Teoremas de la teora de la estabilidad - LyapunovLos siguientes teoremas se refieren a la siguiente clase de sistemas (autnomos):

(1)

Donde ,continuamente diferenciable y , es decir es un punto de equilibrio. Adems se tiene una funcin cuadrtica escalar , con , y continuamente diferenciable, U es una vecindad de y denota la derivada de de a lo largo del campo vectorial .Teorema 1 sea la matriz Jacobiana de f en el punto. Entonces: Si la Matriz A es asintticamente estable es asintticamente estable. Si la Matriz A es inestable es inestable.Teorema 2 ( Segundo Mtodo de Lyapunov) Si V(x) > 0 \ {0}.Entonces:

Si es estable. Si \ {0} es asintticamente estable.Teorema 3 (Estabilidad Global) Si V(x) > 0 \ {0}.Asimismo V(x) para y \ {0}. Entonces es globalmente asintticamente estable.Teorema 4 (LaSalle) Conjunto Local invariante Si V(x) > 0 \ {0}.Para algn valor de k>0, si:

es acotado

S es el conjunto de todos los puntos dentro de donde y , es el ms grande conjunto invariante en S.

Entonces, cada solucin generada dentro de converge a M. es el dominio de atraccin para M.

Teorema 5 (Ecuacin de Lyapunov- sistemas Lineales) Si , . Entonces:

asintticamene estable

Por simplicidad, se ha adoptado en todos los teoremas que V debe ser definida positiva en todo Rn. Para la visualizacin local no es suficiente la positividad en un entorno de reposo.

Es decir, la parte real de todos los valores propios de A estn en el semiplano izquierdo.

Es decir, la parte real de todos los valores propios de A no estn en el semiplano izquierdo.

Donde P EMBED Equation.3 es una matriz simtrica definida positiva.

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