Siempreesimportanteobtenerlosvaloresmximosdelosesfuerzostantolos normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se est evaluando. El esfuerzo normal mximo se deduce derivando sx con respecto al ngulo a : dsx /da=0= - ( sx - sy ) (sen2a)+2 txy(cos2a) tan 2a = 2 txy / ( sx - sy ) La solucin de esta ecuacin son dos ngulos que valen :a y a + 90 Al evaluar usando estos valores para el ngulo a se obtienenlos esfuerzos normales mximo ( s1) y mnimo (s2). Es importante destacar que si se iguala txy = 0 se obtiene la misma expresin que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales(s1 ys2)se produce que el esfuerzo cortante vale cero. En definitiva: s1 ,s2=( sx + sy ) / 2 + /- Elesfuerzocortantemximoseobtienedeformasimilar,derivandolaexpresin correspondiente con respecto al ngulo a. dtxy / da=0=-2 txy(sen2a)- ( sx - sy ) (cos2a) tan2a =- ( sx - sy ) / 2 txy Esta expresin nos entrega el ngulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes mximos, queda en definitiva: t1 y t2 = + / - Acontinuacinseentregaotraaplicacinquecalculalosesfuerzosprincipalesyel ngulo correspondiente. Compruebe las soluciones que entrega Esfuerzos principales Esfuerzo:caracterizalaintensidaddelasfuerzasquecausanelestiramiento, aplastamiento o torsin, generalmente con base en una "fuerza por unidad de rea". Deformacin: describe el cambio de forma resultante. Ley de Hooke: La deformacin es proporcional a la fuerza aplicada, y se calcula: Esfuerzo / Deformacin = Mdulo de Elasticidad Tensin:Cuandosobreunelementoactaunafuerzaexternaperpendicularasu seccin transversal, el efecto que produce es un alargamiento longitudinal al que se le asocia una disminucin en la seccin transversal. Esfuerzodetensin:enlaseccintransversalcomoelcocientedelafuerza (perpendicular) y el rea de la seccin: Esfuerzo de tensin = F / A. Deformacinportensin:Elcambiofraccionariodelalongitud(estiramiento)deun cuerpo sometido a esfuerzo de tensin. Teora y procedimiento Existenvarioscaosprcticosqueimplicanesfuerzoscombinadosquesepueden resolver sin recurrir a los procedimientos ms rigurosos y tardados. Procedimiento. Dibujar diagrama y calcular la magnitud de las fuerzas. Calcular esfuerzos. Pormediodelosesfuerzosflexionantes,determinarlosmomentosflexionantes causado por estos esfuerzos. Paralaszonassometidasamomentosflexionantesmximo,calcularelesfuerzo flexionantepormediode o=M/S.Elmomentoserlafibramsalejada.Calcular todos estos. Suponerpormediodelasuperposicinlosocombinadosteniendoencuentasu sentido. ocomb= + F/A + M/S Distribucin de esfuerzos. Estado de esfuerzos: Punto para fines de anlisis mecnicos, se considera un cubo (el cuadrado),esta representandoelesfuerzoal quesesometeen formatridimensional, en el plano un cuadrado .

Distribucin de esfuerzos. Estado esfuerzos

Esfuerzo de flexin Distribucin de esfuerzo normal por flexin Estado de esfuerzos. Esfuerzo cortante por flexin. Estado de esfuerzos.

Ejemplos Estado de esfuerzos de una flecha. Diagrama de estados de esfuerzos

ECUACIN PARA DETERMINAR ESFUERZOS EN CUALQUIER DIRECCIN. En general cuando hablamos de un esfuerzo combinado se refiere a los casos en que 2 o ms tipos de esfuerzos actan en un punto dado al mismo tiempo.Elemento sometido a esfuerzo completo. Esfuerzo normal en la direccin de u (ou) ou= (ox + oy) + cos 2u -txysenu Esfuerzo cortante que acta en la cara del elemento tuv= - (ox - oy) senu - txycosu u= tan-1 [-txy / (ox - oy)] ngulo que localice el esfuerzo principal mximo o sea ou = omax = o1 ngulo que localice el esfuerzo cortante mximo tuv= tmax u= tan-1 [ (ox - oy) / txy] Ejemplo Paraelestadodeesfuerzosmostrado(cuadroelemental).Calcularlosesfuerzos principales,esfuerzocortantemximoydireccionesdelosmismos,muestrelos resultados en cuadros elementales respectivos. I Cuadro elemental II Aplicar las frmulas III Obtencin de direccin de esfuerzos. b) Verificacin de la direccin 2 u ou = (ox+oy) + (ox-oy)cos 2u - txysen2u ou = (400-300) + [400-(-300)]cos 29.74 - 200sen29.74 oy = 50+350(0.8)+99.08=453.83 u= 29.74/2 = 14.87 o1= 453.11 c) o1= 353.11 MPa = u2= 90-14.87= 75.13 2u2= 151 |u1| +|u2| =90o1+o2 = ox+oy 453.11 + (-353.11) = 400 + (-300) 100=100 d) u= tan-1 [ (ox+oy) / txy]= 2u= tan-1[ (ox+oy) / 2txy]= tan-1 [ 400 (-300) / 2(-200)] 2u1= 60.25 u1= 30.127tuv = [400-(300)] sen 60.25- 200cos 60.25 tuv = (-303.86) + (-99.01) = -403.11MPa tuv = (ox-oy) sen2u1- txycosu t = -403.11 u1= 30.127 2u11= 30.127 + 90 = 120.12 |2u| +|2u1| + |2u1| +|2u2| = 29 + 151+ 60.25+120.12= 360.37 Esfuerzos principales Esfuerzo cortante mximo Esfuerzo promedio oprom= ox+oy/2 = (400-300)/2 = 50MPa MTODO GRFICO PARA LA OBTENCIN DE ESFUERZOS. Pasos para el crculo de Mohr Obtener las coordenadas de los puntos "x" y "y" x(ox,oxy) Dependiendo si estn en tensin o compresin y(oy,oyx) Trazar los ejes o eje horizontal y o eje vertical ubicados estratgicamente. Localizar los puntos "x" y "y" en el plano o eligiendo una escala adecuada. Unir los puntos "x" y "y" con una lnea recta. Trazar el crculo de Mohr con un comps haciendo centro en el punto de interseccin del eje o con la lnea que une los punto "x" y "y" Localizar todos los punto localizados en la figura obtener sus valores grficamente. Ejemplo Paraelestadodeesfuerzosmostrado(cuadroelemental).Calcularlosesfuerzos principales,esfuerzocortantemximoydireccionesdelosmismos,muestrelos resultados en cuadros elementales respectivos. Calcular por el mtodo grfico MTODO SEMIGRFICO DE OBTENCIN DE ESFUERZOS. Pasos para resolver un problema. Obtener las coordenadas de los puntos "x" y "y" x(ox,txy) = x ( , ) y(oy,tyx) = y ( , ) Trazar el crculo de Mohr. -Trazarejesoyt ubicandoadecuadamenteelejet yaqueelesfuerzooconviene colocarlo a la mitad. -Escogiendo una escala adecuada ubicar los puntos "x" y "y" -Unir los puntos -Trazar el crculo haciendo crculo en la interseccin. Localizar los puntos y zonas de inters. Calcular los esfuerzos o1,o2. tmax Por medio del tringulo originado en el crculo de Mohr cuya hipotenusa es el eje x Caso especial de esfuerzos en el mismo cuadrante Pasos para resolverlos Obtener ox , oy, txy Establecer los puntos x( , ) y( , ) Trazar el cruclo de Mohr Ubicando los ejes o y t Ubicar puntos "x" y "y" Trazar la lnea que los une Trazar el crculo C1 y ubicar o1 o2 donde o1 ser ms positivo y o2 ms negativo Trazar C2 haciendo centro en las coordenadas (o2/2 o1/ o2 ) (o2 /2, 0) si el C1 si el queda en la parte positiva del eje o (-o2 /2, 0) si el C1 queda en la parte negativa del eje o Trazar C3 haciendo centro en (o1/2, 0), si el C1 queda en la parte positiva del eje o (o3/2, 0), si el C1 queda en la parte negativa del eje o Ubicar los puntos principales Calcular esfuerzos Resolviendo el tringulo Clculo de esfuerzos __ _ o1 = OC1 + C1x __ _ o2 = OC1 - C1x o3 = 0 tmax = o1 /2 tmax = (o1 o2 )/2 Ejemplo Paraelestadodeesfuerzosmostrado(cuadroelemental).Calcularlosesfuerzos principales,esfuerzocortantemximoydireccionesdelosmismos,muestrelos resultados en cuadros elementales respectivos. Calcular por el mtodo grfico CASO ESPECIAL DE ESFUERZOS COMBINADOS. Teora Laprimeracombinacinaconsiderareslaflexincontensinocompresindirecta. En cualquier problemas de esfuerzo combinado conviene visualizar la distribucin del esfuerzo producido por diversos componentes del patrn del esfuerzo total. Ejemplos Seutilizauntubodeacerocedula40de2incomosoportedeuntablerode baloncestocomosemuestraenlafigura.Estafirmementeafianzadoenelsuelo. Calcule el esfuerzo que se desarrollara en el tubo si un jugador de 230lb se cuelga de la base de la canasta. a) Diagrama de fuerzas b) Aplicacin de condiciones de equilibrio EFy=0 P-F =0 P=F P= 230lb EM=0 F(4ft) M M= 4ft (230) M= 920 lb.ft M= 11040lb-in

III- Anlisis de esfuerzos s= -P/A MC/I s= -P/A MC / S = (-230lb/ 1.704in)-(11040lb-in / 1.064in2) sB = 10510.9 lb/in2 sB = -P/A MC/I sA = P/A MC/I Calcule el esfuerzo mximo en laviga de gra mostrada en la figura a la mitad de la duela de 12kN

a) Diagramas de fuerzas Anlisis de fuerzas Anlisis de fuerzas internas Mmax= Ay (1.2) 7.2kN Ax= TCDx = 9.59 kN Ay= TCDy = 6kN

IV Anlisis por resistencia Todos los esfuerzos nombrados son usados en distas ramas como por ejemplo en la construccin ya que las vigas son de hierro y cemento, ya que el hierro soporta mejor la flexin y el cemento resiste mejor la compresin por lo que el hierro se coloca abajo

Conclusiones Comohemosvistolosesfuerzoscombinadosseusanfrecuentementesindarnos cuenta,comoporejemplonuestrascasaestnhechasdevigas,quecombinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexin y otros mejor la compresin. Estas combinaciones de esfuerzos son tiles en todas las ramas de la ingeniera. Estado de esfuerzos en un punto Esfuerzos principales 1.

Introduccin Luegodehacerlosanlisisparahallarlosesfuerzosinternosenelpuntocrticode unelemento mecnico, debe analizarse el estado de esfuerzos en el punto crtico para luegoproceder a disear la pieza o determinar si un elemento ya diseado fallar por la accinde las cargas externas. 2.

El tensor de esfuerzos Considere un elemento infinitesimal tridimensional bajo la accin de esfuerzos: Figura 2.1. Elemento tridimensional bajo la accin de esfuerzos. Sobreelelementoactantresesfuerzosnormalesyseisesfuerzoscortantessobre lascaras. El estado de esfuerzos en el elemento es descrito mediante una matriz de 33 denominada el tensor de esfuerzos : z yz xz yz y xy xz xy x

(2.1)Eltensordeesfuerzosessimtricodebidoaquelosesfuerzoscortantes cruzadosdebenserigualesparagarantizarequilibriodelelemento.Enelcaso bidimensional: 2 Figura 2.2. Elemento bidimensional bajo la accin de esfuerzos. Sobreelelementoactandosesfuerzosnormalesydosesfuerzoscortantessobre lascaras. Los esfuerzos cortantes son iguales para garantizar equilibrio del elemento, eltensor de esfuerzos en este caso es entonces: y xy xy x (2.2)Elcasobidimensionalesgeneralmenteelhalladoenlosproblemasdediseo mecnico. 3.

Esfuerzos principales Losesfuerzosprincipalessonlosmayoresesfuerzosqueactansobreelelementoysehallanpor mediodeunarotacindecoordenadas.Losesfuerzosnormalesprincipalessenotan como 321 ,, , donde 321 , y en el ngulo de rotacin en el que sedan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante mximo absoluto se nota como max yenelnguloderotacinalquesedalosesfuerzosnormalessonelpromediodelosesfuerzos normalesdeltensordeesfuerzos.Losesfuerzosnormalesprincipalessonlos eigenvalores o valores propios del tensor deesfuerzos. En el caso tridimensional, debe resolverse la ecuacin 0det z yz xz yz y xy xz xy x (3.1)Losesfuerzosprincipalessonlastresracesde3.1.Elesfuerzocortante mximoabsoluto es: 2 31max (3.2) 3 Figura 3.1. Esfuerzos principales tridimensionales. Para el caso bidimensional, los valores propios del tensor de esfuerzos se hallan de: 0)()( 00det 222 xy y x y xxy y x y xy xy x

Resolviendo la ecuacin cuadrtica resulta: 2 22 xy y x y x (3.3)Los esfuerzos principales 31 ,

se hallan de 3.3 y son: 21 22 xy y x y x (3.4) 23 22 xy y x y x (3.5)Y 0 2 . El esfuerzo cortante mximo absoluto es: 2 31max

2max 2 xy y x

(3.6) REPRESENTACINDELESTADO TENSIONAL DE UN SLIDO. CRCULOS DE MOHR Los crculos de Mohr son un mtodo para representar grficamente el estado tensional que padece un punto de un slido en un instante determinado. Aunque actualmente, gracias a los ordenadores, esposiblecalcularlastensionescongranprecisinsinrecurriraestosmtodos, siguen siendo de granvalidezpuestoquedeunsologolpedevistahacencomprensiblelasituacin tensional del slido. Paraentenderestarepresentacinrepasaremosbrevementealgunosconceptosya estudiados como los de esfuerzo (tensin) y deformacin, y su modo de ser expresados. 1. ESFUERZO El esfuerzo o tensin se define como una fuerza por unidad de rea, con unidades en psi o MPa. En unapiezasujetaaalgunasfuerzas,losesfuerzossedistribuyencomounafuncin continuamente variabledentrodelcontinuodelmaterial.Cadaelementoinfinitesimalenelmaterial puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo, por lo que debemos considerar los esfuerzos como actuandosobreelementosinfinitesimalmentepequeosdentrodelapieza.Estos elementos suelen modelarsecadaunocomouncubo,segnsemuestraenlaFigura4-1.Las componentes de los esfuerzosactanenlascarasdeestoscubosdedosmanerasdistintas.Los esfuerzos normales actandemaneraperpendicular(esdecir,normal)alacaradelcuboytienen tendencia ya sea a tirar del(esfuerzoatraccin),oaempujarlo(esfuerzoacompresin).Losesfuerzos cortantes actan paralelosalascarasdeloscubos,enparessobrecarasopuestas,loquetiendea distorsionar el cuboaformaromboidal.Estoesanlogoatomarlasdosrebanadasdepandeun sndwich de Nocillaydeslizarlasendireccinopuesta.Comoresultado,lacapadeNocillase cortar. Estas componentesnormalesycortantesdelesfuerzoqueactansobreunelemento infinitesimal conforman los trminos de un tensor. Elesfuerzoesuntensordesegundoordenyporlotantorequierenuevevalores componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede expresar como la matriz: zx zy zz yx yy yz xx xy xz (4.1a) dondelanotacinparacadacomponentedeesfuerzoscontienetreselementos,una magnitud (ya sea o ), la direccin de una normal a la superficie de referencia (primer subndice) y en una direccindeaccin(segundosubndice).Nosserviremosdereferimosalos esfuerzos normales y para los esfuerzos cortantes. Muchoselementosdemaquinariaestnsujetosaestadosdeesfuerzo tridimensionales y por lo tanto requieren un tensor de esfuerzo como el de la ecuacin 4.1a. Hay, sin embargo, casos especiales, quesepuedentratarcomoestadosdeesfuerzoendosdimensiones.Eltensorde esfuerzo para dos dimensiones es (4.1b) LaFigura4-1muestrauncuboinfinitesimaldematerialtomadodelinteriordeuna pieza sujeta a algunos esfuerzos tridimensionales. Las caras de este cubo infinitesimal son paralelas a un sistema de ejes xyz tomado con alguna orientacin conveniente. La orientacin de cada una de las caras se define por su vector superficial normal1 segn se muestra en la Figura 4-1a. La normal de superficie a lacaraxesparalelaalejedelasx,etctera.Obsrveseque,porlotanto,haydos caras x, dos caras y y dos caras z, una positiva y la otra negativa, segn se defina el sentido de su vector superficial normal. EnlasFiguras4-Ibycsemuestranlosnuevecomponentesdeesfuerzo,actuando sobre las superficiesdeesteelementoinfinitesimal.Lascomponentesxx,yyyzzsonlos esfuerzos normales, que se llaman as porque actan en direccin normal a las superficies x, y, z del cubo, respectivamente. Las componentes xy y xz, por ejemplo, son los esfuerzos cortantes que actan sobrelacaraxycuyasdireccionesdeaccinsonparalelasalosejesyyz, respectivamente. El signo decualquieradeestascomponentessedefinecomopositivosilossignosdesu normal a la superficie y la direccin de fuerzo son iguales; y negativo, si son distintos. Por lo que las componentesquesemuestranenlaFigura4-lbsontodasellaspositivas,porque accionan sobre las caraspositivasdelcuboysusdireccionestambinsonpositivas.Lascomponentes que se muestran en la Figura 4- 1 c son todas ellas negativas, porque actan sobre las caras positivas del cubo y sus direcciones son negativas. Esta regla de signos convencional hace que los esfuerzos normales de traccin sean positivos, y los esfuerzos normales de compresin, negativos. Enelcasodedosdimensiones,slounacaradelcubodeesfuerzosnecesita dibujarse. Si se retienenlasdireccionesxyy,yseeliminalaz,miraremosperpendicularmenteal plano xy del cubo de laFigura4-1,yveremoslosesfuerzosqueaparecenenlaFigura4-2,queactan sobre las caras no vistasdelcubo.Enfuncindelareglaconvencionaldesignosarribaenunciada,el lector deber confirmar que las componentes de esfuerzo que aparecen en la Figura 4-2 sean todas positivas. Lanotacindedoblesubndicearribacitadaesconsistentecuandoseaplicaa esfuerzos normales. Porejemplo,elesfuerzonormalxxactasobrelacaraxytambinapareceenla direccin x. Dado que en esfuerzos normales los subndices se repiten, es comn eliminar uno de ellos y hacer referenciaalascomponentesnormalesoperpendicularescomox,yyz.Enlas componentes de esfuerzocortantesenecesitanparasudefinicinambossubndicesyseconservan. Tambin se puede demostrar que el tensor de esfuerzo es simtrico, lo que significa que Con ello se reduce el nmero de componentes de esfuerzo a calcular. (a) Normales de superficie. (b) Componentes de esfuerzo (c) Componentes de positivas. esfuerzo negativas. FIGURA 4-1 2. DEFORMACIN 1Unvectornormaldesuperficiesedefinecomoquecrecehaciafueradela superficie del slido, en direccin perpendicular o normaladichasuperficie.Susignosedefinecomoelsentidodeeste vectornormal de superficie, en el sistema local de coordenadas. En la regin elstica de la mayor parte de los materiales de ingeniera el esfuerzo y la deformacin estnrelacionadosdemaneralinealmediantelaleydeHooke.Ladeformacines tambin un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma y en el caso de dos dimensiones (4.3b) donde representa tanto una deformacin normal como una deformacin producida por el esfuerzo cortante, quedando ambas diferenciadas por sus subndices. Aqu tambin por comodidad simplificaremos los subndices repetidos, para deformaciones perpendiculares o normales a x, y y z, y al tiempo consideraremos dobles subndices para identificar deformaciones por cortante. 3. ESFUERZOS PRINCIPALES Los sistemas de ejes tomados en la Figura 4-1 y la Figura 4-2 son arbitrarios y, por lo general, se eligen por comodidad al calcular los esfuerzos aplicados. Para cualquier combinacin particular de esfuerzos aplicados, alrededor de cualquier punto que se analice habr una distribucin continua del campo de esfuerzos. Los esfuerzos normales y cortantes en el punto variarn con la direccin en cualquier sistema de coordenadas que se escoja. Siempre habr planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo cortante sean igual a cero. Los esfuerzos normales que actan sobre esos planos se conocen como esfuerzos principales. Los planos sobre los cuales estas fuerzas principales actan se conocen como planos principales. La direccin de las normales de superficie a los planos principales se conocen como ejes principales y los esfuerzos normales que actan en estas direcciones se conocen como esfuerzos normales principales. Habr tambin otro conjunto de ejes mutuamente perpendiculares sobre los cuales los esfuerzos cortantes sern mximos. Los esfuerzos cortantes principales actan sobre un conjunto o sistema de planos que estn a 45 en relacin con los planos de los esfuerzos normales principales. En la Figura 4-3 aparecen los planos principales y los esfuerzos principales, para el caso en dos dimensiones de la Figura 4-2. Desde un punto de vista de ingeniera lo que ms nos preocupa en el diseo de nuestras piezas de maquinaria es que no fallen y el fallo ocurrir si el esfuerzo en cualquier punto excede a cierto valor seguro. Es necesario que determinemos los esfuerzos de mayor dimensin (tanto normales como de cortante) que ocurren en cualquier parte dentro del material que forma nuestra pieza de maquinaria. Quiz nos preocupe menos de la direccin de estos esfuerzos que su magnitud, siempre y cuando el material se pueda considerar por lo menos macroscpicamente istropo, es decir, con propiedades de resistencia uniformes en todas direcciones. La mayor parte de los metales y muchos otros materiales de ingeniera cumplen con estos criterios, aunque como notables excepciones se deben mencionar la madera y los materiales compuestos. La expresin que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales es donde es la magnitud del esfuerzo principal y nx, ny y nz, son los cosenos directores del vector unitario n, que es normal al plano principal: Paraquehayaunasolucinalaecuacin4.4a,eldeterminantedelamatrizde coeficientes debe ser igual a cero. Al expandir este determinante e igualarlo a cero, obtenemos donde La ecuacin 4.4c es un polinomio cbico en . A los coeficientesC0, C1, y C2 se les conoce como invariantestensoriales,porquetienenlosmismosvalores,independientementedela eleccin inicial delosejesxyzsobreloscualessemidieronocalcularonlosesfuerzosaplicados. Estos tres esfuerzosprincipales(normales)1,2y3sonlastresracesdeestepolinomio cbico. Las races de este polinomio son siempre reales y, por lo general, quedan ordenadas de manera que 1>2>3. Desernecesario,sepuededeterminarladireccindelosvectoresprincipalesde esfuerzo, sustituyendo cada raz de la ecuacin 4.4c en 4.4a y resolviendo en funcin de nx, ny y nz, para cada uno de los tres esfuerzos principales. Las respectivas direcciones de los tres esfuerzos principales son mutuamente ortogonales. Los esfuerzos cortantes principales se pueden determinar a partir de los valores de los esfuerzos normales principales, utilizando Silosesfuerzosnormalesprincipaleshansidoordenadoscomosemuestraarriba, entonces mx = 13.Lasrespectivasdireccionesdelosplanosdelosesfuerzoscortantesprincipales estn a 45 de los esfuerzos normales principales, y tambin son mutuamente ortogonales. Lasolucindelaecuacin4.4cenfuncindesustresracessepuedehacerde manera trigonomtrica o mediante un algoritmo iterativo de determinacin de races. Para el caso especial de un estado de esfuerzos en dos dimensiones, las ecuaciones 4.4c para el esfuerzo principal se reducen a2 2Tambinseaplicanlasecuaciones4.6cuandounesfuerzoprincipalesdistintode cero, pero est dirigido a lo largo de uno de losejesdelsistemadecoordenadasxyzseleccionadoparaelclculo.Elcubode esfuerzos de la Figura 4-2 se gira entonces respectoaunejeprincipalparadeterminarlosngulosdelosotrosdosplanos principales. Las dos races distintas de cero calculadas a partir de la ecuacin 4.6a se identifican temporalmente como a y b, y en el caso de dos dimensiones, la tercera raz c, ser siempre igual a cero. Dependiendo de valores resultantes, las tres races entonces se identifican de acuerdo con la regla convencional: la algebraicamente mayor = 1, la algebraicamente menor = 3 Y la otra = 2. Aplicando la ecuacin 4.6a para resolver el ejemplo que aparece en la Figura 4-4 nos dara valores de1=a,3=bY2=c=0,segnapareceindicadoenlafigura3.Por supuesto, la ecuacin 4.4c correspondientealcasotridimensionalsepuedeutilizardetodasmaneraspara resolver cualquier casoendosdimensiones.Unodelostresesfuerzosprincipalesdeterminados aparecer entonces como igual a cero. Unavezdeterminadoslostresesfuerzosprincipalesyordenadossegnsedescribe arriba, se determina el esfuerzo cortante mximo a partir de la ecuacin 4.5: 4. ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIN PLANA Elestadogeneraldelesfuerzoyladeformacinestridimensional,perohay configuraciones geomtricas particulares que pueden ser tratadas de manera distinta. Esfuerzo plano El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, tambin se conoce como esfuerzo plano.Elesfuerzoplanorequierequeunesfuerzoprincipalseaigualacero.Esta situacin es comn en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarn delgado puede tambin tener un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujecin. Estos casos se pueden tratar con el procedimiento ms sencillo de las ecuaciones 4.6. Deformacin plana Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales(digamos3)esigualacero,ylasdeformacionesrestantesson independientes de la dimensinalolargodesuejeprincipal,n3,steseconocercomodeformacin plana. Esta situacinocurreengeometrasparticulares.Porejemplo,siunabarralarga,slida, prismtica est cargadanicamenteen ladireccintransversal, aquellasregionesdentrodeellaque estn lejos de cualquier restriccin en sus extremos tendrn en esencia una deformacin igual a cero en la direccin a lo largo del eje de la barra, y se tratar de una deformacin plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es igualaceroenladireccindedeformacinigualacero.)Undiquehidrulicolargo puede considerarseconunasituacindedeformacinplana,enregionesmuylejosdesus extremos o de su base, donde est sujeto a estructuras vecinas. 5. CRCULOS DE MOHR 3Sienelcasodedosdimensioneslareglaconvencionaldenumeracinentres dimensiones se sigue con rigidez, entonces algunasveceslosdosesfuerzosprincipalesdistintosdeceroseconvertirnen1y 3 si son de signo opuesto (como en el casodelejemplo4-1).Otrasvecessern1y2cuandoambosseanpositivosyel menor (3) es igual a cero (como en el caso del ejemplo 4-2). Una tercera posibilidad es que ambos esfuerzos principales distintos de cero sean negativos (a compresin) y el algebraicamente mayor del conjunto (1) sea entonces igual a cero. La ecuacin 4.6 identifica de manera arbitraria los dos esfuerzos bidimensionales principales distintos de cero a y b, con el que queda (c) reservado para el miembro igual a cero del tro. DesdehacemuchotiempoloscrculosdeMohr4hansidounaformadesolucin grfica de la ecuacin4.6ydedeterminarlosesfuerzosprincipalesparaelcasodeesfuerzos planos. Muchos librosdetextosobrediseodemquinaspresentanelmtododelcrculodeMohr como una tcnica primordialdesolucinparaladeterminacindeesfuerzosprincipales.Antesdela llegada de las calculadoras y de las computadoras programables, el mtodo grfico de Mohr era una forma razonable y prctica de resolucin de la ecuacin 4.6. Hoy da, sin embargo, es mucho ms prctico determinarnumricamentelosesfuerzosprincipales.Sinembargo,presentamosel mtodo grfico por varias razones. Puede servir como verificacin rpida a una solucin numrica, o quizs sea el nico mtodo viable si falla la energa de su computadora o si se agotan las pilas de su calculadora. Tambincumpleconeltilobjetivodeserunapresentacinvisualdelestadodelos esfuerzos en un punto. Tambin hay crculos de Mohr en el caso de esfuerzos tridimensionales, pero no est disponible ningnmtododegraficacinparacrearlosdirectamenteapartirdedatosde esfuerzos aplicados, exceptoenelcasoespecialdequeunodelosesfuerzosprincipalesseacoincidente con un eje del sistemadecoordenadasxyzseleccionado,esdecir,cuandounodelosplanosesel del esfuerzo principal.Sinembargo,unavezcalculadoslosesfuerzosprincipalesapartirdela ecuacin 4.4c mediantealgunatcnicaadecuadadedeterminacinderaces,sepuedendibujar crculos de Mohr tridimensionales segn los esfuerzos principales calculados. El plano de Mohr --en el cual se trazan los crculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente perpendiculares,aunqueenelespaciorealelnguloentreellosrepresenta180. Todos los ngulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados x, y y z, se trazan a lo largo de este eje y los esfuerzos principales 1, 2 y 3 tambin se determinan sobre este eje. La ordenada eselejeparatodoslosesfuerzoscortantes.Seutilizaparatrazarlosesfuerzos cortantes aplicados XY,XZyYZydeterminarelesfuerzocortantemximo5.Mohrutilizunaregla convencional de signos paraesfuerzoscortantes,quehacequelosparesesfuerzocortanteensentidodel movimiento de las agujasdelrelojseanpositivos,loquenoesconsistenteconlaregladelamano derecha, ahora estndar. Aun as, esta regla convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el crculo deMohr.LamejormaneradedemostrarelusodelcrculodeMohresmediante ejemplos. 4IdeadosporelingenieroalemnOttoMohr(18351918).Suscrculostambinse utilizan para la transformacin coordenada de deformaciones , de los momentos de rea y de los productos de inercia. 5 El hecho de que Mohr utilizara un mismo eje para trazar ms de una variable es una de las fuentes de confusin para los estudiantescuandoseenfrentanporprimeravezaestemtodo.Slosedebe recordar que todos los esfuerzos normales se trazansobreelejehorizontal,trteseonodeesfuerzosnormales(x,y,z)ode esfuerzos principales (1, 2 y 3) aplicados y todaslastensionestangencialessetrazansobreelejevertical,independientemente que se trate de esfuerzos cortantes (xy, etctera)odeesfuerzoscortantesmximosaplicados(12,etctera).Losejesde Mohr no son ejes cartesianos convencionales. EJEMPLO 1 Determinacin de los esfuerzos principales mediante los crculos de Mohr ProblemaUnelementodeesfuerzobiaxialcomosemuestraenlaFigura4-2 tiene x = 40.000 psi, y = 20.000 psi y xy = 30.000 psi en sentido contrario al de las manecillas del reloj (ccw). Se pide trazar los crculos de Mohr para determinar los esfuerzos principales. Solucin Vanse la Figura 4-2 y la Figura 4-5. 1SetrazanlosejesdelplanodeMohrsegnsemuestraenlaFigura4-5b,y mrquelos como y . 2 Se sitan los esfuerzos dados x, (como lnea OA) en cualquier escala prctica a lo largo del eje de esfuerzos normales (horizontales). En este ejemplo x., es un esfuerzo de tensin (positivo). 3 Se lleva el esfuerzo y (como lnea) a lo largo del eje normal de esfuerzos. En este caso y es un esfuerzo de compresin (negativo). 4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes xy crea un par en sentido contrario al de lasagujasdelrelojsobreelelemento.Estepar seequilibraconelparensentidode las agujas del reloj proporcionado por los esfuerzos cortantes y. Estos dos esfuerzoscortantes (xy y yx,) son de igual magnitud, de acuerdo con la ecuacin 4.2, y positivos, de acuerdo con la regla de signos convencionales de esfuerzos. Pero, en vez de utilizar la regla convencional de signos de esfuerzos, setrazanenelcrculodeMohrdeacuerdoconlarotacinqueimplicanparael elemento, segn la reglaconvencionaldesignosdelamanoizquierda:positivoensentidodelasagujas del reloj y negativo en sentido contrario al de las agujas del reloj. 5 Dibujamos una lnea vertical hacia abajo --en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj-delextremodex,(comolneaAC)pararepresentarlamagnitudaescalade xy. Trazamos una lneaverticalhaciaarriba-ensentidodelmovimientodelasagujasdelreloj-del extremo de sy (como lnea BD) para representar la magnitud a escala de yx. 6 El dimetro de un crculo de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La lnea AB corta a CD. El crculo se dibuja tomando esta interseccin como centro. 7Dosdelosesfuerzosnormalesprincipalessedeterminanacontinuacincomolas dos intersecciones que este crculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales, en los puntos P1, y P3: 1 = 52.426 psi, y 3 = -32.426 psi. 8 Dado que en este ejemplo no hay esfuerzos aplicados en la direccinz, se trata de un estado de esfuerzos de dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal 2, es igual a cero, y se localiza en el punto 0, que tambin se identifica como P2. 9TodavadebendibujarseotrosdoscrculosdeMohr.LostrescrculosdeMohr quedan definidos por los dimetros (1 2), (1 3) y de (2 3), que son las lneas P1P2, P1P3 Y P2P3. Los tres crculos aparecen en la Figura 4-5c. 10Trazamoslneastangenteshorizontalesdesdelosextremossuperioreinferiorde cada crculo de Mohr hasta su interseccin con el eje del cortante (vertical). Ello determina los valores de los esfuerzoscortantesprincipales,asociadosconcadapardeesfuerzosnormales principales: 13 = 42.426, 12 = 26.213 y 23 = 16.213 psi. A pesar de tener nicamente dos esfuerzos normales principales distintos de cero, hay tambin tres esfuerzos cortantes principales distintos de cero. Sin embargo, slo el mayor de ellos, mx= 3= 42.426 psi es de inters para efectos de diseo. 11Tambinpodemosdeterminarlosngulos(conrespectoanuestrosejesxyz originales) de los esfuerzosnormalesprincipalesyloscortantesprincipales,partiendodelcrculode Mohr. Estos ngulos, si el material es homogneo o istropo, slo tienen un inters acadmico. En caso de no ser istropo, las propiedades del material dependen de la direccin y entonces la direccin de los esfuerzosprincipalesesdeimportancia.Elngulo2=-45'delaFigura4-5a representa la orientacindelesfuerzonormalprincipalconrespectoalejedelasxennuestro sistema original. La lnea DC del plano de Mohr est en el eje de las x en el espacio real, y los ngulos se miden de acuerdoconlareglaconvencionaldelamanoizquierdadeMohr---ensentidodel movimiento de las agujasdelreloj-DadoqueenelespacioreallosngulosdelplanodeMohrsonel doble, el ngulo delesfuerzoprincipal1conrespectoalejexenelespacioreales=-22.5'.El esfuerzo 3 ser de 90 a partir de 1 y en el espacio real el esfuerzo cortante mximo 13 estar a 45 del eje de 1. EJEMPLO 2 Determinacin de esfuerzos planos mediante los crculos de Mohr ProblemaUnelementodeesfuerzobiaxialcomosemuestraenlaFigura4-2 tiene x, = 40.000 psi, y = 20 000 psi y xy = 10.000 psi en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (ccw). Determnense, mediante crculos de Mohr, los esfuerzos principales. Solucin Vanse las Figuras 4-2 y 4-6. 1TrazamoslosejesdelplanodeMohrsegnsemuestraenlaFigura4-6,e identifquelos como y . 2Sesealaelesfuerzodadox,(comolneaOA)aescalaalolargodelejede esfuerzos normales (horizontal). Nuevamente, en este ejemplo x, es un esfuerzo de tensin (positivo). 3Sesitaelesfuerzoy(comolneaOB)aescalaalolargodelejedeesfuerzos normal. y es tambinunesfuerzodetensin(positivo)y,porlotanto,apareceenlamisma direccin que x, a lo largo del eje de . 4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes xy crean un par contra las agujas del relojsobreelelemento.Esteparestequilibradoporelparconlasagujasdelreloj proporcionado por los esfuerzos cortantes yx, Recuerde que ambos esfuerzos cortantes (xy y yx,), son iguales, de acuerdoconlaecuacin4.2ypositivos,deacuerdoconlareglaconvencionalde signos de esfuerzos. 5Trazamosunalneaverticalhaciaabajodelapuntadex,(comolneaAC)para representar la magnitud a escala de xY. Mediante una lneavertical hacia arriba de la punta de y (como lnea BD) se representa la magnitud a escala de yx. 6 El dimetro de un crculo de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La lnea AB atraviesa a la lnea CD. El crculo se dibuja tomando esta interseccin como centro. 7 Dos de los tres esfuerzos normales principales se encuentran a continuacin en las dos intersecciones que este crculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales en los puntos P1, y P3: 1=44.142y2=15.858psi.Sinosdetenemosenestemomento,elesfuerzo cortante mximo parece ser 12 = 14.142 psi, segn queda definido por la proyeccin de una tangente horizontal desde la parte superior del crculo con el eje de las , segn se muestra en la Figura 4-6b. 8 Dado que en este ejemplo no hay ningn esfuerzo aplicado en la direccin z, se trata de un estadodeesfuerzosendosdimensiones,yelterceresfuerzoprincipal,3,sesabe que es igual a cero, por lo tanto est localizado en el punto 0, tambin marcado como punto P3, 9 Todava quedan dos crculos de Mohr por dibujar. Los tres crculos de Mohr quedan definidos por los dimetros (1 3), (1 2) y de (2 3), los cuales, en este caso, son las lneas P1P3, P1P2 y P2P3, segn se observa en la Figura 4-6. 10Llevamoslneastangenteshorizontalesdelapartedelosextremossuperiore inferior de cada crculodeMohrhastacruzarelejedelcortante(vertical).Estodeterminaelvalorde los esfuerzos cortantesprincipales,asociadosconcadapardeesfuerzosnormalesprincipales:es decir, 13 = 22.071, 12 = 14.142 y 23 = 7.929 psi. El mayor de todos stos es mx= 22.071, y no el valor 14.142 que se determin en el paso 7. 11 Siempre es el crculo que est entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina el esfuerzo cortante mximo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo principal igual a cero no era el menor de los tres, porque uno de los esfuerzos principales era negativo. En este ejemplo, el esfuerzo principal igual a cero es el menor. Por lo tanto, si se dejan de dibujar los tres crculos, se hubiera llegado a un error serio en el valor de mx. Crculo de Mohr La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Crculo de Mohr, ya que no se trabajaconunreasinoconelpermetro)esunatcnicausadaeningenieray geofsicapararepresentargrficamenteuntensorsimtrico(de2x2ode3x3)y calcularconellamomentosdeinercia,deformacionesytensiones,adaptandolos mismosalascaractersticasdeunacircunferencia(radio,centro,etc).Tambines posibleelclculodelesfuerzocortantemximoabsolutoyladeformacinmxima absoluta. Estemtodofuedesarrolladohacia1882porelingenierocivilalemnChristianOtto Mohr (1835-1918). - Circunferencia de Mohr para esfuerzos Caso bidimensional Circunferencia de Mohr para esfuerzos. En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin mxima y mnima,apartirdedosmedicionesdelatensinnormalytangencialsobredos ngulos que forman 90: NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensin normaly elejeverticalrepresentalatensincortanteotangencialparacadaunodelos planosanteriores.Losvaloresdelacircunferenciaquedanrepresentadosdela siguiente manera: -Centro del crculo de Mohr: -Radio de la circunferencia de Mohr: Lastensionesmximaymnimavienendadosentrminosdeesasmagnitudes simplemente por: Estosvaloressepuedenobtenertambincalculandolosvalorespropiosdeltensor tensin que en este caso viene dado por: Caso tridimensional ElcasodelestadotensionaldeunpuntoPdeunslidotridimensionalesms complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes. En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre cualquier planoquepaseporelpuntoP,representadaseneldiagrama(,)caensiempre dentrodeunaregindelimitadapor3circulos.Estoesmscomplejoqueelcaso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica circunferencia. Cadaunodelas3circunferenciasquedelimitanlaregindeposiblespares(,)se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr. Circunferencia de Mohr para momentos de inercia Paraslidosplanosocasi-planos,puedeaplicarselamismatcnicadela circunferenciadeMohrqueseusparatensionesendosdimensiones.Enmuchas ocasionesesnecesariocalcularelmomentodeinerciaalrededordeunejequese encuentrainclinado,lacircunferenciadeMohrpuedeserutilizadoparaobtenereste valor.Tambinesposibleobtenerlosmomentosdeinerciaprincipales. Enestecaso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son anlogas a las del clculo de esfuerzos: -Centro de la circunferencia: -Radio de la circunferencia: Crculo de Mohr 5.1. Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma. Seaunabarra,sometidaaunacargaP. Si cortamos a la barra por la seccin 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nosaparecenunasfuerzasporunidaddesuperficie(tensiones)quevanaser uniformes y a las que vamos a llamar x porque van en la direccin del eje x. x = P / A Si,ahora,cortamosalabarrainicialporlaseccinoblicua2-2,demaneraquela normal a la seccin forme un ngulo con el eje de la barra, de donde: = xcos La mxima tensin se produce en los puntos de la seccin normal aleje de la barra. Esta mxima tensin vale x. En una seccin inclinada la tensin es menor que en el caso de la seccin recta y vale xcos . 5.2. Descomposicin de en una tensin normal y en otra tangencial o cortante. Vamosadescomponerlatensinenotrasdos:unaenladireccindelanormala dicha seccin, llamada tensin normal n y la otra en direccin paralela a la seccin, llamada tensin cortante . En figura vemos que: n = cos = x cos t = s sen j = s x sen j cos j = (s x / 2 ) sen 2j 5.3. Efectos que producen la tensin normal y la cortante. Los esfuerzos internos sobre una monda, son una seccin plana y se definen como un conjuntodefuerzasymomentosestticamenteequivalentesaladistribucinde tensiones internas sobre el rea de esa seccin. As, por ejemplo, los esfuerzos sobre unaseccintransversalplanadeunavigaesigualalaintegraldelastensionest sobre esa rea plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la seccin de la viga (o espesor de la placa o lmina) y los tangentes a la seccin de la viga (o superficie de la placa o lmina): Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzocortante(tangencialalplanoconsiderado),eselquevienedadoporla resultantedetensionescortantes,esdecir,tangenciales,alreaparalacual pretendemos determinar el esfuerzo cortante. 5.4. Convenio de signos de la tensin normal. Latensinnormales elesfuerzonormal(traccinocompresin)queimplicala existenciadetensionesnormales,peroestastensionesnormalestambinpueden estarproducidasporunmomentoflector,deacuerdoconlaleydeNavier.Los bimomentos tambin provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional. Latensintangencial,porotrolado, son losesfuerzoscortantesyelmomentotorsor que implican la existencia de tensiones tangenciales. 5.5. Convenio de signos de la tensin cortante. La tensin cortante es aquella que, fijado un plano, acta tangente al mismo. Se suele denotarporlaletragriegatau.Enpiezasprismticaslastensionescortantes aparece en caso de aplicacin de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor. 5.6. Crculo de Morh para la traccin simple. ElcirculodeMorhesuncirculoenelquelascoordenadasdelospuntosdesu circunferencia son la tensin normal y la tensin cortante que existen en una seccin inclinada cualquiera de la barra. ElcrculodeMohresunatcnicausadaeningenierapararepresentargrficamente untensorsimtricoycalcularconellamomentosdeinercia,deformacionesy tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de un crculo (radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo del esfuerzo cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta. El circulo de Mohrse construye de la siguiente forma: Setomanunosejescoordenadosdeformaqueenelejedeabcisassituamoslas tensionesnormalesyeneldelasordenadaslastensionescortantes.Acontinuacin se traza la circunferencia como se puede ver en la figura. Lospuntosrepresentativosdelastensionesqueactanen2caras perpendiculares definen un dimetro del circulo de morh. Lastensionescortantesqueactanendosseccionesperpendiculares son iguales y de sentido contrario. Para dibujar correctamente el crculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles: - El sentido de giro del ngulo j en el crculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad. - El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario. -Elnguloentredosradiosdelcrculoequivalealdobledelnguloentrelosplanos reales correspondientes. Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden reescribirse para formar una Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden reescribirse para formar una ecuacin de circunferencia :Se tiene que : ox = ( ox + oy )/2 + (( ox - oy )/2 (cos2o))+ txy(sen2o) txy =txy(cos2o)- (( ox - oy )/2 )(sen2o) La primera ecuacin se acomoda de la siguiente forma : ox-( ox + oy )/2 =(( ox - oy )/2 (cos2o))+ txy(sen2o) Elevando al cuadrado se tiene : (ox - (ox + oy)/2)2 =(ox - oy)2/4(cos 2o)2 + (ox - oy) (cos 2o) txy(sen 2o) + txy2(sen 2o)2 Elevando al cuadrado la segunda ecuacin se tiene : txy2 =txy2(cos 2o)2-txy(cos 2o) (ox - oy) (sen 2o) + (ox - oy)2/4(sen 2o)2

Sumando ambas expresiones : (ox-( ox + oy )/2)2 + txy2=txy2+(( ox - oy )2/2)2 Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces : txy2+(( ox - oy )2/2)2 =b2 ( ox + oy )/2=a Reescribiendo queda : (ox-a)2 + txy2= b2 Si los ejes son : x = ox y = txy Tenemos : ( x - a )2 + y2=b2 Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b Esta circunferencia se denomina Crculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes caractersticas : Centro en : x = ( ox + oy )/2 ;y = 0 Radio de :r2 = txy2+(( ox - oy )2/2)2 La figura siguiente muestra el crculo de Mohr creado a partir de un problema :