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M en C. Erick Barrios Barocio; Fis. Arnaldo Hernández Cardona; Fis. Erika Colín Ulloa.

Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias, UNAM.

Objetivo.

Comprobar la validez de la ecuación que describe el funcionamiento de los espejos; así como aprender

a caracterizar. Observar un método para determinar la calidad de la superficie de espejos cóncavos (Prueba

de Foucault) y conocer el método de Fotografía Schlieren.

Teoría.

Un espejo es una superficie pulida en la que la luz incidente se refleja siguiendo la Ley de la Reflexión.

Sin embargo, dependiendo de las características geométricas de la superficie, la reflexión presenta

características particulares.

Espejos Planos [1].

Considerando una fuente puntual (objeto) ubicada a una distancia o

y altura h frente al espejo (Figura 1), los rayos que emite se reflejaran

en el espejo de forma que aparentaran divergir. Para un observador

situado frente al espejo (del mismo lado que la fuente), parecerá que

los rayos provienen de un punto i (imagen) localizado detrás del

espejo. La imagen se puede localizar extendiendo los rayos reflejados

hacia el punto del que parecen divergir (Figura 1). Solo se necesitan

dos rayos, uno que se retro-refleje sobre si mismo (𝑂𝑄̅̅ ̅̅ ) y uno que se

refleje de acuerdo a la ley de reflexión (𝑂𝑅̅̅ ̅̅ ). Puesto que ⊿𝑂𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ̅̅ e

⊿𝐼𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ̅ son congruentes, 𝑜 = 𝑖. La imagen formada por un espejo plano está a la misma distancia que el

objeto frente al espejo. La altura del objeto, h, es igual a la altura de la imagen, h’.

Espejos Esféricos.

Estos espejos tienen una superficie que es una sección de una esfera, por lo que tienen un centro de

curvatura (C) y un radio de curvatura (R). Este tipo de espejos son los más comunes debido a que su

construcción es sencilla; sin embargo, presentan deficiencias en la formación de imágenes, sobre todo para

radios pequeños [2, 3]. Estas deficiencias son subsanadas por los espejos parabólicos (que geométricamente

reflejan los rayos en un solo punto, foco); sin embargo, su construcción es más complicada. Dentro de la

clasificación de espejos curvos, existen dos tipos [1]:

a) Espejos Cóncavos.

Su geometría hará converger

(enfocar) los rayos reflejados. En

particular, si los rayos llegan al

espejo de forma paralela a su eje

(Figura 2a), se enfocarán en un punto

llamado foco (f ).

Considere un objeto en o, sobre el

eje óptico (Figura 2b). Para conocer

la posición de la imagen (i) formada,

bastan dos rayos provenientes del

objeto que se reflejen en el espejo y

el punto donde se crucen será donde

se forme la imagen.

Figura 1. Geometría de un espejo

plano.

h

Objeto Imagen

O o

𝜃

𝜃 R

Q h´

i I

Figura 2. Geometría de un espejo cóncavo.

a) b)

i

Eje

Óptico

C f

R

f

O

h

I

R

C h´

o

𝛼 𝛼 𝜃

𝜃

V V

Esf

era

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Es posible calcular la posición de la imagen, a partir del conocimiento de la distancia al objeto o y del

radio de curvatura R. En la Figura 2b uno de los rayos sale de O, pasa por C y llega al espejo de forma

perpendicular, retro-reflejándose; el segundo rayo llega a V y se refleja de acuerdo a la ley de reflexión.

En ⊿𝑂𝑉ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ se tiene que 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = ℎ/𝑜, mientras que en ⊿𝐼𝑉ℎ̅̅ ̅̅ ̅ se tiene 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = −ℎ′/𝑖. Por ser triángulos

congruentes, la relación de tamaños (magnificación) será:

𝑀 =ℎ′

ℎ= −

𝑖

𝑜 (1)

De forma similar, utilizando la tangente de los triángulos formados alrededor del centro de curvatura

con los ángulos α y la ecuación (1), se obtiene que:

𝑅−𝑖

𝑜−𝑅=

𝑖

𝑜 (2)

Que con un poco de algebra: 1

𝑜+

1

𝑖=

2

𝑅 (3)

Que es la Ecuación del espejo. Si el objeto está muy lejos del espejo (𝑜 → ∞) la imagen estará a la

mitad entre el centro de curvatura (C) y el vértice del espejo (V), que es el foco (f):

𝑓 =𝑅

2 (4)

A partir de estas ecuaciones, se pueden observar dos características importantes de este tipo de espejos:

cuando el objeto se encuentra en f la imagen está en el infinito, y cuando el objeto está entre f y el espejo,

la imagen está detrás del espejo (imagen virtual), vertical y aumentada.

Espejos Convexos.

Las ecuaciones para espejos (1) y (3) también funcionan

para espejos convexos, cuya diferencia de que su radio de

curvatura es negativo por convención (Figura 3). Este tipo de

espejos producen que los rayos que inciden sobre ellos de

forma paralela diverjan, además de que la imagen siempre se

produce detrás del espejo (virtual), es vertical y será más

pequeña que el objeto. Conforme el objeto se aleja del espejo,

la imagen se reduce y se acerca a f. Este tipo de espejos

proporcionan un campo de visión muy amplio debido la

forma en que divergen los rayos.

Convención de signos.

Las imágenes se clasifican en reales o virtuales. Una

imagen real se forma cuando los rayos pasan físicamente

sobre la imagen; una imagen virtual se forma cuando los

rayos de luz no pasan físicamente sobre la imagen, pero

pareciera que divergen de ella. Por ejemplo, en espejos

planos y convexos, las imágenes siempre son virtuales

(Figura 1). Además, las imágenes reales pueden proyectarse

en una pantalla, las virtuales no. Por otro lado, en cuanto al

signo de las cantidades, la convención es que las cantidades

frente al espejo sean positivas y las cantidades que queden

“detrás” del espejo sean negativas (Tabla 1) [1].

Diagramas de rayos.

Las posiciones y tamaños de las imágenes formadas por espejos pueden determinarse con diagramas de

rayos utilizando solo 4 rayos (Figura 4) [1]. Para esto solo se necesita conocer o, f y C.

Tabla 1. Convención de signos para

espejos.

Frente o lado real Atrás o lado virtual

o e i positivas o e i negativas

f y R Positivas

(espejo cóncavo)

f y R Negativas

(espejo convexo)

Por donde incide y

se refleja la luz

No pasa la luz

M positiva, imagen

con misma dirección

que objeto

M negativa,

imagen invertida

Figura 3. Geometría de un espejo convexo.

I

O

Frente Atrás

h

C i o

h´ f

R

23

El rayo 1 se dibuja desde el objeto y

es paralelo al eje óptico, su reflexión

pasa por el foco f.

El rayo 2 va del objeto como

extensión desde f y su reflexión es

paralela al eje óptico.

El rayo 3 pasa por el objeto y el

centro de curvatura C y se refleja

sobre sí mismo.

El rayo 4 va del objeto al vértice del

espejo y se refleja de acuerdo a la ley

de reflexión.

El esferómetro [4].

Es un instrumento para medir el radio de

curvatura de una superficie esférica. Consiste

en un tornillo micrométrico insertado en un

pequeño trípode equilátero que cuenta con

una escala graduada. La cabeza del tornillo

tiene un disco graduado usado para medir

fracciones de vuelta del tornillo (Figura 5a).

La escala vertical es usada para medir la

altitud o profundidad que se desplazó el

tornillo central dependiendo de la curvatura

de la superficie. Las divisiones de la escala

vertical son de 1mm, es decir, el tornillo

central está calibrado de forma que una vuelta del tornillo equivale a un desplazamiento vertical de 1mm.

La cabeza del tornillo (o disco) generalmente esta graduado en 100 divisiones (0.01mm).

Si imaginamos que el esferómetro se coloca sobre una esfera generada por el tornillo central y la patas

laterales y se analiza una sección transversal vertical de la esfera (Figura 5b), se encontrara que la distancia

𝐷𝐸̅̅ ̅̅ es su diámetro, y que a su vez biseca la cuerda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Si se conoce la distancia 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se puede

encontrar el radio de la esfera.

De la geometría de triángulos similares [5]:

𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2

Así: (𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ) ∙ (2𝑅 − 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ) = (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2

Por lo que: 𝑅 =(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2

2(𝐷𝐵̅̅ ̅̅ )+

𝐷𝐵̅̅ ̅̅

2

Donde R es el radio de la esfera, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ será la distancia de la pata central del esferómetro a una de las patas

externas (a), 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ la distancia que se desplaza el tornillo micrométrico central (h). Por lo que la ecuación

del esferómetro es:

𝑅 =𝑎2

2ℎ+

ℎ

2 (5)

Prueba de Foucault (Prueba de la Navaja).

Uno de los problemas más comunes de los espejos es la falta de precisión en el tipo de superficie

(esférica, parabólica, etc.). Esto produce que las imágenes estén distorsionadas (aberradas) [2, 3]; por

ejemplo, en espejos esféricos con focos pequeños los rayos reflejados generan distintos puntos de enfoque

para distintas posiciones radiales del espejo. Un método para observar la calidad de un espejo es la Prueba

de Focault.

Figura 4. Diagramas de rayos para espejos.

o i

Frente Atrás

Eje Óptico C

f

2

3 1 4

a

)

Pata

lateral

E

R

O

B C A

D

Tornillo Pata

lateral

h

b) a) Escala

Vertical

Disco

Graduado

Tornillo Patas

Laterales

Figura 5. a) Aspecto común, b) geometría de un esferómetro.

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La luz reflejada en el espejo contiene información de las

propiedades geométricas de éste. Si el espejo es perfectamente

curvo (esférico o parabólico), la luz reflejada convergerá en un

punto; sin embargo, si la superficie no es perfecta, la

localización del punto de convergencia no será única (no estará

bien definida ya que habrá varios puntos de enfoque), es decir,

se extenderá en un área (Figura 6), este fenómeno es llamado

aberración esférica.

Colocando el borde de una navaja por dentro o por fuera del punto de enfoque, se puede conocer si la

superficie es esférica o no. Al mover la navaja de forma perpendicular al eje óptico, se podrá observar con

el ojo cómo se mueve su sombra (Figura 7). Dependiendo del grado de deformación del espejo y de la

posición de la navaja a lo largo del eje óptico, se tienen cuatro posibles situaciones [6]:

- Espejo esférico, navaja en el punto de enfoque (Figura 7a). Cuando la navaja intercepta los rayos en

el punto de enfoque, el campo de visión pasará de estar iluminado a estar obscuro de forma

"instantánea". Debido a que los rayos están concentrados en un punto “ideal” la navaja bloquea todos

los rayos en un desplazamiento muy pequeño.

- Espejo esférico, navaja fuera del punto de enfoque (Figura 7b). Conforme la navaja se mueve hacia

el eje, interceptará los rayos que divergen del punto de enfoque de forma paulatina (invertidos en

orden respecto de los rayos entrantes al punto de enfoque). El ojo observará una sombra que irá

cubriendo el espejo desde el lado opuesto de la navaja y en dirección opuesta. En caso de que los

rayos sean proyectados en una pantalla la sombra de la navaja estará del mismo lado que esta y se

moverá en la misma dirección.

- Espejo esférico, navaja dentro del punto de enfoque (Figura 7c). Cuando la navaja se mueve hacia el

eje, va interceptando los rayos que convergen hacia el punto de enfoque de forma que la sombra

observada por el ojo irá cubriendo el espejo desde el mismo lado en que esta la navaja y en la misma

dirección. En caso de que los rayos sean proyectados en una pantalla, la sombra de la navaja estará

del lado contrario a ella y se moverá en dirección opuesta.

- Espejo no esférico. Esta situación (Figura 7d) hace visibles los efectos de aberraciones esféricas ya

que es una combinación de los tres casos anteriores. Para ciertos rayos, la navaja estará en el punto

de enfoque y para otros estará por dentro o por fuera, produciendo zonas donde la sombra de la navaja

se mueva desde cierta dirección. Esto formara patrones particulares a la geometría del espejo.

a) Espejo Lo que

observa

el ojo

Rayos

de luz

Movimiento

de la navaja

Sombra

b) Espejo Lo que

observa

el ojo

Rayos

de luz

Movimiento

de la navaja

Sombra

Lo que se

ve en una

pantalla

Lo que se

ve en una

pantalla

c) Espejo Lo que

observa

el ojo

Rayos

de luz

Movimiento

de la navaja

Sombra

Lo que se

ve en una

pantalla

Figura 7. Casos de la imagen observada en la prueba de Foucault. a) navaja en el punto de

enfoque, b)navaja fuera del punto de enfoque, c) navaja dentro del punto de enfoque, d) espejo

no esférico.

d) Espejo no esférico Lo que

observa

el ojo

Foco de

rayos

centrales

Lo que se

ve en una

pantalla

Foco de

rayos

externos

Figura 6. Aberración esférica

Circulo de mínima

confusión

Foco de rayos

periféricos

Foco de rayos

cercanos al eje

óptico

Espejo

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Este método es bastante útil para saber si un espejo presenta algún tipo

de defecto en su geometría al momento de ser construido, por ejemplo

para la construcción de espejos para telescopio.

La implementación experimental para llevar a cabo la Prueba de

Foucault es bastante sencilla (Figura 8); sin embargo, es necesaria una

fuente puntual, ya que de esta forma su imagen será un solo punto,

facilitando la función de la navaja, de lo contrario, si la fuente no es

puntual habrá muchos puntos de enfoque generando una posible falsa

interpretación de que el espejo está aberrado. Otro punto importante es la

necesidad de colocar la fuente ligeramente fuera de eje de forma que su

imagen no se deforme (aproximación paraxial).

Otro método para observar la calidad de los espejos es la Prueba de Ronchi, la cual usa una rejilla de

líneas obscuras igualmente espaciadas impresas en una transparencia en sustitución de la navaja [7].

Método Schlieren para observación de flujos [8].

Este método hace visibles pequeños cambios en la densidad (índice de refracción) de medios

transparentes. Estos cambios pueden deberse a cambios en la presión o la temperatura, por ejemplo, en

ondas de sonido, flujos de gases, vórtices, etc. El método se basa en la combinación de la ley de refracción

y la Prueba de la de Foucault. El montaje del sistema es similar al de la prueba de Foucault, con la

diferencia de que se usan dos espejos (Figura 9b), sin embargo puede usarse solamente uno como en la

prueba de Foucault (Figura 9a).

Cuando todo el medio está a una misma

temperatura (o densidad), los rayos a su

alrededor siguen su trayectoria recta

esperada y pasan la navaja. Sin embargo,

cuando un objeto caliente genera un

gradiente de densidad en el medio que lo

rodea, unos rayos sufrirán de refracción y

otros no, provocando que los rayos

refractados choquen con la navaja. Esto

producirá sombras para ciertas regiones

donde el aire tiene diferente densidad.

Problemas.

1. Un espejo esférico tiene un foco de 10.0cm. ¿Cuál es la posición, magnificación y tipo (real o

virtual) de la imagen (i) cuando el objeto (o) está a a) 25.0cm, b) 10.0cm c) 5.0cm?

2. Si un objeto está a una distancia de 2f de un espejo cóncavo, ¿Dónde estará su imagen?

3. Deducir la ecuación (3) a partir de consideraciones geométricas de la Figura 2b.

4. Utilizando la ecuación (3), calcular la incertidumbre superior del radio de curvatura (R) y del foco

(f) de un espejo, asumiendo que o e i son mediciones experimentales con incertidumbres fijas.

5. Utilizando la ecuación (5), calcular la incertidumbre superior del radio de curvatura (R) de un espejo,

asumiendo que a y h son mediciones experimentales con incertidumbres fijas.

Espejo Fuente

Puntual

Navaja

Figura 8. Montaje experimental

para la Prueba de Foucault.

Espejo

Fuente

Puntual

Navaja

Figura 9. Montajes típicos para fotografía Schlieren. a) Un solo

espejo; b) dos espejos.

2f

Navaja a) b)

Vela

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Actividad Demostrativa.

Prueba de la Navaja de Foucault y Visualización Schlieren.

Material: 1 Espejo cóncavo con foco grande. Riel con carrito. Reflector LED con mascara con agujero

pequeño. Navaja. Vela. Plastilina. Postes. Nuez. Flexómetro. Cámara (opcinal).

Para la prueba de la Navaja de Foucault.

1. Colocar un espejo cóncavo de longitud focal grande en la mesa de trabajo.

2. Colocar sobre un reflector LED una máscara con un agujero pequeño (para simular una fuente

puntual), en el agujero colocar algún material que difumine la luz (papel albanene).

3. Colocar el reflector frente al espejo y a un lado de su eje óptico a una distancia aproximada de 2f .

4. Colocar la navaja en un poste sobre un riel (con carro) de forma que quede cerca del punto de

enfoque de la imagen. El riel se debe poder girar de forma que la navaja cruce la trayectoria de los

rayos de luz reflejados por el espejo (Figura 8).

5. Moviendo la navaja a distintas posiciones (fuera, en y dentro del punto de enfoque) , observar e

interpretar las sombras producidas.

Para la visualización Schilieren:

1. Utilizando el arreglo anterior, colocar la navaja ligeramente detrás del punto de enfoque y

bloqueando la mitad de los rayos.

2. Colocar frente al espejo una fuente de calor por ejemplo, una vela (Figura 9a).

3. Observar e interpretar el fenómeno.

Actividad Experimental.

Espejos.

Material.

1 Espejo cóncavo. 1 Espejo convexo. 1 Espejo plano. Esferómetro. Flexómetro. Vernier. Reflector LED

(con objeto). Pantalla. Bases con Postes. Porta lentes. Clips.

Procedimiento.

Espejos planos.

1. En una hoja, colocar un espejo plano de forma vertical con ayuda de clips y marcar su posición.

2. Colocar un alfiler de forma vertical frente al espejo y marcar su posición en el papel.

3. Desde distintos puntos de observación (3 mínimo), al nivel del papel, ver la imagen del objeto y con

una regla trazar una línea en dirección de la imagen.

4. Quitar el espejo y extender todas las líneas hasta que se crucen. Medir y comprobar que la distancia

del objeto al espejo y del espejo a la imagen son iguales, incluir incertidumbres.

Espejos Cóncavos.

1. Colocar un espejo cóncavo en un porta lentes y base como se

muestra en la Figura 11. Fijar el espejo a la orilla de la mesa

de trabajo. Colocar el flexómetro el eje óptico del espejo

(tomar en cuenta la separación del cero del flexómetro y la

posición del espejo).

2. Colocar a los lados del flexómetro (eje óptico) una pantalla y

un reflector LED (con un objeto) sin fijar sus bases a la mesa.

Para distintas posiciones del reflector (o) a lo largo del

flexómetro, encontrar la posición de su imagen proyectada (i)

en la pantalla. Tomar datos de varias posiciones de i y o

Figura 11. Montaje experimental para

medir el foco de un espejo.

Espejo

cóncavo

Flexómetro

Pantalla

LED

27

(incluir incertidumbre).

3. Para 4 parejas de posiciones (o, i) cualesquiera, medir el tamaño de la imagen (h´) y objeto (h).

Con los datos obtenidos, usando la ecuación (3) y graficando i vs o, encontrar el radio de curvatura y

foco del espejo (incluir incertidumbre). Usando los datos de tamaño y de posiciones, verificar que la

ecuación (1) es válida (dentro de las incertidumbres, de lo contrario explicar posibles razones por las que

no se cumple). Para facilitar la toma de datos se sugiere usara la tabla correspondiente a esta práctica

incluida en el Apéndice A o de la hoja de Excel encontrada en la referencia [9], así mismo, en dicha

referencia se incluyen animaciones sobre el funcionamiento de los espejos.

El esferómetro.

1. Utilizando un esferómetro y con extremo cuidado de no rayar los espejos, medir el radio de curvatura

y distancia focal de un espejo convexo y uno cóncavo.

Datos Importantes.

1. Diagrama de la posición de la imagen en el espejo plano. Incluyendo incertidumbre.

2. Gráficas (normal y linealizada) de o vs i para el espejo cóncavo, incluyendo barras de error y valor

del radio de curvatura obtenido de la ecuación de ajuste.

3. A partir de los datos, deducir directamente con ayuda de la ecuación (3) R y f con incertidumbres.

4. Magnificaciones calculadas (M) a partir de i y o, comentar si concuerdan con la ecuación (1) dentro

de la incertidumbre.

5. Usando el esferómetro, obtener R y f para los espejos señalados. Incluir incertidumbre.

Referencias.

[1] R.A. Serway, R.J. Beichner. "Física para ciencias e ingeniería". 5° edición, McGraw-Hill. 2002.

[2] Paul A. Tipler. “Physics for scientists and engineers” 4° edición. Freeman/Worth. 1999.

[3] E. Barrios, A. Hernández. “Laboratorio de Óptica Clásica”, Práctica 8. Aberraciones Ópticas. 2015.

[4] Sameen Ahmed Khan. “Coordinate Geometric Generalization of the Spherometer and

Cylindrometer”.arXiv:1311.3602.

[5] Proofs with Similar Triangles. [2015]

http://regentsprep.org/regents/math/geometry/gp11/lsimilarproof.htm

[6] Anthony Harbour, David, “Understanding Foucault”, [2015]

http://www.atm-workshop.com/foucault.html

[7] John D. Upton. “The Matching Ronchi Test”. [2015]

http://www.atm-workshop.com/ronchi-test.html

[8] “Schlieren Photography – Seeing Air” [2015]

http://www.ian.org/Schlieren/

[9] https://sites.google.com/site/laboratoriodeopticabb/ Práctica 4 Espejos.