429936270.Texto Guía Estadistica y Probabilidades II - 2008 Acef

UNIVERSIDAD AMAZNICA DE PANDO

PROGRAMA DE ADMINISTRACIN DE EMPRESAS

TEXTO GUA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Cobija Pando - Bolivia Preparado por el Lic. Ren Mamani Quisbert

1

TEMA N 1

TEORA DE PROBABILIDADES

1.1.- COMPETENCIA DE TEMA:

1.2. PROBABILIDADES.- El clculo de Probabilidades, es una rama de las

matemticas que se ocupa de medir o cuantificar la posibilidad de que ocurra un

determinado suceso o evento. La probabilidad es una herramienta indispensable

para toda clase de investigaciones que implican INCERTIDUMBRE. Si se est

frente a experimentos cuyos resultados estn completamente determinados, es

decir de antemano se sabe qu suceso ocurrir, entonces desaparece el problema

de incertidumbre, por lo tanto no hay necesidad de recurrir al clculo de

probabilidades. Sin embargo, como hay una infinidad de fenmenos los cuales

implican incertidumbre, la importancia de considerar la teora de probabilidades en

nuestro estudio, es realmente relevante.

La creacin de la Probabilidad se atribuye a los matemticos franceses del siglo

XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemticos como Gerlamo

Cardano en el siglo XVI, haban aportado importantes contribuciones a su

desarrollo. La probabilidad matemtica comenz como un intento de responder a

varias preguntas que surgan en los juegos de azar, como ser los dados, los naipes y

las monedas.

A travs de la historia, se han estructurado tres definiciones de probabilidad que

son complementarias y su aplicacin depende de la naturaleza del problema o

fenmeno que se est encarando o tratando de resolver. Estas definiciones son:

HABILIDAD: Describe

CONTENIDO: Los conceptos fundamentales de la teora del clculo de probabilidades.

PROCESO: Mediante un proceso interactivo y el uso de diferentes fuentes de informacin.

CONTEXTO: En el aula




2

a) Definicin clsica

b) Definicin por Frecuencia Relativa

c) Definicin Subjetiva PROBABILIDAD SUBJETIVA

a) DEFINICIN CLSICA: Fue estructurada por Simn Laplace en el ao 1812,

en su obra: Teora Analtica de las Probabilidades y dice:

LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO ES LA RAZN ENTRE EL NMERO DE CASOS O SUCESOS FAVORABLES A UN EVENTO Y EL NMERO TOTAL DE CASOS O SUCESOS POSIBLES, SIEMPRE Y CUANDO NADA OBLIGUE A CREER QUE ALGUNOS DE ESTOS SUCESOS DEBA TENER PREFERENCIA A LOS DEMS, LO QUE HACE QUE TODOS SEAN IGUALMENTE POSIBLES.

En la definicin anterior, se tiene:

nN )( Nmero de elementos del espacio muestral (nmero total

de sucesos).

a)A( nN Nmero de elementos o sucesos favorables al evento A.

Entonces:

posibles casos de Nmero

A evento al favorables casos de Nmero

n

N

N

NP

)A(

)(

)A(A

En la presente definicin, est implcito un supuesto muy importante referido al

Espacio Muestral , es el concepto de EQUIPROBABILIDAD. Segn este principio,

todos los elementos del espacio muestral deben tener la misma probabilidad de

ocurrencia, de no ser as no es aplicable el concepto de Probabilidad Clsica.

La probabilidad de un resultado se representa con un nmero que flucta entre 0 y

1, ambos inclusive. La probabilidad CERO indica que el resultado no ocurrir nunca,

y la probabilidad 1, que el resultado ocurrir siempre. El clculo matemtico de

probabilidades se basa en situaciones tericas en las cuales puede configurarse un

espacio muestral , cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad.

Por ejemplo: al lanzar un dado normal, la probabilidad de cada una de las caras es

1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es de 1/36.

PROBABILIDAD OBJETIVA




3

EJEMPLO 1: Si se lanza un dado no cargado, debe considerarse que hay igual

probabilidad que salga cualquiera de los nmeros del espacio Muestral .

= {1, 2, 3, 4, 5,6}

La probabilidad de que salga cualquier nmero es = a 1/6

EJEMPLO 2: Sea el experimento que consiste en lanzar dos dados una vez y en

condiciones normales.

a) Cul es la probabilidad de que la suma de los puntos que aparecen sea 12?

b) Cul es la probabilidad de que sea 7?

c) Cul es la probabilidad de que la suma no sea mayor que 3 ?

SOLUCIN: = {(1,1) (1,2) (1,3)..................................... (6,6)}

a) 3662

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

a) La suma de los puntos es = 12 y solo existe una opcin.

)A(N = {(6,6)} = 1

)A(P = 1/36

b) La suma de los puntos es 7

66,15,24,33,42,51,6N )A(

6

1

36

6P )A(




4

c) La suma de los puntos es < 4

3 )(2,1)}{(1,1)(1,2 P )A(

12

1

36

3P )A(

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES:

1.- Se lanza una moneda tres veces. Cul es la probabilidad de obtener 3 caras?

Cul es la probabilidad de obtener dos caras y un sello?.

2.- Un lote consta de 10 artculos, 4 con pequeos defectos y 2 con defectos

graves. Se elige un artculo al azar. Encontrar la probabilidad de que:

a) No tenga defectos.

b) Tenga un defecto grave.

b) DEFINICION POR FRECUENCIA RELATIVA:

El supuesto fundamental sobre el cual se apoya la definicin clsica de probabilidad,

es el referido a la equiprobabilidad de los elementos del espacio muestral , o sea

que, todos los elementos del espacio muestral tengan la misma probabilidad de ser

elegidos. Sin embargo no todos los fenmenos o problemas de la vida real cumplen

necesariamente con dicho supuesto, para estos casos la ciencia de la estadstica

estructur la Teora de las probabilidades por Frecuencia Relativa o el concepto

frecuencialista de Probabilidad, que toma en cuenta dos aspectos:

1.- No es necesario que los elementos de sean equiprobables.

2.- n debe ser grande, o tender al infinito.

Si se cumplen las dos condiciones anteriores, se puede estimar la probabilidad de la

ocurrencia de un evento cualquiera a partir de su Frecuencia Relativa:

n

nP

a)A(

Donde: )A(P = Probabilidad de que ocurra el evento A.




5

an = Frecuencia Absoluta de A

n = Tamao de la Muestra

Esta aproximacin es ms real cuando n es grande tiende al infinito.

EJEMPLO N 1: En una muestra aleatoria de 10 fbricas que emplean un total de

10.000 trabajadores, se evidenci que ocurrieron 500 accidentes de trabajo

durante un perodo reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de que ocurra un

accidente de trabajo en una industria determinada.

SOLUCION: En el problema anterior no se puede sealar que los casos posibles

sean equiprobables por cuanto las condiciones de trabajo y seguridad industrial

varan en cada empresa, por lo tanto no podemos hablar de equiprobable, por

tanto no es posible aplicar el concepto de la probabilidad Clsica. Los datos con los

que contamos son:

n = 10.000 trabajadores

an = Accidentes de trabajo ocurridos en un periodo de doce meses = 500

Entonces, se puede estimar la probabilidad de ocurrencia de un accidente a partir

del concepto de Frecuencia Relativa:

05,0000.10

500

n

nP

a)A(

EJEMPLO N 2: Sea la distribucin de los miembros de los partidos polticos, el

siguiente:

PARTIDO A B C D E F TOTALES

NMERO TOTAL

DE MILITANTES

105

100 70 45 40 15 375

MILITANTES

MUJERES

15 20 5 10 3 2 55

Cul es la probabilidad de que un miembro seleccionado aleatoriamente :

a) Sea una mujer ?




6

b) Pertenece al partido B?

c) Sea un hombre miembro del partido C?

SOLUCIN:

a) n = total de militantes = 375

Sea: A : El militante seleccionado es una mujer.

147,0

375

55n a

a) Sea B: El seleccionado pertenece al partido B.

27,0

375

100nb

c) Sea C: El seleccionado es hombre y pertenece al partido C.

65570nc

17,0375

65

n

nP

b)c(

c) PROBABILIDAD SUBJETIVA:

Esta es una definicin alternativa y se utiliza cuando existen muchas situaciones

donde el concepto de Probabilidad Clsica ( equiprobable) y el de Frecuencia

Relativa, carece de significado, o sea no se cumplen ninguna de las dos condiciones

sealadas.

En este caso se aplica el concepto de probabilidad subjetiva:

EJEMPLO: Cul es la probabilidad de que una expedicin tripulada desembarque en

el planeta Marte en la prxima dcada ?

El ejemplo anterior tratase de un evento nico sin antecedente alguno, por tanto, no

existe forma de que se pueda interpretar tal probabilidad a travs de la

probabilidad clsica ni la frecuencia relativa.




7

En consecuencia, en estos casos, el ENFOQUE SUBJETIVO de probabilidad resulta

ser el ms adecuado, donde hay una sola oportunidad de ocurrencia del evento.

DEFINICIN: Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A

es el grado de CERTEZA asignado a la ocurrencia de ese evento por un individuo

particular, basado en toda la evidencia a su disposicin, con las siguientes

exigencias:

1.- 0P )A( Representa la certeza de que el evento A no ocurrir.

2.- 1P )A( Representa la certeza de que el evento A si ocurrir.

3.- 0 < )A(P < 1 Representa el grado de certeza de que el evento A ocurrir, a

partir de toda la informacin disponible en relacin al evento

analizado.

1.3 AXIOMAS DE PROBABILIDAD Y PROPIEDADES.- El tratamiento de las

Probabilidades implica el empleo de axiomas y teoremas, las mismas que los

podemos clasificar en tres axiomas y seis teoremas:

AXIOMA 1

0 AP 1 Para cada evento A que es parte de

AXIOMA 2: Probabilidad del Evento seguro.

1P

AXIOMA 3: Para cualquier nmero finito k de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos en

k

1iiAk

1i

iA

PP

BABA PPP

TEOREMAS:

TEOREMA 1: Si es el evento imposible, entonces 0P Demostracin: Sabemos que: =




8

Por otro lado: y son mutuamente excluyentes

PPP Por el Axioma 3

P11 Por el axioma 2

011P TEOREMA 2: Para cada evento A, se cumple que:

AAP1P

AAPP 1

Demostracin:

Se sabe que: _

AA

Por otro lado los eventos A y _

A son mutuamente excluyentes:

_

AA

En consecuencia: AA PPP Por el Axioma 3

AA PP1 Por el Axioma 2

AA P1P Viceversa TEOREMA 3: Si A y B son eventos de , tales que A B

AP BP

DEMOSTRACIN:

A

B




9

ABAB y adems:

ABA Ambos eventos son mutuamente excluyentes

Luego por el Axioma 3:

ABAB PPP

BP AP

TEOREMA 4: Si A y B son dos eventos cualesquiera de

BABABA PPPP

DEMOSTRACION:

El evento BA puede representarse como la unin de los eventos A y BA , y son mutuamente excluyentes.

Empleamos la siguiente grfica para explicar la demostracin:

BAABA

0

AnB

A B

BA




10

Luego:

(l) BAABA PPP P/Axioma 3

Por otro lado, el Evento B tambin puede escribirse como la unin de los eventos

mutuamente excluyentes:

BA y BA

BABAB

BABAB PPP P/Axioma 3

BABBA PPP

Sustituyendo este resultado en (l), tenemos:

BABABA PPPP

Como consecuencia, tenemos demostrado la igualdad.

TEOREMA 5: Si: A, B y C son tres eventos cualesquiera en ,

CBABCCACACBACBA PPPPPPPP

DEMOSTRACION:

Podemos escribir CBACBA y aplicamos el Teorema N 4, tomando en cuenta

que BA es un evento.

TEOREMA 6: Si: K321 A,,A,A,A es una coleccin de eventos cualesquiera en , entonces:

kA2A1A1kk

2jirAjAiA

k

2jijAiA

k

1iIAkA3A2A1A P1PPPP




11

EJERCICIOS DE APLICACIN

EJERCICIO 1: La probabilidad de que llueva en una determinada ciudad el 12 de junio es 0,10; de que truene es 0,05 y que llueva y truene es 0,03. Cul es la

probabilidad que llueva truene ese da ?

SOLUCIN: Definimos previamente los siguientes eventos:

A = Llueva el 12 de junio.

B = Truene el 12 de junio.

C = Llueva y truene ese da.

10,0P )A( 05,0P )B( 03,0P )BA

BAC

BABABAC PPPPP

12,003,005,010,0PC

EJERCICIO 2: La probabilidad de que una seora reciba al ao ms 5 llamadas telefnicas en un da es 0,20 y por lo menor 9 llamadas en un da es 0,50 Cul es la

probabilidad de la dicha seora reciba 6,7 u 8 llamadas en un da ?.

SOLUCIN:

= 0, 1, 2, 3,4,........................

Definimos los siguientes eventos en :

A: Recibe a lo ms 5 llamadas.

B: Recibe por lo menos 9 llamadas.

C: Recibe 6,7 u 8 llamadas.

Definimos ahora el sub espacio muetral para cada uno de los eventos:

A = 0, 1, 2, 3, 4,5




12

B = 9, 10, 11,12,...................

C = 6, 7,8

Adems sabemos que:

20,0PA

50,0PB

?PC

Los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos,

CBA PPPP

CBA P/Axioma 3

Por axioma 2:

CBA PPP1

Remplazando datos:

CP50,020,01

50,020,01PC

30,0PC

EJERCICIO 3: Una caja contiene 100 tubos de televisin. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que haya al menos 2 tubos

defectuosos es 0,01. Cul es la probabilidad de que la caja contenga?:

a) Ningn tubo defectuoso?

b) Exactamente un tubo defectuoso?

c) A lo ms un tubo defectuoso?

SOLUCIN:

: Ver cuantos tubos defectuosos hay en una caja que contiene 100 tubos

de televisin.

= 0, 1, 2, 3, 4,5,.............................., 100

Ahora definimos en los siguientes eventos:

A: Haya al menos un tubo defectuoso.

B: Haya al menos dos tubos defectuosos.

C: Ninguno de los tubos es defectuoso.




13

D: Exactamente un tubo es defectuoso.

E: Hay a lo ms un tubo defectuoso.

Los sub espacios muestrales asociados a cada evento son:

A = 1, 2, 3,4,.....................,100

B = 2, 3, 4,5,.....................100

C = 0

D = 1

E = 0,1

Adems tenemos los siguientes otros datos:

05,0PA 01,0PB Finalmente calculamos las probabilidades solicitadas utilizando los axiomas y los

teoremas:

a) La Probabilidad de que ningn tubo es defectuoso: ?PC Teniendo en cuenta de que = AUC y que los dos eventos son mutuamente

excluyentes y colectivamente exhaustivos:

BA BA PPP P/Axioma 3

Despejamos CP

A`C PPP

AC P1P P/Axioma 2

95,005,01PC b) La probabilidad de que haya exactamente un tubo defectuoso:

?PD De acuerdo a los eventos descritos, podemos escribir lo siguiente:

DBA

DBA PPP BAD PPP

04,001,005,0PD

c) Probabilidad de a los ms un tubo defectuoso:

?PE

Podemos escribir, que: DCE




14

DCE PPP P/Axioma 3

04,095,0PE

99,0PE

EJERCICIO 4: De un grupo de personas, el 30 % practica ftbol y el 40 % juega ajedrez. De los futbolistas el 50 % juega tambin ajedrez. Sise elige

aleatoriamente una persona. Cul es la probabilidad de que?:

a) Juegue ftbol y ajedrez?

b) Practica slo uno de estos deportes?

c) No practica ni ftbol ni ajedrez?

SOLUCION: Definimos los eventos en

A: la persona elegida practica ftbol.

B: La persona seleccionada practica ajedrez.

DATOS: 30,0PA

40,0PB

a) Probabilidad de que juegue ftbol y ajedrez.

BABABA PPPP P/Axioma 4

Por otro lado sabemos que la 15,0P BA

15,040,030,0P BA

55,0P BA

b) Probabilidad de que practique uno solo de estos deportes:

GRAFICAMENTE:

A B

0,15 0,15 0,25




15

C: Practica uno de los dos deportes.

ABBAC

Como los eventos AByBA son mutuamente excluyentes, Entonces: Por el Axioma 3 tenemos:

ABBAC PPP

40,025,015,0PC

1.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL O CONDICIONADA

1.4.1. INTRODUCCIN: Llamada tambin probabilidad ligada o relativa; es un

modelo de probabilidad de bastante aplicacin prctica: Lo que se trata de

determinar con la probabilidad condicional es la medida de la ocurrencia de un

suceso dado que ha ocurrido otro suceso. En otras palabras, si se dispone de cierta

informacin se pretende averiguar, tomando como base esa informacin, cul es la

probabilidad de la ocurrencia de algn suceso.

EJEMPLO:

Si se sabe que una carta extrada de una baraja de 52 cartas es un as, podemos

estar interesados en saber si es un as de corazones.

Deseamos saber la probabilidad de que un estudiante seleccionado sea varn, si

se sabe que es uno de los reprobados en el examen.

GRAFICAMENTE:

AnB

A B




16

1.4.2. DEFINICIN: La probabilidad Condicional de que ocurra A, dado que ha

ocurrido B, est dada por:

B

BAB/A

P

PP

Siempre y cuando: 0PB

Si : 0PB B/AP

NOTA: En la probabilidad condicional se cumplen los axiomas y los teoremas

planteados en los captulos anteriores.

EJEMPLO 1: En una universidad de 10.000 estudiantes y 1.000 profesores, el 10 % de los profesores son de izquierda y el 90 % de derecha; mientras que en los

estudiantes este porcentaje es al contrario. Se selecciona al azar un miembro de la

universidad y se encuentra que es de derecha.

a) Cul es la probabilidad de que se haya seleccionado un estudiante?

b) Un profesor?

SOLUCION:

TENDENCIA

CATEGORIA

DERECHA IZQUIERDA TOTALES

PROFESORES 900 100 1.000

ESTUDIANTES 1.000 9.000 10.000

TOTALES 1.900 9.100 11.000

= 11.000

D: El miembro seleccionado es de derecha.

E: El integrante seleccionado es estudiante.

a) D

DED/E

P

PP

0PD

Sabemos que: 110

10

000.11

000.1P DE

110

19

000.11

900.1P D




17

1910

090.2

100.1

110

19110

10

P D/E

b) Que sea seleccionado un profesor: E

D

DE

D/EP

PP

110

9

00.11

900P DE

19

9

090.2

990

110

19110

9

P D/E

EJEMPLO 2: Un aparato electrnico consta de dos partes. La probabilidad de que falle la primera parte es 0,20 ; que fallen las dos partes es 0,15 y de que falle slo

la segunda parte es 0,45. Calcular la probabilidad de que:

a) Falle slo la primera parte.

b) Falle la primera parte cuando se sabe que fall la segunda parte.

SOLUCION:

Definimos dos eventos en :

A: Falla slo la primera parte.

B: Falla la segunda parte.

DATOS:

15,0P

20,0P

BA

A

GRAFICAMENTE TENEMOS:

A B




18

Entonces:

a) 05,0PA

b) 25,060,0

15,0P B/A

1.5 REGLA DE LA MULTIPLICACIN.- Como una derivacin de la definicin

de probabilidad condicional, es posible obtener una frmula para hallar la

probabilidad de la interseccin o producto de los eventos A y B:

B

BAB/A

P

PPP

Si 0PB

A

BAA/B

P

PPP

Si 0PA

Despejando en ambas expresiones BAP

B/ABBA PPP

B/ABBA PPP

Este resultado en Teora de Probabilidades, se denomina REGLA DE

MULTIPLICACIN o Probabilidad conjunta, que dice: La probabilidad de que

ocurra los eventos A y B es igual a la probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicional de que ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido. EJERCICIO 1: Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposicin dos bolas. Cul es la probabilidad de que las dos

resulten blancas?.

SOLUCIN:

1A = La primera bola extrada es blanca.

2A = La segunda bola extrada es blanca.

E: Las dos bolas son blancas.

5 B

6 N

1 bola

1 bola

= 11




19

2121 AAAAE

1A/2A1A2A1A PPPEP

DATOS: 11

5P A 10

4P 1A/2A

112

22

4

10

4

11

5P

11

2

E




20

TEMA N 2

VARIABLES Y MODELOS ALEATORIOS DISCRETOS

2.1. COMPETENCIA DE TEMA:

2.2. INTRODUCCIN: En los temas precedentes se ha hecho mencin a que los elementos del espacio muestral podan expresarse o simbolizarse indistintamente

con letras o mediante nmeros, tal era el caso cuando analizbamos el experimento

de lanzar una moneda al aire y esperar que salga un resultado; en este caso el

espacio muestral estaba compuesto por C y S ; vale decir: cara o sello. Lo mismo

suceda cuando el experimento consista en seleccionar un artculo defectuoso de un

lote que contena tanto defectuosos como no defectuosos, en este caso utilizbamos

el siguiente espacio muestral: = { N , D }. En ambos casos la simbologa utilizada

son letras.

Sin embargo, el propsito del tema de VARIABLES ALEATORIAS es el de expresar

en todos los casos a los elementos del espacio muestral mediante nmeros, que es el

objeto de estudio del tema presente.

2.2. DEFINICIN DE VARIABLE ALEATORIA: Dado un experimento aleatorio y el Espacio Muestral asociado a , una funcin X, que asigna a cada

elemento del Espacio Muestral , uno y solamente un nmero x que pertenece a

los nmeros reales R, se llama VARIABLE ALEATORIA.

HABILIDAD: Caracteriza

CONTENIDO: La variable y los modelos aleatorios discretos ms importantes.

PROCESO: Mediante la resolucin de ejercicios prcticos de aplicacin.

CONTEXTO: En el aula.

En otros trminos:

R

1w

2w

3w

DOMINIO RANGO O RECORRIDO xR

X1

X2

X3




21

El dominio de la Variable Aleatoria X es y el Rango o Recorrido xR es un conjunto

de los nmeros reales R, que lo denotamos por xR .

En otras palabras, la Variable Aleatoria es una funcin que asigna un nmero real a

cada suceso simple de un Espacio muestral, o sea cada elemento de .

EJEMPLO 1: Si consideramos el juego ms sencillo que consiste en lanzar una

moneda, sabemos que puede resultar cara o sello, es decir que: = { C, S }

Si definimos la Variable Aleatoria X como: El nmero de veces que aparece cara,

entonces X es una funcin sobre , de manera que: 1X C y 0X S . Entonces X toma

los valores 0 y 1.

X = {0,1}

EJEMPLO N 2: Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire y

sea la variable aleatoria:

X: Nmero de caras

Definir el Dominio y Rango de X.

SOLUCION: El Espacio Muestral asociado al experimento est dado por:

= {CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS

Si la variable que nos interesa est referido al nmero de caras, entonces tenemos

que:

CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS

3 2 1 0 1 2 2 1

3X CCC ; 2X CCS ; 1X CSS ; 0X SSS

En consecuencia, la Variable X toma los valores de: 0,1,2,3

3,2,1,0Rx




22

2.4. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Si el Rango o Recorrido xR de la variable Aleatoria X es un conjunto finito o infinito numerable de elementos, se

llama VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

En este caso:

654321x x,x,x,x,x,xR DISCRETO FINITO

........,.........x,x,xR 321x DISCRETO INFINITO NUMERABLE

EJEMPLO: Un lote de artculos contiene artculos defectuosos (D) y no defectuosos

(N), se extrae sucesivamente y sin reposicin 4 artculos. Si definimos X: Nmero

de artculos defectuosos. Determinar el Dominio y rango de la Variable Aleatoria X.

SOLUCION:

= {DDDD, DDDN, DDNN, DNNN, NNNN, NNND, NNDD, NDDD, DNND, NDDN,

(4) (3) (2) (1) (0) (1) (2) (3) (2) (2)

DDND, DNDD, NDND, DNDN, NDNN, NNDN

(3) (3) (2) (2) (1) (1)

Entonces: 4,3,2,1,0Rx

EJEMPLO 2: Ahora bien, en el ejemplo anterior consideremos la extraccin de

artculos hasta lograr un artculo defectuoso y definimos:

X: NUMERO NECESARIO DE EXTRACCIONES HASTA HALLAR UNO DEFECTUOSO.

Determinar el Dominio y Rango de X.

SOLUCION:

= {D, ND, NND, NNND, NNNND,...............................

..............,.........5,4,3,2,1,0Rx




23

2.5 FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA O FUNCION DE CUANTIA

DEFINICION.- La funcin de probabilidad para una Variable Aleatoria Discreta X,

es una funcin que asigna a cada valor que toma la variable Aleatoria X discreta, una

probabilidad xp cuando X toma un valor particular xi.

O sea:

xwX/w

wxXx PPp

Adems esta funcin cumple las siguientes condiciones:

1.- 0p x xRx

2.- 1PpxRx

xX

xRxx

Esta funcin tambin recibe el nombre de FUNCION DE CUANTIA, que puede ser

expresado mediante pares ordenados, tablas y grficos. O sea:

xx Rx;p,x

Por otro lado, si x xR se trata de un evento imposible, por lo tanto 0p x

Al igual que en la definicin de Variable Aleatoria, la Funcin de Cuanta tiene un

dominio y un codominio o Rango, expresado por:

DOMINIO RANGO

REPRESENTACION TABULAR DE LA FUNCION DE CUANTIA:

ix 1x 2x 3x . . .

Xxx Pp 1xp 2xp 3xp . . .

xR

0,1




24

REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION DE CUANTIA:

EJEMPLO: Sea el experimento que consiste en rodar dos dados simultneamente

por una sola vez. Sea X: La suma de los puntos que aparecen. Definir el dominio y

el rango para la distribucin de probabilidades de X.

SOLUCIN: = { ( i,j )/y = 1,2,.........,6 y j = 1,2,.........,6}

GRAFICAMENTE:

0

p(xn)

p(x1)

p(x3)

p(x2)

x1 x2 x3 xn

p(x)

...........................

(x1,p(x1))

1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

Rx 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




25

Finalmente, de acuerdo a la definicin de Funcin de Cuanta, asignamos

probabilidades a cada uno de los elementos de xR , a partir de la definicin de

Probabilidades.

N

ANP A

36

1Pp 2X2x

Entonces: xR = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

36

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1

REPRESENTACION TABULAR:

SUMA DE

PUNTOS

N DE

VECES

XP

2 1 1/36

3 2 2/36

4 3 3/36

5 4 4/36

6 5 5/36

7 6 6/36

8 5 5/36

9 4 4/36

10 3 3/36

11 2 2/36

12 1 1/36

SUMA 36 1

Donde se cumplen las condiciones exigidas, o sea:

1.- 1 p 0 x

2.- 1pxRx

x




26

EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES:

Sea el experimento aleatorio , consistente en lanzar una moneda tres veces y

definimos:

X = nc - ns

Donde:

nc = Nmero de caras obtenidas

ns = Nmero de sellos obtenidos

Hallar la distribucin de probabilidades o funcin de cuanta.

2.6.FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA DE UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETA.- La Funcin de distribucin Acumulada de la variable

Aleatoria Discreta X, es un concepto de mucha importancia cuando se utilizan las

Tablas de Clculo de probabilidades, donde las funciones son acumuladas.

DEFINICION.- Sea X una Variable Aleatoria Discreta con rango ,.........x,x,xR 321x y

funcin de probabilidad o cuanta ixXix Pp , entonces la Funcin de Distribucin

Acumulada de X denotada por xF , se define como:

xix

ixX

xixixxXx PpPF

Donde la sumatoria se realiza para todos los valores de 1 tales que xxi

EJEMPLO N 1: Se lanzan tres monedas al aire y definimos X: Nmero de caras.

Determinar la Funcin de cuanta y la Funcin de Distribucin Acumulada de X.

SOLUCION: = {CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS

xR = {0, 1, 2, 3}

81Pp

83Pp8

3Pp8

1Pp

3X3

2X2

1X1

0X0

Entonces, podemos expresar la Funcin de Cuanta y la Funcin de Distribucin

Acumulada de X a travs de la siguiente tabla:




27

xR xp xXx PF

0 1/8 1/8

1 3/8 4/8

2 3/8 7/8

3 1/8 1 1 -.-

O sea:

FUNCION DE CUANTIA: xp

xP = 1/8 Si: x = 0 3

= 3/8 x = 1 2

= 0 En cualquier otro caso

FUNCION DE DISTRIBUCIN ACUMULADA: xF

0Fx Si: x < 0

= 1/8 0 x 1

= 4/8 1 x 2

= 7/8 2 x 3

= 1 x 3

Asimismo, ambas funciones se los puede representar grficamente:

a) FUNCION DE CUANTIA: p(x)

0 1 2 3

1/8

2/8

3/8

F(x)

x




28

b) FUNCION DE DISTRIBUCIN ACUMULADA:

EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES:

Se tiene una urna con 2 bolas negras, 3 bolas blancas y cuatro rojas. Se extrae

sucesivamente una bola sin reposicin hasta que salga una roja. Hallar la Funcin de

Cuanta del nmero de extracciones que hay que realizar y la Funcin de distribucin

acumulada. Adems representar ambas funciones en tablas y grficas.

2.7. ESPERANZA MATEMATICA PARA UNA VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA

INTRODUCCION: En los captulos iniciales de estadstica descriptiva se estudiaron

medidas de Tendencia Central y de variabilidad, as como sus diferentes

aplicaciones.

En forma anloga, en el caso de tener Funciones de Cuanta, es importante obtener

medidas que indiquen el comportamiento de la variable aleatoria, vale decir la media

y la varianza, fundamentalmente.

Por consiguiente adems de saber el intervalo de recorrido de una variable

Aleatoria X, es muy frecuente la necesidad de conocer el promedio de los valores

que ella toma el valor que se espera que tome la Variable. por ejemplo:

a) Si apostamos Bs 100 a la ocurrencia de un cierto resultado en un juego de azar

equitativo, estaremos interesados en saber cuanto en promedio se espera

recuperar en base a una distribucin de probabilidades.

0 1 2 3 4

x

1

1/8

4/8

7/8

F(x)




29

b) Si realizamos una inversin anual de $us 10.000 en un negocio, deseamos saber

cuanto de utilidad en promedio se espera obtener.

c) Si se aplica un sistema de alimentacin especial a 1.000 bovinos, cunto

esperamos que aumenten de peso al cabo de cierto tiempo ?.

Por consiguiente, as como en los tres casos anteriores, podemos estar frente a un

sin nmero de problemas relacionados con el valor promedio de una variable

aleatoria. A este valor promedio se denomina Esperanza Matemtica Valor

esperado, cuando trabajamos con Variables Aleatorias.

DEFINICION: Sea X una variable Aleatoria Discreta, con rango xR y Funcin de

Cuanta xp , el Valor Esperado y Esperanza matemtica xE xV se define como:

xRx

xxx pxVE

Siempre y cuando:

xRx

xpx Sea absolutamente convergente, o sea:

x

xRx

px sea FINITA.

La Esperanza Matemtica de X se llama tambin MEDIA de X y se denota por:

xx VE

EJEMPLO N 1: Hallar el Valor Esperado para la siguiente Distribucin de

Probabilidades:

X 0 1 2 3 4

xp 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02

SOLUCION: Para la solucin del ejercicio, utilizamos la frmula de la xE :

xRx

xx pxE

Reemplazamos datos en la frmula:




30

xE = 0 (0,2) + 1 (0,4) + 2 (0,3) + 3 (0,08) + 4 (0,02)

xE = 1,32

EJERCICIO N 2: Hallar el Valor Esperado para la Variable Aleatoria que consiste

en lanzar tres monedas al aire y se a: X=Nmero de caras.

SOLUCION:

= {CCC, CCS, CSS, SSS, SCC, CSC, SCS

3 2 1 0 2 2 1

xR = { 0, 1, 2, 3}

xp = 1/8 3/8 3/8 1/8

xE = 0 (1/8) + 1 (3/8) + 2 (3/8) + 3 (1/8)

xE = 3/8 + 6/8 + 3/8 = 3/2 = 1,5

2.7.1. PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO:

Si X es una Variable Aleatoria discreta y a una constante, entonces:

1) aE a

2) XXa EaE

3) YXYX EEE

DEMOSTRACIN:

1) Partimos de la definicin del valor esperado:

xRx

xx pxE Si: x = a

xRxxa paE

1

xRxxa paE

aE a




31

2) Remplazamos en la frmula:

xRx

xxa xpaE Si: x = a

xRx

xxa pxaE E(x)

xxa aEE

3) YXYX EEE

yx

yRxRy,xYXYX ppE

y

yRyx

xRxYX pYpXE

YXYX EEE

2.7.1.VARIANZA Y DESVIACION STANDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA

DEFINICION.- Si X es una Variable Aleatoria Discreta con esperanza xE ,

entonces la Varianza de X est dada por :

2x

2x ExV

Y la desviacin standar es:

2x x V

Tambin podemos utilizar la frmula alternativa:

22 xEV XX

DEMOSTRACION:

222 2 xxXXxXEEV

222 xEE XX

222 2 xxEV XX

2

2 xEVXX




32

EJERCICIO:

Sea la siguiente distribucin de cuanta:

X 0 1 2 3

xp 1/8 3/8 3/8 1/8

Calcular la Varianza de X.

SOLUCION:

Para calcular la xV primeramente se calcula la xE

2

3

8

13

8

32

8

31

8

10

= 1,5

Seguidamente calculamos V(x) = E (X - )2

4

3

32

24

8

1

2

33

8

3

2

32

8

3

2

31

2

1

2

30V

2222

x

75,0Vx

POR EL SEGUNDO MTODO:

2222 xExV xx

Primeramente calculamos E(x)2

38

24

8

9

8

12

8

30

8

13

8

32

8

31

8

10E 2222

2x

Entonces: 75,04

3

4

912

4

93

2

33V

2

x

PROPIEDADES DE LA VARIANZA:

1.- 22xx xEV

2.- 0V x

3.- 0V k




33

4.- x2Xk VkV


Se tiene una urna con tres fichas negras y 2 rojas. Se extrae al azar y

sucesivamente una ficha sin reposiscin hasta que salga una roja. Sea X el nmero

de extracciones que hay que realizar. Calcular:

a) La Funcin de Cuanta.

b) El Valor Esperado de X.

c) La varianza de la variable Aleatoria X.

2.8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS MAS IMPORTANTES

2.8.1. INTRODUCCION.- Se ha establecido que pueden existir un nmero muy grande de distribuciones de probabilidad, tantos experimentos y fenmenos aleatorios puedan

presentarse en la naturaleza.

Estudiar individualmente cada distribucin realmente sera cosa de titanes.

Muchas distribuciones guardan ciertas caractersticas anlogas o similares, por tanto es

posible adecuarlos a algunos MODELOS STANDAR.

La bsqueda de un modelo de probabilidades que sea capaz de describir la distribucin

de los datos que se tengan disponibles es una tarea bsica que todo investigador

cientfico debe realizar.

Sin embargo, es importante tener mucho cuidado en identificar el modelo correcto

antes de memorizar el detalle de la expresin matemtica o frmula de cada modelo de

distribucin de probabilidades.

En este sentido, a continuacin abordaremos las distribuciones de probabilidades discretas

ms importantes. Entre estos tenemos:

a) El Modelo de BERNOULLI

b) La distribucin BINOMIAL

c) El Modelo Hipergeomtrico

d) El Modelo de POISSON

2.8.2. MODELO DE BERNOULLI.- Bernoulli, uno de los pioneros del clculo de

probabilidades formul un modelo que se aplica a Variables Aleatorias que toman slo dos

resultados posibles: xito (E) y Fracaso (F).

Tambin suele denominarse: Modelo Bernoulli, Prueba Bernoulli, Variable Bernoulli o

Distribucin Bernoulli.




34

DEFINICION: Una prueba Bernoulli es un experimento que tiene dos resultados posibles, generalmente llamados: xito (E) y Fracaso (F). El espacio muestral asociado a este tipo de

experimentos est dado por:

= { E, F }

Son muchos los resultados que corresponden a este modelo:

a) Lanzar una moneda: Cara o sello

b) Artculo producido: Defectuoso y No defectuoso.

c) Opinin de una persona: Est de acuerdo o no con algo

En general slo interesa que ocurra dos resultados xito o fracaso

Rx = { 1 0 } 0 : Fracaso

1 : xito

p ( 1-p )=q

Entones la Funcin de Cuanta de la distribucin de Bernoulli est dada por:

p(x) = p si x=1

= q si x=0

= 0 en cualquier otro caso


Siempre y cuando:

1) p(x) 0

2) p(x) = p + q = 1

E

F

Rx Rx

X2=2

X1=1




35

2.8.3. MEDIA Y VARIANZA DE LA VARIABLE BERNOULLI:

E(x) = x.p(x) = 1. p + 0 . q = p

x Rx

E(x) = p

Calculamos luego la varianza para una variable Aleatoria Bernoulli:

V(x) = E(x)2 - x2

E(x)2 = 12 . p + 02 . q = p

V(x) = p p2 = p ( 1 - p ) Si sabemos que: 1 - p = q , Entonces:

V(x) = p . q

EJERCICIO DE APLICACION: Supongamos que de un conjunto de amas de casa, el 70 %

est de acuerdo con utilizar un nuevo aceite comestible fabricado a base de palma africana.

Si seleccionamos aleatoriamente una ama de casa del conjunto y designamos x=1 si est a

favor del nuevo aceite y x=0 si prefiere aceite comestible de otras plantas oleaginosas,

entonces X es una variable aleatoria BERNOULLI.

Calcular la media y la Varianza de X.

SOLUCION: El modelo cumple las siguientes condiciones:

1.- El experimento slo se repite una sola vez.

2.- El experimento admite dos resultados posibles: xito y Fracaso.

3.- La probabilidad de xito es p y la de fracaso es q.

Entonces, se trata de una distribucin de Bernoulli, con:

p = 0,70 q = 1 - p = 0,30

E(x) = x = p = 0,70

y V(x) = p . q = 0,70 x 0,30 = 0,21 Adems: 46,0Vx x




36

2.8.4. DISTRIBUCION BINOMIAL.- El Modelo de Bernoulli implica realizar el

experimento slo una vez; si se realizara una y otra vez (ms de una vez) el mismo

experimento bajo las mismas condiciones y cuyos resultados son independientes, unos con

otros, entonces se dice que estamos ante una sucesin de pruebas Bernoulli que no es otra

cosa que el modelo de Distribucin Bernoulli.

CONCEPTO.- Sea X una Variable Aleatoria Discreta que indica el nmero de xitos (E) en n pruebas independientes Bernoulli, con probabilidad p(x)=p. constante en cada prueba,

entonces se dice que X es una variable Aleatoria Binomial con parmetros n y p.

B1 + B2 + B3 + B4 + ................... + Bn = BINOMIAL

REQUISITOS:

1.- Bernoulli se repite ms de una vez.

2.- Admite dos resultados: xito (E) y Fracaso (F)

3.- P(E) = p y P(F) = 1 - p = q

4.- Los experimentos son independientes, unos con otros.

EJEMPLO: Se lanzan tres monedas al aire, determinar si este experimento obedece a una

distribucin de tipo Binomial.

SOLUCION:

Si definimos a la Variable Aleatoria X como nmero de caras, Entonces:

xito constituye cuando sale Cara y Fracaso cuando sale sello.

2

1pP E y

2

1p1P F

Por otro lado, los experimentos son independientes.

Podemos afirmar, en consecuencia, que el experimento obedece a una distribucin de

probabilidades de tipo BINOMIAL.

2.8.5. FORMULA DE CLCULO PARA LA DISTRIBUCIN BINOMIAL:

Si X es una Variable Aleatoria Binomial, con parmetros n y p, la funcin de probabilidad

Binomial est dada por:

P[X / n,p

C S C S C S




37

Que viene representada por la siguiente funcin de cuanta:

xnxx qpx

np x = 0,1,2,.........,n

= 0 En otro caso.

En este caso se dice que la distribucin es de tipo BINOMIAL con parmetros n y p.

Donde:

n = Nmero de repeticiones de la prueba.

p = Probabilidad de xito

q = La probabilidad de fracaso

x = Los valores que toma la variable X.

EJEMPLO: Cul es la probabilidad de obtener trica de ases, si rodamos 5 veces un dado ?.

SOLUCIN:

El experimento se repite ms de una vez (Cinco veces) , Entonces n=5

En el experimento cada resultado admite dos resultados posibles: xito si es un as y

fracaso si sale cualquier otro nmero.

La probabilidad de xito es p= 1/6 y q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6

Los resultados son independientes entre s.

Dadas estas caractersticas, el experimento es un modelo Binomial con parmetros n= 5 y p

= 1/6

Entonces aplicamos la frmula:

x5x

x

6

5

6

1

x

5p x=1,2,3,4,5

= 0 En otro caso

A partir de esta expresin podemos calcular las probabilidades para todos los valores que

toma X.

Ejemplo, para x = 1

151

1

6

5

6

1

1

5p

40,0776.7

125.3

296.1

625

6

15




38

Pero a nosotros nos interesa TRICA de ases, o sea

353

3

6

5

6

1

3

5p

032,0776.7

250

36

25

216

110

En consecuencia, la probabilidad de sacar trica de ases lanzando cinco dados es de 0,032

2.8.6. CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL:

a) VALOR ESPERADO: La esperanza matemtica o valor esperado para la distribucin Binomial est dada por:

b) VARIANZA:

V(x) = x2 = n . p . q

EJERCICIO DE APLICACION: En Cobija en el mes de Octubre la lluvia cae con un

promedio de uno cada cuatro das, durante los das nublados. Determinar la distribucin de

probabilidades del nmero de das con lluvia entre los cuatro primeros das nublados,

suponiendo la independencia de los eventos. Hallar la media y varianza del nmero de das

lluviosos.

SOLUCION:

X: Nmero de das con lluvia durante los prximos cuatro das nublados.

Rx= {0, 1, 2, 3,4}

Admite dos resultados: E= Llueve F= No llueve

Se repite ms de una vez n=4

Suponemos independencia entre los eventos.

P(E) = p = q=

Una vez corroborado que el fenmeno o experimento cumple con los requisitos exigidos

podemos sealar que se trata de una Distribucin Binomial con parmetros n=4 y p=1/4.

Luego aplicamos la frmula general de la Distribucin Binomial:

E(x) = x = n . p




39

P[X; 4,1/4 = X4X

4/1;X

4

3

4

1

X

4P x= 0,1,2,3,4

A partir de la frmula general estamos en condiciones de calcular las probabilidades para

todo el Recorrido de X.

Ejemplo para x=1

141

1

4

3

4

1

1

4p

42,064

27

64

27

4

14p 1

Finalmente calculamos E(x) y V(x)

14

14qpnxE x

75,04

3

4

14qpnxV

2x

87,0Vx x


1.- De un lote que contiene 25 artculos, 5 de los cuales son defectuosos, se eligen 4 al

azar. Sea X el nmero de artculos defectuosos encontrados. Obtener la distribucin de

probabilidades de X. a) Los artculos se escogen con sustitucin. b) Se escogen sin

sustitucin c) Graficar la funcin de cuanta.

2.8.6.1. USO DE LA TABLA PARA LA DISTRIBUCIN BINOMIAL.- Los valores de

la Distribucin Binomial estn dados en tablas especiales y el uso de las mismas simplifica

enormemente el clculo de todo tipo de probabilidades con Distribucin Binomial.

Esto quiere decir:

X (B/n,p) = X se distribuye Binomialmente

La Tabla nos da la probabilidad Acumulada Binomial dado en la Tabla Y.

O sea: P[X r = P[X r/B:n,p = P[X r/n,p

En otras palabras, la tabla da la probabilidad de que la variable aleatoria binomial toma

valores mayores o iguales a r. Estas probabilidades se muestran a continuacin en el

siguiente diagrama:

P[X r = P[X=r +P[X=r +1 + P[X=r +2 + .....................+ P[X=n




40


En consecuencia, los valores que nos da la Tabla N 1 de la Distribucin Binomial , son

valores mayores o iguales a r; O sea: P[X r/n,p .

El diagrama anterior muestra los posibles valores que toma la variable aleatoria, asociado

con sus respectivas probabilidades y se ve tambin que cada probabilidad en la tabla es la

suma de las probabilidades individuales. O sea:

P[X r = P[X=r + P[X=r+1 +...........................+ P[X=n

Algunas de las probabilidades ms simples se dan en el siguiente cuadro:

PROBABILIDADES QUE

SE QUIEREN CALCULAR

PROBABILIDADES DADAS EN

LA TABLA

P[X r/n,p

P[X r/n,p

ESTA EN LA TABLA

P[X>r/n,p

P[X r+1/n,p

P[X=r/n,p

P[X r/n,p - P[X r+1/n,p

P[ X < r / n,p

1 - P[ X r / n,p

P[ X r / n,p

1 - P[ X r+1 / n,p

r

0 1 2 3 . . r r+1 . . . . n-1 n

P[X r / n,p

P[ X r / n,p = P[ X r + 1 / n,p

P[ X r / n,p = 1 - P[ X r / n,p

P[ X = r / n,p = P[ X r / n,p - P[ X r +1 / n,p




41

EJEMPLO N 1

Calcular: P[X =2/4,0.23 = ?

SOLUCION:

Para resolver la interrogante a travs del uso de Tablas debemos en primer lugar elegir la

opcin ms conveniente para resolverlo; para ello observamos las posibilidades que nos

ofrece la tabla anterior: Entonces empleamos la tercera opcin, o sea:

P[X=r/n,p

P[X r/n,p - P[X r+1/n,p

Luego remplazamos los valores para los parmetros n y p y buscamos el valor de la

probabilidad solicitada en la Tabla N y

P[X =2/4,0.23 = P[X 2/4,0.23 - P[X 3/4,0.23

= 0,2285 - 0,0403 = 0,1882

2.8.6.2. FORMA DE UTILIZAR LA TABLA TABLA BINOMIAL:

P[X r/n,p

n = 4

p

r

21

22

23

24

25

26

.... .... 30

1 6105 6298 6485 6664 6836 7001 . . 7599

2 1963 2122 2285 2450 2617 2784 . . 3483

3 0312 0356 0403 0453 0508 0566 . . 0837

4 0019 0023 0028 0033 0039 0046 . . 0081

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

EJERCICIO N 1

Calcular: P[X




42

P[Xr/n,p

P[X r+1/n,p

Remplazamos valores:

P[X>2/4,0.25 = P[X>2+1/4,0.25 = P[X>3/4,0.25

P[X>2/4,0.25 = 0,508

2.8.6.3. USO DE LA TABLA PARA p>0,5:

Para utilizar la tabla Binomial, cuando p>0,5, debemos considerar algunos aspectos

complementarios, como ser:

1.- No se tiene en la tabla valores para p>0,5

2.- Para ello se recurre a un procedimiento alternativo que toma en cuenta la asimetra de

la Distribucin Binomial.

Para ello procedemos de la siguiente manera:

a) Consideramos la ocurrencia de la Variable Aleatoria X como el nmero de xitos. Luego

consideramos la ocurrencia de X como el nmero de fracasos.

b) Si p > 0,5 se hacen las siguientes adaptaciones o sustituciones:

* Se sustituye r por n-r

* Se sustituye p por 1-p

* Luego se invierten las desigualdades de la siguiente manera:




43

Se cambia por

Se cambia por

* Finalmente, empleamos el mismo procedimiento para calcular probabilidades con p 0,5

EJEMPLO: Calcular: P[X

Luego remplazamos los datos:

P[X 6/10,0.2

Esta frmula cae en:

P[X>r/n,p

P[X r+1/n,p

Remplazamos valores:

P[X>6/10,0.2 = P[X>7/10,0.2 = 0,0009

2) Calcular: P[X 4/10,0.8

Remplazamos:

P[X 4/10,0.8 = P[X 6/10,0.2 Esto cae en:

P[X 6/10,0.2 = 1 - P[X 7/10,0.2

= 1 - 0,0009 = 0,9991




44

2.9. MODELO DE DISTRIBUCION HIPERGEOMTRICO

CARACTERISTICAS DEL MODELO: Es una distribucin similar a la Binomial, o sea:

a) Admite dos resultados posibles: xito (E) y Fracaso (F)

b) Se producen n ensayos

c) Existe un lote N, donde r tiene una caracterstica y N-r la otra caracterstica.

d) La probabilidad (p) de xito no es constante para todos los ensayos.

e) No se cumple la funcin de independencia.

Los n ensayos se realizan SIN REPOSICION, en consecuencia no podemos hablar de

independencia de eventos, por que los mismos no son independientes.

EXPLICACION: Si se tiene una poblacin de N artculos, de los cuales r poseen una de las categoras,

entonces habrn (N-r) que poseen la otra caracterstica. Si seleccionamos n artculos

aleatoriamente sin reposicin de los N artculos, cada seleccin subsiguiente ser

dependiente, de manera que la probabilidad de que se obtengan xitos cambia en cada

ensayo simple.

Ahora bien, es posible que nos interese conocer la probabilidad de obtener exactamente x

artculos de los r xitos, en una muestra de tamao n.

En consecuencia, bajo estas condiciones, el nmero de xitos en n pruebas dependientes

corresponde a una Variable Hipergeomtrica, cuya funcin de probabilidades est dada

por:

n

N

xn

rN

x

r

p x x= 0,1,2,3,...........,n

Donde:

N= Nmero de artculos (lote)

Se extraen n artculos sin

reposicin o devolucin.

Entonces cada extraccin

es dependiente de la ante-

rior y as sucesivamente.

Fracaso

(N-r)

xito

r

N




45

r = Nmero de elementos que tiene una de las caractersticas deseadas o

esperadas ( xitos).

N-r= Nmero de elementos que tiene la otra caracterstica (Fracaso)

n = Tamao de la muestra ( son dependientes)

x = Nmero de artculos de los r xitos que deseamos calcular.

EJEMPLO: Una caja contiene 12 latas de leche, 9 de las cuales son frescas (recin

envasadas). Se seleccionan aleatoriamente 2 latas sin devolucin.

Sea X: el nmero de latas de leche no frescas que se seleccionan. Definir si la variable X

es una Variable Hipergeomtrica.

SOLUCION:

N = 12 latas

r = 3 Fracaso

N-r = 9 xito

n = 2

Remplazamos datos en la frmula general:

2

12

x2

312

x

3

p x x= 0,1,2

= 0 En otro caso

a) Calcular la probabilidad de obtener una lata de leche no fresca, o sea x=1

Remplazamos este dato en la frmula general de la Funcin de Cuanta:

66

27

2

12

1

9

1

3

p 1

b) Calcular la probabilidad de que las dos latas sean frescas. o sea: x=0

No frescas

3

Frescas

9

= 12

X: N de latas de leche no frescas




46

11

6

66

36

2

12

2

9

0

3

p 0

2.9.1. ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVIACIN

STANDAR PARA LA VARIABLE HIPERGEOMTRICA:

El Valor esperado o Esperanza Matemtica para la variable Hipergeomtrica est dado por:

N

rnxE x

Donde:

N = Nmero total de la poblacin estudiada

r = Nmero de elementos que tiene una de las caractersticas deseadas (xitos)

n = Tamao de la muestra

VARIANZA DE X:

1N

nN

N

rN

N

rnxV 2x

EJEMPLO: Para el ejercicio anterior:

2

1

12

6

12

32E x

34,088

30

176

60

11

10

12

32V x

58,034,0x


1) Se extrae una muestra aleatoria de tamao 2, una a una, sin reposicin de un lote de 10

artculos que contiene 3 artculos defectuosos. Si X: representa el nmero de artculos

defectuosos encontrados en la muestra. Determinar:

a) La Funcin de Cuanta p(x)

b) Calcular E(x), V(x) y Desviacin standar

c) Interpretar los resultados.

SOLUCION:

datos: N = 10




47

r = 3

N-r = 7

n = 2

a)

2

10

x2

7

x

3

p x x = 0,1,2

b) 60,010

6

10

32E x

225

84

9

8

10

7

10

32V x

2) Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 rojas. Se extrae 4 bolas de la urna sin reposicin,

una tras otra,. Hallar la distribucin de probabilidad del nmero de bolas extradas y:

a) Cual es la probabilidad de extraer exactamente 3 bolas rojas ?.

b) Cul es el nmero esperado de bolas extradas ?.

RESPUESTA: a) 0,3 b) 2,18

2.10. MODELO DE DISTRIBUCIN DE POISSON

2.10.1. INTRODUCCION: El modelo de distribucin de probabilidades de Poisson es una de las distribuciones discretas ms importantes por que se aplica en muchos problemas

prcticos.

Una idea intuitiva del mismo se deriva a partir de un proceso de Poisson, que consiste en

observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo. O sea trtase de un

fenmeno que se presenta aleatoria e independientemente en el tiempo espacio en el que

slo interesa la ocurrencia del fenmeno un nmero contable de veces.

EN UN PROCESO DE POISSON SE OBSERVAN RESULTADOS DISCRETOS ENUN

INTERVALO DE TIEMPO.

Ejemplos:

a) La frecuencia de terremotos que ocurren en Mjico en un ao.

b) Observar la llegada de autos al estacionamiento de vehculos entre las 8 y 9 de la

maana.

c) La cantidad de imperfecciones (agrietamientos) encontradas en un metro de alambre

producidas por un proceso electroltico continuo.

d) Nmero de partculas de polvo encontrados en un metro cbico de aire.




48

e) Nmero de accidentes de aviacin u otras calamidades que aparecen aleatoria e

independientemente en un intervalo de tiempo.

f) Glbulos rojos encontrados en una muestra de sangre.

g) Nmero de llamadas telefnicas sobre una lnea en una hora indicada.

En esta clase de eventos interesa nicamente el nmero de xitos del suceso y no as el

nmero contrario. Interesa solamente p.

Ejemplo: nmero de personas que llagan a pagar impuestos y no as otras personas, en una

hora dada.

VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA X:

La variable aleatoria X, toma en consecuencia los siguientes valores:

x= 0, 1, 2, 3,..........................

x representa la frecuencia con que ocurre un fenmeno en un intervalo de tiempo o en el

espacio, un nmero contable de veces.

2.10.2. DEFINICION: La probabilidad de conseguir exactamente x xitos, en un

proceso de Poisson, est dada por:

!x

px

x x = 0, 1, 2, 3,....................

= 0 En otro caso

Donde:

= Promedio de xitos en n pruebas, con probabilidad p

e = 2,71828 base de los logaritmos naturales.

En otros trminos, pn n = nmero de pruebas

p = Promedio de xitos

EJEMPLO: Supngase que el nmero de muertes por accidente en una ciudad es un proceso

Poisson con = 3 por mes.

Sea X: El nmero de muertes por accidente que ocurren entre el 1 de enero y el 31 de

marzo inclusive de 1974.

a) Determine si la variable X obedece a una distribucin de Poisson.

b) Anote la funcin de cuanta.




49

SOLUCION:

* El nmero de muertes es una variable que asume valores discretos en un intervalo de

tiempo. _

* pn Entonces: = 3 . 3 = 9

Remplazamos valores en la frmula general de la funcin de cuanta:

!x

9ep

x9

x x= 1,2,3,.......

Calcular la probabilidad de que ocurra un accidente

x=1 803,0!1

9ep

19

1

x=2 876,0!2

9ep

29

2

2.10.3. ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCION DE

POISSON:

Si X es una variable Poisson, entonces la esperanza Matemtica y la Varianza es igual a .

E(x) = V(x) =

2.10.4. USO DE TABLAS PARA LA DISTRIBUCION DE POISSON:

Debido a que el uso de la ecuacin es muy tediosa como alternativa se utiliza la funcin de

distribucin acumulada P[X x /p; para determinar probabilidades de cualquier tipo. Para

ello se utiliza la Tabla N II, que otorga probabilidades acumuladas del tipo:

P[X = x /p; =

!x

px

x

P[X x /p;

EJEMPLO:

Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco en promedio a una razn de

24 personas por hora durante el perodo de tiempo entre las 11:30 am y 12:00 am de cierto

da.




50

a) Cul es la probabilidad de que exactamente 5 personas lleguen durante un perodo de

tiempo de 12 minutos?

b) Cul de que lleguen por lo menos 10 personas?

c) Que lleguen a lo ms 12 personas?

SOLUCION: X = Nmero de personas que llegan a la ventanilla durante un perodo de 12

minutos.

Rx = {0, 1, 2,3,...............}

_

Determinamos ahora: = n . p

60

24p n = 12 Finalmente: 8,412

60

24

Entonces X se distribuye a travs de una Variable Poisson con la siguiente Funcin de

Cuanta:

!x

8,4eP

x8,4

8,4/xX x = 0, 1, 2,3,..............

a) Cul es la probabilidad de que 5 personas exactamente lleguen a la ventanilla del banco ?.

P[X = 5 /4,8 = P[X 5 /4,8 - P[X 6 /4,8

= 0,5237 - 0,3490 = 0,1747

b) Por lo menos 10 personas?

P[X 10 /4,8 = 0,0251

0 1 2 3 4 5 . 6......................................................................................... .

P[X 6

1 - P[ X 5

P[X 5

P[X = 6

P[X = 5 = ? 1




51

c) Que lleguen a lo ms 12 personas?

P[X 12 /4,8 = 1 - P[X 12 /4,8 = 1 - 0,0040 = 0,996

EJERCICIO N 1: Una compaa de seguros contra accidentes de trnsito sabe que el

0,005 % de la poblacin fallece cada ao por accidente de trnsito. Cul es la

probabilidad de que la Cia. Tenga que pagar a ms de 3 de los 10.000 asegurados que tiene

al ao ?.

SOLUCIN:

Primeramente calculamos = n . p

p = 0,005/100 = 0,00005

n = 10000

Entonces = 10000 x 0,0005 = 0,5

Luego remplazamos este valor en la Funcin de Cuanta:

!x

5,0ep

x5,0

x x = 0, 1, 2,3,.........

La probabilidad de que la Cia. Tenga que pagar a ms de 3 asegurados al ao est dado por :

P(X>3) = 1 - P(X 3)

= 1 - [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3)

!3

5,0e

!2

5,0e

!1

5,0e

!0

5,0e1

35,025,015,005,0

32

5,0

6

5,0

2

5,05,01e1




52

EJERCICIO N 2: Solo uno de cada mil generadores ensamblados en una fbrica tienen

unidades defectuosas y los generadores defectuosos se distribuyen independiente y

aleatoriamente a travs de la produccin.

Cul es la probabilidad de que un embarque de 500 generadores no contenga ningun

generador defectuoso ?

SOLUCION: = 1/1000 x 500 = 0,5

5,005,0

0x e!0

5,0ep




53

TEMA N 3

VARIABLES Y MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

3.1. COMPETENCIA DE TEMA:

3.2. INTRODUCCION: Si el Recorrido o rango de la Variable Aleatoria X (Rx), est formado por un gran nmero

finito de valores; por ejemplo: Todos los valores de X en el intervalo 0 x 1, de la forma

0,01 - 0,02 - 0,03 - 0,04 etc., etc., cuya suma total sea igual a 1.

Ahora bien, con cada uno de estos valores de x, est asociado un nmero no negativo p(xi) =

P[X=xi donde i= 1,2,3,4,.............. cuya suma, como se dijo anteriormente, es igual a 1.


Matemticamente podr ser ms fcil idealizar la anterior descripcin probabilstica de X

al suponer que la variable pude tomar todos los valores posibles entre 0 x 1.

Si hacemos esto, nos preguntamos Que le sucede a las probabilidades puntuales p(xi) ?.

Los valores de X no son contables, por tanto no tendra sentido hablar del isimo valor de

X y, entonces p(xi) pierde significado.

HABILIDAD: Caracteriza

CONTENIDO: Los fundamentos terico-prcticos de una variable aleatoria continua y

Los modelos probabilsticas continuos ms importantes, con nfasis en

El modelo de Distribucin Normal.

PROCESO: Mediante la resolucin de ejercicios prcticos de aplicacin.

CONTEXTO: En el Aula.

Rx

f(x)

1 0

p(x)




54

Area =1

-

f(x)

0 b a

Lo que se hace es sustituir p(x), definida slo para x1, x2, x3, ..............., por una funcin f(x)

definida para todos los valores de x/ 0 x 1

3.3. DEFINICION: Sea X una variable Aleatoria Continua, si existe una funcin f(x), llamada FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES DE X, que

satisfaga las siguientes condiciones:

a) f(x) 0 x Rx

b) 1dxf x

c) Para cualquier valor a y b, tal que - < a < b < + Entonces:

P[ a X b = b

ax dxf

Tambin se dice Variable Aleatoria Continua, si el Rango Rx es un intervalo sobre la recta

de los nmeros reales R.

La definicin de Variable Aleatoria Continua indica la existencia de una funcin f(x) definida

sobre Rx, la condicin (a) establece que la grfica de la funcin de densidad est por

encima del eje de las x.

Por otro lado, la condicin (b) indica que el rea delimitada por la curva f(x), el eje X y las

rectas verticales que pasan por los puntos extremos de Rx es igual a 1, como se indica en la

siguiente grfica:

Ahora, Supngase que estamos interesados en calcular la probabilidad de que la variable

Aleatoria tome los valores entre a y b, donde el intervalo [ a,b Rx. Es decir queremos

calcular la P[ a X b .

Puesto que toda el rea vale 1, podemos definir esta probabilidad como el rea delimitada

por la grfica f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X. Por tanto, la probabilidad del evento es:

P[ a X b = b

ax dxf




55


Por consiguiente, es importante sealar que f(x) no representa la probabilidad de algo y que

solamente cuando la funcin se integra entre dos puntos produce una probabilidad.

EJEMPLO N 1: Supngase que la variable Aleatoria X es continua. Adems, sea la

funcin de densidad de probabilidades f(x) dada por :

f(x) = 2x x= 0




56

P[X 1/2 = 25,0

4

10

4

10

2

1xdxx2 2

2

0

122

1

0

EJEMPLO N 2:

Sea X una Variable Aleatoria Continua con funcin de densidad:

f(x) = a(3x - x )2 : 0 X 3

= 0 En otro caso.

a) Hallar el valor del Coeficiente a

b) Construir la grfica de la funcin de densidad de probabilidad.

c) Calcular la probabilidad de que X se encuentre en el intervalo [ 1, 2

SOLUCIN:

a) Para hallar el valor del coeficiente a, partimos de la segunda condicin de la funcin de

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