ESPAD III * TC 4

POTENCIAS

Potencias de exponente natural• n • Una potencia a , de BASE a y EXPONENTE n , es el

producto de n factores iguales a la base.• 2• Así a = a.a• Esta potencia se llama también cuadrado.• 3• Así a = a.a.a• Esta potencia se llama también cubo.• 4• Así a = a.a.a.a• Esta potencia se llama también potencia cuarta.• n• Así a = a.a.a …. a• Esta potencia se llama también potencia enésima.• • El número que se repite, a, se llama base. El número de veces que se

repite la base se llama exponente.

• EJEMPLOS:

• 3• 2 = 2.2.2 = 4.2 = 8

• 5• 3 = 3.3.3.3.3 = 9.3.3.3 = 27.3.3 = 81.3 = 243• • 4• 10 = 10.10.10.10 = 100.10.10 = 1000.10 = 10000

• 3• (-2) = (-2).(-2).(-2) = 4.(-2) = - 8

• 4• (-3) = (-3).(-3).(-3).(-3) = 9.(-3).(-3) = (-27).(-3) = 81

Signo de las potencias

• EJEMPLOS:

• 3• (- 2) = (- 2). (- 2).(- 2) = 4.(- 2) = - 8

• 2• (- 3) = (- 3).(- 3) = 9

• Si la base a es positiva El resultado siempre es POSITIVO

• Si la base a es negativa se cumple:

– Base negativa y exponente par El resultado es POSITIVO

– Base negativa y exponente impar El resultado es NEGATIVO

Potencia de exponente 0

• Sea a un número entero cualquiera.•• 0 • Convenio: a = 1 • • 3 • a a. a. a 1 • --- = --------- = ---- = 1• 3 a .a . a 1• a

• 3 • a 3 – 3 0 • --- = a = a = 1• 3 • a

Potencia de exponente 1

• Sea a un número entero cualquiera.•• 1 • Convenio: a = a • • 3 • a a. a. a a • --- = --------- = ---- = a• 2 a . a 1• a

• 3 • a 3 – 2 1 • --- = a = a = a• 2 • a

• Producto de potencias de igual base

• m n m+n• a . a = a

• m n p m+n+p• a . a . a = a

• El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia que tiene como base la misma y como exponente la suma de los exponentes.

PROPIEDADES

• EJEMPLO 1

• 3 2 3+2 5• 5 . 5 = 5 = 5 Veamos de otra manera que es así:

• 3 2 5• 5 . 5 = (5.5.5).(5.5) = 5

• EJEMPLO 2

• 2 2 2+2 4• 3 . 3 = 3 = 3

• EJEMPLO 3

• 3 2 3+2 5 5• (- 5) . (- 5) = (- 5) = (- 5) = - 5

• EJEMPLO 4

• 2 2 2+2 4 4• (-3) . (-3) = (-3) = (-3) = 3

• División de potencias de igual base

• m n m – n • a : a = a

• m n p m – n – p • a : a : a = a

• El cociente de dos o más potencias de igual base es otra potencia que tiene como base la misma y como exponente la diferencia de los exponentes.

• Atención: PARÉNTESIS

• m n p m n – p m – (n – p) m – n + p• a : (a : a ) = a : a = a = a

PROPIEDADES

• EJEMPLO 1

• 3 2 3 – 2 1• 5 : 5 = 5 = 5 = 5

• Lo hacemos de otra forma para comprobarlo:

• 3 2 • 5 : 5 = (5).(5).(5) / (5).(5) = 125 / 25 = 5

• EJEMPLO 2

• 2 2 2 – 2 0• 3 : 3 = 3 = 3 = 1

• EJEMPLO 3

• 4 2 4 – 2 2 2• (- 5) : (- 5) = (- 5) = (- 5) = 5

• EJEMPLO 4

• 3 2 3 – 2 1• (-3) : (-3) = (-3) = (-3) = -3

• EJEMPLO 5

• 7 4 2 7 – 4 – 2 1• 5 : 5 : 5 = 5 = 5 = 5

• EJEMPLO 6

• 8 5 8 – 5 – 1 2 • 3 : ( 3 : 3 ) = No es 3 = 3 = 9

• Hay que resolver primero el paréntesis:

• 8 5 8 5 – 1 8 4 8 – 4 4 • 3 : ( 3 : 3 ) = 3 : 3 = 3 : 3 = 3 = 3 = 81

• Ver la diferencia tan grande entre 9 (Mal) y 81 (Bien)

• EJEMPLO 7

• 8 2 5 • ( 3 : 3 ) : ( 3 : 3 )

• Hay que resolver primero los paréntesis:

• 8 – 2 5 – 1 6 4 6 – 4 2 • 3 : 3 = 3 : 3 = 3 = 3 = 9 •

• EJEMPLO 8

• 7 2 6 3 • ( 3 : 3 ) . ( 3 : 3 )

• Hay que resolver primero los paréntesis:

• 7 – 2 6 – 3 5 3 5 + 3 8 • 3 . 3 = 3 . 3 = 3 = 3

• Potencia de una potencia

• m p m.p• (a ) = a

• La potencia de una potencia es otra potencia tal que la base es la misma y como exponente tiene el producto de los exponentes.

• EJEMPLO 1• 2 3 2.3 6• (3 ) = 3 = 3

• 3 6 • De otra forma: (9) = 9.9.9 = (3.3).(3.3).(3.3) = 3

Potencia de una potencia

• EJEMPLO 2

• 3 2 3.2 6 6• [(-2) ] = (- 2) = (- 2) = 2

• EJEMPLO 3

• 2 3 2.3 6 6• [(-2) ] = (- 2) = (- 2) = 2

• EJEMPLO 4

• Expresa como potencia de potencia;

• 5 2 5 • 36 = (6 )

• EJEMPLO 5

• Expresa como potencia de potencia;

• 6 2 3 • (- 4) = [ (- 4) ]

• Potencia de un producto

• n n n• a . b = (a.b)

• n n n n• (a.b.c) = a . b .c

• El producto de potencias de distinta base y del mismo exponente es otra potencia de base el producto de las bases y de exponente el exponente común.

• EJEMPLO 1

• 3 3 3 3• 2 . 3 = (2.3) = 6

• • Comprobamos: 8. 27 = 216 , pues 216 = 216

Potencia de un producto

• EJEMPLO 2

• 2 2 2 2 2• 2 . 3 . 5 = (2.3.5) = 30

• EJEMPLO 3

• 3 3 3 3• (-2) . (-3) = [(-2).(-3)] = 6

• • EJEMPLO 4

• 2 2 2 2 2• (-2) . 3 . (-5) = [(-2).3.(-5)] = 30

• Comprobamos: 4.9.25 = 30.30 36.25 = 900 900 = 900

• Potencia de una división

• n n n• a : b = (a / b)

• La división de potencias de distinta base y del mismo exponente es otra potencia de base la división de las bases y de exponente el exponente común.

• EJEMPLO 1

• 3 3 3 3• 6 : 2 = (6:2) = 3

• Comprobamos: 216 : 8 = 27 , pues 27 = 27

Potencia de una división

• EJEMPLO 2

• 3 3 3 3• 174 : 87 = (174 : 87) = 2 = 8

• EJEMPLO 3

• 4 4 4 4 4• (-8) : 4 = [(-8) : 4] = (-2) = 2 = 16

• EJEMPLO 4

• 2 2 2 2• (-60) : (-20) = [(-60) : (-20)] = 3 = 9

• 2 • a a . a 1• pues ---- = ------------- = ------• 5 a.a.a.a.a 3 • a a

• 2 • a 2 – 5 - 3• y ---- = a = a • 5 • a

• Una potencia an , de BASE a y EXPONENTE negativo n , se define como:

•• -n 1• a = ------• n• a

• Ejemplo

• - 3 1 • a = ------• 3• a

Potencias de exponente negativo

• Ejemplo 1•• - 4 1• 5 = ------• 4• 5

• Ejemplo 2

•• 1 3• ------ = 4• - 3• 4

• Ejemplo 3

•• 1 - 2 3 2 2• ( -- ) = ( -- ) = 3• 3 1•

• Ejemplo 4•• - 4 1 1• (-2) = ------ = ------- • 4 4 • (-2) 2

• Ejemplo 5

•• 1 3 3 • --------- = (-2) = - 2• - 3• (-2)

• Ejemplo 6

•• - 2 - 3 - 5 3 5 3• ( ----- ) = ( ------ ) = -- ( ---- )• 5 2 2•

• Escribir un número en NOTACIÓN CIENTÍFICA es expresarle de tal forma que contenga una sola cifra entera distinta de cero, utilizando para ello las potencias de 10, tanto positivas como negativas.

• 5 • 234002'123 = 2'340.10 • - 5• 0'000065079 = 6'508.10

• Se utiliza cuando el número a expresar es demasiado pequeño o demasiado grande.

• Dado que en ambos casos al redondear ( aproximar ) el número el error cometido es muy pequeño, basta con escribir tres o cuatro cifras significativas, salvo en casos de gran precisión.

• • Edad de la Tierra: 4.122.000.000 años = 4,122.10 9 años• Tamaño de un virus: 0,000000062 m = 6,2.10 - 8 m.

Notación científica

• SUMA en Notación científica

• Para sumar o restar varios números en NC el exponente de 10 debe ser idéntico. Si no lo es se realizarán los oportunos cambios. Igualmente si el resultado no es una expresión en NC.

• Ejemplos:

• 4,122.10 9 + 5,022.10 9 = 9,144.10 9

• 4,122.10 9 + 5,922.10 9 = 10,044.10 9 = 1,004.1010

• Hemos dividido entre 10 el factor 10,044 1,004• Hemos multipicado por 10 el factor 10 9 10 10

• Con ello el resultado queda en NC• • 4,122.10 9 - 3,922.10 9 = 0,2.10 9 = 2.108

• Hemos multipicado por 10 el factor 0,2 2• Hemos dividido entre 10 el factor 10 9 10 8

• Con ello el resultado queda en NC

• Más ejemplos:

• 4,122.10 9 + 5,022.10 8 ? • 4,122.10 9 = 4,122.10 9 Se deja el de mayor exponente.

• 5,022.10 8 = 0,5022.10 9 Se cambia el de menor exponente

• 4,122.10 9 + 0,5022.10 9 = 4,624.10 9

• 4,122.10 -7 + 5,022.10 -5 ? • 4,122.10 -7 = 0,041.10 -5

• 5,022.10 -5 = 5,022.10 -5

• 0,041.10 -5 + 5,022.10 -5 = 5,063.10 -5

• PRODUCTOS en Notación científica

• Para multiplicar un número por otro expresado en NC, se multiplican los factores numéricos y se añade la misma potencia que tuviera.

• Si el resultado no es una expresión en NC, se seguirá operando.

• Ejemplos:

• 2. 4,122.10 9 = (2. 4,122).10 9 = 8,244.10 9

• 3. 4,122.10 9 = (3. 4,122).10 9 = 12,366.10 9 = 1,236.10 10 • • 25. 4,12.10 - 8 = (25. 4,12).10 - 8 = 103.10 – 8 = 1,03.10 - 6

• 4,12.10 - 8 : 3 = (4,12 : 3).10 - 8 = 1,373.10 – 8 • • 4,02.10 8 : 6 = (4,02 : 6).10 8 = 0,67.10 8 = 6,7.10 7

• Más ejemplos:

• 2. 10 7 . 4,122.10 9 = (2. 4,122).(10 7 10 9 ) = 8,244.10 16

• 25. 10 12 .4,12.10 - 8 = (25. 4,12).(10 12 .10 - 8 )= 103.10 4 = 1,03.10 6

• MUY IMPORTANTE:

• 2. 10 7 <> 20 7 • NO SE PUEDEN MULTIPLICAR LAS BASES DE LAS POTENCIAS SI

TIENEN DISTINTO EXPONENTE

• MUY IMPORTANTE:

• 2. ( 3. 5 ) <> (2.3).(2.5)• 2.15 <> 6. 10• 30 <> 60

ESPAD III * Anexo

RAÍZ CUADRADA

Raíz de un número

• EXPRESIÓN RADICAL

índiceraíz

radicando

n

√ a = r

n n

√ a = r si se verifica que r = a, siendo n > 1 un número natural.

Si n = 2 se llama RAÍZ CUADRADA de un número.

Si n = 3 se llama RAÍZ CÚBICA de un número.

RAÍZ CUADRADA EXACTA

• Se llama raíz cuadrada exacta cuando el radicando sea un cuadrado perfecto.

• Ejemplos:

• La raíz cuadrada de 25 es 5 25 = 52

• La raíz cuadrada de 49 es 7 49 = 72

• La raíz cuadrada de 144 es 12 144 = 122

• La raíz cuadrada de 400 es 20 400 = 202

RAÍZ CUADRADA ENTERA

• Se llama raíz cuadrada entera por defecto de un número al mayor entero cuyo cuadrado no supere al número.

• El resto es la diferencia entre el número y el cuadrado de la raíz.• El resto de una raíz cuadrada entera por defecto es menor que el

doble de la raíz más uno.

• Ejemplos:

• La raíz cuadrada de 22 es 4 y el resto es 6 22 = 42 + 6

• La raíz cuadrada de 38 es 6 y el resto es 2 38 = 62 + 2

• La raíz cuadrada de 7 es 2 y el resto es 3 7 = 22 + 3

• La raíz cuadrada de 50 es 7 y el resto es 1 50 = 72 + 1

Errores• ERROR• √(a +b) = √a + √b

• Ejemplo 1

• √(16 + 9) = √16 + √9• √25 = 4 + 3• 5 = 7

• Ejemplo 2

• √(144 + 25) = √144 + √25• √169 = 12 + 5• 13 = 17

• ERROR• √(a – b) = √a – √b

• Ejemplo 1

• √(25 – 9) = √25 – √9• √16 = 5 – 3 • 4 = 2

• Ejemplo 2

• √(169 – 144) = √169 – √144• √25 = 13 – 12• 5 = 1