Estadística II - 03
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Universidad Católica de Trujillo BENEDICTO XVI Ms. Ylder Heli Vargas Alva Estadística II • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Ms. Ylder Helí Vargas Alva [email protected]
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BENEDICTO XVI
Ms. Ylder Heli Vargas Alva
Estadística II
• DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Ms. Ylder Helí Vargas Alva
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Ms. Ylder Heli Vargas Alva
OBJETIVOS
1. Identificar las distribuciones de probabilidad que más
se utilizan en la toma de decisiones.
2. Utilizar el concepto de valor esperado para la toma de
decisiones.
3. Mostrar cuál distribución de probabilidad utilizar, y
como encontrar sus valores.
4. Comprender las limitaciones de cada una de las
distribuciones que utilice.
Al finalizar el participante será capaz de:
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1. Las distribuciones de probabilidad
2. Las variables aleatorias
3. Distribuciones discretas de probabilidad
4. Distribuciones continuas de probabilidad
CONTENIDO
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Ms. Ylder Heli Vargas Alva
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
VARIABLE ALEATORIA:
En cualquier experimento aleatorio tenemos resultados
cualitativos o cuantitativos. Con el objeto de facilitar el estudio
matemático, a cada uno de estos resultados le hacemos
corresponder un número real.
Por ejemplo, el resultado de:
• tomar un alumno de la UCT al azar y medir su estatura es
un número;
• el resultado de tomar una familia al azar y anotar el número
de hijos es un número;
• el resultado de aplicar un tratamiento a un enfermo y
observar si se cura o no, es un dato cualitativo, que puede
convertirse en cuantitativo asignando un "1" al enfermo que
se cura y un "0" al enfermo que no se cura.
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
VARIABLE ALEATORIA:
Una variable aleatoria es una variable cuyos valores
depende del resultado aleatorio de un experimento.
Más formalmente, una variable aleatoria es una regla que
asigna un valor numérico (sólo uno) a cada punto en el
espacio muestral de un experimento aleatorio.
Es una función que asocia un número real a cada elemento
del espacio muestral.
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
VARIABLE ALEATORIA:
Ejemplos:
Supongamos que se aplicará una encuesta a los estudiantes
de la UCT donde se preguntará por el número de cursos
inscritos este semestre. Identificar la variable aleatoria de
interés y enumerar sus valores posibles.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Lanzar Tres monedas simultáneamente y observar el numero
de caras.
x: 0, 1, 2, 3
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
TIPOS DE VARIABLE ALEATORIAS:
Una variable aleatoria se puede clasificar en:
a) Variable aleatoria discreta. Porque solo puede tomar
valores enteros y un número finito de ellos.
Por ejemplo:
x, la Variable que nos define el número de alumnos
aprobados en el curso de Estadística en un grupo de 40
alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).
La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.
Se tiene el experimento aleatorio: Lanzar una moneda 3
veces. El espacio muestral que corresponde a este
experimento es: S = {CCC, CCS, CSS, CSC, SSS, SSC,
SCC, SCS} Sea X:= número de caras. ¿Qué valores
puede tomar X?
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
TIPOS DE VARIABLE ALEATORIAS:
b) Variable aleatoria continua. Porque puede tomar tanto
valores enteros como fraccionarios y un número infinito de
ellos dentro de un mismo intervalo.
Por ejemplo:
El peso de un alumno del curso de estadística. X, tomará
valores: … 30, 39,1, 30.5, … 80.5, 80.52, 80.525…
x es la Variable que nos define la concentración en
gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr,
12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n).
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA:
0<=p(xi)<=1
Las probabilidades asociadas a cada uno de los
valores que toma x deben ser mayores o iguales a
cero y menores o iguales a 1.
∑p(xi) = 1
La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada
uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
A. DEFINICIÓN.- Una distribución de Probabilidad es una
lista o tabla que incluye todos los posibles valores de
una variable y su probabilidad.
Indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento si
éste se llevase a cabo.
Toda distribución de probabilidad es generada por una
variable (porque puede tomar diferentes valores)
aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al
azar).
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
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Ejemplo:
1. Si se lleva a cabo un experimento que consiste en lanzar un dado
una sola vez y los eventos son los valores obtenidos. La distribución
de probabilidad del experimento debe incluir todos los posibles
valores que se pueden obtener y su probabilidad
Valor Probabilidad
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
De esta tabla se pueden obtener otras probabilidades
mediante la suma de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 ó 3?
P(2 ó 3)= P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 ó menos?
P(1 ó 2 ó 3) = P(1)+P(2)+P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
= 1/2
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
P(2 ó 4 ó 6) = P(2)+P(4)+P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
= 1/2
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Ejemplo:
2. Si se lleva a cabo un experimento que consiste en lanzar dos dados
una sola vez y los eventos son la suma de los valores obtenidos. La
distribución de probabilidad del experimento debe incluir todos los
posibles valores que se pueden obtener y su probabilidad
De esta tabla se pueden obtener otras
probabilidades mediante la suma de
probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 4
o menos?
P(2 ó 3 ó 4) = P(2)+P(3)+P(4) = 1/36 + 2/36 + 3/36
= 6/36 = 1/6
¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos
11?
P(11 ó 12) = P(11)+P(12) = 2/36 + 1/36 = 3/36 =
1/12
Valores combinaciones posibles Prob.
2 (1,1) 1/36
3 (1,2),(2,1) 2/36
4 (1,3),(3,1),(2,2) 3/36
5 (1,4),(4,1),(3,2),(2,3) 4/36
6 (1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3) 5/36
7 (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3) 6/36
8 (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) 5/36
9 (3,6),(6,3),(4,5),(5,4) 4/36
10 (4,6),(6,4),(5,5) 3/36
11 (5,6),(6,5) 2/36
12 (6,6) 1/36
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Ejemplo:
Se seleccionan en forma consecutivas dos bebesdel servicio de Neonatología. El número devaroncitos será:
0
1
2
M,M
VM,MV
VV
0,25
0,50
0,25
Nº de
varones
Probabilidad
0 1 2
0.50
0.25
Nº de
caras
Resultados Probabilidad
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Ejemplo:
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Ejemplo:
Un embarque de 20 computadoras portátiles similares para una
tienda minorista contiene 3 que están defectuosas. Si una
escuela compra al azar 2 de estas computadoras, calcule la
distribución de probabilidad para el número de computadoras
defectuosas.
Solución: Sea X una variable aleatoria cuyos valores x son
los números posibles de computadoras defectuosas
compradas por la escuela. Entonces x sólo puede asumir los
números 0, 1 y 2. Así,
X
P(X)
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ESPERANZA MATEMÁTICA : E (X)
Es el promedio de la variable aleatoria, si el
experimento se repite un número infinito de veces.
Ejemplo : Se lanzan 3 monedas1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
W = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
0
3/8
6/8
3/8
3 caras. 2 caras 1 cara 0 caras =>xx
Número
de Cara
P(x) XP(x)
1,5 =
8
12 =
)xXP( = X)(
12/8
caras
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ESPERANZA MATEMÁTICA : E (X)
La esperanza de una variable aleatoria X también se
representa por μ o E(X), y se llama media de la
distribución. Por tanto, "esperanza de la variable
aleatoria" y "media de la distribución" son expresiones
equivalentes.
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VARIANZA : V (X)
Para medir la dispersión de los valores de una variable
aleatoria X respecto de su media μ, se define el
siguiente estadístico llamado varianza:
Es decir
Puesto que la varianza no podría medirse en las mismas
unidades que la variable, utilizamos la raíz cuadrada de la
varianza y a este número la llamamos desviación típica.
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TIPOS DE DISTRIBUCIONES
a) DISCRETAS: La variable toma un númerolimitado de valores. Abarca :
a.1. - Distribución binomial
a.2.- Distribución de Poisson
a.3.- Distribución hipergeométrica
b) CONTINUAS: La variable puede tomar cualquiervalor dentro de un intervalo dado. Abarca:
b.1.- Distribución normal
b.2.- Distribución normal estándar o Z
b.3.- Distribución t
b.4.- Distribución (Chi) Ji-cuadrada 2
b.5.- Distribución F
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a.1- DISTRIBUCION BINOMIAL
Hay muchas situaciones en las que sólo interesa conocer
si un determinado suceso se produce o no se produce.
Si el suceso ocurre, diremos que hemos obtenido un éxito
y lo simbolizamos por E y si no ocurre diremos que hemos
obtenido un fracaso y lo simbolizamos por F.
La probabilidad de éxito la llamamos p
La probabilidad de fracaso la llamamos q
Lógicamente p+q=1
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a.1- DISTRIBUCION BINOMIAL
Se utiliza para describir variables discretas.
Es una de las distribuciones mas utilizadas en la
estadística aplicada. La distribución se deriva de un
procedimiento llamado ensayo de Bernoulli, nombrado
así en honor del matemático Suizo James Bernoulli (1654 -
1785).
Características:
El experimento consiste en una serie de ensayos repetidos eidénticos (N ENSAYOS).
Cada ensayo sólo tiene dos posibles resultados: el suceso E,llamado éxito, y el suceso F, llamado fracaso
Al repetir el experimento, los ensayos son independiente delos resultados obtenidos anteriormente.
La probabilidad p del suceso E es constante, es decir, novaría de una prueba del experimento a otra.
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Ejemplo:
En un experimento se llama éxito al hecho de obtener un 5
cuando se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un cinco?¿Cuál es la probabilidad de obtener dos
cincos? Al crear la distribución de probabilidad de lanzar dos
dados se obtiene la siguiente tabla:
Los únicos eventos de éxito son:
(1,5), (5,1), (2,5), (5,2), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5).
Por lo tanto la probabilidad de 2 éxitos es 1/36 = 0.028; de un éxito es 11/36
= 0.278; y de ningún éxito es 24/36 = 0.694.
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Ejemplo:
Este mismo resultado se puede obtener sin necesidad de crear la tabla, pero
utilizando el modelo matemático de la distribución Binomial.
donde
P (X = x ) es la probabilidad de que X = x , Cuando se conocen p y n
n = tamaño de la muestra ; p = probabilidad de éxito q=1 - p = probabilidad de fracaso
x = número de éxitos en la muestra.
En el ejemplo anterior, utilizamos la fórmula de la distribución Binomial:
n = 2 (dos dados); p = 1/6 = 0.17; q=1-p =1-1/6= 5/6 = 0.83
x = 0; x = 1; x = 2
P(0 éxitos) =
P(1 éxito) =
P (2 éxitos) =
0.694 (0.83)(0.17)*1!1!
)(2! )1P(x 11
0.028 (0.83)(0.17)*0!*2!
)(2! 2)P(x 02
xx
xxx -nqp
)!-(n !
n! = )=P(X
0.278 (0.83)(0.17)*2!0!
)(2! 0)P(x 20
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La probabilidad de éxito, designado por p es lamisma para cada ensayo, la probabilidad defracaso q (igual a 1-p) es también constante.
1. Los ensayos sucesivos son independientes.
2. Puede ser simétrica o sesgada.
3. La información de la muestra se obtienecon reposición de una población finita.
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Formula:
Se aplica a la selección de una muestra, sólo cuando el
resultado de cada solución es independiente de los
resultados de las selecciones anteriores.
xx
xxx -nqp
)!-(n !
n! = )=P(X
donde:
n : número de ensayos
x : número de éxitos
p : probabilidad de éxitos en un ensayo
q : probabilidad de fracaso en un ensayo
n - x : número de fracaso en el ensayo
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Una muestra de 4 frascos se selecciona sin restitución de
un lote de 5,000 frascos de cierto laboratorio farmacéutico.
Suponiendo que 20% de los frascos de lote no cumplen
con las especificaciones médicas, ¿cuál es la probabilidad
de que la muestra contenga exactamente 2 frascos malos?
SOLUCION:
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Ejercicio
Un comerciante de verduras de la colonia Granjas México
tienen conocimiento de 2/3 de cada caja de mango está
descompuesta o tiene “lunares”. Si se eligen 4 mangos al
azar por un comprador, encuentre la probabilidad de que. A)
Los 4 estén descompuestos o tengan lunares, b) de 1 a 3
estén descompuestos o tengan lunares.
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Ejercicio
En un estudio sociológico, se encontró que 60% de los
consumidores de tacos callejeros enferman de amibiasis, se
seleccionan al azar 8 adictos a los tacos callejeros, encuentre
la probabilidad de que, a) tres exactamente tengan amibiasis,
b) Por lo menos 5 tengan amibiasis.
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Ejercicio
Según una encuesta de una revista ¼, del total de empresas
metal-mecánica de un estado x de la República Peruana,
acostumbran a desperdiciar a sus trabajadores antes de
cumplir un determinado periodo de tiempo para que no
adquieran la clase y sean sindicalizados. Se seleccionan 6
empresas al azar, calcular la probabilidad de encontrar, a) de
2 a 5 de estas empresas, b) Menos de tres empresas
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Ejercicio
Una de las medidas de control de calidad de un amortiguador
para automóvil, es probarlo en los baches de la avenida
América Sur, se encontró que el 20% de los amortiguadores
sometidos a la prueba presentaban fuga de aceite y por lo
tanto están defectuosos. Si se instalan 20 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 estén
defectuosos, b) más de 5 estén defectuosos. C) de 3 a 6
amortiguadores estén defectuosos.
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Ejercicio
Un ingeniero Industrial que labora en el departamento de
control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una
muestra al azar de tres alternadores de un lote. Si el 15% de
los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la
probabilidad de que en la muestra, a) ninguno sea
defectuoso, b) uno sea defectuosos, c) al menos dos sean
defectuosos?
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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En una población en la que hay un 40% de
hombres y un 60% de mujeres seleccionamos
4 individuos ¿Cual es la probabilidad de que
haya 2 hombres y 2 mujeres? ¿Cual es la
probabilidad de que haya más mujeres que
hombres?
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Una encuesta de Harris Interactive para InterContinental Hoteld and
Resorts preguntó: “Cuando viaja al extranjero, ¿suele aventurarse usted
solo para conocer la cultura o prefiere permanecer con el grupo de su
tour y apegarse al itinerario?” Se encontró que 23% prefiere permanecer
con el grupo de su tour (USA Today, 21 de enero de 2014).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de seis viajeros,
dos prefieran permanecer con su grupo?
b) ¿De que en una muestra de seis viajeros, por lo menos dos
prefieran permanecer con su grupo?
c) ¿De que en una muestra de 10 viajeros, ninguno prefiera
permanecer con su grupo?
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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En San Francisco, 30% de los trabajadores emplean el transporte
público (USA Today, 21 de diciembre de 2013).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores
exactamente tres empleen el transporte público?
b) ¿De que en una muestra de 10 trabajadores por lo menos tres
empleen el transporte público?
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Si un estudiante responde al azar a un examen
de 8 preguntas de verdadero o falso.
Cuál es la probabilidad :
a) Que acierte 4.
b) Que acierte dos o menos.
c) Que acierte cinco o más.
¿Cuanto valen la media y la varianza del número
de preguntas acertadas?
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Cierto proceso industrial se repite cuatro
veces. Suponga que existe la probabilidad
de 0.50 que el proceso resulte deficiente.
En cuatro repeticiones se puede obtener
0,1,2,3 ó 4 procesos deficientes. Se puede
calcular la probabilidad de cada uno de
estos posibles resultados mediante la
distribución binomial.
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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P(X = )xX
(Número de
procesos deficientes)
0
1
2
3
4
161
2
1
2
1
!4!0
!440
164
2
1
2
1
!3!1
!431
166
2
1
2
1
!2!2
!422
161
2
1
2
1
!0!4
!404
164
2
1
2
1
!1!3
!413
A estos resultados se denomina distribución de probabilidad.
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LA MEDIA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Consideramos la distribución del ejemplo anterior
(p = 1/2, n = 4)
0 1 2 3 4
1/16 4/16 6/16 4/16 1/16P(X = )x
X
La media
)(X= xP
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Interpretación: Si seleccionamos 4 procesos
industriales al azar, se espera encontrar 2 procesos
deficientes, si este experimento se repite un número
infinito de veces.
0
1
2
3
4
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
0
4/16
12/16
12/16
4/16
X P(x) XP(x) 16
32)(XP x
= procesos2
También:
= np
= 4( 12 2) 32/16
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La desviación estándar
0
1
2
3
4
-2
-1
0
+1
+2
4
1
0
1
4
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
4/16
4/16
0
4/16
4/16
)(P)x( 2 x
)(P)x( )x( )x( )P(x 22 xx
16/16
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La distribución binomial (p = 1/2, n = 4) tiene una mediade 2 y una desviación estándar de 1.
16
16)(P)X( 2 x
deficiente proceso 1 16
16)(P)X( 2 x
npq
1)5,0)(5,0(4
También:
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El Ingeniero Jiménez Gerente de la Empresa Producir
mejor S.A.C, se encuentra realizando su revisión
mensual a los procesos. En el procedimiento, se
seleccionan 10 procesos y se les analiza en busca de
deficiencias o errores que estos presenten. A lo largo
del tiempo, sólo 2% de dichos procesos registran
deficiencias (suponga que las deficiencias se presentan
de manera independiente en diferentes procesos).
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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• ¿Cuál es la probabilidad de que la
muestra del Ing. Jiménez contenga
más de dos procesos con
deficiencias?
• ¿Cuál es la probabilidad de que en
ninguno de los procesos
seleccionados registre deficiencia ?
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En un sorteo que se realiza diariamente de lunes
a viernes, la probabilidad de ganar es 0,1. Vamos
a jugar los cinco días de la semana y estamos
interesados en saber cuál es la probabilidad de
ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días.
a) Haz una tabla con las probabilidades.
b) Calcula la media ( ) y la desviación típica ( ).
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Supóngase que en cierta población el 52 por
ciento de todos los nacimientos que se
registraron son varones. Si aleatoriamente se
escogen cinco registros de nacimientos dentro
de esa población, ¿cuál es la probabilidad de
que exactamente tres de ellos pertenezcan a
varones?.
P = 0.52
q = 1 - 0.52 = 0.48
n = 5
r = 3
3 (5 3)
(3,5)
5!0.52 0.48 0.32 32%
3!(5 3)!P
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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n r 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 r n
5 0 0.0380 5
1 0.1755 4
2 0.3240 3
3 0.2990 2
4 0.1380 1
5 0.0255 0 5
n r 0.63 0.62 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57 0.56 0.55 0.54 0.53 0.52 0.51 0.50 r n
p
Uso de Tablas: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Solucionando el problema anterior usando la tabla de
probabilidades binomiales
La probabilidad de tener 3 inscritos varones de 5
registros realizados es del 0.324 o 32.4%.
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Es una distribución muy usada en medicina ybiología. Se deriva del proceso de Poisson en honoral matemático francés Simeon Denis Poisson(1781-1840).
Debe cumplir las siguientes condiciones:
La ocurrencia de los eventos son independientes.
El número promedio de veces () que ocurre unéxito por cada unidad de tiempo o de espacio esconstante.
La probabilidad de un suceso es una unidad detiempo o de espacio muy pequeña.
a.2 DISTRIBUCIÓN DE POISSON:
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Ejemplos de aplicaciones de Poisson: Pacientes que llegan a la sala de un hospital durante un
cierto día.
Defectos de un rollo de gasa.
Accidentes por hora en cierta parte de una carretera.
Clientes que llegan a la caja registradora de una
farmacia en un determinado horario.
Numero de defectos de una tela por m2
Numero de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día,
hora, minuto, etc.
Numero de bacterias por cm2 de cultivo
Numero de llamadas telefónicas por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes,
etc, etc.
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Si el tamaño de la muestra es bastante grande (n>50) y
la probabilidad de un evento particular es muy pequeño
(p < 0,1) y se desea hallar la probabilidad de un número
determinado de éxitos, se puede aplicar la distribución
de Poisson, dada por la siguiente ecuación.
!
=)=P(X
x
xx
e
ex!
donde
(lambda): media = np = variancia
: base de logaritmos naturales =2.71828
: factorial de x
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Ejemplo:
Supongamos que estamos investigando la seguridad de
una peligrosa intersección de calles, los registros
policíacos indican un media de 5 accidentes mensuales
en esta intersección. El número de accidentes esta
distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson y
el departamento de seguridad vial desea que calculemos
la probabilidad de que en cualquier mes ocurra
exactamente 3 accidentes.
X = 3 acc/mes
= 5 acc/mes
3 5
( 3)
5 2.71830.14042 14.04%
3!xP
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Uso de Tablas: DISTRIBUCION DE
POISSON
Solucionando el problema anterior usando la tabla
de distribución de probabilidades de Poisson:
x 4.1 ......... 4.5 .......... 4.9 5
0 0.0067
1 0.0337
2 0.0842
3 0.1404
4 0.1755
5 0.1755
La probabilidad de tener
exactamente 3
accidentes en un mes
cualquiera es 0.1404
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La probabilidad de “número equivocado” a pesarde haber marcado correctamente es 0,03. Si setoma una muestra de 100 llamadas, ¿cuál es laprobabilidad de tener 2 “números equivocados”?
Solución:p = 0.03
n = 100 = 3
P(X = ) =32
22 71828
2
3 ( . )
!
= 02240
Aplicación
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Consideremos una distribución binomial con
p=0.02 y n = 100. Supongamos que nos
interesa calcular la probabilidad de que X = 3
utilizando la formula binomial, podemos
encontrar la probabilidad exacta de la forma
siguiente:
1823,0
)98,0()02,0(97! 3!
100!=3)=P(X 973
La aproximación de Poisson a la
distribución Binomial
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Los cálculos son muy tediosos. Cuando p es
pequeño y n es lo suficientemente grande, la
formula binomial puede aproximarse mediante una
distribución de Poisson con = np
Luego, utilizando una distribución de Poisson
encontramos que la probabilidad de que X=3 es:
!
= 3)=P(X
x
ex
La aproximación de Poisson a la
distribución Binomial
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La respuesta es muy ¨próxima¨ a la encontrada con ladistribución binomial. La aproximación se consideraválida cuando
2 = (0,02) 100 =np
1805,0)71828,2( 6
8
!3
)71828,2()2(2
23
20ny 0.05p
La aproximación de Poisson a la
distribución Binomial
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EJEMPLO
En un proceso de fabricación donde se manufacturan
productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, los que deja
ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta. Se
sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos
que se producen tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga
menos de siete artículos con burbujas?
SOLUCION
En esencia este es un experimento binomial con n=8000 y
p=0.001. Como p es muy cercano a cero y n es bastante
grande, hacemos la aproximación con la distribución de
Poisson usando μ=(8000)(0.001)=8.
La aproximación de Poisson a la
distribución Binomial
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EJEMPLO
Los pasajeros de las aerolíneas llegan en forma aleatoria e
independiente al mostrador de revisión de pasajeros. La tasa
media de llegada es 10 pasajeros por minuto.
a) Calcule la probabilidad de que no llegue ningún pasajero
en un lapso de un minuto.
b) Calcule la probabilidad de que lleguen tres o menos
pasajeros en un lapso de un minuto.
c) De que no llegue ningún pasajero en un lapso de 15
segundos.
d) De que llegue por lo menos un pasajero en un lapso de
15 segundos.
La aproximación de Poisson a la
distribución Binomial
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La distribución normal es también un caso particular de
probabilidad de variable aleatoria continua, fue
reconocida por primera vez por el francés Abraham de
Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich
Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos
y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también
se le conozca, más comúnmente, como la "campana de
Gauss". La distribución de una variable normal está
completamente determinada por dos parámetros, su
media (µ) y su desviación estándar (σ).
b.1.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
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Se utiliza para describir el comportamiento de unavariable continua.
(a) Características de la Distribución Normal
1. Tiene un forma acampanada.
2. La media cae en el centro
3. La media, mediana y moda coinciden
4. Es asintótica al eje horizontal
Es importante por:
Es muy aplicable para inferencia estadística
Se ajusta (casi) a las distribuciones de frecuenciasreales observadas.
b.1.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
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Fórmula: DISTRIBUCION NORMA
La función de densidad: f(x), para la distribución normal
tiene la siguiente formula:
2x2
1
2
1)x(
ef
donde:
e : constante matemática: 2.71828
: constante matemática: 3.14159
: media de la población
: desviación estándar de la población (sigma)
x : cualquier valor de la variable aleatoria
continua
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La Formula determina la curva en forma de campana:
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El extremo izquierdo se extiende de
manera indefinida y nunca toca el
eje horizontal
Media
Mediana
Moda
La distribución normal de
probabilidad es simétrica con
respecto a una línea vertical que
pase por la media
El extremo derecho se extiende
de manera indefinida y nunca
toca el eje horizontal
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Existen dos razones básicas por las cuales la distribuciónnormal ocupa un lugar tan prominente en la estadística :
a) Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a ungran número de situaciones en la que es necesario hacerinferencias mediante la toma de muestras.
b) La distribución normal casi se ajusta a las distribucionesde frecuencias reales observadas en muchos fenómenos,incluyendo características humanas, resultados deprocesos físicos y muchas otras medidas de interés paralos administradores u otros profesionales, tanto en elsector público como en el privado.
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Areas debajo de la curva normal
No importa cuales son los valores de y (sigma), parauna distribución de probabilidad normal el área total bajola curva es 1.00, de manera que podemos pensar en áreasbajo la curva como si fuesen probabilidades.Matemáticamente es verdad que:
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68% datos
1: Aproximadamente 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se
encuentra datos 1 desviación estándar de la media .
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2: Aproximadamente 95.5% de todos los valoresde una población normalmente distribuida seencuentra datos 2 desviación estándar de lamedia.
2 2
95.5% de datos
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3 3
3: Aproximadamente 99.7% de todos los valores de unapoblación normalmente distribuida se encuentra datos3 desviación estándar de la media
99.7% de datos
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b.2 La distribución normal estándar (Z)
La distribución normal tiene diferente y para
calcular probabilidades habría que integrar la función
de densidad. Por este motivo se estandariza la
variable.
La estandarización es un proceso estadístico que
consiste en restar la media a la variable y el resultado
dividirlo por la desviación estándar.
Zx
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Distribución
normal estándar
1
50
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La tabla de distribución normal estándar, es la siguiente:
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810
1.2 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162
:
:
2.4
2.5
:
Cuando Z=1.27 entonces el área vale: ......
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Ejercicio:
Un terapista físico piensa que los
puntajes en una prueba de
destreza manual tiene una
distribución aproximadamente
normal, con una media de 10 y
una desviación estándar de 2,5. Si
a un individuo, elegido
aleatoriamente, se le aplica el
examen, ¿cuál es la probabilidad
de que logre un puntaje de 15 o
mas puntos?.
10
2.5
15
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5.2
Obtenemos la siguiente información:
Calculando Z:
25.2
1015
xz
10
2.5
15
10
2.5
15
Para Z=2, buscamos en la tabla cual
es la probabilidad (o área) que le
corresponde:
Área = .4772
Como deseamos conocer esta área:
%28.20228.04772.05.0)15( xP
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¿Cuál es la probabilidad de que se logre un puntaje entre 11
y 14?
11 14
Calculando Z:
1554.04.05.2
101111
AzxCuando
4452.06.15.2
101414
AzxCuando
El área sombreada se encuentra restando del área mayor
(0.4452) el área menor (0.1554)
%98.282898.01554.04452.0)1411( xP
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Una empresa aplica un programa de entrenamiento
diseñado para mejorar la habilidades de supervisión
en los diferentes procesos que se desarrollan en un
Empresa. Debido a que el programa es
autoadministrado, los supervisores requieren un
número diferente de horas para concluirlo. Un
estudio de los participantes anteriores indica que el
tiempo medio que se lleva completar el programa es
de 500 horas y que esta variable aleatoria
normalmente distribuida tiene una desviación
estándar de 100 horas.
APLICACIONES
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Pregunta 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un
participante elegido al azar requiera más de 500 horas
para completar el programa?
Solución:
En la figura, podemos ver que la
mitad del área bajo la curva está
localizada a ambos lados de la media
de 500 horas. Por lo tanto podemos
deducir que la probabilidad de que la
variable aleatoria tiene un valor
mayor a 500 es el área sombreada, es
decir, 0.5.
P(X>500)=0.5
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Pregunta 2:¿Cuál es la probabilidad de que un
supervisor elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas
para completar el programa de entrenamiento.
Solución:
La gráfica se muestra la
respuesta como zona
sombreada, representada por
el área entre la media (500
horas) y el valor de X, en el
cual estamos interesados (650
horas). Estandarizando la
variable tenemos un valor para
Z
P(500 X 650)=0.4332
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xZ
5.1100
500650
Z
Si buscamos Z = 1.5 en la tabla, encontraremos una
probabilidad de 0,4332. En consecuencia, la probabilidad
de que un candidato escogido al azar requiera entre 500
y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento
es ligeramente mayor a 0,4.
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Pregunta 3:¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor
elegido al azar se tome más de 700 horas en completar el
programa?
Solución:
Estamos interesados en el área a la derecha de 700.
Estandarizamos
xZ
2100
500700
Z
P(X >700)= 0.0228
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Tabla: si Z = 2.0 Area: 0.4772
En consecuencia, la probabilidad mayor a 700 será
0,5 - 0,4772 = 0,0228
Por lo tanto hay un poco más de 2 oportunidades en 100
de que un participante elegido al azar se lleve más de
700 horas en completar el curso.
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Pregunta 4:Suponga que el director del programa desea saber la
probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre
550 y 650 horas para completar el trabajo requerido en el programa.
Solución:
Primero calculamos el valor de Z para 650
xZ
5.1100
500650
Z
A este valor le
corresponde un área de
0,4332
P(550 X 650)
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Después calculamos un valor de Z para 550
xZ
5.0100
500550
Z
Correspondiéndole un área de 0,1915
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Para responde la pregunta debemos estar
restar las áreas:
Probabilidad de que la variable aleatoria esté
entre la media y 650 horas
Probabilidad de que la variable aleatoria esté
entre la media y 550 horas
Probabilidad de que la variable aleatoria esté
550 y 650 horas
0,4332
0,1915
0,2417
(-)
(=)
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Así pues, la probabilidad de que un supervisor
elegido al azar se tome entre 550 y 650 horas para
completar el programa de entrenamiento es un poco
menor de 1 entre 4
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Una persona con una buena historia crediticia tiene una
deuda promedio de $15,015 (Business-Week, 20 de
marzo de 2014). Suponga que la desviación estándar es
de $ 3,540 y que los montos de las deudas están
distribuidos normalmente.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una
persona con buena historia crediticia sea mayor a
$18,000?
b. ¿De que la deuda de una persona con buena historia
crediticia sea de menos de $10,000?
c. ¿De que la deuda de una persona con buena historia
crediticia esté entre $12,000 y $18,000?
d. ¿De que la deuda de una persona con buena historia
crediticia sea mayor a $14 000?
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Supóngase que la estancia promedio de internación
en un hospital Psicológico es de 5,5 días con una
desviación estándar de 1,8 días. Si se supone que
la duración de la internación se distribuye
normalmente, encuentre la probabilidad de que un
paciente seleccionado al azar de dicho grupo, tenga
una duración de internación :
de más de 6 días
entre 4 y 7 días
EJEMPLO
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La edad de los habitantes de cierta ciudad
se distribuye normalmente, con una media
de 40 años. Se sabe además que el 2,28 %
de los habitantes tiene más de 60 años.
a) ¿Cuál es la desviación típica?
b) ¿Cuál es el porcentaje de habitantes con
menos de 35 años?
EJEMPLO
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EJEMPLO
En un test que mide ciertas habilidades
específicas, las puntuaciones se distribuyen
normalmente, con media 100 y desviación típica
25. El 10% de las puntuaciones más altas
corresponde al grupo de los superdotados, y el 5%
de las puntuaciones más bajas al de los
infradotados. Calcular las puntuaciones que
delimitan los distintos grupos.
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El coeficiente de inteligencia de un grupo de
500 alumnos es una variable aleatoria que
se distribuye como una normal de media 100
y desviación típica 16. Determina el número
esperado de alumnos que tienen un
coeficiente entre 118 y 122.
EJEMPLO
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En cierta prueba, el 35 por ciento de la población
examinada obtuvo una nota superior a 6, el 25 por
ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento inferior a 4.
Suponiendo que las notas siguen una distribución
normal, calcula la nota media y la desviación
típica. ¿Qué porcentaje de población tiene una
nota que se diferencia de la media en menos de 2
unidades.
EJEMPLO
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Interpolación lineal.
Para el caso de funciones continuas para x>0, que no se recojan en la tabla
algunos de sus valores (el número de valores existentes en la tabla siempre es
finito), para calcular los valores no encontrados en la tabla podemos usar
interpolación lineal.
La interpolación lineal parte de dos puntos conocidos de la función, y los
valores intermedios los determina por la recta que une estos dos puntos. Este
método siempre añade un cierto error al sustituir la función y=f(x) por la recta
r(x) que une los dos puntos en cuestión.
La expresión:
determina la ecuación de la recta y=r(x) que
pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) siendo
x1<x< x2.
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8.5.3 La distribución t
a) Características
Al igual que la normal, también es simétrica es
algo más plana que la distribución normal hay una
distribución t para cada tamaño de muestra cuando
el tamaño de la muestra es mayor a 30, la
distribución t se asemeja tanto a la normal que se
prefiere utilizar ésta.
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CUANDO UTILIZAR Z o t
¿SE CONOCE ? USA R Z
USA R Z
USA R t
¿es n 30?
SI
NO
SI
NO
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d.f. Grados de libertad
Ejemplo:
n= 28 N.C. =
95%
t = ?
d.f. = 28 - 1 = 27
t = 2,0518
. . 1d f n
TABLA DE DISTRIBUCION t DE STUDENT
d.f. t .90 t .95 t .975 t .99 t .995
1 3.08 6.31 12.7 31.8 63.7
2 1.89 2.92 4.3 6.97 9.92
3 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84
:
:
:
:
26 1.32 1.71 2.06 2.48 2.78
27 2.31 1.7 2.05 2.47 2.77
28 1.31 1.7 2.05 2.47 2.76
:
:
:
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b) Fórmula
c) Grados de libertad
Se definen como el número de valores que podemos
escoger libremente.
ns
xt
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5.4 La distribución Ji-Cuadrada
a) Características
Es una distribución asimétrica a la izquierda
Sólo considera valores positivos
b) Definición
La distribución Ji-cuadrada esta definida por
n
iiZ
1
22
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C) APLICACIONES
Las aplicaciones más importantes están en
la prueba de bondad de ajuste la prueba de
independencia estadística
d) Distribución
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5.4 La Distribución F
Características
Es una distribución asimétrica a la derecha
Sólo tiene valores positivos
Se utiliza para comparar variancias de dos
poblaciones, con distribución normal
Fórmula
2
2
Fmenor
mayor
S
S
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Existe una “familia” de distribuciones F.
Cada miembro de la familia está determinado por dos parámetros: los grados de libertad (gl) en el numerador y los grados de libertad en el denominador.
El valor de F no puede ser negativo y es una distribución continua.
La distribución F tiene sesgo positivo.
Sus valores varían de 0 a . Con forme F la curva se aproxima al eje X.
11-3
