SUBTEMA 4.2.2. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO.Al igual que un cuerpo se mantienen en equilibrio en el plano, estos también se pueden equilibrar con fuerzas en el espacio como se ve en los ejercicios siguientes:

1.- Una torre de transmisión se sostiene por tres alambres los cuáles están anclados mediante pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AD es de 315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en D. Ver figura.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son: dx = 74 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft ______________________ d = √(74 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2

d = 126 ft

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = 74 ft/126 ft = 0.5873. Θx = cos-1 0.5873 = 54°. Fx = F cos Θx. Fx = 315 lb x 0.5873 = Fx = 185 lb. Cos Θy = 100 ft/126 ft = 0.7936. Θy = cos-1 0.7936 = 37.4°. Fy = F cos Θy. Fy = 315 lb x 0.7936 = 245 lb. Cos Θz = - 20 ft/126 ft = - 0.1587. Θz = cos-1 - 0.1587 = 99.13°. Fz = F cos Θz. Fz = 315 lb x – 0.1587 = -50 lb.

2.- Una torre de transmisión se sostiene por tres alambres los cuáles están anclados mediante pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 525 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B. Ver figura anterior.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son: dx = - 25 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft ______________________ d = √(-25 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2

d = 105 ft

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = -25 ft/105 ft = - 0.2380. Θx = cos-1 - 0.2380 = 103.7°. Fx = F cos Θx. Fx = 525 lb x - 0.2380 = Fx = - 125 lb. Cos Θy = 100 ft/105 ft = 0.9523. Θy = cos-1 0.9523 = 17.7°. Fy = F cos Θy. Fy = 525 lb x 0.9523 = 500 lb. Cos Θz = - 20 ft/105 ft = - 0.1904. Θz = cos-1 - 0.1904 = 100.9° . Fz = F cos Θz. Fz = 525 lb x – 0.1904 = -100 lb.

3.- Una torre de transmisión se sostiene por tres alambres los cuáles están anclados mediante pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AC es de 425 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en C. Ver figura anterior.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son: dx = - 18 ft, dy = 100 ft, dz = 60 ft ______________________ d = √(-18 ft)2 + (100 ft)2 + (60 ft)2

d = 118 ft

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = -18 ft/118 ft = - 0.1525. Θx = cos-1 - 0.1525 = 98.7°. Fx = F cos Θx. Fx = 425 lb x - 0.1525 = Fx = - 64.8 lb. Cos Θy = 100 ft/118 ft = 0.8474. Θy = cos-1 0.8474 = 17.7°. Fy = F cos Θy. Fy = 425 lb x 0.8474 = 360 lb. Cos Θz = 60 ft/118 ft = 0.5084 Θz = cos-1 0.5084 = 59.44° . Fz = F cos Θz. Fz = 425 lb x 0.5084 = 216 lb.

4.- Se emplean tres cables para amarrar al globo mostrado en la figura de abajo. Se sabe que la tensión en el cable AC es de 444 N, suponiendo que el globo está en equilibrio, determine el valor de las tensiones de los cables AB y AD.

Para hallar las componentes de la cuerda AC, primero hallamos la distancia total de acuerdo a las distancias dadas en la figura:

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son: dx = - 4.2 m, dy = 5.6 m, dz = 2.4 m ______________________ d = √(-4.2 m)2 + (5.6 m)2 + (2.4 m)2

d = 7.4 m

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = - 4.2 m /7.4 m = - 0.5675. Θx = cos-1 - 0.5675 = 124.6°. Fx = F cos Θx. Fx = 444 N x - 0.5675= Fx = - 252 N. Cos Θy = 5.6 m /7.4 m = 0.7567. Θy = cos-1 0.7567 = 40.8°. Fy = F cos Θy. Fy = 444 N x 0.7567 = 225.7 N. Cos Θz = 2.4 m /7.4 m = 0.3243 Θz = cos-1 0.3243 = 71°. Fz = F cos Θz. Fz = 444 N x 0.3243 = 144 N.

Ahora sacamos la distancia total, para el cable AB, como puede verse en la figura, el perno B, está exactamente situado sobre el eje X, por lo cual solamente tiene componente en Y y en Z, los cuales son: __________

d = √(dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son: dy = 5.6 m, dz = - 4.2 m ______________________ d = √(5.6 m)2 + (-4.2 )2

d = 7 m. Ahora se sacan los ángulos θy y θz para la cuerda AB:

Cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d, Cos Θy = 5.6 m /7 m = 0.8 Θy = cos-1 0.8 = 36.8°. FyAB = AB cos Θx. FyAB = AB (0.8) = Cos Θz= -4.2 m /7 m = -0.6 Θz = cos-1 - 0.6 = 126.8°. FzAB = AB (-0.6)

Ahora sacamos la distancia total, para el cable AD, como puede verse en la figura, el perno D, está exactamente situado sobre el eje Z, por lo cual solamente tiene componente en X y en Y, los cuales son: __________

d = √(dx2) + (dy2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son: dx = 3.3 m, dy = 5.6 m ______________________ d = √(3.3 m)2 + (5.6 m )2

d = 6.5 m. Ahora se sacan los ángulos θx y θy para la cuerda AD:

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, Cos Θx = 3.3 m /6.5 m = 0.5076 Θx = cos-1 0.5076= 59.4°. FxAD = AD cos Θx. FxAD = AD (0.5076) = Cos Θy= 5.6 m /6.5 m = 0.8615 Θy = cos-1 0.8615 = 30.5°. FyAD = AD (0.8615)

Ahora procedemos a la sumatoria de fuerzas: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0.

ΣFx = - 252 N + AD (0.5076) = 0. ΣFx = AD (0.5076) = 252 N. Ahora despejamos AD: AD = 252 N = 496.4 N. 0.5076

Σ Fy = 225.7 N + AB (0.8) = 0. Σ Fy = AB (0.8) = - 225.7 N. despejando

AB, tenemos: AB = 225.7 N = 282.12 N. 0.8

5.- Una placa rectangular está sostenida por los 3 cables mostrados en la figura. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 408 Newtons, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en B.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AB.

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son: dx = -13 cm, dy = 48 cm, dz = -32 cm __________________________ d = √(-13 cm)2 + (48 cm)2 + (- 32 cm)2

d = 59.1 cm

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = -13 cm/59.1 cm = - 0.2199. Θx = cos-1 - 0.2199 = 102.7°. Fx = F cos Θx. Fx = 408 N x - 0.2199= Fx = - 89.7 N. Cos Θy = 48 cm /59.1 cm = 0.8121. Θy = cos-1 0.8121= 35.7°. Fy = F cos Θy. Fy = 408 N x 0.8121 = 331.3 N. Cos Θz = - 32 cm/59.1 cm = - 0.5414 Θz = cos-1 - 0.5414 = 122.7° Fz = F cos Θz. Fz = 408 N x – 0.5414 = - 220.8 N.

6.- Una placa rectangular está sostenida por los 3 cables mostrados en la figura anterior . Sabiendo que la tensión en el cable AD es de 429 Newtons, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en D.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AD.

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son: dx = 36 cm, dy = 48 cm, dz = -25 cm __________________________ d = √(36 cm)2 + (48 cm)2 + (- 25 cm)2

d = 65 cm

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = 36 cm/65 cm = 0.5538. Θx = cos-1 0.5538 = 56.3°. Fx = F cos Θx. Fx = 429 N x 0.5538= Fx = 237.5 N. Cos Θy = 48 cm /65 cm = 0.7384. Θy = cos-1 0.7384= 42.4°. Fy = F cos Θy. Fy = 429 N x 0.7384 = 316.7 N. Cos Θz = - 25 cm/65 cm = - 0.3846. Θz = cos-1 - 0.3846= 112.6° Fz = F cos Θz. Fz = 408 N x – 0.3846 = - 165 N.

7.- Una placa rectangular está sostenida por los 3 cables mostrados en la figura anterior . Sabiendo que la tensión en el cable AC es de 550 Newtons, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en C.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AC.

_________________ d = √(dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son: dx = -36 cm, dy = 48 cm, dz = -32 cm __________________________ d = √(-13 cm)2 + (48 cm)2 + ( 45 cm)2

d = 67.06 cm

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = -13 cm/ 67.06 cm = - 0.1938. Θx = cos-1 - 0.1938 = 101.17°. Fx = F cos Θx. Fx = 550 N x - 0.1938= Fx = -106.8 N. Cos Θy = 48 cm / 67.06 cm = 0.7157. Θy = cos-1 0.7157= 44.29°°. Fy = F cos Θy. Fy = 550 N x 0.7157 = 393.6 N. Cos Θz = - 32 cm/67.06 cm = - 0.4771. Θz = cos-1 - 0.4771= 118.5° Fz = F cos Θz. Fz = 550 N x – 0.4771 = 262.4 N.