epv3. curso 2009/2010

ies m. ballesteros (utiel)

josé m. latorre

circunferencia : línea curva cerradaen la que todos sus puntos están ala misma distancia de uno central alque llamamos centro.

radio : línea recta que une elcentro con cualquier punto de lacircunferencia.

diámetro : línea recta que une dospuntos de la circunferencia pasandopor el centro.

cc

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por el centro.

recta secante o cuerda : línea rectaque une dos puntos cualquiera de lacircunferencia y a los que llamamospuntos de corte, cccc....

recta tangente : línea recta quesólo tiene un punto de contacto conla circunferencia y al que llamamospunto de tangencia, tttt....

t

situar un punto a partir de otros dos dados.

a

b

d

c

a

b

a

b

vamos a situar un punto a una distancia dada (r1) del punto aaaa y

a otra (r2) de bbbb.

trazar un arco con centro en aaaay radio r1.

trazar otro arco con centro en bbbb y radio r2, donde corta al anterior situamos cccc y dddd.

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“si, por definición, 2 puntossituados sobre la circunferenciase encuentran a la mismadistancia del centro, la bisectrizdel ángulo que forman serátambién la mediatriz de la cuerdaque nos une”.

p

q

o

situar el centro de una circunferencia.

xy

z

o

xy

xy

situar dos puntos cualesquiera xxxx e yyyy sobre la circunferencia y unirlos.

trazar la mediatriz de la cuerda situar un tercer punto, zzzz, unirlo con yyyy para trazar otra mediatriz. el punto de corte será el centro, oooo.

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el punto de corte será el centro, oooo.

trazar la circunferencia que pasa por 3 puntos.

xy

z

xy

z

xy

z

o

unir los puntos dados xxxx, yyyy, zzzz. trazar las mediatrices hasta que se corten.

ya sabemos el centro y el radio.

definiciónfigura plana compuesta por 3 segmentos que se unen por sus extremos.tiene, por tanto, 3 vértices y 3 ángulos que suman 180 grados.

clasificación según sus lados

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según sus ángulos

equilátero3 lados iguales

isósceles2 lados iguales

escaleno3 lados diferentes

acutángulo3 ángulos agudos

obtusángulo1 ángulo obtuso

rectángulo1 ángulo recto

rectas notablesson líneas interiores de los triángulos que cumplen unas determinadas características.

mediatrizmediatrizmediatrizmediatriz

es la mediatriz de cada uno de sus lado. un triángulo tiene, por tanto, hasta 3.

el punto en el que se cortan las tres mediatrices se llama circuncentrocircuncentrocircuncentrocircuncentroy es el centro de la circunferencia circunscrita.

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bisectrizbisectrizbisectrizbisectriz

es la bisectriz de cada uno de los ángulos interiores, también hay 3.

el punto en el que se cortan las tres bisectrices se llama incentroincentroincentroincentro y es el centro de la circunferencia inscrita.

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medianamedianamedianamediana

es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

el punto en el que se cortan las tres medianas se llama baricentrobaricentrobaricentrobaricentroque es el centro de gravedad del triángulo.

alturaalturaalturaaltura

es la perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

el punto en el que se cortan las tres alturas se llama ortocentroortocentroortocentroortocentro....en un triángulo acutángulo se sitúa dentro del triángulo, en elobtusángulo se sitúa fuera y en el rectángulo coincide con el vérticedel ángulo recto.

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construcciones

equilátero.equilátero.equilátero.equilátero. a partir del lado

situar el lado del triángulo trazar dos arcos de radio igual al lado y centro en

unir los 3 puntos que serán vértices del triángulo

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igual al lado y centro en cada extremo

serán vértices del triángulo

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equilátero.equilátero.equilátero.equilátero. a partir de la altura

sobre la bisectriz de un ángulo de 60 grados, medir la altura

trazar una perpendicular por el extremo de la altura que corte los lados

el triángulo equilátero quedacomprendido entre los puntos de corte

isósceles.isósceles.isósceles.isósceles. a partir de la base y la altura

base (b)

situar la base y trazar su mediatriz. desde el punto de corte medimos la altura

altura (h)

base (b)

altura (h)

unir los extremos de la base y la altura, vértices

del triángulo

b

h

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isósceles.isósceles.isósceles.isósceles. a partir de los lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos

una vez situados los 3 vértices, unir

α 30 grados

trazar el ángulo dado (30 grados) y sobre las semirrectas medir los lados

escalenoescalenoescalenoescaleno. a partir de los tres ladosl1

l2

l3

l2 l3

l1

situar uno de los lados, por ejemplo, el más largo: l1

trazar dos arcos de radio igual a los otros dos lados (l2 y l3) y centro en los extremos de l1

como el punto de corte va a ser el tercer vértice, se ha de unir con los otros 2

escalenoescalenoescalenoescaleno. a partir de un lado

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escalenoescalenoescalenoescaleno. a partir de un ladoy sus ángulos adyacentes

60 grados

45 grados

sobre el lado construir los ángulos solicitados hasta que se corten

sobre el lado construir los ángulos solicitados

rectángulorectángulorectángulorectángulo.el triángulo rectángulo tiene algunas particularidades:

-es el único con una medidas determinada: el ángulo recto.

-sus lados tienen nombres concretos: los que forman el ángulo recto son los catetos y el que los une es la hipotenusa.

se relacionan mediante el teorema de teorema de teorema de teorema de pitágoraspitágoraspitágoraspitágoras.

“el área de un cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de

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hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados que tienen como lados los

dos catetos”

hipotenusa ² =cateto a² ++++ cateto b²

cateto a

cateto b

hipotenusa

cateto a² cateto b²hipotenusa ² = +

conocidos los lados

por el extremo de uno de los lados, trazar una perpendicular.

medir sobre la perpendicularel otro lado y unir.

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conocidos un lado y la hipotenusa

por el extremo de uno de los lados, trazar una perpendicular.

trazar un arco con la hipotenusa, que corta la perpendicular y unir.

definiciónpolígono de 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos que suman 360 grados, pues todo

cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos iguales.

rectas notablespolígono de 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos que suman 360 grados, pues todo

cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos iguales.

la alturaalturaalturaaltura es la perpendicular a la base que pasa por

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las diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales son las líneas que unen dos vértices no consecutivos. si son de

medidas diferentes las llamaremos diagonal mayor y diagonal menor.

la basebasebasebase es el lado (horizontal) sobre el que apoya el cuadrilátero. puede haber dos bases paralelas. si son diferentes las llamaremos base mayor y base menor.

la alturaalturaalturaaltura es la perpendicular a la base que pasa por el vértice más alto. puede coincidir con un lado

clasificación y construcciónparalelogramos:

lados paralelos 2 a 2cuadradocuadradocuadradocuadrado

ladosladosladoslados: 4 iguales.ángulosángulosángulosángulos: 4 rectos.diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: iguales y perpendiculares.

a partir del lado

situar el lado trazar una perpendicular por el extremo

trazar 2 arcos con centro en los extremos y radio el lado

unir los vértices

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por el extremo los extremos y radio el lado

a partir de la diagonal

trazar un ángulo de 45grados, que será la diagonal

sobre la diagonal medir la distancia dada

trazar una perpendiculardesde el extremo de la diagonal.

desde el tercer vértice trazar un arco con la medida de la diagonal

rectángulorectángulorectángulorectángulo

ladosladosladoslados: iguales 2 a 2.ángulosángulosángulosángulos: 4 rectos.diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: iguales.

a partir de la base y la altura

situar la base trazar una perpendicular por el extremo

trazar otra perpendicular por el otro extremo

unir los vértices

a partir de la base y la diagonal

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a partir de la base y la diagonal

sobre un arco de 90grados, medir la base

desde el extremo, trazar un arco de radio igual a la

diagonal que corte al ángulo.

trazar 2 arcos que se corten, uno con la diagonal y

el otro con la base.

unir los vértices..

base

romboromboromborombo

ladosladosladoslados: 4 igualesángulosángulosángulosángulos: 2 agudos iguales y 2 obtusos igualesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes y perpendiculares

a partir de las 2 diagonales

situar una diagonal y trazar su mediatriz

unir vérticesponer sobre la mediatriz la distancia de la otra diagonal

a partir del ángulo y un lado

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a partir del ángulo y un lado

trazar el ángulo dado, en este caso 60 grados.

trasladar la medida del lado sobre las semirrectas.

trazar dos arcos desde los vértices con radio igual al lado.

unir los vértices.

romboideromboideromboideromboide

ladosladosladoslados: iguales 2 a 2ángulosángulosángulosángulos: 2 agudos iguales y 2 obtusos igualesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes y no perpendiculares

a partir de los lados y 1 diagonal

situar un lado y trazar 2 arcos con centro en los extremos y radio la

diagonal y el otro lado

trazar 2 arcos con centro en los extremos de los lados y radio los

lados correspondientes

cerrar el romboide

lado 1

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diagonal y el otro lado lados correspondientes

a partir de los lados y 1 ángulo

construir el ángulo y sobre cada semirrecta medir los lados.

trazar dos arcos desde los vértices obtenidos que se cruzan

en el cuarto vértice

cerrar el romboide

lado 2

no paralelogramos:lados no paralelos 2 a 2trapecio rectángulotrapecio rectángulotrapecio rectángulotrapecio rectángulo

ladosladosladoslados: diferentesángulosángulosángulosángulos: 2 rectos, 1 agudo y 1 obtuso.diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes y no perpendiculares.

a partir de las bases mayor y menor

situar la base mayor trazar una perpendicular trazar una perpendicular a la cerrar el trapecio

h

base menor

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trapecio isóscelestrapecio isóscelestrapecio isóscelestrapecio isósceles

ladosladosladoslados: 2 iguales y 2 diferentesángulosángulosángulosángulos: 2 agudos iguales y 2 obtusos igualesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: iguales y no perpendiculares.

a partir de la base mayor, la altura y un lado

situar la base mayor trazar una perpendicular por un extremo que mida h

trazar una perpendicular a la altura que mida la base menor

cerrar el trapecio

situar la base mayor trazar 2 arcos desde el extremo de la base, de radio

el lado y la diagonal

repetir la operación desdeel otro extremo de la base

diagonallado

cerrar el trapecio

trapezoidetrapezoidetrapezoidetrapezoide

ladosladosladoslados: los 4 diferentesángulosángulosángulosángulos: los 4 diferentesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes.

a partir de los 4 lados y 1 diagonal

lado 1

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situar un lado del trapezoide

lado 1

trazar 2 arcos con centro en los extremos de a y radio la diagonal y otro lado, b

trazar 2 arcos con centro en los extremos de los lados

y radio c y d

unir vértices

un polígono inscrito es aquel que tiene sus vértices sobre una circunferencia. cualquier polígono puede construirse de esta forma, si dividimos la circunferencia en partes iguales.

a continuación, vamos a ver, desde el más sencillo hasta los más complicados, todos los

métodos que se aplican desde el triángulo (3 divisiones) hasta el octógono (8 divisiones).

cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado inscritoinscritoinscritoinscrito

4 divisiones

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4 divisiones

octógono octógono octógono octógono inscritoinscritoinscritoinscrito8 divisiones

trazar un diámetro trazar otro diámetro,perpendicular al primero

unir los vértices

partimos de la construcción del cuadrado

dividir los ángulos rectos en 2 partes iguales

unir los vértices

hexágono hexágono hexágono hexágono inscrito inscrito inscrito inscrito 6 divisiones

hemos de saber que el radio de una circunferencia la divide en 6 partes iguales

aplicar el radio 6 veces sobre la circunferencia

unir las divisiones

t 1. epv3. 09/10 22

triángulotriángulotriángulotriánguloequiláteroequiláteroequiláteroequiláteroinscritoinscritoinscritoinscrito3 divisiones

realizar la misma construcción que para el hexágono

unir los vértices adecuadosvamos a necesitar sólo vértices alternos

heptágono inscrito heptágono inscrito heptágono inscrito heptágono inscrito 7 divisiones

trazar 2 diámetros perpendiculares trazar la mediatriz de un radio. el punto de corte es m

la distancia desde m hasta la circunferencia va a ser el lado

aplicar la medida 7 veces y unir

m

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pentágono inscritopentágono inscritopentágono inscritopentágono inscrito5 divisiones

partimos de la construccióndel heptágono

trazar un arco con centro en m y radio ma que corta al diámetro en b

m

a

la distancia desde a hasta b va aser el lado del pentágono

b

a

b

aplicar la medida 5 veces y unir

método generalmétodo generalmétodo generalmétodo generaln divisiones

1.trazar un diámetro y dividirlo en n partes.

4. unir las divisionessobre la circunferencia.

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2. trazar 2 arcos con centro en los extremos del diámetro y radio toda la longitud del diámetro,

3. desde los dos puntos de corte, trazar rectas que pasen por las divisiones pares del diámetro.

polígonos estrelladospolígonos estrelladospolígonos estrelladospolígonos estrelladosde paso2 y paso3

el paso se refiere al modo de unir los vértices sobre la circunferencia. el modo convencional de ir uniendo los vértices consecutivos se conoce como paso1. del mismo modo, el paso2 implica unir

vértices alternativamente (uno si, uno no), y el paso3 dejar 2 libres.

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heptágono paso1 heptágono paso3heptágono paso2

octógono paso 3hexágono paso 2, el de paso 3 no existe

pentágono de paso 2 y paso 3