INTRODUCCIÓN

El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar.

En esta investigación se abordan los siguientes temas: La transformación de esfuerzos y deformaciones en el estado plano, esfuerzos que ocurren en recipientes de presión de pared delgada, el uso del círculo de Mohr para la solución de problemas que implican transformación de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos, y los temas asociados con la transformación del esfuerzo y la deformació. En las transformaciones de deformación plana se verán las deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz.

Existen deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismas requiere conocimientos más profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido analizado. En este tema se logra observar como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos(a través de fórmulas) a un plano conocido, para su fácil manejo. Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el diseño de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los mismos.

DEDICATORIA

Este trabajo está dedicado aquella generación de estudiantes de ingeniería, que buscan conocer más acerca de este tema, con el fin de complementar sus conocimientos.

ÍNDICE

OBJETIVOS................................................................................................................................5

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO....................................................................................6

ESFUERZOS PRINCIPALES........................................................................................................7

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO...........................................................................................7

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS EN DOS DIMENSIONES..........................................................10

ESFUERZOS COMBINADOS TRIDIMENSIONAL............................................................................12

APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR AL ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS.............12

CRITERIO DE FLUENCIA PARA MATERIALES DÚCTILES BAJO ESFUERZOS PLANO.........................13

CRITERIO DE ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO.........................................................................13

CRITERIO DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DISTORSIÓN...............................................................14

CRITERIO DE FRACTURA PARA MATERIALES FRÁGILES BAJO ESFUERZO PLANO......................15

CASOS ESPECIALES DE ESFUERZO PLANO........................................................................................19

PROBLEMA APLICATIVO:....................................................................................................20

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA A PRESIÓN....................................................23

TRANSFORMACION DE DEFORMACIONES..................................................................................27

INTERPRETACION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE TRANFORMACION DE DEFORMACIONES:...30

CIRCULO DE MOHR....................................................................................................................30

BIBL IOGRAFIA ......................................................................................................................32

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL Determinar la importancia que tiene el estudio y el cálculo de esfuerzos en estructuras

cargadas transversalmente y recipientes de pared delgada, para poder relacionarlo a casos prácticos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Presentar de manera clara y explícita la teoría necesaria para el estudio y aplicación de esfuerzos combinados en la vida practica.

Utilizar el método de transformación de esfuerzos en un punto en situaciones reales para determinar los esfuerzos resultantes de elementos sometidos a cargas multiaxiales.

Aplicar los conocimientos de esfuerzos combinados en situaciones reales sobre cilindros de oxigeno, y otros elementos cargados transversalmente.

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANOSuponga que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q (con σ z=τ zx=τ zy= 0),y definido

por la componentes σ x , σ y y τ xy, asociado con el elemnto de la figura 7.5a. se pide derterminar las

componentes del esfuerzo σ x ´ σ y ´ y τ x´ y ´asociado con el elemnto después que ha girado un

angulo θ con respecto al eje Z , y expresar esats componenetes en función de σ x , σ y y τ xy y θ.

Con el objeto de determinar el esfuerzo normal σ x ´y el esfuerzo cortante τ x ´ y´ejercidos sobre la cara perpendicular al eje x´, se estudiara un elemento prismsatico con caras respectivamente perpendiculares a los ejes x , y y x ´ . Observa que, si el área de la cara oblicua es ∆ A, las áreas de las caras verticales y horizontales son, respectivamente, iguales a ∆ Acosθ y ∇ Asenθ . De ahí se sigue que las fuerzas ejercidas sobre las tres caras son las que muestra la figura 7.8b. (No se ejercen fuerzas sobre las caras triangulares del elemento,

pues los esfuerzos normales y cortantes correspondientes se han supuesto nulos.) Usando componentes a lo largo de los ejes X´ y´, se escriben las siguientes ecuaciones de equilibrio:

∑ F X´=0 :σ X ´∆ A−σ X (∆ Acosθ ) cosθ−τ XY (∆ Acosθ ) senθ−σY (∆ Asenθ ) senθ−τXY (∆ Asenθ )cosθ=0

∑ FY ´=0 :τ X ´Y ´∆ A+σ X (∆ Acosθ ) senθ−τXY (∆ Acosθ ) cosθ−σY (∆ Asenθ ) cosθ+τ XY (∆ Asenθ ) senθ=0

Resolviendo la primera ecuación para σ X ´ y la segunda para τ X ´ Y ´ se tiene:

σ X ´=σ X cos2θ+σY sen

2θ+2 τ XY senθcosθ (7.1)

τ x ´ y´=−(σ X−σ Y ) ( senθ )cosθ+τ XY (cos2θ−sen2θ )(7.2)

Utilizando relaciones trigonométricas

( 7.3)

() (7.4)

La ecuación (7.1) se escribe como

σ X ´=σ X+σY2

+σ X−σY2

cos2θ+τ xy sen 2θ (7.5)

Usando las relaciones (7.3) se tiene la ecuación (7.2) como

τ x ´ y´=−σ X−σY

2sen2θ+τ XY sen2θ (7.6)

La expresión para el esfuerzo normal σ Y ´ se obtiene reemplazando θen la ecuación (7.5)por el Angulo θ+90° que el eje y ´forma con el eje X. como cos(2θ+180 °)=−cos2θ y sen (2θ+180 °)=−sen2θ, se obtiene:

σ y ´=σ X+σY2

−σ X−σY2

cos2θ−τ xy sen2θ (7.7)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (7.5) y (7.7)

σ X ´+σY ´=σ X+σ Y

Como σ z=σ z ´=0 , se verifica que la suma de los esfuerzos normales ejercidos sobre un elemento cubico de material es independiente de la orientación del elemento.

ESFUERZOS PRINCIPALES

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO Las ecuaciones (7.5) y (7.6) obtenidas en la sección precedente son las ecuaciones paramétricas de un círculo. Esto significa que si se escoge un sistema de ejes rectangulares y se grafica n punto M de abscisa σ x ´y ordenadas τ x ´ y´para cualquier valor de θ , los puntos asi obtenidos estarán situados en un círculo. Para comprobarlo, se elimina θ de las ecuaciones (7.5) (7.6). Esto se hace transponiendo primero (σ x+σ y)/2 en la ecuación (7.5) y elevando ambos miembros al cuadrado de la ecuación, luego se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación (7.6) y, finalmente se suman miembro a miembro las ecuaciones resultantes. Se ti ene

(σx ´−σ X+σY2 )

2

+τ2x´ y ´=( σ X−σY2 )

2

+τ2xy (7.9)

σ prom=σ X+σY2

y R=√(σ X−σY2

)2

+τ2xy (7.10)

Se escribe la identidad (7.9) en la forma

¿ (7.11)

Que es la ecuación de un círculo de radio R con centro en el punto C de abscisa σ prom y ordenada 0 (figura 7.9). Puede observarse que, debido a la simetría del circulo con respecto al eje horizontal, se abrió obtenido el mismo resultado si, en lugar de graficar M, se hubiera graficado un punto N de abscisa σ x ´ y ordenada −τ x ´ y´(figura 7.10). Esta propiedad se usara en la sección

Los puntos A y B, donde el círculo de la figura 7.9 interseca al eje horizontal, son de especial interés. El punto A corresponde al valor máximo del esfuerzo normal σ x ´ , mientras el punto B corresponde a su valor mínimo.

Además ambos puntos tienen un valor nulo en el esfuerzo cortante τ x ´ y´, así los valores θpdel parametroθ que corresponde a los puntos A y B pueden obtenerse haciendo τ x ´ y´=0 en la ecuación (7.6). se escribe:

tan2θp= 2 τ xy

σ X−σY (7.12)

Esta ecuación define dos valores 2θp que difieren en 180 °y, por tanto dos valores θpque difieren en 90 ° . Cualquiera de estos valores puede usarse para determinar la orientación del elemento correspondiente (figura 7.11). Los planos que contienen las caras del elemento obtenido se llaman planos principales de esfuerzo en el punto Q,

Y los valores correspondientes σ maxy σ mindel esfuerzo normal ejercido sobre estos planos son los

esfuerzos principales en Q. Como los dos valores θp, definidos por la ecuación (7.12), se

obtuvieron τ x ´ y´=0 en la ecuación (7.6), es claro que no hay esfuerzo cortante en los planos principales.

σ max=σ prom+R Yσ min=σ prom−R(7.13)

σ max, min=σ X+σY2

±√(σ X−σY2

)2

+τ2xy (7.14)

A menos que sea posible decir por inspección cuál de los dos planos se somete a σ maxy cual a σ min

, es necesario sustituir uno de los valores de θp en la ecuación 7.5, para determinar cuál de los dos corresponde al valor máximo del esfuerzo normal.

Refiriéndose de nuevo al círculo de la figura 7.9, se observa que los puntos D y E, localizados en el diámetro vertical del círculo, corresponde al mayor valor numérico del esfuerzo τ x ´ y´ . Puesto que

la abscisa de los puntos D y E es σ prom= (σ x+σ y)/2 los valores θ sdel parámetro θ que

corresponden a estos puntos se obtienen haciendo σ x ´= (σ x+σ y)/2 en la ecuación (7.5), de ahí se

tiene que la suma de los últimos dos términos en esa ecuación debe ser cero .así, para θ=θs se escribe:

tan2θ s=-σ X−σY2 τ xy

(7.15)

Esta ecuación define dos valores 2θs que se diferencian en 180 ° , y por tanto dos valores de θ sque difieren en 90 ° . Cualquiera de estos valores puede usarse para determinar la orientación del elemento correspondiente al esfuerzo cortante máximo (figura 7.12), al observar en la figura 7.9 que el valor máximo del esfuerzo cortante es igual al radio R del círculo y, recordando la segunda de las ecuaciones (7.10), se tiene:

τ max=√(σ X−σY2

)2

+τ2xy (7.16)

Como se observó antes, el esfuerzo cortante correspondiente a la condición de esfuerzo cortante máximo es

σ ´=σ prom=σ X+σ Y

2 (7.17)

Comparando las ecuaciones (7.12) y (7.15) se nota que tan2θs es el inverso negativo de tan2θp,

lo cual significa que los ángulos 2θs y 2θp difieren en 90 °, por tanto θ s y θpdifieren en 45 °, asi se concluye que los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45 ° de los planos principales ´esto confirma los resultados obtenidos en la sección 1.12 para el caso de carga axial céntrica (figura 1.409 y en la sección 3.4, para el caso de carga torsional (3.20).

Se debe estar consciente de que el análisis sobre la transformación de esfuerzo plano se ha limitado a las rotaciones en el plano de esfuerzo. Si el elemento cubico de la figura 7.7 se gira con respecto a un eje distinto del Z, sus caras pueden someterse a esfuerzos cortantes mayores que los dados por r la ecuación (7.16). como se verá en la ecuación 7.5, esto ocurrirá cuando los esfuerzos principales definidos por la ecuación (7.14)tengan el mismo signo, esto quiere decir r, cuando ambos sean de tensión o ambos de compresión .- en tales casos , el valor obtenido mediante la ecuación (7.16)se refiere al esfuerzo cortante máximo en el plano.

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS EN DOS DIMENSIONES El esfuerzo se genera en un punto Q donde σ Z=τ zx=τ zy=0 en este elemento se encuentra σ X , σY=τ XY=0 se pide determinar el σ x ´ , σ y ´=τ xý ´ después de haber girado un θ con respecto al eje z

balanceo de fuerza en el eje t

balanceo de fuerza en el eje n

Para el diseño mecánico es de interés saber porque en esos planos se da el máximo y mínimo valor de los esfuerzo son el plano normal principal y el plano cortante principal

El círculo de mohr se aplica sabiendo tan solo el esfuerzo promedio y el radio del círculo de mohr

Calculamos el plano donde ocurre el esfuerzo cortante máximo y mínimo para eso calculamos la primera derivada

Calculando el plano donde ocurre el esfuerzo normal máximo y mínimo para eso calculamos la primera derivada

Reemplazando en la formula del esfuerzo en el eje n

ESFUERZOS COMBINADOS TRIDIMENSIONAL En el caso particular en que los esfuerzos se aplican en un plano alrededor del eje Z esto es cuando σ Z=τZX=τZY=0 ahora en este caso general de esfuerzo se consideran todos los ejes donde se puede aplicar esfuerzo

La demostración se basa en un tetraedro en el cual tiene una cara principal de área “Δ A” en el cual se encuentra un vector normal al plano del área Q⃗N donde se puede calcular los cosenos

directores λX , λY , λZ de Q⃗N así luego se consigue el área de las proyecciones con el ángulo

correspondiente y se determina (Δ A) λX ,(Δ A ) λY ,(Δ A) λZ

Luego se define el estado de fuerzas en el punto Q σ X , σY ,σ Z , τ XY , τYZ , τ ZX después se analiza las

fuerzas en la misma dirección del vector Q⃗N

∑ Fn

σ nΔ A−¿ )λX−¿ −¿

Dividiendo entre Δ A y despejando σ n

σ n=σ X λX2+σY λY

2+σ Z λZ2+¿

2 τ XY λX λY+2 τYZ λY λZ+2 τZX λZ λX

σ n=σ a λa2+σb λb

2+σc λc2

APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR AL ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL DE ESFUERZOSSi el elemento mostrado en la figura 7.27 gira con respecto a uno de los ejes principales en Q por ejemplo el eje C se analiza la transformación de esfuerzos como si fuera una transformación de esfuerzos plano los esfuerzos que se dan en las caras perpendiculares al eje C son iguales a cero (0) entonces la transformación de esfuerzos se da en el plano ab

El esfuerzo cortante máximo que se da en el punto Q seria igual a la mitad de la diferencia entre el esfuerzo máximo menos el mínimo

τ max=12|σmax−σmin|

En el caso de esfuerzo plano que se tiene que σ Z=τZX=τZY=0 esto significa que el eje z es uno de los ejes principales de esfuerzo en el diagrama de círculo de mohr este eje se representa como el origen en donde σ=τ=0 los otros ejes corresponden a los puntos A y B

Si σ a>σb>0 , se tiene que el esfuerzo máximo es σ max=σa y el mínimo es σ min=0 y el esfuerzo

cortante máximo es τ max=12σ max

CRITERIO DE FLUENCIA PARA MATERIALES DÚCTILES BAJO ESFUERZOS PLANOLos elementos estructurales y las componentes elaborados de un material dúctil se diseñan de manera que el material no fluya bajo condiciones esperadas de carga .cuando el elemento o componente está sometido a esfuerzos uniaxiales el valor del esfuerzo normal σ x que hará fluir el material puede obtenerse fácilmente de una prueba de tensión llevado a cabo en una probeta del mismo material, ya que la probeta como el elemento de la maquina están en el mismo estado de esfuerzo entonces se concluye que el elemento estará seguro siempre que cumpla σ x<σ y en

donde σ y es la resistencia a la fluencia del elemento de prueba

Criterio de esfuerzo cortante máximo Este criterio se basa en la observación que sitúa la fluencia de materiales dúctiles como resultado del esfuerzo cortante.de acuerdo con este criterio un componente estructural es seguro siempre que el valor máximo del esfuerzo, en esa componente, permanezca por debajo del valor correspondiente del esfuerzo cortante que, en una prueba de tensión de una probeta del mismo material la hace fluir

Si los esfuerzos principales tienen el mismo signo el criterio del esfuerzo cortante da

|σa|<σ Y |σb|<σ Y

Si los esfuerzos principales tienen signos opuestos el criterio de esfuerzo cortante máximo será

|σa−σb|<σ Y

Si el punto de coordenadas σ a ,σ b cae dentro del hexágono de Tresca se concluye que el elemento no fallara o es seguro

Criterio de la máxima energía de distorsión Se basa en el cálculo de la energía de distorsión en un material dado, es decir, de la energía asociada con cambios en la forma del material (distinto de la energía asociada con cambios de volumen en el mismo material). De acuerdo con este criterio ,también conocido como el criterio de von mises , un componente estructural dado es seguro siempre que el valor máximo de energía de distorsión por unidad de volumen en ese material permanezca más pequeña que la energía de distorsión por unidad de volumen requerido para hacer fluir una probeta del mismo material sometido a tensión

La energía de distorsión en un material isotrópico bajo esfuerzos plano es

ud=16G

(σa2−σaσb+σb

2)

La falla ocurre cuando el esfuerzo cortante máximo en una pieza excede el esfuerzo cortante en una probeta a tensión en el punto de fluencia (la mitad del límite de fluencia elástico a tensión).

σ a Y σ a son esfuerzos principales

G modulo de rigidez

En el caso particular de una probeta que empieza a fluir, se tiene así el criterio de la máxima

energía de distorsión indica que el componente estructural es seguro siempre que ud<(ud )y

σ a2−σ aσ b+σb

2<σ y2

Es decir, siempre que el punto de coordenadas caiga dentro de la elipse

σ a2−σ aσ b+σb

2=σ y2

La cual interseca los ejes coordenados en σ a=±σ y y σ b=±σ y que se puede comparar con el método del esfuerzo cortante máximo la elipse pasa por los vértice del hexágono de Tresca

Otro caso particular y de interés es el de prueba de torsión −σ max=σmin . se sigue que la fluencia en la prueba de torsión

Criterio de fractura para materiales frágiles bajo esfuerzo planoLos materiales frágiles se caracterizan por el hecho de que cuando son sometidos a una prueba de tensión, fallan repentinamente por ruptura o fractura, sin fluencia. Cuando un elemento estructural o componente por ruptura o fracturasen fluencia. Cuando un elemento estructural o componente de maquina hecho de material frágil está bajo tención uniáxica, el valor de esfuerzo normal que lo hace fallar es igual a la resistencia ultima del material σu, determina de una prueba de tensión, puesto que ambos, la probeta de prueba de tensión y el elemento o componente bajo investigación están en el mismo estad de esfuerzo. Sin embargo cundo de esfuerzo plano, es conveniente determinar primero los esfuerzos principales σa y σb en cualquier punto dado y zar un de los criterios de esta sección para predecir si el elemento estructural o elemento de máquinas fallara.

Criterio de esfuerzo normal máximo: de acuerdo con este criterio, un componente estructural dada la falla cuando el esfuerzo normal máximo en el componente alcanza la resistencia ultima σu

obtenida de una prueba de tensión de una probeta del mismo material .así el componente estructural será seguro mientras los valores absolutos de los esfuerzos principales σa y σb sean ambos menores que σu:

/ σa/< σu / σb/< σu

El criterio de esfuerzo normal máximo puede expresarse gráficamente con se muestra en la figura si el punto obtenido dibujando los valores σa

y σb de sigma y de los esfuerzos principales cae dentro del área cuadrada mostrada en la figura, el componente estructural es seguro .si cae fuera del área, componente fallara.

El criterio de esfuerzo normal axial, también conocido como criterio de coulomb. En honor al físico francés charles Agustín de coulomb expediente una importante limitación, puesto que se basa en

la hipótesis de que la resistencia última del material es la misma a tensión que a comprensión. Como se observa en el caso que se presenta raras veces, porque la presencia de falla en el material, como grietas micros tópicos o cavidades, que tienen a debilitar el material sometido a tención no afecta apreciablemente su resistencia a los comprensiones .además, este criterio no considera afectar distintos de los esfuerzos normales en al mecanismo de falla del material.

Criterio de mohr: este criterio, sugerido por el ingeniero aleman otto mohr puede usarse para predecir el efecto de un estado dado de esfuerzo plano en un material frágil, cuando los resultados de varios tipos de prueba estaban disponibles vara los materiales.

Comprensión suponga que se han realizado una prueba de tensión y una de comprensión en un material dado y que se han dado determinado los valores σut y σuc de los esfuerzos correspondientes a la ruptura de la prueba de tensión puede representarse por el circulo de mohr por el circulo que se interseca el eje horizontal en 0 y σut análogamente el estado de esfuerzo correspondiente a la falla de la probeta por comprensión puede representarse por el circulo que corta el eje horizontal en O y en σuc sigma .es claro que un estado de esfuerzo representado por un circulo enteramente con tenido en cualquiera de estos dos círculos será seguro. Así los dos esfuerzos principales son positivos, el estado de esfuerzo es seguro mientras sigma σut y σb< σut;si ambos esfuerzos principales son negativos ,el estado de esfuerzo es seguro siempre que/ σa/</ σuc/ y /σb/</σuc/dibujando el punto de coordenada σa y σb se verifica que el estado de esfuerzo es seguro mientras el punto caiga dentro de una de las áreas cuadradas en esa figura. Para analizar los casos cuando σa y σb tiene signos opuestos, se supondrá que se ha realizado una prueba de torsión en el material y que se ha determinado su resistencia ultima cortante τ u dibujando el circulo centrado en 0, que representa el estado de esfuerzo correspondiente a la falladle la probeta en la prueba de torsión, se observa que cualquiera estado de esfuerzo por un circulo contenido en ese círculo es también seguro. El circulo de morhes una extensión lógica de esta obsevacion:

De acuerdo con el criterio de mohr ,un estado de esfuerzo es seguro si está representado por un circulo localizado enteramente dentro del área limitada por la envolvente de los círculos correspondientes a los datos disponibles .las porciones restantes del diagrama de esfuerzo principales pueden obtenerse dibujando varios círculos tangentes a esta envolvente ,determinando los valores correspondientes de σa y σby trazándolos puntos de coordenadas σa y σb algunas diagramas más exactos se pueden dibujar cuando hay disponibilidad de resultados de prueba adicionales ,correspondientes a varios estados de esfuerzo. Si, por otra parte, los únicos datos disponibles son las resistencias ultimas σ ut y σuc ,la envolvente de la figura se remplaza por las tangentes AB Y A’B’ a los círculos correspondientes, respectivamente ,a falla atención y a falla a comprensión en los triángulos dibujados en los dibujos se observa en las abscisas del centro c de un circulo tangente a AB Y a A’B’ está relacionada linealmente con su radio R como σa =OC +R y

σa =OC -R,se sigue que σa y σb también están linealmente relacionados .así ,el área sombreada correspondiente a este criterio simplificado de mohr se encuentra limitada por líneas rectas en el segundo y cuarto cuadrantes .

Note que para determinar si un componente estructural estará seguro bajo una carga dada, el estado de esfuerzo debe calcularse en todo los puntos críticos del componente, es decir, en todo los puntos donde pueden ocurrir concentraciones de esfuerzo. Esto se puede hacer en unos casos, usando los factores de concentración de esfuerzo dados en la figuras hay muchas instancias, sin embargo, en donde se debe utilizar la teoría de la elasticidad para determinar el estado de esfuerzo crítico.

Debe tenerse un especial esfuerzo cuando se han detectado grietas macroscópicas en un componente estructural mientras se puede suponerse que la probeta utilizada para determinar la resistencia ultima del material a tención contiene el mismo tipo de falla (es decir ,grietas microscópicas o cavidades ) que el elemento estructura l en estudio la probeta esta ciertamente libre de grietas microscópicas detectables .cuando se identifica una grieta en un componente estructural, es necesario determinar si esa gr4uieta tiende a propagarse bajo las condiciones esperadas y ara fallar el componente o se permanecerá estable. Esto requiere un análisis que considere la energía asociada con la grieta .tal análisis está más allá de la finalidad de este texto y debe desarrollarse mediante los métodos de la mecánica de fracturas.

CASOS ESPECIALES DE ESFUERZO PLANOLas ecuaciones de transformación es esfuerzo se pueden reducir si tenemos estados de esfuerzo más simples bajo condiciones especiales. Un ejemplo sería que un cuerpo actuara un solo esfuerzo normal en una dirección, es decir, un estado de esfuerzo uniáxico. En este caso, asumiremos que la dirección es la de x. Las ecuaciones de esfuerzo correspondientes a esta situación son las mismas que se discutieron anteriormente, pero son expresadas de una forma más simple:

σx1 = σx/2(1+ cos2α)

τx = σx/2(sen2α )

Esfuerzo uniáxica

Problema aplicativo:El estado de esforzó plano representado en la figura ocurre en un punto crítico de una máquina .como resultado de varias pruebas de tensión, se ha encontrado que el límite de fluencia a tensión de y σ =250MPa para el grado de acero usado .determine el factor de seguridad con respecto a la fluencia .usando: a) el criterio de esfuerzo cortante máximo y b) el criterio de la máxima energía de distorsión.

Solución:

Circulo de mohr. Se construyó el círculo de mohr para el estado de esforzó y se halla.

σ prom=oc=12

(σ x+σ y )=12

(80−40 )=20MPa

τ=R=√CF 2+FX2=√602+252=65MPa

Esfuerzo principal

σ a=oc+ca=20+65=+85MPa

σ b=oc−bc=20−65=−45MPa

criterio de esfuerzo cortante máximo. Como para el grado de acero utilizado la resistencia a tención es σy =250MPa, el esfuerzo cortante correspondiente a la fluencia es.

τy=12σ y=1

2250MPa=125MPa

Para τm=65MPa : f . s=τyτm

=125MPa65MPa

=1.92

criterio de la máxima energía de destorcían. Introduciendo un factor de seguridad en la ecuación.

σa2−σaσb+σb2=¿

Para σa =+85MPa, σb =-45MPa y σy =250MPa se tiene

852−85∗(−45 )+452=(250f . s

)2

114 .3=250f . s

f . s=2.19

Comentario: para un material dúctil con σy=250MPa se ha dibujado el hexágono asociado con el criterio del esfuerzo cortante máxima y la elipse asociada con el criterio de la máxima energía de distorsión. El estado dado de ESFUERZO PLANO ESTA REPRESENTADO POPR EL PUNTO h DE COORDENADA σa =85MPa y σb=-45 MPa. Note que la línea recta dibujada por los puntos O Y H interseca el hexágono en el punto t y la elipse, en el punto M. para cada criterio, el valor obtenido del F.s puede verificarse midiendo los segmentos y calculando sus razones:

F . S=OTOH

=1.92

F . S=OMOH

=2.19

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA A PRESIÓNLos recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis del esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente.los esfuerzos resultantes en un elemento de pared estarán contenidos en un plano tangente a la superficie del recipiente. el análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitara a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia: recipientes cilíndricos y esféricos.

Considere un recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido a presión.se van a determinar los esfuerzos ejercidos sobre un pequeño elemento de pared con lados respectivamente y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la simetría axial del recipiente y de su contenido, es claro que no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.

Los esfuerzos normales σ1 y σ2mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. el esfuerzo σ1 se conoce como esfuerzo tangencial o de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera; el esfuerzo σ2 es el esfuerzo longitudinal.

Para determinar los esfuerzos de costilla σ1 se retira una porción de recipiente y su contenido limitado por el plano xy y por dos planos paralelos al plano yz con una distancia ∆x de separación

entre ellos.las fuerzas paralelas al eje z que actúan en el cuerpo libre así definido consisten en las fuerzas internas elementales σ1 dA en las secciones de pared y en las fuerzas de presión elementales p dA ejercidas sobre la porción del fluido incluso en el cuerpo libre. Note que p es la presión manométrica del fluido, es decir, el exceso de la presión interior sobre la presión atmosférica exterior.la resultante de las fuerzas internas σ1 dA es igual al producto de σ1 y del área transversal 2t ∆x de la pared, mientras que la resultante de las fuerzas p dA es el producto de p y el área 2r ∆x.e

escribiendo la ecuación de equilibrio:∑ F z=0, se tiene

∑ Fz=0 : σ (2 t ∆ x )−p(2 r ∆ x)=0

Y resolviendo para el esfuerzo de costilla σ1

Para determinar el esfuerzo longitudinal σ2, se realizara ahora un corte perpendicular al eje x y se considerara el cuerpo libre consta de la parte del recipiente y de su contenido a la izquierda de sección.

Las fuerzas que actúan en este cuerpo libre son las fuerzas internas elementales σ2 dA en la sección de pared y las fuerzas elementales de presión p dA ejercidas sobre la porción de fluido incluido en el cuerpo libre. Notando que el área de la sección de fluido es πr2 y que el área de la sección de la pared puede obtenerse multiplicando la circunferencia 2πr del cilindro por su espesor de pared t, se escribe la ecuación de equilibrio.

∑ Fx=0 : σ (2 πrt )−p (πr 2 )=0

Y despejando para el esfuerzo longitudinal σ2 =pr/2t

Observe que en las ecuaciones anteriores que el esfuerzo de costilla σ1 es el doble del esfuerzo longitudinal σ2:

σ1=2σ2

dibujando el circulo de mohr por los puntos A y B, que corresponde respectivamente a los esfuerzos principales σ1 y σ2 y recordando que el esfuerzo cortante máximo en el plano es igual al radio del circulo se tiene:

Ƭmax(en el plano)=(1/2)*σ2=pr/4t

Este esfuerzo corresponde a los puntos Dy E y se ejercen sobre un elemento obtenido mediante la rotación de 45° del elemento original, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente. El esfuerzo cortante máximo en la pared del recipiente, sin embargo, es mayor.es igual al radio del circulo de diámetro OA y corresponde a una rotación de 45°alrededor de su eje longitudinal y fuera del plano de esfuerzo.se tiene:

Ƭmax=σ2=pr/2t

Considere ahora un recipiente esférico, de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido bajo presión manométrica p. observe que, por simetría, los esfuerzos en las cuatro caras de un elemento pequeño de pared deben ser iguales, de la siguiente figura se tiene:

σ1=σ2

Para determinar el valor del esfuerzo, se hace un corte por el centro c del recipiente y se considera el cuerpo libre que consta de la porción de recipiente y su contenido, como se muestra en la siguiente figura .la ecuación de equilibrio de este cuerpo libre es la misma que para el cuerpo libre de figura s anteriormente indicadas así se concluye para un recipiente esférico:

σ1=σ2=pr/2t

Como los esfuerzos principales σ1y σ2 son iguales, el circulo de mohr para la transformación de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto en la siguiente figura que se mostrara.se concluye que el esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero. El esfuerzo cortante máximo en la pared del recipiente, sin embargo, no es cero; es igual al radio del circulo del diámetro OA y corresponde a una rotación de 45°fuera del plano del esfuerzo.se tiene:

Ƭmax= (1/2)σ1 =pr/4t

TRANSFORMACION DE DEFORMACIONES

INTERPRETACION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE TRANFORMACION DE DEFORMACIONES:

CIRCULO DE MOHR

APLICACION

APLICACIONES INDUSTRIALES

Los Esfuerzos Combinados son aquellos que actúan en una sección de un elemento cuando existe una combinación de dos o más de las acciones internas actuando en dicho elemento. Los esfuerzos combinados son importantes en muchos casos prácticos. Esfuerzos de membrana en recipientes de pared delgada sometidos a presión son los esfuerzos que aparecen en las paredes de los recipientes cilíndricos, esféricos o de cualquier otra forma, debido a presiones internas y externas. Estos esfuerzos proporcionan ejemplos de un estado de esfuerzo más general. Además, los recipientes a presión son importantes por sí mismos, desde un punto de vista práctico.Los recipientes a presión son estructuras cerradas que contienen líquidos o gases a presión. Algunos ejemplos conocidos son los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y globos inflados. Las paredes curvas de los recipientes sujetos a presión a menudo son muy delgadas en relación con el radio y la longitud, y en tales casos se encuentran en la clase general de estructuras conocidas como cascarones. Otros ejemplos de estructuras de cascaron son los techos curvos, las cúpulas (o domos) y los fuselajes..Ejercicio:

1.- un contenedor esférico de gas fue hecho de acero y tiene 6m de diámetro exterior y espesor de pared de 9mm.si se sabe que la presión interna es de 500kpa, determina los esfuerzos normal y cortante máximos en el contenedor.

Solución: Datos:

Diámetro exterior 6m Espesor de pared 9mm=0.009m Presión 500kpa Radio interior (3-0.009)=2.991

Sabemos: σ1=σ2=σ=pr/2t

Luego reemplazando:

σ = (500k)(2.991)/2(0.009) =83.08Mpa

Ƭmax= pr/4t=(500k)(2.991)/4(0.009)=41.54Mpa

2.-determinar el esfuerzo normal en una pelota de baloncesto de 9.5inde diámetro exterior y 0.125in de espesor de pared, la pelota esta inflada a una presión manométrica de 9psi.

Solución:

Datos: Diámetro exterior 9.5in Radio interior (4.75-0.125)=4.625 Presión 9psi Espesor de pared 0.125in

Sabemos: σ1=σ2=σ=pr/2t

Reemplazando:

σ = (9)(4.625)/2(0.125)=166.5pa

3.-determina la máxima presión interna que puede aplicarse a un tanque de 1.75m de diámetro exterior y espesor de pared de 16mm si el esfuerzo normal ultimo del acero usado es de 450Mpa y se desea un factor de seguridad de 5.

Solución:

Datos: Diámetro exterior 1.75m Espesor de pared 16mm=0.016m σ u =450Mpa F.S=5 Radio interior (0.875-0.016)=0.859

Recordando: σperm=σu/F.S

Reemplazando:

σperm= 450M/5=90M

σperm=90M=/(p)(0.859)/0.016

Luego la presión es:

P=1.6763Mpa

CONCLUSIONESComo se ha visto los esfuerzos combinados se usan frecuentemente sin darnos cuenta, como por ejemplo nuestras casa están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión. Estas combinaciones de esfuerzos son útiles en todas las ramas de la ingeniería.

Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras, es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable. Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando tengan una pared delgada.

BIBLIOGRAFIA