Ing. Edward Ropero Magister en Gestión,

Aplicación y Desarrollo de Software

Se puede definir como el grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso; nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tenga

Se puede hablar de Posibilidades y de Probabilidades, el primero hace referencia a la comparación entre el número de resultados favorables

con los desfavorables: N°. de defectuosos

N°. de no defectuosos.

En el segundo es el cociente entre el número favorable o desfavorable (según sea el caso) sobre el total de casos posibles:

P = N°. de favorables o desfavorables

Total de casos posibles

Ejemplo: Supongamos que se lanza 100 veces una moneda, anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:

Suceso Yi ni Ni P

Cara 1 56 0,56 56/100 = 0,56 probabilidad de éxito

Sello 2 44 0,44 44/100 = 0,44 probabilidad de fracaso

Se llamará suceso a cada caso posible, es decir, a la realización de un acontecimiento y este puede ser: • Un hecho es cierto, cuando son favorables todos los casos

posibles. • Un hecho verosímil a un suceso susceptible de realizarse,

pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 0,5.

• Si la probabilidad es igual a 0,5 será un hecho dudoso, ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales. Hecho inverosímil, se presenta cuando la probabilidad es menor que 0,5 y mayor que cero.

• Hecho imposible, es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido

Prueba es la realización de un acto. El conjunto de pruebas realizadas en las mismas condiciones se denomina experimento. La respuesta de una prueba se llama resultado, punto muestral o suceso. El conjunto de todos los resultados posibles constituye un espacio muestral. Un evento es un conjunto de uno o más puntos muestrales

Ejemplos: Experimento: lanzamiento de una moneda teórica

U = {C, S}

Experimento: lanzamiento de dos monedas, asignando la probabilidad a cada suceso.

U = {CC, CS, SC, SS} Experimento: lanzamiento de dos dados.

U =

Es una de las maneras que permite determinar diversos eventos posibles, al contar los puntos muestrales. Ejemplo: En el lanzamiento de tres monedas, se tendrá:

Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo, el número de sucesos o la esperanza de ese suceso en n ensayos, estará dado por el producto de n y la probabilidad de éxito p.

E = np

Ejemplo: En el lanzamiento de dos dados 900 veces. ¿Cuál es la esperanza de que en la suma de sus caras se obtenga un valor menor a 6?

Solución:

Primero obtenemos la probabilidad de éxito que el suceso sea un valor menor a 6 en un solo ensayo:

(11) (12) (21) (22) (23) (32) (13) (31) (41) (14) p = 10/36

Como se lanza el dado 900 veces, entonces: E = np = 900(10/36) = 250 Se espera que 250 de los 900 lanzamientos, la suma de sus caras resulte un valor menor a 6.

Ejemplo: Una persona vive en el extremo norte de la ciudad y sólo cuenta con dos rutas para poder llegar a la llamada Autopista Norte. Una vez alcanzada la autopista tiene tres rutas de menor congestión para llegar al centro de la ciudad. Ya en el centro puede seleccionar dos rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. La pregunta que se haría dicha persona es: ¿de cuántas maneras o rutas podría conducir su automóvil de la casa al parqueadero más próximo a su oficina? 3 1 6 4 2 5 7 Las alternativas que tendrá son:

{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7} {2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7}

En total se tienen 12 maneras o rutas para elegir. Aplicando la técnica de la multiplicación, se tendrá: 2 x 3 x 2 = 12.

Las permutaciones son una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto; también se puede considerar como un conjunto de cosas extraídas en un orden específico y sin reemplazo de un conjunto igual o mayor. Generalmente simbolizado por Pn = n! o como nPn = n! Lo anterior se lee como “permutaciones de n elementos tomados de n en n”

Ejemplo: Supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4 y se quiere formar cifras de 4 dígitos. Según la fórmula anterior se tendrá que

4P4 = P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Veamos cuales serían esas cifras:

Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía: en este caso nos referimos a Permutaciones con repetición Ejemplo: Con la palabra CASA tendríamos un número de palabras inferior a 24, en el caso de que no se haga distinción de la A.

En las permutaciones cuando no se utilizan todos los elementos, sino una parte de ellos, algunos lo denominan como variaciones, cuya fórmula está dada así: Ejemplo: En el ejemplo de los cuatro números naturales: 1, 2, 3, 4 del y formemos cifras de 2 dígitos, con los siguientes resultados

! ! ! ( )!

Combinaciones. Son un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se dispongan. Ejemplo: Cambiemos el ejercicio de los 4 números naturales por las primeras cuatro letras del alfabeto ¿Cuántas combinaciones se podrían hacer? Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB = etc.

! ! !

( )! ! ! ! ! !

Si dos o más sucesos son tales, que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dice que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso. Ejemplo 1. La probabilidad de obtener un As o un Rey, sacando una sola carta en una baraja española de 40 cartas. Si uno de los casos aparece, queda excluido el otro.

Se dice que dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro. En caso contrario se dice que son dependientes Ejemplo . ¿Qué probabilidad hay de obtener 2 reyes sacando una carta de una baraja y la otra de una segunda baraja? Ejemplo: De una baraja de 40 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta que se extrae no se regresa al abaraja, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un as y en la segunda un rey de oros y en la tercera un seis de copas?