Espacios Vectoriales Reales-n Dimensionales-2014

8/16/2019 Espacios Vectoriales Reales-n Dimensionales-2014

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA

MATEMÁTICA BÁSICA

ESPACIOS VECTORIALES REALESN-DIMENSIONALES

RESOLUCIÓN DE CONSEJO DE FACULTAD Nº 004-2012-CF-FIME

ROGELIO EFREN CERNA REYES

SEMESTRE 2012-ACALLAO-PERU



Espacios Vectoriales Reales n-Dimensionales

Rogelio Efren Cerna Reyes 2

PREFACIO

uando nos iniciamos en el estudio de la matematicas a nivel universitario, el primer curso es el de Matemática Básica con alguno de los enfoques cartesianoo vectorial.

En estas dos ultimas decadas el enfoque vectorial es el preferido por losestudiantes de ingeniería, por una razón simple, que los temas de los cursos deingenieria requieren de una interpretación conceptual y gráfica en la formavectorial.

Lo cual, es motivo mas que suficiente, para presentar la estructura matemáticaEspaciós Vectoriales Reales n-Dimensionales de manera grafica, conceptual ycon aplicaciones practicas como primer tema a desarrollar en el primer curso de

Matemática en Ingenieria.A continuación se tiene la presentación axiomatica del espacio vectorial real n-dimensional, paralelismo, ortogonalidad, producto escalar, norma, proyecciónortogonal, componente de vectores en , vectores en , producto vectorial,triple producto escalar, torque, trabajo, la recta y el plano en .

Este primer trabajo queda ha vuestra disposición, especialmente de losestudiantes de Ingeniería Mecánica y de Energía de la Universidad Nacional delCallao.

El autor.

C





INDICE

1. INTRODUCCIÓN AL ESPACIO VECTORIAL REAL RN ......................................................................... 4

2. PRESENTACION AXIOMATICA ....................................................................................................... 4

3. COMBINACION LINEAL DE VECTORES ........................................................................................... 5

3.1. INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES ....................................................... ............................. 5 3.1.1. VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES ........................................................................... 6 3.1.2. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES ....................................................................... 6

4. DIFERENCIA DE VECTORES ............................................................................................................ 6

5. REPRESENTACION GRAFICA DE VECTORES .................................................................................... 6

6. INTERPRETACION GRAFICA DE LAS OPERACIONES EN R2 Y EN R

3 .................................................. 7

7. VECTORES BASE ESTANDAR .......................................................................................................... 9

8. PARALELISMO DE VECTORES EN RN ............................................................................................. 10

9. PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO ESCALAR ............................................................................. 10

10. NORMA O LONGITUD DE UN VECTOR EN RN ............................................................................... 11

11. ANGULO ENTRE DOS VECTORES EN RN ........................................................................................ 11

12. ORTOGONALIDAD DE VECTORES EN RN ....................................................................................... 12

13. VECTOR UNITARIO ...................................................................................................................... 13

14. PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPONENTE DE UN VECTOR EN RN ............................................ 24

15. VECTORES EN EL ESPACIO R3 ....................................................................................................... 33

15.1. PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE VECTORES ................................................................... 36

15.2. PRODUCTO ESCALAR ......................................................................... ...................................... 36 15.3. PRODUCTO VECTORIAL............................................................ ................................................ 36 15.4. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR .................................................................................................... 38 15.5. TORQUE ................................................................................................................... ................ 39

16. LA RECTA EN EL ESPACIO R2 ........................................................................................................ 42

16.1. DIVERSAS ECUACIONES DE LA RECTA .......................................................... ........................... 42 16.2. PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE RECTAS ............................... ...................................... 43 16.3. ANGULO ENTRE DOS RECTAS ............................................................. ...................................... 44 16.4. OTRAS FORMAS DIVERSAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ...................................................... 45

SEGMENTO DE RECTA ....................................................................................................................... 46

17. LA RECTA EN EL ESPACIO R3 ........................................................................................................ 48

17.1. POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS ................................. ................................................. 50 17.2. ANGULO ENTRE RECTAS .......................................................... ................................................ 52 17.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ....................................................... ........................... 53 17.4. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN ..................................................................... 53

18. EL PLANO EN R3 .......................................................................................................................... 54

18.1. PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE PLANOS ..................... ................................................. 56 18.2. ANGULO ENTRE DOS PLANOS ............................................................................................. ..... 56 18.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ................................................................ ................... 57 18.4. POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO ................................................... ..... 57 18.5. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO NO PARALELOS ................................................... 57

18.6. DISTANCIA ENTRE PLANOS ..................................................... ................................................. 58 16. REFERENCIALES ........................................................................................................................... 64





ESPACIOS VECTORIALES REALES N-DIMENSIONALES

1. INTRODUCCIÓN AL ESPACIO VECTORIAL REAL R n

Recordemos:El producto cartesiano × , ⁄ ∈ , ∈ es el conjunto de paresordenados de números reales.El producto cartesiano

× ×

,

,

∈ ,

∈ ,

∈ ⁄ es el

conjunto de ternas ordenadas de números reales.

En general, el conjunto de n-uplas ordenadas de números reales ≥ 1, serepresenta por ; es decir , , … , ∈ , 1,2, … , ⁄ Donde se cumple:

IGUALDAD DE N-UPLAS

Sean , , … , y , , … , dos n-uplas en , , … , , , … , ⟺ , 1,2, … , A los elementos de

se les denomina puntos y se les denota de la forma

, , … , . En donde se define:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN

Sean los puntos , , … , y , , … , de . Se define la distanciade a , denotado , , como el número dado por:

, ⋯

Los elementos o puntos de

serán llamados vectores y se denotan de la forma

, , … , , … ,

El número , en la entrada , se denomina la i-ésima componente del vector .

2. PRESENTACIÓN AXIOMÁTICA

En se definen las operaciones:

ADICIÓN DE VECTORES

Sean , , … , y , , … , dos vectores en . Se define laadición de los vectores

y

, denotado por el vector

, como la adición de las

componentes respectivas

, , … ,





MULTIPLICACIÓN DE VECTORES POR ESCALARES

Sea , , … , un vector en y un escalar ∈ . Se define lamultiplicación del vector

por el escalar real

, denotada por el vector

, como la

multiplicación de con las componentes del vector , , … , Al conjunto se le denomina ESPACIO VECTORIAL REAL1 y suselementos o puntos reciben el nombre de VECTORES si y solo si satisfacen lossiguientes axiomas:

AXIOMAS PARA LA ADICIÓN

A1. Para todo , de se cumple ∈ (Clausura o cerradura)A2. Para todo

,

de

se cumple

(Conmutatividad)

A3. Para todo

,

,

de

se cumple

( ) ( ) (Asociatividad)

A4. Para todo de ∃! vector 0,0,…,0 de , llamado el origen o vectorcero o nulo, tal que (Existencia y unicidad del elemento o vectornulo aditivo)

A5. Para todo , , … , de ∃! vector – , , … , de, llamado el opuesto o inverso aditivo de , tal que (Existencia y unicidad del elemento o vector inverso aditivo)

AXIOMAS PARA LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES

M1. Para todo

de

y todo escalar

de

se cumple

∈ (Clausura o

cerradura)M2. Para todo , de y todo escalar de se cumple ( ) M3. Para todo de y todo escalar , s de se cumple M4. Para todo de y todo escalar , s de se cumple M5. Para todo de se cumple 1 , 1 es el número real uno.

En adelante nos referiremos al espacio vectorial real como el espacio vectorial

3. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES2

Sean , ,…, vectores del espacio vectorial y ciertos escalares reales, , … , . Un vector en escrito de la forma: ⋯ Es una combinación lineal de los vectores , ,…, con coeficientes, , … , .La expresión ⋯ Es llamada combinación lineal nula de los vectores , ,…,

3.1. INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

1 Adaptado de: Algebra Lineal Con Aplicaciones y Matlab (KOLMAN, 1999). Pag. 1972 Adaptado de: Algebra Lineal Con Aplicaciones y Matlab (KOLMAN, 1999). Pag. 207





Se refiere a vectores linealmente dependientes o a vectores linealmenteindependientes.

3.1.1. VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTESLos vectores , ,…, son linealmente dependientes (LD) si existe almenos un escalar no nulo talque

⋯

3.1.2. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTESLos vectores , ,…, son linealmente independientes (LI) si lacombinación lineal nula ⋯ Implica 0

4. DIFERENCIA DE VECTORES

Sean

, , … , y

, , … , vectores en

. Se define

() Lo que equivale a restar las componentes respectivas , , … ,

Ejercicio 1. Demostrar que:0 , para todo vector de

Demostración

0 0 , pues

0 ( ) , pues 0 1 , pues ( ) ( ) ,1 0 1 , pues 1 , pues 0 , pues 1 , pues Por lo tanto: 0 , para todo vector de

Ejercicio 2. Demostrar que:1.

, para todo escalar real

2.

⇒ 0 ⋁ 0 3. 2, para todo vector de

4. ⟹ 5. , ≠ ⟹

5. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE VECTORES

Todo vector en o en puede ser representado gráficamente en el plano oen el espacio, como:

Un punto Un radio vector o vector de posición de un punto. Es decir con una flecha

con origen en el origen de coordenadas y su extremo en un punto del planocon coordenadas las componentes.





Figura 4: Radio vector o vector de posición del punto ,,

,

,

Z

Y

X

Una flecha o segmento dirigido. El origen es un punto cualquiera y elextremo será un punto cualquiera, de modo que

6. INTERPRETACIÓN GRAFICA DE LAS OPERACIONES EN R 2 Y EN R 3

Q

P

,

O

Y

X

Un vector en corresponde a un punto en

Un vector en corresponde a un punto en

,

,

O

Z

Y

XO

Y

X

,

X

Figura 1: Un vector en o en es representado como un punto.

Figura 2: Radio vector ovector de posición del punto,

Figura 3: Vector con puntode inicio P y punto final Q

Figura 6: La suma de vectores puedeser representado por la flecha que estasobre la diagonal del paralelogramo

determinado por los vectores y .

Figura 5: La suma de vectores , y , esigual a la suma de lascomponentes de los vectores.

,





, ,

2(2 , 2 , 2)

2

1 2

1

2

X

Y

Z

2 12

2 − 1

3

Figura 11: Adición de losvectores , , y , ,

,

< 0

Figura 8: Multiplicación de unvector por un escalar positivomayor que 1

Figura 7: Resta de vectores

Figura 10: Multiplicación de unvector por un escalar negativo

Figura 9 : Cada flecha es unatraslación paralela del vector de posición del punto,

Figura 12: Vector en , , , ,





7. VECTORES BASE ESTÁNDAR 3

En , los vectores 1,0 y 0,1 juegan un rol especial. Cualquier vector , puede ser escrito en términos de y vía adición de vectores ymultiplicación escalar:

, , 0 0, 1,0 0,1 Se puede escribir , o para denotar el vector . Geométricamente,los vectores base estándar y , significan que cualquier vector de puede serdescompuesto apropiadamente en términos de sus componentes vectoriales sobre eleje X y eje Y, como se muestra en la figura.

En , los vectores 1,0,0 , 0,1,0 y 0,0,1 juegan un rol especial.Cualquier vector , , en puede ser escrito en términos de , y vía adición de vectores y multiplicación escalar:, , ,0,0 0, , 0 0,0,

0,1,0

0,1,0

0,0,1

Se puede escribir , , o para denotar el vector .

En , los vectores 1,0,0,…,0, 0,1,0,…,0, ... , 1,0,0,…,1,llamados vectores base estándar o canónicos, juegan un rol especial. Cualquiervector , , … puede ser escrito en términos de , , … , vía adiciónde vectores y multiplicación escalar:, , … , ,0 ,…,0 0, , … , 0 ⋯ 0,0,…, 1,0,…,0 0,1,…,0 ⋯ 0,0,…,1

⋯

Se puede escribir

, , … o

⋯ para denotar el vector

.

3 Traducido y adaptado de: Vector Calculus (COLLEY, 1998), pág. 10

a

Y

X

Y

X

Figura 13: Cualquier vector en puede escribirse en términos de y

Figura 14: Cualquier vector en puede escribirse en términos de , y





8. PARALELISMO DE VECTORES EN R n

Definición. Dos vectores son paralelos si uno de ellos es múltiplo real del otro.Es decir, los vectores

y

en

son paralelos, denotado

∕∕, si existe un

escalar real talque ∨

Observamos que el vector cero es paralelo a todos los vectores, pues 0 paratodo vector en .

Definición. Sean y vectores no nulos en , si es paralelo a decimosque:1) tienen sentidos iguales si donde > 0 y2) tienen sentidos opuestos si donde < 0

9. PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO ESCALAR 4

Definición. Dados los vectores , , … , y , , … , en. El producto escalar de y , denotado ⋅ , es el número real dado por:

⋅ ⋯

NOTAUtilizando notación de sumas, el producto escalar de y es:

⋅ ∑

=

PROPIEDADES.Sean , y vectores en y para todo escalar real se cumple: 1) ⋅ > 0, ≠ ; ⋅ 0 ⟺ 2)

∙ ∙

4 Traducido y adaptado de: Vector Calculus (COLLEY, 1998), pag. 21

,

> 0

, < 0

Figura 16: Los vectores y tienen sentidos iguales (opuestos) si > <

Figura 15: Los vectores

y

son paralelos





3) ∙ ( ∙) ∙() 4) ∙( ) ∙ ∙

10. NORMA O LONGITUD DE UN VECTOR EN R n

Definición. La norma (longitud o magnitud) de un vector , , … , en, denotada ‖‖ es el número real dado por:

‖‖ √ ∙ ⋯

O equivalentemente, ‖‖ ∙

PROPIEDADES.Sean

y

vectores en

y para todo escalar real

, se cumple:

1) ‖‖ > 0 , ≠ ; ‖‖ 0 ⟺ 2) ‖‖ ||‖‖

3) ≤ ‖‖ desigualdad triangular4) ∙ ≤ ‖‖ desigualdad de Cauchy Schwarz

La desigualdad triangular nos dice que: la suma de las longitudes de dos lados deun triángulo debe ser igual o mayor que la longitud del tercer lado.

11. ANGULO ENTRE DOS VECTORES EN R n

Sean y vectores no nulos en . De la desigualdad de Cauchy Schwarz ∙ ≤ ‖‖ se tiene

∙

‖‖ ≤ 1

∙‖‖ ≤ 1

1 ≤ ∙‖‖ ≤ 1

Por lo tanto existe un único ángulo ∈ 0, talque ∙‖‖‖‖. El ángulo

está formado por los vectores y .Si o es el vector cero, entonces es indeterminado (puede ser cualquierángulo)

Teorema. Si y son dos vectores cualesquiera en , entonces ∙ ‖‖

‖‖

≤ ‖‖

Figura 17: Desigualdad Triangular





Demostración.Si o es el vector cero, entonces la formula se verifica de inmediato. En este casoel ángulo es indeterminado.Sean

y

dos vectores ambos no nulos.

De donde resulta

2‖‖ ‖‖ ‖‖ Reemplazando el vector y usando las propiedades de producto escalar tenemosque ‖‖ ∙ ( ) ∙ ( ) ( ) ∙ ( )∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 2 ∙‖‖ Luego

2‖‖ ‖‖

2 ∙‖‖

2‖‖ 2 ∙ Por lo que ∙ ‖‖

Finalmente, para encontrar el ángulo formado entre los vectores no nulos y en se usa − ∙ ‖‖

12. ORTOGONALIDAD DE VECTORES EN R n

Definición. Sean y vectores no nulos en . Decimos que los vectores y son mutuamente ortogonales, denotado ⊥ , si el ángulo que forman es

.

De acuerdo con el teorema anterior, se dice que; los vectores y son ortogonalessi su producto escalar es cero.Es decir,

‖ ‖ ‖‖ 2‖‖

Sea , entonces podemos aplicar laley de los cósenos al triángulo de lados , y

para obtener

Figura 18: Angulo formadoentre los vectores y .





Figura 19: Los vectores y son mutuamente ortogonales.

Observamos que el vector cero es ortogonal a todos los vectores, pues ∙ 0 para todo vector en

.

13. VECTOR UNITARIO

Definición.1. Un vector de norma igual a la unidad se llama vector unitario.2. El versor de un vector es un vector unitario con la misma dirección y sentido del

vector.

Nota. Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se lo llamanormalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vectorunitario como vector normalizado.

Ejercicio 3.

Si es un vector no nulo en , entonces su versor es el vector ‖‖

Solución. Se debe verificar que la norma de es 1Veamos; ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ 1,

Pues‖‖ es un escalar positivo.

Esta operación es denominada la normalización del vector .

Y el vector unitario con dirección opuesta al vector ≠ tiene la forma:

‖‖

a

⊥

⟺

∙

0

‖‖ ‖‖





Ejercicio 4. Demostrar que; si los vectores y son los lados de un paralelogramo, y sus diagonales, entonces los vectores y son ortogonales si y sólo si

Demostración

Se desea demostrar que:

∙ 0 si y sólo si

Veamos, ⟺ ⟺ ( ) ∙ ( ) ( ) ∙ ( ) ⟺ ∙ 2 ∙ ∙ . 2 ∙ ∙ ⟺ 4 ∙ 0 ⟺ ∙ 0 Por lo tanto: ⟺ ∙ 0

Ejercicio 5. Dado el vector , en se construye el vector , en talque ⋅ 0; se lee: es el vector ortogonal.Solución.

Veamos ⋅ , ⋅ , 0

Ejercicio 6. En un triángulo arbitrario, mostrar que el vector determinado por los puntos mediosde dos lados es paralelo y tiene la mitad de la longitud del vector que representa altercer lado.

Solución.En otras palabras, si

es el punto medio del lado

y

es el punto medio del

lado , se desea demostrar que es paralelo al lado y tiene la mitad de sulongitud.

Si los vectores y son los lados deun paralelogramo, y susdiagonales.

Dado el vector , en seconstruye el vector , en talque ⋅ 0

Y

X





a

-a

b

- a b

a b

De la figura se tiene: ,

Ahora

12 12 12 12

De donde; 12

Lo cual justifica que es paralelo a ‖ ‖ 12 12 ‖ ‖

Lo cual justifica que la longitud de

es la mitad de la longitud de

.

Ejercicio 7.

Demostrar que; si la suma y la diferencia de las magnitudes de dos vectores soniguales, entonces dichos vectores son ortogonales.

Solución.Sean y dos vectores en , se desea demostrar que:Si ‖‖ ‖‖ entonces ∙ 0.Veamos, elevando al cuadrado ambos miembros de:‖

‖

‖

‖

‖‖ 2‖‖ ‖‖ 2‖‖

Simplificando se tiene ‖‖ 0 Por la desigualdad de Cauchy Schwarz ∙ ≤ ‖‖ se obtiene ∙ 0 ⟺ ∙ 0 Por lo tanto y son ortogonales.

Ejercicio 8. Demostrar que el ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Solución.En la figura, los vectores y son “radios

vectores”.

Se desea demostrar que el vector es

ortogonal al vector .

En otras palabras se desea demostrar que

( ) ∙ ( ) 0

Veamos;





Luego 3,6 4,4 4,4 Multiplicando escalarmente por el vector 4,4 3,6 ⋅ 4,4 4,4 ⋅ 4,4 4,4 ⋅ 4,4

36 32 → 98

Entonces 98 4,4 92 , 92

3,6 92 , 92

32 , 32 → ‖ ‖ 32 √ 2

Finalmente

5,8 2 32 √ 2

1√ 2 1,1 → ′8,5

Ejercicio 11. En la figura, expresar el vector como una combinación lineal (suma entérminos) de los vectores y si los triángulos son rectángulos.Solución.Se desea expresar (*)De la figura,

121,0 12,0 Del triángulo rectángulo

y por Pitágoras

3 6 ‖ ‖ 5 12

‖ ‖ 4 Del triángulo rectángulo se tiene‖ ‖ 4 6 2√ 13 Sea el vector unitario paralelo a los vectores y 12,5 de donde; ‖ ‖ 113 12,5

Además; ‖ ‖ 9 1

1312,5

‖ ‖ 4 113 5,12

12 O X

M

Q

Y43

5

N

B

6R





6 113 12,5 4 113 5,12 4,6

Ahora la ecuación (1) resulta,

4,6 12,5 12,0

(**)

Aplicando el producto escalar en ambos miembros de la ecuación (**) por el vector0,12 resulta, 4,6 ⋅ 0,12 913 12,5 ⋅ 0,12

72 54013 → 2615

Aplicando el producto escalar en ambos miembros de la ecuación (**) por el vector5,12 resulta,4,6 ∙ 5,12 12,0 ∙ 5,12

52 60 → 1315

Finalmente la ecuación (*) se escribe de la forma 2615 1315

Ejercicio 12.

Solución.

Ademas;

15 15 (*)15 15 (**)

Multiplicamos la ecuación (*) por 15 y la ecuación (**) por 15 se tiene;1515 15 35 15

1515 15 45 15

Operando y sumando las ecuaciones anteriores resulta

15

15 35 15 45 15

En la figura. Si el triángulo es rectángulo,halle el vector .

3

Y

X

4

135º

30º

En el triángulo rectángulo de la figura setiene: , ‖‖, ‖‖,‖‖ 5 y 15 53 de donde; 15 3/5 , 15 4/5

4

3

15º





132 132 √ 3 72 6√ 3 6 13

2 √ 3 13

2 8 5

2√ 3 1 4

Resolviendo el sistema

513 1213 → 113 5,12

Luego; 2 6,14 2 132 113 5,12 1,2 → 1,2

5,12 , 52

6√ 3 ,6 52

√ 3

Finalmente el área del triángulo

es,

∆ 12 | ∙ | ∆ 12 5,12 ⋅ 6 52 √ 3 , 52 6√ 3 ∆ 1694 √ 3

Ejercicio 14.

Sean

3,2 y

10,6 vértices opuestos de un paralelogramo

, sabiendo que

‖ ‖ √ 5 y |‖ ‖ ‖2,4‖| ‖ 2,4‖. Hallar los vértices y .

Solución.

√ 5 ‖2,4‖ ‖ 2,4‖

√ 5 2√ 5 ‖ 2,4‖ √ 5 ‖ 2,4‖ Elevando al cuadrado, se tiene5 ‖ ‖ 2 ⋅ 2,4 ‖2,4‖ 5 5 2 ⋅ 2,4 20 ⋅ 1,2 5 Si =, entonces:, ⋅ 1,2 5 → 2 5 (*)Pero de

‖ ‖ √ 5 →

5 (**)

De (*) y (**) se obtiene:

1 , 2 → 1,2

Sea punto medio de las diagonales, entonces , 4

Remplazando en|‖ ‖ ‖2,4‖| ‖ 2,4‖ Se obtiene:

5BD

3,2

10,6





Como ‖ ‖ 2‖ ‖ √ 5 se tiene ‖ ‖ √ 5

De la figura: ‖ ‖, ‖ ‖ √ 1,2 vector unitario

132 , 4 12 √ 5 1√ 5 1,2 → 7,3

Como → 2

Entonces 13,8 7,3 → 6,5

Ejercicio 15. Sea el vector 2,1 tales que y ⊥ . Hallar Solución.Elevando al cuadrado

(

) ⋅ (

) ‖

‖

2 ⋅

Como

⊥ ⟺ c ⋅ d 0Se tiene ‖‖ (*)Por otro lado, sacando norma en ambos miembros de y elevando alcuadrado ‖‖ ( ) ⋅ ( ) ‖‖ ⋅ ‖‖ ‖‖

(**)De (*) y (**) se tiene ‖‖

Como

2,1 se tiene

‖‖ √ 5

Por lo tanto √ 5

Ejercicio 16. Dado el triángulo , 5,6 es punto medio de , 8,2 es punto medio de y 12,4 es punto medio de . Expresar la mediana que parte de , comocombinación lineal de las otras dos medianas.Solución.

2 (3)De (2) y (3) se tiene 2 2 (4)De (1) y (4) se tiene

2 2 2 2

8,2 5,6 12,4

Se desea expresar ; , ∈ De la figura se tiene: 2 (1) 2 (2)

5,6

12,4

8,2





Ejercicio 25. Se tiene un trapecio escaleno ABCD cuya base mayor tieneel doble de longitud de la base menor Se trazan las diagonales y las quese cortan en y si Calcular

Ejercicio 26. Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tiene porextremo a los puntos

3,4 y

9,16. Si los lados de mayor longitud son

paralelos al vector 1,1, determinar los vértices y . Ejercicio 27. Los vectores y están en el primer cuadrante, de maneraque forma con el eje un ángulo de 45º y forma con el eje un ángulo de30º. Si ∕∕ , ‖ ‖ 8 y calcular y . Ejercicio 28. Dos vectores y , forman entre si un ángulo de 45º y ‖‖ 3.Halle el módulo del vector para que la suma de los vectores y forme unángulo de 30º con el vector . Ejercicio 29. En el trapecio ABCD, 0,1, 3,5, 8,7, 2 y es

punto medio de . Hallar , y si 4

Ejercicio 30. Un bote es arrastrado al sur por una corriente a razón de 15 km por hora respecto a aguas tranquilas. Allí también es arrastrado por una corriente de5√ 2 km por hora al sur este. Cual es la velocidad total del bote? Si el boteinicialmente estaba en el origen de coordenadas y ahora esta en la posición

20,80, cuanto tiempo ha transcurrido?

Ejercicio 31.

Demostrar la desigualdad de Cauchy Schwarz y la desigualdadTriangular. Ejercicio 32. Si es un vector unitario de . Demuestre que se cumple lasiguiente relación: ‖ ‖ ‖ ‖

Ejercicio 33. Sean y dos vectores de con ≠ 0. De los puntos origen yextremo del vector se proyecta una luz en forma perpendicular al vector . Hallarel vector proyección de sobre .





C

B

A

P

14. PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPONENTE DE UN VECTOR EN R n Definición. Sean y ≠ dos vectores en . Se define la proyecciónortogonal de sobre , denotada por , como el vector dado por

⋅

Se observa que: El vector es paralelo al vector El vector es ortogonal al vector El vector STEWART,y otros,2007

Definición. La componente de

en la dirección de

≠ , denotada

, es el

número dado por ⋅

La relación entre la proyección y la componente está dada por: ⋅

PROPIEDADES.

Sean , ≠ y vectores de 1.

2. ; ∈ 3. Si ∕∕ , entonces 4. 5. ; ∈ 6. Si ∕∕ , entonces

Sea el ángulo trazado desde hasta 7. Si > 0 entonces es agudo y tiene el mismo sentido que 8. Si

< 0 entonces

es obtuso y

tiene el sentido opuesto a

9. Si

0 entonces

y

son ortogonales y

Ejercicio 34. Sean A, B y C vértices de un triángulo. Demostrar que las alturasde dicho triángulo se intersecan en un punto P.

Demostración. Sea el triángulo ABCDónde: Se desea demostrar que; partiendo de cada vértice ydesplazándose por la altura respectiva se llegue al punto P.

1. Partimos del vértice C





Y

X

C’

D

C

B

A

D’

( ) + ⋅ ‖ ‖

⋅

‖

‖

2. Partimos del vértices B − − − ⋅− ‖− ‖ ⋅ ‖− ‖

⋅−

‖− ‖

−

3. Partimos del vértices A + ⋅ ‖ ‖

⋅

‖ ‖

Ejercicio 35. Sean 3,1 y 6,4 vértices de un rectángulo de de área.Halle los otros dos vértices (dos soluciones).Solución.De los datos se tiene: 3,3, ‖ ‖ 3√ 2 y el vector unitario

‖

‖ 1

‖3,3‖3,3 1

√ 21,1

Del área del rectángulo se tiene: ‖ ‖‖ ‖ 36 Hallamos los vértices: ‖ ‖ , ‖ ‖ 6√ 2 6,4 6√ 2 1√ 2 1,1 0,10 La gráfica está trazada a priori de los cálculos.Ahora hallamos el vértice

‖ ‖ , ‖ ‖ ‖ ‖

2u36

)1,1(2

1

)3,3()3,3(

1

AB

AB

u





3,1 6√ 2 1√ 2 1,1 3,7

La otra opción al resolver el problema es hallar los vértices

′ ‖ ‖ , ′ 6√ 2 ′ 6,4 6√ 2 1√ 2 1,1 ′12,2 ′ ‖ ‖ , ′ ′ ′ 3,1 6√ 2 1√ 2 1,1 9,5

Ejercicio 36. Sean

,

y

vértices de un triángulo. Determinar una

expresión (en forma vectorial) para calcular el área de dicho triángulo.

Solución.

Sean , El área del triángulo está dada por: △ 12

Dónde:

‖‖

Luego se tiene que: △ 12 ‖‖ 12 ⋅

△ 12 ⋅

△ 12 ⋅

△ 12 ⋅ △ 12 ⋅

Finalmente △ 12 ⋅ Expresión que sirve para calcular el área de un triángulo.





,

3,1

5,8

A(-1,6 )

(2,3)

C

D

2 2 4 6 8 10 12

2

2

4

6

8

10

12

Ejercicio 37. Sean 3,1, 5,8 y C los vértices de un triángulo de

de área, cuya abscisa de su baricentro es. Determinar las coordenadas del vértice

C.Solución.

Se conoce que las coordenadas del baricentro de un triángulo de vértices , ,, y , esta dado por: 3 , 3

Entonces 3 5 3 13

De donde: 1 , 1, Además, se conoce que elárea del triángulo es:

△ 12 | ⋅ | 5

Dónde: 2, 1 8,7 Luego remplazando en la expresión anterior se obtiene:|2, 1 ⋅ 7,8| 10 |148 8| 10

22 8 10 → 4

228 10 → 32

Entonces 2,3 ↝ 2,3 ↝ 1,4 O también 2, ↝ 2, ↝ 1,

Ejercicio 38. Sean 1,6, 2,3, y vértices de un rectángulo de 18unidades de área. Halle los vértices y .Solución.Solo se considera la opción mostrada en lafigura en donde se desea hallar los vértices

y .Sea , y 3,3 En la figura

⋅ ‖ ‖

Reemplazando los vectores, ⋅ 3,3‖3,3‖ 3,3 3,3

−+ 1 ↝ (1) Pero

2u5





M

A

D

C

B

2á 2 12 ‖ ⋅ ‖ 18 ‖, ⋅ 3,3‖ 18

|3 3| 18 ↝

De (1) y (2) 6 6

Ejercicio 39. En el cuadrilátero convexo5 ABCD: 2,2, 3,1 y 5,7. Si el área del cuadrilátero es

y , es punto medio de . Hallar los vértices o puntos A, B, C y D.

Solución. Sea el cuadrilátero ABCD

De 2,2 se tiene que ∕∕ 2,2 ↝ 2,2

De 3,1

se tiene que ∕∕ 3,1 ↝ 3,1 De la figura: 3,1 5,7 2,2 Multiplicando escalarmente primero

por el vector

2,2 y luego por el vector

1,3 en ambos miembros se tiene:

6 2 10 14 0 ↝ 3 → 9,3, ‖ ‖ 3√ 10 5 21 2 6 ↝ 2 → 4,4, ‖ ‖ 4√ 2 Además se conoce que: △ △ 12 | ⋅ | 12 | ⋅ | 28 12 | ⋅ | 12 | ⋅ | 28 | ⋅ | | ⋅ | 56 Donde

⋅ 4,4 ⋅ 3,9 48

Entonces | ⋅ | 8

Sea , Entonces | ⋅ | |, ⋅ 4,4| 8

5 C es convexo si para cada par de puntos de C, el segmento que los une está totalmente incluido en C;es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en línea recta, sin salir

del mismo.

2u28





M

D N

|4 4| 8 ↝ 2 2 (*)

Ahora de:

, ∙ 4,4

32 4,4 2,2

Se tiene: + 2,2 2,2 ↝ 4 (**)De (*) y (**) se tiene: 3, 1 o también 1 , 3 (se descarta, elcuadrilátero es convexo)Entonces 1,3, ‖ ‖ √ 10 Hallamos los vértices: ‖ ‖ ‖ ‖ 12 ‖ ‖ 32 √ 10 ‖ ‖, ‖ ‖ 1√ 10 3,1

172 , 12 32 √ 10 1√ 10 3,1 ↝ 4,1

‖ ‖ 172 , 12 32 √ 10 1√ 10 3,1 ↝ 13,2 ‖ ‖ ‖ ‖ 4√ 2, ‖ ‖ 12√ 2 2,2

4,1 4√ 2 1√ 2 2,2 ↝ 8,5

‖ ‖

‖ ‖

4,1 1,3 ↝ 5,4

Ejercicio 40. Sean 1,2, 5,6, 6,2 y 3,6 vértices delcuadrilátero ABCD. Hallar el área del cuadrilátero MCDN, si ∈ , ∈ y .

Solución.En la figura se tiene:

: 4 5 14 0

Sea

, ∈ entonces

, −

: 4 6 0 Sea , ∈ entonces , 4 6

De se tiene: 3 2

De donde 3 10 05 3 12 0

Al resolver el sistema se tiene: y

Entonces

,16 y

, 4

Luego





DG

B

A

C

F

E

,12, , 2, 2, , ,2, 2, △ △ 12 | ⋅ | 12 | ⋅ |

12

13 ,12⋅2,

136

12

136 , 2 ⋅ 2,

56

403 43

En consecuencia, 443

Ejercicio 41. Los vértices de una rectángulo ABCD son 2,6, 6,2,2,6 y D. ∈ , ∈ , ∈ , ∕∕ 1,3, 4,14. Halle:a) El vértice D

b) Los puntos E, F y GSolución.a)

Del rectángulo ABCD se tiene: 4,4 4,4 ↝ ,

b) De la figura se tiene: 1,3 , ∈ Remplazando en Se tiene:,3 ∙ 4,4

‖4,4‖ 4,4 4,4

4 1232 4,4 4,4 16 32 ↝ 2 Entonces 2,6 Se conoce 4,14 2,6 4,14 ↝ 6,8 Ahora hallamos los puntos E, F y GSea

,

y por ser un rectángulo

∙ 0

De donde

6 , 2 ∙ 4,4 0 ↝ 4 Entonces 4, Sea , y por ser un rectángulo ∙ 0 De donde 6, 2 ∙ 8,8 0 ↝ 8 Entonces 8 , Pero

8 4, 6,8

2 8 ↝ 3, 5





P

Q

R

0,0 100,0

60°

Luego ,, , Y de 2,6 ↝ ,

Ejercicio 41.

Trabajo es la cantidad total de esfuerzo requerido para llevar acabo una tarea (STEWART, y otros, 2007). En la figura, una fuerzaconstante actúa sobre un objeto a medida que este se desplaza.El trabajo realizado por la fuerza es el producto de lalongitud del desplazamiento por la componente de lafuerza en la dirección del desplazamiento.Mostrar que el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un vector es determinado por: ∙ Solución.

De la figura se tiene: , y ∙‖‖ ‖‖‖‖‖‖ ‖‖

De donde ‖‖ es la longitud del desplazamiento.Recordamos también en Física. Si una fuerza constante de magnitud mueve unobjeto por una distancia de a lo largo de una recta, entonces el trabajo hecho es: Luego ‖‖‖‖ ‖‖‖‖ Finalmente,

∙

Ejercicio 42. Una persona jala un carro horizontalmente ejerciendo una fuerzade 20 en la manija. Si la manija forma un ángulo de 60° con la horizontal.Encuentre el trabajo hecho al mover el carro 100 . Solución.

De la figura 100,0 ‖‖ ‖ ‖ 100 El vector fuerza

‖‖, ‖‖, ‖‖ 20

(10,10√ 3) El trabajo hecho esta dado por: ∙ (10,10√ 3) ∙ 100,0 Finalmente,

Ejercicio 43. Un objeto de 2 kg se desliza sobre una rampa que tiene un ángulode 30º con respecto a la horizontal. Si despreciamos la fricción y sólo actúa lafuerza gravitacional sobre el objeto, hallar la componente de la fuerza gravitacionalen la dirección del movimiento del objeto.

Solución.





25°

2755

75°

Representando gráficamente el ejercicio, se desea hallar:

De la figura se tiene: ∕∕‖‖30°, ‖‖30° √ 3

2 , 1

2

0,, 9.8 ⁄

Entonces 0,29.8 0,19.6

⋅ ‖‖ 0,19.6 ⋅ √ 32 , 12 √ 32 , 12 9.81

.

Ejercicio 44. Un automóvil está sobre una entrada que esta inclinada

25°

respecto a la horizontal. Si el automóvil pesa 2755 , encuentre la fuerza requerida para evitar que ruede hacia atrás.

Solución.De la figura se tiene: 0,2755, ‖‖ 2755 ‖‖ ∙‖‖,

Donde

∙ ‖‖‖‖75

Luego

‖‖ ‖‖75 ‖‖ 2755 cos75 Finalmente ‖‖

Ejercicio 45. Un automóvil esta sobre una entrada que esta inclinada 10° respecto a la horizontal. Se requiere una fuerza de 490 para evitar que elautomóvil ruede hacia atrás. a) Determine el peso del automóvil

b) Calcule la fuerza que ejerce el automóvil contra la entrada

30°

2

30°





∙

Ejercicio 46. Cierto automóvil es conducido 500 sobre una carretera queesta inclinada 12° respecto de la horizontal. El automóvil pesa 2500 . Así, lagravedad actúa hacia abajo sobre el automóvil con una fuerza 2500.Encuentre el trabajo que realiza el automóvil para vencer la gravedad. Ejercicio 47. Un paquete que pesa

200 se coloca sobre un plano inclinado.

Si una fuerza de 80 es suficiente para evitar que se deslice el paquete, determineel ángulo de inclinación del plano (ignore los efectos de la fricción). Ejercicio 48. Una cortadora de césped es empujada una distancia de 200 alo largo de una trayectoria horizontal por una fuerza de 50 , La manija de la

podadora se mantiene aun ángulo de 30° desde la horizontal. Encuentre el trabajohecho. Ejercicio 49. Cuanto trabajo se realiza al empujar un cajón cargado con 500 lbde bananas 40 pies sobre un rampa inclinado 30º con respecto a la horizontal.Ejercicio 50. Para ∈ , sean 1, 1, 3, 6, 10,8 y Dvértices de un cuadrilátero. Además

2,1,

3,1, y

el área del triángulo NBM es de

25 4⁄ . Hallar los puntos A, B, M, N y D si M y

N son puntos medios de y respectivamente.Ejercicio 51. Tres vértices consecutivos de un rectángulo ABCD son 4,2, , y 5,3. Si > 0, ∈ , ∈ , ∈ , ‖ ‖ √ 34 , ∙ 6,7 0 y

1, .

a) Calcular los vértices A, B, C, D y los puntos P, Q y R.a) Calcular el área del cuadrilátero PARQ.

Ejercicio 52. Sea ABCDE un pentágono irregular (los vértices ubicados ensentido horario). Si A(1,1), B(2,6), C(c,6), c>2, E(7,y), ,

, . Hallar:

a) El área del triángulo ABE. b) El área del triángulo BCD.

Ejercicio 53. Para , sean , , y D vérticesde un cuadrilátero. El área de los triángulo AMD y AMC son iguales a 7.5 u 2. Si

es vector bisectriz del ángulo correspondiente al vértice B y es unamediana del triángulo ABC, hallar los puntos A, B, M y D.

15. VECTORES EN EL ESPACIO R 3

Los vectores en el espacio vectorial

, son aquellos vectores de

con

3. Las

definiciones y propiedades de vectores son las mismas, sólo que los vectores ahora presentan tres componentes. Se hace notar, que la construcción de un vectorortogonal a partir de un vector dado, en no es posible.Antes de continuar con algunas definiciones y propiedades propias de , veamosalgunos ejercicios con vectores en .

Ejercicio 54. Los puntos 1,1,1, 5,7,9, 6,7,8 y 7,5,9 determinanun tetraedro. Si desde los vértices A y D parten simultáneamente don móviles condirección al baricentro de la cara ABC, cada uno con una velocidad de √ 2 unidades

por segundo. Cual es el punto en el que se encuentra el móvil que partió de D,cuando el móvil que partió de A llega al baricentro.

Solución.

)6,9(BCoyPr AE

)BCD()ABC( CDAB

10a )2a,1a(A )3a,2a(B )5,8(C

BD AM





A llega al baricentro

Es decir; (1,1,1 5,7,9 6,7,8) ↝ 4,5,6 Hallemos el tiempo en el que

el móvil que parte de A llega a G

‖ ‖√ 2

Donde; 4,5,6 1,1,1 3,4,5, ‖ ‖ 5√ 2

Luego √ √ 5 segundos, tiempo en el cual el móvil que parte de A llega a G.

Ahora, el móvil que parte de D en 5 segundos se encuentra en el punto P.Esto es; ‖ ‖ Donde;

‖ ‖ 5√ 2

∕∕ ∕∕ 4,5,6 7,5,9 3,0,3, ‖ ‖ 3√ 2 Entonces ‖ ‖ 13√ 2 3,0,3

Por lo que; 7,5,9 5√ 2 13√ 2 3,0,3 2,5,4

Finalmente, el móvil que partió de D, cuando el que partió de A llega al baricentroG, se encuentra en el punto

2,5,4.

Ejercicio 55. Sean los vectores

y

en

con

‖‖ 4 y

‖‖ 3. El ángulo

entre y es . Halle:

a) (2 3) b) El área del paralelogramo formado por los vectores 2 3 y 3 2.c) +(3 2)

Solución.a) Recordamos la definición de la componente de un vector en la dirección de

otro vector no nulo. Es decir;

(2 3) (2 3)∙‖‖ 2 ∙ 3 ∙ ‖‖

También recordamos; ∙ ‖‖, entonces

(2 3) 2‖‖ 3 ‖‖3‖‖ 24 3 43 124

( )

b) Recordamos que el área de un paralelogramo formado por los vectores y esta dado por:

‖‖ ( ∙ )





Ahora el área del paralelogramo formado por los vectores 2 3 y 3 2 es; 2 33 2 (2 3) ∙ (3 2)

4‖‖ 12 ∙ 9 9‖‖ 12 ∙ 4 6‖‖ 5 ∙ 6

44 1243 12 93 94 1243 12 43 64 543 12 63 √ 18252

c) +(3 2) −∙+‖+‖ ∙−∙+∙−∙‖+‖

+(3 2) 3‖‖ ∙ 2 3‖‖ ‖‖‖‖cosπ3 2

Donde:

( ) ∙ ( ) ‖‖ 2 ∙ ‖‖ 2‖‖3

4 243 12 3 37 ↝ √ 37 Entonces

+( )

√

√

Ejercicio 56.

Los puntos 13,8,5 y 5,8,13 son extremos de una arista deuna de las bases de un paralelepípedo rectangular, siendo 5,20,3 y losextremos de una diagonal en la base opuesta. Si es una arista lateral y 6,3,2, ∈ . Cuáles son los otros cinco vértices.

SoluciónDe la figura se tiene que: 8,0,8 De donde

8,0,8 5,20,3 8,0,8

Luego el vértice es:

,, Además en la figura se aprecia que; Donde; 6,3,2 , ∈ y 18,28,2 Luego, ,,18,28,2 ,,∙,,‖,,‖ 6,3,2 6,3,2 ↝ 4

Entonces

46,3,2 ↝ 24,12,8 5,20,3 24,12,8

Obteniéndose el otro vértice

,, Se observa que;





X

Y

Z

, 19,8,11 13,8,5 6,16,6 5,8,13 6,16,6 ↝ ,, , 13,8,5 19,8,11 6,16,6 5,20,3 6,16,6 ↝ ,,

, 11,4,3 5,8,13 16,12,16 13,8,5 16,12,16 ↝ ,, Verificando el vértice hallado anteriormente, , 3,4,11 13,8,5 16,12,16 19,8,11 16,12,16 ↝ ,,

15.1. PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE VECTORESLas definiciones y propiedades para el paralelismo y ortogonalidad devectores en son análogas a las presentadas para con 3.

15.2. PRODUCTO ESCALAR

La definición y propiedades son análogas a las presentadas para

, sólo

que ahora se tiene 3.

15.3. PRODUCTO VECTORIAL

DEFINICIÓN. El producto vectorial de dos vectores , , y , , solo en , denotado por ×, se define como el vectordado por:

× , ,

×: Se lee “el producto vectorial de los vectores y

OBSERVACIONES.1. ∙ ( ×) 0

significa que ⊥ ( ×) 2. ∙ ( ×) 0

significa que ⊥ ( ×)

PROPIEDADES.

Sean lo vectores , , en y cualesquier escalar ∈ , se tiene1. × × 2. × ( ×) ×() 3. ×( ) × × 4. ×( × ) ∙ ( ∙) 5. × para todo vector ∈ 6. ×( ×) ≠ ( ×) × 7. × × 8. ∙( × ) ( ×) ∙

Según las propiedades se tiene





×

× × × × , × × , ×

× , ×

Ejercicio 57. Demostrar la identidad de Lagrange × ‖‖ ( ∙)

Demostración. Sean , , y , , × ‖ , , ‖

(

)

‖‖22 ( ∙ )2 Finalmente, × ‖‖ ( ∙ )

O también × ( ×) ∙ ( × ) ∙ × ( × ) , ( × ) ∙ ∙ ( × ) ∙[( ∙ ) ( ∙)], ×( × ) ∙ ( ∙ ) ∙ ( ∙)( ∙)

‖‖ ( ∙ )

Finalmente, × ‖‖ ( ∙ )

Ejercicio 58. Determinar una fórmula para calcular el área de un paralelogramo cuyos lados están representados por los vectores y .

Solución.

En la figura

∙ ‖‖ , 0 ≤ ≤

Usando la identidad de Lagrange

× ‖‖ ( ∙ )

Se tiene: × ‖‖ (‖‖ ) ‖‖ ‖‖

‖‖

1

‖‖ Finalmente,





× ×

× ‖‖

Con lo cual se ha demostrado que el área del paralelogramo es la norma olongitud del vector

×.

Es decir

×

Y el área del triángulo cuyos lados están representados por los vectores y está dado por ∆ 12 ×

NOTA. Dos vectores y de son paralelos si y sólo si × 0

15.4.TRIPLE PRODUCTO ESCALARDEFINICIÓN. El producto mixto o triple producto escalar de los vectores, y de , denotado por [ ], se define como es número dado por:

[ ] ∙ ( × )

NOTA. La expresión ( ∙) × no tiene significado alguno

PROPIEDADES.

1. [ ] [ ] [ ] 2. [ ] ∙( × ) ∙ × ∙ ( × )

3. [ ] ∙( × ) × ×

NOTAS.1. Tres vectores , y de son linealmente dependientes si y sólo si[ ] ∙ ( × ) 0 2. La dependencia lineal de tres vectores es equivalente a que los tres

vectores sean paralelos a un mismo plano.

Ejercicio 59.

Determinar una fórmula para calcular el volumen del paralelepípedo de arista lateral el vector y cuya base tiene ladosrepresentados por los vectores y .

Solución. En la figura, el volumen del

paralelepípedo es el productodel área de la base por la altura.

á





‖‖

El área de la base, es el área del paralelogramo determinado por los vectores y

á ×

La altura del paralelepípedo es la norma, de la proyección ortogonal delvector sobre el vector ×

‖× ‖

Luego, el volumen del paralelepípedo está dado por

× ‖× ‖

× ∙( × )

× × ×

× ∙( × ) × × ×

× ∙× ‖× ‖ , × ‖× ‖ 1 × 1 × ∙( × ) ∙( × ) Finalmente, el volumen del paralelepípedo es

[ ] 15.5.TORQUE

Al aplicar una fuerza en una llave inglesa al final del brazo lo más lejos del perno causa el movimiento de atornillar en dirección perpendicular al planodeterminado por el brazo de la llave y la dirección de tu fuerza (se asumeque el plano existe). Para medir cuanto atornillamos, necesitamos la nociónde torque (o fuerza de torsión) (COLLEY, 1998).

En particular, si el vector representa a la fuerza aplicada a la llave inglesa,Se tiene

Sea el vector que representa, desde el centro de la cabeza del perno hastael final del brazo de la llave inglesa. Entonces

‖‖

Figura 20: El torque sobre el pernoes el vector ×





30° 40

‖‖ ∙ ‖‖

‖‖ 1‖‖ ‖‖‖‖2 , ∡,

‖‖‖‖

‖ × ‖

Se observa que la dirección de × es igual a la dirección en la que se estaatornillando el perno (se asume la regla de la mano derecha sobre el perno).

Por consiguiente, es completamente natural definir el vector torque como: ×

El vector torque es la manera precisa de representar la situación física.

NOTA. Si es paralelo al vector , entonces . Lo cual indica que pormás que presionemos la llave inglesa el perno no gira.

Ejercicio 60. Arturo está cambiando un neumático. La llave es posicionada en uno de los pernos de la rueda y hace una ángulo de

30° con

la horizontal. Arturo ejerce una fuerza de 40 lb hacia abajo para aflojar el perno.

a) Si la longitud del brazo de la llave es un pie, ¿Que cantidad detorque se imparte al perno?

b) Si se cambia la llave por una de 18 pulgadas de longitud, ¿Quecantidad de torque se imparte al perno?

Solución

En la figura, el brazo de la llave es paralelo al vector

‖‖, ‖‖,0

Y la fuerza esta representada por elvector

‖‖0,1,0 400,1,0 0,40,0

a) La longitud del brazo de la llave es

‖‖ 1 , entonces

1 , 1 , 0 √ , , 0 Luego





‖ ×‖ √ 32 , 12 , 0 × 0,40,0

0,0, 40√ 32

20√ 3

b) La longitud del brazo de la llave es ‖‖ 18 , entonces 186 , 186 , 0 (9√ 3,9,0)

Luego ‖ ×‖ (9√ 3,9,0)× 0,40,0

(0,0,360√ 3)

360√ 3 30√ 3

Ejercicio 61. Sean , y vectores en . Demostrar que:

[ ×( ×) ] ‖‖[ ] Demostración.

[ ×( ×) ] ∙ ×( ×) × ;

[ ] ∙( × )

∙( ∙) ∙ × ; ×( × ) ∙ ( ∙) ∙( ∙) × ∙ × ; ×( ) × ×

( ∙) ∙ × ∙ ∙ ( × ) ; × ( ×) × () × ( ) × × ∙ ∙ ( × ); ∙ × 0 ‖‖[ ] Por lo tanto, [ ×( ×) ] ‖‖[ ] Ejercicio 62.

Sean A, B y C vectores en tales que , dondeB pertenece al plano que pasa por el origen O y tiene normal N. Si es elvector proyección de sobre N, demostrar que ‖ ‖ ≤ ‖ ‖.

Demostración. En la figura

∙ ‖‖





X

Y

L

P 0

a

2 2 4 6 8

2

4

6

8

∙

‖‖ ∙

‖‖

∙ ‖‖ , ⊥ ↭ ∙ 0 Sacamos norma en ambos miembros se tiene;‖ ‖ ∙ ‖‖ ∙ ‖‖ ‖‖ ∙ ‖‖ 1‖‖ | ∙ | ‖ ‖ ‖‖ | ∙ | ≤ ‖‖ ‖ ‖‖‖, por la desigualdad de Schwarz

Finalmente, ‖ ‖ ≤ ‖ ‖

16. LA RECTA EN EL ESPACIO R 2

DEFINICIÓN. La recta es el conjunto de puntos de definido por:

∈ ⁄ ; ∈

Dónde ; es un punto de paso de la recta ; es un vector direccional de la recta

De la definición de la recta se tiene

∈ ⟺ , ∈

Y la expresión

∶ , ∈

Es llamada ecuación vectorial de larecta .

16.1. DIVERSAS ECUACIONES DE

LA RECTASean , , , y , entonces la recta L resulta: , , , , ∈ De donde ∶ , ∈

Expresión llamada ecuación paramétrica de la recta L.Despejando el parámetro e igualando se obtiene

∶

Figura 21: La recta en





Expresión llamada ecuación simétrica de la recta L.

La recta : , ∈ y un vector no nulo son ortogonales siy sólo si los vectores

y

son ortogonales.

VECTOR NORMAL DE UNA RECTAA cualquier vector no nulo ortogonal a la recta se ledenomina vector normal a y

puede ser elegido como el vector o cualquier múltiplo de .

Un punto pertenece a la recta con punto de paso

y vector normal

, si y sólo si el vector

es

ortogonal al vector

.

Es decir ∈ ⇔ ⋅ 0 Luego la expresión ∶ ⋅

Es llamada ecuación normal de la recta

Sean , , , y , y remplazando en la ecuaciónnormal de la recta

se obtiene

∶ , ⋅ , 0 ∶ ⏟ 0

Finalmente, la expresión ∶

Es llamada ecuación general de la recta

16.2. PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE RECTASSean ∶ , ∈ y ∶ , ∈ dos rectas.1. Las rectas

y

son

paralelas si y sólo si losvectores y son paralelos.Es decir

∥ ⇔

2. Las rectas y sonortogonales si y sólo si losvectores

y

son

ortogonales.Es decir





X

Y

L

-

1 1 2 3 4 5

3

2

1

1

2

3

X

Y

L

1 1 2 3 4 5

3

2

1

1

2

X

Y

L

1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

⊥ ⇔ ⊥

16.3.

ANGULO ENTRE DOS RECTASSea la recta ∶ , ∈ 1. Si ∈ 0, es el ángulo de inclinación del vector , entonces se

dice que es el ángulo de inclinación de la recta .

Figura 22: Ángulo de inclinación delvector

y de la recta

2. Si ∈ ,2 es el ángulo de inclinación del vector , entonces sedice que es el ángulo de inclinación de la recta . Es decir

es el ángulo de inclinación del vector

.

Figura 23: Ángulo de inclinación delvector y de la recta

3.

El ángulo de inclinación de una recta , esta formado por la parte positiva del eje y la recta. Es decir solamente ∈ 0, .

Figura 24: Ángulo de inclinación de larecta





X

Y

L1

L2

-

2 4 6 8 10

2

4

6

8

L

a1

a2

X

Y

1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

5

4. Sean y dos rectas no verticales, con ángulos de inclinación y respectivamente, entonces y son los ángulosformados por las dos rectas.

Figura 25. Angulo entre las rectas y

Donde y −+

5.

Si ∶ , ∈ es una recta no vertical y ∈ 0, esel ángulo de inclinación de la recta , entonces la inclinación de se puede definir como el número llamado pendiente de la recta.Como el vector direccional de la recta es , 1, 1, 1,

Es decir es la pendiente de la recta ⇔

Figura 26: El vector direccional de larecta es ,

6.

Sean y dos rectas no verticales, con vectores direccionales1, y 1, respectivamente, entonces y son losángulos formados por las dos rectas.

Donde y −+

16.4. OTRAS FORMAS DIVERSAS DE LA ECUACIÓN DE LARECTA

1. Sea

∶ , ∈ una recta no vertical. Si

, y

, ∈ , entonces ∈ ⇔





Dónde , , 1, 1,

Pero

−− Luego : Expresión llamada, forma punto-pendiente de la ecuación de larecta.

2. Sea ∶ , ∈ una recta no vertical. Si 0, y, ∈ , entonces ∈ ⇔ Dónde

, , 1, 1,

Pero −

Luego : Expresión llamada, forma Y-intercepto de la ecuación de larecta.

3.

Sea ∶ , ∈ una recta no vertical que corta a losejes coordenados en los puntos , 0 y 0, . Si , ∈ ,entonces ∈ ⇔ Dónde , , , , 1, 1, 1, 1,

Pero

− −

Luego : , :

Remplazando

Se tiene ∶

Expresión llamada, ecuación simétrica de la recta

16.5. SEGMENTO DE RECTA

Definición. Un segmento cerrado de recta de extremos y ,denotado , , se define como el conjunto





P 1

P 2

Pm

n

, ∈ , ∈ 0,1⁄ Para referirnos al segmento cerrado de recta , es usual decir elsegmento de recta

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN UNA RAZÓN

DADAUn punto cualquiera divide alsegmento de recta en larazón

.

Esto es Despejando

, ≠

Ecuación vectorial que define al punto

1. Para

a) Si m y n tienen el mismo signo, es decir , entonces P es un

punto interior al segmento

b) Si m y n tienen signos opuestos, es decir , entonces P es un

punto exterior al segmento y ocurre que:

i) Si , entonces el punto P estará mas próximo a

ii) Si , entonces el punto P estará mas próximo a

2. Para se tiene que

Ejemplo 1. Sea el triángulo ABC de vértices , y . Hallar

el área del triángulo formado por los puntos de trisección de y la intersección de

la mediana trazada desde el vértice C con la altura trazada desde el vértice B.Solución.

nm

0n

m

21PP

0n

m

21PP

1n

m

1P

1n

m

2P

nm 21 PP

4,3A 4,3B 10,1C

AC

Se halla P y R:

,

,

MP

HQ

R

C

B

A





M es punto medio de , entonces

Ahora, encontramos el punto Q intersección de la mediana, trazada desde el vértice C,

contenida en la recta y la altura, trazada desde el vértice B, contenida en la recta

. Es decir;

donde;

además , ,

Entonces

luego , y

interceptando las rectas

,

entonces

Ahora calculamos el área del triángulo PQR

donde; ,

17. LA RECTA EN EL ESPACIO R 3

DEFINICIÓN. La recta es el conjunto de puntos de definido por:

∈ ⁄ ; ∈

Dónde

; es un punto de paso de la recta

; es un vector direccional de la recta

De la definición de la recta se tiene

AB 0,0MBA2

1M

CML

BHL

BHCM LLQ

x10y:LCM

43xmy:LBH

CHHB//m,1 6,2CB 14,4CA

CBoyPr CH CA

14,4

14,4

14,46,2CH

2

7,2//7,214

19CH

2,7//HB

7

2m 43x

7

2y:LBH

36

17x43x7

2x10

36170y

36

170,

36

17Q

PQPR 2

1A PQR

3

14,

3

4PR

36

146,

36

77PQ

2

PQR u108

247

36

77,

36

146

3

14,

3

4

2

1A

Figura 27: La recta en





∈ ⟺ , ∈

Y la expresión

: , ∈

Es llamada ecuación vectorial de la recta .

Sean , ,, , , y , , entonces la recta L resulta: , , , , , , , ∈ De donde

:

, ∈

Expresión llamada ecuación paramétrica de la recta L.Despejando el parámetro e igualando se obtiene

:

Expresión llamada ecuación simétrica de la recta L.Los números , , se llaman números directores de la recta L.

Además; sea

,

,

y

,

,

De la figura se tiene;

‖ ‖ , ‖ ‖ , ‖ ‖

Llamados los cosenos directores de la recta determinada por los puntos y ; , y son llamado los ángulos directores.

Ejercicio 63. Halle las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica dela recta que pasa por el punto 1,1,1 y tiene sus tres ángulos directoresiguales.Solución. Consideremos el vector unitario

,, como vector

direccional de la recta .Se conoce que; y ‖‖ 1

P1

P2

L





Luego,

1

De donde se obtiene

3 1 ↝ ± 1√ 3

Entonces ± 1√ 3 , ± 1√ 3 , ± 1√ 3 ∕∕ 1,1,1

Luego;: 1,1,1 1,1,1, ∈ , Ecuación vectorial de la recta.

: 1 1 1 , ∈ ,Ecuación paramétrica de la recta

: 1 1 1, Ecuación simétrica de la rectaAdemás la recta pasa por el origen de coordenadas, pues el origen pertenecea la recta para 1

17.1. POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS

Sean : , ∈ y : , ∈ dos rectas en .

Se presentan las siguientes posiciones relativas:

RECTAS PARALELASLas rectas y son paralelas ∕∕ si y sólo si los vectoresdireccionales y son paralelos.

∕∕ ⟺ ∕∕

RECTAS ORTOGONALESLas rectas y son ortogonales ⊥ si y sólo si los vectoresdireccionales y son ortogonales.

⊥ ⟺ ⊥





RECTAS QUE SE INTERSECTANLas rectas y se interceptan si y sólo si [ ] 0 donde

RECTAS QUE SE CRUZANLas rectas y se cruzan si y sólo si [ ] ≠ 0 donde

La recta tiene como vector direccional al vector × y es ortogonal alas rectas y .

Ejercicio 64.

Dadas las rectas: 0,1,2 1,1,1, ∈ : , , 0 Determinar si las rectas se interceptan o se cruzan. Si se interceptan hallar el

punto de intersección, si se cruzan hallar la recta ortogonal a y a .

Solución. De se tiene: 1,1,1, 0,1,2 De se tiene: 1,1,0 , 0,0,0 Obteniéndose:

0,1,2

Luego

y se interceptan si y sólo si [ ] 0 y se cruzan si y sólo si [ ] ≠ 0 Veamos,[ ] 1,1,1 ∙ (1,1,0 × 0,1,2) 1,1,1 ∙ 2,2,1 1 ≠ 0 Por lo que y se cruzan.Ahora, hallemos la recta ortogonal a las rectas y

L1

L2

P0

Q0

L

L1

L2

P0

Q0

L

R

S





‖ ‖ ,

P

QR 0

L1

L2

P0

Q0

L

17.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sea L: , ∈ una recta y un punto en , para determinar ladistancia del punto a se sigue;

En la figura, el área del paralelogramo está dado por

‖ × ‖ ‖‖‖ ‖

De donde

‖ × ‖ ‖‖,

Finalmente;

, ‖ × ‖

‖‖

Ejercicio 65. Halle la distancia entre las rectas:: 1 7 3, 6 : 4,2,7 7,0,1, ∈

Solución. De se tiene que su vector direccional es 7,0,1 y su punto de pasoes 1,6,3.De se tiene que su vector direccional es 7,0,1 y su punto de

paso es

4,2,7

Como

∕∕ entonces

∕∕ .

Luego la distancia de a esta dado por la distancia del punto 4,2,7 a Es decir; , ‖ ×‖‖‖ , 3,4,4

, ‖3,4,4 × 7,0,1‖‖7,0,1‖ ‖4,25,28‖5√ 2 5√ 575√ 2 12 √ 114

17.4. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Sean : , ∈ y : , ∈ dos rectas que secruzan.

, ‖ ‖

En la figura, la distancia (mínima) de

a

es medida a lo largo de la recta

perpendicular a ellas.Es decir,





X

Z

Y

‖ ‖ ‖ ‖ |× | ∙( ×) × [ ] ×

Finalmente,

, [ ] ×

Ejercicio 66. Sean las rectas: 0,1,2 1,1,1, ∈ : , , 0 Determinar la distancia (mínima) de a .

Solución. De la recta se tiene el vector direccional 1,1,1 y punto de paso0,1,2 De la recta

se tiene el vector direccional

1,1,0 y punto de paso

0,0,0

De donde 0,1,2 y × 1,1,0 Luego [ ] 0,1,2 ∙ (1,1,1 × 1,1,0) 1 Por lo que las recta y se cruzan, [ ] × |0,1,2 ∙ 1,1,0|‖1,1,0‖ |1|√ 2 1√ 2

18. EL PLANO EN R 3

DEFINICIÓN. El Plano es un conjunto de puntos

en

que tiene un punto de

paso y dos vectores , no paralelos en tal que

∈ ⁄ ; , ∈ } De donde

∈ ⟺ ; , ∈

Luego, la expresión

: ; , ∈

Es llamada la ecuación vectorial del plano P que pasa por el punto y esgenerado por los vectores y .

Sean , ,, , , , , , y , , , entonces laecuación del plano resulta: , , , , , , , , ; , ∈ De donde

: ; , ∈

Figura 28: El Plano en





P

×

P0

×

Expresión llamada ecuación paramétrica del plano P.

Cualquier vector no nulo ortogonal al plano P, es ortogonal a los vectores y ,se llama vector normal al plano P.

En particular un vector normal al plano P es ×

Si

es un punto fijo del plano

y P es un punto cualquiera de

, entonces el

vector es ortogonal al vector normal ×

Luego la ecuación del plano esta dada por

: ∙ 0

Expresión llamada ecuación normal delplano P con punto de paso y vectornormal .

Ahora si ,,, , , y , , se tiene que la ecuación del planoesta dada por : , , ∙ ,, 0

Operando se obtiene,

: ,

Expresión llamada ecuación general del plano P con vector normal ,, y punto de paso .

Ejercicio 67.

Halle la ecuación; vectorial, paramétrica y general del plano P que pasa por el punto 1,2,3 y es paralelo a las rectas: 13 21 32 , : 12 25 33

Solución. De la recta se tiene el vector direccional 3,1,2 De la recta se tiene el vector direccional 2,5,3

De donde se aprecia que los vectores

y

son no paralelos, por lo que:

La expresión

: ,, ,, ,,; , ∈

Figura 29: Vector normal al plano P

Figura 30: Ecuación normal del Plano P





Es la ecuación vectorial del plano P.De aquí se obtiene; :

; , ∈

Expresión llamada ecuación paramétrica del plano P.En la ecuación normal del plano : ∙ 0 1, 2, 3 y × 3,1,2 × 2,5,3 7,13,17 Luego se tiene : 1, 2, 3 ∙ 7,13,17 0 : Expresión llamada la ecuación general del plano P.

18.1.

PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE PLANOSDEFINICION. Dos planos : ∙ 0 y : ∙ 0 son

paralelos si sus vectores normales y son paralelos.Es decir, ∕∕ ⟺ ∕∕ Notas. Si y son paralelos entonces (coincidentes) o ∩ ∅

(intersección nula) Si y no son paralelos entonces su intersección es una recta

DEFINICIÓN. Dos planos : ∙ 0 y : ∙ 0 sonortogonales si sus vectores normales y son ortogonales.Es decir, ⊥ ⟺ ⊥

18.2. ANGULO ENTRE DOS PLANOS

El ángulo entre los planos : ∙ 0 y : ∙ 0 se define

como el ángulo entre sus vectores normales

y

.

Es decir,

Figura 31: Angulo entre dos planos





×

Figura 32: Distancia del punto Q alplano P

P

Figura 33: Intersección de la rectaL y el plano P

∡, ∡, ↝ ∙ ‖‖‖‖

18.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea el plano

: ∙ 0 , × y el punto

de

. Para hallar la

distancia del punto al plano se sigue;En la figura, ‖× ‖ , ∙( ×) ×

, ∙( ×) ×

, | ∙ |

‖‖

Si , , , , , , ,, y ,entonces , | , , ∙ ,,|√

, | |√

18.4. POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Sea la recta : , ∈ y el plano : ∙ 0. Se cumple: La recta es paralela al plano P si y sólo si ∙ 0 y puede

suceder que ∩ ó ∩ La recta no es paralela al plano , por lo que se interceptan en un

punto

18.5. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO NOPARALELOS

Sea la recta

:

, ∈ y el plano

:

∙ 0 no paralelos.

Se desea hallar el punto de intersección

∩

Para ello se sigue;En la figura y , ∈

Aplicando multiplicación escalar a laecuación anterior por el vector resulta

⋅ ⋅ ⋅

Pero ⊥ , es decir ⋅ 0,





Figura 34: Distancia entre dos planosparalelos

,,

℘

℘

Entonces ⋅ ⋅ ↝ ⋅ ⋅ ↝ ∙∙

Luego la ecuación anterior resulta

∙ ∙ Finalmente ∙ ∙ 18.6. DISTANCIA ENTRE PLANOS

Sean los planos paralelos dados en su forma general por:℘:

℘:

Para hallar la distancia entre estos planos se sigue;Sean , , ∈ ℘ y , , ∈ ℘

℘, ℘ | | ℘, ℘ ∙ ‖‖

℘, ℘ , , ∙ ; ; ‖ , , ‖ ℘, ℘ √ Finalmente,

℘, ℘ √ Ejercicio 68. Halle la ecuación del plano P que contiene a la recta: 2 4 7 03 2 0

Y es perpendicular al plano : 2 2 1 0.

Solución. La recta es intersección de dos planos con vectores normales

: 2 4 7 0 ↝ 2,1,4

3 2 0 ↝ 3,2,1

Tales que ∙ 0, por lo que los planos son ortogonales.





×

P

P

S

En la figura, la recta tiene como vector direccional al vector × 7,14,7, por lo que: 1,2,1 , ∈ Donde

, , ∈

Sea 0, entonces0, , ∈ : 4 7 02 0

Resolviendo se obtiene 1, 2 Luego el punto de paso es 0,1,2 y la rectaes; : 0,1,2 1,2,1 , ∈

Ahora el plano P es generado por el vector

2,1,2 normal a

y el

vector

1,2,1 vector direccional de L.

Es decir: 0,1,2 ; , ∈

: 0,1,2 2,1,2 1,2,1; , ∈

De : ∙( ×) 0

Se obtiene la ecuación general del plano P

: , 1 , 2 ∙ (2,1,2 × 1,2,1) 0 : , 1 , 2 ∙ 3,4,3 0 :

Ejercicio 69. Las rectas y tienen vectores direccionales 4,0,3 y (3, √ 11,4) respectivamente. Su intersección es el punto3,2,1. Cual es la recta que pasa por el punto 15,2,10 y determinacon y un triángulo de 6 de área.

Solución. Haciendo un esbozo de las rectas se tiene

En la figura se tiene ∕∕ 12,0,9 34,0,3

Se verifica que ⋅ 4,0,3 ⋅(3, √ 11, 4) 0 Por lo que las rectas y son ortogonales.Y el área del triángulo es;

△ 12 () × 12





45° P1

P

R

S

(3, √ 11,4)× 12,0,9 24 (9√ 11,75,12√ 11) 24

||

(9√ 11)

75

(12√ 11)

24

90|| 24 ↝ ± 415

Luego el vector base del triángulo es: (3, √ 11,4)

Sea el vector direccional de la recta : 15,20,10 , ∈ talque 415 (3, √ 11,4) 12,0,9

645

, 415

√ 11, 11915

Finalmente la recta pedida es;

: ,, (,√ , ) , ∈

Ejercicio 70. Sean los puntos 2,3,4 y 3,1,6 y el plano : 4 3. Hallar la ecuación de un plano P que pasa por , y que formacon un ángulo de 45°.Solución. Se desea hallar el plano: ; , ∈

O también: ; , ∈ Donde 1,2,2

Cuyo vector normal es

1,2,2 × , , 2 2, 2 , 2

Además el ángulo entre los planos P y es el ángulo formado por susvectores normales.

Es decir ∡, ∡, 45° , 1,1,4

Entonces45 ∙‖‖‖‖ ↝ 1√ 2 2 2, 2 , 2. 1,1,4‖‖‖1,1,4‖

1√ 2

2 2 2 4 8

3√ 2‖‖

1√ 2 3 6 63√ 2‖‖

1P





1√ 2 2 2√ 2‖‖

Luego

‖‖ 2 2 Es decir,‖23 22, 21 3, 2 21‖ 3 22 212

Desarrollando se tiene

4 4 4 8 4 0

2 2 0 ↝ 2 2

Entonces el vector normal

2 2, 2 , 2 2 4, 2 , 4 2 2 2,1,2 Luego basta considerar como vector normal 2,1,2 De la ecuación normal del plano: ∙ 0 , 2,3,4 : (,, 2,3,4) ∙ 2,1,2 0 : 2, 3, 4 ∙ 2,1,2 0

:2 2 7 0

Ejercicio 71.

Justificando debidamente su proceso, demostrar:Si × , × , × , entonces × ×

Ejercicio 72. Demostrar la identidad de Jacobi:( ×) × ( × ) × × × 0

Ejercicio 73. Sean A, B y C vectores en talque

∡ ,

y

‖‖ ‖‖ 1

‖ ‖

Demostrar que:

× × × × 2√ 2 Ejercicio 74. Sean los puntos 1,2,3, 1,3,0, ( 1 √ 5,4,2) y (1√ 5,1,1). Los segmentos y son las diagonales de dos caras opuestas

de un cubo. Hallar sus vértices.

Ejercicio 75. Hallar el ángulo que forman los vectores y si, . Donde y son

vértices de un paralelepípedo ABCDEFGH.

Ejercicio 76.

Sean A, B y C vectores en R

3

. Si, , ,Y hallar:

AF AC

)3,6,3(CFoyPr PF AF )7,3,1(CP )1,0,4(A )0, b,a(F

BAX CBY

ACZ 2CBA XZZYYX





Ejercicio 77. Los puntos A y H, B y E, C y F, D y G son respectivamentevértices opuestos de las caras ABCD y HEFG (opuestas) de un

paralelepípedo. Halle su volumen si se sabe que , ,, y

Ejercicio 78. Un objeto de 2 kg se desliza por una rampa que tiene un ángulode con la horizontal. Se desprecia la fricción, la única fuerza que actúasobre el objeto es la gravitacional. ¿Cuál es la componente de la fuerzagravitacional en la dirección del movimiento del objeto?

Ejercicio 79. En un paralelepípedo rectangular, ABCD y EFGH son carasopuestas y , , y son aristas. Sean los vértices ,

y . Si es paralelo al vector . Hallarel vértice H y el volumen del paralelepípedo.

Ejercicio 80. Sea la recta

y el planoa) Determinar si L y P son paralelos o se interceptan

b) Si son paralelos halle la distancia de L a Pc) Si se interceptan halle el punto de intersección.

Ejercicio 81. a) Sea una fuerza aplicada en uno de los extremos de un brazo que

tiene fijo el otro. Determine una formula vectorial para:

c) Melisa esta cambiando un neumático. La llave es posicionada en uno de

los pernos de la rueda formando un ángulo de con la horizontal yaplica una fuerza de 40 lb. hacia abajo para aflojar el perno. Si lalongitud de la llave es un pie, cual es el torque que imparte al perno.

Ejercicio 82. Dadas las rectas:

Determinar si se intersecan o se cruzan. Si se intersecan hallar el punto deintersección, de lo contrario la distancia de L1 a L2 y la recta L

perpendicular a ambas.Ejercicio 83. Los puntos y determinan un

tetraedro. Si desde A y D parten simultáneamente dos móviles con direcciónal baricentro de la cara ABC, cada uno con una velocidad de u/seg. Enque punto se encuentra el móvil que partió de D, cuando el que partió de Allega al baricentro.

Ejercicio 84. Sea la recta

y el planoDetermine si L y P son paralelos o se interceptan. Si son paralelos halle ladistancia de L a P, Si se interceptan halle el punto de intersección.

)1,0,4(A )0,f ,f (F 21

)7,3,1(CP )21,1,13(BD )3,6,3(CFoyPr PF AF

30

AH BG CF DE A(13,8,5)

B(5,8,13) F( 5, 20,3) FH v (6,3,2)

3x y z 1 0L :

2x y 2z 1 0

P : 3x 2y z 2 0

F

) brazoalFdecomponente)( brazodellongitud(torquedecantidad

53

0z,ty,tx:L2z1yx:L

2

1

)8,7,6(C,)9,7,5(B,)1,1,1(A )9,5,7(D

2

01z2yx2

01zyx3:L

02zy2x3:P





Ejercicio 85. Sean y dos vectores de con longitudes , y

que forman un ángulo de radianes. Hallar

a)

b) El área del paralelogramo formado por los vectores yEjercicio 86. La longitud de las aristas laterales de un paralelepípedo P es

la longitud de las aristas de las bases. Hallar el mínimo volumen de P sicontiene una arista lateral y

contiene una arista en la base.Ejercicio 87. Hallar la ecuación del plano P que contiene a la recta

y es perpendicular al plano

Ejercicio 88.

Los puntos son vértices de un paralelogramosiendo una de las diagonales. Si , encuentre el

área del paralelogramo que se construye con auxilio del punto de modoque sea una de sus aristas, una de sus diagonales y

Ejercicio 89. Hallar las rectas que pasan por el punto (3,4,0) y cortan al eje Z,sabiendo que la distancia del origen de coordenadas a dichas rectas es 4unidades.

a b 3

R 2a 3 b

3

ba2oyPr a

ba2 b2a

2

34

R r ;1,1,1r 2,1,0:L1

R t;0z,ty,tx:L2

0zy2x3

07z4yx2:L

01z2yx2:P1

DyC,B,)8,6,6(A

)3,7,1(AB ACABoyPr CA3

Q

)4,4,1(AQ AD

)5,4,2(45

7BQoyPr

BC7

45

Espacios Vectoriales Reales-n Dimensionales-2014

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