Estado de esfuerzos en un puntoEsfuerzos principalesCarlos Armando De Castro P.IntroduccinLuego de hacer los anlisis para hallar los esfuerzos internos en el punto crtico de un elemento mecnico, debe analizarse el estado de esfuerzos en el punto crtico para luego proceder a disear la pieza o determinar si un elemento ya diseado fallar por la accin de las cargas externas.Las estructuras reales estn compuestas de materiales reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzo suficientemente grande. Muchasteorasde falla se basan en evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto alcanza un valor crtico. Resulta entonces necesario determinar los esfuerzos normal y cortante mximos dentro de un cuerpo para compararlos conlos valorescrticos asociados con las teoras de falla. Los esfuerzos normales mximo y mnimo en un punto se llaman esfuerzos principales.El tensor de esfuerzosConsidere un elemento infinitesimal tridimensional bajo la accin de esfuerzos:

Sobre el elemento actan tres esfuerzos normales y seis esfuerzos cortantes sobre lascaras. El estado de esfuerzos en el elemento es descrito mediante una matriz de denominada el tensor de esfuerzos:

El tensor de esfuerzos es simtrico debido a que los esfuerzos cortantes cruzados deben ser iguales para garantizar equilibrio del elemento. Enel caso bidimensional

Sobre el elemento actan dos esfuerzos normales y dos esfuerzos cortantes sobre lascaras. Los esfuerzos cortantes son iguales para garantizar equilibrio del elemento, el tensor de esfuerzos en este caso es entonces:

El caso bidimensional es generalmente el hallado en losproblemas de diseo mecnico.3. Esfuerzos principalesLos esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actan sobre el elemento y se hallan por medio de unarotacin de coordenadas. Los esfuerzos normales principales seno tan cmo donde , y en el ngulo de rotacin en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante mximo absoluto se nota como max y en el ngulo de rotacin al que se da los esfuerzos normales son el promedio delos esfuerzos normales del tensor de esfuerzos. Los esfuerzos normales principales sonlos exigen valores o valores propios del tensor de esfuerzos.

Los esfuerzos principales son las races de 3.1. El esfuerzo cortante mximo absoluto es

En el casotridimensional, debe resolverse la ecuacinDiferencia en Esfuerzos normal y Esfuerzos principalesLos esfuerzos normales son los que actan en la "cara" de una partcula, hay dos tipos de esfuerzos los normales y los tangenciales (o cortantes), la diferencia con los principales es la magnitud ya que los esfuerzos principales SON esfuerzos normales y esa es su principal caracterstica.Se conocen como principales aquellos que se presentan en una determinada posicin de la partcula y son los mximos que la partcula sufre.Los esfuerzos principales se presentan cuando los esfuerzos cortantes son nulos, es decir, la posicin de la partcula en la cual SOLO existen esfuerzos normales, en esa posicin los esfuerzos normales sern mximos y eso se conoce como ESFUERZO PRINCIPALLos esfuerzos en un punto situado sobre un plano inclinado segn un ngulo se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones:, (6.3)Sin embargo, no se sabe si los esfuerzos calculados mediante estas ecuaciones para cualquier ngulo particular son los esfuerzos mximos o mnimos posibles. Los esfuerzos mximos y mnimos en un punto se llaman los esfuerzos principales, y es importante para el proyectista poder calcular estos esfuerzos principales.Un mtodo para obtener los esfuerzos principales para un problema dado, es para presentar grficamente los valores del esfuerzo a partir de la ecuacin: ,

A

BB

Fig. 6.22

Con los valores correspondientes de . Si esto se hace, se obtendr una grfica semejante a la mostrada en la Fig 6.22. Las coordenadas de los esfuerzos principales en la A y B podran entonces obtenerse grficamente. Sin embargo, este mtodo es muy laborioso y debe repetirse para cada combinacin numrica de esfuerzo que surja. Por consiguiente, es ms conveniente obtener formulas generales para los esfuerzos principales.La pendiente de la grfica de una ecuacin en cualquier punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto, que es la primera derivada de la ecuacin de la curva. Para la ecuacin:, , la primera derivada es .En la figura 6.22 se ve que la pendiente de la curva en el punto donde se presenta el esfuerzo principal es cero (horizontal). Por consiguiente se obtiene una ecuacin general para los esfuerzos principales resolviendo un problema de mximo y mnimo, tal como el descrito anteriormente. Esto es, se deriva la ec. (6.3) y se iguala la derivada a cero. Los valores de para esa pendiente (cero) sern los valores de correspondientes a los esfuerzos principales.,

Resolviendo esta ecuacin, obtenemos.DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Cuando se trata del estado de esfuerzos espacial o triaxial, los esfuerzos principales se determinan mediante la resolucin de la ecuacin cbica:

Dnde:

Fuerzase define como una interaccin entre dos cuerpos; es una cantidad fsica vectorial que se describe mediante los conceptos intuitivos de empujar y jalar.Desde el punto de vista de la Dinmica, cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, el efecto que tiene dicha fuerza es darle al cuerpo una aceleracin y, por tanto, cambiar el estado de reposo o de movimiento uniforme que tena el cuerpo antes de la aplicacin de la fuerza. Esto viene descrito por la Segunda Ley de Newton.En el mbito de la Mecnica de los Medios Continuos, lo que nos interesa es el comportamiento que tiene la materia cuando se le aplica una fuerza. En este contexto, el efecto que tiene una fuerza aplicada sobre un determinado cuerpo es la deformacin del mismo.Para estudiar cmo se producen las deformaciones, debemos centrarnos primero en entender que la accin de la fuerza aplicada y el efecto producido dependern directamente del rea sobre la que est actuando la fuerza. Este efecto se denominaesfuerzo, se define como fuerza por unidad de rea y lo vamos a representar pors.Por ejemplo, se tiene un rea A sobre la que se aplica una fuerza de magnitud F1y se tiene la misma rea A pero ahora se le aplica otra fuerza de magnitud F2, mayor que F1, como se indica la figura. Cul de las dos fuerzas ejercer un mayor esfuerzo sobre A? La respuesta correcta es F2.

Ahora se tiene un rea A1sobre la que est actuando una fuerza de magnitud F y se tiene la misma fuerza pero ahora actuando sobre otra rea A2mayor que la primera. En cul de los dos casos descritos se est realizando un mayor esfuerzo? En este caso la misma fuerza ejerce un mayor esfuerzo sobre el rea ms pequea, A1.

Matemticamente, las relaciones anteriores entre fuerza, rea y esfuerzo se pueden resumir por la expresin:o bien :La relacin anterior es una relacin tensorial, de ah que asse le denominetensor de esfuerzos:

El uso de los tensores es muy comn en Fsica, siempre que tengamos que describir propiedades de la materia que varen con la direccin. Si tenemos un cuerpo slido al que se le aplica una fuerza en su superficie, con una determinada magnitud y en una determinada direccin, los esfuerzos generados se aplican en en interior del cuerpo desde unas zonas hacia las zonas vecinas, dependiendo de su estructura molecular. Por ello, el tensor de esfuerzos no es un escalar, sino una matriz que describe la distribucin de los esfuerzos en todas las direcciones del espacio dentro del material.Cmo se distribuye el esfuerzosalrededor de un punto situado dentro del material?Vamos a suponer a la superficie de un determinado cuerpo slido se le aplica una fuerza externa. Ahora nos fijamos en un punto P dentro de este cuerpo y elegimos un elemento de volumen infinitesimalDV de forma cbica de forma que contenga al punto P, como se observa en la figura:

Vamos a describir el efecto que tiene la fuerza externasobre el punto P.Supongamos que tenemos un plano perpendicular a la direccin x que atraviesa el volumen generando el reaDyDz. Debido a las fuerzas internas dentro del cuerpo, el material ubicado en la parte izquierda del plano ejerce una fuerzasobre el material ubicado en la derecha y, por la Tercera Ley de Newton, el material de la derecha ejercer una fuerza sobre el de la izquierda de igual magnitud y direccin que, pero de sentido contrario. Esta fuerza no necesita ser perpendicular al rea, puede tener cualquier orientacin, por tanto,es un vector con tres componentesque est aplicado al reaDyDz. Como el reaDyDz es muy pequea, se puede decir quees proporcional al rea, y el factor de proporcionalidad corresponde al esfuerzo. As, para cada componente de la fuerzatenemos un esfuerzo dado por:,,

Ahora consideramos un plano perpendicular al eje cortando al volumenDV porel reaDzDx. De la misma manera que con el plano anterior, una parte del material ejercer una fuerza de atraccin interna sobre la parte vecina y viceversa,,la cual no tiene que ser perpendicular al rea formada por el plano dentro del volumen. Los esfuerzos generados sobre el reaDzDx son:,,Realizamos el mismo procedimiento pero ahora eligiendo un plano perpendicular al eje z. La fuerza interna ejercida entre zonas vecinas a travs del reaDxDydentro del volumen es, y los esfuerzos generados son:,,Al final, lo que obtenemos es un conjunto de nueve escalares, los cuales son las nueve componentes del tensor de esfuerzos:

Las nueve componentes del tensor de esfuerzos nos describen el estado de esfuerzos interno que tiene un punto determinado dentro de un cuerpo slido.La distribucin de las nueve componentes del tensor de esfuerzos, alrededor del punto P, se puede observar en la siguiente figura:

Por la configuracin anterior, podemos observar que, para que el punto no rote o no se desplace por el efecto de la fuerza aplicada, el tensor de esfuerzos debe ser un tensor simtrico, de manera que:,,Estas componentes se denominan componentes tangenciales y las componentes, cuyas direcciones son perpendiculares a las tres caras del cubo, respectivamente, se denominan componentes normales.Vemos que, debido a la simetra del tensor de esfuerzos, hemos pasado de tener nueve componentes a tener seis componentes diferentes que me describen el estado de esfuerzos en un punto del material. Pero an podemos reducir ms el nmero de componentes. Siempre podemos elegir un sistema de coordenadas en el que los esfuerzos tangenciales sean nulos y slo tendramos tres componentes normales que contienen toda la informacin sobre el estado de esfuerzos en P. Estas tres componentes normales se denominan esfuerzos principales.En el nuevo sistema de ejes, el tensor de esfuerzos se puede describir grficamente mediante un elipsoide triaxial, cuyos tres ejes corresponderan a los tres ejes del sistema y cuyas magnitudes corresponderan a las magnitudes de los tres esfuerzos principales. Este elipsoide se llama elipsoide de esfuerzos deLam .

En resumen, para cualquier estado de esfuerzos en un punto, podemos elegir un sistema de ejes para el que las componentes tangenciales sean todas nulas y slo estaran presentes tres componentes normales.Si el elipsoide es una esfera, los esfuerzos son todos iguales en todas direcciones. Este estado de esfuerzos correspondera, por ejemplo, a la presin hidrosttica.El tensor de esfuerzos y, por tanto, el elipsoide de Lam varan de punto a punto dentro del material. Para conocer el estado de esfuerzos de todo el slido necesitamos conocer el elipsoide de Lam en funcin de la posicin.Fsicamente, un esfuerzo tangencial corresponde a una fuerza aplicada tangencialmente o paralelamente a la superficie, como por ejemplo una fuerza de rozamiento entre dos cuerpos cuyas superficies estn en contacto. A este tipo de esfuerzos tambin se les llama esfuerzos de cizalla.Desde el mismo punto de vista, un esfuerzo normal corresponde a una fuerza aplicada perpendicularmentea la superficie en cuestin, y su accin correspondera a jalar o empujar, dependiendo del sentido de aplicacin de la fuerza. A este tipo de esfuerzos se les denomina esfuerzos de compresin, cuando la fuerza est dirigida hacia la superficie, o esfuerzos de tensin, cuando la fuerza est dirigida hacia fuera de la superficie.

VIGAS DE DOS MATERIALESLas vigas compuestas de dos materiales se denominan vigas compuestas. Ejemplos incluyen aquellas hechas de madera con cubre placas de acero en sus partes superior e inferior, o ms comnmente, vigas de concreto reforzadas con barras de acero. Los ingenieros disean intencionalmente de esta manera las vigas para desarrollar un medio ms eficiente de tomar las cargas aplicadas, el concreto es excelente para resistir esfuerzos de compresin pero que es muy pobre en su capacidad de resistir esfuerzos de tensin. Por esto las barras de acero se han colocado en la zona de tensin de la seccin transversal de la viga, de manera que dichas barras resistan los esfuerzos de tensin que genera el momento M.Como la frmula de la flexin se desarroll para vigas cuyo material es homogneo, est formula no puede aplicarse directamente para determinar el esfuerzo normal en una viga compuesta. Sin embargo, en esta seccin desarrollaremos un mtodo para modificar o transformar la seccin transversal de la viga en otra hecha de un solo material. Una vez hecho esto, la frmula de la flexin puede entonces usarse para el anlisis de los esfuerzos.El Ingeniero Civil en su vida profesional, disea y construye vigas de dos o ms materiales diferentes, como vigas de madera reforzadas con placas de acero y vigas de concreto armado.La teora de la flexin de estas vigas dentro del margen de elasticidad de los materiales es muy sencilla. Para vigas de dos materiales el procedimiento consiste en transformar la viga compuesta en una viga equivalente de un solo material.Por ejemplo, si deseamos determinar el ancho equivalente en acero de una viga de madera, podemos obtenerlo a travs de la frmula VIGA SIN REFORZAR: El esquema de seccin transversal se muestra en la figura

Calculamos su momento de inercia.VIGA REFORZADA: El esquema de la viga, determinamos el ancho equivalente de la viga de madera, convertida en acero.Como la seccin transversal es simtrica, no es necesario calcular la ubicacin del eje neutro, ya que pasa a una altura de 16cm respecto al eje de la base de dicha seccin. Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro