Departamento de Física Aplicada ETS Náutica Universidad de Cantabria Curso 2019 - 2020

FÍSICA I

Profesor responsable: Vidal Fernández Canales Contacto: fernancv@unican.es Conocimientos previos: Física y Matemáticas de Bachillerato Competencias generales: Capacidad de abstracción, análisis, síntesis y resolución de problemas

Capacidad de pensamiento crítico y creativo Más información: http://personales.unican.es/fernancv/Fisica y moodle.unican.es

CONTENIDOS del cuaderno

Calendario académico 2

Horario 3

Programa 4

Normativa de evaluación 5

Problemas 7

Prácticas de laboratorio 42

Guía de trabajo en Laboratorio 54

U.C.: Servicio de Gestión Académica: Calendario Escolar 2019/20

CALENDARIO ACADÉMICO DEL CURSO 2019/20

Septiembre / Octubre 2019 Noviembre 2019 Diciembre 2019 L M X J V S D L M X J V S D L M X J V S D

1 16 17 18 19 20 21 22 7 1 2 3 11 1 2 23 24 25 26 27 28 29 8 4 5 6 7 8 9 10 12 2 3 4 5 6 7 8 3 30 1 2 3 4 5 6 9 11 12 13 14 15 16 17 13 9 10 11 12 13 14 15 4 7 8 9 10 11 12 13 10 18 19 20 21 22 23 24 14 16 17 18 19 20 21 22 5 14 15 16 17 18 19 20 11 25 26 27 28 29 30 15 23 24 25 26 27 28 29 6 21 22 23 24 25 26 27 16 30 31 7 28 29 30 31

Enero 2020 Febrero 2020 Marzo 2020 L M X J V S D L M X J V S D L M X J V S D

16 1 2 3 4 5 20 1 2 24 1 17 6 7 8 9 10 11 12 21 3 4 5 6 7 8 9 25 2 3 4 5 6 7 8 18 13 14 15 16 17 18 19 22 10 11 12 13 14 15 16 26 9 10 11 12 13 14 15 19 20 21 22 23 24 25 26 23 17 18 19 20 21 22 23 27 16 17 18 19 20 21 22 20 27 28 29 30 31 24 24 25 26 27 28 29 28 23 24 25 26 27 28 29

29 30 31

Abril 2020 Mayo 2020 Junio 2020 L M X J V S D L M X J V S D L M X J V S D

29 1 2 3 4 5 33 1 2 3 38 1 2 3 4 5 6 7 30 6 7 8 9 10 11 12 34 4 5 6 7 8 9 10 39 8 9 10 11 12 13 14 31 13 14 15 16 17 18 19 35 11 12 13 14 15 16 17 40 15 16 17 18 19 20 21 32 20 21 22 23 24 25 26 36 18 19 20 21 22 23 24 41 22 23 24 25 26 27 28 33 27 28 29 30 37 25 26 27 28 29 30 31 42 29 30

Julio 2020 Agosto 2020 Septiembre 2020

L M X J V S D L M X J V S D L M X J V S D 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 6

6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 7 8 9 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 17 18 19 20 21 22 23 21 22 23 24 25 26 27 27 28 29 30 31 24 25 26 27 28 29 30 28 29 30

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*Inauguración del curso académico 2019/2020: Pendiente de establecer

DISTRIBUCIÓN DE LA ACTIVIDAD DOCENTE:

Primer Cuatrimestre Clases: Del martes 17 de septiembre de 2019 al viernes 10 de enero de 2020 (69 días de clase).

Exámenes: Del lunes 13 al sábado 25 de enero de 2020 (12 días hábiles). Actas: 7 de febrero de 2020.

Exámenes extraordinarios: Del martes 1 al sábado 5 de sept. de 2020. Actas: 11 de sept. de 2020.

Segundo Cuatrimestre Clases: del lunes 27 de enero al viernes 15 de mayo de 2020 (72 días de clase).

Exámenes: del lunes 18 al sábado 30 de mayo de 2020 (12 días hábiles). Actas: 12 de junio de 2020.

Exámenes extraordinarios: Del miércoles 17 al martes 23 de junio de 2020. Actas: 3 de julio de 2020.

Interrupción del periodo lectivo: Navidad: Del lunes 23 de diciembre de 2019 al viernes 3 de enero de 2020, ambos inclusive.

Semana Santa: Del jueves 9 al viernes 17 de abril de 2020, ambos inclusive.

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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICAGRADOS EN INGENIERÍA MARINA, INGENIERÍA MARÍTIMA E INGENIERÍA NÁUTICA Y TRANSPORTE MARÍTIMO

Curso 1º Cuatrimestre 1º Aula 18

G1 G2 G1 G2 G3 G48:359:309:35 MAT I MAT I + FIS I MAT I + FIS I

10:30 Herrera JM errera + Fernánd Herrera + Fernández10:35 FIS I MAT I + FIS I MAT I + FIS I11:30 Fernández V errera + Fernánd Herrera + Fernández

12:00 MAT I + FIS I MAT I + FIS I12:55 Herrera + Fernándeerrera + Fernánd13:00 MAT I + FIS I MAT I + FIS I13:55 Herrera + Fernándeerrera + Fernánd

G1 G3 G4 G1 G2 G4 G1 G2 G3 G416:00 QUI (5S) QUI (5S) QUI (5S) QUI (5S)16:55 Ruiz G Ruiz G Ruiz G Ruiz G

( QUI (5S) QUI (5S) QUI (5S) QUI (5S)17:55 Ruiz G Ruiz G Ruiz G Ruiz G18:0018:5519:0019:55

Teoría: Aula 18 ó 17 (1ª Planta) S: SemanaP. Aula: Aulas 18 ó 17P. Laboratorio (en Planta Baja) ó aula 13G1 y G3 Matemáticas I semanas imparesActividades de Seguimiento G2 y G4 Matemáticas I semanas pares

Comisión Permanente 20/06/2019

Velasco F

Coz A

MAT EV=12HHerrera JM Coz A/Ruiz G

QUI (10S)

ViernesJueves

Coz A/Ruiz G

Martes

QUICoz A

QUI (10S)ING (A17)Alegría A

INF, TU= 7,5 EV=7,5HINF

Hombreiro (A13)Velasco F

INF

INF

ING (A17)Alegría A

MiércolesHora

Lunes

HoraLunes

Fernández V

ING (A 17)Sean Scurfield

Sean Scurfield

G1 G2

ING (A17)

Herrera JMQUI

G1ING (A17)

Sean Scurfield

FIS I

MAT I

ING (A 17)

MAT I

Fernández V

Sean ScurfieldFIS I

G2Martes

FIS I (A 17)Fernández V

MiércolesG3 G4 G1 G2

MAT TU=8H

Coz A/Ruiz G

QUI TU = 7,5 H EV = 7,5 H Coz A

Enviado 4/06/2019Modificado 27/06/2019

MAT I (A 17)Herrera JM

ViernesJueves

QUI (10S)ING, TU= 7,5H, EV= 7,5H

INFHombreiro

(A 13)

INF Hombreiro (A13)

INF RodríguezC (A 13)

Coz A/Ruiz GQUI (10S)

FIS I. TU=7,5H, EV=7,5H

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TEMA 1.- Estructura de la materia 1.1 Concepto de Física 1.2 Partículas elementales 1.3 Átomos 1.4 Moléculas 1.5 Estados de la materia 1.6 Interacciones fundamentales TEMA 2.- Sistemas de medida 2.1 Medición 2.2 Errores en la medida 2.3 Error de una magnitud medida experimentalmente 2.4 Propagación de errores 2.5 Cifras significativas TEMA 3.- Vectores 3.1 Componentes de un vector 3.2 Suma de vectores 3.3 Productos con vectores 3.4 Derivación e integración de vectores 3.5 Triangulación

TEMA 4.- Cinemática 4.1 Reposo y movimiento. Sistemas de referencia 4.2 Velocidad 4.3 Aceleración 4.4 Componentes intrínsecas de la aceleración 4.5 Estudio de algunos movimientos particulares TEMA 5.- Movimiento relativo 5.1 Movimiento de traslación relativo 5.2 Movimiento de rotación relativo

TEMA 6.- Dinámica 6.1 Primera ley de Newton 6.2 Segunda ley de Newton 6.3 Tercera ley de Newton 6.4 Principio de conservación del momento lineal 6.5 Centro de masas 6.6 Movimiento del centro de masas 6.7 Fuerzas de contacto 6.8 Equilibrio estático 6.9 Fuerzas de inercia

TEMA 7.- Dinámica del sólido rígido 7.1 Movimiento del sólido rígido 7.2 Rotación de un sólido rígido 7.3 Momento de inercia 7.4 Objetos rodantes 7.5 Equilibrio del sólido rígido 7.6 Centro de gravedad TEMA 8.- Trabajo y energía 8.1 Trabajo de una fuerza 8.2 Potencia 8.3 Energía 8.4 Energía cinética 8.5 Energía potencial 8.6 Principio de conservación de la energía 8.7 Fuentes de energía 8.8 Colisiones

TEMA 9.- Estática de fluidos 9.1 Densidad 9.2 Presión de un fluido estático 9.3 Medida de la presión 9.4 Principio de Arquímedes 9.5 Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes TEMA 10.- Dinámica de fluidos 10.1 Tipos de flujo 10.2 Ecuación de continuidad 10.3 Teorema de Bernouilli 10.4 Aplicaciones del teorema de Bernouilli 10.5 Fuerzas de resistencia en fluidos TEMA 11.- Movimiento Armónico Simple 11.1 Cinemática, Fuerza y Energía 11.2 Ecuación básica 11.3 Péndulo 11.4 Elasticidad de sólidos

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NORMATIVA PARA LA EVALUACIÓN El proceso de evaluación sigue lo dispuesto en la Guía docente (publicada antes del comienzo del proceso de matrícula tras su aprobación por la ETS de Náutica y el departamento de Física Aplicada) y cumple el Reglamento de evaluación y la Normativa de evaluación de la Universidad de Cantabria. A. Baremo general:

EVALUACIÓN CONTINUA ( Máximo 75%) - Controles de problemas: 40 % - Tareas: 15 % - Prácticas de laboratorio e informe: 20 %

EXAMEN FINAL ( Mínimo 25%)

- Examen de cuestiones, problemas y prácticas: 25 %

B. Desarrollo del baremo:

1 - La calificación de la evaluación continua es válida para la convocatorias ordinaria y extraordinaria 2 - Es esencial presentar trabajos originales, no plagiados 3 - La fecha de entrega de los distintos trabajos es INAMOVIBLE 4 - Se entregará un informe de una práctica de laboratorio, que valdrá la mitad de la nota de laboratorio 5 - La calificación de laboratorio seguirá los criterios que se muestran en las hojas siguientes 6 – La calificación de laboratorio no es recuperable 7 - El valor de los controles o tareas que no puedan realizarse o se suspendan se recuperará en el examen final 8 - Tras la corrección de cada control, el profesor podrá eximir a los alumnos que aprueben de examinarse en el final de

algunos de los temas correspondientes. La calificación mínima en el conjunto de controles y el final será 4. 9 - En los exámenes se permite: - un libro (puede constar de varios volúmenes) - fotocopias de algun capítulo o formulario - apuntes, ejercicios y exámenes manuscritos del alumno - presentaciones de la asignatura Se prohiben: - dispositivos que puedan conectarse a la red - fotocopias de ejercicios y de exámenes resueltos 10 - En la revisión correspondiente a las convocatorias final y extraordinaria, cualquier reclamación sobre el examen se

realizará por escrito en formulario tipo que el profesor pondrá a disposición de los alumnos. La publicación de las notas definitivas se considerará respuesta administrativa a esta solicitud.

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B.1 Criterios de calificación en el laboratorio Cada día de laboratorio el profesor calificará el trabajo de los alumnos según los criterios que se detallan a continuación. Los alumnos no han de entregar ningún documento, tan solo enseñar su cuaderno, gráficas y hojas de cálculo y contrastar sus resultados con el profesor. Preparación PUNTUALIDAD Se presenta a la hora en el laboratorio

OBJETIVO Conoce el objetivo de la práctica MATERIALES Dispone del material requerido

Método de trabajo MÉTODO MEDIDA Utiliza un método de medida correcto

TODOS LOS DATOS Anota todos los datos experimentales PRECISIÓN INSTRUMENTO Anota la precisión de los instrumentos utilizados UNIDADES Expresa las unidades de forma correcta en todas las medidas y resultados AUTONOMÍA Trabaja de forma autónoma CUIDADO MATERIAL Cuida el material proporcionado

Resultados ERRORES Estima los errores de forma correcta

ORDEN MAGNITUD Consigue resultados con el orden de magnitud correcto PRECISIÓN Consigue resultado precisos CIFRAS SIGNIFICATIVAS Escribe resultados con un número de cifras significativas adecuado GRÁFICAS Dibuja representaciones gráficas correctas CONCLUSIONES Analiza las conclusiones de forma clara PREGUNTAS ADICIONALES Contesta de forma adecuada

B.2 Criterios de calificación del Informe de laboratorio El profesor encargará un único informe a los alumnos de una de las prácticas Estructura general OBJETIVO El objetivo se explica de forma clara

ESTRUCTURA La estructura de los apartados ayuda a comprender el informe REDACCIÓN La redacción es clara ORTOGRAFÍA No existen faltas de ortografía TIEMPOS VERBALES El uso de los tiempos verbales es adecuado para un informe DIBUJOS Los dibujos son claros y ayudan a entender el experimento

Medidas MÉTODO El método de medida es correcto

EXPLICACIÓN El método de medida se explica de forma clara TODOS LOS DATOS Se presentan todos los datos experimentales PRECISIÓN INSTRUMENTO Se incluye la precisión de los instrumentos utilizados UNIDADES Se expresan las unidades de forma correcta en todas las medidas y resultados

Resultados REPRODUCIBILIDAD A partir del informe un ingeniero puede reproducir el experimento

ERRORES Los errores se estiman de forma correcta ORDEN MAGNITUD El orden de magnitud de los resultados es correcto PRECISIÓN La precisión de los resultados es alta CIFRAS SIGNIFICATIVAS El número de cifras significativas en los resultados es adecuado GRÁFICAS Las representaciones gráficas son correctas CONCLUSIONES Las conclusiones se explican de forma clara

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Curso 2019/2020 Tema 1

1. La interacción gravitatoria entre un electrón y un protón es despreciable frente a su interacción electromagnética. Sin embargo, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra (ambas formadas esencialmente por protones y electrones) se describe utilizando la interacción gravitatoria. ¿Por qué no se considera la interacción electromagnética? ¿Y por qué se desprecia la interacción nuclear fuerte entre sus protones, aún más intensa? 2. ¿Por qué los protones del núcleo de los átomos no se separan si son cargas positivas que se repelen? 3. Sea un átomo de hidrógeno formado por un protón y un electrón. ¿Sigue siendo hidrógeno si se le quita el electrón? ¿Y si en lugar de uno tiene dos electrones? ¿Y si tiene un protón, un neutrón y un electrón? ¿Y dos protones, un neutrón y un electrón? ¿Y dos neutrones y un protón? 4. ¿Cuáles son las cuatro fuerzas fundamentales en la Naturaleza que conocemos?, ¿cuáles de estas fuerzas actúan en el rango macroscópico (objetos de tamaño similar al nuestro)? ¿A cuál de estas interacciones corresponden las fuerzas de rozamiento? 5. Sean dos cuerpos cuya estructura interna se muestra en la figura. ¿Cuál de ellos será anisótropo? (anisótropo: las propiedades físicas varían según la dirección estudiada)

6. Estimar el orden de magnitud del número de moléculas de agua que hay en una piscina olímpica. (Sol. 1031 moléculas) 7. Estimar el orden de magnitud del número de protones que hay en la Tierra. (Sol. 1051 protones) 8. En un crucero se rompe una tabla de tenis de mesa oficial. Un tripulante debe llevar a un almacén la tabla de la mesa estropeada usando un carro cuya máxima carga es de 30 kg. Estimar el mínimo número de trozos en que deberá dividir la tabla. 9. Estimar el número de personas que caben en pie en el terreno de un campo de fútbol. (Sol. 104) 10. Un átomo tiene 5 protones, 6 neutrones y 4 electrones. Determinar de qué elemento se trata. Hallar la carga eléctrica de este átomo en unidades del Sistema Internacional (SI). (Sol. B, 1.6 10-19 C) 11. ¿Cuál es el elemento químico más abundante en tu cuerpo en términos de masa? Estimar el número de kilogramos de ese elemento que hay en tu cuerpo. Estimar el orden de magnitud del número de átomos de ese elemento que hay en tu cuerpo. (Sol. O, 40 kg, 1027 átomos) 12. ¿Cómo se consigue más energía, quemando 1 kg de carbón o desintegrando 1 kg de uranio?

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13. En un reactor nuclear, un núcleo de uranio U92235 captura un neutrón. ¿En qué elemento químico

se habrá convertido? Al cabo de unos milisegundos se rompe en tres neutrones, un núcleo de Ba56141 y otro núcleo. Determinar a qué elemento químico corresponde este segundo núcleo y su número de protones y neutrones. (Sol. U, Kr, 36 p+ y 56 n0) 14. ¿Existen en la Tierra núcleos con 150 protones? En caso afirmativo dar ejemplos, en caso negativo explicar por qué no existen.

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Tema 2

1. Con un instrumento cuya precisión es 1 g, se mide la masa de un objeto seis veces:

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Estimar la masa del objeto y su error absoluto y relativo. (Sol. 124.2 ± 1.2 g)

2. Con un instrumento cuya precisión es 0.01 m/s, se mide la velocidad del objeto ocho veces:

Velocidad (m/s) 3.23 3.21 3.21 3.19 3.27 3.24 3.17 3.21 Estimar la velocidad del objeto y su error absoluto y relativo. (Sol. 3.22 ± 0.01 m/s) 3. En la gráfica se muestra la aceleración que experimenta un objeto en función de su masa para distintos valores de la fuerza aplicada. a) Estimar la aceleración del objeto del ejercicio 1, con su error, para el caso de F = 1 N. b) Estimar la aceleración del objeto del ejercicio 1, con su error, para el caso de F = 2 N.

4. Se mide el lado de una superficie cuadrada con una cinta métrica cuya precisión es de 1 cm. El valor de la medida es 1 m. Estimar el valor de la superficie con su error absoluto y relativo. (Sol. 1.00 ± 0.02 m2) 5. Se mide el lado de un cubo con un flexómetro cuya precisión es 1 mm, y se obtiene un valor de 215 mm. Calcular el volumen del cubo y estimar su error. (Sol. 0.00994 ± 0.00014 m3) 6. Estimar la energía cinética del objeto de los ejercicios 1 y 2, con su error absoluto y relativo. Determinar si la fuente de error más importante en la energía cinética es el error en la masa o el error en la velocidad. (Sol. 0.644 ± 0.014 J, el error de v es ligeramente más relevante)

0

5

10

15

20

100 105 110 115 120 125 130 135 140

masa (g)

acel

erac

ión

(m s

F=0,5 NF=1 NF=1,5 NF=2 N

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7. Según la ley de Hooke el alargamiento de un muelle es proporcional a la fuerza sobre él: F = k ∆L donde F es la fuerza aplicada, ∆L el alargamiento y k la constante de proporcionalidad. En un experimento se han obtenido los siguientes datos:

Fuerza (N) Alargamiento (cm) 1.00 ± 0.01 1.2 ± 0.1 1.50 ± 0.01 1.9 ± 0.1 2.00 ± 0.01 2.3 ± 0.1 2.50 ± 0.01 3.0 ± 0.1 3.00 ± 0.01 3.5 ± 0.1 3.50 ± 0.01 4.3 ± 0.1

Representar la fuerza en función del alargamiento y obtener la constante k, con su error, por el método de mínimos cuadrados. (Sol. 83 ± 3 N/m)

8. Se mide la aceleración de un objeto de masa 1.00 ± 0.01 kg y se obtiene 10 ± 1 m/s2. Hallar la fuerza que actúa sobre el objeto y estimar su error. (Sol. 10.0 ± 1.1 N) 9. Se miden la fuerza que actúa sobre un objeto y su aceleración. Los resultados son 10 ± 1 N y 10 ± 1 m/s2 respectivamente. Calcular la masa del objeto y estimar el error en dicho cálculo. (Sol. 1.0 ± 0.2 kg)

10. Se desea medir el volumen de un recipiente irregular, para lo que se dispone de un líquido de densidad conocida (d = 850 ± 4 kg/m3) y un báscula cuya precisión es 1 g. Explicar un proceso que se puede seguir para hallar el volumen y estimar el error del mismo. 11. Una industria farmacéutica produce alcohol de densidad 850 ± 4 kg/m3. Esta empresa encarga a otra de envases fabricar botellas en las que entren 100 ± 1 g del alcohol, con la botella llena hasta el borde. Hallar la tolerancia en el volumen al fabricar la botella. (Sol. 0.1176 ± 0.0006 dm3) 12. Una varilla de latón se mide con un regla de acero a 20º C y su longitud es 60 cm. ¿Qué valor de la longitud se obtiene con la misma regla si se realiza la medida a 40ºC? Datos: en ambos materiales se cumple en ese intervalo de temperaturas la expresión de dilatación lineal:

donde α es el coeficiente de dilatación lineal, T es temperatura y l(T) es la longitud a temperatura T. Coeficientes de dilatación lineal: acero αa = 11 10-6 K-1, latón αl = 19 10-6 K-1. (Sol. 60.01 cm) 13. Dada la fórmula física que no es correcta, razonar cómo podría modificarse para que lo fuese (m = masa; a = aceleración; l = longitud; P = presión; ρ = densidad; S = superficie; t = tiempo)

14. Un alumno duda en un examen entre dos expresiones para la fuerza centrífuga: a) F = mv2/R y b) F = mω2R2 ¿Cómo podrá salir de dudas? ¿Cuál es la correcta? (Sol. a) 15. Entre las distintas formas de expresar un trabajo en Física se encuentran la energía cinética Ec = ½ mv2

la energía potencial Ep = mgh y el trabajo termodinámico W = pV (m = masa; g = aceleración de la gravedad; h = altura; p = presión; V = volumen). Demostrar que a todas ellas corresponde la misma ecuación dimensional. 16. El prospecto de un medicamento indica que contiene 7 mg/ml del principio activo. La dosis recomendada es de 1 mg por kg de peso y día, que debe administrarse en dos tomas al día, cada doce horas. Calcular cuántos mililitros del medicamento debe beber en cada toma un marinero de 70 kg. (Sol. 5 ml)

25.1t

SlPlam ρ

+=

[ ])(1)()( 1212 TTTlTl −+= α

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Tema 3

1. Un velero parte de un puerto, recorre 5 millas hacia el este, luego 4 millas hacia el sur y por último, 2 millas hacia el oeste. Hallar la distancia del velero al puerto, las coordenadas del velero respecto al puerto, la dirección en la que se ve el velero desde el puerto y la dirección en la que se ve el puerto desde el velero. (Sol. 5 millas, (3,-4), 143º,323º) 2. Un barco de salvamento se encuentra 10 millas al Norte de Cabo Mayor. Un velero se encuentra 3 millas al Este y 8 Millas al N de dicho cabo. a) Hallar cuánto dista el velero tanto del cabo como del barco de salvamento. b) Hallar la dirección en la que ve el velero un observador en el cabo c) Hallar la dirección en la que ve el velero un observador en el barco de salvamento d) Dibujar a escala el radar del velero y situar en él el barco y el cabo. (Sol. 8.5 y 3.6 millas, 20.6º, 123.7º) 3. La ruta recomendada para entrar a un pequeño puerto del Caribe desde el Canal de Mosquito es la siguiente: navegar 1 milla hacia el Este (es decir, con rumbo 90º), luego 0.8 millas a 30º al Sur del Este (rumbo 120º) y, finalmente, 0.5 millas a 45º al Norte del Este (rumbo 45º). Determinar la posición del puerto respecto al canal de Mosquito. (Sol. (2.05, -0.05) millas. 4. Se desea conocer la distancia desde nuestra posición A al barco B. Para ello se camina perpendicularmente al segmento AB hasta otro punto que llamamos C. Se mide la distancia AC, que resulta de 10.0 ± 0.1 m y además con un goniómetro se mide el ángulo entre los segmentos AC y CB y se obtiene una medida de 88.85 ± 0.01º Calcular la distancia desde A hasta el barco B y estimar su error. (Sol. 498 ± 9 m)

5. Al navegar resulta de interés determinar la posición respecto a un punto fijo. Una posibilidad es la técnica de duplicar el ángulo. Para aplicar esta técnica se mide en un instante el ángulo entre el rumbo del barco y el vector que une el barco con el punto fijo; sin cambiar de rumbo se mide el desplazamiento sobre el agua hasta que se duplica el ángulo entre el rumbo y el vector que une el barco y el punto fijo. a) Demostrar que dicho desplazamiento del barco es igual a la distancia que separa barco y punto fijo en la segunda posición. b) Aplicar el método para determinar la posición con respecto a un faro de un velero que navega a 8 nudos con rumbo 120º si en quince minutos el ángulo entre su rumbo y la línea visual al faro (por babor) pasa de 30º a 60º. (Sol. 2 millas, 240º) 6. Un soldado vigila en la cubierta de un pesquero frente a la costa somalí. Desde la mirilla telescópica de su fusil observa en el muelle un individuo sospechoso que, de pie, subtiende en la mirilla un ángulo de 2 miliradianes. Estimar la distancia a la que se encuentra dicho sospechoso. (Sol. 900 ± 50 m)

7. El telémetro de un buque de guerra de 200 m de eslora dispone de dos puntos de observación, uno a proa y otro a popa. Desde proa se observa una lancha que forma un ángulo de 89.6º con la línea de crujía (el eje del barco o línea desde la proa a la popa). Desde popa, dicha lancha forma un ángulo de 88º con la línea de crujía. a) Hallar la distancia entre el buque y la lancha. b) ¿Qué tecnologías han sustituido en la actualidad a los telémetros ópticos como el descrito? (Sol. 4775 m)

α 2α

desplazamiento

89.6º 88º

A

B

1.5 2 2.5 mrad

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8. El vector M de longitud 5 cm, forma un ángulo de 36,9º en el sentido contrario al giro de las agujas de un reloj sobre el eje + X. Se le suma un vector N y la resultante es un vector de magnitud 5 cm, que forma un ángulo de 53,1º en el sentido contrario a las agujas del reloj con el eje + X. Hállense: a) las componentes de N; b) la magnitud y la dirección de N. (Sol. (-1,1), 1.4, 135º) 9. Dados los vectores a=(4,0,3) y b=(0,-3,0) calcular la suma de sus módulos y determinar si es igual al módulo de su suma.

10. Hállese el ángulo que forman los dos vectores A = 3i + 4j + 5k y B = 3i + 4j - 5k. (Sol. 90º) 11. Demostrar que los vectores A= -2i - 3j – k y B=4 (i – j + k) son perpendiculares. 12. Determinar si los vectores (2,5,2) y (1,0,2) son perpendiculares. Hallar un vector unitario perpendicular a ambos. (Sol. No lo son, (0.88, -0.18, -0.44))

13. Un vector de módulo 2 se halla en el plano OXY y forma un ángulo de + 20º con el eje X. Hallar las componentes del vector. Hallar el producto vectorial de ese vector con el vector (3t, t2+1, 0). Hallar la derivada respecto al tiempo del anterior producto vectorial. (Sol. (3.76t -2.05)k)

14. Calcular: siendo: A= t i - 2t j+ t2 k, B= i + j + k. (Sol. 3/(t-1)2 (1,0, -1)) 15. Desde nuestro barco, la demora del pico de Peñacabarga (569 ± 1 m) según la brújula es 200±1º, y con el sextante el pico subtiende un ángulo de 2º 30’ ± 1’ respecto al horizonte. Determinar nuestra posición y estimar su error (es decir, dibujar en la carta el área en que podemos hallarnos). 16. Desde nuestro barco medimos con el sextante que el pico de Peñacabarga (569 ± 1 m) subtiende un ángulo de 1º 45’ ± 1’y Peñacastillo (139 ± 1 m) de 45’ ± 1’ respecto al horizonte. Determinar en la carta nuestra posición y estimar su error (es decir, dibujar el área en la que podemos hallarnos). 17. Dibujar la derrota de un ferry que navega a 12 nudos con rumbo 170º si entre las 9:00 y las 9:05 el ángulo entre su rumbo y la línea visual a la isla de Mouro (por estribor) pasa de 10º a 20º.

B.ABA

t

∧

dd

Mouro

12

Tareas

Tres navíos salen de un mismo puerto, P0, con rumbo a tres puertos distintos. Estos tres puertos están alineados en la dirección 79º. El primer navío navega 80 millas con rumbo 200º hasta el puerto P1. El segundo y tercer navíos navegan en el segundo cuadrante (o sea entre E y S, lo que significa que ambos rumbos están en el intervalo [90, 180º]) formando entre los dos un ángulo de 30º. Los puertos de destino P2 y P3 distan 50 millas. Determinar rumbos y distancias recorridas por el segundo y tercer navío hasta sus puertos (P2 y P3 respectivamente) y la distancia entre P1 y P2 y entre P1 y P3.

13

Tema 4

1. La luz tarda 8 minutos en llegar desde el Sol a la Tierra. Hallar la distancia entre ambos (Sol. 1.5 1011 m) 2. Un barco parte a las 7:00 am con rumbo a un puerto situado a una distancia de 46 ± 2 millas náuticas. La velocidad del barco es de 12.0 ± 0.2 nudos. Estimar el intervalo horario (en horas y minutos) en el que el barco puede llegar a puerto. (Sol. 10:37 – 11:04) 3. Una lancha sale de un puerto a las 9:00:00 am. Su posición respecto al puerto a partir de ese instante viene dada por jtittr

4003.0)( 2 += m, donde el tiempo t se expresa en segundos. Hallar a las 9:16:40 am la distancia del barco al puerto, la velocidad del barco y el rumbo del barco. (Sol. 5 Km, (6, 4) m/s, 56º) 4. Los puertos A y B distan 60 km. Una lancha realiza 30 km a 40 km/h. Calcular la velocidad a la que debe cubrir los restantes 30 km para que la velocidad media en el trayecto total A-B sea 60 km/h. (Sol. 120 km/h) 5. Las ciudades A y B distan 100 km. Un coche va desde A hasta B a 50 km/h. ¿A qué velocidad debe regresar desde B hasta A para que la velocidad media en el trayecto total (A-B-A) sea de 100 km/h? 6. Dos barcos tiene equipos de radio cuyo alcance es 200 millas. La demora del barco A respecto a un faro del que dista 155 millas es 42º, mientras que B dista del faro 130 millas y su demora es 314º. ¿Pueden los barcos comunicarse por radio? Si A lanza una señal de socorro, ¿qué rumbo debe tomar B? (Sol. 198.8 millas, 82.8º) 7. Un barco con derrota 45º y velocidad 10 nudos divisa un faro a 2 millas justo en dirección Este. Hallar la demora y marcación del faro respecto al barco y la demora del barco respecto al faro. (Sol. 90º, 45º, 270º) 8. A las 0:00 am un barco chino se encuentra 20 millas al Este del puerto de Mackay (Australia) y se dirige a puerto con velocidad constante vC = 10 nudos (rumbo Oeste). A esa misma hora otro barco panameño se encuentra 20 millas al norte del puerto y navega a velocidad constante vP = 5 nudos con rumbo N. Hallar la distancia mínima entre los barcos, a qué hora se produce y la posición de los barcos en ese instante. Nota: despreciar la curvatura terrestre. (Sol. 26.8 millas, 0:48, (12, 0) y (0,24) millas) 9. A las 9:00 un remolcador (R) se halla en la posición que indica el radar de la torre de control portuario (TCP) y navega a una velocidad de 4i + 3j nudos. En ese momento una lancha se encuentra a 2.83 millas de la torre y su demora desde la torre es de 45º (o sea, la dirección en que se ve la lancha desde la torre forma 45º con el Norte). La lancha avanza a 4 nudos con rumbo 180º. a) Dibujar en el radar de la torre la posición de la lancha. b) Calcular la distancia entre el remolcador y la lancha. c) Calcular la demora del remolcador desde la lancha. Ambas embarcaciones mantienen durante una hora su rumbo y velocidad. En ese intervalo de tiempo: d) Obtener la posición respecto a la torre de cada embarcación en función del tiempo. e) Dibujar en el radar la derrota (trayectoria) de cada embarcación. f) Calcular la hora a la que la distancia entre las embarcaciones es mínima. g) Obtener la demora de la lancha respecto a la torre en función del tiempo. (Sol. (2,2), 4.12 millas, 256º, (-2+4t, 1+3t y (2, 2-4t), 9:21, atan (1/(1-2t)) )

N

1 milla

TCP

R

x

y

14

10. A las 0:00 am una patrullera de la Guardia Civil zarpa del puerto de Valencia con rumbo 90º y velocidad constante de 20 nudos. En ese mismo instante, un carguero chino que se encuentra a 18 millas del puerto se dirige hacia el mismo con rumbo 210º y velocidad constante de 12 nudos . a) Determinar la posición del carguero a la 1 am. b) Hallar a esa hora la dirección en la que aparece el carguero en el radar de la patrullera. c) Hallar la distancia mínima entre los barcos, a qué hora se produce y su posición en ese instante. (Sol. (3, 5.2) o 6 millas con demora 30º, 287º, 11.1 millas, 0:30, (10,0) y (6, 10.4) ) 11. Dos ciclistas avanzan por un terreno llano. Ambos pedalean a 36 km/h. El segundo ciclista pasa por una meta volante 1 minuto después del primero. a) ¿Qué distancia les separa en ese instante? Unos kilómetros más adelante, los ciclistas comienzan a subir un puerto de montaña de 18 km. El primer ciclista sube todo el puerto a 18 km/h. El segundo sube los primeros 9 km del puerto a esa misma velocidad de 18 km/h. b) ¿Cuánto tiempo después que el primer ciclista llega el segundo a la mitad del puerto? c)¿Qué distancia les separa en esa situación? d) ¿A qué velocidad ha de subir el perseguidor la segunda mitad del puerto para dar alcance al escapado antes de la cima? (Sol. 600 m, 1 min, 300 m, 18.62 km/h) 12. Una lancha navega por un estrecho canal que discurre en dirección Este-Oeste y tiene 9 boyas equidistantes. A la altura de la cuarta boya detecta una patrullera de la guardia civil que navega a velocidad constante con rumbo 90º hacia el canal. Si la lancha continua navegando, la patrullera la alcanzará al final del canal (boya 9), pero si decide volver atrás se encontrarán al principio del mismo, en la boya 1. La velocidad de la lancha es constante e igual a 4 nudos. ¿A qué velocidad navega la patrullera? (Sol. 16 nudos)

13. Si un barco se mueve en un instante según el eje OX, ¿está su aceleración necesariamente dirigida en esa dirección? ¿y su velocidad? 14. Una lancha acelera uniformemente de 15 a 35 nudos. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa dicha situación?

15. En el punto más alto de un tiro parabólico, ¿se anula la velocidad?, ¿y alguna de sus componentes?, ¿y la aceleración? 16. Dos bolas de plomo de 10 y 100 kg respectivamente caen desde lo alto de una torre. Despreciando el rozamiento del aire, ¿cuál tarda más en caer?

17. Un móvil se deja caer sin velocidad inicial desde una altura de 30 m. Otro móvil se lanza desde la misma altura con velocidad inicial horizontal de 3 m/s. ¿Cuál de estos dos móviles tardará más en caer?

18. Se deja caer una piedra desde una torre de 100 m. Cuando lleva recorridos 20 m se deja caer otra piedra desde la misma torre. ¿Qué distancia separa a ambas piedras cuando la primera llega al suelo? (Sol. 69.4 m)

19. Un ascensor sube a la velocidad constante de 7 m/s. A la vez que arranca, desde el último piso, situado 60 m más arriba se deja caer un grave. ¿Dónde y cuando, se encuentran ambos móviles? (Sol. 2.85 s, 20 m)

v(t)

t

v(t) v(t)

1 2 3 4 9 5 6 7 8

15

20. La figura muestra dos faros que distan 14 millas y la situación de un buque que se dirige a 20 nudos al faro F2. Determinar la demora de F1 desde F2, de F2 desde F1 y del buque respecto a F1 y respecto a F2. Hallar el rumbo del buque respecto a F1 y respecto a F2. (Sol. 270º, 90º, 45º, 315º, 135º, 135º) 21. La figura muestra la posición y velocidad de dos embarcaciones (con rumbo y velocidad constante) respecto a un faro a las 9:00. Determinar una hora después (a las 10:00): demora de A desde F, de B desde F y de A desde B así como la distancia entre A y B. (Sol. 45º, 90º, 329º, 5.8 millas)

22. Un cuerpo A se lanza verticalmente desde el suelo a 20 m/s, a la vez que se lanza horizontalmente a 4 m/s un cuerpo B. La distancia horizontal entre sus posiciones iniciales es 4 m y chocan durante el vuelo. Calcular la altura inicial de B, el tiempo empleado hasta el choque y la velocidad de cada cuerpo en este instante. (Sol. 20 m, 1 s, (0, 10.2) y (4, -9.8) m/s)

23. Hallar la velocidad angular de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra. (Sol. 2.6 10-6 rad/s) 24. El movimiento de un cuerpo según el eje OX puede describirse mediante la función x(t) =t2. El movimiento según el eje OY sigue la expresión y(t)=h-t2; a) dibujar la trayectoria del objeto en el espacio real y(x); b) calcular los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.

25. Un avión en vuelo horizontal, a una altura de 7840 m y con velocidad de 450 km/h, deja caer una bomba al pasar por la vertical de un punto A del suelo. ¿Cuánto tarda la bomba en caer al suelo? ¿Qué distancia recorre entre tanto el avión? ¿A qué distancia de A se produce la explosión? ¿Cuánto tiempo tarda en oírse la explosión en el avión desde el lanzamiento de la bomba? (Sol. 40 s, 5 km, 5 km, 64.8 s) 26. Desde un punto situado sobre un plano inclinado 30º sobre la horizontal, se lanza hacia la parte más alta del plano un proyectil con una velocidad inicial de 49 m/s bajo un ángulo de tiro de 45º (respecto a la horizontal). ¿A qué distancia cae sobre el plano inclinado? (Sol. 119.4 m) 27. Describir el camino más corto para llegar desde A hasta B tras tocar en cualquier punto de la pared.

27. A las 9 am un petrolero navega a 10 nudos con rumbo 300º y se dirige a un puerto situado a 5 millas. A las 9:12 zarpa del puerto una lancha de prácticos rumbo al petrolero a 20 nudos. Las embarcaciones mantienen su rumbo y velocidad. Determinar el rumbo de la lancha, el punto y la hora en que se encuentran ambas embarcaciones respecto al puerto. (Sol. 120º, 2 millas, 9:18) 28. La demora de Goteborg (Suecia) desde Frederikshaun (Dinamarca) es de 60º y distan 60 millas. A las 12:00 pm un carguero parte de Goteborg hacia Frederikshaun a 10 nudos y mantiene su rumbo constante. A la misma hora una patrullera danesa parte de un embarcadero en Frederikshaun y sus coordenadas en millas respecto al embarcadero en función del tiempo son: xP = 5√3 t (dirección Oeste→Este), yP = 5t2-5t (dirección Sur→Norte) donde t es el tiempo en horas transcurrido desde mediodía (0 < t < 6). Hallar la posición de la patrullera en la que está más cerca del carguero. (Sol. (22.7, 21.2) millas) 29. Desde el faro de la isla de Ons (42º 23’N, 08º 56’W) se divisa a las 9:00 un velero a 8 millas con demora 210º y un pesquero a 10 millas con demora 240º. A las 9:20 el velero se divisa a 7 millas con demora 210º mientras que el pesquero a 7.1 millas con demora 225º. Ambas embarcaciones mantienen rumbo y velocidad desde las 9:00 hasta las 11:00. Determinar a qué hora el pesquero cruzará la proa* del velero (*es decir, atravesará su rumbo o futura trayectoria) y la distancia entre embarcaciones en ese momento. (Sol. 9:32, 0.5 millas)

A B 100 m

45º

N

45º

F1 F2

3 nudos

F

N

10 nudos

5 millas

5 millas

B

A

16

Tema 5

1. En un ascensor sin techo, que sube verticalmente a la velocidad constante de 2 m/s, se lanza hacia arriba una piedra a la velocidad inicial de 17.6 m/s respecto del mismo. Calcular lo que ha subido el ascensor cuando el grave cae otra vez en el mismo. (Sol. 7.2 m) 2. En una lancha que avanza a la velocidad constante de 2 m/s, se lanza hacia arriba una piedra a la velocidad inicial de 17.6 m/s respecto de la lancha. Calcular lo que ha avanzado la lancha cuando el grave cae otra vez en la misma. (Sol. 7.2 m) 3. La velocidad de la corriente de un río que fluye de O a E es 10 nudos. A las 9h, se celebra una regata de O a E, con viento de O a E de 10 nudos. A las 12 h, se celebra la misma regata de O a E, sin viento. ¿En qué regata se consiguen mejores tiempos? 4. La figura muestra la posición a las 9:00 am de cuatro barcos. La velocidad respecto al agua de B3 es nula, la de B4 es 1 nudo con rumbo norte (0º) y la de B1 y B2 es de 1 nudo hacia el oeste (rumbo 270º). No existe corriente y los barcos mantienen la velocidad constante durante 1 hora. a) Hallar la posición del barco 1 a las 10:00 am en un sistema de referencia ligado y centrado en el punto A. b) Repetir para un SR ligado y centrado en el punto B, en otro ligado al C, al barco B2, al B3 y al B4. c) Calcular la velocidad media del barco B1 en cada uno de esos seis sistemas de referencia. d) ¿Son inerciales dichos sistemas de referencia? (Sol. (0,2), (-4,2), (-4,0), (-2,0), (-3,-1), (0,-2) millas, (-1,0), (-1,0), (-1,0), 0, (-1,0), (-1,-1) nudos)

5. La cabina de un ascensor de altura 3 m asciende con una aceleración de 1 m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor. (Sol. 0.75 s) 6. Un alumno navega en un velero con rumbo 90º a 6 nudos y divisa una lancha en dirección 315º. Desde su velero mide que la lancha se dirige hacia él con velocidad 10 nudos y que la distancia entre ambas embarcaciones es de 2 millas náuticas. No existe corriente y ninguna de las embarcaciones varía su rumbo. Determinar a qué punto de la costa llega la lancha y qué embarcación toca antes la costa. (Sol. En medio del tramo N-S, lancha)

7. Una lancha pone rumbo hacia un puerto situado 18 millas al N en medio de una densa niebla. El piloto mantiene la línea popa-proa (llamada línea de crujía o rumbo verdadero) hacia el N (rumbo 0º). La velocidad relativa respecto al agua es de 10 nudos. Tras 2 h la niebla se levanta y la lancha se encuentra a 2 millas de puerto con una demora de 90º (justo al E del puerto). Determinar el rumbo efectivo y la velocidad media de la corriente durante esas 2 h. (Sol. 6º, (1,-1) nudos)

3 millas

2 millas

4 millas

2 millas

3 millas

A B

C

3 millas

2 millas

B1 B2

B4 B3 N

17

8. A las 9:00 un barco de salvamento marítimo se encuentra 2 millas al sur de un puerto y navega con velocidad de 2 nudos y rumbo 180º. En ese instante divisa a babor un velero, en la posición indicada en el plano. Desde el barco de salvamento miden la velocidad del velero que resulta de 5.6 nudos con rumbo 330º (velocidad relativa al barco de salvamento). a) ¿Cuál es la distancia del velero al barco a las 9:00? b) ¿En qué dirección divisa el velero al barco de salvamento a las 9:00? c) ¿Debe el velero modificar su rumbo para salvar el cabo? d) Calcular la posición del velero respecto al puerto a las 9:15. e) ¿A qué hora estarán los barcos a la mínima distancia?

(Sol. 3.16 millas, 288.4º, no, (2.3,-2.3), 9:26 )

9. Un pescador cae al agua inconsciente, pero con su chaleco salvavidas puesto, desde una barca fondeada a 100 m de la orilla de un río cuya corriente es de 5 m/s. Desde una lancha situada en un embarcadero 300 m río abajo ven la situación y acuden al recate del hombre a su máxima velocidad (19.44 nudos respecto al agua). Determinar: a) el rumbo (dirección popa-proa) que ha de tomar la lancha para rescatar al pescador b) el punto en que la lancha alcanza al pescador (usar como referencia el embarcadero) (Sol. 288.4º, (-142,100 m)) 10. Una patrullera navega paralela a la costa, a una milla de esta, a 4 nudos y con rumbo 0º. Desde la patrullera se divisa a 2 millas en dirección 315º una lancha con velocidad de 10 nudos y rumbo 45º relativos a la patrullera. Determinar el rumbo y velocidad que debe tomar la patrullera para alcanzar la costa a la vez que la lancha y en el mismo punto. (Sol. 10.9º, 15.6 nudos)

11. Una embarcación de remo navega por un río, y junto a ella flota una astilla. ¿Qué le es más fácil al remero, adelantar 10 m a la astilla o quedar a su zaga a la misma distancia?

12. Mar adentro, por la banda opuesta a la de tierra, pequeños puntos de claridad tras el horizonte delataban la presencia de mercantes que seguían rumbos paralelos al “Carpanta”. Sus derrotas más abiertas que la del velero los mantenían lejos; pero Coy procuraba no perderlos de vista, y a intervalos tomaba marcaciones mentales de sus posiciones respectivas: demora constante y distancia acortándose, según el viejo principio marino, significaba colisión segura. Se inclinó sobre la bitácora para comprobar rumbo y corredera. El “Carpanta” navegaba con la proa apuntando a los 40º del compás, a cuatro nudos.(La Carta Esférica, Capítulo X, Arturo Pérez Reverte). Razonar si es cierto el viejo principio marino que se cita en el texto. ¿Puede haber colisión si la demora no es constante?

13. Una tiza se lanza con velocidad horizontal. En su vuelo la tiza contacta con una pizarra muy grande de forma que dibuja su trayectoria en la pizarra pero su movimiento no se ve afectado (se desprecia el rozamiento). Describir la trayectoria de la tiza dibujada en la pizarra en los siguientes casos: a) la pizarra está fija en la pared; b) la pizarra se suelta de la pared justo en el momento en el que se lanza la tiza; c) la pizarra se suelta de la pared, y por tanto, comienza a caer, 0.2 s antes de lanzar la tiza.

(Sol. Parábola, recta horizontal, recta ascendente)

PUERTO

1 milla

Salvamento marítimo

Velero Plano a escala con la situación de las naves a las 9:00 am

vc = 5 m/s

100 m

300 m

N

1 milla

18

14. Una lancha que desarrolla una velocidad respecto al agua v realiza tres trayectos en una bahía: T1: trayecto de ida y vuelta en la dirección de la corriente entre dos boyas (B1y B2) que distan 500 m; T2: trayecto de ida y vuelta en dirección perpendicular a la corriente entre dos boyas (B1y B3) que distan 500 m; T3: trayecto de ida y vuelta en un día sin corriente entre las boyas (B1y B2) que distan 500 m. Ordenar de menor a mayor el tiempo que emplea la lancha en estos trayectos.

15. A las 14:00 desde una torre de control (TC) situada en un pequeño islote aislado a varias millas de la costa, se avistan las siguientes embarcaciones: un mercante (M) situado a 2 millas con demora 180º (desde la torre) que navega a 6 nudos con rumbo 90º, una lancha (L) situada a 4 millas que navega hacia la torre a 4 nudos con rumbo 330º, un pesquero (P) situado a 6.0 ± 0.1 millas que se dirige a la torre a 5.0 ± 0.1 nudos con rumbo 180º y un velero (V) fondeado a 3 millas de la torre, desde el cual la torre se divisa en dirección 270º. Durante una hora, las embarcaciones mantienen su rumbo y velocidad y el mar permanece en calma (sin corrientes). a) Dibujar en el radar de la torre (TC) la posición de las cuatro embarcaciones a las 14:00 b) Calcular a las 14:00 la demora de la lancha desde el mercante y la distancia entre ambos c) Estimar a las 15:00 la distancia del pesquero a la torre (con su error) d) Dibujar la trayectoria de la lancha en el radar del mercante* desde las 14 hasta las 15h e) Estudiar si en algún momento entre las 14 y las 15h dos embarcaciones distan menos de 0.5 millas

(Sol. 126º, 2.5 millas, 1.0±0.2 millas, No)

16. Un barco a la deriva realiza un movimiento circular uniforme alrededor de una boya, a 1 milla de distancia, con velocidad de 3 nudos; el sentido de giro es antihorario, es decir, cuando su demora desde la boya es 180º, su rumbo es de 90º. A las 10:00, una lancha que se dirige a la boya a 10 nudos, la divisa a 2 millas con demora 270º (desde la lancha) y al barco a 3 millas con la misma demora. Determinar a esa hora el rumbo del barco y de la lancha para un observador en la boya y el rumbo del barco relativo a la lancha. (Sol. 180º, 270º, 106º) 17. Un avión vuela desde el Polo Norte hasta el Polo Sur a 900 nudos con rumbo 180º respecto a la Tierra (que se considera una esfera perfecta de radio 6366 km). Determinar la velocidad del avión para un observador inercial fuera de la Tierra (que no gira con la Tierra): a) en el Polo Norte b) en el ecuador. (Sol. 900, 1273 nudos) 18. A las 12:00 un velero que navega a 12 nudos con rumbo 90º se encuentra a dos millas de un faro con demora 90º desde el faro. A esa misma hora, una lancha que navega a 24 nudos con rumbo 150º se halla a 3 millas del faro y su demora desde el faro es 180º. Ambas embarcaciones mantienen rumbo y velocidad constantes y en el agua no existe corriente. Determinar la demora y el rumbo del velero en el radar de la lancha (o sea, respecto a la lancha): a) a las 12:00 b) a las 12:30 (Sol. 33.7º,0º, 8.5º, 0º) 19. A las 10:00 un barco que dista 36 millas de Santander y se dirige a dicho puerto con rumbo efectivo 225º, suelta una boya (que al instante se detiene respecto al agua). En toda la zona existe una corriente de 10 nudos en dirección E (90º). Durante tres horas, el rumbo y velocidad del barco y la corriente se mantienen constantes, hasta que el barco llega a puerto a las 13:00. a) Hallar la distancia y demora del barco desde Santander a las 11:00 b) Hallar la distancia y demora de la boya desde el barco a las 13:00 c) Si de repente, en cualquier momento de la travesía, desapareciera la corriente, ¿qué rumbo tendría el barco (o sea, cuál es su rumbo verdadero)? (Sol. 24 millas, 45º, 61 millas, 65º, 245º) 20. La figura muestra a las 9:00 la posición y velocidad respecto al agua de dos embarcaciones (con rumbo y velocidad constante). Determinar el rumbo y velocidad de C respecto a D y la mínima distancia entre embarcaciones y a qué hora se produce. (Sol. 0º, 5 nudos, 5 millas, 10:44)

30º

N

C

2 nudos 10 millas

D 3 nudos

19

21. Un río de 50 m de ancho que fluye de O a E tiene una corriente de 10 nudos. Un hombre capaz de nadar a 3 nudos ve 100 m río arriba un balón por el centro del río. ¿Podrá el hombre alcanzar nadando el balón si se lanza a por él?

22. La figura muestra la posición y velocidad de dos embarcaciones (con rumbo y velocidad constante) respecto a un faro a las 9:00. Determinar el rumbo de B en el radar de A (o sea, respecto a A) a las 9:00 y a las 10:00. (Sol. 45º) 23. Un alumno navega en un mercante a 16 nudos con rumbo 0º. A las 8:00 observa en su radar: un velero a 4 millas con demora 270º que navega a 6 nudos con rumbo 45º, un faro 6 millas justo al N, una lancha a 8 millas con demora 45º, que se dirige al barco a 30 nudos, un embarcadero a 6 millas con demora 90º, una patrullera a 2 millas, con demora 150º, en reposo (todos estos rumbos y velocidades se dan respecto al mercante). En los siguientes 15 minutos, todas las embarcaciones mantienen su rumbo y velocidad, y en el agua no existe corriente. Calcular y dibujar en una carta náutica a las 8:00 la posición y rumbo (respecto al fondo) de mercante, faro, velero, lancha, embarcadero y patrullera. Repetir a las 8:15. (Sol. 0º,0º,12º,256º)

24. Un alumno vigila durante una guardia nocturna la señal en el radar de dos mercantes que navegan próximos a su buque. Cada 20 minutos apunta en la hoja de maniobras sus posiciones (respecto a su buque). Su barco navega a 12 nudos con rumbo 180º hacia un puerto que a las 2:00 dista 12 millas. Entre las 2:00 y las 3:00 no hay corriente y los tres buques mantienen rumbo y velocidad. a) Dibujar en una carta náutica la derrota (trayectoria) de los tres buques desde las 2:00 hasta las 3:00. Determinar: b) el rumbo efectivo de los dos mercantes c) si la distancia entre alguna pareja de buques es menor a dos millas entre esas horas d) cuál de los tres buques navega más lento. (Sol. 180º y 161º, No, M1) 25. A las 14:00 un barco dista 24 millas de Palma de Mallorca y se dirige a dicho puerto con rumbo efectivo 0º. De repente, sin que nadie se percate, una balsa salvavidas se suelta, cae al mar y queda a la deriva. En toda la zona existe una corriente de 4 nudos, en dirección 315º. Durante dos horas, el rumbo y velocidad del barco y la corriente se mantienen constantes, hasta que el barco llega a puerto a las 16:00. Dibujar la posición de la balsa en el radar del barco cada media hora (de 14:30 a 16) y determinar la velocidad de la balsa respecto al puerto, la velocidad de la balsa respecto al barco y el rumbo verdadero del barco. (Sol. 4 n 315º, 9.6 n 197º, 17º)

26. Un farero ve desde su faro una lancha fondeada a 3 millas con demora 210º y una patrullera a 6 millas con demora 315º. Existe corriente de 10 nudos hacia el E (90º). Determinar el rumbo verdadero que debe tomar la patrullera para llegar a la lancha y el tiempo que tardará si realiza el trayecto a 30 nudos. (Sol. 176º, 14 min)

A 10 nudos

10 nudos

F

N

7 millas

10 millas

45º B

10 millas HOJA DE MANIOBRAS DEL ALUMNO

M1 3:00 M1 2:40 M1 2:20 M1 2:00 M2 3:00

M2 2:40 M2 2:20

M2 2:00

20

27. En una carta náutica un alumno marca cada media hora la posición de su buque B1 y de otro buque cercano B2 entre las 9:00 y las 11:00 (ambos con MRU). a) Dibujar en el radar de B1 (centrado siempre en B1) las distintas posiciones de B2. b) Determinar la velocidad de B2 respecto a B1. c) Determinar la mínima distancia entre buques.

(Sol. 8i + 5 j 2.1 milllas) 28. Un barco navega con rumbo verdadero de 90º a 6 nudos (respecto al agua). A las 10:00 se divisa desde el barco un faro a 6 millas con demora 30º y un velero a 3 millas con demora 135º. A las 11:00 el faro se divisa a 8 millas con demora 315º el velero a 1.5 millas con demora 135º. a) Calcular la velocidad de la corriente (módulo y dirección). b) Explicar si existe riesgo de colisión entre las embarcaciones. c) Hallar la velocidad del velero respecto al faro. (Sol. 2.7 nudos 100º, 7.6 i + 0.6 j)

29. El jueves 8 de noviembre de 2018 la fragata Helge Ingstad de 143 m de eslora y 21 m de manga navega por el fiordo Hjeltefjorden a 17 nudos con rumbo efectivo 155º (respecto al fondo). El petrolero SOLA TS, de 250 m de eslora y 44 m de manga, navega por el fiordo con rumbo efectivo 345º a 7 nudos. A las 4:00 la fragata se encuentra 2 millas al N y 0.85 millas al O del petrolero. Ambos mantienen 15 minutos rumbo y velocidad. a) Dibujar la trayectoria de la fragata en el radar del petrolero. b) Determinar la mínima distancia entre buques y hora a la que se produce. c) ¿Consideras que había riesgo de colisión? (Sol. 0.04 millas, 4:05)

30. Dos patrulleras de 25 m de eslora y velocidad máxima de 25 nudos (respecto al agua) navegan con rumbo efectivo 90º a 10 nudos respecto al fondo. Existe una corriente de 5 nudos hacia el S (180º). a) Determinar dónde apunta su línea de crujía (o sea el rumbo verdadero). A las 11:00 un piloto observa desde el puente un islote a 10 millas con demora 135º, desde donde se suelta un fardo que queda a la deriva. b) Elegir un rumbo verdadero y velocidad de máquinas que permita a una patrullera navegar directa al islote. c) Hallar el tiempo que tardará en llegar con esa elección. d) Elegir rumbo verdadero y velocidad de máquinas que permita a la otra patrullera navegar directa al fardo. e) Hallar el tiempo que tardará en alcanzarlo con esa elección. (Sol. 64º)

1 milla N CARTA NÁUTICA

9:00 9:30

10:00 10:30

11:00

10:00

9:30

9:00

10:30

11:00

B1

B2

21

Tareas 1. Se desea ir desde el embarcadero de Marín señalado en la carta hasta el embarcadero de la isla de Ons (ambos con un E). La corriente en toda la ría de Pontevedra es de 5 nudos en dirección este (90º). Se dispone de una embarcación cuyo motor permite navegar a un máximo de 20 nudos (respecto al agua, por supuesto). Diseña un trayecto entre ambos embarcaderos, dibújalo en la carta e indica en cada tramo: a) el rumbo verdadero que escoges (o sea, la dirección de la línea de crujía = línea popa a proa) b) la velocidad respecto al agua que escoges c) punto inicial y final del tramo (situar el origen de referencia en el primer embarcadero) d) el tiempo en realizar el tramo

2. Un mercante que puede desarrollar una velocidad máxima de 15 nudos y desplaza 10000 Tm navega en una latitud de 70º con rumbo efectivo de 90º. A las 10:00 el oficial al mando avista un pequeño islote a 5.2 millas con demora 60º y un iceberg a 4 millas con demora 135º y decide mantener rumbo y velocidad durante 15 minutos. A las 10:15 observa el islote a 3 millas con demora 30º y el iceberg a 3 millas con demora 135º. Se supone que la corriente no cambia en toda la mañana. Determinar el rumbo verdadero de mercante entre las 10:00 y las 10:15 Elegir nueva velocidad y rumbo verdadero a partir de las 10:15 que permita al mercante guardar al menos 2 millas con islote e iceberg (no es válido ralentizar la marcha y dejar pasar al iceberg por proa porque se perdería mucho tiempo, se ha de seguir navegando con cierta componente hacia el E). Comprobar que el nuevo rumbo cumple las condiciones exigidas. 3. Buscar la carta náutica de un área del litoral español de entre 2 y 20 millas de longitud y escoger dos puntos de dicha costa. Suponer que existe una corriente de 2 nudos hacia el N (0º). Describir una travesía (con un solo tramo o varios) entre esos dos puntos a velocidad de máquinas (o sea, respecto al agua) de 12 nudos. a) Determinar el rumbo verdadero y efectivo de cada tramo y el tiempo que se tarda en realizarlo. b) Dibujar durante nuestra travesía la trayectoria en nuestro radar de un buque que navega a 10 nudos hacia el O (270º, rumbo efectivo) (escoged vosotros la posición inicial del buque respecto a nuestro barco). 4. Dos aviones parten el 23 de octubre de 2019 a las 10 de la mañana hora local desde el aeropuerto de Quito (Ecuador) (0ºN, 80ºO). El primer avión parte con rumbo 90º y el segundo con rumbo 270º. Ambos realizan una vuelta al mundo a velocidad y rumbo constante a una altura de 10000 m sobre el ecuador y aterrizan en el aeropuerto de Quito a las 10 am del día 24 de octubre de 2019. a) Calcular la velocidad de los dos aviones en nudos y en km/h y discutir cuál gastará más combustible. b) Explicar cuántas noches se viven en cada avión. c) Determinar sobre qué punto de la Tierra se cruzan (por primera vez) ambos aviones. En el instante en que se cruzan los aviones: d) Hallar la hora y fecha locales en el punto sobre el que se cruzan. e) Explicar si en ese punto es de día o de noche. f) Determinar la hora local en el aeropuerto de Quito.

E

E

1 milla

22

Tema 6

1. Un cuerpo experimenta una fuerza en dirección OY, ¿se moverá obligatoriamente en dirección OY? 2. Se deja caer una canica sobre un tarro de miel. Mientras la canica se hunde su velocidad es constante. ¿Cuál es la fuerza total sobre la canica en esos momentos? 3. El sistema de la figura cae libremente partiendo del reposo. La masa de la bola es de 10 kg y la del bloque, 20 kg. Hallar la tensión en la cuerda. 4. Sea el sistema Tierra-Luna. Dibujar las fuerzas que existen en el sistema. ¿Es un caso de verdadero equilibrio? Razonar la respuesta. 5. ¿Existe algún caso en el que no se cumpla la segunda o la tercera ley de Newton? 6. ¿Qué fuerza vertical debe aplicarse a un cuerpo de 50 kg para que caiga con aceleración de 3 m/s2? (Sol. 340 N) 7. Queremos elevar un cuerpo de 300 kg con una aceleración de 5 m/s2 mediante un cable colocado verticalmente. Calcular la tensión a que está sometido el cable. (Sol. 4440 N) 8. Un esquimal sube a velocidad constante por una pendiente inclinada 30º respecto a la horizontal empujando un trineo de 20 kg. Se desprecia el rozamiento entre el suelo y el trineo y la resistencia del aire. Calcular la fuerza (vector) que el esquimal ejerce sobre el trineo y la que el trineo ejerce sobre el esquimal. (Sol. 84.5 i + 49 j ) N)

9. Sea el sistema de la figura, donde la fuerza F es constante y actúa en todo momento (µ=0). El móvil de masa 1 kg arranca con velocidad inicial nula. Hallar la posición del móvil en función del tiempo y la ecuación de la trayectoria y(x) hasta que el cuerpo toca el suelo.

10. A ambos lados de una polea de masa despreciable cuelgan sendas pesas de 1 y 2 kg,. Hallar la aceleración de las pesas, la tensión en la cuerda y la tensión en el cable que sostiene la polea. (Sol. 3.27 m/s2, 13 N, 26 N) 11. A través de una polea que permanece inmóvil, pasa una cuerda de la cual están suspendidas tres cargas iguales, cada una de 2 kg de masa. Encontrar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda que une a los bloques 1 y 2. (Sol. 3.27 m/s2, 13 N, 26 N) 12. Se ejerce una fuerza F=12 N en dirección horizontal contra un bloque A, de 4 kg, que empuja, a su vez, a otro bloque B, de 2 kg. Calcular la aceleración del sistema y la fuerza que ejerce cada bloque sobre el otro: a) Sin rozamiento b) Si µA = 0.1 y µB = 0.2 (Sol. 2 m/s2, 4 N, 0.7 m/s2, 5.3 N)

13. Para medir el coeficiente de rozamiento estático entre un objeto y una plataforma se construye el dispositivo experimental de la figura: el extremo A de la plataforma está fijo, mientras que el B se puede elevar de manera que la plataforma forme un ángulo α con la horizontal. La plataforma se eleva lentamente desde la posición horizontal hasta que el objeto comienza a deslizar. Los datos medidos son: masa del objeto m = 200 ± 5 g, ángulo en que comienza a deslizar: αL = 30º ± 1º

a) Hallar el coeficiente de rozamiento estático con su error.

l h

F

α A

B

2

1 3 F A

B

23

En el dispositivo anterior, para un ángulo de α = 15º, el objeto se encuentra en equilibrio estático sobre la plataforma. Hallar b) la fuerza normal que la plataforma ejerce sobre el objeto, c) la fuerza de rozamiento que la plataforma ejerce sobre el objeto d) la fuerza total que el objeto ejerce sobre la plataforma.

(Sol. 0.57 ± 0.03, 1.89 N, 0.507 N, -1.96 j N)

14. Desde la orilla de un río de anchura L se lanza un objeto verticalmente y el aire ejerce sobre él en todo momento una fuerza F constante horizontal hacia la otra orilla. ¿Caerá el objeto al río? (Sol. L>2Fv02/mg2) 15. Un cuerpo de masa 2 kg parte del extremo O de una mesa con velocidad inicial v0 = 4 i m/s. El coeficiente de rozamiento mesa-cuerpo es µ = 0,1. Hallar el punto en el que el cuerpo choca con el suelo. Dibujar x(t) e y(t) desde que el cuerpo sale de O hasta que choca con el suelo. (Sol. 2 m de la mesa)

16. Un bloque de 100 kp de peso se mueve a lo largo de una superficie rugosa horizontal por la acción de una fuerza de 490 N, que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es 0.2. Calcular el espacio recorrido por el bloque a los 10 s de iniciarse el movimiento. (Sol. 138.7 m)

17. Un bloque de hierro de 7 kg es arrastrado sobre una mesa horizontal de madera, por la acción de un peso de 2 kg que cuelga verticalmente de una cuerda horizontal unida al bloque de hierro y que pasa por una polea ligera. El coeficiente de rozamiento entre el hierro y la mesa es 0.15. Hallar la aceleración del bloque y la tensión de la cuerda. (Sol. 1 m/s2, 17.5 N) 18. Un estudiante se deja el libro de Física sobre el techo de su coche y a continuación arranca. Dibujar en un sistema de referencia ligado al suelo las fuerzas sobre el libro mientras el coche acelera y especificar qué objeto ejerce cada fuerza. Calcular la máxima aceleración del coche para que el libro no caiga. (Sol. 1.47 m/s2) Datos: µ suelo – coche= 0.4, µ libro – coche= 0.15, masa libro = 1 kg, masa coche = 1000 kg, masa estudiante = 70 kg 19. Un cuerpo de masa m está en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo es μ = 2 tg α. Hallar la mínima fuerza horizontal (perpendicular a la pendiente del plano, como indica la figura) necesaria para que se mueva la partícula. ¿En qué dirección se movería la partícula en este caso? (Sol. 1.73 mg sen α, 60º)

v0

H = 4,9 m

d = 6 m

O A

7 kg

2 kg

F α

24

20. La estación espacial internacional (ISS) tiene una masa de 4.2 105 kg y describe una órbita circular a 400 km de altura sobre la superficie terrestre (radio de la Tierra = 6378 km). Un astronauta se halla en el interior de un módulo cilíndrico de diámetro 4 m. a) Dibujar e indicar cuáles las fuerzas sobre el astronauta desde un SR ligado al Sol (es decir, un SR inercial) b) Dibujar e indicar las fuerzas sobre el mismo astronauta desde un SR ligado a la propia ISS c) Si el astronauta se impulsa desde el suelo (zona más cercana a la Tierra) hacia el techo del módulo con una velocidad inicial de 2 m/s, calcular el tiempo que tarda en llegar al techo y la velocidad con la que llega. 21. Hallar lo que marca una báscula sobre la que se encuentra un hombre de 100 kg en los siguientes casos: a) en un ascensor parado b) en un ascensor que sube con aceleración 1 m/s2 (hacia arriba) c) en un ascensor que sube con deceleración 1 m/s2 d) en un ascensor que sube con velocidad constante e) en un ascensor que baja con deceleración 1 m/s2 f) en un ascensor que baja con velocidad constante g) en un ascensor que baja con aceleración 1 m/s2 h) en un ascensor que cae libremente. (Sol. 100, 110, 90, 100, 110, 100, 90, 0 kg)) 22. De los extremos de una cuerda, que pasa por una polea sin rozamiento, penden dos cargas de 2 y 6 kg. Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda. (Sol. 4.9 m/s2, 29.4 N) 23. Un patinador de 70 kg está parado en el hielo y tira una piedra de 3 kg en dirección horizontal con una velocidad de 8 m/s. Hallar hasta que distancia retrocederá el patinador al lanzar la piedra, sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre los patines y el hielo es igual a 0.02. (Sol. 0.3 m)

24. Hallar la aceleración del sistema, las tensiones de las cuerdas y la fuerza con la que el bloque P4 actúa sobre P3 si m1= 1 kg, m2= 2 kg, m3= 5 kg, m4= 0.5 kg , α=30º y el coeficiente de rozamiento de las cargas con el plano es 0.2. (Sol. 7 m/s2, 8.9, 15.6, 1.5 N) 25. La masa de un ascensor es de 1.200 kg. Calcular la tensión en los cables cuando: a) asciende con aceleración de 1 m/s2 y b) desciende con 1 m/s2. (Sol. 12960, 10560 N) 26. Un hombre de 100 kg empuja a un niño de 25 kg. Ambos están con patines en una pista de hielo. La fuerza que el hombre ejerce sobre el niño es de 100 N. Hallar la fuerza que el niño ejerce sobre el hombre. Si la interacción entre ambos dura 1 segundo, hallar la variación del momento lineal del niño y del hombre. (Sol. 100 kg m/s) 27. ¿Puede un atleta de salto de altura superar el listón y que su centro de gravedad quede por debajo de la altura del listón durante todo el salto? 28. El bloque m1 de la figura tiene una masa de 4 kg y m2 tiene una masa de 2 kg. El coeficiente de fricción entre m2 y el plano horizontal es 0.5, mientras que el plano inclinado carece de rozamiento. Determinar la tensión de la cuerda y la aceleración de los dos bloques. (Sol. 1.6 m/s2, 13 N) 29. En un terreno llano, se lanza un proyectil con un cierto ángulo con respecto a la horizontal y cae en un punto A. Se lanza otro proyectil exactamente en las mismas condiciones que el anterior, pero este segundo proyectil explota en pleno vuelo y se rompe en dos pedazos iguales. Una mitad cae 10 m delante de A. ¿Dónde cae la otra mitad y por qué? 30. Cuando un camión arranca, ¿qué tipo de fuerzas actúan sobre los objetos que están sobre la caja del camión para que estos se aceleren?

1

30º

3

4

m1

30º

25

31. Explicar la función de los dibujos de los neumáticos y del aceite en un motor. Explicar por qué se peraltan las curvas en las carreteras. 32. El coeficiente de rozamiento entre el suelo y el cuerpo A es 0,4 y entre el suelo y B es 0,1. Las masas son: mA = 10 kg, mB = 30 kg, mc = 15 kg; a) calcular las tensiones en las cuerdas y la aceleración de cada cuerpo; b) ¿qué peso hay que quitar al bloque C para que baje con velocidad constante?, c) ¿y para que suba con velocidad constante? (Sol. 0.6 m/s2, 138, 89 N, 3.5 kg) 33. Calcular el centro de gravedad de las siguientes figuras: (Sol. (2.25,2.125), (6.3, 3.6), (0.136,0))

34. Sea una partícula de masa 3 kg que se mueve por el eje OX con iv

2= m/s. Desde t=10 segundos hasta t=20 s la partícula se ve sometida a una fuerza constante iF

5= N; a) hallar la variación del momento lineal

de la partícula; b) hallar la variación del momento del resto del Universo; c) hallar el incremento de velocidad del resto del Universo. (Sol. 50 i kg m/s, -50 i kg m/s, 0)

35. Una masa de 3 kg suspendida del techo mediante un cable inextensible gira en un plano horizontal 2 m por debajo del techo. La resistencia del aire y el rozamiento en el punto en que la cuerda se fija al techo se consideran despreciables. Hallar el periodo de revolución de la masa. (Sol. 2.83 s)

36. Un disco de1 kg gira describiendo una circunferencia de radio 2 m sobre una mesa horizontal sin rozamiento, y está unido mediante un cable que pasa a través de un agujero en la mesa con otro objeto de masa 2 kg. Este objeto se mantiene suspendido en equilibrio. Hallar la velocidad angular con la que gira el disco. (Sol. 3.13 rad/s)

37. Un disco gira alrededor de un eje vertical a 30 r.p.m. Sobre este disco y a 20 cm de distancia del eje de rotación se encuentra un cuerpo. ¿Qué valor debe tener el coeficiente de rozamiento entre ambos para que el cuerpo no se deslice fuera del disco? (Sol. >0.2)

38. ¿Puede el coeficiente de rozamiento estático entre dos objetos ser mayor que uno?

39. Desde lo alto de un edificio de altura H se lanza horizontalmente un objeto de masa m1 con velocidad v0, hacia otro edificio de la misma altura separado una distancia L del primero. En ese mismo instante, desde lo alto del otro edificio, se deja caer un objeto de masa m2. Analizar en qué casos (valores de v0 en función de L, H, m1, m2, g…) el objeto 1 chocará con el edificio 2, en qué casos chocará con el objeto 2 y en qué casos con el suelo. (Sol. suelo si v0<L(g/2H)1/2)

A B

C 30º

5 m

4 m

2 m

3 m

10 cm

4 cm

8 cm

2 cm

R= 1 m

1 m

R= 1/4 m

v0

L

H

m1 m2

26

Tema 7

1. Sea una puerta giratoria de cuatro hojas, en la que empujan tres personas como muestra la figura. A y C empujan con una fuerza de 200 N cada uno, mientras que B empuja con una fuerza de 500 N. Determinar el momento total de las fuerzas respecto a O y el sentido de giro de la puerta (parte del reposo). (Sol. 100 N m)

2. Hallar el momento de inercia del sistema formado por una varilla y una esfera respecto al eje A y respecto al eje B. La masa de la varilla es 4 kg y su longitud 4m. La masa de la esfera es 6 kg y su radio es 1 m. (Sol. 61.7, 43.7 kg m2)

3. ¿Por qué los gimnastas o saltadores de trampolín encogen el cuerpo cuando quieren dar muchas vueltas? 4. Hallar el momento de inercia y el momento angular del conjunto respecto al eje Z si gira a 3 rad/s. Si se desprenden el cilindro y la esfera, hallar la nueva velocidad angular. Cilindro: masa 1 kg, radio 1m. Esfera: masa 2 kg, radio 1m. Barra: masa 0.5 kg, longitud 4m. (Sol. 29 kg m2, 130.5 rad/s)

5. Un hombre de 70 kg está sobre un disco a 2 m del centro. La masa del disco es de 300 kg y su radio 2.5 m. El disco gira con velocidad angular 100 rpm respecto al eje perpendicular al disco que pasa por su centro (ver figura). Si el hombre salta hasta situarse a 0.5 m del eje, hallar la nueva velocidad angular del conjunto. (Sol. 127 rpm)

6. En un tambor cilíndrico de 9 kg hay enrollado un cordón a cuyo extremo va atado un peso de 2 kg. Hallar la aceleración del peso (despreciar el rozamiento). (Sol. 3 m/s2) 7. Hallar la aceleración de un disco que cae mientras se desenrolla un cordón que está unido al techo en su parte superior (como un yo-yó pero al techo en lugar de a la mano). (Sol. 6.5 m/s2)

8. Un volante de radio 1 m y 100 kg tiene su masa localizada en la llanta. Se arrolla a su eje, de radio 10 cm y masa despreciable, una cuerda de la que pende un cuerpo de 40 kg. Si el cuerpo parte del reposo desde una altura de 18 m, calcular la aceleración del cuerpo, la tensión de la cuerda y el tiempo que tarda el cuerpo en llegar al suelo. (Sol. 0,04 m/s2, 389 N, 30 s)

9. Una polea de 1 kg está sujeta en el borde de una mesa. Las pesas A y B, ambas de 1 kg, están unidas por un hilo que pasa por la polea. El coeficiente de rozamiento de B con la mesa es 0.1. la polea es un disco homogéneo y se desprecia el rozamiento. Hallar la aceleración de las pesas y las tensiones del hilo. (Sol. 3.5 m/s2, 6.3, 4.5 N) 10. Dos pesas de masa 6 y 4 kg están unidas entre sí mediante una cuerda que pasa por una polea de 10 kg y radio 20 cm (la polea es un disco homogéneo). Hallar la aceleración del cuerpo de 6 kg. Dibujar y calcular todas las fuerzas sobre la polea. (Sol. 1.3 m/s2, 51, 44.4, 193.4, 98 N )

O 1 m

1 m

0.6 m

A

B

C

Z

Eje A Eje B

A

B

27

11. El sistema parte del reposo. La polea es un disco homogéneo de 16 kg y radio 10 cm. Hallar para qué rango de valores de la masa del bloque B dicho bloque desciende. Hallar en función de mB la velocidad y aceleración del cuerpo B cuando ha recorrido 1 m. (Sol. > 1 kg)

12. Dibujar las fuerzas sobre el camión (TARA = 3673.5 kg) cuando eleva el cubo (de masa = 100 kg vacío). Hallar la fuerza que el suelo ejerce sobre las ruedas delanteras y traseras si el cubo con 1000 l de hormigón (ρ = 1900 kg/m3) se eleva con a = 2.2 m/s2. Hallar la máxima carga de hormigón que se puede elevar sin que se levanten las ruedas. ¿Cuál es la posición crítica del cubo para que se levanten las ruedas? (Sol. 0, 60000 N, 1236 l)

13. Una esfera parte del reposo en un plano inclinado de pendiente θ. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento entre ambos para que la bola ruede hacia abajo sin deslizar? (Sol. 2/7 tg θ) 14. Una esfera maciza homogénea se lanza (sin rodar) con velocidad v0 sobre un plano con coeficiente de rozamiento µ. ¿En qué punto comienza a rodar sin deslizar? ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Sol. 12v02/49µg, 5v0/7) 15. Dos personas, A y B, transportan a velocidad constante y en equilibrio un tablón de 10 kg y 4 m de longitud, cada uno por un extremo. Sobre el tablón se apoya una caja de 60 kg, a 1,5 m de B. Hallar la fuerza que soporta cada persona. (Sol. 416.5, 279.3 N) 16. Una persona de 70 kg se sienta en el extremo de una viga homogénea de 1000 kg y 4 m de longitud. La viga esta sujeta a la pared por un cable y el sistema permanece en equilibrio estático en la posición que muestra la figura. Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre la viga. Calcular la tensión del cable y la reacción ejercida por la pared sobre la viga. (Sol. 15800, (11172,686) N)

17. Una barra homogénea de 200 kg y 10 m de longitud se cuelga por su centro del punto A mediante un cable de masa despreciable. Un extremo de la barra se apoya sin rozamiento sobre la pared. Cuando en el otro extremo se cuelga una masa m, la barra forma un ángulo de 60o con la vertical y 90o con el cable que la sostiene. Dibujar las fuerzas que actúan sobre la barra. Calcular el valor de m, la tensión de los dos cables y la fuerza ejercida por la pared sobre la barra. (Sol. 100 kg, 3395, 980, 1697 N)

18. Dos jóvenes quieren balancearse sobre un tablón de 7,2 m que está apoyado en la arista de una viga; uno de ellos “pesa” 48 kg y el otro 59 kg. Determinar en qué punto debe apoyarse el tablón, prescindiendo de su peso, para que ambos se equilibren al sentarse en sus extremos. (Sol. 4 m)

19. Una viga homogénea AB de 6 m de longitud y 500 kg se encuentra en equilibrio como indica la figura. Dibujar las fuerzas que actúan sobre la viga. Calcular la masa MX para que la viga permanezca en equilibrio y la reacción en A (modulo y dirección). (Sol. 500 kg, 6482 N, 71º)

4 m

2 m

2 m

m

A

600

1.5 m

3 m

1 m

cdg

2m 3m

M = 3673.5 kg

1.5 m

3 m

1 m

cdg

2m 3m

m = 100 kg

30º A

B

µ=0

30º

Mx 60º

A

B

10 kg

µ = 0.1

28

20. Un peso P se encuentra sujeto como muestra la figura por dos cuerdas que pueden soportar una tensión máxima de 5000N. Calcular a) las tensiones de las cuerdas si el peso P es de 3.000 N y b) el máximo valor de P que puede soportar el sistema. (Sol. 3464, 1732, 4330 N)

21. Una escalera de 10 m de longitud y 20 kg descansa sobre una pared vertical lisa, y su parte inferior se encuentra en el suelo a 3 m de la pared. ¿Cómo debe ser el coeficiente de fricción estática entre escalera y suelo para que una persona de 70 kg pueda subir con seguridad hasta el 80% de la escalera? (Sol. >0.23)

22. La viga de la figura, de 1.000 kg y 8 m de longitud, hace de carril aéreo. Sobre ella desliza un colgador con 2.000 kg de carga. Calcular las tensiones de los cables, la fuerza ejercida por la pared sobre la viga y el ángulo que forma ésta con la horizontal cuando la carga se encuentra a 6 m de la pared (se desprecian los pesos del colgador y cable). (Sol. 39200, 19600, 35336 N, 16º) (Sol. 210, 182, 287 N) 23. Una varilla rígida de 45.9 kg y 2 m de longitud se apoya vertical sobre el suelo. Su extremo superior se conecta mediante un cable a un punto en el suelo situado a 2 m de su base. En su punto medio se tira mediante otro cable con una fuerza horizontal de 100 N, como indica la figura. Determinar cómo ha de ser el coeficiente de rozamiento entre suelo y varilla para que permanezca en equilibrio estático. (Sol. >0.1) 24. Hallar las tensiones de las cuerdas y las aceleraciones de los cuerpos de la figura. Datos: masa A = 50 kg, masa B = 10 kg, la polea P se puede considerar sin masa, la polea doble tiene una masa de 50 kg, un radio interior de 0.2 m, exterior de 0.35 m y radio de giro RG = 0.28 m. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con el suelo es 0.2. (Sol. 91, 119 N, 0.72, 0.41 m/s2)

25. Una barra uniforme de 30 kg y 6 m de longitud, se encuentra unida a la pared mediante un pivote que permite a la barra girar libremente respecto al pivote. La barra se suelta (sin velocidad inicial) en posición horizontal. Determinar en ese instante en que la barra comienza a caer: a) la aceleración angular de la barra, b)la fuerza de reacción que el pivote ejerce sobre la barra (Sol. 2.45 rad/s2, 73.5 N) 26. Se necesita levantar la hélice (del Ile d’Aix) que pesa 30 Tm. En la figura se muestra la localización del centro de gravedad de dicha hélice y los dos puntos, A y B, donde se conectan los cables que servirán para izarla. Además se observa el ángulo que forman los cables con la vertical. Por último, se observa en A un segundo cable que impide que la hélice se desplace hacia la izquierda. Calcular las tensiones T1, T2 y T3 con la hélice en equilibrio estático.

(Sol. 29, 6.5, 15 Tm)

P

B

2 m

30º

A

60º

F = 100 N

2 m

P M=50 kg

m=10 kg

MP=50 kg

r=0,2 m

R=0,35 m

A B

cdg

35º 15º

cdg

35º 15º

B

A

B

A 400

300 1220

800

T1

T2

T3

29

27. Las ruedas del camión de la figura llevan pegados fragmentos de barro. El camión circula a velocidad constante de 80 km/h. A medida que el barro se despega de los surcos de los neumáticos, es lanzado en la dirección del vector velocidad en cada punto de la rueda. Todos estos vectores apuntan en el sentido de avance del vehículo. Entonces, ¿por qué los guardabarros están colocados en los camiones por detrás de las ruedas?

28. La escalera de un camión de bomberos mide 20 m, su masa es 285 kg y su centro de gravedad se sitúa en su centro. La escalera puede girar respecto a una bisagra en A, y para levantarla se usa un pistón hidráulico que la empuja. La fuerza que ejerce el pistón forma un ángulo de 40º con la horizontal. a) Determinar la mínima fuerza F que ha de ejercer el pistón para comenzar a levantar la escalera. b) ¿Si el pistón no puede girar y sigue ejerciendo esa misma fuerza, en módulo y dirección, lograría levantar la escalera hasta un ángulo de 30º? (Sol. 5430 N)

Tareas

1. Una escalera de 5 m y 10 kg se quiere apoyar en el suelo y en una pared vertical lisa (sin rozamiento) para que suba un hombre de 70 kg. El coeficiente de rozamiento entre el suelo y la escalera es 0.3. Determinar: a) en qué posiciones de la escalera no existe problema para que el hombre suba hasta lo alto de la escalera; b) en qué posiciones la escalera sola (sin hombre) no puede permanecer en equilibrio; c) a qué altura máxima puede subir el hombre en función de la posición de la escalera. Nota: definir con precisión las magnitudes elegidas para determinar la posición de la escalera y la altura del hombre.

v

30

Tema 8

1. Utilizando el teorema de conservación de la energía, hallar la altura máxima que alcanza un proyectil con velocidad v0 y con ángulo α sobre la horizontal. 2. ¿Qué trabajo hay que realizar para que un cuerpo de 2 kg acelere de 2 m/s hasta 5 m/s? (Sol. 21 J) 3. Una grúa de un barco eleva una carga de 80 kg a una altura de 10 m en 20 s. ¿Cuál es la potencia del motor de la grúa? (Sol. 392 W) 4. Una piedra de 0.2 kg se lanza con velocidad 15 m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal. Hallar las energías cinética, potencial y total de la piedra: a) 1 s después de haber sido lanzada; b) en el punto más alto de su trayectoria. (Sol. 6.6, 15.8, 22.5, 5.6, 16.9, 22.5 J) 5. Dos objetos de masa m1 y m2 = 2 m1 realizan una carrera sobre una superficie sin rozamiento bajo la acción de sendas fuerzas iguales, F. Ambos parten a la vez con velocidad inicial nula y recorren una distancia d hasta la meta. ¿Cuál llegará con mayor energía cinética? ¿Cuál de ellos llegará antes? 6. Una grúa de 250 CV tiene un rendimiento de 0.75 y debe elevar un peso de 25 toneladas a 10 m de altura. La energía cuesta 0.18 €/kWh. Calcular el tiempo y el importe para levantar el peso. (Sol. 17.8 s, 0.16 €) 7. Un automóvil de 1500 kg acelera de 0 a 100 km/h en 8 s. Hallar la potencia del motor (suponerla constante). Calcular el tiempo que tarda en acelerar de 100 a 120 km/h. (Sol. 98 CV, 3.5 s)

8. Se realiza un viaje en coche de Torrelavega a Madrid. ¿Qué ocurre con la energía de la gasolina que se ha quemado?, ¿se puede recuperar para realizar el viaje de vuelta?, ¿son conservativas todas las fuerzas que han intervenido en el proceso? 9. Cuando levantamos un coche con un gato (sin motor) o haciendo palanca, ¿de dónde sale la energía necesaria para levantarlo (energía potencial ganada por el coche)? 10. El sistema de la figura parte del reposo en la situación indicada. El índice de rozamiento entre el bloque 1 y el suelo es µ = 0.2 Hallar la tensión de la cuerda, la velocidad del bloque 2 cuando llega al punto A y la energía disipada por las fuerzas de rozamiento hasta ese momento. (Sol. 33.6 N, 1.67 m/s, 19.6 J) 11. Una persona salta desde un avión y abre su paracaídas. ¿En qué se convierte la energía potencial si cae con velocidad constante? 12. Un cuerpo de 3 kg de masa cae desde cierta altura con una velocidad inicial de 2 m/s dirigida verticalmente hacia abajo. Al cabo de 10 s la velocidad del cuerpo es de 50 m/s. Calcular el trabajo realizado contra la fuerza de resistencia (que se considera constante). (Sol. 3900 J) 13. Hallar la potencia que desarrolla el motor de un automóvil de 1.000 kg que avanza a 36 km/h en los siguientes casos: a) por una carretera horizontal, b) subiendo una cuesta que asciende 5 m por cada 100 m de recorrido y c) bajando una cuesta con esta misma pendiente. El coeficiente de rozamiento por rodadura es 0.07 y se desprecia la resistencia del aire (Sol. 6860, 11751, 1951 W) 14. Un ciclista baja sin pedalear una cuesta de pendiente 6% a 50 km/h. La masa total del ciclista más la bicicleta es de 80 kg. ¿Qué potencia debería desarrollar el ciclista para subir la misma pendiente con la misma velocidad? (Sol. 1.8 CV)

A 1 m

Bloque 1 m1 = 10 kg

Bloque 2 m2 = 4 kg

31

15. Un cuerpo desliza primero a lo largo de un plano inclinado un ángulo de 30º y luego continúa moviéndose sobre el plano horizontal. Determinar el coeficiente de rozamiento, si se sabe que el cuerpo recorre en el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado. (Sol. 0.26)

16. En el sistema de la figura el cable que pasa por ambas poleas está sujeto en un extremo al bloque B y en otro al techo (punto P). Las poleas pueden considerarse ideales (masa despreciable) y el sistema parte del reposo. Las masas de los bloques son mA = 10 kg , mB = 8 kg. Hallar la velocidad del cuerpo B cuando ha recorrido 1 m. (Sol. 2.37 m/s) 17. Hallar la mínima altura desde la que un móvil sin velocidad inicial ni rozamiento supera completo un lazo de radio R. (Sol. 2.5 R) 18. En el mismo lazo del caso anterior, hallar la mínima altura desde la que hay que dejar caer una esfera (sin velocidad inicial) para que supere el lazo completo si rueda sin deslizar. (Sol. 2.7 R) 19. Un disco y una esfera de la misma masa y radio parten con la misma velocidad inicial y ruedan hacia arriba por un plano inclinado. ¿Cuál de ellos llegará más alto? 20. Calcular el tiempo que tarda el carrete de la figura en rodar desde A hasta B si parte del reposo. Datos: m1 = m2 = m3 = 1 kg; h = 1 m; a = 0.01 m; b = 0.12 m. (Sol. 1.04 s)

21. Un cilindro y una esfera homogéneos de igual masa y radio se dejan caer a la vez desde una misma altura h por un plano inclinado 30º. Ambos parten del reposo y ruedan sin deslizar. ¿Cuál de ellos llegará antes al suelo? Por el suelo ambos cuerpos siguen rodando sin deslizar y el coeficiente de rozamiento por rodadura es despreciable. Al cabo de cierto tiempo la distancia entre ellos es de 5 m. ¿Cuál será la distancia entre ellos 1 minuto después? a) menor que 5 m b) mayor que 5 m c) igual a 5 m d) no se puede determinar

22. Una esfera se deja caer sin velocidad inicial desde un metro de altura por una rampa de 10º como indica la figura. En la rampa y el plano horizontal existe fricción que permite que la esfera ruede sin deslizar. En la rampa de la derecha, por el contrario, no existe rozamiento. Hallar la altura máxima que alcanza la esfera en la rampa sin rozamiento. (Sol. 0.71 m) 23. En una atracción, un carro se lanza hacia el lazo de la figura con velocidad inicial v0. Se desprecia el rozamiento. Determinar el rango de velocidades v0 que resulta seguro para los ocupantes del carro. (Sol. v0<√2gR o v0>√5gR) 24. Una bola con carga positiva de 100 g y velocidad 2 i

m/s se acerca a otra bola de 200 g con carga

positiva en reposo. Ambas interaccionan por fuerzas eléctricas. Una vez concluida la interacción la primera bola se mueve con velocidad de j

2 m/s. Hallar la velocidad de la segunda bola. (Sol. i-j m/s)

25. Un automóvil de 2,000 kg que avanza a lo largo de una calle, en dirección ESTE, choca, a la velocidad de 60 km/h, con un camión que pesa 4 Tm y que atraviesa la misma calle en dirección SUR a la velocidad de

h R

m1

m2

m3 2a A

h B 30º

2b

v0 R

P

A

B

10º 10º 1 m

µ = 0 µ = 0.3 µ = 0.3

d = 4 m

32

20 km/h. Si como consecuencia del choque quedan unidos, ¿cual es la magnitud y dirección de su velocidad inmediatamente después del choque? (Sol. 24 km/h, 33.6º)

26. Un tractor de 6 Tm que viaja hacia el norte con velocidad de 25 km/h choca con otro de 4 Tm que se dirige hacia el oeste con velocidad de 70 km/h. Los dos vehículos permanecen juntos después del choque; hallar la velocidad y dirección de ambos vehículos inmediatamente después del choque. (Sol. 31.8 km/h, 28º)

27. Un proyectil de 0.05 kg, que se mueve a 400 m/s penetra una distancia de 0.1 m en un bloque de madera firmemente sujeto al suelo. Se supone que la fuerza deceleradora es constante. Calcular: a) la deceleración del proyectil; b) la fuerza deceleradora; c) el tiempo que dura la deceleración. (Sol. 8 105 m/s2, 4 104 N, 5 10-4 s)

28. El péndulo cónico de la figura de m1 = 10 kg y longitud 1 m, gira en un plano horizontal. Al aumentar la velocidad angular choca frontalmente con una bola de masa m2 = 4 kg que está en reposo a 0.5 m del eje de rotación. Calcular: a) La velocidad angular en r.p.m. para que choque, b) La velocidad con que sale despedida m2 después del choque. (Sol. 32.1 rpm, 2.4 m/s) 29. Un cañón de 5 103 kg dispara un proyectil de 100 kg. La energía cinética del proyectil al salir del cañón es igual a 7.5 106 J. ¿Qué energía cinética adquirirá el cañón a causa del retroceso? (Sol. 1.5 105 J) 30. Un cañón de 600 kg, montado sobre ruedas, dispara un proyectil de 4 kg con una velocidad inicial de 600 m/s y una elevación de 30º. Calcular la velocidad horizontal de retroceso del cañón. (Sol. 3.5 m/s)

31. Se dispara una bala de 25 g contra un bloque de 5 kg de madera suspendido de una cuerda, quedando la bala incrustada en él. Sabiendo que el centro de gravedad del bloque se desplaza 10 cm hacia arriba, calcular la velocidad inicial de la bala. (Sol. 281.4 m/s)

32. Se dispara una bala de 20 g de masa y una velocidad inicial de 600 m/s, sobre un bloque de 900 g de masa suspendido como muestra la figura. La bala choca contra el blanco y lo atraviesa completamente. La velocidad con que emerge la bala es igual a la mitad de su velocidad inicial. Calcular la altura alcanzada por el bloque por efecto del impacto. (Sol. 2.26 m) 33. Supongamos una colisión, en la que un coche arrolla a otro (que estaba detenido) y ambos quedan unidos y avanzan con cierta velocidad. ¿Se conserva en esta colisión la energía mecánica? ¿Y la cinética? ¿Y el momento lineal? Razonar las respuestas. 34. El péndulo balístico es un dispositivo que se utiliza para determinar la velocidad con la que un arma dispara una bala. Se dispara a un bloque en el que la bala queda incrustada y se mide la altura que alcanza tras el impacto. Explicar qué otras magnitudes habrá que medir o conocer y expresar la velocidad de la bala en función de dichas magnitudes. 35. Dos bolas de billar de masa=1 kg colisionan. La velocidad de la primera es 1 m/s, mientras que la segunda está parada. Se considera que la colisión dura 1 milisegundo y que no se disipa energía. Hallar la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2, y la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1. (Sol. 1000 i N) 36. Una teja de 2 kg cae sin velocidad inicial desde lo alto de un edificio de 30 m de altura sobre un coche de 1 m de altura situado en la calle. Por el impacto, el techo del coche se deforma 4 cm y la teja queda sobre él Se desprecia la resistencia del aire. Calcular: a) velocidad de la teja justo antes de impactar sobre el vehículo b) momento lineal de la teja en ese instante c) tiempo de caída d) la deceleración de la teja

E

h m1

m2 v0 0,5v0

33

(suponer que esta deceleración es constante) e) tiempo que dura la colisión f) fuerza sobre el techo del vehículo. (Sol. 23.8 m/s, 47.6 kg m/s, 2.4 s, 7080 m/s2, 3.4 ms, 14160 N) 37. Una esfera de 1 kg y radio 10 cm rueda sin deslizar a 3 m/s por un suelo horizontal hasta que llega a un plano inclinado 10º y ascendente. El coeficiente de rozamiento entre esfera y plano es 0.3. Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre la esfera mientras asciende por el plano inclinado ¿Llegaría más alto la esfera si no existiera rozamiento en el plano inclinado? 38. Una varilla uniforme de longitud L y masa M puede girar libremente sin rozamiento alrededor de un pivote fijo (de tamaño despreciable) situado en uno de sus extremos. La varilla se suelta en posición horizontal y en reposo. Determinar en función de L y M la velocidad del punto central de la varilla cuando alcanza la posición más baja posible. (Sol. (3gL/4)1/2)

39. Una lancha de pesca de 6 m de eslora y 2 m de manga posee un motor diésel de 100 CV, que aprovecha el 25% de la energía liberada al quemar el gasóleo. Calcular cuántos litros de gasóleo gasta el motor en una hora a máxima potencia, el precio y el “peso” (en kg) de dicho gasóleo. Comparar con un automóvil de 100 CV que consume según el fabricante 5 litros de gasóleo cada 100 km a 100 km/h. ¿A qué se debe la diferencia de consumo? Se sustituye el motor diésel por uno eléctrico de la misma potencia, 100 CV (suponer con un 100% de eficiencia) que toma energía de la red eléctrica. Calcular cuánto dinero cuesta que este motor funcione una hora a máxima potencia. En el mar, el acceso a la red eléctrica no es posible, por lo que se pretende alimentar el motor mediante placas solares, que presentan una eficiencia del 25% al convertir en electricidad la radiación solar. Calcular qué superficie de cubierta hay que cubrir con placas solares para lograr 100 CV. Como alternativa de motor ecológico, se contratan los remeros necesarios para obtener 100 CV. Los remeros presentan una eficiencia del 25% al convertir en trabajo el valor energético de la comida. Si se alimentan de macarrones, calcular cuántos kilogramos quemaría el grupo en una hora a máxima potencia, y estimar su precio. Estimar cuántos remeros son necesarios para lograr 100 CV. (Sol. 26.5 l, 16 €, 22.5 kg, 9.5 €, 300 m2, 70 kg, 250 remeros ) 40. Un barco de 100 m de eslora a 12 nudos consume 25 Tm de fuel al día. El rendimiento del motor es del 25 % (rendimiento = trabajo útil / energía aportada por el combustible). Calcular la potencia (en CV) que proporciona el motor en esas circunstancias. (Sol. 4000 CV)

34

Tema 9

1. Un cilindro de madera de densidad 600 kg/m3 se introduce en un recipiente con agua. ¿Qué volumen del cilindro emerge fuera del agua en su posición de equilibrio? (Sol. 40%) 2. El recipiente de la figura está totalmente lleno de agua. Se coloca una plataforma con un hombre de 70 kg sobre ella. ¿Cuánto desciende el hombre? Calcular el volumen y la masa de agua desalojada. (Sol. 7 cm, 0.07 m3, 70 kg) 3. ¿Por qué es más fácil flotar en el mar que en un lago de agua dulce?

4. ¿Por qué las botellas de aire de los submarinistas llevan un regulador de presión? 5. ¿Cuál es la fuerza sobre un tímpano circular de 7 mm de diámetro si el interior del oído está a la presión atmosférica a nivel del mar y el exterior a la presión a 1500 m de altura?, ¿qué sistema utiliza el cuerpo humano para evitar este problema? (Sol 0.73 N) 6. ¿Se puede construir una vasija de forma que un litro de agua actúe con una fuerza de 100 N sobre el fondo? ¿Se podría lograr si el agua estuviera en forma de hielo? 7. Una bomba de succión opera disminuyendo la presión en un tubo que llega al fondo de un pozo. ¿Por qué sólo funciona en pozos cuya profundidad es menor que 10 m?

8. Sobre el recipiente de la figura, de radio 1 m y altura 2 m, el émbolo ejerce una fuerza. Si la fuerza es de 104 N, ¿cuánto se comprime el líquido? Las paredes laterales pueden soportar una P de 105 Pa, mientras que el fondo soporta una P de 2 105 Pa. Determinar la fuerza necesaria para romper el recipiente, y por donde se romperá. (Sol. 3.14 104 N)

9. Un cuerpo pesa 98 N en el aire y 58.8 N en un líquido cuya densidad relativa vale 0.8. Hallar la densidad relativa del cuerpo. (Sol. 2) 10. Un cubo de hielo flota en un vaso de agua. ¿Qué le sucede al nivel del agua si el hielo se derrite? 11. Dos cilindros de masas y diámetros iguales, uno de aluminio y otro de plomo, se mantienen en el mercurio en posición vertical. ¿Cuál de ellos está hundido a mayor profundidad? 12. ¿Se puede bucear a 1 m de profundidad durante 25 minutos respirando por un tubo hueco de longitud superior a 1m que llegue hasta la superficie? 13. Un submarino de 2.2 106 kg está dividido en la coraza de presión, cuyo volumen es 2.0 103 m3, y los tanques de lastre, de 4.0 102 m3. Para que el submarino se hunda los tanques se inundan mientras que para que ascienda se vacían. a) ¿Qué fracción del submarino emerge cuando los tanques están llenos de aire? b) ¿Qué cantidad de agua de mar deben albergar los tanques para que el submarino se pueda mantener a una profundidad fija, es decir, para lograr una flotación neutra? (ρmar = 1.03 103 kg/m3) (Sol. 11%, 264 m3)

14. Un muelle de masa y volumen despreciables tiene una longitud de 5 cm. Se cuelga de su extremo un objeto de aluminio de 100 g, de forma que en el equilibrio este objeto queda totalmente sumergido en agua y el muelle alcanza una longitud de 8 cm. Hallar la constante elástica del muelle. Datos: ρAluminio = 2700 kg/m3, ρagua = 1000 kg/m3 (Sol. 20.6 N/m)

S = 1 m2

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15. Dos bloques de aluminio se conectan como indica la figura, con el bloque 1 sumergido en agua. La polea y el cable pueden considerarse ideales (o sea, ambos de masa despreciable y cable inextensible). Calcular para qué rango de valores de la masa del bloque 1 el sistema permanece en equilibrio estático. (Sol. < 3.18 kg) 16. Estimar el tamaño mínimo de un globo lleno de helio para que pueda elevar a una persona. ¿Podría ese globo alejarse de la Tierra hasta llevar a esa persona fuera del sistema solar? (Sol. 70 m3) 17. Un globo esférico de radio 10 cm y lleno de helio se encuentra estático contra el techo de una habitación. La goma que forma el globo tiene una masa de 3 g. a) Calcular la fuerza que el globo ejerce contra el techo. b) ¿Qué le ocurriría a dicho globo si lo soltara un astronauta sobre la superficie lunar? c) ¿Qué le ocurriría a dicho globo dentro de un coche si el conductor frenara bruscamente? (Sol. 0.016 N) 18. Un balón se introduce en un contenedor lleno de agua. Si el experimento se realiza sobre la superficie lunar, ¿es el empuje que sufre el balón menor, igual o mayor que en la Tierra? ¿y en la ISS? 19 Un contenedor de acero (con la forma habitual de ortoedro) está lleno de gasolina y perfectamente sellado. Discutir si se hundiría en caso de caer al mar.

20.¿Podría usarse en la Luna un globo estándar de aire caliente para elevar a los astronautas desde la superficie hasta una nave en órbita lunar (llamada módulo de control)? ¿Y un globo de Helio?

21. Se tienen dos globos iguales. Solo uno de ellos se hincha y se cierra. Se colocan en sendos brazos de una balanza, ¿qué ocurrirá? 22. Un recipiente con forma de ortoedro (largo = 4m, ancho = 2m y alto = 2m) contiene 8000 litros de agua. Sobre su superficie flota una esfera maciza de densidad 900 kg/m3 y radio 0.5 m. a) Determinar la altura de la superficie del agua. b) Determinar la altura del punto más alto de la esfera. c) Si se vierten sobre el recipiente 4000 litros de aceite con densidad 950 kg/m3, el punto más alto de la esfera queda a una altura a en m: I) a < 1 II) 1 < a < 1.5 III) 1.5 < a < 2 IV) a > 2 (Sol. 1.06 m, 1.13 m, III)

B2

B1

masa bloque 2

densidad H2O densidad Al

µ roz B2 - suelo

10

1000 2700 0.2

DATOS (SI)

Volumen esfera = 4/3 π r3 Vol. casquete esférico ≈ π r2 h

36

Tema 10

1. ¿Cuál de los dos diques debe tener mayor resistencia? (discutir el caso estático y dinámico)

2. ¿Por qué las ventanas y los muros se derrumban hacia fuera cuando azota un ciclón de vientos muy fuertes?

3. Sea un depósito de agua como se muestra en la figura (supóngase un depósito de gran capacidad). Entre A y B hay una altura de 12 m. Si la velocidad del agua en B es de 14 m/s, hallar la diferencia de presión entre A y B. (Sol. 19600 Pa)

4. El diámetro de un tramo de tubería horizontal varía uniformemente de 10 a 5 cm. La velocidad del agua al principio del tramo es de 1 m/s. Hallar la diferencia de presión entre los extremos del tramo. (Sol. 7500 Pa) 5. En determinado punto de una tubería horizontal, la presión manométrica es 0.5 105 Pa. En otro punto, la presión manométrica es 0.3 105 Pa. Si las respectivas áreas del tubo en estos dos puntos son 20 cm2 y 10 cm2, calcúlese el número de metros cúbicos de agua por minuto que circulan a través de cualquier sección del tubo (gasto). (Sol. 0.438 m3/min) 6. El agua sale continuamente del depósito de la figura, cuya área es muy grande comparada con las secciones de los tubos. La sección transversal en el punto 2 es 450 cm2 y en el punto 3 es 225 cm2. La altura del punto 1 es 12 m, la del punto 2 y 3, 1.2 m. Calcular la presión en el punto 2 y el gasto en litros por segundo. (Sol. 1.8 105 Pa, 327 l/s)

7. Una viga AB de longitud 10 metros y 1.000 kg, gira alrededor de A y está sujeta por el extremo B, por medio de un cable, a la masa m (densidad 3 g/cm3) sumergida en agua. Calcular la masa m para que la viga esté en equilibrio y el valor de la reacción en A. ¿Qué ocurriría si se vaciara lentamente el depósito? ¿Y rápìdamente? (Sol. 1900 kg, (12225, 11956) N) 8. El venturímetro es un instrumento que sirve para determinar la velocidad y el gasto de un fluido en un tubo. Consta de dos manómetros, uno se sitúa en el propio tubo y el otro en un estrechamiento del mismo. Determinar la velocidad del fluido en el tubo, v1, en función de su densidad, de la presión en el tubo, P1, y en el estrechamiento, P2, y de las respectivas áreas, A1 y A2. 9. En un puerto de dudosa reputación van a servirnos gasóleo a través de un tubo horizontal de 5 cm de diámetro. Para controlar la cantidad de gasóleo que nos suministran, acoplamos una pieza de 2.5 cm de diámetro al tubo y dos manómetros, uno en cada tubo como muestra la figura. Los tanques se llenan durante una hora a través de este tubo, y los manómetros marcan 2 bar y 1 bar respectivamente. Calcular el precio y el peso del gasóleo que nos han suministrado. (Sol. 17000€, 28000 kg)

A

B

30º 10º

m

A

B

1

2 3

P1 P2

A1

A2

v1

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10. Un depósito cilíndrico de diámetro 4 m y altura 8 m, abierto por la parte superior, está lleno de agua. Desde su base parte una tubería de 3 cm de diámetro que tiene un manómetro en el punto A. Hallar la lectura del manómetro y cuánta agua sale en un minuto: a) con el grifo B cerrado, b) abierto. (Sol. 1 atm, 0 litros/min, 0 atm, 600 litros/min )

A B 2 m

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Tema 11 1. Una partícula de 2 kg, que se mueve en el eje OX, realiza un movimiento armónico simple. Su posición en función del tiempo es x(t) = 5 cos (3t) m y su energía potencial es Epot(t) = 9 x2(t) J. a) Dibujar una gráfica que represente la posición de la partícula en función del tiempo, x(t). b) Dibujar el movimiento de la partícula (un dibujo que asemeje una película de la partícula). c) Dibujar las fuerzas sobre el objeto en algunos puntos de su recorrido d) Hallar el periodo del movimiento, la frecuencia y la frecuencia angular. e) Estimar el error en la frecuencia supuesto conocido el periodo y el error del periodo. f) Hallar la velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo. g) Hallar la velocidad y aceleración de la partícula en función de su posición x, v(x) y a(x); h) ¿Corresponde a cada posición x un único valor de la velocidad? ¿y de la aceleración? i) Hallar la energía cinética, la energía potencial y la energía total en función del tiempo.

2. Una partícula de masa 4 kg realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje OX, entre los puntos x=-5 m y x = 5 m. En el instante inicial la partícula pasa por x = 0 m con velocidad iv

3= m/s. a) Calcular la frecuencia angular (pulsación) y el periodo del movimiento. b) Calcular la posición y velocidad de la partícula en función del tiempo. c) Calcular la energía total; ¿depende esta energía del tiempo? (Sol. 0.6 rad/s, 10.47 s, 5 sen(0.6t), 3 cos(0.6t), 18J)

3. Una partícula se mueve en el eje OX y realiza un movimiento armónico simple entre los puntos x = 0 m y x = 10 m. En el instante inicial pasa por x = 5 m con velocidad iv

20= m/s. a) Calcular el periodo del movimiento. b) Calcular la posición de la partícula en función del tiempo. c) Realizar una gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo. d) Calcular la velocidad de la partícula en función del tiempo. (Sol π/2 s, 5 + 5 sen(4t), 20 cos(4t)) 4. La hoja de una sierra de calar mide 8 cm de altura y realiza un movimiento armónico simple en dirección vertical (eje Y), con un periodo de 0.2 s y una amplitud de 12 mm. Se toma como origen de coordenadas el centro de oscilación del punto central de la hoja de sierra, y se consideran positivas las posiciones que quedan más arriba que el origen. En el instante inicial, el punto central pasa por el origen de coordenadas y se mueve hacia arriba. a) Escribir la ecuación del movimiento del punto central de la hoja de sierra. b) Escribir la ecuación del movimiento del punto superior de la hoja de sierra. c) Calcular el tiempo que tarda el punto central de la hoja en moverse desde el origen hasta un punto cuya posición es y = 6 mm y el tiempo que tarda en moverse desde y = 6 hasta y = 12 mm.

(Sol. 12 sen(10πt) mm, 40 + 12 sen(10πt), 0.017, 0.033 s) 5. Un péndulo ideal se suelta desde el reposo en la posición que indica la figura. Cuando llega a su altura máxima en el otro lado se rompe la cuerda. Describir la trayectoria que seguirá el objeto desde ese momento. 6. Un reloj de péndulo (que puede considerarse un péndulo simple) tiene un periodo de 2 s a 0ºC. Al aumentar la temperatura a 20ºC, el hilo del péndulo se dilata un 0.1%. Calcular cuánto se adelanta o retrasa el reloj tras 24 horas a 20ºC. Nota: las 24 horas se miden con un reloj atómico de gran precisión y las oscilaciones del péndulo son de pequeña amplitud. (Sol. 44 s de retraso) 7. La figura muestra la posición en función del tiempo de una partícula que realiza un MAS en el eje OX. Hallar el periodo de su movimiento, su frecuencia, la frecuencia angular y escribir la ecuación del movimiento, x(t) y la velocidad de la partícula, vx(t).

(Sol. 20 s, 0.05 Hz, π/10 rad/s, 3 cos (π t/10) m, -3 π /10 sen(π t/10) m/s)

A

39

8. Una bala de rifle, de masa 10 g, choca contra un bloque de masa 990 g que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa, y queda incrustada en él. El bloque está unido a un resorte en hélice como se indica en la figura, y el choque comprime el resorte 10 cm. El calibrado del resorte indica que para comprimirlo 1 cm es necesaria una fuerza de 105 dinas. a) Calcular la energía potencial máxima del resorte. b) Calcular la velocidad del bloque justamente después del choque. c) ¿Cual era la velocidad inicial de la bala? (Sol. 0.5 J, 1, 100 m/s) 9. Un reloj de péndulo está formado por una masa de 0.1 kg atada a un hilo de masa despreciable, de forma que se puede considerar un péndulo simple. El reloj está calibrado a 20ºC, cuando el péndulo realiza un MAS cuya ecuación es: 𝜃𝜃 = 0.07 cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋) rad (con t en segundos). a) Calcular el número de oscilaciones que realiza en una hora. b) Hallar la longitud del hilo. c) Determinar en qué instantes es máxima la velocidad del péndulo. A las 9 en punto, la temperatura aumenta hasta 30ºC de forma que el hilo se dilata 1 mm. d) ¿cuánto tiempo habrá transcurrido cuando este reloj de péndulo marque las 10 en punto? (explicar si se ha adelantado o retrasado el reloj de péndulo) (Sol. 3600, 0.248 m, (2n+1)/4 s, 1h 5.5s)

10. La posición de una partícula viene dada por x = 3 cos (8πt + π/3), donde x se expresa en centímetros y t en segundos. Determinar: a) la frecuencia, periodo y amplitud del movimiento b) La velocidad y aceleración de la partícula en cualquier instante; c) ¿En qué instante después de iniciado el movimiento la partícula se encuentra por primera vez en su posición de equilibrio? d) ¿Cuál es el valor de la velocidad y aceleración en ese instante? (Sol. 0.25 s, 4 Hz, 3 cm, -24 π sen (8πt+π/3), 0.0208 s, 75.4 cm/s, 0 m/s2) 11. Un objeto de 2 kg está unido a un muelle horizontal, de forma que realiza un movimiento armónico simple de 5 cm de amplitud (no hay rozamiento). Si la aceleración máxima del movimiento es de 5 m/s2: a)¿Cuál es la energía total del movimiento? b) ¿Cuánto valen las energías cinética y potencial del objeto cuando su distancia al punto de equilibrio es de 4 cm? (Sol. 0.25, 0.16, 0.09 J)

12. Un péndulo simple de longitud 2.45 m se libera partiendo del reposo formando un ángulo de 5º con la vertical. Determinar la posición, velocidad y aceleración del péndulo en función del tiempo (suponer que es un MAS).

13. ¿Que diámetro mínimo debe tener un cable de acero para poder aguantar 1000 kg de carga? Resistencia a la rotura del acero ER= 7.85 108 N m-2 (Sol. 3.8 mm) 14. Del tejado de una casa cuelga un alambre de acero de 40 m de longitud y 2 mm de diámetro. ¿Qué carga máxima se puede colgar de este alambre sin que se rompa? ¿Cuánto se alarga el alambre si se cuelga un hombre de 70 kg? ¿Se notará alargamiento permanente cuando el hombre suelte el alambre? Límite de elasticidad del acero = 2.94 108 N m-2. Módulo de Young = 21.6 1010 N m-2. Límite de rotura ER= 7.85 108 Nm-2. Densidad ρ = 7700 kg m-3 (Sol. 250 kg, 4 cm, No) 15. De un alambre de acero de 1 mm de radio hay colgada una carga de 981 N. ¿Qué ángulo se puede desviar el alambre con el peso sin que al soltarlo se rompa al pasar por la posición de equilibrio? Límite de rotura ER= 7.85 108 N m-2. (Sol. 76º) 16. Una pesa de 1 kg está atada a un alambre de acero de 50 cm de longitud y de 1 mm de diámetro. ¿A que número máximo de revoluciones por segundo se puede hacer girar el alambre con la pesa, en el plano vertical, sin que se rompa? ERotura= 7.85 108 N m-2 (Sol. 5.5 rps) 17. Hallar la longitud que tendrá un alambre de cobre que colgando verticalmente comience a romperse por su propio peso. Carga de rotura = 2.45 108 N m-2, densidad = 8.600 kg m-3 (Sol. 2900 m)

40

18. Un cable de 2 m de longitud está formado por otros tres de secciones S1= 1, S2= 2, S3= 3 mm2 y cuyos módulos de Young son E1= 200 103, E2= 150 103 y E3= 100 103 N mm-2. Se fija por un extremo y en el otro se pone una masa de 100 kg. Calcular el alargamiento que experimenta y las cargas parciales que cada uno soporta. (Sol. 2.5 mm, 245, 367.5 N) 19. Se quiere levantar un cuerpo de 8 104 kg y se dispone de cable de acero que soporta 100 kg/mm2 y sección 20 mm2. Se toma un coeficiente de seguridad igual a 6 y se trenza el cable disponible para fabricar otros 6 más gruesos, con los que realizar la operación. ¿Cuantos cabos compondrán cada cable? (Sol. 40) 20. Para sacar agua de un pozo se dispone de un cubo de masa 9 kg y capacidad 25 l. El cubo se ata a una cuerda que puede soportar 15 N mm-2. ¿Cuál ha de ser la sección de la cuerda si el pozo tiene 25 m de profundidad? Densidad de la cuerda 2 g cm-3. (Sol. 2.3 10-5 m2 o 5.8 10-6 m2) 21. Una barra homogénea de 100 kg, está suspendida en posición horizontal por tres alambres de la misma longitud y sección, el central es de acero y los de los extremos de cobre, de módulo de Young mitad que el de acero. Determinar la tensión de los alambres. (Sol. 490, 245 N) 22. Un helicóptero de salvamento marítimo debe elevar mediante un cable de acero cuyo módulo de rotura es ER= 7.85 108 N/m2, una camilla de 20 kg más dos personas (el agente de rescate y el rescatado). a) Estimar el diámetro mínimo que debe tener el cable para que no se rompa. Habitualmente se añade un factor de seguridad a estas estimaciones. Si el factor es 3, de forma que el cable pueda elevar 3 camillas y 6 personas, b) ¿es necesario multiplicar por 3 el diámetro del apartado anterior? (Sol. 0.57 mm) 23. Un alambre de acero de 1 m de longitud y 1 mm de diámetro se suelda a otro alambre de latón de dimensiones idénticas, formándo un alambre de 3 m de longitud. ¿Cuál será el incremento en la longitud del alambre resultante al soportar una masa de 20 kg? (despreciar el efecto de las masas de los cables). Módulo de Young Eacero= 2.1. 1011 N m-2, Elatón= 1.1 1011 N m-2 (Sol. 5.7 mm) 24. Un péndulo está formado por un hilo de acero de 8 m de longitud y 2 mm2 de sección, y una esfera en su extremo de masa 100 kg Se le desvía de la vertical un ángulo de 5º. ¿Cuánto se alarga el hilo cuando pasa por la vertical? Módulo de Young del acero: 2 1011 N/m2 (Sol. 2 cm)

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PRACTICA 1: TEORÍA DE ERRORES I

Error en medidas experimentales Objetivo

Expresar la mejor estimación de una serie de medidas experimentales y su error.

Esquema de trabajo

1. Realizar una medida de la temperatura de la habitación. Escribir el resultado de la medida con su error en unidades del Sistema Internacional (SI).

2. Realizar una medida del periodo de oscilación de un péndulo. Escribir el resultado de la medida con su error.

3. Realizar 5 medidas de la longitud de una pieza con el calibre. Escribir el resultado de la medida con su error.

4. Realizar 5 medidas del espesor de una pieza con el pálmer. Escribir el resultado de la medida con su error.

5. Realizar 5 medidas de la masa una pieza con la báscula electrónica. Escribir el resultado de la medida con su error.

6. Recoger todo el material utilizado en la práctica.

Preguntas adicionales

1. ¿Cuál es la separación entre dos líneas del nonius del calibre?

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Dimensiones exteriores

Dimensiones interiores

Profundidad

Dispositivo experimental En esta práctica se utilizan instrumentos de uso frecuente en el laboratorio. Termómetro: instrumento para medir la temperatura. Pueden aprovechar muy variados fenómenos dependientes de la temperatura. En este caso se utiliza el termómetro clásico basado en la dilatación. Cronómetro: instrumento para medir fracciones de tiempo. Báscula electrónica: es un aparato que sirve para pesar, lo que permite medir la masa de un objeto si la báscula está bien calibrada mediante comparación con masas patrón.

Calibre o pie de rey: es un instrumento para la medida de dimensiones exteriores, interiores y profundidades. Consiste en una regla graduada R con dos mandíbulas M o piezas metálicas cuyos bordes enfrentados son rectilíneos y perpendiculares a la regla. Una de las piezas es fija a la regla, mientras que la otra es móvil a lo largo de ella y lleva el nonius N. El nonius permite aumentar la precisión del instrumento: si el nonius tiene n divisiones, la precisión es la de la regla dividida por n.

Principio de funcionamiento: un nonius con n divisiones se construye de modo que su longitud total sea igual a n-1 divisiones de la regla, con lo que la longitud de una división del nonius es (n-1)/n de la división más pequeña de la regla. Si, por ejemplo, la regla está dividida en mm y el nonius está dividido

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en 10 partes, su longitud total es de 9 mm, cada subdivisión mide 0.9 mm y su precisión es 1/10 = 0.1 mm. Por ejemplo, con el instrumento desplazado 0.1 mm la primera (y sólo la primera) línea del nonius coincide con una línea de la regla superior (0.9 + 0.1 mm coincide con la línea de 1 mm de la regla). Al desplazar 0.2 mm, sólo la segunda línea coincide con una línea de la regla superior (2 * 0.9 + 0.2 mm coincide con la línea de 2 mm de la regla) y así sucesivamente, lo que ofrece la mencionada precisión de 0.1 mm al determinar cual de las líneas del nonius coincide con una de arriba. Error de cero: si al cerrar las mandíbulas hasta el contacto de sus bordes el cero del nonius no coincide con el de la regla existe error de cero. Para hallar su valor hay que determinar la línea del nonius L que coincide con una línea de la regla superior. Si el cero del nonius cae antes que el de la regla el error es ε = n-L y si cae después ε = -L (en ambos casos multiplicado por la precisión del nonius)*. Este valor ha de sumarse (con su signo) a las medidas que se hagan con el aparato. Modo de operar: se desplaza la pieza móvil hasta que coincida con la longitud que se desea medir. La longitud buscada es igual a la longitud que marca la regla antes del cero del nonius, l0 (número de divisiones de la regla multiplicadas por su precisión) más la precisión del nonius multiplicada por el valor de la línea del nonius que coincide con una de la regla superior (que corresponde a la longitud l1 que hay desde la última división de la regla hasta el cero del nonius). Como ejemplo, en la figura el resultado de la medición sería: mm3.2mm1.02mm3 =+=l

• Nota: se ha supuesto que el error de cero en valor absoluto es menor que una división de la regla.

Pálmer o tornillo micrométrico: consta de un tornillo de paso de rosca constante (paso de rosca es la distancia que avanza al dar una vuelta completa). El tornillo avanza por una tuerca B que posee una escala fija, donde cada división corresponde al paso de rosca del tornillo. En la cabeza C existe un tambor con una escala móvil, donde se leen fracciones del paso de rosca. Si la escala se encuentra dividida en n partes, cada una indica 1/n del paso de rosca. Por ejemplo, si el paso de rosca del tornillo es 0.5 mm. y la escala móvil se divide en 50 partes, por cada división de ésta el tornillo avanza 0.5/50 = 0.01 mm, que es la precisión del aparato. Modo de operar: para medir el espesor de un cuerpo, se le coloca dentro de la abrazadera, entre el tope O y el extremo del tornillo y se hace avanzar este hasta que presione suavemente el cuerpo y se realiza la lectura. Como ejemplo de lectura, se considera un pálmer con un paso de rosca de 0.5 mm., y una escala móvil con 50 divisiones (precisión 0.01 mm) en el que la escala móvil se encuentra entre el 4.5 y el 5 de la escala fija y frente a la línea horizontal de la escala fija se sitúa el 38 de la escala móvil: la medida será

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de 4.5 + 0.38 = 4.88 mm. Como en el caso del calibre, conviene empezar determinando el error de cero, es decir, la lectura que corresponde a una longitud cero. Este error si existiese deberá tenerse en cuenta para cualquier medida posterior que realicemos.

escala fija escala móvil

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PRACTICA 2: TEORÍA DE ERRORES II Objetivo

Expresar el error de una magnitud obtenida a partir de otras que se miden experimentalmente..

Esquema de trabajo Dado un péndulo ideal con longitud fija que realiza oscilaciones de pequeña amplitud:

1. Realizar 5 medidas de la longitud l del péndulo. Escribir el resultado de la medida con su error. Con el cronómetro analógico: 2. Realizar 5 medidas del periodo T del péndulo. Escribir el resultado de la medida con su error. 3. Calcular a partir de las mediciones de l y T, la aceleración de la gravedad, g, con su error. 4. Realizar 5 medidas del tiempo de 20 oscilaciones. Calcular el periodo con su error. 5 Calcular la aceleración de la gravedad g, con su error, usando este último valor. Con el cronómetro digital: 6. Realizar 5 medidas del tiempo de 20 oscilaciones. Escribir el periodo con su error. 7. Calcular la aceleración de la gravedad g, con su error, usando este último valor. 8. Estimar la energía del péndulo (y su error) a partir de la figura 3, dado el periodo medido en 2.

Dispositivo experimental El periodo, T, de un péndulo es el tiempo que éste tarda en dar una oscilación completa (recorrido AOBOA de la Figura 1). En el caso de un péndulo simple (ideal) de longitud L y para oscilaciones pequeñas (≈ 5º) puede obtenerse a partir de las ecuaciones de Newton:

gLT π2=

donde g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde estemos efectuando la medición.

46

0

50

100

150

200

250

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Periodo (s)

Ener

gía

(J)

Figura 3: gráfica de la energía del objeto en función de su periodo.

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PRACTICA 3: TEORÍA DE ERRORES III

Ajuste por mínimos cuadrados Objetivo

Expresar el valor y el error de una magnitud a partir del ajuste de datos experimentales.

Esquema de trabajo

1. Medir el alargamiento del muelle al colgar de él diferentes pesos (al menos 20 diferentes). 2. Representar la fuerza sobre el muelle frente a su alargamiento. 3. Obtener el valor de la constante elástica del muelle con su error mediante un ajuste por mínimos cuadrados.

Fundamento teórico

La ley de Hooke expresa la existencia de una proporcionalidad entre la fuerza o acción deformadora y la deformación producida. En el caso de un muelle con un extremo fijo:

F = k (L - L0) donde F es la fuerza aplicada en el extremo libre, L - L0 el alargamiento obtenido y k la constante de proporcionalidad.

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PRÁCTICA 4: DENSIDAD DE UN SÓLIDO REGULAR Objetivo

Medir la masa y las dimensiones de una pieza con su correspondiente error. Determinar su densidad.

Esquema de trabajo

1. Realizar una medida la masa de la pieza y determinar el error en la medida. 2. Dibujar un croquis de la pieza. Realizar cinco medidas de cada longitud que caracteriza la pieza y calcular su valor medio y su error. 3. Obtener el volumen de la pieza con su error. 4. Calcular la densidad de la pieza con su error.

Preguntas adicionales

¿Cuál debería ser la precisión al fabricar los brazos de la balanza para poder utilizar el método habitual de pesada con la precisión conseguida en este experimento?

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Medida de masas La balanza es un dispositivo que sirve para comparar la masa de dos cuerpos. Consiste en una palanca de brazos iguales. Se compone de una columna soporte, que lleva una cruz constituida por una barra metálica rígida atravesada en su parte media por un prisma triangular de acero o ágata (cuchilla) apoyada sobre un plano de ágata por su arista inferior, que constituye el eje de oscilación de la balanza. En la parte media de la cruz y perpendicular a ella hay una aguja (fiel) que recorre un arco graduado y en cada extremo de la cruz cuelga un platillo.

Determinacion del cero de la balanza: la primera operación a realizar con una balanza no equilibrada es determinar su posición de equilibrio. Para ello, se dispara la balanza, que comenzará a oscilar y puede tardar mucho tiempo en alcanzar la posición de equilibrio. Para determinarla sin esperar a que la balanza se detenga, se anotan las lecturas sobre la escala de tres posiciones consecutivas de separación máxima del fiel, l1, l2 y l3 (con su signo). La posición de equilibrio es: l = (l1 + 2l2 +y l3)/4 Normas para la utilización de la balanza 1.- Amordazar la cruz siempre antes de variar la carga de los platillos. 2.- Utilizar siempre las pinzas para coger las pesas. Puede alterarse su valor si se tocan. 3.- Utilizar la balanza con suavidad para evitar deterioros, especialmente en los prismas de ágata. Procedimiento para pesar: en un laboratorio científico no se puede pesar mediante el método tradicional porque eso exigiría una precisión casi imposible de asegurar en la longitud de los brazos de la balanza. Por ello se usa el método de tara constante (método de Borda): 1.- Colocar en un platillo el cuerpo a pesar y en el otro una tara cuya masa sea algo mayor. 2.- Añadir pesas en el platillo del cuerpo hasta lograr el equilibrio de la balanza. 3.- Retirar el cuerpo del platillo y añadir pesas hasta volver al equilibrio; la masa del cuerpo será igual

a la masa de las pesas añadidas en este paso.

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PRACTICA 5: DENSIDAD DE CUERPOS IRREGULARES El objetivo de esta práctica es obtener la densidad de dos cuerpos homogéneos de forma irregular mediante la balanza hidrostática (o, alternativamente, mediante una báscula electrónica, en cuyo caso el alumno debe descubrir las modificaciones necesarias en el fundamento teórico). Esquema de trabajo 1. Realizar 5 medidas de la masa de cada cuerpo 2. Rellenar hasta la mitad (aprox.) el vaso de precipitados con agua destilada 3. Sumergir cada cuerpo en 5 ocasiones en agua y obtener su volumen mediante la báscula/balanza 4. Calcular la densidad de cada cuerpo con su error 5. Comparar la precisión del método para los dos cuerpos estudiados Fundamento teórico La densidad es el cociente entre masa y volumen de un cuerpo. La masa se puede medir con la balanza, pero el volumen de un objeto irregular es difícil de medir directamente. Sin embargo, puede calcularse de forma sencilla si se sumerge en un líquido. En este caso, se utiliza el principio de Arquímedes. Cuando el objeto se sumerge, además de su propio peso, sobre el cuerpo actúa el empuje del agua. Por tanto, a partir de la lectura de la balanza / báscula se puede obtener el volumen del cuerpo. Dato: densidad del agua destilada ρagua = 1.00 ± 0.01 g/cm3.

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Dispositivo experimental: descripción y puesta a punto En la Fig.1 aparecen las partes que componen la balanza de precisión COBOS: 1. Cuerpo de la balanza 2. Tornillo nivelador 3. Amortiguador magnético 4. Indicador de equilibrio 5. Cuchilla suspensión peso 200 a 300 g 6. Cuchilla suspensión peso 100 a 200 g 7. Cojinete de ágata 8. Cuchilla central 9. Pesa corredera 0-100 g 10. Pesa corredera 0-1 g 11. Cruz 12. Contrapeso puesta a cero 13. Enganche suspensión 14. Contrapeso pesada hidrostática 15. Anillo para pesar-tarar tubos 16. Plato 17. Base soporte plato 18. Soporte plato 19. Peso colgante (pesadas de 100 a 300 g) En las Figuras 2 y 3 se explica cómo se monta la balanza. En la Fig.4 se muestra como conseguir un apoyo estable de los cuatro pies mediante el tornillo nivelador.

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Realización de las medidas - Situar las pesas correderas (a y b de la Fig.5) totalmente a la izquierda, siendo la lectura 0.00 g - Girar el contrapeso de puesta a cero (c), hasta equilibrar la balanza (con el indicador de equilibrio (d)) - Depositar el objeto a pesar en el plato o colgarlo del contrapeso de pesada hidrostática * - Deslizar las pesas correderas hasta obtener de nuevo el equilibrio. - Determinar la lectura por la posición de las pesas correderas

- Utilizar la pesa colgante (Fig.6) cuando el cuerpo a pesar supere los 100 g.

* Nota: la masa del conjunto soporte-plato (incluido el anillo para pesar tubos) es idéntica a la del contrapeso de pesada hidrostática, por lo que se pueden intercambiar.

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TRABAJO EN EL LABORATORIO

(estos apuntes se corresponden con la base del tema 2 de Física I)

Toda medida implica la comparación con un patrón o unidad de medida. Por tanto, las mediciones constan de una unidad que nos indica lo que fue medido y un número que indica cuántas de esas unidades fueron medidas. Ejemplo: 36 m 2.2 Errores en las medidas Toda medición, no importa con cuánto cuidado se realice, implica cierto grado de incertidumbre. La incertidumbre o error de una medición depende de la precisión del dispositivo utilizado y de la habilidad de la persona que la realizó. La incertidumbre de una medición se puede ilustrar con las dos reglas que se muestran en la figura. Las mediciones corresponden a la longitud de una mesa. La escala de la regla que aparece en la parte superior de la figura está graduada en centímetros. Usando esta escala se puede decir con certidumbre que la longitud debe estar entre 82 y 83 centímetros. La escala de la regla inferior muestra más subdivisiones y tiene mayor precisión porque está graduada en milímetros. Con esta regla se puede decir que la longitud está entre 82.2 y 82.3 centímetros. Toda medición debe contener dos clases de información: (1) la magnitud de la medición y (2) la incertidumbre de la misma. Por ejemplo, en el caso anterior, la medida con la segunda regla se expresaría: l = 82.2 ± 0.1 cm (ó 82.25 ± 0.05 cm) Esto significa que se espera que la longitud se encuentre en el intervalo 82.1 a 82.3 cm, con gran probabilidad. La estimación de los errores es fundamental, pues sin ellos no se puede extraer consecuencias de los resultados experimentales. Si por ejemplo, nos solicitan fabricar una pieza para un motor con una longitud de 823 mm y una tolerancia de 1 mm, no sirve medirla con la primera regla, porque no podremos determinar si la pieza es válida.

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a) Términos importantes y tipos de errores Valor verdadero: al realizar una medida en general se busca el valor verdadero de una magnitud. Esto significa que partimos de la hipótesis de que este valor verdadero existe (y suele asumirse además que no cambia con el tiempo). Estas hipótesis en algunos casos pueden ser de difícil justificación. Por ejemplo, al medir la longitud de una varilla de un cierto grosor, la longitud varía en función de los puntos exactos que tomemos, con lo que el valor verdadero de la longitud de la varilla es un término ambiguo. Podría hablarse del valor verdadero de la distancia entre dos puntos de la varilla. Sin embargo, este valor también varía con las fluctuaciones térmicas, por lo que habría que especificar que el valor verdadero corresponde a una temperatura. Determinar el valor verdadero que se desea medir requiere explicar con detalle y precisión el experimento. En cualquier caso, el valor verdadero no se puede conocer, por lo que al medir obtenemos una estimación del valor verdadero.

Error: el error es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Como este último no se puede conocer, tampoco el error se puede conocer. Tan sólo se puede estimar su valor. La incertidumbre que se asocia a la medida es una estimación del error.

Exactitud: una medida es tanto más exacta cuanto más se acerque al valor verdadero. Como este valor no se conoce, es difícil de cuantificar. Cualitativamente, sin embargo, podemos suponer que una medición con un cronómetro manual será menos exacto que otra en que se usa un dispositivo electrónico.

Precisión: una medición es precisa si las diferentes medidas fluctúan poco. Una medición precisa no implica exactitud, si bien una medida exacta sí implica precisión.

Estos términos nos llevan a distinguir dos tipos de errores:

Errores aleatorios: son errores que fluctúan en una serie de medidas. Están siempre presentes en cualquier medición. Cuanto menores sean más preciso es el resultado.

Errores sistemáticos: son constantes en una serie de medidas (en general se relacionan con la calibración del aparato de medida). La repetición de medidas con el mismo aparato no reduce los errores sistemáticos. Por esta razón, estos errores son potencialmente más peligrosos que los errores aleatorios. Cuanto menores sean más exacto es el resultado.

En ausencia de error sistemático, los errores aleatorios hacen que las distintas medidas fluctúen en torno al valor verdadero. Si existen errores sistemáticos, las medidas fluctúan en torno a otro valor.

b) Formas de expresar el error

Error absoluto: expresión del error en las mismas unidades que el valor de la medida.

Error relativo: error absoluto dividido por la magnitud medida.

Ejemplo: l = 82.2 ± 0.1 cm. Error absoluto = 0.1 cm. Error relativo = 0.1/82.2 = 0.0012 ó 0.12%

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2.3 Error de una magnitud medida experimentalmente a) Una sola medida: el error absoluto se toma igual a la precisión del instrumento de medida ∆xins. b) Varias medidas: si solo se realiza una medida se puede subestimar el error, por lo que conviene realizar numerosas medidas. Las fluctuaciones de estas medidas se aprovechan para estimar el error. Al realizar n medidas de una magnitud, x, se toma el valor medio como la mejor estimación de la magnitud:

∑=

=n

iix

nx

1

1

Las fluctuaciones de las medidas pueden describirse mediante la varianza, que se estima mediante:

( )

−

−=−

−= ∑∑∑

===

2

11

2

1

2 11

11

1varn

ii

n

ii

n

ii x

nx

nxx

nx

Al estimar el valor medio mediante un número finito de medidas, n, se comete un error, ∆xn :

nx

xxnvar

var ==∆

Finalmente, el error de la medida es la combinación de este error ∆xn con el error del instrumento, ∆xins:

nxxxxx n

var2ins

2

2ins +∆=∆+∆=∆

Por tanto, el resultado del proceso de medida se expresa como xx ∆±

Nota: en algunos experimentos, en los que no se busca el valor verdadero, como la longitud de la varilla explicado antes, se utiliza xvar y no xvar para la estimación del error (que en este caso se refiere a la variabilidad de la

medida, no al error en la estimación del valor medio; este asunto se discutirá en clase; además se explicará que es más ventajoso realizar n medidas repetidas y no una medida n veces).

Error en la estimación del error: no se debe olvidar que la fórmula anterior es una estimación del error. Nos podemos hacer una idea de su error mediante: )1(2/var −nx

56

1,7

1,75

1,8

1,85

0 5 10 15 20

Temperatura

Resi

stiv

idad

(10-8

Ω m

)

2.4 Propagación de errores

En la mayoría de experimentos no se mide directamente la magnitud de interés, sino que se miden otras magnitudes y luego se calcula la magnitud buscada mediante procesos matemáticos o a partir de una gráfica. El error de esta magnitud final se obtiene a a partir de los errores de las magnitudes medidas, lo que se denomina propagación del error.

a) Error de una magnitud obtenida de una gráfica

Cuando debamos deducir un valor con auxilio de una gráfica, z = f(x), se determinarán los correspondientes valores de z, para x + ∆x y para x - ∆x, y su error vendrá dado por:

2minmax zzz −

=∆

Ejemplo. Determinar la resistividad de un material

a partir de la gráfica si la temperatura es t = 17 ± 2ºC.

Error = (1.83 – 1.78)/2 = 0.03 10-8 Ω m

Resistividad = 1.80 ± 0.03 10-8 Ω m

b) Medidas indirectas

Sea una magnitud f que depende de otras que se miden experimentalmente x, y, z según la fórmula f(x,y,z). El error en f puede estimarse a partir de:

zzfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

donde ∆x, ∆y, ∆z son los errores en x , y , z y ∂ significa derivada parcial.

Ejemplo. Determinar el volumen de un cilindro a partir de las medidas de su longitud, l = 12.25 ± 0.03 cm y de su diámetro d = 1.062 ± 0.007 mm.

El volumen es: 32

mm2176.1025.124062.1

4===

ππ ldV

Su error : 317.0007.04

25.12062.1203.0

4

2062.1

4

2

4

2cmd

dVl

lVV d

dll

d===∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ +∆+∆ππππ

O, más sencillo: 3minMAX 17.021

2)(

4

2)()(

4

2)( cmVV

V lldd

lldd

=

=

−=∆ ∆−

∆−−∆+

∆+ ππ

Por lo tanto, V = 10.22 ± 0.17 cm3 (Nota: error relativo longitud 0.2%, diámetro 0.7% y volumen 1.7 %)

57

y = 326,97x - 0,2153R2 = 0,9911

0

2

4

6

8

10

12

0 0,01 0,02 0,03 0,04

i (Amperios)

V (v

oltio

s)

c) Ajuste de una recta por mínimos cuadrados

En muchas ocasiones, puede establecerse una relación lineal entre dos magnitudes, x e y , que pueden medirse experimentalmente. En este caso no interesa medir siempre el mismo valor de las dos magnitudes, sino dejarlas que varíen para comprobar el cumplimiento de la ley lineal y obtener los parámetros de la recta. Por supuesto, los valores experimentales no se hallarán exactamente sobre una recta, sino distribuidos más o menos simétricamente a un lado y a otro de la misma. Para hallar la ecuación de la recta correspondiente se recurre al método de los mínimos cuadrados, con lo que se logra que los puntos experimentales queden distribuídos simétricamente a ambos lados de ella y lo más próximos posible.

La ecuación buscada es y = m x + c y sus parámetros, m y c, se obtienen a partir de las medidas xi e yi :

+

−−

±−=

−−

±=

22

2

2

2

)2(

)2(

xn

TxTxnTxyTyTxx

TxTxyyc

TxnTxyTyTx

TxTxym

∑= ixn

x 1

∑= iyn

y 1

( )22 1 ∑∑ −= ii xn

xTx

( )22 1 ∑∑ −= ii yn

yTy

∑∑∑ −= iiii yxn

yxTxy 1

Ejemplo. Determinar el valor de una resistencia mediante la ley de Ohm V = R i Se miden los valores de la diferencia de potencial V para ciertos valores de la intensidad i que recorre la resistencia R.

i (Amperios) - xi V (Voltios) - yi

0,005 1,69

0,010 2,80

0,015 4,49

0,020 6,62

0,025 7,63

0,030 9,81

A partir de estos valores se realizan las operaciones indicadas y se obtiene la resistencia R = 327 ± 15 Ω Nota: en los apartado b) y c) pueden usarse métodos más sencillos para estimar el error, similares al del apartado a).

58

2.5 Cifras significativas

En cualquier medición, las cifras significativas son los dígitos que se conocen con certeza más uno o dos dígitos inciertos. Por ejemplo la medición 82.2 centímetros tiene tres cifras significativas. Sería incorrecto decir que la longitud de la mesa de la primera figura, medida con la regla de abajo, es de 82.2577 cm. Este valor de seis cifras significativas es incorrecto porque indica una precisión mayor que la que el instrumento utilizado puede proporcionar.

Se han desarrollado reglas para escribir y usar las cifras significativas, tanto en las mediciones como en valores calculados a partir de ellas.

Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. 3.1428 cinco cifras significativas 469 tres cifras significativas

Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. 7.053 cuatro cifras significativas

302 tres cifras significativas

Regla 3. Los ceros a la izquierda sirven para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. 0.0056 dos cifras significativas 0.0789 tres cifras significativas

Regla 4. En números con punto decimal, los ceros a la derecha del último dígito diferente de cero son significativos. 43.0 tres cifras significativas 0.00200 tres cifras significativas 0.40050 cinco cifras significativas

Regla 5. En números sin punto decimal y que terminan con ceros, estos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional.

Se evitan confusiones expresando los números en notación científica. Cuando están expresados en esta forma, todos los dígitos se interpretan como significativos. 3.6 105 dos cifras significativas 3.60 105 tres cifras significativas 2 10-5 una cifra significativa

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a) Redondeo

Tres reglas rigen el proceso de eliminar los dígitos no significativos del resultado de una operación.

Regla 1. Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que 5, ese dígito y todos los dígitos que le siguen se eliminan. Ejemplo: 54.234 redondeado a tres cifras significativas se convierte en 54.2

Regla 2. Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, todos los dígitos siguientes se suprimen y el valor del último dígito que se conserva se aumenta en una unidad. Ejemplo: 54.36, 54.359 y 54.3598 redondeados a tres cifras significativas quedan como 54.4

Regla 3. Si el primer dígito que se va a eliminar es un 5 que no va seguido de ningún otro dígito o sólo de ceros, se aplica la regla par-impar. Es decir, si el último dígito que se va a conservar es par, su valor no cambia, y tanto el 5 como los ceros que lo siguen se suprimen. Pero si el último dígito a conservar es impar, entonces su valor se aumenta en uno. La intención de esta regla par-impar es promediar los efectos del redondeo. Ejemplos: 54.2500 con tres cifras significativas se vuelve 54.2 54.3500 con tres cifras significativas se vuelve 54.4

b) Cifras significativas y cantidades calculadas

Para conocer el número de cifras significativas de una magnitud calculada se suele usar el método de propagación de errores (ver 1.5.b). Sin embargo, existen unas reglas sencillas que pueden aplicarse para simplificar el cálculo del número de cifras significativas en ciertas operaciones matemáticas.

Multiplicación y división. El resultado debe tener el mismo número de cifras significativas que el dato inicial con menos cifras significativas. 2.0 g / 3 cm3 = 0.6666667 se redondea a 0.7 g/cm3 (1 cifra significativa) 2.0 g / 3.00 cm3 = 0.6666667 se redondea a 0.67 g/cm3 (2 cifras significativas)

Suma y resta. El resultado no debe tener dígitos más allá de la posición del último dígito común a todos los números sumados o restados.

34.6 + 17.8 + 15 = 67.4 se redondea a 67

c) Error en magnitudes definidas y contadas

Además de magnitudes medidas se usan otras dos clases de números: los que se definen y los que se cuentan. A diferencia de las medidas, se puede especificar el valor exacto de tales números. Por ejemplo, se pueden contar con absoluta certeza el número de mesas que hay en clase o el número de dedos de una mano. Los números contados no están sujetos a error a menos que su número sea tan grande o las condiciones tan complicadas que no podamos estar seguros de llevar bien la cuenta. Por otro lado, los números definidos son relaciones exactas que han sido establecidas, como el número de segundos en una hora y el número de lados de un cuadrado. Los números definidos no están sujetos a error.

60

FORMATO DE UN INFORME

El informe debe ser redactado de forma que alguien que no haya estado en el laboratorio comprenda el trabajo realizado y pueda reproducirlo y rehacer vuestros cálculos. Además, un error muy común es redactarlo como el guión de una práctica a realizar, cuando es en realidad la descripción de un trabajo ya realizado.

A continuación se presenta un esquema para la realización de los informes:

1. Introducción: debe contener el título del experimento, los nombres de los autores, la fecha y cualquier otra circunstancia de interés. Además debe contener el objetivo del experimento y un breve resumen sobre los fundamentos teóricos.

2. Procedimiento experimental: descripción del dispositivo utilizado y de los pasos seguidos.

3. Medidas experimentales: han de escribirse siempre todas las medidas tomadas en el laboratorio, en forma de tabla cuando proceda.

4. Análisis y discusión: se describen en esta sección los resultados obtenidos a partir de las medidas experimentales, se detalla el cálculo de errores, se construyen gráficas si es necesario… También se pueden discutir las limitaciones del método o posibles problemas durante el experimento. Por último, se presentan las principales conclusiones a las que se ha llegado tras el análisis anterior.

5. Referencias. Es importante citar todas las fuentes utilizadas, evitar el plagio (si algo se copia literalmente debe ir entre comillas) y respetar los derechos de autor.

Biliografía complementaria Física en la ciencia y en la industria, A. Cromer, editorial Reverté. Expresion de la incertidumbre de medida en las calibraciones, norma EA-4/02, Empresa Nacional de Acreditación Practical physics, G.L. Squires, editorial Cambridge University Press. An introduction to uhncertainty and measurement, L. Kirkup y B. Frenkel, editorial Cambridge University Press. Laboratorio de Física con soporte interactivo en Moodle, J. Ablanque, R. Benito, J. Losada y L. Seidel, Peason.

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Valor de la magnitud Error

MAGNITUDES MEDIDAS

Una sola medición medida x Error del instrumento ∆xins

n mediciones x

nxx var2

ins +∆

MAGNITUDES CALCULADAS

Fórmula = f(x,y,z) f(x,y,z)

zzfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ó

2

minfff MAX −=∆

Ajuste mínimos cuadrados y = m x + c a partir de medidas (xi, yi)

xTxTxyyc

TxTxym

−=

=

+

−−

=∆

−−

=∆

22

2

2

2

)2(

)2(

xn

TxTxnTxyTyTxc

TxnTxyTyTxm

Fórmulas utilizadas

∑=

=n

iix

nx

1

1 ( ) ( )22 1 ∑∑ −= ii x

nxTx

( )∑=

−−

=n

ii xx

nx

1

2

)1(1var ( ) ( )22 1 ∑∑ −= ii y

nyTy

∑∑∑ −= iiii yxn

yxTxy 1

TABLA RESUMEN DE LA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE ERRORES

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