Cap 3. Estatica Fluidos

MECANICA DE FLUIDOS I

CAP III ESTATICA DE FLUIDOS

ING. AUGUSTO MASIAS QUISPE

Cusco, Marzo del 2015

Presin

AFP

211 mNPa

La idea ms simple que se tiene sobre presin se relacionacon la accin de aplastar algo.

Y cuando se aplasta algo se ejerce una fuerza sobre una regin del objeto.

Si la fuerza que se ejerce sobreun objeto es F y la regin sobrela cual acta es A, se tiene quela presin que ejerce esafuerza, es:

La presin se mide en N/m2 y sedenomina Pascal.

Presin atmosfricaEs la presin que el aire ejerce sobre la superficie terrestre.

Cuando se mide la presinatmosfrica, se est midiendo lapresin que ejerce el peso de unacolumna de aire sobre 1 [m2] derea en la superficie terrestre.

La presin atmosfrica en lasuperficie de la Tierra es:

P = 101.325 [Pa]

y se aproxima a:

P = 1,013X105 [Pa]

Cmo acta la presin hidrosttica? La presin acta sobre todas las caras de un objeto sumergido osobre las caras de las paredes del recipiente que la contiene.

Esta fuerza acta en forma perpendicular sobre cada una de las caras. La presin ejercida por un lquido no depende de la forma, ni delvolumen, ni de la forma del fondo del recipiente que lo contiene.

La presin hidrosttica depende de: La densidad del lquido. La aceleracin de gravedad. La profundidad.

Presin hidrosttica

Estos tres factores estn relacionados de lasiguiente forma:

P = DghEn donde:

P es presin. D es la densidad del lquido. g es la aceleracin de gravedad del lugar en donde nosencontramos.

h es la profundidad.

Presin hidrosttica

Es decir, la presin en un punto dado depender de la profundidaden que se encuentre, de la densidad del lquido y de la aceleracinde gravedad del lugar en donde nos encontramos.

Presin hidrosttica

La presin ejercida por un lquido no depende de la forma, ni delvolumen, ni de la forma del fondo del recipiente que lo contiene.

La presin hidrosttica depende de: La densidad del lquido. La aceleracin de gravedad. La profundidad.

Presin hidrosttica

Estos tres factores estn relacionados de lasiguiente forma:

P = DghEn donde:

P es presin. D es la densidad del lquido. g es la aceleracin de gravedad del lugar en donde nosencontramos.

h es la profundidad.

Presin hidrosttica

Es decir, la presin en un punto dado depender de la profundidaden que se encuentre, de la densidad del lquido y de la aceleracinde gravedad del lugar en donde nos encontramos.

Presin hidrosttica

Sabemos que la presin no depende de la formadel recipiente.

Entonces:Densidad del agua = 1 g/cm = 1000 kg/mAceleracin de gravedad = 10 m/s (aproximado)Profundidad = 0.2 mP = 1000 10 0.2P = 2000 Pa

Ejemplo 1

Dos personas bucean en mar abierto. El buzo 1 est auna profundidad de 10m y el buzo 2 est a unaprofundidad de 25 m. Cul de los buzos estexpuesto a mayor presin?

Considera que la densidad del agua de mar es de 1.03g/cm (1030 kg/m) y que la aceleracin de gravedades aproximadamente de 10 m/s.

Ejemplo 2

10 m

25 m

Presin para el buzo 1:P = DghP = 1030 10 10P = 103.000 PaPresin para el buzo 2:P = 1030 10 25P = 257.500 PaPor lo tanto, el buzo 2 est expuesto a una mayorpresin.

Ejemplo 2

La esttica de fluidos estudia los gases y los lquidosen equilibrio o reposo.

A diferencia de los lquidos, los gases tienen lacualidad de comprimirse.

Por lo tanto, el estudio de ambos fluidos (lquidos ygases) presentan algunas caractersticasdiferentes:

El estudio de los fluidos lquidos se llama hidrosttica. El estudio de los gases se llama aerosttica.

Esttica Fluidos

A partir de los conceptos de densidad y de presinse obtiene la ecuacin fundamental de lahidrosttica, de la cual surgen los principios dePascal y de Arqumedes.

La esttica de fluidos se utiliza para calcular lasfuerzas que actan sobre cuerpos flotantes osumergidos.

La esttica de fluidos es utilizada como principio deconstruccin de muchas obras de ingeniera, comopresas, tneles submarinos, entre otros.

Esttica Fluidos

La propiedadfundamental de unfluido esttico es lapresin, que es lafuerza superficial queejerce un fluido sobrelas paredes delrecipiente que locontiene.

En cualquier punto del interior de un fluido existetambin una determinada presin.

Definicin de presin

ie (A) con

En un fluido esttico, la presin resultacualquierindependiente de la orientacin de

superficie interna sobre la que acta.

La presin es la fuerza constante que actaperpendicularmente sobre una superficie plana.

La presin (P) representa la intensidad de ladefuerza (F) que se ejerce sobre cada unidad

rea de la superficsiderada.

F

P F N A

Definicin de presin

Es decir: Cuanto mayor sea la fuerza que actasobre una superficie dada, mayor ser la presin ycuanto menor sea la superficie para una fuerzadada, mayor ser la presin resultante.

Equivalencias:Pa = 1 N/m2=10 dinas/cm2bar = 105 Pa = 0.986923 atmatm=760 torr = 1.01325 bartorr = 1 mm Hg = 133,322 Papsi = 1 lbf/pulg2=6894.76 Pa

1 1 1 1 1

Definicin de presin

Presin (en un fluido)

Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido,el fluido ejerce unafuerza perpendicular a la superficie del cuerpo en casa punto de lasuperficie. Es una fuerza distribuida.

Presin es el ratio entre la Fuerza normal, FN y el rea elemental, A,sobre la que se aplica.

AFP N SI : Pascal [Pa] es la presin ejercida por lafuerza de un Newton uniformemente distribuda

sobre un rea de un metro cuadrado

Otra usual unidad de presin es la atmsfera (atm), que esaproximadamente la presin del aire al nivel del mar.

1 atm = 101325 Pa=101,325 kPa

Presin en un punto de un fluido en reposo:Se considera a una cua triangular de fluidoubicada dentro de una masa de fluido donde nohay esfuerzos cortantes, las nicas fuerzasexternas que actan sobre la cua se deben a lapresin y al peso, y

tienen:por la segunda Ley de Newton

(F = ma) se ysen y s.sen s

xscos x s.cos

Fx Fy z

0 pxyz pnzs.sen 0 0 pyxz pnzs.cos g xyz 0

2xy

2xy

2F 0 p p 0z z

Definicin de presin

Presin en un punto de un fluido en reposo:pxyz pnzs.senpxy pny px pnp xz p zs cos xyz

2 g.y nxy

2p x gp x y ny2 gp py n

px p

pn

p

De estas ecuaciones, se deducen que: La presin no vara en la direccin

horizontal. La presin vara en la direccin vertical

y2 gy n

poraccin de la gravedad proporcionalmente ala densidad y a la diferencia de altura.

Definicin de presin

Presin en un punto de un fluido en reposo:

La cua hidrulica tiende a cero, por lo tanto;puede despreciar y se tiene lo siguiente:

se

y2g 0 p py n

La presin en un punto esdirecciones.

igual en todas las

pz px py pn p

Definicin de presin

Ecuacin fundamental de la hidrosttica:Imaginar un volumen de fluido (aire) elemental enla atmsfera, deve en la figura:

superficie dA y alto dz, como se

F 0 F1 F2 P 0F1 F2

p1.dA pz .dAp2 .dA pzdz .dA

dp pzdz pzdm .dV dm

P mg dp dm.gpz .dA pzdz .dA dm.g( pz pzdz ).dA dm.g

dVdV dA.dz 0

dp.dA .dA.dz.gdp

dp gdz gdz

Distribucin de presiones en unfluido esttico

Esta ecuacin es vlida para describir ladistribucin de presiones en un fluido sujeto alas siguientes restricciones:

Fluido en estado de equilibrio esttico La accin gravitatoria es la nica fuerza msica El eje z es vertical .

En resumen, un fluido esta en equilibrio esttico:Si la presin en todos los puntos de un plano

horizontal es la misma. Si la presin vara slo en la direccin vertical y no

depende de la forma del recipiente que lo contiene. La presin aumenta con la profundidad. La variacin de la presin se debe la densidad del

fluido y la accin de la gravedad (peso del fluido).

dp gdz

Distribucin de presiones en unfluido esttico

Si p0 es el valor de lapresin en el nivel z0(que puede ser el niveldel mar) y p el valor de lapresin a una altura z enla atmsfera o unaprofundidad z en elocano, y si la densidades constante, se puedeintegrar la ecuacinhidrosttica y se obtiene:

dp 0

g dz0

p p0 g ( z z0 ) p p0 g ( z0 z) h z0 zp p0 gh Principio de Pascal

Variacin de la presin hidrosttica enlquidos

Esta ecuacin, es vlida slo cuando la densidades constante. , ni la forma de un recipiente ni la cantidad delquido que contiene influyen en lapresin que se ejerce sobre su fondo, tan slo laaltura de lquido. Esto esparadoja hidrosttica.

lo que se conoce como


FLUIDOS. Presin.

hgP hgPP 0 h

Po

P

Elevador hidrulico

Derivar la relacin entre lasfuerzas que se ejercen en lospistones del elevadorhidrulico, aplicando elprincipio de Pascal.

Paradoja HidrostticaExplicar porqu :

1.- la superficie dellquido adopta lasuperficie horizontal

2.- La presin en elfondo debe ser lamisma para todos lospuntos

PASCAL estableci que si se tiene un lquido en undepsito completamente cerrado y en uno de suspuntos se aplica una presin cualquiera, esapresin se trasmite con igual valor a todos lospuntos del lquido.


PUCV, Facultad de Ciencias, Instituto de Fsica, Pedagoga en Fsica

Esto lo reconoci por primera vezel cientfico francs Blaise Pascal(16231662), y se le conocecomo el Principio de Pascal.

En un fluido la presin depende nicamentede la profundidad.Todo aumento de presin en la superficie setransmite a todos los puntos del fluido.

PUCV, Facultad de Ciencias, Instituto de Fsica, Pedagoga en Fsica

Se aplica una fuerza descendente a un pequeo mbolo de rea A1. La presin setransmite a travs del fluido a un mbolo ms grande de rea A2.

A1A2

F1

F2

1

212

2

2

1

1

21

AAFF

AF

AF

PP

La magnitud de F2 esmayor que la magnitud deF1 por un factor de

1

2

AA

Principio de Pascal:

La presin que se ejerce sobre un fluido setrasmite por igual a todos sus puntos y a lasparedes del recipiente que lo contiene.


Prensa hidrulica: La aplicacin ms importantedel principio de Pascal es la prensa hidrulica.

A2 A1

2 1 A1

La ventaja que presentan los lquidos es que altransmitir Presiones, pueden multiplicar lasFuerzas aumentando el rea sobre la cul seejerce.

P2 P1F2 F1

F F A2


Ejercicio 1: Se desea levantar un automvil de masaigual a 1,200 Kg con una gata hidrulica, tal como semuestra en la figura. Qu fuerza se deber aplicar enel mbolo ms pequeo, que tiene un rea de 10 cm2para levantarlo, sabiendo que el rea del mbolo ms

200 cm2?. Solucin:

grande es deF F1 2A1 A2

El peso del automvil es:A1mgLuego:F2 mg F 1 A2

Reemplazando se tiene:

10cm21200Kg 9.81m

s2 F1 588.6N200cm2


En ingeniera se suele medir la presin de dosformas:

Refirindola a un nivel de presin nula (ceroabsoluto o vaco perfecto), en este caso se llamapresin absoluta.Usando la presin atmosfrica local como referencia.

Esta forma se emplea en muchos instrumentos demedida de tipo diferencial, la presin que arroja lamedicin del fluido se denomina en trminosgenerales presin manomtrica.Segn que la presin sea superior o inferior a laatmosfrica, se suele denominar : Presin manomtrica (Pman), si P > Patm Presin de vaco (Pabs), si P

Una ecuacin sencilla que relaciona los dossistemas de medicin de la presin es:

Pabs Pman Patm

Medicin de la presin. Manometra

Por lo tanto:Las presiones absolutas deben utilizarse en todos losclculos con gases.Un vaco perfecto es la presin ms baja posible y enconsecuencia, la presin absoluta siempre espositiva.

Una presinatmosfricaUna presinatmosfricavaco.

manomtrica por encima de la presinlocal siempre es positiva.manomtrica por debajo de la presin

local es negativa y suele denominarse

La magnitud de la presin atmosfrica vara con laubicacin y condiciones climticas.

La presin baromtrica es un indicador de lavariacin continua de la presin atmosfrica.


En 1643, Evangelista Torricelli,llen un tubo de vidrio, de 1 m de

longitud con mercurio (Hg) ytap el extremo abierto. Luego lodio vuelta en una cubeta quetambin contena Hg y observ;que el Hg del tubo a 0Cdescendi hasta estabilizarse sucolumna en 76 cm y cuya presines equivalente a 101.3 kPa.

AHg hHgHg gWHg mHg g VHg Hg gPatm PHg A A A AHg Hg Hg HgPatm PHg Hg ghHg


Piezmetro: Consiste en un tubo vertical, abiertoen la parte superior y conectado alque se desea medir la presin.

recipiente en

Como A y 1 estn al mismo nivel:PA P1

Por lo que:

PA 1h1


Manmetro simple: En tubo de U, el fluidomanomtrico puede ser de mercurio (Hg),tetracloruro de carbono (CCl4), aceite, agua, etc.

En la figura mostrada se cumple que:

PA P1 P2 P3P2 P1 1h1 P3 P0 manh2

Sustituyendo se tiene:

PA manh2 1h1


Manmetros: Sonaparatos que sirven paramedir la presin de losfluidos contenidos enrecipientes cerrados , haymanmetros de lquidoso metlicos (tubo en U ode Bourdon).

Barmetros: Sonaparatos que miden lapresin atmosfrica ypueden ser barmetrosde mercurio y metlicos.


En la actualidad existen tanto manmetros comobarmetros digitales.


Ejercicio En el tanque de la figura tenemos treslquidos insolubles. Calcular la presin absoluta yrelativa en el fondo y determinar la cota de loslquidos en cada uno de los piezmetros colocadoscomo se indica, considerar que la presinatmosfrica es 0.95 atm.


Solucin: Las presiones relativas son:

P2 P1 1 z1 z2 1 DR.aguaP3 P2 2 z2P4 P3 3 z3

z3 2

z4 3 DR. agua g

Sustituyendo se tienen:2P1 0Kg / m

P 0 0.75100018.20 15.50

P 2025Kg / m22 2P 2025 1.00100015.50 12.50

P 5025Kg / m23 3P 5025 183.499.8112.50 10.00 P Pman 9525Kg/

m24 4


Solucin: La presin absoluta en el fondo (punto 4) es:

Pabs Pman Patm1atm 10330Kg / m2 Patm 0.95(10330) Patm 9813.5Kg / m2Pabs 9525 9813.5 Pabs 19338.5Kg / m2

Las alturas y cotas de los piezmetros son:PP H H h H Cota

P2 20257505025100095251800

H H H 2.70m h 2.7015.50 h 18.20m1 1 1 1 11P3

H H H 5.03m h 5.0312.50 h 17.53m2 2 2 2 2 2P4

H H H 5.29m h 5.2910.00 h 15.29m3 3 4 3 3 3


Ejercicio 7: Dos recipientes cuyas superficies libres seencuentran a una diferencia de altura (H), contienen elmismo liquido de peso especifico (g) segn se indica en

la figura. Hallar una expresin para Solucin:

calcular en funcinde ga, A, gb, B.

P1 P2 P1 0 En el manmetro :Superior :PX P1 H XPA PX A AP2 PA A X

Inferior : P1 m P B

PmP

B

Pm B

P B m H2 B Simplificando:

H A A A 0 B B B H 0 B B B A AB B H A B


Fuerza hidrostticaEn la figura semuestra unplaca planasumergida enun lquido enestadoesttico, sobrecuya carasuperior seevala laaccin de lapresinhidrostticadistribuida.

sobre una superficie plana sumergida:

Fuerzas Hidrostticas sobreSuperficies Planas Sumergidas

Fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida:

Debido a la presin variable que acta sobre la placa, parael anlisis se considera como un elemento diferencial de

rea (dA) ubicado a una(x) del eje Y. Al tratarsepresin que acta sobre

profundidad (h) y a una distanciade un elemento diferencial, lael mismo puede considerarse

constante por consiguiente la fuerza sobre este elementoes, integrando esta ecuacin diferencial sobre eldF pdA

F pdArea A se obtiene el valor de la fuerza resultante:A

Si la presin (p) a una altura (h) por debajo de la superficieluego, se tiene:

F p0A g x.sendA

libres esta dada por

F A (p0 gh)dAF p0A gA hdA

p p0 gh

h x.sen AF p0A g.sen xdAA



xdA xcgA Si luego: F p0 A g.sen.xcgAA

Sustituyendo xcg.sen se tiene que:hcg Esta ltima expresin matemtica, indica:

La fuerza debida a la accin de la presin uniforme que actasobre la superficie libre, se transmite a travs del lquido sinvariacin.

La fuerza hidrosttica propiamente dicha, debida a la accin dela columna lquida que acta sobre la superficie (presincausada por la gravedad que se incrementa linealmente sobreel lquido).

Finalmente, la ecuacin es: F (p0 g.hcg )A Si el factor entre parntesis representa la presin en el

baricentro de A, la fuerza hidrosttica es:cg

F p A

F p0 A g.hcg A



Esquemticamente se tiene:


Punto de aplicacin de la fuerza hidrosttica (Centro depresin)

El centro de presin es el punto sobre el rea donde sesupone que acta la fuerza resultante, en forma tal quetiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda elrea debido a la presin del fluido.

Teorema de Varignon: El momento de la resultante deunsistema de fuerzas en torno a cualquier eje debe serigual a la suma de los momentos de las fuerzasaplicadas alrededor el mismo eje.

Tomando momentos alrededor del eje Y (momentos en Orespecto del plano de la figura), se tiene xdFh

A

Fhxcp


Punto de aplicacin depresin)

la fuerza hidrosttica (Centro de

Si entonces dFh g.h.dA y luego:Fh g.hcg A h x.senF x g.h A.x g(x.sen)x.dA g.h A.x g.sen x2dAh cp cg cp cg cp

A A

sen x2dA Despejando se tiene: x cp h Acg A El momento

dado por:de inercia del rea con respecto al eje, esta

Iyyhcgy se tiene:I x2dA xcp x yy cg x AsenA cg Aplicando

momentoel teorema de Steiner de los ejes paralelos, elde inercia a un eje centroidal paralelo al eje yy es:

I A.x2yy cg I A.x2 x Iyy cp cgcg cp A.xyy x AcgI

x x yycg


Ejemplo : La compuerta que se muestra en la figura se articula en O. La

compuerta tiene 2 m de ancho normal al plano del dibujo.Calcule lacerrada.

fuerza requerida en A para mantener la compuerta

Solucin: Datos e incgnitas


Solucin:

1. Fuerza hidrostticaFh pcgA pcg g.hcg hcg h1 h2h2 (a / 2)sen h2 (2 / 2)sen30h2 (1)(0.5) h2 0.50mhcg 1 0.50 hcg 1.50mA ab A (2)(2) A 4.00m2pcgpcg

(1000)(9.80)(1.5)14700Pa

Fh (14700)(4) 58,800NFh 58.8kN


Solucin: 2. Momento (con referencia al punto O)

Fh(a / 2 e)M 0 F (a / 2 e) F.a 0 F o h aI hba3yy cge I x cgyyx A 12 sencg(2)(2)3 1.5 1.33m4 x I 3mcgyy 12 sen301.33 (58.8)(10.11)e 0.11m F 32.67kN(3)(4) 2


Ejemplo :


Solucin:


Ejemplo


Fuerza hidrosttica sobre una superficie curva sumergida : La fuerza resultante de las fuerzas de presin sobre una

superficieverticales

curva se calcula separando las componentesy horizontales. De la figura: dF p.dA

Componentes horizontales:Multiplicar a ambos por un vector

unitario i. dF.i p.dA.iSi dF dF.i dA dA.ix xEntonces

x

Componente vertical: Multiplicando por un vector dF.k p.dA.kunitario k. Si entoncesdFz dF.k dAz dA.k p g(z z0 ) p.dAzFz

z

Fz g (z z0 ).dAz zo

zgVliq.sup.curva Wliq.sup.curvaz liq.sup.curvaF W

Fx p.dAx

Fuerzas Hidrostticas sobreSuperficies Curvas Sumergidas

Ejemplo : Calcule la magnitud de las componenteshorizontal y vertical de la fuerza que el fluido ejerce sobrecompuerta, luego calcule la fuerza resultante as como su

la

direccin. La superficie de inters es cilndrica con unalongitud de 1.5 m.

Solucin: Componente

vertical (Fv): Pesodel volumen sobrela superficie curvaF g. V

v H2O desplazado

V (A1 A2 )bA1 h1RA2 R

2

4


Ejemplo :A (2.80)(1.20) 3.36m2 A 2 (1.20) 1.13m21 2 4V (3.36 1.13)(1.50) 6.74m3 F (1000)(9.80)(6.74) 66.052kNv

Componente horizontal(Fh): fuerza debida a lapresin fluida sobre lasuperficie curva.

F p A p ghhpcg

cg p cg H2O cp

(1000)(9.80)(3.40) 33.32kNFh (33.32)(1.50)(1.20) 59.976kN Fuerza resultante:

)2 )2 (59.976)2 (66.052)2 F 89.219kNF (F (Fr h v r


Ejemplo :


Empuje hidrosttico: Los cuerpos slidos sumergidos en un lquido experimentan

un empuje hacia arriba debido a la presin del fluido queacta sobre sus superficies exteriores. Este fenmeno, queel fundamento de la flotacin de los barcos, era conocidodesde la ms remota antigedad.

Principio de Arqumedes: Todo cuerpo sumergido en el

interior de un lquido sufre unempuje ascendente igual al pesodel lquido desalojado.

es

E Wliqdes

Flotacin y Estabilidad

Empuje hidrosttico: Situaciones posibles segn la magnitud del peso

del cuerpo (W) con respecto al empuje (E):Si la fuerza de empuje (E) es menor que el pesodel cuerpo (W), el cuerpo se hunde hasta tocarfondo. Ejm: piedra maciza en el agua.Si el empuje (E) es igual al peso del cuerpo (W)esta en equilibrio y el cuerpo flota entre aguaspor debajo de la superficie liquida. Ejm:submarinos.Si la fuerza de empuje (E) es mayor que el pesodel cuerpo (W), entonces flota, el cuerpo seencuentra parcialmente sumergido. Ejm: los

cue liq

barcos.fuerza de empuje depende de la densidad del La

cuerpo y la del lquido donde este sumergido.cue cuesum

E liqgVliqdesW gV

cue liq

liq cue


Ejemplo: Calcular el empuje que sufre una bola esfrica

de 1 cm de radio, cuando se sumerge en:a) Alcohol ( = 0.7 gr/cm3).b) Agua ( = 1 gr/cm3).c) Tetracloruro de carbono ( = 1.7 gr/cm3).

Solucin: Segn el Principio de Arqumedes; el empuje

liqdes

liqdes liqdes liq

esigual al peso del liquido desalojado. sea:

El volumen de una esfera es:

cue cue cue3 3

a) b) c)

CH3OH alc

H2O alc

CCl4 alc

E (4.19106 m3 )(0.7103Kg/m3 )(9.81m/ s2 ) E 0.03NE (4.19106 m3 )(1.0103Kg/m3 )(9.81m/ s2 ) E 0.04NE (4.19 106 m3 )(1.7 103Kg / m3 )(9.81m / s2 ) E 0.07N

V 4 r3 V 4 (1)3 V 4.19cm3 V 4.19 106 m3

E WWliqdes mliqdesgm V Vcuesum VliqdesE Vcuesumliqg


Cap 3. Estatica Fluidos

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