2.estatica de fluidos 0708

2. Estática de Fluidos.

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Superior de Marina Civil de Gijón 2º curso Máquinas Navales Curso 2007-08

Apuntes de Mecánica de Fluidos

2. ESTÁTICA DE FLUIDOS

plano de formas distribución de áreas de cuadernas

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos

Gijón noviembre 2007



2

2. ESTÁTICA DE FLUIDOS

1. Presión y ecuación fundamental de fluidoestática. 2. Fuerzas de presión sobre superficies. 3. Flotación y estabilidad. 4. Problemas resueltos.

1. PRESIÓN Y ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE ESTÁTICA DE FLUIDOS. 1.1 Concepto de presión 1.2 Ecuación fundamental de estática de fluidos. 1.3 Distribución de presión en: fluidos incompresibles, líquidos barotrópicos y gases. 1.4 Distribución de presiones en movimientos acelerados sin deslizamiento. 1.1. CONCEPTO DE PRESIÓN

La Estática de Fluidos estudia el comportamiento de un fluido, cuando no hay desplazamientos relativos entre sus partículas, con lo que no existen tensiones tangenciales y el campo de tensiones es exclusivamente normal.

El concepto más importante en “fluidoestática” es el de presión, pudiéndose introducir su concepto desde

dos aspectos: a partir de la consideración de que en fluidoestática el campo de tensiones es exclusivamente normal y esférico; o bien a partir del concepto más clásico de límite de la fuerza de superficie normal por unidad de área de contacto.

PRESIÓN COMO CAMPO DE TENSIÓN NORMAL ESFÉRICO.

En el modelo continuo de constitución de los fluidos, el equilibrio de una partícula fluida viene determinado por el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Estas fuerzas se pueden considerar de tres tipos:

- fuerzas de volumen o fuerzas másicas, debidas a que la masa de la partícula puede estar inmersa en un campo de fuerzas central, que normalmente es el campo gravitatorio. Vienen determinadas por la masa y el vector de aceleración del campo de fuerzas1.

- fuerzas de superficie o de contacto, debidas a la interacción del resto del fluido sobre la partícula; que vienen determinadas por el campo de tensión en el que esta inmerso el fluido, y que viene dado por el tensor de tensiones, que agrupa las acciones del resto del fluido en: acciones normales a las superficies de contacto (por unidad de área son las tensiones normales) y en acciones tangenciales a las superficies de contacto (por unidad de área son las tensiones tangenciales)2.

- fuerzas de inercia debidas a las aceleraciones de la masa de la partícula en su movimiento3.

Las fuerzas de superficie vienen determinadas por el tensor de tensiones, en el que se agrupan las tensiones tangenciales y las tensiones normales. Las tensiones tangenciales dependen del campo de velocidades y del parámetro de viscosidad tangencial del fluido (µ); las tensiones normales dependen del campo de velocidades, del parámetro de viscosidad del fluido (tangencial µ y normal λ), y de la presión termodinámica. En estática de fluidos con el campo de velocidades nulo, las tensiones tangenciales son idénticamente nulas y las tensiones normales coinciden con menos la presión termodinámica.

1 Fuerza de volumen = (masa)(aceleración campo central):

→→⋅= gdmFd v

2 Fuerza de superficie = (tensor de tensiones)(vector área): →=→

⋅= AdTFd s

3 Fuerza de inercia = (masa)(vector aceleración): )dt/vd(dmadmFd i→→→

⋅=⋅=



3

En coordenadas cartesianas y para un fluido newtoniano se tienen las siguientes expresiones para las

tensiones tangenciales y normales:

tensiones tangenciales:

xy yx

xz zx

yz zy

u vy xu wz xv wy z

⎛ ⎞∂ ∂τ = τ = µ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞τ = τ = µ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

τ = τ = µ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

tensiones normales

xx

yy

zz

u v w up 2x y z x

u v w vp 2x y z y

u v w wp 2x y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂σ = − + λ + + + µ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂σ = − + λ + + + µ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂σ = − + λ + + + µ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

campo de velocidad nulo: u = v = w = 0 ij

ii

0

p

τ =⇒

σ = − [3.]

La igualdad de las tensiones normales, lleva a que la presión media coincida con la presión

termodinámica4:

xx yy zz p p pp p3 3

σ + σ + σ − − −= − = − = [4.]

Con todo en un fluido estático, las tensiones (fuerzas de superficie por unidad de área) vienen

determinadas exclusivamente por la presión termodinámica, que genera un tensor esférico de tensiones:

==−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−= I·p

100010001

pp00

0p000p

T [5.]

El tensor de tensiones determina las fuerzas de superficie sobre un elemento de área: →=→

⋅= AdTFd s .

En estática de fluidos, al ser el tensor de tensiones:==

−= I·pT ; las fuerzas de superficie o de contacto

vienen determinadas por: →→=→

−=⋅−= Ad·pAdI·pFd s ; es decir tiene la dirección del vector área (perpendicular a la superficie), sentido hacía la superficie y de módulo igual al producto de la presión (en el entorno del elemento de área) por el área elemental:

→→

⋅−= AdpFd estática,s [6.]

4 La presión termodinámica viene determinada por el estado de agitación térmica de las moléculas, y de las fuerzas y distancias intermoleculares: p = p(T,ρ). En el caso de un gas ideal, según la teoría cinética de gases: p=ρv2, en donde “v” es la velocidad promedio en la agitación térmica de una molécula, que viene dada por la ecuación de BOLTZMAN: v2=κT/m, siendo κ la constante de BOLTZMAN (κ=1,380 658 10-23 J/K, T la temperatura absoluta y m la masa de la molécula (m=M/NA, M es la masa molecular y NA el número de Avogadro = 6,022 136 1023), con todo se tiene, la ecuación térmica de estado para el gas ideal: p=ρκT/m=ρkT/(M/NA)=ρ((κ.NA)/M)T, en donde κ.NA es la constante universal de los gases: RU = κ.NA= 8,314 J/molK; denominado como constante de cada gas. R=RU/M, se tiene la ecuación que utilizaremos: P=ρRT



4

PRESIÓN COMO LÍMITE DE LA FUERZA DE SUPERFICIE NORMAL POR UNIDAD DE ÁREA.

El concepto de presión en un fluido estático, se puede establecer a partir del Principio de PASCAL. Se determina la presión media en un fluido sobre una superficie, dividiendo la fuerza normal sobre la superficie por unidad de área; la presión en un punto es el límite de la presión media cuando el área tiende a cero:

AF

limp normal0A →

= [7.]

La presión así definida tiene el mismo valor en todas las direcciones del fluido, y por tanto es una

magnitud escalar. PASCAL definió esta propiedad, estableciendo como principio que la presión es independiente de la dirección.

Una demostración simple del Principio de PASCAL es considerar una partícula fluida de sección triangular

y espesor elemental; y establecer la ecuación de equilibrio de fuerzas. Las fuerzas que actúan en un fluido estático son las de superficie (que en fluidoestática son normales a las superficies) y las de volumen (que en campo gravitatorio son verticales y hacia abajo):

psds dx senα

z ds psds dx cosα dx dz py dz dx α y x ρg ds dx dy /2 px dy dx px es la presión media en la superficie dz dy; py es la presión media en la superficie dz dx; y ps la presión media en la superficie ds

dx; el equilibrio de fuerzas lleva a que para cualquier posición (ángulo de inclinación α), cuando las superficies son elementales, las tres presiones son iguales y son la presión en el punto, cuyo entorno es la partícula elemental considerada:

F 0 p (dzdx) p (dsdx) sen 0; siendo : dssen dz; p px y s y s

p p p px y sF 0 p (dydx) p (dsdx)cos g(dzdxdy / 2) 0z z s p pz sds cos dy despreciando el último ter mino por inf initesimo superior

= ⇒ − α = α = ⇒ =∑

⇒ = = == ⇒ − α−ρ =∑⇒ =

α = ∧

1.2 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE ESTÁTICA DE FLUIDOS

La ecuación general de equilibrio, aplicada a una partícula fluida, es la expresión de la segunda ley de NEWTON: “suma de fuerzas =0”; cualitativamente la expresión de equilibrio de fuerzas en una partícula fluida es: fuerzas de volumen+fuerzas de superficie+fuerzas de inercia=0.

dVdt

vd- iFd :inercia de fuerza

dVgFvd : volumende fuerza

dVT·Ad·TFsd :superficie de fuerza

0FidFvdFsd→

→

→→

=→=→

→→→

ρ=

ρ=

∇==

=++ [8.]

Con lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas, se puede expresar por unidad de volumen, quedando la

ecuación de movimiento de CAUCHY:

dt

vdTg→

=→ρ=⋅∇+ρ [9.]



5

En Estática de Fluidos las fuerzas de inercia son nulas ( 0dt/vd =→ ), y el tensor de tensiones es

esférico (==

−= I·pT ); con lo que la ecuación de movimiento de CAUCHY en estática de fluidos es:

0Ip·g =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇+ρ

=→ [10.]

Desarrollando la ecuación anterior en coordenadas cartesianas, se tiene como expresión de la ecuación de

equilibrio de fuerzas para un fluido estático:

( )

( )

p 0 0p p p

p 1 i j k 0 p 0 i j k px y z x y z0 0 p

g g i g j g kx y z

p g

−∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ ⋅ − ⋅ = + + ⋅ − = − + + = −∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂−

ρ = ρ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∇ = ρ⎝ ⎠

r r r r r r

r r rr

r [11.]

La ecuación diferencial que da una expresión de la presión en un punto, en función de las componentes

del vector aceleración del campo central de fuerzas, se denomina ecuación fundamental de estática de fluidos; y se obtiene a partir de la ecuación de movimiento de CAUCHY para un fluido estático (ec. 7.):

x y z

x y z

p p pp p(x, y, z) dp dx dy dzx y z

dp (g dx g dy g dz)p p pg g gx y z

∂ ∂ ∂= ⇒ = + +

∂ ∂ ∂⇒ = ρ + +

∂ ∂ ∂⇒ = ∧ = ∧ =

∂ ∂ ∂

[12.]

En el caso particular de que el campo de fuerzas másicas o de volumen, sea exclusivamente el campo

gravitatorio, el vector de aceleración del campo es: →→

−= kgg ; con lo que la ecuación fundamental de fluidoestática en campo gravitatorio es:

dp = -ρ g dz [13.] Esta última ecuación es la más utilizada en Estática de Fluidos, pues lo más normal es tener

exclusivamente el campo gravitatorio como campo de fuerzas central en donde esta contenida la masa del fluido. En campo gravitatorio, el vector aceleración de campo, es un vector de dirección vertical, con sentido hacia abajo, y de modulo la denominada aceleración de la gravedad con un valor estándar de g = 9, 80665 m/s2. Evidentemente la aceleración gravitatoria, depende de la latitud5 y la cota6.

De la ecuación de fluidoestática: p g∇ = ρ

r , se tiene que la dirección del gradiente de presión viene dada por la de la aceleración local; y como el gradiente de un escalar es siempre perpendicular a las superficies isoescalares (escalar constante), se tiene que las superficies isobáricas, serán perpendiculares en cada punto a la aceleración local. En el caso de campo exclusivamente gravitatorio, las superficie isobáricas son por tanto, perpendiculares al vector aceleración gravitatoria, es decir esferas concéntricas con la Tierra. Evidentemente, a escala humana, son prácticamente planos horizontales (perpendiculares a la vertical del lugar).

5 En geodesia, se supone la Tierra como un elipsoide de revolución, con lo que el radio de un determinado punto, depende solo de su latitud. Teniendo la siguiente formula empírica para la aceleración gravitatoria terrestre, sobre una masa en una latitud θ: g=9,780 0237 (1+0,005302sen2θ-0,000058sen2(2θ) 6 La fuerza gravitatoria, es la fuerza con la que la Tierra atrae a una masa; su expresión viene dada por la formula de gravitación universal de Newton: G.mT.m/r2, en donde G es la constante gravitatoria universal (G=6,67259 10-11 Nm2/kg2), mT la masa de la Tierra (5,96 1024 kg) y r la distancia desde el centro de la Tierra al cdg de la masa considerada. El radio medio de la Tierra es de 6,37 106 m. La aceleración gravitatoria terrestre media sobre una masa a cota cero, será por lo tanto: g=G.MT/RT

2 = 9,8 m/s2



6

Otra forma, más intuitiva de obtener la Ec. fundamental de Estática de Fluidos, es a partir de la ecuación diferencial del campo de presiones, en función de sus derivadas parciales. En coordenadas cartesianas:

( ) dzzpdy

ypdx

xpdpz,y,xpp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⇒=

Las derivadas parciales, son las tres componentes del gradiente de presión; y se pueden obtener a partir de

balances de las fuerzas elementales que actúan sobre una partícula de fluido estático, en campo gravitacional: En la coordenada “x”, las únicas fuerzas son las debidas a la presión: en la cara anterior se supone que se

tiene una presión genérica “p”, con lo que en la cara posterior separada una distancia “dx”, se tendrá un presión distinta: p+dp, en donde la variación de presión solo es debida a la variación de la coordenada “x”, es decir:

dxxpdp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

∑ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⇒= 0dydzdxxpppdydz0dFx 0

xp

=∂∂

En la coordenada “y”, las únicas fuerzas son las debidas a la presión: en cara izquierda se supone que se

tiene una presión genérica “p”, con lo que en la cara derecha separada una distancia “dy”, se tendrá un presión distinta: p+dp, en donde la variación de presión solo es debida a la variación de la coordenada “y”, es decir:

dyypdp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

∑ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⇒= 0dxdzdyypppdxdz0dFy 0

yp

=∂∂

En la coordenada “z”, aparte de las fuerzas debidas a la presión, se tiene el propio peso de la partícula. En

cara inferior se supone que se tiene una presión genérica “p”, con lo que en la cara superior separada una distancia “dz”, se tendrá un presión distinta: p+dp, en donde la variación de presión solo es debida a la variación de la coordenada “z”, es decir:

dzzpdp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

∑ =ρ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⇒= 0gdxdydzdxdydzzpppdxdy0dFz

gzp

ρ−=∂∂

Susituyendo los valores de las tres derivadas parciales, en la Ec.

diferencial de la distribución de presión, se tiene la Ecuación fundamental de estática en campo gravitacional terrestre:

gdzdp ρ−=

p·dy·dz

dz·dydxxpp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

p·dx·dz dz·dxdyypp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+

p·dx·dy

dy·dxdzzpp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

ρ·dx·dy·dz



7

1.3 DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN CAMPO GRAVITACIONAL. Para obtener la variación de presión entre dos puntos de un fluido estático, se tiene que integrar la ecuación fundamental [13]: dp=-ρgdz

2 2

1 1

p z

p zdp g dz= −ρ ⋅∫ ∫

2

1

z

2 1z

p p g dz− = − ρ⋅∫

La integral, se puede resolver, si se conoce la función ρ=ρ(z). Se consideran los siguientes casos: (a) FLUIDO INCOMPRESIBLE: la densidad es constante, y la integral es:

( )2 2

1 1

z z

2 1 2 1z z

p p g dz g dz g z z− = − ρ⋅ = −ρ = −ρ −∫ ∫ ( )2 1 2 1p p g z z− = −ρ − [14.]

(b) LIQUIDO DE MODULO DE COMPRESIBILIDAD CONSTANTE: barotrópico. La relación entre la densidad y la cota, se determina a partir de la ecuación de fluidoestática (dp=-ρgdz) y del módulo de compresibilidad (K=ρdp/dρ):

dpKd

= ρρ

2

d d g dp=K gdz dzK

ρ ρ⇒ = −ρ ⇒ = −

ρ ρ

( )1

1 1

KK g z z

ρ = ρ+ ρ −

La variación de presión es: ( ) ( )

2 2

1 1

z z

2 1 1z z 1 1 1 2 1

K Kp p g dz g dz ... K lnK g z z K g z z

− = − ρ⋅ = − ρ ⋅ = = ⋅+ ρ − + ρ −∫ ∫

( )2 1

1 2 1

Kp p K lnK g z z

− = ⋅+ ρ −

[15.]

(c) GAS IDEAL A TEMPERATURA CONSTANTE. La ecuación de fluidoestática: dp=-ρgdz, junto con la ecuación térmica de estado: p=ρRT, permite obtener la variación de la presión entre dos puntos de un gas en función de la temperatura y de la cota:

2 2 2

1 1 1

p z z2

p z z1

pp dp -g g dz g dzdpdp g dz gdz = dz lnpRT p RT R T p R T− −

= −ρ ⋅ = − ⇒ ⇒ = =∫ ∫ ∫ La integral se puede resolver si se tiene la variación de la temperatura con la cota: T=T(z). En el caso de temperatura constante, evidentemente se tiene:

( )2 1

2 1

g z zRTp p e

− −= ⋅ [16.]



8

(d). AIRE ATMOSFÉRICO ESTÁNDAR EN LA TROPOSFERA. A cotas menores de 11000m, la temperatura de la atmósfera estándar va disminuyendo linealmente con la cota: T=T0-Bz; en donde la constante B7 tiene un valor de 6,5K/km; es decir en cada kilómetro de ascensión la temperatura disminuye en 6,5ºC. La temperatura a cota cero es de 15 ºC (T0=288,15K). Con la relación entre temperatura y cota, se puede integrar la ecuación que da la distribución de presiones:

0 0

z z0

z z0 0 0

T BZp g dz g dz g ln lnp R T R T Bz BR T

−− −= = =

−∫ ∫ g / BR

00

0

T Bzp p

T⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

para aire ideal, el exponente g/BR es igual a: 9,8/(0,0065x287)=5,253. Si las condiciones atmosféricas estándar son de 15 ºC y 1013 mbar a cota cero, se tienen los siguientes valores de temperatura y presión a distintas cotas:

cota (km) temperatura(ºC) presión(mbar) 0 15,0 1013,0

T 1 8,5 898,6 R 2 2,0 794,9 O 3 -4,5 701,1 P 4 -11,0 616,4 O 5 -17,5 540,3 S 6 -24,0 471,9 F 7 -30,5 410,7 E 8 -37,0 356,1 R 9 -43,5 307,5 A 10 -50,0 264,5 11 -56,5 226,5

T 12 -56,5 193,5 R 13 -56,5 165,3 O 14 -56,5 141,2 P 15 -56,5 120,6 O 16 -56,5 103,0 P 17 -56,5 88,0 A 18 -56,5 75,1 U 19 -56,5 64,2 S 20 -56,5 54,8 A 20,1 -56,5 54,0

7 Si en la troposfera, las propiedades del aire ideal, siguiesen un proceso isentrópico, se tendría un gradiente térmico:

( ) ( )1 g 1, 4 1 9,8T0, 01K / m 10º C / km

z R 1, 4 287S

γ − −∂= − = − = − =

∂ γ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; pero debido a que el aire atmosférico es una mezcla de aire seco y

vapor de agua, se tiene un valor menor del citado gradiente: B = 6,5 ºC / km



9

1.4 DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN FLUIDOS EN MOVIMIENTO SIN DESLIZAMIENTO. En la ecuación de estática de fluidos: p g∇ = ρ

r ; el vector “ gr ” representa la aceleración a la que están sometidas las partículas de fluido. Normalmente las partículas están sometidas exclusivamente al campo gravitatorio. Consideraremos dos casos adicionales en donde, además de la acción gravitatoria, se consideran otras acciones que generan fuerzas másicas sobre cada una de las partículas:

ACELERACIÓN LÍNEAL. Consideremos la acción de una aceleración constante sobre una masa de fluido (además de la gravitacional); supongamos que todas las partículas se mueven sin deslizamiento entre ellas. En coordenadas cartesianas, la aceleración externa será: x y za a i a j a k= + +

r r rr ; con lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas sobre una partícula es:

p g a−∇ + ρ = ρr r

Con lo que el gradiente de presión será:

( )p g a∇ = ρ −r r

y la ecuación diferencial de la distribución de presiones queda: ( )x y zdp a dx a dx a g dz⎡ ⎤= ρ − + − − +⎣ ⎦ suponiendo densidad constante, la distribución de presiones es: ( )0 x y zp p a x a y a g z⎡ ⎤= − ρ + + +⎣ ⎦ en donde p0 es la presión en el origen de coordenadas.

Las superficies isobáricas, serán planos de ecuación: ( )x y za x a y a g z cte.+ + + = [17.]

Si consideramos el caso particular de que la aceleración externa sea solo horizontal en la dirección de eje “x”, como las superficie isobáricas, son siempre perpendiculares al vector gradiente de presión, se tiene este caso, que son planos inclinados de pendiente –ax/g.

ax

gr

a−r

g a−r r

xaarctg

g⎛ ⎞

α = ⎜ ⎟⎝ ⎠

p (g a)∇ = ρ −r r



10

ACELERACIÓN CENTRIPETA. Si a la masa de fluido, se le somete a una velocidad de giro constante, la acción de la aceleración centrípeta, hace que el gradiente de presiones sea suma de la aceleración gravitatoria y la aceleración centrífuga. Por simplicidad, consideremos que el giro se hace entorno a un eje vertical, con lo que la aceleración centrípeta es horizontal, de dirección radial y módulo ω2r, siendo “r” la distancia de la partícula considerada al eje de giro. Con todo se tienen las siguientes variaciones de presión (en coordenadas cilíndricas):

r2 urcentrifugan aceleració a centrípetan aceleracióa

kg iagravitatorn aceleraciógagp

→→→

→→→→

⋅ω==−⇒=

⋅−===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ=∇

dirección axial: p gz

∂= −ρ

∂

dirección radial: 2p rr

∂= ρω

∂

dirección tangencial: p 0∂=

∂θ [18.]

La superficie isobáricas, son paraboloides de revolución (de eje vertical), de ecuación:

220p p

z rg 2g

− ω− = − ⋅

ρ. [19.]

La superficie libre (presión = p0) es un paraboloide de ecuación: z = (ω2/2g).r2, con origen sobre el eje de giro.

ω2r

ω2r

g

g

p∇

p∇

ω Superficie libre p0

( ) ( ) ( )2

22

0 (r = 0, z = 0) 0

p p pdp dr dz d r dr g dz 0 dr z

p p r gz p = p2

∂ ∂ ∂= + + θ = ρω − ρ + θ

∂ ∂ ∂θ

ρω= + − ρ



11

2. FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES. 2.1. Fuerzas de presión 2.2. Fuerzas sobre superficies planas. 2.3. Fuerzas sobre superficies curvas. 2.1. FUERZAS DE PRESIÓN.

Consideremos que en el seno de un fluido estático, se localiza una determinada superficie en contacto con parte del fluido; la distribución del campo de presiones (dp=-ρgdz), hace que sobre cada elemento de área de la superficie mojada, se tenga una fuerza elemental de presión, de módulo el valor de la presión “p” (en un punto de elemento de área) por el área elemental “dA”, dirección perpendicular al elemento de área y de sentido hacía el propio elemento de área:

→→−= Ad·pFpd

Las fuerzas de presión, son fuerzas distribuidas en toda la superficie mojada, su resultante es la suma vectorial de todas las contribuciones elementales de las fuerzas de presión sobre los elementos de área que integran la superficie:

∫∫→→

−=

A

Ad·pFp

El punto de aplicación de la resultante de las fuerzas de presión, se denomina centro de presión (c.d.p), y sus coordenadas vienen determinadas por la equivalencia de los momentos del sistema de fuerzas distribuidas y del momento de la resultante, respecto al origen:

∫∫→→→→

−=

A

cdp Axdr·pFpdxr

pdF p dA− ⋅rr

pA

F p dA= − ⋅∫∫rr

c.d.p.

cdprr

O

Ar



12

h

Fp

dFp

dA

πhorizontal

z=cte.

presión constante = p0

x

y

z

A

2.2. FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES PLANAS. Consideremos un líquido de densidad constante, y con su superficie libre a presión constante (p0). En el seno del líquido consideremos una superficie plana, sobre la que el líquido ejerce una distribución de fuerzas de presión. Si el plano que contiene a la superficie plana, es un plano horizontal, que esta a una determinada profundidad (h), la determinación de la resultante de las fuerzas de presión, es inmediata, pues la presión es constante en todos los puntos de la superficie mojada, y se tiene:

- módulo de la resultante de la fuerza de presión: pA A

F pdA p dA p A= = = ⋅∫∫ ∫∫ FP = pA [20.]

en donde “p” es la presión en cualquier punto de la superficie horizontal, y “A” el área mojada

- dirección y sentido: la fuerza de presión es normal al área, y como el área esta contenida en un plano horizontal, la dirección será vertical, y el sentido hacía abajo.

- Las coordenadas del el centro de presiones serán:

A Acdp cdg

x pdA x dAx x

p A A

⋅ ⋅= = =

⋅∫∫ ∫∫

A Acdp cdg

y pdA y dAy y

p A A

⋅ ⋅= = =

⋅∫∫ ∫∫

Es decir, el centro de presiones coincide con el centro de gravedad de la superficie mojada. Evidentemente la coordenada z, es la profundidad a la que esta la superficie plana horizontal (h) La presión en cualquier punto de la superficie mojada es: p=p0+ρgh . Si en la cara no mojada de la superficie plana, se tiene la misma presión que en la superficie libre, se tendrá una fuerza de presión sobre dicha cara no mojada de: p0A; con lo que en definitiva, sobre la superficie plana se tiene una fuerza neta de presión: Fp=ρgh.A, aplicada en el c.d.p, vertical hacía abajo.



13

Si el plano que contiene a la superficie plana, es un plano inclinado, la presión va aumentando conforme se tiene más profundidad, con lo que sobre los elementos de área más profundos el líquido ejercerá más fuerza de presión:

- dirección y sentido: tanto las fuerzas distribuidas de presión, como su resultante, son normales al plano inclinado y con sentido hacía la superficie mojada.

- módulo de la resultante de la fuerza de presión:

p 0 0A A A

F pdA (p gh)dA p A g h dA= = + ρ = ⋅ + ρ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫

la integral, viene dada por la profundidad del centro de gravedad de la superficie mojada: hcdg

Acdg cdg

A

h dAh h dA h A

A

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫

con lo que se tiene:

( )p 0 0 cdg 0 cdgA A

F pdA (p gh)dA p A g h A p gh A= = + ρ = ⋅ + ρ ⋅ ⋅ = + ρ∫∫ ∫∫

p 0 cdg cdgF (p gh )A p A= + ρ = ⋅ [21.]

es decir, la fuerza de presión, es el producto de la presión en el centro de gravedad de la superficie mojada, por el área mojada.

- para determinar las coordenadas del el centro de presiones consideremos el sistema de ejes integrado en el plano inclinado que contiene a la superficie mojada:

yG

yP

xG xP

CDG

CDP

hG hP

α

πHORIZONTAL DE LA SUPERFICE LIBRE

PRESION CONSTANTE = P0

y

x

πINCLINADO

QUE CONTIENE

A LA SUPERFICIE

A

FP



14

El momento respecto al eje y de la resultante, es la suma de los momentos elementales de la distribución de fuerzas de presión en toda la superficie mojada:

( )cdp p 0A

x F x p gh dA⋅ = ⋅ + ρ∫∫

la profundidad “h” viene dada por h = y.senα; con lo que se tiene:

( )( )

0 0A A A

cdpp 0 G

x p g y sen dA p x dA g sen xydAx

F p g sen y A

⋅ + ρ ⋅ ⋅ α ⋅ + ρ ⋅ α= =

+ ρ ⋅ α ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫

( )( )

20 0

A A Acdp

p 0 G

y p g y sen dA p y dA g sen y dAy

F p g sen y A

⋅ + ρ ⋅ ⋅ α ⋅ + ρ ⋅ α= =

+ ρ ⋅ α ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫

Si en la cara no mojada de la superficie plana, se tiene la misma presión que en la superficie libre, el efecto neto de las fuerzas de presión, es como si actuase exclusivamente la sobrepresión ρgh sobre cada elemento de área de la superficie mojada. Con esta consideración se tiene:

p GF gh A= ρ Acdp

G

xydAx

y A=

⋅∫∫

2

Acdp

G

y dAy

y A

⋅=

⋅∫∫ hcdp=ycdp.senα

[22.]

2.3. FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES CURVAS.

FPY

FPX

FPZ

superficie libre



15

En el caso de que la superficie mojada sea curva, las fuerzas elementales de presión distribuidas a lo largo de la superficie son:

( )p x y zdF p dA ...cartesianas... p dA i dA j dA k= − ⋅ = = − ⋅ + ⋅ + ⋅r r rrr

en donde dAx, dAy, dAz, son respectivamente, las proyecciones del elemento de área, sobre los planos x=0, y=0 y z=0; p es la presión en el elemento de área considerado. Las proyecciones elementales dAx y dAy están en la misma horizontal que el propio elemento de área, con lo que están a la misma presión; con lo que se tiene que las componentes horizontales de la resultante de la fuerza de presión son:

xpx Ax x

AF p dA= − ⋅∫∫

y

py Ay yA

F p dA= − ⋅∫∫ [23.]

es decir, la componente “x” de la fuerza de presión: Fpx, es la resultante de las fuerzas de presión de la proyección de la superficie curva sobre el plano x=0; y la componente “y”: Fpy, es la resultante de las fuerzas de presión sobre la proyección de la superficie curva sobre el plano y=0. En cuanto a la componente vertical, como la presión en el elemento de área (sobre la superficie curva) es distinta que su proyección en un plano z=0, no se puede seguir el mismo procedimiento; sin embargo, si consideramos solo sobrepresiones sobre la presión de la superficie libre (z=0), se tiene que la componente vertical de las fuerzas de presión, son iguales al peso de la masa de líquido contenida en el volumen engendrado por la traslación vertical de la superficie curva hasta la superficie libre (V*):

z z

*pz y y

A AF g z dA g z dA gV= − ρ ⋅ ⋅ = −ρ ⋅ = −ρ∫∫ ∫∫ [24.]

En cuanto al centro de presiones: se obtiene a partir de los centros de aplicación de cada una de las tres componentes: las componentes horizontales tiene su centro de presión, respectivamente, en los centros de presión de las áreas proyectadas; y la componente vertical en el centro de gravedad de volumen engendrado verticalmente (V*).



16

3. FLOTACIÓN Y ESTABILIDAD. 3.1. Principio de ARQUÍMEDES: Empuje hidrostático. 3.2. Curvas hidrostáticas de un buque. 3.3. Estabilidad de cuerpos sumergidos. 3.4. Estabilidad de cuerpos flotantes. 3.5. Ecuación de estabilidad. 3.1. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: empuje hidrostático. La resultante de las fuerzas de presión, distribuidas en toda la superficie de un objeto sumergido, sólo tienen componente vertical, de sentido hacía arriba y modulo, igual al peso del volumen desalojada del líquido, en el que esta sumergido: es el Principio de Arquímedes y a la resultante se le denomina empuje hidrostático.

→→→

ρ== k·gVEFp [25.] Consideremos un objeto totalmente sumergido en el seno de un líquido. Las únicas fuerzas que el fluido hace sobre el objeto, son las fuerzas de presión, distribuidas en toda la superficie del objeto.

Para determinar la componente horizontal de la resultante de las fuerzas de presión, consideremos el elemento de volumen “dV” que esta contenido entre planos horizontales separados por el elemento de cota “dz” y los planos verticales (y=cte) separados por la distancia elemental “dy”; con lo que se tiene dos superficies (dA1, dA2) mojadas por el líquido, en donde la presión en el centro de los elementos de área es la misma e igual a: p(h) (solo depende de la profundidad).

dz

dy

y x

z

π’s z=cte horizontales

π’s y=cte verticales

dV

h

dx

dz

dA2 dA1



17

( ) ( )y 1 2y cte y ctedF p(h) dA p(h) dA p(h) dx dz p(h) dx dz 0= =

= ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

en donde dFy es la fuerza elemental de presión, en la dirección “y”, debida a la presión sobre las superficies mojadas elementales dA1 y dA2; (dA)y=cte, son las proyecciones sobre un plano y=cte de las respectivas áreas elementales. Las dos fuerzas son de igual modulo y dirección, y de sentido contrario, con lo que se compensan. Extendiendo este resultando a toda la superficie mojada, se tiene que la componente “y” de la resultante de las fuerzas de presión, será nula; y evidentemente ocurre lo mismo con la otra componente horizontal “x”. Es decir, la componente horizontal de la resultante de las fuerzas de presión sobre un objeto sumergido, es nula. Para determinar la componente vertical de la resultante de las fuerzas de presión, consideremos el de volumen “dV” que esta contenido entre los planos verticales (y=cte) separados por la distancia elemental “dy” y los planos verticales (x=cte); con lo que se tiene dos superficies (dA1, dA2) mojadas por el líquido; la presión en el centro del elemento de área más profundo, tendrá una sobrepresión (respecto a la presión en el centro del elemento de área menos profundo) de ρgh, siendo “h” la distancia vertical entre los dos elementos de área.

Sobre el área elemental menos profunda, la componente vertical de la fuerza elemental de presión es: p.dA1z=p.dx.dy, con sentido hacia abajo Sobre el área elemental más profunda, la componente vertical de la fuerza elemental de presión es: (p+ρgh).dA2z=(p+ρgh).dx.dy, con sentido hacia arriba. La suma de las dos componentes verticales elementales, da una fuerza elemental, vertical, hacía arriba, y de modulo: dFz = ρg.h.dx.dy = ρg.dV, en donde dV, es el volumen elemental del objeto, contenido en las intersecciones de los 4 planos verticales (2 planos x=cte y 2 planos y=cte). Con lo que resulta que la componente vertical de todas las fuerzas de presión, sobre la superficie mojada del objeto sumergido será:

zFp g V k= ρ ⋅ ⋅r r

[26.] en donde V es el volumen del objeto sumergido.

dy

y x

z

π’s y=cte verticales

dV

π’s x=cte verticales

dx dA1

dA2

p

p+ρgh

h

dx

dy h

p.dx.dy

(p+ρgh).dx.dy



18

C.D.G.

C.D.E.

G

C

E=ρg.V

P=mg

Línea de flotación

calado

C.D.G.

C.D.E.

G

C

Empuje=ρg.V

Peso=mg

La deducción realizada anteriormente, evaluando la resultante de las fuerzas de presión distribuidas en toda la superficie del objeto, se puede hacer de una forma inmediata, considerando que la fuerza elemental de presión, sobre un elemento de área del cuerpo (sumergido o flotando) es:

→→−= Ad·pFd p

Con lo que la resultante de las fuerzas de presión, sobre la superficie mojada del cuerpo es: →→→

⋅−== ∫∫∫∫ dApFdFApAp

La integral de superficie se extiende a todo el área mojada (A), y a partir del teorema de Gauss, se puede

expresar por la integral de volumen, extendida al volumen que encierra el área mojada (V).

( )∫∫∫∫∫ ⋅∇−=⋅−=→→

VAp dVpdApF

El término multiplicador del elemento de volumen, es el gradiente de presión; en cartesianas:

→→→

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kzpj

ypi

xpp

En un fluido estático en campo gravitacional, el gradiente de presión tiene solo componente vertical:

→ρ−=∇ kgp

Con lo que la resultante de las fuerzas de presión es:

( )→→→→

⋅ρ=⋅ρ=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ρ−−=⋅⋅∇−= ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ kgVdVkgdVkgdVpF

VVVp →→

⋅ρ= kgVFp

En donde, “V” es el volumen desplazado si el objeto esta flotando, o el propio volumen del objeto si esta

sumergido. El término “ρV” representa la masa de fluido desplazado, y finalmente “ρgV” es el peso del fluido desplazado: es decir el empuje hidrostático de ARQUIMEDES.

El centro de aplicación del empuje, es el centro de presión, y coincide con el centro de gravedad del volumen del objeto. Evidentemente, si el cuerpo no es homogéneo, su centro de gravedad, o centro de masa, no tiene porque coincidir con el centro de empuje.

En el caso de objetos flotando, la parte inferior del objeto esta sumergido, y la parte superior esta emergida, la separación entre ambas partes, es la intersección del plano horizontal de la superficie libre con la superficie del objeto, y se denomina línea de flotación. La resultante de las fuerzas de presión distribuidas a lo largo de toda la superficie mojada (evidentemente solo la parte sumergida), es una fuerza vertical hacía arriba, de módulo igual al peso del volumen de líquido desalojado, con su centro de aplicación en el centro de gravedad del volumen sumergido8: *Fp E gV k= = ρ ⋅

r rr

8 En el caso de un buque, el centro de presión se denomina CENTRO DE CARENA, es el centro de gravedad del volumen sumergido de la carena.



19

Este es el principio de flotación de los buques: el peso total de la embarcación9 y toda su carga, se equilibra por el empuje debido al desplazamiento de agua de la parte sumergida de la carena.

Se define desplazamiento (D) al peso total del buque, igual al peso del agua desalojada por la carena. El volumen sumergido o volumen de carena ( ∇ , V) viene determinado por:

33

D(Tm)V(m )1,025(Tm / m )

=

Los diversos calados10 que adquiere un buque, dependen del desplazamiento, y vienen reflejados en el denominado disco PLIMSOLL, que va dibujado en un costado, con su centro marcado por la mitad de la eslora y la línea de flotación de máxima carga en verano11: FRACOBORDO: línea de cubierta – línea de flotación verano Líneas de flotación: TD : trópico – agua dulce D: agua dulce T: trópicos V: verano I: invierno ANI: Atlántico Norte en invierno

9 DESPLAZAMIENTOS: DESPLAZAMIENTO EN ROSCA, corresponde al peso del buque vacío (sin tripulación, pertrechos, agua y combustible); DESPLAZAMIENTO EN LASTRE, es el desplazamiento en rosca aumentado por el peso de la tripulación, los pertrechos, el agua y el combustible DESPLAZAMIENTO EN MÁXIMA CARGA, cuando el buque esta cargado hasta la línea de flotación de máxima carga permitida. EL peso muerto (“dead weigth” DWT) es la diferencia entre el desplazamiento en máxima carga y el desplazamiento en rosca. 10 El calado es la posición de la línea de flotación respecto al punto más profundo de la quilla. 11 A igualdad de desplazamiento de máxima carga, el calado variara con la densidad del agua, con lo que se tendrán calados distintos, en función de la época del año (densidad verano < densidad de invierno) y del lugar (trópicos, Atlántico Norte) y de que se navegue en agua dulce o salada.

C

G

D

ρgV

línea de flotación calado

π de crujía eslora de flotación

R E

LINEA DE CUBIERTA

PROA

FRANCOBORDO TD

D T

V

I ANI



20

3.2. CURVAS HIDROSTÁTICAS. En el caso de un buque, en función de la carga, se pueden tener distintos calados, y con ello distintas posiciones del centro de carena. La determinación de los calados y de los centros de carena en función del desplazamiento, tiene la dificultad de la complejidad tridimensional de la geometría de la carena. Utilizaremos un sistema de coordenadas cartesianas, con su origen en el punto más profundo de intersección de la cuaderna maestra (mitad de eslora) con el plano de crujía. Dicha intersección será el eje vertical “z”; los ejes horizontales son: “x” en la dirección longitudinal e “y” en la dirección transversal. DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE CARENA: a partir de la geometría de la carena, se obtiene el volumen de carena, para cada calado, por integración de elementos de volumen. Consideraremos dos elementos de volumen: (a) elemento de volumen entre dos cuadernas separadas una distancia horizontal elemental; (b) elemento de volumen entre dos líneas de flotación separadas una distancia vertical elemental. (a) elemento de volumen (dV) entre dos cuadernas separadas una distancia horizontal elemental (dx)

El área de una cuaderna, situada a una distancia “x” de la cuaderna maestra es:

y B / 2 z T z T

Cy B / 2 z 0 z 0

A (x) dy dz 2y dz= = =

=− = =

= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ [27.]

con lo que el elemento de volumen es: dV=AC(x).dx quedando el volumen de carena:

x L / 2 z T x L / 2

Cx L / 2 z 0 x L / 2

V 2y dx dz A (x) dx= = =

=− = =−

= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ [28.]

y

z

x

π crujía cuaderna maestra

línea de flotación

calado (T)

eslora flotación (L)

manga (B)

(x,y,z)

x

z

y

dx

y

z

AC(x)

dz



21

(b) elemento de volumen (dV) entre líneas de flotación separadas una distancia vertical elemental (dz) El área limitada por una línea de flotación, situada a una distancia “z” del origen:

y B / 2 x L / 2 x L / 2

Fy B / 2 x L / 2 x L / 2

A (z) dy dx 2y dx= = =

=− =− =−

= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ [29.]

con lo que el elemento de volumen es: dV=AF(z).dz; quedando el volumen de carena:

z T x L / 2 z T

Fz 0 x L / 2 z 0

V 2y dx dz A (z) dz= = =

= =− =

= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ [30.]

El volumen de carena, determinado por la ecuaciones anteriores ([28.] y [30.]), corresponde al volumen de trazado, calculado a partir del plano de formas del buque, en donde se representan las superficies de trazado, que son interiores al forro. El forro a efectos de cálculos se suele considerar como un apéndice, y la no consideración de su volumen, se suele tomar como un cierto margen de seguridad del proyecto. El volumen de carena depende del desplazamiento, que determina los distintos calados que adquiere la carena. La representación V vs T (volumen de carena – calado), es parte de la información contenida en las denominadas curvas hidrostáticas.

calado (T)

volumen de carena (V)

volumen de trazado

volumen total (trazado +

é di )

z

y

xz

xy

AF(z)

dx

dz



22

DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE CARENA: Las coordenadas del centro de carena C(xC, yC, zC), son: xC distancia longitudinal entre el centro de carena y la cuaderna maestra, viene determinada por la distribución de las áreas de cuadernas:

x L / 2 x L / 2

C Cx L / 2 x L / 2

C x L / 2

Cx L / 2

A (x) x dx A (x) x dxx

VA (x) dx

= =

=− =−=

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

∫ ∫∫

[31.]

yC distancia transversal entre el centro de carena y el plano de crujía, que es nula, por la simetría de la carena respecto a la crujía. yC = 0 zC distancia vertical entre el centro de carena y el origen de coordenadas (punto más profundo de la cuaderna maestra), viene determinada por la distribución de las áreas de flotación:

z T z T

F Fz 0 z 0

C x L / 2

Fx L / 2

A (z) z dz A (z) z dzz

VA (z) dz

= =

= ==

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

∫ ∫∫

[32.]

VARIACIÓN DEL CENTRO DE CARENA CON EL CALADO: en función de la carga, la carena adoptara un determinado calado, con lo que el volumen de carena, así como su centro de gravedad (centro de carena) dependerán del calado. Para evaluar estas variaciones, se tienen dos diagramas cartesianos: (a) la representación de las áreas de cuadernas en función de su posición longitudinal. (b) la representación de las áreas de flotación en función de su posición vertical. (a) Curva de áreas de cuadernas en función de su posición longitudinal: representa el área de cada cuaderna en función de su posición longitudinal, desde popa a proa, entre la eslora total del buque. Para cada calado, se tiene una posición de la eslora de flotación, que determina que cuadernas contribuyen a la flotación. Para una determinada eslora de flotación, el volumen de carena es el área bajo la curva AC(x) vs x, hasta la eslora de flotación, y la distancia longitudinal del centro de carena es el centro de gravedad de la citada área:

wl

C CL

Area curva A (x) vs x = A (x) dx V⋅ =∫

cdg de el área bajo la curva =C

Lwl

CLwl

A (x) x dx

A (x) dx

⋅ ⋅

⋅

∫∫

que coincide con la distancia longitudinal del centro de carena (cdg del volumen sumergido):

L / 2

C CLwl L / 2

C

CLwl

A (x) x dx A (x) x dxx

VA (x) dx

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

∫ ∫∫

xC

eslora de flotación

cuaderna maestra

proapopa

AC(x)

x



23

(b) Curva de áreas de flotación en función de su posición vertical: representa el área de cada superficie de flotación en función de su posición vertical, desde z=0 en la quilla de la cuaderna maestra hasta z=T en la línea de flotación. Para cada calado, se tiene una posición de la línea de flotación, que determina hasta que superficie de flotación se contribuye a la flotación. Para un determinad calado, el volumen de carena es el área bajo la curva AF(z) vs z, y la distancia vertical del centro de carena es el centro de gravedad de la citada área:

z=T

F Fz=0

Area curva A (z) vs z = A (z) dz V⋅ =∫

cdg de el área bajo la curva =

T

F0

T

F0

A (z) z dz

A (z) dz

⋅ ⋅

⋅

∫∫

que coincide con la distancia vertical del centro de carena (cdg del volumen sumergido):

z T T

F Fz 0 0

C T

F0

A (z) z dz A (z) z dzz

VA (z) dz

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

∫ ∫∫

VARIACIÓN DEL CENTRO DE CARENA CON LA DENSIDAD. Para un determinado desplazamiento (D), el volumen de carena depende de la densidad del agua: V=D/ρg; con lo que las variaciones de volumen con la densidad son:

2

dV D 1d g

−=

ρ ρ

evidentemente un aumento de densidad (dρ>0), da lugar a una disminución del volumen de carena (dV<0) y con ello a una disminución del calado: dV=AF(T).dT; introduciendo la variación de volumen de la ecuación anterior, se tiene:

F2

D ddV A (T) dTg

− ρ= = ⋅

ρ 2

F

D ddTg A (T)

− ρ=

⋅ ρ [33.]

el desplazamiento (D), se puede poner en función de la geometría del buque, a través del coeficiente de afinamiento del buque, o coeficiente de bloque: CB=V/EBT, con lo que BD g C E B T= ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . El área de la línea de flotación (AF(T)), se puede poner en función de la geometría, a través del coeficiente de afinamiento CA=AF(T)/EB; con todo se tiene:

B AC / C0B B

02A A

gC EBT Cd dT ddT T=T g C EB T C

ρ−ρ − ⎛ ⎞ρ ρ= ⇒ = ⇒ ⎜ ⎟⋅ ρ ρρ ⎝ ⎠

z

AF(z)

T zC



24

G

C GC

α

C.D.G.

C.D.E.

G

C

Empuje=ρg.V

Peso=mg

GC

La variación de calado, con la variación de densidad, determina una variación del centro de carena, que viene dado por:

( )C FF C C C F

dx A (T) dx x dx (x x )dT V

ρ= − ⇒ = −

ρ [34.]

( )C FC C C

dz A (T) dT z dz (z T)dT V

ρ= − ⇒ = −

ρ [35.]

De la ecuación [35.], como T>zC, ante un aumento de densidad, la distancia vertical del centro de carena disminuye. De la ecuación [34.], cuando la distancia longitudinal del centro de carena es mayor que la distancia longitudinal del centro de gravedad de la superficie de flotación: xC>xF, se tiene que ante un aumento de densidad, el centro de carena se desplaza hacia proa y por tanto se tiene un trimado positivo (emerge la proa). 3.3. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS. Considerando un cuerpo sumergido, en el seno de un líquido, si esta en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Sobre el cuerpo actúan dos campos de fuerzas distribuidas: las fuerzas másicas, distribuidas uniformemente en toda la masa del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacía abajo, de modulo mg, y aplicada en el centro de gravedad de la masa del cuerpo G.; y las fuerzas de presión del líquido, distribuidas en toda la superficie del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacía arriba, de modulo ρgV, y aplicada en el centro de gravedad del volumen del cuerpo C. En equilibrio, los módulos de las resultantes deben ser iguales. En cambio, según la posición relativa de los dos centros de aplicación, se tienen los siguientes casos de equilibrio:

EQUILIBRIO ESTABLE: GC>0, el centro de gravedad esta por debajo del centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas equilibrantes (adrizantes), que devuelve al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. El valor del par adrizante, viene determinado por el ángulo de desequilibrio y la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el centro de empuje: Par E GC sen= ⋅ ⋅ α



25

G

C

α

G

C

Peso

GC

Empuje

C.D.G.

C.D.E.

G

C

E=ρg.V

P=mg

línea de flotación

calado G

C

α

M

EQUILIBRIO INESTABLE: GC< 0, el centro de gravedad esta por encima del centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas desequilibrantes (escorantes), que alejan al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. El valor del par escorante, viene determinado por el ángulo de desequilibrio y la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el centro de empuje: Par E GC sen= ⋅ ⋅ α EQUILIBRIO INDIFERENTE: GC=0, el centro de gravedad del cuerpo coincide con el centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, saca al cuerpo de su equilibrio inicial, y lo deja en un nuevo estado de equilibrio. 3.4. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES. Considerando un cuerpo flotando, en el seno de un líquido; si esta en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Sobre el cuerpo actúan dos campos de fuerzas distribuidas: las fuerzas másicas, distribuidas uniformemente en toda la masa del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacía abajo, de modulo mg, y aplicada en el centro de gravedad de la masa del cuerpo G.; y las fuerzas de presión del líquido, distribuidas en la superficie mojada del cuerpo (superficie de la parte sumergida) cuya resultante tiene dirección vertical, hacía arriba, de modulo ρgV*, y aplicada en el centro de gravedad del volumen desplazado C. Ante un determinado desequilibrio angular, el volumen sumergido se modifica, y con ello su centro de gravedad (centro de flotación o de carena). La condición de equilibrio, viene determinada ahora, por la posición relativa del centro de gravedad másico (que evidentemente no cambia) y del nuevo centro de flotación. Para pequeñas oscilaciones, los nuevos centros de carena, se sitúan en una curva, cuyo centro de curvatura se sitúa en la vertical de equilibrio inicial y se denomina metacentro; su radio de curvatura (medido desde los centros de carena) es la distancia metacéntrica CM.



26

La gran importancia del metacentro, es que determina el par generado por el peso y por el empuje: Par E GM sen= ⋅ ⋅ α [36.] en donde “E” es empuje o desplazamiento (coincide con el peso del objeto), “GM” es la distancia desde el centro de gravedad al metacentro y “α” es el ángulo de desequilibrio EQUILIBRIO ESTABLE: GM>0, el centro de gravedad esta por debajo del metacentro, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas equilibrantes (adrizantes), que devuelve al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. EQUILIBRIO INESTABLE: GM< 0, el centro de gravedad esta por encima del metacentro, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas desequilibrantes (escorantes), que alejan al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. EQUILIBRIO INDIFERENTE: GM=0, el centro de gravedad del cuerpo coincide con el metacentro, con lo que cualquier desequilibrio, saca al cuerpo de su equilibrio inicial, y lo deja en un nuevo estado de equilibrio. La distancia GM (metacéntrica, entre el centro de gravedad y el metacentro) es siempre mayor que la distancia GC (entre el centro de gravedad y el centro de flotación en el equilibrio inicial). Es interesante señalar, que si GC>0, es decir el centro de gravedad esta por debajo del centro de carena, la distancia metacéntrica (GM) es también positiva (GM>GC), con lo que se tendrá un equilibrio estable. Si GC<0, es decir el centro de gravedad esta por encima del centro de carena, la distancia metacéntrica, podría ser positiva, con lo que se podría tener equilibrio estable, aún con GC<0 3.5. ECUACIÓN DE ESTABILIDAD. Consideremos un cuerpo flotando en equilibrio en un líquido; si se le somete a un pequeño desequilibrio angular, se puede obtener una ecuación para la distancia metacéntrica (GM) en función de la distancia de carena (GC) y de la geometría de la línea de flotación.

En la posición de desequilibrio, se tiene el peso aplicado en G, y el empuje aplicado en el nuevo centro de flotación C', cuya vertical pasa por el metacentro M. Este sistema de fuerzas, es equivalente a que se tenia en la posición de equilibrio inicial (peso en G y empuje en C) más el efecto de las dos cuñas simétricas respecto al plano de crujía: una cuña emergida y una cuña sumergida.

G

C’ C

M

α

G

M

C

C´

α

≡G

M

C

C´

α

dA x

α y·senα

y

+

E E



27

L

B B/2 B/2

A

y

dy

Peso en G Peso en G

Sistemas de fuerzas en la posicion de desequilibrio Empuje en C Empuje en C´

Efecto de las cuñas≡

Si los dos sistemas de fuerzas son equivalentes, sus momentos respecto a cualquier punto, son lo mismos; en particular tomando momentos respecto al centro de gravedad: Momentos respecto a G del sistema (signo positivo = levógiro): Peso en G y Empuje en C´: E GM sen⋅ ⋅ α Momentos respecto a G del sistema: Peso en G , Empuje en C y efecto de las cuñas: CUÑASE CG sen M− ⋅ ⋅ α + el signo negativo del momento del empuje en C, es debido a que su momento respecto a G es dextrógiro; con todo el momento de las cuñas emergida-sumergida es:

LF LF

2cuñas x

A A

M y dF y g y sen dA g se y dA g sen I= ⋅ = ⋅ρ ⋅ ⋅ α ⋅ = ρ ⋅ α ⋅ = ρ ⋅ α ⋅∫ ∫∫ ∫∫

en donde Ix es el momento de inercia del área limitada por la línea de flotación respecto al eje de crujía (x); al ser los dos sistemas de fuerzas equivalentes, sus momentos respecto a G serán iguales, lo que lleva a:

XE·GM·sen E·( CG)·sen g·sen ·Iα = − α + ρ α el empuje es igual al peso del volumen desplazado: E = ρg·VC; y la distancia “CG” e igual a “-GC”, con lo que:

x

C

IGM GC

V= + [37.]

es decir, la distancia metacéntrica (entre el centro de gravedad y el metacentro), viene determinada por la suma de dos términos:

GC, que es la distancia desde el centro de gravedad al centro de carena (del objeto en equilibrio), y que puede ser positivo o negativo.

Ix/VC, que es el cociente entre el momento de inercia del área limitada por la línea de flotación respecto

al eje de crujía, y el volumen de carena; evidentemente este cociente es siempre positivo.

esto hace, que aunque GC sea negativo (lo que en principio da lugar a un equilibrio inestable), si el cociente Ix/VC es mayor que la distancia anterior, la distancia metacéntrica es positiva, y con ello el equilibrio es estable.

El volumen de carena, viene determinado por el desplazamiento. En cambio, para un mismo

desplazamiento, el momento de inercia, puede modificarse, por la geometría del área limitada por la línea de flotación. Así, a igualdad de desplazamiento, un monocasco tiene menor estabilidad que el correspondiente catamarán. Considerando carenas límites de coeficientes de bloques unitarios, se tiene:

( ) ( )B / 2 3 3B / 2 32 2 3

monocascoB / 2 B / 2

B / 2 B / 2y 1I y ·dA y ·L·dy L L LB3 3 12− −

− −⎤= = = = =⎥

⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )(A B) / 2 3 3(A B) / 2 3

32 2catamaran

(A B) / 2 (A B) / 2

(A B) / 2 (A B) / 2y 1I y ·dA y ·L·dy L L L A B3 3 12

++

− + − +

+ − − +⎤= = = = = +⎥

⎦∫ ∫



28

4. PROBLEMAS RESUELTOS.

1. Distribución de presiones es hidrostática. 2. Distribución de presiones en líquidos: incompresibles, barotrópicos. 3. Distribución de presiones en gases. 4. Distribución de presiones en aire atmosférico. 5. Distribución de presiones en campo gravitatorio-inercial. 6. Distribución de presiones con aceleración lineal. 7. Distribución de presiones con aceleración radial. 8. Distribución de presiones en campo gravitatorio-centrifugo. 9. Fuerza de presión en superficies planas. 10. Fuerza de presión en superficies curvas. 11. Fuerzas de presión en compuertas. 12. Fuerzas de presión en superficies curvas. 13. Equilibrio en flotación. 14. Ecuación de estabilidad.



29

2.1. Distribución de presiones: En los líquidos, la diferencia de presiones entre dos puntos viene determinada por la densidad (se supone constante) y por la diferencia de cotas: así puntos más profundos tienen mayor presión. En los gases, por ser su densidad relativamente pequeña, la diferencia de presiones entre dos puntos es despreciable, a no ser que la diferencia de cotas sea grande. Para ilustrar estos conceptos, se considera el recipiente de la figura, que contiene dos líquidos en contacto con aire. DETERMINE: 1. Las presiones manométricas en los puntos de las 4 superficies libres. 2. La presión atmosférica local (barométrica) 3. Las presiones absolutas en los 4 puntos.

RESOLUCIÓN: 1. Presiones manométricas (respecto a la presión atmosférica local): (1) es un punto de la superficie libre en contacto con la atmósfera, con lo que está a la presión atmosférica local y por tanto su presión manométrica es nula: pm1 = 0. (2) está a 1,2 metros de profundidad, respecto a (1), con lo que su presión será mayor e igual a: pm2 = pm1 + ρ12g h12 = 0 + (1000kg/m3)(9,8m/s2)(1,2m) = 11,760 kPa (3) está en contacto con el mismo aire que el punto (2), con lo que tendrá la misma presión: pm3 = 11,760 kPa (4) está a 0,4 m por encima del punto (3), con lo que su presión será menor e igual a: pm4 = pm3 - ρ34g h34 = 11760 - 13555·9,8·0,3 = -28,092 kPa es decir tiene una presión vacuométrica de 28,092 kPa 2. Presión barométrica (presión atmosférica local): es la diferencia de presiones entre los dos meniscos del barométrico de la figura; el menisco superior esta a la presión de vapor de mercurio a la temperatura ambiente, y el menisco superior esta a la presión atmosférica local: patm = pvaporHg + ρHg·g·h ; como la presión de vapor de mercurio, es muy pequeña, del orden de pascales, se puede considerar que el menisco superior esta prácticamente a presión nula, con lo que se tiene: patm = ρHg·g·h = (13555 kg/m3)(9,8 m/s2)(0,742m)= 98,567 kPa ≈ 986 mbar 3. Presiones absolutas: p1 = patm = 98,567 kPa p2 = patm + pm2 = 98,567 + 11,760 = 110,329 kPa p3 = patm + pm3 = 98,567 + 11,760 = 110,329 kPa p4 = patm + pm4 = 98,567 - 28,092 = 69,475 kPa

AIRE

13555 kg/m3 1000 kg/m3

1

2 3

4

0,3 m

1,2 m 742 mmHg

agua Hg



30

2.2. Distribución de presiones en líquidos: La presión manométrica a una determinada profundidad, viene determinada por la citada profundidad y por la densidad del agua de mar. Como el módulo de compresibilidad del agua de mar es alto, prácticamente la densidad no varia, y la presión manométrica viene dada por ρgh, solo a grandes profundidades es necesario considerar la variación de la densidad con la profundidad, para poder determinar la presión. DETERMINE: las presiones manométricas a 1, 10, 100, 1000 y 10000 metros de profundidad en los casos: 1. Considerando la densidad constante (líquido incompresible). 2. Considerando el módulo de compresibilidad constante (líquido barotrópico). DATOS: densidad estándar: 1025 kg/m3 módulo de compresibilidad: 2128 MPa RESOLUCIÓN: 1. Líquido incompresible. La ecuación fundamental de fluidoestática es: dp = -ρg·dz, cuya integración entre un punto de la superficie libre (z=0) y un punto a una determinada profundidad (z=-h), da la presión manométrica; si la densidad es constante, la integración es inmediata:

z h

mz 0

p g·dz gh=−

=

= −ρ =ρ∫

con ρ = 1025 kg/m3 y g = 9,8 m/s2; se tiene: h=1m pm = 1025·9,8·1 = 0,10045 bar h=10m pm = 1025·9,8·10 = 1,0045 bar h=100m pm = 1025·9,8·100 = 10,045 bar h=1000m pm = 1025·9,8·1000 = 100,45 bar h=10000m pm = 1025·9,8·10000 = 1004,5 bar 2. Líquido barotrópico. En este caso, para poder hacer la integración, es necesario conocer relación entre la densidad y la profundidad: ρ=ρ(h), que viene determinada por el módulo de compresibilidad constante:

0

h

02 20 0

dp g·dh d g d g KK ... dh dh ... =d d K K K gh

ρ

ρ

ρ ρ ρ= ρ = = ρ ⇒ = ⇒ = ⇒ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ − ρ∫ ∫

h h

m 00 0 0 0

K Kp g·dh g ·dh ... K·lnK gh K g·h

= ρ = ρ = =− ρ − ρ∫ ∫

con ρ = 1025 kg/m3 , g = 9,8 m/s2; K = 2128 MPa se tienen los siguientes valores de presión y densidad: para una profundidad de 1m:

h=1m 6

6m 6

2128·10p 2128·10 ·ln 0,10045 bar2128·10 1025·9,8·1

= =−

6

31025·9,8·12128·10

1025 1025,0048kg / m1

ρ = =−

análogamente, para el resto de profundidades:

h(m) pm(bar) ρ(kg/m3) 1 0,10045 1025,0048

10 1,00450 1025,0484100 10,04740 1025,4841

1000 100,68780 1029,861410000 1028,98170 1075,7800



31

2.3. Distribución de presiones en gases: En la troposfera, la temperatura del aire atmosférico estándar, va disminuyendo linealmente con la altitud; a su vez la densidad y la presión también van disminuyendo. DETERMINE: 1. Ecuación de la densidad en función de la altitud. 2. Ecuación de la presión en función de la altitud. 3. Temperatura, densidad y presión a 11m, 110m, 1100m y 11000m. DATOS: condiciones estándar a nivel del mar: t0 = 15ºC; p0 = 1013,25 mbar; ρ0 = 1,225 kg/m3 aire ideal de constante R=287 J/kgK gradiente de temperatura en la troposfera estándar: dT/dz = - 6,51 K/km RESOLUCIÓN: Ecuaciones: Ec. térmica de estado gas ideal: p = ρRT [1] Ec. fluidoestática dp = -ρg·dz [2] Ec. aire estándar T=T0-Bz [3] 1. Densidad vs altitud : [1] , [3] ( )0p R T Bz= ρ −

[2] ( )( )0 0d R T Bz g·dz RT ·d RB· dz-RB·zd g·dz ρ − = −ρ ⇒ ρ − ρ ρ = −ρ

0

-R d dz g-BR T Bz

ρ⇒ =

ρ − la integración entre un punto a cota cero, y un determinado punto es:

0

g BRz BR

0 0

0 0 0 0 o0

T Bz T BzR d dz -R 1 ·ln ·ln g BR T Bz g-BR B T T

−ρ

ρ

⎛ ⎞− −− ρ ρ ρ= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟− ρ − ρ − ρ ⎝ ⎠∫ ∫

g BRBR

00

B1 zT

−

⎛ ⎞ρ = ρ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ [4]

2. Presión vs altitud: con la ecuación térmica de estado [1] y la ecuación ρ = ρ(z) [4], se tiene la ecuación:

( )g BR g

BR BR0 0

0 0 0 0 0 00 0

T Bz T Bzp RT R T Bz ...p RT ... pT T

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= ρ = ρ − = = ρ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

gBR

00

Bp p 1 ·zT

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

[5] 3. Valores estándar de p,T y ρ a 11m, 110, 1100m y 11000 m.

3

3

g BR 9,8 6,51·10 ·287 4,2452BR 6,51·10 ·287

−

−

− −= = 3

g 9,8 5,2452BR 6,51·10 ·287−= =

para z = 11 m, se tiene: T = 288,15 – 0,00651·11= 288,22 K

4,2452

30,006511,225 1 ·11 1,2237 kg/m288,15

⎛ ⎞ρ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

5,24520,00651p 1013,25 1 ·11 1011,93 mbar

288,15⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Análogamente se tienen valores de temperatura, densidad y presión a distintas cotas:

Altitud (z) Temperatura (T) Densidad (ρ) Presión (p) 0 288,150 15,000 1,225 1013,250

11 288,078 14,928 1,224 1011,930 110 287,434 14,284 1,212 1000,112

1100 280,989 7,839 1,101 887,953 11000 216,540 -56,610 0,364 226,407

m K ºC Kg/m3 mbar



32

2.4. Distribución de presiones en aire atmosférico. Los altímetros son instrumentos que determinan la altitud, a partir de la medida de la presión atmosférica a una determinada cota. A partir de los resultados del problema 2.3., que da la presión atmosférica en función de la cota:. DETERMINE: 1. Ecuación de la altitud en función de la presión atmosférica 2. Gráfica de la altitud vs presión atmosférica, en la troposfera. DATOS: condiciones estándar a nivel del mar: t0 = 15ºC; p0 = 1013,25 mbar; ρ0 = 1,225 kg/m3 aire ideal de constante R=287 J/kgK gradiente de temperatura en la troposfera estándar: dT/dz = - 6,51 K/km RESOLUCIÓN: Ecuaciones: Ec. térmica de estado gas ideal: p = ρRT [1] Ec. fluidoestática dp = -ρg·dz [2] Ec. aire estándar T=T0-Bz [3] 1. Ecuación de la altitud en función de la presión atmosférica :

( )0

p pdp g dz g dz g dzRT R T B z

= −ρ ⋅ = − ⋅ = − ⋅− ⋅

0

R dp dz g p T Bz

−= ⇒

− 0

p z

p z 0 0

R dp dz g p T Bz=

−= ⇒

−∫ ∫ 0

0 0

T BzR p 1ln lng p B T

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

BR / g

0

0

T pz 1B p

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎢ − ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ [4]

2. Gráfica de la altitud en función de la presión: con los datos:

T0 = 288,15 K

B = 0,00651 K/m T0/B = 288,15/0,00651 = 44262,67 m BR/g = 0,00651·287/9,8 = 0,1907

Con los valores numéricos, la ecuación [4] queda: ( )0,1907

0

pz 44262,67 1p

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎢ − ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

p(mbar) z(m) 1013 0,0950 538,7900 987,2850 1456,3800 1948,4750 2466,0700 3012,3650 3591,1600 4207,2550 4866,4500 5576,0450 6345,5400 7187,7350 8119,9300 9166,9250 10366,2200 11778,3

0,0

2000,0

4000,0

6000,0

8000,0

10000,0

12000,0

14000,0

0 200 400 600 800 1000 1200mbar

Altitud (m)



33

2.5. Distribución de presiones con aceleración lineal: Sobre una superficie horizontal, hay un recipiente cúbico que contiene un líquido en reposo, cuya superficie libre es un plano horizontal. Al recipiente se le somete a una aceleración horizontal en la dirección de una de las aristas, una vez pasado el transitorio, todas las partículas se mueven a la misma aceleración, no hay movimiento relativo entre ellas y la superficie libre pasa a ser un plano inclinado. DETERMINE: 1. Aceleración máxima a la que se puede someter sin que se derrame líquido. 2.Cantidad de líquido derramado, si se le somete a una aceleración doble que la anterior. DATOS: Volumen del recipiente = 1m3 Volumen inicial del líquido = 600 litros. RESOLUCIÓN:

En la ecuación diferencial del campo de presiones: p p pdp dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂; si toda la masa de fluido, se

somete a una aceleración constante (ay): se tiene que yp ay

∂= −ρ⋅

∂; además debido al campo gravitacional

p gz

∂= −ρ⋅

∂; con lo que se tiene que: ( ) ( )ydp 0·dx a dy g dz = + −ρ ⋅ + −ρ⋅ ⇒ ( )ydp a dy gdz= −ρ + ; con lo

que la ecuación de una superficie de presión constante es:

dp=0 ⇒ yadzdy g

= − , que son planos inclinados de pendiente –ay/g

1. Aceleración máxima para no derrame.

Vlíquido = 1·(1·(A+1)/2) = 0,6 A = 2·0,6-1=0,2 m

pendiente superficie libre ya1 A 1 g

−= −

−

( ) 2y a g 1 A 9,8(1 0,2) 7,84 m/s⇒ = − = − =

2. Derrame con ay = 2·7,84 = 15,68 m/s2

pendiente superficie libre = ya1 15,68 1,6B g 9,8

= − = − = −−

; B=0,625 m

Volumen queda líquido = 1·B 0,625·1 0,31252 2

= = m3 = 312,5 litros

Volumen derramado = Volumen inicial – Volumen no derramado = 600 – 312,5 =287,5 litros

A

B

1

1

ay ay

y

z

1-A

-1

A

-B

y

z

1



34

2.6. Distribución de presiones con aceleración lineal: Un medidor de aceleración lineal, se puede construir con un tubo en “U” que esta parcialmente lleno de un líquido; el tramo horizontal se alinea con la dirección del movimiento; las variaciones de nivel (respecto al nivel inicial de reposo), son una medida de la aceleración lineal a la que se somete el tubo. DETERMINE: 1. Aceleración máxima a la que se puede someter sin que se derrame líquido. 2.El nivel que alcanza el líquido en cada rama, si la aceleración es la mitad que la anterior. 3. La escala de aceleraciones en las marcas de los tubos verticales. DATOS: Tubo en U: distancia entre centros = 39,2mm Nivel inicial = 100 mm respecto a la base. RESOLUCIÓN: Debido a la aceleración horizontal (ay) el gradiente de presión en la dirección de la citada

aceleración es: yp ay

∂= −ρ ⋅

∂; y debido al campo gravitatorio, el gradiente de presión en la dirección vertical es:

p gz

∂= −ρ

∂; con lo que el campo de presiones, viene determinado por la ecuación diferencial:

ydp a dy g dz= −ρ ⋅ − ρ ⋅ ; con lo que las isobaras son rectas de pendiente: dz/dy = -ay/g

Los meniscos (1) y (2), son puntos de la isobara de presión atmosférica, con lo que la recta que los une, tiene una pendiente –ay/g, que a su vez, determina la diferencia de cotas entre los dos meniscos: pendiente=2A/(-B) Con lo que la relación entre la aceleración y el desnivel (A) es:

y2Aa gB

=

1. La aceleración máxima sin que se derrame el líquido, viene dada por la condición de que A máxima =100mm, con lo que su valor será:

( ) 2y maxima

2 100a 9,8 50 m/s39,2⋅

= =

2. Desnivel con aceleración = 25 m/s2. Si la aceleración es la mitad que la máxima, por la linealidad de la función ay=(2g/B)·(A), el desnivel será la mitad que el correspondiente a la aceleración máxima, es decir A=50mm; o bien:

yaB 39,2 25A 50mm2 g 2 9,8

= = =

3. La escala de aceleraciones: la obtenemos determinando la aceleración correspondiente a un desnivel de 1mm:

( ) 2y 1mm

2·1a 9,8 0,5m / s39,2

= =

es decir cada mm de desnivel, representa una aceleración de 0,5 m/s2 Para aceleraciones de sentido contrario, el movimiento de meniscos es con pendiente positiva, es decir el menisco de la izquierda tiene menor nivel que el menisco de la derecha.

m/s2

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

50 40 30 20 10

0 -10 -20 -30 -40 -50

y

z

ay

A

B=39,2mm

2

1

A

100 mm

20 mm



35

g

φ 0,2 ω z

r

A

2ra r u= ω ⋅

r r

ωm 1,5ωm

Am

R

B

(1)

(1)

(0)

H=0,3 0,2 C

2.7. Distribución de presiones con aceleración radial: Al líquido contenido en un recipiente cilíndrico, se le somete a una velocidad de giro constante, en torno a un eje vertical que pasa por el centro del cilindro; con lo que las partículas están sometidas a una aceleración radial, continuamente creciente con el radio (ar=ω2r); y por ello las superficies isobáricas, son paraboloides de revolución, y en particular la superficie libre, pasa de ser un plano horizontal a un paraboloide. DETERMINE: 1. Velocidad de giro máxima, sin que se derrame el líquido. 2. Líquido derramado, si la velocidad de giro es tal que la superficie libre toca el fondo. 3. Líquido que queda, si la velocidad de giro es el doble que la anterior. DATOS: Cilindro: diámetro=200 mm; altura = 300 mm. Nivel inicial = 200 mm RESOLUCIÓN: El vector fuerza másica por unidad de masa, es suma del correspondiente a la aceleración centrifuga y la aceleración gravitacional:

→→→−⋅ω= kgurg r

2

El gradiente de presión, es el equilibrante de las fuerzas másicas por unidad de volumen:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅ωρ=ρ=∇→→→kgurgp r

2

Con lo que la ecuación diferencial que da el campo de presiones es (coordenadas cilíndricas):

dz·gdr·rdzzp

dp

drrp

dp 2 ρ−ρω=∂∂

+θθ∂

∂+

∂∂

=

La integración, con el origen en la intersección de la superficie libre en el eje de giro: z=0, r=0, p=patm; es:

22

atmp p r gz2

⎛ ⎞ω= + ρ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

La superficie libre es un paraboloide de revolución de ecuación: 2

2z r2gω

= ⋅

Se puede comprobar que el descenso del origen de coordenadas (0), y el ascenso de un punto de la superficie libre que toque la pared del cilindro (1), son iguales, debido a que el volumen de un paraboloide es la mitad del volumen del cilindro que circunscribe: z=kr2 dz=2kr·dr

R R 4 2 2 2

2 2 3 cilindroparaboloide

0 0

V2k R R ·kR R ·HV r dz r ·2krdr 2k r dr4 2 2 2π π π

= π ⋅ = π = π = = = =∫ ∫ ∫

El valor del descenso-ascenso es:

22

221

Rz 2gA R2 2 4g

ωω

= = =

Al ser (1) un punto de la superficie libre, con lo que: z1=(ω2/2g)·R2



36

1. Velocidad de giro máxima para no derrame.

El nivel inicial de reposo es de 200 mm. Con lo que en la condición de velocidad de giro máxima sin derrame, el ascenso del punto (1) y el descenso del punto (0) debe ser de 300-200 = 100 mm

2max2

max

4g A 4 9,8 0,1A 0,1 R = 19,8 rad / s4g R 0,100

⋅ ⋅ ⋅ω= = ⇒ = =ω

2. Derrame con velocidad de giro, tal que la superficie libre toca el fondo

La velocidad de giro, que hace que el punto (0) se situé en el fondo del cilindro, viene determinada por las coordenadas del punto (1), en esas condiciones:

z1=H=0,3 ; r1=R=0,1; con lo que: 2gz 2·9,8·0,3r 0,1

ω = = = 24,25 rad/s

El volumen que queda es el sombreado de la figura, que coincide con la mitad del cilindro; y el volumen que se ha derramado, es el inicial menos el que queda:

2queda

HV R2

= π =πR2·0,150 =...= 4712 cm3

2inicialV R ·0,2= π =π·0,12·0,2 =...= 6283 cm3

( )2 2derramado inicial derrameV V V R · 0,200 0,150 0,1 0,050= − = π − = π ⋅ ⋅ =...= 1571 cm3

3. Derrame con velocidad de giro: ω=2·24,25 = 48,5 rad/s

En estas condiciones, parte del fondo queda descubierto, y el origen de coordenadas (0), se sitúa por debajo del fondo, a una distancia B, cuyo valor, se determina, con la condición de que el punto (1) esta en el borde del cilindro:

z1=H+B; r1=R; con lo que : 2

2R H2gω

⋅ −2 2

2 2H B R B= R H2g 2gω ω

+ = ⋅ ⇒ ⋅ −

2

248,5B 0,100 0,3002·9,8

= ⋅ − = 0,900m = 900 m

El radio del circulo descubierto en el fondo es: 2gB 2·9,8·0,900C

48,5= = =

ω...=86,6 mm

Con lo que el volumen que queda (el sombreado) es: ( )R H B

2 2queda

r C z B

V R r dz+

= =

= π −∫ ∫

la relación entre las coordenadas del paraboloide de la superficie libre es: z=(ω2/2g)·r2, con lo que la integral es:

( ) ( )2z H B 22 2 2

queda 2 2 2z B

H B B g 2B H2g 2gV R z dz R H H R2

= +

=

⎡ ⎤+ − +⎛ ⎞⎛ ⎞= π − = π − = π −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

( )2queda 2

9,8 2·0,9 0,3V ·0,3 0,1

48,5+⎛ ⎞

= π −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...= 1179 cm3

ω z

r

Amax

(1)

(0)

ω2

Am

(1)

(0)

1,5ωm

B

C

(1)

(0)



37

2.8. Distribución de presiones en campo gravitatorio-centrifugo: Un recipiente cilíndrico de eje vertical, esta lleno de un líquido y cerrado por un pistón superior de un determinado peso. Al recipiente se le somete a una velocidad de giro constante, con lo que el fluido esta sometido a un campo de fuerzas másicas gravitatorio-centrifugo. DETERMINE: 1. Cuando el recipiente no gira: la distribución de presiones y el valor de la presión en el centro

del pistón y en el centro de la base. 2. La distribución de presiones cuando el recipiente gira a una velocidad constante. 3. Valor máximo de la velocidad de giro, para que en ningún punto exista cavitación.

DATOS: Cilindro: diámetro: D = 200 mm Pistón: masa: m = 10 kg Líquido: nivel inicial: H = 250 mm;

densidad: ρ = 1000 kg/m3; presión de vapor a la temperatura ambiente: pv = 12 mbar Ambiente: presión atmosférica: patm = 1013 mbar. RESOLUCIÓN: 1. DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN CAMPO EXCLUSIVAMENTE GRAVITARIO: La ecuación fundamental de hidrostática es: dp = -ρg dz; cuya integración da: p = -ρgz + C La constante de integración viene determinada por la condición de contorno, de que en los puntos en contacto con la parte inferior del pistón, la presión es suma de la presión atmosférica y de la presión debida al propio peso del pistón:

(z H) atm 2

mgp p g H CD / 4= = + = −ρ ⋅ +

π atm 2

mg C p g HD / 4

⇒ = + + ρ ⋅π

con lo que la distribución de presión es: ( )atm 2

mgp p g H zD / 4

= + + ρ ⋅ −π

La presión en el centro del pistón (A(r=0, z=H), es por tanto: A atm 2

mg p pD / 4

= +π

La presión en el centro del fondo (B(r=0, z=0), es por tanto: B atm 2

mgp p g HD / 4

= + + ρ ⋅π

Numéricamente, con los datos:

A atm 2 2

mg 10 9,8 p p 101300 104,42 kPaD / 4 0,2 / 4

⋅= + = + =

π π ⋅

B atm 2 2

mg 10 9,8 p p gH 101300 1000 9,8 0,2 106,38 kPaD / 4 0,2 / 4

⋅= + + ρ = + + ⋅ ⋅ =

π π ⋅

A(0,H)

B(0,0)

r

z

D

H



38

2. DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN CAMPO GRAVITATORIO-CENTRIFUGO: A partir del balance de fuerzas en un elemento de volumen, sometido a un campo de fuerzas másica gravitatorio y centrífugo, se obtienen las variaciones parciales de la presión, que lleva a la ecuación diferencial del campo de presiones, cuya integración da la distribución de presiones: p=p(r,z). Balance de fuerzas en dirección radial:

( ) 2r

pdF p dz rd p dr dz rd dr dz rd r 0r

∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ θ − + ⋅ ⋅ θ + ρ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅ ω ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎝ ⎠⎣ ⎦∑ 2p rr

∂= ρω

∂

Balance de fuerzas en dirección axial:

( )zpdF p dr rd p dz dr rd dr dz rd g 0z

∂⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ θ − + ⋅ ⋅ θ + − ρ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅ =⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎣ ⎦∑ p gz

∂= −ρ

∂

Balance de fuerzas en dirección tangencial:

1 pdF p dr dz p d dr dz 0rθ

∂⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − + θ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ p 0∂

=∂θ

Con todo la ecuación diferencial del campo de presiones es: 2dp rdr gdz= ρω − ρ Cuya integración da la distribución de presiones: p = p(r,z) 2 21

2p r gz C= ρω − ρ +

La constante de integración viene determinada por la condición de contorno, de que el pistón esta en equilibrio y por tanto la suma de fuerzas que actúan sobre él es nula:

2atm

Ap(r, H) dA mg p R 0⋅ − − π =∫∫ ( )

R2 2 21

atm20

r gH C 2 rdr mg p Rρω − ρ + ⋅ π = + π∫

Obteniendo: 2

2atm 2

mg 1 RC p gH2 2R

= + ρ + − ρωπ

( )2

2 2atm 2

mg 1 Rp(r, z) p r g H z)2 2R

⎛ ⎞= + + ρω − + ρ −⎜ ⎟π ⎝ ⎠

3. VELOCIDAD MÁXIMA: la presión mínima se localiza el punto (r=0, z=H), y su valor es:

2 2atm 2

mg 1p(0, H) p R4R

= + − ρωπ

y debe ser mayor que la presión de vapor, para que no exista cavitación,

con lo que la velocidad máxima es:

atm vapor2 2 2 2

4 mg 4 10·9,8p p 101300 1200R R 1000·0,1 0,1

⎛ ⎞⎛ ⎞ω < + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 203,19 s-1 = 1940,36 rpm

fuerzas de presión fuerza centrifuga

fuerzas de presión fuerza gravitatoria

fuerzas de presión

p·dz·rdθ pp dr dz·rdr

∂⎛ ⎞+ θ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

rdθ

dz

dr



39

2.9. Fuerza de presión superficie plana: En un submarino de experimentación, se dispone en proa de una ventana de observación de forma cuadrada, desde cuyo centro se mide la profundidad. DETERMINE la fuerza de presión y el centro de presión a las profundidades de 10,100 y 1000m, considerando: DATOS: Ventana: lado: L = 1000 mm; Agua de mar: densidad superficie libre = 1025 kg/m3 módulo de compresibilidad = 2128 MPa RESOLUCIÓN: 1. Módulos de las fuerzas de presión: En el elemento de área, la presión manométrica es: pm = ρgh; con lo que la fuerza de presión es: dFp = pm·dA siendo el área elemental: dA = L·dh La resultante de las fuerzas de presión es:

( ) ( )2 2h H L / 2

ph H L / 2

H L / 2 (H L / 2F gh Ldh gL ...

2

= +

= −

+ − −= ρ ⋅ = ρ =∫ = ρgH·L2

Que podríamos haber puesto de forma inmediata, porque la resultante, es igual al producto de la presión en el centro de gravedad por el área mojada: Fp=(ρgH)(L2). Numéricamente: H = 10m Fp=ρgHL2 = 1025·9,8·10·12 = ... =100,45 kN H = 100m Fp=ρgHL2 = 1025·9,8·100·12 = ... =1004,5 kN H = 1000m Fp=ρgHL2 = 1025·9,8·1000·12 = ... =10045 kN 2. Centros de presión: Tomando momentos de las fuerzas de presión respecto al punto (SL) de la superficie libre se tiene:

( )

h H L / 2

3p 3 2h H L / 2

p 2p

h· gh·Ldhh dFH L / 2 (H L / 2) 1 Lh ... H

F gH·L 3HL 12 H

= +

= −

ρ⋅+ − −

= = = = = +ρ

∫∫

es decir el centro de presiones, esta por debajo del centro de gravedad (h=H), y conforme se esta a más profundidad, los dos puntos están más cercanos. La distancia entre los dos puntos (cdg y cdp) es: d=L2/12H.

Numéricamente, con H = 10 m, 100m y 1000 m d = 12/12·10 =...= 8,3 mm d = 12/12·100 =...= 0,83 mm d = 12/12·1000 =...=0,083 mm Es decir, a partir de 100 m de profundidad, prácticamente el centro de presión esta en el centro de gravedad.

H h

dh

cdg

cdp

H

d = L2/12H

L

L



40

2.10. Fuerza de presión superficie curva: La aguja de un inyector diesel, cierra los orificios de salida por la acción de un muelle tarado; la presión del combustible al actuar sobre la superficie lateral del cono de empuje, levanta la aguja y comienza la inyección. DETERMINE: 1. Que se puede considerar constante la presión en toda la superficie mojada de la aguja. 2. Presión de comienzo de inyección. DATOS: Muelle: Fuerza de cierre = 100 kg Aguja: cono de empuje: diámetros = 10 y 4 mm; altura = 45 mm; conicidad = 40º Combustible: 900 kg/m3

RESOLUCIÓN:

(1) Presión constante: la diferencia de presiones, entre el punto más alto y más bajo de la aguja, sería: ∆p = ρgh = (900kg/m3)(9,8m/s2)(0,045m) = 396,9 Pa; que comparado con la magnitud de la presión de la bomba de inyección, del orden de 108 Pa, es evidentemente despreciable. Aún más, en el caso de la superficie mojada del cono de empuje, que es donde se tiene componente vertical de las fuerzas de presión, la diferencia de cotas es:

R 5mm 3mmz 2,384mmtg tg40º∆ −

∆ = = =α

que representa una diferencia de presiones insignificante: ∆p = ρg∆z = (900kg/m3)(9,8m/s2)(0,002384m) = 21,03 Pa;

Estrictamente: ( )p Z 1F p·dA p gz 2 rdr= = − ρ π∫ ∫

( )2 2

1 1

R R1

p 1 1 1R R

r R g2F p g 2 rdr p 2 rdr r R rdrtg tg

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ − ⎞ ρ π= − ρ π = π − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟α α⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )2 2 3 3 2 22 1 2 1 2 1

p 1 1

2 R R R R R Rg2F p R2 tg 3 2

⎡ ⎤π − ⎡ ⎤⎛ ⎞− −ρ π= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟α⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

= p1π(R22-R1

2) - 3 3 2 22 1 2 1

1R R R Rg2 R

tg 3 2⎡ ⎤⎛ ⎞− −ρ π

−⎢ ⎥⎜ ⎟α ⎝ ⎠⎣ ⎦

El valor numérico del corchete, es despreciable: 3 3 2 2900·9,8·2 0,005 0,002 0,005 0,0020,002

tg40º 3 2⎡ ⎤⎛ ⎞π − −

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

= 0,0012 N

(2) Presión de comienzo de inyección: Estrictamente los puntos más profundos tienen más presión; pero debido a las pequeñas dimensiones de la aguja, y a la alta presión de inyección, se puede considerar que toda la superficie mojada de la aguja esta a la misma presión. Por simetría, la resultante de las fuerzas de presión, es una fuerza vertical, cuyo valor es igual a la presión de inyección por la proyección vertical del área mojada: ( ) ( )2 2

p i z i 2 1F p A p · R R= ⋅ = π − cuando la fuerza de presión equilibra la fuerza del muelle; con lo que la presión es:

( ) ( )5muelle

i 2 2 2 22 1

F 100 9,8p 148,55·10 PaR R 0,005 0,002

⋅= = =

π − π −= 148,55 bar

α

α

(dFp)z

pinyección Fp

r z 1

dAz



41

2.11. Fuerza de presión en compuertas: En la compuerta articulada de la figura, el propio nivel del agua es el que la abre o cierra automáticamente. A partir de un determinado nivel, la compuerta gira por la acción de las fuerzas de presión, con lo que se descarga parte del agua y se mantiene un nivel de equilibrio. DETERMINE: 1. El nivel de equilibrio (respecto al eje de giro). DATOS: compuerta: dimensiones: 2m x 2m x 3m, peso = 16 Tm

RESOLUCIÓN: (1) Nivel de Equilibrio: H Sobre la superficie vertical (altura mojada H, profundidad B), la resultante de las fuerzas de presión, FH, es horizontal y su modulo igual a la presión en el centro de gravedad de la superficie mojada por el área mojada:

( ) 2H cdg mojada

H gBF p A g H·B H2 2

ρ⎛ ⎞= = ρ =⎜ ⎟⎝ ⎠

el centro de presión, esta a 2/3 del nivel:

H H

Hp 30 0

cdp H 2p 0

0

h·dF h· gh Bdhh / 3 2h H

F h / 2 3gh Bdh

ρ ⋅⎤

= = = =⎥⎦ρ ⋅

∫ ∫∫

Sobre la superficie horizontal (anchura mojada A, profundidad B), la resultante de las fuerzas de presión, Fv, es vertical y su modulo igual a la presión en el centro de gravedad de la superficie mojada por el área mojada:

( )( )V cdg mojadaF p A gH A·B gAB·H= = ρ = ρ el centro de presión, esta en centro de gravedad de la propia superficie mojada, al ser esta horizontal.

El equilibrio de momentos, respecto al eje de giro es: H VH A AF · PESO· F ·3 2 2

+ =

en donde PESO es el peso de la parte horizontal de la compuerta, que es la mitad de toda la compuerta.

sustituyendo las expresiones de FH y FV, queda: 2gB H A AH · PESO gAB H2 3 2 2

ρ+ ⋅ = ρ ⋅ ⋅

El nivel de equilibrio, viene determinado por la ecuación cúbica: 3 2 3A PESOH 3A H 0gB

⋅− + =

ρ

Numéricamente, con A=2m; B=3m; ρ=1000kg/m3; y PESO = 8000kg (=78400 N), se tiene:

3 2 3·2 78400H 3·2 H 01025·9,8·3

⋅− + = 3H 12H 15,61 0− + = , cuya solución es H = 1,74 m

H h

ρ=1025 kg/m3

FH

FV

(2/3)H (1/3)H

PESO

A/2



42

2.12. Fuerza de presión en superficie curvas: En el sistema de la figura. DETERMINE: 1. Fuerza y centro de presión sobre cada cara de la compuerta. 2. Nivel del agua para que el sistema este en equilibrio. DATOS: Anchura unitaria: L = 1 m

RESOLUCIÓN: (1) Fuerza y centro de presión en cada cara de la compuerta. LADO IZQUIERDO: La componente horizontal, es la fuerza de presión sobre la proyección de la superficie mojada sobre un plano vertical. El modulo es la presión en el cdg de la proyección por el área proyectada, y el centro de presión esta a 1/3 del nivel del punto más profundo:

( )AH A

hF g h L2

⎛ ⎞= ρ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

; a = (1/3)·hA

La componente vertical, es el peso del volumen desalojado (volumen rayado en la figura anterior), y su línea de acción pasa por el cdg del citado volumen rayado:

2

V 1RF g L2

⎡ ⎤⎛ ⎞π= ρ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ 4Rb

3=

π

Numéricamente: ( )H1,8F 1025·9,8· 1,8 1 16,27 kN2

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

1a 1,8 0,63

= ⋅ =

2

V0,5F 1025·9,8 1 3,94 kN2

⎛ ⎞π= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

4·0,5b 0,2123

= =π

0,2 m

0,5 m

0,5 m

0,8 m ρ1 = 1025 kg/m3 ρ2 = 850 kg/m3

ρ1 = 1025 kg/m3

A

B a

b

FH

FV



43

(1) Fuerza y centro de presión en cada cara de la compuerta (continuación) LADO DERECHO: Las componentes horizontales, de cada líquido son

( )H1 2 D 1RF gh g R L2

⎛ ⎞= ρ + ρ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

a1 = (1/3)·R

( )DH2 2 D

hF g h L2

⎛ ⎞= ρ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

a2 = (1/3)·hD+R

La componente vertical, es el peso del volumen desalojado desde la superficie mojada a la superficie libre:

1

2

V 1 DRF g R h L4

⎛ ⎞π= ρ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2D

1 2D

4R / 3 R / 4 R / 2 R·hb

R / 4 R·h

π π +=

π +

2

2

V 2 DRF g R h L4

⎛ ⎞π= ρ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2D

2 2

D

R / 2 R h 4R / 3 R / 4b

RR h4

⋅ − π π=

⎛ ⎞π⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Numéricamente: ( )H10,5F 850·9,8·1,5 1025·9,8 0,5 12

⎛ ⎞= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7,5 kN a1 = (1/3)·0,5 = 1/6

( )H21,5F 850·9,8 1,5 12

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9,37 kN a2 = (1/3)·1,3+0,5=0,933

1

2

V0,5F 1025·9,8 0,5 1,5 14

⎛ ⎞π= + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠= 9,51 kN

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

1 2

4 0,5 / 3 0,5 / 4 0,5 / 2 0,5·1,5b

0,5 / 4 0,5·1,5

⋅ π π +=

π +=0,242 m

2

2

V0,5F 850·9,8 0,5 1,5 14

⎛ ⎞π= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠= 4,61 kN

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

0,5 / 2 0,5 1,5 4·0,5 / 3 0,5 / 4b

0,50,5 1,54

⋅ − π π=

⎛ ⎞π⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=0,263 m

(2) Equilibrio: ΣMA=0 FH·a + FV·b - FH1·a1 - FH2·a2 -FV1·b1 +FV2·b2 =0 Σ MA = 16,27·0,6 + 3,94·0,212 – 7,5·1/6 – 9,37·0,933 – 9,51·0,242 + 4,61·0,263 = - 0,484 kNm ≠ 0 con lo que el sistema no esta en equilibro. Para el equilibrio, el momento debido a la acción del agua de la zona izquierda, debería ser:

16,27·0,6+0,484 = 10,246 kNm = 31A

g h6

ρ⋅ ; con lo que 3A

6·10246h1025 9,8

= =⋅

1,83 m

A

FH2

FV2

FV1

FH1

D

a1

a2



44

2.13. Equilibrio en flotación: Para que un cilindro de madera flote verticalmente y en equilibrio, se lastra con un cilindro de hormigón de igual diámetro. DETERMINE: la altura mínima del cilindro de hormigón para estabilidad. DATOS: cilindro de madera: diámetro: D = 600 mm; altura: H = 6m; densidad: ρm = 820 kg/m3 hormigón: densidad: ρh = 2460 kg/m3 agua salada: densidad: ρ = 1025 kg/m3 RESOLUCIÓN: La ecuación de estabilidad es: GM = GC +I/V > 0 Para obtener la distancia metacéntrica GM, se debe determinar: (1) GC: distancia entre el centro de gravedad y el centro de carena. (2) I: momento de inercia de la superficie limitada por la línea de flotación, respecto al eje de desequilibrio. (3) V: volumen de carena. (1): Posiciones del centro de gravedad (G) y del centro de flotación (C): centro de gravedad:

2 2 2

h m h m

2 2h m

h m

h D H D h Hh h H h H2 4 2 4 2 2ZG

D D h Hh H4 4

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ρ + + ⋅ρ ρ + + ⋅ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

π π ⋅ρ + ⋅ρ⋅ρ + ⋅ρ

numéricamente: ( )

2

2h 62460 h 6 820

3h 12h 362 2ZGh 2460 6 820 6 h 2

⎛ ⎞+ + ⋅⎜ ⎟ + +⎝ ⎠= =⋅ + ⋅ +

centro de carena: peso = empuje ( )2 2

m hD DH h g g c4 4

π πρ + ρ = ρ ⋅

( )2

m hm h

2

DH h g H hc 1 4ZCD2 2 2g4

πρ + ρ ρ + ρ= = =

π ρρ; numéricamente: 6 820 h 2460ZC 2,4 1,2 h

2 1025⋅ + ⋅

= = + ⋅⋅

con lo que GC = ZC-ZG =23h 12h 362,4 1,2h6h 12+ +

+ −+

=...=20,7h 2,8h 1,2

h 2+ −

+

(2) Momento de Inercia de la superficie limitada por la línea de flotación, respecto al eje de desequilibrio: El área limitada por la línea de flotación, es un circulo de diámetro D, cuyo momento de

inercia, respecto al eje de desequilibrio es: 4

2

A

DI x dA ...64

π= = =∫∫

40,664

π= =0,006362 m4

(3) Volumen de carena: 2

CDV c4

π= ⋅ = ( )

20,6 4,8 2,4h4

π ⋅⋅ +

( )

4 2 2

2

I D / 64 D 0,6 0,009375...V D c / 4 16c 16 4,8 2,4h h 2

π= = = = =

π + +

Con todo la ecuación de estabilidad es: GM = GC +I/V > 0

2 20,7h 2,8h 1,2 0,009375 0,7h 2,8h 1,190625h 2 h 2 h 2+ − + −

+ =+ + +

>0 → h > 388 mm

h

c

ZC

C

G

ZG

Z

H

dA

x



45

G

C

Z

b

c

a

2 m

2.14. Ecuación de estabilidad: En el diseño básico del patín de un catamarán, se parte de una cuaderna triangular. En el estudio de estabilidad, se supone que el centro de gravedad se sitúa en el punto G de la figura. DETERMINE: 1. Estabilidad del monocasco (suponga un único patín soportando la mitad del desplazamiento) 2. Distancia mínima entre las quillas del catamarán. DATOS: Desplazamiento máximo: DM = 8,2 Tm; eslora: L=10m; manga: B=1m; agua: densidad: ρ = 1025 kg/m3 RESOLUCIÓN: (1) El calado, a desplazamiento máximo, viene determinado por el volumen desplazado:

DM 4100V 4g 1025

= = =ρ

m3 = bcL/2

la relación entre el calado y la manga de flotación es: b/c = 1/2, es decir: b=c/2

con lo que se tiene: c LV c2 2

=

El calado es: 4V 4 4cL 10

⋅= = = 1,265 m; y la manga de flotación es: b=c/2= 0,632 m

El centro de flotación, es el centro de gravedad del volumen sumergido, que en nuestro caso es un prisma triangular; es decir: ZC = 2c/3 =2·1,265= 0,843 m La distancia metacéntrica es: GM = GC+I/V; en donde: GC = ZC-ZG = 0,843 – 2 = -1,157 m I = Lb3/12 = 10·(0,632)3/12 = 0,210 m4 V = 4 m3

GM = -1,157+0,210/4 = -1,104 m es decir una altura metacéntrica negativa, y por tanto el monocasco es inestable. (2) En el caso del catamarán, la distancia GC sigue siendo la misma, con el volumen desplazado igual al doble del caso anterior. Lo que cambia, es el momento de inercia de la superficie limitada por la línea de flotación, que es función de la separación entre las quillas:

a b a b

2 22 2 2

a b a bA2 2

I x dA x Ldx x Ldx =...= + − +

− − −= = ⋅ + ⋅∫∫ ∫ ∫

( )2 2bLI b 3a12

= +

evidentemente, si a=0, tenemos el caso anterior: I=Lb3/12

La distancia metacéntrica es: GM = GC+I/V; en donde: GC = -1,157 m I = Lb(b2+3a2)/12 = 10·0,632(0,6322+3· a2)/12 = 0,210 + 1,58·a2 m4 V = 8 m3

Con la condición de estabilidad: GM>0, se tiene; que la distancia entre quillas debe ser: 20,210 1,58 a 8·1,157-0.2101,157 0 a >

8 1,58+ ⋅

− + > ⇒ a > 2,393 m

x dx

(a-b)/2 (a+b)/2 (-a+b)/2 (-a-b)/2

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