PROPIEDADES DE LAS PROPIEDADES DE LAS TANGENCIASTANGENCIAS

Llamamos tangencia a la relación que se establece entre una circunferencia y una recta o entre dos circunferencias,

cuando sólo existe un punto de contacto

entre ambos elementos,al que llamaremos punto de

tangencia.

Cuando una circunferencia y una recta son tangentes,

dicha recta y el radio de la circunferencia que pasa por el punto de tangencia,

son perpendiculares.

T

PROPIEDADES DE LAS PROPIEDADES DE LAS TANGENCIASTANGENCIAS

Llamamos tangencia a la relación que se establece entre una circunferencia y una recta o entre dos circunferencias,

cuando sólo existe un punto de contacto

entre ambos elementos,al que llamaremos punto de

tangencia.Dos circunferencias pueden ser tangentes exteriores o

interiores.Pero en los dos casos los centros estarán alineados con el

punto de tangencia.De manera que la distancia entre los centros se obtendrá

sumando o restando radios.Exteriores: distancia entre centros r1 + r2r1 + r2

Interiores: distancia entre centros r1 - r2r1 - r2

r1 r2

r1r2

T

T

CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES GEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS

La mediatriz de cualquier cuerda de la circunferencia pasa siempre por el centro de la misma.

A

B

La mediatriz de cualquier segmento,contiene los centros de las infinitas circunferencias que pasan por los extremos de dicho segmento.

La bisectriz del ángulo formado por dos rectas concurrentes pasa por el centro de cualquier circunferencia tangente a ambas rectas.

CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES GEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS

De manera análoga a lo que sucede con la mediatriz, la bisectriz de cualquier ángulo contiene los centros de todas las circunferencias tangentes a las rectas que lo definen.

RECTAS TANGENTES IRECTAS TANGENTES I

TRAZADO DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA CONOCIDO EL

PUNTO DE TANGENCIA, T.

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIAPARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA.

T

T1

T2

-Trazar el radio que pasa por el punto de tangencia T.

- Trazar una perpendicular al radio por T.

-Trazar una recta perpendicular a la dirección

que pase por el centro de la circunferencia:

(así obtenemos los dos puntos de tangencia).

-Trazar paralelas a la dirección dada

por los puntos de tangencia, T1 y T2.

T

RECTAS TANGENTES IIRECTAS TANGENTES IITRAZADO LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA CONOCIDO UN PUNTO EXTERIOR DE PASO, P.

Las dos rectas tangentes a la circunferencia serán, por definición,

perpendiculares a los radios que pasan por los puntos de tangencia.

Así, construyendo el arco capaz de 90º del segmento OP

situamos los puntos de tangencia, donde corte a la circunferencia.

PM

-Trazar la mediatriz del segmento OP.

T1

T2

O

P

-Trazar una circunferencia de centro M y radio MP:

corta a la circunferencia dada en los puntos de tangencia, T1 y T2.

-Unir P con T1 y T2.

r

r

RECTAS TANGENTES IIIRECTAS TANGENTES III

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Por DILATACIÓNDILATACIÓNPara realizar este ejercicio nos vamos a basar

en el caso anterior.Para ello, tendremos que convertir una

circunferencia en un punto,mediante un proceso que se denomina

dilatacióny que consiste en restar el radio menor a ambas

circunferencias.

- Dos circunferencias son, por definición, siempre homotéticas.- Dos rectas tangentes a dos circunferencias cualesquiera definen siempre una relación de homotecia: se cortan en el centro de homotecia.

RECTAS TANGENTES IIIRECTAS TANGENTES III

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Por HOMOTECIAHOMOTECIA

CHD

r

r

RECTAS TANGENTES IVRECTAS TANGENTES IV

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Por DILATACIÓNDILATACIÓN

Para realizar este ejercicio también nos basaremos en el mismo caso.

Con la única diferencia que ahora sumaremos el radio menor,

a la circunferencia de radio mayor.

- Dos circunferencias son, por definición, siempre homotéticas.- Dos rectas tangentes a dos circunferencias cualesquiera definen siempre una relación de homotecia: se cortan en el centro de homotecia.

CHI

RECTAS TANGENTES IVRECTAS TANGENTES IV

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Por HOMOTECIAHOMOTECIA

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES I TANGENTES I

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA CONOCIDO EL RADIO Y EL PUNTO DE TANGENCIA.

r

T

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE

A DOS RECTAS CONCURRENTES CONOCIDO EL RADIO

r

r

r

T1

T2

TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA CONOCIDO EL RADIO Y UN PUNTO EXTERIOR DE PASO.

P

T2

T1

r

r

r

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES II TANGENTES II

r

TRAZADO DE UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA

Y A OTRA CIRCUNFERENCIA DADA CONOCIDO EL RADIO.

TRAZADO DE UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTEA OTRA DADA CONOCIDO EL RADIO.r

r

r

r

r

r

r

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES III TANGENTES III

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE

A DOS RECTAS CONCURRENTES CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

SOBRE UNA DE ELLAS.

T1

T2

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA Y OTRO PUNTO DE PASO.

T

P

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA Y UN PUNTO DE PASO.

P

T

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES IV TANGENTES IV

TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES A OTRA DADA CONOCIDO EL RADIO Y UN PUNTO DE PASO.

r

Pr

r

TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES A OTRA DADA CONOCIDO EL RADIO Y UN PUNTO DE PASO.

r

P

r

r

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES V TANGENTES V

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS DADAS , SIENDO INTERIOR A UNA Y EXTERIOR A OTRA, CONOCIDO EL RADIO

r

r

r