epv3. curso 2009/2010

ies m. ballesteros (utiel)

josé m. latorre

Hablamos de tangencia como una relación entre dos o más elementos

que sólo tienen un punto de contacto, al que llamamos “punto de tangencia”…

… ¡ que siempre deberemos situar y marcar con exactitud !

t3. epv3. 09/10 2

T

TT

1. Dos rectas paralelas siempre están a la misma distancia una de otra.

Cualquier punto que situemos entre ambas rectas definirá otra, separada de cada una de ellas por una distancia

constante. Si la recta pasa por un punto equidistante, la distancia respecto las dos rectas será la misma (d2).

Si lo que buscamos es un punto (P) que esté a la misma distancia (d) de dos rectas bastará con trazar sendas

paralelas a la distancia dada y obtener el punto de corte de ambas.

t3. epv3. 09/10 3

Cualquier problema de tangencias se puede resolver a partir de unos pocos

conceptos geométricos elementales. Algunos de ellos ya los hemos trabajado

en clase y otros los descubriremos durante este tema.

P

d

d

d 1 d 1

d 2

d 2

Si son concéntricas, ambas circunferencias se

encontrarán siempre separadas por la misma

distancia. Dicha distancia será el resultado de la

resta de sus radios.

t3. epv3. 09/10 4

O

r 1

r 2

d

P

P´

r 1

r 1 r 2

r 2

2. Dos circunferencias no concéntricas, siempre

tendrán dos puntos de corte, que estarán

situados a la misma distancia (el radio) de cada

uno de los centros.

t3. epv3. 09/10 5

P

P´

A

B

d2

d 1

3. El conjunto de los puntos que forman cualquier arco de circunferencia se encuentran

siempre separados a la misma distancia del centro: el radio.

Por ello, cuando necesitemos trasladar medidas utilizaremos arcos de circunferencia.

Por ejemplo, para situar un punto P que se

encuentra a una distancia determinada (d1)

del punto A y a otra distancia (d2) de B,

cruzamos dos arcos haciendo centro en los

respectivos puntos (A y B), aplicando en

cada uno radio correspondiente.

t3. epv3. 09/10 6

4. La mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia pasará siempre por el centro de

dicha circunferencia.

Por lo tanto, el punto de corte de dos de esas

mediatrices determina el centro de la circunferencia.

A

B

O

t3. epv3. 09/10 7

TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

“la recta tangente es perpendicular al

radio que contiene el punto de tangencia”

T

O

r

t3. epv3. 09/10 8

TANGENCIA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS.

En este caso pueden existir dos situaciones diferentes: que las circunferencias sean

exteriores o que una de ellas sea interior a la otra.

Un aspecto importante a considerar es la distancia entre los centros 01 y O2.

En el caso de que sean exteriores la distancia será igual a la suma de los radios (r1 + r2),

mientras que si son interiores la distancia será la resta del mayor menos el menor (r1-r2).

O1O1 O2

O2r1 r2

r2

r1

t3. epv3. 09/10 9

“la recta tangente a ambas circunferencias es perpendicular a la línea de centros”

Sea cuál sea el caso, siempre se cumplirán dos propiedades:

“el punto de tangencia se encuentra sobre la línea que une los centros”

TT

t3. epv3. 09/10 10

RECTA TANGENTE A CIRCUNFERENCIA

Trazar el radio que contiene

el punto de tangencia T.

Trazar la recta tangente al radio

pasando por el punto P

O

T

O

T

O

t3. epv3. 09/10 11

RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIA PASANDO POR UN PUNTO

T

T’

P

O1

O1

P

O2

T

T’

P

O1

O2

Para trazar las rectas tangentes, necesitamos situar los puntos de

tangencia., que se encuentran en las intersecciones de la

circunferencia dada con otra que pasa por el punto P y el centro 01.

Trazar el segmento P01 y situar su punto medio: 02

Trazar la circunferencia de centro 02 que pasa por 01 y por P y que

corta a la dada en T y T’: puntos de tangencia.

Unir los puntos de tangencia con P.

t3. epv3. 09/10 12

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN CONOCIENDO EL RADIO

O

T

T’

O

Trazar sendas paralelas a cada una de las rectas, separadas

por una distancia igual al radio, hasta que se corten en 0.

Se necesita situar un punto (el centro) que esté

a la misma distancia (el radio) de las dos rectas.

Trazar la circunferencia de radio dado y centro 0.

t3. epv3. 09/10 13

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS PARALELAS

O

T

T’

O

Se necesita situar un punto (el centro) que esté

a la misma distancia (la mitad) de las dos rectas.

Trazar una perpendicular y situar el punto medio 0.

Trazar la circunferencia de centro 0 y radio la mitad de la perpendicular

t3. epv3. 09/10 14

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA CONOCIDO UN PUNTO DE

PASO Y EL PUNTO DE TANGENCIA

TP

T

P

O

Para trazar la circunferencia, sólo se necesita situar el centro,

ya que conocemos dos puntos de paso de la misma

T y P son puntos de paso (cuerda) de la circunferencia,

de manera que su mediatriz pasará por el centro.

La perpendicular a la tangente que pasa por T

es radio de la circunferencia.

t3. epv3. 09/10 15

RECTAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS

O1 O2

P

P’

Trazar la circunferencia concéntrica a la mayor,

con un radio que sea igual a la resta de los dos.

Trazar la circunferencia que pasa por los dos centros.

Corta a la circunferencia anterior en dos puntos P y P’.

t3. epv3. 09/10 16

T

T’

T

T’

T

P’

T

T’

P

T’

Unir 01 con P y con P’ hasta cortar la circunferencia en T y T’, puntos de tangencia.

Trasladar por paralelas directas a la otra circunferencia.

Unir los puntos de tangencia correspondientes en las dos circunferencias.

t3. epv3. 09/10 17

RECTAS TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS

O1 O2

Trazar la circunferencia concéntrica a la mayor,

con un radio que sea igual a la suma de los dos.

O1 O2

P

P’

Trazar la circunferencia que pasa por los dos centros.

Corta a la circunferencia anterior en dos puntos P y P’.

t3. epv3. 09/10 18

T

T’

T

T’

T

T’

T

T’

Unir 01 con P y con P’ hasta cortar la circunferencia en T y T’, puntos de tangencia.

Trasladar por paralelas cruzadas a la otra circunferencia.

Unir los puntos de tangencia correspondientes en las dos circunferencias.

t3. epv3. 09/10 19

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA CONOCIDO EL RADIO

T

O2

O2’

Trazar una semirrecta desde el centro 01 hacia el exterior de la circunferencia.

Desde el punto de corte T, medimos el radio sobre la recta.

Trazar las circunferencias de radio dado y centros 02 y 02’.

t3. epv3. 09/10 20

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA CONOCIDO EL RADIO

Y UN PUNTO DE PASO

T

T’

O2

O2’

O2

O2’

O1P

Trazar un arco de centro P y radio dado (r2).

Trazar otro arco de centro O1 y la suma del dado (r2) y el de la circunferencia (r1).

Las intersecciones son los centros de las circunferencias buscadas.

Hay que buscar los puntos que se encuentran a la misma

distancia (el radio) del punto P y de la circunferencia

Trazar las circunferencias de centro 02 y 02’ y radio r2.

r2

r2

r1

t3. epv3. 09/10 21

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

Y UN PUNTO DE PASO

T

O1

P

T

O1

P

T

O1

O2

P

Unir el centro 01 y T y prolongar (línea de centros)

Trazar la mediatriz del segmento TP, cuerda de la circunferencia

El punto de corte de las 2 rectas anteriores es el centro de la circunferencia buscada.

t3. epv3. 09/10 22

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES

A OTRAS DOS DADAS CONOCIENDO EL RADIO

O1

O2

O3

O3’T

T’

T

T’

O3

O3’

Al ser exteriores, los centros de las circunferencias se

encuentran situados a una distancia igual a la suma de los radios

Sumar los radios de las circunferencias (r1 y r2) y el dado (r3).

Trazar las circunferencias concéntricas de radio

igual a las sumas realizadas que se cortan en 03 y 03’.

Trazar las circunferencias buscadas.

r1

r2

r3

r3

t3. epv3. 09/10 23

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES COMUNES

A OTRAS DOS DADAS CONOCIENDO EL RADIO

T

T

T’T’

O3’

O3

O3’

O3

Trazar las circunferencias concéntricas de radio igual

a las restas realizadas que se cortan en 03 y 03’.

Trazar las circunferencias buscadas.

r1 r2

r3

r3

Al ser interiores, los centros de las circunferencias se

encuentran situados a una distancia igual a la resta de los radios

Restar los radios de las circunferencias (r1 y r2) y el dado (r3).

t3. epv3. 09/10 24

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA

CONOCIENDO EL RADIO

Trazar la recta paralela separada a la distancia del radio.

Trazar la circunferencia concéntrica a la dada y de radio igual a la

suma del dado r2 y el de la circunferencia r1. Cortará a la

paralela en 02 y 02’.

O1

r2

O2 O2’

r2

r1

Trazar las circunferencias buscadas.

T’

O1

O2 O2’

T