UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLAREAL

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ESPECIALIDAD: Optometría

CURSO: Óptica Física y Geométrica

PROFESOR: Lic. Guillermo Aguilar

ALUMNA: Barahona Chupurgo Llubitza

FECHA DE ENTREGA: 9/09/10

2010

CUESTIONARIO

1. Hallar la Ley de la Refracción con superficie esférica, con el método geométrico.

Los espejos o superficies que tienen la virtud de hacer converger en un punto los rayos reflejados en su superficie son los espejos paraboloides. Ejemplos: reflectores de los faros de los coches y antenas parabólicas.

Sin embargo, existen grandes dificultades prácticas para su construcción (y se encarecen), por ello se fabrican los espejos esféricos (mucho más sencillos de construir).

Pero los espejos esféricos presentan un problema óptico importante: no todos los rayos que se reflejan convergen en el mismo punto. Este problema se conoce como aberración esférica. Sin embargo, en la región paraxial (zona cercana al eje óptico), la esfera y el paraboloide son indistinguibles.

Se denomina rayos paraxiales a los rayos más próximos al eje óptico.

El foco principal de un espejo esférico cóncavo es el punto donde convergen los rayos reflejados que provienen del infinito.

La distancia FV es la distancia focal (f).La magnitud 1/f se conoce como potencia de un espejo cóncavo y sus unidades son las dioptrías. 

El foco principal de un espejo esférico convexo es el punto donde convergen las prolongaciones de los rayos reflejados que provienen del infinito.

La distancia F'V es la distancia focal (f').

La magnitud 1/f se conoce como potencia de un espejo cóncavo y sus unidades son las dioptrías. 

Espejos esféricos.

Aberración esférica: No todos los rayos que se reflejan en la superficie convergen en un punto. Esa desviación es la aberración esférica. Por eso usamos la aproximación paraxial.

Se denomina rayos paraxiales a los rayos más próximos al eje óptico. En el estudio de los espejos esféricos, estudiaremos únicamente los rayos próximos al eje óptico, debido a que todos los rayos paralelos que convergen en su superficie los hacen converger en un punto que llamaremos Foco.

Es lo que se conoce como aproximación paraxial.

Llamamos espejo esférico a una porción de superficie esférica pulimentada. Son cuando su superficie interior es reflectante y convexos cuando lo es la exterior.

Consideramos un espejo cóncavo en el que se reflejan los rayos paraxiales que provienen del objeto O para converger en I dando se forma la imagen. C es el centro de curvatura, P es el punto de incidencia con el espejo. Por la ley de reflexión el rayo incidente y el reflejado tienen el mismo ángulo.

Llamamos S0 a la distancia desde 0 al vértice V, Si a la distancia entre el punto imagen, I y el vértice. La distancia CV es el radio de curvatura r. Según la figura y considerando que los ángulos son muy pequeños, podemos hacer las siguientes aproximaciones:

tg α≃α≃ 1S0 ;

tg β≃β≃1r

; tg ϑ≃ϑ =

1S i

En el triángulo OPI tenemos que α +2i+(180 º−ϑ )=180 º; de donde α +2i=ϑ

De la misma forma, en el triángulo CPI, tenemos que: β+i+ (180º−ϑ )=180 º; de

donde i=ϑ−β

Sustituyendo en la primera α +2 (ϑ−β )=ϑ ; α +ϑ=2 β .

Ecuación de los espejos:

1S0

+ 1S i

=2r

Si O está muy distante de forma que

1S0

≃0 ,entonces

Si=r2 .

En este caso, se puede considerar que los rayos son prácticamente paralelos, puesto que vienen de un punto muy alejado, y por tanto, los reflejados convergen en un punto que llamábamos foco. En este caso el foco coincide

con la imagen y Si es la distancia focal

f =r2

.

Entonces se puede escribir :

1S0

+ 1S i

=1f

Es válido tanto para espejos cóncavos como convexos. Solo depende del criterio de signos que se utilice.

Criterio de signos

S0 es + si el objeto está enfrente del espejo (objeto real)

S0 es - si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual)

Si es + si la imagen está enfrente del espejo (imagen real)

Si es - si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual)

f y r son + si el centro de curvatura está enfrente del espejo (cóncavo) y - si está detrás (convexo).

¿Puede emplearse la ecuación de los espejos esféricos para un espejo plano?

Se puede suponer, al igual que suponemos que un fuente de onda esférico es plano cuando está a gran distancia del foco emisor, que un espejo plano es como un esférico de radio ∞. Por tanto:

1S0

+ 1S i

= 2∞ ;

S0=−Si

Esto es efectivamente una descripción de lo que sucede en un espejo plano: La imagen es virtual, es decir, negativa, pero las distancias son iguales.

Un objeto situado a 8 cm de un espejo esférico cóncavo produce una imagen virtual a 10 cm por detrás del espejo. Determina:

a)La distancia focal del espejo.

b) Su radio de curvatura.

c) La localización y el tipo de imagen si el objeto se aleja hasta 25 cm de distancia con respecto al espejo.

a)

1S0

+ 1S i

=1f

;

18+ 1−10

=1f

;

5−440

=1f f = 40 cm

b) f =

r2

; r = 80 cm

c)

1S0

+ 1S i

=1f

125

+ 1Si

= 140

1S i

= 140

− 125

=10−16400

= −6400

Si=−4006

=−66 ,6cm VIRTUAL

2. Aplicación de las Reflexiones y Refracciones en superficies esféricas.

2.1. Óptica de la reflexión.

Imágenes en los espejos esféricos cóncavos

a) Distancia objeto mayor que el radio de curvatura.

b) Si el objeto está justo en c, la imagen es a tamaño natural, real e invertido.

Imagen real, invertida y disminuida.

(Si estamos muy lejos como para considerar ∞ la imagen se forma en el foco)

Nota: Los espejos cóncavos tienen aplicaciones:

Faros de coche. Son espejos parabólicos donde su punto luminoso esta situado en el eje de la parábola y reflejan la luz paralelamente al eje principal.

Antenas parabólicas. Las señales de radio de los satélites se pueden considerar como rayos paralelos que proveen del infinito y que al reflejarse se concentran en el foco.

c) Si el objeto está entre C y F

d) Si el objeto está entre F y el V

Nota: Los espejos cóncavos tienen aplicaciones:

Faros de coche. Son espejos parabólicos donde su punto luminoso esta situado en el eje de la parábola y reflejan la luz paralelamente al eje principal.

Antenas parabólicas. Las señales de radio de los satélites se pueden considerar como rayos paralelos que proveen del infinito y que al reflejarse se concentran en el foco.

Imagen real, invertida y aumentada

Se irá agrandando hasta que el observador se coloque en F en el que la imagen borrosa e irreconocible (Si

=∞) llenará la totalidad del espejo.

Imagen natural, aumentada y derecha. Si nos pegamos al espejo será de tamaño real.

Imagen real, invertida y aumentada

Imágenes en espejos esféricos convexos

2.2. Óptica de la refracción

Imágenes por refracción en superficies esféricas

Consideremos un objeto luminoso, O, situado en un medio de índice de refracción n1, a una distancia so del vértice V, de una superficie refractora esférica convexa. Si el segundo medio tiene un índice de refracción n2, mayor que n2, los rayos que llegan a cualquier punto de la superficie serán desviados hacia una mayor aproximación a la normal a la superficie.

Como f siempre es negativa y S0 positiva en un convexo y sabemos

que

1S i

=1f− 1

S0 , Si siempre negativo.

La imagen en un esférico convexo es virtual y además no invertida y disminuida más cuando más lejos.

El campo de visión es más amplio al divergen los rayos.

Refracción en una superficie esférica cuando n2 > n1

Consideremos el rayo que incide en el punto P, a una altura l sobre el eje óptico. El radio de curvatura es r y C es el centro de curvatura. El lugar donde se forma la imagen es I localizado a una distancia si del vértice de la superficie. Los ángulos a,b, y q son los que forman el rayo incidente, la normal y el refractado con el eje óptico.

Teniendo en cuenta la aproximación paraxial (tg »sen»áng., para ángulos pequeños) se tiene que:

α = 1/So

β = 1/r

θ = 1/S

Si aplicamos la ley de Snell:

n1 sen i = n2 sen r

y teniendo en cuenta la aproximación paraxial:

n1.i = n2.r

En el triángulo OPC se observa que a + b + (180 - i) = 180 y por tanto i = a + b

En el triángulo PCI se observa que r + q + (180 - b) = 180 y pro tanto r = b - q

Si sustituimos tenemos que n1 (a + b) = n2 (b - q); Y sustituyendo los valores de los ángulos podemos escribir:

n1.(1/So + 1/r) = n2.(1/r - 1/Si)

Expresión de la que se deduce la conocida expresión del dioptrio esférico

n1/So + n2/Si = (n2 - n1)/r

Criterio de signos para la óptica de la refracción a través de una superficie

Del mismo modo que ocurría en el caso de los espejos, diremos que la distancia a la imagen s es positiva si la imagen es real. Esto determina una diferencia fundamental entre los criterios de la reflexión y refracción: la imagen real en la primera se forma delante del espejo (en el medio de incidencia), mientras que en la segunda se forma en el medio de transmisión.

So es positivo si es objeto está enfrente de la superficie (en el lado de incidencia) y negativo en el caso contrario.

Si es positivo si la imagen es real , es decir, si se forma detrás de al superficie (en el lado de transmisión) y negativo en el caso contrario.

r es positivo si el centro de curvatura se encuentra detrás de la superficie (en el lado de transmisión y negativo en el caso contrario.

Este criterio es el que aplicaremos en las lentes delgadas.

Aumento de la imagen por refracción

Se define el aumento lateral de la imagen como la relación existente entre la altura de la imagen formada, h’, y la del objeto, h.

Teniendo en cuenta la aproximación paraxial,

r = -h´/Si

i = h/So

Si utilizamos la ley de Snell; n1.i = n2.r n1.(h/So) = n1.(h´/Si); por tanto el aumento de la imagen viene dado por: h´/h = n1.Si/n2.So

Distancias focales en la óptica de refracción

Supongamos una superficie de refracción convexa que separa dos medios de índices n1 y n2 , en donde n1 < n2. Si el objeto está a una distancia muy lejana (s0 = ∞) los rayos incidentes pueden considerarse paralelos. El punto Fi en el que convergen los rayos refractados es denominado foco imagen y si, en este caso particular fi, distancia focal imagen.

Se puede obtener dicha distancia a partir de la ecuación del dioptrio esférico.

n1/∞ + n2/fi = (n2 - n1)/r de donde:

fi = n2.r/(n2 - n1)

De forma análoga se puede establecer un foco objeto Fo, que es el punto de donde debería partir los rayos para que los rayos refractados salieran paralelos.

Así, Si = ∞ y So, correspondiente a la distancia focal objeto, fo.

n1/fo + n2/∞ = (n2 - n1)/r de donde:

fo = n1.r/(n2 - n1)

Si dividimos ambas expresiones obtenemos la relación entre ambas distancias focales: