Estabilizador de oscilaciones subsíncronas para ... · cálculo y simulación en el tiempo y...

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLASESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE GRADO

ESTABILIZADOR DE OSCILACIONESSUBSÍNCRONAS PARA AEROGENERADORES

BASADOS EN GENERADORES DE INDUCCIÓNDOBLEMENTE ALIMENTADOS

AUTOR: Ignacio Sanz Soriano

DIRECTOR: Luis Rouco Rodríguez

MADRID, Septiembre de 2017

Estabilizador de oscilaciones subsíncronasIgnacio Sanz Soriano

II

Autorizada la entrega del proyecto del alumno:

Ignacio Sanz Soriano

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Luis Rouco Rodríguez

Fdo.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fecha: . . . . . . / . . . . . . / . . . . . . . . .

VO BO DEL COORDINADOR DE PROYECTOS

Fernando de Cuadra García

Fdo.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fecha: . . . . . . / . . . . . . / . . . . . . . . .


IV

Resumen

En este proyecto se analiza el fenómeno de la resonancia subsíncrona en aerogeneradoresbasados en generadores de inducción doblemente alimentados conectados a una red de potenciainfinita a través de una línea compensada serie y se proponen distintos estabilizadores que logransolucionar el problema de inestabilidad asociado a dichas oscilaciones.

Las oscilaciones subsíncronas son interacciónes de tipo eléctrico entre los generadores yuna línea compensada con condensadores serie. La compensación serie se utiliza para reducir laimpendancia inductiva de las líneas cuando éstas son muy largas para aumentar la capacidadde transporte de las mismas dando lugar a un circuito resonante. Las oscilaciones subsíncronasafectan tanto a los componentes eléctricos como mecánicos del sistema del generador cuyafrecuencias están en el rango inferior de la frecuencia fundamental de la red. Son debidas a unintercambio de energía entre la red y los generadores a frecuencias distintas de la frecuenciafundamental del sistema eléctrico.

El objetivo del presente proyecto ha sido, por una parte, el desarrollo de modelos detallados decálculo y simulación en el tiempo y análisis modal de un aerogenerador basado en un generadorde inducción doblemente alimentado conectado a un nudo de potencia infinita a través de unalnea compensada serie. El análisis modal consiste en el cálculo de los autovalores, autovectoresy factores de participación de la matriz de estados del modelo dinámico lineal que resulta de lalinealización del modelo no lineal alrededor de un punto de trabajo.

Las simulaciones de la respuesta temporal del sistema muestran la presencia de oscilacionessubsíncronas en el sistema del generador cuando se produce una perturbación en la corrientereactiva del convertidor de red o una perturbación en el par mecánico de la turbina. El autoanálisispermite la identificación del modo inestable y el análisis modal ha permitido identificar lasinteracciones entre los distintos subsistemas facilitando la interpretación física del fenómenopara el posterior planteamiento de un estabilizador.

Se han usado técnicas basadas en sensibilidades de autovalores para el diseño deestabilizadores. Posteriormente se analizan los resultados de los distintos estabilizadores mediantesimulaciones y autoanálisis para distintos factores de compensación en la línea. Un analisis másprofundo del sistema cuando se han implementado los estabilizadores muestra un compromisoa la hora de amortiguar las oscilaciones subsíncronas, ya que un sobreamortiguamiento de lasmismas provoca que el modo supersíncrono se vuelva inestable. Por último, se ha optimizadoun estabilizador para lograr el amortiguamiento deseado en ambos modos de oscilación, elsubsíncrono y el supersíncrono, siendo los resultados de este estabilizador los más satisfactoriospara distintos escenarios y factores de compensación en la línea.


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Abstract

This project studies subsynchronous resonance phenomena in wind generators based ondoubly fed induction generators connected to an infinite bus through series compensatedtransmission lines and purposes several control strategies to solve instability problems associatedto subsyncronous oscillations.

Subsynchronous oscillations consist on electrical interactions between synchronous genera-tors or induction generators and series compensated transmission lines. Series compensation iscommonly used to reduce the inductive impedance of large transmission lines in order to increasetheir power transmission capability, turning the line into a resonant circuit. Subsynchronousoscillations affect both electrical and mechanical components of generator systems whosefrequencies are in the range below the power system frequency. They are caused by energyexchange between the grid and generators at several frequencies different from the power systemfrequency.

The aim of this project is the development of detailed calculation and simulation modelsand modal analysis of a wind generator based on doubly fed induction generator connected toan infinite bus through a series compensated transmission line. Modal analysis linearizes themodel at a working point and studies eigenvalues, eigenvectors and participation factors of thelinearized dynamic model state matrix obtained from the non linear model.

Simulations present the presence of unstable subsynchronous oscillations in the generatorsystem when reactive current of the grid side converter and mechanical torque of the wind turbineare perturbed. Eigenvalues and modal analysis allows the identification of unstable nodes andseveral interactions among the different subsystems, easing the physical interpretation for thelater design of stabilizers.

Eigenvalues sensitivity based techniques have been used in stabilizer designs. Linear analysisand simulations are used to check stabilizer results and dynamic system behaviour in differentscenarios and compensation levels in the line. A deeper analysis of the system when differentstabilizers are implemented shows a commitment when trying to damp the subsynchronousoscillations since the overdamping of subsynchronous oscillations turns supersychronous nodeunstable. Finally, optimization techniques have been used to achieve a wanted damping in bothnodes, the supersynchronous and subsynchronous, whose results are the most succesful ones.


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A Carlos y Vicky.A Pedro de A. Soriano Nicolau.

La libertad, Sancho, es unode los más preciosos dones quea los hombres dieron los cielos;

con ella no pueden igualarse lostesoros que encierra la tierra niel mar encubre. Por la libertadasí como por la honra se puede

y debe aventurar la vida.DON QUIJOTE DE LA MANCHA


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Agradecimientos

En primer lugar, agradecer a Luis Rouco Rodríguez su ayuda, sus conocimientos y laoportunidad de trabajar en este proyecto. Han sido unos meses muy agradables, de intensotrabajo, aprendizaje y buenos ratos trabajando con él.

En segundo lugar, agradecer a Juan Luis Zamora Macho su ayuda con Simulink y su pacienciapara conmigo.

En tercer lugar, agradecer a Santiago Cano Casanova su ayuda en el campo de los sistemasde ecuaciones diferenciales.

En cuarto lugar, agradecer a Adrián Ibañez, Alvaro Corno y Candela Sanz estos tres bonitosaños. Los largos y duros dias de trabajo con ellos, junto con los buenos momentos de estos tresaños queden para el recuerdo.

En quinto y último lugar, a agradecer a mis familiares y amigos en Alicante y Madrid todosu apoyo, sus ánimos y su atención.


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Índice general

Símbolos 13

1. Introducción 15

1.1. El tema del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Sistemas dinámicos 17

2.1. Modelos no lineales y lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Solución de sistemas dinámicos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Solución de sistemas dinámicos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.3. Sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.4. Factores de participación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Resonancia subsíncrona en generadores síncronos 25

3.1. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. Modelo mecánico del generador síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2. Modelo electromagnético del generador síncrono . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3. Modelo del condensador serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.4. Excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.5. Turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.6. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.7. Modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Simulación no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Modelo de generador de inducción doblemente alimentado 45


1

4.1. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Modelo de la máquina de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2. Control de las corrientes del convertidor rotor . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3. Control de velocidad del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.4. Modelo del convertidor de estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.5. Control de las corrientes del convertidor del estator . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.6. Modelo del condensador de acoplamiento de los convertidores de estator yde rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.7. Control de la tensión del condensador de acoplamiento de los convertidoresde estator y de rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.8. Resumen de las ecuaciones diferenciales y algebraicas . . . . . . . . . . . 53

4.2.9. Forma condensada de las ecuaciones diferenciales y algebraicas . . . . . . 56

4.3. Cálculo de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.1. Primera etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.2. Segunda etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.3. Tercera etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.4. Cuarta etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4. Diseño de los reguladores PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5. Modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Resonancia en generadores de inducción doblemente alimentados 63

5.1. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1. Resumen de las ecuaciones diferenciales y algebraicas . . . . . . . . . . . 64

5.1.2. Forma condensada de las ecuaciones diferenciales y algebraicas . . . . . . 67

5.2. Parámetros y condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.1. Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3. Simulación del modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3.1. Perturbación en la corriente reactiva del convertidor de estator . . . . . . . 69

5.4. Perturbación en par mecánico de la turbina eólica . . . . . . . . . . . . . . . . 75


2

5.4.1. Factor de compensación del 8 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.2. Factor de compensación del 30 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5. Modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.6. Análisis del modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.7. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6. Estabilizador de oscilaciones subsíncronas en generadores de inducción doble-mente alimentados 87

6.1. Estabilizadores del sistema de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2. Diseño de estabilizadores del sistema de potencia por sensibilidades de losautovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2.1. Diseño de la red de compensación de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2.2. Determinación de la ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3. Estabilizador de oscilaciones subsíncronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4. Diseño del estabilizador de oscilaciones subsíncronas . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4.1. Estabilizador iaq - pe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4.2. Estabilizador iψs

rd - pe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


rd - Vs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.4.4. Estabilizador iaq - Vs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.5. Diseño de estabilizadores de oscilaciones subsíncronas y supersíncronas . . . . 127

6.5.1. Factor de compensación del 8 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128



6.6. Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7. Conclusiones 145

Bibliografía 146


3


4

Índice de figuras

2.1. Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la respuestatemporal ante un impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Sistema con realimentación escrito en forma híbrida. . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1. Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una línea

compensada serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador. . . . . . . . 263.3. Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión. . . . . 283.4. Selección de variables de estado de una excitación estática. . . . . . . . . . . . . . 283.5. Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina. . . . . . . . . . . . . . 293.6. Selección de variables de estado de una turbina de vapor. . . . . . . . . . . . . . . 293.7. Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita a través de una línea compensada serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.8. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un

nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinasde alta presión y presión intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.9. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a unnudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinasde baja presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.10. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a unnudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generadory de la excitatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.11. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a unnudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor delgenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.12. Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y subsíncronoal variar el factor de compensación de la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.13. Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor decompensación de la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.14. Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor decompensación de la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1. Circuito equivalente del generador de inducción doblemente alimentado. . . . . . 454.2. Lazos de control de las componentes de la corriente del rotor. . . . . . . . . . . . 494.3. Diagramas de los reguladores de corriente del convertidor del rotor. . . . . . . . . 494.4. Lazo de control de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Lazos de control de las componentes de la corriente del convertidor del estator. . . 514.6. Diagramas de los reguladores de corriente del convertidor del estator. . . . . . . . 524.7. Lazo de control de la tensión del condensador de acoplamiento de los convertidores

de estator y de rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.8. Representación en espacio de estado de un regulador PI. . . . . . . . . . . . . . . 54


5

4.9. Diseño de un regulador PI para un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . 594.10. Diseño de un regulador PI para un integrador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1. Circuito equivalente del generador de inducción doblemente alimentado para el

estudio de la resonancia subsíncrona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del

estator: Deslizamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del

estator: Tensión del condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del

estator: Componentes de la corriente del convertidor del estator. . . . . . . . . . . 715.5. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del

estator: Componentes de la corriente de red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.6. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del












estator: Componentes de la corriente de red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.18. Evolución del autovalor y del amortiguamiento del modo supersíncrono según el

factor de compensación de la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.19. Evolución del autovalor y del amortiguamiento del modo subsíncrono según el

factor de compensación de la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1. Modelo de un estabilizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2. Respuesta en frecuencia de una red de compenación de fase. . . . . . . . . . . . . 886.3. Respuesta en frecuencia de filtro wash-out. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4. Interpretación geométrica del método de las sensibilidades de autovalores aplicado

al diseño de un estabilizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.5. Evolución de los residuos, la controlabilidad y la observabilidad de la entrada salida

iψs

rd − pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.6. Evolución de los residuos, la controlabilidad y la observabilidad de la entrada salida

iaq − pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


6

6.7. Interpretación geométrica del método de las sensibilidades de autovalores aplicadoal diseño de un estabilizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.8. Interpretación geométrica del método de las sensibilidades de autovalores aplicadoal diseño de un estabilizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.9. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Deslizamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.10. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Tensión del condensador. . . . . . . . . . . . . . 96

6.11. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Corrientes del convertidor de estator. . . . . . . . 96

6.12. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 97

6.13. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valorcalculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.14. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 vecesel valor calculado incluyendo las rectas que corresponden a un amortiguamiento del2 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.15. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iψs

rd - pe: Deslizamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.16. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del

estator con estabilizador iψs

rd - pe: Tensión del condensador. . . . . . . . . . . . . . 1026.17. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe: Corrientes del convertidor de estator. . . . . . . . 1026.18. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 1036.19. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces su valor

calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.20. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2

veces su valor calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.21. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del








rd - pe: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 1086.25. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces su valor

calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.26. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2

veces su valor calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.27. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del








rd - pe: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 113


7


rd - pe: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 1146.32. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 1146.33. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - Vs: Deslizamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.34. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - Vs: Tensión del condensador. . . . . . . . . . . . . . 1176.35. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - Vs: Corrintes del convertidor de estator. . . . . . . . 1176.36. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - Vs: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . 1186.37. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor

calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.38. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces

el valor calculado incluyendo las rectas que corresponden a un amortiguamiento del2 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.39. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2veces el valor calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.40. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Deslizamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.41. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Tensión del condensador. . . . . . . . . . . . . . 124

6.42. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Corrientes del convertidor de estator. . . . . . . . 124

6.43. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Corrientes inyectadas en la red. . . . . . . . . . . 125


rd - pe dinámico: Deslizamiento. . . . . . . . . . . . . . 1296.45. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe dinámico: Tensión del condensador. . . . . . . . . 1306.46. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe dinámico: Corrientes del convertidor de estator. . 1306.47. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe dinámico: Corrientes inyectadas en la red. . . . . 1316.48. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor







estator con estabilizador ird psis vs: Corrientes del convertidor de estator. . . . . . 1356.53. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe dinámico: Corrientes inyectadas en la red. . . . . 136


8

6.54. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valorcalculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.55. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 vecesel valor calculado incluyendo las rectas que corresponden a un amortiguamiento del3 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137






rd - pe dinámico: Corrientes del convertidor de estator. . 1406.59. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor del


rd - pe dinámico: Corrientes inyectadas en la red. . . . . 1416.60. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor




9


10

Índice de tablas

3.1. Datos del turbogenerador de la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un

nudo de potencia infinita con representación detallada del generador. . . . . . . . 393.3. Autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo

de potencia infinita con representación detallada del generador. . . . . . . . . . . 393.4. Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de un

generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detalladadel generador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5. Asociación de los autovalores reales a los subsistemas del modelo de un generadorconectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador. 40

3.6. Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalorescomplejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potenciainfinita con representación detallada del generador. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7. Participaciones de los subsistemas en los autovalores complejos del modelolinealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita conrepresentación detallada del generador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.8. Módulo de los factores de participación de las variables en los autovalores realesdel modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinitacon representación detallada del generador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.9. Participaciones de los subsistemas en los autovalores reales del modelo linealizadode un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representacióndetallada del generador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1. Parámetros utilizados en la simulación del modelo no lineal y en el modelolinealizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2. Inicialización de las variables eléctromecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3. Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador doblemente

alimentado conectado conectado a un nudo de potencia infinita a través de unalínea compensada serie para un factor de compensación del 30 %. . . . . . . . . . 82

5.4. Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de ungenerador doblemente alimentado conectado conectado a un nudo de potenciainfinita a través de una línea compensada serie para un facor de compensación del30 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5. Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalorescomplejos del modelo linealizado de un generador doblemente alimentadoconectado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una líneacompensada serie para un factor de compensación del 30 %. . . . . . . . . . . . 84

6.1. Factores de controlabilidad y observabilidad del modo subsíncrono para distintosvalores del factor de compensación de la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


11

6.2. Residuos del modo subsíncrono para distintos valores del factor de compensaciónde la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iaq - pe. . . . . . . . . . . . . 946.4. Comparativa de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con

estabilizador iaq - pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iψs

rd - pe . . . . . . . . . . . . 996.6. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iψs

rd - pe. . . . . . . . . . . . . 1006.7. Comparación de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con

estabilizador iψs

rd - pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.8. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iψs


estabilizador iψs



estabilizador iψs


rd - Vs. . . . . . . . . . . . . 1156.13. Comparativa de los modos supersíncrono y subsíncrono originaris y con estabiliza-

dor iψs

rd - Vs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.14. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iψs

rd - Vs . . . . . . . . . . . . 1216.15. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iaq - Vs. . . . . . . . . . . . . 1226.16. Comparativa de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con

estabilizador iaq - Vs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.17. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iaq - Vs. . . . . . . . . . . . . 1266.18. Autovalores tras la incroporación del estabilizador iψs


estabilizador iψs

rd - pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.20. Autovalores tras la incroporación del estabilizador iψs


estabilizador iψs

rd - pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.22. Autovalores tras la incroporación del estabilizador iψs


estabilizador iψs

rd - pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


12

Símbolos

~vs vector espacial tensión de estator~vr vector espacial tensión de rotor~va vector espacial tensión del convertidor de estator~vCf

vector espacial tensión del filtro de estator~ve vector espacial tensión del la línea de conexión a la red~vCs vector espacial tensión del condensador de compensación serie~v∞ vector espacial tensión del nudo de potencia infiinita~is vector espacial corriente de estator~ir vector espacial corriente de rotor~ia vector espacial corriente del convertidor de estator~if vector espacial corriente del filtro de estator~ie vector espacial corrientepor la linea de conexión a la red~ψs vector espacial flujo de estator~ψr vector espacial flujo de rotor~ψa vector espacial flujo de convertidor de estator~ψe vector espacial flujo de la línea de conexión a la redvsd, vsq componentes del vector espacial tensión de estator en ejes directo y transversovrd, vrq componentes del vector espacial tensión de rotor ejes directo y transversovad, vaq componentes del vector espacial tensión del convertidor de estator ejes directo

y transversovCfd, vCf q componentes del vector espacial tensión del filtro de estator en ejes directo y

transversoved, veq componentes del vector espacial tensión de la línea de conexión a la red ejes

directo y transversovCsd, vCsq componentes del vector espacial tensión del condensador de compensación

serie en ejes directo y transversov∞d, v∞q componentes del vector espacial tensión del nudo de potencia infinita en ejes

directo y transversoisd, isq componentes del vector espacial corriente de estator en ejes directo y transversoird, irq componentes del vector espacial corriente de rotor en ejes directo y transversoiad, iaq componentes del vector espacial corriente del convertidor de estator en ejes

directo y transverso


13

ifd, ifq componentes del vector espacial corriente del filtro de estator en ejes directo ytransverso

ied, ieq componentes del vector espacial corriente de la línea de conexión a la redψsd, ψsq componentes del vector espacial flujo de estator en ejes directo y transversoψrd, ψrq componentes del vector espacial flujo de estator en ejes directo y transversoψad, ψaq componentes del vector espacial flujo del convertidor de estator en ejes directo

y transversoψed, ψeq componentes del vector espacial flujo de la línea de conexión a la redRs resistencia de los arrollamientos del estatorRr resistencia de los arrollamientos del rotorRa resistencia del filtro de conexión del convertidor de estatorRe resistencia de la línea de conexión a la redLs inductancia de dispersión del estatorLr inductancia de dispersión del rotorLa inductancia de dispersión del filtro de conexión del convertidor de estatorLe inductancia de la línea de conexión a la redLm inductancia de magnetizaciónLss inductancia propia del estatorLrr inductancia propia del rotorf0 frecuencia eléctrica base de la redω0 velocidad base en radianes eléctricos por segundoωs velocidad del campo del estator expresada en magnitudes unitariasωdesl velocidad del campo del rotor respecto de un sistema de referencia que gira a

la velocidad de sincronismoωr velocidad de giro del rotor expresada en magnitudes unitariass deslizamientoC capacidad del condensador de acoplamientoCf capacidad del condensador del filtro de estatorCs capacidad del condensador de compensación serieH inercia del rotor del generadortm par mecánicote par electromagnéticov2C tensión del condensador de desacoploFC factor de compensación de la línea


14

1 Introducción

1.1. El tema del proyecto

L OS rotores de los turbogeneradores (generadores síncronos accionados por turbinas de vapor)presentan oscilaciones torsionales en el margen subsíncrono de frecuencias, que quiere decir

que son inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz). Los rotores de los turbogeneradoresconstituyen un complejo sistema mecánico formado por masas (correspondientes a cada uno delos cuerpos de las turbinas y del generador síncrono) acopladas elásticamente. Las oscilacionestorsionales son debidas a los citados acoplamientos elásticos entre las masas. En las oscilacioneselectromecánicas (de frecuencia próxima a 1 Hz), todas las masas del rotor del turbogeneradoroscilan al unísono. Por tanto, el límite inferior del margen de frecuencias de las oscilacionestorsionales es 1 Hz.

La resononancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las oscilaciones torsionales deturbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Una línea eléctrica concompensación serie tiene instalado un condensador en serie con la línea. La compensación seriese utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de un generador a una red cuando lalongitud de las líneas de conexión es muy grande. La frecuencia natural del circuito LC seriedepende de la raíz cuadrada del grado de compensación de la línea (cociente entre la reactanciade los condensadores serie y la reactancia inductiva serie de la línea). El grado de compensacióntípico está comprendido entre el 30 y el 70 %. La resonancia subsíncrona puede ocurrir cuandola frecuencia natural de oscilación de la línea con compensación serie está próxima a una de lasfrecuencias de las oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador.

Aunque el fenómeno de la autoexcitación de generadores síncronos era conocido, el estudiodel fenómeno de la resonancia subsíncrona cobró un inusitado interés con los fallos de los ejesde los turbogeneradores de la central de Mohave en 1970 y en 1971 [1]. Una presentación muydetallada del problema de la resonancia subsíncrona en turbogeneradores puede encontrarseen [2–9].

La ocurrencia de un fenómeno de oscilaciones subsíncronas en el sistema ERCOT de Texasha dado lugar a un gran interés por el fenómeno [10–22]. Tras una perturbación, las oscilacionessubsíncronas no amortiguadas provocaron el fallo de los convertidores electrónicos de losaerogeneradores de un gran parque eólico. Los aerogeneradores estaban basados en generadoresde inducción doblemente alimentados.

Varios trabajos han estudiado la sensibilidad del amortiguamiento de las oscilacionessubsíncronas con relación al factor de compensación de la línea y otros parámetros del modelo.Otros muy recientes han propuesto un control suplementario del tipo de los estabilizadores delsistema de potencia [23–25]. Este proyecto fin de grado está interesado en el amortiguamiento


15

de las oscilaciones subsíncronas utilizando los principios de los estabilizadores del sistema depotencia para el amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos[26–28].

1.2. Objetivos del proyectoEl objetivo del proyecto es desarrollar un estabilizador de oscilaciones subsíncronas para

aerogeneradores basados en generadores de inducción doblemente alimentados trasladando aeste caso los principios de los estabilizadores del sistema de potencia. Para ello se utilizarán lastécnicas basadas en las sensibilidades de los autovalores.

El diseño de un estabilizador de oscilaciones subsíncronas debe abordar los siguientesproblemas:

Selección de las variables de entrada y salida del estabilizador

Ajuste de los parámetros del estabilizador

Interacción de estabilizador con otros modos de oscilación

Esta memoria contiene varios capítulos estructurados de a siguiente manera:

− El capítulo 2 revisa los conceptos fundamentales de los sistemas dinámicos

− El capítulo 3 introduce el problema de la resonancia subsíncrona de generadores síncronos

− El capítulo 4 detalla el modelo del generador de inducción doblemente alimentado

− El capítulo 4 detalla el modelo del generador de inducción doblemente alimentado

− El capítulo 5 aborda el problema de resonancia subsíncrona en generadores de induccióndoblemente alimentados

− El capítulo 6 plantea el diseño de estabilizadores de para oscilaciones subsíncronas engeneradores de inducción doblemente alimentados

− El capítulo 7 resume las conclusiones del proyecto

− El capítulo 8 contiene las referencias bibliográficas


16

2 Sistemas dinámicos

E STE capítulo presenta los conceptos fundamentales del modelado, simulación y análisis desistemas dinámicos.

2.1. Modelos no lineales y lineales

Considérese un sistema dinámico descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales yalgebraicas no lineales escritas en la forma:

~x = G(~x, ~z, ~u)

0 = H(~x, ~z, ~u)(2.1)

donde G y H son vectores de funciones no lineales, ~x son las variables de estado, ~z son lasvariables algebraicas y ~u son las variables de entrada.

~x ∈ <N×1

~z ∈ <M×1

~u ∈ <L×1

Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado y de lasvariables algebraicas, se dice que está escrito en forma implícita.

Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (6.23) se linealiza alrededor del puntode trabajo ~x = ~x0, ~u = ~u0, ~z = ~z0 resulta:[

∆~x0

]=

[∂G(~x,~z,~u)

∂~x

∣∣~x=~x0,~u=~u0,~z=~z0

∂G(~x,~z,~u)∂~z

∣∣~x=~x0,~u=~u0,~z=~z0

∂H(~x,~z,~u)∂~x

∣∣~x=~x0,~u=~u0,~z=~z0

∂H(~x,~z,~u)∂~z

∣∣~x=~x0,~u=~u0,~z=~z0

][∆~x∆~z

]

+

[∂G(~x,~z,~u)

∂~u

∣∣~x=~x0,~u=~u0,~z=~z0

∂H(~x,~z,~u)∂~u

∣∣~x=~x0,~u=~u0,~z=~z0

]∆~u

=

[A11 A12

A21 A22

] [∆~x∆~z

]+

[B1

B2

]∆~u

(2.2)

donde:∆~x = ~x− ~x0, ∆~u = ~u− ~u0, ∆~z = ~z − ~z0


17

Si se eliminan las variables algebraicas de las ecuaciones (6.23) entonces el sistema dinámicoqueda descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales expresadas en términosde las variables de estado y de las variables de entrada u.

~x = F(~x, ~u) (2.3)

Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado, se dice queestá escrito en forma explícita. Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (6.25) selinealiza alrededor del punto de trabajo ~x = ~xo, ~u = ~uo, resulta:

∆~x =∂F(~x, ~u)

∂~x

∣∣~x=~x0,~u=~u0

+∂F(~x, ~u)

∂~u

∣∣~x=~x0,~u=~u0

∆~u =

A∆~x+ B∆~u

(2.4)

Por supuesto, no siempre es posible eliminar las variables algebraicas de un sistema dináminono lineal escrito en forma implícita (6.23) para pasar a otro escrito en forma explícita (6.25).Sin embargo, siempre es posible pasar de un sistema dinámico lineal escrito en forma implícita(6.24) a otro escrito en forma explícita (6.25).

A = A11 − A12(A22)−1A21

B = B1 − A12(A22)−1B2

(2.5)

2.2. Solución de sistemas dinámicos no linealesLa solución del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales se obtiene por simulación

en el dominio del tiempo. La simulación en el dominio del tiempo consiste en la integraciónnumérica de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema.Un algoritmo de integración numérica de las ecuaciones diferenciales, obtiene en el caso mássencillo las variables de estado en el paso k + 1 a partir de las variables de estado en el pasoanterior k :

~xk+1 = Γ(~xk)

siendo Γ una función que depende del método considerado. El método de Euler predictor−correctorobtiene xk+1 en dos pasos:

~xk+1 = ~xk + ~xk∆t = ~xk + F(~xk)∆t

~xk+1 = ~xk + [~xk + ~xk+1]∆t

2= ~xk + [F(~xk) + F(~xk+1)]

∆t

2


18

Con el método de Runge-Kutta de orden 4-5 se obtiene ~xk+1 según:

~xk+1 = ~xk +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

k1 = F(~xk)

k2 = F

(~xk +

k1

2

)k3 = F(

(~xk +

k2

2

)k4 = F(~xk + k3)

2.3. Solución de sistemas dinámicos lineales

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales cuando se produce la variaciónde una de las variables de entrada ∆u tiene dos componentes: la solución homogénea y lasolución particular de la completa.

La solución homogénea es la solución que corresponde a entrada nula y condiciones inicialesno nulas. La solución particular de la completa es la solución que corresponde a condicionesiniciales nulas y entrada no nula. La solución del sistema de ecuaciones diferenciales (6.25)cuando se puede expresar en términos de la exponencial de la matriz de estado de acuerdo con laexpresión:

∆~x(t) = ∆~xh(t) + ∆~xp(t) = eA(t−to)∆~x(to) +

∫ t

to

eA(t−to)~b∆~u(τ)dτ (2.6)

La exponencial de la matriz de estado se puede calcular usando el desarrollo en serie de Taylor:

eAt = I +A

1!t+

A2

2!t2 + . . .

Sin embargo, este método no es siempre numéricamente robusto. Una solución numéricamenterobusta y llena de sentido físico se puede obtener en términos de los autovalores y autovectoresde la matriz de estado.

2.3.1. Autovalores y autovectoresUna alternativa llena de significado físico está basada en los autovalores y autovectores de

la matriz de estado. Un autovalor de la matriz de estado y los correspondientes autovectoresderecho e izquierdo asociados se definen como:

A~vi = ~viλi (2.7)

~w Ti A = λi ~w

Ti (2.8)

El estudio de las ecuaciones (5.7) y (5.8) indica que los autovalores derecho e izquierdo noestán determinados de forma única (éstos se calculan como la solución de un sistema lineal den ecuaciones y n + 1 incógnitas). Una forma de eliminar el grado de libertad es introducir lanormalización:

~w Ti ~vi = 1 (2.9)


19

En el caso de n autovalores distintos, las ecuaciones (5.7)−(5.9) se pueden escribir juntas paratodos los autovalores en forma matricial:

A[~v1 . . . ~vn

]=[~v1 . . . ~vn

] λ1 . . . 0... . . . ...0 . . . λn

~w

T1...~wTn

A =

λ1 . . . 0... . . . ...0 . . . λn

~w

T1...~wTn

~w

T1...~wTn

[~v1 . . . ~vn]

=

1 . . . 0... . . . ...0 . . . 1

(2.10)

o en forma más compacta como:AV = VΛ

WA = ΛW

WV = I

(2.11)

donde Λ, V, W son las matrices de los autovalores y autovectores derechos e izquierdosrespectivamente:

Λ =

λ1 . . . 0... . . . ...0 . . . λn

V = [

[~v1 . . . ~vn

]W =

~wT1...~wTn

Si la exponencial de la matriz de estado eAt se expresa en términos de los autovalores y de losautovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A, resulta:

eAt = WV +VΛW

1!t+

VΛ2W

2!t2 + · · · =

V

(I +

Λ

1!t+

Λ2

2!t2 + . . .

)W = VeΛtW

(2.12)

La solución (5.6) del sistema de ecuaciones diferenciales (6.25) en términos de los autovalores yautovectores de una matriz:

∆~x(t) = VeΛ(t−to)W∆~x(to) +

∫ t

to

VeΛ(t−to)W~b∆u(τ)dτ (2.13)

Por otra parte, la solución homogénea del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (6.25) sepuede expresar en términos de los autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de lamatriz de estados como:

∆~x(t)h = VeΛ(t−to)W∆~x(to) =n∑i=1

~vieλit[~wTi ∆~x(to)] (2.14)


20

λ = jωλ = −σ + jω λ = σ + jω

λ = 0

Oscilante

λ = −σ

Estable

λ = σ

Inestable

Re

Im

Tipos de nodos

Figura 2.1. Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la respuestatemporal ante un impulso.

El estudio de la ecuación (5.14) permite obtener las siguientes conclusiones. La respuesta delsistema se expresa como una combinación de la respuesta del sistema para n modos.

Los autovalores de la matriz de estado A determinan la estabilidad del sistema. Unautovalor real negativo (positivo)indica un comportamiento exponencial decreciente(creciente) mientras que un autovalor complejo con parte real negativa (positiva) indica uncomportamiento oscilatorio decreciente (creciente), tal y como se muestra en la 3.1.

Los componentes del autovector derecho vi indican la actividad relativa de cada variableen el modo i-ésimo.

Las componentes de autovector izquierdo wi pesa las condiciones iniciales en el modoi-ésimo.

En la figura 3.1 se resumen los distintos comportamientos de los nodos, asumiendo que laparte real del autovalor (σ) y la parte imaginaria (ω) son siempre mayores o iguales que cero.

2.3.2. ResiduosConsidérese que se define en el sistema una variable de salida. Entonces la descripción del

sistema queda en la forma:∆~x(t) = A∆~x(t) +~b∆u(t)

~y(t) = ~c∆~x(t)

La función de transferencia expresada en términos de los polos y los residuos queda:

∆y(s)

∆u(s)= ~c (sI− A)−1 ~b =

n∑i=1

Ri

s− pi(2.15)


21

La función de transferencia (5.16) también se puede expresar en términos de los autovalores yautovectores de la matriz de estados como:

∆y(s)

∆u(s)= ~c V(sI− A)−1W~b =

n∑i=1

~c ~vi ~wTi~b

s− pi(2.16)

Por tanto los autovalores son los polos de cualquier función de transferencia que se puedaconsiderar pi = λi y los residuos se puedan calcular en términos de los autovectores derechos eizquierdos como:

Ri = ~c ~vi ~wTi~b (2.17)

Los residuos se pueden descomponer en términos de los factores de observabilidad ycontrolabilidad modal. En efecto, si se considera la transformación:

~c ~x = V ξ

ξ = W~x

La ecuación (5.15) resulta:∆ξ(t) = Λ∆ξ(t) +~bW∆u(t)

∆y(t) = ~c V∆ξ(t)

o también:∆ξi(t) = λi∆ξi(t) +~b ~w T

i ∆u(t)∆y(t) = ~c ~vi∆ξi(t)

}i = 1, . . . , n (2.18)

De donde se deducen los factores modales de observabilidad y controlabilidad:

ci,∆y = ~c ~vi

bi,∆u = ~b ~w Ti

2.3.3. Sensibilidades

La sensibilidad del autovalor λi con relación a un parámetro q de la matriz de estados sepuede calcular como:

∂λi∂q

= ~w Ti

∂A(q)

∂q~vi (2.19)

Si el parámetro es un elemento diagonal de la matriz de estados ajj , la sensibilidad del autovalorλi resulta:

∂λi∂ajj

= wijvji (2.20)

Considerar ahora que al sistema dinámico se añade una realimentación representada en forma defunción de transferencia tal y como lo muestra la figura. La sensibilidad del autovalor del lazo

Figura 2.2. Sistema con realimentación escrito en forma híbrida.


22

cerrado respecto al parámetro del sistema realimentado está dada por la ecuación [?]:

∂λi∂q

= ~w T∆x,i

~b · ∂F (s, q)

∂q

∣∣s=λi· ~v∆x,i (2.21)

La ecuación (5.23) proporciona la expresión del residuo de la función de transferencia en lazocerrado (5.24). Debe notarse que el residuo de la función de transferencia en lazo cerrado estáexpresado únicamente en términos de las componentes de los autovectores derechos e izquierdoscorrespondientes a las variables de estado que modelan la parte dada en forma de espacio deestado.

R∆y/∆r,i = ~w T∆x,i

~b · ~c T~v∆x,i (2.22)

2.3.4. Factores de participaciónEl factor de participación de la variable j-ésima en el modo i-ésimo se define como el

producto de las componentes j-ésimas del autovector derecho vji e izquierdo wji en el modoi-ésimo [?, ?, ?]:

pji = wjivji (2.23)

El factor de participación de una variable en un modo es una magnitud adimensional. En otraspalabras, es independiente de las unidades de las variables de estado. Además, como resultadode la normalización adoptada, la suma de los factores de participación de todas las variables enun modo y la suma de los factores de participación de todos los modos en una variable son iguala la unidad.

n∑j=1

pji =n∑i=1

pji = 1 (2.24)

Muchos sistemas dinámicos resultan de la interconexión de subsistemas dinámicos. Laparticipación del subsistema es una herramienta útil en este entorno. La participación delsubsistema se define como la suma de los factores de participación de las variables que describenel subsistema dinámico.

pSi =∑j∈S

pji (2.25)

Uno de los valores de la participación del subsistema viene del hecho de que es independiente dela selección de las variables de estado para modelar el subsistema. En otras palabras, es invariantecon respecto a las transformaciones que sólo afectan a las variables del sistema.


23


24

3 Resonancia subsíncrona en generadoressíncronos

E STE capítulo presenta los modelos no lineales y lineales de un turbogenerador conectadoa un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie para el estudio de

la resonancia subsíncrona. Este capítulo también muestra resultados tanto de la simulación nolineal en el dominio del tiempo como del análisis modal del modelo lineal.

3.1. Modelo no linealSe considera el caso de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a través de

una línea compensada serie tal y como se muestra en el diagrama unifilar de la Figura 3.1.

Figura 3.1. Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una líneacompensada serie.

3.1.1. Modelo mecánico del generador síncronoSe considera que el rotor de turbogenerador está formado por seis masas (ver Figura 3.2):

Turbina de alta presión (high pressure, HP, turbine)

Turbina de presión intermedia (intermediate pressure, IP, turbine)

Cuerpo A de la turbina de baja presión (low pressure A, LPA, turbine)

Cuerpo B de la turbina de baja presión (low pressure B, LPB, turbine)

Generador

Excitatriz


25

Figura 3.2. Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador.

Las ecuaciones del modelo mecánico no-lineal del turbogenerador son:

∂δhpδt

= ωo(ωhp − 1)

∂δipδt

= ωo(ωip − 1)

∂δlpaδt

= ωo(ωlpa − 1)

∂δlpbδt

= ωo(ωlpb − 1)

∂δgδt

= ωo(ωg − 1)

∂δeδt

= ωo(ωe − 1)

(3.1)

2Hhp∂ωhp∂t

= pm,hp −Khp−ip(δhp − δip)−Dhp(ωhp − 1)

2Hip∂ωip∂t

= pm,ip −Khp−ip(δip − δhp)−Dip(ωip − 1)

2Hlpa∂ωlpa∂t

= pm,lpa −Klpa−ip(δlpa − δip)−Dlpa(ωlpa − 1)

2Hlpb∂ωlpb∂t

= pm,lpb −Klpb−lpa(δlpb − δlpa)−Dlpb(ωlpb − 1)

2Hg∂ωg∂t

= −Klpb−g(δg − δlpb)−Kg−e(δg − δe)−Dg(ωg − 1)− pe

2He∂ωe∂t

= −Kg−e(δe − δg)−De(ωe − 1)

(3.2)

3.1.2. Modelo electromagnético del generador síncrono

Las ecuaciones del modelo electromagnético del generador síncrono cuando tiene trescircuitos amortiguadores, uno en eje directo y dos en eje transverso incluyendo la resistencia y lainductancia de la línea de conexión al nudo de potencia infinita son [?]:


26

[vdvq

]=

[Ra +Re 0

Ra +Re

] [−id−iq

]+

1

ωo

∂

∂t

[ψdψq

]+ ωg

[0 −11 0

] [ψdψq

]efd = Rfdifd +

1

ωo

∂ψfd∂t

0 = Rkdikd +1

ωo

∂ψkd∂t

0 = Rkq1ikq1 +1

ωo

∂ψkq1∂t

0 = Rkq2ikq2 +1

ωo

∂ψkq2∂t

ψdψqψfdψkqψfq1ψfq2

=

Lt + Lad + Le 0 Lad Lad 0 0

0 Lt + Laq + Le 0 0 Laq LaqLad 0 Lfd + Lad Lad 0 0Lad 0 Lad Lkd + Lad 0 00 Laq 0 0 Lkq1 + Laq Laq0 Laq 0 0 Laq Lkq2 + Laq

−id−iqifdikdikq1ikq2

(3.3)

donde los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los parámetrosde respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y subtransitorias tanto en eje directocomo en eje transverso) como:

Lad = Ld − Ll

Lfd = LadL

′

d − LlLd − L

′d

Rfd =Lad + LfdωoT

′d0

Lkd = (L′

d − Ll)L”d − Ll

L′d − L”

d

Rfq =Lkq + L

′

d − LlωoT ”

d0

Laq = Lq − Ll

Lk1 = LadL

′

d − LlLd − L

′d

Rk1 =Laq + Lkq1ωoT

′q0

Lkd2 = (Lq′ − Ll)

L”q − Ll

L′q − L”

q

Rkq2 =Lkq2 + L

′q − Ll

ωoT ”q0

(3.4)


27

El par electromagnético aplicado por el generador síncrono responde a la expresión:

te =Im{~i · ~ψ∗}

=Im{(id + jiq)(ψd − jψq)} = Im{(idψd − iqψq) + j(iqψd − idψq)}

=− ψqid + ψdiq

(3.5)

3.1.3. Modelo del condensador serieLas ecuaciones del condensador serie con relación a un sistema de referencia que gira a la

velocidad del rotor del generador son:[idiq

]=

1

ωoC∂

∂t

[vcdvcq

]+ ωgC

[0 −11 0

] [vcdvcq

][vdvq

]=

[vcdvcq

]+

[v∞dv∞q

] (3.6)

v∞d = v∞ sin(δ)

v∞q = v∞ cos(δ)(3.7)

3.1.4. ExcitaciónSe ha considerado una excitación estática. El diagrama de bloques de la excitación y del

regulador de tensión se muestran en la Figura 3.3.

Figura 3.3. Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión.

Figura 3.4. Selección de variables de estado de una excitación estática.


28

Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la excitación cuando se laselección de variables de estado de la Figura 3.4 son:

xe1 =1

TA[−xe1 + (vref − vt)]

xe2 =1

TE[−xe2 +KAxe1]

Efd = xe2

vt =√v2td + v2

tq

efd =rfdLad

Efd

(3.8)

donde las componentes de la tensión en bornes del generador se obtienen a partir de:[vtdvtq

]=

[Re 0

Re

] [itditq

]+

1

ωo

∂

∂t

[ψedψeq

]+ ωg

[0 −11 0

] [ψedψeq

]+

[vsdvsq

][ψedψeq

]=

[Le 00 Le

] [idiq

] (3.9)

3.1.5. TurbinaSe ha considerado una turbina de vapor. El diagrama de bloques de la turbina y del regulador

de turbina se muestran en la Figura 3.5 Las ecuaciones de la representación en espacio de estado

Figura 3.5. Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina.

Figura 3.6. Selección de variables de estado de una turbina de vapor.


29

de la turbina, cuando la selección de variables de estado de la Figura 3.4, son:

xt1 =1

T1

[−xt1 + (ωref − (ω − 1))]

xt2 =1

T2

[−xt2 +Kxt1]

xt3 =1

T3

[−xt3 + xt2]

xt4 =1

T5

[−xt4 + xt3]

xt5 =1

T6

[−xt5 + xt4]

pm,hp = Khpxt3

pm,ip = Kipxt4

pm,lpa = Klpaxt5

pm,lpb = Klpbxt5

(3.10)

Figura 3.7. Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potenciainfinita a través de una línea compensada serie.

3.1.6. Condiciones iniciales

En primer término, se determina el ángulo del rotor y la tensión en el nudo de potenciainfinita (veáse el circuito equivalente de la Figura 3.7):

i0 =

(p0 + jq0

u0 0o

)∗= i0 ϕ0

e0 = v0 + (Ra + jχa)i0 = v0 0o + (Ra + jχa)i0 ϕ0 = eq0 δ0

v∞0 = v0 − [Re + j(χe − χc)]i0 = v∞0 θ0

δg0 = δ0 − θ0

ϕg0 = ϕ0 − θ0

(3.11)

Después se obtienen las componentes en ejes directo y transverso de la tensión y la corriente enel nudo de potencia infinita:

vd0 = v0 sin(δg0)

vq0 = v0 cos(δg0)

id0 = i0 sin(δg0 − ϕ0)

iq0 = i0 cos(δg0 − ϕ0)

(3.12)


30

A continuación se calculan las componentes del flujo del estator, la corriente de excitación, latensión de excitación y el par electromagnético:

vd0 + jvq0 = (Ra +Re)(id0 + jiq0) + jωg(ψd0 + jψq0)

ψd0 + jψq0 =1

jωg[(vd0 + jvq0)− (Ra +Re)(id0 + jiq0)]

ψd0 = Ldid0 + Laifd0

ifd0 =1

La[ψd0 − Ldid0]

efd0 = Rfdifd0

te0 = −ψq0id0 + ψd0iq0

(3.13)

Finalmente y teniendo presente que las corrientes por los devanados amortiguadores son nulas:

ikd0 = ikq10 = ikq20 = 0 (3.14)

se calculan todos los flujos por medio de:ψd0

ψq0ψfd0

ψkq0ψfq10

ψfq20

=



−id0

−iq0ifd0

ikd0

ikq10

ikq20

(3.15)

Por otra parte, tendiendo presente que:

ωhp0 = 1

ωip0 = 1

ωlpa0 = 1

ωlpb0 = 1

ωg0 = 1

ωe0 = 1

pm0 = te0

pm,hp0 = Khppm0

pm,ip0 = Kippm0

pm,lpa0 = Klpapm0

pm,lpb0 = Klpbpm0

(3.16)


31

Los ángulos de las masas de las turbinas y de la excitatriz se determinan a partir de:000000

=

tm,hp0tm,ip0tm,lpa0

tm,lpb0−te0

0

(3.17)

−

Khp−ip −Khp−ip 0 0 0 0−Khp−ip Khp−ip +Kip−lpa −Kip−lpa 0 0 0

0 −Kip−lpa −Kip−lpa +Klpa−lpb −Kip−lpb 0 00 0 −Kip−lpb Klpb−g +Klpb−g −Klpb−g 00 0 0 −Klpb−g Klpb−g +Kg−e −Kg−e0 0 0 0 −Kg−e Kg−e

δhp0δip0δlpa0

δlpb0δg0δe0

(3.18)

como:δhp0δip0δlpa0

δlpb0

= (3.19)

Khp−ip −Khp−ip 0 0−Khp−ip Khp−ip +Kiplpa −Kiplpa 0

0 −Kiplpa −Kiplpa +Klpa−lpb −Kip−lpb0 0 −Kip−lpb Klpb−g +Klpb−g

−1

tm,hp0tm,ip0tm,lpa0

tm,lpb0

−

000

−Klpb−g

δg0

(3.20)

y:−Kg−eδg0 +Kg−eδe0 = 0

δg0 = δe0(3.21)

Las condiciones iniciales de la excitación se determinan de acuerdo con:

xe20 = Efd0

xe10 =xe20

KA

vref = xe10 + vt0

(3.22)

Las condiciones iniciales de la turbina se determinan de acuerdo con:

xt50 =pm,lpa0

Klpa

=pm,lpb0Klpb

xt40 =pm,ip0Kip

xt30 =pm,hp0Khp

xt20 = xt30

xt10 =xt20

Kωref0 = xt10 + (ωg0 − 1)

(3.23)


32

3.1.7. Modelo completoEl modelo no lineal toma la forma:

~x = F(~x, ~u) (3.24)

En realidad toma la forma:~x = G(~x, ~z, ~u)

0 = H(~x, ~z, ~u)(3.25)

donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de entrada son:

~x T = [ ψd ψq ψfd ψkd ψkq1 ψkq2 vcd vcq

δhp δip δlpa δlpb δg δe ωhp ωip ωlpa ωlpb ωg ωe

xe1 xe2 xt1 xt2 xt3 xt4 xt5 ]

~z T = [ id iq ifd ikd ikq1 ikq2

te v∞d v∞q vd vq vtd vtq efd pm,hp pm,ip pm,lpa pm,lpa ]

~u T = [ vref ωref v∞ ]

3.2. Simulación no linealSe van a ilustrar la presencia de oscilaciones torsionales en la oscilación electromecánica de

un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la Tabla 3.1 detalla los datos delrotor del turbogenerador; estos datos corresponden al “First Benchmark Model for ComputerSimulation of Subsynchronous Resonance" [?]; los datos de la excitación y de la turbina sonlos detallados en [4] y utilizados en [4] y [7]) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de100 milisegundos de duración. Un cortocircuito es una gran perturbación y su estudio requierela simulación en el dominio del tiempo en este caso del sistema de ecuaciones diferenciales nolineales.

Tabla 3.1. Datos del turbogenerador de la simulación

Red

Re = Rt +Rl

χe = χt + χlRt = 0.01 puχt = 0.14 puRl = 0.02puχl = 0.56 puχc = 0.28 pu

Rotor (factores de amortiguamiento)

Dhp = 0.1 puDip = 0.1 puDlpa = 0.1 puDlpb = 0.1 puDg = 0.1 puDe = 0.1 pu


33

Generador síncrono

T′

d0 = 4.3 sT ”d0 = 0.032 sLd = 1.79 puL

′

d = 0.169 puLd” = 0.135 puT

′q0 = 0.85 sT ”q0 = 0.05 sLq = 1.71 puL

′q = 0.228 pu

L”q = 0.2 pu

Ra = 0.0015 puLl = 0.13 pu

ExcitaciónKA = 50TA = 0.01 sTE = 0.002 s

Turbina

K = 25 puT1 = 0.2 sT3 = 0.3 sT4 = 0.3 sT5 = 7 sT6 = 0.2 s

La Figura 3.8, la Figura 3.9, la Figura 3.10 y la Figura 3.11 muestran la evolución de lavariación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja presión, delgenerador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulodel rotor del generador. Una conclusión se puede añadir a las ya obtenidas: Las variacionesde velocidad de las turbinas y del generador exhiben junto con la componente de frecuenciafundamental de 1 Hz (1 segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz deamplitud creciente.


34

Figura 3.8. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudode potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y

presión intermedia.

Figura 3.9. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudode potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.


35

Figura 3.10. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudode potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.

Figura 3.11. Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudode potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador.


36

3.3. Modelo lineal

Las ecuaciones del modelo lineal, obtenidas por linealización alrededor del punto defuncionamento de las ecuaciones (3.1) a (3.9), son:

Modelo mecánico del rotor de la turbina y el generador síncrono:

∂∆δhpδt

= ωo∆ωhp

∂∆δipδt

= ωo∆ωip

∂∆δlpaδt

= ωo∆ωlpa

∂∆δlpbδt

= ωo∆ωlpb

∂∆δgδt

= ωo∆ωg

(3.26)

2Hhp∂∆ωhp∂t

= ∆pm,hp −Khp−ip(∆δhp −∆δip)

2Hip∂∆ωip∂t

= ∆pm,ip −Khp−ip(∆δip −∆δhp)−Kip−lpa(∆δip −∆δlpa)

2Hlpa∂∆ωlpa∂t

= ∆pm,lpa −Kip−lpa(∆δlpa −∆δip)−Klpa−lpb(∆δlpa −∆δlpb)

2Hlp∂∆ωlp∂t

= ∆pm,lp −Klpa−lp(∆δlp −∆δlpa)−Klp−g(∆δlp −∆δg)

2Hg∂∆ωg∂t

= −Klpb−g(∆δg −∆δlpb)−∆te −Kg−e(δg − δe)

2He∂ωe∂t

= −Kg−e(δe − δg)

(3.27)

Modelo electromagnético del generador síncrono:[∆vd∆vq

]=

[Ra 0

Ra

] [−∆id−∆iq

]+

1

ωo

∂

∂t

[∆ψd∆ψq

]+∆ωg

[0 −11 0

] [ψd0

ψq0

]+ ωg0

[0 −11 0

] [∆ψd∆ψq

]efd = Rfd∆ifd +

1

ωo

∂∆ψfd∂t

0 = Rkd∆ikd +1

ωo

∂∆ψkd∂t

0 = Rkq1∆ikq1 +1

ωo

∂∆ψkq1∂t

0 = Rkq2∆ikq2 +1

ωo

∂∆ψkq2∂t

(3.28)


37

∆ψd∆ψq∆ψfd∆ψkq∆ψfq1∆ψfq2

=



−∆id−∆iq∆ifd∆ikd∆ikq1∆ikq2

(3.29)

∆te = −∆ψqiid0 + ∆ψdiq0 − ψq0∆id + ψd0∆iq (3.30)

Modelo del condensador de compensación serie:[∆id∆iq

]=

1

ωoC∂

∂t

[∆vcd∆vcq

]+ ωg0C

[0 −11 0

] [∆vcd∆vcq

]+ ∆ωgC

[0 −11 0

] [∆vcd0

∆vcq0

][∆vd∆vq

]=

[∆vcd∆vcq

]+

[∆v∞d∆v∞q

]∆v∞d = ∆v∞0 sin(δ0) + v∞0 cos(δ0)∆δ

∆v∞q = ∆v∞0 cos(δ0) +−v∞0 sin(δ0)∆δ

(3.31)

Modelo de la excitación en forma matricial:[∆xe1∆xe2

]=

[ −1TA

0KA

TE

−1TE

] [∆xe1∆xe2

]+

[−1TA

0

] [vtd0vt0

vtq0vt0

] [∆vtd∆vtq

]+

[1TA

0

]vref

efd =rfdLad

[1 0

] [∆xe1∆xe2

] (3.32)

[∆vtd∆vtq

]= −

([Re 0

Re

]+ ωg0

[0 −11 0

] [Le 0

Le

])[−∆itd−∆itq

]+∆ωg

[0 −11 0

] [Le 0

Le

] [−itd0

−itq0

]− 1

ω0

[Le 0

Le

]∂

∂t

[−∆itd−∆itq

]+

[∆vd∆vq

] (3.33)

Modelo de la turbina:∆xt1∆xt2∆xt3∆xt4∆xt5

=

−1T1

0 0 0 0KT3

−1T3

0 0 0

0 1T4

−1T4

0 0

0 0 1T5

−1T5

0

0 0 0 1T6

−1T6

∆xt1∆xt2∆xt3∆xt4∆xt5

+

−1T1

0000

∆ω +

1T1

0000

∆ωref

∆pm,hp∆pm,ip∆pm,lpa∆pm,lpa

=

0 0 Khp 0 00 0 0 Kip 00 0 0 0 Klpa

0 0 0 Klpb

∆xt1∆xt2∆xt3∆xt4∆xt5

(3.34)


38

Si las ecuaciones linealizadas de los componentes del modelo (3.26) a (3.34) se escriben juntasen forma de un sistema de ecuaciones algebraico diferencial quedan en la forma:[

I 0E3 0

] [∆x∆z

]=

[A1 A2

A3 A4

] [∆x∆z

]+

[B1

B2

]∆u (3.35)

y cuando se eliminan las variables algebraicas queda en la forma:

∆x = (I− A2(A4)−1(E3)−1)−1(A1 − A2(A4)−1A3)∆x

+(I− A2(A4)−1(E3)−1)−1(B1 − B2(A4)−1A3)∆u(3.36)

La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la respuestatemporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema de ecuacionesdiferenciales lineales (3.36). El modelo lineal está descrito por 26 variables de estado. La Tabla3.2 y la Tabla 3.3 muestran respectivamente los autovalores complejos y reales de la matrizde estados. La Tabla 3.2 muestra que la matriz de estados tiene nueve parejas de autovalorescomplejos conjugados. Una pareja tiene parte real positiva. La Tabla 3.3 muestra que la matrizde estados tiene ocho autovalores reales. Todos son negativos. En consecuencia, el autoanálisisde la matriz de estados confirma la inestabilidad detectada por la simulación del modelo lineal.

Tabla 3.2. Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo depotencia infinita con representación detallada del generador.

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -0.71168 591.2651 1.20 94.102 -0.1818 298.1801 0.06 47.463 -0.0234 202.7179 0.01 32.264 -6.9587 162.2485 4.28 25.825 0.8107 160.7780 -0.50 25.596 -0.6413 127.0745 0.50 20.227 -0.1099 99.4999 0.11 15.848 -0.1921 10.0339 1.91 1.609 -4.8273 0.2921 99.82 0.05

Tabla 3.3. Autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo depotencia infinita con representación detallada del generador.

Autovalores realesno Real Constante de tiempo (s)19 -0.1418 7.05020 -1.8129 0.55221 -3.3217 0.30122 -3.9311 0.25423 -8.4650 0.11824 -25.4258 0.03925 -32.3707 0.03126 -101.8509 0.01027 -499.9786 0.002


39

La Tabla 3.4 y la Tabla 3.5 detallan la asociación de los autovalores a los subsistemascomponentes del modelo del sistema. A ello se ha llegado por análisis de los factores departicipación (Tabla 3.6 y Tabla 3.8) y de las participaciones de los subsistemas componentes(Tabla 3.7 y Tabla 3.9) del modelo. El autovalor que resulta inestable está asociado al rotor: esuna oscilación torsional de la turbina de alta presión con la del cuerpo A de la turbina de bajapresión.

Tabla 3.4. Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de un generadorconectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.

Autovalores complejosno Subsistema1 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico supersíncrono2 Rotor: Torsional 13 Rotor: Torsional 24 Devnados estator-COndensador serie: Eléctrico supersíncrono5 Rotor: Torsional 36 Rotor: Torsional 47 Rotor: Torsional 58 Rotor: Electromecánico9 Turbina

Tabla 3.5. Asociación de los autovalores reales a los subsistemas del modelo de un generadorconectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.

Autovalores realesno Subsistema19 Turbina os amortiguadores amortiguadores amortiguadores aa20 Devanados amortiguadores amortiguadores21 Devanados amortiguadores amortiguadores22 Turbina os amortiguadores amortiguadores23 Devanado de campo24 Devanados amortiguadores25 Devanados amortiguadores26 Excitación27 Excitación


40

Tabla 3.6. Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalores complejosdel modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con

representación detallada del generador.

Factores de participaciónAutovalores complejos

Variable 1 2 3 4 5 6 7 8 9ψsd 0.253 0 0.001 0.228 0.028 0.001 0.003 0.015 0.002ψsq 0.247 0 0.001 0.225 0.034 0.001 0.002 0.006 0ψfd 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.081ψkd 0 0 0 0.003 0 0 0 0.005 0.014ψkq1 0 0 0 0.002 0 0 0 0.023 0.099ψkq2 0 0 0 0.001 0 0 0 0.008 0.023ωhp 0 0.128 0.023 0.028 0.214 0.016 0.075 0.016 0ωip 0 0.346 0 0.005 0.042 0.009 0.07 0.027 0ωlpa 0 0.025 0.073 0.018 0.107 0.003 0.13 0.149 0.001ωlpb 0 0.001 0.295 0.006 0.018 0.019 0.017 0.15 0.001ωg 0 0 0.11 0.012 0.057 0.017 0.163 0.143 0.001ωe 0 0 0.002 0.001 0.005 0.438 0.049 0.006 0δhp 0 0.128 0.023 0.028 0.214 0.016 0.075 0.016 0δip 0 0.346 0 0.005 0.042 0.009 0.07 0.027 0δlpa 0 0.025 0.073 0.018 0.107 0.003 0.13 0.149 0.001δlpb 0 0.001 0.295 0.006 0.018 0.019 0.017 0.15 0.001δg 0 0 0.11 0.01 0.061 0.017 0.164 0.153 0.059δe 0 0 0.002 0.001 0.005 0.438 0.049 0.006 0vcd 0.253 0 0.002 0.221 0.032 0 0.001 0.002 0vcq 0.247 0 0.001 0.229 0.031 0 0.002 0.005 0.001xexc1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.001xexc2 0 0 0 0 0 0 0 0.001 0.004xturb1 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.895xturb2 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.2xturb3 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.2xturb4 0 0 0 0 0 0 0 0 0.054xturb5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.727

Tabla 3.7. Participaciones de los subsistemas en los autovalores complejos del modelo linealizadode un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del

generador.


Variable 1 2 3 4 5 6 7 8 9Devanados estator 0.5 0 0.002 0.453 0.063 0.001 0.004 0.009 0.002Devanados de campo 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.081Devanados amortiguadores 0 0 0 0.005 0.001 0 0 0.026 0.109Rotor 0 1 1.005 0.11 0.886 1.002 1.007 0.99 0.052Condensador serie 0.5 0 0.003 0.45 0.062 0.001 0.003 0.003 0.001Excitación 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.005Turbina 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.96


41

Tabla 3.8. Módulo de los factores de participación de las variables en los autovalores reales delmodelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación

detallada del generador.

Factores de participaciónAutovalores reales

Variable 19 20 21 22 23 24 25 26 27ψsd 0 0.003 0.004 0.008 0 0 0.001 0 0ψsq 0 0 0 0.001 0.001 0 0 0 0ψfd 0 0.092 0.036 0.178 0.898 0.001 0.025 0.017 0ψkd 0 0.024 0.008 0.034 0.067 0.001 0.864 0.047 0ψkq1 0 0.507 0.793 0.722 0.085 0.202 0 0 0ψkq2 0 0.137 0.201 0.177 0.015 0.799 0.002 0 0ωhp 0 0.001 0 0 0.002 0 0 0 0ωip 0 0.001 0 0 0.003 0 0 0 0ωlpa 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.002 0 0ωlpb 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.003 0 0ωg 0 0.005 0 0.002 0.016 0 0.004 0 0ωe 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0δhp 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0δip 0 0.001 0 0 0.003 0 0 0 0δlpa 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.002 0 0δlpb 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.003 0 0δg 0.007 0.061 0 0.173 0.001 0 0 0 0δe 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0vcd 0 0 0 0.001 0.001 0 0 0 0vcq 0 0 0.004 0.006 0.001 0 0.004 0 0xexc1 0 0 0 0.001 0.002 0 0.023 0.004 1xexc2 0 0.002 0.001 0.007 0.105 0 0.161 0.94 0xturb1 0 0.038 0 0.662 0.012 0 0 0 0xturb2 0 0.08 0.021 1.183 0.008 0 0 0 0xturb30 0 0.08 0.021 1.183 0.008 0 0 0 0xturb4 0.992 0.027 0 0.077 0 0 0 0 0xturb5 0 0.01 0 0.242 0 0 0 00 0

Tabla 3.9. Participaciones de los subsistemas en los autovalores reales del modelo linealizado de ungenerador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.

Factores de participaciónAutovalores reales

Variable 19 20 21 22 23 24 25 26 27Devanados estator 0 0.004 0.003 0.008 0.001 0 0.001 0 0Devanados de campo 0 0.092 0.036 0.178 0.898 0.001 0.025 0.017 0Devanados amortiguadores 0 0.668 0.986 0.865 0.167 1 0.861 0.047 0Rotor 0.007 0.032 0 0.162 0.086 0 0.017 0 0Condensador serie 0 0 0.004 0.005 0.001 0 0.003 0 0Excitación 0 0.003 0.001 0.009 0.124 0.001 0.1985 0.936 1Turbina 0.993 0.215 0.042 1.87 0.028 0 0 0 0


42

Resulta muy interesante investigar el efecto de la variación del factor de compensación de lalínea (cociente entre la reactancia de la línea y la reactancia del condensador de compensaciónserie).

La Figura 3.12 muestra la variación del amortiguamiento de los modos eléctrico supersíncronoy subsíncrono al aumentar el factor de compensación. El amortiguamiento del modo supersín-crono no varía síginifcativamente al variar el factor de compensación. El amortiguamiento delmodo subsíncrono aumenta al aumentar el factor de compensación.

Figura 3.12. Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y subsíncronoal variar el factor de compensación de la línea.

Figura 3.13. Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor decompensación de la línea.


43

La Figura 3.13 presenta la variación del amortiguamiento de los modos torsionales alaumentar con el factor de compensación. El amortiguamiento del modo torsional 1 no estáafectado significativamente por el factor de compensación de la línea. Por el contrario, seaprecia claramente como existen factores de compensación que afectan el amortiguamiento elamortiguamiento de los modos 2, 3, 4 y 5. Para bajos factores de compensación son los modos 2y 3 los afectados, mientras que altos factores de compensación afecta el amortiguamiento de losmodos 4 y 5.

Figura 3.14. Variación del amortiguamiento de los modostorsionales al variar el factor de compensación de la línea.

La Figura ?? muestra la variación del amortiguamiento del modo electromecánico al aumentarcon el factor de compensación. Lógicamente aumenta al disminuir la reactancia equivalente dela línea de interconexión.


44

4 Modelo de generador de inducción do-blemente alimentado

4.1. Modelo no lineal

E STE capítulo presenta los modelos no lineales y lineales de un generador de induccióndoblemente alimentado conectado a un nudo de potencia infinita. También detalla el proceso

del cálculo de las condiciones iniciales y el método de ajuste de los reguladores.


4.2.1. Modelo de la máquina de inducción

El modelo no lineal de la máquina de inducción comprende dos componentes: el modeloelectromagnético de la máquina de inducción y el modelo electromecánico.

Figura 4.1. Circuito equivalente del generador de inducción doblemente alimentado.


45

El modelo electromagnético de la máquina de inducción en ejes director y transverso conrelación a unos ejes que giran a la velocidad de sincronismo viene dado por las ecuaciones enforma vectorial (ver circuito equivalente de la Figura 4.1):

~vs = Rs~is +

1

ω0

∂ ~ψs∂t

+ jωs ~ψs (4.1)

~vr = Rr~ir +

1

ω0

∂ ~ψr∂t

+ j(ωs − ωr)~ψr (4.2)

[~ψs~ψr

]=

[Lss LmLm Lrr

] [~is~ir

](4.3)

Si las ecuaciones (4.1)−(4.3) se escriben de forma rectangular queda:[vsdvsq

]=

[Rs 00 Rs

] [isdisq

]+

1

ω0

∂

∂t

[ψsdψsq

]+ ωs

[0 −11 0

] [ψsdψsq

](4.4)[

vrdvrq

]=

[Rr 00 Rr

] [irdirq

]+

1

ω0

∂

∂t

[ψrdψrq

]+ (ωs − ωr)

[0 −11 0

] [ψrdψrq

](4.5)[

ψsdψsq

]=

[Lss 00 Lss

] [isdisq

]+

[Lm 00 Lm

] [irdirq

](4.6)[

ψrdψrq

]=

[Lrr 00 Lrr

] [irdirq

]+

[Lm 00 Lm

] [isdisq

](4.7)

El modelo electromecánico viene dado por la ecuación:

2H∂ωr∂t

= te − tm (4.8)

siendo:

te = Im{~is · ~ψ∗s}= Im{(isd + jisq)(ψsd − jψsq)}= Im{(isdψsd − isqψsq) + j(isqψsd − isdψq)}= −ψsqisd + ψsdisq (4.9)

= Im{−~ir · ~ψ∗r} =

= Im{(ird + jirq)(ψrd − jψrq)}= Im{(irdψrd − is2qψrq) + j(irqψrd − irdψq)}ψrqird − ψrdirq


46

4.2.2. Control de las corrientes del convertidor rotor

El control del convertidor del rotor determina los valores de las tensiones en eje directo ytransverso a aplicar por el convertidor del rotor al rotor mismo.

Cuando se considera que un sistema de referencia solidario con el flujo del estator, el controldel convertidor del rotor se basa en dos principios:

La componente de eje directo de la corriente del rotor es colineal con el flujo del estator.Es la corriente de excitación de la máquina. Permite controlar la potencia reactiva.

La componente de eje transverso de la corriente del rotor está en cuadratura con el flujodel estator. Es la corriente de par de la máquina. Permite controlar el par.

En efecto, si:~ψs|ψsq=0 = ψsd + jψsq|ψsq=0 = ψsd (4.10)

entonces las componentes de la corriente de estator en eje directo y transverso se obtienenconsiderando la condición (4.10) en (4.6):

ψsq = 0 = Lss(isq)ψs + Lm(irq)

ψs

(isq)ψs = −Lm

Lss(irq)

ψs

ψsd = Lss(isd)ψs + Lm(ird)

ψs

(isd)ψs =

Lmism − Lm(ird)ψs

Lss

(4.11)

A partir de las ecuaciones (4.11) se comprueba que cuando se considera un sistema de referenciasolidario con el flujo del estator, la componente de la corriente del rotor en eje transverso controlael par electromagnético (4.9)

te = Im{~is · ~ψ∗s} = −ψsqisd + ψsdisq = −ψsdLmLss

(irq)ψs (4.12)

La componentes del flujo del rotor en eje directo y transverso se obtienen introduciendo lasecuaciones (4.11) en las ecuaciones (4.7)

(ψrd)ψs = Lrr(ird)

ψs + Lm(isd)ψs

= Lrr(ird)ψs + Lm

(Lmism − Lm(ird)

ψs

Lss

)=

(Lrr −

L2m

Lss

)(ird)

ψs +L2m

Lssism

= Lrr

(1− L2

m

LrrLss

)(ird)

ψs + LrrL2m

LrrLssism = Lrrσ(ird)

ψs + Lrr(1− σ)ism (4.13)

(ψrq)ψs = Lrr(irq)

ψs + Lm(isq)ψs = Lrr(irq)

ψs − L2m

Lss(irq)

ψs =

(Lrr −

L2m

Lss

)(irq)

ψs

= Lrr

(1− L2

m

LrrLss

)(irq)

ψs = Lrrσ(irq)ψs (4.14)


47

Si las expresiones de las componentes del flujo del rotor (4.14) se introducen en las ecuaciones(4.5) resultan en la forma:

(vrd)ψs = Rr(ird)

ψs +1

ω0

∂

∂t

(Lrrσ(ird)

ψs +L2m

Lssism

)− (ωs − ωr)Lrrσ(irq)

ψs

≈ Rr(ird)ψs + Lrrσ

1

ω0

∂(ird)ψs

∂t− (ωs − ωr)Lrrσ(irq)

ψs (4.15)

(vrq)ψs = Rr(irq)

ψs +1

ω0

∂

∂t

(Lrrσ(irq)

ψs)

+ (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)ψs + Lrrσism)

≈ Rr(irq)ψs + Lrrσ

1

ω0

∂(irq)ψs

∂t+ (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)

ψs + Lrrσism)

(4.16)

Definiendo unas variables auxiliares (v′

rd) y (v′rq), las dinámicas de las componentes de la

corriente del rotor en ejes directo y transverso quedan desacopladas y vienen dadas por lasecuaciones diferenciales:

v′

rd = (vrd)ψs + (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)

ψs + Lrrσism)

= Rr(ird)ψs + Lrrσ

1

ω0

∂(ird)ψs

∂t(4.17)

v′

rq = (vrq)ψs − (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)

ψs + Lrrσism)

= Rr(irq)ψs + Lrrσ

1

ω0

∂(irq)ψs

∂t

o por las funciones de transferencia:

(ird)ψs(s)

v′rd(s)

=1Rr

1 + 1ω0

LrrσRr

s

(irq)ψs(s)

v′rq(s)

=1Rr

1 + 1ω0

LrrσRr

s

(4.18)

Los lazos de control de las componentes de la corriente del rotor se presentan se muestran enla Figura 4.2. Cuando las componentes de la tensión del rotor en ejes directo y transverso sedespejan de las ecuaciones (4.17) quedan:

(vrd)ψs = v

′

rd − (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)ψs + Lrrσism)

(vrq)ψs = v

′

rq + (ωs − ωr)Lrrσ(irq)ψs

(4.19)

En consecuencia, las ecuaciones de los reguladores de corriente del convertidor del rotor son:

v′

rd =

(KP +

KI

s

)((i∗rd)

ψs − (ird)ψs)

(vrd)ψs = v

′


v′

rq =

(KP +

KI

s

)((i∗rq)

ψs − (irq)ψs)

(vrq)ψs = v

′


(4.20)


48

Figura 4.2. Lazos de control de las componentes de la corriente del rotor.

Los diagramas de bloques de los reguladores de corriente del convertidor del rotor se muestranen la Figura (4.3).

Figura 4.3. Diagramas de los reguladores de corriente del convertidor del rotor.

4.2.3. Control de velocidad del rotor

Se puede incorporar un lazo externo de control de velocidad que controle la consigna de lacomponente de la corriente del rotor en eje transverso. Las ecuaciones que gobiernan el citadolazo son:

2Hωs∂s

∂t= tm − te

te = −ψsdLmLss

(i∗rq)ψs

(4.21)

resultando la función de transferencia:

s(s)

i∗rq(s)= ψs

LmLss

1

2Hωss(4.22)


49

En consecuencia, la ecuación del regulador de velocidad es:

i∗rq =

(KP +

KI

s

)(s∗ − s) (4.23)

El diagrama de bloques del lazo de control de velocidad se muestran en la Figura 4.4.

Figura 4.4. Lazo de control de velocidad.

4.2.4. Modelo del convertidor de estator

Las ecuaciones del convertidor del estator en forma compleja son:

~vs = Ra~ia +

1

ω0

∂ ~ψa∂t

+ jωs ~ψa + ~va (4.24)

donde:~ψa = La~ia (4.25)

Si las ecuaciones (4.24) y (4.25) se escriben en forma rectangular quedan en la forma:[vsd0

]=

[Ra 00 Ra

] [iadiaq

]+

1

ω0

[La 00 La

]∂

∂t

[ψadψaq

]+ ωs

[0 −11 0

] [ψadψaq

]+

[vadvaq

](4.26)[

ψadψaq

]=

[La 00 La

] [iadiaq

](4.27)

4.2.5. Control de las corrientes del convertidor del estator

Si la ecuación (5.25) se substituye en la ecuación (4.26) queda en la forma:[vsd0

]=

[Ra 00 Ra

] [iadiaq

]+

1

ω0

[La 00 La

]∂

∂t

[ψadψaq

]+ ωs

[0 −11 0

] [ψadψaq

]+

[vadvaq

](4.28)

que operando resulta:

vsd = Raiad +1

ω0

La∂iad∂t− ωsLaiaq + vad

0 = Raiaq +1

ω0

La∂iaq∂t

+ ωsLaiad + vaq

(4.29)


50

Definiendo unas variables auxiliares (v′

ad) y (v′aq), las dinámicas de las componentes de la

corriente del convertidor del estator en ejes directo y transverso quedan desacopladas y vienendadas por las ecuaciones diferenciales:

v′

ad = vsd + ωsLaiaq − vad = Raiad +1

ω0

La∂iad∂t

(4.30)

v′

aq = −ωsLaiad − vaq = Raiaq +1

ω0

La∂iaq∂t

(4.31)

o por funciones de transferencia.

(iad)ψs(s)

v′ad(s)

=1Ra

1 + 1ω0

La

Ras

(iaq)ψs(s)

v′aq(s)

=1Ra

1 + 1ω0

La

Ras

(4.32)

Los lazos de control de las componentes de la corriente del convertidor del estator se presentanse muestran en la Figura 4.5

Figura 4.5. Lazos de control de las componentes de la corriente del convertidor del estator.

Cuando las componentes de la tensión del rotor en ejes directo y transverso se despejan delas ecuaciones (4.30) quedan:

vaq = −ωsLaiad − v′

aq

vad = vsd + ωsLaiaq − v′

ad

(4.33)

En consecuencia, las ecuaciones de los reguladores de corriente del convertidor del estator son:

v′

aq =

(KPa +

KIa

s

)((i)∗aq − iaq)


aq

v′

ad =

(KPa +

KIa

s

)((i)∗ad − iad


ad

(4.34)


51

Los diagramas de bloque de los reguladores de corriente del convertidor del estator se muestranen la Figura 4.6.

Figura 4.6. Diagramas de los reguladores de corriente del convertidor del estator.

4.2.6. Modelo del condensador de acoplamiento de los convertidores deestator y de rotor

La ecuación del balance de energía en el condensador de acoplamiento de los convertidoresde estator y de rotor es:

1

2C∂(v2

c )

∂t= pr − pa =

Re{~vr~i∗r} −Re{~va~i∗a} = (vrdird + vrqirq)− (vadiad + vaqiaq)

(4.35)

4.2.7. Control de la tensión del condensador de acoplamiento de losconvertidores de estator y de rotor

El control de la tensión del condensador se realiza a través de la componente de la corrientedel convertidor del estator en eje directo.

La ecuación del balance de energía en el condensador de acoplamiento de los convertidoresde estator y de rotor (??) se puede expresar en la forma:

1

2C∂(v2

c )

∂t= pr − pa = pr −Re{~va~i∗a} = pr − vsdiad (4.36)

Suponiendo que:

la variable a controlar es el cuadrado de la tensión del condensador

la potencia activa en el convertidor del rotor es una perturbación y que

la tensión del estator es constante


52

entonces la función de transferencia a considerar

v2C(s)

i∗ad(s)= −vsd

2

Cs(4.37)

y el lazo de control de la tensión del condensador se muestra en la Figura 4.7. En consecuencia,

Figura 4.7. Lazo de control de la tensión del condensador de acoplamiento de los convertidores deestator y de rotor.

la ecuación del regulador de la tensión del condensador de acoplamiento es:

i∗ad =

(KP +

KI

s

)((v2

C)∗ − v2C) (4.38)

4.2.8. Resumen de las ecuaciones diferenciales y algebraicas

Estator de la máquina de inducción:

∂

∂t

[ψsdψsq

]= −ω0

[Rs 00 Rs

] [isdisq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [ψsdψsq

]+ ω0

[vsdvsq

][ψsdψsq

]=

[Lss 00 Lss

] [isdisq

]+

[Lm 00 Lm

] [irdirq

] (4.39)

Convertidor de estator:

∂

∂t

[ψadψaq

]= −ω0

[Ra 00 Ra

] [iadiaq

]− ω0ωs

[0 −10 1

] [ψadψaq

]+ ω0

[vadvaq

]− ω0

[vadvaq

][ψadψaq

]=

[La 00 La

] [iadiaq

]

Dinámica del rotor:2H

∂ωr∂t

= te − tm (4.40)

Balance de energía en el condensador:

∂(v2c )

∂t=

2

C(pr − pa)

pr = vrdird + vrqirq

pa = vadiad + vaqiaq

(4.41)


53

Control del convertidor del estator (componentes de la corriente en eje directo y transversoy tensión en el condensador). En forma de funciones de transferencia:

v′

aq =

(KPa +

KIa

s

)((i)∗aq − iaq)


aq

v′

ad =

(KPa +

KIa

s

)((i)∗ad − iad)


ad

i∗ad =

(KP +

KI

s

)((v2

C)∗ − v2C)

(4.42)

Figura 4.8. Representación en espacio de estado de un regulador PI.

Control del convertidor del estator (componentes de la corriente del convertidor del estatoren eje directo y transverso y tensión en el condensador). En forma de ecuaciones de espaciode estado (la Figura 4.8 muestra la representación en espacio de estado del regulador PIelegida):

xa1 = KIa(i∗aq − iaq)

v′

aq = xa1 +KPa((i)∗aq − iaq)


aq

xa2 = KIa(i∗ad − iad)

v′

ad = xa2 +KPa((i)∗ad − iad)


ad

xa3 = KIv((v2C)∗ − v2

C)

i∗ad = xa3 +KPv((v2C)∗ − v2

C)

(4.43)

Rotor de la máquina de inducción:

∂

∂t

[ψrdψrq

]= −ω0

[Rr 00 Rr

] [irdirq

]vs− ω0sωs

[0 −11 0

] [ψrdψrq

]+ ω0

[vrdvrq

]vs[ψrdψrq

]=

[Lrr 00 Lrr

] [irdirq

]vs+

[Lm 00 Lm

] [isdisq

] (4.44)


54

Convertidor del rotor (componentes de la corriente en eje directo y transverso del rotor yde la velocidad en caso de considerar el control de velocidad). En forma de funciones detransferencia:

v′

rd =

(KP +

KI

s

)((i∗rd)

ψs − (ird)ψs)

(vrd)ψs = v

′


v′

rq =

(KP +

KI

s

)((i∗rq)

ψs − (irq)ψs)

(vrq)ψs = v

′


i∗rq =

(KP +

KI

s

)(s∗ − s)

(4.45)

ism =ψsLm

=

√(ψsd)2 + (ψsq)2

Lm

|~ψs| =√

(ψsd)2 + (ψsq)2

φ = arctan

(ψsqψsd

)[vrdvrq

]vs=

[cos(φ) − sin(φ)sin(φ) cos(φ)

] [vrdvrq

]ψs

[irdirq

]vs=


] [irdirq

]ψs

(4.46)

Convertidor del rotor (componentes de la corriente en eje directo y transverso del rotor yde la velocidad en caso de considerar el control de velocidad). En forma de ecuaciones deespacio de estado:

xrd = KIr((i∗r1)ψs − (ird)

ψs)

v′

rd = xr1 +KP ((i∗rd)ψs − (ird)

ψs)

(vrd)ψs = v

′

rd − (ωs − ωr)Lrrσ(irq)ψs

xrq = KIr((i∗r2)ψs − (irq)

ψs)

v′

rq = xr2 +KP ((i∗rq)ψs − (irq)

ψs)

(vrd)ψs = v

′

rd + (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)ψs + Lrrσism)

xs = KIs(s∗ − s)

i∗rq = xs +KPs(s∗ − s)

(4.47)


55

ism =ψsLm

=

√(ψsd)2 + (ψsq)2

Lm

|~ψs| =√

(ψsd)2 + (ψsq)2

φ = arctan

(ψsqψsd

)[vrdvrq

]vs=


] [vrdvrq

]ψs

[irdirq

]vs=


] [irdirq

]ψs

(4.48)

4.2.9. Forma condensada de las ecuaciones diferenciales y algebraicas

Las ecuaciones diferenciales y algebraicas se pueden escribir en la siguiente forma compacta:

~x = G(~x, ~z, ~u)

0 = H(~x, ~z, ~u)(4.49)

donde:

Sin control de velocidad:

~x T =[ ψsd ψsq ψrd ψrq ψad ψaq s v2C xa1 xa2 xa3 xr1 xr2 ]

~z T =[ isd isq ird irq iad iaq vad vaq i∗ad ism ψs φ (vrd)ψs (vrq)

ψs

vrd vrq (ird)ψs (irq)

ψs te pr pa ]

~u T =[ vsd vsq tm i∗ad (v2C)∗ (i∗rd)

ψs ](4.50)

Con control de velocidad:

~x T =[ ψsd ψsq ψrd ψrq ψad ψaq s v2C xa1 xa2 xa3 xr1 xr2 xs ]


ψs

vrd vrq (ird)ψs (irq)

ψs te pr pa (i∗rq)ψs ]

~u T =[ vsd vsq tm i∗ad (v2C)∗ (i∗rd)

ψs s∗ ](4.51)

4.3. Cálculo de las condiciones iniciales

El cálculo de las condiciones iniciales del sistema de ecuaciones diferenciales y algebraicas(5.26) se realiza en cuatro etapas. En las tres primeras etapas se determinan los valores inicialesde las variables de estado y algebraicas que describen el comportamiento del generador deinducción doblemente alimentado. En la cuarta etapa se determinan los valores iniciales de lasvariables de estado de los reguladores y los valores iniciales de las variables de entrada.


56

4.3.1. Primera etapaDatos:

vsd vsq id iq (ird)ψs (irq)

ψs (4.52)

Incógnitas:isd isq ψsd ψsq iad iaq ird irq φ (4.53)

Ecuación:id = isd + iad

iq = isq + iaq[vsdvsq

]=

[Rs 00 Rs

] [isdisq

]+ ωs

[0 −11 0

] [ψsdψsq

][ψsdψsq

]=

[Lss 00 Lss

] [isdisq

]+

[Lm 00 Lm

] [irdirq

]φ = arctan

(ψsqψsd

)[irdirq

]vs=


] [irdirq

]ψs

(4.54)

Resulta un sistema de 9 ecuaciones no lineales con 9 incógnitas.

4.3.2. Segunda etapaEn la segunda etapa los datos, las incógnitas y las ecuaciones son:

Datos:vsd vsq iad iaq ird irq (4.55)

Incógnitas:vad vaq ψrd ψrq (4.56)

Ecuaciones: [ψrdψrq

]=

[Lrr 00 Lrr

] [irdirq

]+

[Lm 00 Lm

] [isdisq

][vsdvsq

]=

[Ra 00 Ra

] [iadiaq

]+ ωs

[0 −11 0

] [La 00 La

] [iadiaq

]+

[vadvaq

] (4.57)

Resulta un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas.

4.3.3. Tercera etapaEn la tercera etapa los datos, las incógnitas y las ecuaciones son:

Datos:vad vaq iad iaq ird irq ψrd ψrq (4.58)

Incógnitas:vrd vrq s (4.59)


57

Ecuaciones:vrdird + vrqirq = vadiad + vaqiaq[

vrdvrq

]=

[Rr 00 Rr

] [irdirq

]+ sωs

[0 −11 0

] [ψrdψrq

] (4.60)

Resulta un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas.

4.3.4. Cuarta etapa

En la cuarta etapa se determinan los valores iniciales de las variables de estado de losreguladores y los valores iniciales de las variables de entrada.

iaq = i∗aq

xa1 = −vaq − ωsLaiadi∗ad = iad|

xa2 = −vad + ωsLaiaq + vsd

(v2C)∗ = v2

C

(i∗rd)ψs = (ird)

ψs

xr1 = (vrd)ψs + (ωs − ωr)Lrrσ(irq)

ψs

(i∗rq)ψs = (irq)

ψs

xr2 = (vrq)ψs − (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)

ψs + Lrrσism)

s∗ = s

xs = (i∗rq)ψs

tm = te

(4.61)

4.4. Diseño de los reguladores PI

Los reguladores PI para los sistemas de primer orden que han aparecido (control de lascomponentes de la corriente de los convertidores del estator y del rotor, control de la tensión delcondensador y control de velocidad) se diseñan de tal forma que los polos de lazo cerrado seancomplejos conjugados con un amortiguamiento y una pulsación natural deseadas.

Se han presentado dos casos de sistemas de primer orden:

P (s) =K

1 + sT(4.62)

P (s) =K

sT(4.63)


58

En el primer caso, la función de transferencia tras la inclusión del regulador PI es (ver Figura4.9):

y(s)

u(s)=

R(s)P (s)

1 +R(s)P (s)=

(KP + KI

s

)K

1+sT

1 +(KP + KI

s

)K

1+sT

=

(KP + KI

s

)K

1 + sT +(KP + KI

s

)K

=(Kps+KI)K

s+ s2T +KPKs+KIK

=(Kps+KI)

KT

s2 +(

1+KPKT

)s+ KIK

T

=(Kps+KI)

KT

s2 + 2ζωn + ω2n

(4.64)

Por tanto, los parámetros del regulador PI se calculan como:

1 +KPK

T= 2ζωn ⇒ KP =

2ζωnT − 1

K

ω2n =

KIK

T⇒ KI =

ω2nT

K

(4.65)

Figura 4.9. Diseño de un regulador PI para un sistema de primer orden.

En el segundo caso, la función de transferencia tras la inclusión del regulador PI es (verFigura 4.10):

y(s)

u(s)=

R(s)P (s)

1 +R(s)P (s)=

(KP + KI

s

)KsT

1 +(KP + KI

s

)KsT

=

(KP + KI

s

)sT +

(KP + KI

s

) =(Kps+KI)

s2T +KP s+KI

=KP

Ts+ KI

T

s2 + KP

Ts+ KI

T

=KP

Ts+ KI

T

s2 + 2ζωn + ω2n

(4.66)

Por tanto, los parámetros del regulador PI se calculan como:

KP

T= 2ζωn ⇒ KP = 2ζωnT

ω2n =

KI

T⇒ KI = ω2

nT

(4.67)


59

Figura 4.10. Diseño de un regulador PI para un integrador.

4.5. Modelo linealEl modelo lineal del generador de inducción doblemente alimentado se obtiene por

linealización alrededor del punto de funcionamiento del sistema de ecuaciones diferenciales yalgebraicas no lineales (5.26).

El resultado de la linealización de cada una de las ecuaciones diferenciales y algebraicas es:

Ecuaciones diferenciales:

∂

∂t

[∆ψsd∆ψsq

]= −ω0

[Rs 00 Rs

] [∆isd∆isq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [∆ψsd∆ψsq

]+ ω0

[∆vsd∆vsq

]∂

∂t

[∆ψrd∆ψrq

]= −ω0

[Rr 00 Rr

] [∆ird∆irq

]−ω0∆sωs

[0 −11 0

] [ψrd0

ψrq0

]− ω0s0ωs

[0 −11 0

] [∆ψrd∆ψrq

]+ ω0

[∆vrd∆vrq

]∂

∂t

[∆ψad∆ψaq

]= −ω0

[Ra 00 Ra

] [∆iad∆iaq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [∆ψad∆ψaq

]+ ω0

[vsdvsq

]− ω0

[vadvaq

]∂∆s

∂t=

1

2Hωs(∆te −∆tm)

∂(v2c )

∂t=

2

C(∆pr −∆pa)

∆xa1 = KIa(∆i∗aq −∆iaq)

∆xa2 = KIa(∆i∗ad −∆iad)

∆xa3 = KIa(∆(v2c )∗ −∆(v2

c ))

∆xrd = KIr(∆(i∗r1)ψs −∆(ird)ψs)

∆xrq = KIr(∆(i∗r2)ψs −∆(irq)ψs)

∆xs = KIs(s∗ − s)

(4.68)


60

Ecuaciones algebraicas:

−

ψsdψsqψrdψrqψadψaq

+

Lss 0 Lm 0 0 00 Lss 0 Lm 0 0Lm 0 Lrr 0 0 00 0 0 Lrr 0 00 0 0 0 La 00 0 0 0 0 La

idsiqsidriqriadiaq

=

000000

−∆vaq −∆xa1 −KPa(∆i

∗aq −∆iaq)− ωsLa∆iad

−∆vad −∆xa2 −KPa(∆i∗ad −∆iad) + ωsLa∆iad + ∆vsd = 0

−∆i∗ad∆xa3 +KPv(∆(v2c )∗ −∆(v2

c )) = 0

−(∆vrd)ψs + ∆xr1 +KP ((∆i∗rd)

ψs − (∆ird)ψs)

−(−∆ωr)Lrrσ(∆irq0)ψs − (−ωr0Lrrσ(∆irq)ψs)) = 0

−(∆vrq)ψs + ∆xr2 +KP ((∆i∗rq)

ψs − (∆irq)ψs)

+(−∆ωr)(Lrrσ(∆ird0)ψs) + Lrr(1− σ)ism0) + (−ωr0)(Lrrσ(∆ird)ψs + Lrr(1− σ)∆ism) = 0

−(i∗rq)ψs) + xs +KPs(s

∗ − s) = 0

∆ism =∆ψsLm

−ψs0∆ψs + ψsd0∆ψsd + ψsq0∆ψsq = 0

− 1

cos2(φ)∆φ+

∆ψsqψsd0

− ψsq0ψ2sd0

∆ψsd = 0

−[∆vrd∆vrq

]vs+

[cos(φ0) − sin(φ0)sin(φ0) cos(φ0)

] [∆vrd∆vrq

]ψs

+

[− sin(φ0) − cos(φ0)cos(φ0) − sin(φ0)

] [∆vrd0

∆vrq0

]ψs

∆φ =

[00

]

−[∆ird∆irq

]vs+


] [∆ird∆irq

]ψs

+


] [∆ird0

∆irq0

]ψs

∆φ =

[00

]−∆te + (∆ψqrird0 + ∆irdψrq0 −∆ψrdirq0 −∆irqψrd0) = 0

−∆pr + (ird0∆vrd + vrd0∆ird + irq0∆vrq + vrq0∆irq) = 0

−∆pa + (iad0∆vad + vad0∆iad + iaq0∆vaq + vaq0∆iaq) = 0(4.69)


61


62

5 Resonancia en generadores de induccióndoblemente alimentados

E STE capítulo presenta los modelos no lineales y lineales de un generador de induccióndoblemente alimentado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea

compensada serie para el estudio de la resonancia subsíncrona. Este capítulo también muestraresultados tanto de la simulación no lineal en el dominio del tiempo como del análisis modal delmodelo lineal.


El modelo del generador de inducción doblemente alimentado para el estudio de la resonanciasubsíncrona resulta de ampliar el modelo electromagnético de la máquina de induccióndesarrollado en el capítulo 4. En efecto, el circuito equivalente de la Figura 4.1 se amplíaincluyendo la representación del filtro en bornes de la máquina, la impedancia de conexión a redy del condensador serie tal y como se muestra en la Figura 5.1.

Figura 5.1. Circuito equivalente del generador de inducción doblemente alimentado para elestudio de la resonancia subsíncrona.

Las ecuaciones en forma vectorial que hay que añadir son:

~ie =~is +~ia +~if (5.1)

~vs = Rf~if + VCf

(5.2)

~if = Cf1

ω0

∂~vCf

∂t+ jωsCf~vCf

(5.3)


63

~ve = Re~ie +

1

ω0

∂ ~ψe∂t

+ jωs ~ψe + ~vs (5.4)

~v∞ = ~ve + ~vCs (5.5)

~ie = Cs1

ω0

∂~vCs

∂t+ jωsCs~vCs

(5.6)

donde:~ψe = Le~ie (5.7)

Si las ecuaciones (6.23)−(5.7) se escriben de forma rectangular queda:[iedieq

]=

[isdisq

]+

[iadiaq

]+

[ifdifq

](5.8)

[vsdvsq

]=

[Rf 00 Rf

] [ifdifq

]+

[vCfd

vCf q

](5.9)[

ifdifq

]=

1

ω0

[Cf 00 Cf

]∂

∂t

[vCfd

vCf q

]+ ωsCf

[0 −11 0

] [vCfd

vCf q

](5.10)[

vedveq

]=

[Re 00 Re

] [iedieq

]+

1

ω0

∂

∂t

[ψedψeq

]+ ωs

[0 −11 0

] [ψedψeq

]+

[vsdvsq

](5.11)[

iCsd

iCsq

]=

1

ω0

[Cs 00 Cs

]∂

∂t

[vCsd

vCsq

]+ ωsCs

[0 −11 0

] [vCsd

vCsq

](5.12)[

ψedψeq

]=

[Le 00 Le

] [iedieq

](5.13)

5.1.1. Resumen de las ecuaciones diferenciales y algebraicas

Estator de la máquina de inducción:

∂

∂t

[ψsdψsq

]= −ω0

[Rs 00 Rs

] [isdisq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [ψsdψsq

]+ ω0

[vsdvsq

][ψsdψsq

]=

[Lss 00 Lss

] [isdisq

]+

[Lm 00 Lm

] [irdirq

] (5.14)

Convertidor de estator:

∂

∂t

[ψadψaq

]= −ω0

[Ra 00 Ra

] [iadiaq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [ψadψaq

]+ ω0

[vsdvsq

]− ω0

[vadvaq

][ψadψaq

]=

[La 00 La

] [iadiaq

](5.15)

Dinámica del rotor:2H

∂ωr∂t

= te − tm (5.16)


64

Balance de energía en el condensador:

∂(v2c )

∂t=

2

C(pr − pa)

pr = vrdird + vrqirq

pa = vadiad + vaqiaq

(5.17)

Control del convertidor del estator (componentes de la corriente en eje directo y transversoy tensión en el condensador). En forma de funciones de transferencia:

v′

aq =

(KPa +

KIa

s

)((i)∗aq − iaq)


aq

v′

ad =

(KPa +

KIa

s

)((i)∗ad − iad)


ad

i∗ad =

(KP +

KI

s

)((v2

C)∗ − v2C)

(5.18)

Control del convertidor del estator (componentes de la corriente del convertidor del estatoren eje directo y transverso y tensión en el condensador). En forma de ecuaciones de espaciode estado (la Figura 4.8 muestra la representación en espacio de estado del regulador PIelegida):

xa1 = KIa(i∗aq − iaq)

v′

aq = xa1 +KPa((i)∗aq − iaq)


aq

xa2 = KIa(i∗ad − iad)

v′

ad = xa2 +KPa((i)∗ad − iad)


ad

xa3 = KIv((v2C)∗ − v2

C)

i∗ad = xa3 +KPv((v2C)∗ − v2

C)

(5.19)

Rotor de la máquina de inducción:

∂

∂t

[ψrdψrq

]= −ω0

[Rr 00 Rr

] [irdirq

]vs− ω0sωs

[0 −11 0

] [ψrdψrq

]+ ω0

[vrdvrq

]vs[ψrdψrq

]=

[Lrr 00 Lrr

] [irdirq

]vs+

[Lm 00 Lm

] [isdisq

] (5.20)


65

Convertidor del rotor (componentes de la corriente en eje directo y transverso del rotor yde la velocidad en caso de considerar el control de velocidad). En forma de funciones detransferencia:

v′

rd =

(KP +

KI

s

)((i∗rd)

ψs − (ird)ψs)

(vrd)ψs = v

′


v′

rq =

(KP +

KI

s

)((i∗rq)

ψs − (irq)ψs)

(vrq)ψs = v

′


i∗rq =

(KP +

KI

s

)(s∗ − s)

(5.21)

ism =ψsLm

=

√(ψsd)2 + (ψsq)2

Lm

|~ψs| =√

(ψsd)2 + (ψsq)2

φ = arctan

(ψsqψsd

)[vrdvrq

]vs=


] [vrdvrq

]ψs

[irdirq

]vs=


] [irdirq

]ψs

(5.22)

Convertidor del rotor (componentes de la corriente en eje directo y transverso del rotor yde la velocidad en caso de considerar el control de velocidad). En forma de ecuaciones deespacio de estado:

xrd = KIr((i∗r1)ψs − (ird)

ψs)

v′

rd = xr1 +KP ((i∗rd)ψs − (ird)

ψs)

(vrd)ψs = v

′

rd − (ωs − ωr)Lrrσ(irq)ψs

xrq = KIr((i∗r2)ψs − (irq)

ψs)

v′

rq = xr2 +KP ((i∗rq)ψs − (irq)

ψs)

(vrd)ψs = v

′

rd + (ωs − ωr)(Lrrσ(ird)ψs + Lrrσism)

xs = KIs(s∗ − s)

i∗rq = xs +KPs(s∗ − s)

(5.23)


66

ism =ψsLm

=

√(ψsd)2 + (ψsq)2

Lm

|~ψs| =√

(ψsd)2 + (ψsq)2

φ = arctan

(ψsqψsd

)[vrdvrq

]vs=


] [vrdvrq

]ψs

[irdirq

]vs=


] [irdirq

]ψs

(5.24)

Filtro y conexión a la red:[iedieq

]=

[isdisq

]+

[iadiaq

]+

[ifdifq

][vsdvsq

]=

[Rf 00 Rf

] [ifdifq

]+

[vCfd

vCf q

]∂

∂t

[vCfd

vCf q

]= ω0

[1Cf

0

0 1Cf

]([ifdifq

]− ωsCf

[0 −11 0

] [vCfd

vCf q

])∂

∂t

[ψedψeq

]= ω0

([vedveq

]−[Re 00 Re

] [iedieq

]− ωs

[0 −11 0

] [ψedψeq

]−[vsdvsq

])∂

∂t

[vCsd

vCsq

]= ω0

[1Cs

0

0 1Cs

]([iedieq

]− ωsCs

[0 −11 0

] [vCsd

vCsq

])[ψedψeq

]=

[Le 00 Le

] [iedieq

]

(5.25)

5.1.2. Forma condensada de las ecuaciones diferenciales y algebraicas

Las ecuaciones diferenciales y algebraicas se pueden escribir en la siguiente forma compacta:

~x = G(~x, ~z, ~u)

0 = H(~x, ~z, ~u)(5.26)


67

donde:

~x T =[ ψsd ψsq ψrd ψrq ψad ψaq s v2C xa1 xa2 xa3 xr1 xr2 xs vCfd vCf q

ψed ψeq vCsd vCsq ]


ψs vrd vrq

(ird)ψs (irq)

ψs te pr pa (i∗rq)ψs vsd vsq ied ieq iCsd iCsq ved veq ]

~u T =[ vs∞d v∞q tm i∗ad (v2C)∗ (i∗rd)

ψs s∗ ](5.27)

5.2. Parámetros y condiciones iniciales

5.2.1. Parámetros

Tabla 5.1. Parámetros utilizados en la simulación del modelo no lineal y en el modelo linealizado.

Red f0 = 50 Hz

Generador de inducción

rs = 0,01ls = 0,15rr = 0,01lr = 0,15lm = 5h = 3

Filtro serie del convertidorde estator

ra = 0,06la = 0,6

Condensador de acoplamientode los convertidores de rotor y estator c = 0,05

Impedancia de conexión a red re = 0,025le = 0,25

Condensador seriexc = −0,02 x− c = −0,75

cs = − 1

xc

Filtro paralelo

n = 35

χth = 11

ls+lr+ 1

la+ 1

le

= − 1

xccf = 1

xth·n2

ζf = 0,9

rf = 2ζf√

xthcf

Reguladores PI. Lazo interior ωn = 125 rad/sζ = 0,7

Reguladores PI. Lazo exterior ωn = 12,5 rad/sζ = 0,7


68

5.2.2. Condiciones iniciales

Tabla 5.2. Inicialización de las variables eléctromecánicas

Estator

vsd = 1,0vsq = 0,0isd = −1,0isq = 0,0ψsd = 0ψsd = −1

Rotor

vrd = 1,0vrq = 0,0φ = π

2

s = 0,1ird = 1,0irq = 0,0

Filtro serie del convertidorde estator

iad = 1,0iaq = 0,0

Condensador de acoplamientode los convertidores de rotor y estator v2

c = 1,0

Impedancia de conexión a red ied = −1,0ieq = 0,0

5.3. Simulación del modelo no lineal

5.3.1. Perturbación en la corriente reactiva del convertidor de estator

5.3.1.1. Factor de compensación del 8 %

Se ilustra la respuesta del modelo no lineal de un generador de inducción doblementealimentado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie.Se aplica escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor de estator. La Figura5.2 muestra la evolución del deslizamiento. La Figura 5.3 muestra la evolución de la tensióndel condensador. La Figura 5.4 muestra la evolución de las componentes de la corriente deconvertidor de estator. La Figura 5.5 muestra la evolución de las componentes de la corriente dela red.

Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y delas componentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria creciente deaproximadamente 40 Hz, que es una frecuencia subsíncrona. En efecto, las frecuenciassupersíncrona f1 y subsíncrona f2 que aparecen en una línea compensada serie se calculancomo:

f1,2 = f0(1± fn)

fn =1√LeCs

=

√χcχe

(5.28)


69

En este caso resulta ser:

χe = 0,25 p.u. χc = −0,02 p.u.

f1 = f0 + fn = 64,1421 Hz

f2 = f0 − fn = 35,8579 Hz

fn = f0 ·√χcχe

= 50 ·√

0,02

0,25= 50 · 0,2828 = 14,142 Hz

(5.29)

Las corrientes del convertidor de estator no muestran la componente oscilatoria crecientede aproximadamente 40 Hz. El deslizamiento y la tensión del condensador tienen que volver alvalor del referencia anterior a la aplicación de la perturbación por la acción de los controles develocidad y de tensión.

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

-4.31

-4.305

-4.3

-4.295

-4.29

-4.285

-4.28

-4.275

Des

lizam

ient

o (%

)

Figura 5.2. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator: Deslizamiento.


70

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

0.996

0.9965

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

Ten

sión

del

con

dens

ador

(p.

u)

Figura 5.3. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator: Tensión del condensador.

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq

Figura 5.4. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator: Componentes de la corriente del convertidor del estator.


71

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2C

orri

ente

s i

e (p.

u)

ied

ieq

Figura 5.5. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator: Componentes de la corriente de red.


A continuación, se eleva el grado de compensación de la línea hasta el 30 %. Para este caso,las frecuencias supersíncrona y subsíncrona que se darán serán: En nuestro caso resulta ser:

χe = 0,25 p.u. χc = −0,075 p.u.

f1 = f0 + fn = 77,386 Hz

f2 = f0 − fn = 22,614 Hz

fn = f0 ·√χcχe

= 50 ·√

0,02

0,25= 50 · 0,54772 = 27,386 Hz

(5.30)

En este caso, las oscilaciones subsíncronas presentan una frecuencia menor del entornode los 20 Hz, y se aprecian las oscilaciones tanto en el deslizamiento como en la tensión delcondensador y las orrientes del convertidor de estator y de red. Además, el amortiguamiento delas mismas es mucho menor, ya que en un tiempo más reducido se alcanzan valores mucho máselevados.


72

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

-4.35

-4.3

-4.25

-4.2

-4.15

-4.1

Des

lizam

ient

o (%

)


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

Ten

sión

del

con

dens

ador

(p.

u)



73

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2C

orri

ente

s i

a (p.

u)

iad

iaq


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq



74

5.4. Perturbación en par mecánico de la turbina eólica

5.4.1. Factor de compensación del 8 %Se ilustra la respuesta del modelo no lineal de un generador de inducción doblemente

alimentado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie. Seaplica un escalón en el par mecánico en la turbina eólica. La Figura 5.10 muestra la evolucióndel deslizamiento. La Figura 5.11 muestra la evolución de la tensión del condensador. La Figura5.12 muestra la evolución de las componentes de la corriente de convertidor de estator. La Figura5.13 muestra la evolución de las componentes de la corriente de la red.

Las corrientes del convertidor de estator no muestran la componente oscilatoria creciente deaproximadamente 40 Hz.. El deslizamiento y la tensión del condensador tienen que volver alvalor del referencia anterior a la aplicación de la perturbación por la acción de los controles develocidad y de tensión.

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

-4.29

-4.28

-4.27

-4.26

-4.25

-4.24

-4.23

Des

lizam

ient

o (%

)



75

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)


0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq



76

0 0.5 1 1.5Tiempo (s)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq


5.4.2. Factor de compensación del 30 %A continuación, se eleva el grado de compensación de la línea hasta el 30 %. La Figura

5.14 muestra la evolución del deslizamiento. La Figura 5.15 muestra la evolución de la tensióndel condensador. La Figura 5.16 muestra la evolución de las componentes de la corriente deconvertidor de estator. La Figura 5.17 muestra la evolución de las componentes de la corrientede la red.

Se aprecia la componente oscilatoria creciente de aproximadamente 20 Hz en el deslizamientoy las corrientes inyectadas en la red. También se observa la inestabilidad en la tensión delcondensador y en las corrientes del convertidor del estator, pero sin apreciarse la componentesubsíncrona claramente.


77

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

-4.35

-4.3

-4.25

-4.2

-4.15

-4.1

-4.05D

esliz

amie

nto

(%)


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

Ten

sión

del

con

dens

ador

(p.

u)



78

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Tiempo (s)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq


a


79

5.5. Modelo linealEl resultado de la linealización de cada una de las ecuaciones diferenciales y algebraicas es:

Ecuaciones diferenciales:

∂

∂t

[∆ψsd∆ψsq

]= −ω0

[Rs 00 Rs

] [∆isd∆isq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [∆ψsd∆ψsq

]+ ω0

[∆vsd∆vsq

]∂

∂t

[∆ψrd∆ψrq

]= −ω0

[Rr 00 Rr

] [∆ird∆irq

]

−ω0∆sωs

[0 −11 0

] [ψrd0

ψrq0

]− ω0s0ωs

[0 −11 0

] [∆ψrd∆ψrq

]+ ω0

[∆vrd∆vrq

]∂

∂t

[∆ψad∆ψaq

]= −ω0

[Ra 00 Ra

] [∆iad∆iaq

]− ω0ωs

[0 −11 0

] [∆ψad∆ψaq

]+ ω0

[vsdvsq

]− ω0

[vadvaq

]∂∆s

∂t=

1

2Hωs(∆te −∆tm)

∂(v2c )

∂t=

2

C(∆pr −∆pa)

∆xa1 = KIa(∆i∗aq −∆iaq)

∆xa2 = KIa(∆i∗ad −∆iad)

∆xa3 = KIa(∆(v2c )∗ −∆(v2

c ))

∆xrd = KIr(∆(i∗r1)ψs −∆(ird)ψs)

∆xrq = KIr(∆(i∗r2)ψs −∆(irq)ψs)

∆xs = KIs(s∗ − s)

∂

∂t

[∆vCfd

∆vCf q

]= ω0

[1Cf

0

0 1Cf

]([∆ifd∆ifq

]− ωsCf

[0 −11 0

] [∆vCfd

∆vCf q

])∂

∂t

[∆ψed∆ψeq

]= ω0

([∆ved∆eq

]−[Re 00 Re

] [∆ied∆ieq

]− ωs

[0 −11 0

] [∆ψed∆ψeq

]−[∆vsd∆vsq

])∂

∂t

[∆vCsd

∆vCsq

]= ω0

[1Cs

0

0 1Cs

]([∆ied∆ieq

]− ωsCs

[0 −11 0

] [∆vCsd

∆vCsq

])(5.31)


80

Ecuaciones algebraicas:ψsdψsqψrdψrqψadψaq

=

Lss 0 Lm 0 0 00 Lss 0 Lm 0 0Lm 0 Lrr 0 0 00 0 0 Lrr 0 00 0 0 0 La 00 0 0 0 0 La

idsiqsidriqriadiaq

−∆vaq −∆xa1 −KPa(∆i

∗aq −∆iaq)− ωsLa∆iad

−∆vad −∆xa2 −KPa(∆i∗ad −∆iad) + ωsLa∆iad + ∆vsd = 0

−∆i∗ad∆xa3 +KPv(∆(v2c )∗ −∆(v2

c )) = 0

−(∆vrd)ψs + ∆xr1 +KP ((∆i∗rd)

ψs − (∆ird)ψs)

−(−∆ωr)Lrrσ(∆irq0)ψs − (−ωr0Lrrσ(∆irq)ψs)) = 0

−(∆vrq)ψs + ∆xr2 +KP ((∆i∗rq)

ψs − (∆irq)ψs)

+(−∆ωr)(Lrrσ(∆ird0)ψs) + Lrr(1− σ)ism0) + (−ωr0)(Lrrσ(∆ird)ψs + Lrr(1− σ)∆ism) = 0

−(i∗rq)ψs) + xs +KPs(s

∗ − s) = 0

∆ism =∆ψsLm

−ψs0∆ψs + ψsd0∆ψsd + ψsq0∆ψsq = 0

− 1

cos2(φ)∆φ+

∆ψsqψsd0

− ψsq0ψ2sd0

∆ψsd = 0

−[∆vrd∆vrq

]vs+


] [∆vrd∆vrq

]ψs

+


] [∆vrd0

∆vrq0

]ψs

∆φ =

[00

]

−[∆ird∆irq

]vs+


] [∆ird∆irq

]ψs

+


] [∆ird0

∆irq0

]ψs

∆φ =

[00

]−∆te + (∆ψqrird0 + ∆irdψrq0 −∆ψrdirq0 −∆irqψrd0) = 0

−∆pr + (ird0∆vrd + vrd0∆ird + irq0∆vrq + vrq0∆irq) = 0

−∆pa + (iad0∆vad + vad0∆iad + iaq0∆vaq + vaq0∆iaq) = 0[00

]= −

[∆ied∆ieq

]+

[∆isd∆isq

]+

[∆iad∆iaq

]+

[∆ifd∆ifq

][00

]= −

[∆vsd∆vsq

]+

[Rf 00 Rf

] [∆ifd∆ifq

]+

[∆vCfd

∆vCf q

][00

]= −

[∆ψed∆ψeq

]+

[Le 00 Le

] [∆ied∆ieq

](5.32)


81

5.6. Análisis del modelo linealSi bien la respuesta temporal indica la presencia de una oscilación subsíncrona creciente,

el análisis del modelo lineal permite una compresión mucho más profunda de la resonanciasubsíncrona del generador de inducción doblemente alimentado conectado a través de una líneacompensada serie.

El modelo lineal está descrito por 20 variables de estado. La Tabla 6.1 muestra los autovalorescomplejos de la matriz de estados. No hay autovalores reales. La Tabla 6.2 muestra que la matrizde estados tiene 10 parejas de autovalores complejos conjugados. Una pareja tiene parte realpositiva. en consecuencia, el autoanálisis de la matriz de estados confirma la inestabilidaddetectada por la simulación del modelo no lineal.

Tabla 5.3. Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador doblemente alimentadoconectado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie para

un factor de compensación del 30 %.

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -8184.6100 6079.2126 80.28 1622.63652 -8132.5080 5325.9416 83.66 1547.19023 -22.2313 430.9525 5.15 68.67944 20.7617 191.4895 -10.78 30.65515 -77.0448 94.7992 63.07 19.44226 -87.4802 89.2654 69.99 19.89197 -46.1081 88.7286 46.11 15.91458 -62.2566 81.6022 60.66 16.33559 -9.0540 9.0064 70.90 2.0325

10 -8.6586 8.7746 70.24 1.9620

La Tabla 6.2 detalla la asociación de los autovalores a los subsistemas componentes delsistema. A ello se ha llegado por análisis de los factores de participaciónde la Tabla 6.6 delmodelo. El autovalor que resulta inestable está asociado a la interacción de los devanados delestator con la red eléctrica (línea compensada serie).


82

Tabla 5.4. Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de un generadordoblemente alimentado conectado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea

compensada serie para un facor de compensación del 30 %.

Autovalores complejosno Variables1 Filtro - Red eléctrica2 Filtro - Red eléctrica3 Estator - Red eléctrica (Supersíncrono)4 Estator - Red eléctrica (Subsíncrono)5 Control corriente eje q convertidor de estator6 Control corriente eje d convertidor de estator7 Control corriente convertidor de rotor8 Control corriente convertidor de rotor9 Control de velocidad10 Control tensión condensadores de acoplamiento convertidores de estator y rotor

Resulta interesante analizar la evolución de los autovalores asociados al modo subsíncronoinestable para distintos factores de compensación de la línea, y analizar al mismo tiempo laevolución del modo supersíncrono. En las Figuras 5.18 y 5.19 se analizan estos escenariosvariando el factor de compensación de la línea.


83

Tabla 5.5. Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalores complejosdel modelo linealizado de un generador doblemente alimentado conectado conectado a un nudode potencia infinita a través de una línea compensada serie para un factor de compensación del

30 %.


Variable 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ψsd 0.20 0.20 0.14 0.16 0.00 0.00 0.04 0.01 0.00 0.01ψsq 0.20 0.20 0.13 0.15 0.00 0.00 0.07 0.07 0.00 0.00ψrd 0.00 0.00 0.01 0.04 0.03 0.00 0.49 0.10 0.00 0.02ψrq 0.00 0.00 0.01 0.04 0.00 0.00 0.12 0.53 0.00 0.00ψad 0.01 0.01 0.00 0.00 0.69 0.00 0.02 0.02 0.01 0.00ψaq 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.70 0.00 0.00 0.00 0.00vcfd 0.43 0.44 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00vcf q 0.44 0.43 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00ψtd 0.23 0.24 0.12 0.13 0.00 0.00 0.04 0.02 0.00 0.01ψtq 0.24 0.23 0.12 0.14 0.00 0.00 0.09 0.09 0.00 0.00xa3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.09 0.03 0.23 0.48v2c 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.22 0.48s 0.00 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.01 0.00 0.51 0.21xs 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.51 0.22xr1 0.00 0.00 0.00 0.02 0.02 0.00 0.48 0.08 0.00 0.01xr2 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.09 0.54 0.00 0.00xa1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.70 0.00 0.00 0.00 0.00xa2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.65 0.00 0.02 0.02 0.01 0.00vCsd 0.00 0.00 0.25 0.25 0.00 0.00 0.01 0.02 0.00 0.00vCsq 0.00 0.00 0.26 0.25 0.00 0.00 0.01 0.01 0.00 0.00

Efectivamente se aprecia que, si bien el amortiguamiento del modo supesíncrono aumentaligeramente cuando aumenta el factor de compensación, el amortiguamiento del modosubsíncrono decrece fuertemente con el incremento del factor de compensación. Esto se debea que el incremento del factor de compensación supone reducir la capacidad del condensadorque conlleva a su vez una disminución del amortiguamiento del circuito resonante RLC, juntocon un aumento de la frecuencia natural del sistema y por tanto de las frecuencias subsíncrona ysupersíncrona.


84

-28 -26 -24 -22 -20 -18 -16

Real

300

400

500

600

Imag

Supersíncrono (3)

FC = 8%FC = 100%

0 20 40 60 80 100

Factor de compensación (%)

4.5

5

5.5

Am

ortig

uam

ient

o (%

)

Figura 5.18. Evolución del autovalor y del amortiguamiento del modo supersíncrono según elfactor de compensación de la línea.

0 10 20 30 40 50 60 70

Real

100

150

200

250

Imag

Subsíncrono (4)

FC = 8%FC = 100%

0 20 40 60 80 100

Factor de compensación (%)

-60

-40

-20

0

Am

ortig

uam

ient

o (%

)

Figura 5.19. Evolución del autovalor y del amortiguamiento del modo subsíncrono según el factorde compensación de la línea.

5.7. Conclusiones parcialesSen han desarrollado modelos no lineales y lineales de un generador de inducción doblemente

alimentado conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serieque exhiben una oscilación subsíncrona creciente. La simulación en el dominio del tiempo y elanálisis de autovalores ofrecen información plenamente coincidentes.


85


86

6 Estabilizador de oscilaciones subsíncro-nas en generadores de inducción doble-mente alimentados

6.1. Estabilizadores del sistema de potencia

L OS estabilizadores del sistema de potencia tienen por misión el amortiguamiento de laoscilación natural del rotor del generador síncrono.

Los estabilizadores del sistema de potencia modulan la consigna del sistema de excitacióndel generador síncrono utilizando la desviación de velocidad angular como señal de entrada.

Los estabilizadores deben estar equipados con redes de compensación de fase que compensenel retraso de fase que hay entre a tensión de consigna del sistema de excitación y el parelectromagnético aplicado por el generador síncrono al rotor (potencia eléctrica suministrada)(ver por ejemplo [26, 27]).

El estabilizador del sistema de potencia debe estar equipado con un filtro paso altodenominado wash-out que impida la actuación del estabilizador cuando hay una variaciónpermanente de la velocidad del generador.

La figura muestra un diagrama de bloques de un estabilizador con dos etapas de compensaciónde fase y un filtro wash-out. Ts1 a Ts4 son las constantes de tiempo de la red de compensación defase y Ts5 es la constante de tiempo del filtro wash-out.

Figura 6.1. Modelo de un estabilizador.

La Figura 6.2 muestra la respuesta en frecuencia de una red de adelanto de fase:

1 + sTs11 + Ts2

=1 + sTs

1 + sTsα

(6.1)

en la que Ts = 1 segundo y α = 10. La pulsación a la que se alcanza la máxima compensación

φm es ω =

√α

Ts.


87

10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

Mag

nitu

d (d

B)

10-2 10-1 100 101 102 103

Frequency (rad/s)

0

20

40

60

Fas

e (º

)

Figura 6.2. Respuesta en frecuencia de una red de compenación de fase.

La Figura 6.3 muestra la respuesta en frecuencia de un filtro wash-out:

sTw1 + sTw

(6.2)

en la que Tw = 1 segundo. La pulsación de corte es ω =1

Tw. Se aprecia el filtrado de

componentes de frecuencia inferior a la de corte.

10-2 10-1 100 101 102-40

-20

0

Mag

nitu

d (d

B)

10-2 10-1 100 101 102

Frequency (rad/s)

0

50

100

Fas

e (º

)

Figura 6.3. Respuesta en frecuencia de filtro wash-out.


88

6.2. Diseño de estabilizadores del sistema de potencia porsensibilidades de los autovalores

El método de las sensibilidades de autovalores para diseñar un estabilizador consiste endos etapas: el diseño de la red de compensación de fase y la determinación de la gananciadel estabilizador. La red de compensación de fase se diseña tal que la fase de la sensibilidaddel autovalor vale 180 grados a la frecuencia natural. La ganancia se determina tal que elamortiguamiento del autovalor estimado equivale al amortiguamiento del autovalor deseado.Figura 6.4 exhibe una interpretación geométrica del método de las sensibilidades de autovaloresaplicado al diseño de un estabilizador.

Figura 6.4. Interpretación geométrica del método de las sensibilidades de autovalores aplicado aldiseño de un estabilizador.

La sensibilidad del i-ésimo autovalor respecto a la variación de la ganancia del j-ésimoestabilizador es:

Si(Ts1j) = Rij ·∂F (s,KSj

, TS1j)

∂KSj

∣∣s=λ0i

(6.3)

donde Rij es el residuo de la función de transferencia entre la salida y la entrada del j-ésimoestabilizador. El residuo es función de los factores de controlabilidad y observabilidad que a suvez son los productos del autovector izquierdo con el vector de controlabilidad y del autovectorderecho con el vector de observabilidad.

R∆y/∆u, i = ~w T∆~x,ib · c T~v T∆~x,i (6.4)

La forma de la función de transferencia depende del estabilizador que se quiere diseñar. Si setrata de un estabilizador, la forma general de la función de transferencia F (s,KSj

, TS1j) es:

F (s,KSj, TS1j) =

(1 + sTS1j

1 +sTS1j

α

)(6.5)

donde NSj es el número de etapas de la red de compensación de fase. La Figura 6.1 muestra undiagrama de bloques de un estabilizador con dos etapas de compensación de fase. Las constantesde tiempo Tsi y la constante de tiempo T5s son las constantes de tiempo de la red de compensaciónde fase y la constante de tiempo del filtro wash-out, respectivamente.


89

6.2.1. Diseño de la red de compensación de fase

Dependiendo de si se requiere un adelanto o un retraso de fase, la fase a compensar por lared de compensación de fase del j-ésimo estabilizador está determinada por:

Adelanto de fase:

φj =π − ϕi · sign(KSj)

NSj(6.6)

Retraso de fase:

φj =π + ϕi · sign(KSj)

NSj(6.7)

donde:ϕj = arg[Si(TS1j = 0)] (6.8)

Según se requiere un adelanto o un retraso de fase, el coeficiente de filtro se calcula como:

Adelanto de fase:

αj =1 + sin(φj)

1− sin(φj)(6.9)

Retraso de fase:

αj =1 + sin(φj)

1− sin(φj)(6.10)

Una vez que el coeficiente de filtro ha sido determinado, la constante de tiempo del numeradorse calcula como:

TS1j =

√α

ω0di

(6.11)

donde ω0di es la frecuencia del i-ésimo modo λ0

i = σ0i + jω0

di.

6.2.2. Determinación de la ganancia

Una vez que la compensación de fase del estabilizador ha sido diseñada, la ganancia esdeterminada como:

∆KSj = KSj −K0Sj =

Re{∆λi}Re{ ∂λi

∂KSj}

=Re{λdi − λ0

i }Re{Si(TS1j)} (6.12)

donde λdi es el autovalor deseado y ζdi es el amortiguamiento del autovalor deseado.

λdi = −ζdi · ω0di + jω0

di (6.13)

6.3. Estabilizador de oscilaciones subsíncronas

Se consideran dos señales de entrada al sistema (salidas del estabilizador). La componenteen eje transverso de la corriente del convertidor del estator (iaq) y la componente en eje directode la corriente del convertidor del rotor (iψs

rd ). Se consideran dos señales de salida del sistema(entradas al estabilizador). El módulo de la tensión de estator (Vs) y la potencia activa consumidade la red eléctrica (pe).


90

La controlabilidad de la componente en eje directo de la corriente del convertidor del rotor(iψs

rd ) es ligeramente superior a la controlabilidad de la componente en eje transverso de lacorriente del convertidor del estator (iaq). La observalidad de la potencia activa es muy superiora la observalidad de la tensión.

Tabla 6.1. Factores de controlabilidad y observabilidad del modo subsíncrono para distintosvalores del factor de compensación de la línea.

Factor de Controlabilidad Factor de ObservabilidadEntrada Módulo Fase (o) Salida Módulo Faseiaq 1.6597 50.706 |Vs| 0.10681 -60.883FC = 8 %iψs

rd 1.9917 44.560 pe 3.5177 48.333

iaq 4.7474 69.533 |Vs| 0.25857 -68.952FC = 30 %iψs

rd 5.3378 68.913 pe 3.0343 60.955

iaq 7.6559 91.198 |Vs| 0.38037 -75.806FC = 60 %iψs

rd 9.9526 51.014 pe 2.6238 111.52

La Tabla 6.2 presenta la evolución de los residuos en módulo y ángulo para distintos factoresde compensación de la línea. El mayor residuo es el que corresponde un estabilizador que utilicecomo entrada la potencia activa y como salida la componente de la corriente en eje transverso dela corriente del convertidor de estator.

Tabla 6.2. Residuos del modo subsíncrono para distintos valores del factor de compensación de lalínea.

Residuos (Módulo y Fase (o))

EntradasSalidas

Vs pe

FC = 8 % iaq 0.1773/ -10.1770 7.4394/ 100.3563iψs

rd 0.2138/ -15.2154 7.0060 / 92.8932

FC = 30 % iaq 1.2275/ 0.5801 18.8739/ 132.9575iψs

rd 1.3771/ 0.0782 16.1964/ 129.8680

FC = 60 % iaq 2.9120/ 15.3922 18.1967/ 158.5783iψs

rd 3.1660/ 15.1582 26.1139/ 162.5317

Las Figuras 6.5 y 6.6 muestran la evolución de los residuos, el factor de controlabilidady el factor de observabilidad para distintos factores de compensación de la línea para las doscombinaciones de variables que presentan mayores residuos.


91

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0Real

0

5

10

15

Imag

Residuos Corriente de convertidor de estator - Potencia en la red (ird

- Pote)

FC = 8%FC = 30%FC = 60%

0 50 100Factor de compensación (%)

2

3

4

Con

trol

abili

dad

Controlabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

5

10

15

Obs

erva

bilid

ad

Observabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%

Figura 6.5. Evolución de los residuos, la controlabilidad y la observabilidad de la entrada salidaiψs

rd − pe.

-25 -20 -15 -10 -5 0Real

0

5

10

15

Imag

Residuos Corriente de convertidor de estator - Potencia en la red (iaq

- Pote)

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

2

4

6

Con

trol

abili

dad

Controlabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

5

10

15

Obs

erva

bilid

ad

Observabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%

Figura 6.6. Evolución de los residuos, la controlabilidad y la observabilidad de la entrada salidaiaq − pe.

Las Figuras 6.7 y 6.8 muestran la evolución de los residuos, el factor de controlabilidady el factor de observabilidad para distintos factores de compensación de la línea para las doscombinaciones de variables que presentan menores residuos.


92

0 1 2 3 4 5Real

-2

0

2

4

Imag


- Vs)

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

0.2

0.4

0.6

Con

trol

abili

dad

Controlabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

5

10

15

Obs

erva

bilid

ad

Observabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


-25 -20 -15 -10 -5 0Real

0

5

10

15

Imag


- Pote)

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

2

4

6

Con

trol

abili

dad

Controlabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%


0

5

10

15

Obs

erva

bilid

ad

Observabilidad

FC = 8%FC = 30%FC = 60%



93

6.4. Diseño del estabilizador de oscilaciones subsíncronas

6.4.1. Estabilizador iaq - pe6.4.1.1. Factor de compensación del 8 %

Se plantea inicialmente el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncronaconsiderando la función de transferencia con mayor residuo (iaq - pe). Se supondrá que laconstante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes es igual a tres.Para lograr un amortiguamiento del 1 % se obtienen los siguientes parámetros del estabilizador:

ts1 = 0,0022 s ts2 = 0,0075 s ks = −3,2371 p.u. (6.14)

La Tabla 6.3 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa. El amortiguamiento del modo subsíncrono ha aumentadohasta el 0.86 %. Sin embargo, el amortiguamiento del modo supersíncrono se ha reducido. LaTabla 6.4 compara los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizador. Semuestra como el amortiguamiento del modo supersíncrono ha pasado del 4.64 % al 4.44 %.

Tabla 6.3. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iaq - pe.

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -8193.3404 6100.7260 80.21 1625.79472 -8124.3436 5302.5250 83.74 1544.06323 -16.5642 372.7315 4.44 59.38064 -2.1364 248.7244 0.86 39.58725 -88.8867 102.1652 65.64 21.55286 -77.7131 94.3540 63.58 19.45477 -37.3624 83.6530 40.78 14.58148 -103.6384 71.4405 82.33 20.03379 -9.4622 31.7294 28.58 5.2697

10 -9.2414 9.0003 71.64 2.053111 -178.9717 0.0000 100.00 28.484212 -105.6454 0.0000 100.00 16.814013 -9.4920 0.0000 100.00 1.510713 -0.1909 0.0000 100.00 0.0304

Tabla 6.4. Comparativa de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizadoriaq - pe.

Autovalores originariosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)3 -17.2886 372.3665 4.64 59.32784 1.2547 248.8651 -0.50 39.6086

Autovalores con estabilizadorno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)3 -16.5642 372.7315 4.44 59.38064 -2.1364 248.7244 0.86 39.5872


94

Se comprueba la respuesta del modelo no lineal de un generador de inducción doblementealimentado con estabilizador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una líneacompensada serie. Se aplica un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator. La Figura 6.9 muestra la evolución del deslizamiento. La Figura 6.10 muestra la evoluciónde la tension del condensador. La Figura 6.11 muestra la evolución de las componentes de lacorriente del convertidor del estator. La Figura 6.12 muestra la evolución de las componentes dela corriente de la red.

Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria decreciente de lafrecuencia subsíncrona. Ello confirma la bondad del diseño del estabilizador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-4.305

-4.3

-4.295

-4.29

-4.285

-4.28

-4.275

Des

lizam

ient

o (%

)

Figura 6.9. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Deslizamiento.


95

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

0.9965

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)

Figura 6.10. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Tensión del condensador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq

Figura 6.11. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Corrientes del convertidor de estator.


96

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq

Figura 6.12. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - pe: Corrientes inyectadas en la red.

Lugar de las raíces

Como quiera que el amortiguamiento del modo supersíncrono ha disminuido por efectode la incorporación del estabilizador, es interesante investigar la variación de los autovaloresal variar la ganancia del estabilizador. La Figura 6.13 muestra el lugar de las raíces al variarla ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado. El origen del lugar de lasraíces está marcado con ‘*’ y el final con ‘o’. La Figura 6.14 el detalle del lugar de las raíces alvariar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado incluyendo las rectas quecorresponden a un amortiguamiento del 1 %.

Se confirma como al aumentar la ganancia del estabilizador el amortiguamiento del modosubsíncrono aumenta mientras que el amortiguamiento del modo supersíncrono disminuye hastahacerse inestable, junto con los autovalores asociados al control de velocidad del rotor.


97

-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000

ImagSupersíncrono (

3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.13. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valorcalculado.

-30 -20 -10 10 20 30

Real

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400Imag

Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.14. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 vecesel valor calculado incluyendo las rectas que corresponden a un amortiguamiento del 2 %.


98


Se plantea nuevamente el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncrona conside-rando un factor de compensación de la línea del 30 %. Se supondrá que la constante de tiempodel filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes es igual a tres. Para lograr unamortiguamiento del 2 % se obtienen los siguientes parámetros del estabilizador:

ts1 = 0,0022 s ts2 = 0,0123 s ks = −19,6348 p.u. (6.15)

La Tabla 6.12 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa menos el autovalor 9 que tiene parte real positiva, por loque es inestable.

Tabla 6.5. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iψs

rd - pe

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -8195.8546 6108.9597 80.18 1626.89852 -8122.3860 5296.3357 83.77 1543.26413 -20.6858 430.3152 4.80 68.56594 -0.9500 191.7509 0.50 30.51855 -27.5482 106.3135 25.08 17.47916 -77.4336 100.6023 60.99 20.20507 -78.5483 93.6334 64.27 19.45158 -103.0405 78.5889 79.51 20.62499 21.3044 18.7037 -75.15 4.5120

10 -9.3188 8.9913 71.96 2.060911 -114.5635 7.7971 99.77 18.275512 -5.1906 0.0000 100.00 0.826113 -0.1494 0.0000 100.00 0.0238

Se observa que para factores de compensación más elevados en la línea de conexión el controles incapaz de amortiguar las oscilaciones subsíncronas de manera satisfactoria, puesto que losautovalores asociados al control de velocidad del rotor (λ9) se vuelven inestables.


99


rd - pe6.4.2.1. Factor de compensación del 8 %

Se plantea inicialmente el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncronaconsiderando la función de transferencia con segundo mayor residuo (iψs

rd - pe). Se supondrá quela constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes es igual a 3.Para lograr un amortiguamiento de 2 % se obtienen los siguientes parámetros:

ts1 = 0,0068 s ts2 = 0,0024 s ks = 0,1675 p.u. (6.16)



rd - pe.


10 -9.1182 8.9671 71.30 2.035411 -8.0850 8.8258 67.55 1.905012 -690.9764 0.0000 100.00 109.972313 -0.1996 0.0000 100.00 0.0318

Tabla 6.7. Comparación de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizadoriψs

rd - pe.




100

Se comprueba la respuesta del modelo no lineal de un generador de inducción doblementealimentado con estabilizador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una líneacompensada serie. Se aplica un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidordel estator. La Figura 6.15 muestra la evolución del deslizamiento. La Figura 6.16 muestra laevolución de la tension del condensador. La Figura 6.17 muestra la evolución de las componentesde la corriente del convertidor del estator. La Figura 6.18 muestra la evolución de las componentesde la corriente de la red.

Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condesador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria decreciente de lafrecuencia subsíncrona. Ello confirma la bondad del diseño del estabilizador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-4.296

-4.294

-4.292

-4.29

-4.288

-4.286

-4.284

-4.282

-4.28

-4.278

Des

lizam

ient

o (%

)

Figura 6.15. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iψs

rd - pe: Deslizamiento.


101

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)


rd - pe: Tensión del condensador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq


rd - pe: Corrientes del convertidor de estator.


102

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq


rd - pe: Corrientes inyectadas en la red.



Se confirma como al aumentar la ganancia del estabilizador el amortiguamiento del modosubsíncrono aumenta mientras que el amortiguamiento del modo supersíncrono disminuye.


103

-8000 -6000 -4000 -2000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000


3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.19. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces su valorcalculado.

-30 -25 -20 -15 -10 -5 5

Real

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400Imag

Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.20. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 vecessu valor calculado.


104


A continuación, se eleva el grado de compensación de la línea hasta el 30 %. Se plantea eldiseño de un estabilizador de la oscilación subsíncrona considerando la función de transferencia(iψs

rd - pe). Se supondrá que la constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos y que elnúmero de redes es igual a 3. Para lograr un amortiguamiento de 3 % se obtienen los siguientesparámetros:

ts1 = 0,0070 s ts2 = 0,0039 s ks = 0,6736 p.u. (6.17)



rd - pe.


10 -9.2622 8.9698 71.84 2.052111 -7.7811 8.8387 66.08 1.874212 -393.0022 0.0000 100.00 62.548213 -0.1986 0.0000 100.00 0.0316

Tabla 6.9. Comparación de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizadoriψs

rd - pe.




105

Se comprueba la respuesta del modelo no lineal de un generador de inducción doblementealimentado con estabilizador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una líneacompensada serie con un factor de compensación del 30 %. Se aplica un escalón en la consignade corriente reactiva del convertidor del estator. La Figura 6.21 muestra la evolución deldeslizamiento. La Figura 6.22 muestra la evolución de la tension del condensador. La Figura 6.23muestra la evolución de las componentes de la corriente del convertidor del estator. La Figura6.24 muestra la evolución de las componentes de la corriente de la red.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-4.292

-4.29

-4.288

-4.286

-4.284

-4.282

-4.28

-4.278

Des

lizam

ient

o (%

)




106

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

0.9965

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

Ten

sión

del

con

dens

ador

(p.

u)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq




107

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2C

orri

ente

s i

e (p.

u)

ied

ieq




Como quiera que el amortiguamiento del modo supersíncrono ha disminuido por efecto de laincorporación del estabilizador, es interesante investigar la variación de los autovalores al variarla ganancia del estabilizador. La Figura 6.25 muestra el lugar de las raíces al variar la ganancia delestabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado. El origen del lugar de las raíces está marcadocon ‘*’ y el final con ‘o’. La Figura 6.26 el detalle del lugar de las raíces al variar la gananciadel estabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado incluyendo las rectas que correspondena un amortiguamiento del 3 %. Se confirma como al aumentar la ganancia del estabilizador elamortiguamiento del modo subsíncrono aumenta mientras que el amortiguamiento del modosupersíncrono disminuye.


108

-8000 -6000 -4000 -2000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000


3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.25. Lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces su valorcalculado.

-30 -20 -10 10 20

Real

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400Imag

Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.26. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 vecessu valor calculado.


109


Por último, se plantea un caso muy desfavorable elevando el grado de compensación dela línea hasta el 60 %. Se plantea el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncronaconsiderando la función de transferencia (iψs

rd - pe). Se supondrá que la constante de tiempodel filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes es igual a 3. Para lograr unamortiguamiento de 3 % se obtienen los siguientes parámetros:

ts1 = 0,0068 s ts2 = 0,0056 s ks = 1,5784 p.u. (6.18)



rd - pe.


10 -9.3666 8.9745 72.21 2.064611 -7.6981 8.7985 65.85 1.860612 -170.0121 0.0000 100.00 27.058313 -0.1977 0.0000 100.00 0.0315

Tabla 6.11. Comparación de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y conestabilizador iψs

rd - pe.




110

Se comprueba la respuesta del modelo no lineal de un generador de inducción doblementealimentado con estabilizador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una líneacompensada serie con un factor de compensación del 30 %. Se aplica un escalón en la consignade corriente reactiva del convertidor del estator. La Figura 6.27 muestra la evolución deldeslizamiento. La Figura 6.28 muestra la evolución de la tension del condensador. La Figura 6.29muestra la evolución de las componentes de la corriente del convertidor del estator. La Figura6.30 muestra la evolución de las componentes de la corriente de la red.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

-4.292

-4.29

-4.288

-4.286

-4.284

-4.282

-4.28

-4.278

Des

lizam

ient

o (%

)




111

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

1

1.001T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq




112

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq





Se confirma como al aumentar la ganancia del estabilizador el amortiguamiento del modosubsíncrono aumenta mientras que el amortiguamiento del modo supersíncrono disminuye hastavolverse inestable junto con el autovalor asociado al control de corriente en eje directo del rotor.


113

-8000 -6000 -4000 -2000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000


3)

Subsíncrono (4)



-100 -50

Real

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400Imag

Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)




114


rd - Vs6.4.3.1. Factor de compensación del 8 %

Se plantea inicialmente el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncronaconsiderando la función de transferencia con tercer mayor residuo (iψs

rd - Vs). Se supondráque la constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes esigual a tres. Para lograr un amortiguamiento del 2 % se obtiene los siguientes parámetros delestabilizador. Debe notarse que la ganancia en negativa.

ts1 = 0,0044 s ts2 = 0,0037 s ks = −20,1009 p.u. (6.19)

La Tabla 6.12 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa. El amortiguamiento del modo subsíncrono ha aumentadosólo hasta el 0.24 %. El amortiguamiento del modo supersíncrono ha aumentado ligeramente. LaTabla 6.13 compara los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizador.


rd - Vs.

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -5108.6351 6470.3564 61.97 1312.07462 -10872.1828 4991.4004 90.88 1904.00433 -18.6424 369.3864 5.04 58.86454 -0.5844 247.1693 0.24 39.33835 -77.1898 94.7889 63.14 19.45556 -87.4794 89.2666 69.99 19.89197 -42.1352 87.1463 43.53 15.40598 -131.6813 36.0224 96.46 21.72789 -245.2190 12.4446 99.87 39.078010 -8.9039 9.0110 70.29 2.016211 -8.7914 8.8143 70.62 1.981312 -904.9355 0.0000 100.00 144.025013 -0.0358 0.0000 100.00 0.0057

Tabla 6.13. Comparativa de los modos supersíncrono y subsíncrono originaris y con estabilizadoriψs

rd - Vs.




115


Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria decreciente de lafrecuencia subsíncrona. Ello confirma la bondad del diseño del estabilizador. Sin embargo, seaprecia un error en régimen permanente en el deslizamiento puesto que no vuelve al valor dereferencia.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Tiempo (s)

-4.283

-4.2825

-4.282

-4.2815

-4.281

-4.2805

-4.28

-4.2795

Des

lizam

ient

o (%

)


rd - Vs: Deslizamiento.


116

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Tiempo (s)

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

Ten

sión

del

con

dens

ador

(p.

u)


rd - Vs: Tensión del condensador.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq


rd - Vs: Corrintes del convertidor de estator.


117

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0C

orri

ente

s i

e (p.

u)ied

ieq


rd - Vs: Corrientes inyectadas en la red.


Como quiera que el amortiguamiento del modo supersíncrono ha disminuido por efecto de lainorporación del estabilizador, es interesante investigar la variación de los autovalores al variar laganancia del estabilizador. La Figura 6.37 muestra el lugar de las raíces al variar la ganancia delestabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado. El origen del lugar de las raíces está marcadocon ‘*’ y el final con ‘o’. La Figura 6.38 y la Figura 6.39 muestran detalles del lugar de las raícesal variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado incluyendo las rectasque corresponden a un amortiguamiento del 2 %.

Se confirma como al aumentar la ganancia del estabilizador el amortiguamiento del modosubsíncrono queda limitado por la previsible presencia de un cero. Por otra parte, al aumentar laganancia del estabilizador el amortiguamiento del modo supersíncrono aumenta.


118

-10000 -8000 -6000 -4000 -2000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000


3)

Subsíncrono (4)


-30 -25 -20 -15 -10 -5

Real

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400Imag

Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)



119

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2Real

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400ImagSupersíncrono (

3)

Subsíncrono (4)

Figura 6.39. Detalle del lugar de las raíces al variar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 vecesel valor calculado.

a


120


Se plantea inicialmente el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncronaconsiderando la función de transferencia con segundo mayor residuo (iaq -pe). Se supondráque la constante de tiempo del filtro wash-out es 5 segundos y que el número de redes esigual a tres. Para lograr un amortiguamiento del 1 % se obtienen los siguientes parámetros delestabilizador:

ts1 = 0,0022 s ts2 = 0,0075s ks = −3,2371 p.u. (6.20)

La Tabla 6.14 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. El autovalorasociado al modo subsíncrono presenta una parte real positiva. El amortiguamiento introducidopor el control no es suficiente como para volverlo estable.


rd - Vs

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -6005.4078 6212.3314 69.50 1375.17592 -10134.9632 5218.3694 88.91 1814.28863 -29.9394 424.2795 7.04 67.69414 14.5554 183.8320 -7.89 29.34935 -77.0564 94.8785 63.04 19.45316 -87.4791 89.2655 69.99 19.89187 -52.9223 87.2678 51.85 16.24358 -9.0085 9.0361 70.60 2.03079 -8.8999 8.7996 71.11 1.991910 -192.5867 0.3552 100.00 30.651211 -352.1710 0.0000 100.00 56.049812 -178.0695 0.0000 100.00 28.340613 -140.1167 0.0000 100.00 22.300314 -0.0499 0.0000 100.00 0.0079


121

6.4.4. Estabilizador iaq - Vs6.4.4.1. Factor de compensación del 8 %

Se plantea inicialmente el diseño de un estabilizador de la oscilación subsíncronaconsiderando la función de transferencia (iaq - Vs). Se supondrá que la constante de tiempodel filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes es igual a tres. Para lograr unamortiguamiento del 2 % se obtienen los siguientes parámetros de estabilizador:

ts1 = 0,0043 s ts2 = 0,0038 s ks = −26,3714 p.u. (6.21)

Los parámetros de la red de adelanto de fase son muy parecidos (ts1 = 0,0044 s en lugarde ts1 = 0,0045 s, ts2 = 0,0037 s en lugar de ts2 = 0,0036 s) ya que la fase de los residuos esmuy parecida (14o en lugar de 19o). La ganancia es ligeramente superior (ks = −26,3714 p.u. enlugar de ks = −20,1009 p.u.) ya que el modulo del residuo es más pequeño (0.1744 en lugar de0.2094). La Tabla 6.3 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa. El amortiguamiento del modo subsíncrono ha aumentadosólo hasta el 0.20 %. El amortiguamiento del modo supersíncrono ha aumentado ligeramente. LaTabla 6.4 compara los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizador.

Tabla 6.15. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iaq - Vs.


10 -8.8269 8.8014 70.81 1.983911 -246.5033 8.3127 99.94 39.254512 -835.9645 0.0000 100.00 133.047913 -0.0280 0.0000 100.00 0.0044

Tabla 6.16. Comparativa de los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y conestabilizador iaq - Vs.




122


Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria decreciente de lafrecuencia subsíncrona. Sin embargo, la respuesta del control es extremadamente lenta, y presentaun error en régimen permanente puesto que los controles no consiguen devolver a las variables alos valores de referencia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo (s)

-4.2825

-4.282

-4.2815

-4.281

-4.2805

-4.28

-4.2795

Des

lizam

ient

o (%

)

Figura 6.40. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Deslizamiento.


123

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo (s)

0.9994

0.9995

0.9996

0.9997

0.9998

0.9999

1

1.0001T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)

Figura 6.41. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Tensión del condensador.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq

Figura 6.42. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Corrientes del convertidor de estator.


124

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq

Figura 6.43. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador iaq - Vs: Corrientes inyectadas en la red.


125


A continucación, se eleva el factor de compensación de la línea hasta el 30 %. Se supondráque la constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos y que el número de redes esigual a tres. Para lograr un amortiguamiento del 2 % se obtienen los siguientes parámetros delestabilizador:

ts1 = 0,0052 s ts2 = 0,0052 s ks = −20,2151 p.u. (6.22)

La Tabla 6.3 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. EL modosubsíncrono no se amortigua lo suficiente como para conseguir volverse estable.

Tabla 6.17. Autovalores tras la incorporación del estabilizador iaq - Vs.

Autovalores complejosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -7609.5769 5814.9131 79.46 1524.22642 -30.8165 437.0015 7.03 69.72373 9.6395 191.3548 -5.03 30.49374 -83.0864 88.8289 68.31 19.35815 -60.0350 86.4487 57.04 16.75116 -132.9604 76.8002 86.59 24.43787 -72.0858 72.7307 70.40 16.29778 -5.0610 8.0281 53.33 1.51049 -192.4887 0.4091 100.00 30.6356

10 -29591.1937 0.0000 70.81 4709.584711 -8025.9454 0.0000 99.94 1277.368912 -184.4644 0.0000 100.00 29.358413 29.6589 0.0000 -100.00 4.720414 -6.3292 0.0000 100.00 1.007315 -0.1434 0.0000 100.00 0.0228


126

6.5. Diseño de estabilizadores de oscilaciones subsíncronas ysupersíncronas

Se plantea el diseño coordinado del estabilizador que mejor resultado ha ofrecido (iψs

rd - pe)para amortiguar las oscilaciones subsíncronas y supersíncronas. Considérese que la función detransferencia del estabilizador tiene la forma:

F(s,KS0j, . . . , KSNSj, Ts1j) =

KS0j + sKS1j + s2KS2j + · · ·+ sNSjKSNSj

(1 + Ts1j)NSj· sTs5j

1 + Ts1j·KSj

(6.23)Las ganancias dinámicas se determinan resolviendo un problema de programación lineal. Elobjetivo es minimizar la acción de control expresada como la suma de las ganancias ponderadapor sus sensibilidades:

MinNc∑j=1

NSj∑k=1

γkj∆KSj (6.24)

donde:

γkj =

NE∑i=1

∣∣∣∣ ∂λi∂KSkj

∣∣∣∣∂λi∂KS0j

=1

(1 + λiTS1)NSj

∂λi∂KS1j

=λi

(1 + λiTS1)NSj

∂λi∂KS2j

=λ2i

(1 + λiTS1)NSj

...

∂λi∂KSNSjj

=λNSj

i

(1 + λiTS1)NSj

Las restricciones son los valores mínimos de las partes reales de los autovalores, los valoresmáximos y mínimos de las variaciones de las partes imaginarias de los autovalores y los valoresmáximos y mínimos de las variaciones de las ganancias:

Nc∑j=1

NSj∑k=1

Re

(∂λi∂KSkj

)∆KSj ≤ Re(λdi − λ0

i ), i = 1, . . . , NE

Nc∑j=1

NSj∑k=1

Im

(∂λi∂KSkj

)∆KSkj ≤ ∆ωmaxdi , i = 1, . . . , NE

Nc∑j=1

NSj∑k=1

Im

(∂λi∂KSkj

)∆KSkj ≥ −∆ωmaxdi , i = 1, . . . , NE

KminSj ≤ K0

Sj + ∆KSj ≥ KmaxSj , j = 1, . . . , NE


127

6.5.1. Factor de compensación del 8 %Se supondrá que la constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos, que el número

de redes es igual a 3 y que la constante de tiempo del filtro es ts1 = 0,001 segundos. Para lograrun amortiguamiento del 3 % de ambos modos se obtiene

ks0 = 0 ks1 = 0,006681 ks2 = 0 ks3 = 0 (6.25)

La Tabla 6.18 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa. El amortiguamiento del modo subsíncrono ha aumentadohasta el 2.87 %. Sin embargo, el amortiguamiento del modo supersíncrono se ha reducido. LaTabla 6.19 compara los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizador.Se muestra como el amortiguamiento de modo supersíncrono ha pasado del 4.7 % al 2.87 %,lográndose un amortiguamiento cercano al 3 % en ambos modos.

Tabla 6.18. Autovalores tras la incroporación del estabilizador iψs

rd - pe.

Autovalores originariosno Real Imaginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)1 -8156.3759 6089.8409 80.13 1620.04282 -8165.4307 5316.9005 83.80 1550.79073 -743.9403 452.0527 85.46 138.54704 -10.9460 369.0646 2.96 58.76435 -7.2863 253.7747 2.87 40.40616 -77.2756 94.6978 63.22 19.45297 -87.4796 89.2760 69.99 19.89308 -38.6487 85.8736 41.04 14.98769 -52.8633 72.2038 59.07 14.2423

10 -8.5257 8.9621 68.92 1.968711 -9.0244 8.9250 71.10 2.020012 -1502.5270 0.0000 100.00 239.13413 -0.2000 0.0000 100.00 0.0318


rd - pe.


Autovalores con estbilizadorno Real Imginaria Amortiguamiento ( %) Frecuencia (Hz)4 -10.9460 369.0646 2.96 58.76435 -7.2863 253.7747 2.87 40.4061


128


Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria decreciente de lafrecuencia subsíncrona que logra extinguirse completamente en régimen permanente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

-4.296

-4.294

-4.292

-4.29

-4.288

-4.286

-4.284

-4.282

-4.28

-4.278

Des

lizam

ient

o (%

)


rd - pe dinámico: Deslizamiento.


129

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)


rd - pe dinámico: Tensión del condensador.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq


rd - pe dinámico: Corrientes del convertidor de estator.


130

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq


rd - pe dinámico: Corrientes inyectadas en la red.


Como quiera que el amortiguamiento del modo supersíncrono ha disminuido por efecto dela incorporación del estabilizador, es interesante investigar la variación de los autovalores alvariar la ganancia del estabilizador. La Figura 6.48 muestra el lugar de las raíces al variar laganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado. El origen del lugar de las raícesestá marcado con ‘*’ y el final con ‘o’. La Figura 6.49 muestra el detalle del lugar de las raíces alvariar la ganancia del estabilizador entre 0 y 2 veces el valor calculado incluyendo las rectas quecorresponden a un amortiguamiento del 3 %.

Se confirma como al aumentar la ganancia del estabilizador el amortiguamiento del modosubsíncrono aumenta junto con el amortiguamiento del modo supersíncrono para después volvera disminuir ambos amortiguamientos para valores elevados de la ganancia del estabilizador.


131

-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000

Imag


Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0Real

100

200

300

400

500

600

Imag


Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)



132

6.5.2. Factor de compensación del 30 %A continuación, se eleva el grado de compensación de la línea hasta el 30 %. Se supondrá que

la constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos, que el número de redes es igual a 3y que la constante de tiempo del filtro es ts1 = 0,001 segundos. Para lograr un amortiguamientodel 3 % de ambos modos se obtienen los siguientes parámetros del estabilizador:

ks0 = 0 ks1 = 0,009472 ks2 = 0 ks3 = 0 (6.26)

La Tabla 6.20 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa. El amortiguamiento del modo subsíncrono ha aumentadohasta el 3.24 %. Sin embargo, el amortiguamiento del modo supersíncrono se ha reducido. LaTabla 6.21 compara los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizador.Se muestra como el amortiguamiento de modo supersíncrono ha pasado del 5.14 % al 2.16 %,lográndose un amortiguamiento cercano al 3 % en el modo subsíncrono y cercano al 2 % en elmodo supersíncrono.


rd - pe.


10 -8.9023 9.1077 69.90 2.027011 -9.0279 8.7996 71.61 2.006512 -1559.8512 0.0000 100.00 248.258013 -0.2000 0.0000 100.00 0.0318


rd - pe.




133


Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria de decreciente de lafrecuencia subsíncrona que logra extinguirse completamente en régimen permanente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Tiempo (s)

-4.292

-4.29

-4.288

-4.286

-4.284

-4.282

-4.28

-4.278

Des

lizam

ient

o (%

)




134

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Tiempo (s)

0.9965

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

Ten

sión

del

con

dens

ador

(p.

u)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq

Figura 6.52. Simulación de un escalón en la consigna de corriente reactiva del convertidor delestator con estabilizador ird psis vs: Corrientes del convertidor de estator.


135

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2C

orri

ente

s i

e (p.

u)

ied

ieq





Con un factor de compensación del 30 %, para una ganancia nula, el modo supersíncrono esinestable. Se confirma que al aumentar la ganancia ks1 el amortiguamiento del modo subsíncronodisminuye mientras que el amortiguamiento del modo supersíncrono aumenta. Para valoreselevados de la ganancia, el modo supersíncrono vuelve a ser inestable.


136

-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000

Imag


Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)


-100 -80 -60 -40 -20 0 20Real

100

150

200

250

300

350

400

Imag


Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)



137

6.5.3. Factor de compensación del 60 %Se considera por último el caso más desfavorable elevando el factor de compensación hasta

el 60 %. Se supondrá que la constante de tiempo del filtro wash-out es de 5 segundos, que elnúmero de redes es igual a 3 y que la constante de tiempo del filtro es ts1 = 0,001 segundos.Para lograr un amortiguamiento del 3 % de ambos modos se obtienen los siguientes parámetrosdel estabilizador:

ks0 = 1,965 ks1 = 0,007807 ks2 = 0 ks3 = 0 (6.27)

La Tabla 6.22 muestra los autovalores tras la incorporación del estabilizador. Todos losautovalores tienen parte real negativa. El amortiguamiento del modo subsíncrono ha aumentadohasta el 3.24 %. Sin embargo, el amortiguamiento del modo supersíncrono se ha reducido. LaTabla 6.23 compara los modos supersíncrono y subsíncrono originarios y con estabilizador.Se muestra como el amortiguamiento de modo supersíncrono ha pasado del 5.14 % al 2.16 %,lográndose un amortiguamiento cercano al 3 % en el modo subsíncrono y cercano al 2 % en elmodo supersíncrono.


rd - pe.


10 -9.3804 8.9769 72.25 2.066411 -7.4425 8.7422 64.82 1.827312 -1491.9988 0.0000 100.00 237.459013 -0.1971 0.0000 100.00 0.0314


rd - pe.




138


Se aprecia que la evolución del deslizamiento, de la tensión del condensador y de lascomponentes de la corriente de la red tienen una componente oscilatoria decreciente de lafrecuencia subsíncrona que logra extinguirse en régimen permanente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-4.289

-4.288

-4.287

-4.286

-4.285

-4.284

-4.283

-4.282

-4.281

-4.28

-4.279

Des

lizam

ient

o (%

)




139

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

0.9955

0.996

0.9965

0.997

0.9975

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005T

ensi

ón d

el c

onde

nsad

or (

p.u)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cor

rien

tes

ia (

p.u)

iad

iaq


rd - pe dinámico: Corrientes del convertidor de estator.


140

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Cor

rien

tes

ie (

p.u)

ied

ieq





Se confirma como al aumentar las ganancia del estabilizador el amortiguamiento del modosubsíncrono aumenta. Por otra parte, el modo supersíncrono es inestable para valores nulos dela ganancia, y tiende a volverse inestable para valores elevados de la misma. Ambos modosmuestran un comportamiento similar en el lugar de las raíces que en el caso en el que se consideraun factor de compensación del 8 %.


141

-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000

Real

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000

Imag


Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)


-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0Real

100

150

200

250

300

350

400

450Imag


Supersíncrono (3)

Subsíncrono (4)



142

6.6. Conclusiones parcialesLos resultados obtenidos en este capítulo permiten extraer las siguientes conclusiones:

La controlabilidad de la componente en eje directo de la corriente del convertidor de rotor(iψs

rd ) es ligeramente superior a la controlabilidad de la componente en eje transverso de lacorriente del convertidor del estator (iaq).

El mayor residuo es el que corresponde a un estabilizador que utilice como entrada lapotencia activa y como salida la componente de la corriente en eje transverso de la corrientedel convertidor de estator. Sin embargo, según aumenta el factor de compensación de lalínea, el mayor residuo pasa a corresponder a la corriente en eje directo de rotor.

Estabilizadores que utilicen la potencia activa logran amortiguar mejor el modosubsíncrono que los que utilicen la tension.

Estabilizadores que utilicen la potencia activa diseñados solo para amortiguar el modosubsíncrono reducen el amortiguamiento del modo supersíncrono.

El diseño coordinado de un estabilizador formulado en términos de ganancias dinámicasproporciona un compromiso entre el amortiguamiento del modo subsíncrono y delmodo supersíncrono. Este diseño presenta los resultados más satisfactorios para diversosescenarios y factores de compensación en la línea.

Estabilizador iaq - pe. La respuesta del estabilizador es satisfactoria, si bien reduce elamortiguamiento del control de las corrientes del convertidor del estator. Para factores decompensación más elevados no es capaz de amortiguar las oscilaciones.

Estabilizador iψs

rd - pe. La respuesta del estabilizador es satisfactoria tanto para niveles altoscomo para niveles bajos de compensación en la línea. Presenta tiempos de establecimientorazonables, si bien permanece una componente oscilatoria de frecuencia subsíncrona enrégimen permanente.

Estabilizador iψs

rd - Vs. La respuesta del estabilizador es satisfactoria, pero está pocoamortiguada y el control de velocidad presenta un error al tratar de volver a la velocidadde referencia, además de una componente oscilatoria. Para factores de compensación máselevados no es capaz de amortiguar las oscilaciones.

Estabilizador iaq - Vs. La respuesta del estabilizador e extremadamente lenta y presentaerror en régimen permanente tanto en el control de velocidad del rotor como en el controlde la tensión del condensador, además de una componente oscilatoria. Para factores decompensación más elevados no es capaz de amortiguar las oscilaciones.

Estabilizador iψs

rd - pe dinámico. La respuesta de este estabilizador es la más satisfactoria delas presentadas. Presenta tiempos de establecimiento rápidos, no comete errores ni presentaoscilaciones subsíncronas en régimen permanente para cualquier nivel de compensaciónen la línea.


143


144

7 Conclusiones

Este proyecto ha desarrollado modelos no lineales y lineales de un aerogenerador basadoen un generador de inducción doblemente alimentado conectado a un nudo de potencia infinitaa través de una línea compensada serie que exhibe una oscilación subsíncrona creciente. Lasimulación en el dominio del tiempo y el análisis de autovalores ofrecen información plenamentecoincidentes.

Este proyecto ha desarrollado un estabilizador de oscilaciones subsíncronas para aerogenera-dores basados en generadores de inducción doblemente alimentados trasladando a este caso losprincipios de los estabilizadores del sistema de potencia utilizando las técnicas basadas en lassensibilidades de los autovalores de la matriz de estados del modelo lineal.

El diseño de un estabilizador de oscilaciones subsíncronas ha abordado los siguientesproblemas:

Selección de las variables de entrada y salida del estabilizador

Ajuste de los parámetros del estabilizador

Interacción de estabilizador con otros modos de oscilación

Los resultados obtenidos permiten extraer las siguientes conclusiones:

La controlabilidad de la componente en eje directo de la corriente del convertidor del rotor(iψs

rd ) es ligeramente superior a la controlabilidad de la componente en eje transverso de lacorriente del convertidor del estator.

El mayor residuo es el que corresponde un estabilizador que utilice como entrada lapotencia activa y como salida la componente de la corriente en eje transverso de la corrientedel convertidor de estator. Sin embargo, según aumenta el factor de compensación de lalínea, el mayor residuo pasa a corresponder a la corriente en eje directo de rotor.

Estabilizadores que utilicen la potencia activa lograr amortiguar más el modo subsíncronoque los que utilicen la tensión.

Estabilizadores que utilicen la potencia activa diseñados solo para amortiguar el modosubsíncrono reducen el amortiguamiento del modo supersíncrono.

El estabilizador que utiliza como entrada la potencia activa inyectada en la red y comosalida la corriente en eje directo del rotor presenta los mejores amortiguamientos paracualquier factor de compensación.

El diseño coordinado de un estabilizador formulado en términos de ganancias dinámicasproporciona un compromiso entre el amortiguamiento del modo subsíncrono y delmodo supersíncrono. Este diseño presenta los resultados más satisfactorios para diversosescenarios y factores de compensación en la línea.


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