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ESPEJOS.•.Capítulo 4interacciones • campos y ondas / física 1º b.d. 43

Fig. 1. Fuente puntual ubicada en "A", frente a un espejo plano.

Fig. 2. Los rayos reflejados en un espejo parecen provenir del punto A'.

Fig. 3. Ejemplo 1.

Espejos planos, imágenes

Enlafigura1representamosunfuentepuntualdeluzubicadaenAyunespejoplano.

Enellaserepresentantresrayosdeluzqueemitelafuenteylleganalespejoplano.Aplicandolasleyesdelareflexiónobtenemosladireccióndelosrayosreflejados.Observamosqueéstosnosecortan,sinoquedivergen.Encambiolasprolongacionesdelosrayosreflejados(líneaspunteadas)sisecortanenunpuntodetrásdelespejo,quenombraremosA’.

En la figura 2 mostramos solamente los rayos reflejados y sus pro-longaciones hacia atrás del espejo. Observa que los rayos parecen pro-venir del punto A’. Por este motivo lo consideramos la imagen de A.

Laimagenqueseformaconlasprolongacionesdelosrayosrefleja-dossedenominavirtual.

Imagen de un objeto en un espejo plano

Considerandoqueunobjetoestáformadoporinfinitospuntos,laima-gendedichospuntosformarálaimagendelobjeto.Veamoselsiguienteejemplo.

Ejemplo 1

Veamoscómoseformalaimagendelobjetoenformadeflechaubica-dofrentealespejoplanodelafigura3.Paraesto,bastaconencontrarlaimagendelorigenyelextremodelaflecha.

Espejo

plano

Objeto

Espejos

CAPÍTULO 4

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44 Capítulo 4 • ESPEJOS interacciones • campos y ondas / física 1º b.d.

Para ubicar la imagen del extre-mo, trazaremos dos rayos quepasen por él. Uno perpendicularalespejo(1)yotroenunángulocualquiera(2).Siguiendolasleyesde la reflexión,el rayo1serefle-ja sobre sí mismo, mientras queelrayo2sereflejaconunánguloigualalángulodeincidencia.Losrayosreflejadosnosecortan,porlo que debemos trazar sus pro-longaciones. En la interseccióndelasprolongacionesseubicalaimagen del extremo de la flecha(Fig.4)

Repetimos el mismo procedi-miento para obtener la imagendelorigendelaflecha(Fig.5).

Podemosobservarquelaimagendelaflechaesvirtual,delmismotamañoyubicadaalamismadis-tanciadelespejoqueelobjeto.

Objeto e imagen se correspon-denatravésdeunasimetríaaxial,cuyoplanodesimetríaeslasuper-ficiedelespejo.Estoesaplicableacualquierobjeto.

Fig.4. Ejemplo 1.

Fig.5. Ejemplo 1.

Comoconclusióndeesteejemplopodemosgeneralizaryespecificarlascaracterísticasdelaimagendeunobjetoenunespejoplano:

Característicasdelaimagendeunobjetoenunespejoplano:• Virtual• Delmismotamañoqueelobjeto• Derecha• Ladistanciadelobjetoalespejoeslamismaqueladelespejo alaimagen• Laimagendelobjetoessimétricaconrespectoalespejo• Nosepuedeproyectarenunapantalla

Másadelanteveremosqueexistenotrotipode imagen,denominadaimagenreal,quenosepuedeobtenerenunespejoplano.Ésta,adiferen-ciadelavirtual,seformaconelcortedelosrayosreflejados.



Espejos esféricos

Losespejoscurvosmáscomunesyquevamosatratarenestasecciónson losesféricos.Si tenemosuncasqueteesféricoqueestápulidoensuparteinterior,elespejoescóncavo.Encambiosilasuperficiepulidaeslaexterna,elespejosedenominaconvexo.(Fig.6)

Imaginaunacucharadesopa,lapartecóncavaesconlaquenosservi-moslosalimentosylaconvexaeslaopuesta.

Definiciones importantes

Denominaremos:

• Eje principal del espejo, a la recta que corta al espejo de formasimétrica.

• Vértice,alpuntodecortedelejeprincipalconelespejo. Lorepresentaremoscon“V”.(Fig.7)

• Centro de curvatura del espejo. Lorepresentaremosconlaletra“C”.

• Radio de curvatura,aladistanciaVCqueesigualalradiodelaesferaquecontienealespejo.Loindicaremosconlaletra“r”.

Foco de un espejo esférico, cóncavo

Siun hazde rayos incidealespejoen formaparalelaal eje principal,todos los rayos reflejados convergen en un punto. Por ese motivo a losespejoscóncavostambiénselesdenominaconvergentes. (Fig.8)

Dichopuntopertenecealejeprincipal,sedenominafocoylorepresen-tamosconlaletra“F”.

Elpunto“F”equidistadelospuntos“V”y“C”,porloqueladistanciaVFeslamitaddeunradiodecurvatura.Aestadistanciaseledenomina,dis-tancia focal.

f r=2

“f” esladistanciafocalyesigualalamitaddelradiodecurvatura“r”.

Foco de un espejo esférico, convexo

Siunhazderayosincideparalelamentealejeprincipalsobreunespejoconvexo,éstosalreflejarsedivergen,oseaseseparan.Poresemotivoalosespejosconvexostambiénselesllamadivergentes.

Fig.6. Espejo cóncavo y convexo.

Fig.7. Espejo cóncavo.

Fig.8. Los espejos cóncavos son convergentes.

Espejo cóncavo

Espejo convexo

C F

V



Sitrazamoslasprolongacionesdelosrayosrefleja-doshaciaatrásdelespejo,vemosqueéstasconvergenenunpuntosobreelejeprincipal.Aestepuntolode-nominamos foco del espejo convexo. Observa en lafigura9quelosrayosreflejadosparecenqueprovinie-randelfoco.

Aligualqueparalosespejoscóncavos,ladistanciaen-treelfocoyelvérticeenunespejoconvexosedenominadistanciafocal“f”yescaracterísticadecadaespejo.

Observaeneldibujoqueen los espejos convexos el foco “F” y el centro de curvatura “C”, se encuen-tran detrás del espejo.

Imágenes en Espejos Cóncavos

Paradeterminarlascaracterísticasdelaimagenenunespejocóncavo,necesitamospreviamenteanalizarlastrayectoriasdedeterminadosrayos,quesedenominanRayos Principales.

1. Siunrayoincideparaleloalejeprincipal,sereflejapasandoporelfoco.(Fig.10)

2. Siunrayopasapor“F”eincideenelespejo,sereflejaparaleloalejeprincipal.(Fig.11)

3. Siunrayoincidepasandopor“C”,sereflejasobresímismo,conlamismadirecciónperoconsentidoopuesto.(Fig.12)

Formación de imágenes

Conlaayudadelosrayosprincipalesdeterminamoslascaracterísticasdelaimagendeunobjeto,enunespejocóncavo.

Elobjetoquecolocaremosfrentealespejoseráunaflechaubicadaso-breelejeprincipal,apuntandohaciaarriba.

Esimportantedejarclarodesdeelcomienzoquelascaracterísticasdelaimagenobtenidadependededóndeestéubicadoelobjeto.

Poresemotivoanalizaremosdistintassituaciones,enlascualesiremosvariandoladistanciaentreelobjetoyelvértice.Empezaremosdesdeunadistanciacercanaalvérticeynosiremosalejandodeél.

Fig. 11. Rayo luminoso que pasa por el foco se refleja paralelo al eje principal.

Fig. 12. Rayo luminoso que pasa por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo.

Fig. 10. Rayo luminoso que incide paralelo al eje princi-pal del espejo, se refleja en dirección al foco.

CFV

Fig.9. Reflexión de un haz de rayos paralelos en un espejo convexo.Los espejos convexos son divergentes.

C F

C F

C F

V



1. Objeto ubicado entre el foco y el vértice

Enprimerlugarobservaremoslascaracterísticasdelaimagendeunobjeto(flecha)ubicadoentreelvérticeyelfoco.(Fig.13).

Observaquelaimagenseobtuvoapartirdelaspro-longacionesde los rayosreflejados,similarmentea loqueocurreenlosespejosplanos.Porlotantolaimagenobtenidaesvirtual.

Objetoubicadoentre“F”y“V”enunespejocóncavo.Característicasdelaimagenobtenida:• Virtual• Derecha• Demayortamaño

2. Objeto ubicado entre el foco y el centro de curvatura

Ensegundolugarobservaremoslascaracterísticasdelaimagendelmismoobjeto(flecha)peroahoraubicadoentreelfocoyelcentrodecurvatura.Oseaentrelospuntos“F”y“C”.(Fig.14)

Observaquelaimagenseobtuvodirectamenteporelcortedelosrayosreflejados,porloquelaimagenobtenidaesreal.

Objetoubicadoentre“F”y“C”enunespejocóncavo.Característicasdelaimagenobtenida:• Real• Invertida• Demayortamaño

3. Objeto ubicado sobre el centro de curvatura

Entercerlugarobservaremoslascaracterísticasdelaimagendelmismoobjeto(flecha)peroahoraubicadosobreelcentrodecurvatura“C”.(Fig.15)

Observaqueaquítambiénlaimagenseobtuvodirectamentedelosra-yosreflejados.Porlotantolaimagenobtenidaesreal.

Objetoubicadosobre“C”enunespejocóncavo.Característicasdelaimagenobtenida:• Real• Invertida• Deigualtamaño

Fig. 14. Imagen de un objeto ubicado entre el foco y el centro de la curvatura en un espejo cóncavo.

Fig. 15. Imagen de un objeto ubicado sobre el centro de curvatura de un espejo cóncavo.

Fig. 13. Imagen de un objeto ubicado entre el foco y el vértice de un espejo cóncavo.



4. Objeto ubicado a una distancia mayor que el radio decurvatura

Encuartolugarobservaremoslascaracterísticasdelaimagendelmis-moobjeto,peroahoraubicadoaunadistanciamayorqueelradiodecur-vaturadelespejo.(Fig.16).

Nuevamentelaimagenseobtuvodirectamentedelcortedelosrayosreflejados.Porlotantolaimagenobtenidatambiénesreal.

Objetoubicadoaunadistanciamayorqueelradiodecurvaturaenunespejocóncavo.Característicasdelaimagenobtenida:• Real• Invertida• Demenortamaño

Caso muy particular

Porúltimoanalizaremosquéocurrecuandocolocamoselobjetosobreelfoco“F”(Fig.17).Seapreciaclaramentequelosrayosreflejadossonpara-lelosynosecortan.Porlotantonoseformaimagen.

Cuandoelobjetoseubicasobreelfoco“F”deunespejocóncavo,noseformaimagen.

Aplicaciones

Porlacapacidadquetienenlosespejoscóncavosdedesviarlosrayosdeluzhaciaunpunto,sonpiezasesencialesendistintosinstrumentos,uti-lizadosendiversasprofesiones:médicos,dentistas,biólogos,astrónomos,etc.(Fig.18)

Fig. 17. Cuando el objeto está sobre el foco de un espejo cóncavo, no se forma imagen.

Fig. 18 a) Telescopio. Fig. 18 b) Microscopio.

Fig. 16. Imagen de un objeto ubicado a una distancia mayor que el radio de curvatura en un espejo cóncavo.

C F

Losespejocóncavoscondis-tanciafocalrelativamentegran-desonutilizadosporlasdamascoquetasparamaquillarse.



Imágenes en Espejos Convexos

Paradeterminar lascaracterísticasdela imagenenunespejoconvexo,necesitamosnuevamenteanalizarlastrayectoriasdelosRayos Principales.

1. Siunrayoincideparaleloalejeprincipaldelespejo,sereflejaenladireccióndeterminadaporelfocoyelpuntodeincidencia.(Fig.19).

2. Siunrayoincideendirecciónalfoco“F”,sereflejaparaleloalejeprin-cipaldelespejo.(Fig.20).

Fig. 19. Rayo luminoso que incide paralelo al eje princi-pal del espejo, se refleja con dirección desde el foco.

Fig. 22. Imagen obtenida en un espejo convexo.

CF

Fig. 20. Rayo luminoso que incide con dirección al foco, se refleja paralelo al eje principal del espejo.

3. Siunrayoincideendirecciónalcentrodecurva-tura“C”,sereflejasobresímismo,enlamismadirecciónperoconsentidoopuesto.(Fig.21)

Fig. 21. Rayo luminoso que incide con dirección al centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo.

Formación de imágenes

Nuevamenteconlaayudadelosrayosprincipales,encontraremosdóndeseformalaimagendeunobje-to,enunespejoconvexo.

Elobjetoquecolocaremosdelantedelespejoserálamismaflechaqueutilizamosparalosespejoscóncavos.Tambiénlaubicaremossobreelejeprincipalapuntan-dohaciaarriba.(Fig.22)

Característicasdelaimagenobtenidaenunespejoconvexo.Siempreserá:

• Virtual

• Derecha

• Demenortamañoqueelobjeto

• Ubicadamáscercadelespejoqueelobjeto.

En los espejos convexos las características de lasimágenesobtenidassiempreserániguales,nodepen-dendedóndeestéubicadoelobjetoconrespectoalespejo.



Ecuación de Espejos Esféricos

Hastaahorasiemprehemosobtenidolasimágenesutilizandométodosgráficos.Otrocaminoparaabordarlaformacióndeimágeneseselméto-do analítico.

Paraentenderlonecesitamospreviamentedefiniralgunosparámetros.

Definiciones importantes

Apoyándonoseneldibujodelafigura23definimos:

• Do:aladistanciadelobjetoalespejo.

• Di:aladistanciadelaimagenalespejo.

• f: aladistanciafocal.

• Ho: alaalturadelobjeto.

• Hi: alaalturadelaimagen.

Todos estos parámetros son longitudes, por lo tanto su unidad en elsistemainternacionaleselmetro,m.

Lostresprimerosparámetrosserelacionandelasiguienteforma:

1 1 1

0f D D

i

= +

Paratrabajarcorrectamenteconlaecuaciónanterioresimportantefijaralgunoscriterios:

La distancia del objeto Do

• Do siemprelaconsideramospositiva. La distancia focal f• sielespejoescóncavo,fserápositiva.• sielespejoesconvexo,f seránegativa. La distancia de la imagen Di

• paraimágenesrealesDiespositiva.• paraimágenesvirtualesDiesnegativa.La altura de la imagen Hi

• SiHi espositivalaimagenesderecha.• SiHiesnegativalaimagenesinvertida.

Fig. 23. Parámetros importantes de los espejos esféricos.

C F

V

Di

f

Do

Ho

Hi



Aumento de un espejo

Elaumentodeunespejolodefinimoscomoelvalorabsolutodelco-cienteentrelaalturadelaimagenylaalturadelobjeto.

AHH

i

o

=

Analizando la ecuación:• Silaimagenesmásgrandequeelobjeto,entoncesAesmayorque1.• Silaimagenesmáspequeñaqueelobjeto,entoncesAesmenorque1.

Lasiguienteecuaciónrelaciona lasalturasdelobjetoyde la imagen,conlasdistanciasdelaimagenydelobjetoalespejo:

HH

DD

i

o

i

o

= −

ACLARACIÓN: Lasecuacionesplanteadastienenvalidezparaloscasosdondeelradiodecurvaturadelespejoesmuchomayorquelasdimensio-nesdelobjeto.

Ejemplo 2

Unobjetolinealverticalde3,0cmde altura, se ubica a 15,0 cm dedistanciadelvérticedeunespejocóncavode4,0cmdedistanciafo-cal (Fig. 24). Determina todas lascaracterísticasdesuimagen.

Método gráfico: Enprimerlugarintentaremosde-terminar las características de laimagen haciendo un diagrama aescala.Comoelobjetoseencuen-trasobreelejeóptico,paraformarsu imagen necesitamos ubicarsolamentelaimagendelextremosuperior.Paraesotrazaremosdosrayosprincipales.Enprimerlugar,unrayoquepaseporelextremosuperioryqueincidaenelespe-jo paralelo al eje óptico (Fig 25).Recuerdaqueesterayosereflejapasandoporelfoco.

Fig. 24. Ejemplo 2.

Fig. 25. Ejemplo 2.

Escala: 1cm-2 cm

C F

V



Luegotrazamosel segundorayoquepaseporelextremosuperiordel objeto y que incida en el es-pejo pasando por el foco; comohemosvistoéstesereflejarápara-leloalejeprincipal(Fig.26).

Elextremodelaimagenseformaenelpuntodecortedeambosra-yosreflejados.Enesteejemplolascaracterísticas de la imagen sonlassiguientes:

•Real,dadoqueseformaenlain-terseccióndelosrayosreflejadosynoenladesusprolongaciones.

•Invertida y de menor tamañoque el objeto. El tamaño de laimagenyladistanciaalespejolospodemosdeterminaraescala.Recuerda que estas eran las ca-racterísticas de la imagen de unobjeto cuando éste se encontra-ba a una distancia mayor que elradiodecurvatura.

Fig. 26. Ejemplo 2.

Método analítico:

Enprimerlugarutilizaremoslaecuación 1 1 1

0f D D

i

= + para

determinaraquédistanciadelespejoseformalaimagen“Di”.

1

4 01

15 01

, ,cm cm Di

= + ⇒ 14 0

115 0

1, ,cm cm D

i

− =Tomando60comodivisorcomún

15 0 4 060

1, ,− =cm D

i

1160

1cm D

i

= ⇒ 11 60× =D cmi

D cmi

= 6011

⇒D cm

i= 5 5,

Diespositiva,estonosindicaquelaimagen es real.

EnsegundolugarutilizaremoslaecuaciónHH

DD

i

o

i

o

= − paradeterminarlaalturadelaimagen“H

i”

Hcm

cmcm

i

3 05 5

15 0,,,

= −

Hcmi

3 00 37

,,= −

H cm

i= −( ) ×0 37 3 0, ,

Hi=-1,1cm

Hiesnegativa,estonosindicaquelaimagen es invertida.

Ahoracalcularemoselaumento AHH

i

o

= A cmcm

= −113 0

,,

A=0,37

Aesmenor que 1,estonosindicaquelaimagen es de me-nor tamaño que el objeto.

C F

V

Rayo Nº 2

Rayo Nº 1

Objeto

Imagen



Aplicaciones

Enlafotodelafigura27vemoslaimagenobtenidaporunespejocon-vexo.Seutilizanparaabarcaruncampodevisiónmayor,aunquelaimagense deforme un poco. Encontrarás espejos de este tipo como parte de laseguridadenlossupermercadosyenlosespejosretrovisoresdealgunosvehículos.

Recuerdaquelaimagenqueobtenemosendichoespejosiemprees:• Virtual• Derecha• Demenortamañoqueelobjeto.

Paraobtenertupropiaimagenenunespejodeestetipo,puedesinten-tarconelrevésdeunacucharametálica.

Preguntas

1) ¿Quécaracterísticastienelaimagendeunobjetoobtenidaenunes-pejoplano?

2) IndicacuáldelasimágenesdelaFig.29,ilustralaimagendelcuadro(Fig.28)queseformaenunespejoplano.

3) ¿Porquélasambulanciasyalgunosotrosvehículostieneninscripcio-nesensufrenteescritas“alrevés”?(Fig.30)

4) ¿Quédiferenciashayentreunaimagenvirtualyunareal?

5) Quizás hayas probado ubicarte entre dos espejos planos paralelos.¿Cuántasimágeneslograsver?

6) Defineejeprincipal,vértice,centrodecurvaturayfocodeunespejoesférico.

7) ¿Cómo se refleja un rayo que incide paralelo al eje principal en unespejocóncavo?

8) Contestalomismoparaunrayoqueincidepasandoporelfocoyotroporelcentrodecurvatura.

9) Mencionaaplicacionesprácticasdelosespejoscóncavos.

Fig. 28. Pregunta 2 Cuadro.

Fig. 30. Pregunta 3.

Fig. 29. Pregunta 2.

a)

c) d)

b)

a)

Fig. 27. Imagen de un espejo convexo.



10) Completalasiguientetablaparaunespejocóncavo:

Ubicación del objeto Tipo de imagen

Entre el vértice y el foco

En el foco

Entre el foco y el centro de curvatura

En el centro de curvatura

Mas allá del centro de curvatura

11) ¿Porquéteparecequenoplanteamosunatabla iguala laanteriorparalosespejosconvexos?

12) ¿Cómo se refleja un rayo que incide paralelo al eje principal en unespejoconvexo?

13) Contestalomismoparaunrayoqueincidepasandoporelfocoyotroporelcentrodecurvatura.

14) Mencionaaplicacionesprácticasdelosespejosconvexos.

15) DefinelasdistanciasDo,D

i,f,H

i,H

o,indicandoenquécasoconside-

ramosacadaunacomopositivaycomonegativa.

Problemas

1) Determinatrazandolosrayoscorrespondientes,laimagendeltrián-guloqueseformaenelespejoplano.(Fig.31)

2) Intentaleer loquediceenelrecuadroutilizandounespejoplano.(Fig.32)

3) Completalosdiagramasderayosdelafigura33:

4) Unobjetoenformadeflechaverticalde3,0cmdealturaseubicaa20,0cmdeunespejocóncavode9,0cmdedistanciafocal,sobreelejeprincipal.

a) Realizaundiagramaaescaladelasituación.b) Trazalosrayosnecesariosparaencontrarlaimagendelobjeto.c) ¿Esrealovirtual?¿Derechaoinvertida?d) Determinalaalturadelaimagenysudistanciaalvértice.e) Simovemoselobjetounpoquitohaciaelespejo,laalturadesu

imagen¿aumentaodisminuye?

Fig. 33. Problema 3.



C C CF F F

“Laimaginaciónesmásimportante

queelconocimiento”AlbertEinstein



5) Repiteelproblemaanteriorubicandoelobjeto

a) a18,0cmdelvértice.

b) a12,0cmdelvértice.

c) a5,0cmdelvértice.

6) Utilizandolasecuacionesapropiadasrealizaloscálculosparaverificarlasrespuestasencontradaspormétodosgráficosenlosproblemas4y5.

7) Completalosdiagramasderayosdelafigura34:

8) Unobjetoenformadeflechaverticalde5,0cmdealturaseubicaa4,0cmdeunespejoconvexode9,0cmdedistanciafocal,sobreelejeprincipal.

a) Realizaundiagramaaescaladelasituación.

b) Trazalosrayosnecesariosparaencontrarlaimagendelobjeto.

c) ¿Esrealovirtual?¿Derechaoinvertida?

d) Determinalaalturadelaimagenysudistanciaalvértice.

e) Determinaelaumentodelespejo.

f ) Simovemoselobjetounpoquitohaciaelespejo,laalturadesuimagen¿aumentaodisminuye?

9) Utilizandolasecuacionesapropiadasrealizaloscálculosparaverificarlasrespuestasencontradaspormétodosgráficosenelproblema8.

10) Unobjetodealtura5,0cmseencuentradelantedeunespejocóncavoderadiodecurvatura60cm.Siladistanciadelobjetoalespejoesde15cm,determina:a)Enquélugarseformalaimagen,b)lascaracterís-ticasdelaimagen.

11) Resuelvelomismoqueenelcasoanterior,perosuponiendoqueelespejoesconvexo.

12) Losdentistaspararevisarladentaduradeunpacienteusanunespejocóncavoquetiene1,5cmderadio.Simantienenelespejoa0,50cmdeundiente,¿quécaracterísticastendrálaimagenqueveeldentistadeldiente?

13) Secolocaunobjetode1,0cmdealtodelantedeunespejocóncavoderadiodecurvatura20cm.Ladistanciaentreelobjetoyelespejoesde40cm,a)determinadóndeseformalaimagenyquecaracterísticastiene;b)resuelvelomismoperosuponiendoqueelobjetoseubicaa5,0cmdelespejo.

14) Si cambiamos el espejo del problema anterior por otro convexo,respondelosliteralesaybnuevamente.


CF CF CF


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