Estacionalidad Determinista Segmentada, Efecto …...Introducción Modelización de determinados...

IntroducciónModelización de determinados efectos relevantes

Previsión con raíces unitariasAmpliación en el uso de Eviews

Estacionalidad Determinista Segmentada,Efecto Calendario, Efecto Semana Santa y

predicción de modelos con Raíces UnitariasPráctica No2

Técnicas en PredicciónAdministración y Dirección de Empresas

Departamento de EstadísiticaUniversidad Carlos III de Madrid

2 de abril, 2009

Roberto Morales Arsenal - Práctica No2 Efecto Calendario y Raíces Unitarias



Objetivos de la práctica

Modelar los siguientes fénomenos:

1 Modelización de la estacionalidad deterministasegmentada.

2 Modelización efecto calendario.3 Modelización efecto Semana Santa.4 Modelización de la tendencia y la estacionilidad

estocástica.5 Predicción fuera de la muestra.




Estacionalidad Determinista Segmentada

yt = β0 + β1t + β01ϕ1t + β11ξ1t +11∑

j=1

βjSAjt +11∑

j=1

βjSBjt + ηt

donde

SAjt =

1 en el mes j.

0 resto.

−1 t ∈ Diciembre.

Misma estructura para SBjt




Índice de Precios al Consumo (IPC) de Españaew:esp11099

El IPC muestra clara ruptura en el nivel de la tendencia en1975.




Índice de Precios al Consumo (IPC) de EspañaTendencia Segmentada (Detrending)

Los valores resultaron significativos como cabría de esperar.




Índice de Precios al Consumo (IPC) de EspañaTendencia Segmentada

Los residuos muestran una clara estructura cíclica que debeser modelada.




Índice de Precios al Consumo (IPC) de EspañaEstacionalidad Segmentada

Implantación del nuevo Sistema de Índice de Precios deConsumo con la inclusión de los precios rebajados.

Se han generado dummies desde 1995:01 a 2009:02.Roberto Morales Arsenal - Práctica No2 Efecto Calendario y Raíces Unitarias



Índice de Precios al Consumo (IPC) de EspañaEstacionalidad Segmentada




Estacionalidad SegmentadaDiagnosis




Estacionalidad SegmentadaDiagnosis

No se rechaza la H0 de normalidad.Roberto Morales Arsenal - Práctica No2 Efecto Calendario y Raíces Unitarias



Otros posibles modelos

I(2, 0) + EE Truncada

∇∇12logIPC =

11∑

n=1

∇∇12SBjt + ωt

I(1, 1) + ED Truncada

∇logIPC = c +

11∑

n=1

∇SAjt +

11∑

n=1

∇SBjt + ωt

∇2∇12logIPC =11∑

n=1

∇2∇12SAjt +11∑

n=1

∇2∇12SBjt + ωt




Tipos de Predicción

Predicción DinámicaLos valores desplazados se sustituyen por los valoresestimados. Podemos hacer predicción para los períodos quequeramos, ya que se puede ir estimando de uno en uno losvalores futuros que se van sustituyendo en la ecuación

Predicción EstáticaLos valores desplazados de la serie se sustituyen por suscorrespondientes valores observados. Sólo podemos hacerpredicción un período hacia adelante, ya que no se tiene,observaciones disponibles. Al no existir residuo para el períodode predicción se utiliza la media de los residuos. Al utilizarvalores observados se comete menos error que en lapredicción dinámica.




Estacionalidad SegmentadaPredicción Dinámica




Estacionalidad SegmentadaPredicción Estática




Modelización de determinados efectos relevantes enla extracción de señales mediante variables artificiales

Existen efectos que ocurren de forma recurrente, año tras año,que sólo se pueden modelizar de modo relativamente sencillode forma determinista. Estos efectos no constituyen un análisisde intervención tal y como lo presentan Box y Tiao (1975), peroestán captados de forma similar a través de variablesartificiales.




Efecto Calendario (Trading Day)

Concepto

Se presenta en variables mensuales que se obtienen poragregación temporal de los correspondientes valores diarios, siexiste algún tipo de estacionalidad semanal, el valor que tomael agregado mensual depende de la composición del mes.

Un ejemplo típico lo constituye el IPI:

La producción mensual es la suma de las produccionesdiarias.(↑ días por mes ↑ IPI)

Existe estacionalidad de carácter semanal, que lleva adistinguir, al menos, entre días laborables y nolaborables.(↑ días laborables por mes ↑ IPI)




Modelización del efecto calendario

Cleveland y Grupe (1982)

ECt =7

∑

j=1

δjUjt j = 1, ..,7 (1)

ECt = δDTt +

7∑

j=1

βjUjt (2)

DTt ⇒ Número total de días en un mesUjt ⇒ Número de lunes, martes,...en cada mes.δ ⇒ Efecto medio de añadir un día más.βj ⇒ Efecto de añadir un día del tipo j en un deterd. mes.

A través de (1) los estimadores son muy poco precisos debidoa la alta correlación entre Ujt .




Modelización del efecto calendario

Formulamos una nueva variable

Vjt = Ujt − U7t j = 1, 2, ..,6 (3)

ECt = δDTj +

6∑

j=1

βjVjt + U7t

7∑

j=1

βj

(4)

Modelo final que estimaremos

xt = a + bt +

11∑

j=1

bj Sjt +

6∑

j=1

βjVjt + wt (5)




Índice de Producción Industrial




Modelo con tendencia y estacionalidad determinista

xt = a + bt +

11∑

j=1

bj Sjt + wt

Caída de la producción en el mes de agosto.Roberto Morales Arsenal - Práctica No2 Efecto Calendario y Raíces Unitarias



Añadimos el efecto calendario

xt = a + bt +

11∑

j=1

bj Sjt +

6∑

j=1

βjVjt + wt




Residuos del modelo con efecto calendario

Los residuos han mejorado algo con respecto al modeloanterior pero siguen mostrando un comportamiento cíclico.




Correlograma: Modelo con Efecto Calendario

Tanto la acf como la pacf muestran estructura mostrando queestán lejos de comportarse como ruido blanco.




xt+h = EDt+h + wt+h

EDt+h ⇒ Efecto determinista. No hay incertidumbre, meraextrapolación matemática.

wt+h ⇒ Componente estacionario, tiene dependenciarespecto del pasado.

Dos formas de predecir xt+h considerar wt+h.

Enfoque parcial (forma burda) ⇒ E(wt+h) = 0. Predicciónes ineficiente pero consistente.

Enfoque general ⇒ wt+h. Tiene dependencia que puedointroducir en el modelo a través de una estructura de tipoARMA.




Modelo con efecto calendario y estructura AR(2) enlos residuos




Correlograma

El correlograma muestra una clara estructura en los retardosestacionales (12, 24, 36) de tipo autorregresiva.




Estimación con el Modelo Final

xt = a + bt +

11∑

j=1

bj Sjt +

6∑

j=1

βjVjt + AR(2)AR(1)12

Se ha introducido unaestructura AR(1)12 y haresultado sersignificativa. También sehan eliminado los efectoscalendario que noresultaron sersignificativos.




Residuos del Modelo Final

Los residuos soncompatibles con unaestructura de ruidoblanco, es decir, comomedia cero y varianzaconstante con algunasobservaciones convalores excesivamentealtos.




Box Plot de los residuos del Modelo Final

En el box plot se observa una asimetría en la distribución delos residuos y la existencia de datos atípicos.




Correlograma del Modelo Final

Todo los valores estándentro de las bandas deconfianza por lo quepodemos decir que elresiduo es ruido blanco.Ninguna de laautocorrelaciones haresultado ser significativa




Predicción del Modelo Final: Dentro de la muestra

Consideramos la varianza de las predicciones comoconstantes en las próximas prácticas veremos como realizarlas predicciones de forma más real: fuera de la muestra y convarianzas que aumentan con el horizonte de la predicción.




Predicción del Modelo Final

Todas las predicciones están dentro de las bandas deconfianza y muestran que aunque el modelo es simple laspredicciones no son malas.




Efecto Bisiesto (Leap Year)

Concepto

Es interesante investigar el efecto que produce que haya un díamás en el mes de febrero cada cuatro años, para elloconstruimos una variable artificial que capte este efecto.

Modelización

Nt =

7∑

j=1

Djt = longitud del mes t (6)

N∗

t =14(Nt + Nt−12 + Nt−24 + Nt−36) (7)

LYt = Nt − N∗

t (8)




Efecto Bisiesto

Creamos la variable dummy o artificial de la siguiente manera:

LYt =

0,75 en el mes febrero del año bisiesto.

−0,25 en febreros no bisiestos.

0 en otro caso.

La suma de un ciclo completo es igual a cero.




Efecto Semana Santa (Easter Effects)

Concepto

El efecto de Semana Santa es otro efecto ejemplo dedistorsión de carácter marcadamente estacional que sinembargo no se puede asignar al componente estacional, yaque la suma de sus contribuciones a la variable estudiada, a lolargo de un año natural, no es igual a cero.

Modelización

EPt =

{

1 Meses de Pascua.

0 los demás meses.

La Semana Santa puede caer en los meses de Marzo y Abril.




Otros efectos

El alumno puede estudiar otros efectos que sean interesantesde la variable que a elegido

1 Fiestas.2 Efecto año bisiesto.3 En las próximas prácticas se modelizarán otros efectos

particulares que afecten a la serie analizada: Atípicos uOutliers, cambios metodológicos, etc. Estos efectosforman parte de lo que se denomina Análisis deIntervención .




Modelización Determinista

Modelo más general

yt = β0 + β1t + β01ϕ1t + β11ξ1t +

+

11∑

j=1

βjSAjt +

11∑

j=1

βjSBjt +

+

6∑

j=1

βjVjt + EPt + ηt

Cualquier otra efecto o característica particular de la seriedeberá ser modelada.




Cuidado

Es importante no confundir el tipo de series, ya que si unaserie presenta una tendencia determinista y se diferencia seintroduce un proceso no invertible en los componentes MA. Porotra parte, si se incorpora una tendencia determinista en unaregresión en una regresión cuando no existe, el resultado es unerror de especificación si el proceso tiene raíz unitaria.

Ejemplo

yt = β0 + β1t + at

−yt−1 = β0 + β1(t − 1) + at−1

∆yt = β1 + (at − at−1)

rt = at − 1at−1 ⇒ MA(1) no invertible.




Segunda parte de la práctica

Predicción con el modelo con raíces unitarias (Differencing)

∇12∇logXt = wt (9)

logXt = logXt−1 + (logXt−12 − logXt−13) + wt (10)

Recordatorio de clase1 Como se vió en clase la forma de tratar un modelo con

raíces unitarias es a través de la diferenciación .Diferenciandolo tantas veces como raíces unitarias tenga.

2 Algunas de las diferencias pueden ser estacionales.3 El modelo que estamos estimando es un modelo I(2,0)+

Estacionalidad Estocástica.




Serie de pasajeros de líneas aéreas (1949-1960)

Los datos muestran: tendencia, estacionalidad y variabilidadproporcional a la media.




Análisis de dlogairline

La tasa log intermensual muestra




Análisis de dd12logairline

Posible heterocedasticidad

Autocorelaciones IMA(1, 1) × IMA(1, 1)12




Estimación del modelo con estructura ARMA

El modelo estimado es:

∇∇12log(airlinet) = (1 − 0,40B)(1 − 0,63B12)at




Diagnóstico del modelo

Residuos compatibles con estructura ruido blanco.Roberto Morales Arsenal - Práctica No2 Efecto Calendario y Raíces Unitarias




Algunos residuos atípicamente elevados.

No rechazamos la hipótesis de normalidad.




Modelo mejorado con Efecto Calendario y EfectoPascua

∇∇12logPt×100 = 3,88∇∇12Lt +4,82∇∇12Ft +2,70∇∇12SSt+

+(1 − 0,21B)(1 − 0,61B12)at




Predicción del modelo in sample




Predicción fuera de la muestra con Eviews.

Formas de Predicción





Métodos de predicción

Predicción dentro de la muestra

Se estima el modelo con todos las observaciones y sepredice con una parte de la muestra final.

Subestima la varianza.

Predicción fuera de la muestra

Dos formas:1 Dividiendo la muestra en una muestra de estimación y otra

de validación (Sobreestima la varianza).2 Estimado con toda la muestra y haciendo predicciones

fuera de la muestra.





Predicción fuera de la muestra

En prácticas anteriores hemos realizado la predicción dentrode la muestra (in sample) pero como se ha visto en laintroducción del curso la teoría de la predicción estaíntimamente unida a la teoría de la decisión, es decir, a la tomade decisiones óptimas en ambientes de incertidumbre porparte de los agentes económicos. Por lo que, elinterés radica en la predicción de valores futuros , es decir,fuera del rango muestral.





Vamos a ilustrar la forma de hacerlo con el último modelo conel modelo REGARIMA aplicado a la serie de líneas aéreascorregido de Efecto Calendario y Efecto Pascua.





Procedimiento a seguir en Eviews

1 Ir a la ventana del workfile seleccionar:procs/Structure/Resize Current Page ⇒ Variando el rangodeseado de la predicción.

2 Volvemos a la ecuación que queremos predecir ypinchamos en forecast, cambiamos el rango de lapredicción ¿y qué pasa??? ¿¿Missing values??.

3 Una vez corregido el fallo anterior ya puedes predecirfuera de la muestra.

4 Calcula los intervalos de confianza al 80 % y al 95 % ygraficalos ¿Qué observas?

5 Grafica un Error Bar a través de la opción graph de Eviews.





Predicción 12 meses hacia delante





Error bar


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