Estabilidad global para el modelo discreto Lotka-Volterra...

Estabilidad global para el modelo discretoLotka-Volterra con competencia

intraespecie.

MARIA ÁNGEL RODRIGUEZ GIL

Universidad distrital Francisco José de caldasFacultad de ciencias y educación

proyecto curricular de matemáticasBogotá

2016

Estabilidad global para el modelo discretoLotka-Volterra con competencia

intraespecie.

MARIA ÁNGEL RODRIGUEZ GILTrabajo de grado para optar el titulo de matemática

DECCY YANETH TREJOS ÁNGELDirectora

Univeridad Distrital Fransisco José de CaldasFacultad de ciencias y edcuación

proyecto curricular de matemáticasBogotá

2016

NOTA DE ACEPTACIÓN

AUTOR

Fecha

Firma Jurado

Firma Jurado

DEDICATORIAA mis padres Alexandra Gil Perez y Alejandro Rodríguez Montejo,

por haberme apoyado en todo momento, por sus consejos,por la motivación constante para seguir luchando, y el gran esfuerzo

que han hecho para que yo pueda llegar hasta aqui.A mi abuelo José Gonzalo Rodríguez por su apoyo en el inicio de micarrera y sus concejos constantes para mantenerme en ella hasta el

final.

Agradecimientos

Mis más sinceros agradecimientos a Dios por que el siempre ha estadoen los momentos más difíciles donde uno quiere detener el tren y bajarsepronto, a mis padres por su constante apoyo y esfuerzo incansable enincentivarme a cumplir mis metas, a mi directora Deccy Yaneth TrejosÁngel , quien con sus conocimientos sobre el tema y apoyo constante,guió mi proceso desde el inicio hasta la culminación de este trabajo.

II

Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIPlanteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIIJustificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXObjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

0.0.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . X0.0.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . X

Capitulo 1 1

1. Preliminares 11.1. Sucesiones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Extremo superior y extremo inferior . . . . . . . 41.1.3. Axioma del extremo superior . . . . . . . . . . . 41.1.4. Límite superior e inferior de una sucesión . . . . 41.1.5. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Ecuaciones en diferencias de primer orden . . . . . . . . 51.2.1. Puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Clasificación de los puntos de equilibrio . . . . . 71.2.3. Criterios de estabilidad asintótica . . . . . . . . 91.2.4. Teorema del punto fijo de Brouwer . . . . . . . . 10

1.3. Sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Puntos de equilibrio de un sistema discreto . . . 111.3.2. Clasificación de los puntos fijos . . . . . . . . . . 12

1.4. Modelo Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

IV

1.4.1. Modelo presa depredador sin competencia intra-especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Modelo presa depredador con competencia intra-especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Capitulo 2 15

2. Dinámica del modelo discreto 162.1. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1. Análisis de estabilidad global . . . . . . . . . . . 172.2. Simulaciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusiones 33

Apéndices 352.4. Apéndice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Apendice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bibliografía 37

IntroducciónUna de las áreas de la matemática aplicada en la biología, es el estudiode la dinámica poblacional, hoy por hoy podemos notar en la naturale-za como las distintas especies luchan unas con otras por unos recursoslimitados, las cuales van por el objetivo de no estar en vía de extinción.Uno de los modelos cuantitativos de dicha interacción entre las especieses el modelo presa-depredador que describe la lucha constante por lasupervivencia entre dos especies en un mismo hábitat, siendo una deellas el alimento (presa) para la otra (depredador), dicho modelo estábasado en las ecuaciones propuestas de forma independiente por AlfredJ. Lotka en 1925 y Vito Volterra en 1926.

El presente trabajo de grado tipo monografía está basado en el artículoDynamics of a Discrete Lotka-Volterra model [3] donde se estudia ladinámica de un sistema discreto Lotka-Volterra con competencia intra-especie dado por:

xn+1 = αxn − βxnyn1 + γxn

yn+1 = δyn + εxnyn1 + ηyn

.

El trabajo se desarrollara de la siguiente manera; en el Capitulo 1 seenunciaran las definiciones y teoremas que son la teoría base para elanálisis de estabilidad global sobre el único punto interior del sistemaaquí planteado. Seguidamente en el Capitulo 2 de hace el desarrollo delanálisis global, sobre los puntos estabilidad del sistema, y por ultimo sedan las conclusiones del estudio realizado en este trabajo.

Planteamiento del problemaUna de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferencia-les, resulta de formar un sistema dinámico, que modele situaciones co-tidianas dependientes del tiempo, causantes de incentivar al científicoa estudiar específicamente los puntos de estabilidad de dicho sistema,objeto de estudio de la teoría de estabilidad la cual tiene como fin es-tablecer conclusiones claras del comportamiento de las soluciones delsistema al variar en un rango pequeño sus condiciones iniciales. Poresta razón se realizará un análisis global sobre dichos puntos de estabili-dad para poder argumentar ¿Bajo que condiciones el punto fijo interior(β−βδ+(−1+α)η

βε+γη , γ(−1+δ)+(−1+α)εβε+γη

), es globalmente asintóticamente esta-

ble?.

JustificaciónEn la biomatematíca se plantea lo que se conoce como punto de equili-brio ecológico, como consecuencia de la teoría homeostatica ó homeósta-sis [10],propuesta por el fisiólogo estadounidense Walter Bradford Can-non (1871−1945), la cual propone que los sistemas están en un equilibrioestable, por lo tanto será importante indagar acerca de la estabilidadde los puntos fijos del sistema dinámico planteado en el artículo Dyna-mics of a Discrete Lotka-Volterra model haciendo un análisis global dela estabilidad de dichos puntos, puesto que este modelo plantea la luchaconstante por la supervivencia entre dos especies en un mismo hábitatla cual bajo está teoría debe mantener algún equilibrio.

Objetivos0.0.1. Objetivo general

Analizar la estabilidad global del punto fijo positivo del modelomatemático estudiado en el artículo Dynamics of a Discrete Lotka-Volterra model .

0.0.2. Objetivos específicos

Identificar los puntos fijos del sistema matemático propuesto en elartículo “Dynamics of a Discrete Lotka-Volterra model”.

Analizar la de las soluciones del sistema de ecuaciones en dife-rencias propuesto en el artículo “Dynamics of a Discrete Lotka-Volterra model”.

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo se enuncian los conceptos básicos necesarios parala comprensión y análisis del artículo “Dynamics of a Discrete Lotka-Volterra model”.Qamar Din. 2013 [3]. Iniciaremos presentando una se-rie de resultados básicos acerca de sucesiones, subsucesiones, acotación,convergencia y teoría de estabilidad para ecuaciones en diferencias ysistemas de ecuaciones, que son la base teórica para el desarrollo de losobjetivos planteados.

1.1. Sucesiones numéricasDefinición 1. Una sucesión de números reales es una función δ delconjunto N en R.Como se sigue:

δ(1)→ x1

δ(2)→ x2

δ(3)→ x3...

δ(n)→ xn...

1

De manera que los xi ∈ R se llaman términos de la sucesión. Unasucesión de números reales se dice finita si su cantidad de términos esfinita, e infinita si la cantidad de sus términos es infinita.

Una sucesión infinita se representa por xn y xn recibe el nombre detérmino general el cual suele darse en forma de expresión matemática.

Ejemplo 1. Los primeros 4 terminos de la sucesion xn =

2n+1n+1

estan

dados por:

x1 = 2(1) + 11 + 1 = 3

2

x2 = 2(2) + 12 + 1 = 5

3

x3 = 2(3) + 13 + 1 = 7

4

x4 = 2(4) + 14 + 1 = 9

5

Definición 2. Una sucesión de números reales xn se dice:

Creciente si xn < xn+1 para todo n ∈ N

Decreciente si xn > xn+1 para todo n ∈ N

monótona si es creciente o decreciente.

Ejemplo 2. Dadas las siguientes sucesiones:

−1,−2, 3,−4, 5, 6,−7, ... no es monótona.

La sucesión de termino general an = n es monótona creciente perono estrictamente creciente.

−1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2... es monótona creciente pero no estrictamentecreciente.

la sucesión an =−n2 es monótona decreciente.

Definición 3. Dada una sucesión xn de llama:

Acotada superiormente si existe unM ∈ R tal que para todo n ∈ Nse cumple que xn ≤M .

Acotada inferiormente si existe unM ∈ R tal que para todo n ∈ Nse cumple que xn ≥M .

Acotada si es acotada superior e interiormente.

Ejemplo 3. La sucesión xn = 2n+1n es acotada inferiormente por 2 ya

que:

2n+ 1n

≥ 2

2n+ 1 ≥ 2n1 ≥ 0.

1.1.1. Convergencia

Definición 4. Una sucesión de númerica xn converge si y solo si paratodo ε > 0 existe N ∈ N tal que para todo m,n > N se cumple que|xm − xn| < ε.

Teorema 1. Dada xn una sucesión monótona. xn converge si ysolo si es acotada.

Dem: Ver demostración [6]. Página 58.

Ejemplo 4.

La sucesión xn = 1n es convergente, ya que es monótona decre-

ciente, pues para 0 < n < n+ 1 se cumple que 0 < 1n+1 <

1n ; y es

acotada puesto que para todo n ≥ 1 se tiene que 0 < 1n ≤ 1.

La sucesión xn = n2 diverge pues no es acotada, en efecto sim ∈ Rexiste un n ∈ N tal que m < n < n2 = xn.

1.1.2. Extremo superior y extremo inferior

Definición 5. Sea S un conjunto de números reales. Si existe un númeroreal b tal que x ≤ b para todo x de S, diremos que b es una cota superiorde S y que S est’a acotado superiormente por b.

Decimos una cota superior ya que cada número mayor que b tambiénes una cota superior.

Definición 6. Sea S un conjunto de números reales acotado superior-mente. Un número real b se denomina extremo superior o supremo deS, y escribimos b = supS, si se verifican las dos propiedades siguientes:

b es una cota superior de S.

Ningún número menor que b es cota superior de S.

El extremo inferior o ínfimo de S, designado por ınf S, se define deforma análoga.

1.1.3. Axioma del extremo superior

Axioma de completitud: Todo conjunto S no vacío de númeroreales acotado superiormente posee extremo superior. Es decir existe unnúmero real B tal que B = SupS. Como consecuencia de este axiomase deduce análogamente el siguiente teorema.

Teorema 2. Todo conjunto no vació S de número reales acotado infe-riormente posee extremo inferior. Es decir existe un número real L talque L = InfS.

Dem: Ver demostración en [5]. Página 31.

1.1.4. Límite superior e inferior de una sucesión

Dada una sucesión xn acotada se define para cada n ∈ N.

Xn = xn, xn+1, xn+2, ...

Dicho conjunto Xn es conformado por todos los términos de la sucesióna partir de n-ésimo. Como Xn ⊆ X1 y además la sucesión es acotada

entonces X1 es un conjunto acotado, luego Xn es acotado, por tantoexisten αn, βn tales que:

αn = inf (Xn)βn = sup (Xn)

Definición 7. Límite superior e inferior de una sucesión.Podemos definir el límite superior e inferior de una sucesión xn

de números reales como:

lımSup xn = Infm (Supn≥mxn)lım Inf xn = Supm (Infn≥mxn)

Si lımSup xn = lım Inf xn este valor se llama Limite de la sucesión.

Ejemplo 5.

Sea sn = (−1)n[1 + 1n ]. Entonces se cumple que

lım supn→∞

sn = 1, lım infn→∞

sn = −1

1.1.5. Subsucesiones

Definición 8. Sea (xn)n∈N y sea (nk)k∈N una sucesión estrictamentecreciente de números naturales, es decir que n1 < n2 < · · · < nk < · · · .Se define como Subsucesión de (xn)n∈N a la sucesión (xnk

)n∈N.

Ejemplo 6.

Sea xn = (−1)n una sucesión y nk = 2k una sucesión de númerosnaturales estrictamente creciente, luego la sucesión (xnk

) = (−1)2k

es una subsucesión de xn

1.2. Ecuaciones en diferencias de primer ordenUna ecuación en diferencias es una expresión matemática la cual

usualmente describe la evolución de cierto fenómeno con respecto al

tiempo. por ejemplo si una cierta población tiene generaciones discre-tas, el tamaño de la (n+ 1) generación x(n + 1) es una función dela n − esima generación x(n). Es decir se establece una relación derecurrencia. Relación que se representa por la siguiente ecuación en di-ferencias.

x(n+ 1) = f(x(n)).

La cual vista de otra forma a partir de un punto x0 nos lleva a generaruna sucesión de la forma:

x0, f(x0), f(f(x0)), · · · , fn(x0), · · ·

en donde fn(x0) es la n-ésima iteración de x0 sobre f .

1.2.1. Puntos de equilibrio

Definición 9. Un punto x∗ en el dominio de f se dice un punto deequilibrio de x(n + 1) = f(x(n)) si este es un punto fijo de f , es decir,f(x∗) = x∗.

Definición 10. Sea x un punto en el dominio de f . Si existen un enteropositivo r y un punto de equilibrio x∗ de x(n + 1) = f(x(n)) tal quef r(x) = x∗ y f r−1(x) 6= x∗, entonces x es eventualmente un punto deequilibrio.

Ejemplo 7. Sea f(x) = x3 los puntos de equilibrio son x∗1 = 1 , x∗2 = 0y x∗3 = −1 ya que f(1) = 1 , f(−1) = −1 y f(0) = 0 como se evidenciaa continuación:

Figura 1.1: Imagen realizada en [8].

1.2.2. Clasificación de los puntos de equilibrio

Para un estudio adecuado de los puntos de equilibrio es necesarioclasificarlos por lo cual vale la pena resaltar la siguiente definición:

Definición 11.

El punto de equilibrio x∗ de x(n+ 1) = f(x(n)) es estable, si dadoε > 0 existe δ > 0 tal que |x0−x∗| < δ implica que |fn(x0−x∗)| < εpara todo n > 0. Si x∗ no es estable, entonces es llamado inestable.

El punto x∗ se dice atractor si existe η > 0 tal que |x(0)−x∗ < η|implica que lımn→∞ x(n) = x∗.Si η =∞, x∗ es llamado un atractor global.

El punto x∗ es un punto de equilibrio asintóticamente estable si esestable y atractor.Ademas si η =∞, x∗ es llamado estable global asintóticamente.

Ejemplo 8. En las siguientes figuras se evidencia que:

x∗ es inestable. Ya que existe ε > 0 tal que sin importar que tancerca este x0 de x∗ habrá un N tal que |x(N)− x∗| > ε.

Figura 1.2: Imagen tomada de [2]. Sección 1.3. Página 12.

Para este caso x∗ es asintóticamente estable. Estable si que x(0)esta entre x∗ + η y x∗ + η entonces lımx→ınf x(n) = x∗


x∗ es globalmente asintóticamente estable. Ya que es estable ylımn→ınf x(n) = x∗ para todo x(0).


1.2.3. Criterios de estabilidad asintótica

Teorema 3. Sea x∗ un punto de equilibrio de la ecuación en diferencias:

x(n+ 1) = f(x(n))

donde f es continua y diferenciable en x∗. Los siguientes estamentos secumplen:

Si |f(x∗)| < 1 entonces x∗ es un punto asintóticamente estable.

Si |f(x∗)| > 1 entonces x∗ es un punto inestable.

Dem: Ver demostración en [2]. Página.28)

Ejemplo 9. En el Ejemplo 7 se analizó que los puntos de equilibriopara la función f(x) = x3 son x∗1 = 1, x∗2 = −1 y x∗3 = 0. En donde|f(1)| = 1, |f(−1)| = 1 y |f(0)| = 0. Así como el único caso donde|f(x∗)| < 1 es x∗3 = 0 entonces por el criterio anterior este punto esasintóticamente estable.

1.2.4. Teorema del punto fijo de Brouwer

Definición 12. Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función dada con dominioA. Sea x0 ∈ A. Decimos que f es continua en x0 si y solo si

lımx→x0

f(x) = f(x0)

Si decimos que f es continua, implica que f es continua en cada puntode A.

Teorema 4. Si f : A ⊂ Rn → Rm y f(x) = (f1(x), ..., fm(x)), entoncesf es continua si y solo si cada una de las funciones con valores realesf1, ..., fm es continua en x0.


Definición 13. Se dice que un subconjunto K de un espacio métrico Xes compacto si toda cubierta abierta de K tiene una subcubierta finita.

Teorema 5. Teorema de Heine-Borel Si un conjunto E de Rk escerrado y acotado entonces E es compacto.


Definición 14. Diremos que un subconjunto, A, de Rn es convexo sipara cada par de puntos, x, y ∈ A el segmento, [x, y], que une esos dospuntos está contenido en A. Es decir, r(t) = x+ t(y−x) ∈ A; ∀t ∈ [0, 1].

Teorema 6. Teorema del punto fijo de Brouwer Toda funcióncontinua de un espacio X en si mismo con X convexo, compacto tieneun punto fijo.


1.3. Sistema discretoUn sistema dinámico discreto es aquel en el cual el tiempo varia en pe-queños lapsos con t = 0, 1, 2, 3, ...n, ..., y son modelados como relacionesrecursivas. La importancia de los puntos de equilibrio de un sistema sedebe a que son soluciones constantes del sistema, y estas determinan elcomportamiento cualitativo de las soluciones.

1.3.1. Puntos de equilibrio de un sistema discreto

Definición 15. Considerando un sistema dinámico discreto 2-dimensionalde la forma :

xn+1 = f(xn, yn)yn+1 = g(xn, yn), n ∈ N

(1.1)

Donde f : I × J → I y g : I × J → J son funciones continuamentediferenciables con I, J algunos intervalos de números reales. Ademas,una solución (xn, yn)∞n=0 del sistema dado es única y determinada porla condición inicial (x0, y0) ∈ I × J . Diremos que (x, y) es un punto deequilibrio del sistema discreto aquí dado si satisface que:

x = f(x, y)

y = g(x, y)

Ejemplo 10. Dado el sistema discreto

xn+1 = 2xn + 0,5yn − 2yn+1 = 2xn + 1,5yn − 2, n ∈ N.

(1.2)

Veamos cuales son sus puntos fijos. Ya que las funciones asociadas alsistema están dadas por f(x, y) = 2x+0,5y−2 y g(x, y) = 2x+1,5y−2,para calcular sus puntos fijos se resuelve el sistema:

x = 2x+ 0,5y − 2y = 2x+ 1,5y − 2.

(1.3)

Y obtiene la solución x = 0 y y = 4, por tanto como se evidencia en lafigura 1.5 el único punto fijo del sistema esta dado por (0, 4).

Figura 1.5: Puntos fijos del sistema

1.3.2. Clasificación de los puntos fijos

Definición 16. Sea (x, y) un punto fijo del sistema (1.1):

Un punto de fijo se dice estable si para todo ε > 0 existe δ > 0 talque para toda condición inicial si ||(x0, y0)− (x, y)|| < δ entonces||(xn, yn) − (x, y)|| < ε para todo n > 0 donde ||.|| es la normaeuclidea usual en R2.

Un punto fijo (x, y)se dice inestable si no es estable.

Un puntos de fijo (x, y) se dice asintóticamente estable si existeη >0 tal que ||(x0, y0) − (x, y)|| < η y (xn, yn) → (x, y) cuandoη →∞.

Un punto fijo (x, y) es un atractor global si (xn, yn)→ (x, y) cuan-do η →∞.

Un punto de fijo (x, y) se dice asintóticamente atractor global si esatractor global y estable.

1.4. Modelo Lotka-VolterraLos precursores en la investigación que actualmente se conoce como Bio-logía Matemática, fueron el matemático y biólogo italiano Vito Volte-rra (1860-1940), y el matemático y físico de Lemberg Alfred J. Lotka(1880-1949). El modelo matemático analizado en la monografía (Lotka-Volterra), inicialmente fue resultado directo de Volterra, entre 1924 y1938. Aunque al mismo tiempo entre 1929 y 1939 Lotka trabajó de mane-ra independiente modelos poblacionales de este tipo con resultados máslimitados que Volterra [7].Un modelo poblacional es un sistema dinámico, compuesto por una ovarias ecuaciones diferenciales, que pretende predecir la evolución tem-poral en el número de individuos (o su densidad espacial) para un con-junto de especies. Para ello se parte de unas determinadas condicionesiniciales, y se asumen unas reglaModelos que representan la interacciónde las especies entre sí y su relación con el ecosistema o medio en el quehabitan, en términos de los recursos necesarios para la supervivencia[7].En la cadena alimenticia se evidencia que unas especies están en másdesventaja que otras para sobrevivir, pero existe una condición muy im-portante que es la interacción entre la misma especie por dominar, lacual puede variar su evolución temporal. Por eso de acuerdo a las con-diciones iniciales del sistema dinámico se describe el tipo de interacciónentre dos especies que conviven en un mismo habitad dado por:

Interacción presa-depredador, en la que la supervivencia de la es-pecie depredadora está condicionada a la existencia de otra especieque le sirve de presa.

Interacción competitiva: dos especies compiten por el mismo re-curso o recursos, pero no existe depredación directamente entreellas.

Interacción cooperativa, simbiótica o mutualismo: la supervivenciade cada especie se ve favorecida por la existencia de la otra.

1.4.1. Modelo presa depredador sin competencia intraes-pecie

Para dicho modelo poblacional tenemos dos especies, x la cantidad depresas y y el número de depredadores, las cuales conviven en un mismoecosistema. Se habla de competencia intraespecie porque no se consideracompetencia de ningún tipo de la población con ella misma por sobre-vivir. Este sistema fue planteado inicialmente por Volterra y esta dadopor:

dx

dt= x(a− by)

dy

dt= y(dx− c)

(1.4)

donde a, b, c, d son constantes positivas.

Para el caso donde no hay depredadores la ecuación para las presasse reduce a dx

dt = ax donde a es la constante de crecimiento intrín-seca para la población x. De lo contrario si el escenario muestraausencia de presas se obtiene la ecuación para los depredadoresdydt = −cy, la cual hace referencia a un decrecimiento exponencialy posteriormente llevara a la extinción. Por lo tanto c es la tasade decrecimiento intrínseca de la población y.

Las constantes condicionadas b > 0 y d > 0, corresponden a lostérminos cruzados −bxy y dxy para el sistema (1.4), representanlas interacciones entre las dos especies, de allí el producto xy lascuales en el caso del termino −bxy son desfavorables para la pre-sa, razón por la cual el termino es negativo y favorables para eldepredador en dxy.

1.4.2. Modelo presa depredador con competencia intra-especie

Este modelo poblacional se diferencia del anterior ya que las especiespresentan interacción entre ellas mismas, razón por la cual se incluyenlos términos bx2 y py2 en el sistema (1.4), y obteniendo:

dx

dt= ax− bx2 − cxy

dy

dt= mxy − ny − py2

(1.5)

con b > 0 y p ≥ 0.

Capítulo 2

Dinámica del modelodiscreto

Continuando con el desarrollo del trabajo, en este capitulo se de-muestran teoremas necesarios para hacer el análisis global de los puntosde equilibrio del sistema LOTKA-VOLTERRA planteado en el articuloDynamics of a Discrete Lotka-Volterra model.

2.1. Resultados previosEn el trabajo de grado Estabilidad local para el modelo dis-

creto Lotka-Volterra con competencia intraespecie [7] se analizólocalmente los puntos fijos del sistema discreto planteado en el articuloDynamics of a Discrete Lotka-Volterra model dado por:

xn+1 = αxn − βxnyn1 + γxn

yn+1 = δyn + εxnyn1 + ηyn

(2.1)

Donde α, β, ε, η, γ ∈ R+ y la condición inicial (x0, y0) son númerosreales positivos. Dicho modelo resulta de discretizar por el metodo de

16

euler el modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie (1.5).

En el trabajo de grado Estabilidad local para el modelo discretoLotka-Volterra con competencia intraespecie [7],se presentaronlos siguientes resultados: Este sistema tiene como puntos de equilibrioP1 = (0, 0), P2 =

(−1+αγ , 0

), P3 =

(0, −1+δ

η

), P4 =

(β−βδ+(−1+α)η


)los cuales bajo las condiciones de:

α < 1 y δ < 1 el punto P1 es el único punto localmente asintóti-camente estable.

α > 1 , δ < 1 y ε < γ−γδα−1 entonces P2 es localmente asintótica-

mente estable.

α < 1, δ > 1 entonces el punto P3 es localmente asintóticamenteestable.

α > 1, δ > 1 y η > −β+βδ−1+α entonces el punto P4 es el único local-

mente asintóticamente estable si Ω < (β(γ−γδ+ε)+αγη)2(γδη+ε(β + (−1 + α)))

Donde:

Ω = β3ε(γ2δ3 + αγδ2ε+ (5α+ δ)ε2)+ β2(γ3δ2 + γ(1 + α(5 + 2α+ 7δ))ε2 + 3α2ε3)η+ βγ(γ2(2α+ δ2) + αγ(7 + (3 + α)δ)ε+ (1 + α2 + α3)ε2)η2

+ αγ2(γ(1 + α+ δ) + αε)η3.

Así los resultados presentados a continuación muestran el análisisglobal del único punto fijo positivo del sistema (2.1).

2.1.1. Análisis de estabilidad global

Para hacer el análisis del modelo matemático, se demostrará el siguienteteorema que permitirá deducir cuando un sistema de la forma (1.1) tiene

un unico punto de equilibrio que satisface la definición de ser atractorglobal.

Teorema 7. Dados I = [a, b] y J = [c, d] intervalos reales, y sean f yg funciones continuas de manera que f : I × J → I y g : I × J → J . Siademas (x0, y0) ∈ I × J es una condición inicial para el sistema (1.1) ylas siguientes condiciones se cumplen:

1. f(x, y) es no decreciente en x y no creciente en y.

2. g(x, y) es no decreciente en x ni y.

3. Si (m1,M1,m2,M2) ∈ I2 × J2 es una solución del sistema:

m1 = f(m1,M2)m2 = g(m1,m2)M1 = f(M1,m2)M2 = g(M1,M2).

Tal que m1 = M1 y m2 = M2, entonces existe exactamente unpunto de equilibrio (x, y) del sistema (1.1) tal que lımn→∞(xn, yn) =(x, y) .

Dem: Dada la función F : I × J −→ I × J definida porF (x, y) = (f(x, y), g(x, y)), la función F es continua puesto que susfunciones componentes son continuas (Teorema 5), ya que I × J ⊂ R2

y este es cerrado y acotado, por Teorema de Heine-Borel (Teorema 6)I × J es un compacto en R2. Ademas esta región es representada por elinterior de un rectángulo con su frontera y se tendrá que para cualquierpar de puntos A,B ∈ I × J el segmento entre A y B esta en I × Jpor lo cual I × J es convexo. Luego se satisfacen todas las hipótesis delTeorema del punto fijo de Brouwer (Teorema 7), y podemos asegurar laexistencia del punto fijo de F el cual es un punto fijo de sistema (1.1).

Figura 2.1: Imagen realizada en [8].

Asumiendo que m01 = a, M0

1 = b, m02 = c, M0

2 = d como se ve en lafigura 2.1,tales que para i ≥ 0:

mi+11 = f(mi

1,Mi2)

M i+11 = f(M i

1,mi2)

mi+12 = g(mi

1,mi2)

M i+12 = g(M i

1,Mi2).

Como todas las imágenes de f están en I tenemos que

m01 ≤ f(m0

1,M02 )

yf(M0

1 ,m02) ≤M0

1 .

Ademas,m0

1 ≤M01

yM0

2 ≥ m02

al fijar m01 por ser f no creciente en y se obtiene

f(m01,M

02 ) ≤ f(m0

1,m02)

por otro lado fijando M02 por ser f no decreciente en x se satisface

f(m01,M

02 ) ≤ f(M0

1 ,M02 ).

Así se obtiene la siguiente desigualdad

m01 ≤ m1

1 ≤M11 ≤M0

1 . (2.2)

De la misma manera al estar todas las imágenes de g en J y al ser gno decreciente en x y no decreciente en y se obtiene la desigualdad:

m02 ≤ m1

2 ≤M12 ≤M0

2 . (2.3)

Seguidamente veamos que:

m11 ≤ m2

1 ≤M21 ≤M1

1

Como a = m01 ≤ m1

1 , d = M02 ≥ M1

2 , f es no decreciente en x y nocreciente en y entonces

f(m01,M

02 ) ≤ f(m1

1,M12 )

y se sigue quem1

1 ≤ m21.

Por (2.2) y (2.3) m11 ≤M1

1 y M12 ≥ m1

2 y bajo las mismas condicio-nes de f se sigue que:

f(m11,M

12 ) ≤ f(M1

1 ,m12)

es decirm2

1 ≤M21 .

Nuevamente por (2.2) y (2.3)M11 ≤ M0

1 y m12 ≥ m0

2 y por ser f nodecreciente en x y no creciente en y,

f(M11 ,m

12) ≤ f(M0

1 ,m02)

es decirM2

1 ≤M11 .

Luego la desigualdad m01 ≤ m1

1 ≤ m21 ≤ M2

1 ≤ M11 ≤ M0

1 se cumple.De manera similar se obtiene la desigualdad m0

2 ≤ m12 ≤ m2

2 ≤ M22 ≤

M12 ≤M0

2 .

Veamos que de manera general para i ≥ 0 se cumplen

mi1 ≤ mi+1

1 ≤M i+11 ≤M i

1

ymi

2 ≤ mi+12 ≤M i+1

2 ≤M i2.

Con anterioridad se probó que las proposiciones se cumplen para el casoi = 0 e i = 1. Supondremos que para i = k las proposiciones sonverdaderas, es decir que

mk1 ≤ mk+1

1 ≤Mk+11 ≤Mk

1

ymk

2 ≤ mk+12 ≤Mk+1

2 ≤Mk2

y se demotrará que se cumplen para el caso i = k + 1.

Por hipótesis de inducción tenemos que

mk1 ≤ mk+1

1 ≤Mk+11 ≤Mk

1

yMk

2 ≥Mk+12 ≥ mk+1

2 ≥ mk2.

y por ser f no decreciente en x y no creciente en y tenemos que :

f(mk1,M

k2 ) ≤ f(mk+1

1 ,Mk+12 ) ≤ f(Mk+1

1 ,mk+12 ) ≤ f(Mk

1 ,mk2),

es decirmk+1

1 ≤ mk+21 ≤Mk+2

1 ≤Mk+11 .

Y por las desigualdades de la hipótesis de inducción y ser g no decre-ciente en ambas componentes también se tiene que:

g(mk1,m

k2) ≤ g(mk+1

1 ,mk+12 ) ≤ g(Mk+1

1 ,Mk+12 ) ≤ g(Mk

1 ,Mk2 ),

es decirmk+1

2 ≤ mk+22 ≤Mk+2

2 ≤Mk2 .

Obteniendo así las siguientes desigualdades

a = m01 ≤ m1

1 ≤ · · · ≤ mi1 ≤M i

1 ≤M i−11 ≤ · · · ≤M0

1 = b

yc = m0

2 ≤ m12 ≤ · · · ≤ mi

2 ≤M i2 ≤M i−1

2 ≤ · · · ≤M02 = d

Ahora bien como xn = f(xn−1, yn−1) y yn = g(xn−1, yn−1) tenemosque x1 = f(x0, y0) y y1 = g(x0, y0) los cuales iterativamente bajo lascondiciones de f y g satisfacen que para n ≥ i, mi

1 ≤ xn ≤ M i1 y

mi2 ≤ yn ≤M i

2 en particular lo anterior se cumple para n ≥ 2i+ 1.

Como los mi1,m

i2 y M i

1,Mi2 están acotados y la sucesión es monóto-

na existen m1 = lımn→∞mi1, m2 = lımn→∞m

i2, M1 = lımn→∞M

i1 y

M2 = lımn→∞Mi2. Además, mi

1 ≤ M i1 y los mi

2 ≤ M i2 se tiene que

a ≤ m1 ≤ M1 ≤ b y c ≤ m2 ≤ M2 ≤ d, al ser f y g funcionescontinuas y lımn→∞m

i1 = lımn→∞m

i+11 , lımn→∞m

i2 = lımn→∞m

i+12 ,

lımn→∞Mi1 = lımn→∞M

i+11 , lımn→∞M

i2 = lımn→∞M

i+12 entonces:

m1 = f(m1,M2)M1 = f(M1,m2)m2 = g(m1,m2)M2 = g(M1,M2).

Ya quemi+1

1 = f(mi1,M

i2) ≤ f(M i

1,mi2) = M i+1

1

ymi+1

2 = f(mi1,m

i2) ≤ f(M i

1,Mi2) = M i+1

2

entonceslımn→∞

mi+11 = lım

n→∞M i+1

1

ylımn→∞

mi+12 = lım

n→∞M i+1

2 ,

por tanto m1 = M1 y m2 = M2 luego (m1,m2) es un punto fijo delsistema ya que:

m1 = f(m1,m2)m2 = g(m1,m2).

Además, m1 = lımn→∞mi1 = lımn→∞ xn y m2 = lımn→∞m

i2 = yn.

Ahora bien si suponemos que existe otro punto (x, y) tal que lımn→∞ xn =x y lımn→∞ yn = y, por la unicidad del limite necesariamente m1 = xy m2 = y. Por tanto el punto fijo que satisface dicha condición para elsistema (1.1) es único.

El teorema anterior aquí demostrado es necesario para demostrar el casoparticular con el sistema (2.1), es decir analizar globalmente los puntosde estabilidad de dicho sistema, como se evidencia en el teorema 9.

Teorema 8. Si ηγ − βε 6= 0, entonces el único punto de equilibriopositivo de (2.1) es un atractor global.

Dem: Dadas las funciones asociadas al sistema (2.1)

f(x, y) = αx− βxy1 + γx

yg(x, y) = δy + εxy

1 + ηy,

donde α, δ, β, ε, γ, η ∈ R+, son funciones continuas por la manera en laque se definen.

Como f(x, y) ≥ 0 por definición, entonces αx−βxy1+γx ≥ 0 lo cual ocurre si

y solo si α − βy ≥ 0. Por tanto si x, x1 ∈ I = [a, b] ⊆ R+ y y ∈ J =[c, d] ⊆ R+ donde x ≤ x1 , se tendrá que:

(α− βy)(x− x1) ≤ 0

luegoαx− αx1 − βxy + βx1y ≤ 0

sumando y restando αγxx1 y βγxx1y.

αx+ αγxx1 − βxy − βγxx1y − αx1 − αγxx1 + βx1y + βγxx1y ≤ 0

por tanto

(αx− βxy)(1 + γx1)− (αx1 − βx1y)(1 + γx) ≤ 0

además por ser 1 + γx ≥ 0 y 1 + γx1 ≥ 0 se tiene que:

(αx− βxy)(1 + γx1)− (αx1 − βx1y)(1 + γx)(1 + γx)(1 + γx1) ≤ 0

de dondef(x, y) ≤ f(x1, y1)

y se concluye que la función f es no decreciente en x.Por otro lado si y, y1 ∈ J = [c, d] ⊆ R+ donde y ≥ y1 y x ∈ I = [a, b] ⊆R+, se tendrá que:

−βx(y − y1) ≤ 0

sumando y restando αx.

αx− βxy − αx+ βxy1 ≤ 0

ademas por ser 1 + γx ≥ 0 se tiene que:

αx− βxy − αx+ βxy11 + γx

≤ 0

de dondef(x, y) ≤ f(x, y1)

y se concluye que la función f es no creciente en y.

Además si x, x1 ∈ I = [a, b] ⊆ R+ y y ∈ J = [c, d] ⊆ R+ dondex ≤ x1.Como εy ≥ 0 entonces

εy(x− x1) ≤ 0

donde sumando y restando δy

δy + εxy − δy − εx1y

por ser 1 + ηy ≥ 0

δy + εxy

1 + ηy− δy + εx1y

1 + ηy≤ 0

por tantog(x, y) ≤ g(x1, y)

y se concluye que la función g es no decreciente en x.

Por otro lado si y, y1 ∈ J = [c, d] ⊆ R+ y x ∈ I = [a, b] ⊆ R+ dondey ≤ y1, al ser

(δ + εx)(y − y1) ≤ 0

δy − δy1 + εxy − εxy1 ≤ 0

al sumar y restar δηyy1 y εηxyy1

δy + εxy + δηyy1 + εηxyy1 − δy1 − εxy1 − δηyy1 − εηxyy1 ≤ 0

luego(δy + εxy)(1 + ηy1)− (δy1 + εy1)(1 + ηy) ≤ 0

ademas por ser (1 + ηy)(1 + ηy1) ≥ 0 se tiene que:

(δy + εxy)(1 + ηy1)− (δy1 + εy1)(1 + ηy)(1 + ηy)(1 + ηy1) ≤ 0

de dondeg(x, y) ≤ g(x1, y)

y se concluye que la función g es no decreciente en y.

Sea (m1,M1,m2,M2) una solución positiva del sistema:

m1 = f(m1,M2)M1 = f(M1,m2)m2 = g(m1,m2)M2 = g(M1,M2).

entonces

m1 = αm1 − βm1M21 + γm1

M1 = αM1 − βM1m21 + γM1

.

(2.4)

m2 = δm2 + εm1m21 + ηm2

M2δM2 + εM1M2

1 + ηM2.

(2.5)

como m1,M1 ∈ R+ de (2.4) se deducen las siguientes igualdades

1 + γm1 = α− βM2

y1 + γm1 = α− βM2

las cuales al ser restadas se obtiene:

γ(m1 −M1) = β(m2 −M2) (2.6)

Análogamente por ser m2,M2 ∈ R+ de (2.5) se deducen las siguientesigualdades

1 + ηm2 = δ − εm1

y1 + ηM2 = δ − εM1

las cuales al ser restadas se obtiene:

η(m2 −M2) = ε(m1 −M1) (2.7)

Así multiplicando (2.6) y (2.7) se obtienen las igualdades:

(γη − βε)(m1 −M1) = 0

y(γη − βε)(m2 −M2) = 0.

Pero por hipótesis ηγ − βε 6= 0 de donde se deduce que m1 = M1 ym2 = M2 y se satisfacen las condiciones del teorema anterior (Teorema8) por lo cual existe el único punto fijo (m1,m2) del sistema tal quelımn→∞ xn = m1 y lımn→∞ yn = m2 , además como m1,m2 ∈ R+ parael sistema (2.1) el único punto fijo que es global atractor es el punto(m1 = β−βδ+(−1+α)η

βε+γη ,m2 = γ(−1+δ)+(−1+α)εβε+γη ).

Seguidamente veamos que este punto P4 bajo ciertas condiciones en lasconstantes es globalmente asintóticamente estable, lo cual concluirá elanálisis global de los puntos fijos del sistema (2.1).

Teorema 9. Si α > 1, δ > 1 y ηγ − βε 6= 0. Entonces el único puntode equilibrio positivo (x, y) =

(β−βδ+(−1+α)η


)es global

asintóticamente estable.

Dem: Uno de los resultados previos obtenidos en el trabajo de grado Es-tabilidad local para el modelo discreto Lotka-Volterra con com-petencia intraespecie. fue que el punto

(β−βδ+(−1+α)η


)bajo estas condiciones es asintóticamente estable, además por el teoremaanterior tenemos que este punto es un atractor global. Luego el puntofijo

(β−βδ+(−1+α)η


)es global asintóticamente estable.

2.2. Simulaciones NuméricasEn esta sección se realizará la solución numérica del sistema de ecua-

ciones diferenciales no lineales (2.1), que describe la iteracción de dospoblaciones una presa y la otra depredadora con competencia intraespe-cie, también llamado Modelo Lotka-Volterra, por medio de dos métodosnuméricos; el primer método empleado para obtener la solución numé-rica de este sistema fué el método Runge-Kutta de orden 4 [11], el cuales implementado en ambiente Matlab con el comando ODE45 [11] y elsegundo método iterativo consiste en utilizar el sistema discreto racional(2.1) obtenido apartir del sistema [7], donde los parámetros del sistema(2.1) son: α = a+ 1, β = b, γ = e, δ = 1− c, ε = d y η = f , también sediseña un código de iteracción en Matlab para visualizar la convergenciade las soluciones.

Se hizó varios ensayos computacionales para simular el comporta-miento de las dos poblaciones en los dos métodos descritos, se tomó losvalores de los parámetros y de las poblaciones iniciales del articulo [3],y se obtuvo los siguientes escenarios:

Escenario 1. En este escenario se tomó los siguientes valores para losparámetros α = 1,001, β = 0,003, γ = 0,6, δ = 1,002, ε = 1,7, η =0,9 y para la condición inicial x0 = 0,0002 y y0 = 0,0006, la figura1.a aproxima la solución del sistema (2.1) por el método ODE45y la figura 1.b empleando el método discreto.

Figura 2.2: Simulaciones numéricas del sistema (2.1) con 50000 iteracio-nes; a) Método Runge-Kutta. b) Método discreto

Escenario 2. Para este escenario se consideró los valores para los pa-rámetros α = 2,5, β = 0,7, γ = 2,3, δ = 2,7, ε = 4,2, η = 6,8 y parala condición inicial x0 = 0,84 y y0 = 0,5, la figura 2.a aproximala solución del sistema (2.1) por el método ODE45 y la figura 2.bempleando el método discreto.

Figura 2.3: Simulaciones numéricas del sistema (2.1) con 50 iteraciones;a) Método Runge-Kutta. b) Método discreto

Escenario 3. Parámetros α = 2,2, β = 1,7, γ = 20,5, δ = 6, ε = 0,2, η =2,8 y para la condición inicial x0 = 0,7 y y0 = 0,8 la figura 3.aaproxima la solución del sistema (2.1) por el método ODE45 y lafigura 3.b empleando el método discreto.


Escenario 4. En este último escenario se tomó: α = 170, β = 11, γ =2,7, δ = 50, ε = 1,7, η = 7 y para la condición inicial x0 = 7 yy0 = 5, la figura 4.a aproxima la solución del sistema (2.1) por elmétodo ODE45 y la figura b.b empleando el método discreto.


2.3. Trabajos futurosComo trabajo posterior o para tener en cuenta en otros trabajos

de grado es plantear y realizar un estudio analítico del modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie incluyendo operadores de Volte-rra, reconstruyendo el análisis de estabilidad, ya que desborda el objetivode este trabajo.

Conclusiones

Aplicando el teorema 8 al modelo matemático obtenido en la dis-cretización por el método de Euler del sistema presa−depredadorcon competencia intraespecie, se concluye que el sistema (2.1) conηγ − βε 6= 0 tiene un único punto de equilibrio que satisface ladefinición de ser atractor global. Dicho teorema permite hacer elanálisis global sobre el único punto fijo positivo del sistema.

El teorema del punto fijo de Brouwer es fundamental paradeterminar la existencia del punto fijo en el modelo matemático,al demostrar que la región donde se define una función continuadada por F (x, y) = (f(x, y), g(x, y))es convexa y compacta.

Este trabajo se centró en estudiar la convergencia de las solucionespositivas del sistema discreto (2.1) obtenido apartir del sistemacontinuo Lotka-Volterra (1.5) por medio del método de Euler conh = 1. La restricción α > 1, δ > 1 y ηγ − β 6= 0 son condicionessuficiente y necesaria para que el punto fijo de sistema (m1 =β−βδ+(−1+α)η

βε+γη ,m2 = γ(−1+δ)+(−1+α)εβε+γη ) sea un atractor global, esto

es las soluciones convergen hacia este único punto interior, ya quesatisface todas las hipótesis del teorema 8.

Con respecto a las simulaciones numéricas que se realizaron sepudo observar, que el método Runge-Kutta implementado en am-biente Matlab presenta un gran costo computacional comparadocon el segundo método iterativo, considerando el incremento depaso h = 1, además este método en asintóticamente estable te-niendo en cuenta las restricciones anteriormente mencionadas.

33

Como resultado de este trabajo se puede concluir que para el sis-tema (2.1) con α > 1, δ > 1 y ηγ − βε 6= 0, el único puntofijo que es un atractor global es el punto interior en la región, elcual esta dado por

(β−βδ+(−1+α)η


). Además este

punto satisface la definición de ser estable, y por tanto es globalasintóticamente estable.

En las simulaciones numéricas se verifica que el punto fijo delmodelo discreto (2.1) es exactamente igual al punto de equilibriodel modelo continuo (1.5 ).

Apéndices

2.4. Apéndice 1En este apéndice se muestra el código utilizado en matlab con el me-todo de Runge-Kutta ODE45 para realizar las simulaciones numéricaspresentadas en la monografía.

35

2.5. Apendice 2En este apéndice se muestra el código utilizado en matlab con el

método desarrollado en la monografía (discreto, racional) para realizarlas simulaciones numéricas presentadas.

Bibliografía

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[2] ElaydiS. An Introduction to Difference Equations. Tercera edición.Departamento de matemáticas, universidad de San Antonio, Texas,USA, Editorial Board 2010.

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39

[10] Definición.De (Homeóstasis).Definición de homeóstasis - Qué es,Significado y Concepto. Diccionario en linea. Recuperado dehttp://definicion.de/homeostasis/

[11] Burden, R. L and Faires, J. D. Análisis Numérico. Séptima edi-ción. Thomson, 2003.

[12] Matlab 7.6.0.340 Versión R2008a.

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