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1. LOS FLUIDOS _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07 1 UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Superior de Marina Civil de Gijón 2º curso Máquinas Navales Curso 2007-08 Apuntes de Mecánica de Fluidos 1. LOS FLUIDOS παντα ρει “todo fluye” HERACLITO (-540, -475) fluido newtoniano impacto de una gota fluido no newtoniano. ( ) 2 = λ + µ⋅ v 1 r & τ ε ( ) f = & τ ε Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón octubre 2007

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1. LOS FLUIDOS

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Superior de Marina Civil de Gijón 2º curso Máquinas Navales Curso 2007-08

Apuntes de Mecánica de Fluidos

1. LOS FLUIDOS

παντα ρει “todo fluye”

HERACLITO (-540, -475)

fluido newtoniano impacto de una gota fluido no newtoniano.

( ) 2= λ ⋅ ⋅ + µ ⋅v 1r &τ ∇ ε ( )f= &τ ε

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos

Gijón octubre 2007

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1. LOS FLUIDOS. 1.1. Mecánica de Fluidos. Aspectos históricos. 1.2. Fluidos. 1.3. Modelo continuo y modelo molecular. 1.4. Viscosidad. 1.5. Compresibilidad. 1.6. Tensión superficial. 1.7. Presión, densidad y temperatura. 1.8. Problemas resueltos.

1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS. ASPECTOS HISTÓRICOS.

La Mecánica de Fluidos es la disciplina científica que se ocupa de la interacción de los fluidos con su entorno, así como de las aplicaciones técnicas que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en prácticamente todos los campos tecnológicos: industrial, aeronáutico, naval, químico,...; así como en disciplinas científicas: oceanografía, meteorología, acústica,...

Básicamente la mecánica de fluidos puede dividirse en: la estática de fluidos, que se ocupa de los fluidos

en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o gases a baja velocidad, en los que puede considerarse que no hay variaciones de densidad, que se denominan incompresibles. La aerodinámica se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente apreciable para que sea necesario tener en cuenta los efectos de compresibilidad.

El interés por la dinámica de fluidos se remonta a las aplicaciones más antiguas de los fluidos en

ingeniería. El matemático y filósofo griego ARQUÍMEDES realizó una de las primeras contribuciones con la invención del “tornillo sin fin” que se le atribuye tradicionalmente. Los romanos desarrollaron otras máquinas y mecanismos hidráulicos; no sólo empleaban el tornillo de Arquímedes para trasegar agua en agricultura y minería, sino que construyeron extensos sistemas de conducción de agua, los acueductos. Durante el siglo I a. C. VITRUBIO inventó la rueda hidráulica horizontal, que revolucionó la técnica de moler grano.

Después de Arquímedes pasaron más de 1600 años antes de que se produjera el siguiente avance

científico significativo, debido al gran genio italiano LEONARDO DA VINCI, que aporto la primera ecuación de la conservación de masa, o ecuación de continuidad y desarrollo múltiples sistemas y mecanismos hidráulicos y aerodinámicos. Posteriormente el matemático y físico italiano Evangelista TORRICELLI, invento el barómetro en 1643, y formuló el teorema de Torricelli, que relaciona la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima del agujero. La génesis de la actual mecánica de fluidos se debe al matemático y físico inglés Isaac NEWTON, con la publicación en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica se inicia el carácter científico de la disciplina, en donde se analiza por primera vez la dinámica de fluidos basándose en leyes de la naturaleza de carácter general. En 1755 el matemático suizo Leonhard EULER, dedujo las ecuaciones básicas para un fluido ideal.

EULER fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo se pueden expresar de

forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal, en donde se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de movimiento entre partículas (el fluido es no viscoso). Sin embargo, como esto no es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados con las ecuaciones de Euler, sólo pueden servir de estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.

La siguiente aportación de gran importancia, fue la primera expresión de la ecuación de conservación de

energía, dada por Daniel BERNOULLI con la publicación en 1738 de su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii; el denominado teorema de Bernoulli, establece que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente (líneas de flujo que son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y que en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido).

El problema de los efectos viscosos de disipación de energía, se empezó a abordar experimentalmente con

flujos a baja velocidad en tuberías, independientemente en 1839 por el médico francés Jean POISEUILLE, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero alemán Gotthif HAGEN. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinámica de fluidos, se debió al ingeniero francés Claude NAVIER en 1827 e, independientemente, al matemático irlandés George

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STOKES, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes.

En cuanto al problema del flujo en tuberías de un fluido viscoso, parte de la energía mecánica se disipa

como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería; las ecuaciones de Navier-Stokes, sugieren que la caída de presión era proporcional a la velocidad media. Los experimentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades altas, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Este problema no se resolvió hasta 1883, cuando el ingeniero británico Osborne REYNOLDS demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas; a velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o turbulencias (flujo turbulento), en una forma difícil de predecir analíticamente. Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds (Re=VLρ/µ).

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las ecuaciones de conservación, y

su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos de turbulencia. Gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia, y que junto con las nuevas técnicas de simulación en ordenador (CFD: computational fluid dynamics), están resolviendo problemas cada vez más complejos.

La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida

los avances en dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwing PRANDTL publicó un artículo en el congreso de matemática aplicada de Gotinga en 1904, en donde estableció que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie de interacción entre fluido y sólido está formada por una delgada zona en donde se manifiestan los efectos viscosos, y puede simplificarse el modelo matemático; fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos viscosos, y pueden emplearse las ecuaciones más simples para flujos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de los perfiles aerodinámicos, de las alas de los aviones, y de los alabes de las turbomáquinas. Posteriores desarrollos y aplicaciones de la teoría de capa límite han sido desarrollados por varios investigadores: como el ingeniero húngaro Theodore von KARMAN (discípulo del propio Prandtl), el matemático alemán Richard von MISES, y el físico británico Geoffrey TAYLOR.

El interés por el flujo de gases (flujo compresible) comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el

inventor británico Charles PARSONS y el ingeniero sueco Carl de LAVAL durante la década de 1880; pero los avances modernos tuvieron que esperar al desarrollo de la turbina de combustión y la propulsión a chorro de la década de 1930; y los posteriores estudios de balística y en general flujos a alta velocidad. El comportamiento en el flujo de un gas compresible depende de si la velocidad del flujo es mayor o menor que la velocidad de perturbaciones en el flujo; velocidad sónica o velocidad del sonido es la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido. Para un gas ideal, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si la velocidad del flujo es menor que la sónica, flujo subsónico, las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto; si la velocidad es mayor que la sónica, flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar aguas arriba para adaptar el flujo; así el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no esta preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que lleva a una compresión intensa u onda de choque. La relación entre la velocidad del flujo y la velocidad sónica se denomina número de Mach, en honor al físico austriaco Ernest MACH.

En cuanto a la estática de fluidos, su característica fundamental es que la fuerza ejercida por el entorno

sobre cualquier partícula del fluido estático, es la misma en todas las direcciones; si las fuerzas fueran desiguales, la partícula se desplazaría en la dirección de la fuerza resultante. De ello se deduce que la fuerza por unidad de superficie que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene, es perpendicular a la pared en cada punto; a la fuerza normal por unidad de superficie se le denomina presión. Este concepto fue formulado por primera vez por el francés Blaise PASCAL en 1647, y se conoce como principio de Pascal.

El otro principio importante en estática de fluidos fue descubierto por el matemático griego

ARQUÍMEDES; el principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza vertical ascendente igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas de flotación, se llama centro de flotación (centro de carena en un buque). El centro de flotación esta situado en la vertical del centro de gravedad del cuerpo; si esta por encima el objeto flota en equilibrio y es estable; si el centro de flotación esta por debajo del centro de gravedad, solo hay estabilidad si la distancia metacéntrica es positiva.

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1.2. FLUIDOS. Consideraremos la materia en dos estados de agregación: sólido y fluido; además los fluidos incluyen a

los líquidos y a los gases. La propiedad característica de los fluidos es su deformación continua bajo solicitaciones externas. Las propiedades cualitativas más destacables de los fluidos son: movilidad entre las partículas que los constituyen (se adaptan a las formas de los recipientes que los contienen), miscibilidad por la rápida disgregación de partículas de las diferentes zonas del fluido, compresibilidad o variación de volumen bajo esfuerzos normales.

La movilidad y la miscibilidad vienen determinadas como consecuencia de la propiedad más importante

de un fluido: su deformabilidad continua bajo esfuerzos tangenciales. Un sólido sometido a un esfuerzo1 tangencial adquiere una determinada deformación, que puede ser permanente si se supera un cierto valor de tensión umbral, pudiendo llegar a la rotura si se sobrepasa la tensión de rotura; en cambio un fluido sometido a un esfuerzo tangencial, se deforma continuamente, adquiriendo una velocidad de deformación que depende de la tensión aplicada y de las características del propio fluido (a través de su viscosidad).

La deformación continua del fluido, da lugar a su movimiento, que se denomina flujo. Los fluidos poco

viscosos fluyen fácilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad para fluir. A partir de estas consideraciones podemos dar como definición de fluido: sustancia a la que la aplicación de una tensión tangencial le provoca su movimiento, al que se le denomina flujo.

La otra propiedad característica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos normales de

compresión, ante los cuales el fluido se deforma, disminuyendo su volumen; en el caso de los gases, las disminuciones de volumen son relativamente grandes, son fácilmente compresibles; y en el caso de los líquidos, las disminuciones de volumen son relativamente pequeñas, son difícilmente compresibles. En general los líquidos se denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles; no obstante, líquido sometidos a grandes cambios de presión2 pueden comprimirse, y gases sometidos a pequeños cambios de presión no varían prácticamente su volumen.

1.3. MODELO CONTINUO Y MODELO MOLECULAR. Para el estudio de los fluidos, hay que establecer un modelo de constitución. En realidad se trata de

agregaciones moleculares, muy separadas entre sí en el caso de los gases y más próximas en el caso de los líquidos; y que se mueven con cierto grado de libertad en función de las fuerzas intermoleculares. La estructura molecular de la materia, es la que explica los estados de agregación de sólido, líquido y gas; teniendo en cuenta las distancias intermoleculares y las fuerzas intermoleculares. En los gases las distancias intermoleculares son grandes y las fuerzas intermoleculares pequeñas, lo que explica su gran compresibilidad; en los líquidos las distancias intermoleculares son bajas y las fuerzas intermoleculares altas, lo que explica su poca compresibilidad; y finalmente en los sólidos las distancias intermoleculares son muy bajas y las fuerzas intermoleculares muy altas.

Todos los fluidos están compuestos de moléculas en constante movimiento; sin embargo en la mayor

parte de las aplicaciones, lo que interesa son los efectos promedio o macroscópicos de muchas moléculas; estos efectos macroscópicos son los que se perciben y se miden; con lo que se trata al fluido como una sustancia infinitamente divisible, es decir un medio continuo, no considerando el comportamiento de las moléculas individuales, con lo que los valores de las propiedades son continuos y el modelo de comportamiento de la materia se denomina modelo continuo.

El concepto de medio continuo es la base de la mecánica de fluidos clásica. La suposición de medio

continuo es válida al tratar el comportamiento de fluidos bajo condiciones normales. No obstante, falla siempre que la trayectoria libre media de las moléculas se vuelve del mismo orden de magnitud que la longitud característica significativa más pequeña del problema. En problemas tales como los flujos de un gas de muy baja densidad que se encuentra, por ejemplo, en los vuelos que llegan a las partes más altas de la atmósfera, se debe abandonar el concepto de medio continuo en favor de los puntos de vista microscópicos y por tanto con valores estocásticos de sus propiedades, teniendo que recurrir a los modelos moleculares.

1 Se define esfuerzo o tensión como una fuerza por unidad de área: un esfuerzo tangencial es la fuerza aplicada tangencialmente sobre un elemento unitario de área; un esfuerzo normal es la fuerza aplicada perpendicularmente sobre un elemento unitario de área. 2 Se define presión en un punto como el límite de la fuerza normal aplicada sobre un elemento de área, con el área tendiendo a cero.

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F

d

d0

En criterio para usar uno u otro modelo viene determinado por la relación citada anteriormente, entre el recorrido libre medio de las moléculas y la dimensión longitudinal característica del fenómeno a estudiar, al que se denomina número de KNUDSEN: Kn=lm/L; así para valores de Kn<0,01, la teoría de los medios continuos da resultados correctos.

La hipótesis general del modelo continuo, es que todas las magnitudes fluidas (velocidad, presión,

densidad, temperatura, viscosidad, compresibilidad,...) se pueden definir por una función continua de 4 variables: las 3 espaciales y el tiempo. La continuidad de las funciones que definen las magnitudes físicas del fluido, permite obtener valores de magnitudes en una posición e instante, a partir de los valores conocidos en puntos determinados y de sus variaciones parciales desde un punto a otro.

La hipótesis del modelo molecular, es que cada molécula tiene asociada una serie de propiedades

(velocidad, energía cinética, temperatura,...); los valores de estas propiedades se conservan en su recorrido y solamente cuando chocan, con otras moléculas o con los contornos, intercambian cantidades de estas propiedades (la distancia entre dos choques consecutivos es el recorrido libre, y su valor medio es el recorrido libre medio).

1.3.1. MODELO MOLECULAR: ESTRUCTURA MOLECULAR DE LA MATERIA.

La materia (sólido, líquido o gas) está compuesta por moléculas en movimiento continuo interaccionado mutuamente entre ellas. Las fuerzas de interacción entre moléculas, son debidas tanto a su energía cinética (determinadas por su velocidad), como a su energía potencial (asociada a sus posiciones relativas).

La fuerza de interacción intermolecular debida a la separación entre moléculas, se puede determinar a

partir de la energía potencial de interacción entre moléculas. En el caso de los fluidos, ésta energía viene dada por la función potencial de LENNARD-JONES:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

60

120

012 dd

dd

e)d(e 1.1.

En donde: “d” es la distancia intermolecular entre dos moléculas (1 y 2): 21 rrd −=

“d0” es la distancia crítica, por debajo de la cual las fuerza es positiva (repulsiva) “e0” es una constante que depende del tipo de molécula

Con lo que la fuerza de interacción molecular es: d

rrd

dd

d2

de

6r

)d(eF 21

70

130

0

0

1

1212

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂−= 1.2.

En la representación gráfica de la fuerza intermolecular vs distancia intermolecular, se observa que para

distancias menores que la crítica, la fuerza de repulsión es muy grande y cada vez mayor conforme disminuye la distancia, debido a la repulsión electrostática entre las nubes de electrones. Para distancias mayores que la crítica, las moléculas se atraen débilmente debidos a la formación de dipolos (fuerzas de Van der WAALS). La distancia crítica es del orden del tamaño característico molecular: d0 ≈ 3·10-10 m.

Fig.1.Fuerza Intermolecular en función de la distancia intermolecular

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El distinto comportamiento de gases, líquidos y sólidos, viene determinado fundamentalmente por los valores de sus distancias intermoleculares características. Esta distancia es del orden de la raíz cúbica del volumen específico molecular:

( )

323

mkg

)kmol/moléculas(106023

/)kmol/kg(Md

3

ρ≈ 1.3.

En donde ρ es la densidad y M la masa molecular. Para un gas típico, como el nitrógeno, en condiciones normales (20ºC, 1 atm), su densidad es de 1,164

kg/m3 y su masa molecular es de 28 kg/kmol, con lo que se tiene una distancia intermolecular del orden de 3,4·10-9 m, que es unas diez veces superior a la distancia crítica.

Para un líquido típico, como el agua, en condiciones normales (20ºC, 1 atm), su densidad es de 1000

kg/m3 y su masa molecular es de 18 kg/kmol, con lo que se tiene una distancia intermolecular de 3,1·10-10 m, que es del orden de la distancia crítica.

Para un sólido típico, como el hierro, en condiciones normales (20ºC, 1 1atm), su densidad es de 7870

kg/m3 y su masa molecular es de 55,85 kg/kmol, con lo que se tiene una distancia intermolecular de 2,3·10-10 m, que es del orden de la distancia crítica.

Así, en los gases, las moléculas están tan alejadas unas de otras, que las fuerzas intermoleculares son

débiles, sobre todo en comparación con las fuerzas debidas a los intercambios de cantidad de movimiento. En un caso extremo, si se desprecian las fuerzas intermoleculares, la única interacción entre moléculas es debida a su energía cinética: es como si las moléculas estuviesen muy separadas unas de otras, denominándose gas ideal.

En el caso de líquidos y sólidos, sus distancias intermoleculares son del orden de la crítica, con lo que sus

moléculas están tan próximas como lo permitan las fuerzas repulsivas. En el caso de los líquidos, la energía potencial debida a la distancia intermolecular, es del mismo orden que la energía cinética debida a la velocidad de cada partícula. En cambio en los sólidos la energía cinética es despreciable frente a la potencial.

El distinto comportamiento de gases, líquidos y sólidos frente a solicitaciones externas, viene

determinado por los valores relativos entre energía cinética (Ec) y energía potencial (Ep), y entre distancia intermolecular (Di) y fuerza intermolecular potencial (Fi):

Gases: Ec >> Ep ∧ Fi ↓↓↓ Di ↑↑↑ Líquidos: Ec ≈ Ep ∧ Fi ↓ Di ↓ Sólidos: Ec << Ep ∧ Fi ↑↑↑ Di ↓↓↓ Como casos extremos se tiene, el gas ideal con energía potencia nula, y el sólido rígido con energía

cinética nula. Estas consideraciones, explican la distinción fundamental entre gases y líquidos, en cuanto a su

compresibilidad (disminución del volumen frente a esfuerzos normales de compresión): los gases son fácilmente compresibles y en cambio para disminuir el volumen de un líquido (aumentar su densidad), se necesitan un gran aumento de presión. Es decir, en el caso de líquidos, sus distancia intermoleculares, están próximas a la crítica, y para comprimirlos, es necesario acercan las moléculas, es decir vencer fuerzas de repulsión proporcionales a la 14ª potencia de la disminución de distancia.

También se puede explica la diferencia entre fluidos (gases y líquidos) y sólidos, en cuanto a su respuesta

bajo esfuerzos tangenciales de cizalla: los fluidos se deforman continuamente estableciéndose un movimiento del fluido al que se denomina flujo; en cambio los sólidos adquieren una determinada deformación, que permanece mientras permanezca el esfuerzo. Todo ello debido a las débiles fuerzas intermoleculares de los fluidos frente a las de los sólidos.

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1.3.2. MODELO CONTINUO: COMPORTAMIENTO MACROSCÓPICO.

El estudio de los fluidos a partir del modelo molecular, lleva consigo dos dificultades insoslayables: el gran número de moléculas de las que hay que conocer su posición, velocidad y energía; y la imposibilidad experimental de un contraste microscópico por el tamaño macroscópico de los sensores. Así en tan solo 1 mm3, si se trata de un gas del orden de 1016 moléculas, y de 1019 moléculas en el caso de un líquido. Concretando, para nitrógeno en condiciones normales, en 1 mm2, el número de moléculas es de 2,504·1016; y para agua es de 3,346·1019.

( ) moléculas10·504,2kmol/kg28

kmol/moléculas10·6023·mkg164,1·m10

MN

··VNn 1623

339A

2 ==ρ= −

( ) moléculas10·346,3kmol/kg18

kmol/moléculas10·6023·mkg

1000·m10M

N··VOHn 19

23

339A

2 ==ρ= −

En cuando a la validación de los resultados del modelo continuo, se tienen que realizar medidas

experimentales, en donde el tamaño de muestra en donde se promedian las propiedades, es excesivamente grande (tamaño del sensor), en comparación con los tamaños moleculares. Así, si “d” es la distancia típica entre moléculas, el tamaño macroscópico del volumen de promedio en la medida debería ser del orden de d3, lo que lleva a volúmenes de medida extremadamente pequeños: del orden de 10-18 mm3 para gases y del orden de 10-21 mm3 para líquidos.

Si consideramos como magnitud a determinar la densidad (masa de fluido contenida en un determinado

volumen), si consideramos volumenes próximos al determinado por la distancia típica entre moléculas (10-21 mm3 para líquidos, y 10-18 mm3 para gases); estamos considerando un modelo molecular, con lo que la densidad esta fluctuando entorno a un valor medio, debido a que el número de moléculas contenidas en el volumen considerado esta cambiando continuamente. Evidentemente, estos volumenes son inabordables experimentalmente.

Fig.2. Densidad en función del volumen de ensayo. Si para evitar las dificultades del modelo molecular, se considera un determinado volumen de fluido

“∆V” experimentalmente abordable, de tal forma que se definen las siguientes funciones locales en cada posición e instante:

Densidad local: V

mlim)t,r(

)V(N

11i

0V ∆=ρ

∑∆

=

→∆ Velocidad local:

∑∆

=

=

→∆= )V(N

1ii

)V(N

1iii

0Vm

vmlim)t,r(v

Energía: local:

∑∑∑∆

=

≠=

=

=

→∆

+

= )V(N

1ii

)V(N

)ij(1jij

)V(N

1i

)V(N

1i

2ii

0Vm

e21vm

21

lim)t,r(E ; especifica: )t,r(u)t,r(v21

m

)t,r(E 2

)V(N

1ii

+=

∑∆

=

En donde N(∆V) es el número de moléculas contenidas en el volumen ∆V en el instante “t”; r es el vector

de posición del punto en donde se consideran las propiedades locales; mi es la masa de una determinada molécula, iv su velocidad molecular; eij su energía potencial (ver Ec. 1.1.). La energía interna “u” contenida en el elemento de volumen, esta asociada a la energía cinética de agitación molecular y a energía potencial por las posiciones relativas de las moléculas.

Así pues con el modelo continuo, se trata de determinar como funciones de la posición y el tiempo: la

densidad, las tres componentes de la velocidad y la energía interna. Para lo cual, se aplicaran las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y de energía, a un determinado volumen de fluido.

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1.4. VISCOSIDAD.

La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por otros medios continuos. La viscosidad es el parámetro del fluido que controla el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular; determinando la relación entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que la que se produce la deformación del fluido.

Consideremos una determinada agrupación de moléculas, en la que sobre un elemento de área, el entorno

esta ejerciendo una fuerza tangencial. A la fuerza por unidad de área se le va denominar tensión, con lo que en este caso, se tienen tensiones tangenciales, de corte o de cizalla: τ. En el caso de un sólido, una tensión cortante, origina una deformación; la deformación unitaria (∆α/α) por unidad de tensión de corte (τ) es constante, en la zona de comportamiento elástico lineal del sólido; es decir para un determinado valor de la tensión de corte, el sólido experimenta una deformación constante, cuya magnitud depende intrínsecamente del tipo de material. La constante es el módulo de elasticidad de cizalla: G.

/G ∆α α=

τ G ∆α

τ =α

G

∆α τ=

α

3D 2D (dt) 2D (2.dt, … t∀ ) EN UN SÓLIDO, UNA TENSION DE CORTE CONSTANTE, PROVOCA UNA DEFORMACIÓN CONSTANTE

En el caso de un FLUIDO, una tensión cortante, origina una deformación que va aumentando con el tiempo. La velocidad de deformación (dα/dt) depende del esfuerzo de corte aplicado y del fluido. La velocidad de la deformación, por unidad de tensión de corte (τ) es constante, es decir para un determinado valor de la tensión de corte, el fluido experimenta una velocidad de deformación constante, cuya magnitud depende intrínsecamente del tipo de fluido. La constante es el coeficiente de viscosidad tangencial: µ.

d / dtαµ =

τ d

dtα

τ = µ

3D 2D (dt) 2D (2.dt) 2D (3.dt)

EN UN FLUIDO, UNA TENSION DE CORTE CONSTANTE, PROVOCA UNA VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN CONSTANTE

dA

dFt

α

τ=dFt/dA

τ

dA

dFt

α

dα 2.dα

τ τ

3.dα

τ

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En este punto, es importante la consideración de las solicitaciones a nivel molecular. En el caso de los sólidos, las fuerzas intermoleculares son elevadas y las distancias intermoleculares pequeñas. En el caso de los líquidos, las fuerzas intermoleculares son débiles y las distancias intermoleculares son pequeñas; y en el caso de los gases, las fuerzas intermoleculares son aún más débiles y las distancias intermoleculares grandes.

Esta diferente estructura molecular de la materia, hace que un sólido sometido a una solicitación de corte

(tangencial), se deforme, pero su alta fuerza de cohesión molecular es la que hace que esa deformación permanezca constante a lo largo del tiempo; además cuando cesa la solicitación, cesa la deformación. En cambio en el caso de los líquidos y los gases, las débiles fuerzas de cohesión molecular, no resisten los esfuerzos tangenciales, y estos provocan una deformación continua en el tiempo. La deformación continua, hace que exista movimiento relativo entre moléculas, lo que establece el movimiento general del fluido, que se denomina flujo.

Este comportamiento es exclusivo de los fluidos, y es el que los distingue de los sólidos. La definición de

un fluido, sería por tanto, la materia que ante esfuerzos de cizalla se deforma continuamente. Recordemos, que en comparación con este distinto comportamiento ante esfuerzos tangenciales, de los

sólidos y los fluidos; el comportamiento ante esfuerzos de compresión, no es exclusivo de los fluidos. Aunque la magnitud del módulo de compresibilidad, puede establecer una clasificación: sólidos con un muy elevado módulo, líquidos con un alto módulo y gases con un pequeño modulo de compresibilidad. Otro aspecto molecular de gran importancia, es la consideración de que en el proceso de fluir, se establece un movimiento relativo, y las moléculas más rápidas arrastran a las contiguas, y estas a su vez frenan a las que las arrastran; es decir hay un intercambio de cantidad de movimiento a nivel molecular. Esta consideración permite establecer, de forma rigurosa la viscosidad, como el coeficiente de transporte de cantidad de movimiento a nivel molecular. A nivel molecular, además de transporte de cantidad de movimiento, pueden existir otros fenómenos de transporte, como el transporte de masa y de calor; a los coeficientes respectivos, se le denomina difusividad (coeficiente de trasporte de masa) y conductividad térmica (coeficiente de transporte de calor). 1.4.1. LEY DE NEWTON DE VISCOSIDAD.

Una forma simple de poner de manifiesto la viscosidad, es considerar dos placas planas horizontales, entre las que se hay un determinado fluido; la placa inferior esta fija, y sobre la placa superior se aplica una determinada fuerza horizontal; el cociente entre la fuerza aplicada y la superficie de la placa superior es la tensión aplicada sobre el fluido. Si el fluido es no viscoso (ideal), éste no opone ninguna restricción al movimiento de la placa, que se movería con aceleración constante; si el fluido es viscoso, se observa que la placa adquiere una velocidad constante, como consecuencia de tener aceleración nula, debida a que la suma de fuerzas que actúan sobre la placa es nula. Las partículas de fluido que tocan la placa superior son arrastradas a la velocidad de la placa, estas partículas a su vez, arrastran a otras partículas que se mueven, pero a una velocidad inferior debido a las fuerzas y distancias entre partículas, este proceso de intercambio de cantidad de movimiento entre partículas se extiende hasta las partículas a velocidad nula que están en contacto con la placa fija inferior.

Con las consideraciones de flujo unidimensional3 (u=u(y)), si se hace una exploración del campo de

velocidades de las partículas del fluido, desde las que están en contacto con la placa fija inferior (y por tanto a velocidad nula: u(0) = uplaca inferior =0), hasta las partículas que están en contacto con la placa móvil superior (a su misma velocidad: u(h)= uplaca superior = U), se detecta un gradiente de velocidad (du/dy). Existiendo para algunos fluidos una relación lineal entre la tensión tangencial (fuerza tangencial por unidad de área de contacto, que se opone al movimiento de una parte del fluido en contacto con otra más lenta) y el gradiente de velocidad:

dudy

τ = µ 1.4.

3 El flujo entre placas planas horizontales, es bidimensional: el flujo avance horizontalmente y el campo de velocidades varia verticalmente: u=u(x,y), pero en flujo estacionario, el caudal es constante en cualquier sección vertical, con lo que el citado perfil de velocidad no debe cambiar con la dirección del flujo, es decir, sólo varia con la dirección vertical: u=u(y).

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1. LOS FLUIDOS

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10

Los fluidos con relación lineal entre tensiones tangenciales y gradiente de velocidad, se denominan newtonianos y la ecuación anterior se denomina ley de Newton de viscosidad.

En toda la extensión del fluido (desde la placa superior a la inferior) se presenta un estado de tensiones

tangenciales: la zona de mayor velocidad produce un arrastre sobre la zona más lenta. Suponiendo un flujo de Coutte4, en donde el fluido tiene un movimiento unidimensional, en donde la velocidad de cada partícula es paralela al eje de las placas (OX), se puede concluir que el gradiente de velocidad esta marcando la velocidad de deformación del fluido:

Y dα A B A’ B’ u+du dy

C D C’ D’ u O X Las partículas C y D se mueven a la misma velocidad (u), las partículas A y B se mueven a la misma velocidad y un poco más rápidas (u+du) que las inferiores, por lo que al cabo de un instante de tiempo (dt) las partículas ocupan nuevas posiciones (‘), y debido a la diferencia de velocidades, las partículas superiores avanzan más que las inferiores, dando lugar a una deformación angular (dα):

d Velocidad de deformacion = AA'-CC' (u du)dt u dt du dt d du dt d =tg(d )=

dudy dy dy dt dy Gradiente de velocidad = dt

α+ − ⋅ ⋅ α

α α = = ⇒ =

Es decir, la velocidad de deformación viene determinada por el gradiente de velocidad: d dudt dyα

=

Las fuerzas de contacto por unidad de área de contacto, se denominan esfuerzos viscosos. En el caso unidimensional anterior, para un fluido newtoniano, solo aparece un esfuerzo tangencial en la dirección del flujo, que es proporcional al gradiente de velocidad, a través del coeficiente de viscosidad µ, que se denomina viscosidad, viscosidad absoluta o viscosidad dinámica.

La generalización a un flujo tridimensional, lleva a tener esfuerzos viscosos, tanto tangenciales, como

normales5; lo que da lugar a dos coeficientes de viscosidad: uno de los esfuerzos viscosos normales, que se denota por λ, y otro de los esfuerzos viscosos tangenciales, que se denota por µ. En coordenadas cartesianas, los esfuerzos normales dan lugar a 3 componentes: τxx, τyy, τzz; y los tangenciales a 6 componentes: τxy, τxz, τyxτyz,

τzx, τzy; con lo que se tiene el tensor de tensiones viscosas: xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

τ τ τ= τ τ τ

τ τ ττ

Para fluidos newtonianos, las componentes del tensor de tensiones viscosas, vienen determinadas por los diversos gradientes direccionales de la velocidad ( v ui v j wk= + +

r r r r), a partir de la Ec. de Navier-Poisson:

( ) 2= λ ⋅ ⋅ + µ ⋅v 1r &τ ∇ ε 1.5.

4 Flujo de COUTTE: flujo laminar entre placas planas paralelas horizontales, con número de Reynolds: Re = Uhρ/µ <1500, en donde U es la velocidad de la placa superior, h la separación entre placas, ρ la densidad del fluido y µ su viscosidad absoluta. 5 En el movimiento relativo entre partículas del fluido, los intercambios de cantidad de movimiento entre partículas, tienen lugar en los “contactos” o “choques” entre ellas. La dirección relativa del choque, puede descomponerse en dos componentes: la tangencial a la superficie de contacto y la normal a la superficie de contacto. No hay que confundir los esfuerzos viscosos normales, con los esfuerzos normales debidos a la presión termodinámica.

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1. LOS FLUIDOS

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11

En donde, →

⋅∇ v es el tensor gradiente de velocidad, y =ε& el tensor de velocidad de deformación:

zu

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

v

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⋅∇→

zw

yw

zv

xw

zu

yw

zv

yv

xv

yu

xw

zu

xv

yu

xu

21

21

21

21

21

21

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=ε=&

E

xx yy zz

xy yx xz zx zy yz

u v w u u v w v u v w w2 ; 2 ; 2x y z x x y z y x y z z

u v u w w y x z x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ = λ + + + µ τ = λ + + + µ τ = λ + + + µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞τ = τ = µ + τ = τ = µ + τ = τ = µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

vy z

⎛ ⎞∂+⎜ ⎟∂⎝ ⎠

newtoniano

u v w u u v u w 2x y z x y x z x

u v u v w v y w 2y x x y z y z y

u w y w u v w w2 z x z y x y z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞λ + + + µ µ + µ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= µ + λ + + + µ µ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞µ + µ + λ + + + µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

τ

Si además el flujo es incompresible, la divergencia de la velocidad es nula, con lo que:

newtoniano incompresible

u u v u w 2x y x z x

u v v y w 2y x y z y

u w y w w2 z x z y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞µ µ + µ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= µ + µ µ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞µ + µ + µ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

τ 1.6.

En un flujo incompresible, el valor medio de los esfuerzos viscosos normales es nulo, con lo que el

promedio de los esfuerzos normales es la presión termodinámica6.

N

u v wp 2 p 2 p 2x y z 2 u v wp p

3 3 x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + µ + − + µ + − + µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞µ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠σ = = − + + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

6 Los esfuerzos normales tienen dos términos, los debidos a la presión termodinámica y los debidos a la viscosidad: σii=-p+τii

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1. LOS FLUIDOS

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12

1.4.2. DIAGRAMA REOLÓGICO.

La relación entre tensiones de corte y velocidades de deformación, puede representarse en un diagrama cartesiano que se denomina diagrama reológico. El término reología, fue establecido en 1929 por Eugene C. BINGHAM y deriva del griego “ρεοσ” (rheos) = “corriente”.

En el diagrama reológico, cada tipo de fluido tiene una determinada curva representativa. Recordemos

que a partir de la ley de Newton de viscosidad, la pendiente de la curva tensión tangencial vs velocidad de deformación, es la viscosidad del fluido. Si la pendiente es constante, se tiene un fluido newtoniano, y a los fluidos de comportamiento reológico no lineal se les denomina “no newtonianos”.

FLUIDO NEWTONIANO: la relación entre la tensión tangencial y la velocidad de deformación es lineal,

la constante de proporcionalidad entre ambas variables es la viscosidad del fluido newtoniano; el comportamiento de este tipo de fluido, es el que exhibe bajo condiciones normales de operación la mayoría de los fluidos: si se someten a esfuerzos tangenciales fluyen (se deforman continuamente), si se duplica el esfuerzo tangencial, también se duplica la velocidad de deformación. La representación de un fluido newtoniano en el diagrama reológico, es una recta que pasa por el origen, los fluidos muy viscosos son rectas de gran pendiente, y los poco viscosos son rectas de poca pendiente. La mayor parte de los fluidos, exhiben un comportamiento newtoniano.

FLUIDO IDEAL: si se considera un fluido en donde sus partículas pueden moverse sin interaccionar unas

con otras, se comporta de tal manera que en su movimiento no hay transferencias entre partículas; su representación en el diagrama reológico es el eje horizontal: en el proceso de flujo no hay ningún tipo de esfuerzo tangencial; con este tipo de comportamiento el fluido se denomina ideal. En un fluido ideal todos los coeficientes de transporte son nulos: viscosidad nula o fluido no viscoso (coeficiente de transporte de cantidad de movimiento), conductividad térmica nula (coeficiente de transporte de calor) y difusividad nula (coeficiente de transporte de masa).

PLÁSTICO IDEAL O PLÁSTICO DE BINGHAM: se comporta como un fluido newtoniano, pero tiene

una tensión tangencial umbral por debajo de la cual el fluido no fluye; sometido a tensiones tangenciales mayores que el umbral, existe una deformación continua, que es proporcional a la tensión aplicada. En el diagrama reológico un plástico de Bingham esta representado por una recta de determinada pendiente que se inicia en la tensión umbral. Este tipo de comportamiento, lo suelen tener los fluidos empleados en alimentación: mayonesa, mostaza, margarina, ,...

PSEUDOPLÁSTICO: su comportamiento reológico es de tal manera que bajo tensiones tangenciales

pequeñas, fluye con dificultad, pero conforme se aumenta las tensiones de corte, el proceso de fluir mejora, es decir va disminuyendo la viscosidad; en el diagrama reológico un pseudoplástico esta representado por una curva que pasa por el origen, monótona decreciente, es decir, de viscosidad (pendiente) continuamente decreciendo con el aumento de tensión aplicada. Este comportamiento, es el que tiene las suspensiones, en donde en el seno de un fluido hay una cierta densidad de partículas sólidas: a tensiones tangenciales bajas, las partículas sólidas siguen homogéneamente repartidas, y conforme aumentan las tensiones tangenciales, éstas orientan las partículas sólidas con el flujo, y la suspensión baja su viscosidad.

PLÁSTICO, para iniciar el flujo, son necesario grandes tensiones de corte; a partir de lo cual, un pequeño

aumento de la tensión de corte, origina grandes velocidades de deformación. Es decir, es difícil iniciar el proceso de fluir, pero una vez establecido el flujo, su aumento, es fácil. La denominación de plástico ideal o de Bingham, es la extrapolación de un plástico, con pendiente infinita hasta la tensión umbral (es decir no hay proceso de flujo), y a partir de la tensión umbral con pendiente constante (es decir con viscosidad constante).

FLUIDO DILATANTE: su proceso de deformación continua bajo esfuerzos tangenciales es menos acusado conforme aumentan los citados esfuerzos; en un diagrama reológico su comportamiento esta representado por una curva que pasa por el origen, monótona creciente, es decir, de viscosidad continuamente creciente con el aumento de la tensión tangencial aplicada. Es lo que ocurre en las emulsiones, en donde el movimiento relativo entre partículas, originado por el flujo, hace que aumenten las uniones dipolares, con lo que aumenta la viscosidad.

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1. LOS FLUIDOS

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13

Esfuerzo tangencial

velocidad de deformación

COMPORTAMIENTO REOLOGICO DE DISTINTOS FLUIDOS: RELACION ENTRE ESFUERZO DE CORTE Y

VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN En el flujo unidimensional: ( )V u y i= ⋅

ur r; el único término del gradiente de velocidad es du/dy, con lo

que el módulo de la tensión tangencial, para cada uno de los distintos fluidos considerados es:

Fluido newtoniano: ley de Newton de viscosidad dudy

τ = µ

Plástico ideal de Bingham: 0dudy

τ = τ + µ

Pseudoplástico y Fluido dilatante: ley de Ostwald-de Waele n

dudy

⎛ ⎞τ = κ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

κ = índice de viscosidad (unidades: Pa·sn) n = exponente del gradiente de velocidad

n<1 pseudoplástico (en el diagrama reológico, pendiente monótona decreciente) n>1 fluido dilatante (en el diagrama reológico, pendiente monótona creciente)

Normalmente, bajo una determinada tensión tangencial, la velocidad de deformación no varia con el

tiempo; pero en determinados fluidos, la velocidad de deformación puede aumentar con el tiempo: fluido reopéctico, o puede disminuir con el tiempo: fluido tixotrópico.

PLÁSTICO IDEAL DE BINGHAM

FLUIDO DILATANTE

FLUIDO NEWTONIANO

PSEUDOPLÁSTICO

FLUIDO IDEAL (NO VISCOSO

FLUIDO REOPÉCTICO

FLUIDO TIXOTRÓPICO

Velocidad de deformación

tiempo

PLÁSTICO

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1. LOS FLUIDOS

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14

1.4.3. EFECTO DE LA TEMPERATURA SOBRE LA VISCOSIDAD.

El efecto de la variación de temperatura sobre la viscosidad, es totalmente distinto en gases y en líquidos, por la distinta estructura molecular, en cuanto a distancias y fuerzas intermoleculares: los gases tienen grandes recorrido libres medios como consecuencia de sus altas distancias intermoleculares, y en los líquidos el recorrido libre medio es bajo, debido a altas fuerzas intermoleculares y bajas distancias intermoleculares.

En aumento de temperatura da lugar a un aumento del movimiento molecular y a un aumento de las distancias intermoleculares. En el caso de los gases, el aumento de temperatura fundamentalmente hace aumentar el intercambio de energía entre moléculas, con lo que los efectos viscosos de transmisión de cantidad de movimiento se ven aumentados, es decir hay un aumento de viscosidad; el otro efecto de aumento de distancias intermoleculares no es importante, por el hecho de que en gases estas distancias ya son de por si muy altas. En el caso de los líquidos, el aumento de temperatura aumenta la separación molecular, disminuyendo las interacciones entre las moléculas, con lo que hay una disminución de transmisión de cantidad de movimiento y con ello de viscosidad. Es decir, el comportamiento de la viscosidad ante la temperatura, es totalmente diferente en gases y en líquidos: en gases un aumento de temperatura hace aumentar la viscosidad, y en líquido un aumento de temperatura hace disminuir la viscosidad.

Para evaluar la dependencia de la viscosidad con la temperatura se siguen las siguientes expresiones

empíricas: para gases: ecuación exponencial: ( )

0

0,7T

0 Tµ = µ 1.7.

ecuación de SUTHERLAND: 3/ 2

00

1 kTTT 1 kT0

⎛ ⎞ +µ = µ ⎜ ⎟

+⎝ ⎠ 1.8.

para líquidos: ecuación exponencial: e 0

0

TTT

K0

⋅µ=µ 1.9.

1.4.4. UNIDADES DE VISCOSIDAD.

Las dimensiones de la viscosidad absoluta son: [µ] = ML-1T-1; en el SI7 las unidades de viscosidad serán por lo tanto de kg/ms. A partir de la ley de Newton de viscosidad, se puede ver que la viscosidad es producto de una tensión por un tiempo, con lo también se puede expresar la unidad de viscosidad en el SI como Pa·s.

En el sistema CGS, las unidades de viscosidad son g/cm.s, que se denomina poise (P), en honor a Jean L.

POISEUILLE, que estableció la ecuación de medida experimental de la viscosidad, a partir de la caída de presión en flujo laminar en tuberías. Debido a que la viscosidad del agua a 1atm y 20ºC es del orden de 0,01P, es decir un centipoise, que al a vez es igual a un milipascal por segundo: 1 cP = 1 mPa·s; por lo cual son usuales ambos términos en la unidad de viscosidad absoluta.

El cociente entre la viscosidad absoluta y la densidad, se denomina viscosidad cinemática. Las

dimensiones de la viscosidad cinemática son: [ν] = L2T-1, con lo que en el SI las unidades son: m2/s. En el sistema CGS la unidad es el cm2/s que se denomina stokes (St) en honor a George G. STOKES, que estableció en el estudio de la fuerza de arrastre de un fluido sobre una esfera, la ecuación que determina la viscosidad cinemática en función de la fuerza de arrastre, de la velocidad y del diámetro de la esfera (para Re<1 la ecuación coincide con los resultados experimentales). Debido a que la viscosidad cinemática del agua a 1atm y 20ºC es del orden de 0,01St, es decir un centistoke, es usual este termino como unidad de viscosidad cinemática.

La relación de unidades de viscosidad en los sistemas de unidades SI y CGS es:

viscosidad absoluta o dinámica (µ): 1 P = 0,1 Pa.s 1cP = 10-3 Pa.s = 1 mPa·s viscosidad cinemática (ν): 1 St = 10-4 m2/s 1cSt = 10-6 m2/s

7 Sistema internacional de unidades, con 7 unidades fundamentales: metro (m) para la longitud, kilogramo (kg) para la masa, segundo (s) para el tiempo, kelvin (K) para la temperatura absoluta, mol (mol) para la cantidad de materia, amperio (A) para la intensidad de corriente eléctrica, y candela (cd) para la intensidad de luz.

Page 15: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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15

A continuación se dan valores de viscosidad para algunos fluidos:

presión atmosférica estándar (1 atm = 1013,25 mbar)

AGUA AIRE

temperatura (ºC) viscosidad absoluta

Pa·s mPa·s = cP viscosidad cinemática

m2/s cSt viscosidad absoluta

Pa·s mPa·s = cP viscosidad cinemática

m2/s cSt 0 1,792 10-3 1,792 1,792 10-6 1,792 17,24 10-6 0,01724 13,33 10-6 13,33 10 1,307 10-3 1,307 1,307 10-6 1,307 17,73 10-6 0,01773 14,21 10-6 14,2120 1,002 10-3 1,002 1,004 10-6 1,004 18,22 10-6 0,01822 15,12 10-6 15,12 30 0,797 10-3 0,797 0,801 10-6 0,801 18,69 10-6 0,01869 16,04 10-6 16,04 40 0,653 10-3 0,653 0,658 10-6 0,658 19,15 10-6 0,01915 16,98 10-6 16,98

Fluido (1 atm, 20 ºC)

Viscosidad absoluta µ Kg/ms mPa·s = cP

Viscosidad cinemática ν m2/s cSt

Densidad ρ kg/m3

Hidrógeno 8,9 10-6 0,0089 0,106 10-3 106 0,084

Aire 18 10-6 0,018 15,1 10-6 15,1 1,2

Gasolina 0,29 10-3 0,29 0,427 10-6 0,427 680

Agua 1 10-3 1 1,01 10-6 1,01 999

Etanol 1,2 10-3 1,2 1,51 10-6 1,51 789

Mercurio 1,5 10-3 1,5 0,116 10-6 0,116 13540

Aceite SAE 30 26 10-3 26 0,279 10-3 279 933

Glicerina 1,5 1500 1,19 10-3 1190 1263

La medida experimental de la viscosidad se realiza con los viscosímetros. Normalmente se usa el

viscosímetro de cilindros concéntricos; en donde se mide el par resistente al giro de un cilindro interior, concéntrico con uno exterior, entre los que se dispone el fluido a determinar su viscosidad. También se suelen usar los viscosímetros de descarga, en donde se mide el tiempo de descarga del fluido contenido en un determinado recipiente, bajo condiciones específicas de normativa. : así se tienen los SSU (segundos Saybolt universales) que miden el tiempo de la descarga de 100 cc de fluido bajo condiciones de norma.

En el caso de los aceites lubricantes de automoción, su viscosidad depende del tipo de aceite y de la

temperatura. Su comportamiento ante la temperatura viene determinado por el origen del crudo y por el proceso de destilación, y se suele expresar por un termino adimensional que se denomina índice de viscosidad (VI), los aceites de alto VI tienen pequeñas variaciones de viscosidad con la temperatura.

S.A.E. (Society of Automotive Engineers), tiene su clasificación específica de los aceites de automoción

en cuanto a su viscosidad y su comportamiento ante la temperatura; ordenados en intervalos de viscosidad (de menor a mayor): para bajas temperaturas grado SAE: 0W, 5W, 10W, 15W, 20W, 25W (W de winter); y para alta temperatura grado SAE: 20, 30, 40, 50, 60. Los aceites monogrado tienen un índice de viscosidad bajo, con lo que fuera del rango de temperatura de utilización su viscosidad varia mucho; en cambio los aceites multigrado tienen índices de viscosidad altos, con lo que mantienen su viscosidad prácticamente constante en el rango de operación del aceite motor, así un aceite monogrado para usar solo en invierno será un SAE 20W, un monogrado para usar solo en verano será un SAE 50; y un multigrado para usar en todo tiempo será un SAE 20W50.

La clasificación anterior, de SAE es para aceites de motor; para lubricantes de engranajes en automoción,

se tienen los siguientes grados de viscosidad: 70W, 75W, 80W, 85W, 90, 140, 250. La organización internacional de estandarización ISO, ha establecido una clasificación de los aceites de

automoción, en donde el grado ISO correspondiente, es el valor medio de la viscosidad cinemática a 40ºC; así un ISO-VG-100, tiene una viscosidad media de 100 cSt, a 40ºC. La correspondencia entre ambos grados de viscosidad, en valores medios de la viscosidad cinemática a 40ºC es:

Grado SAE 0W 5W 10W 15W 20W 25W 20 30 40 50 60 ν (cSt) a 40ºC 15 18 20 27 32 40 45 80 130 200 350

Page 16: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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16

1.5. COMPRESIBILIDAD. Consideremos en una determinada agrupación de partículas, un elemento de área de su contorno, sobre el que el resto del fluido esta ejerciendo una fuerza; a su componente normal por unidad de área se le denomina tensión normal o presión: p. Para todo tipo de materia (sólido, líquido o gas), el aumento de presión (∆p), origina siempre una disminución de volumen (∆V). En la zona de elasticidad lineal de los materiales, la variación unitaria de volumen (∆V/V) por unidad de presión ( (∆V/V)/∆p), es una constante, que viene determinada por las características elásticas del material, a través del módulo de elasticidad volumétrica o módulo de compresibilidad:

pKV / V∆

= −∆

Para los sólidos, K es muy grande, para líquidos K es grande y para gases K es pequeño. El signo “-“, es

debido a que los sentidos de las variaciones de presión y de volumen son contrarios, es decir ante un aumento de presión, el volumen disminuye.

Centrándonos, en el campo de los fluidos, si consideramos magnitudes elementales, si un determinado

volumen de fluido (V) se somete a un aumento de presión (dp), el volumen se reduce en un determinado valor (dV), denominando módulo de compresibilidad del fluido a:

dp

K VdV

= − 1.10.

Un fluido poco compresible (líquidos) tiene alto módulo de compresibilidad y un fluido muy compresible

(gases) tiene bajo módulo de compresibilidad. Para poder evaluar los cambios de presión y volumen (dP/dV), es necesario tener en cuenta el tipo de proceso de compresión: isotermo (a temperatura constante), isentrópico (adiabático sin efectos disipativos),... Lo que da lugar a la definición de los siguientes módulos:

Módulo de compresibilidad isotermo: TT

pK VV

∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Módulo de compresibilidad isentrópico: SS

pK VV

∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Las ecuaciones anteriores se suelen expresar en función de términos de densidad en vez de volumen8,

quedando como expresiones del módulo de compresibilidad:

T ST S

pK Kp

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ρ= ρ = ρ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ρ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.11.

En el caso de líquidos, los dos módulos son prácticamente iguales; en cambio en gases, el módulo

isotermo es siempre menor que el isentrópico. Así, agua a 20ºC y 1 atm, tiene un módulo de compresibilidad de 2200 MPa; en cambio, aire a 20ºC y 1 atm, tiene un módulo isotermo de 0,1013 MPa, y un módulo isentrópico de 0,1418 MPa.

Otra forma de evaluar la compresibilidad de un fluido, es la velocidad con la que se transmiten

pequeñas perturbaciones en el seno del propio fluido; a esa velocidad se le denomina velocidad sónica o velocidad del sonido y viene determinada por:

S

S

Kpa ⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟∂ρ ρ⎝ ⎠

1.12. Los fluidos compresibles tienen bajas velocidades sónicas y los fluidos incompresibles tienen altas

velocidades sónicas; así a 20ºC y 1atm, la velocidad del sonido en agua es de 1483,2 m/s, y la velocidad del sonido en aire es de 331,3 m/s.

8 V=m/ρ; como m es constante, dV=-mdρ/ρ2 , con lo que-V/dV=ρ/dρ. Evidentemente, ante un aumento de presión, la densidad aumenta

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1. LOS FLUIDOS

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17

1.6. TENSION SUPERFICIAL. En un líquido las fuerzas intermoleculares son relativamente grandes, con lo que no puede expansionarse

libremente; así en contacto con otro líquido o con un gas, forma una interfase. Las moléculas del interior del líquido se repelen mutuamente hasta la distancia intermolecular (marcada por el equilibrio de las fuerzas de repulsión con las de atracción); en cambio las moléculas de la superficie libre, están en desequilibrio.

Para que el desequilibrio provocado por las moléculas de la interfase sea mínimo, se debe tener el

mínimo número de moléculas, con lo que en cada caso la superficie libre9 es la de mínima área, en función del resto de fuerzas que actúen.

En una superficie libre, la energía que se necesita para mantener un determinado número de moléculas en

un elemento de área, es una propiedad inherente a la interfase, y se denomina tensión superficial: σ.

dEdA

σ = 1.13.

Así, por ejemplo, en la interfase agua-aire, a 20ºC y 1 atm, la tensión superficial tiene un valor de 728

J/cm2; es decir para aumentar la superficie libre en 1cm2 se necesitaría una energía de 728 J, que habría que aportar a las moléculas del interior para que pasen a la superficie.

Una consideración más clásica, es considerar la tensión superficial, como la fuerza elemental, que por

unidad de longitud, mantiene unidas a las moléculas de la superficie, situadas a lo largo del elemento de longitud: σ = dF/dL. Lo que lleva a considerar normalmente como unidades de la tensión superficial N/m en el S.I.; evidentemente la definición energética es coherente, pues J/m2 = N/m.

En la tabla siguiente se dan valores de tensiones superficiales de algunos líquidos con distintas interfases,

a una temperatura de 20ºC:

líquido interfase σ (Ν/m) agua aire 0,0728

mercurio aire 0,476 mercurio agua 0,373 metanol aire 0,023

El desequilibrio originado en la interfase por la tensión superficial, da lugar a una serie de fenómenos: - interacción con una pared sólida (líquidos que mojan o no mojan la superficie de contacto, ascenso-

descenso de la superficie libre en tubos capilares) - flotación de objetos en la superficie libre (flotación de una aguja, sustentación de insectos) - formación de gotas (una gota de agua en suspensión en aire (niebla) prácticamente sólo está sometida a

la tensión superficial, que le hace adquirir la menor superficie posible, es decir adquiere la forma esférica).

- evaporación superficial (las menores fuerzas intermoleculares de las moléculas de la superficie, con respecto a las del interior, hace que por efectos de agitación térmica, continuamente exista una migración de moléculas de la superficie libre hacía el exterior (proceso evaporación superficial).

9 La superficie libre, es la interfase entre un líquido y un fluido (líquido o gas); es decir se pueden tener dos tipos de interfases: líquido-líquido y líquido-gas. Además, la interfase viene determinado por los contactos con paredes sólidas.

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1. LOS FLUIDOS

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1.6.1. SOBREPRESIÓN EN EL INTERIOR DE GOTAS.

Las fuerzas de tensión superficial que hacen que la superficie de una gota de líquido sea esférica, hacen que la presión en el interior de la gota sea superior a la exterior. Si se considera un corte de la gota esférica en dos mitades, la fuerza de tensión superficial, actúa sobre el borde, es decir sobre una circunferencia, y la fuerza de presión interior actúa sobre la superficie de contacto de las dos mitades, es decir un circulo; a partir de estas consideraciones se obtiene el valor de la sobrepresión interior, por la denominada ecuación de YOUNG-LAPLACE:

gota2pR

σ∆ = 1.14.

fuerzas de tensión superficial sobre el borde circunferencial de la gota: σ.2πR fuerzas de sobrepresión en el interior de la gota/burbuja: ∆p.πR2

equilibrio de fuerzas: σ.2π.R = ∆p.πR2 ... ∆p = 2σ/R En el caso de considerar una burbuja, las fuerzas de tensión superficial, son las debidas tanto a la superficie libre exterior como a la interior, que son prácticamente esferas del mismo radio, con lo que se tiene:

burbuja4pR

σ∆ = 1.15.

1.6.2. MENISCOS Y CAPILARIDAD. En un líquido en reposo, las fuerzas que actúan sobre las moléculas de la superficie libre son: su peso y las fuerzas de cohesión con las moléculas que la rodean (con resultante vertical hacía abajo, por tener moléculas de líquido hacía abajo y moléculas de vapor y de gas por encima); lo que da una resultante neta sobre la molécula, vertical hacía abajo; y como la superficie libre es siempre perpendicular a la resultante de las fuerzas de presión, se tendrá un plano horizontal como superficie libre. En el caso de las moléculas cercanas a una pared, además aparece la fuerza de adherencia entre las moléculas del líquido y las de la pared, con sentido hacia la pared y dirección perpendicular a la pared. En la mayor parte de líquidos, las fuerzas de adherencia con las paredes, son mayores que las de cohesión, lo que da lugar a tener sólo dos fuerzas, el peso y la cohesión. En el caso de una pared vertical, la resultante es una fuerza de sentido hacía la pared, n entre la horizontal y la vertical: conforme las moléculas están más próximas, la fuerza de cohesión aumenta, y la dirección de la resultante es más horizontal. Esto es lo que lleva a que la superficie libre, tenga que pasar gradualmente de prácticamente vertical en la pared de contacto, a horizontal en puntos alejados de la pared: lo que da lugar a que la superficie libre adquiera una curvatura: es el denominado “menisco”. En este caso el menisco formado, es convexo, y el líquido se dice que “moja” a la pared. En determinados líquidos, las fuerzas de cohesión intermolecular, son mayores que las de adherencia con las paredes, lo que lleva a que se tengan meniscos cóncavos, y el líquido se dice que “no moja” a la pared.

MOLECULA ALEJADA DE LA PARED......RESULTANTE DE FUERZAS.....MOLECULA CERCANA A LA PARED

FA

FC

FG

R

FA FA

FC

FG

R

FA

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1. LOS FLUIDOS

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Estrictamente, la geometría del menisco, depende de las propiedades de tensión superficial y adherencia, asociadas a un conjunto de: líquido-gas-sólido; es decir, la formación de una superficie libre de un líquido, por encima del cual hay un gas, y cerca de una determinada pared sólida. La superficie libre de una interfase líquido-gas (o líquido-líquido) en contacto con una pared sólida, adquiere una curvatura con un determinado ángulo de contacto; cuyo valor depende del conjunto líquido-gas-sólido; si el líquido moja a la superficie, el ángulo de contacto es menor de 90º; si el líquido no moja a la superficie, el ángulo de contacto es mayor de 90º:

θ <90º θ >90º

líquido moja la pared líquido no moja la pared

Así agua o etanol con superficie libre al aire y en contacto con vidrio tienen valores del ángulo de contacto prácticamente nulo (a temperatura normal de 20ºC): θ ≅ 0º; y en las mismas condiciones, el mercurio tiene un ángulo de contacto entre 130º y 150º.

CAPILARIDAD: cuando un tubo fino se introduce en la superficie libre de un líquido, el líquido asciende o desciende por el interior del tubo, debido a las fuerzas de tensión superficial y las fuerzas de contacto entre el líquido y las paredes del tubo. Este fenómeno se denomina capilaridad, y explica, por ejemplo, como asciende la savia por el tronco de un árbol.

La existencia de un determinado ángulo de contacto, explica el ascenso o descenso del líquido por el

interior del tubo, cuando este se introduce en un determinado líquido; si el líquido “moja” el ángulo de contacto es menor de 90º y se tiene un ascenso capilar del líquido por el tubo; si el líquido “no moja” el ángulo de contacto es mayor de 90º y se tiene un descenso capilar del líquido por el tubo:

θ σ.dl θ < 90 º h (ascenso capilar) D h (descenso capilar) θ > 90º

El equilibrio de fuerzas sobre la masa de líquido que asciende por el tubo capilar, se establece entre la componente vertical de las fuerzas de tensión superficial y el peso de la columna de líquido; este equilibrio da una expresión de la altura “h” a la que asciende (desciende si θ>90º) el líquido, que se denomina ley de JURIN:

Dg

cos4hρ

θσ= 1.16.

componente vertical de la fuerza de tensión superficial sobre el borde de contacto (de longitud π.D) = σ.π.D.cosθ fuerza vertical gravitaroria sobre la columna de fluido que asciende = mg = ρ.h.πD2/4 equilibrio de fuerza sobre la masa de fluido que asciende por el tubo capilar: σ π D cosθ = ρ h πD2/4 .... h = 4σ cosθ / ρgD

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1. LOS FLUIDOS

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Por los bajos valores de la tensión superficial, sólo son apreciables los ascensos-descensos capilares, en tubos de diámetros muy pequeños, que se denominan capilares; y que da el nombre al fenómeno. Así para agua en aire y tubos de vidrio, con valores del ángulo de contacto de aproximadamente 0º y tensión superfical con un valor de 0,0728 N/m, se tienen los siguientes valores del ascenso capilar, para distintos diámetros de los tubos:

h(mm) 297 29,7 2,97 0,29 D(mm) 0,1 1 10 100

En tubos capilares, el menisco es prácticamente un casquete esférico, con un radio de curvatura dado por:

R=r/cosθ, en donde r es el radio interior del capilar. A partir de la ley de LAPLACE, la sobrepresión asociada a la curvatura será: ∆p=2σ/R=2σ.cosθ/r; con lo que la altura a la que asciende el nivel del líquido será:

p 2 cos / r 2h cosg g gr

∆ σ⋅ θ σ= = = θ

ρ ρ ρ, que es la ecuación de JURIN

1.7. PRESIÓN, DENSIDAD Y TEMPERATURA.

La relación entre las variables presión, densidad y temperatura, viene determinada por la denominada ecuación térmica de estado: f(p,ρ, T) = 0; en el caso de considerar un gas ideal (no hay interacciones intermoleculares), esta ecuación es la dada por las leyes de BOYLE y CHARLES, o ecuación térmica de estado para un gas ideal:

p R T= ρ 1.17. La presión, puede definirse en un medio continuo, como la fuerza normal por unidad de área en el límite

de área nula (un punto): AF

limp n0A ∆

∆=

→∆

De una forma más estricta, en el estado de tensión de un fluido, se tienen esfuerzos tangenciales y

esfuerzos normales; existiendo 3 tensiones normales (en coordenadas cartesianas σx, σy, σz); las tensiones normales vienen determinadas por los esfuerzos viscosos normales y por la presión termodinámica:

σx = - p + τxx

σy = - p + τyy

σz = - p + τzz

El promedio de las tres tensiones normales (cambiado de signo), se denomina presión media:

x y z xx yy zz xx yy zzMEDIA

( p ) ( p ) ( p )p p

3 3 3σ + σ + σ − + τ + − + τ + − + τ τ + τ + τ

= − = − = −

En el caso de un fluido newtoniano, las tensiones viscosas son proporcionales a las componentes del gradiente de velocidad:

xx

yy

zz

u v w u2x y z x

u v w v2x y z y

u v w w2x y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂τ = λ + + + µ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂τ = λ + + + µ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂τ = λ + + + µ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

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1. LOS FLUIDOS

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con lo que la presión normal media para un fluido newtoniano es:

( )xx yy zz 2MEDIA 3

u v w u v w3 2x y z x y z u v wp p p p

3 3 x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ + + + µ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ + τ + τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = − = − λ + µ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( )2MEDIA 3

u v wp px y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂== − λ + µ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1.18.

De la ecuación anterior, se deduce, que para un fluido newtoniano, la presión normal media es igual a la

presión termodinámica, en dos casos:

- cuando el flujo es adivergente: u v wv ...cartesianas...x y z

∂ ∂ ∂∇ ⋅ = = + +

∂ ∂ ∂

r=0

- cuando se cumple la condición de STOKES: λ=-2µ/3 La presión isotrópica o termodinámica, establece un estado de tensión en el que las fuerzas de superficie

son normales y de módulo constante, y viene determinada a nivel molecular por el estado de agitación térmica. En el SI la unidad es el N/m2, que se denomina pascal, en honor a Blaise PASCAL, por ser el que

estableció el concepto escalar de la presión. Otras unidades de presión son: nombre de la unidad unidad factores de conversión

pascal Pa 1 Pa = 1 N/m2

bar bar 1 bar = 100 kPa milibar mbar 1 mbar = 100 Pa

metro de columna de agua mH2O 1 mH2O = 9,80665 kPa presión atmosférica estándar atm 1 atm = 101,325 kPa

milímetro de columna de mercurio mmHg 1 mmHg = (1/0,760) = 133,3 Pa Kilogramo f / centímetro cuadrado kg/cm2 1 kg/cm2 = 0,980665 bar

libra fuerza / pulgada cuadrada psi 1 psi = 6,893 kPa Como origen de presiones se toma: -la presión nula, obteniéndose presiones absolutas, -la presión atmosférica local (presión barométrica), obteniéndose presiones manométricas (para presiones mayores que la atmosférica) o presiones vacuométricas (para presiones menores que la atmosférica). La densidad en un punto se define por el límite del cociente de una fracción de masa (entorno al punto

considerado) por el volumen que ocupa, cuando el volumen tiende a cero (colapsa en el punto):

Vmlim

0V ∆∆

=ρ→∆

1.19.

Una definición más racional se ha dado en función de la estructura molecular de la materia, y en la

consideración de promedios de número de moléculas en un determinado volumen finito (Ec. 1.4)

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1. LOS FLUIDOS

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La temperatura absoluta, esta asociada conceptualmente al equilibrio térmico: dos sistemas están en equilibrio térmico cuando en contacto diatermo (no adiabático) ninguno de los dos sistemas cambian su estado de equilibrio, con lo que dos sistemas en equilibrio térmico tienen la misma temperatura.

La temperatura es una magnitud básica del SI y su unidad es el kelvin; que se define como 1/273,16 de la

temperatura absoluta del punto triple del agua (273,16 K). Otras unidades de temperatura son: nombre de la unidad unidad factores de conversión kelvin K 1 K = (1/273,16) tª punto triple agua

∆ºC = ∆K grado Celsius ºC tª(ºC) = tª(K) – 273,15

Rankine R 1 R = 1,8 K ∆ºF = ∆R grado Fahrenheit ºF tª(ºF) = tª(R) – 459,67

En la ecuación térmica de estado para un gas ideal (ec. 1.14.), R es la constante particular del gas

considerado10; que se obtiene por el cociente entre la constante universal de los gases (RU) y la masa molecular del gas (M):

MR

R U= 1.20.

La constante universal de los gases RU, tiene un valor en el sistema internacional de 8314 J/(kmol·K);

en la tabla siguiente se dan valores de las constantes “R” para algunos gases: Gas símbolo - fórmula densidad (kg/m3)

(0ºC, 1 atm) R (SI) J/(kg·K)

γ = cp/cv

helio He 0,178 5 2 078,1 1,66 aire ≈ 21% O2+79%N2 1,293 287,1 1,402 monóxido carbono CO 1,250 296,9 1,400 oxigeno O2 0,089 9 4 124.8 1,409 hidrógeno H2 1,429 259,8 1,399 dióxido carbono CO2 1,977 189,0 1,301 metano CH4 0,717 518,7 1,319

10 Le ecuación térmica de estado de un gas ideal en el ámbito termodinámico se expresa por: pV = nRuT; en donde “p” es la presión, “V” el volumen, “n” el número de moles, “RU” la constante universal de los gases, y “T” la temperatura absoluta; expresando el número de moles por el cociente entre la masa y la masa molecular (n=m/M), se tiene la expresión normalmente utilizada en Termodinámica: pv=RT, en donde aparece el volumen especifico (v=V/m) y la constante particular del gas considerado (R=RU/M); teniendo en cuenta que la densidad es la inversa del volumen especifico: ρ=1/v, se tiene la expresión de la ecuación térmica de estado para un gas ideal, que normalmente se utiliza en Mecánica de Fluidos: p = ρRT.

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1. LOS FLUIDOS

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1.8. PROBLEMAS RESUELTOS.

1.1. Flujo laminar sin gradiente de presión. Una placa de acero, se desliza sobre una capa de aceite, que esta soportada por un plano horizontal. Para mantener la velocidad de la placa constante, se le aplica una fuerza exterior, necesaria para equilibrar la fuerza de rozamiento viscoso del aceite sobre la placa. Despreciando los efectos de borde y considerando que el gradiente de presión en la dirección del flujo es nulo: DETERMINE: 1. Distribución de velocidades en el flujo de aceite en el movimiento uniforme. 2. Fuerza necesaria para mantener la placa en movimiento uniforme. DATOS: Placa: dimensiones: 1 m x 1 m x 5 mm; densidad: 7800 kg/m3; velocidad: 0,1 m/s Aceite: fluido newtoniano en régimen laminar: viscosidad: µ = 25,3 mPa·s; espesor: H=2 mm 1. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES: El campo de velocidades es unidimensional: j)·z(vv = , con lo que el campo de tensiones, tiene la misma dirección, y su módulo depende de la posición vertical: τ=τ(z). La distribución del módulo de las tensiones tangenciales, se puede determinar a partir del equilibrio del elemento de volumen de la figura anterior:

( ) A cte. 0d 0dx·dy·dx·dyd 0Fy ==τ≡=τ⇒=τ−τ+τ⇒=∑ Es decir, en todo el flujo la tensión tangencial entre partículas es constante. La constante se determinara con las condiciones de contorno del campo de velocidades. Para flujo unidimensional, la tensión tangencial de rozamiento viscoso viene determinada por la ley de Newton

de viscosidad: dzdv

xy µ=τ ; y como la tensión es constante, se obtiene la distribución del campo de velocidades:

Bz A v dzAdv dzdvA +

µ=⇒

µ=⇒µ==τ

Las condiciones de contorno son: las partículas de fluido que tocan la pared inferior (fija) están quietas, y las partículas de fluido que tocan la pared superior de la placa están a la velocidad de la propia placa (vp):

⇒µ=

=⇒

====

v

H A

0 B

v vHz0 v0z

pp

Hzvv p=

Es decir el perfil de velocidades es lineal; y esta es la característica de un flujo laminar sin gradiente de presión, al que se le suele denominar flujo de Couette.

2. FUERZA NECESARIA PARA MANTENER LA PLACA EN MOVIMIENTO UNIFORME: se determina por el producto del área mojada por la tensión de rozamiento viscoso que hace el fluido sobre ella:

Hv

A .cte nulopresión de gradiente

Hv

dzdv :general caso

A·Fp

placa

p

placaplaca

mojadaplacaplaca

µ===τ⇒

µ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛µ=τ

τ=

N 1,175 Fplaca ==µ=τ= − 23pmojadaplaca m1

mm2s/mm100)s·Pa10·5,23(A·

Hv

vp

y´s

z´s

p·dz·dx

(τ+dτ)·dy·dx

τ·dy·dx

v+dv v

dz

dy

p·dz·dx

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1. LOS FLUIDOS

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1.2. Plástico de Bingham: Se dispone de un tubo vertical lleno de líquido, abierto por la parte superior y cerrado por la inferior por un tapón. Al quitar el tapón, el líquido empieza a moverse por su propio peso; pero en el caso de que el líquido se comporte reológicamente como un plástico de BINGHAM, el establecimiento del flujo depende del diámetro del tubo: existe un diámetro crítico, por debajo del cual, las fuerzas gravitatorias no superan a las de rozamiento debidas a la tensión umbral del plástico. DETERMINE: 1. Diámetro crítico, para que el liquido se empiece a mover por su propio peso. 2. Presión que se debe realizar para establecer el flujo, si el diámetro es la mitad del crítico. DATOS: plástico de Bingham: tensión umbral: τ0 = 85 Pa densidad: ρ = 800 kg/m3 Tubo: diámetro interior: D Longitud: L = 200 mm. No considerar las fuerzas de tensión superficial. RESULUCIÓN: (1) Diámetro crítico. Al quitar el tapón, y establecerse el flujo, tanto la superficie libre, como el chorro libre, están a la presión atmosférica, con lo que no hay gradiente de presión en la dirección del fljujo; siendo las fuerzas gravitacionales las que equilibran la fuerza de rozamiento viscoso del líquido sobre las paredes del tubo:

2

z 0r R

D duF 0 - g L D L4 dz =

⎡ ⎤π ⎛ ⎞Σ = ⇒ ρ + τ + π ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Para que el flujo se pueda establecer, el peso debe superar a la fuerza viscosa umbral del plástico de Bingham:

2

0D g L D L4

πρ > τ π ⋅ 04

D>gτ

⇒ρ

04 4 85D 0,0434 m 43, 4 mmg 800 9,8τ ⋅

> = = =ρ ⋅

Es decir, si el diámetro del tubo es menor de 43,4 mm, no hay flujo; y si es mayor el propio peso es capaz de establecer el flujo. (2) Presión para establecer el flujo: En el caso de que el diámetro sea menor que el crítico, la presión manométrica, que se debe hacer sobre la superficie libre del líquido, debe dar lugar a una fuerza, que junto con el peso de toda la columna de líquido, equilibre la fuerza viscosa debida a la tensión umbral que actúa sobre toda la superficie lateral interior del tubo:

2 2

0D Dp g L DL4 4

π π⋅ + ρ > τ π

04 L 4 85 0, 200p gL 800 9,8 0,200 1566 PaD 0,0434 / 2τ ⋅ ⋅

> − ρ = − ⋅ ⋅ =

L

D

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1. LOS FLUIDOS

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1.3. Ley de Newton de viscosidad: Un eje vertical se desliza por el interior de un cilindro; entre ellos hay un aceite muy viscoso. El movimiento del eje se establece por su propio peso, que sería uniformemente acelerado, pero debido a la acción de las fuerzas viscosas sobre la superficie de contacto del eje con el aceite, el movimiento es tal, que se va acelerando hasta que se alcanza una velocidad de equilibrio, a partir de la cual, el movimiento es uniforme. Despreciando los efectos de borde, y considerando que en el flujo del aceite, el perfil de velocidades es lineal (gradiente de velocidad constante) DETERMINE: 1. Velocidad de equilibrio del movimiento uniforme del eje. 2. Evolución temporal de la velocidad. DATOS: Eje: diámetro: D = 30 mm; masa: m = 500 gramos. longitud mojada: Lm = 250 mm Aceite: viscosidad absoluta: µ = 0,3 Pa.s Huelgo entre eje y cilindro: H = 2 mm. Cierres: fuerza de rozamiento: FR = 4,7 N RESOLUCIÓN: Equilibrio de fuerzas en la dirección vertical:

zdvF mdt

Σ =

z g RF F F FµΣ = − − ;

Las fuerzas de rozamiento se oponen al movimiento, y por tanto tienen signo negativo; la fuerza gravitacional va en sentido del movimiento y por tanto es positiva (hemos considerado positivo el sentido descendente).

gF mg=

pared mojada mpared

duF A DLdrµ

⎛ ⎞= τ = µ π⎜ ⎟⎝ ⎠

El perfil de velocidades se toma lineal por dato del problema, con lo que el gradiente de velocidades es constante en cualquier posición radial, e igual a:

r eje cilindro

du u v 0 vdr r r r H∀

∆ −⎛ ⎞ = = = −⎜ ⎟ ∆ −⎝ ⎠ ;

El signo negativo, evidencia que las fuerzas viscosas se oponen al movimiento; no obstante, ya habíamos tenido

en cuenta el signo, al considerarla una fuerza de rozamiento; con lo que las fuerzas viscosas son: mvF DLHµ = µ π

Con todo, la ecuación de equilibrio de fuerzas da:

mR

DL dvmg v F mH dt

µπ− ⋅ − = R mF DL dv g v

m mH dtµπ⎛ ⎞≡ − − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ [1]

v

uv

v=v(t)

Lm

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1. LOS FLUIDOS

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(1) El equilibrio se alcanza con dv/dt=0, es decir con R mF DLg v 0

m mHµπ⎛ ⎞− − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

con lo que la velocidad final de equilibrio es:

( ) ( )R

m

mg F H 0,500 9,8 4,7 0,0020,05659 m/s =

DL 0,3 0,030 0, 250− ⋅ −

= = =µπ ⋅ π ⋅ ⋅Ev 56,59 mm/s

(2) La integración de la ecuación diferencial [1], da la evolución temporal de la velocidad:

R m

dv[1] dtF DLg vm mH

⇒ =µπ⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

R mv t

R m Rmv 0 t 0

F DLg vdv -mH m mHdt ln t

F DL FDLg v gm mH m

= =

⎡ µπ ⎤⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= ⇒ =µπ µπ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( ) mDL

tR mH

m

mg F Hv 1

DLe

−µπ⋅⎡ ⎤−

= −⎢ ⎥µπ ⎣ ⎦

Evidentemente, con ( )R

Em

mg F Ht v v

DL−

→ ∞ = =µπ

Es decir, la velocidad de equilibrio se alcanzaría asintóticamente en tiempo infinito. No obstante, con los datos numéricos, se obtiene que prácticamente al cabo de 2 segundos, se alcance la velocidad de equilibrio: Numéricamente, la evolución temporal de la velocidad queda como: 7,069 t (s)v(mm / s) 56,59 1 e ⋅⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ v(mm/s)

tiempo (s) velocidad(mm/s) 0 0,0000

0,001 0,3986 0,01 3,8622 0,1 28,6815 0,2 42,8263 0,3 49,8022 0,4 53,2424 0,5 54,9391 0,6 55,7758 0,7 56,1885 0,8 56,3920 0,9 56,4923 1 56,5418

1,1 56,5662 1,2 56,5783 1,3 56,5842 1,4 56,5872 1,5 56,5886 1,6 56,5893 1,7 56,5897 1,8 56,5898 1,9 56,5899 2 56,5900

2,1 56,5900 2,2 56,5900 2,3 56,5900 2,4 56,5900 2,5 56,5900

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

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1. LOS FLUIDOS

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07

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1.4. Cojinetes cilíndricos. Un eje horizontal se aloja en el interior de una cojinete, entre los que se interpone un aceite. Suponiendo una distribución lineal de velocidad en el aceite y despreciando los efectos de borde: DETERMINE: 1. Fuerza de rozamiento producida por el aceite si el eje se desplaza axialmente a una

velocidad constante U. 2. La potencia requerida cuando se le hace girar a una velocidad angular constante ω (el eje no

se desplaza axialmente). DATOS: Aceite: fluido newtoniano en régimen laminar: viscosidad: µ = 320 cP Eje: diámetro: De = 100 mm; velocidades: U = 0,3 m/s; ω = 200 rpm Cojinete: diámetro: Dc=104 mm; longitud: L = 400 mm RESOLUCIÓN: 1. FUERZA DE ROZAMIENTO EN MOVIMIENTO UNIFORME LINEAL EN DIRECCIÓN AXIAL: Por ser la distribución de velocidades lineal, la tensión de rozamiento en cualquier posición vertical del flujo es constante (=µU/H).

( )ROZ ROZ CONTACTO

ROZ ROZ CONTACTO ROZ CONTACTO ejeROZ

y H

dF dA U F dA A L Ddu UH

dy H=

= τ ⋅⎛ ⎞= τ ⋅ = τ ⋅ = µ ⋅ ⋅ π⎛ ⎞ ⎜ ⎟τ = µ = µ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫

( ) ( )3ROZ eje

U 0,3F L D 320 10 0,400 0,100H 0,002

−⎛ ⎞⎛ ⎞= µ ⋅ ⋅ π = ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 24,13 N

2. POTENCIA DE GIRO EN MOVIMIENTO UNIFORME CIRCULAR:

ROZ eje ROZ

ROZ ROZ contacto 2eje

eje ROZ eje ROZ eje ROZ contacto eje ejeROZ 0

y H

contacto eje

dM R dF

dF = dA R

R M R dF R dA R L R dduH

dy H

dA L R d

π

=

= ⋅

τ ⋅ω

ω = ⋅ = ⋅ τ ⋅ = ⋅µ ⋅ ⋅ ⋅ θ⎛ ⎞τ = µ = µ⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⋅ ⋅ θ

∫ ∫ ∫

Con lo que la potencia necesaria para vencer el momento de rozamiento es:

3 3 2 3eje eje2 3

ROZ

2 L R 2 L R 2 2 0,400 0,050Pw M 320 10 200H H 60 0,002

−⎛ ⎞π ⋅ π ⋅ π π ⋅ ⋅⎛ ⎞= ω⋅ = ω⋅ µω = µω = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

22,05 W

ωReje

H ejeRu y

= y ω

ωReje τ dθ

dAcontacto=LRejedθ

U

U

H Uu yH

= y

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1. LOS FLUIDOS

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1.5. Flujo laminar con gradiente de presión. Se considera un fluido entre dos placas planas horizontales y fijas; el flujo se establece por un gradiente de presión negativo. Una vez establecido el flujo (régimen estacionario), el caudal por cualquier sección recta es constante, dependiendo del propio gradiente, la viscosidad del fluido y del huelgo entre placas. DETERMINE: 1. Distribución de tensiones tangenciales.

2. Distribución de velocidades. 3. Ecuación del caudal. 4. Gradiente de presión para poder establecer el caudal dado. 5. Fuerza de rozamiento sobre cada una de las placas, en cada metro de recorrido. DATOS: Fluido newtoniano en régimen estacionario y laminar viscosidad: 326,3 mPa·s; caudal: 3,2 litros/minuto. Placas: huelgo: H=2 mm; profundidad: a = 1 m 1. DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES: por ser el flujo laminar, el campo de velocidades es unidimensional: j·vv = . Por ser el flujo estacionario, el perfil de velocidades no varia en la dirección de avance del flujo, con lo que el módulo de la velocidad solo varia con la posición vertical de las partículas: v=v(z). Con todo, el tensor de

tensiones solo tiene una componente: dzdv

yz µ=τ ; como la velocidad sólo depende de la posición vertical, de

forma análoga la tensión tangencial también solo varía con la posición vertical. La distribución de las tensiones tangenciales, se puede determinar a partir del equilibrio dinámico en la dirección del flujo, en el elemento de volumen de la figura anterior:

( ) ... dzyp

d0dx·dy·dx·dz·dyyp

pdx·dydp·dz·dx0Fy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=τ=τ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−τ+τ+⇒=∑

En régimen estacionario, el gradiente de presión en la dirección del flujo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂yp

es constante, con lo que se

obtiene que la distribución de tensiones tangenciales es lineal: Az·yp

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

La constante de integración, se determinara con las condiciones de contorno del campo de velocidades 2. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES: a partir de la ley de Newton de viscosidad, la tensión tangencial viene determinada por el gradiente de velocidad; lo que permite obtener la distribución de velocidadades:

BAz2

zyp1vdzAz

yp1dvAz·

yp

dzdv 2

+⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µ=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µ=⇒+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=µ=τ ...

Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno: las partículas de fluido que tocan las placas (fijas) están paradas (velocidad nula);

0B yp

2H-A ..... BAH

2H

yp10 B0A

20

yp10

22=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=+⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µ=∧+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µ=

y´s

z´s

p

τ+dτ

τ

v+dv v

dz

dy

dyypp

∂∂

+

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1. LOS FLUIDOS

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Obteniendo una distribución parabólica de velocidades: ( )Hzzyp

21v 2 −⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µ=

que es la característica de un flujo laminar con gradiente de presión, al que se le denominar flujo de Poiseuille.

3. ECUACIÓN DEL CAUDAL: [ ] ( ) ( )∫∫∫∫=

=

=

=−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µ=⋅=⋅=

Hz

0z

2Hz

0zAadz·Hzz

yp

21j·dz·aj)z(vAdvQ

integrando se obtiene el caudal volumétrico que pasa por cualquier sección recta: µ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

=12aH

yp

Q3

evidentemente, para que el caudal sea positivo, el gradiente de presión en la dirección del flujo, debe ser negativo; es decir conforme el flujo avanza, la presión va disminuyendo. 4. GRADIENTE DE PRESIÓN PARA ESTABLECER UN CAUDAL DE 3,2 litros/minuto: de la ecuación anterior el gradiente de presión es:

( ) ( )

( ) ( ) bar/m 0,261Pa/m 26104m002,0·m1

s/m60

102,3·s·Pa10·3,326·12

aHQ12

yp

33

33

3

3−=−=−=

µ−=

∂∂

−−

5. FUERZA DE ROZAMIENTO SOBRE LAS PAREDES: ∫∫ τ=Amojada

mojadaparedpared dA·F

Las tensiones son tangenciales a las placas, con lo que la fuerza de rozamiento es tangencial a la placa y de sentido contrario al de avance. Su módulo viene determinado por el valor del gradiente de velocidad en la pared:

PARED INFERIOR: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µµ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛µ=τ

= yp

2HH0·2

yp

21

dzdv

0zpared

PARED SUPERIOR: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

µµ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛µ=τ

= yp

2HHH·2

yp

21

dzdv

Hzpared

Evidentemente en las dos paredes la fuerza de rozamiento es la misma:

N104,26m1·m/Pa26104·2

m002,0A·yp

2HA·F 2

mojadamojadaparedpared =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=τ=

con lo que la fuerza sobre las dos paredes es de 52,208 N

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1. LOS FLUIDOS

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1.6. Viscosímetro de cilindros concéntricos. Un viscosímetro de cilindros coaxiales, consta de un cilindro vertical de acero inoxidable, totalmente inmerso en el fluido cuya viscosidad se quiere medir. Puede girar dentro de un recipiente cilíndrico, debido al accionamiento de un motor eléctrico solidario con el eje del cilindro interior, que le transmite un par constante. Considerando que entre la pared fija y la móvil el perfil de velocidades es líneal: DETERMINE: 1. Viscosidad del fluido en función de la velocidad de giro estacionaria alcanzada y de la

potencia consumida por el motor eléctrico. 2. Viscosidad en S.I. y en C.G.S. DATOS: Motor: potencia consumida: 1,24 W; rendimiento: 96 %; velocidad de giro: ω = 300 rpm Cilindros: longitud: L = 400 mm; diámetros: De = 56 mm; Di = 50 mm RESOLUCIÓN:

ROZ eje ROZ

ROZ ROZ 2 3

ROZ ROZ ROZROZ 0

y H

dM R dF

dF = dA R 2 LR M R dF R dA R L R ddu R

H Hdy H

dA L R d

π

=

= ⋅

τ ⋅ω π

= ⋅ = ⋅ τ ⋅ = ⋅µ ⋅ ⋅ ⋅ θ = µω⎛ ⎞ ωτ = µ = µ⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⋅ ⋅ θ

∫ ∫ ∫

La potencia consumida por el motor eléctrico es: motor

motor

MPw

ω⋅=

η; con lo que de las dos ecuaciones se tiene el

cálculo de la viscosidad absoluta:

2 3

Pw H2 LR

η⋅µ =

ω π

Numéricamente: η = 0,96 ω = 300 rpm = 300·π/30 = 31,416 rad/s Pw = 1,24 W H = (De-Di)/2 = (56-50)/2 = 3 mm = 0,003 m L = 0,400 m R = Di/2 = 50/2 = 25 mm = 0,025 m

2 3 2 3

Pw H 0,96 1,24 0,0032 LR 31,416 2 0,4 0,025

η⋅ ⋅µ = =

ω π π ⋅ ⋅ = 92,14·10-3 kg/ms = 92,14 cP

3

32

kg 10 gr 1 m1 kg/ms = 1 10 gr/(cm s) = 10 P = 10 cPm s 1kg 10 cm

= ⋅⋅

ωR

H y

ω ωR

ωR

τ τ

dA

u=Uy/H

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1. LOS FLUIDOS

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31

1.7. Viscosímetro de cilindros concéntricos: tiempo de parada. En el viscosímetro del ejercicio anterior, se quiere evaluar el tiempo de parada, que transcurre desde que se desacopla del motor eléctrico hasta que por efecto del rozamiento con el aceite, el cilindro interior se para. Considerando que no hay gradientes radiales de presión en el aceite y lo efectos de borde son equivalentes a un momento de rozamiento constante. DETERMINE: 1. La evolución temporal de la velociad de giro: ω=ω(t). 2. El tiempo de parada. DATOS: Motor: potencia consumida: 1,24 W; rendimiento: 96 %; velocidad de giro: ω = 300 rpm Cilindro interior: longitud: L = 400 mm; diámetro D = 50 mm; densidad: ρ = 7800 kg/m3. Aceite: espesor: H = 3 mm; viscosidad: µ =92,14 mPa·s Momento de rozamiento de los efectos de borde: MR = 0,012 Nm Momento de inercia de un cilindro respecto a su eje: I=mR2/2 RESOLUCIÓN: (1) EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA VELOCIDAD DE GIRO: ω=ω(t)

La ecuación del movimiento de giro, en el eje vertical es: dtdIM ω

=∑

En donde “ΣM” son los momentos que actúan sobre el cilindro interior, girando a una velocidad “ω” y con un momento de inercia (respecto al eje de giro) “I”. Sobre el cilindro girando, los momentos que actúan son los de rozamiento: el debido a los efectos de borde (Mr) y el debido al rozamiento con el aceite:

ROZ eje ROZ

ROZ ROZ 2 3

ROZ ROZ ROZROZ 0

y H

dM R dF

dF = dA R 2 LR M R dF R dA R L R ddu R

H Hdy H

dA L R d

π

=

= ⋅

τ ⋅ω π

= ⋅ = ⋅ τ ⋅ = ⋅µ ⋅ ⋅ ⋅ θ = µω⎛ ⎞ ωτ = µ = µ⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⋅ ⋅ θ

∫ ∫ ∫

Con lo que la ecuación diferencial del movimiento de giro es: dtd

2mR

HLR2M

23r

ω=

⎟⎟

⎜⎜

⎛ πµω+−

El signo negativo de los momentos, es por ser momentos que se oponen al giro del cilindro (son de rozamiento).

Expresando la masa del cilindro en función de su densidad y volumen, se tiene: LRm 2ρπ= Con lo que la Ec. diferencial del movimiento es:

dtd

2LR

HLR2M

43r

ωρπ=

⎟⎟

⎜⎜

⎛ πµω+− ≡ dt

HLR2M

d2LR

3r

4=

ωµπ

+

ωρπ−

ωR

H y

ω ωR

ωR

τ τ

dA

u=Uy/H

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1. LOS FLUIDOS

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La integración de la ecuación anterior, da la evolución temporal de la velocidad de giro:

∫∫ =

ωµπ

+

ωρπ−

ω

ω

t

003

r

4dt

HLR2M

d2LR

⇒ tH

LR2MlnLR2

H2LR

0

3r3

4=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ω

µπ+

µπ

ρπ−

ω

ω

t

HLR2M

HLR2M

ln4RH

03

r

3r

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

ωµπ

+

ωµπ

+

µρ

− … ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

µπ−ω=ω ρ

µ−

ρµ

− ee tRH4

3rt

RH4

0 1LR2

HM

(2) TIEMPO QUE TARDA EL CILINDRO EN PARARSE:

con ω = 0, se obtiene el tiempo de parada: ⎟⎟

⎜⎜

⎛ω

µπ+

µρ

= 0r

3parada HM

LR21ln4RHt

Numéricamente: ρ = 7800 kg/m3 µ = 92,14 mPa·s = 0,09214 Pa·s L = 0,400 m R = Di/2 = 50/2 = 25 mm = 0,025 m H = 3 mm = 0,003 m Mr = 0,012 Nm

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

π−=ω

−− ee t003,0·025,0·7800

09214,0·4

3t

003,0·025,0·780009214,0·4

109214,0025,0·400,02

012,0·003,0416,31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=ω

−− ee t·63,0t·63,01949,9416,31

=⎟⎟

⎜⎜

⎛ π+= 416,31

012,0·003,009214,0025,0·400,021ln

09214,0·4003,0·025,0·7800t

3parada 2,27 s

Page 33: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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33

1.8. Ley de Newton de viscosidad: Una masa “m” ejerce un momento constante sobre el cilindro de la figura; parte del cual, gira en el interior de un cojinete en el que hay un liquido muy viscoso. Inicialmente el sistema esta parado, y en el momento de liberar el contrapeso, el cilindro vaya adquiriendo una velocidad de giro, continuamente creciente, hasta que alcanza una velocidad de giro constante. DETERMINE: 1. Velocidad de giro en el equilibrio. 2. Evolución temporal de la velocidad de giro. DATOS: Eje: diámetro: D = 60 mm; masa: m = 500 gramos. longitud mojada: Lm = 100 mm Aceite: viscosidad absoluta: µ = 2 Pa.s Huelgo entre eje y cilindro: H = 4 mm. Contrapeso: masa: M = 100 gramos Suponer gradiente de velocidad del lubricante, constante. RESOLUCIÓN:

Equilibrio de momentos en la dirección axial: zdM Idtω

Σ =

z contrapeso rozamiento viscosoM M MΣ = −

El momento debido a las fuerzas de rozamiento viscoso, del aceite sobre la pared mojada del cilindro, son de signo negativo, es decir frenan el giro del cilindro; en cambio el momento debido al contrapeso, es positivo y es el que acelera el giro del cilindro.

contrapesoM Mg R= ⋅

( ) 2 2vis cos o pared m pared m m

pared

duM F R 2 RL R 2 R L 2 R Ldyµ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = τ π ⋅ = τ π = µ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

considerando gradiente de velocidad constante: du Rdt H

ω= se tiene:

32 m

vis cos o m2 R LRM 2 R L

H Hπµµω

= π = ⋅ω

ω=ω(t)

ωR u

y

x

Page 34: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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34

El momento de inercia, de un cilindro respecto a su eje es: 2mRI

2=

Con todo la ecuación diferencial de momentos es: 3 2

m2 R L mR dMgRH 2 dt

πµ ω− ⋅ω = [1]

(1) El régimen uniforme se alcanza con dω/dt=0, es decir: 3

m2 R LMgR 0

Hπµ

− ⋅ω =

con lo que la velocidad final de equilibrio es:

3 2 2m m

MgRH MgH 0,050 9,8 0,003 60s 1revol.0,3656rad/s = 0,3656 3,491min 2 rad2 R L 2 R L 2 4 0,040 0,1

⋅ ⋅= = = = =

ππµ πµ π⋅ ⋅ ⋅Eω rpm

(2) La integración de la ecuación diferencial [1], da la evolución temporal de la velocidad de giro:

2

3m

mR / 2 d dt2 R LMgR

H

ω =πµ

− ⋅ω; cuya integración es:

t2

3m 0 t=0

mR / 2 d dt2 R LMgR

H

ω

ω=

ω =πµ

− ⋅ω∫ ∫

2

m

m

2 R LmH ln 1 w t4 RL MgH

⎛ ⎞πµ−⋅ − ⋅ =⎜ ⎟πµ ⎝ ⎠

m

2m

4 RL tmHMgH(t) 1

2 R Le

πµ− ⋅⎛ ⎞ω = ω = −⎜ ⎟⎜ ⎟πµ ⎝ ⎠

Evidentemente con t → ∞ , la velocidad de giro es la de equilibrio final: E 2m

MgH2 R L

ω =πµ

Es decir, la velocidad de giro de equilibrio se alcanzaría asintóticamente en tiempo infinito. No obstante, con los datos numéricos, se obtiene que prácticamente al cabo de 0,5 segundos, se alcanza el régimen de equilibrio: Numéricamente la evolución temporal de la velocidad de giro es:

( )m 4 4 0,040 0,14 RL tt 22,34 t(s)3 0,003mH(rad / s) 0,3656 1 0,3656 1 0,3656 1e e e

π⋅ ⋅ ⋅πµ − ⋅− ⋅ − ⋅⋅⎛ ⎞⎛ ⎞

ω = ⋅ − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r.p.m.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

tiempo(s)

velocidad giro

(rpm) 0 0,0000

0,001 0,0771 0,1 3,1173 0,2 3,4512 0,3 3,4869 0,4 3,4908 0,5 3,4912 0,6 3,4912 0,7 3,4912 TIEMPO (s)

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1. LOS FLUIDOS

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35

1.9. Flujo laminar en tuberías: en el flujo en tuberías, considerando un flujo axisimétrico, se puede obtener que en cualquier sección transversal, el campo de tensiones viscosas, es puramente axial, de valor nulo en el centro de la tubería y aumentando linealmente hasta la pared. Para obtener el campo de velocidades, es necesario conocer el comportamiento reológico del fluido; en este caso se van a considerar tres tipos de fluidos en régimen laminar: (a) fluido newtoniano, (b) plástico de Bingham y (c) pseudoplástico. DETERMINE: 1. El campo de tensiones: τ = τ(r) para cualquier fluido. 2. Para cada uno de los tres fluidos: 2.1. El campo de velocidades: u=u(r); 2.2. La ecuación de la perdida de presión piezométrica. 2.3. La perdida de presión, para una tubería horizontal de 1 m de longitud. DATOS: Flujo incompresible, estacionario, laminar. (a) fluido newtoniano: τ = µ(du/dr) µ : viscosidad absoluta (b) plástico de Bingham τ = τ0+µ(du/dr) τ0 : tensión viscosa umbral (c) pseudoplástico: τ = κ(du/dr)n k : índice de consistencia (Ec. Ostwald-de Waele) n : exponente del gradiente numéricos: µ = 12 cP ; τ0 = 24 Pa; k = 5 Ns0,7/m2; n = 0,7 D = 40 mm; Q = 0,5 litros/segundo RESOLUCIÓN:

1. EL CAMPO DE TENSIONES: τ = τ(R) PARA CUALQUIER FLUIDO. Por ser el flujo estacionario incompresible, el caudal volumétrico es constante, lo que lleva a que el elemento de volumen de la figura anterior, se mueva sin aceleración, en un movimiento uniforme, con lo que el balance de fuerzas es nulo:

axial xdF dF 0Σ = Σ = En la dirección axial “x”, se tienen las siguientes fuerzas: Fuerzas másicas: mdF g dm sen g 2 r dr dx sen g 2 r dz dr= − ⋅ ⋅ α = − ⋅ρ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ α = −ρ ⋅ π ⋅ ⋅ Fuerzas de presión: ( )pdF p 2 r dr p dp 2 r dr dp 2 r dr= ⋅ π ⋅ − + ⋅ π ⋅ = − ⋅ π ⋅

Q

p

u=u(r)

r

pp dxx

∂+

dx τ

p

pp dxx

∂+

τ+dτ

τ+dτ

τ dr

x’s

α

g.dm

dz dx

dFmx

dr

r

dA=2πrdr

Page 36: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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36

Q

τ=τ(r) r

R

paredd(p gz) R

dx 2+ ρ⎡ ⎤τ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Fuerzas de rozamiento viscoso11:

( ) ( )dF 2 r dx d 2 (r dr) dx 2 r r dr d dr dx 2 d( r) dxµ = −τ ⋅ π ⋅ + τ + τ ⋅ π + ⋅ = π −τ + τ + τ + τ = π ⋅ τ ⋅ Con todo, el balance de fuerzas axiales es:

g dz 2 rdr dp 2 rdr d( r) 2 dx 0−ρ ⋅ ⋅ π ⋅ − ⋅ π ⋅ + τ ⋅ π ⋅ = ⇒ d(p gz)d( r) rdrdx+ ρ

τ = ⋅

ecuación diferencial, que integrada permite obtener el campo de tensiones:

2d(p gz) rr Adx 2+ ρ

τ = ⋅ + ⇒ d(p gz) r A=dx 2 r+ ρ

τ ⋅ +

La constante de integración, A, tiene que ser de valor nulo, para deshacer la indeterminación de la tensión en el centro de la tubería (r=0). Con lo que el campo de tensiones queda:

d(p gz) rdx 2+ ρ

τ = ⋅

de donde se observa, que es lineal, de valor nulo en el centro. El término “p+ρgz” (suma de la presión absoluta y la presión hidrostática, se denomina presión piezométrica), y el termino d(p+ρgz)/dx es el gradiente de la presión piezométrica en la dirección axial. Debido a que las tensiones viscosas, siempre se oponen al movimiento del fluido, el término del gradiente de presión piezométrica, será por tanto también negativo; es decir va disminuyendo aguas abajo. En el caso de tuberías horizontales, el gradiente es el de la presión absoluta, y por tanto ésta va disminuyendo aguas abajo; es decir hay una disminución de presión aguas abajo. En el caso de tuberías inclinadas ascendentes, la perdida de presión es mas acusada que en el caso horizontal. Si la tubería inclinada, tiene el flujo descendente, la presión piezométrica disminuye, pero la presión puede aumentar o disminuir en función del ángulo de inclinación.

11 El fluido por el interior del elemento de volumen, se supone inicialmente que va mas lento que el propio elemento, con lo cual su fuerza de rozamiento va en contra del movimiento; en cambio el fluido exterior va más rápido y por tanto arrastra al elemento en el sentido del movimiento; de lo cual se deduce los sentidos de las dos fuerzas de rozamiento.

GRADIENTE DE PRESIÓN

PIEZOMÉTRICA (p gz) 0

x∂ + ρ

>∂

Page 37: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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37

2. CASOS PARTICULARES: en los 3 casos, vamos a considerar que no hay esfuerzos viscosos por la vorticidad del flujo (esfuerzos de Reynolds), con lo que los esfuerzos viscosos son proporcionales al gradiente de velocidades: estamos en régimen laminar. La ecuación obtenida anteriormente para el valor de la tensión

tangencial, la expresaremos genéricamente como: 2r

drdp

=τ , en donde “dp” representa la variación de la presión

piezométrica (ppiezométrica=p+ρgz ) que coincide con la variación presión para tuberías horizontales: (a) FLUIDO NEWTONIANO. El flujo es axisimétrico, y el módulo del campo de velocidades, se obtiene a

partir de la ecuación de Newton de viscosidad: dudr

τ = µ ; que junto con la ecuación del campo de tensiones,

nos da el gradiente de velocidad: du 1 1 dp r 1 dp rdr dx 2 2 dr

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ τ = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; 1 dpdu rdr

2 dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟µ ⎝ ⎠

cuya integración, permite obtener el campo de velocidades: 21 dp ru A

2 dx 2⎛ ⎞= +⎜ ⎟µ ⎝ ⎠

la constante de integración, se obtiene por la condición de contorno, de que en la pared el flujo esta parado:

221 dp R 1 dp0 A A= R

2 dx 2 4 dx−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

con lo que el campo de velocidades es: ( )2 21 dpu R r4 dx

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟µ ⎝ ⎠

El perfil de velocidades es parabólico; evidentemente, el modulo de la velocidad (u), es siempre positivo (en el sentido del flujo), con lo que se tiene que el gradiente de presiones debe ser negativo: conforme el fluido avanza, la presión disminuye. La perdida de presión, se determina a partir del cálculo del caudal volumétrico (constante):

( ) r=R r=R

42 2

r=0 r=0

1 dp R dpQ v dA ... u 2 rdr R r 2 rdr ...4 dx 8 dx

− π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = = ⋅ π = − ⋅ π = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫rr

con lo que la perdida de presión por unidad de longitud de tubería es: 4

dp 128dx D Q

− µ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ π⎝ ⎠ [2]

que se denomina ecuación de HAGEN-POISEUILLE. La aplicación de esta ecuación, permite construir un viscosímetro, en donde midiendo la perdida de presión por unidad de longitud, se puede determinar la viscosidad. El instrumento fue construido por POISEUILLE, y en su honor, la unidad de viscosidad en sistema CGS, recibe el nombre de POISE: 1 P = 1g/cms (b) PLÁSTICO DE BINGHAM. De forma similar al apartado anterior se tiene, para el flujo laminar de un

plástico de Bingham: 0dudr

τ = τ + µ ; ( ) 00 0

du 1 1 dp r 1 dp rdr dx 2 2 dr

τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ τ − τ = ⋅ ⋅ − τ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

01 dpdu r dr2 dx

τ⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥µ µ⎝ ⎠⎣ ⎦

cuya integración, permite obtener el campo de velocidades: 2

01 dp ru r A2 dx 2

τ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟µ µ⎝ ⎠

la constante de integración, se obtiene por la condición de contorno, de que en la pared el fluido esta parado:

220 01 dp R 1 dp0 R A A= R R

2 dx 2 4 dxτ τ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 38: 1. los fluidos 0708

1. LOS FLUIDOS

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38

con lo que el campo de velocidades es: ( ) ( )2 2 01 dpu R r R r4 dx

τ−⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟µ µ⎝ ⎠

La perdida de presión, se determina a partir del cálculo del caudal volumétrico (constante):

( ) ( ) r=R r=R

342 2 0 0

r=0 r=0

R1 dp R dpQ v dA ... u 2 rdr R r R r 2 rdr ...4 dx 8 dx 3

τ π τ⎡ ⎤− π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = = ⋅ π = − + − ⋅ π = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥µ µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫rr

con lo que la perdida de presión por unidad de longitud de tubería es: 04

16dp 128 Qdx 3DD

⋅ τ− µ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ π⎝ ⎠ [3]

(c) PSEUDOPLÁSTICO, siguiendo la ecuación de OSTWALD-de WAALE: nduk

dr⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1/ n1/ n

1/ n 1/ n1/ n 1/ n

du 1 1 dp r 1 dp rdr dx 2 2k drk k

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ τ = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1/ n1/ n1 dpdu r dr

2k dx⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

cuya integración, con la condición de contorno u=0 en r=R; permite obtener el campo de velocidades:

1/ n n 1 n 1

n n1 dp nu R r2k dx n 1

+ +⎛ ⎞⎡ − ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

La perdida de presión, se determina a partir del cálculo del caudal volumétrico (constante):

3n 1 r=R r=R 1/ n 1/ nn 1 n 1 nn n

r=0 r=0

1 dp n 1 dp nRQ v dA u 2 rdr u R r 2 rdr2k dx n 1 2k dx 3n 1

++ +⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ π = = − ⋅ π =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫rr

con lo que la perdida de presión por unidad de longitud de tubería es:

n

3n 1n

dp 3n 12k Qdx

nR+

⎛ ⎞− +⎛ ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎝ ⎠ [4]

Valores numéricos de la perdida de presión, en una tubería horizontal:

Fluido newtoniano: ec. [2]: 3 3

4 4

128 Q 128 12 10 2 10p 382 PaD 0,040

− −µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−∆ = = =

π π⋅ ⋅

Plástico de Bingham: ec. [3]: ( )3 3

04 4

16 2416128 Q 128 12 10 2 10p 3582 Pa3D 3 0,040D 0,040

− − ⋅ −τµ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−∆ = − = − =

⋅π π⋅

Pseudoplástico: ec. [4]:

0,7n

33n 1 3 0,7 1

n 0,7

3n 1 3 0,7 1p 2k Q 2 5 2 10 607 PanR 0,7 0,020

−+ ⋅ +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟−∆ = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ π ⋅⎝ ⎠

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1. LOS FLUIDOS

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39

0

100

200

300

400

500

0 50 100 150

1.10. Variación de la viscosidad con la temperatura en líquidos: En los líquidos el aumento de temperatura, hace aumentar la separación molecular, disminuyendo las interacciones entre las moléculas, por lo que hay una disminución de la transmisión de cantidad de movimiento entre ellas, y con ello una disminución de la viscosidad. Considerando que la viscosidad de un aceite lubricante (SAE 30), sigue una ley exponencial: DETERMINE: (1). Constante de la ley exponencial. (2). Viscosidad a 0ºC y a 120ºC. (3). Gráfica de la variación de la viscosidad con la temperatura entre 0 ºC y 150 ºC

DATOS: Ley exponencial de variación de la viscosidad con la temperatura: 0

Tk 1T

0 e⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠µ = µ ⋅ .

Ensayos ASTM: 40ºC ρ = 880 kg/m3 ν = 110 cSt 100ºC ρ = 870 kg/m3 ν = 12 cSt RESOLUCIÓN:

De la ecuación exponencial de viscosidad, la constante “k” es: 0 0

0 0 0 0 0

T Tk ln ln

T T T Tµ υ⋅ρ

= =− µ − υ ⋅ρ

Tomando como referencia la temperatura de 40ºC

Numéricamente: 40 273,15 12 870k ln 11,623100 40 110 880

+ ⋅= = −

− ⋅

La viscosidad absoluta de referencia (40ºC) es: ( ) ( )2 2 3(40º C) (40º C) (40º C) 110 10 cm / s 0,880gr / cm 0,968 gr/cms = 0,968 P = 0,0968 Pa s−µ = υ ⋅ρ = ⋅ ⋅ = ⋅

Con lo que la viscosidad a 0ºC será: 0 273,1511,623 140 273,15(0º C) 0,0968 0,427 Pa s=427 cPe

+⎛ ⎞− −⎜ ⎟+⎝ ⎠µ = ⋅ = ⋅

La viscosidad a 120ºC será: 120 273,1511,623 140 273,15(120º C) 0,0968 0,005 Pa s= 5 cPe

+⎛ ⎞− −⎜ ⎟+⎝ ⎠µ = ⋅ = ⋅

viscosidad absoluta en centiPoises (cP)

Temperatura en ºC

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1. LOS FLUIDOS

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1.11. Variación de la viscosidad con la temperatura en gases: En los gases el aumento de temperatura, hace aumentar fundamentalmente el ritmo de intercambio energético entre moleculas, por lo que los efectos viscosos debidos a los intercambios de cantidad de moviemiento entre moleculas se ven aumentados, es decir hay un aumento de viscosidad con la temperatura. Considerando en primer lugar que la viscosidad del aire sigue una ecuación exponencial, y luego que sigue la ley de Sutherland; y compare los resultados obtenidos con los experimentales. DETERMINE: (1). Constante de la ley exponencial (n) (2). Valores y Gráfica de la variación de la viscosidad con la temperatura entre 0 ºC y 250 ºC

DATOS: Ley exponencial: n

00

TT

⎛ ⎞µ = µ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ [1]

Ley de Sutherland: 3/ 2

00

0

A TTT A T

⎛ ⎞ +µ = µ ⋅⎜ ⎟ +⎝ ⎠

para aire A = 110K [ 2]

Datos experimentales (presión 1 atm) (ver tabla) RESOLUCIÓN: (1) Ley exponencial: para obtener el exponente “n” que mejor se ajusta a todos los datos experimentales, se hace una representación de ln(µ/µ0) vs ln(T/T0), y la pendiente de la recta de regresión, es el valor de “n”. En nuestro caso se obtiene una pendiente: n = 0,7131, con un coeficiente de correlación de 0,9984.

y = 0,7131x + 0,0059R2 = 0,9984

-0,2-0,10,00,10,20,30,40,50,60,70,8

-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

(2) Tabla de valores de la viscosidad absoluta del aire: experimental-ajustes

Temperatura (ºC)

µ (Pa.s) experimental x10-6

µ (Pa.s) ley exponencial x10-6

µ (Pa.s) ley Sutherland x10-6

-40 15,1 15,27 15,06 0 17,1 17,10 17,10

50 19,5 19,28 19,46 100 21,7 21,36 21,65 150 23,8 23,36 23,69 200 25,7 25,30 25,61 250 27,5 27,18 27,43 300 29,3 29,0 29,15 400 32,5 32,53 32,37 500 35,5 35,91 35,33

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1. LOS FLUIDOS

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1.12. Módulo de compresibilidad de agua de mar: el agua de mar es una mezcla de agua y de sales. Para definir su estado se requieren tres propiedades: presión, temperatura y salinidad. La salinidad se define por la relación entre la masa de sales por unidad de masa total: Salinidad = masa de sales / (masa de sales+ masa de agua dulce). La salinidad media del agua de mar es de 35 gramos de sal por cada kg de agua de mar. Evidentemente la densidad viene determinada por la salinidad, y la temperatura (ver gráficos). Otro aspecto importante es la variación de la densidad con la profundidad, para ello se suelen hacer dos aproximaciones: una empírica, en donde se utiliza la ecuación [1] y otra teórica en donde se considera que el agua es un líquido barotrópico (de módulo de compresibilidad constante). DETERMINE: 1. La densidad en función de la profundidad, considerando la ecuación [1]. 2. La densidad en función de la profundidad, considerando líquido barotrópico. 3. Numéricamente las densidades a 1, 10, 100, 1000 y 10000 m de profundidad.

DATOS: Ecuación empírica: p vs ρ n

0 0

p (A 1) Ap

⎛ ⎞ρ= + −⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

[1]

Agua de mar: ρ0 = 1025 kg/m3; p0 = 1013 mbar; A = 3000; n = 7; K = 2128 MPa

En oceanografía, la densidad se suele expresar por los kg de mas, respecto a 1000, que hay en un m3 de agua de mar: es decir una densidad de 1025 kg/m3, se expresa por σΤ = 25 kg/m3

RESOLUCIÓN: (1) En el caso de considerar que la relación presión-densidad, viene dada por la ecuación empírica [1]; se tiene

la ecuación diferencia dp-dρ: ( )0 n 1

n0

p A 1 ndp d−+

= ρ ρρ

[2]

Utilizando la ecuación diferencial de hidrostática: dp = ρg dh; en donde “dp” es el aumento diferencial de presión, al aumentar la profundidad en “dh”; se puede expresar la ecuación diferencial [2], para obtener la ecuación de la densidad en función de la densidad:

0

h

n 1 n 20 0n n0 0 0

p (A 1)n p (A 1)ndp d g dh d g dh

ρ

− −

ρ

+ += ρ ρ = ρ ⋅ ⇒ ρ ρ =

ρ ρ ∫ ∫

( )1

n 1n 1 n 10 0

0 0n00

p (A 1) ghn n 1gh = 1n 1 n p (A 1)

−− − ⎛ ⎞+ ρ−

ρ − ρ = ⇒ ρ ρ +⎜ ⎟− +ρ ⎝ ⎠ [3]

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1. LOS FLUIDOS

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(2) En el caso de considerar que el agua de mar es un líquido barotrópico, su modulo de compresibilidad es constante, y con ello se tiene que la ecuación diferencial dp-dρ es:

ddp K ρ=

ρ [4]

Utilizando la ecuación diferencial de hidrostática: dp = ρg dh; en donde “dp” es el aumento diferencial de presión, al aumentar la profundidad en “dh”; se puede expresar la ecuación diferencial [4], para obtener la ecuación de la densidad en función de la densidad:

0

h

2

0

d ddp K g dh K g dhρ

ρ

ρ ρ= = ρ ⋅ ⇒ =

ρ ρ∫ ∫

( )1 10 0

0

KK gh =K gh

− −− ρ − ρ = ⇒ ρ ρ− ρ

[5]

(3) Los valores numéricos de la densidad a diversas profundidades son: profundidad MODULO COMPRESIBILIDAD CTE. RELACIÓN p-ρ = [1]

h ρ p-p0 K a ρ p-p0 K a 1 1025,00 0,100 2128 1440,87 1025,00 0,10 2128 1440,87

10 1025,05 1,005 2128 1440,83 1025,05 1,04 2128,74 1441,08 100 1025,48 10,047 2128 1440,53 1025,48 9,98 2134,99 1442,89

1000 1029,86 100,688 2128 1437,46 1029,78 100,64 2198,46 1461,12 10000 1075,78 1028,982 2128 1406,45 1068,50 1026,57 2846,61 1632,21

m kg/m3 bar MPa m/s kg/m3 bar MPa m/s MODULO COMPRESIBILIDAD CONSTANTE: K = 2128 MPa

6

0 60

K 2128 10 1025= 1025K gh 1 h / 211846,72128 10 1025 9,8 h

⋅ρ ρ = =

− ρ −⋅ − ⋅ ⋅(kg/m3)

6 600 6

g 1025 9,8 h hp p K ln 1 h 2128 10 ln 1 2128 10 ln 1K 211846,72128 10

ρ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pa

Ka =ρ

MODULO DE COMPRESIBILIDAD VARIABLE: n

00

K p (A 1)n⎛ ⎞ρ

= + ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

11/ 6 1/ 6n 1

00

0

ghn 1 6 1025 9,8 h h= 1 1025 1 1025 1n p (A 1) 7 101300(3001) 35307,93

−⎛ ⎞ρ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ρ ρ + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

kg/m3

( ) ( )n 7

00

p p A 1 A 101300 3001 30001025

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ρ ρ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Pa

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1. LOS FLUIDOS

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1.13. Módulo de compresibilidad de un gas ideal: En un fluido las variaciones de densidad con la presión, dependen del tipo de proceso de compresión y de las características moleculares del propio fluido. En el caso de considerar comportamiento de gas ideal, es fácil obtener la expresión del módulo de compresibilidad en función de las variables P,ρ y T. DETERMINE: 1. Derivada parcial de la presión respecto a la densidad en una compresión isoterma. 2. Derivada parcial de la presión respecto a la densidad en una compresión isentrópica. 3. Ecuación del módulo de compresibilidad para un gas ideal. 4. Velocidad del sonido en aire ideal a 30K, 300K y 3000K. DATOS: Gas ideal: p=ρRT Aire ideal: R = 287 J/kgK RESOLUCIÓN:

(1) ( )0

00T

p RT RTp ... ...= RT T cte T

= ρ ∂ ρ⎛ ⎞⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟⎜ ⎟ = =∂ρ ∂ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2) ( ) 1 1

-S

cte isentropicap ... ...= cte p p / RT p cte

γγ− −γ γ−

γ

⎛ ⎞∂ ⋅ρ⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= = ⋅ γ ⋅ρ = ρ ⋅ γ ⋅ρ = γ ρ = γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ρ ∂ρρ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3) S

SSgas ideal Sgas ideal

S

p

K RT RT p K p pGAS IDEAL: RT

⎫⎛ ⎞∂Κ = ρ ⎪⎜ ⎟∂ρ⎝ ⎠ ⎪ ⇒ = ρ⋅ γ = γ ⋅ρ = γ ⋅ = γ ⋅⎬

⎛ ⎞∂ ⎪= γ⎜ ⎟ ⎪∂ρ⎝ ⎠ ⎭

(4) S

gas ideal gas idealS

Kpa p p a = RT a RT

GAS IDEAL: K p

⎫⎛ ⎞∂= = ⎪ γ⎜ ⎟ ⇒ = = γ γ = γ∂ρ ρ ⎬⎝ ⎠ ρ ρ⎪

= γ ⎭

(5) temperatura = 30K (-243,15 ºC) 30Ka 1,4 287 30 109,79 m/s= ⋅ ⋅ = temperatura = 300K (26,85 ºC) 300Ka 1, 4 287 300 347,19 m/s= ⋅ ⋅ = temperatura = 3000K (2726,85 ºC) 3000Ka 1, 4 287 3000 1097,91 m/s= ⋅ ⋅ = La constante “γ”, es la relación de calores específicos: γ=cp/cv. En el caso, del aire como prácticamente es una mezcla de gases “biatómicos”, su valor es de 1,4 En la determinación de la ecuación de la velocidad del sonido, se considera el efecto que tiene una pequeña perturbación, que al pasar por una determinada zona, modifica la presión y la densidad del fluido;

obteniéndose: S

pa ⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ρ⎝ ⎠

Para calcular la derivada es necesario conocer el proceso que experimenta el fluido al ser perturbado. NEWTON, cometió en 1686 el error de deducir una expresión, equivalente a considerar un proceso isotermo; con lo que se tendría; es decir, predecía para la velocidad del sonido a 300K un valor de: a 287 300 293,43 m / s= ⋅ = , es vez del valor isentrópico de 347,19, que prácticamente coincide con el dado por medidas experimentales de la velocidad del sonido en aire.

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1. LOS FLUIDOS

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1.14. Medida de la tensión superficial: Ley de TATE: El tamaño de las gotas que se forman por salida de un líquido por un tubo capilar, viene determinado por la tensión superficial entre la gota del líquido y el fluido sobre el que se forma la gota. Además la comparación de tamaños de las gotas de dos líquidos distintos, permite obtener una relación entre las tensiones superficiales de ambos líquidos. DETERMINE: (1). Tamaño de una gota, en función de la tensión superficial: ley de TATE (2). Diámetro de las gotas de: agua, etanol y glicerina. DATOS: Gota: coeficiente de contracción = diámetro rotura/diámetro tubo = d/Dt Gotero: diámetro interior: Dt=1mm; coeficiente de contracción = 60% Gotas: a una temperatura de 20ºC:

AGUA: σ=0,0728N/m; ρ=1000 kg/m3 ETANOL: σ=0,0228N/m ρ=790 kg/m3 GLICERINA: σ=0,0942N/m; ρ=1265 kg/m3 RESOLUCIÓN:

(1) Tamaño de la gota: la gota se desprende del “gotero”, cuando su peso supera la fuerza de tensión superficial que lo mantiene unido a través de la garganta que se forma entre gotero y gota, con un diámetro “d” , un poco más pequeño, que el diámetro interior del gotero “Dt”: d= k.Dt Peso de la gota : Fg= ρg.πD3/6 Fuerza de tensión superficial en la garganta: Fσ= σ.L Fσ = σ.πd = k σ π d Desprendimiento de la gota: Fg = Fσ ρg.πD3/6 = k σ π d

Con lo que el tamaño de la gota es: 3Gota Gotero6kD D

Ley de TATE

(2) Aplicación numérica:

AGUA: 33Gota Gotero6k 6 0,60 0,0728D D 0,001

g 1000 9,8σ ⋅ ⋅

= = =ρ ⋅

0,003m = 3 mm

ETANOL: 33Gota Gotero6k 6 0,60 0,0228D D 0,001

g 790 9,8σ ⋅ ⋅

= = =ρ ⋅

0,0022m = 2,2 mm

GLICERINA: 33Gota Gotero6k 6 0,60 0,0598D D 0,001

g 1265 9,8σ ⋅ ⋅

= = =ρ ⋅

0,0026m = 2,6 mm

Dt

d

Dg

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1. LOS FLUIDOS

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45

1 2

1.15. Presión en el interior de burbujas: La presión necesaria para la formación de una burbuja, viene determinada por el trabajo que se tiene que hacer para formar la superficie libre de la burbuja. Esta consideración lleva a la ecuación de LAPLACE: ∆p=4σ/R. Si consideramos dos burbujas de jabón (pompas) en aire, de distintos diámetros, en su equilibrio, en el interior de la gota de mayor diámetro la presión es menor que la correspondiente a la gota de menor diámetro. Esto hace, que si conectamos las dos pompas mediante un tubo, las presiones tienen que equilibrarse, con lo que la pompa grande (menor presión) va aumentando de tamaño y la pequeña va disminuyendo de tamaño, hasta el instante en que colapsa. DETERMINE: (1): En el instante inicial, las presiones manométricas en el interior de cada pompa. (2): Tamaño y presión final, en la pompa grande. DATOS: Pompas: tensión superficial en aire a 20ºC : σ = 0,068 N/m Diámetros iniciales: D = 60 mm; d = 40 mm RESOLUCIÓN: (1) PRESIONES MANOMÉTRICAS INICIALES:

8 8 0,068p1D 0,060σ ⋅

∆ = = = 9,07 Pa 8 8 0,068p2d 0,040σ ⋅

∆ = = = 13,60 Pa

(2) TAMAÑO Y PRESIÓN MANOMÉTRICA FINAL EN LA POMPA GRANDE: La masa de aire que hay en las dos pompas es constante, y suponiendo que se mantiene la densidad, la suma de los volumenes de las dos pompas debe ser constante. En el instante final, la pompa 2 desaparece, con lo que todo el volumen será el correspondiente a la pompa 1:

3 3 3Final Inicial InicialD D d6 6 6

π π π= + ( ) ( )1/ 3 1/ 33 3 3 3

FINAL 0 0D D d 60 40= + = + = 65,42 mm

final8 8 0,068p1D 0,06542σ ⋅

∆ = = = 8,32 Pa