EQUIVALENCIA Y SIGNIFICADO DE LAS FORMULAS .... VAL. NT. FN...nosotros utilizaremos las definiciones...

Pablo Fernández. IESE Business School. 22/12/94

EQUIVALENCIA Y SIGNIFICADO DE LAS FORMULAS PARA VALORAR EMPRESAS PORDESCUENTO DE FLUJOS

Pablo Fernández1

INDICE

1 . Fórmulas de valoración

1.1 Definiciones de cash flow disponible para las acciones y de free cash flow

2 . Perpetuidades

2.1. Relaciones que se obtienen a partir de las fórmulas

2.2. Beta correspondiente al coste ponderado de capital (WACC) **

2.3. Ejemplos de empresas sin crecimiento

2.4. Determinación de la tasa de descuento apropiada para los impuestos en perpetuidades**

2.5. Una fórmula para la rentabilidad exigida a la deuda**

3 . Empresas con crecimiento constante


3.2. Determinación de la tasa a la que se debe descontar el ahorro de impuestos real**

3.3. Ejemplos de empresas con crecimiento constante

3.4. Determinación de la tasa de descuento de los impuestos para empresas con crecimiento constante**

3.5. La fórmula típica de creación de valor

4 . Caso general


4.2. Un ejemplo de valoración de empresas

4.3. Determinación de la tasa a la que se debe descontar el ahorro de impuestos real**

4.4. Determinación de la tasa a la que se debe descontar el flujo de impuestos**

5 . Fórmulas cuando el valor nominal de la deuda (N) no coincide con el valor de mercado (D)

5.1. Perpetuidades

5.2. Empresas con crecimiento constante

5.2.1. Casos particulares

5.3. Caso general

5.4. Impacto en la valoración

6 Impacto de la utilización de las fórmulas simplificadas

6.1. “Creación de valor” con el apalancamiento para perpetuidades

6.2. Las fórmulas simplificadas como una reducción del Cash Flow debida al apalancamiento

6.3. Las fórmulas simplificadas como un aumento del riesgo del negocio (Ku) debido al apalancamiento

6.4. Impacto de utilizar las fórmulas simplificadas en un caso real

7 Flujo total para deuda y recursos propios y coste ponderado real de la deuda y los recursos propios.

Apéndice 1: Resumen de las fórmulas más importantes

a) Perpetuidades sin crecimiento

b) Empresas con crecimiento constante

c) Caso general

Apéndice 2: Fórmulas alternativas para empresas con crecimiento constante.

8 ANEXOS

1 Esta nota surgió a raiz de una pregunta formulada por don Rafael Termes, que ayudó al autor a pensar en estos temas. Por esto -y por

tantas otras cosas- le expreso otra vez mi agradecimiento.

1


El propósito de esta nota es profundizar (a través de las fórmulas que se emplean habitualmente) en losconceptos que se utilizan en la valoración de empresas.

A lo largo de la nota, se muestra (entre otras cosas):1.- Los valores de las acciones que se obtienen utilizando las tres fórmulas tradicionales de descuento de

flujos (que veremos a continuación) son siempre idénticos.2.- El valor actual neto del ahorro de impuestos por pago de intereses no debe descontarse (como proponen

muchos autores) a la tasa Ke (coste de los recursos propios).3.- El valor actual neto del ahorro de impuestos por pago de intereses no debe descontarse (como proponen

muchos autores) a la tasa Kd (coste de la deuda).4.- El VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses es igual al VAN del ahorro de impuestos que habría

si la deuda tuviese un coste de Ku. Esto es así porque dicho VAN no es propiamente un VAN, sino la diferencia dedos Valores Actuales netos: el del flujo de los impuestos pagados por la empresa sin apalancar y el del flujo de losimpuestos pagados por la empresa apalancada (flujos con distinto riesgo)2.

5.- El ajuste que debe realizarse en la valoración cuando el valor nominal de la deuda no coincide con su valorde “mercado”.

6.- El impacto en la valoración de utilizar las fórmulas simplificadas habituales.La nota comienza exponiendo las fórmulas de valoración para un caso general. A continuación se trata el caso

de una empresa sin crecimiento, con todos sus parámetros constantes, esto es, una perpetuidad. Posteriormenteabordamos la valoración de empresas con crecimiento constante, para finalizar con el caso general.

Los apartados más farragosos han sido señalados con dos asteriscos (**). Puede leerse la nota saltando estosapartados sin perder el hilo de la misma.

El significado de las abreviaturas que se utilizan a lo largo de esta nota es el siguiente:T = Tasa del impuesto sobre el beneficioFCF = Free cash flow3CFacc = Cash flow disponible para las accionesI = intereses debidos a la deudaKu = Coste de los recursos propios de la empresa sin apalancarKe = Coste de los recursos propios de la empresa apalancadaKd = Coste de la deudaKI = Tasa de descuento de los impuestos pagados por la empresaC = Valor de las acciones en t = 0D = Valor de la deuda en t = 0WACC = coste ponderado de deuda y recursos propiosNt = Nominal de la deuda que se devuelve el año tRF = Tasa de interés sin riesgoβd = Beta de la deuda

βU = Beta de los recursos propios de la empresa sin apalancar

βL = Beta de los recursos propios de la empresa apalancadaPM = Prima de mercado = E (RM) - RF = Valor esperado de la rentabilidad del mercado

por encima de la tasa sin riesgo = rentabilidad exigida al mercado por encima de la tasa sin riesgo.

VU = Valor de las acciones de la empresa sin deuda

1. FORMULAS DE VALORACIONSe exponen a continuación las tres fórmulas de valoración de empresas por descuento de flujos para un caso

general.La fórmula [1] propone que el valor de mercado de la deuda (D) y de los recursos propios (C) es el valor

actual neto de los Free Cash-Flows (FCF) esperados que generará la empresa, descontando al coste ponderado de ladeuda y los recursos propios (WACC).

[ 1 ] D + C = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + WACCt)

FCFt

Si el WACC es constante a lo largo del tiempo, [1] se transforma en:

D + C = ∑t = 1

∞

( 1+ WACC )

t

FCFt

2 Para comprender mejor esto, ver la derivación de la fórmula [16] y su comprobación en los anexos.

3 Puede ser útil la definición de Free Cash-Flow = cash-flow disponible para las acciones si la empresa no tuviera deuda.

2


La fórmula [2] indica que el valor de mercado de los recursos propios es el valor actual neto del Cash-Flowdisponible para las acciones (CFacc) descontado al coste de los recursos propios (Ke).

La fórmula [3] indica que el valor de mercado de la deuda (D) y de los recursos propios (C) de la empresaapalancada, es el valor de los recursos propios de la empresa sin apalancar más el valor actual neto del ahorro deimpuestos por pago de intereses.

La fórmula [4] es la definición del valor de mercado de la deuda hoy.La fórmulas [5], [6] y [7] no son más que la relación, según el Capital Asset Pricing Model (CAPM), entre

los costes de los recursos propios de la empresa, sin apalancar y apalancada, y del coste de la deuda con sus betas (ß)correspondientes.

[ 2 ] C = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Ket)

CFacct

Si Ke es constante a lo largo del tiempo, [2] se transforma en:

C = ∑t = 1

∞

(1 + Ke )

t

CFacct

[ 3 ] D + C = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Kut)

FCFt + VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses

Si Ku es constante a lo largo del tiempo, [3] se transforma en:

D + C = ∑t = 1

∞

(1 + Ku )

t

FCFt + VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses

El valor de mercado de la deuda hoy (D) es:

[ 4 ] D0 = ∑t =1

∞

∏1

t

( 1 + Kdt)

It + Nt

Si Kd es constante a lo largo del tiempo, [4] se transforma en:

D = ∑t = 1

∞

(1 + Kd )

t

I t + (1 + Kd )

t

Nt

Según el CAPM:[ 5 ] Ku = RF + βU PM

[ 6 ] Ke = RF + βL PM

[ 7 ] Kd = RF + βd PM

1.1 Definiciones de CFacc (cash flow disponible para las acciones) y de FCF (free cash flow)Aunque en la prensa económica aparece con frecuencia la definición: Cash-flow = Beneficio después de impuestos + amortizaciones, nosotros utilizaremos las definiciones de cash-flow disponible para las acciones y de free cash flow coherentes con susignificados. Cash-flow disponible para las acciones corresponde con el concepto de flujo de caja. Por consiguiente:

CFacc (cash flow disponible para las acciones) = + beneficio después de impuestos + amortización - aumento de necesidades operativas de fondos (activo circulante neto)- devolucion deuda+ aumento deuda - aumento gastos amortizables - inversiones en activo fijo+ valor contable de activos retirados o vendidos

3


El cash flow disponible para las acciones de un periodo es el aumento de caja (por encima de la caja “mínima”, cuyoaumento va incluido en el aumento de necesidades operativas de fondos). durante ese periodo, antes de proceder alreparto de dividendos.

FCF (free cash flow o cash flow libre) = + beneficio después de impuestos + amortización - aumento de necesidades operativas de fondos (activo circulante neto) - aumento gastos amortizables- inversiones en activo fijo+ intereses (1 - T)+ valor contable de activos retirados o vendidos

Nótese que el FCF es igual al hipotético cash flow para las acciones que habría tenido la empresa si no tuviera deudaen su pasivo.

El siguiente diagrama condensa el enfoque de valoración de empresas por descuento de flujos.

ACTIVONETO

(Valorde

"mercado")

DEUDA

(Valor de"mercado")

ACCIONES(Valor de

"mercado")

IMPUESTOS

(Valor actual de los impuestos pagados

por la empresa)

IMPUESTOS(Valor actual de los impuestos pagados

por la empresa)

FLUJO DE FONDOS GENERADO POR LA

EMPRESA

Flujo para la deuda

Impuestos

Cash flow acciones

2. PERPETUIDADESPara el caso de perpetuidades las fórmulas [1], [2] y [3] se transforman en [1p], [2p] y [3p].

[1p] C = WACCFCF

- D ; D = KdI

[2p] C = Ke

CFacc

[3p] C = KuFCF

+ VAN (ahorro de impuestos) - D

Además, la fórmula que relaciona FCF y CFacc es:[4p] CFacc = FCF - I (1 - T) = FCF - D Kd (1-T)

2.1 Relaciones que se obtienen a partir de las fórmulasA continuación, vamos a deducir algunas relaciones importantes emparejando las fórmulas y basándonos en el

hecho de que los resultados que proporcionan han de ser iguales4.De igualar las fórmulas [1p] y [2p], utilizando [4p], resulta:

C = WACC

CFacc +DKd (1-T) - D

4 Al imponer el cumplimiento de [3p], estamos aceptando el teorema de Modigliani-Miller con impuestos. Se supone que la generaciónde valor (el FCF) no depende del apalancamiento. El FCF se supone idéntico en la empresa apalancada y sin apalancar. Tampoco seconsideran los “costes de quiebra”.

4


C = WACC

C Ke + D Kd (1 - T) - D

luego

[ 8 ] WACC = C + D

C Ke + D Kd (1 - T)

Para una perpetuidad, el beneficio después de impuestos (BDT) es idéntico al Cash-Flow para las acciones: BDT= CFacc.

(1 - T) KuT FCF

= IMPU

Ku

FCF0

KuFCF

= VU

IMPL = (1 - T) KeT CFacc

KdIntereses

= D

KeCFacc

= C

WACCFCF

VAN

Impuestos = 0 D = 0 Empresa apalancadaD = 0

Llamamos FCF0 al free cash flow de la empresa si no hubiera impuestos.FCF = FCF0 (1- T). 5

Para la empresa sin apalancar (D = 0) : impuestosU = T . BATU = T FCF0. Luego los impuestos de la empresa sinapalancar tienen el mismo riesgo que FCF0, y deben actualizarse a la tasa Ku.

Para la empresa apalancada:

impuestosL = T BATL = (1 - T)

T BDTL = (1 - T)T CFacc

Luego los impuestos de la empresa apalancada tienen el mismo riesgo que el CFacc y deben actualizarse a la tasaKe.

El valor de los impuestos de la empresa apalancada, esto es, el valor de la participación del Estado en la empresaes6:

IMPL = Ke

T BAT =

(1 - T) KeT BDT

= (1 - T) KeT CFacc

El valor de los impuestos de la empresa sin apalancar es:

IMPU = (1 - T) Ku

T FCF

El VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses es exactamente:

IMPU - IMPL = 1 - T

T (

KuFCF

- Ke

CFacc )

Haciendo uso de [2p] y [3p]:

VAN = 1 - T

T (C + D - VAN - C)

con lo que resulta: VAN = DTDe igualar las fórmulas [2p] y [3p], teniendo en cuenta [4p], resulta:

C = KuFCF

+ DT - D = Ku

CFacc + DKd (1-T) - D(1-T)

C =Ku

CKe + DKd (1-T) - D(1-T)

5 Nótese que FCF y FCFo tienen el mismo riesgo: Ku.6 El beneficio antes de impuestos (BAT) se relaciona con el beneficio después de impuestos (BDT): BDT = BAT (1 - T).

5


luego:

[ 9 ] Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T) =

VuC Ke + D Kd (1 - T)

Otro modo de expresar [9] es:

Ke = Ku + C

D (1 - T) (Ku - Kd)

7

Sustituyendo Ke, Ku y Kd:

RF + βU PM = C + D (1-T)

C [RF+ βLPM] + D (1-T) [RF+βd PM]

[10]βU = CβL + D(1- T)βd

C + D(1- T)[11]

βL = βU C + D(1- T)[ ] − βdD(1- T)C

Igualando [1p] y [3p], resulta:

C = KuFCF

+ DT - D = Ku

WACC (C + D) - D (1 - T) Ku = WACC

C + D(1-T)C + D

[12] WACC = Ku C + D

C + D (1 - T) = Ku ( 1 -

C + DD T

)

La fórmula [12] indica que con impuestos, el WACC es siempre inferior a Ku y tanto más pequeño cuanto mayor esel apalancamiento. Nótese también que el WACC es independiente de Kd y Ke8. Cuando D = 0, WACC = Ku;cuando C = 0, WACC = Ku (1 - T).

A partir de [3p] podemos escribir:

C = KuFCF

+ DT - D = Ku

CFacc + D Kd (1 - T) +

KuD Ku T

- D

[13] C = Ku

CFacc -

KuD (1 - T) (Ku - Kd)

2 . 2 Beta correspondiente al WACC ** A continuación, tratamos de obtener la beta correspondiente al llamado coste ponderado de la deuda y de los

recursos propios (WACC). WACC = RF + βW PM . Utilizando la fórmula [8]:

[RF + βWP

M] (C+D) = C[R

F+βL P

M] + D(1-T)[R

F + β

d P

M]

RF(C+D) +βWPM(C+D) = RF (C+D) - RFTD + CβLPM + D(1-T)βd PM

ΒW = C + D

C βL + D(1 - T) βd - RF PM (C + D)

TD =

C + D

βU [C + D (1 - T)] -

PM (C + D)

RF TD

2 . 3 Ejemplos de empresas sin crecimientoLa Tabla 1 muestra la valoración de seis empresas distintas sin crecimiento. Las empresas difieren entre sí en

la tasa de impuestos, en el coste de la deuda y en la magnitud de la deuda. La columna 1 corresponde a la empresa sindeuda y sin impuestos. La columna 2 corresponde a la misma empresa con impuestos del 35%. La columna 3corresponde a una empresa con deuda igual a 1.000 millones y sin impuestos. Las columnas 4 y 5 corresponden a la

7 Esta fórmula “parece” indicar que si aumentan los impuestos, Ke disminuye. Sin embargo, esto no es cierto. Ke no depende de T. Enla fórmula, Ku, Kd y D no dependen de T, ni tampoco Ke. Sí que depende de T, sin embargo, C. Un poco de álgebra permite comprobarque si los impuestos aumentan una cantidad ∆T, la disminución del valor de los recursos propios (∆C), es:

∆C = - 1 - T

C ∆ T

8 Esto puede parecer no intuitivo, pero es lógico. Imaginemos una situación en que la deuda de la empresa tiene un coste (r) muy grande(superior a su riesgo). En esa situación el valor de la deuda será superior a su valor nominal (N), según la relación Nr = D Kd, que veremosen el apartado 5 de esta nota.

6


empresa con deuda igual a 1.000 millones, impuestos del 35% y distintos costes de la deuda. La columna 6corresponde a una empresa más endeudada (deuda de 2.000 millones), y con impuestos del 35%.

Las líneas 1 a 5 muestran la cuenta de resultados de las empresas. La línea 8 muestra el Cash-flow disponible para las acciones. La línea 9 muestra el Free-cash-flow.Línea 10. Se supone una beta sin apalancar (equivalente a la beta de los activos netos) igual a 1,0.Línea 11. La tasa sin riesgo se supone igual al 12%Línea 12. Se toma como prima de mercado un 8%.Línea 13. Con los datos anteriores, el coste de los recursos propios de la empresa sin apalancar (Ku) resulta

un 20% en todos los casos. Línea 14. El valor de la empresa sin apalancar (Vu = FCF/Ku), resulta que es 5.000 millones para las

empresas sin impuestos y 3.250 millones para las empresas con impuestos del 35%. La diferencia (1.750 millones)es el valor actual de los impuestos.

Línea 15. Muestra la magnitud de la deuda de la empresa.Línea 16 es el coste de la deuda de la empresa.Línea 17. Beta correspondiente al coste de la deuda según la fórmula [7]Línea 18. Valor actual neto del ahorro de impuestos debido al pago de intereses, que en este caso (por ser una

perpetuidad) es D T.Líneas 19 y 20. Son la aplicación de la fórmula [3p].Línea 21. Muestra la beta de los recursos propios según la fórmula [10].Línea 22. Muestra el coste de los recursos propios según la fórmula [6]Línea 23. Cálculo del valor de los recursos propios utilizando la fórmula [2p].Línea 24. Coste ponderado de los recursos propios y de la deuda, calculado según la fórmula [8].Líneas 25 y 26. Cálculo del valor de los recursos propios utilizando la fórmula [1p].La figura 1, la tabla 2 y la tabla 3 resaltan los resultados más importantes de la tabla 1

TABLA 1EMPRESAS SIN CRECIMIENTO

D = 0 D = 0 D = 1000 D = 1000 D = 1000 D = 2000T = 0% T = 35% T = 0% T = 35% T = 35% T = 35%

Kd = 13% Kd = 13% Kd = 14% Kd = 14%g=0% g=0% g=0% g=0% g=0% g=0%

[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]1 Margen 1000 1000 1000 1000 1000 10002 Intereses 0 0 130 130 140 2803 BAT 1000 1000 870 870 860 7204 Impuestos 0 350 0 304,5 301 2525 BDT 1000 650 870 565,5 559 4686 + Amortización 200 200 200 200 200 2007 - Inversiones -200 -200 -200 -200 -200 -2008 CF acciones 1 0 0 0 6 5 0 8 7 0 5 6 5 , 5 5 5 9 4 6 89 FCF 1 0 0 0 6 5 0 1 0 0 0 6 5 0 6 5 0 6 5 0

10 Beta del activo (ßu) 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,0011 Rf 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00%12 (Rm - Rf) = prima de mercado 8,00% 8,00% 8,00% 8,00% 8,00% 8,00%13 Ku 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%1 4 Vu 5 . 0 0 0 3 . 2 5 0 5 . 0 0 0 3 . 2 5 0 3 . 2 5 0 3 . 2 5 0

15 D 0 0 1.000 1.000 1.000 2.00016 Kd 13,00% 13,00% 14,00% 14,00%17 Beta d (ßd) 0,125 0,125 0,250 0,250

18 VAN ahorro impuestos por intereses = DT 0 0 0 350 350 70019 VAN ahorro inter. + Vu 5.000 3.250 5.000 3.600 3.600 3.95020 - D = E 1 5 . 0 0 0 3 . 2 5 0 4 . 0 0 0 2 . 6 0 0 2 . 6 0 0 1 . 9 5 0

21 Beta de las acciones (ßL) 1,000000 1,000000 1,218750 1,218750 1,187500 1,50000022 Ke 20,00% 20,00% 21,75% 21,75% 21,50% 24,00%23 E 2 = CF / Ke 5 . 0 0 0 3 . 2 5 0 4 . 0 0 0 2 . 6 0 0 2 . 6 0 0 1 . 9 5 0

24 WACC 20,0000% 20,0000% 20,0000% 18,0556% 18,0556% 16,4557%25 FCF / WACC 5.000 3.250 5.000 3.600 3.600 3.95026 E 3 = (FCF / WACC) - D 5 . 0 0 0 3 . 2 5 0 4 . 0 0 0 2 . 6 0 0 2 . 6 0 0 1 . 9 5 0

7


–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Figura 1. Distintas maneras de repartir el valor global (en t = 0) de la empresa (5.000 millones)

entre el Estado (cuando hay impuestos), la deuda y los recursos propios

SIN IMPUESTOS CON IMPUESTOS = 35%

Sin Deuda Con DeudaD= 1.000

Sin Deuda Con DeudaD = 1.000

V

5.000

D = 1.000

E

4.000

Estado (Impuestos)

1.750

V = E

3.250

U U

D = 1.000

Estado(Impuestos)

1.400

E

2.600

VALOR en t = 0 (Millones de pesetas)Sin Crecimiento

U; T = 0T = 0

[ 1 ] [3 ] [2 ] [4 ]Columnas de la tabla 1 con las que se corresponden estos valores

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Tabla 2. Flujos anuales (Millones de pesetas). Sin crecimiento

SIN IMPUESTOS CON IMPUESTOS = 35%Sin Deuda Con Deuda Sin Deuda Con Deuda

D = 1.000 D = 1.000B.A.T 1.000 870 1.000 870Impuestos 0 0 350 304,5B.D.T. 1.000 870 650 565,5F.C.F. 1.000 1.000 650 650Flujo Disponible para las acciones 1.000 870 650 565,5–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Flujo para la deuda 0 130 0 130

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Tabla 3. Flujos, tasas de descuento y valor de la empresa. Sin crecimiento

[1] [3] [2] [4]–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Flujo Total 1.000 1.000 1.000 1.000–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––CFACC 1.000 870 650 565,5Impuestos 0 0 350 304,5Flujo Deuda 0 130 0 130––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Ke 20% 21,75% 20% 21,75%Kd –– 13% –– 13%KIMP –– –– 20% 21,75%–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––E = CFACC/Ke 5.000 4.000 3.250 2.600Estado = Impuestos/KIMP ––– ––– 1.750 1.400D = Flujo Deuda/Kd ––– 1.000 ––– 1.000

–––– –––– –––– ––––SUMA 5.000 5.000 5.000 5.000–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Comparando las columnas [2] y [4] se observan dos puntos muy interesantes:• En este caso (no siempre es así como veremos luego) el riesgo del flujo para las acciones es idéntico al riesgo delflujo para el estado (los impuestos).• Al aplicar la fórmula [3], que propone que el valor de la empresa apalancada (D+C) es igual al valor de la empresasin apalancar (VU) + VAN del ahorro de impuesto por pago de intereses, muchos autores sostienen que el VAN ha derealizarse descontando el ahorro de impuestos (Intereses x T = 130 x 0,35 = 45,5) al coste de los recursos propios(Ke). Esto es erróneo. En nuestro ejemplo, este VAN es 350 millones = 1.000 + 2.600 - 3.250 = 1.750 - 1.400. Es

8


inmediato comprobar que 350 ≠ 45,5/0,2175. En este caso resulta que 350 = 45,5/0,13, razón por la que parece quela tasa correcta para descontar sea Kd. Aunque en este caso resulte así, más adelante veremos que esto también es -salvo para perpetuidades- erróneo.

Otros resultados importantes de la tabla 1 son los siguientes:1. El coste de los recursos propios (Ke) disminuye a medida que aumenta el coste de la deuda, al tomar ésta

una parte mayor del riesgo de la empresa (que es constante y no se ve afectado por el apalancamiento).2. El coste ponderado de capital (WACC) no depende del coste de la deuda, sino del endeudamiento y de βu

(no de cómo la βu se reparte entre βd y βL )3. Para la empresa apalancada, el WACC es siempre menor que Ku.4. El valor de las acciones es independiente de Kd: depende del valor de la deuda, pero no de Kd. Esto no

quiere decir que el interés de la deuda sea irrelevante. Es evidente que si creemos que el coste apropiado para la deudaes el 13% (así la deuda tiene un valor de 1000 millones) y el banco nos exige un 14%, las acciones disminuyen devalor porque el valor de la deuda ya no es 1000 sino 1076,9 (140/0,13). Lo que sucede es que no hay ningunafórmula que nos diga el riesgo de la deuda a partir del riesgo del negocio y del endeudamiento. Sólo sabemos que elriesgo del negocio se ha de repartir entre la deuda y los recursos propios según [10]. Por esto el coste de la deudatiene un cierto grado de arbitrariedad: ha de ser superior a RF e inferior a Ku.

2 . 4 Determinación de la tasa de descuento apropiada para los impuestos en perpetuidades **Siendo FCFo el free cash flow de la empresa sin impuestos, el valor de la empresa sin impuestos y sin deuda es:

VU0, T0 = Ku

FCF0

FCF0 (1-T) = FCF

ID = 0 = T FCF0 = 1 - T

T FCF FCF0 =

1 - TFCF

IP = (FCF0 - Int) T = [1 - TFCF

- Int] T Ku

FCF0 = KI

Imp +

KdInt

+ Ke

CFacc

Ku

FCF0 = KI

[1 - TFCF

- Int] T + D + C

Ku1 - TFCF

= KI

[1 - TFCF

- D Kd] T + D + C

pero [3p]: FCF = [C + D (1 - T)] Ku

1 - TC

+ D = KI

1 - T[C + D (1 - T)] Ku

- D Kd T + D + C

1 - TC

- C = (1 - T) KI

[C + D (1 - T)] Ku - [D (1 -T) Kd] T

K1 = C T

[C + D (1 - T)] Ku - [D (1 - T) Kd] T

KI = C

C Ke + D Kd (1 - T) - D (1 - T) Kd = Ke

[14] K I = KePor consiguiente, en el caso de perpetuidades el riesgo de los impuestos es idéntico al riesgo del flujo

disponible para las acciones9.

2.5. Una fórmula para la rentabilidad exigida a la deuda**La fórmula [9] nos dice la relación que debe haber entre Ku, Ke y Kd para cada nivel de endeudamiento, pero

no hemos encontrado ninguna fórmula que nos diga cómo calcular Kd a partir del riesgo de la empresa (Ku) y delendeudamiento. Kd se puede interpretar como la rentabilidad “razonable” que deben (o deberían) exigir los bonistas oel banco, de acuerdo al riesgo de la empresa y a la magnitud de la deuda. Por el momento, estamos suponiendo queKd es también el interés que paga la empresa por su deuda. En el apartado 5 veremos qué sucede cuando los interesespagados no coinciden con Kd.

9 Esto sólo es cierto para perpetuidades sin crecimiento, como veremos más adelante.

9


Comparando la fórmula [13] con [2p], vemos que ofrece una alternativa para calcular el valor de las accionessin calcular Ke:

KuCFacc - D (1 - T) (Ku - Kd)

= Ke

CFacc

De la fórmula [13], podemos calcular la “deuda máxima teórica” (la denominamos D0), esto es, aquélla para la que elvalor de las acciones se hace cero. En esa situación CFacc = 0, por consiguiente:

D0 = Kd (1-T)

FCF

Además, en ese punto, Kd = Ku. Esto es lógico porque todo el flujo generado por los activos corresponde ala deuda. Por tanto, el riesgo de la deuda en ese punto ha de ser idéntico al riesgo de los activos.

Por otro lado, para una deuda mínima, el coste debe ser RF. Una descripción del coste de la deuda que cumpleestas dos condiciones es:

[15] Kd = RF + D(1- T)D(1- T) + C

Ku - RF( );lo que implica

[15a] βd = D(1- T)D(1- T) + C

βU

Con esta definición de βd, sustituyendo en [9] se verifica que:

Ke = Ku + D (1 - T) + C

D (1 - T) (Ku - RF)

y Ke - Kd = Ku - RF = βU PMNótese que C + D (1 - T) = VU ; luego

βd = VU

D (1 - T) βU ; Kd = RF +

VU

D (1 - T) (Ku - RF)

Ke = Ku + VU

D (1 - T) (Ku - RF)

Otras relaciones de interés son:

Ke - Kd = C

D (1 - T) + C (Ku - Kd) ; Ke - Ku =

CD (1 - T)

(Ku - Kd)

Las siguientes figuras muestran cómo cambian las tasas de descuento y el valor de las acciones de laempresa en función del endeudamiento. Nótese que estamos suponiendo el FCF y Ku independientes delnivel de endeudamiento.

La figura 2 utiliza la fórmula [15] para un ejemplo y muestra cómo cambian Kd, Ke y el WACC cuandoaumenta el apalancamiento. La figura 3 hace referencia al mismo ejemplo y muestra la evolución del valor de la deuday de las acciones cuando aumenta el apalancamiento

La figura 4 hace referencia a un supuesto ilógico (relativo al coste de la deuda Kd) que se utiliza confrecuencia para justificar la existencia de la estructura óptima de capital.

Las figuras 5 y 6 muestran cómo para tasas de impuestos elevadas y niveles de endeudamiento muyelevados, el WACC puede ser inferior a RF.

10


Figura 2. Empresa sin crecimientoT= 35% ; FCF = 100; Rf= 12%; ßu = 1; Pm = 8%; ßd = ßu * D (1-T)/ (C+ D(1-T))

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

28%

0 100 200 300 400 500 600 700 800

WACC

Rf = 12%

Ke

Ku = 20%

Kd

D


0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

0 100 200 300 400 500 600 700 800

D

C+D

C

D

Figura 4. Empresa sin crecimientoT= 35% ; FCF = 100; Rf= 12%; ßu = 1; Pm = 8%;

Coste arbitrario de la deuda que produce (al ser el WACC dependiente exclusivamente de Ku) un Ke ilógico.

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

28%

0 100 200 300 400 500 600 700 800

WACC

Rf = 12%

Ke

Ku = 20%

Kd

D

11



Al ser la tasa de impuestos elevada, el WACC es inferior a Rf para endeudamientos elevados

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

28%

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

D

WACCRf = 12%

Ke

Ku = 20%

Kd


Al ser la tasa de impuestos elevada, el WACC es inferior a Rf para endeudamientos elevados: C+D > FCF/Rf

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

900,00

1000,00

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

D

C+D

C

D

12


3. EMPRESAS CON CRECIMIENTO CONSTANTEEn el caso de empresas con crecimiento constante (g), las fórmulas [1], [2] y [3] se transforman en [1c], [2c]

y [3c].

[1c] C = WACC - g

FCF1 - D

[2c] C = Ke - g

CFacc1

[3c] C = Ku - g

FCF1 + VAN (ahorro de impuestos por pago de intereses) - D

Además, la fórmula que relaciona FCF y CFacc es:[4c] CFacc1 = FCF1 - I1 (1 - T) + ∆D1; como I1 = D0 Kd; y ∆ D1 = g D0,

CFacc1 = FCF1 - D0 [Kd (1 - T) - g]

Aunque parece obvio, es interesante resaltar que el valor de la deuda en t = 0 (D) es

D = Kd - g

(I - ∆D)1 = Kd - g

Kd D - gD = D

3 . 1 Relaciones que se obtienen a partir de las fórmulasA continuación, vamos a deducir algunas relaciones importantes emparejando las fórmulas y basándonos en el

hecho de que los resultados que proporcionan han de ser iguales. Seguimos el mismo procedimiento que hicimos enel caso de empresas sin crecimiento.

Como [1c] ha de ser igual a [2c] resulta (utilizando [4c]):

C = Ke - g

FCF - D[Kd (1-T) - g] =

Ke - g(C + D) (WACC - g) -D[Kd (1-T) -g]

luego:

[ 8 ] WACC = C + D

C Ke + D Kd (1-T)

como habíamos obtenido para perpetuidadesComo [1c] ha de ser igual a [3c], resulta:

(C + D) (WACC - g) = (C + D - VAN) (Ku - g)

luego:

VAN = (C + D) Ku - g

Ku - WACC

Como [2c] ha de ser igual a [3c], resulta (utilizando [4c]):

C + D - VAN = Ku - g

CFacc+D [Kd (1 - T) - g] =

Ku - gC (Ke - g) + D [Kd (1-T) - g]

luego

[15b] VAN = (C + D) Ku - g

Ku - WACC

lo mismo que acabamos de obtener.El flujo para la deuda y el flujo disponible para las acciones (y los impuestos, por tanto) dependen de Kd,

pero no dependen de Kd el valor de la deuda D (que ha sido prefijado), el valor de las acciones C y, por tanto, elvalor de los impuestos. Si actualizásemos el ahorro de impuestos por pago de intereses a la tasa Kd resultaría:

VAN = Kd - gD Kd T

que sí depende de Kd.Luego no se puede actualizar -en general- el flujo del ahorro de impuestos por pago de

intereses a la tasa Kd.La razón es que el VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses no es el VAN de un flujo (D Kd T, que

crece a una tasa g), sino que es la diferencia de los valores actuales netos de dos flujos con distinto riesgo: el VAN de

13


los impuestos de la empresa sin deuda a la tasa Ku y el VAN de los impuestos de la empresa con deuda a la tasa KI(mayor que Ku)

Sustituyendo [12] en [15b], resulta:

VAN = Ku - gC + D

[Ku - Ku C + D

C + D (1 - T)] = Ku - gD T Ku

[16] VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses = Ku - gD T Ku

Nótese de nuevo que esta expresión no es el VAN de un flujo, sino la diferencia de 2 valores actuales netos dedos flujos con distinto riesgo: el de los impuestos de la empresa sin deuda y el de los impuestos de la empresa condeuda10.

Reparto del valor de la empresa sin impuestos y sin deuda entre las acciones, la deuda y los impuestos

Se considera que FCF y FCFo tienen el mismo riesgo: Ku

VAN

IMPUIMPL

D

Ku - g

FCF0

Ku - gFCF

= VU Ke - gCFacc

= CWACC - g

FCF

D = 0T = 0

D = 0 Empresa apalancada

A partir de [3c], utilizando [16] y [4c], se obtiene:

C = Ku - gFCF

+ Ku - gD Ku T

- D = Ku - g

CFacc + D Kd (1 - T) - g D + D Ku T - D Ku + g D

[17] C = Ku - gCFacc

- Ku - g

D (Ku - Kd) (1 - T)

Esta es una fórmula alternativa a la [2c] para calcular el valor de las acciones a partir de CFacc sin tener quecalcular Ke.

La “deuda máxima teórica” que admite la empresa, esto es, aquella en que C = 0 será (cuando CFacc = 0)11

[18] D0 = Kd (1 - T) - g

FCF

En este punto, por [17], Kd = Ku, luego

D0 = Ku (1 - T) - g

FCF1 = Ku (1 - T) - g

VU (Ku - g)

Un poco de álgebra permite observar que:

[ 9 ] Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

10 Otra interpretación de esta fórmula (aunque poco “realista”) es que el VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses (al serindependiente de Kd) es igual al VAN del ahorro de impuestos que habría si la deuda tuviese un coste de Ku. Si la deuda tuviese un costeKu, entonces también Ke = Ku y el riesgo de los impuestos también sería Ku11 En esta situación, todo el flujo de la empresa corresponde a la deuda, por lo tanto el riesgo de la deuda es idéntico al de los activos: Kd = Ku.

14


3 . 2 Determinación de la tasa kVAN a la que se debería descontar el ahorro de impuestos real porpago de intereses para una empresa con crecimiento constante **

A partir de [15], podemos calcular la tasa (KVAN) a la que descontar el ahorro real de impuestos por pago deintereses (en t = 1, este ahorro es D T Kd).

Ku - gD T Ku

= KVAN - gD T Kd

= VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses

K VAN - g = (Ku - g) KuKd

Como Kd < Ku => Kd < K VAN < Ku, como puede apreciarse en la siguiente tabla:

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Valores de KVAN en función de Kd y Ku para una empresa con crecimiento constante del 5%

KuKd 15% 16% 17% 18% 19% 20%

13% 13,67% 13,94% 14,18% 14,39% 14,58% 14,75%14% 14,33% 14,63% 14,88% 15,11% 15,32% 15,50%15% 15,00% 15,31% 15,59% 15,83% 16,05% 16,25%

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

KVAN = g + Kd (1 - Kug

) caso de crecimiento constante

VAN = KIU

- g

ImpU - KIL

- g

ImpL = KVAN - gD T Kd

= KVAN - g

ImpU - ImpL

No confundir KVAN con la tasa apropiada para descontar los impuestos.Es importante recalcar de nuevo que KVAN no es una tasa de descuento propiamente dicha: las tasas reales son

la tasa a la que descontamos los impuestos en la empresa apalancada (kIL) y la tasa a la que descontamos losimpuestos en la empresa sin apalancar (kIU).

KVAN es una pseudo-tasa con la que se descuenta la diferencia de dos flujos (los impuestos de la empresa sinapalancar y de la empresa apalancada), con distinto riesgo cada uno de ellos.

En la sección 3.4 se deducen las expresiones de kIL y kIU.

3 . 3 Ejemplos de empresas con crecimiento constanteLos anexos 1, 2, 3 y 4 muestran la valoración de cuatro empresas distintas con un crecimiento del 5% en

todos los parámetros excepto los activos fijos netos, que permanecen constantes. El anexo 1 bis es idéntico al anexo 1pero los activos fijos netos crecen también un 5%. Las empresas difieren entre sí en la tasa de impuestos y en lamagnitud de la deuda. La figura 7, la Tabla 4 y la Tabla 5 resaltan los resultados más importantes de estos cuatroanexos.

A continuación se explican las líneas de los anexos 1 a 4.Las líneas 1 a 11 muestran las previsiones del balance para la empresa durante los próximos 5 años. La línea 12 muestra las necesidades operativas de fondos previstas.Las líneas 14 a 22 muestran las cuentas de resultados previstas.Las líneas 23 a 27 muestran el cálculo del Cash-Flow disponible para las acciones en cada año.La línea 28 muestra el Free Cash Flow de cada año.Las líneas 29 y 30 muestran los crecimientos del Cash-Flow disponible para las acciones y del Free Cash

Flow.La línea 37 muestra la beta para la empresa sin apalancar (que coincide con la beta de los activos netos = ßu)

que se ha supuesto igual a 1.La línea 38 muestra la tasa sin riesgo que se ha supuesto 12%.La línea 39 muestra la prima de mercado que se ha supuesto 8%.Con estos resultados se calcula la línea 40 que resulta Ku = 20%.La línea 41 muestra el valor de la empresa sin apalancar Vu descontando los Free-Cash-Flows futuros a la tasa

Ku - g.Las líneas 43 y 44 muestran cuál sería el Free-Cash-Flow de la empresa si no hubiese impuestos y cuál sería

Vu en ausencia de impuestos.La línea 49 muestra el coste de la deuda que se ha supuesto 15%.La línea 50 es la beta de la deuda (ßd) correspondiente a su coste que resulta 0,375.La línea 51 muestra el valor actual neto del ahorro de impuestos debido al pago de intereses.La línea 52 es la aplicación de la fórmula [3c].La línea 53 resulta de restar el valor de la deuda a la línea 52, con lo que se obtiene el valor de mercado para

15


las acciones.La línea 54 muestra la beta de los recursos propios (ßL), utilizando la fórmula [10].La línea 55 muestra el coste de los recursos propios correspondientes a la beta de la línea anterior.La línea 56 es el resultado de utilizar la fórmula [2c]. Coincide con la línea 53.La línea 59 muestra el coste ponderado de los recursos propios y la deuda (WACC), según la fórmula [8].La línea 60 muestra el valor actual del Free Cash Flow descontado al WACC.La línea 61 muestra el valor de los recursos propios según la formula [1c], que también coincide con las líneas

56 y 53.La línea 64 muestra un modo incorrecto de calcular el valor actual neto de los impuestos: descontándolos a la

tasa Ke.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Figura 7. Distintas maneras de repartir el valor global (en t = 0) de la empresa (6.667 Millones) entre el Estado

(cuando hay impuestos), la deuda y los recursos propios


Sin Deuda Con DeudaD= 500

Sin Deuda Con DeudaD = 500

V

6.667

D = 500

E

6.167

Estado (Impuestos)

2.450

V = E

4.217

U U

D = 500

Estado(Impuestos)

2.217

E

3.950

VALOR en t = 0 (Millones de pesetas)Crecimiento = 5%

U; T = 0T = 0

[ 3 ] [2 ] [4 ] [1 ]Anexos con los que se corresponden estos valores

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Tabla 4

Flujos del año 1 (Millones de pesetas)Crecimiento = 5%

SIN IMPUESTOS CON IMPUESTOS = 35%Sin Deuda Con Deuda Sin Deuda Con Deuda

D = 500 D = 500B.A.T 1.050 975 1.050 975Impuestos 0 0 367,5 341,25B.D.T. 1.050 975 682,5 633,75F.C.F. 1.000 1.000 632,5 632,5Flujo Disponible para las acciones 1.000 950 632,5 608,75–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Flujo para la deuda 0 50 0 50

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Es importante destacar que el riesgo de los impuestos es distinto del riesgo del cash-flow disponible para lasacciones. El riesgo de ambos flujos será idéntico únicamente si Impuestos + CFacciones = B.A.T. Esto sólo sucedesi CFacciones = B.D.T., ya que los impuestos son un 35% del B.A.T.

En este caso (año 1, anexo 1), el cash-flow disponible para las acciones (608,75) es inferior al BDT(633,75%), motivo por el que los impuestos tienen menos riesgo que el cash-flow disponible para las acciones.

Por ello, si descontamos los flujos previstos para los impuestos a la tasa Ke (ver línea 64), obtenemos unvalor de la participación del estado en la empresa de 2214 millones, en lugar de 2217 que es el valor real. En esteejemplo la diferencia es pequeña, pero puede ser sustancial.

16


–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Tabla 5. Flujos, tasas de descuento y valor de la empresa con crecimiento anual = 5%

Anexos con los que se corresponden estos valores[3 ] [2 ] [4 ] [1 ]

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Flujo del año 1CFacc 1.000 950 632,5 608,75Impuestos –– –– 367,5 341,25Flujo Deuda –– 50 –– 50––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Ke 20% 20,4054% 20% 20,4114%Kd –– 15% –– 15%KIMP –– –– 20% 20,3947%12

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––E = CFACC/(Ke-g) 6.667 6.167 4.217 3.950Estado = Impuestos/(KIMP-g) ––– ––– 2.450 2.217D = Flujo Deuda/(Kd-g) ––– 500 ––– 500

–––– –––– –––– ––––SUMA 6.667 6.667 6.667 6.667–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Las figuras 8, 9 10 y 11 permiten observar el efecto del apalancamiento, del crecimiento, de los impuestos yde la prima de mercado en el valor de las acciones.

Figura 8. Aumento del valor de (C+D) con el apalancamiento.FCF = 100; g=0; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Deuda (D)

Vu

C+D

CD

12 Resulta de hacer la operación:

(KIMP - 0.05)

341,25 = 2.217

17


Figura 9. Influencia del crecimiento en el valor de las accionesFCF1 = 100; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

g=0 g=3%; g=6%

C

Deuda (D)

Figura 10. Influencia de la tasa de impuestos en el valor de las accionesFCF1 = 100; g = 0%; Ku = 20%; Rf = 12%

0

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

T=0 T=20% T=40%

C

Deuda (D)

Figura 11. Influencia de la prima de mercado en el valor de las accionesFCF = 100; T = 40%; ßu = 1; Rf = 12%; g = 0.

0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Pm = 8% Pm = 7% Pm = 6%

C

Deuda (D)

18


3.4 Determinación de la tasa de descuento de los impuestos para empresas con crecimientoconstante **Denominamos FCF0 al Free Cash Flow de la empresa sin impuestos.Es evidente que FCF0 = FCF + Impuestosu Impuestosu son los impuestos que correspondería pagar a la empresa sin deuda.Por definición: Impuestos = T BATBATu es el beneficio antes de impuestos de la empresa sin deudaComo normalmente BATu ≠ FCF0 , definimos un parámetro H que tiene en cuenta esta diferencia (debida aaumentos de las Necesidades Operativas de Fondos normalmente, y también a la diferencia entre compras de activosfijos y amortización, gastos activados...). Para la empresa sin deuda:

BATu = FCF0 + HPor consiguiente: FCF0 = FCF + T (FCF0 + H)Luego:

FCF0 = 1 - TFCF

+ 1 - TT H

13

Imp1 = [FCF0 + H1 - Kd D0] T

Imp1 = [1 - TFCF

+ 1 - TH T

+ H - Kd D] T

Como se cumple que el valor de la empresa sin deuda y sin impuestos [FCF0/(Ku-g)] se reparte entre:

- Valor de los impuestos =KI - g

Impuesto1

- Valor de las acciones = C = Ke - g

CFacc1

- Valor de la deuda = D = Kd - g

D Kd - Dg

Resulta:

Ku - g

FCF01 = KI - g

Impuestos1 + D + C

Sustituyendo:

FCF01 =

1 - TFCF

+ 1 - TT H

Impuestos1 = [1 - TFCF

+ 1 - T

H - D Kd] T

y teniendo en cuenta que:(C + D) (Ku - g) - DT Ku = C (Ke - g) + D[Kd (1 - T) - g],

resulta:

[19] K I - g = C Ku - g(C + D) + HC Ke - g(C + D) + H

(Ku - g)

Operando resulta:

KI = Ku +C +

Ku - gH - g D

D (1 - T) (Ku - Kd)

También sabemos que:

Ke = Ku + C

D (1 - T) (Ku - Kd)

13 Si H es proporcional a FCFo (lo cual es una hipótesis bastante razonable), entonces FCF y FCFo tienen el mismo riesgo: Ku.

19


Luego, KI > Ke cuando H < g D, y KI < Ke cuando H > g D.En los anexos 1 a 4, la diferencia entre el BAT y el FCF es debida únicamente al aumento de las

necesidades operativas de fondos: H = g NOF.

La tabla 6 muestra cómo afecta la estructura de la empresa a Ke y KI. Las cuatro primeras líneas muestranuna estructura de activo igual al anexo 1 (1000 millones de activo fijo neto y 1000 millones de necesidades operativasde fondos. Las líneas 1 y 2 tienen una deuda de 500 millones: el aumento de la deuda en el año 1 (25 millones) esinferior al aumento de necesidades operativas de fondos (50 millones). En estos casos Ke > KI. Las líneas 3 y 4tienen una deuda de 1.500 millones: el aumento de la deuda en el año 1 (75 millones) es superior al aumento denecesidades operativas de fondos (50 millones). En estos casos Ke < KI. Las cuatro últimas líneas muestran unaestructura de activo distinta: 1300 millones de activo fijo neto y 700 millones de necesidades operativas de fondos.

Un examen de la tabla 6 permite concluir también que:- KI depende del endeudamiento y del coste de la deuda, pero no de la estructura del activo (de cómo el activo netototal se reparte entre activos fijos y necesidades operativas de fondos).- Ke depende del endeudamiento, del coste de la deuda y de la estructura del activo.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Tabla 6

Variación de Ke y de KI cuando cambia el endeudamiento, las necesidades operativas de fondos,el activo fijo neto (AFN) y el coste de la deuda

Variaciones sobre la empresa del anexo 1

línea AFN D NOF E Kd Ke K I1 1.000 500 1.000 3.950 15% 20,4114% 20,3947%2 1.000 500 1.000 3.950 13% 20,5759% 20,5526%3 1.000 1.500 1.000 3.417 15% 21,4268% 21,5000%4 1.000 1.500 1.000 3.417 13% 21,9976% 22,1000%

5 1.300 500 700 4.050 15% 20,4012% 20,3947%6 1.300 500 700 4.050 13% 20,5617% 20,5526%7 1.300 1.500 700 3.517 15% 21,3863% 21,5000%8 1.300 1.500 700 3.417 13% 21,9408% 22,1000%

Si ∆D > g NOF => Ke < KISi ∆D < g NOF => Ke > KI–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Denominamos ESTU al valor de los impuestos en la empresa sin deuda (participación del estado en la empresa) yESTL (o simplemente EST) al valor de los impuestos en la empresa apalancada. EST0 es el valor de los impuestosen la empresa apalancada en t=0.ImpU son los impuestos del año 1 en la empresa sin deuda; ImpL son los impuestos del año 1 en la empresaapalancada.Para la empresa sin apalancar:

Ku - g

FCF0 = Ku - gFCF

+ KIU

- g

ImpU

Como FCF0 = FCF + ImpUresulta:K I U = Ku

BATU = 1 - T

FCF + H

ImpU = [FCF + H] 1 - T

T

ImpL = [FCF + H] 1 - T

T - D Kd T

EST0 = KI - g

ImpL

20


ImpU = ImpL + D Kd T

El VAN del ahorro de impuestos por los intereses de la deuda lo podemos expresar como la diferenciaentre el valor de los impuestos que pagaría la empresa sin apalancar y apalancada.

Ku - g

ImpL + D Kd T - EST =

Ku - gD T Ku

Ku - g

EST (KI -g) + D Kd T - EST =

Ku - gD T Ku

EST (KI - g - Ku + g) + D Kd T = D T Ku

KI - Ku = EST0

D T (Ku - Kd)

Otro modo de obtener esta relación. Sabemos que:ImpU= ImpL + D T Kd; dividiendo por Ku - g:

Ku - g

ImpU = Ku - g

ImpL + Ku - gD T Kd

ESTU = Ku - g

ESTL (KI - g) +

Ku - gD T Kd

ESTU (Ku - g) = ESTL (KI - g) + DT Kd

ESTU = ESTL + Ku - gD T Ku

ESTU (Ku - g) = [ESTU - Ku - gDT Ku] (KI -g) + D T Kd

KI - g = ESTU -

Ku - gDT Ku

ESTU (Ku - g) - DT Kd =

ESTU (Ku - g) - D T Ku

ESTU ( Ku - g) - D T Kd (Ku - g)

Como

ESTU = ESTL + Ku - gDT Ku

KI - g = ESTL ( Ku - g)

ESTL (Ku - g) + DT (Ku - Kd) (Ku - g)

KI - g = (Ku - g) + ESTL

D T (Ku - Kd)

3.5. La fórmula típica de creación de valor.La rentabilidad contable sobre recursos propios (ROE) se define como el beneficio después de impuestos

(BDT) dividido por los recursos propios a valor contable (RP):

ROE = RP0

BDT1

Sabemos también que el valor de los recursos propios (C) es

C0 = (Ke - g)

CFacc1

La relación entre BDT1 y CFacc1 es (para una empresa como la del Anexo 1 bis en que todo crece a una tasa g):

21


BDT1 = CFacc1 + g NOF0 + g AFN0 - g D0 = CFacc1 + g RP0Sustituyendo esta última expresión obtenemos:

C0 = Ke - g

BDT1 - g RP0 = Ke - g

ROE RP0 - g RP0 = RP0 Ke - gROE - g

Luego14

RP0

C0 = Ke - g

ROE - g

En el Anexo 1 bis, el valor de las acciones se obtiene:

Ke - g

CFacc1 = (0'2045 - 0'05)

558'75 = 3.617

El PER y el ROE son:

PER = 633'753.617

= 5'71 ROE = 1.500633'75

= 0'4225

Sustituyendo, obtenemos:

RP0

C =

1.5003.617

= 2'41 = 20'45% - 5%42'25% - 5%

Por otro lado:

PER = BDT

C =

RP0 ROEC

= ROE

1 RPC

En nuestro ejemplo del Anexo 1 bis:

PER = 0'4225

1 x 2'41 = 5'71

Una fórmula alternativa del PER es:

PER =

Ke - g + C

g RP0

1 =

Ke - g ROE - g

ROE - Ke1

La siguiente tabla muestra el efecto del crecimiento sobre el PER. Nótese que si Ke < ROE, el PER aumentacon el crecimiento; si Ke > ROE, el PER disminuye con el crecimiento.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––RELACION ENTRE PER, K e y g (ROE = 15%) PER = (ROE - g) / (Ke - g) / ROE

Tasa de Crecimiento anual del cash-flow (g) descuento 0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10%(K e)12% 8,33 8,67 9,17 10,00 11,67 16,6713% 7,69 7,88 8,15 8,57 9,33 11,1114% 7,14 7,22 7,33 7,50 7,78 8,3315% 6 , 6 7 6 , 6 7 6 , 6 7 6 , 6 7 6 , 6 7 6 , 6 716% 6,25 6,19 6,11 6,00 5,83 5,5617% 5,88 5,78 5,64 5,45 5,19 4,7618% 5,56 5,42 5,24 5,00 4,67 4,1719% 5,26 5,10 4,89 4,62 4,24 3,7020% 5,00 4,81 4,58 4,29 3,89 3,3321% 4,76 4,56 4,31 4,00 3,59 3,0322% 4,55 4,33 4,07 3,75 3,33 2,7823% 4,35 4,13 3,86 3,53 3,11 2,5624% 4,17 3,94 3,67 3,33 2,92 2,3825% 4,00 3,77 3,49 3,16 2,75 2,22

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––14 Ver que esta fórmula es válida sólo para perpetuidades con crecimiento constante de todos los parámetros: (FCF; RP; D; AFN;NOF...). Esta fórmula indica que en una empresa C>RP si ROE>Ke. Nótese que esto es aplicable únicamente para el futuro. Utilizar estafórmula para analizar resultados históricos puede producir confusiones y errores muy importantes.

22


4. CASO GENERAL

4.1 Relaciones que se obtienen a partir de las fórmulasA continuación, vamos a deducir algunas relaciones importantes emparejando las fórmulas [1], [2] y [3],

y basándonos en el hecho de que los resultados que proporcionan han de ser iguales.Antes de emparejarlas realizamos una resta para obtener [1*], [2*] y [3*] y operar más fácilmente.

[ 1 ] D0 + C0 = ∑

t = 1

∞

∏1

t

(1 + WACCt)

FCFt D1 + C1 = ∑

t = 2

∞

∏2

t

(1 + WACCt)

FCFt

[1 ’ ]1 + WACC1

D1 + C1 = ∑t = 2

∞

∏1

t

(1 + WACCt)

FCFt

[1’’] = [1] - [1’] D0 + C0 - 1 + WACC1

D1 + C1 = 1 + WACC1

FCF1

[ 2 ] C0 = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Ket)

CFacct C1 = ∑t = 2

∞

∏2

t

(1 + Ket)

CFacct

[2 ’ ] 1 + Ke1

C1 = ∑t = 2

∞

∏1

t

(1 + Ket)

CFacct

[2’’] = [2] - [2’] C0 - 1 + Ke1

C1 = 1 + Ke1

CFacc1

[ 3 ] D0 + C0 = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Kut)

FCFt + Dt - 1 Kut T D1 + C1 = ∑t = 2

∞

∏2

t

(1 + Kut)

FCFt + Dt - 1 Kut T

[3 ’ ]1 + Ku1

D1 + C1 = ∑t = 2

∞

∏1

t

(1 + Kut)

FCFt + Dt - 1 Kut T

[3’’] = [3] - [3’] D0 + C0 - 1 + Ku1

D1 + C1 = 1 + Ku1

FCF1 + D0 Ku1 T

[1’’] se transforma en: D1 + C1 = (D0 + C0) (1 + WACC1) - FCF1 [1* ][2’’] se transforma en: C1 = C0 (1 + Ke1) - CFacc1 [2* ][3’’] se transforma en: D1 + C1 = (D0 + C0) (1 + Ku1) - FCF1 - D0 Ku1 T [3* ]CFacc1 = FCF1 + D1 - D0 - D0 Kd1 (1 - T) [4* ]También conviene tener en cuenta las siguientes relaciones:CFacct = FCFt + ∆Dt - It (1 - T) ∆Dt = Dt - Dt-1 It = Dt-1 Kdt

23


D0 = ∑

t = 1

∞

∏1

t

(1 + Kdt)

Dt-1 Kdt - (Dt - Dt-1)

Ahora, vamos a deducir algunas relaciones importantes emparejando las fórmulas [1*], [2*] y [3*], y basándonos enel hecho de que los resultados que proporcionan han de ser iguales.

A partir de [1*] y [2*]. Sustituyendo [4*] en [2*]:C1 = C0 (1 + Ke1) - FCF1 - D1 + D0 + D0 Kd1 (1 - T)[2**] FCF1 = C0 (1 + Ke1) - C1 - D1 + D0 + D0 Kd1 (1 - T)De [1*]: FCF1 = (D0+ C0) (1 + WACC1) - D1 - C1 Igualando estas dos fórmulas:

C0 (1 + Ke1) + D0 + D0 Kd1 (1 - T) = (D0+ C0) (1 + WACC1)C0 Ke1 + D0 Kd1 (1 - T) = (D0+ C0) WACC1

WACC1 = C0 + D0

C0 Ke1 + D0 Kd1 (1 - T)

que es equivalente a [8]

A partir de [2*] y [3*].[2**] FCF1 = C0 (1 + Ke1) - C1 - D1 + D0 + D0 Kd1 (1 - T)de [3*]: FCF1 = (D0+ C0) (1 + Ku1) - C1 - D1 - D0 Ku1 TIgualando estas dos fórmulas resulta:

C0 (1 + Ke1) + D0 + D0 Kd1 (1 - T) = (D0+ C0) (1 + Ku1) - D0 Ku1 TC0 Ke1 + D0 Kd1 (1 - T) = (D0+ C0) Ku1 - D0 Ku1 TC0 Ke1 + D0 Kd1 (1 - T) = [C0+ D0 (1 - T)] Ku1

Ku1 = C0 + D0 (1 - T)

C0 Ke1 + D0 Kd1 (1 - T)

que es equivalente a [9]

A partir de [1*] y [3*]. Igualando [1*] y [3*] resulta: [C0+ D0 (1 - T)] Ku1 = (D0+ C0) WACC1

WACC1 = C0 + D0

C0 + D0 (1 - T) Ku1

que es equivalente a [11].

4.2. Un ejemplo de valoración de empresasEl Anexo 5 muestra la valoración por los tres métodos realizada para una empresa que crece (pero no de modo

uniforme) hasta el año 9. A partir del año 10 se ha previsto un crecimiento constante del 5%. Las figuras 12, 13 y 14muestran la evolución de algunas de las magnitudes más importantes de esta empresa.

Para este caso general también se comprueba que las tres fórmulas de valoración ([1], [2] y [3]) proporcionanel mismo valor de los recursos propios: en t = 0 resulta 506 millones de pesetas (ver líneas 53, 56 y 61).

También se puede comprobar que: 1) el valor actual neto del ahorro de impuestos por pago de intereses es 626,72 millones (línea 51).2) sería erróneo calcular el valor actual neto del ahorro de impuestos descontando a la tasa de la deuda (15%)

ya que resultarían 622 millones.3) sería erróneo calcular la participación del estado en la empresa (valor actual de los impuestos) descontando

los impuestos a la tasa Ke: así resultaría un valor de 510,17 millones (ver línea 64) cuando el valor real es 610,76millones (ver línea 63).

24


–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Figura 12. Evolución de la deuda de la empresa del anexo 5

1.000

1.500

2.000

2.500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

DEUDA (MILLONES)

AÑO

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Figura 13. Evolución del valor contable y del valor de mercado de la empresa del anexo 5

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

RECURSOS PROPIOS. VALOR

CONTABLE

RECURSOS PROPIOS. VALOR DE

MERCADO

AÑO

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Figura 14. Evolución del beneficio, del cash flow disponible para las acciones y del free cash flow de la

empresa del anexo 5

-400

-200

0

200

400

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

BENEFICIO CASH FLOW DISPONIBLE PARA LAS ACCIONES

FREE CASH FLOW

AÑO

25


–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Figura 15. Distintas maneras de repartir el valor global (en t = 0) de la empresa del anexo 5 (2.917 Millones)

entre el Estado (cuando hay impuestos), la deuda y los recursos propios


Sin Deuda Con Deuda Sin Deuda Con Deuda

V

2.917

Estado (Impuestos)

1.237*

V = E

1.680

U U

D = 1.800

Estado(Impuestos)

611

VALOR en t = 0 (Millones de pesetas)

U; T = 0

E

1.117

T = 0

D = 1.800

E506

* 1.237 = 610,76 (línea 63) + 626,72 (línea 51)

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

A continuación se explican las líneas del anexo 5.Las líneas 1 a 11 muestran las previsiones del balance para la empresa durante los próximos 12 años. La línea 12 muestra las necesidades operativas de fondos previstas.Las líneas 14 a 22 muestran las cuentas de resultados previstas.Las líneas 23 a 27 muestran el cálculo del Cash-Flow disponible para las acciones en cada año.La línea 28 muestra el Free-Cash-Flow de cada año.Las líneas 29 y 30 muestran los crecimientos del Cash-Flow disponible para las acciones y del Free-Cash-

Flow.La línea 37 muestra la beta para la empresa sin apalancar (que coincide con la beta de los activos netos), que se

ha supuesto igual a 1.La línea 38 muestra la tasa sin riesgo, que se ha supuesto 12%.La línea 39 muestra la prima de mercado, que se ha supuesto 8%.Con estos resultados se calcula la línea 40, resultando Ku = 20%.La línea 41 muestra el valor de la empresa sin apalancar (Vu) descontando los Free-Cash-Flows futuros a la

tasa Ku en t = 0 (ahora), resultando Vu = 1.679,65.Las líneas 43 y 44 muestran cuál sería el Free-Cash-Flow de la empresa si no hubiese impuestos y cuál sería

Vu en ausencia de impuestos. Si no hubiese impuestos, en t = 0 Vu = 2.917,13La línea 49 muestra el coste de la deuda que se ha supuesto 15%.La línea 50 muestra la beta de la deuda correspondiente a su coste que resulta 0,375.La línea 51 muestra el valor actual neto del ahorro de impuestos debido al pago de intereses, que en t = 0

resulta ser 626,72.La línea 52 es la aplicación de la fórmula [3]. En t = 0 resulta D + C = 1.679,65 + 626,72 = 2.306,37.La línea 53 resulta de restar el valor de la deuda a la línea 52. En t = 0, el valor de las acciones es 506

millones.La línea 54 muestra la beta de los recursos propios, utilizando la fórmula [10].La línea 55 muestra el coste de los recursos propios correspondientes a la beta de la línea anterior.La línea 56 es el resultado de utilizar la fórmula [2]. También se obtiene que el valor de los recursos propios

en t = 0 es 506 millones.La línea 57 muestra la evolución del valor de los recursos propios según la fórmula

Et = Et-1 * (1 + Ket) - CFacct. Esta línea se calcula basándose unicamente en el valor de los recursos propios en t = 0(506). Nótese que la línea 57 coincide con la línea 56.

La línea 59 muestra el coste ponderado de los recursos propios y la deuda (WACC), según la fórmula [8].La línea 60 muestra el valor actual del Free-Cash-Flow descontado al WACC.La línea 61 muestra el valor de los recursos propios según la formula [1], que también resulta ser (en t=0) 506

millonesLa línea 64 muestra un modo incorrecto de calcular el valor actual neto de los impuestos: descontándolos a la

tasa Ke. En t = 0 resulta 510,17, cuando su valor correcto es 610,76.

26


La tabla 7 muestra un análisis de sensibilidad del valor de las acciones para cambios en algunos parámetros.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Tabla 7. Análisis de la sensibilidad del valor de las acciones en T = 0

Valor de las acciones en el anexo 5 506 millonesTasa de impuestos = 30% (en lugar de 35%) 594Tasa sin riesgo (RF) = 11% (en lugar de 12%) 653Prima de riesgo (PM) = 7% (en lugar de 8%) 653βu = 0,9 (en lugar de 1,0) 622Crecimiento residual (a partir del año 9) = 6% (en lugar de 5%) 546

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Es interesante comprobar qué sucede si los niveles de deuda se prevén de modo que el cash flow disponible para lasacciones sea cero. La siguiente tabla muestra esos niveles de deuda y la disminución progresiva del valor de lasacciones.

ANTES AHORA VALORPara CFacc = 0 de las acciones

Anexo 5 506D1 1.800 1.713 502D2 2.300 2.185 497D3 2.300 2.153 493D4 2.050 1.850 487D5 1.800 1.555 481D6 1.700 1.396 475D7 1.450 1.085 469D8 1.200 721 463D9 1.000 303* 400

(*) Cambia también la deuda de los siguientes años que aumenta un 5% cada año.

4.3. Determinación de la tasa kVAN a la que se debe descontar el ahorro de impuestos real paraun caso general **

VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses = ∑t = 1

∞

∏t = 1

t

(1 + Kut)

Dt - 1 Kut T

Para calcular la tasa equivalente (KVANt)a que descontar los ahorros de impuestos reales:

∑t = 1

∞

∏t = 1

t

(1 + Kut)

Dt - 1 Kut T = ∑t = 1

∞

∏t = 1

t

(1 + KVANt)

Dt - 1 Kdt T

Si hacemos la equivalencia para cada término del sumatorio:

∏t = 1

t

(1 + Kut)

Kut =

∏t = 1

t

(1 + KVANt)

Kdt

también en t = 1

1 + Ku1

Ku1 = 1 + KVAN1

Kd1

luego:

[20] 1 + KVAN 1 = (1 + Ku1)

Ku 1

Kd 1

y en t = 2:

27


(1 + Ku1) (1 + Ku2)

Ku2 = (1 + KVAN1

) (1 + KVAN2)

Kd2

[21] (1 + KVAN2) =

(1 + KVAN1)

(1 + Ku1) (1 + Ku2) Ku2

Kd2 = (1 + Ku2) Kd1

Ku1 Ku2

Kd2

Si Ku1 = Ku2 y Kd1 = Kd2 => KVAN2= Ku2

En t = 3

(1 + Ku1) (1 + Ku2) (1 + Ku3)

Ku3 = (1 + KVAN1

) (1 + KVAN2) (1 + KVAN3

)

Kd3

luego,

(1 + KVAN3) =

(1+KVAN1) (1+KVAN2

)

(1+Ku1) (1+Ku2) (1+Ku3) Ku3

Kd3 = Kd1

Ku1 Ku1

Kd1 Kd2

Ku2 (1+Ku3) Ku3

Kd3

[22] (1 + KVAN3) = (1 + Ku3) Kd2

Ku2 Ku3

Kd3

y en t = 4

(1+Ku1) (1+Ku2) (1+Ku3) (1+Ku4)

Ku4 = (1+KVAN1

) (1+KVAN2) (1+KVAN3

) (1+KVAN4)

Kd4

(1+KVAN4) =

(1+KVAN1) (1+KVAN2

) (1+KVAN3)

(1+Ku1) (1+Ku2) (1+Ku3) Ku4

Kd4 (1 + Ku4) =

= Kd1

Ku1 Ku1

Kd1 Kd2

Ku2 Ku2

Kd2 Kd3

Ku3 Ku4

Kd4 (1 + Ku4)

(1 + KVAN4) = (1 + Ku4) Kd3

Ku3 Ku4

Kd4

En general:

1 + KVANt = (1 + Kut) Kut

Kut - 1

Kdt - 1

Kdt

Es importante recalcar de nuevo que KVAN no es una tasa de descuento propiamente dicha: las tasas reales son la tasaa la que descontamos los impuestos en la empresa apalancada (kIL) y la tasa a la que descontamos los impuestos en laempresa sin apalancar (kIU).

4.4. Determinación de la tasa a la que se debe descontar el flujo de impuestos **FCF01 es el free cash flow de la empresa sin impuestos en el año 1.Haciendo un desarrollo similar al de la sección 3.4.EST1 + D1 + C1 = (EST0 + D0 + C0) (1 + Ku1) - FCF01D1 + C1 = (D0 + C0) (1 + WACC1) - FCF1 [1*]C1 = C0 (1 + Ke1) - CFacc1 [2*]D1 + C1 = (D0 + C0) (1 + Ku1) - FCF1 - D0 Ku1 T [3*]CFacc1 = FCF1 + D1 - D0 - D0 Kd1 (1 - T) [4*]

FCF01 =

1 - T

FCF1 + 1 - T

T H1

EST1 = EST0 (1 + KI1) - Impuestos1

[24]

Sustituyendo en [24]

28


(EST0 + D0 + C0) (1 + Ku1) - FCF0 - D1 - C1 =

= EST0 (1 + KI1) - T (

1 - T

FCF1 + 1 - T

H1 - D0 Kd1)

(EST0 + D0 + C0) (1 + Ku1) - 1 - T

FCF1 - 1 - T

T H1 - D1 - C1 = EST0 (1 + KI1) -

1 - T

T FCF1 - 1 - T

T H1 + T D0 Kd1

EST0 ( KI1-Ku1 ) = -FCF1 - (D1 + C1) + (D0 + C0) (1 + Ku1) - T D0 Kd1 Por [3*]: -FCF1 - (D1 + C1) + (D0 + C0) (1 + Ku1) = D0 Ku1 TLuego: EST0 [K I 1 - Ku1] = T D0 (Ku1 - Kd1) Por consiguiente:

KI1 = Ku1 +

EST0

T D0 (Ku1 - Kd1)

KI es -lógicamente- siempre superior a Ku.

5. FORMULAS CUANDO EL VALOR NOMINAL DE LA DEUDA (N) NO COINCIDE CON SUVALOR DE MERCADO (D)

5.1. PERPETUIDADESN es el valor nominal de la deuda (el dinero que la empresa ha tomado prestado), r el tipo de interés y Nr

los intereses anuales.Kd es el coste de la deuda: rentabilidad “razonable” que deben (o deberían) exigir los bonistas o el banco,

de acuerdo al riesgo de la empresa y a la magnitud de la deuda. Hasta ahora hemos supuesto que r = Kd, pero en caso de que no lo sean, entonces el valor de la deuda (D)

no coincidirá con el nominal (N).

[1p] C = WACCFCF

- D ; D = KdNr

Nr = DKd

[2p] C = Ke

CFacc

[3p] C = KuFCF

+ DT - D

[4p] CFacc = FCF - Nr (1 - T) = FCF - D Kd (1 - T)

Todas las relaciones calculadas anteriormente, son válidas para perpetuidades aunque r ≠ Kd (cuando r = Kd; D =N)

5.2. EMPRESAS CON CRECIMIENTO CONSTANTE

[1c] C = WACC - g

FCF - D

[2c] C = Ke - gCFacc

D = Kd -g

r N - g N = N

Kd - gr - g

D Kd - Nr = g (D - N) si la deuda crece anualmente ∆N1 = g N0. Si la deuda crece anualmente ∆ N1 = g D0,entonces r N = Kd D

[3c] C = Ku - g

FCF1 + VAN - D

29


[4c] CFacc = FCF - Nr (1 - T) + g N = FCF - N[r (1 - T) - g]

= FCF - N[r -g] + NrT = FCF - D (Kd - g) + NrT = CFacc

si r ≠ Kd no es igual al caso general.

Sustituyendo [4c] y [2c] en [1c]:

C + D = WACC - g

CFacc + D (Kd - g) - NrT =

WACC - gC (Ke -g) + D (Kd - g) - NrT

WACC = [C (Ke - g) + D (Kd - g) - NrT] (WACC - g

1 -

Ku - g1

)

WACC - g = C + D

C (Ke - g) + D (Kd - g) - NrT

WACC = C + D

C Ke + D Kd - Nr T

Esta fórmula coincide con la [8] cuando N = D.[1c] = [3c] (C + D - VAN) (Ku - g) = (C + D) (WACC - g)[1] VAN (Ku - g) = (C + D) (Ku - WACC)

[2c] = [3c] C + D - VAN = Ku - g

CFacc + D (Kd - g) - NrT


C (Ke - g) + D (Kd - g) - NrT

VAN = Ku - g

(C + D) (Ku - g) - C (Ke - g) - D (Kd - g) + NrT

VAN = Ku - g

C (Ku - Ke) + D (Ku - Kd) + NrT

(Ku - g) VAN = C (Ku - Ke) + D (Ku - Kd) + Nr T = C Ku + D Ku - WACC (C + D)

WACC = C + D

C Ke + D Kd - Nr T

Luego, se observa que si r > Kd (D > N), el WACC debe aumentarse en la cantidad:

C + D(D Kd - Nr) T

= C + D

g T (D - N)

[1] VAN (Ku - g) = (C + D) [Ku - C + D

C Ke + D Kd - NrT]

Si Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

C Ke + D Kd = [C + D (1 - T)] Ku + D Kd T

VAN (Ku - g) = (C + D) [C + D

C Ku + D Ku - C Ku - D Ku + D T Ku - D T Kd + NrT]

VAN = Ku - g

D T Ku + T [Nr - D Kd]

D Kd - D g = N r - N gN r - D Kd = g (N - D)

30


VAN = Ku - g

D T Ku - T g (D - N)=

Ku - gD T (Ku - g) + T g N

VAN = D T + Ku - gT g N

D T +Ku - gT g N

= KVAN

- g

N rT =

Ku - gD T (Ku - g) + T g N

K VAN - g = (Ku - g) D (Ku - g) + g N

N r

N = D r - g

Kd - g ; Nr = D

r - gKd - g

r = [D r - g

Kd - g Kdr

] Kd

∆ N = g N = D r - g

Kd - g g sí es un flujo

∆ D = g D no es un flujo

∆ D - ∆ N = g D [1 - r - g

Kd - g] = g D [

r - gr - Kd

]

En general:

D = N + (D - N) ; D - N = N [Kd - g

r - g - Kd + g] = N

Kd - gr - Kd

D = N + N Kd - gr - Kd

VAN = Ku - gDT Ku

- Ku - g

T g (D - N)

D - N

ND

D= N

ESTO

VU

ESTD

ESTO

ED

VU

ESTN

EN

VAND VAN N

r > Kd; D >N r = Kd; D = N

ED + D + ESTD = EN + N + ESTN ;

VAND - VANN = ESTN - ESTD ;

VAND - VANN = ED + D - (EN + N) => ED - EN = VAND - VANN - (D - N)

VAND - VANN = Ku - gD T Ku

- Ku - g

T g (D - N) -

Ku - gN T Ku

= Ku - g

T [(D - N) Ku - g (D - N)] =

31


= Ku - g

T (D - N) (Ku - g) = T (D - N)

EN - ED = (D - N) - T (D - N) = = EN - ED = ( D - N) (1 - T)

5 . 2 . 1 Casos particularesa) Si queremos D = 2N => 2 (Kd - g) = r - g; r = 2 Kd - g entonces:

VAN = D T + 2 (Ku - g)

T g D =

2 (Ku - g)2 D T Ku - 2 D T g + T D g

VAN = Ku - gDT Ku

- 2 (Ku - g)

D T g

b) Si hacemos r = 2 Kd : D + N Kd - g

2 Kd - g = N [1 +

Kd - gKd

] > 2N

VAN = Ku - g

D T Ku - T g N Kd - g

Kd

= Ku - g

D T Ku - T g (2Kd - g)D (Kd - g)

Kd - g

Kd

=

D T Ku - g

Ku - 2Kd - gg Kd

5 . 3 . Caso general

D0 = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Kdt)

Nt - 1 rt - (Nt - Nt - 1)

D1 = ∑t = 2

∞

∏2

t

(1 + Kdt)

Nt - 1 rt - (Nt - Nt - 1) ; 1 + Kd1

D1 = ∑t = 2

∞

∏1

t

(1 + Kdt)

Nt - 1 rt - (Nt - Nt - 1)

D0 - 1 + Kd1

D1 = 1 + Kd1

N0 r1 - (N1 - N0)

D1 = D0 (1 + Kd1) - N0 (1 + r1) + N1

D1 - D0 = N1 - N0 + D0 Kd1 - N0 r1

5 . 4 . Impacto en la valoraciónLos anexos 6, 7 y 8 muestran el impacto en la valoración del anexo 5 de suponer que D no es igual a N.

Para calcular el valor de la deuda (D) se utiliza la fórmula [15] en los anexos 6 y 7, y una fórmula alternativa en elanexo 8. El anexo 7 es idéntico al 6 excepto en el coste de la deuda: un 17% en lugar de un 15%.

Las diferencias más significativas de estos anexos con el anexo 5 se aprecian en la siguiente tabla:

(millones de pesetas) Anexo 5 Anexo 6 Anexo 7 Anexo 8

N (valor nominal de la deuda 1.800 1.800 1.800 1.800r 15% 15% 17% 15%Valor de la deuda D 1 .800 1 .705 1 .882 1 .637Valor de las acciones C 5 0 6 5 6 8 4 5 3 6 1 2Valor de la participación del estado 6 1 1 6 4 4 5 8 2 6 1 8TOTAL 2 .917 2 .917 2 .917 2 .917

32


6. IMPACTO DE LA UTILIZACION DE LAS FORMULAS SIMPLIFICADAS:β*L = βU [ D + C* ] / C* y β́L = βU [ D (1 - T) + C´ ] / C´

Si se utiliza estas fórmulas simplificadas, la beta apalancada (βL*) será mayor que la que se obtenía utilizando lafórmula completa [11]:

βL = βU + D (1 - T) [ βU - βd ] / CAdemás, el valor de los recursos propios (C* o C’) será inferior al que obteníamos antes (C) porque la

rentabilidad exigida a los recursos propios ahora (Ke* o Ke’) es superior a la utilizada antes (Ke). Lógicamente elcoste ponderado de deuda y recursos propios ahora (WACC’) es superior al utilizado antes (WACC).

Con estas simplificaciones, ya no se cumple la proposición de Modigliani y Miller: en la fórmula [3], hemos deañadir un término KB que representa los costes de quiebra y/o una disminución del FCF cuando aumenta elendeudamiento.

PERPETUIDADESLas fórmulas [1p], [2p] y [3p] se transforman en:

[1p*] C* = WACC*

FCF - D ; D =

KdI

[2p*] C* = Ke*

CFacc

[3p*] C* = KuFCF

- D (1 - T) - KB Siendo KB = C - C*

[4p*] CFacc = FCF - D Kd (1 - T)

Operando con las fórmulas, se obtienen las siguientes relaciones.

[1p*] = [2p*] WACC* = C* + D

C* Ke* + D Kd (1 - T)

[1p*] = [3p*] WACC* = C* + D

KU [C* + D (1 - T) + KB]

[2p*] = [3p*] KB = [KU

1 ] [C* (Ke* - KU) - D (1 - T) (KU - Kd)]

Con un poco de álgebra se puede demostrar que:

C - C* = KU

D [ T (KU - RF) + (1 - T) (Kd - RF)]

WACC* - WACC = (C* + D) (C + D)

D (C - C*) Kd (1 - T)

Ke* - Ke = C*D

βU PM - C

D (1 - T) (βU - βd ) PM

Si se utiliza la fórmula:

βL' =

C '

βU [D (1 - T) + C']

resulta:

C - C' = Ku - g

D [Kd - RF] (1 - T) =

Ku - g

D PM βd (1 - T)

33


Con crecimiento constante g y βL* =

C*

βU ( D + C* )

resulta:

C - C* = KU - g

D [T (KU - RF) + (1 - T) (Kd - RF)] =

Ku - g

D PM [T βU + (1 - T) βd]

Las diferentes expresiones del valor de los recursos propios que se obtienen por la utilización de la fórmulacompleta (C), o las fórmulas reducidas (C’, C*) para una empresa cuyo FCF crece uniformemente a la tasa anual gson15:

C = Ku - gFCF

- D + Ku - gD Ku T

= Ku - gCFacc

- D Ku - g

(Ku - Kd) (1 - T)

C' = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [Ku T - (1 - T) (Kd - RF) ] =

Ku - gCFacc

- D Ku - g

(Ku - RF) (1 - T)

C* = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [RF - Kd (1 - T)] =

Ku - gCFacc

- D Ku - g

Ku - RF

Además de observar las expresiones precedentes, el mejor modo de apreciar el impacto de estas fórmulas es através de ejemplos. Las figuras 16 y 17 corresponden a una perpetuidad sin crecimiento. Como FCF = 100 y Ku =20%, resulta Vu = 500. Para el cálculo de C’ y C*, hemos supuesto que la rentabilidad exigida a la deuda (Kd = Kd’= Kd*) cumple la siguiente expresión:

Kd = Kd' = Kd* = RF + C + D (1 - T)

D (1 - T) (Ku - RF) => βd = βd

' = βd

* =

C + D (1 - T)D (1 - T)

βu

Para el caso de una empresa sin crecimiento, C + D (1 - T) = Vu; por consiguiente

βd = βd' = βd

* = βU

VU

D (1 - T)

C es independiente de Kd.La figura 16 muestra cómo C > C’ > C* y que las diferencias aumentan con el endeudamiento. La figura 17

muestra lo que habitualmente se denomina “creación de valor”.Las figuras 18, 19, 20, 21 y 22 muestran las diferencias en la valoración para la misma empresa con un

crecimiento anual del FCF del 5%. En este caso Vu = 666,7.

Figura 16. Diferentes fórmulas de valoraciónFCF1 = 100; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%; g = 0.

ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D (1-T) /Vu

0

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

C C' C*

Deuda (D)

15 Nótese que en todos los casos estamos considerando la misma deuda (D) y el mismo coste (Kd).

34


Figura 17. Diferentes fórmulas de valoración. FCF1 = 100; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%; g = 0.ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D (1-T) /Vu

500

550

600

650

700

750

800

850

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

C+D C*+D C'+D

Deuda (D)

Figura 18. Diferentes fórmulas de valoración. FCF1 = 100; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%; g = 5%.ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D(1-T) / [ D(1-T) + C ]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 300 600 900 1200 1500

C C' C*

Deuda (D)

Figura 19. Diferentes fórmulas de valoración de las accionesInfravaloración al utilizar las fórmulas alternativas

FCF1 = 100; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%; g = 5%.ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D(1-T) / [ D(1-T) + C ]

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0 200 400 600 800 1000

(C-C')/C (C-C*)/C

Deuda (D)

35


Figura 20. Diferentes fórmulas de valoraciónFCF1 = 100; T = 40%; Ku = 20%; Rf = 12%; g = 5%.

ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D(1-T) / [ D(1-T) + C ]

667

867

1.067

1.267

1.467

0 300 600 900 1200 1500

C+D C*+D C'+D

Deuda (D)


ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D(1-T) / [ D(1-T) + C ]

0%10%20%

30%40%50%

60%

70%80%

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Ke Ke' Ke*

Deuda (D)


ßd = ßd’ = ßd* = ßu x D(1-T) / [ D(1-T) + C ]

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

20%

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

WACC WACC' WACC*

Deuda (D)

36


6.1. “Creación de valor” con el apalancamiento para perpetuidadesCon la fórmula completa, la “creación del valor” es DT y aumenta siempre con el apalancamiento, como

permite apreciar la figura 17. Recordemos que por “creación de valor” se entiende la diferencia (D + C) - Vu.Con la fórmula reducida,

βL' = βU

C 'C' + D (1 - T)

la “creación de valor” es

Ku

D [Ku T - (1 - T) (Kd - RF)]

Si consideramos que

βd' = βU

C' + D (1 - T)D (1 - T)

la “creación de valor” se transforma en

KuD

( Ku T - C' + D (1 - T)

(1 - T) D βU PM )

Es inmediato comprobar que la “creación de valor” alcanza un máximo en

DMAX'

= 2 (1 - T)

2 βU PM

VU Ku T

En el máximo, la “creación de valor” resulta ser:

(D + C')MAX - VU = 2

DMAX'

T

Análogamente, si utilizamos la expresión

βL* = βU

C*C* + D

y la misma expresión para βd* = βd’, el máximo de la creación de valor resulta para una deuda

DMAX*

= 2 (1 - T)

2βU PM

VU RF T

y la máxima creación de valor es:

(D + C*)MAX - VU = 2 Ku

DMAX*

T RF

6.2. Las fórmulas simplificadas como una reducción del FCF debido al apalancamientoSe pueden considerar las fórmulas simplificadas como una reducción del FCF esperado (debida a las

tensiones y restricciones de la deuda) en vez de como un aumento en la rentabilidad esperada por el accionista. Con lafórmula [3], el FCF es independiente del apalancamiento (de la magnitud de D). Si utilizamos la fórmula:

βL' = βU

C 'C' + D (1 - T)

podemos considerar que el valor C’ proviene de descontar otro flujo menor (FCF’) a la tasa de la fórmula completa:

C' = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [Ku T - (1 - T) (Kd - RF)] =

Ku - gFCF'

- D + Ku - gD T Ku

luego

(FCF - FCF' ) = D [ (1 - T) (Kd - RF) ] = CFacc - CFacc'

Esto significa que cuando utilizamos la fórmula simplificada (‘) estamos considerando que el Free Cash Flowde la empresa (y el cash-flow disponible para los accionistas) se reduce en la cantidad D (1 - T) (Kd - RF), esto es, enla parte del riesgo de la empresa que absorbe la deuda.

37


Análogamente, si utilizamos la fórmula:

βL* = βU

C*D + C*

podemos considerar que el valor C* proviene de descontar otro flujo menor (FCF*) a la tasa de la fórmula completa:

C* = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [RF - Kd (1 - T)] =

Ku - gFCF*

- D + Ku - gD T Ku

(FCF - FCF *) = D [ T (Ku - RF) + ( 1 - T) (Kd - R

F ) ] = CF acc - CFacc*

Esto significa que cuando utilizamos la fórmula simplificada (*) estamos considerando que el Free Cash Flow de laempresa (y el cash-flow disponible para las acciones) se reduce en la cantidad D [T( Ku - RF) + (1 - T) (Kd - RF)],esto es, en la parte de riesgo que absorbe la deuda más DT (Ku - RF).

6.3. Las fórmulas simplificadas como un aumento del riesgo del negocio (Ku) debido alapalancamientoOtro modo de ver el impacto de utilizar la fórmula reducida

βL© = βU

D 1- T( ) + C©

C©es suponer que lo que la fórmula propone es que el riesgo (βU ) aumenta con el apalancamiento.

Para calibrar este aumento, denominamos βU© a la beta del negocio para cada nivel de apalancamiento. Utilizando la

fórmula 11[ ] con βU© en lugar de βU , resulta:

βL© = βU

D 1- T( ) + C©C©

=βU

© C©+D 1- T( )( ) − βdD 1- T( )C©

Con un poco de álgebra se comprueba que:

βU© = βU + βd

D 1- T( )C©+D 1- T( )

Análogamente, el impacto del utilizar la fórmula simplificada

βL* = βU

D + C*

C*

se puede calibrar suponiendo que la fórmula propone que el riesgo del negocio (que cuantificaremos como βU* )

aumenta con el apalancamiento. Utilizando la fórmula 11[ ] con βU* en lugar de βU resulta:

βL* = βU

D + C*

C* =βU

* C + D 1- T( )[ ] − βdD 1- T( )C*

Con un poco de álgebra se comprueba que:

βU* = βU

D + C*

C* + D 1- T( )+ βd

D 1- T( )C* + D 1- T( )

Diferencia entre ßu, ßu’ y ßu*

D/(D+C)

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

ßu ßu' ßu*

También se puede comprobar que:

38


K U© = K U + (Kd - RF)

D(1- T)C©+ D(1- T)

K U* = K U + (Kd - RF)

D(1- T)C* + D(1- T)

+ (K U − RF)DT

C* + D(1- T)Si además suponemos que:

βd = D(1- T)D(1- T) + C

βU ,

resulta:

βU© = βU + βU

D(1- T)C©+ D(1- T)

2

βU* = βU + βU

D(1- T)C* + D(1- T)

2

+ βU

DTC* + D(1- T)

6.4. Impacto de utilizar las fórmulas simplificadas en un caso realEmpleamos las fórmulas simplificadas en la valoración del anexo 5. Las diferencias más importantes aparecen en la siguiente tabla y en las figuras 23, 24, 25, 26 y 27.El valor de las acciones resulta 506 millones con la fórmula completa, 332 millones con la fórmula reducida (‘) y 81millones con la fórmula reducida (*).

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Tabla 8. Impacto de la utilización de las fórmulas simplificadas en la valoración de una empresa

A ñ o 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2CFacc = Div. 87 19,5 20,75 38,25 25,13 35 31,65 78,65171,02 463,42 486,59 510,92FCF 262,5 -305 245 512,5 475 310,5 447,4 470,02 488,02 510,92 536,47 563,29N 1800 1800 2300 2300 2050 1800 1700 1450 1200 1000 1050 1102,5 1157,63r 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15%C 5 0 6 579 734 935 1158 1431 1741 2113 2504 2873 3016 3167 3326C' 3 3 2 405 560 771 1006 1289 1605 1983 2376 2743 2880 3024 3175C * 8 1 154 310 535 788 1084 1410 1796 2193 2556 2684 2818 2959Beta C 2,44 2,26 2,27 2,00 1,72 1,51 1,40 1,28 1,19 1,14 1,14 1,14 1,14Beta C' 4,53 3,89 3,67 2,94 2,32 1,91 1,69 1,48 1,33 1,24 1,24 1,24 1,24Beta C*23,20 12,66 8,43 5,30 3,60 2,66 2,21 1,81 1,55 1,39 1,39 1,39 1,39Ke 31,55% 30,10% 30,18% 28,00% 25,75% 24,09% 23,17% 22,23% 21,56% 21,13% 21,13% 21,13% 21,13%Ke' 48,21% 43,13% 41,37% 35,52% 30,60% 27,26% 25,51% 23,80% 22,63% 21,90% 21,90% 21,90% 21,90%K e * 197,57% 113,32% 79,42% 54,40% 40,82% 33,28% 29,65% 26,46% 24,38% 23,13% 23,13% 23,13% 23,13%

CFacc 87,0 19,5 20,8 38,3 25,1 35,0 31,6 78,6 171,0 463,4 486,6 510,9CFacc' 51,9 -15,6 -24,1 -6,6 -14,9 -0,1 -1,5 50,4 147,6 443,9 466,1 489,4CFacc* 1,5 -66,0 -88,5 -71,0 -72,3 -50,5 -49,1 9,8114,0 415,9 436,7 458,6––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Ku 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20%Ku’ 2 2 , 3 4 % 22,23% 22,18% 21,98% 21,71% 21,43% 21,22% 20,97% 20,74% 20,57% 20,57% 20,57% 20,57%Ku* 2 6 , 8 3 % 26,46% 26,05% 25,38% 24,59% 23,79% 23,21% 22,51% 21,92% 21,48% 21,48% 21,48% 21,48%

ßu 1 , 0 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00ßu’ 1 , 2 9 1,28 1,27 1,25 1,21 1,18 1,15 1,12 1,09 1,07 1,07 1,07 1,07ßu* 1 , 8 5 1,81 1,76 1,67 1,57 1,47 1,40 1,31 1,24 1,19 1,19 1,19 1,19

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Nótese que:

506 - 332 = 174 = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Ket)

Dt -1 (1 - T) (Kdt - RF)

506 - 81 = 425 = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 - Ket)

Dt - 1 [T (Ku - RF) + (1 - T) (Kd - RF)]

332 = ∑t = 1

∞

∏1

t

(1 + Ket)

CFacc' ; 81 = ∑

t = 1

∞

∏1

t

(1 + Ket)

CFacc*

39


Figura 23. Impacto de la utilización de las fórmulas simplificadas en la valoración de una empresa

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%

50,00%

0 2 4 6 8 10 12

Ke Ke' Ke*

Ke

Año


14,00%

15,00%

16,00%

17,00%

18,00%

19,00%

20,00%

0 2 4 6 8 10 12

WACC WACC' WACC*

WACC

Año


1800

2300

2800

3300

3800

4300

0 2 4 6 8 10 12

D+C D+C' D+C*

D+C

Año

40



0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2 4 6 8 10 12

C C' C*

C

Año


-100

0

100

200

300

400

500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CFacc CFacc' CFacc*

Año

7. FLUJO TOTAL PARA DEUDA Y RECURSOS PROPIOS Y COSTE PONDERADO REAL DELA DEUDA Y LOS RECURSOS PROPIOS.

Denominamos flujo total para deuda y recursos propios (CFDC) a la suma del cash-flow disponible para losaccionistas y del flujo que reciben los proveedores de la deuda.

Denominamos coste ponderado real de la deuda y los recursos propios (CPDC) a:

CPDC = C + D

C Ke + D Kd

a) PERPETUIDADESCFDC = CFacc + D Kd = FCF - D Kd (1 - T) + D KdCFDC = FCF + D Kd T

Es inmediato comprobar que:

C + D = CPDC

CFDC = WACCFCF

41


CPDC = WACC + C + DD Kd T

b) CRECIMIENTO CONSTANTE gCFDC = CFacc + D Kd - D g = FCF - D Kd (1 - T) + D g + D Kd - D gCFDC = FCF + D Kd T

Es inmediato comprobar que:

C + D = CPDC - g

CFDC = WACC - g

FCF


También se puede comprobar que:

CPDC = Ku - C + D

D T (Ku - Kd)

porque (C + D) WACC = Ku [C + D (1 - T) ]

Otro modo de valorar la empresa es:

C + D = Ku - g

CFDC + Ku - g

D T (Ku - Kd)

También se puede comprobar que

βDC = βU −DT βU − βd( )

C + D

βDC = CβL + DβdC + D

42


APENDICE 1RESUMEN DE LAS FORMULAS MAS IMPORTANTES

A) PERPETUIDADES SIN CRECIMIENTO

[1p] C = WACCFCF

- D ; D = KdI

[2p] C = Ke

CFacc

[3p] C = KuFCF

+ VAN (ahorro de impuestos) - D

VAN = DT

[4p] CFacc = FCF - I (1 - T) = FCF - D Kd (1-T)[ 5 ] Ku = RF + βU PM

[ 6 ] Ke = RF + βL PM

[ 7 ] Kd = RF + βd PM

[ 8 ] WACC = C + D

C Ke + D Kd (1 - T)

[9 ] Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T) =

VuC Ke + D Kd (1 - T)

[10] β U = C + D (1 - T)

Cβ L + D (1 - T) β d

[11] β L = C

β U [C + D (1 - T)] - β d D (1 - T)

[12] WACC = Ku C + D

C + D (1 - T) = Ku ( 1 -

C + DD T

)

[13] C = Ku

CFacc -

KuD (1 - T) (Ku - Kd)

[14] K I = Ke

S i Kd = RF + D (1 - T) + C

D (1 - T) (Ku - RF) ; lo que implica βd =

D (1 - T) + CD (1 - T)

βU

Ke = Ku + D (1 - T) + C

D (1 - T) (Ku - RF) ; Ke - Kd = Ku - RF = βU PM

43


B) EMPRESAS CON CRECIMIENTO CONSTANTE

[1c] C = WACC - g

FCF1 - D

[2c] C = Ke - g

CFacc1

[3c] C = Ku - g

FCF1 + VAN (ahorro de impuestos por pago de intereses) - D

[4c] CFacc1 = FCF1 - D [Kd (1 - T) - g]

[15] VAN = (C + D) Ku - g

Ku - WACC

[16] VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses = Ku - gD T Ku

[17] C = Ku - gCFacc

- Ku - g

D (Ku - Kd) (1 - T)

[18] D0 = Kd (1 - T) - g

FCF

BATu = FCF0 + H FCF0 = 1 - TFCF

+ 1 - TT H

Imp1 = [FCF0 + H1 - Kd D0] T Imp1 = [1 - TFCF

+ 1 - TH T

+ H - Kd D] T

[19] K I - g = C Ku - g(C + D) + HC Ke - g(C + D) + H

(Ku - g)

K I U = Ku

RP0

C0 = Ke - g

ROE - g

PER =

Ke - g + C

g RP0

1 =

Ke - g ROE - g

ROE - Ke1

44


C) CASO GENERAL

D1 + C1 = (D0 + C0) (1 + WACC1) - FCF1 [1* ]C1 = C0 (1 + Ke1) - CFacc1 [2* ] D1 + C1 = (D0 + C0) (1 + Ku1) - FCF1 - D0 Ku1 T [3* ]CFacc1 = FCF1 + D1 - D0 - D0 Kd1 (1 - T) [4* ]CFacct = FCFt + ∆Dt - It (1 - T)∆Dt = Dt - Dt-1It = Dt-1 Kdt

VAN del ahorro de impuestos por pago de intereses = ∑t = 1

∞

∏t = 1

t

(1 + Kut)

Dt - 1 Kut T

EST1 = EST0 (1 + KI1) - Impuestos1

[24]

KI1 = Ku1 +

EST0

T D0 (Ku1 - Kd1)

D) FLUJO TOTAL PARA DEUDA Y RECURSOS PROPIOS Y COSTE PONDERADO REAL DELA DEUDA Y LOS RECURSOS PROPIOS.

CPDC = C + D

C Ke + D Kd

a) PERPETUIDADESCFDC = CFacc + D Kd = FCF + D Kd T

C + D = CPDC

CFDC = WACCFCF

CPDC = WACC +

C + DD Kd T

b) CRECIMIENTO CONSTANTE gCFDC = CFacc + D Kd - D g = FCF + D Kd T

C + D = CPDC - g

CFDC = WACC - g

FCF


CPDC = Ku -

C + DD T (Ku - Kd)

C + D = Ku - g

CFDC + Ku - g

D T (Ku - Kd)

FORMULAS SIMPLIFICADAS PARA LA BETA:β*L = βU [ D + C* ] / C* y β́ L = βU [ D (1 - T) + C´ ] / C´

C* = WACC*

FCF - D ; D =

KdI

C* =

Ke*CFacc

C* = KuFCF

- D (1 - T) - KB Siendo KB = C - C*

WACC* = C* + D

C* Ke* + D Kd (1 - T) WACC* = C* + D

KU [C* + D (1 - T) + KB]

45


C - C* = KU

D [ T (KU - RF) + (1 - T) (Kd - RF)]

WACC* - WACC = (C* + D) (C + D)

D (C - C*) Kd (1 - T)

Ke* - Ke = C*D

βU PM - C

D (1 - T) (βU - βd ) PM

C - C' = Ku - g

D [Kd - RF] (1 - T) =

Ku - g

D PM βd (1 - T)

C - C* = KU - g

D [T (KU - RF) + (1 - T) (Kd - RF)] =

Ku - g

D PM [T βU + (1 - T) βd]

C = Ku - gFCF

- D + Ku - gD Ku T

= Ku - gCFacc

- D Ku - g

(Ku - Kd) (1 - T)

C' = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [Ku T - (1 - T) (Kd - RF) ] =

Ku - gCFacc

- D Ku - g

(Ku - RF) (1 - T)

C* = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [RF - Kd (1 - T)] =

Ku - gCFacc

- D Ku - g

Ku - RF

Kd = Kd' = Kd* = RF + C + D (1 - T)

D (1 - T) (Ku - RF) => βd = βd

' = βd

* =

C + D (1 - T)D (1 - T)

βu

C' = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [Ku T - (1 - T) (Kd - RF)] =

Ku - gFCF'

- D + Ku - gD T Ku

(FCF - FCF' ) = D [ (1 - T) (Kd - RF) ] = CFacc - CFacc'

C* = Ku - gFCF

- D + Ku - g

D [RF - Kd (1 - T)] =

Ku - gFCF*

- D + Ku - gD T Ku

(FCF - FCF *) = D [ T (Ku - RF) + ( 1 - T) (Kd - R

F ) ] = CF acc - CFacc*

46


APENDICE 2FORMULAS ALTERNATIVAS PARA CRECIMIENTO CONSTANTE “g”

El resultado más llamativo o menos intuitivo a los propuestos para empesas con crecimiento constante “g” es que:

VAN de Ahorro de Impuestos por pago de Intereses = Ku - gDT Ku

Para llegar a este resultado se parte de un supuesto [12]:

Ku = C + D (1 - T)

CKe + D Kd (1 - T)

En este apéndice se muestra cómo para una definición alternativa de Ku se llega al resultado más “tradicional” de que:

VAN de Ahorro de Impuestos por pago de Intereses = Kd - gDT Kd

Posteriormente discutiremos cuál de los dos es más apropiado.VALOR DE VAN de Ahorro de Impuestos por pago de InteresesA partir de las fórmulas [1c], [2c], [3c] y [4c], llegamos a:

C + D - VAN = Ku -gFCF

= Ku - g

CFacc + Kd D (1 - T) - D g

Haciendo uso de [2c]:


C (Ke - g) + D Kd (1 - T) - D g

Operando para despejar Ku:

Ku - g = C + D - VAN

C (Ke - g) + D Kd (1 - T) - D g

Ku = C + D - VAN

C Ke + D Kd (1 - T) - g VAN

Bajo el supuesto de que

Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

podemos comprobar cómo

VAN = Ku - gD T Ku

(que es el resultado que se propone en esta nota)

Sin embargo, si utilizamos la fórmula tradicional:

VAN = Kd - gD T Kd

y la sustituimos en el valor de Ku anterior:

Ku = C + D - VAN

C Ke + D Kd (1 - T) - g VAN=

Ku = Kd [C + D (1 - T)] - g (C + D)

Kd [C Ke + D Kd (1 - T)] - g (C Ke + D Kd)=

= C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

C Ke + D Kd [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

Despejando resulta:

Ke = Ku + CD

[Kd - g

Kd (1 - T) - g] (Ku - Kd)

En esta fórmula se comprueba que si g = Kd (1 - T), entonces Ke = Ku, lo que no tiene ningún sentido.

47


POR CORREGIRAPENDICE 2

FORMULAS ALTERNATIVAS PARA CRECIMIENTO CONSTANTE “g”

El resultado más llamativo o menos intuitivo a los propuestos para empesas con crecimiento constante “g”es que:

VAN de Ahorro de Impuestos por pago de Intereses = Ku - gDT Ku

Para llegar a este resultado se parte de un supuesto:

Ku = C + D (1 - T)

CKe + D Kd (1 - T)

En este apéndice se muestra cómo para una definición alternativa de Ku se llega al resultado más “tradicional” de que:

VAN de Ahorro de Impuestos por pago de Intereses = Kd - gDT Kd

Posteriormente discutiremos cuál de los dos es más apropiado.

VALOR DE VAN de Ahorro de Impuestos por pago de InteresesA partir de las fórmulas [1c], [2c], [3c] y [4c], de [3c] y [4c], llegamos a:

C + D - VAN = Ku -gFCF

= Ku - g

CFacc + Kd D (1 - T) - D g

Haciendo uso de [2c]:


C (Ke - g) + D Kd (1 - T) - D g

Operando para despejar Ku:

K u - g = C + D - VAN

C (Ke - g) + D Kd (1 - T) - D g

Ku = C + D - VAN

C (Ke - g) + D Kd (1 - T) - D g + g (C + D) - g VAN

= C + D - VAN

C Ke + D Kd (1 - T) - g (C + D) + g (C + D) - g VAN

Ku = C + D - VAN


(*)Bajo el supuesto de que

Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

podemos comproar cómo

VAN = Ku - gD T Ku

(ver apéndice para la comprobación)

Sin embargo, supongamos que:

VAN = Kd - gD T Kd

Veamos seguri (*) cuál es el valor de Ku:

Ku = C + D - VAN

C Ke + D Kd (1 - T) - g VAN=

48


= C + D -

Kd - gD T Kd

C Ke + Kd (1 - T) - g Kd - gDT Kd

= (Kd - g) (C + D) - D T Kd

(Kd - g) [C Ke + D Kd (1 - T)] - g D T Kd

= (Kd - g) (C + D) - D T Kd

(Kd - g) [C Ke + D Kd (1 - T)] - Kd (d Kd T) + G D Kd T - g D Kd T

Ku = Kd (C + D - D T) - g (C + D)

Kd [C Ke + D Kd - D Kd T] - g (C Ke + D Kd)

Ku = Kd [C + D (1 - T)] - g (C + D)

Kd [C Ke + D Kd (1 - T)] - g (C Ke + D Kd)

Se puede comprobar como este valor es coherente con las tres fórmulas:

C = Ku - gFCF

+ VAN - D = Ku - gFCF

+ Kd - gD Kd T

- D = Ku - g

CFacc + D Kd (1 - T) - D g +

Kd - gD Kd T

- D

operando:

C + D - Kd - gD Kd T

= Ku - g

C (Ke - g) + D Kd (1 - T) - D g

Ku - g = (C + D) (Kd - g) - D Kd T

[C Ke + D Kd (1 - T) - g (C + D)] (Kd - g) =

= (C + D) (Kd - g) - D Kd T

[C + D

C Ke + D Kd (1 - T) - g

C + DC + D] (Kd - g) (C + D)

=

= (Kd - g) (C + D) - D Kd T

(WACC - g) (Kd - g) (C + D)

Ku = (Kd -g) (C +D) - D Kd T

(Kd - g) (C + D) WACC - g D Kd T=

Kd [C + D (1 - T)] - g (C + D)Kd [C Ke + D Kd (1 - T)] - g ( C Ke + D Kd)

O sencillamente según la fórmula [15] de la página 12:

VAN = (C + D) Ku - g

Ku - WACC

Aplicando esta definición de Ku que acabamos de deducir:

VAN = (C + D) (WACC - g) (Kd - g) (C + D)

(WACC - g) D Kd TVAN =

Kd - gD Kd T

En la nota, al aplicar la definición:

Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

se obtiene efectivamente:

VAN = Ku - gT D Ku

Podemos comprobar numericamente ambas propuestas aplicando el anexo 1:

C + D = Ku - gFCF

+ VAN

• Para el caso de la nota se tiene:

3.950 + 500 = 0,2 - 0,05

632,5 + 233,3 -> Ku = 20% => VAN = 233,3

• Para el caso que proponemos aquí:

49


3.950 + 500 = 0,201045 - 0,05

632,5 + 262,5 -> Ku = 20,1045% => VAN =

En definitiva existen infinitos pares (Ku, VAN) que nos dan un mismo valor para la empresa por cualquiera de lastres fórmulas o métodos de valoración, siempre que se cumpla:

Ku = C + D - VAN


Sin embargo, desde el puntode vista teórico sólo debe haber un Ku y por lo tanto un VAN correcto. Veamos cuáldebe ser.El supuesto que tiene detrás el

Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

es que:

βU = βL C + D (1 - T)

C + βD

C + D (1 - T)D (1 - T)

dado que: Ke = RF + βL PM

Kd = RF + βD PM

Ku = RF + βU PMSin embargo, la Ku que aquí se presenta es:

Ku = C + D - VAN

C Ke + D Kd (1 - T) - g VAN =

C + D - Kd - gD Kd T

C Ke + D Kd (1 - T) - g Kd - gD Kd T

=

= C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

C Ke + D Kd [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

Esta Ku surge de considerar:

βU = βL C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

C + βL

C + D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

D[Kd - g

Kd (1 - T) - g]

Es fácil de comprobar:Ku = RF + βU PM

Ku = RF + [PM

Ke - RF] C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

C + [

PM

Kd - RF] C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

operando:

Ku = RF - RF C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

C + D [Kd - g

Kd (1 - T) - g] +

C + D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]C Ke

+ C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

D Kd [Kd - g

Kd (1 - T) - g ]

de donde:

Ku = C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

Cke + D Kd [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

50


Veamos el significado de estas ponderaciones:

C + D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

El segundo término es:

D[Kd - g

Kd (1 - T) - g] = Kd - g

D Kd (1 - T) - g D =

Kd - gIntereses (1 - T) - ∆D

Recordemos que la definición de la deuda es:

D = Kd - g

Intereses - ∆D

Recordemos que en la nota se propone como ponderación en βU:C + D (1 - T)

y por lo tanto, el segundo término es:

D (1 - T) = Kd - g

Intereses (1 - T) - ∆D (1 - T)

Por lo tanto, las diferencias entre las Ku y los VAN de la nota y aquí presentados está entre ∆D y ∆D (1 - T)De hecho estamos intentanto definir correctamente βU (o Ku) que es el riesgo de los rendimientos que obtenemos enel caso de que la empresa no tuviese deuda. En general, los flujos que generaría la empresa si no tuviese deuda sonFCF. Este FCF lo podemos expresar como:

FCF = CFacc + (FCF - CFacc)siendo: CFacc = flujo para las acciones con deuda

(FCF - CFacc) = Flujo adicional que obtendrían las acciones si no tuviesemos deuda.En el caso de que tengamos perpetuidad:

KuFCF

= Ke

CFacc +

KdFCF - CFacc

(**)

Kd: es la tasa apropiada ya que obtener este diferencial se debe a la deuda. (Inconsistente porque el riesgo de todoslos impuestos es Ku y el de una parte sería Kd < Ku)

KuFCF

= C + Kd

I (1 - T) = C +

KdKd D (1 - T)

= C + D (1 - T)

Por lo tanto, las ponderaciones adecuadas para los flujos que genera el activo si no existe deuda son: C y D (1 - T)

βU = βL C + D (1 - T)

C + βD

C + D (1 - T)D (1 - T)

y que:

Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T)

Pero este es el resultado en el caso de que sea una perpetuidad. Si aplicamos (**) al caso de crecimiento constante“g”:

Ku - gFCF

= Ke - gCFacc

+ Kd - g

FCF - CFacc = C +

Kd - gKd D (1 - T) - D g

= C + D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

≠ C + D (1 - T)Por ello, las ponderaciones son para βU son:

C y D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

βU = βL C + D [

Kd - gKd (1 - T) - g]

C + βL

C + D [Kd - g

Kd (1 - T) - g]

D[Kd - g

Kd (1 - T) - g]

Recordemos la diferencia entre ambas propuestas:

51


Kd - gint (1 - T) - ∆D

y Kd - g

int (1 - T) - ∆D (1 - T)

Podría parecer lógico que el activo sea el capital más el valor presente de los flujos de la deuda considerando losimpuestos sobre los intereses, pero no considerándolos sobre la nueva deuda que se forma, ya que no se tributa por ladeuda nueva que entra. Sólo si no se tomase nueva deuda el Ku y el VAN que se proponen en la nota seríancorrectos, pero cuando se crece a la tasa g y ∆D ≠ 0.

Apéndice:

Si Ku = C + D (1 - T)

C Ke + D Kd (1 - T) utilizando Ku =

C + D - VANC Ke + D Kd (1 - T) - g VAN

se tiene que:

VAN = Ku - gD T Ku

C + D - VAN = Ku


C + D - Ku

C Ke + D Kd (1 - T) = VAN -

Kug

VAN

Ku(C + D) Ku - C Ke + D Kd (1 - T)

= Ku

VAN [Ku - g]

Ku - g(C + D) Ku - C Ke + D Kd (1 - T)

= VAN

Ku - gC + D

(C + D) [C Ke + D Kd (1 - T)] - C Ke + D Kd (1 - T)

= VAN

VAN = Ku - g

C + D (1 - T)C + D [C Ke + D Kd (1 - T)] - (C + D) [C Ke + D Kd (1 - T)] + D [ C Ke + D Kd (1 - T)]

VAN = Ku - gD T Ku

52


Fórmulas para valorar empresasAnexo 1

D = 500; CRECIMIENTO = 5,00%; imp = 35,00%∆ Activos fijos netos = 0.

0 1 2 3 4 g

1 Caja necesaria 100 105 110,25 115,76 121,55 5,00%2 Cuentas a cobrar 900 945 992,25 1.041,86 1.093,96 5,00%3 Stocks 240 252 264,60 277,83 291,72 5,00%4 Activo fijo bruto 1200 1410 1.630,50 1.862,03 2.105,13 13,06%5 - amort acumulada 200 410 630,50 862,03 1.105,13 28,20%6 Activo fijo neto 1000 1000 1.000,00 1.000,00 1.000,00 0,00%7 TOTAL ACTIVO 2.240 2.302 2.367,10 2.435,46 2.507,23 2,95%

8 Cuentas a pagar 240 252 264,60 277,83 291,72 5,00%9 Deuda 500 525 551,25 578,81 607,75 5,00%10 Capital (valor contable) 1500 1525 1.551,25 1.578,81 1.607,75 1,83%11 TOTAL PASIVO 2.240 2.302 2.367,10 2.435,46 2.507,23 2,95%

12 NOF 1.000 1.050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 5,00%13 ∆ NOF 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

Cuenta de resultados14 Ventas 3000 3150 3.307,50 3.472,88 3.646,52 5,00%15 Coste de ventas 1200 1260 1.323,00 1.389,15 1.458,61 5,00%16 Gastos generales 600 630 661,50 694,58 729,30 5,00%17 Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 5,00%18 Margen 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 5,00%19 Intereses 75 75 78,75 82,69 86,82 5,00%20 BAT 925 975 1.023,75 1.074,94 1.128,68 5,00%21 Impuestos (35%) 323,75 341,25 358,31 376,23 395,04 5,00%22 BDT 6 0 1 , 2 5 6 3 3 , 7 5 6 6 5 , 4 4 6 9 8 , 7 1 7 3 3 , 6 4 5,00%

23 + Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 5,00%24 + ∆ Deuda 25 26,25 27,56 28,94 5,00%25 - ∆ NOF -50 -52,50 -55,13 -57,88 5,00%26 - Inversiones -210 -220,50 -231,53 -243,10 5,00%27 CF acciones = Dividendos 6 0 8 , 7 5 6 3 9 , 1 9 6 7 1 , 1 5 7 0 4 , 7 0 5,00%28 FCF 6 3 2 , 5 6 6 4 , 1 3 6 9 7 , 3 3 7 3 2 , 2 0 5,00%

29 g CF acciones 5,00% 5,00% 5,00%30 g FCF 5,00% 5,00% 5,00%

31 impuestos / FCF 53,95% 53,95% 53,95% 53,95%32 impuestos / CFacciones 56,06% 56,06% 56,06% 56,06%

33 VM / VC acciones 2,63 2,72 2,81 2,90 2,99 3,11%34 PER (bfo año siguiente) 6,23 6,23 6,23 6,23 6,23 0,00%35 PER (bfo año presente) 6,57 6,54 6,54 6,54 6,54 0,00%36 P/CFa (año próximo) 6,49 6,49 6,49 6,49 6,49 0,00%

53


Fórmulas para valorar empresasAnexo 1 (continuación)

D = 500; CRECIMIENTO = 5,00%; imp = 35,00%∆ Activos fijos netos = 0.

0 1 2 3 4 g

37 Beta U 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,00000038 Rf 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00%39 Rm - Rf 8,00% 8,00% 8,00% 8,00% 8,00%40 Ku 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%41 Vu = FCF/(Ku - g) 4.216,67 4.427,50 4.648,87 4.881,32 5.125,3842 Crecimiento de Vu 5% 5% 5% 5%

SIN IMPUESTOS43 FCF SIN IMPUESTOS 1.000,00 1.050,00 1.102,50 1.157,63 5,00%44 Vu sin impuestos 6 . 6 6 6 , 6 7 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37

CON IMPUESTOS 45 Impuestos u 367,50 385,88 405,17 425,43 5,00%46 Estado u = IMPu/(Ku - g) 2.450,00 2.572,50 2.701,12 2.836,18 2.977,99 5,00%47 Vu + Estado u 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 5,00%

48 D 500,00 525,00 551,25 578,81 607,75 5,00%49 Kd 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00%50 Beta d 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000

51 DTKu/(Ku-g) = VAN ahorro imp. 233,33 245,00 257,25 270,11 283,62 5,00%52 VAN ahorro inter. + Vu 4.450,00 4.672,50 4.906,12 5.151,43 5.409,00 5,00%53 - D = E 1 3 . 9 5 0 4.148 4.355 4.573 4.801 5,00%

54 Beta L 1,051424 1,051424 1,051424 1,051424 1,051424 0,00%55 Ke 20,41% 20,41% 20,41% 20,41% 20,41% 0,00%56 E 2 = CF / (Ke - g) 3 . 9 5 0 4.148 4.355 4.573 4.801 5,00%

57 Estado = Estado u - VAN [51] 2.216,67 2.327,50 2.443,87 2.566,07 2.694,37 5,00%58 E2 + D + Estado 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 5,00%

59 WACC 19,2135% 19,2135% 19,2135% 19,2135% 19,2135% 0,00%60 D + E = FCF / (WACC-g) 4.450,00 4.672,50 4.906,13 5.151,43 5.409,00 5,00%61 - D = E 3 3 . 9 5 0 4.148 4.355 4.573 4.801 5,00%62 Crecimiento de E3 5% 5% 5% 5%

Dos modos de calcular el valor actual de los impuestos:63 Estado = Estado u - VAN 2216,67 2327,50 2443,87 2566,07 2694,37 5,00%64 Estado = IMP /(Ke - g) 2214,27 2324,98 2441,23 2563,30 2691,46 5,00%

Flujos de la deuda:65 Intereses 75 78,75 82,6875 86,82187566 ∆ deuda 25 26,25 27,5625 28,94062567 Flujo total de la deuda: 50 52,5 55,125 57,8812568 Crecimiento del flujo 5% 5% 5%

54


Fórmulas para valorar empresasAnexo 1 bis

D = 500; CRECIMIENTO = 5,00%; imp = 35,00%∆ Activos fijos netos = 5%.

0 1 2 3 4 g

1 Caja necesaria 100 105 110,25 115,76 121,55 5,00%2 Cuentas a cobrar 900 945 992,25 1.041,86 1.093,96 5,00%3 Stocks 240 252 264,60 277,83 291,72 5,00%4 Activo fijo bruto 1200 1460 1733 2019,65 2320,6325 14,90%5 - amort acumulada 200 410 630,50 862,03 1.105,13 28,20%6 Activo fijo neto 1000 1050 1102,5 1157,625 1215,5063 5,00%7 TOTAL ACTIVO 2.240 2.352 2.469,60 2.593,08 2.722,73 5,00%

8 Cuentas a pagar 240 252 264,60 277,83 291,72 5,00%9 Deuda 500 525 551,25 578,81 607,75 5,00%10 Capital (valor contable) 1500 1575 1.653,75 1.736,44 1.823,26 5,00%11 TOTAL PASIVO 2.240 2.352 2.469,60 2.593,08 2.722,73 5,00%

12 NOF 1.000 1.050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 5,00%13 ∆ NOF 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

Cuenta de resultados14 Ventas 3000 3150 3.307,50 3.472,88 3.646,52 5,00%15 Coste de ventas 1200 1260 1.323,00 1.389,15 1.458,61 5,00%16 Gastos generales 600 630 661,50 694,58 729,30 5,00%17 Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 5,00%18 Margen 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 5,00%19 Intereses 75 75 78,75 82,69 86,82 5,00%20 BAT 925 975 1.023,75 1.074,94 1.128,68 5,00%21 Impuestos 323,75 341,25 358,31 376,23 395,04 5,00%22 BDT 601,25 633,75 665,44 698,71 733,64 5,00%

23 + Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 5,00%24 + ∆ Deuda 25 26,25 27,56 28,94 5,00%25 - ∆ NOF -50 -52,50 -55,13 -57,88 5,00%26 - Inversiones -260 -273,00 -286,65 -300,98 5,00%27 CF acciones = Dividendos 558,75 586,69 616,02 646,82 5,00%

28 FCF 582,5 611,63 642,21 674,32 5,00%

29 g CF acciones 5,00% 5,00% 5,00%30 g FCF 5,00% 5,00% 5,00%

31 impuestos / FCF 58,58% 58,58% 58,58% 58,58%32 impuestos / CFacciones 61,07% 61,07% 61,07% 61,07%

33 VM / VC acciones 2,41 2,41 2,41 2,41 2,4134 PER (bfo año siguiente) 5,71 5,71 5,71 5,71 5,7135 PER (bfo año presente) 6,02 5,99 5,99 5,99 5,9936 P/CFa (año próximo) 6,47 6,47 6,47 6,47 6,47

ROE 42,25% 42,25% 42,25% 42,25% 42,25%

55


Fórmulas para valorar empresasAnexo 1 bis (continuación)

D = 500; CRECIMIENTO = 5,00%; imp = 35,00%∆ Activos fijos netos = 5%.

0 1 2 3 4

37 Beta U 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,00000038 Rf 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00%39 Rm - Rf 8,00% 8,00% 8,00% 8,00% 8,00%40 Ku 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%41 Vu = FCF/(Ku - g) 3.883,33 4.077,50 4.281,37 4.495,44 4.720,2242 Crecimiento de Vu 5% 5% 5% 5%

SIN IMPUESTOS43 FCF SIN IMPUESTOS 950,00 997,50 1.047,38 1.099,74 5,00%44 Vu sin impuestos 6.333,33 6.650,00 6.982,50 7.331,63 7.698,21 5,00%

CON IMPUESTOS 45 Impuestos u 367,50 385,88 405,17 425,43 5,00%46 Estado u = IMPu/(Ku - g) 2.450,00 2.572,50 2.701,12 2.836,18 2.977,99 5,00%47 Vu + Estado u 6.333,33 6.650,00 6.982,50 7.331,63 7.698,21 5,00%

48 D 500,00 525,00 551,25 578,81 607,75 5,00%49 Kd 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00%50 Beta d 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000

51 DTKu/(Ku-g) = VAN ahorro imp.233,33 245,00 257,25 270,11 283,62 5,00%52 VAN ahorro inter. + Vu 4.116,67 4.322,50 4.538,62 4.765,56 5.003,83 5,00%53 - D = E 1 3.617 3.797 3.987 4.187 4.396 5,00%

54 Beta E 1,056164 1,056164 1,056164 1,056164 1,05616455 Ke 20,45% 20,45% 20,45% 20,45% 20,45%56 E 2 = CF / (Ke - g) 3.617 3.798 3.987 4.187 4.396 5,00%

57 Estado = Estado u - VAN [51] 2.216,67 2.327,50 2.443,87 2.566,07 2.694,37 5,00%58 E2 + D + Estado 6.333,33 6.650,00 6.982,50 7.331,63 7.698,21 5,00%

59 WACC 19,1498% 19,1498% 19,1498% 19,1498% 19,1498%60 D + E = FCF / (WACC-g) 4.116,67 4.322,50 4.538,62 4.765,56 5.003,83 5,00%61 - D = E 3 3.617 3.798 3.987 4.187 4.396 5,00%62 Crecimiento de E3 5% 5% 5% 5%

Dos modos de calcular el valor actual de los impuestos:63 Estado = Estado u - VAN 2216,67 2327,50 2443,87 2566,07 2694,37 5,00%64 Estado = IMP /(Ke - g) 2208,84 2319,28 2435,24 2557,00 2684,85 5,00%

Flujos de la deuda: 0 1 2 3 465 Intereses 75 78,75 82,6875 86,821875 5,00%66 ∆ deuda 25 26,25 27,5625 28,940625 5,00%67 Flujo total de la deuda: 50 52,5 55,125 57,88125 5,00%68 Crecimiento del flujo 5% 5% 5%

56



D = 500; CRECIMIENTO = 5,00%; imp = 0%∆ Activos fijos netos = 0.

0 1 2 3 4 5

1 Caja necesaria 100 105 110,25 115,76 121,55 127,632 Cuentas a cobrar 900 945 992,25 1.041,86 1.093,96 1.148,653 Stocks 240 252 264,60 277,83 291,72 306,314 Activo fijo bruto 1200 1410 1.630,50 1.862,03 2.105,13 2.360,385 - amort acumulada 200 410 630,50 862,03 1.105,13 1.360,386 Activo fijo neto 1000 1000 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,007 TOTAL ACTIVO 2.240 2.302 2.367,10 2.435,46 2.507,23 2.582,59

8 Cuentas a pagar 240 252 264,60 277,83 291,72 306,319 Deuda 500 525 551,25 578,81 607,75 638,1410 Capital (valor contable) 1500 1525 1.551,25 1.578,81 1.607,75 1.638,1411 TOTAL PASIVO 2.240 2.302 2.367,10 2.435,46 2.507,23 2.582,59

12 NOF 1.000 1.050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2813 ∆ NOF 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

Cuenta de resultados14 Ventas 3000 3150 3.307,50 3.472,88 3.646,52 3.828,8415 Coste de ventas 1200 1260 1.323,00 1.389,15 1.458,61 1.531,5416 Gastos generales 600 630 661,50 694,58 729,30 765,7717 Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 255,2618 Margen 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2819 Intereses 75 75 78,75 82,69 86,82 91,1620 BAT 925 975 1.023,75 1.074,94 1.128,68 1.185,1221 Impuestos 0 0 0,00 0,00 0,00 0,0022 BDT 925 975 1.023,75 1.074,94 1.128,68 1.185,12

23 + Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 255,2624 + ∆ Deuda 25 26,25 27,56 28,94 30,3925 - ∆ NOF -50 -52,50 -55,13 -57,88 -60,7826 - Inversiones -210 -220,50 -231,53 -243,10 -255,2627 CF acciones = Dividendos 950 997,50 1.047,38 1.099,74 1.154,73

28 FCF 1000 1.050,00 1.102,50 1.157,63 1.215,51

29 g CF acciones 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%30 g FCF 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

31 impuestos / FCF 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%32 impuestos / CFacciones 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

33 VM / VC acciones 4,11 4,25 4,38 4,52 4,66 4,8034 PER (bfo año siguiente) 6,32 6,32 6,32 6,32 6,32 6,3235 PER (bfo año presente) 6,67 6,64 6,64 6,64 6,64 6,6436 P/CFa (año próximo) 6,49 6,49 6,49 6,49 6,49 6,49

57




0 1 2 3 4 5

37 Beta U 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,00000038 Rf 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00%39 Rm - Rf 8,00% 8,00% 8,00% 8,00% 8,00% 8,00%40 Ku 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%41 Vu = FCF/(Ku - g) 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,5442 Crecimiento de Vu 5% 5% 5% 5% 5%

SIN IMPUESTOS43 FCF SIN IMPUESTOS 1.000,00 1.050,00 1.102,50 1.157,63 1.215,5144 Vu sin impuestos 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54

CON IMPUESTOS :45 Impuestos u 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0046 Estado u = IMPu/(Ku - g) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0047 Vu + Estado u 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54

48 D 500,00 525,00 551,25 578,81 607,75 638,1449 Kd 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00%50 Beta d 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000

51 DTKu/(Ku-g) = VAN ahorro imp.0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0052 VAN ahorro inter. + Vu 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,5453 - D = E 1 6.167 6.475 6.799 7.139 7.496 7.870

54 Beta E 1,050676 1,050676 1,050676 1,050676 1,050676 1,05067655 Ke 20,41% 20,41% 20,41% 20,41% 20,41% 20,41%56 E 2 = CF / (Ke - g) 6.167 6.475 6.799 7.139 7.496 7.870

57 Estado = Estado u - VAN [51] 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0058 E2 + D + Estado 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54

59 WACC 20,0000% 20,0000% 20,0000% 20,0000% 20,0000% 20,0000%60 D + E = FCF / (WACC-g) 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,5461 - D = E 3 6.167 6.475 6.799 7.139 7.496 7.87062 Crecimiento de E3 5% 5% 5% 5% 5%

Dos modos de calcular el valor actual de los impuestos:63 Estado = Estado u - VAN 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0064 Estado = IMP /(Ke - g) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Flujos de la deuda: 0 1 2 3 4 565 Intereses 75 78,75 82,6875 86,821875 91,16296966 ∆ deuda 25 26,25 27,5625 28,940625 30,38765667 Flujo total de la deuda: 50 52,5 55,125 57,88125 60,77531268 Crecimiento del flujo 5% 5% 5% 5%

58




0 1 2 3 4 51 Caja necesaria 100 105 110,25 115,76 121,55 127,632 Cuentas a cobrar 900 945 992,25 1.041,86 1.093,96 1.148,653 Stocks 240 252 264,60 277,83 291,72 306,314 Activo fijo bruto 1200 1410 1.630,50 1.862,03 2.105,13 2.360,385 - amort acumulada 200 410 630,50 862,03 1.105,13 1.360,386 Activo fijo neto 1000 1000 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,007 TOTAL ACTIVO 2.240 2.302 2.367,10 2.435,46 2.507,23 2.582,59


12 NOF 1.000 1.050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2813 ∆ NOF 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

Cuenta de resultados14 Ventas 3000 3150 3.307,50 3.472,88 3.646,52 3.828,8415 Coste de ventas 1200 1260 1.323,00 1.389,15 1.458,61 1.531,5416 Gastos generales 600 630 661,50 694,58 729,30 765,7717 Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 255,2618 Margen 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2819 Intereses 0 0 0,00 0,00 0,00 0,0020 BAT 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2821 Impuestos 0 0 0,00 0,00 0,00 0,0022 BDT 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,28

23 + Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 255,2624 + ∆ Deuda 0 0,00 0,00 0,00 0,0025 - ∆ NOF -50 -52,50 -55,13 -57,88 -60,7826 - Inversiones -210 -220,50 -231,53 -243,10 -255,2627 CF acciones = Dividendos 1000 1.050,00 1.102,50 1.157,63 1.215,51

28 FCF 1000 1.050,00 1.102,50 1.157,63 1.215,51




59




0 1 2 3 4 5



CON IMPUESTOS:45 Impuestos u 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0046 Estado u = IMPu/(Ku - g) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0047 Vu + Estado u 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54

48 D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0049 Kd 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00%50 Beta d 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000


54 Beta E 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,00000055 Ke 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%56 E 2 = CF / (Ke - g) 6.667 7.000 7.350 7.718 8.103 8.509

57 Estado = Estado u - VAN [51] 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0058 E2 + D + Estado 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54



Flujos de la deuda:65 Intereses 0 0 0 0 066 ∆ deuda 0 0 0 0 067 Flujo total de la deuda: 0 0 0 0 0

60




0 1 2 3 4 5

1 Caja necesaria 100 105 110,25 115,76 121,55 127,632 Cuentas a cobrar 900 945 992,25 1.041,86 1.093,96 1.148,653 Stocks 240 252 264,60 277,83 291,72 306,314 Activo fijo bruto 1200 1410 1.630,50 1.862,03 2.105,13 2.360,385 - amort acumulada 200 410 630,50 862,03 1.105,13 1.360,386 Activo fijo neto 1000 1000 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,007 TOTAL ACTIVO 2.240 2.302 2.367,10 2.435,46 2.507,23 2.582,59


12 NOF 1.000 1.050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2813 ∆ NOF 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

Cuenta de resultados14 Ventas 3000 3150 3.307,50 3.472,88 3.646,52 3.828,8415 Coste de ventas 1200 1260 1.323,00 1.389,15 1.458,61 1.531,5416 Gastos generales 600 630 661,50 694,58 729,30 765,7717 Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 255,2618 Margen 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2819 Intereses 0 0 0,00 0,00 0,00 0,0020 BAT 1000 1050 1.102,50 1.157,63 1.215,51 1.276,2821 Impuestos 350 367,5 385,88 405,17 425,43 446,7022 BDT 650 682,5 716,63 752,46 790,08 829,58

23 + Amortización 200 210 220,50 231,53 243,10 255,2624 + ∆ Deuda 0 0,00 0,00 0,00 0,0025 - ∆ NOF -50 -52,50 -55,13 -57,88 -60,7826 - Inversiones -210 -220,50 -231,53 -243,10 -255,2627 CF acciones = Dividendos 632,5 664,13 697,33 732,20 768,81

28 FCF 632,5 664,13 697,33 732,20 768,81




61




0 1 2 3 4 5



CON IMPUESTOS:45 Impuestos u 367,50 385,88 405,17 425,43 446,7046 Estado u = IMPu/(Ku - g) 2.450,00 2.572,50 2.701,12 2.836,18 2.977,99 3.126,8947 Vu + Estado u 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54

48 D 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0049 Kd 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00%50 Beta d 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000 0,375000


54 Beta E 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,00000055 Ke 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%56 E 2 = CF / (Ke - g) 4.217 4.428 4.649 4.881 5.125 5.382

57 Estado = Estado u - VAN [51]2.450,00 2.572,50 2.701,12 2.836,18 2.977,99 3.126,8958 E2 + D + Estado 6.666,67 7.000,00 7.350,00 7.717,50 8.103,37 8.508,54



Flujos de la deuda: 0 1 2 3 4 565 Intereses 0 0 0 0 066 ∆ deuda 0 0 0 0 067 Flujo total de la deuda: 0 0 0 0 0

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