Estatica de Fluidos Opta 2010 -PDF

ESTATICA DE FLUIDOS PRESENTADO POR

OPTACIANO VÁSQUEZ GARCIA

DOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS

UNASAM- HUARAZ-PERÚ

© 2010

I. OBJETIVOS: Al finalizar la unidad el alumno está

en las condiciones de

• Entender el concepto de distribuciones de presiones

hidrostáticas.

• Usar la ley fundamental de la hidrostática en la

medición de presiones mediante el uso de

manómetros

• Determinar cuantitativamente fuerzas de presión

sobre superficies sumergidas y centros de

presiones

• Determinar cuantitativamente fuerzas de flotación

y sus puntos de aplicación

II. INTRODUCCIÓN

Gases Líquidos Estatica Dinámica

Air, He, Ar,

N2, etc.

Agua, aceites,

alcoholes, etc.

0 iF

Viscoso/ sin viscocidad

Estable/inestable

Compressible

Incompresible

0 iF

Laminar

Turbulento

← Flujos

Compressibility Viscosity Vapor

Pressure

Density

Presiónre Buoyantez

Estabilidad

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

Capitulo II.

Estatica de fluidos

Dinámica de fluidos

Surface

Tension

Mecanica de fluidos

III. DEFINICIÓN DE FLUIDO Sustancia que cambia su forma continuamente siempre

que este sometido a un esfuerzo cortante, sin importar

que tan pequeño sea.

Estados de la materia La materia puede existir en cuatro estados:

SOLIDO, LÍUIDO GAS Y PLASMA

Cada uno de estos estados depende de la fuerza de

cohesión molecular entre las moleculas del cuerpo

SOLIDOS Tienen volumen y forma

definida.

Sus moléculas tienen

ubicaciones específicas

debido a fuerzas eléctricas

Vibran alrededor de sus posiciones

de equilibrio.

Pueden ser modeladas como esferas

rígidas unidas por resortes

SOLIDOS Cuando se aplica fuerzas

externas al sólido, éste puede

estirarse o comprimirse. En el

modelo de resortes, estos se

estiran o comprimen

Si se suprime la fuerza el

sólido recupera su forma original:

esta propiedad se concoce como

elasticidad

SOLIDO CRISTALINO

1. Los átomos dentro del

cristal tienen una

estrucctura ordenada

2. En la figura se presenta

el cloruro de sodio,

Las esferas grises son los iones

sodio y las verdes el ion cloro

SOLIDOS AMORFOS

1. Los átomos están distribuidos aleatoriamente

como se muestra en la figura

Entre otros se tiene a los vidrios.

LIQUIDOS

1. Tienen volumen

definido pero no tienen

forma definida

Las fuerza intermoleculaleres no son suficientes

para mantener las moléculas en posiciones fijas

2. Existen a temperaturas

mayores que los

sólidos

2. Las moléculas se

mueven aleatoriamente

dentro del líquido

PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS

1. Propiedades hidrostáticas:

a) Presión

b) Tensión superficial

c) Boyantez

2. Propiedades hidrodinámicas:

a) Viscocidad

b) Flujo y transporte

GASES 1. No tienen volumen ni forma definida

2. Las moleculas de un gas se encuentran en

continuo movimiento

3. Sus moléculas se ejercen mutuamente fuerzas

muy débiles

4. La distancia promedio entre sus moléculas es

mucho mayor que el tamaño de las moleculas

PLASMA 1. Materia caliente a muy alta temperatura

2. Muchos de los electrones en estas sustancias se

encuentran libres de sus átomos

3. Esto da como resultado una gran cantidad de

iones libres electricamente cargados

4. El plasma existe en una gran cantidad de estrellas

PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS

Una propiedad es una carácterística de una sustancia , la cual es invariante cuando está en un estado particular

Las propiedades pueden ser: (a) EXTENSIVAS: las cuales

dependen de la cantidad de sustancia presente (volumen, energia

momentum, peso,etc. (b) INTENSIVAS: las cuales son

independientes de la cantidad de sustancia ( volumen específico,

densidad, energía especifica, etc

La propiedades intensivas son los valores de las propiedades que se aplican a los fluidos. Son: Densidad, peso específico, gravedad específica, viscocidad, tensión superficial, presión de vapor, compresibilidad

DENSIDAD

La densidad , de una sustancia es una medidad de

la concentración de la materia, y se expresa como la

masa por unidad de volumen

Matematicamente se expresa

*

, , , limV V

mx y z t

V

, , ,

dmx y z t

dV

Para cuerpos homogéneos m

V

La densidad es función de la presión y de la temperatura

y su unidad SI es el kg/m3

Densidad de algunas sustancias

Sustancia ρ (kg/m3).103 Sustancia ρ (kg/m3).103

Hielo 0,917 Agua 1,00

Aluminio 2,7 Glicerina 1,26

Acero 7,86 Alcohol etílico 0,806

Cobre 8,92 Benceno 0,879

Plata 10,5 Aire 1,29

Plomo 11,3 Oxigeno 1,43

Oro 19,3

Platino 21,4

PESO ESPECÍFICO El peso específico , es la fuerza debido a la gravedad

sobre la masa contenida en la unidad de volumen de una

sustancia. Esto es, el peso por unidad de volumen.


Las unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en el

sistema británico. Por otro lado, debido a que w = mg =

ρVg , la ecuación del peso específico puede escribirse

W

V

mgg

V

GRAVEDAD ESPECIFICA Es una cantidad que permite comparar la densidad de

unas sustancia con la del agua si el fluido es un líquido

y con la del aire si es un gas


Debido a que la densidad es función de la presión y la

temperatura, para los valores precisos de la gravedad

específica debe expresarse la presión y la temperatura

susr

w

PRESIÓN La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una

magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una

fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial

implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una

manifestación normal a la superficie.

Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro

de una superficie S tal como se ve en la figura. Si se divide a la

superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es , en

donde , es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza

que ejercerá el fluido sobre ΔA es . Entonces la presión no es más

sino la fuerza por unidad de área, esto es:

Fp

A

0lim

A

Fp

A

dFp

dA

A An

nF

Módulo de elasticidad volumétrico (Ev)

Todos los fluidos se pueden comprimir mediante la

aplicación de fuerzas de presión y en el proceso se

almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos

se expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadas

convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad

elástica se define mediante el módulo de elasticidad

volumétrico, cuyo valor se determina utilizando un cilindro

y un embolo al que se le aplica una fuerza como se

muestra en a figura

1

V

dpE

dVV

Viscosidad (µ)

Cuando se observa el movimiento de fluidos se distinguen

dos tipos básicos de movimiento. El primero es el flujo

laminar aquel movimiento regular en el que las partículas

del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o

láminas. El segundo llamado flujo turbulento es un

movimiento caracterizado por la aleatoriedad del

movimiento de las partículas observándose remolinos de

varios tamaños.

Para determinar la viscosidad consideremos el flujo

laminar de un fluido real que está confinado a moverse

entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la

figura

Viscosidad (µ)

• Por efecto de la fuerza cortante Ft, la placa se mueve hacia la derecha. El esfuerzo cortante será

• La rapidez de deformación será

0limA

F dF

A dA

0rapidez de deformación lim

t

d

t dt

Viscosidad (µ)

• Por otro lado de la figura 3.5 se observa además que la distancia Δl entre los puntos M y M’ es

• Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse como

l v t

l y

Viscosidad (µ)

• Igualando estas ecuaciones

• Llevando al límite se tiene

v t y

v

t y

d dv

dt dy

Viscosidad (µ)

• Para fluidos newtonianos

• En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le llama “coeficiente de viscosidad dinámica”

• En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistema c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada como poise

d dv

dt dy

Viscosidad (µ) • La viscosidad no depende en gran medida de la presión.

Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura mientras que en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre moléculas. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas tienen una alta movilidad y generalmente están separadas existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras dando lugar a una disminución en la viscosidad.

ESTATICA DE FLUIDOS

• Un fluido se considera estático si todas sus partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a una distancia de referencia inercial. En esta sección se analizará la presión y sus variaciones a través del fluido así como se estudiará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.

Presión en un punto

• Para determinar la presión en un punto interior a un fluido consideremos un elemento de fluido en forma de cuña como se muestra en la figura. Debido a que la cuña esta en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas que existen son perpendiculares a las superficies.


• Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas y teniendo en cuenta que F = pA, resulta

1 14 52 2

0

0

xF

p dydz p dydz

1 3

0

0

yF

p dxdz p dxds sen

2 3

0

cos 0

zF

p dxdy p dx ds dW

5 4p p 1 3p p

12 3 2

p p dz


• Las dos primeras ecuaciones indican que no hay variación de presión en dirección horizontal, mientras que la úlitma ecuación indica en dirección vertical. Si hay variación de la presión dicha variación depende de la densidad del fluido, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. Sin embargo en el límite cuando dz, tiende a cero, la ecuación se escribe

• Por tanto

2 3p p

1 2 3p p p

Variación de la presión en un fluido en

reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática

• Las variaciones de presión en una determinada dirección se obtienen estudiando las variaciones que la presión experimenta a lo largo de una dirección horizontal y vertical.

Variación de la presión en un fluido en

reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática

• Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se cumple.

0

0

x

xx x

F

pp dydz p dx dydz

x

0

0

y

y

y y

F

pp dxdz p dy dxdz

y

0

0

z

zz z

F

pp dxdy p dz dxdy dW

z

0

x

px

0

y

p y

gz

pz

Variación de la presión en un

fluido incomprensible

• Se ha demostrado anteriormente que la presión experimenta variaciones en la dirección vertical, además se ha mostrado que la presión depende de la densidad así como de la aceleración de la gravedad y como la gravedad varía con la altura entonces afectará a la presión. Sin embargo, para propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la gravedad como una constante, de otro lado como se trata de un fluido incompresible la densidad es constante entonces la ecuación se escribe.

zpg

z

constantezdp

gdz

Variación de la presión en un

fluido incomprensible

• A partir de este resultado, se observa que un incremento en la elevación (dz, positivo) corresponde a una disminución en la presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2 las presiones en los puntos z1 y z2, respectivamente, la ecuación puede integrarse obteniendo

• Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte superior como se ve en la Figura , la presión a cualquier profundidad h = z1 – z2 es

2 2

1 1

p z

zp z

dp g dz 2 1 2 1p p g z z

0p p gh

Variación de la presión en un fluido incomprensible

• La presión ejercida por el aire es constante

• La presión ejercida por el líquido varía con la profundidad

Variación de la presión con la profundidad

• La presión en un fluido en reposo es independiente de la forma del recipiente que lo contiene.

• La presión es la misma en todos los puntos de un plano horizontal en un fluido dado

Principio de Pascal. • Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad,

cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece:

“Un cambio en la presión aplicada a un fluido encerrado en un depósito se transmite íntegramente a cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente que l contiene”

Principio de Pascal. Prensa hidraulica • Una de las aplicaciones más importantes del principio de

Pascal es la prensa hidráulica

1 2 2 2

1 2

1 2 1 1

F F F AP P

A A F A

Variación de la presión para fluidos compresibles Gases como el aire, oxigeno y nitrogeno son compresibles de tal

forma que debe considerarse la variación de la densidad

Note: γ = ρg , no es constante y gdz

dp

Ley de gases ideales Asi RT

p

R Constante universal de

gases

T es la temperatura

ρ es la densidad Entonces,

Para condiciones isotérmicas, T es constante, To:

Presión absoluta y manométrica

El Barómetro

• Fue inventado por Torricelli

• Permite medir la presión atmosférica local.

• Consta de un tubo largo de vidrio cerrado por un extremo y abierto por el otro y una cubeta con mercurio

,

0

atm vapor Hg Hg

Hg

atm Hg

p p h

h

p h

El Barómetro

El manómetro

Los manómetros son

dispositivos que sirven para medir la diferencia de presión.

Uno de ellos es el manómetro en U

2 3

1 1 0 1 1

0 1 1 1 1

, 2 2 1 1

A

A

A man

p p

p h p h

p p h h

p h h

El manómetro diferencial

• Ambos extremos del tubo contienen depósitos.La presión

diferencial será

EJEMPLO 01

• Una Tanque de gasolina está conectado a un manómetro

de presión a través de un manómetro doble-U, como se muestra en la figura. Si la lectura del manómetro es de 370 kPa, determine la presión en el manómetro de la línea de la gasolina.

EJEMPLO 02

• Calcule la diferencia de presiones entre los centros de los

tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededor del eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los tanques serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de los fluidos?

EJEMPLO 03

• ¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A y B de

los tanques?

EJEMPLO 04

• Determine la presión del aire en el recipiente de la

izquierda, si la cota del líquido manométrico en el tubo en A es 32,5 m

EJEMPLO 05

• Los fluidos del manómetro invertido de la figura se

encuentran a 20 °C. Si pA –pB = 97 kPa. ¿Cuál es la altura H en centímetros

EJEMPLO 06

• La presión del punto A de la figura es de 25 lb/in2.

Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿Cuál es la presión del aire a la cual se encuentra la cámara cerrada B?. La DR para el aceite SAE 30 es 0,891

EJEMPLO 07

• Para el sistema de manómetros mostrados en la

figura, determine la lectura h del manómetro en U

EJEMPLO 08

• Los dos tanques de agua son conectados a través

de un manómetro de mercurio mediante tubos inclinados, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presiones entre los dos tanques es 20 kPa. Determine las cantidades a y

Fuerza hidrostática sobre una superficie

plana horizontal sumergida

Consideremos la

superficie sumergida

mostrada en la figura

La fuerza hidrostática

sobre dA será

F pdAkd

La fuerza hidrostática

resultante será

R

A

F pdAk


plana horizontal sumergida

Teniendo en cuenta la

variación de la presión

con la profundidad

Debido a que todos los

puntos de la superficie

está, a la misma

profundidad

0R

A

F p gh dAk

0R

A

F p gh dAk

0RF p gh Ak

Fuerza hidrostática:

CENTRO DE PRESIONES

El centro de presiones se determina aplicando el teorema

de momentos

El momento de la fuerza

resultante con respecto a los ejes

x ó y es igual al momento del

conjunto de fuerzas distribuidas

respecto al mismo eje x ó y. Es

decir

C R

A

x F xpdA

C R

A

y F ypdA

Fuerza hidrostática:

CENTRO DE PRESIONES

Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión

a una profundidad h en la ecuación (), tenemos

0 0C

A

x p gh A x p gh dA 1

C

A

x xdAA

Cx x

0 0C

A

y p gh y p gh dA 1

C

A

y ydAA

Cy y

Esta ecuaciones indican que la

fuerza hidrostática esta dirigida

hacia abajo y esta aplicada en el

centroide de la región


plana inclinada sumergida

Considere la

superficie inclinada

un ángulo

Para encontrar la

fuerza resultante se

divide a la superficie

en elementos de área

dA.

Debido a que el

fluido esta en reposo

no existe esfuerzos

cortantes, entonces la

fuerza FR actuará

perpendicularmente a

dA. Esto es



La fuerza hidrostática será

dF pdAk

Teniendo en cuenta que la

presión a una profundidad

h es p = po + ρgh

0 0dF p gh dAk

De la figura se tiene

además que h = y senθ,

entonces

0 0dF p gysen dAk



La fuerza resultante será

Teniendo en cuenta la definición

de centroide

R 0

R 0

ˆF ρgysen dA

ˆ ˆ F Ak ydA

A

A

p k

p gsen k

CGA

ydA y A

0ˆ ( )

R CGF p A gsen y A k

De la figura se observa CG CGh y sen

0ˆ ( )

R CGF p gh Ak

La magnitud de la

fuerza hidrostática será R CGF p A

Centro de presiones

El punro de aaplicación de la

fuerza resultante se determina

aplicando el principio de

momentos

Momento respecto al eje x

Donde es el momento

de inercia respecto al eje x

2

xx

A

I y dA

0

0

2

0

0

( )

( )

CP R

CP R CG xx

y F ydF y p h dA

y p y sen dA

p ydA sen y dA

y F p y A sen I

Centro de presiones

Utilizando el teorema de los ejes

paralelos

Entonces se tiene

2

,xx G x CGI I y A

2

0 ,

0 ,

0 ,

,

( )

( )

( )

CP CG CG G x CG

CG CG G x

CG CG G x

CP CG CG CG G x

y p A p y A sen I y A

p sen y y A sen I

p h y A sen I

y p A p y A sen I

,G x

CP CG

CG

sen Iy y

p A

Centro de presiones

Momento respecto al eje x

Donde es el producto

de inercia del área. Utilizando el

teorema de steiner se tiene

xy

A

I xydA

0

0

0

0

( )

( )

CP R

CP R CG xy

x F xdF x p h dA

x p y sen dA

p xdA sen xydA

x F p y A sen I

,xy G xy CG CGI I x y A

Centro de presiones

Entonces se tiene

0 ,

0 ,

0 ,

,

( )

( )

( )

CP CG CG G xy CPG CG

CG CG G xy

CG CG G x

CP CG CG CG G xy

x p A p x A sen I x y A

p sen y x A sen I

p h x A sen I

x p A p x A sen I

,G xy

CP CG

CG

sen Ix x

p A

FUERZA RESULTANTE

La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre una superficie plana de una placa completamente sumergida en un fluido homogéneo es igual al producto de la presión en el centro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dicha placa y está actuando en el centro de presiones

Propiedades geométricas de regiones

conocidas


plana vertical


plana vertical

Consideremos una superficie vertical de altura h y ancho b como se muestra en la figura.

La fuerza hidrostática resultante es

( )( )2

R CG CG

hF p A h A bh


plana vertical

Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prisma de presiones


plana vertical

Su punto de aplicación será 3

90 ( /12)

( / 2)( ) 2 6

2

3

CP CG

CP

sen bh h hy y

h bh

y h


plana vertical

Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre (compuerta) como se muestra en la figura


plana vertical

La fuerza resultante se obtiene

sumando el paralelepípedo de

presiones más la cuña de presiones


plana vertical

La fuerza resultante se obtiene

sumando el paralelepípedo de

presiones más la cuña de presiones

1,( ) 2,( )

1 2 1( ) ( )

R paralelipipedo prisma

R ABDE BCD

R

F V V

F F F

F h A h h A

La localización de la fuerza

resultante se obtiene tomando

momentos. Es decir

Donde

MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS

• El momento de inercia del área alrededor del eje x, es

• El momento de inercia del área alrededor del eje y, es

• El productor de inercia

Teorema de los ejes paralelos

• El momento del area con respecto a ejes paralelos se expresa en la forma

EJEMPLO 01

• La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire es basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va a llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3. Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en la bisagra A cuando el depósito se llena hasta una profundidad d = 2,9 m.

EJEMPLO 02

• La compuerta de 6 m de ancho mostrada en la figura se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante un momento M aplicado en sentido antihorario. Halle el valor de dicho momento para mantener cerrada la compuerta

EJEMPLO 03 • Una placa rectangular AB,

mostrada en sección vertical tiene 4 m de altura por 6 m de anchura(normal al plano de la figura) y bloque el extremo de un depósito de agua de 3 m de profundidad. La placa se encuentra articulada en A y en el extremo inferior es sostenida por una pared horizontal. Encuentre la fuerza en B ejercida por el muro de contención

EJEMPLO 04 • La compuerta vertical

accionada por el resorte está engoznada por su borde superior A según un eje horizontal y cierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de 1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la fuerza F que debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a h =1,8 m.

EJEMPLO 05

• El eje de la compuerta de 2 m de ancho normal plano del papel fallará con un momento de 160 kN.m. Determine el máximo valor de la profundidad del líquido h. El peso específico del líquido es 10 kN/m3.

EJEMPLO 06

• La presa de concreto está diseñada para que su cara AB tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra. Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de 60 pies. w =62.4 lb/pies3.

EJEMPLO 07 • El aire del espacio superior del tanque cerrado es

mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre la atmosférica- Determine la fuerza resultante ejercida por el aire y el agua sobre uno de los extremos del tanque

EJEMPLO 08 • Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada que

cierra la compuerta vertical venciendo la presión del agua dulce represada al otro lado. La compuerta es rectangular con una anchura de 2 m perpendicular al plano del dibujo. Para una altura de agua h = 3 m, calcular la presión p del aceite actuante sobre el pistón de 150 mm del cilindro hidráulico

EJEMPLO 09

• Una placa rectangular uniforme AB, representada en sección, tiene una masa de 1600 kg y separa los dos cuerpos de agua dulce en un depósito que tiene una anchura de 3 m (normal al plano de la figura). Determine la tensión T del cable soportante.

EJEMPLO 10 • En la figura se representa la sección

normal de una compuerta rectangular AB de dimensiones 4m por 6m que cierra el paso de un canal de agua dulce (ρ = 1000 kg/m3). La masa de la compuerta es de 8500 kg y está engoznada en un eje horizontal que pasa por C. Determine: (a) La fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) el punto de aplicación de dicha fuerza y (c) la fuerza vertical P ejercida por la cimentación sobre el borde inferior A de la compuerta.

EJEMPLO 11 • Calcular la magnitud, dirección y localización de la

fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el extremo del tanque cilíndrico de la figura.

EJEMPLO 12

• Una placa rectangular, mostrada de perfil en la figura, tiene una altura de 274 cm y una anchura de 244 cm (normal al papel) y separa depósitos de agua dulce y petróleo. El petróleo tiene una densidad relativa de 0,85. determine la altura h que ha de alcanzar el agua para que sea nula le reacción en B.

EJEMPLO 13

• Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida para mantener cerrada la cubierta de esta caja. La cubierta tiene una anchura de 3m de perpendicular a plano del dibujo.

EJEMPLO 14 • En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única

resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por la presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El ancho de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1 g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.

EJEMPLO 15

• La compuerta rígida OBC, tiene 5 m de ancho normal al plano del dibujo. Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que el peso de la bisagra es despreciable. Determine la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada la compuerta.

EJEMPLO 16 • En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se

construye un dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la dirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.

EJEMPLO 17 • La compuerta AB está situada al final del canal de agua de

6 ft de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción, determine las reacciones en A y B.

EJEMPLO 18 • Una compuerta colocada en el extremo de un canal de

agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reacciones en A y D.

EJEMPLO 19 • Al final de un canal de agua dulce se encuentra una

compuerta en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localiza a una distancia de h 4 in. por abajo del centro de gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del agua d para la cual se abrirá la compuerta.

EJEMPLO 20 • Un tanque abierto tiene una partición vertical y en un lado

contiene la gasolina con una densidad de ρ = 700 kg/m3 a una profundidad de 4 m, como se muestra en la Figura. Una puerta rectangular que es de 4 m de altura y 2 m de ancho y con bisagras en un extremo se encuentra en la partición. El agua se va añadiendo lentamente hacia el lado vacío del tanque. ¿A qué profundidad, h, será el inicio para abrir la puerta?

EJEMPLO 21 • Una puerta rectangular que

es de 2 m de ancho se encuentra en la pared vertical de un tanque que contiene agua como se muestra en la Figura. Se desea que la puerta se abra automáticamente cuando la profundidad del agua en la parte superior de la puerta llegue a los 10m.(a) ¿A qué distancia, d, si el eje horizontal sin rozamiento se encuentra? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en la puerta cuando se abra?

EJEMPLO 22

• Una puerta rectangular con una anchura de 5 m se encuentra en el lado en declive de un tanque como se muestra en la Figura. La puerta está articulada a lo largo de su borde superior y se mantiene en posición por la fuerza P. Despreciando la fricción de la bisagra y el peso de la puerta. Determinar el valor requerido de P.

EJEMPLO 23 • Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de largo

con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar mediante un cable flexible horizontal como se muestra en la Figura. El agua actúa contra la puerta que está articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es insignificante. Determine la tensión en el cable

EJEMPLO 24

• Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene su centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y descansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre la compuerta debido al agua.

EJEMPLO 25

• Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de altura tiene su base horizontal y yace en un plano inclinado 45º, con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de la superficie libre del agua. Determine la magnitud, dirección y la localización de la fuerza resultante del agua sobre el área triangular.

EJEMPLO 26 • Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la

figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg. Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta.

EJEMPLO 27 • La compuerta AB es una placa

rectangular de 280 Kgf que tiene 1,5 m de altura y 1,1 m de anchura y se utiliza para cerrar el canal de desagüe en la parte inferior de un depósito de petróleo. A consecuencia de la condensación en el depósito, se recoge agua dulce en la parte inferior del canal. Calcular el momento M respecto del eje del pasador en B necesario para cerrar la compuerta contra la acción de las fuerzas hidrostáticas del agua y del petróleo, la densidad relativa del petróleo es 0,85.

Ejemplo 28

• La compuerta rectangular mostrada en la figura tiene 1, 2 m de ancho y un resorte se encarga de mantenerla cerrada. Cuando la compuerta está cerrada la fuerza de compresión sobre el resorte vale 15000 N. Determine el valor de H para que la compuerta empiece a abrirse.

Ejemplo 29

• En la figura: (a) determine la fuerza resultante que actúa sobre la compuerta ABC debido a la presión hidrostática; (b) ¿Cuáles son las reacciones en el piso A y en el perno C?. Considere que b = 1,5 m; c = 1,25 m; d = 2 m y el ancho de la compuerta es 1,5 m.

Ejemplo 30

• Una placa plana cierra una abertura triangular existente en la pared vertical del depósito que contiene un líquido de densidad ρ . La placa está articulada en el borde superior O del triángulo. Determine la fuerza P requerida para cerrar la compuerta venciendo la presión del líquido.

Ejemplo 31 • La tapa de la abertura de

20 por 30 cm del depósito está roblonada, siendo despreciables las tensiones iniciales en los roblones. Si el depósito se llena con mercurio (DR = 13,6) hasta el nivel que se indica. Determine: (a) La fuerza ejercida por el mercurio sobre la tapa de la abertura y (b) la tensión inducida en cada uno de los roblones A y B.

Ejemplo 31

• Las caras de un canjilón en forma de V para agua dulce, representado en sección, están articuladas por su intersección común que pasa por O y unidas por un cable y un torniquete colocados cada 183 cm a lo largo del canjilón. Determine la tensión T que soporta cada torniquete.

Ejemplo 31 • En la figura puede verse la

sección de una compuerta ABD que cierra una abertura de 1,5 m de anchura en un calla de agua salada. Para el nivel del agua indicado. Determine la fuerza de compresión F del vástago del cilindro hidráulico que mantenga una fuerza de contacto de 3 kN por metro de anchura de compuerta a lo largo de la línea de contacto que pasa por A. La compuerta pesa 17 kN y su centro de gravedad está en G.

Ejemplo 31

• Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta.

Ejemplo 31 • Una compuerta rectangular uniforme de peso

W, altura r y longitud b es sostenida por goznes en A. Si e peso específico del fluido es γ , determine el ángulo θ requerido si la compuerta debe permitir flujo cuando d = r

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa

perpendicularmente, cambia de dirección continuamente. por tanto la magnitud y punto de aplicación de FR se determina determinando sus componentes horizontal y vertical.

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura,

permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultante ejercida por la superficie AB, F’H y F’V , sobre el fluido, y posteriormente las respetivas e iguales y opuestas FH y FV . Es decir

0x BC H

H BC

F F F

F F

0y V AC ABC

V AC ABC

F F F W

F F W

FH debe ser colineal con FBC

y FV colineal con la

resultante de FAC y WABC

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen

las componentes de las fuerzas resultantes producidas por distribuciones de presión sobre superficies curvas

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La componente horizontal

actuando sobre dA será

• La fuerza resultante horizontal será

• Teniendo en cuenta la geometria de la figura

• El punto de aplicación de FH se obtiene aplicando el teorema de momentos

• Es decir

HdF dF sen p sen dA

HF p sen dA

,H yz CG yz proy

A

F zdA z A

1

CP H yz

CP yz

H

z F zdA

z zdAF

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Esto es:

• La componente horizontal FH de la fuerza debida a las presiones sobre una superficie curva es igual a la fuerza debía a las presiones que se ejercería sobre la proyección de la superficie curva. El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente.

• El punto de aplicación de la fuerza horizontal se encuentra en el centro de presiones del área proyectada

,H CG yz proyF z A

1CP yz

H

z zdAF

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS La componente vertical de la fuerza FV, paralela al eje z, es

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La componente vertical

actuando sobre dA será

• La fuerza resultante horizontal será

• Teniendo en cuenta la geometria de la figura

• Pero hdAyx =dV, entonces

La componente vertical debida a las presiones sobre una superficie curva es igual al peso del fluido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendida hasta la superficie libre.

cos cosVdF dF p dA

cosV

A

F p dA

H xy xy

A A

F pdA hdA

VF V

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La línea de acción de la componente vertical se determina

igualando los momentos de las componentes diferenciales verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con el momento de la fuerza resultante respecto al mismo eje, esto es

1

CP V

CP

CP

x F xdV

x xdVV

x xdVV

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • Es decir la fuerza vertical pasa por el centroide del

volumen de fluido real imaginario que se extiende por encima de la superficie curva hasta la superficie libre real o imaginaria.

Ejemplo 01

• Determine completamente la fuerza hidrostática ejercida por el agua ( =1000 kg/m3) sobre la compuerta cuarto circular de 4 m de radio y ancho b = 30 m

Ejemplo 02 • La compuerta cuarto circular de 2 m de longitud mostrada

en la figura se encuentra articulada en la parte inferior. Determine: (a) la fuerza horizontal y vertical ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la reacción en la articulación y (c) la fuerza P necesaria para mantener la compuerta en dicha posición

Ejemplo 03

• Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas la compuerta mostrada en la figura si H = 6 m, R = 2 m y la compuerta tiene 4 m de longitud

Ejemplo 04

• ¿Qué fuerza P se requiere para mantener cerrada la compuerta de 4 m de anchura que se muestra en la figura?

Ejemplo 05

• Calcular la fuerza P necesaria para mantener el objeto cilíndrico de 10 m de longitud en la posición que se muestra

Ejemplo 06

• El cilindro de la figura tiene anchura de 1 m. El líquido que se encuentra a su izquierda es agua. Calcular las fuerzas hidrostáticas que se ejercen sobre el cilindro y el momento creado en el centro del mismo por dichas fuerzas.

Ejemplo 07

• Hallar las componentes vertical y horizontal, valor y punto de aplicación, sobre la compuerta de la figura cuyo perfil responde a la ecuación de una parábola y una longitud perpendicular al papel de dos metros. El líquido que retiene la compuerta tiene un peso especifico de 9000 N/m3.

Ejemplo 08

• En la compuerta de la figura que posee una anchura perpendicular al papel de 1m. Calcular la resultante y línea de aplicación de las fuerzas horizontales y verticales y el momento que crean en el punto 0.

Ejemplo 09

• El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa 2450 daN y tiene una longitud de 1.5 m., normal al dibujo. Determinar las reacciones en A y B en kgf despreciando rozamientos.

Ejemplo 10

• Calcular la fuerza F necesaria para mantener la compuerta mostrada en la figura en la posición cerrada. Considere que R = 60 cm y que la compuerta tiene un ancho de 1,2 m

Ejemplo 11 • La compuerta cuarto-circular AB mostrada en sección, tiene

una anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del papel) y regula la circulación de agua dulce sobre el borde B. La compuerta tiene un peso total de 30840 N y está articulada por su borde superior A. Determine la fuerza mínima necesaria para mantener cerrada la compuerta. Desprecie el grosor frente a su radio de 275 cm.

Ejemplo 11 • El costado correspondiente al agua de una presa de

hormigón tiene forma parabólica de vértice en A. Determinar la posición b del punto B de la base en que actúa la fuerza resultante del agua contra el frente C de la presa.

Ejemplo 12 • El apoyo semicónico BC de 1,2 m de radio y 1,8 m de altura, se utiliza

para soportar el cuarto de esfera AB de 1,2 m de radio, sobre la cara de corriente arriba de un dique. Determine: (a) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza horizontal hidrostática sobre el cuarto de esfera; (b) La magnitud y dirección de la fuerza vertical hidrostática sobre el cuarto de esfera; (c) La magnitud y la localización de las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática ejercida por el agua sobre la superficie semicónica BC

Ejemplo 13 • La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de

circunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto de aplicación y el momento que crean en el punto O.

Ejemplo 14

• ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos secciones del tanque están completamente aisladas una de la otra por el tabique AB?.

Ejemplo 14 • En la figura se muestra un tanque que se encuentra

herméticamente dividido en dos partes que contienen agua y aire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D se encuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúa como partición EC y se extiende por igual en el agua por encima y en el aceite por debajo, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidos sobre la esfera?.

Ejemplo 15 • Un tronco está en equilibrio como se muestra en la figura.

Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceite sobre el tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobre el tronco, (c) La fuerza ejercida por el muro sobre el tronco y (d) El peso específico relativo del tronco si su longitud es de 4m m y R = 0,6 m.

Ejemplo 16

• El agujero que hay en el fondo del depósito de la figura, está cerrado con un tapón cónico cuya densidad es 400 kg/m3. Determine la fuerza F necesaria para mantener cerrado el depósito.

Ejemplo 17 • El depósito cuya sección recta se muestra en la figura,

tiene 2 m de anchura y está lleno de agua a presión. Determine las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro de 1 m de radio en la posición mostrada, despreciando el peso del mismo.

Ejemplo 18 • Un taque se encuentra dividido en dos cámaras

independientes. La presión del aire actúa en ambas secciones. Un manómetro mide la diferencia entre éstas presiones. Una esfera de madera (DR = 0,60) se coloca en la pared tal como se muestra. Determine: (a) La fuerza vertical sobre la esfera, (b) la magnitud (solamente) de la fuerza horizontal resultante causada por los fluidos.

Ejemplo 19 • Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa

sobre la superficie semiesférica mostrada en la figura

Ejemplo 20 • ¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido

por todos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad relativa del aceite es 0,8.

Ejemplo 21 • El apoyo semicónico se usa para soportar una torre

semicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un dique. Calcular la magnitud, dirección y sentido de las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre el apoyo: (a) cuando la superficie del agua se encuentra en la base del semicilindro; (b) cuando la superficie del agua se encuentra a 1,2 m sobre este punto.

Ejemplo 22 • Determine la fuerza P, necesaria para que la compuerta

parabólica mostrada se encuentre en equilibrio. Considere que H = 2 m y el ancho de la compuerta es 2 m.

Ejemplo 23 • La compuerta AB, mostrada en la figura es utilizada para

retener agua de mar ( = 10050 N/m3) tiene la forma de tres octavos de círculo, una anchura de 3 m, está articulada en B y se apoya en A. Determine las fuerza de reacción en A y B.

Ejemplo 24 • En la figura se muestra un depósito abierto de gasolina

cuya densidad relativa es 0,72 que tiene una anchura de 4 m normal al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza que la gasolina ejerce sobre la superficie curva; (b) la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida por el fluido sobre la superficie curva

Ejemplo 25 • La cúpula semiesférica mostrada en la figura pesa 30 kN,

está llena de agua y sujeta al suelo por medio de seis tornillos igualmente espaciados. Determine la fuerza que soporta cada tornillo.

Ejemplo 26 • Calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante del

agua sobre el tapón cónico sólido

Ejemplo 27 • Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene

8 m de profundidad. Determine la fuerza hidrostática resultante que actúa por metro de longitud a lo largo de la longitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho

Ejemplo 28

Ejemplo 29 • Se muestra una superficie curva que tiene un cuerpo de

fluido estático. Calcule la magnitud de las componentes horizontal, vertical y resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre dicha superficie y su ángulo. La superficie mide 3.00 pies de longitud, el ángulo es de 75° y el fluido es agua (Calcular en sistema Ingles consistente.

Ejemplo 29 • El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremo

semiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua. Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultante sobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud y dirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por los fluidos sobre la superficie semiesférica ABC.

Ejemplo 29

1 sup.

1 1. 2 4

32

.

2 3

1

1 1 4 ..

2 4 3

(3 )(5) .(3 )900

2 3

38170, 4 ............................(1)

V ace sobrela

acei cilindro esfera

acei

V

F V

V V

RR H

F kgf

1 12 2 4

2 3

2 3

2

( ) ( )

1 4( )

2 4 3

(3 )(5) (3 )900 1000

2 3

91891,6 (2)

V aceite cilindro w esfera

aceite w

V

F V V

R H R

F kgf

• Fuerza horizontal

1 .

2

.

2

1

2

4(3) (3 )900 5

3 2

47417,3 .................(3)

H CG pro

acei CG

H

F p A

Rh

F kg

.

2

. .

2

4( )3 2

4 3 (3 )900(5) 1000( )

3 2

81617,3 .................................(4)

H CG pro

acei acei w

H

F p A

R Rh

x

F kg

BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente

sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente que actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyes de boyantez o empuje se enuncian:

1° Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación (empuje) verticalmente hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.

2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluid equivalente a su propio peso.

BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • Para demostrar la primera de éstas leyes consideremos un

cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestra en la Figura

BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • La fuerza de flotación o empuje sobe el cuerpo sumergido

es la diferencia entre la componente vertical debida a la presión sobre la parte inferior AMB y la componente vertical de la fuerza debida a la presión sobre la parte superior AUB. Esto es

• Pero hdA =dV, entonces

'

0 2 0 1

2 1

'

( ) ( )

( )

B V V

B

dF dF dF

p dA pdA

p h dA p h dA

h h dA

dF hdA

BdF dV B sumergV

F dV V

BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • Para encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación

se toma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un eje conveniente y se iguala al momento de la resultante con respecto al mismo eje, esto es

C B

V

VC

V

y F ydV

ydV

ydV

La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a

través del centroide del volumen de fluido desplazado.

BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal

como se muestra en la figura, la fuerza de flotación viene expresada en la forma

• Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que el peso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje , por tanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso

B desplazadoF V f SW gV

BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • Por otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de

separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra e la figura, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical de sección recta dA, es

2 1

1 2 2 1 1

2 2 1 1

2 2 1 1

1 1 2 2

( )

( ) ( )

( )

( )

B

B

B

B

dF p p dA

H h H h dA

dF h h dA

F h h dA

F V V

Para ubicar la fuerza de

flotación se toma momentos

respecto a un eje

convenientemente elegido

esto es

1 1 1 2 2 2C By F y dV y dV

ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS

• La estabildad rotacional de un cuerpo sumergido depende de la ubicación del centro de gravedad G y el centro de flotación B.

– Cuando G se encuentra debajo de B: Estable

– Cuando G se encuentra sobre B: Inestable

– Cuando G coincide con B: estabilidad neutra.

ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS • Sin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser

estable si G está por encima de C esta situación se muestra en la figura a. Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluido desplazado se mueve a un nuevo punto C’, que se muestra en la figura b. Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un momento restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la altura metacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta el punto de intersección de la fuerza de flotación antes de la rotación con la fuerza de flotación después de la rotación. Si GM es positiva como se muestra, el cuerpo es estable; si GM es negativa (M está debajo de G) el cuerpo es inestable.

Ejemplo 01 • ¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga?.

La barcaza tiene 6 m de ancho.

Ejemplo 02 • Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 es

forzada dentro del agua mediante una fuerza de 150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál es la profundidad d ?.

Ejemplo 03 • El tapón circular de 0,25 m de diámetro y 0,025 m de

espesor tiene un peso específico de 76 kN/m3. Calcular el diámetro D de la esfera de peso despreciable para que la válvula se abra cuando el agua tenga 1,5 m de profundidad. Considere que el peso del cable es despreciable.

Ejemplo 04 • El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3

m cuya densidad es 400 kg/m3 de la figura se mantiene en la posición mostrada por la acción de la cuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El ángulo θ cuando h= 0,9 m, (b) El valor mínimo de h para que θ sea 90º.

Ejemplo 05 • El cuerpo homogéneo A de la figura es un cono circular

recto (ρ = 640kg/m3). El cuerpo B (ρ = 2400kg/m3) se fija a A mediante un alambre. Si los cuerpos están en equilibrio en la posición mostrada. Determinar: (a) El volumen del bloque B, (b) La resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie lateral del cono

Ejemplo 06 • Los cuerpos A y B de la figura son

dos cilindros sólidos y homogéneos, la sección transversal de cada cilindro es 0,09 m2. Las densidades de los cilindros A y B son de 1800 y 2600 kg/m3, respectivamente. Un resorte de tensión (uno que sólo actúa a tensión) interconecta a A con el fondo del tanque. En la figura se representa al resorte sin deformar. Calcule la posición de la superficie del cilindro A con respecto a la superficie correspondiente del cilindro B cuando el módulo de elasticidad del resorte es 900 N/m.

Ejemplo 07 • Los dos bloques prismáticos A

y B de la figura son de madera (ρm= 600 kg/m3). Las áreas de las secciones transversales son 0,045 m2 para A y 0,108 m2 para B. La barra CD se construyó con la misma madera y el área de su sección transversal es 0,018 m2. Calcular la distancia que el bloque B debe subir o hundirse para que el sistema recobre su configuración de equilibrio.

Ejemplo 08 • La cáscara de acero semicilíndrica co los extremos

cerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa m del lastre de plomo que debe colocarse en la cáscara para que ésta sobresalga del agua la mitad de su radio de 150 mm. La densidad del acero es de 7700 kg/m3 y la densidad del plomo es 11300 kg /m3.

Ejemplo 09 • Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones

de 0,075 m fijos a un madero de 3 m de longitud y 0,3 m por 0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de longitud y 0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es 0,4. La balsa flota en agua. Sobre la balsa debe colocarse un cuerpo W de 150 kg. Determine: (a) La ubicación de W para que la balsa flote nivelada; (b) La distancia entre la parte superior de la balsa y la superficie del agua.

Ejemplo 10 • La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantiene

en posición horizontal por el ancla de concreto (24 kN/m3). Calcular el peso total mínimo que puede tener el ancla de concreto.

Ejemplo 10 • Una baliza de canal consta de un

cilindro de acero hueco de 300 mm de diámetro y 90 kg de masa, que se ancla en el fondo con un cable como se indica. Con la marea alta, h = 0,6 m. Determine la tensión T en el cable. Hallar así mismo el valor de h cuando el cable se afloja al bajar la marea. La densidad del agua marina es de 1030 kg/m3. Supóngase que la baliza está lastrada para que se mantenga en una posición vertical.

TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS

• Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal como se muestra en la Fig., sometido a una aceleración uniforme horizontal. En la figura se observa que después de ser sometido a dicha aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora.

•


• Para determinar la variación de presión en dirección vertical se considera el DCL de una porción de fluido en forma vertical y se aplica la segunda ley de Newton.

2 1

2 1

2 1

2 1

(0)

( )

y yF ma

dF dF dW m

p dA p dA gdV

p p dA ghdA

p p gh


• Para determinar la variación de presión en la dirección horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley de Newton, esto es

TRASLACIÓN HORIZONTAL DE MASAS LÍQUIDAS

• La aplicación de la ley de Newton nos da

• Simplificando se tiene

1 2

0 1 0 1

( )

y y

x

x

F ma

dF dF dm a

p gh dA p gh dA LdAa

1 2

1 2

( )

( )

x

x

x

g h h La

ah h

L g

atg

g

TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS

• Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo un fluido, en dirección vertical con una aceleración ay . La figura, muestra en este caso la superficie libre permanece horizontal durante el movimiento. Es decir la presión en planos horizontales permanece constante, pero en dirección vertical no,


• Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical se tiene

2 1

2 1

2 1

2 1

( )

( )

( )

( )

y y

y

y

y

y

F ma

dF dF dm a

p p dA gdV dVa

p p dA ghdA hdAa

p p h g a

Esta ecuación indica que

la presión varía con la

profundidad y con la

aceleración del depósito


• Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene

En el caso de que el tanque se

suelta desde el reposo, es decir

tiene un movimiento de caída libre

2 1

1 2

1 2

2 1

( )

( )

( )

( )

y y

y

y

y

y

F ma

dF dF dW dm a

p p dA gdV dVa

p p dA ghdA hdAa

p p h g a

2 1

2 1

( )p p h g g

p p

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la

presión en la dirección vertical es análoga al caso hidrostático, esto es

2 10

( ) ( )( )

z z

z

z

F ma

dF dF dW

ppdA p dz dA g dz dA

z

pg

z

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • Analizando el movimiento en dirección normal se tiene

• En la dirección azimutal

' '

2 1

2

2

( )

( ) ( )( )

n n

n

rr r

r

F ma

dF dF dm a

pp dr dA p dA dr dA r

r

pr

z

0p

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • La variación total de la presión será

• Integrando indefinidamente

• La constante C esta dada por

2

r zpp p

dp dr dz dr z

dp rdr gdz

2

2 2

2

dp rdr gdz

rp gz C

0 0

0 0

p gz C

C p gz

Remplazando C

se obtiene 2 2

0 0( )

2

rp p g z z

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene

haciendo debido a que en la superficie libre la presión es , entonces tenemos

2

0 0 0

2 2

0

( )2

2

rp p g z z

rZ Z

g

Esta ecuación indica que la superficie

libre es un paraboloide de revolución

Cuando existe una superficie libre en el recipiente

que está girando el volumen que ocupa el fluido

que está debajo de la superficie libre del

paraboloide de revolución tiene que ser igual al

volumen de fluido que tenía cuando estaba en

reposo.

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su

eje, la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del cilindro es según la ecuación

2 2

00

2

rh

g

Por otro lado, debido a que el volumen del

paraboloide de revolución es igual a la mitad del

volumen del cilindro circunscrito, el volumen del

líquido por encima del plano horizontal es,

2 2 4 22 0 0

0

1( )( )

2 2 4

r rV r

g g

EJEMPLO 01

• Un depósito rectangular de 8 m de longitud , 3 m de profundidad y 2 m de anchura contiene 1,5 m de agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de 2,45 m/s2. (a) Calcular la fuerza total sobre cada uno de los extremos del depósito debido a la l acción del agua y (b) demostrar que la diferencia entre estas fuerza es igual a la fuerza no equilibrada, necesaria para acelerar la masa líquida

EJEMPLO 02

Si el depósito del problema anterior se llena de agua y se acelera en la dirección de su longitud con una aceleración de 1,52 m/s2. ¿Cuántos litros de agua se verterán del depósito?

EJEMPLO 03 • Un recipiente que contiene agua se acelera

paralelamente y hacia arriba de un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal con una aceleración de 3,66 m/s2. ¿Qué ángulo formará la superficie libre con la horizontal?.

EJEMPLO 04 Un depósito cúbico está lleno con 1,5 m de aceite de

densidad relativa DR = 0,752. Determine la fuerza que actúa sobre uno de los lados del depósito cuando: (a) se somete a una aceleración vertical y dirigida hacia arriba de 4,9 m/s2 y (b) cuando la aceleración de 4,9 m/s2 es vertical y dirigida hacia abajo.

M

EJEMPLO 05

• Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua. Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N en dirección horizontal tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie libre del agua alcanza una orientación fija con respecto al tanque?.

EJEMPLO 06 • Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de lado

pesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la acción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela a uno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del depósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad es mayor?.

EJEMPLO 06 • El tanque rectangular cerrado mostrado en la figura tiene

1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho, está lleno con gasolina en sus tres cuartas partes y la presión en el espacio de aire arriba de la gasolina es de 140 kPa. Calcular las presiones en las esquinas de éste tanque cuando se le acelera horizontalmente según la dirección de su longitud, a 4,5 m/s2. Considere que la densidad de la gasolina es 680 kg/m3.

EJEMPLO 07 • Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a

de 0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos sobre la pared izquierda AB cuando se alcanza una configuración estable del agua con respecto al tanque?: El ancho del tanque es de 1,5 pies.

EJEMPLO 08 • Un depósito cilíndrico

abierto de 2 m de altura y 1 m de diámetro , contiene 1,5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico . (a) ¿Qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua?. (b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y en D cuando = 6 rad/s?.

EJEMPLO 09 • Considere qu el depósito del

problema 08 se encuentra cerrado y que el aire en la parte superior del cilindro es de 1,9 kg/cm2. Cuando se hace girar al cilindro a una velocidad angular de 12 rad/s. ¿Cuáles son las presiones, en los puntos C y D?

EJEMPLO 10 • Un depósito cilíndrico abierto de 1,2 m de diámetro y 1,8

m de profundidad se llena con agua y se le hace girar a 60 RPM. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad en el eje?.

EJEMPLO 11 • Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m

de diámetro se llena con agua hasta una profundidad de 1,2 m. Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en el espacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión en la intersección de la pared y el fondo del tanque cuando este se hace girar alrededor de su eje central vertical a 150 RPM.

CONCLUSION:

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