La Esfera de Riemann

Un elemento importante en matematica es el concepto de superficie, omas abstracto aun, conjunto. No es el objetivo el alcanzar mucho nivel deabstraccion asi que, para efecto de este artıculo, la nocion intuitiva de su-perficie sera mas que suficiente, una que podemos deformar y estirar a gustopero sin llegar a ((arrugarla)) o ((rasgarla)).

Cuando se habla sobre la esfera de Riemann, se habla un poco sobre estascosas. Lo que se tiene es el plano complejo C como el plano R2 de coor-denadas xy provisto de un determinado conjunto de operaciones (suma yproducto de complejos de elementos (x, y)), y lo que se busca es llevar dichoplano (dicho sea de paso, infinito) a una superficie finita (la esfera de Rie-mann). Para hacer esto se hacen uso de algunas transformaciones biyectivasque deforman el plano complejo, sin arrugarlo ni rasgarlo, y lo ajustan deforma conveniente de modo tal que ahora tenga una extension finita. Estoes lo que en este artıculo es descrito.

Llamaremos esfera de Riemann a la superficie de R3 definida por:

S := {(x1, x2, x3) ∈ R3 / x21 + x2

2 + x23 = 1} (1)

y, tomando el plano complejo C como el sub-espacio de R3 que se tiene dehacer z = 0, es decir

{(x, y, 0) / x, y ∈ R} ∼= C, (2)

tenemos que, si consideramos la funcion

f : S− {N} −→ Cp 7−→ f(p) = w

(3)

donde w = (x, y) es el unico elemento en que la recta Np corta al planoC ⊂ R3, donde N = (0, 0, 1), p = (x1, x2, x3) ∈ S.

Para determinar las relaciones entre las coordenadas (x, y) de w ∈ C y lascoordenadas de (x1, x2, x3) de p ∈ S notemos que la recta que la recta Npesta dada por

Np = {(1− t)N + p / t ∈ R}= {(tx1, tx2, 1− t+ tx3) / t ∈ R} (4)

1

b

b

x

y

z

pb

w=(x,y)

N

Figura 1: Esto es una representacion grafica de la Esfera de Riemann. Siconsideramos la ecuacion (1), el plano xy pasa por el ecuador de la Esfera.Esto ultimo no tiene gran importancia.

Para determinar el punto en que Np y C se intersectan, debemos notar que

1− t+ tx3 = 0 ; porque w ∈ C ∼= R2 con z = 0≡ t(x3 − 1) = −1

≡ t = 11− x3

(5)

Luego, como N 6= p, entonces tenemos la seguridad de que al estar p ∈ S,x3 siempre sera distinto de 1, de modo que siempre es posible escribir sinlugar a inconsistencias que

x = tx1 = x11− x3

(6)

y = tx2 = x21− x3

(7)

Ası, la funcion dada en (3) queda definida de forma univoca como

w = f(p) =(

x11− x3

,x2

1− x3, 0)

(8)

Esto es, la funcion que a cada punto sobre la esfera de Riemann le asociaun unico punto sobre el plano complejo.

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La funcion inversa

f−1 : C −→ S− {N}w = (x, y) 7−→ f−1(w) = p = (x1, x2, x3) (9)

Donde p es el punto en que el segmento Nw corta a la esfera de Riemann.Dicho punto se obtiene despejando las coordenadas x1, x2 y x3 en terminosde las coordenadas (x, y) de w desde las ecuaciones (6) y (7) y usando elhecho de que x2

1 + x22 + x2

3 = 1. Se tiene entonces:

x21 + x2

2 + x23 = x2(1− x3)2 + y2(1− x3)2 + x2

3 = 1 (10)

Como x3 6= 1, entonces de (10) y de que |w|2 = x2 + y2 se tiene que

|w|2(1− x3)2 = 1− x23

≡ �����(1− x3)(1 + x3)|w|2 = �����(1− x3)(1 + x3)≡ |w|2 − x3|w|2 = 1 + x3≡ x3(1 + |w|2) = |w|2 − 1

≡ x3 = |w|2 − 1

|w|2 + 1

(11)

Luego:

de (6) y (11):

x1 = x

(1− |w|

2 − 1|w|2 + 1

)

≡ x1 = x

(�

��|w|2 + 1 +���|w|2 − 1

|w|2 + 1

)

≡ x1 = 2x|w|2 + 1

(12)

Analogamente, de (7) y (11):

x2 = 2y|w|2 + 1 (13)

Luego, de (11), (12) y (13), la funcion inversa f−1 queda definida de formaunivoca por

f−1(w) =(

2x|w|2 + 1 ,

2y|w|2 + 1 ,

|w|2 + 1|w|2 + 1

)

=(w + w

|w|2 + 1 ,w − w

i(|w|2 + 1) ,|w|2 + 1|w|2 + 1

) (14)

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Aun no hemos hablado formalmente de lımite de funciones en C, sin embar-go, aun sin una revision rigurosa resulta claro que

lım|w|→∞

f−1(w) = lım|w|→∞

(w + w

|w|2 + 1 ,w − w

i(|w|2 + 1) ,|w|2 + 1|w|2 + 1

)= (0, 0, 1) = N

(15)De modo que, cuanto mas se aleje w del origen de coordenadas y sin importaren que direccion se aleje, la funcion f−1, que a cada punto del plano complejole asocia un unico punto de la esfera de Riemann, le asignara un punto cadavez mas cercano al polo norte; ası, en funcion de esta observacion, se defineel plano complejo extendido como el conjunto C∞ := C ∪ {∞}, donde ∞representa al elemento on el cual se establece una relacion biunivoca con Nmediante la funcion

π : C∞ −→ S

w 7−→ π(w) ={f−1(w) si w ∈ CN si w =∞

(16)

Esta aplicacion es lo que se conoce por el nombre de proyeccion estere-ografica y es evidente que dicha aplicacion representa una biyeccion entreS y C∞, y que ademas es continua sobre todo C; es decir, la proyeccionestereografica es un homeomorfismo entre los espacios topologicos C∞ y S.

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