1

Departamento de Matemáticas

IES. GAIA

San Vicente del Raspeig

Cuaderno de actividades para

preparar la prueba de la asignatura de Matemáticas pendiente de cursos

anteriores

PRIMERA PARTE

Curso: 2º ESO

Nombre: __________________________________________________

Fecha de entrega de las actividades: del 16 al 20 de enero de 2017

Fecha del examen: 6 de Abril de 2017

2

EL NÚMERO NATURAL

PROPIEDAD DISTIRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA.

Si tenemos una suma multiplicada por un número multiplicamos cada sumando por dicho número y luego sumamos los resultados.

Ej.: ( )3 · 5 + 4 = 3 ·5 + 3 ·4

SACAR FACTOR COMUN.

Si tenemos varias multiplicaciones en las que se repite un factor podemos escribirlo fuera de un paréntesis y dentro los números y signos que no hemos sacado fuera del paréntesis.

Ej.: ( )3 ·6 3 ·5 + 3 ·9 = 3 · 6 5 + 9− −

JERARQUIA DE OPERACIONES

+ y -

• Y :

43 y 5

( ) y ( )

Ej.: ( )( ) 23 + 6 + 5 3 + 4 9 + 3 · 4 6 =− −

( ) 23 + 6 + 2 + 4 9 + 3 · 4 6 =−

23 + 8 + 4 9 + 3 · 4 6 =−

3 8 7 9 ·4 – 6 = + + + =

3 8 7 36 – 6= + + + =

48=

TEORÍA DE DIVISIBILIDAD

• Decimos que a es un divisor de b si al dividir b entre a el resto es cero. La cantidad de

divisores que tiene un número es finita.

Por ejemplo: 5 es divisor de 15 porque al dividir 15 entre 5 el resto es cero

• Los múltiplos de un número se obtienen de multiplicar dicho número por todos los

demás. Un número tiene infinitos múltiplos.

{ },...15,12,9,6,33 =•

• Un número es primo cuando los únicos divisores que tiene es el 1 y el propio número.

Por ejemplo: 5 es primo, pero 6 no lo es

3

• Factorizar un número es descomponerlo en producto de factores primos.

• Para calcular el MCD (el mayor de los divisores comunes) seguimos los siguientes

pasos:

- Factorizamos los números.

- Los ponemos en forma de potencia.

- Nos quedamos con los factores comunes elevados al menor exponente.

16 = 2 4

* Debemos tener en cuenta que si no hay ningún factor común el resultado del MCD es 1

• Para calcular el mcm (el menor de los múltiplos comunes) seguimos los siguientes

pasos:

- Factorizamos los números.

- Los ponemos en forma de potencia.

- Nos quedamos con los factores comunes y no comunes elevados al mayor

exponente.

- Ej.: Calcular el m.c.m. de 16 y 12

4

5

REPASO DE DIVISIBILIDAD

1.- Escribe los 10 primeros números primos.

2.- Indica con una cruz los números que sean múltiplos de 2, 3 o 5:

Múltiplo de: 24 36 154 510 7865 2

3

5

3.- Halla el Máximo Común Divisor de los siguientes números:

a) M.C.D. (8,12,28) b) M.C.D. (45,96,125) c) M.C.D. (24,180,420)

4.- Mónica está preparando unos lazos para adornar unos regalos de cumpleaños y quiere cortar tres cintas de 45 cm, 60 cm y 90 cm respectivamente en trozos del mismo tamaño.

a) ¿Qué medida como máximo deben de tener los trozos para que no se desperdicie nada?

b) ¿Cuántos trozos saldrán en total?

5.- En un mercadillo se venden camisetas y pantalones al mismo precio. Por la venta de camisetas se han recaudado 270 € y por la de pantalones 105 €. ¿Cuántas se han vendido de cada clase si se ha hecho al mayor precio posible?

6.- Halla el Mínimo Común Múltiplo de los siguientes números:

a) m.c.m. (8,16,36)

b) m.c.m. (25,30,60)

c) m.c.m. (15,32,48)

6

7.- Dos líneas de autobuses pasan por la misma parada. La línea 1 lo hace con una frecuencia de 36 minutos, mientras que la línea 2 lo hace cada 45 minutos. Si son las 17:00 horas y acaban de coincidir. ¿A qué hora volverán a hacerlo?.

8.- Calcula M.C.D. y m.c.m. de los siguientes números:

M.C.D. m.c.m.

a) 30,40 y 60

b) 60,180 y 300

7

TEORÍA DE NÚMEROS ENTEROS

• Suma y resta de números enteros

Para sumar números enteros distinguimos dos casos:

- Tienen el mismo signo: Se deja el signo que tienen y se suman los valores

absolutos.

Ejemplos: -2-3=-5

4+3=7

- Tienen distinto signo: Se pone el signo del mayor valor absoluto” y se restan los

valores absolutos.

Ejemplos: -5+4=-1

-4+6=2

- Cuando aparecen sumas y restas de más de dos números enteros, lo que hacemos

es sumar los positivos, sumar los negativos y restar los positivos con los negativos

Ejemplo: -5+4+6-7+2-4=12-16=-4

NOTA: Un número no puede ir acompañado de dos signos, cuando esto ocurre aplicamos la regla “qué hace un signo más y menos delante de un paréntesis”

–(-5)=5

• Multiplicación y división de números enteros

- Se aplica la regla de los signos

+=⋅−−−=⋅+−−=⋅−++=⋅++

- Se calcula el valor multiplicando o dividiendo los números naturales (según

proceda)

Ejemplo:

( 5) ( 3) 15

( 10) : 2 5

− ⋅ − =− = −

8

• Operaciones combinadas (jerarquía)

Cuando aparecen operaciones variadas debemos seguir un orden a la hora de resolverlas:

1º) Paréntesis y corchetes.

2º) Potencias y raíces

3º) Multiplicaciones y divisiones

4º) Sumas y restas

Ej.:

[ ][ ]

[ ]

5 4 5 2 ( 6 ) : 3 1 5 ( 6 ) 2 ( 3 )

5 4 1 0 2 1 5 ( 6 ) 2 ( 3 )

5 4 1 2 1 5 6 2 ( 3 )

5 ( 8 ) 1 5 6 2 ( 3 )

4 0 1 5 6 6

6 1 6

5 5

− ⋅ − ⋅ + − + − − + ⋅ − =

− ⋅ − − + − − + ⋅ − =

= − ⋅ − + + + ⋅ − == − ⋅ − + + + ⋅ − == + + − == − ==

9

NÚMEROS ENTEROS

1.- Calcula las siguientes sumas y restas de números enteros:

a) 9 + (-10) – (-8) + 6 -14 + (-12)

b) 3 – (4 -6) – (-8)

c) 4 – (6 -8) – [7 – (-3 -2)]

2.- Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros:

( ) ( ) 12 3 2a) ÷− − ⋅ −

( ) ( )b 12 3 8 2) ÷ ÷− ⋅ − −

( ) ( ) ( )c) 2 5 4 1− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

3.- Escribe el término que falta:

( ) ( ) -30___35- c 5___210 b 12___2-3 =)=÷)=a) ⋅⋅⋅−⋅⋅

4.- Realiza las siguientes operaciones combinadas:

( ) 3- 6-2 3 2 3-10a) +⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )b 18 3 16 6 8 2 3 5 1) + ÷− − ⋅ − − − − ⋅ − ⋅ −

5.- Los termómetros de una ciudad marcaban - 4º C a las ocho de la mañana y 12º C a las dos de la tarde. ¿Qué variación de temperatura ha habido entre esas dos horas?

10

6.- Si Marco Antonio nació en el año 45 a. C. y a los treinta años comenzó a escribir un libro que tardó veinte años en acabar. ¿En qué año acabó el libro?

7.- Practica más:

a) ( ) ( ) ( )3 10 4 6 8 7 3 5 9+ + +− − − − − − −

b) ( ) ( ) ( ) ( )8 4 12 2 4 2 9 12÷ ÷ +− − − − − ⋅ −

11

TEORÍA DE POTENCIAS

aaaaaa vecesnn ...⋅⋅⋅⋅= Se lee a elevado a n (a es la base y n es el exponente)

Se multiplica la base tantas veces como marca el exponente

93332 =⋅=

Para calcular el valor de una potencia con la calculadora utilizamos la tecla ¿̂

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los

exponentes

53232 3333 ==⋅

=⋅+

+mnmn aaa

2. Cociente de potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los

exponente

43737 333:3

:

==

=−

−mnmn aaa

3. Potencia de una potencia, se deja la base y se multiplican los exponentes

( )( ) 63232 333 ==

=⋅

⋅mnmn aa

4. Todo número elevado a cero vale uno

13

1

0

0

=

=a

5. Todo número elevado a uno es el propio número

331

1

=

= aa

6. Cuando tenemos un producto elevado a un número, debemos elevar cada factor

( )( ) 333

5252 ⋅=⋅

⋅=⋅ nnnbaba

7. Cuando tenemos un cociente elevado a un número, elevamos a dicho número

tanto el numerador como el denominador

12

3

33

5

2

5

2 =

=

n

nn

b

a

b

a

8. Cuando tenemos un número elevado a un número negativo se le da la vuelta

quedando la base en el denominador con el exponente positivo

2

2

3

13

1

=

=

−

−n

n

aa

9. Cuando tenemos una fracción elevada a un número negativo lo que hacemos es

calcular la inversa quedando el exponente positivo

44

2

3

3

2

=

=

−

− nn

a

b

b

a

10. Cuando la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo, en

cambio si el exponente es impar el resultado será negativo

( ) 5544

121222

3)3(33

)()(

−=−=−

−=−=− ++ nnnn aaaa

13

POTENCIAS

1.- Calcula el valor de las siguientes potencias:

32

a) 5

23

b) 2

−

35

c) 4

−

2.- Realiza utilizando las prioridades de las operaciones:

( )2 3a) 3 2 3 3 − ⋅ −

2 31 3 2b)

2 2 4

− −

2 33 5 1

c) :2 4 2

− + −

3.- Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2a) 5 9 : 7 12 : 2 4 5 :10+ + − − ⋅

3 32 5

b) 5 3

⋅

2 2 21 2 5

c) :3 3 6

⋅

4.- Reduce estas expresiones a una sola potencia y calcula su valor si el resultado no es muy grande:

( ) ( ) ( )8 2 4a) 7 : 7 7 − − ⋅ −

( ) ( )6 4 3b) 2 2 . 2 2⋅ ⋅

52 2 4

2 2 2c) :

3 3 3

⋅

14

5.- Indica los valores de las siguientes potencias:

( )

3

1 4

23 0 4

2a) 2 b) c) 3

3

2d) e) 2 f) 2 g) 2

5

−− −

−− −

− −

6.- Reduce a una sola potencia y calcula su valor:

( )3 2 5a) 10 : 10 10−⋅

5 22 2 2

b) :3 3 3

− − ⋅

c)( )

( )

54 3

72 4 3

x x

x x x

−

−

⋅

⋅ ⋅

15

NOTACIÓN CIENTIFICA

Es aquella expresión que utilizamos para escribir cantidades o muy grandes o muy pequeñas

por medio de la expresión

a,bc 10± n

siendo a ≠0

Ej.: 6.12 109

3,13 10− 11

¿Cómo expresar una cantidad muy grande en notación científica?

Desplazamos la coma hasta dejar una sola cifra entera (distinta de cero) y el número de lugares

que hemos desplazado la coma será el exponente positivo de la potencia de base 10.

Ej.: Expresar en notación científica 3456 000 000 000 000 000

3,456 1018

18 lugares

¿Cómo expresar una cantidad muy pequeña en notación científica?

Desplazamos la coma hasta dejar una sola cifra entera (distinta de cero) y el número de lugares

que hemos desplazado la coma será el exponente negativo de la potencia de base 10.

Ej.: Expresar en notación científica 0’000 000 000 000 2468

0’000 000 000 000 2’46 2,468 1310−⋅

13 lugares

Para utilizar la calculadora con notación científica nos servimos de la tecla EXP

16

NOTACIÓN CIENTÍFICA

1.-Expresa en Notación Científica:

a) 45 670 000 000

b) 120 000 000 000 000

c) 10 200 000 000 000

d) 0,000 3

e) 0,000 012

f) 0,000 000 000 104

2.- Escribe en notación decimal (con todas sus cifras):

a) 85,6 10⋅

b) 43 10−⋅

c) 133,123 10⋅

3.- Realiza con la calculadora: (si no da exacto aproxima a las centésimas)

a) ( ) ( )14 123,6 10 1,2 10⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )10 26b) 1,8 10 2 10−⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )9 13c) 2,5 10 5 10− −⋅ ÷ ⋅

4.- Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Tomando que el año tiene 365 días y la velocidad de la luz es de 300.000 Km/s, expresa un año-luz en kilómetros y en metros. Aproxímalo con 3 cifras significativas.

17

TEORÍA DE RAÍCES

ban m = → bn= am

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA RADICACIÓN

Si en una raíz multiplicamos o dividimos al exponente del radicando y al índice de la raíz por un mismo número obtenemos una raíz de igual valor o equivalente.

Ej.: 6 5 10123 3=

Para resolver una raíz con la calculadora utilizamos la tecla x

1.- Realiza sin calculadora:

3 9 4a) 4 2

4 2 25⋅ + − ⋅

21 1 4

b) 2 3 36

− ÷

29 36 2

c) 925 100 3

÷ − ⋅

2.- Realiza con la calculadora: (si no da exacto aproxima a las centésimas)

5a) 63

3b) 203,45

74c) 3 10⋅

d) ( )435 2,7 10⋅

18

FRACCIONES:

- Propiedad fundamental de las fracciones.

- Si tenemos una fracción y multiplicamos o dividimos a los dos términos de la fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente.

- Ej.: 4

3

5 20

15

- Cómo simplificar fracciones:

Podemos seguir dos caminos:

o Aplicamos la propiedad fundamental con divisiones sucesivas:

Ej.:

12

9

: 3 4

3

o Calculamos el m.c.d. de los dos términos de la fracción y aplicamos la propiedad fundamental.

Ej.:

12

9

: 3 4

3

m.c.d (9,12) = 3

Convertir fracciones a igual denominador

Ej.: Convertir a igual denominador las siguientes fracciones:

- 3

1,

5

2,

4

3

- Para ello seguimos los siguientes pasos:

- 1.- Calculamos el M.C.M. de los denominadores

- 4 = 2 2

- 5 = 5 M.C.M (3,4,5) =2 2

·3 · 5 = 60

- 3 = 3

- Lo ponemos como nuevo denominador

; ; ;60 60 60

19

2.- Aplicamos la propiedad fundamental de las fracciones.

45

60;24

60;20

60

Ordenar fracciones

1. A igual denominador es mayor fracción la que mayor numerador tiene.

Ej.: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones 3 2 7 9 4

7 7 7 7 7, , , ,

9 7 4 3 2

7 7 7 7 7> > > >

2. A igual numerador es mayor la fracción que menor denominador tiene.

Ej.: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones 9 9 9 9 9

7 3 2 16 5, , , ,

9 9 9 9 9> > >2 3 5 7 16

>

2. Si las fracciones tienen distinto denominador y numerador.

a. Convertimos las fracciones a igual denominador (m.c.m. y propiedad fundamental de las fracciones).

Ej.: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones 3 2 5 9 4

4 5 2 10 4, , , ,

M.C.M. (2,5,4,10) = 20

15 8 50 18 20

20 20 20 20 20, , , ,

b. Después aplicamos la teoría del caso A.

50 20 18 15 8

20 20 20 20 20> > > >

5 4 9 3 2

2 4 10 4 5> > > >

- Suma y resta de fracciones

Se nos pueden presentar dos casos:

1. Que las fracciones tengan igual denominador: Para resolverlo dejamos el mismo

denominador y sumamos los numeradores.

Ej.: Sumar y restar las siguientes fracciones 3 5 6

4 4 4+ −

3+5+6 14 7= =

4 4 2

20

2. Que las fracciones tengan distinto denominador: Para resolverlo primero convertimos

a igual denominador y luego aplicamos la teoría del caso anterior.

3. Que la fracciones tengan distinto denominador: Para resolverlo seguimos los

siguientes pasos:

3 5 6

2 3 4+ −

I. Convertimos las fracciones a igual denominador (m.c.m. de los denominadores y

aplicamos la propiedad fundamental).

18 20 18

12 12 12+ −

II. Aplicamos la teoría del caso anterior.

18 20 18 20

12 12 12 12+ − = :4 =

5

3

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS:

Ej.: 1 1 1 2

2 4 6 3+ =

− −

1º Resolvemos los paréntesis o corchetes más interiores.

1 1 1 4

2 4 6 6+ =

− −

1 1 5

2 4 6=

= − −

1 3 10

2 12 12=

= − −

=

−−=12

7

2

1

1 7

2 12+= =

6 7

12 12+= =

13

12=

21

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:

Para multiplicar dos números racionales no es necesario que tengan el mismo

denominador.

Multiplicamos en paralelo.

Ej.: ( )3 33 3 9

5 4 5 4 20= =

∗ −− −∗∗

22

DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES:

Al igual que en la multiplicación no es necesario que tengan igual denominador.

Multiplicamos en cruz

Ej.: ( )

3 2 3 7 21:

5 7 5 2 10= =

− ∗∗ − −

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA

Aarón se ha comprado una bicicleta que paga en tres mensualidades. En el primer plazo paga

1

4 de su valor, en el segundo plazo entrega 2/5 de su valor y en el último plazo entregó 3 500 euro.

Averiguar:

a) El importa que paga Aarón por su bicicleta.

b) Lo que paga cada mes

c) La fracción que representa lo pagado en el último mes.

Datos: compra una bicicleta.

Paga en tres plazos. a) 1º Averiguar la fracción de lo pagado en dos meses.

1º plazo → ¼ de su valor

1

4

2

5+ =

2º plazo → 2/5 de su valor 4= 22

3º Plazo →3 500euro 5=5 m.c.m. (4,5) =20

a) ¿Euro vale la bici?

b) ¿Euro vale cada mes?

5

20

8

20

13

20+ = ⇒

de veinte partes ha pagado 13

c) La fracción que representa lo pagado último mes 2º Averiguaremos cuántas partes quedan para pagar en el tercer plazo.

20

20

13

20

7

20− =

⇒ Siete partes de 20 paga en el tercer plazo.

3º Averiguaremos cuántas euro hay en cada parte

3 500 : 7 = 500 euro. ⇒ hay en 1 /20 (cada una de las 20 partes)

4º Sabemos que hay 20 partes y que en cada una hay 500 euro.

23

20*500 = 10.000 euro

b) 10 000 : 4 = 2 500 10 000 : 5 = 2 000

2 500 * 1 = 2 500 euro 2 000 * 2 = 4 000 euro

c) Ver la fracción obtenida en el 2º punto del apartado a

7 / 20 3500 35 7

:100 :510000 100 20

= = =

REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO RACIONAL EN LA RECTA RACIONAL:

Se nos pueden presentar dos casos:

a) El número racional viene representado por una fracción propia ( numerador < denominador)

Ej.: 1

4

i. Localizamos el intervalo ( dividiendo)

ii.

10 4

20 0,25 0 < 1

4 < 1

0

iii. Dividimos el intervalo en tantas partes como indica el denominador.

- 2 - 1 0 1

- 2 - 1 0 1

(Completa con lo explicado el dibujo de la parte superior)

24

b) El número racional viene representado por una fracción impropia ( numerador > denominador)

Ej.: 7

3

i. Localizamos el intervalo transformándolo en un quebrado mixto 7 1

1

1

23

+

2 < 1

23

+ < 3

ii. Dividimos el intervalo en las partes que indica el denominador del

quebrado mixto.

-2 -1 0 1 2 3

iii. Cogemos (lo más próximo al cero) las partes que indica el numerador de la fracción del quebrado mixto.

-2 -1 0 1 2 3

FRACCIONES GENERATRICES

Es la fracción que puede expresar a un número decimal periódico o finito.

a) Fracción generatriz de un número decimal finito: Ej.: Busca la fracción generatriz de 1,5

Multiplicamos y dividimos al número decimal por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene.

2

3

10

15

10

10*5,15,1 ===

Busca la fracción generatriz de 1,725 en tu cuaderno.

b) Fracción generatriz de un número decimal periódico puro.

Se llama periódico puro porque el periodo (grupo de cifras decimales que se repite) empieza inmediatamente después de la coma..

Ej.: Busca la fracción generatriz de 0,3͡

Para buscar la fracción generatriz ponemos:

a) Como numerador el número sin la coma menos la parte entera.

b) Como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.

0.35= 35− 099

25

c) Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto.

Se llama periódico mixto porque el periodo empieza después de una cifra decimal no periódica.

Ej.: Busca la fracción generatriz de 2,372͡

Conclusión: La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto tiene:

a) por numerador el número sin la coma menos la parte entera y decimal no periódica

b) por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo y tantos ceros como cifras no

periódicas hay.

2.372= 2372− 237990

- Calcular la fracción de la fracción de un número.

Ej.: Calcular los 3/5 de 250.

1.- Dividimos el número entre el denominador.

250 : 5 = 50 hay en 1/5

2.- El resultado lo multiplicamos por el numerador.

50 * 3 =150

Ej.: Calcular los 3/5 de 250.

Por interpretación de fracción:

250 : 5 = 50 hay en 1/5

50 * 3 = 150

26

FRACCIONES

1.- Representa gráficamente: a) 3

7 b)

4

5− c)

22

3 d)

11

6−

2.- Simplifica las siguientes fracciones:

8 30 54a) b) c)

56 36 90

84 90 2205d) e) f)

180 210 5775

−

−

3.- Expresa en forma de fracción: (simplifica si se puede)

a) 23,4

b) -2,8⌢

�c) 0,372

d) - 0,05

e) 8,3 6⌢

�f) 0,69

4.- Realiza las siguientes operaciones:

7 5a) 1

8 3− +

3 7 3 13b)

4 10 5 20− + −

3 1 5c) 2

4 3 9− − +

3 1d) 2 3

5 3

+ − −

3 1 1e) 1

4 3 4

− − +

27

5.- Realiza las siguientes operaciones:

1 1a) 2 : 6

4 3

⋅ ⋅

4 1b) : 2

9 3

⋅

3 5 1c) 1 :

4 8 2

− −

1 2 7d) : 2 1

5 5 10

− ⋅ −

1 3 10 4e)

2 5 7 5

+ ⋅ −

1 2 5f) 4 :

3 3 6

− −

3 1 1 2g) : 3

4 2 6 3

− ⋅ −

1 3 22

2 4 3h)

3 11

4 7

+ ⋅ −

+ ⋅

6.- Las dos quintas partes de los 2500 trabajadores de una empresa son mujeres.

a) ¿Cuántos hombres hay en la empresa?

b) Si 800 trabajadores del total tienen gafas, ¿Qué fracción representan?

28

7.- Un terreno tiene 40.000 m2. Se van a dedicar las tres octavas partes a viviendas, la quinta parte a un Polideportivo, la cuarta parte a zonas verdes y el resto para un Centro Escolar. .Averiguar

a) ¿Qué fracción del total corresponde a este Centro?

b) ¿Qué superficie se le va a dedicar?

8.- Rocío pinta las dos terceras partes de una valla por la mañana y la cuarta parte por la tarde. Averiguar:

a) ¿Qué fracción de la valla le queda por pintar?

b) Si la valla tiene 48 m de longitud, ¿cuántos metros lleva pintados?

29

PROPORCIONALIDAD:

- Razón: Es el cociente entre dos números.

- 3

5= 0,6 ( 3 antecedente, 5 consecuente, 0,6 constante de proporcionalidad)

- Proporción: Es la igualdad entre dos razones con la misma constante de proporcionalidad.

3= 0,65

12= 0,6

20

3 12=5 20

(Extremos 3 y 20 y los medios 5 y 12)

- Propiedad de las proporciones. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

3 12=5 20

3 · 20 = 5 · 12

60 = 60

- Regla de tres simple directa.

- - Diremos que una regla de tres es: - Simple: porque sólo compara dos magnitudes. - Directa: cuando la relación entre las cantidades de las dos magnitudes aumenta o disminuyen ( aumentan las dos o disminuyen las dos)

Ej.: Un excursionista recorre 8 km en dos días. ¿Cuántos días empleará en recorrer 24 km?

Para resolverla igualamos las razones de las dos magnitudes

x

2

24

8 = Ahora averiguamos el término que falta en la proporción

8 * x = 24 * 2 Resolvemos la ecuación

24*2

8

6 días

x

x

=

=

30

Tanto por ciento:

Se simboliza utilizando como símbolo %.

Es una aplicación de la regla de tres simple directa.

Ej.: En una tienda anuncian un descuento del 25 % de descuento. Si me compro una

cazadora que marca 250 € ¿Cuántos € me descontarán?

Precio/ € D Descuento/€

100 25 x

25

250

100 =

250 x

100 * x = 250 * 25

50,62

100

25*250

=

=

x

x

- Regla de tres simple inversa.

- Diremos que una regla de tres es: - Simple: porque sólo compara dos magnitudes. - Inversa: cuando al comparar las cantidades de las dos magnitudes cuando una aumenta la otra disminuye o viceversa.

Ej.: Cuatro obreros hacen 20 m de zanja en 10 días. Si queremos terminarla en cinco

días cuántos obreros hemos de contratar.

Para resolverla al sacar la proporción cambiamos el orden de la razón donde no se encuentra la “x”.

4

x= 5

10

4 ·10= 5 · x

x= 4 ·10

5

x = 8

31

Regla de tres compuesta.

- Se llama regla de tres compuesta porque compara más de dos magnitudes.

Ej.: En 15 días una persona ha recorrido 405 km andando 9 horas diarias. ¿Cuánto

tiempo empleará una persona en recorrer 720 km andando 8 horas diarias?

Para resolverla comparamos cada magnitud con la magnitud donde se encuentra la incógnita para saber si la relación es directa o inversa

Tiempo / días Espacio/ km Tiempo/horas

15 405 9

x 720

Luego igualamos la razón donde se encuentra la incógnita con el producto de las otras razones teniendo presente que si la relación de la magnitud es inversa hemos de invertir el orden de la razón.

15 405 8

720 9=

x∗

15 405 8

720 9=

x

∗∗

15 720 9 405 8= x∗ ∗ ∗ ∗

97200 = 3240 x

97200

3240

30

= x

= x

Reparto directamente proporcional.

Ej.: Repartir 36 caramelos entre dos niños de 7 y 5 años de forma directamente

proporcional a sus edades.

1.- Empezamos colocando las dos magnitudes:

Edades/años Caramelos/nº

7 x

5 36-x (36-x porque al primero le damos ya x)

2.- Como nos ha dicho que la relación es directa la resolvemos como si fuese una regla de tres directa.

32

x

x

−=

365

7

7 * (36-x) = 5252 – 7 x = 5 x

o 252 = 7 x +5 x

o 252 = 12 x

o 252

= x12

x= 24

Reparto inversamente proporcional.

Ej.: Repartir 36 caramelos entre dos niños de 7 y 5 años de forma inversamente

proporcional a sus edades.

1.- Empezamos colocando las dos magnitudes:

Edades/años Caramelos/nº

7 x

5 36-x (36-x porque al primero le damos ya x)

2.- Como nos ha dicho que la relación es inversamente proporcional la resolvemos como si fuese una regla de tres inversa.

x

x=

−367

5

180-5x=7x

180=7x+5x

180 12

180

12

15

= x

= x

= x

33

1.- Por 3 horas de aparcamiento pagué 2,4 €. ¿Cuánto pagaré hoy si he dejado el coche a las 9 de la mañana y lo recogeré a las 5 de la tarde?

2.- Para descargar un camión en una hora son necesarios 4 operarios. ¿Cuántos se necesitarán para descargarlo en media hora? ¿Y para descargarlo en 20 minutos?

3.- Un grupo musical vende 12500 discos en 10 días. Si sigue con el mismo ritmo de venta ¿en cuántos días alcanzarán los 50000 discos?

4.- Un depósito tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, el depósito se vacía en media hora. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

5.- Un padre les da la paga a sus 3 hijas, de forma que a cada una le corresponde una cantidad directamente proporcionalidad a su edad. La mayor tiene 20 años y recibe 50 €. ¿Cuánto corresponderá a la mediana y a la menor si tienen 15 y 9 años respectivamente?

6.- Un conductor invierte tres horas y media en un recorrido de 329 Km. ¿Cuánto tiempo invertirá en otro recorrido, en condiciones similares, de 282 Km de longitud?

34

7.- Un autobús hace un recorrido de 8 horas circulando a una velocidad media de 75 Km/h. ¿Cuánto tardará en hacer el mismo recorrido circulando a 80 Km/h?

8.- En una granja, 20 vacas han consumido 1000 Kg de pienso en un mes. ¿Cuánto pienso consumirían 10 vacas en un año y medio? ¿Cuánto tiempo tardarían 42 vacas en comerse 1500 Kg de pienso?

9.- Una empresa sube los sueldos un 5%.

a) Si Pedro ganaba 1452 €, ¿cuánto ganará ahora?

b) Después de la subida, Ana cobra 1890 €. ¿Cuál era su sueldo anterior?

10.- Si Yolanda hace un depósito de 3000 € y al cabo de 1 año tiene 3150 €, ¿qué interés le han aplicado?

11.- Entre 3 amigos compran un boleto que resulta premiado con 600 €. Marcos puso 3 € para comprar el boleto, Adrián 2 € y Aurora 10 €. ¿Cómo deberían repartirse el premio?

35

PASOS PARA LA RESOLUCIÓ DE ECUACIO ES DE PRIMER GRADO

CO U A I CÓG ITA:

3 ( 2 · x – 4 ) = 2 · x + 4

6 · x – 12 = 2· x + 4

6 · x – 2 · x = 12 + 4

4 · x = 16

x= 164

x = 4

171

56

56171

4525361809

4518025369

4518025)4(9

15

15.3

15

12.15

15

5.5

15

)4(3.3

1535)3,5(..

1

3

1

12

3

5

5

)4·(3

3123

5

5

)4·(3

−=

=−+−=−

+=+−+=+−

+=+−=⋅=

+=+−

+=+−

x

x

xx

x

xx

xx

mcm

xx

xx

NOTA: Si alguno de los términos es un número racional, tendremos que eliminarlo. Para ello debemos quitar los denominadores utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m) y luego aplicamos el método de resolución de ecuaciones ya expuesto

1.- Eliminamos los paréntesis utilizando la propiedad distributiva.

2.- Ponemos los términos que tienen la incógnita en un mismo miembro (para ir de un miembro a otro se va con la operación (signo) contrario).

3.- Resolvemos operaciones

4.- Despejamos la incógnita (x), la dejamos sola

1.- Hacemos una lectura rápida del problema

Un coche sale de la ciudad A en dirección a

la ciudad B con una velocidad de 110 km/h.

Al mismo tiempo sale otro de la ciudad B a

la ciudad A con una velocidad de 70 km/h.

Si la distancia entre la ciudad A y V es de

540 km, ¿cuánto tiempo tardarán en

cruzarse los dos automóviles?

36

2.- Ponemos los datos e intentamos hacer un dibujo de la situación a la vez que hemos de tener presente a que magnitud le asignaremos la incógnita

Datos:

v= 110km/h v’ = 70km/h

540 km

3.- Buscamos una fórmula que nos permita relacionar los datos.

E = V * T

4.- Sustituimos las letras por los valores numéricos y resolvemos la ecuación.

Como los dos van uno en sentido contrario al otro en una hora entre los dos han recorrido 180 km., es decir equivale a una velocidad de 180 km/h

540 = 180 * t

t

t

=

=

3

180

540

5.- Comprobamos el resultado. Móvil que sale de A recorre un espacio de :

E = 110 * 3

E = 330 km.

Móvil que sale de B recorre un espacio de :

E = 70 * 3

E = 210 km

Entre ambos recorren:

330 + 210 = 540 km la distancia que separa a las dos ciudades.

37

ECUACIONES Y PROBLEMAS

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado sin denominador:

a) 3 6 4 8 10 3x x x− − = − +

b) ( ) ( )3 4 3 2 1 1x x x− ⋅ + = ⋅ + +

c) ( )3 2 3 3 1x x− − + = −

d) ( ) ( ) ( )6 2 2 3 3 1 9 7x x x x− ⋅ + = ⋅ − − −

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominadores:

a) 3

1 32 2

x x+ = −

b) ( )2 93 3 2 4

5 10

xx x− = − ⋅ −

38

c) ( ) ( )3 1 15 1 3 3

2 3 6x x x⋅ + + = ⋅ − +

d) 2 1 1

22 6

x xx

+ +− = −

e) 1

3 1 12 3 2

x xx

− ⋅ + = ⋅ +

f) ( )2 5 24 3 2 3

3 4 5

xx

⋅ − = − ⋅ −

PROBLEMAS DE ECUACIONES

1.- Si a la mitad de un número le sumas 6 unidades obtienes el mismo resultado que si a su doble le restas 6. ¿Cuál es ese número?

39

2.- Un saco contiene el doble de kilos de patatas que otro y entre los dos contienen 66 Kg. ¿Cuántos kilos de patatas contiene el saco que pesa menos?

3.- Paula tiene un montón de monedas de 20 céntimos y otro montón con monedas de 50 céntimos. Si en total tiene 18 monedas que suman 6 €, ¿cuántas son de 20 céntimos?

4.- El perímetro de un rectángulo es de 32 cm y la altura mide 4 cm menos que la base. Halla sus dimensiones.

5.- Diego coge las dos quintas partes de los caramelos que contiene una bolsa y su hermana Delia, la mitad de los que quedan. Si al final solo quedan 6 caramelos, ¿cuántos contenía inicialmente?

6.- Luis y Rocío han cogido cada uno un puñado de caramelos en la Cabalgata de Reyes. Luis le dice a Rocío: si me dieras dos de tus caramelos, tendría el doble que tú. Y Rocío le responde: pues sería más justo que tú me dieras a mí dos y así tendríamos los dos la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos cogió cada uno?