Introduccin

Partiendo de la importancia que tiene para cualquier profesional e investigador conocer varios conceptos importantes de laestadsticaparapoderdesarrollar exitosamente unainvestigacinde cualquier ndole, en el presentetrabajonos proponemos dar tratamiento a algunos elementos de la estadsticamatemticade la forma ms elemental posible para que pueda ser asimilada por cualquier profesional sin tener en cuenta su especialidad ya sea de lascienciassociales como de las ciencias exactas.

Nuestro propsito es encaminar al profesional en:

Conocer el aparato conceptual necesario desde el punto de vista estadstico para emprender de forma slida y cientfica una investigacin. Mostrar algunas de las formas cientficas de obtener unamuestra. Tipo demuestreoa utilizar segn elintersdel profesional. Como determinar el tamao de muestra necesario para eldesarrollodela investigacin.

Dentro de esa gama de conceptos primarios tenemos los siguientes:

Poblacin. Muestra Parmetro Estadstico Error muestral Nivel de confianza Varianza poblacional Inferencia estadstica

Desarrollo

Poblacin. No es ms que aquel conjunto de individuos o elementos que le podemos observar, medir una caracterstica o atributo.Ejemplos depoblacin:

El conjunto formado por todos los estudiantes universitarios enCuba. El conjunto de todos los estudiantes de unaUniversidad. El conjunto de personas fumadoras de una regin.

Son caractersticas medibles u observables de cada elemento por ejemplo, su estatura, su peso, edad,sexo, etc.

Supongamos que nos interesa conocer el peso promedio de la poblacin formada por los estudiantes de una universidad. Si la universidad tiene 5376 alumnos, bastara pesar cada estudiante, sumar los 5376 pesajes y dividirlo por 5376. Pero esteprocesopuede presenta dificultades dentro de las que podemos mencionar:

Localizar y pesar con precisin cada estudiante: escribir todos losdatossin equivocaciones en una lista: efectuar los clculos.

Las dificultades son mayores si en nmero de elementos de la poblacin es infinito, si los elementos se destruyen, si sufren daos al ser medidos o estn muy dispersos, si elcostopara realizarel trabajoes muy costoso.

Una solucin a este problema consiste en medir solo una parte de la poblacin que llamaremosmuestray tomar el peso medio en la muestra como una aproximacin del verdaderovalordel peso medio de la poblacin.

El tamao de la poblacin es la cantidad de elementos de esta y el tamao de la muestra es la cantidad de elementos de la muestra. Las poblaciones pueden ser finitas e infinitas.

Los datos obtenidos de una poblacin pueden contener toda lainformacinque se desee de ella. De lo que se trata es de extraerle esa informacin a lamuestra, es decir a los datos muestrales sacarle toda la informacin de la poblacin.

La muestradebe obtener toda la informacin deseada para tener la posibilidad de extraerla, esto slo se puede lograr con una buenaseleccinde la muestra y un trabajo muy cuidadosos y de altacalidaden la recogida de los datos.

Es bueno sealar que en un momento una poblacin puede ser muestra en una investigacin y una muestra puede ser poblacin, esto esta dado por elobjetivodel investigacin, por ejemplo en el caso de determinar la estatura media de los estudiantes universitarios en Cuba una muestra poda ser escoger algunas universidades del pas y realizar el trabajo, si por el contrario se quiere saber la estatura promedio de los estudiantes de una universidad en especifico en Cuba, entonces el conjunto formado por todos los estudiantes de esta universidad sera la poblacin y la muestra estara dada por losgrupos, carreras o aos seleccionado para realzar el experimento.

Parmetro: Son las medidas o datos que se obtienen sobre ladistribucinde probabilidades de la poblacin, tales como la media, la varianza, la proporcin, etc.Estadstico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimacin de los parmetros.

Error Muestral: De estimacin o standard. Es la diferencia entre un estadstico y su parmetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas entornoal valor de la poblacin, nos da una nocin clara de hasta dnde y con quprobabilidaduna estimacin basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero lanaturalezade la investigacin nos indicar hasta qu medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varan muestra a muestra). Vara segn se calcule al principio o al final. Un estadstico ser ms preciso en cuanto y tanto su error es ms pequeo. Podramos decir que es la desviacin de la distribucin muestral de un estadstico y su fiabilidad.

Nivel de Confianza: Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn unaleyde probabilidad (Gauss o Student), as llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadstico capte el verdadero valor del parmetro.

Varianza Poblacional: Cuando una poblacin es ms homognea la varianza es menor y el nmero deentrevistasnecesarias para construir unmodeloreducido deluniverso, o de la poblacin, ser ms pequeo. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.

Inferencia estadstica:Trata el problemade la extraccin de la informacin sobre la poblacin contenida en las muestras.Para que los resultados obtenidos de los datos muestrales se puedan extender a la poblacin, lamuestra debe ser representativade la poblacin en lo que se refiere a la caracterstica en estudio, o sea, la distribucin de la caracterstica en la muestra debe ser aproximadamente igual a la distribucin de la caracterstica en la poblacin.La representatividad en estadstica se logra con el tipo de muestreo adecuado que siempre incluye la aleatoriedad en la seleccin de los elementos de la poblacin que formaran la muestra. No obstante, talesmtodossolo nos garantizan una representatividad muy probable pero no completamente segura.Despus de estos preliminares imprescindibles es posible pasa a tratar algunas de las formas que desde el punto de vista cientfico se puede extraer una muestra.Al realizar un muestreo en una poblacin podemos hablar de muestreos probabilsticos y no probabilsticos, en nuestro caso nos referiremos a los muestreos probabilsticos y dentro del mismo estudiaremos el muestreo aleatorio simple (MAS), comomtodobsico en la estadstica, el muestreo estratificado y el muestreo por racimos.

Muestreo aleatorio simple:Es aquel en que cada elemento de la poblacin tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para integrar la muestra.Una muestra simple aleatoria es aquella en que sus elementos son seleccionados mediante el muestreo aleatorio simple.En la prctica no nos interesa elindividuoo elemento de la poblacin seleccionado en general, sino solo una caracterstica que mediremos u observaremos en l y cuyo valor ser el valor de una variable aleatoria que en cada individuo o elemento de la poblacin puede tomar un valor que ser un elemento de cierto conjunto devalores. De modo que una muestra simple aleatoriase puede interpretar como un conjunto de valores devariables aleatoriasindependientes, cada una de las cuales tiene la misma distribucin que es llamada distribucin poblacional.Existen dos formas de extraer una muestra de una poblacin: con reposicin y sin reposicin.

Muestreo con reemplazo:Es aquel en que un elemento puede ser seleccionado ms de una vez en la muestra para ello se extrae un elemento de la poblacin se observa y se devuelve a la poblacin, por lo que de esta forma se pueden hacer infinitas extracciones de la poblacin aun siendo esta finita.

Muestreo sin reemplazo:No se devuelve los elementos extrados a la poblacin hasta que no se hallan extrados todos los elementos de la poblacin que conforman la muestra.Cuando se hace una muestra probabilstica debemos tener en cuenta principalmente dos aspectos:

El mtodo de seleccin. El tamao de la muestra.

1.- Mtodo de seleccin:

Unprocedimientode extraer una muestra aleatoria de una poblacin finita es el de enumerar todos los elementos que conforman la poblacin, escribir esos nmeros en bolas o papelitos echarlos en un bombo o bolsa mezclarlos bien removindolos y sacar uno a uno tantos como lo indique el tamao de la muestra. En este caso los elementos de la muestra lo constituirn los elementos de la poblacin cuyos nmero coincidan con los extrados de la bolsa o bombo.

Otro procedimiento para obtener una muestra de una poblacin ya sea el muestreo con replazo o sin reemplazo es mediante la utilizacin de la tabla de nmeros aleatorios pero solamente para poblaciones finitas, la utilizacin de estas tablas puede realizarse de diferentes modos pero en el presente trabajo solo expondremos el que consideramos mas eficiente ya que no se necesita de la bsqueda de una gran cantidad innecesaria de nmeros aleatorios en la tabla, el cual ser ejemplificado.

Existen diferentes tablas de nmeros aleatorios nosotros en nuestro trabajo utilizaremos como referencia la tabla de M. G. Kendall y B. Babington Smith que se encuentra en eltextode tablasestadsticas, la misma est constituida por 4 bloques de 1000 nmeros aleatorios dispuestos en 25 filas y 40 columnas.Veamos como se procede para la utilizacin de la tabla. Consideremos que se desea extraer de una poblacin de tamao N una muestra de tamao n se selecciona el bloque, la fila y la columna de la tabla que se va a comenzar, a partir de esta seleccin (que la hace el muestrista) se toman tantas columnas como dgitos tiene N. Comenzando por el primer nmero de las columnas seleccionadas seirnincluyendo en la muestra aquellos individuos que en la lista de la poblacin ( ya sea de forma horizontal o vertical) ocupa la posicin de los n nmeros de las columnas seleccionadas que resultan menores que N, en los caso que al seleccionar un nmero en la tabla de nmeros aleatorios sea mayor que N se divide este por N y el resto de la divisin que ser un nmero entre 0 y N-1 ser la posicin del individuo a seleccionar tomando el convenio de que el resto 0 corresponde a la posicin N. Para la aplicacin de este procedimiento requiere que se fije previamente el mayor mltiplo de N que se

considerar, para as garantizar que todos los restos desde 0 a N -1 tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, por ejemplo si N = 150 y tomando 3 columnas se consideraran slo aquellos nmeros menores o iguales que 900, los nmeros mayores que 900 no sern analizados en la seleccin de la muestra.

Ejemplo 1.1: Dada la siguiente poblacin formada por la edad del hijo mayor de 200 ncleos familiares de una cierta regin.

Seleccione una muestra aleatoria de tamao 10 (use la tabla de nmeros aleatorios, escoja la tercera fila, tercera columna del segundo bloque de a 1000) numere la poblacin horizontalmente.

48495051504647564738

53504746484748464650

42515149475148474249

46485047484751564549

45546146484646475034

46465139535552494746

33405246445244544133

48495242424947473848

44434440444549444342

49494841515152424047

37484546504547534347

44404646454847424746

52534749464749424342

43385250445244534345

41574748525340494050

45424453574662475047

45514345393941443541

54485153544248513738

42375250455551463843

53434239465253395140

Para extraer la muestra lo primero que hacemos es disponer tres columnas en las cuales la primera se ubicaran los nmeros aleatorios, es decir los nmeros extrados de la tabla de nmeros aleatorios; en la segunda columna pondremos los nmeros aleatorios rectificados que sern aquellos nmeros aleatorios menores que N =200 y los restos de las divisiones de los nmeros aleatorios mayores que N =200 y menores que el mayor mltiplo de N es decir 800 y en la tercera columna de encontraralos valoresde la muestra.

En la tabla de nmeros aleatorios la tercera fila, tercera columna del segundo bloque de a 1000 le corresponde al nmero 3 pero como tenemos que coger el nmero aleatorio de tres dgitos el primer nmero aleatorio sera el 017, los dems serian, 984, 955, 130, 850, 374, 665, 910, 288, 753, 765, 691, 496, 001, hemos escogido 14 nmeros de la tabla de nmeros aleatorios debido a que hay 4 que son mayores que 800. Veamos a continuacin como extraemos la muestra de la poblacin:Para el primer nmero aleatorio 017 se busca en la poblacin el valor que ocupa la posicin 017 leda la poblacin horizontalmente que seria la edad de 48 aos, el nmero aleatorio 984 no se contempla dentro delanlisisya que es mayor que 800, al igual que el nmero 955, el nmero 130, le corresponde la edad de 52 aos, al nmero 850 no se contempla dentro del anlisis, el 374 como es mayor que 200 se divide por 200 y se obtiene reto 174 y este es el nmero aleatorio rectificado correspondindole la edad de 53 aos, al nmero 665 se divide por 200 y se obtiene resto 65 que es el nmero aleatorio rectificado correspondindole la edad de 44 aos en la poblacin, a continuacin presentaremos la tabla de las tres columnas a la cual nos referimos anteriormente como una va fcil y prctica para obtener la muestra deseada.

Nmero aleatorioNmero aleatorio rectificadomuestra

01701748

984--

955--

13013042

850--

37417453

66506553

910--

28808844

75315344

76516539

69109149

49609651

00100148

Nota: obsrvese que en la muestra existen edades que se repiten esto puede pasar si el muestreo es con reemplazo si el muestreo es sin reemplazo debemos seguir buscando de la misma manera en la tabla de nmeros aleatorios seguido del nmero 001, hasta lograr tener la muestra con 10 valores de la poblacin no repetidos.Este muestreo se puede realizar utilizandoMicrosoftExcelsiguiendo los pasos siguiente:

a) Se instala la opcin de anlisis de datos para ello se va a herramienta luego a complemento y se activa en la ventana complemento la opcin herramienta para anlisis.b) Se abre una hoja Excel y se introducen los datos de la poblacin en columna.c) Se va a herramienta y se elige anlisis de datos y en esta ventana se selecciona la opcin muestra.d) En la ventana muestra se introduce el rango de entrada que sera seleccionar todos los valores de la poblacin, si al suministrar en la hoja Excel los datos de la poblacin al inicio se le designan a estos alguna variable o comentario debe activarse la opcin rtulo de lo contrario no debe ser activada, se activa la casilla de muestreo aleatorio y se introduce el tamao de muestra deseado.e) Se selecciona el rango de salida que consiste en seleccionar una celda en la hoja Excel que no est afectada por ninguna informacin ni hacia abajo ni a la derecha de la misma.f) Se selecciona aceptar en esta ventana y saldr el resultado deseado que sera las muestras elegidas por elprogramaen la poblacin.

2.- El tamao de la muestra:

Al realizar un muestreo probabilstica nos debemos preguntar Cul es el nmero mnimo de unidades de anlisis ( personas,organizaciones, capitulo de telenovelas, etc), que se necesitan para conformar una muestra (que me asegure un error estndar menor que 0.01 ( fijado por el muestrista o investigador), dado que la poblacines aproximadamente de tantos elementos.En el tamao de una muestra de una poblacin tenemos que tener presente adems si es conocida o no la varianza poblacional.Para determinar el tamao de muestra necesario para estimarcon un error mximo permisibleprefijado y conocida la varianza poblacional () podemos utilizar la formula:(1)

que se obtiene de reconocer quees el error estndar o error mximo prefijado y est dado por la expresinpara el nivel de confianzay constituye una medida de la precisin de la estimacin, por lo que podemos inferir adems que.

Ejemplo 1.2:

Se desea estimar el peso promedio de los sacos que son llenados por un nuevo instrumento en unaindustria. Se conoce que el peso de un saco que se llena con este instrumento es una variable aleatoria con distribucin normal. Si se supone que la desviacin tpica del peso es de 0,5 kg. Determine el tamao de muestra aleatoria necesaria para determinar una probabilidad igual a 0,95 de que el estimado y el parmetro se diferencien modularmente en menos de 0,1 kg.Solucin:

Evidentemente un tamao de muestra no puede ser fraccionario por lo que se debe aproximar por exceso. El tamao de muestra sera de 97.Si la varianza de la poblacin es desconocida, que es lo que mas frecuente se ve en la prctica el tratamiento ser diferente, no es posible encontrar una frmula cuando la varianza poblacional es desconocida por lo que para ello aconsejamos utilizar el siguiente procedimiento-Primeramente, se toma una pequea muestra, que se le llama muestra piloto, con ella se estima la varianza poblacional () y con este valor se evala en la formula (1), sustituyendo () por su estimacin (). El valor deobtenido ser aproximadamente el valor necesario, nuevamente con ese valor dese extrae una muestra de este tamao de la poblacin se le determina la varianza a esa muestra, como una segunda estimacin de () y se aplica de nuevo la formula (1), tomando la muestra con elobtenido como muestra piloto para la siguiente iteracin, se llegar a cumplir con las restricciones prefijadas. Se puede plantear esta afirmacin ya que ladetiende a estabilizarse a medida que aumentaalrededor de lapor lo que llegar el momento en que se encuentre el tamao de muestra conveniente, sin embargo, en la prctica es mucho ms sencillo pues, a lo sumo con tres iteraciones se obtiene el tamao de muestra deseado, este procedimiento para obtener el tamao de muestra deseado se puede realizar utilizando en Microsoft Excel en la opcin anlisis de datos las opciones estadstica descriptiva para ir hallando la varianza de cada una de las muestras y la opcin muestra para ir determinado las muestras pilotos. Para obtener el tamao de la muestra utilizando este mtodo recomendamos la utilizacin de un paquete de computo como por ejemplo elMicrosoft Excel, aplicando las opciones muestra y estadstica descriptiva.Para determinar el tamao de la muestra cuando los datos son cualitativos es decir para el anlisis de fenmenos sociales o cuando se utilizan escalas nominales para verificar la ausencia o presencia del fenmeno a estudiar, se recomienda la utilizacin de la siguiente formula:(2)

siendosabiendo que:es la varianza de la poblacin respecto a determinadasvariables.es la varianza de la muestra, la cual podr determinarse en trminos de probabilidad comoes error estandar que est dado por la diferencia entre () la media poblacional y la media muestral.es el error estandar al cuadrado, que nos servir para determinar, por lo que=es la varianza poblacional.

Ejemplo 1.3:

De una poblacin de 1 176adolescentesde una ciudad X se desea conocer la aceptacin por losprogramashumorsticos televisivos y para ello se desea tomar una muestra por lo que se necesita saber la cantidad de adolescentes que deben entrevistar para tener una informacin adecuada con error estandar menor de 0.015 al 90 % de confiabilidad.Solucin:= 1 176

= 0,015

por lo que

Es decir para realizar la investigacin se necesita una muestra de al menos 298 adolescentes.Muestreo Estratificado:El pasado ejemplo corresponde a una muestra probabilstica simple. Determinamos en este caso que el tamao de muestra sera n =298 adolescentes muestreados. Pero supongamos que la situacin se complica y que esta n la tendremos que estratificar a fin de que los elementos muestrales o unidad de anlisis posean un determinado atributo. En nuestro ejemplo este tributo es los diferentes canales detelevisin. Es decir, cuando no basta que cada uno de los elementos muestrales tengan la misma probabilidad de ser escogidos, sino que adems es necesario estratificar la muestra en relacin a estratos o categoras que se presentan en la poblacin y que aparte son relevantes para losobjetivosdel estudio, se disea una muestra probabilstica estratificada. Lo que aqu se hace es dividir a la poblacin en subpoblaciones o estratos y se selecciona la muestra para cada estrato. La estratificacin aumenta la precisin de la muestra e implica el uso deliberado de diferentes tamaos de muestra para cada estrato, " a fin de lograr reducir la varianza de cada unidad muestral " (Kish, 1965 ), en sulibrode muestreo que en un nmero determinado de elementos muestrales n =la varianza de la media muestralpuede reducirse al mnimo si el tamao de la muestra para cada estrato es proporcional a la desviacin estndar dentro del estrato.Esto es,(3 )

En dondees la fraccin del estrato,el tamao de la muestra,el tamao de la poblacin,es la desviacin estndar de cada elemento del estrato, yes una proporcin constante que nos dar como resultado unaptima para cada estrato.Siguiendo nuestro ejemplo de los adolescentes tenemos que la poblacin es de 1176 adolescentes y que el tamao de la muestra es= 298. la fraccin para cada estrato fh ser :(4)

De manera que el total de la subpoblacin se multiplicar por esta fraccin constante a fin de obtener el tamao de muestra para el estrato. Sustituyendo tenemos que:(5)

MUESTRA PROBABILSTICA ESRTRATIFICADA DE LA ACEPTACIN DE ADOLESCENTES POR LOS PROGRAMAS HUMORSTICOS TELEVISIVOS DE LA CIUDAD X.EstratosRepartos de la ciudad XTotal poblacin*(fh) = 0.2534Muestra

Nh (fh) = nh

15313

2109

321555

48722

59825

611028

78120

822156

915138

105113

= 1176

Por ejemplo := 53 directores deempresasextractivas corresponde a la poblacin total de este giro.= 0.2534 es la fraccin constante.= 13 es el nmero redondeado de directores deempresadel giro Estractivo que tendrn que entrevistarse.

MUESTREO PROBABILSTICO POR RACIMOS:En algunos casos en donde el investigador se ve limitado porrecursosfinancieros, portiempo, por distancias geogrficas o por una combinacin de estos y otros obstculos, se recurre a otra modalidad de muestreo llamado por racimos. En este tipo de muestreo se reducencostos, tiempo y energa al considerar que muchas veces nuestras unidades de anlisis se encuentran encapsuladas o encerradas en determinados lugares fsicos o geogrficos que denominamos racimos. Para dar algunos ejemplos tenemos la tabla 8.3., en donde en la primera columna se encuentran unidades de anlisis que frecuentemente vamos a estudiar en ciencias sociales. En la segunda columna, sugerimos posibles racimos en donde se encuentran dichos elementos.

EJEMPLOS DE RACIMOSUnidad de AnlisisPosibles Racimos

AdolescentesPreparatorias

ObrerosIndustrias

Amas de casaMercados

NiosColegios

Personajes de televisinProgramas de televisin

El muestrear por racimos implica diferencias entre la unidad de anlisis y la unidad muestral. La unidad de anlisis - como lo indicamos al principio de este captulo se refiere a quines van a ser medidos, o sea , el sujeto o sujetos a quienes en ltima instancia vamos a aplicar el instrumento demedicin. la unidad muestral en este tipo de muestra se refiere al racimo a travs del cual se logra el acceso a la unidad de anlisis. El muestreo por racimos supone una seleccin en dos etapas, ambas conprocedimientosprobabilsticos. En la primera, se seleccionan los racimos, siguiendo los ya reseados pasos de una muestra probabilstica simple o estratificada. En la segunda, y dentro de estos racimos se seleccionan a los sujetos u objetos que van a ser medidos. Para ello se hace una seleccin que asegure que todos los elementos del racimo tienen la misma probabilidad de ser elegidos. A continuacin daremos un ejemplo que comprenda varios de los procedimientos descritos hasta ahora y que ilustra la manera como frecuentemente se hace una muestra probabilstica en varias etapas.

EJEMPLO:

Cmo hacer una muestra probabilstica estratificada y por racimos?Problema de investigacin: Una estacin deradiolocal necesita saber con precisin a fin de planear susestrategias cmo usanla radiolos adultos de una ciudad de 2 500 000 habitantes. Es decir, qu tanto radio escuchan, a qu horas, qu contenidos prefieren y sus opiniones con respecto a los programas noticiosos.

Procedimientos: Se disear uncuestionarioque indague estas reas sobre uso del radio. Los cuestionarios se aplicarn por entrevistadores a una muestra de sujetos adultos.Poblacin: Todos aquellos sujetos hombres o mujeres de ms de 21 aos de edad, y que vivan en una casa o departamento propio o rentado de la ciudad X.

Diseo por conglomerado: los directivos de la estacin de radio desconocen el nmero total de sujetos con las caractersticas arriba sealadas. Sin embargo, nos piden que diseemos una muestra que abarque a todos los sujetos adultos de la ciudad, adultos por edad cronolgica y por ser jefes defamilia, es decir, excluye a los adultos dependientes. Se recurre entonces a laestrategiade seleccionar conglomerados y se considera el uso de un mapa actualizado de la ciudad y que demuestra que en dicha ciudad hay 5 000 cuadras. Las cuadras se utilizan como conglomerados, es decir, como unidades muestrales a partir de las cuales obtendremos en ltima instancia a nuestros sujetos adultos. Lo primero entonces es determinar Cuntas cuadras necesitaremos muestrear, de una poblacin de una poblacin total de 5 000 cuadras, si queremos que nuestro error estndar sea no mayor de 0.15 y con una probabilidad de ocurrencia del 50 % ?.Tenemos entonces quepara una muestra probabilstica simple.(6)

Necesitaremos una muestra de 909 cuadras de ciudad X para estimar los valores de la poblacin con una probabilidad de error menor a 0.1 .Sabemos que la poblacin N = 5 000 cuadras de la ciudad, est dividida por previos estudios de acuerdo a 4 estratos socioeconmicos , que categorizar las 5 000 cuadras segn el ingreso mensual promedio de sus habitantes de manera que se distribuyen como sigue :EstratoNmero de cuadras

1270

21940

32000

4790

T = 5 000

Estratificacin de la muestra:

Cmo distribuiremos los 909 elementos muestrales de, para optimizar nuestra muestra , de acuerdo a la distribucin de la poblacin en los 4 estratos socioeconmicos?.EstratoNo. de cuadrasfh = 0.1818

1270(0.1818 )50

21940(0.1818 )353

32000(0.1818 )363

4790(0.1818 )143

N = 5000n = 909

Tenemos que en principio, de 5000 cuadras de la ciudad se seleccionarn 50 del estrato 1, 553 del estrato 2, 363 del estrato 3 y 143 del estrato 4. Esta comprende la seleccin de los conglomerados, los cuales se pueden numerar y elegir aleatoriamente hasta completar el nmero de cada estrato. En una ltima etapa se seleccionan a los sujetos dentro de cada conglomerado. Este procedimiento tambin se hace de manera aleatoria, hasta lograr un nmero de sujetos determinados en cada conglomerado.EstratoNhcuadrasNhnmero de hogares sujeto en cada cuadraTotal de hogares por estrato

127050201000

21940353207060

32000363207220

4790143202860

N = 5000n = 90911840

Nota: El procedimiento para realizar el muestreo en cada conglomerado se hace de forma aleatoria utilizando la tabla de nmeros aleatorios o mediante Microsoft Excel tal como se explico en el ejemplo(1.1)

Bibliografa:

Calero Vinelo, Arstides.Tcnicasde Muestreo / Arstides Calero Vinelo.- La Habana: Editorial. Pueblo y Eduacacin, 1978.- 514p.

Metodologa de la Investigacin / M. En C. Roberto Hernndez Sampiere ... et al. Mxico:/5.n/, 1997.---505p

Snchez lvares, Rafael. Estadstica Elemental 7 Rafael Snchez lvares y Jos A. Torres Delgado.- La

Habana : Ed. Pueblo y Eduacaci, 1989.- 326p.Taro, Yamane. Elementary Sampling Theory / Yamane Taro.- La Habana: Editorial Pueblo yEducacin, 1989.- 405p.