finita na

qual cada valor ocorre o mesmo nmero de vezes (isto faz com que os valores tornem-se igualmente provveisde ocorrer na amostragem).

.2 Distribuio Binomial Se a probabilidade de ocorrncia p de um evento constante em cada uma dasn tentativasindependentes do evento, ento a probabilidade der ocorrncias emn tentativas :

( )r nr q p

r nr n !!!

onde: q = 1 - p.

A suposio de uma probabilidade constante de ocorrncia considerada razovel quando otamanho da populao pelo menos 10 vezes o tamanho da amostra.

Quandon tentativas independentes de um experimento tiverem, cada uma, probabilidade p constante de ocorrncia de um evento de interesse, o nmero de ocorrncias segue uma distribuio binomial.

O nome vem do fato que o fator

( )!!!

r nr n

visto no clculo das probabilidades chamado deCoeficiente Binomial , em matemtica.


49/57

49

.3 Distribuio Hipergeomtrica

Ocasionalmente, as hipteses de Poisson ou binomiais no podem ser satisfeitas nem mesmode forma aproximada. Sujeita apenas suposio de uma amostra aleatria, a hipergeomtrica d aprobabilidade de exatamenter ocorrncias emn tentativas de um lote de N itens tendod defeituosos como:

=

n

N r nd N

r d

y

onde

n

N so as combinaes de N itens tomadosn de cada vez e igual a

( )

!!!

n N n N

, onde

( )( ) 1...2.1.! = N N N N e 1!0 = . Os clculos podem ser evitados usando-se tabelas como aquelaspreparadas por Lieberman e Owen (1961).

A Distribuio Hipergeomtrica apropriada quando tentativas independentes so feitas, mas a

probabilidade de ocorrncia do evento de interesse muda de tentativa a tentativa por causa da diminuio de umapopulao finita.Exemplo: Um lote de 100 unidades examinado por um fabricante cuja qualidade passada foi em torno

de 5% de no-conformidade. Uma amostra aleatria de 20 unidades selecionada do lote. Para calcular aprobabilidade de 0 no-conformes em 20, obs

Estatística Aplicada à Eng. Quimica (cap_01_a_07)

Documents

Transcript of Estatística Aplicada à Eng. Quimica (cap_01_a_07)