ESTADÍSTICA - IES LA BASÍLICA MATEMÁTICAS · 4.1. Representa datos de variables estadísticas en...

8 Estadística

238Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Los conceptos de esta unidad son ampliamente conocidos por los alumnos, tanto en la etapa anterior, como por el uso de ellos en los medios de comunicación audiovisual. Sin embargo, este es el momento de formalizar y empezar a ser rigurosos a la hora de trasmitir la información estadística. También es muy importante inculcar al alumno la capacidad de análisis y crítica de la información estadística que

recibe él en su vida diaria.

El único contenido que puede ser nuevo es la mediana, suele ser un parámetro complicado para ellos y es conveniente ir graduando la difi-cultad de los ejercicios propuestos.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacio-nados con la estadística.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con la estadística.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el uso de la bicicleta, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de la estadística.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia de sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Conocer y diferenciar entre la población y la muestra de un estudio estadístico.

❚❚ Reconocer las variables estadísticas.

❚❚ Resumir la información de un estudio estadístico en una tabla de frecuencias.

❚❚ Representar mediante gráficos estadísticos los datos de un estudio estadístico.

❚❚ Interpretar gráficos estadísticos.

❚❚ Calcular la moda, la media, la mediana y el rango de los datos de un estudio estadístico.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de la estadística.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando la estadística.

ESTADÍSTICA8

239

8Estadística

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la estadística. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre estadística y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la estadística pueden acceder a las lecciones 1192, 1193, 1203, 1205 a 1207, 1248 y 1251 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Población y muestra. Variables

1. Formular preguntas adecuadas para conocer las características de interés de una población, recoger, organizar y presentar datos relevantes para responderlas, utilizando los métodos estadísticos apropiados y las herramientas adecuadas.

1.1. Define población, muestra e individuo desde el punto de vista de la estadística, y los aplica a casos concretos.1.2. Reconoce y propone ejemplos de distintos tipos de variables estadísticas, tanto cualitativas como cuantitativas.

1-3, 6Matemáticas vivas 1474, 548Matemáticas vivas 3

CMCTCLCSCCAACSIEE

Tablas de frecuencias

2. Organizar los datos en tablas obteniendo conclusiones razonables a partir de los resultados obtenidos.3. Utilizar herramientas tecnológicas para organizar datos, y comunicar los resultados obtenidos que respondan a las preguntas formuladas previamente sobre la situación estudiada.

2.1. Organiza datos, obtenidos de una población, de variables cualitativas o cuantitativas en tablas y calcula sus frecuencias absolutas y relativas. 3.1. Utiliza herramientas tecnológicas para organizar datos en tablas de frecuencias.3.2. Utiliza las tecnologías de la información y de la comunicación para comunicar información sobre variables estadísticas.

7-1149-55

12

Trabajo cooperativo

CMCTCLCSCCAACSIEE

Diagramas de barras

4. Construir diagramas de barras obteniendo conclusiones razonables a partir de los resultados obtenidos.

5. Utilizar herramientas tecnológicas para generar gráficos estadísticos y comunicar los resultados obtenidos que respondan a las preguntas formuladas previamente sobre la situación estudiada.

4.1. Representa datos de variables estadísticas en diagramas de barras y extrae conclusiones a partir de los resultados obtenidos.4.2. Interpreta diagramas de barras y otros gráficos estadísticos de medios de comunicación.5.1. Utiliza la calculadora y herramientas tecnológicas para representar datos en diagramas de barras.5.2. Utiliza las tecnologías de la información y de la comunicación para comunicar información sobre variables estadísticas.

13-1859

1944, 45, 60, 61

1656-58

Matemáticas vivas 2, 4, 5, 6EC1

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Diagramas de sectores

6. Construir diagramas de sectores obteniendo conclusiones razonables a partir de los resultados obtenidos.

6.1. Representa datos de variables estadísticas en diagramas de sectores y extrae conclusiones a partir de los resultados obtenidos.6.2. Interpreta diagramas de sectores recogidos en medios de comunicación.

20-2658, 61

44

CMCTCLCSCCAACSIEE

Moda y media 7. Calcular medidas de centralización obteniendo conclusiones razonables a partir de los resultados obtenidos.8. Utilizar herramientas tecnológicas para calcular parámetros y comunicar los resultados obtenidos que respondan a las preguntas formuladas previamente sobre la situación estudiada.

7.1. Calcula medidas de centralización y los emplea para resolver problemas.

8.1. Utiliza la calculadora y herramientas tecnológicas para calcular lmedidas de centralización.

27-4362, 63-69

66-71

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Rango y mediana

Probabilidad 9. Inducir la noción de probabilidad como medida de incertidumbre asociada a los fenómenos aleatorios.

9.1. Describe experimentos aleatorios sencillos y enumera todos los resultados posibles.9.2. Reconoce sucesos equiprobables.9.3. Calcula la probabilidad de sucesos mediante la regla de Laplace y toma decisiones sobre los resultados obtenidos.

A1, A2 CMCTCLCSCCAA

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Tablas de frecuencias

4. Diagrama de sectores

¿Qué tienes que saber? • Tablas de frecuencias. • Gráficos estadísticos. • Moda, media, rango y mediana

Matemáticas vivasEl uso de la bicicleta • Estudio estadístico

AvanzaProbabilidad

Estadística críticaErrores en los gráficos estadísticos

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Los orígenes de la Estadística

1. Población y muestra. Variables

Vídeo. Diagrama de barras

Actividades interactivas

3. Diagramas de barras

Vídeo. Moda y media5. Moda y media

6. Rango y mediana

MisMates.esLecciones 1192, 1193, 1203, 1205 a 1207, 1248 y 1251 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

8 Estadística

Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es 1-2-4, de Pere Pujolás a partir de David y Roger Johnson

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO240

241

8Estadística


Sugerencias didácticas

Se introduce la unidad haciendo reflexionar a los alumnos con la más que posible utilización de la estadística en su futuro desarrollo profesional.

Antes de comenzar la unidad conviene repasar el cálculo de porcentajes así como la relación que existe entre los por-centajes, los decimales y las fracciones. También van a ne-cesitar el redondeo a ciertas cifras decimales, en especial a la centésima.

Contenido WEB. LOS ORÍGENES DE LA ESTADÍSTICA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC en el que se explica la evolución de la ciencia estadística desde sus inicios en las primeras civilizaciones para la elaboración de censos hasta el siglo xvii con la aparición de las primeras prediccio-nes basadas en estudios estadísticos. Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

159

8 ESTADÍSTICA

Si cuando pasen unos años piensas en poner un negocio, es posible que necesites realizar un estudio de mercado. Estos estudios se basan en encuestas que nos aportan datos de interés para la viabilidad de nuestro negocio.

La Estadística trata de organizar y presentar estos datos para ayudar después a tomar decisiones.

REPASA LO QUE SABES1. Calcula los siguientes porcentajes.

a) El 5 % de 250 c) El 30 % de 450

b) El 12 % de 360 d) El 85 % de 620

2. Redondea a la centésima los números decimales propuestos.

a) 4,095 c) 0,3925

b) 3,4782 d) 4,00712

3. Expresa estas fracciones como números decimales.

a) 34

c) 1225

b) 3540

d) 625

12500

4. Encuentra la expresión decimal redondeada a la centésima de las siguientes fracciones.

a) 56

c) 3785

b) 2555

d) 145505

Si cuando pasen unos años piensas en poner un negocio, es posible que necesites realizar un estudio de mercado. Estos estudios se basan en encuestas que nos aportan datos de interés para la viabilidad de nuestro negocio.

La Estadística trata de organizar y presentar estos datos para ayudar después a tomar decisiones.

1.

IDEAS PREVIAS

❚ Cálculo de porcentajes.

❚ Redondeo de

expresiones decimales.

❚ Expresión de fracciones

como números

decimales.

Los orígenes de la Estadística se encuentran en la elaboración de censos de población. Estos permiten conocer las principales características de las personas de una región o de un país.

Matemáticas en el día a día ][ma1e30

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Calcula los siguientes porcentajes.

a) El 5 % de 250 c) El 30 % de 450

b) El 12 % de 360 d) El 85 % de 620

a) 0,05 ⋅ 250 = 12,5 c) 0,3 ⋅ 450 = 135

b) 0,12 ⋅ 360 = 43,2 d) 0,85 ⋅ 620 = 527

2. Redondea a la centésima los números decimales propuestos.

a) 4,095 b) 3,4782 c) 0,3925 d) 4,00712

a) 4,10 b) 3,48 c) 0,39 d) 4,01

3. Expresa estas fracciones como números decimales.

a) 3

4 b)

35

40 c)

12

25 d)

625

12 500

a) 3

4= 0,75 b)

35

40= 0,875 c)

12

25= 0,48 d)

625

12 500= 0,05

4. Encuentra la expresión decimal redondeada a la centésima de las siguientes fracciones.

a) 5

6 b)

25

55 c)

37

85 d)

145

505

a) 5

6= 0,83 b)

25

55= 0,45 c)

37

85= 0,44 d)

145

505= 0,29

8 Estadística


1. Población y muestra. Variables

161

8Actividades8 Estadística

160

Indica razonadamente si estudiarías las siguientes variables estadísticas sobre toda la población o si elegirías una muestra.a) La intención de voto en las próximas elecciones generales de un país.b) Los litros de agua que gasta cada uno de los inquilinos de un bloque.c) El grado de satisfacción con el equipamiento deportivo de una ciudad.d) La edad de los trabajadores de una multinacional.e) Las calificaciones obtenidas por los alumnos de una clase de 1.º de ESO en

Matemáticas.

En un centro escolar con 543 alumnos se va a llevar a cabo una encuesta sobre el grado de satisfacción con la cafetería del centro. Indica cuál es la población, la muestra y los individuos del estudio estadístico.

Una franquicia de gimnasios se está planteando si abrir un gimnasio en una ciudad. Para averiguar si la iniciativa va a tener éxito, decide realizar un estudio estadístico sobre los hábitos deportivos de la población. La ciudad tiene 127 432 habitantes y preguntar a todos ellos resulta muy costoso; por este motivo, la empresa decide elegir al azar a 420 personas y realizar con ellas el estudio. Indica cuál es la población, la muestra y los individuos del estudio estadístico.

Razona cuáles de estas variables son cualitativas y cuáles cuantitativas.a) El color de los ojos.b) La altura de una persona.c) El número de barras de pan que compra una familia a diario.d) La profesión de una persona.e) La marca de refresco preferida.

Copia y completa la siguiente tabla.

Estudio estadístico Población ¿Se necesita

muestra?Variable

estadísticaTipo de Variable

Reciclaje en una ciudad O O O O

OCiudadanos

europeos O O O

O O No O O

O O OColor de los

ojos O

O O O O Cuantitativa

1

2

3

4

5

Aprenderás a… ● Conocer y diferenciar entre la población y la muestra de un estudio estadístico.

● Reconocer las variables estadísticas.

Presta atención

La elección de los integrantes de la muestra es uno de los pasos más importantes de un estudio estadístico. Por ejemplo, si realizamos la encuesta en la entrada de una biblioteca, los resultados no van a reflejar la realidad de toda población, sino de las personas que van a la biblioteca.

La creación del Instituto Nacional de Estadística (INE) marca el comienzo de la estadística oficial en España. El 3 de noviembre de 1856, el general Narváez, presidente del Consejo de Ministros de Isabel II, firma un decreto por el que se crea una comisión compuesta por personas de reconocida capacidad para la formación de la Estadística General del Reino. Este es el comienzo del Instituto Nacional de Estadística. Consulta en su página web, www.ine.es, las diferentes estadísticas que realiza esta institución.

6

Investiga

1. POBLACIÓN Y MUESTRA. VARIABLES

Miguel está interesado en conocer los hábitos de lectura de las personas de su entorno. Para analizar esto, se plantea realizar un estudio estadístico basado en un cuestionario.

❚ Si encuesta a sus familiares, responderán al cuestionario todos los integrantes de su familia.

❚ Si el cuestionario se dirige a los vecinos de la calle, habrá que ver el número de personas que viven en ella: si son pocas, podrá encuestar a todos los vecinos, pero, si son muchas, preguntar a todos puede llevar demasiado tiempo y Miguel tendría que seleccionar a un grupo de ellos.

❚ Si decide encuestar a los habitantes de su ciudad, como el número de encuestados sería extremadamente grande, resultaría imposible realizar la encuesta a todos y Miguel tendría que elegir a un grupo.

Población Familiares Vecinos de la calle Habitantes de la ciudad

Muestra No Depende del número Sí

❚ La población de un estudio estadístico son todas las personas u objetos a los que va dirigido el estudio de alguna característica.

❚ Una muestra es una parte de la población que se estudia.

❚ Los individuos son cada uno de los elementos de la población.

❚ El tamaño de la muestra es el número de individuos que la forman.

En su encuesta, Miguel va a estudiar dos características diferentes: por un lado, el número de libros, pregunta a la que se responde con un dato numérico y, por otro, el tipo de lectura, pregunta a la que se responde con una cualidad y no con un número.

Una variable estadística es la característica que se estudia y puede ser:

❚ Cuantitativa, si los datos de la variable son números.

❚ Cualitativa, si los datos de la variable no son números, sino cualidades.

Soluciones de las actividades1 Indica razonadamente si estudiarías las siguientes variables estadísticas sobre toda la población o si elegirías una muestra.

a) La intención de voto en las próximas elecciones generales de un país.

b) Los litros de agua que gasta cada uno de los inquilinos de un bloque.

c) El grado de satisfacción con el equipamiento deportivo de una ciudad.

d) La edad de los trabajadores de una multinacional.

e) Las calificaciones obtenidas por los alumnos de una clase de 1.º de ESO en Matemáticas.

a) Elegimos muestra, son muchos individuos.

b) Población, son pocos individuos.

c) Muestra, son muchos individuos.

d) Muestra, son muchos individuos.

e) Población, son pocos individuos.


En este epígrafe comenzamos a definir conceptos estadísti-cos que el alumno ha oído en televisión o leído en la prensa. Utilizando estos conocimientos podemos formalizar estos conceptos. Conviene trabajar la diferencia entre población y muestra; y pedirles ejemplos de variables para que antes de avanzar en la unidad tengan claro que pueden encontrar variables de diferentes tipos.

Es importante analizar la conveniencia o no de realizar una muestra como la importancia del tamaño de la muestra y cómo se seleccionan los individuos de la muestra. Una mala elección puede llevar a un estudio estadístico que aporte una información errónea.

243

8Estadística


2 En un centro escolar con 543 alumnos se va a llevar a cabo una encuesta sobre el grado de satisfacción con la cafetería del centro. Indica cuál es la población, la muestra y los individuos del estudio estadístico.

Población: Los 543 alumnos del centro escolar.

Muestra: El grupo de alumnos a los que se le va a realizar la encuesta.

Individuos: Cada uno de los alumnos del centro escolar.3 Una franquicia de gimnasios se está planteando si abrir un gimnasio en una ciudad. Para averiguar si la iniciativa va a

tener éxito, decide realizar un estudio estadístico sobre los hábitos deportivos de la población. La ciudad tiene 127 432 habitantes y preguntar a todos ellos resulta muy costoso; por este motivo, la empresa decide elegir al azar a 420 personas y realizar con ellas el estudio. Indica cuál es la población, la muestra y los individuos del estudio estadístico.

Población: Los 127 432 habitantes de la ciudad.

Muestra: Las 420 personas preguntadas.

Individuos: Cada uno de los habitantes de la ciudad.4 Razona cuáles de las siguientes variables son cualitativas y cuáles cuantitativas.

a) El color de los ojos.

b) La altura de una persona.

c) El número de barras de pan que compra una familia a diario.

d) La profesión de una persona.

e) La marca de refresco preferida.

a) Cualitativa

b) Cuantitativa

c) Cuantitativa

d) Cualitativa

e) Cualitativa5 Copia y completa la siguiente tabla.

Respuesta abierta, por ejemplo:

Estudio estadístico Población ¿Se necesita muestra?

Variable estadística

Tipo de Variable

Reciclaje en una ciudad Habitantes de una ciudad Sí Tipo de envase que se

recicla Cualitativa

Uso del móvil en Europa Ciudadanos europeos Sí Gasto en móvil Cuantitativa

Características de los alumnos de un centro escolar Alumnos de una clase No Estatura Cuantitativa

Características de un barrio Vecinos de un bloque del barrio No Color de los ojos Cualitativa

Salario en España Habitantes de España Sí Sueldo de los españoles Cuantitativa

Investiga6 La creación del Instituto Nacional de Estadística (INE) marca el comienzo de la estadística oficial en España. El 3 de noviem-

bre de 1856, el general Narváez, presidente del Consejo de Ministros de Isabel II, firma un decreto por el que se crea una comisión compuesta por personas de reconocida capacidad para la formación de la Estadística General del Reino. Este es el comienzo del Instituto Nacional de Estadística.

Consulta en su página web, www.ine.es, las diferentes estadísticas que realiza esta institución.

Realiza numerosas estadísticas en distintos campos como agricultura, ciencia y tecnología, demografía y población, ...

8 Estadística


2. Tablas de frecuencias

163


162

El tiempo de espera, en minutos, de un grupo de 20 personas en una parada de autobús urbano ha sido el siguiente:

5 6 5 2 4 6 5 5 3 7 5 8 1 4 5 6 5 1 4 2Ordena los datos en una tabla de frecuencias.

Una empresa textil realiza una encuesta a 40 personas sobre cuál es su color preferido. Para cumplimentar el cuestionario, los encuestados tienen que marcar el color que más les guste de entre los siguientes.

ROSA (R)

AMARILLO (A)

VERDE (V)

NARANJA (N)

Los resultados han sido:R A V R V A N V R A A R N V A R A V N NV A N N A A A R R V A A R N V A N A R VElabora una tabla de frecuencias.

Un equipo de fútbol está formado por 24 jugadores, cuyas edades son:18 22 24 22 23 23 24 25 26 22 23 2422 25 25 22 22 23 23 25 19 18 23 22

Ordena los datos en una tabla de frecuencias.

En estas tablas faltan datos. Cópialas y completa las frecuencias.

a) Nivel de Inglés

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

b) N.º de hermanos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Alto 12 O 0 4 O

Medio 30 O 1 6 0,2

Bajo O 0,16 2 O 0,4

50 O 3 5 O

4 3 O

O 1

En las últimas elecciones al consejo escolar, cuatro candidatos han tenido los siguientes resultados en los cinco grupos de 1.º de ESO.

1.º A 1.º B 1.º C 1.º D 1.º E

Candidato 1 8 4 12 5 6


Candidato 3 12 11 5 10 11


a) ¿Qué candidato ha ganado las elecciones?b) ¿Cuál ha sido el candidato ganador en cada clase?c) ¿En qué clase ha obtenido los mejores resultados cada candidato?

7

8

9

10

11

2. TABLAS DE FRECUENCIAS

Al tomar una muestra de 20 personas, Miguel ha obtenido estas respuestas en su encuesta tras preguntar por el número de libros leídos y el tipo de lectura.

Con la recogida de datos, Miguel no logra tener claro cuáles son los resultados de la encuesta, por lo que decide organizarlos en una tabla, indicando el número de veces que aparece cada dato.

Número de libros 1 2 3 4 5 6 Total

Número de veces 3 4 3 1 5 4 20

Tipo de lectura Ficción No fi cción Total

Número de veces 12 8 20

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite. La suma de las frecuencias absolutas es el número total de datos.

Si aumentamos el número total de datos, se incrementará también el tamaño de cada frecuencia absoluta y no podremos comparar los resultados. Para poder compararlos, Miguel añade una columna en la tabla en la que incluye el resultado de calcular el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos.

N.° de libros 1 2 3 4 5 6 Total

Frecuencia absoluta 3 4 3 1 5 4 20

Frecuencia relativa3

20

4

20

3

20

1

20

5

20

4

201

Tipo de lectura Ficción No fi cción Total

Frecuencia absoluta 12 8 20


20= 0,6

8

20= 0,4 1

La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Aprenderás a… ● Resumir la información de un estudio estadístico en una tabla de frecuencias.

Presta atención

Antes de construir una tabla de frecuencias, es conveniente realizar un recuento. Para ello, ordenamos los datos y anotamos el número de veces que aparece cada uno.

Recuento

1 | | | 3

2 | | | | 4

3 | | | 3

4 | 1

5 | | | | 5

6 | | | | 4

Al realizar el recuento, obtenemos la frecuencia absoluta de cada dato.

Presta atención

Las frecuencias relativas se pueden expresar como fracciones o como números decimales.

Presta atención

Podemos expresar las frecuencias relativas como porcentajes multiplicando cada una de ellas por 100.

DESAFÍOLa tabla muestra las frecuencias absolutas de los datos de un estudio estadístico y las frecuencias relativas, con un redondeo de dos decimales. ¿Por qué no suman 1 las frecuencias relativas?

12 Dato A B C D E F

Frecuencia absoluta 5 6 6 7 5 6

Frecuencia relativa 0,14 0,17 0,17 0,20 0,14 0,17

Si sumamos las frecuencias de los datos menores o iguales a uno dado, obtenemos las frecuencias acumuladas.

Lenguaje matemático

Soluciones de las actividades7 El tiempo de espera, en minutos, de un grupo de 20 personas en una parada de autobús urbano ha sido el siguiente:

5 6 5 2 4 6 5 5 3 7 5 8 1 4 5 6 5 1 4 2


Tiempo de espera (min) 1 2 3 4 5 6 7 8

Frec. absoluta 2 2 1 3 7 3 1 1 20

Frec relativa 0,1 0,1 0,05 0,15 0,35 0,15 0,05 0,05 1

8 Una empresa textil realiza una encuesta a 40 personas sobre cuál es su color preferido. Para cumplimentar el cuestionario, los encuestados tienen que marcar el color que más les guste de entre los siguientes.

ROSA (R) AMARILLO (A) VERDE (V) NARANJA (N)

Los resultados han sido: R A V R V A N V R A A R N V A R A V N N

V A N N A A A R R V A A R N V A N A R V

Elabora una tabla de frecuencias.

Color preferido ROSA AMARILLO VERDE NARANJA

Frec. absoluta 9 14 9 8 40

Frec. relativa 0,225 0,35 0,225 0,2 1


Una forma de introducir las tablas de frecuencias a los alum-nos puede ser explicándoles la necesidad de organizar los datos. Se les puede preguntar si solo con los resultados de una encuesta podrían obtener alguna información.

Solo con las frecuencias absolutas podemos analizar un es-tudio estadístico pero y además queremos poder comparar los datos de la variable con el total de datos, necesitamos añadir una nueva frecuencia, la frecuencia relativa.

245

8Estadística


9 Un equipo de fútbol está formado por 24 jugadores, cuyas edades son:

18 22 24 22 23 23 24 25 26 22 23 24 22 25 25 22 22 23 23 25 19 18 23 22


Edades 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Frec. absoluta 2 1 0 0 7 6 3 4 1 24

Frec. relativa 0,08 0,04 0 0 0,29 0,25 0,13 0,17 0,04 1

10 En estas tablas faltan datos. Cópialas y completa las frecuencias.a) Nivel de

InglésFrecuencia absoluta

Frecuencia relativa

b) N.º de hermanos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Alto 12 0,24 0 4 0,13

Medio 30 0,60 1 6 0,20

Bajo 8 0,16 2 12 0,40

50 1,00 3 5 0,17

4 3 0,10

30 1,00

11 En las últimas elecciones al consejo escolar, cuatro candidatos han tenido los siguientes resultados en los cinco grupos de 1.º de ESO.

a) ¿Qué candidato ha ganado las elecciones?

b) ¿Cuál ha sido el candidato ganador en cada clase?

c) ¿En qué clase ha obtenido los mejores resultados cada candidato?

Completamos la tabla con los totales por clase y por candidato.

a) Ha ganado el candidato 3 con 49 votos.

b) En 1.º A ha ganado el candidato 3, en 1.º B ha ganado el candidato 3, en 1.º C ha ganado el candidato 1, en 1.º D ha ganado el candidato 3 y en 1.º D ha ganado el candidato 3.

1.º A 1.º B 1.º C 1.º D 1.º E

Candidato 18

32= 0,25

4

31= 0,13

12

31= 0,39

5

29= 0,17

6

32= 0,19

Candidato 25

32= 0,16

7

31= 0,23

8

31= 0,26

7

29= 0,24

10

32= 0,31

Candidato 312

32= 0,38

11

31= 0,25

5

31= 0,16

10

29= 0,34

11

32= 0,34

Candidato 47

32= 0,22

9

31= 0,29

6

31= 0,19

7

29= 0,24

5

32= 0,16

Desafío12 La siguiente tabla muestra las frecuencias absolutas de los datos de un estudio estadístico y las frecuencias relativas, con

un redondeo de dos decimales. ¿Por qué no suman 1 las frecuencias relativas?

Al aproximar los decimales eliminamos precisión en el resultado.

Los cocientes son números decimales periódicos con infinitas cifras decimales: 0,142…; 0,171…; 0,171…; 0,2; 0,142…; 0,171…

c) Completamos una tabla con las frecuencias relativas por clases.

El candidato 1 tiene mejor re-sultado en 1.º C, el candidato 2 tiene mejor resultado en 1.º E, el candidato 3 tiene mejor resulta-do en 1.º A y el candidato 4 tie-ne mejor resultado en 1.º B.

1.º A 1.º B 1.º C 1.º D 1.º E Totales

Candidato 1 8 4 12 5 6 35

Candidato 2 5 7 8 7 10 37

Candidato 3 12 11 5 10 11 49

Candidato 4 7 9 6 7 5 34

Totales 32 31 31 29 32 155

Dato A B C D E F

Frec. absoluta 5 6 6 7 5 6

Frec. relativa 0,14 0,17 0,17 0,20 0,14 0,17

8 Estadística


3. Diagramas de barras

165


164

Se ha realizado un cuestionario a 30 personas en el que se preguntaba por el número de televisores que tienen en casa. Las respuestas han sido:

2 3 2 4 1 3 2 1 0 2

3 4 1 1 2 0 2 4 2 1

3 2 1 4 1 1 1 2 3 2

Realiza un diagrama de barras que represente estos datos.

Los resultados de una encuesta realizada a un grupo de 20 personas sobre cuál es la principal actividad que practican en su tiempo libre son:

amigos deporte idiomas amigos

deporte idiomas amigos lectura

idiomas deporte deporte lectura

deporte amigos amigos idiomas

cine lectura amigos lectura

Elabora el diagrama de barras correspondiente.

En un comedor escolar se ha preguntado por la fruta preferida de un grupo de alumnos.

Fruta Frecuencia absoluta

Naranja 12

Manzana 25

Pera 15

Plátano 8

Construye el diagrama de barras correspondiente.

En un centro escolar se ha pasado un test de percepción espacial a 32 alumnos. Los resultados han sido los siguientes:

Puntuación Frecuencia absoluta

0 2

1 9

2 18

3 15

4 5

5 1

Organiza los datos en un diagrama de barras.

13

14

15

16

Este diagrama de barras refleja los resultados de una encuesta sobre el medio de transporte utilizado en las vacaciones.

60

35

42

21

5250

40

30

20

10

0Tren Avión Autocar Coche

a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra en la encuesta?b) ¿Cuál es el medio de transporte más utilizado?

¿Y el menos utilizado?c) ¿Cuántas personas prefieren viajar por

carretera?

El siguiente diagrama de barras muestra el número de coches que se han vendido en un concesionario durante una semana.

60

16 1518

25

50

40

30

20

10

0L M X J

36

V

49

S

a) ¿Cuál es la variable que estamos estudiando? ¿Es cualitativa o cuantitativa?

b) Construye una tabla de frecuencias con los datos que representa el diagrama de barras.

c) ¿Es posible dibujar el polígono de frecuencias correspondiente? Si es así, copia el diagrama y dibújalo.

d) ¿Qué día se producen más ventas?e) ¿Cuántas ventas ha habido en total durante

toda la semana?

17

18

3. DIAGRAMAS DE BARRAS

Para organizar los datos de su estudio, además de las tablas de frecuencias, Miguel decide elaborar un gráfico con los resultados.

Número de libros 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta 3 4 3 1 5 4

1 Representamos en el eje horizontal el número de libros leídos, y en el eje vertical construimos una escala con los valores dela frecuencia absoluta.

2 Dibujamos sobre cada dato de la variable una barra cuya longitud es el valor de la frecuencia absoluta correspondiente.

El gráfico que resulta se llama diagramade barras.

3 Si la variable estadística es cuantitativa, como en este caso, podemos unirel extremo superiorde las barras.

Obtenemos así un nuevo gráfico denominado polígono de frecuencias.

Un diagrama de barras es un gráfico en el que se representa:

❚ Un eje horizontal con los datos de la variable.

❚ Un eje vertical con las frecuencias absolutas.

Sobre cada dato de la variable se dibuja una barra cuya longitud es la frecuencia absoluta de ese dato.

Aprenderás a… ● Representar mediante un diagrama de barras los datos de un estudio estadístico.

● Interpretar diagramas de barras.

Presta atención

En un diagrama de barras, todas las barras son del mismo grosor y la separación entre ellas es uniforme.

Presta atención

Los diagramas de barras se pueden utilizar para representar variables estadísticas cualitativas o cuantitativas, mientras que los polígonos de frecuencias solo se emplean para variables cuantitativas.

A veces, en lugar de trazar una barra, se utilizan dibujos representativos de la variable estadística estudiada con un tamaño proporcional a la frecuencia. Estos gráficos reciben el nombre de pictogramas. Localiza algunos de estos pictogramas en distintos medios de comunicación y dibújalos en tu cuaderno.

19

Investiga

ma1e31

Soluciones de las actividades13 Se ha realizado un cuestionario a 30 personas en el que se preguntaba

por el número de televisores que tienen en casa.

Las respuestas han sido:

2 3 2 4 1 3 2 1 0 2 3 4 1 1 2

0 2 4 2 1 3 2 1 4 1 1 1 2 3 2

Realiza un diagrama de barras que represente estos datos.14 Los resultados de una encuesta realizada a 20 personas sobre cuál es

la principal actividad que llevan a cabo en su tiempo libre ha sido la siguiente:

amigos deporte idiomas amigos cine

deporte idiomas amigos lectura lectura

idiomas deporte deporte lectura amigos

deporte amigos amigos idiomas lectura

Elabora el diagrama de barras correspondiente.


El diagrama de barras es uno de los más utilizados en los medios de comunicación para presentar los resultados de estudios estadísticos y los alumnos no suelen tener proble-mas al trabajar este contenido. Es importante hacer hinca-pié en que las barras no pueden estar unidas.

Vídeo. DIAGRAMA DE BARRAS

En este vídeo se muestra cómo representar gráficamente median-te un diagrama de barras y un polígono de frecuencias usando una hoja de cálculo. El dibujo se puede hacer manualmente, así que el vídeo puede utilizarse para explicar estos gráficos en la pizarra o para que los alumnos repasar.

10

2

7

1

0 1 2

56

43

34

89

109

2

54

2

7

1

5

6

4

3

4

5

6

1

4

Amigos Deporte Idiomas Cine Lectura

247

8Estadística


15 En un comedor escolar se ha preguntado por la fruta preferida de un grupo de alumnos.

Fruta Frecuencia absoluta

Naranja 12

Manzana 25

Pera 15

Plátano 8

Construye el diagrama de barras correspondiente.16 En un centro escolar se ha pasado un test de percepción espacial a 32 alumnos. Los resultados han sido los siguientes:

Puntuación Frecuencia absoluta

0 2

1 9

2 18

3 15

4 5

5 1

Organiza los datos en un diagrama de barras.17 Este diagrama de barras refleja los resultados de una encuesta sobre el medio

de transporte utilizado en las vacaciones.a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra en la encuesta?b) ¿Cuál es el medio de transporte más utilizado? ¿Y el menos utilizado?c) ¿Cuántas personas prefieren viajar por carretera?a) El tamaño de la muestra es: 35 + 42 + 21 + 52 = 140b) El más utilizado es el coche y el menos utilizado el autocar.c) Son las de autocar más coche, es decir: 21 + 52 = 73 personas

18 El siguiente diagrama de barras muestra el número de coches que se han ven-dido en un concesionario durante una semana.

a) ¿Cuál es la variable que estamos estudiando? ¿Es cualitativa o cuantitativa?b) Construye una tabla de frecuencias con los datos que representa el diagra-

ma de barras.c) ¿Es posible dibujar el polígono de frecuencias correspondiente? Si es así,

copia el diagrama y dibújalo.d) ¿Qué día se producen más ventas?e) ¿Cuántas ventas ha habido en total durante toda la semana?a) Es número de coches vendidos en una semana en un concesionario. La va-

riable es cuantitativa.b) Día de la semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

N.º de coches vendidos 2 1 0 0 7 6

c) Sí es posible.

d) El día de más ventas es el sábado.

e) 16 + 15 + 18 + 25 + 36 + 49 = 159 ventas

Investiga19 A veces, en lugar de trazar una barra, se utilizan dibujos representativos de

la variable estadística estudiada con un tamaño proporcional a la frecuencia. Estos gráficos reciben el nombre de pictogramas. Localiza algunos de estos pictogramas en distintos medios de comunicación y dibújalos en tu cuaderno.

Respuesta abierta, por ejemplo el pictograma siguiente.

Naranja Manzana Pera Plátano369

121518212427

1512

25

8

24

810

14161820

12

6

0 1 2 3 4 5

2

9

18

15

1

5

L M X J V S

10

20

3040

50

60

60

35

42

21

5250

40

30

20

10

0Tren Avión Autocar Coche

60

16 1518

25

50

40

30

20

10

0L M X J

36

V

49

S

1990

1970

1950

1930

Millones de habitantes

8 Estadística


4. Diagramas de sectores

167


166

Susana ha apuntado el tiempo que ha hecho cada día de sus últimas vacaciones.soleado soleado nublado soleado nubladolluvioso lluvioso nublado nublado lluviosolluvioso nublado soleado nublado nubladosoleado soleado soleado soleado soleado

Realiza un diagrama de sectores que represente estos datos.

Durante los cuarenta partidos de liga, el delantero centro de un equipo ha metido estos goles:

1 2 1 2 0 1 1 3 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1

0 1 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 0 0 2 2 0 3 1 1

Representa los datos en un diagrama de sectores.

La tabla muestra los resultados de la primera evaluación de una clase de 1.º de ESO.

Número de suspensos

Frecuencia absoluta

0 9

1 6

2 3

3 6

4 3

Más de 4 3

Construye un diagrama de sectores que represente estos datos.

Se ha realizado una encuesta entre los alumnos de una clase sobre el género de la última película que han visto. Elabora un diagrama de sectores.

Género Frecuencia absoluta

Acción 12

Comedia 18

Romántica 6

Terror 12

20

21

22

23

Estos son los resultados de una encuesta realizada a los jóvenes de una ciudad en relación con el número de días a la semana que practican alguna actividad deportiva.

N.º de días 0 días 1 día 2 días 3 días 4 días 5 días 6 días 7 días

3 %

8 %

11 %

17 %

28 %

14 %

11 %

8 %

a) ¿Cuál es el mayor número de días dedicados por los jóvenes de esta ciudad a hacer deporte?

b) ¿Qué porcentaje de jóvenes realiza deporte más de 4 días?

c) Si la encuesta se ha llevado a cabo sobre una muestra 250 jóvenes, ¿cuántos han contestado que realizan deporte 3 días?

Los siguientes diagramas reflejan los resultados relativos a las horas de estudio y el número de suspensos de una clase de 1.º de ESO.I

012

3Más de 3

Horas de estudio4

6

12

6

2

II

012

3Más de 3

Número de suspensos7

5

8

4

6

a) ¿Cuántos alumnos estudian más de 2 horas?b) ¿Cuántos alumnos aprueban todas las materias?c) Explica razonadamente si existe alguna relación

entre los dos gráficos.

24

25

4. DIAGRAMAS DE SECTORES

Miguel va a realizar un gráfico para la otra pregunta del cuestionario, la relativa al tipo de lectura preferida. En este caso, la variable es cualitativa y tiene pocos datos. Le parece más representativo partir de un círculo y representar cada dato en un sector circular cuya amplitud sea proporcional a su frecuencia absoluta.

Tipo de lectura Ficción No fi cción

Frecuencia absoluta 12 8

Para obtener este gráfico:

1 Calculamos la amplitud del sector circular que representa a cada dato de la variable planteando una proporción.

grados del sector

360º=

frecuencia absoluta

n.º total de datos

❚ Si x son los grados del sector circular del primer dato:

x

360º=

12

20→ x =

12 ⋅360º

20= 216º

❚ Si x son los grados del sector circular del segundo dato:

x

360º=

8

20→ x =

8 ⋅360º

20= 144º

2 Dibujamos un círculo y con un transportador identificamos la amplitud de cada sector. En cada uno anotamos el dato y su frecuencia o su porcentaje.

❚ El primer dato representa este porcentaje:

216

360⋅100 = 60 → 60%

❚ El segundo dato representa este porcentaje:

144

360⋅100 = 40 → 40%

Género No ficción Ficción

40 %

60 %

El gráfico que resulta se llama diagrama de sectores.

Un diagrama de sectores es un gráfico en el que se representan los datos en un círculo dividido en sectores circulares cuya amplitud es proporcional a la frecuencia absoluta del dato representado.

Aprenderás a… ● Representar mediante un diagrama de sectores los datos de un estudio estadístico.

● Interpretar diagramas de sectores.

Presta atención

Los diagramas de sectores se suelen emplear para estudiar variables estadísticas cualitativas.

Presta atención

Para dibujar un diagrama de sectores, se necesita un compás y un transportador de ángulos o utilizar medios informáticos.

DESAFÍOAnaliza los errores en los siguientes diagramas de sectores.a) b) c)

b) c)

34 %

43%

67 %

b) c)

40 %

40%

20%

35 %

50 %

15 %

26

Soluciones de las actividades20 Susana ha apuntado el tiempo que ha hecho cada día de sus últimas vacaciones.

soleado soleado nublado soleado nublado

lluvioso lluvioso nublado nublado lluvioso

lluvioso nublado soleado nublado nublado

soleado soleado soleado soleado soleado

Realiza un diagrama de sectores que represente estos datos.21 Durante los cuarenta partidos de liga, el delantero centro de un equipo ha metido

estos goles:

1 2 1 2 0 1 1 3 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1

0 1 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 0 0 2 2 0 3 1 1

Representa estos datos con un diagrama de sectores.


Los diagramas de sectores son otros de los gráficos esta-dísticos que más aparecen en los medios de comunicación.

Los alumnos no suelen tener problemas a la hora de inter-pretarlos ya que son muy conocidos por ellos.

El problema de estos gráficos viene a la hora de construirlos utilizando instrumentos de dibujo (compás, regla y trans-portador de ángulos), es conveniente realizar algunos. Tam-bién es aconsejable utilizar las TIC, cualquier hoja de cálculo realiza estos gráficos de forma sencilla.

LluviosoNubladoSoleado

162º

126º

72º

3

2

1

0

90º

180º

18º

72º

249

8Estadística


22 La tabla muestra los resultados de la primera evaluación de una clase de 1.º de ESO.

Construye un diagrama de sectores que represente estos datos.

Más de 443

210

N.º de suspensos

108º

72º72º

36º36º

36º

23 Se ha realizado una encuesta entre los alumnos de una clase sobre el género de la última película que han visto.

Elabora un diagrama de sectores.

DramaTerrorRomántica

ComediaAcción

Género

135º45º

90º 90º

24 Estos son los resultados de una encuesta realizada a los jóvenes de una ciudad en relación con el número de días a la semana que practican alguna actividad deportiva:

a) ¿Cuál es el mayor número de días dedicados por los jóvenes de esta ciudad a hacer deporte?

b) ¿Qué porcentaje de jóvenes realiza deporte más de 4 días?

c) Si la encuesta se ha llevado a cabo sobre una muestra 250 jóvenes, ¿cuántos han contestado que realizan deporte 3 días?

a) 3 días con un 28 % de los jóvenes.

b) Son los que realizan deporte 5, 6 o 7 días, es decir: 11 % + 8 % + 3 % = 22 %

c) Han contestado 3 días el 28 %, luego: 250 ⋅ 0,28 = 70 jóvenes25 Los siguientes diagramas reflejan los resultados relativos a las horas de estu-

dio y el número de suspensos de una clase de 1.º de ESO.

a) ¿Cuántos alumnos estudian más de 2 horas?

b) ¿Cuántos alumnos aprueban todas las materias?

c) Explica razonadamente si existe alguna relación entre los dos gráficos.

a) Son los que estudian 3 o más de 3 horas, es decir, 6 + 2 = 8 alumnos.

b) Aprueban todas las materias 7 alumnos.

c) En el gráfico I hay solo hay 8 alumnos que estudian 3 o más horas y aproximadamente ese número corresponde con el número de alumnos que no suspenden ninguna asignatura. Análogamente, el número de alumnos que no estudia ninguna hora está relacionado con el número de alumnos que suspende más de tres asignaturas.

Desafío26 Analiza los errores en los siguientes diagramas de sectores.

a) b) c)

34 %

43%

67 %

40 %

40%

20%

35 %

50 %

15 %

a) Los porcentajes no suman el 100 %. c) El sector del 50 % no ocupa la mitad.

b) Hay dos sectores con el mismo porcentaje y diferente tamaño.

Género Frecuencia absoluta

Acción 12

Comedia 18

Romántica 6

Terror 12

Drama 0

Número de suspensos

Frecuencia absoluta

0 9

1 6

2 3

3 6

4 3

Más de 4 3

N.º de días 0 días 1 día 2 días 3 días 4 días 5 días 6 días 7 días

3 %

8 %

11 %

17 %

28 %

14 %

11 %

8 %

012

3Más de 3

Horas de estudio4

6

12

6

2

012

3Más de 3

Número de suspensos7

5

8

4

6

I

II

8 Estadística


5. Moda y media

169


168

Indica cuál es la moda de los siguientes datos.a) 2, 3, 2, 4, 5, 2, 2, 3, 4, 3, 5b) Blanco, rojo, blanco, blanco, rojo, rojo, rojoc) Sí, no, no, no, sí, sí, no, no, sí, sí, nod) 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1

En un estudio estadístico sobre la edad de los usuarios de la biblioteca del barrio de Lucía, se ha elegido una muestra y estas son sus edades:

23 35 18 14 36 45 31 48 21 19Calcula la media de edad de los usuarios de esta biblioteca.

La tabla muestra el número de dispositivos móviles en 45 hogares:

N.º de dispositivos móviles N.º de hogares

0 2

1 10

2 12

3 14

4 6

5 1

Calcula la moda y la media aritmética.

A los alumnos de una clase de 1.º de ESO se les ha preguntado por su tipo de programa de televisión favorito. Estas han sido sus respuestas.

Tipo de programa N.º de alumnos

Películas 7

Informativos 3

Concursos 12

Deportivos 12

Decide cuál es la moda.

En una maternidad se han tomado los pesos, en kilogramos, de 24 recién nacidos:

3,2 2,6 2,5 3,4 3,8 3,0 3,7 3,32,9 3,5 2,9 3,3 3,5 3,2 3,1 2,83,6 3,6 3,5 3,1 2,4 3,4 3,4 3,6

Calcula la media del peso de los recién nacidos en la maternidad.

27

28

29

30

31

Se ha lanzado un dado 30 veces y se han obtenido los siguientes resultados:

1 4 2 6 1 4 5 2 4 14 3 3 5 1 2 3 5 1 13 2 3 5 6 2 1 4 2 6

Realiza una tabla de frecuencias. Calcula la moda y la media aritmética.

El siguiente gráfico recoge los datos de una encuesta realizada a 42 850 personas sobre el estado de la circulación en cierta ciudad.

5 %19 %

33 %

20 %

23 %

Estado de la circulación Muy malo Malo Regular Bueno Muy bueno

¿Cuál es la moda?

El siguiente diagrama de barras muestra el número de visitas que registra una página web en una semana.

500

400

300

200

100

0 L

100

M

125

X

250

J

325

V

500

S

550

D

400

N.º de visitas

Halla la media y la moda.

Este polígono de frecuencias marca la temperatura, en °C, en una ciudad durante cinco días.

Temperatura8

6

4

2

01 Día2 3 4 5

5,2•

5,8•

6,4•

6,3•

•2,5

¿Cuál es la temperatura media?

32

33

34

35

5. MODA Y MEDIA

Una empresa de refrescos vende su producto en tres tipos de envases. Para reducir costes, decide fabricar uno solo y realiza una encuesta en la que pregunta por el envase más utilizado. Los resultados han sido los siguientes:

La empresa decide quedarse solo con el envase cuyo dato más se repite, esto es, el de 33 cl. Decimos que el dato más repetido es la moda de los datos.

La moda de un conjunto de datos es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta.

Para calcular la nota final del trimestre, el profesor de Ana le dice que tiene que hacer la media aritmética de las cinco notas que ha sacado en esta evaluación. Sus calificaciones han sido: 6,5 5 7,5 8 7

Para hallar la nota media de Ana, sumamos todas las notas y las dividimos entre el número total de calificaciones:

6,5 + 5 + 7,5 + 8 + 7

5=

34

5= 6,8

La nota media de Ana en el trimestre es de 6,8.

La media aritmética de un conjunto de datos es la suma de todos los datos dividida por el número total de datos.

Aprenderás a… ● Calcular la moda y la media de los datos de un estudio estadístico.

Para representar la moda, utilizamos Mo, y para la media, x .


} Una de las preguntas del cuestionario de un estudio sobre el uso de los videojuegos es: ¿Cuántos videojuegos has comprado en el último año? Las respuestas de los encuestados han sido:

0 2 3 2 4 5 2 2 4 5 0 1 3 2 1 2 4 4 2 1 3 4 5 3 5 4 2 0 1 4

Calcula la moda y la media de estos datos.

Solución

La moda es el dato con mayor frecuencia: 2 videojuegos

La media es: 80

30= 2,7 videojuegos

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOMarta tiene una calificación media de 7,5 en la última evaluación de Matemáticas. En esta evaluación no quiere bajar la nota y ya ha hecho tres exámenes. La nota de la evaluación se calcula haciendo la media de los cuatro exámenes. Si ha sacado un 6,2, un 5,8 y un 8,5, ¿qué nota tiene que sacar como mínimo en el próximo examen?

36

ma1e32

Soluciones de las actividades27 Indica cuál es la moda de los siguientes datos.

a) 2, 3, 2, 4, 5, 2, 2, 3, 4, 3, 5 c) Sí, no, no, no, sí, sí, no, no, sí, sí, no

b) Blanco, rojo, blanco, blanco, rojo, rojo, rojo d) 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1

a) Moda: 2 b) Moda: rojo c) Moda: no d) Moda: 128 Se está haciendo un estudio estadístico sobre la edad de los usuarios de la biblioteca del barrio de Lucía, se ha elegido una

muestra y estas son sus edades: 23 35 18 14 36 45 31 48 21 19

Calcula la media de edad de los usuarios de esta biblioteca.

Media = 23 + 35 + 18 + 14 + 36 + 35 + 31+ 48 + 21+ 19

10=

290

10= 29 años

29 La tabla muestra el número de dispositivos móviles en 45 hogares:

Calcula la moda y la media aritmética.

Media =0 ⋅2 + 1⋅10 + 2 ⋅12 + 3 ⋅14 + 4 ⋅6 + 5 ⋅15

2 + 10 + 12 + 14 + 6 + 1=

Media =0 + 10 + 24 + 42 + 24 + 75

45=

175

45= 4,25 dispositivos

Moda: 3 dispositivos móviles


Hacer hincapié en que la moda es el valor de la variable no el número de veces que se repite la variable. En cuanto a la moda es importante que desechen valores de la media im-posibles por errores de cálculo. Por ejemplo, si los datos es-tán entre 1 y 5, es imposible que la media sea mayor que 5.

Vídeo. MODA Y MEDIA

En este vídeo se muestra cómo determinar la moda y calcular la media de una variable estadística usando una hoja de cálculo. Se puede proponer a los alumnos que elaboren sus propias hojas de cálculo y que comprueben si al variar los datos también lo hacen los resultados.

N.º de dispositivos móviles 0 1 2 3 4 5

N.º de hogares 2 10 12 14 6 1

251

8Estadística


30 A los alumnos de una clase de 1.º de ESO se les ha preguntado por su tipo de programa de televisión favorito. Estas han sido sus respuestas.

Tipo de programa N.º de alumnos Decide cuál es la moda.

La moda es programas de televisión de Concursos y Deportivos.Películas 7

Informativos 3

Concursos 12

Deportivos 12

31 En una maternidad se han tomado los pesos, en kilogramos, de 24 recién nacidos:

3,2 2,6 2,5 3,4 3,8 3,0 3,7 3,3 2,9 3,5 2,9 3,3 3,5 3,2 3,1 2,8 3,6 3,6 3,5 3,1 2,4 3,4 3,4 3,6

Calcula la media del peso de los recién nacidos en la maternidad.

Para calcular la media sumamos todos los datos y se obtiene 77,3. Por tanto: Media =77,3

24= 3,22 kg

32 Se ha lanzado un dado 30 veces y se han obtenido los siguientes resultados:

1 4 2 6 1 4 5 2 4 1 4 3 3 5 1 2 3 5 1 1 3 2 3 5 6 2 1 4 2 6

Realiza una tabla de frecuencias. Calcula la moda y la media aritmética.

Asegurarse que construye correctamente la tabla de frecuencias y para calcular la media sumamos todos los datos y se obtiene 92.

Media =92

30= 3,07 Moda: 1

33 El siguiente gráfico recoge los datos de una encuesta realizada a 42 850 perso-nas sobre el estado de la circulación en cierta ciudad.

¿Cuál es la moda?

La moda es Mala que es el dato que más se repite.

34 El siguiente diagrama de barras muestra el número de visitas que registra una página web en una semana.

Halla la media y la moda.

Media =100 + 125 + 250 + 325 + 500 + 550 + 400

7=

2 250

7=

= 321,4 visitas

Moda: Sábado

35 El siguiente polígono de frecuencias marca la temperatura, en ºC, en una ciudad durante cinco días.

¿Cuál es la temperatura media?

Media =5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,3 + 2,5

5=

26,2

5= 5,2 °C

Desafío36 Marta tiene una calificación media de 7,5 en la última evaluación de Matemáticas. En esta evaluación no quiere bajar la

nota y ya ha hecho tres exámenes. La nota de la evaluación se calcula haciendo la media de los cuatro exámenes. Si ha sacado un 6,2, un 5,8 y un 8,5, ¿qué nota tiene que sacar como mínimo en el próximo examen?

6,2 + 5,8 + 8,5 + x

4→

20,5 + x

4= 6,5 → 20,5 + x = 26 → x = 26− 20,5 = 5,5

Tiene que sacar un 5,5 en el próximo examen.

5 %19 %

33 %

20 %

23 %

Estado de la circulación Muy malo Malo Regular Bueno Muy bueno

500

400

300

200

100

0 L

100

M

125

X

250

J

325

V

500

S

550

D

400

N.º de visitas

Temperatura8

6

4

2

01 Día2 3 4 5

5,2•

5,8•

6,4•

6,3•

•2,5

8 Estadística


6. Rango y mediana

Soluciones de las actividades37 Calcula el rango de los siguientes conjuntos de datos.

a) 12, 15, 17, 19, 25, 28, 28, 32, 35 b) 45, 56, 98, 103, 145, 235, 350

a) Rango: 35 − 12 = 23 b) Rango: 350 − 45 = 30538 Halla el rango de estos datos.

a) 23, 24, 28, 29, 24, 26, 22, 20, 25, 31, 6 b) 9, 3, 12, 3, 8, 15, 12, 5, 7, 3, 14, 11

a) Rango: 31 − 6 = 23 b) Rango: 15 − 3 = 1239 Calcula la mediana de los siguientes datos.

a) 12, 15, 17, 17, 20, 21 c) 11, 25, 17, 17, 20, 21

b) 12, 15, 17, 17, 20, 21, 22 d) 11, 25, 17, 17, 20, 21, 22

a) Mediana =17 + 17

2= 17 c) Mediana =

17 + 17

2= 17

b) Mediana: 17 d) Mediana: 17


Es muy importante destacar la necesidad de ordenar los datos a la hora de calcular cualquiera de estas dos medidas estadísticas, tanto el rango como la mediana.

Para la mediana hay que trabajar la diferencia a la hora de obtener la mediana si tenemos un número par o impar de datos. También genera muchos problemas conocer cuál es la posición que buscamos en el caso de un número de da-tos par o si el número de datos es impar.

171


170

Calcula el rango de los siguientes conjuntos de datos.a) 12, 15, 17, 19, 25, 28, 28, 32, 35b) 45, 56, 98, 103, 145, 235, 350

Halla el rango de estos datos.a) 23, 24, 28, 29, 24, 26, 22, 20, 25, 31, 6b) 9, 3, 12, 3, 8, 15, 12, 5, 7, 3, 14, 11

Calcula la mediana de los siguientes datos.a) 12, 15, 17, 17, 20, 21 c) 11, 25, 17, 17, 20, 21b) 12, 15, 17, 17, 20, 21, 22 d) 11, 25, 17, 17, 20, 21, 22

Halla el rango y la mediana.

a) Dato 0 1 2 3

Frecuencia absoluta 4 3 2 6

b) Dato 0 1 2 3


Los siguientes datos muestran el número de periódicos comprados por un grupo de personas durante la última semana.

N.º de periódicos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N.º de personas 3 2 4 5 8 3 2 1 1 2

Calcula la mediana de estos datos.

El siguiente diagrama de barras muestra la edad de un grupo de amigos que asisten a una fiesta de cumpleaños.

Calcula el rango y la mediana de las edades.

37

38

39

40

41

42

6. RANGO Y MEDIANA

Sergio quiere comprobar cuál ha sido la diferencia de temperatura en su ciudad durante los últimos 15 días. Para ello, ha ido anotando la temperatura que hacía esos días a la misma hora y ha obtenido estos datos:

15 ºC 12 ºC 18 ºC 20 ºC 16 ºC 12 ºC 9 ºC

14 ºC 20 ºC 22 ºC 21 ºC 20 ºC 21 ºC 19 ºC 20 ºC

Como la temperatura mayor ha sido de 22 ºC, y la menor, de 9 ºC, la diferencia entre ellas es: 22 − 9 = 13

Luego, la diferencia de temperatura ha sido de 13 ºC.

El rango o recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre el dato mayor y el menor.

Sergio se pregunta qué temperatura se encuentra justo en el centro de la serie, es decir, cuál tiene el mismo número de datos por encima que por debajo. Para establecer esto:

1 Escribimos todos los datos ordenados de menor a mayor.

9 12 12 14 15 16 18 19 20 20 20 20 21 21 22

2 Buscamos el valor que ocupa la posición central.

❚ Si el número de datos es impar, elegimos el dato que ocupa la posición central.

❚ Si el número de datos es par, elegimos la media de los dos datos centrales.

En este caso, hay 15 datos. Al ser un número impar, elegimos el dato central, es decir, el que ocupa la posición octava.

9 12 12 14 15 16 18 19 20 20 20 20 21 21 22

7 datos Mediana 7 datos

El valor de la mediana es 19 ºC, ya que hay el mismo número de días con una temperatura mayor que menor.

La mediana de un conjunto de datos es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos, es decir, aquel que tiene tantos datos mayores como menores que él.

Aprenderás a… ● Calcular el rango y la mediana de los datos de un estudio estadístico.

Para representar el rango, utilizamos R, y para la mediana, Me.


} Calcula la mediana de las estaturas de este grupo de amigos:

172 cm 168 cm 165 cm 160 cm 170 cm 162 cm 174 cm 164 cm 171 cm 177 cm

Solución

Ordenamos los datos de menor a mayor:

Como hay un número par de datos, 10, para calcular la mediana hallamos la media de los dos datos centrales.

La mediana de la estatura es 169 cm.

160 162 164 165 168 170 171 172 174 177

5 datos Mediana 5 datos

168 + 170

2= 169

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍODe la misma forma que la mediana, podemos definir los cuartiles. Después de ordenar los datos, podemos calcular dos cuartiles: ❚ El primer cuartil deja el 25 % de los datos a su izquierda. ❚ El tercer cuartil deja el 75 % de los datos a su izquierda.

Si tenemos 10 datos, el primer cuartil es la media entre el segundo dato y el tercero, y el tercer cuartil, la media entre el séptimo dato y el octavo. Halla los cuartiles de los siguientes datos: 2, 4, 7, 3, 9, 6, 4, 7, 9, 5

43

253

8Estadística


40 Halla el rango y la mediana. a) Dato 0 1 2 3 b) Dato 0 1 2 3

Frecuencia absoluta 4 3 2 6 Frecuencia absoluta 5 2 7 2

a) Rango = 3 − 0 = 3

El dato que ocupa la posición 8 es la mediana, y es 2.

b) Rango = 3 − 0 = 3

La mediana es la media de los datos que ocupan la posición 7 y 8, esto es: 2 + 2

2= 2

41 Los siguientes datos muestran el número de periódicos comprados por un grupo de personas durante la última semana.

N.º de periódicos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N.º de personas 3 2 4 5 8 3 2 1 1 2

Calcula la mediana de estos datos.

El dato que ocupa la posición 16 es la mediana.

Por tanto: Mediana = 442 El siguiente diagrama de barras muestra la edad de un grupo de amigos que asisten a una fiesta de cumpleaños.

Calcula el rango y la mediana de las edades.

Rango: 14 − 11 = 3 años

Al cumpleaños han asistido 21 amigos, así la mediana es la edad que ocupa la posición 11, esto es, 11 años.

Desafío43 De la misma forma que la mediana, podemos definir los cuartiles. Después de ordenar los datos, podemos calcular dos

cuartiles:

❚❚ El primer cuartil deja el 25 % de los datos a su izquierda.

❚❚ El tercer cuartil deja el 75 % de los datos a su izquierda.

Si tenemos 10 datos, el primer cuartil es la media entre el segundo dato y el tercero, y el tercer cuartil, la media entre el séptimo dato y el octavo.

Halla los cuartiles de los siguientes datos: 2, 4, 7, 3, 9, 6, 4, 7, 9, 5

Primero ordenamos los datos:

25 % 75 % 2 3 4 4 5 6 7 7 9 9

75 % 25 %

El primer cuartil es: 3 + 4

2 = 3,5 El segundo cuartil es:

7 + 9

2 = 8

8 Estadística


Lee y comprende las matemáticas

8 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

172 173

8Actividades

a) Construye un diagrama de barras con el número de descargas.

b) ¿Cuál es el mes en el que se dio un mayor tuiteo?

c) ¿Cuál es la media de usuarios que tuitearon sobre televisión durante ese año?

d) ¿Qué porcentaje de usuarios no tuitean sobre televisión?

e) Realiza el polígono de frecuencias para los usuarios que tuitearon ese año.

a) ¿Cuál es el año con más accidentes mortales? ¿Y con mayor número de víctimas?

b) ¿Cuál es el tipo de vía con más accidentes?

c) Dibuja un diagrama de sectores con el reparto de los 35 accidentes según el tipo de vía en el año 2014.

d) En julio de 2006 se instauró en España el carné por puntos. Analizando el gráfico, ¿crees que esta medida ha tenido algún efecto en el número de accidentes? Justifica la respuesta.

Las aplicaciones se llevan el 86 % del tiempo con el móvil

El navegador web sigue perdiendo terreno en la telefonía

Ni HTML 5 ni nada. Las aplicaciones no son un fenómeno pasajero o, al menos, no tan pasajero como se pensaba cuando nació el fenómeno. Según el estudio de Flurry, en el último año los norteamericanos con teléfono móvil que se conectaban a Internet pasaron el 86 % del tiempo con aplicaciones, y solo el 14 % restante lo pasó conectado al navegador.

Los datos profundizan en las tendencias marcadas hace un año, que también analizó la misma empresa, especializada en medir el tráfico con el móvil. Si hace un año el consumidor se pasaba al día 2 horas y 38 minutos con el móvil, ahora son cuatro minutos más. De ese tiempo, las aplicaciones se llevan seis puntos porcentuales más que hace un año, con 2 horas y 19 minutos frente a los 22 minutos en los que se emplea el navegador web.

Fuente: elpais.com

Fernando no cree que los datos de este estudio reflejen el uso del móvil en España. Para comprobarlo, decide hacer un estudio similar con cinco compañeros de su clase. Cada uno va a anotar el tiempo, en minutos, que pasan navegando por Internet y utilizando apps en el móvil.

Internet 70 50 70 90 60

Apps 90 75 180 110 100

¿Se ajustan estos datos a la noticia?

Analiza la pregunta

¿Se ajustan estos datos a la noticia?

Los norteamericanos […] pasaron el 86 % del tiempo con aplicaciones, y solo el 14 % restante lo pasó conectado al navegador.

Tenemos que comprobar si los datos recogidos muestran los mismos porcentajes que los de la noticia.

Busca los datos

La tabla incluye los datos para resolver el problema.

Utiliza las matemáticas

Calculamos primero el porcentaje de tiempo que cada uno de los alumnos pasa conectado a Internet y el que dedica a manejar apps y, después, la media de estos porcentajes.

Tiempo dedicado a Internet Tiempo dedicado a apps

70

70 + 90= 0,4375 → 44%

90

70 + 90= 0,5625 → 56%

50

50 + 75= 0,4 → 40%

75

50 + 75= 0,6 → 60%

70

70 + 180= 0,28 → 28%

180

70 + 180= 0,72 → 72%

90

90 + 110= 0,45 → 45%

110

90 + 110= 0,55 → 55%

60

60 + 100= 0,375 → 37,5%

100

60 + 100= 0,625 → 62,5%

La media de los porcentajes es:

44 + 40 + 28 + 45 + 37,5

5= 38,9%

56 + 60 + 72 + 55 + 62,5

5= 61,1%

Se puede decir, pues, que para este grupo de personas no se cumplen los datos de la noticia.

Analiza las siguientes informaciones y explícalas.

a) La media de hijos en España es de 1,7 hijos.

b) La policía sanciona cada día a 20 personas en la ciudad por aparcar mal.

46

Silvia ha visto esta información en el periódico. 44

La batalla de las cadenas de televisión se extiende a los móviles

Principales aplicaciones

Usuarios que tuitearon sobre televisión durante 2013.En millones

NombreN.º de descargas

E F M A M J J A S O N D

MITELE1 500 000

CONECTA1 000 000

+TVE100 000

El78%

de los usuariostuitearon sobre

televisión

TOCKIT100 000

0,74 0,84 0,85

1,191,41

1,53

1,06 1,13

1,41 1,31 1,27 1,29

Fuente: elmundo.es

Mario ha encontrado estos gráficos en una página de Internet.45

Accidentalidad en las carreteras en Semana Santa

103

64

46 4439

45

2635

2006 2014 2010 2014

106

88•

28•

23•

37•

36•41

•45•

55•

81•

33•

8•3•

6•

7•

3•4•

13•2•

83•

35•

21•

30•

•0•

Fallecidos y accidentes mortales

Fallecidos segúnel tipo de vía

Accidentescon víctimas mortales

Fallecidos

Número de víctimas

Carreteras convencionales

•

•Autopistas•Autovías•

Fuente: elpais.es

Soluciones de las actividades44 Silvia ha visto esta información en el periódico.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se les plantea alguna situación que pueden encontrarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir los estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo afrontar problemas en los que interviene la estadís-tica para conseguir que sean capaces de comprender los estudios que se realizan.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

a) Construye un diagrama de barras con el número de descargas.

b) ¿Cuál es el mes en el que se dio un mayor tuiteo?

c) ¿Cuál es la media de usuarios que tuitearon sobre televisión durante este año?

d) ¿Qué porcentaje de usuarios no tuitean sobre te-levisión?

e) Realiza el polígono de frecuencias para los usuarios que tuitearon este año.

La batalla de las cadenas de televisión se extiende a los móvilesPrincipales aplicaciones

Usuarios que tuitearon sobre televisión durante 2013.En millones

NombreN.º de descargas

E F M A M J J A S O N D

MITELE1 500 000

CONECTA1 000 000

+TVE100 000

El78%

de los usuariostuitearon sobre

televisión

TOCKIT100 000

0,74 0,84 0,85

1,191,41

1,53

1,06 1,13

1,41 1,31 1,27 1,29

255

8Estadística


a) e)

400 000

800 000

1 200 000

1 600 000

2 000 000

1 500 000

1 000 000

100 000100 000

MITELE CONECTA +TVE TOCKIT E F M A M J J A S O N D

0,74 0,84 0,85

1,191,41

1,53

1,06 1,13

1,41 1,31 1,27 1,29

b) Se dió en junio.

c) Media =0,74 + 0,84 + 0,85 + 1,19 + 1,41+ 1,53 + 1,06 + 1,13 + 1,41+ 1,31+ 1,27 + 1,29

12=

14,03

12= 1,17 millones

d) 100 % − 78 % = 22 %45 Mario ha encontrado estos gráficos en una página de Internet.

Accidentalidad en las carreteras en Semana Santa

103

64

46 4439

45

2635

2006 2014 2010 2014

106

88•

28•

23•

37•

36•41

•45•

55•

81•

33•

8•3•

6•

7•

3•4•

13•2•

83•

35•

21•

30•

•0•

Fallecidos y accidentes mortales

Fallecidos segúnel tipo de vía

Accidentescon víctimas mortales

Fallecidos

Número de víctimas

Carreteras convencionales

•

•Autopistas•Autovías•

a) Es el año 2006.

b) En todos los años las carreteras convencionales superan a las autovías y autopistas en número de víctimas.

c)

Autovías

Autopistas

Carreterasconvencionales

Fallecidos en 2014

308,58º

20,57º30,86º

d) Se observa claramente en el gráfico cómo se reduce el número de accidentes.

Analiza46 Analiza las siguientes informaciones y explícalas.

a) La media de hijos en España es de 1,7 hijos.

b) La policía sanciona cada día a 20 personas en la ciudad por aparcar mal.

a) Es imposible tener 1,7 hijos pero este es un valor medio que indica que está más cerca de 2 hijos que de 1.

b) Con esta información no podemos sacar ninguna conclusión si no sabemos el tamaño de la ciudad.

a) ¿Cuál es el año con más accidentes mortales? ¿Y el año con mayor número de víctimas?

b) ¿Cuál es el tipo de vía con más accidentes?

c) Dibuja un diagrama de sectores con el reparto de los 35 accidentes según el tipo de vía.

d) En julio de 2006 se instauró en España el carné por pun-tos. Analizando el gráfico, ¿crees que esta medida ha te-nido algún efecto en el número de accidentes? Justifica la respuesta.

8 Estadística



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚Construir tablas de frecuencias. ❚❚ Representar gráficos estadísticos. ❚❚Calcular moda, media, rango y mediana.

Actividades finalesSoluciones de las actividades47 Indica cuál es la población y, si es necesaria, una muestra en los siguientes estudios estadísticos.

a) El número de asignaturas suspensas en 1.º de ESO por los alumnos de una comunidad autónoma.

b) El número de hermanos de los alumnos de una clase.

c) El color de los ojos de los alumnos de un centro escolar.

d) El deporte preferido por los habitantes de una gran ciudad.

a) Población: Alumnos matriculados. Muestra: Sí c) Población: Alumnos de un centro escolar. Muestra: No

b) Población: Alumnos de una clase. Muestra: No d) Población: habitantes de una ciudad escolar. Muestra: Sí48 Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas.

a) El color del pelo. c) El número de viajes realizados el último año.

b) La cantidad de agua bebida en un día. d) El tiempo dedicado a ver la televisión cada día.

a) Cualitativa b) Cuantitativa c) Cuantitativa d) Cuantitativa49 Jesús ha realizado una encuesta sobre los gustos de sus compañeros de clase a la hora de elegir el destino en vacaciones.

Jesús ha ido anotando los resultados de la encuesta en la siguiente libreta. Elabora una tabla de frecuencias con los resul-tados obtenidos.

¿Qué tienes que saber?

174 175

¿QUÉ8 tienes que saber? Actividades Finales 8

a) Construye una tabla de frecuencias con los datos.

Datos 0 1 2 3 4

Frecuencia absoluta 2 4 7 12 5

Frecuencia relativa

2

30= 0,07

4

30= 0,13

7

30= 0,23

12

30= 0,4 5

30= 0,17

Tablas de frecuenciasTen en cuenta

❚ La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite.

❚ La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos.

Se ha preguntado a 30 conductores sobre el número de veces que han echado gasolina en el último mes. Los resultados han sido los siguientes:

3 3 2 2 3 4 3 4 2 4 1 3 0 2 3 3 1 3 3 4 2 3 1 1 3 4 2 2 0 3

c) Calcula el valor de la moda, la media, el rango y la mediana.

En la tabla de frecuencias, añadimos una columna con el producto de cada dato por su frecuencia absoluta y sumamos luego los resultados.

❚ Moda = 3 veces

❚ Media = 74

30= 2,5 veces

❚ Rango = 4 – 0 = 4

❚ Mediana: como hay un número par de datos, hallamos la media de los datos que ocupan los lugares 15 y 16.

0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

15 datos

Mediana =3 + 3

2=

6

2= 3

15 datos

Moda, media, rango y medianaTen en cuenta

❚ La moda de un conjunto de datos es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta.

❚ La media aritmética de un conjunto de datos es la suma de todos los datos dividida por el número total de datos.

❚ El rango o recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre el dato mayor y el menor.

❚ La mediana de un conjunto de datos es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos.

Dato Frecuencia absoluta

Dato ⋅ frecuencia absoluta

0 2 0 ⋅ 2 = 0

1 4 1 ⋅ 4 = 4

2 7 2 ⋅ 7 = 14

3 12 3 ⋅ 12 = 36

4 5 4 ⋅ 5 = 20

Total 30 74

Población y muestra. Variables

Indica cuál es la población y, si es necesaria, una muestra en los siguientes estudios estadísticos.

a) El número de asignaturas suspensas en 1.º de ESO por los alumnos de una comunidad autónoma.

b) El número de hermanos de los alumnos de una clase.

c) El color de los ojos de los alumnos de un centro escolar.

d) El deporte preferido por los habitantes de una gran ciudad.

Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas.

a) El color del pelo.

b) La cantidad de agua bebida en un día.

c) El número de viajes realizados el último año.

d) El tiempo dedicado a ver la televisión cada día.

Tablas de frecuencias

Jesús ha realizado una encuesta sobre los gustos de sus compañeros de clase a la hora de elegir el destino en vacaciones. Jesús ha ido anotando los resultados de la encuesta en su libreta:

Elabora una tabla de frecuencias con los resultados obtenidos.

Los siguientes datos muestran el mes de nacimiento de un grupo de alumnos:junio diciembre octubre abril abril julio enero agosto mayo julio diciembre julio abril octubre enerofebrero octubre mayo julio diciembremarzo abril octubre enero enero abril octubre febrero enero junio

Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

47

48

49

50

Una variable estadística toma los siguientes datos:0 1 0 3 1 4 1 3 5 22 3 0 1 4 3 5 2 1 0

Realiza una tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

Los siguientes datos son el resultado de una variable estadística.

alto bajo alto medio alto altobajo alto medio alto medio bajobajo medio medio alto

Construye una tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

Estos datos muestran el grado de satisfacción de los clientes de un hotel al finalizar su estancia.

2 5 8 4 7 3 8 4 1 63 8 4 3 5 9 2 7 2 59 10 5 5 7 8 6 7 6 9

Realiza una tabla de frecuencias agrupando los datos de la siguiente forma:

NivelMuy bajo

Bajo Medio Alto Muy alto

Grado 0, 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

Se quiere identificar por edad y sexo a los usuarios de un gimnasio. La tabla muestra los resultados obtenidos tras la encuesta.

Menores o iguales que 30 años

Mayores que 30 años

Masculino 55 20

Femenino 25 20

a) Construye una tabla de frecuencias que muestre los datos de la variable estadística sexo.

b) Elabora otra tabla de frecuencias para los datos de la variable edad.

Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias:


Frecuencia relativa

0 4 O

1 O 0,25

2 2 0,10

3 1 O

4 O 0,30

5 O 0,10

20 O

51

52

53

54

55

b) Representa los datos en un diagrama de barras y en un diagrama de sectores.

Gráficos estadísticosTen en cuenta

❚ Un diagrama de barras es un gráfico en el que se representa sobre cada dato de la variable una barra cuya longitud es la frecuencia absoluta de ese dato.

❚ Un diagrama de sectores es un gráfico en el que se representan los datos en un círculo dividido en sectores circulares cuya amplitud es proporcional a la frecuencia absoluta del dato representado.

N.º de veces

141210

86420

4

Frecuencia

3210

Si es posible unir los extremos superiores de cada barra, formamos el polígono de frecuencias.

24

712

5N.º de veces 0 1 2 3 4

x

360=

12

30→ x =

12 ⋅360

30→ x = 144º

257

8Estadística


Dato Playa Montaña Ciudad



36=

4

9

12

36=

1

3

8

36=

2

91

50 Los siguientes datos muestran el mes de nacimiento de un grupo de alumnos:

junio diciembre octubre abril abril febrero octubre mayo julio diciembre

julio enero agosto mayo julio marzo abril octubre enero enero

diciembre julio abril octubre enero abril octubre febrero enero junio

Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

Datos Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov Dic.

Frec. absoluta 5 2 1 5 2 2 4 1 0 5 0 3

Frec. relativa 0,17 0,07 0,03 0,17 0,07 0,07 0,13 0,03 0 0,17 0 0,1

51 Una variable estadística toma los siguientes datos:

0 1 0 3 1 4 1 3 5 2 2 3 0 1 4 3 5 2 1 0

Realiza una tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

52 Los siguientes datos son el resultado de una variable estadística.

alto bajo alto medio alto alto bajo medio bajo alto medio alto medio bajo medio alto

Construye una tabla con las frecuencias absolutas y relativas.53 Estos datos muestran el grado de satisfacción de los clientes de un hotel al finalizar su estancia.

2 5 8 4 7 3 8 4 1 6 9 10 5 5 7 3 8 4 3 5 9 2 7 2 5 8 6 7 6 9

Realiza una tabla de frecuencias agrupando los datos de la siguiente forma:

Nivel Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto

Grado 0, 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

Frec. absoluta 4 6 8 8 4 30

Frec. relativa 0,13 0,2 0,27 0,27 0,13 1

54 Se quiere identificar por edad y sexo a los usuarios de un gimnasio. La tabla muestra los resultados obtenidos.

Menores o iguales que 30 años

Mayores que 30 años

Masculino 55 20

Femenino 25 20

a) Dato Frec. absoluta Frec. relativa b) Dato Frec. absoluta Frec. relativa

Masculino 75 0,625 Menores o iguales que 30 años 80 0,67

Femenino 45 0,375 Mayores que 30 años 40 0,33

55 Copia y completa la siguiente tabla de frecuencias:

Dato Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

0 4 0,2

1 0,25 ⋅ 20 = 5 0,25

2 2 0,1

3 1 0,05

4 0,3 ⋅ 20 = 6 0,3

5 0,1 ⋅ 20 = 2 0,1

20 1

a) Construye una tabla de frecuencias que muestre los da-tos de la variable estadística sexo.

b) Elabora otra tabla para los datos de la variable edad.

Datos 0 1 2 3 4 5

Frec. absoluta 4 5 3 4 2 2 20

Frec. relativa 0,2 0,25 0,15 0,2 0,1 0,1 1

Dato alto medio bajo

Frec. absoluta 7 5 4 16

Frec. relativa 0,44 0,31 0,25 1

8 Estadística


56 A las puertas de un centro médico se está realizando una encuesta sobre el número de veces que se ha visitado el centro para asistir a consulta en los tres últimos meses. Estos son los resultados:

1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 4 1 5 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 4 1 3 2 2 1

Realiza un diagrama de barras.

57 A los 120 trabajadores de una empresa se les ha preguntado por el medio de transporte que utilizan para acudir al trabajo. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos:

Representa estos datos en un diagrama de barras. ¿Es posible representar-los en un polígono de frecuencias?

51525

3545

Bus MotoBicicleta Coche A pie

58 En un supermercado se han producido las siguientes ventas durante una hora:

❚❚Carnicería: 450 € ❚❚ Frutería: 275 € ❚❚ Panadería: 125 € ❚❚ Pescadería: 300 €

a) Construye una tabla de frecuencias. b) Realiza un diagrama de barras. c) Elabora un diagrama de sectores.

No tiene sentido porque se trata de una variable cualitativa.

177

Actividades Finales 8

176

8 Estadística

Moda, media, rango y mediana

Halla la moda de los siguientes datos.

a) blanco, negro, blanco, blanco, negro, negro

b) 20, 27, 25, 21, 26, 22, 29, 28, 23, 24, 30

Halla la media de los siguientes datos.

a) 10, 20, 10, 20, 10, 20, 10, 20

b) 5, 5, 5, …, 5

Calcula el rango de estos datos.

a) 1, 43, 78, 34, 79, 23, 94, 82, 36, 100

b) 3, 3, 3, 3, 3, 30, 300

Halla la mediana de los siguientes datos.

a) 15, 18, 18, 15, 15

b) 18, 15, 15, 18, 18

c) 18, 15, 18, 18, 15, 15

d) 15, 18, 18, 15, 15, 15

Calcula la media, la mediana y la moda de estas variables estadísticas.

a)Dato Frecuencia

absolutab)


0 3 1 6

2 12 2 3

4 5 3 6

6 6 4 6

8 5 5 4

10 4

En un experimento se pide calcular el peso de un objeto con una romana.

Cada uno de los diez participantes ha dado un peso distinto. Estos han sido los resultados expresados en kilogramos:

5,6 5,2 5,5 5,5 5,7 5,0 5,8 5,4 5,5 5,7

Calcula la media, la mediana y la moda de los datos y elige cuál de los tres valores representa mejor al peso del objeto.

62

63

64

65

66

67

Gráficos estadísticos

A las puertas de un centro médico se está realizando una encuesta sobre el número de veces que se ha visitado el centro para asistir a consulta en los tres últimos meses. Estos son los resultados:

1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 4 1 5 13 2 1 3 2 1 2 2 1 4 1 3 2 2 1

Realiza un diagrama de barras.

A los 120 trabajadores de una empresa se les ha preguntado por el medio de transporte que utilizan para acudir al trabajo. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos:

Tipo detransporte

N.º de personas

Autobús 25

Moto 10

Bicicleta 5

Coche particular 45

A pie 15

Representa estos datos en un diagrama de barras. ¿Podemos construir el polígono de frecuencias correspondiente?

En un supermercado se han producido las siguientes ventas durante una hora: ❚ Carnicería: 450 € ❚ Frutería: 275 € ❚ Panadería: 125 € ❚ Pescadería: 300 €

a) Construye una tabla de frecuencias.b) Realiza un diagrama de barras.c) Elabora un diagrama de sectores.

El siguiente diagrama de barras refleja la respuesta de un grupo de familias a la pregunta por el número de hijos que tienen:

N.º de familias

N.º de hijos

16

2

4

6

8

10

12

14

00 1 2 3 4 5 6

Elabora una tabla de frecuencias con los datos del gráfico.

56

57

58

59

En la era de la información prácticamente todo se teclea en un ordenador.

Para comprobar la habilidad con el teclado, se cuenta el número de palabras tecleadas en un minuto por un grupo de alumnos.

35 25 32 45 51 43 28 51 45 62Calcula la moda, la media, el rango y la mediana.

Las edades de las madres de los alumnos de una clase de 1.º de ESO son:

37 35 42 39 42 38 45 36 39 4743 38 44 45 35 39 40 41 37 4446 43 39 44 39 40 42 43 37 47

Calcula la media, la moda, la mediana y el rango.

Una heladería vende conos de chocolate y de vainilla. Las ventas durante una semana han sido:

Vainilla ChocolateTipo de helado60

2518

33

23

35

2430 28

45 4552

43

55 60

50

40

30

20

10

0 L M M J V S D

De media, ¿qué tipo de helado se ha vendido mejor en la semana?

La tabla muestra las anotaciones de tres jugadores de baloncesto durante los últimos 6 partidos.

Partido Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3

1 6 12 9

2 8 8 10

3 15 4 10

4 10 16 8

5 9 17 12

6 12 3 11

¿Qué jugador tiene mejor media de puntuación?

68

69

70

71

Se ha anotado el número de coches aparcados en una calle durante los siete días de la semana a la misma hora. El siguiente gráfico muestra el resultado de las anotaciones:

•

••

•

•

•

•

N.º de coches

50

40

30

20

10

0

4538

35

42

31

12

47

L M M J V S D

a) Indica el tipo de variable estadística.

b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del martes?

c) ¿Cuántos coches han aparcado en total durante la semana?

d) ¿Cuál es la frecuencia relativa del jueves?

e) ¿Qué día de la semana han aparcado más coches?

f) ¿Qué día han aparcado menos coches?

Según un estudio sobre el grupo sanguíneo, el reparto entre la población es el que muestra el siguiente diagrama:

a) ¿De qué tipo es la variable estadística grupo sanguíneo?

b) Elabora un diagrama de sectores que muestre la variable estadística grupo sanguíneo.

c) Realiza un diagrama de barras para el grupo sanguíneo sin tener en cuenta el factor Rh, + o −, es decir, considera solo los tipos A, B, AB y O.

d) ¿Cuál es el tipo y factor de sangre más frecuente? ¿Y cuál es el menos frecuente?

e) Si la población de España se estima en unos 47 millones de habitantes, ¿cuántos españoles habrá aproximadamente con un tipo y factor A+?

60

61

Tipo de transporte N.º de personas

Autobús 25

Moto 10

Bicicleta 5

Coche particular 45

A pie 15

2

4

68

101214

1 2 3

4

5

1613

9

2 1

5

259

8Estadística


a) Frec. absoluta Frec. relativa

Carnicería 450450

1150= 0,39

Frutería 275275

1150= 0,24

Panadería 125125

1150= 0,11

Pescadería 300300

1150= 0,26

1 150 1

59 El siguiente diagrama de barras refleja la respuesta de un grupo de familias a la pregunta por el número de hijos que tienen:

Elabora una tabla de frecuencias con los datos del gráfico.

Dato 0 1 2 3 4 5 6

Frec.

absoluta4 6 15 8 4 2 1 40

Frec. relativa 0,1 0,15 0,375 0,2 0,1 0,15 0,025 1

60 Se ha anotado el número de coches aparcados en una calle du-rante los siete días de la semana a la misma hora. El siguiente gráfico muestra el resultado de las anotaciones:

a) Indica el tipo de variable estadística.

b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del martes?

c) ¿Cuántos coches han aparcado en total durante la semana?

d) ¿Cuál es la frecuencia relativa del jueves?

e) ¿Qué día de la semana han aparcado más coches?

f) ¿Qué día han aparcado menos coches?

a) Es una variable estadística cuantitativa. d) La frecuencia relativa del jueves es: 42

250= 0,17

b) Es de 38 coches aparcados. e) El domingo

c) En total han aparcado en la semana: f) El sábado

45 + 38 + 35 +42 +31 + 12 + 47 = 25061 Según un estudio sobre el grupo sanguíneo, el reparto entre la población es el que

muestra el siguiente diagrama:

a) ¿De qué tipo es la variable estadística grupo sanguíneo?

b) Elabora un diagrama de sectores que muestre la variable estadística grupo sanguíneo.

c) Realiza un diagrama de barras para el grupo sanguíneo sin tener en cuenta el factor Rh, + o −, es decir, considera solo los tipos A, B, AB y O.

d) ¿Cuál es el tipo y factor de sangre más frecuente? ¿Y cuál es el menos frecuente?

e) Si la población de España se estima en unos 47 millones de habitantes, ¿cuántos españoles habrá aproximadamente con un tipo y factor A+?

N.º de familias

N.º de hijos

16

2

4

6

8

10

12

14

00 1 2 3 4 5 6

b)

Carn. Frut. Pan. Pesc.

50100150200250300350400450 450

125

275 300

c)

PescaderíaPanadería

FruteríaCarnicería

140,57º

86,09º

39,13º

93,91º

•

••

•

•

•

•

N.º de coches

50

40

30

20

10

0

4538

35

42

31

12

47

L M M J V S D

8 Estadística


a) Cualitativa.

b) c)

AB

AB+

B

B+

A

A+

O

O+

−

− −

−

136,8º

122,4º

32,4º

25,2º

21,6º

7,2º3,6º10,8º

Grupo sanguíneo

51015202530354045

O A B AB

4540

11

4

d) El tipo de sangre más frecuente es el O con un porcentaje del 45 % y el factor el + con el 84 %.

e) 47 000 000 ⋅ 0,34 = 15 980 000 personas62 Halla la moda de los siguientes datos.

a) blanco, negro, blanco, blanco, negro, negro b) 20, 27, 25, 21, 26, 22, 29, 28, 23, 24, 30

a) Moda: blanco y negro. b) Moda: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 30.63 Halla la media de los siguientes datos.

a) 10, 20, 10, 20, 10, 20,10, 20 b) 5, 5, 5, …, 5

a) Media aritmética: 15 b) Media aritmética: 564 Calcula el rango de estos datos.

a) 1, 43, 78, 34, 79, 23, 94, 82, 36, 100 b) 3, 3, 3, 3, 3, 30, 300

a) Rango: 100 − 1 = 99 b) Rango: 300 − 3 = 29765 Halla la mediana de los siguientes datos.

a) 15, 18, 18, 15, 15 b) 18, 15, 15, 18, 18 c) 18, 15, 18, 18, 15, 15 d) 15, 18, 18, 15, 15, 15

a) 15 b) 18 c) 15 + 18

2= 16,5 d)

15 + 15

2= 15

66 Calcula la media, la mediana y la moda de estas variables estadísticas.a) Dato Frecuencia absoluta b) Dato Frecuencia absoluta

0 3 1 6

2 12 2 3

4 5 3 6

6 6 4 6

8 5 5 4

10 4

a) Moda: 2 Mediana: 4 Media = 0 ⋅3 + 2 ⋅12 + 4 ⋅5 + 6 ⋅6 + 8 ⋅5 + 10 ⋅ 4

3 + 12 + 5 + 6 + 5 + 4=

160

35= 4,57

b) Moda: 1, 3 y 4 Mediana: 3 Media = 1⋅6 + 2 ⋅3 + 3 ⋅6 + 4 ⋅6 + 5 ⋅5

6 + 3 + 6 + 6 + 4=

79

25= 3,16

67 En un experimento se pide calcular el peso de un objeto con una romana. Cada uno de los diez participantes ha dado un peso distinto. Estos han sido los resultados en kilogramos: 5,6 5,2 5,5 5,5 5,7 5,0 5,8 5,4 5,5 5,7

Calcula la media, la mediana y la moda de los datos y elige cuál de los tres valores representa mejor al peso del objeto.

❚❚ Moda: 5,5

❚❚ Para calcular la mediana ordenamos los datos: 5,0 5,2 5,4 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,8

❚ La mediana es: 5,5 + 5,5

2= 5,5 = 5,5

❚❚ Media: 5,6 + 5,2 + 5,5 + 5,5 + 5,7 + 5,0 + 5,8 + 5,4 + 5,5 + 5,7

10=

54,9

10= 5,49

El valor que mejor representa los datos es la media aritmética de todos los pesos.

261

8Estadística


68 En la era de la información prácticamente todo se teclea en un ordenador.

Para comprobar la habilidad con el teclado, se cuenta el número de palabras tecleadas en un minuto por un grupo de alumnos.

35 25 32 45 51 43 28 51 45 62

Calcula la moda, la media, el rango y la mediana.

❚❚ Moda: 45 y 51

❚❚ Media: 35 + 25 + 32 + 45 + 51+ 43 + 28 + 51+ 45 + 62

10=

417

10= 41,7

❚❚ Rango: 62 − 25 = 37

❚❚ Ordenamos los datos para calcular la mediana: 25 28 32 35 43 45 45 51 51 62

❚ La mediana es: 43 + 45

2= 44

69 Las edades de las madres de los alumnos de una clase de 1.º de ESO son:

37 35 42 39 42 38 45 36 39 47 43 38 44 45 35 39 40 41 37 44 46 43 39 44 39 40 42 43 37 47

Calcula la media, la moda, la mediana y el rango.

Organizamos los datos en una tabla.

Edad 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

N.º de madres 2 1 3 2 5 2 1 3 3 3 2 1 2

❚❚ Moda: 39

❚❚ Media:

35 ⋅2 + 36 ⋅1+ 37 ⋅3 + 38 ⋅2 + 39 ⋅5 + 40 ⋅2 + 41⋅1+ 42 ⋅3 + 43 ⋅344 ⋅3 + 45 ⋅2 + 46 ⋅1+ 47 ⋅2

30=

1226

30= 40,87

❚❚ Rango: 47 − 35 = 12

❚❚ Mediana: 40 + 41

2= 40,5

70 Una heladería vende conos de chocolate y de vainilla. Las ventas durante una semana han sido:

De media, ¿qué tipo de helado se ha vendido mejor en la semana?

Chocolate: 25 + 33 + 35 + 30 + 45 + 52 + 55

7=

275

7= 39,3

Vainilla: 18 + 23 + 24 + 28 + 45 + 43 + 60

7=

241

7= 34,4

71 La tabla muestra las anotaciones de tres jugadores de baloncesto durante los últimos 6 partidos.

Partido Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3

1 6 12 9

2 8 8 10

3 15 4 10

4 10 16 8

5 9 17 12

6 12 3 11

¿Qué jugador tiene mejor media de puntuación?

Media del jugador 1: 6 + 8 + 15 + 10 + 9 + 12

6=

60

6= 10


6=

60

6= 10


6=

60

6= 10

Los tres jugadores tienen la misma media.

Vainilla ChocolateTipo de helado60

2518

33

23

35

2430 28

45 4552

43

55 60

50

40

30

20

10

0 L M M J V S D

8 Estadística


Matemáticas vivas

8 MATEMÁTICAS VIVAS

178 179

8El uso de la bicicleta

Cada vez son más las personas que utilizan la bicicleta para ir a su trabajo. Esto, además de suponer un gran beneficio para la salud, mejora el medioambiente y hace más transitables las ciudades.

En el año 2011 se realizó un estudio acerca de la evolución del uso de la bicicleta durante los últimos cuatros años.

RELACIONA

Según el Instituto Nacional de Estadística, el año del estudio había en España 39 076 489 personas con edades comprendidas entre los 12 y los 79 años.

a. ¿Qué porcentaje de personas que no sabían montar en bicicleta realizaron la encuesta?

b. ¿Cuántas personas en España se estima que no saben montar en bicicleta?

El estudio refleja el porcentaje de hogares españoles que tienen al menos una bicicleta.

a. ¿Qué porcentaje de hogares españoles hay con al menos una bicicleta?

b. ¿Qué porcentaje de hogares hay sin bicicleta?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. ¿Por qué refleja el estudio que una amplia mayoría de los hogares españoles tiene al menos una bicicleta y, sin embargo, solo la utiliza habitualmente menos de la mitad de las personas?

3

4

COMPRENDE

Observa la ficha técnica del estudio estadístico.

¿Cuál es la población a la que se le realiza la encuesta? ¿Se ha utilizado una muestra en el estudio estadístico?

Observa el gráfico estadístico.

a. ¿Qué grupo es más numeroso: el de personas que utilizan la bicicleta o el de personas que no la utilizan?

b. ¿Qué porcentaje de personas utilizan la bicicleta todos los días?

c. De las personas que sí usan la bicicleta, ¿cuál es la frecuencia de uso mayor?

1

2

REFLEXIONA

El estudio sobre la bicicleta pretende crear un perfil de usuario de bicicletas en España. En estos gráficos se muestra el porcentaje de población, en azul, y el porcentaje de usuarios de la bicicleta, en naranja.

Sexo100

80

49,563,6

50,136,4

60

40

20

0Hombre Mujer

Edad100

80

16,225,8 29,6

63,1

26,725,418,4

10,4 9,02,4

60

40

20

0 De 12a 24

De 25a 39

De 40a 54

De 55a 69

De 70a 79

Ocupación100

80

48,756,9

9,8 9,516,2

6,4 11,14,913,1

21,2

60

40

20

0 Trabajadoresen activo

Parados Jubilados,pensionistas

Amasde casa

Estudiantes

a. A partir del diagrama de barras que representa la ocupación, qué porcentaje del total de la población son estudiantes y usan la bicicleta.

COMUNICA

RESUELVE

b. ¿Cuál es el perfil del usuario de bicicletas en España?

El estudio analiza el problema relativo al lugar en el que las personas guardan sus bicicletas y detecta una variación en los resultados según el tamaño de la localidad en la que residen.

Se ha realizado un estudio estadístico similar entre los alumnos de 1.º de ESO de un centro escolar. La pregunta acerca de dónde guardan los alumnos sus bicicletas ha arrojado los siguientes resultados:

Trastero Garaje Balcón Vivienda

13 84 3 8

¿En qué tipo de localidad de las recogidas en el gráfico se encuentra el centro escolar de la encuesta?

ARGUMENTA

5

6


ARGUMENTA

PIENSA Y RAZONA

¿Cuál es la población a la que se le realiza la encuesta? ¿Se ha utilizado una muestra en el estudio

PIENSA Y RAZONA

RESUELVE

ARGUMENTA

COMUNICA

TRABAJO

COOPERATIVO

Paquetes de productosSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el uso de la bicicleta, en la que interviene la estadística.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Resuelve, Comunica, Utiliza las TIC, Argumenta o Representa.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es 1 – 2 – 4, de Pere Pujolàs a partir de David y Roger Johnson.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos diseñarán y realizarán una encuesta sobre el uso de la bicicleta en su ciudad.

Soluciones de las actividades

Comprende1 Observa la ficha técnica del estudio estadístico.

¿Cuál es la población a la que se le realiza la encuesta?

¿Se ha utilizado una muestra en el estudio estadístico?

La población son los habitantes en España y sí se ha realizado una muestra.

263

8Estadística


2 Observa el gráfico estadístico.

a) ¿Qué grupo es más numeroso: el de personas que utili-zan la bicicleta o el de personas que no la utilizan?

b) ¿Qué porcentaje de personas utilizan la bicicleta todos los días?

c) De las personas que sí usan la bicicleta, ¿cuál es la fre-cuencia de uso mayor?

a) Es más numeroso el grupo de personas que no usa la bicicleta.

b) La utilizan el 7,4 %.

c) Es una vez a la semana con un 12,5 %.

Relaciona3 Según el Instituto Nacional de Estadística, el año del estudio había en España 39 076 489 personas con edades compren-

didas entre los 12 y los 79 años.

a) ¿Qué porcentaje de personas que no sabían montar en bicicleta contestaron en la encuesta?

b) ¿Cuántas personas en España se estima que no saben montar en bicicleta?

a) El porcentaje de personas que no sabe montar en bicicleta es: 100 % − 40,3 % − 47,15 = 12,6 %

b) Se estima que son: 39 076 489 ⋅ 0,126 = 4 923 637,6 personas4 El estudio refleja el porcentaje de hogares españoles que tienen al

menos una bicicleta.

a) ¿Qué porcentaje de hogares españoles hay con al menos una bicicleta?

b) ¿Qué porcentaje de hogares hay sin bicicleta?

c) ¿Por qué refleja el estudio que una amplia mayoría de los hoga-res españoles tiene al menos una bicicleta y, sin embargo, solo la utiliza habitualmente menos de la mitad de las personas?

a) El 18,4 % + 21,5 % + 33,4 % = 73,3 %.

b) El 100 − 73,3 = 26,7 %.

c) Porque en los hogares viven más de una persona, se puede tener una bicicleta en el hogar y solo la utiliza una de ellas.

Reflexiona5 El estudio sobre la bicicleta pretende crear un perfil de usuario de bicicletas en España. En estos gráficos se muestra el

porcentaje de población, en azul, y el porcentaje de usuarios de bicicleta, en naranja.

Sexo100

80

49,563,6

50,136,4

60

40

20

0Hombre Mujer

Edad100

80

16,225,8 29,6

63,1

26,725,418,4

10,4 9,02,4

60

40

20

0 De 12a 24

De 25a 39

De 40a 54

De 55a 69

De 70a 79

Ocupación100

80

48,756,9

9,8 9,516,2

6,4 11,14,913,1

21,2

60

40

20

0 Trabajadoresen activo

Parados Jubilados,pensionistas

Amasde casa

Estudiantes

a) A partir del diagrama de barras que representa la ocupación, qué porcentaje del total de la población son estudiantes y usan la bicicleta.

b) ¿Cuál es el perfil del usuario de bicicletas en España?

a) Los estudiantes son el 13,1 % de la población y de estos el 21,2 % son usuarios de la bicicleta, luego:

0,131 ⋅ 0,212 = 0 ,027 → El 2,7 % del total de la población son estudiantes y usan la bicicleta.

b) El perfil corresponde a un hombre, de 25 a 39 años, trabajador en activo.

8 Estadística


6 El estudio analiza el problema relativo al lugar en el que las personas guardan sus bicicletas y detecta una variación en los resultados según el tamaño de la localidad en la que residen.

Se ha realizado un estudio estadístico similar entre los alumnos de 1.º de ESO de un centro escolar. La pregunta acerca de dónde guardan los alumnos sus bicicletas ha arrojado los siguientes resultados:


13 84 3 8


Calculamos una tabla con los porcentajes.


Frec. absoluta 13 84 3 8 108

Frec. relativa 0,120 0,778 0,028 0,074 1

Porcentaje 12 % 77,8 % 2,8 % 7,4 % 100 %

Los resultados se acercan más a una población de menos de 10 000 habitantes.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta, pero sería conveniente que se preguntara sobre la edad, ocupación, sexo, ...

265

8Estadística


180

8 Estadística

Si tiramos un dado y observamos el resultado, este depende del azar. Estamos realizando un experimento aleatorio. Aunque no sabemos cuál es el resultado de este experimento las posibilidades son:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}. El conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral.

Cualquier parte del espacio muestral se denomina suceso. Por ejemplo:

Suceso Salir mayor que 0 Salir par Salir 2 Salir mayor que 10

Elementos que lo forman {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 4, 6} {2} Ninguno

Si tenemos que ordenar estos sucesos según la posibilidad de que ocurran utilizamos su probabilidad. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que mide la posibilidad de que ocurra este suceso. Como en este experimento todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de ocurrir podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de cada uno.

La probabilidad del suceso A es: P (A ) =N.° de casos favorables en A

N.° de casos posibles

Suceso Salir mayor que 0 Salir par Salir 2 Salir mayor que 10

N.° de casos favorables 6 3 1 0

N.° de casos posibles 6 6 6 6

Probabilidad del suceso6

6= 1

3

6=

1

2

1

6

0

6= 0

AVANZA Probabilidad

A1. Tiramos una moneda y anotamos el resultado. ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de salir cara?

A2. Tenemos una bolsa con 5 bolas rojas y 3 verdes. Si se saca una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea verde?

ESTADÍSTICA CRÍTICA Errores en los gráficos estadísticos

Los gráficos estadísticos nos informan de la realidad de unos datos, pero esta información se puede presentar de una forma sesgada.

Siempre que estudiemos un gráfico, debemos prestar especial atención a los siguientes aspectos:

❚ ¿Qué se representa en cada eje?

❚ ¿Qué unidades se han utilizado?

❚ ¿Qué escala se ha utilizado en cada eje?

EC1. Analiza críticamente los siguientes gráficos estadísticos aparecidos en la prensa.

a) b)

Creación y disolución de empresas en España Sociedades mercantiles creadas Sociedades mercantiles disueltas

2008

103 565

16 222

78 204

17 416

79 994

18 500

84 812

19 784

87 066

22 5682009 2010 2011 2012

Aumento del recibo de la luz

20132011

11,3%

2012

12%

Ene

3%

Jul

1,2%

Ago

3,2%

Oct

3,4%

Dic

11%

Abr

-6,7%

Este gráfico muestra el resultado de unas elecciones.

En este caso, no hay una escala en el eje vertical. Las alturas de las barras no son proporcionales a los porcentajes.

50,66 %

49,07 %


En la sección Avanza de esta unidad se introduce la proba-bilidad de un suceso.

Este concepto será ampliado en cursos superiores.


A1. Tiramos una moneda y anotamos el resultado. ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de salir cara?

❚❚ Espacio muestral = {cara, cruz}

❚❚ P (cara) =1

2A2. Tenemos una bolsa con 5 bolas rojas y 3 verdes. Si se

saca una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea verde?

P (bola verde) =3

3 + 5=

3

8

Estadística crítica. Errores en los gráficos estadísticosSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabajan errores que podemos encontrar en los gráficos estadísticos y aspectos que debemos tener en cuenta al estudiarlos.


EC1. Analiza críticamente los siguientes gráficos estadísticos aparecidos en la prensa.

a) b)

Creación y disolución de empresas en España Sociedades mercantiles creadas Sociedades mercantiles disueltas

2008

103 565

16 222

78 204

17 416

79 994

18 500

84 812

19 784

87 066

22 5682009 2010 2011 2012

Aumento del recibo de la luz

20132011

11,3%

2012

12%

Ene

3%

Jul

1,2%

Ago

3,2%

Oct

3,4%

Dic

11%

Abr

-6,7%

a) El eje Y no tiene escalas.

b) La parte negativa del eje Y no tiene la misma escala que la parte positiva.

Avanza. Probabilidad

8 Estadística


1. Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas o cuantitativas.

a) Color de los ojos c) Tiempo en llegar al trabajo

b) Estatura de los miembros de una familia d) Deporte preferido

a) Cualitativa c) Cuantitativa

b) Cuantitativa d) Cualitativa

2. Elabora una tabla de frecuencias con los siguientes datos.

0 1 2 0 3 2 3 1 1 0 0 2 3 1 2 3 2 0 1 1

Dato F. absoluta F. relativa

0 5 0,25

1 6 0,3

2 5 0,25

3 4 0,2

20 1

3. Se ha lanzado un dado 25 veces. Representa los siguientes resultados en un diagrama de barras.

3 4 2 5 1 6 3 6 2 3 3 4 2 5 3 1 5 4 2 3 6 4 2 3 1

123456789

10

1 2 3 4 5 6

33 3

7

54

4. Se ha preguntado a 10 personas por el número de días que practican deporte a la semana y se han obtenido los siguientes datos:

3 1 0 5 2 6 7 2 3 3

¿Cuál es la media de días que practican deporte estas personas?

x =

3 + 1+ 0 + 5 + 2 + 6 + 7 + 2 + 3 + 3

10=

32

10= 3,2

5. Calcula la media, la mediana y la moda de los datos reflejados en esta tabla.

Dato 2 4 6 8

F. absoluta 3 5 7 4

x =

2 ⋅3 + 4 ⋅5 + 6 ⋅7 + 8 ⋅ 4

19=

132

19= 6,95

Mo = 6

Me = 6

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

267

8Estadística


1. Gabriel ha anotado, en una tabla de frecuencias, los resultados de tirar un dado 50 veces, pero le faltan varios datos. Completa la tabla con los datos que faltan.


1 9 0,18

2 8 0,16

3 10 0,2

4 7 0,14

5 6 0,12

6 10 0,2

50 1

2. Lucía ha realizado un trayecto por una ciudad. Ha anotado el color de todos los semáforos por los que ha ido pasando y ha elaborado el siguiente gráfico.

Verde

Rojo

Amarillo

18º

90º

252º

Si ha visto en total 40 semáforos, elabora una tabla de frecuencias.


Amarillo 5 % de 40 = 2 5 % = 0,05

Rojo 25 % de 40 = 10 25 % = 0,25

Verde 70 % de 40 = 28 70 % = 0,70

40 1

3. El gasto en ocio de 12 alumnos, durante la última semana, ha sido el siguiente:

12,25 3,40 5,60 7,20 4,70 8,40 5,80 7,25 4,10 2,20 5,50 7,10

Calcula el gasto medio por alumno.

x =

12,25 + 3,40 + 5,60 + 7,20 + 4,70 + 8,40 + 5,80 + 7,25 + 4,10 + 2,20 + 5,50 + 7,10

12=

73,5

12= 6,125

4. La media de cinco datos es 3,2. Si se le añade un dato, la media pasa a ser 3,45. ¿Qué dato se ha añadido?

La suma de los cinco datos es: 5 ⋅ 3,2 = 16

x = 3,45 =

16 + x6

6→ x6 = 6 ⋅3,45−16 = 4,7

5. Calcula la media, la mediana y la moda de los datos reflejados en esta tabla.

Dato 0 25 50 75 100

F. absoluta 9 8 5 3 1

x =

0 ⋅9 + 25 ⋅8 + 50 ⋅5 + 75 ⋅3 + 100 ⋅1

26=

775

26= 29,8 Mo = 0 Me = 25

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

ESTADÍSTICA - IES LA BASÍLICA MATEMÁTICAS · 4.1. Representa datos de variables estadísticas en...

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