Estabilidad de Cuerpos Flotantes y Sumergidos

PRACTICA DE LABORATORIO N°2


ESTATICA DE LOS FLUIDOS – ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS

I. INTRODUCCION

La estática de fluidos estudia el equilibrio de gases y líquidos. A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tenga algunas características diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de presión y de empuje que pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de la estática de gases.

Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. La materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro, es decir, tiene la capacidad de fluir.

Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante que no puede mortificarse apreciablemente por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles.

Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden ser comprimidos.El estudio de los fluidos en equilibrio constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte de la física que comprende la hidrostática o estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en particular del aire.

II. OBJETIVOS1.1. Objetivos de comprensión

Determinar en forma práctica las fuerzas de empuje generadas por un fluido sobre un cuerpo

Encontrar el principio de Arquímedes en forma experimental rápida y sencillamente

1.2. Objetivos de aplicación Aplicar experimental el principio de Arquímedes basado en problemas de

flotación Verificar las fuerzas de empuje del objeto sumergido dado para la práctica

(W=E) Estudiar el principio de Arquímedes y las condiciones de estabilidad rotacional Verificar que la altura del metacentro experimental del cuerpo flotante es

aproximadamente constante o igual al valor teórico

Ing. José Longa Álvarez Página 1


Determinar el centro de gravedad del solido Determinar el metacentro, el calado, la altura metacéntrica y el momento

restaurador o par restaurador.

III. MARCO TEORICO

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical y obedece al equilibrio existente entre el peso del cuerpo (W) y la fuerza de flotación (FF):

FF = W (en el equilibrio)

Ambas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la misma línea. La fuerza de flotación estará aplicada en el centro de flotación (CF) y el peso estará aplicado en el centro de gravedad (CG).

La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos:

1. ESTABILIDAD LINEAL

Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. Este desplazamiento provoca una disminución del volumen de fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente. Como se rompe el equilibrio existente

entre la fuerza de flotación y el peso del cuerpo (FF W), aparece una fuerza restauradora de dirección vertical y sentido hacia abajo que hace que el cuerpo regrese a su posición original, restableciendo así el equilibrio. De la misma manera, si desplazamos el cuerpo verticalmente hacia abajo, aparecerá una fuerza restauradora vertical y hacia arriba que tenderá a devolver el cuerpo a su posición inicial. En este caso el centro de gravedad y el de flotación permanecen en la misma línea vertical.



2. ESTABILIDAD ROTACIONAL

Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotación y el peso no son colineales provocando la aparición de un par de fuerzas restauradoras. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del cuerpo determinará el tipo de equilibrio en el sistema:

Equilibrio estable: cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posición original. Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación.

Equilibrio inestable: cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido. Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación.

Equilibrio neutro: cuando no aparece ningún par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular. Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es homogénea, de manera que el centro de gravedad coincide con el centro de flotación.



ESTABILIDAD DE CUERPOS PRISMÁTICOS

Hay ciertos objetos flotantes que se encuentran en equilibrio estable cuando su centro de gravedad está por encima del centro de flotación. Esto entra en contradicción con lo visto anteriormente acerca del equilibrio, sin embargo este fenómeno se produce de manera habitual, por lo que vamos a tratarlo a continuación. Vamos a considerar la estabilidad de cuerpos prismáticos flotantes con el centro de gravedad situado encima del centro de flotación, cuando se producen pequeños ángulos de inclinación. La siguiente figura muestra la sección transversal de un cuerpo prismático que tiene sus otras secciones transversales paralelas idénticas. En el dibujo podemos ver el centro de flotación CF, el cual está ubicado en el centro geométrico (centroide) del volumen sumergido del cuerpo (Vd). El eje sobre el que actúa la fuerza de flotación FF está representado por la línea vertical AA’ que pasa por el punto CF. Vamos a suponer que el cuerpo tiene una distribución de masas homogénea, por lo que el centro de gravedad CG estará ubicado en el centro geométrico del volumen total del cuerpo (V). El eje vertical del cuerpo está representado por la línea BB’ y pasa por el punto CG. Cuando el cuerpo está en equilibrio, los ejes AA’ y BB’ coinciden y la fuerza de flotación y el peso actúan sobre la misma línea vertical, por tanto son colineales, como muestra la figura.



Ahora inclinamos el cuerpo un ángulo pequeño en sentido contrario a las agujas del reloj. Como vemos, el volumen sumergido habrá cambiado de forma, por lo que su centroide CF habrá cambiado de posición. Podemos observar también que el eje AA’ sigue estando en dirección vertical y es la línea de acción de la fuerza de flotación.

Por otro lado, el eje del cuerpo BB’ que pasa por el centro de gravedad CG habrá rotado con el cuerpo. Ahora los ejes AA’ y BB’ ya no son paralelos, sino que forman un ángulo entre sí igual al ángulo de rotación. El punto donde intersectan ambos ejes se llama METACENTRO (M). En la figura siguiente podemos ver que el metacentro se encuentra por encima del centro de gravedad y actúa como pivote o eje alrededor del cual el cuerpo ha rotado.

Como sabemos, la fuerza de flotación actúa verticalmente en el centroide CF y a lo largo del eje AA’, mientras que el peso actúa sobre el centro de gravedad CG y también en dirección vertical. En esta configuración ambas fuerzas no son colineales, por lo que actúan como un par de fuerzas restauradoras que hacen girar el cuerpo en sentido contrario a la rotación producida en un principio, devolviendo al cuerpo a su posición inicial. Se dice entonces que el cuerpo se encuentra en equilibrio estable.

Si la configuración del cuerpo es tal que la distribución de masas no es homogénea, la ubicación del metacentro puede cambiar. Por ejemplo, consideremos un cuerpo prismático cuyo centro de gravedad se encuentre sobre el eje vertical del cuerpo BB’ pero descentrado, como indica la siguiente figura.



Cuando inclinamos el cuerpo, puede ocurrir que el metacentro M esté ubicado ahora por debajo del centro de gravedad. Como el metacentro actúa de eje de rotación alrededor del cual el cuerpo gira, el par de fuerzas W, FF actúan como un par de fuerzas restaurador, haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el que se realizó la rotación y dándole la vuelta, sin alcanzar la posición que tenía inicialmente. Se dice entonces que el cuerpo presenta equilibrio inestable.

En resumen, cuando el metacentro M se encuentra por encima del centro de gravedad CG, el cuerpo presenta equilibrio estable. Cuando el metacentro se encuentra por debajo de CG el equilibrio es inestable; y cuando el metacentro coincide con CG, está en equilibrio neutro.

La distancia entre el metacentro y el centro de flotación se conoce como "altura metacéntrica" y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo. Esta distancia se calcula mediante la siguiente expresión

MF= IV d

Donde I es el momento de inercia de la sección horizontal del cuerpo flotante y

Vd es el volumen de fluido desplazado por el cuerpo

IV. MATERIALES Y EQUIPOS Sólido de madera.



Regla graduada.

1 tina.

Transportador.



Balanza

V. METODOLOGIA Y PROCEDIMIENTO

Para este laboratorio de práctica de cuerpos flotantes y sumergidos se mandó a hacer un sólido de madera de forma irregular como el que se muestra a continuación:

Determinamos las dimensiones del cuerpo flotante (ancho, largo y alto), esto para cada parte que compone el sólido, hallando su volumen y su centro de gravedad

solido X Y Z Volumen X*vol Y*vol Z*volparalelepipedo 1.75 3.5 1.75 85.75 150.06 300.13 150.06

cubo 1.75 1.75 1.75 42.875 75.03 75.03 75.03cuña triangular 3.5 1.17 1.17 21.4375 75.03 25.01 25.01cuña triangular 3.5 1.17 1.17 21.4375 75.03 25.01 25.01

Suma 10.5 7.58 5.8 171.5 375.16 425.18 275.11

Aplicando la fórmula del centro de gravedad no sale que el centro de gravedad seria:

CG (3.4, 3.3, 3.4)

CALCULO DEL VOLUMEN DEL SOLIDO



CUBO:

Vcubo= 3.5x3.5x3.5= 42.875 cm³

Vcubo= 42.875cm³

CUÑA TRIANGULAR:

Vcuña triangular=3.5 (3.5) (3.5)/2

Vcuña triangular= 21.4375cm³

CUÑA:

Vcuña: 7.9*6.5/2*8

Vcuña: 24.5 cm³

Por lo que el volumen total será:

Vtotal= V.CUBO – (3Vcubo pequeño+ Vcuña triangular + Vcuña)

Vtotal= 343 cm³ - (3x42.875 + 21.4375 + 24.5)cm³

Vtotal= 168.4375 cm³



Luego pesamos el sólido, este tiene un peso de Ws = 185 gr

Introducimos el cuerpo (con todos sus componentes) en el fluido y remarcamos el nivel hasta donde llega el agua con un lapicero y de paso calculamos el ángulo de giro, además de hallar el empuje y demostrar que el peso es igual al volumen de agua desplazada. Hallamos la altura del calado, que es la distancia desde la parte más baja del solido hasta el nivel de agua

Angulo de giro: 22.5°

Altura del calado: 4.2 cm

Densidad del agua: 1 gr/cm3

DEMOSTRACION DEL PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Primero se halló el volumen del recipiente con agua y se obtuvo

Área = 95.06 cm

H = 7.9 cm

Volumen inicial = 750 cm3

Luego se introdujo el sólido y se halló nuevamente el volumen:

Área = 95.06 cm

H2 = 8.1 cm

Volumen final = 770.006 cm3

Por diferencia de volúmenes se tiene:

Volumen final – Volumen inicial = 19.02 cm3

Ahora calculamos la fuerza de empuje que es igual a:

E=ρ∗g∗v

E=(1 gr

cm3 )∗(9.81m

s2 )∗(19.02cm3)

E=186.59 grm

s2



Por equilibrio:

w=185 gr

E=186.59

Como podemos observar existe un pequeño margen de error

error=186.59−185185

∗100

error=0.86 %

Ahora podemos concluir que se cumple el principio de arquimedes

Distancia entre el centro de presiones inicial y el centro de presiones final ya girado:

E ×r=γθ I y

r=γθ I y

W

r=M C p∗senθ

M CG= rθ−CG C p

aM CG

=senθ

a=( rθ−CG Cp)senθ



Utilizamos las formulas descritas anteriormente y se tiene:

CG (3.4, 3.3, 3.4)

Calculamos el centro de presiones y producto de presiones.

IX = bh3/12 y Iy = hb3/12 Ixy = b2h2/4

Dónde:

b= 10.3 cm

h= 10.2 cm

IX = 910.67 y Iy = 928.82 Ixy = 2759.4

Calculo del centro de presiones:

Xp= Ixy / Ay ± x = 2.05

Xp= Ixy / Ay ± y = 2.13

Procedemos al cálculo del momento restaurador ¨MR¨

r=γθ I y

W=

1000∗22.5 π180

∗928.82

0.185=4.3cm

r=M C p∗senθ→ M C p=4.3

sen (22.5 )=6.7cm

M CG= rθ−CG C p… …..(1)

Coordenadas de CGC p (4.25; 4.12)

longitud deCG Cp=5.9cm



Remplazando en (1):

M CG= rθ−CG C p=

6.72 2.5π

180

−5.9=3.7cm

Procedemos a calcular ¨ a¨:

aM CG

=senθ →a=M CG∗senθ=3.7∗sen (22.5 )=2.38cm

Entonces calculamos el momento restaurador:

M r=Wa=0.185kg∗2.38cm=3.57kg−cm

M r=0.0357 Kg−m



VI. DISCUSION DE RESULTADOS

A continuación se muestran todos los resultados:

CG (3.4, 3.3, 3.4) Angulo de giro: 22.5° Altura del calado: 4.2 cm Densidad del agua: 1 gr/cm3 Xp= Ixy / Ay ± x = 2.05 Xp= Ixy / Ay ± y = 2.13

CGC p (4.25; 4.12)

M r=0.0357 Kg−m

VII. JUSTIFICACION

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Arquímedes (287-212 A. C.) se inmortalizó con el principio que lleva su nombre, cuya

forma más común de expresarlo es: todo sólido de volumen V sumergido en un fluido, experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. Matemáticamente pude ser definido como:

E=V Desplazado× ρ×g Ecuación 1

Empuje.

V : Volumen de fluido desplazado.

ρ : Densidad del fluido.

g : Gravedad (9,81 m/s2).


:E


El principio de Arquímedes implica que para que un cuerpo flote, su densidad debe ser menor a la densidad del fluido en el que se encuentra.

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS EN UN FLUIDO

Un cuerpo en un fluido es considerado estable si regresa a su posición original después de habérsele girado un poco alrededor de un eje horizontal. Las condiciones para la estabilidad son diferentes para un cuerpo completamente sumergido y otro parcialmente sumergido (se encuentra flotando). Los submarinos son un ejemplo de cuerpos que se encuentran completamente sumergidos en un fluido. Es importante, para este tipo de cuerpos, permanecer en una orientación específica a pesar de la acción de las corrientes, de los vientos o de las fuerzas de maniobra.

Condición de estabilidad para cuerpos sumergidos: la condición para la estabilidad de cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad (G) del cuerpo debe estar por debajo del centro de flotabilidad (B). El centro de flotabilidad de un cuerpo se encuentra en el centroide del volumen desplazado, y es a través de este punto como actúa la fuerza boyante (flotación) en dirección vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de gravedad.

Cuando un cuerpo está totalmente sumergido pueden ocurrir tres casos según el centroide del líquido desplazado (B), esté sobre, coincida o esté más abajo que el centro de masa o centro de gravedad del cuerpo (G). La figura 1 ilustra los tres casos. En el primer caso, no aparece par al girar el cuerpo, luego el equilibrio es indiferente. En el segundo caso, la fuerza de empuje actúa más arriba del peso, luego para una ligera rotación del cuerpo, aparece un par que tiende a restaurar la posición original, en consecuencia este equilibrio es estable. En el último caso, el par que se origina tiende a alejar el cuerpo de la posición de equilibrio, lo cual es en consecuencia la condición de cuerpo inestable.


G G

GB

B

B

G G

BB

M


Fig. 1 Estabilidad de cuerpos sumergidos.

Condición de estabilidad para cuerpos flotantes: la condición para la estabilidad de cuerpos flotantes es que un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad (G) está por debajo del metacentro (M). El metacentro se define como el punto de intersección del eje vertical de un cuerpo cuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical que pasa por el centro de flotabilidad (B) cuando el cuerpo es girado ligeramente.

Fig. 2 Estabilidad de cuerpos flotantes.

VIII. ALCANCES

Ecuaciones para el desarrollo:



W =γ⋅V S ∴ ¿ [ W: peso del cuerpo flotante ¿ ] [ γ: peso específico del fluido ( γagua=1000kg f /m3 )¿ ]¿¿

¿

V S=D⋅L⋅hS ∴ ¿ [D: ancho del cuerpo flotante ( lado más angosto )¿ ] [ L: largo del cuerpo flotante ¿ ]¿¿

¿

QMT=BM+QB ∴ [QMTeórico ; QB=hS

2 ]

BM= IV S

∴ [I: segundo momento de área I=L⋅D3

12 ]

QME=GM+QG ∴ [QMExperimental ]

GM= wW

⋅(dxdθ )⋅57,3 ∴ [ w: peso deslizable (0,2 kg f ) ]

IX. CONCLUSIONES Se calculó el momento restaurador del solido sumergido.

Se observa que el M CG>0 por tanto podemos concluir que existe una flotación

ESTABLE. Se observó y se realizó el experimento con la mayor transparencia posible de tal

manera que evitemos los menores errores posibles. Se observó que en un instante el sólido tiene una estabilidad lineal en un instante

muy pequeño.

X. RECOMENDACIONES



Se calculó el momento restaurador del solido sumergido.

Se observa que el M CG>0 por tanto podemos concluir que existe una flotación

ESTABLE. Se observó y se realizó el experimento con la mayor transparencia posible de tal

manera que evitemos los menores errores posibles. Se observó que en un instante el sólido tiene una estabilidad lineal en un instante

muy pequeño.

XI. BIBLIOGRAFIA http://ingenieria-civil2009.blogspot.com/2010/08/estabilidad-de-cuerpos-flotantes-

y.html. http://fluidos.eia.edu.co/tfluidos/guiaslabfluidos/labestabilidad.html. http://html.rincondelvago.com/flotabilidad-y-estabilidad.html http://www.entradas.zonaingenieria.com/2010/08/estabilidad-de-cuerpos-flotantes-

y.html http://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtml#ixzz2ZV7VHDzl

Dinámica de los fluidos con aplicación en la Ingeniería - James W. Daily - Donald R.F. Harleman

Fundamentos y Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos - Barrero Ripoll


http://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtml#ixzz2ZV7VHDzl

http://www.entradas.zonaingenieria.com/2010/08/estabilidad-de-cuerpos-flotantes-y.html

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http://fluidos.eia.edu.co/tfluidos/guiaslabfluidos/labestabilidad.html

http://ingenieria-civil2009.blogspot.com/2010/08/estabilidad-de-cuerpos-flotantes-y.html

http://ingenieria-civil2009.blogspot.com/2010/08/estabilidad-de-cuerpos-flotantes-y.html

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