ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES

ESTADISTICA INFERENCIALING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES

1DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALSe utiliza este tipo de distribuciones cuando queremos hallar la varianza de la poblacin.

El estadstico utilizado en este caso es Chi-Cuadrado con (n-1) grados de libertad

donde;:n es el tamao de la muestra.S2 la varianza muestral y 2 la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestraING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALDISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAEl estadstico Chi-cuadrado tambin se puede dar con la siguiente expresin:

donde;:

2 la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra

Promedio de la muestra

ING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALDISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZALos valores de X2 son mayores o iguales que 0.

La forma de una distribucin X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones X2.

El rea bajo una curva chi-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

Las distribuciones X2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha.PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADOING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALDISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAEl clculo de probabilidad en una distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviacin estndar en una muestra que proviene de una poblacin con distribucin normal.Para muestras pequeas siempre y cuando la distribucin de donde provenga tenga un comportamiento normal, podremos utilizar la distribucin X2 chi-cuadrada.ING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALEJEMPLO:Suponga que los tiempos requeridos por el Metropolitano para llegar de la Estacin Naranjal a la Estacin Matellini forman una distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos de buses diferentes, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral S2 sea mayor que 2

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

SOLUCION:Como nos piden la probabilidad de que la Varianza Muestral sea mayor que 2.Reemplazando los datos, obtenemos: n= 17S2 = 2 = 1g.l.= 16

X2=32Luego buscamos para 16 g.l. y X2 = 32 y hallamos que el nivel de confianza (1-) = 0,99

Para S2 > 2, la probabilidad es de 0,01DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALEJEMPLO:Del mismo ejemplo anterior y en otra ruta del Metropolitano encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 tiempos de buses diferentes, de una poblacin normal con varianza 2 = 6, se encuentre una varianza muestral S2:a) Mayor que 9.1b) Entre 3.462 y 10.745

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

SOLUCION:Como nos piden la probabilidad de que la Varianza Muestral sea mayor que 9,1.Reemplazando los datos, obtenemos: n= 25S2 = 9,1 2 = 6g.l.= 24

X2=36,4Luego buscamos para 24 g.l. y X2 = 36,4 y hallamos que el (1-) = 0,95

Para S2 > 9,1 la probabilidad es de 0,05 (hacia la derecha)DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

B):Como nos piden la probabilidad de que la Varianza Muestral este entre 3,462 y 10,745.Reemplazando los datos, obtenemos: n= 25S2 = 9,1 2 = 6g.l.= 24

X2=13,847Luego buscamos para 24 g.l. y X2 = 13,847 la probabilidad es de (0,05)y para 24 g.l. y X2 =42,98 la probabilidad es de 0,99Como nos piden que la probabilidad de la Varianza Muestral S2 este entre 3,462 y 10,745 la probabilidad sera de 0,94X2=42,98

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALESTIMACION DE LA VARIANZAPara poder estimar la varianza de una poblacin normal se utilizar la distribucin Chi-cuadrada, y la formula:Luego al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda:ING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALLos valores de X2 dependern de nivel de confianza que se quiera al cual le llamaremos (1 ) . Si nos ubicamos en la grfica se tiene:

DISTRIBUCION COLA DERECHAESTIMACION DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALEJEMPLOLos pesos de 10 paquetes de mantequilla son los siguientes: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de mantequilla, suponer una poblacin normal.

ESTIMACION DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALSOLUCION:Calculando la X media, la desviacin y la varianza de la muestra, obtenemos:

n= 10S2 = 0,286 2 = ?g.l.= 9(1- )= 0,95

S2 = 0,286

Para encontrar los limites del intervalo de confianza de la Varianza Poblacional al 95% de confianza, hallaremos los valores de X1 y X2 , con g. l.= 9 para P(X /2) = 0.025. y P(X1- /2)= 0.975 luego X1 = 2,7 y X2=19,023

ESTIMACION DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

Graficando los limites del Intervalo:Luego reemplazando en la frmula, para X1 y X2:Obtenemos los limites del intervalo 2 1 y 2 2 :

Y el valor del Intervalo de Confianza para la Varianza al 95%, estar entre los lmites: [0,135 , 0,953]

12=0,95322=0,135ESTIMACION DE LA VARIANZA15ING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALEJEMPLO:Se esta haciendo un estudios acerca del contenido de plomo y zinc en el agua de la ciudad de la Oroya, para ello se toman 6 muestras a diferentes horas del da y los resultados en partes por milln fueron los siguientes: 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Hallar el Intervalo de estimacin para la varianza de poblacin, usando un nivel de confianza del 90%.

ESTIMACION DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALSOLUCION:Calculando la X media, la desv.std y la varianza de la muestra, obtenemos:

n= 6S2 = 0,0285 2 = ?g.l.= 6-1=5(1- )= 0,90

S2 = 0,0285

Para encontrar los limites del intervalo de confianza de la Varianza Poblacional al 90% de confianza, hallaremos los valores de X1 y X2 , con g.l.= 5 para P(X /2) = 0.05. y P(X1- /2)= 0.95 luego X1 = 1,1455 y X2=11,070ESTIMACION DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALLuego reemplazando en la frmula, para X1 y X2:Obtenemos los siguientes valores de 2 1 y 2 2 :

Y el valor del Intervalo de Confianza para la Varianza Poblacional al 90%, estar entre los lmites: [0,0129 , 0,1246]

12=0,124622=0,0129ESTIMACION DE LA VARIANZAING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALPRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACION NORMALSi se desea probar una hiptesis acerca de la varianza de la Poblacin se utiliza como estadstico de Contraste el Coeficiente Chi-Cuadrado X2 ING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALEJEMPLO:Una compaa electrnica de rayos laser produce punteros para pizarra, y sostiene que el dimetro del laser tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Para verificar esta afirmacin se tomo una muestra aleatoria de 10 punteros lo que dio una varianza de muestra S2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro del rayo laser se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACION NORMALING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACION NORMAL21ING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALC: JUSTIFICACION Y DECISION:

Luego el estadistico de contraste resulta 13.5 y cae dentro de la Regin de aceptacin, por tanto se acepta lo que dice el fabricante, con un nivel de significancia de 0,05PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACION NORMALING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIALEJEMPLO:El contenido de azcar en los duraznos enlatados DOS CABALLOS, tiene una distribucin normal, donde la varianza es = 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas las cuales dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Podemos afirmar la validez del fabricante respecto a su varianza?. Use un = 0.05

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACION NORMALING. MANUEL SOTERO MURGACURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

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