Enunciados Examenes Fisica Selectividad PAU UNED 2011-2013

ENUNCIADOS

EXAMENES

FISICA

UNED

Prueba de Acceso a la

Universidad (PAU)

2011-2014

FÍSICA

Criterios específicos de corrección y calificación

PAU-Selectividad

En la asignatura de FÍSICA se presentan al estudiante dos opciones de examen que se denominan OPCIÓN A y OPCIÓN B, cada una de ellas está formada por dos problemas. El estudiante debe escoger solamente una de las dos opciones y proceder a su resolución. La corrección y calificación se ajustará en la medida de lo posible a los siguientes criterios específicos:

• Cada uno de los dos problemas propuestos en la OPCIÓN escogida se calificará con una puntuación máxima de 5 puntos, cuando la respuesta sea correctamente planteada, justificada y con una solución correcta.

• Si el enunciado del problema tiene varios apartados, la puntuación total

se repartirá, en partes iguales, entre ellos a menos que se indique lo contrario de forma explícita en la hoja de examen.

• La puntuación máxima asignada al problema y, en consecuencia, a cada

uno de los apartados, se verá mermada a consecuencia de los errores cometidos.

• Se valorará positivamente la realización de esquemas, diagramas y dibujos, así como la inclusión detallada de los diferentes pasos.

• Es muy importante que el estudiante tenga presente el orden en la

realización y presentación del examen, explicando y justificando todos los pasos realizados, efectuar las operaciones de manera correcta y expresar los resultados en las unidades adecuadas.

A modo de guía y con la idea de uniformizar las correcciones os sugiero los siguientes criterios de corrección:

- En el caso de que las unidades no estén bien utilizadas penalizar la nota del alumno.

- En caso de que el alumno no haya explicado correctamente las cosas que hace se penalizará la calificación.

- Debe penalizarse una presentación incorrecta o sucia de los ejercicios.

- Deben penalizarse los fallos idiomáticos y las incorrecciones gramaticales.

• En la corrección de los exámenes se tendrá presente la capacidad

expresiva y la corrección idiomática de los estudiantes (corrección sintáctica y ortográfica, puntuación apropiada y adecuada presentación).

http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/Clases Online de Matematicas, Fisica, Quimica, Estadistica, Analisis de Datos y SPSS [email protected]

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AÑO 2011

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FÍSICA


PAU-Selectividad

En la asignatura de FÍSICA se presentan al estudiante dos opciones de examen que se denominan OPCIÓN A y OPCIÓN B, cada una de ellas está formada por dos problemas. El estudiante debe escoger solamente una de las dos opciones y proceder a su resolución. La corrección y calificación se ajustará en la medida de lo posible a los siguientes criterios específicos:

• Cada uno de los dos problemas propuestos en la OPCIÓN escogida se calificará con una puntuación máxima de 5 puntos, cuando la respuesta sea correctamente planteada, justificada y con una solución correcta.

• Si el enunciado del problema tiene varios apartados, la puntuación total

se repartirá, en partes iguales, entre ellos a menos que se indique lo contrario de forma explícita en la hoja de examen.

• La puntuación máxima asignada al problema y, en consecuencia, a cada

uno de los apartados, se verá mermada a consecuencia de los errores cometidos.

• Se valorará positivamente la realización de esquemas, diagramas y dibujos, así como la inclusión detallada de los diferentes pasos.

• Es muy importante que el estudiante tenga presente el orden en la

realización y presentación del examen, explicando y justificando todos los pasos realizados, efectuar las operaciones de manera correcta y expresar los resultados en las unidades adecuadas.

A modo de guía y con la idea de uniformizar las correcciones os sugiero los siguientes criterios de corrección:

- En el caso de que las unidades no estén bien utilizadas penalizar la nota del alumno.

- En caso de que el alumno no haya explicado correctamente las cosas que hace se penalizará la calificación.

- Debe penalizarse una presentación incorrecta o sucia de los ejercicios.

- Deben penalizarse los fallos idiomáticos y las incorrecciones gramaticales.

• En la corrección de los exámenes se tendrá presente la capacidad

expresiva y la corrección idiomática de los estudiantes (corrección sintáctica y ortográfica, puntuación apropiada y adecuada presentación).


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AÑO 2012

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FÍSICA


PAU-Selectividad

En la asignatura de FÍSICA se presentan al estudiante dos opciones de examen que se

denominan OPCIÓN A y OPCIÓN B, cada una de ellas está constituida por 4 ejercicios.

El estudiante deberá escoger solamente una de las dos opciones y realizar los ejercicios

planteados en la misma. Los ejercicios pueden consistir en simples cuestiones o problemas

con apartados. La puntuación de cada ejercicio o apartado aparecerá al final del mismo y

puede variar dependiendo del grado de dificultad o del tiempo de resolución estimado.

La corrección y calificación tendrá en cuenta los siguientes criterios:

La respuesta a cada ejercicio será calificada con la puntuación máxima (indicada al

final del mismo) cuando la solución del estudiante esté correctamente planteada, el

desarrollo bien justificado y al final se obtenga la solución correcta.

Se valorará positivamente la realización de esquemas, diagramas y/o dibujos, así como el razonamiento detallado de los diferentes pasos.

Es importante presentar los resultados con las unidades adecuadas.

Es importante respetar la naturaleza vectorial o escalar de las magnitudes con las que se operan.

Penalizará una mala presentación de las respuestas a los ejercicios.


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AÑO 2013

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NOTA IMPORTANTE:

Este documento incluye DOS MODELOS DE EXAMEN llamados OPCIÓN A y

OPCIÓN B. Cada una de las opciones está compuesta de cuatro ejercicios que podrán

contener apartados. La puntuación máxima de cada ejercicio y/o apartado aparece al final

del mismo.

El alumno deberá elegir una opción y responder a los ejercicios planteados en la

misma. La opción elegida deberá estar claramente indicada en el examen, así como el

ejercicio al que se está respondiendo.

En algunos ejercicios no se proporcionan datos numéricos, sino símbolos o expresiones

que representan variables. En tal caso deberá desarrollar el problema operando con los

símbolos.

En caso de que se responda a ejercicios de ambas opciones sólo se considerarán

aquellos pertenecientes a la opción del primer ejercicio que aparezca en las hojas de

respuesta.

Está permitido el uso de calculadora científica NO PROGRAMABLE.

OPCIÓN A

1. Se quiere poner un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra. Para ello, se lanza

desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 5 km/s.

-Calcular la altura máxima alcanzada. (1,5 puntos)

-Cuando el satélite alcanza la altura máxima se le impulsa para que describa una órbita

circular alrededor de la Tierra. Determinar la velocidad con la que se le debe impulsar para

que tenga lugar el movimiento circular bajo la acción del campo gravitatorio terrestre. (1,5

puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Primero debemos averiguar cuál es la altura máxima alcanzada. Si elegimos el origen de

energía potencial ( 0U ) cuando r , la expresión de la energía potencial en función de

la altura es

r

mMGU T .

Por lo tanto, igualando energías en la superficie de la Tierra y en la altura máxima tenemos

que:

r

mMG

R

mMGmv T

T

T 2

2

1,

de donde despejamos la altura máxima 7959 km.r

Una vez que el satélite está a la altura r, para que describa una órbita circular alrededor de

la Tierra a esa distancia se debe cumplir:



2

2

r

mMG

r

vm T ,

de donde obtenemos la velocidad que debe tener en esa órbita 7,079 km/sv .

2. Un segmento de alambre conductor por el que circula una corriente de intensidad I

viene definido por la diagonal de un cubo imaginario de lado a , tal y como se muestra en

la figura. Si se introduce en un campo magnético uniforme BB k , encontrar el vector

fuerza magnética ejercida por el campo sobre el segmento de hilo en función de los datos

del enunciado. (3 puntos)

X

Y

Z

I

Solución

El vector que define el segmento diagonal es , ,a a a , de módulo 3a . La fuerza

magnética sobre éste es

I F L B

0 0

l B a a a Ba

B

i j k

i j

Finalmente obtenemos

I IBa F L B i j

3. El ángulo límite de reflexión total para un rayo de luz monocromática que pasa de un

determinado medio al aire es 42º. Calcular la velocidad de propagación de la luz en el

medio. (2 puntos)

Datos: aire

1n . 83 10 m/sc .

Solución

La ley de la refracción establece que

sin sini i r r

n n

o en términos de velocidad de propagación

sin sini r

i rv v

En el caso de la reflexión total tenemos que 90ºr

, así que despejando * 8sin 2,007 10 m/s

i aire iv v

4. Explicar muy brevemente la principal diferencia entre:

- Ondas transversales y ondas longitudinales. (1 punto)

- Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. (1 punto)

Solución

En las ondas transversales la perturbación que se propaga es perpendicular a la dirección de

propagación, mientras que en las ondas longitudinales la perturbación tiene la misma

dirección.

Para la propagación de las ondas mecánicas es necesario un medio material, mientras que

en el caso de las ondas electromagnéticas no es necesario, estas se propagan en el vacío.

OPCIÓN B

1. En relatividad general, el horizonte de sucesos es una superficie imaginaria de forma

esférica que rodea a un agujero negro, en la cual la velocidad de escape necesaria para

alejarse del mismo coincide con la velocidad de la luz (3×108 m/s). Por ello, ninguna cosa

dentro de él, incluyendo los fotones (partículas que “componen” la luz), puede escapar

debido a la atracción de un campo gravitatorio extremadamente intenso. Supongamos que

en la etapa final de nuestro Sol, éste colapsa gravitatoriamente debido a la atracción

gravitatoria provocada por su propia masa. Esto significa que su radio comienza a disminuir

con el tiempo y su densidad aumenta. Sabiendo que la masa del Sol es aproximadamente de

2×1030 kg, calcular el radio máximo que debería tener el nuevo objeto (lo que podría

identificarse con su horizonte de sucesos) para que pudiera considerarse como un agujero

negro. (2 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución:

La velocidad de escape de un campo gravitatorio creado por una masa M, a una distancia R

de la misma, tiene la forma:

2e

GMv

R ,

En nuestro caso, para calcular el horizonte de sucesos tenemos que considerar que esa

partícula es un fotón que se mueve a la velocidad de la luz c. Así pues tenemos:

2Sol

GMc

R .

Despejando obtenemos el radio de nuestra estrella convertida en agujero negro:

3 kmR

2. Un modelo muy simple de neutrón consiste en considerar a dicha partícula como una

esfera de radio 2R compuesta de dos partes. Por un lado tenemos un núcleo de radio 1

R

1 2R R cargado positivamente con carga e , rodeado por una corteza esférica de radio

interno 1

R y radio externo 2

R con carga e . En ambas partes la carga está distribuida

uniformemente en el volumen que ocupa. Encuéntrese la magnitud y dirección del campo

eléctrico creado por este “neutrón” para:

a) 10 Rr (1 punto)

b) 21 RrR (1,5 puntos)

c) 2

r R (0,5 puntos)

Solución

Este problema se resuelve de forma muy sencilla aplicando el teorema de Gauss

interiorˆ 4

SdA kQ E n ,

y considerando superficies esféricas concéntricas de radio r, ya que en este caso tenemos

http://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_escape

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz

http://es.wikipedia.org/wiki/Fot%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatorio

interior

2

( )ˆ( )

kQ rr

rE n

siendo n̂ el vector unitario normal a la superficie de la esfera considerada apuntando hacia

afuera (también considerado como vector radial) .

a) Cuando 10 Rr tenemos que 3

3

interior 33

11

4( ) ( )

43

3

e rQ r V r r e

RR

3

1

ˆ( ) ke

r rR

E n

b) Cuando 21 RrR tenemos que

3 3

3 3 1

interior 1 3 33 3

2 12 1

4( ) 1

43

3

e r RQ r e r R e

R RR R

3 3

2

2 3 3

2 1

ˆ( ) ke R r

rr R R

E n

c) Cuando 2

r R tenemos que

interior( ) 0Q r e e

ˆ( ) 0 r E n

3. Considérese un movimiento armónico simple de amplitud 5 cm, frecuencia 0,5 Hz y fase

inicial radianes (también denominada constante de fase).

- Obtener las ecuaciones de la posición x, la velocidad v y la aceleración a en función del

tiempo. (1 punto)

- Representar gráficamente x, v y a en función de tiempo (no es necesario una

representación exacta, basta simplemente con indicar los valores máximos y mínimos de

cada función, los puntos de corte con los ejes y la forma de las funciones). (1,5 puntos)

Solución

La solución general de la ecuación del movimiento armónico simple es

2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t

En nuestro caso tenemos que la frecuencia angular es = rad/s y las ecuaciones del movimiento tendrán la forma:

2

5cos( ) cm

15,7sin( ) cm/s

49,3cos( ) cm/s

x t

v t

a t


Se trata de funciones sinusoidales de periodo 2 sT .

4. Calcular la energía de enlace nuclear del 6

3 Li sabiendo que la masa del núcleo es 6,01348

u. (2,5 puntos)

Datos: mp = 1,00728 u, mn = 1,00867 u, c2 = 931,5 MeV/u.

Solución

La energía liberada es obtenida a partir del defecto másico:

2 2

Li3 3 32,02 MeVp nE m c m m m c

0.5 1 1.5 2

-4

-2

2

4

0.5 1 1.5 2

-15

-10

-5

5

10

15

0.5 1 1.5 2

-40

-20

20

40

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Para poner un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra se lanza desde su

superficie con una velocidad de 7 km/s.

-Calcular la altura máxima alcanzada. (1,5 puntos)

-Cuando el satélite alcanza la altura máxima se le impulsa para que describa una órbita

circular alrededor de la Tierra. Determinar la velocidad con la que se le debe impulsar para

que tenga lugar el movimiento circular bajo la acción del campo gravitatorio terrestre. (1,5

puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Primero debemos averiguar cuál es la altura máxima alcanzada. Si elegimos el origen de

energía potencial ( 0U ) cuando r , la expresión de la energía potencial en función de

la altura es

r

mMGU T .

Por lo tanto, igualando energías en la superficie de la Tierra y en la altura máxima tenemos

que:

r

mMG

R

mMGmv T

T

T 2

2

1,

de donde despejamos la altura máxima 10464 km.r

Una vez que el satélite está a la altura r, para que describa una órbita circular alrededor de

la Tierra a esa distancia se debe cumplir:


2

2

r

mMG

r

vm T ,

de donde obtenemos la velocidad que debe tener en esa órbita 6,174 km/sv .

2. Tenemos un tubo que podemos considerar infinitamente largo, cuya sección tiene 2 cm

de radio interior y 3 cm de radio exterior. En el tubo se distribuye uniformemente una carga

de 3 μC por metro lineal de tubo (densidad lineal de carga 13 μC m ).

Datos: 9 2 29 10 Nm Ck . - ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del eje del tubo? (1 punto)

- ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto situado a 10 cm del eje del tubo? (1,5 puntos)

Solución

Podemos calcular el campo eléctrico de forma muy sencilla aplicando el teorema de Gauss

interiorˆ 4

SdA kQ E n ,

y considerando superficies cilíndricas de radio r y longitud L coaxiales con el tubo. Como

consecuencia de la simetría del problema, el campo será perpendicular a la dirección del

tubo y su módulo dependerá exclusivamente de la distancia radial r del punto de

observación al eje del tubo. Como el campo será perpendicular al vector superficie de las

dos bases de la superficie cilíndrica considerada, sólo la superficie lateral, de área

2A rL , contribuirá al flujo, por lo que obtenemos

interior2

ˆ( )kQ

rLr

E n

siendo n̂ el vector unitario normal a la dirección del tubo en el punto considerado.

En el interior de un cilindro de radio 1 cm la carga encerrada es nula, por lo que

ˆ(1 cm) 0 E n

Si consideramos un cilindro de radio 10 cm, la carga encerrada será

interiorQ L ,

de modo que obtenemos

52ˆ ˆ( ) 5,4 10 N/C

kr

r

E n n

3. Un objeto oscila en el eje X con un movimiento armónico simple de frecuencia angular

8,0 rad/s alrededor de su posición de equilibrio ( 0 cmx ). Sabiendo que en el instante

inicial el objeto se encuentra en 4x cm con una velocidad v = -25 cm/s, obtener la ecuación completa de la posición en función del tiempo. (2,5 puntos)

Solución


cos( )

sin( )

x A t

v A t

En nuestro caso tenemos = 8,0 rad/s. Sustituimos las condiciones iniciales


(0) 4 cos( ) cm

(0) 25 8 sin( ) cm/s

x A

v A

Si dividimos ambas ecuaciones y despejamos obtenemos la fase

(0) 25 258tan( ) arctan 0,663 rad

(0) 4 32

v

x

Ahora podemos calcular la amplitud

4(0) 4 cos( ) cm 5,08 cm

cosx A A

por lo que la ecuación del movimiento será

5,08cos(8 0,663) cmx t

4. Un cuerpo tiene una masa de 6,6310-6 g y se mueve a una velocidad de 10-6 m/s. La

longitud de onda de De Broglie asociada a esta partícula es:

a) menor que el tamaño de los núcleos atómicos.

b) mayor que el tamaño de los núcleos atómicos.

c) aproximadamente igual.

Escoger la opción correcta y justificar la elección sabiendo que el radio de un núcleo

atómico es del orden de 10-15 m. (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

Solución

Todas las partículas que viajan con un momento lineal p tienen asociada una onda cuya

longitud de onda viene determinada por la longitud de onda de De Broglie:

1910 mh h

p mv .


OPCIÓN B

1. Un proyectil es lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad

inicial de 20 km/s. Explicar razonadamente qué sucederá con el proyectil y calcular el

estado final de su movimiento despreciando la interacción con otros astros. (2,5 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

Solución

La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre desde la superficie de la Tierra es

211,2 km/sT

e

T

GMv

R

Como la velocidad inicial es mayor, el proyectil escapará del campo terrestre y se alejará

indefinidamente siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la dirección inicial del

lanzamiento. Su movimiento será decelerado tendiendo a una velocidad límite constante (ya

que no actúan más fuerzas sobre el proyectil). Aplicando conservación de la energía

mecánica podemos obtener la velocidad límite:

, ,

2 2

0

1 10

2 2

c i i c f f

T

f

T

E U E U

GM mmv mv

R

Despejando se obtiene 2 2 2

0 0

216,57 km/sT

f e

T

GMv v v v

R

2. En una misma región del espacio coexisten un campo eléctrico uniforme de módulo

0,5104 V/m y un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo sus direcciones

perpendiculares entre sí. ¿Cuál debería ser la energía cinética de un protón que penetra en

esa región con dirección perpendicular a ambos campos para que pase a través de la misma

sin ser desviado? (2 puntos)

Datos: 271,7 10 kgp

m

Solución

Cuando el protón penetra dentro de esta región se verá sometido a las fuerzas producidas

por los dos campos. Al ser v perpendicular a ambos campos, ambas fuerzas tendrán la

misma dirección. Para que la carga no se desvíe las dos fuerzas deberán tener sentidos

opuestos y mismo módulo. Igualando módulos

e mF F qE qvB

obtenemos que el módulo de la velocidad debe ser:

41,67 10 m/sE

vB

y su energia cinética:

2 1912,36 10 J

2cE mv

3. Supongamos que hacemos oscilar verticalmente el extremo izquierdo (origen de

coordenadas) de una cuerda tensa, situada horizontalmente, realizando un movimiento

armónico simple de frecuencia 10 Hz y amplitud 5 cm. En el instante inicial ( 0t ) el

desplazamiento vertical del extremo que oscila es nulo y se mueve hacia abajo. Obtener la

ecuación de la onda armónica transversal generada y la velocidad de propagación, sabiendo

que la distancia entre dos picos consecutivos es de 20 cm. (2,5 puntos)

Solución

La ecuación general de una función de onda armónica que se propaga en el sentido positivo

del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .

Ahora debemos calcular cada magnitud a partir de los datos del enunciado:

0,05 m

2 231,4 rad/m

0,2

2 2 10 62,8 rad/s

=0 rad (porque se mueve hacia abajo, velocidad negativa)

A

k

f

por lo que la función de onda será

( , ) 0,05 sen(31,4 62,8 ) my x t x t .

La velocidad de propagación será

2 m/sv f .

4. Responder a las siguientes cuestiones sobre física nuclear:

- Explicar razonadamente por qué a medida que aumenta el número atómico en átomos

estables, aumenta la fracción entre el número de neutrones y el número de protones. (1

punto)

Solución

La relación entre el número de protones y el de neutrones es clave para la estabilidad del

núcleo. A medida que los átomos son más pesados (Z aumenta), es necesario un mayor

número de neutrones para conseguir que las fuerzas atractivas hadrónicas compensen las

fuerzas de repulsión eléctrica entre los protones, y de esa forma conseguir que el núcleo sea

estable.

- Complétese los números atómicos y másicos de los elementos que intervienen en la

siguiente secuencia de desintegraciones radiactivas. Los elementos están representados

mediante la pareja A

Z

. Recordamos que en la desintegración

se emiten electrones. (2

puntos)


227 ... ... ... ... ...

89

207 ... ... ... ...

82

Solución

Debemos tener en cuenta que:

Desintegración : 4

2

A A

Z Z

Desintegración : 1

A A

Z Z

Desintegración : A A

Z Z

227 227 223 219 219 215

89 90 88 86 86 84

211 211 207 207 207

82 83 81 81 82


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Se quiere poner un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia de

10000 km de su centro. Calcular la velocidad con la que debemos lanzarlo desde la

superficie de la Tierra para que la altura máxima coincida con el radio de la órbita. (2

puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Si elegimos el origen de energía potencial ( 0U ) cuando r , la expresión de la

energía potencial en función de la altura es

r

mMGU T .

Si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica podemos igualar la

energía del satélite en la superficie de la Tierra y en la altura máxima:

21

2

T T

T

M m M mmv G G

R R .

de donde despejamos la velocidad inicial del lanzamiento 6,74 km/sv .

2. Un modelo muy simple de neutrón consiste en considerar a dicha partícula como una

esfera de radio 2R compuesta de dos partes. Por un lado tenemos un núcleo de radio 1

R

1 2R R cargado positivamente con carga e , rodeado por una corteza esférica de radio

interno 1

R y radio externo 2

R con carga e . En ambas partes la carga está distribuida


uniformemente en el volumen que ocupa. Encuéntrese la magnitud y dirección del campo

eléctrico creado por este “neutrón” para:

a) 10 Rr (1 punto)

b) 21 RrR (1,5 puntos)

c) 2

r R (0,5 puntos)

Solución


interiorˆ 4

SdA kQ E n ,


interior

2

( )ˆ( )

kQ rr

rE n



a) Cuando 10 Rr tenemos que 3

3

interior 33

11

4( ) ( )

43

3

e rQ r V r r e

RR

3

1

ˆ( ) ke

r rR

E n

b) Cuando 21 RrR tenemos que

3 3

3 3 1

interior 1 3 33 3

2 12 1

4( ) 1

43

3

e r RQ r e r R e

R RR R

3 3

2

2 3 3

2 1

ˆ( ) ke R r

rr R R

E n

c) Cuando 2

r R tenemos que

interior( ) 0Q r e e

ˆ( ) 0 r E n

3. Tenemos una fuente de luz roja de longitud de onda =700 nm en el aire. Sabiendo que

el ángulo límite de reflexión total de esa luz cuando pasa de un determinado medio al aire

es 42º, calcular la longitud de onda de esa luz cuando se propaga en el medio. (2,5 puntos)

Datos: aire

1n . 83 10 m/sc .

Solución

Necesitamos calcular la velocidad de propagación de la luz en el medio o bien el índice de

refracción del medio. La ley de la refracción de Snell en términos de la velocidad de

propagación es

sin sini r

i rv v



i aire iv v .

La longitud de onda de la luz en el medio será

334,6 nm/

n

ic v

Resolviendo el problema en términos del índice de refracción tenemos

sin sini i r r

n n

y

11,495

sini

i

n

La longitud de onda de la luz en el medio será

334,6 nmn

in

4. Supongamos que hacemos oscilar verticalmente el extremo izquierdo (origen de

coordenadas) de una cuerda tensa, situada horizontalmente, realizando un movimiento

armónico de amplitud 10 cm y 10 oscilaciones por segundo. En el instante inicial ( 0t ) el

desplazamiento vertical del extremo que oscila es máximo. Obtener la ecuación de la onda

armónica transversal generada sabiendo que en 5 s la onda recorre una distancia de 10 m.

(2,5 puntos)

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


0,1 m

2 2 10 62,8 rad/s

= rad2

A

f

Para calcular el número de onda k necesitamos la longitud de onda, dato que podemos

calcular a partir de la velocidad de la onda

102 m/s

5

sv

t

Como v f tenemos que

2 20,2 m 31,4 rad/m

0,2

vk

f


( , ) 0,1 sen(31,4 62,8 ) m2

y x t x t

.


OPCIÓN B

1. El radio de la órbita terrestre alrededor del Sol es de 1,46×1011 m y el de Urano es de

2,87×1012 m. Aplicar la tercera Ley de Kepler para calcular el período de la órbita de

Urano. (2 puntos)

Solución

La Tercera Ley de Kepler se formula de la siguiente forma 2 3T R .

Entonces tenemos

3

387,16 añosUrano

Urano Tierra

Tierra

RT T

R

2. Dos conductores rectilíneos infinitamente largos están situados en planos

perpendiculares tal y como se muestra en la figura. La dirección del conductor 1 coincide

con el eje Y, y por él circula una corriente en el sentido positivo de intensidad 1I . La

corriente que circula por el conductor 2 es 2I y tiene la dirección del eje Z y sentido

negativo (entrando en el papel), cortando al eje X a una distancia d del origen. Calcular el

vector inducción magnética en el punto / 2,0,0d en función de los datos del enunciado.

(2,5 puntos)

Datos: El módulo del campo magnético producido por un conductor rectilíneo

infinitamente largo por el que circula una corriente I, a una distancia r perpendicular al

mismo es 0

2

IB

r

.

Solución

El campo magnético en el punto / 2,0,0d producido por el conductor 1 vale:

0 11

I

d

B k ,

donde hemos aplicado la regla de la mano derecha para obtener la dirección y sentido.

I1

I2

d

Para el conductor 2 tenemos

0 22

I

d

B j

El campo magnético resultante será

01 2 1 2I I

d

B B B k j

3. Tenemos dos masas idénticas de 1 kg. Cada una se encuentra sujeta a un muelle fijo que

descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los muelles son iguales y de

constante 100 N/mk . Un muelle se estira 10 cm y el otro 5 cm. Si se dejan en libertad al

mismo tiempo ( 0 st ) - ¿Cuál de las dos masas pasará primero por la posición de equilibrio? Razonar la respuesta.

(1 punto)

- Representar en la misma gráfica la posición de ambos objetos en función del tiempo (no

es necesario una representación exacta, basta simplemente con indicar los valores máximos

y mínimos de cada función, los puntos de corte con los ejes y la forma de las funciones) (2

puntos)

Solución

El periodo de la oscilación sólo depende de k y de m, pero no de la amplitud de la

oscilación, por lo que los periodos serán iguales y los objetos tardarán el mismo tiempo en

pasar por la posición de equilibrio. El primer objeto tiene que recorrer una distancia doble

pero también tiene una velocidad media doble.

De las condiciones del enunciado está claro que las masas realizarán un movimiento

armónico simple, cuya ecuación de movimiento es

cos( )x A t

con 2 / T . En nuestro caso tenemos que

/ 10 rad/sk m

en ambos casos y fase inicial

0

ya que (0)x A . Por consiguiente, las funciones a representar serán

1

2

10cos(10 ) cm

5cos(10 ) cm

x t

x t

ambas con el mismo periodo / 5 0,63 sT . Serán dos funciones sinusoidales con el

mismo periodo pero distinta amplitud.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-10

-5

5

10

4. Calcular la energía liberada en la reacción de fusión de cuatro núcleos de hidrógeno para

formar un núcleo de helio: 1 4

1 24 H He 2e ,

sabiendo que la masa del núcleo 4

2 He es 4,0015 u, la masa del núcleo 1

1H es 1,0073 u y la

masa del positrón e es 5,4910-4 u. (2,5 puntos)

Datos: 2 931,5 MeV / uc .

Solución

42

2 2 2

He( ) 4 2 24,7 MeVi f p e

Q m c m m c m m m c

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Queremos poner un satélite en una órbita circular alrededor de la Tierra con radio 8000

km. Calcular la velocidad con la que debemos lanzarlo desde la superficie de la Tierra para

que la altura máxima coincida con el radio de la órbita. (2 puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución



r

mMGU T .


energía del satélite en la superficie de la Tierra y en la altura máxima:

21

2

T T

T

M m M mmv G G

R R .


2. Un segmento de alambre conductor por el que circula una corriente de intensidad I

viene definido por la diagonal de un cubo imaginario de lado a , tal y como se muestra en

la figura. Si se introduce en un campo magnético uniforme BB k , encontrar el vector

fuerza magnética ejercida por el campo sobre el segmento de hilo en función de los datos

del enunciado. (3 puntos)


X

Y

Z

I

Solución

El vector que define el segmento diagonal es , ,a a a , de módulo 3a . La fuerza

magnética sobre éste es

I F L B

0 0

l B a a a Ba

B

i j k

i j

Finalmente obtenemos

I IBa F L B i j

3. Supongamos que tensamos una cuerda de masa 200 g y longitud 40 cm sujetando el

extremo izquierdo y tirando del extremo derecho con una fuerza de 2 N. Ahora hacemos

oscilar verticalmente el extremo izquierdo (origen de coordenadas) con un movimiento

armónico simple de periodo 0,1 s y amplitud 5 cm. En el instante inicial ( 0t ) el

desplazamiento vertical del extremo que oscila es nulo moviéndose hacia abajo. Obtener la

ecuación de la onda armónica transversal generada. (2,5 puntos)

Datos: La velocidad v de una onda en una cuerda de densidad de masa lineal (masa por

unidad de longitud) sometida a una tensión F es /v F .

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


0,05 m

2 / 2 / 0,1 62,8 rad/s


A

T

Para calcular el número de onda k necesitamos la longitud de onda, dato que podemos

calcular a partir de la velocidad de la onda


2 m/sF LF

vm


2 20,2 m 31,4 rad/m

0,2

vk

f


( , ) 0,05 sen(31,4 62,8 ) my x t x t .

4. Calcular la energía de enlace nuclear del 6

3 Li sabiendo que la masa del núcleo es 6,01348

u. (2,5 puntos)

Datos: mp = 1,00728 u, mn = 1,00867 u, c2 = 931,5 MeV/u.

Solución

La energía liberada es obtenida a partir del defecto másico:

2 2

Li3 3 32,02 MeVp nE m c m m m c

OPCIÓN B

1. Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del periodo orbital de un planeta es

directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica o

distancia media. Suponiendo que estamos tratando de órbitas circulares, calcular el factor

de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo 2T y el cubo del radio de la órbita 3R

para los planetas del sistema solar que orbitan alrededor del Sol. (2 puntos)

Solución

Como la fuerza de atracción gravitatoria del Sol es la responsable del movimiento orbital de

los planetas del sistema solar podemos escribir: 2 2

2 2 3

2 2

4 4 S

S

mMG m R m R T R

R T GM

de modo que el factor de proporcionalidad será 24

SGM

.

2. Tenemos un tubo que podemos considerar infinitamente largo, cuya sección tiene 2 cm

de radio interior y 3 cm de radio exterior. En el tubo se distribuye uniformemente una carga

de 3 μC por metro lineal de tubo (densidad lineal de carga 13 μC m ).

Datos: 9 2 29 10 Nm Ck . - ¿Calcular la densidad volumétrica de carga del tubo (carga por unidad de volumen)? (1

punto)

- ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto situado a 2,5 cm del eje del tubo? (2 puntos)

Solución

En 1 m de tubo tenemos una carga total de 3 μC . El volumen del tubo con esa longitud

será

2 2 3 3

2 1 1,57 10 mV R R ,

por lo que la densidad de carga volumétrica será:

3 31,91 10 C/mq

V .

Podemos calcular el campo eléctrico de forma muy sencilla aplicando el teorema de Gauss

interiorˆ 4

SdA kQ E n ,

y considerando superficies cilíndricas de radio r y longitud L coaxiales con el tubo. Como

consecuencia de la simetría del problema, el campo será perpendicular a la dirección del

tubo y su módulo dependerá exclusivamente de la distancia radial r del punto de

observación al eje del tubo. Como el campo será perpendicular al vector superficie de las

dos bases de la superficie cilíndrica considerada, sólo la superficie lateral, de área

2A rL , contribuirá al flujo, por lo que obtenemos

interior2

ˆ( )kQ

rLr

E n


http://es.wikipedia.org/wiki/Semieje_mayor

siendo n̂ el vector unitario normal a la dirección del tubo en el punto considerado.

Si consideramos un cilindro de radio 2,5 cm, la carga encerrada estará comprendida entre el

radio interior R1 de 2 cm y el radio r del cilindro 2,5 cm:

2 2

interior 1Q V r R L ,

de modo que obtenemos

2 2

1 52

ˆ ˆ( ) 9,72 10 N/Ck r R

rr

E n n

3. Una masa oscila con un movimiento armónico simple en la dirección del eje X alrededor

de su posición de equilibrio ( 0 cmx ) con un periodo de 10 s. Sabiendo que en el instante

inicial el objeto se encuentra en 1x cm con una velocidad v= -15 cm/s, obtener la ecuación completa de la posición en función del tiempo. (2,5 puntos)

Solución


cos( )

sin( )

x A t

v A t

En nuestro caso tenemos = 2/10 rad/s. Sustituimos las condiciones iniciales

(0) 1 cos( ) cm

2(0) 15 sin( ) cm/s

10

x A

v A

Si dividimos ambas ecuaciones y despejamos obtenemos la fase

(0) 15 2 150tan( ) arctan 1,53 rad

(0) 1 10 2

v

x

Ahora podemos calcular la amplitud

1(0) 1 cos( ) cm 23,89 cm

cosx A A


223,89cos 1,53 cm

10x t

4. La radiación de frenado o Bremsstrahlung es la radiación electromagnética producida por

la deceleración de una partícula cargada. En los tubos de los televisores antiguos los

electrones son acelerados desde la fuente hasta la pantalla mediante una diferencia de

potencial de 1000 V. Al llegar a la pantalla frenan bruscamente. Si suponemos que toda la

energía que tenían es emitida durante el frenado en forma de Bremsstrahlung, calcular la

frecuencia de la radiación de frenado de los electrones. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ;

191,60 10 Ce ; 19eV 1,60 10 J .

Solución

Un electrón atravesando una diferencia de potencial de 1000 V adquiere una energía de

1000 eVcE U q V

Según la ley de Planck, la energía de los fotones emitidos será

17 2,4 10 HzcE

E hv vh

Esta frecuencia corresponde a los rayos X de baja frecuencia.


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Se quiere poner un satélite en una órbita circular estacionaria alrededor de la Tierra bajo

la acción de su campo gravitatorio con un periodo de 2 horas.

-Calcular el radio de la órbita. (1,5 puntos)

-Calcular la velocidad con la que debemos lanzarlo desde la superficie de la Tierra para que

la altura máxima coincida con el radio de la órbita. (1,5 puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Como la fuerza de atracción gravitatoria es la responsable del movimiento orbital podemos

escribir: 1/3

2 2

2

2 2 2

4 8061 km

4

T TmM GM T

G m R m R RR T

Ahora podemos calcular la velocidad de lanzamiento a partir del principio de conservación

de la energía mecánica. Si elegimos el origen de energía potencial ( 0U ) cuando r ,

la expresión de la energía potencial en función de la altura es

r

mMGU T .

Igualando la energía del satélite en la superficie de la Tierra y en la altura máxima tenemos:

21

2

T T

T

M m M mmv G G

R R .



2. En una misma región del espacio coexisten un campo eléctrico uniforme de módulo

0,5104 V/m y un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo sus direcciones

perpendiculares entre sí. ¿Cuál debería ser la energía cinética de un protón que penetra en

esa región con dirección perpendicular a ambos campos para que pase a través de la misma

sin ser desviado? (2 puntos)

Datos: 271,7 10 kgp

m

Solución

Cuando el protón penetra dentro de esta región se verá sometido a las fuerzas producidas

por los dos campos. Al ser v perpendicular a ambos campos, ambas fuerzas tendrán la

misma dirección. Para que la carga no se desvíe las dos fuerzas deberán tener sentidos

opuestos y mismo módulo. Igualando módulos

e mF F qE qvB

obtenemos que el módulo de la velocidad debe ser:

41,67 10 m/sE

vB

y su energia cinética:

2 1912,36 10 J

2cE mv

3. Considérese un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm, frecuencia 0,25 Hz y

fase inicial / 2 radianes (también denominada constante de fase). - Obtener las ecuaciones de la posición x, la velocidad v y la aceleración a en función del

tiempo. (1 punto)




Solución


2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t

En nuestro caso tenemos que la frecuencia angular es = /2 rad/s y las ecuaciones del

movimiento tendrán la forma:

2

10cos cm2 2

15,7sin cm/s2 2

24,7cos cm/s2 2

x t

v t

a t



4. La radiación de frenado o Bremsstrahlung es la radiación electromagnética producida por

la deceleración de una partícula cargada. En los tubos de los televisores antiguos los

electrones son acelerados desde la fuente hasta la pantalla mediante una diferencia de

potencial de 1000 V. Al llegar a la pantalla frenan bruscamente. Si suponemos que toda la

energía que tenían es emitida durante el frenado en forma de Bremsstrahlung, calcular la

frecuencia de la radiación de frenado de los electrones. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ; 191,60 10 Ce ; 19eV 1,60 10 J .

Solución

Un electrón atravesando una diferencia de potencial de 1000 V adquiere una energía de

1000 eVcE U q V

Según la ley de Planck, la energía de los fotones emitidos será

17 2,4 10 HzcE

E hv vh

Esta frecuencia corresponde a los rayos X de baja frecuencia.

1 2 3 4

-10

-5

5

10

1 2 3 4

-15

-10

-5

5

10

15

1 2 3 4

-20

-10

10

20

OPCIÓN B

1. Supongamos que sólo conocemos el radio de la Tierra (T

6370 kmR ), la distancia

Tierra-Luna (T

60r R ) y el valor de la gravedad en la superficie terrestre ( 2

09,81 m/sg ),

calcular la velocidad de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra en función de

estas magnitudes. (2,5 puntos)

Solución

Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra es la responsable del

movimiento orbital de la luna tenemos que: 2

2

2 T T

M m v GMG m v

r r r .

Ahora necesitamos calcular el término T

GM , para lo cual podemos utilizar el dato de la

gravedad en la superficie terrestre:

2

0 0 T2

T

T

T

Mg G GM g R

R .

Sustituyendo en la ecuación de arriba llegamos a: 2

2 0 T 0 T 0 T= 1,02 km/s60 60

g R g R g Rv v

r

2. Tomando como origen de energía potencial la configuración en la que las cargas se

encuentran infinitamente alejadas entre sí, determínese el trabajo mínimo necesario para

deshacer el cuadrupolo eléctrico de lado a que se muestra en la figura, de modo que las

cargas queden separadas por distancias infinitas entre sí. (2,5 puntos)

Solución

Solución

Para deshacer esta configuración podemos ir separando carga a carga. Si comenzamos por

la carga situada en la esquina superior de la izquierda, tenemos que el trabajo necesario

para alejarla es igual a la variación de su energía potencial


2

1

2 2 10 J

2 2f i

q q qW U U U kq kq

a aa a

.

Ahora separamos la carga de la esquina superior derecha

2

2

2 10 J

2 2f i

q qW U U U qk kq

aa a

.

Finalmente, alejamos la carga en la esquina inferior izquierda 2

20 J

f i

q kqW U U U qk

a a

.

El trabajo total será la suma de los trabajos:

2 2

2

1 2 3

2 2 1 2 1 14 2 2,6 J

2 2

kq kqW W W W kq

a a aa a

3. Explicar muy brevemente la principal diferencia entre:

- Ondas transversales y ondas longitudinales. (1 punto)

- Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. (1 punto)

Solución

En las ondas transversales la perturbación que se propaga es perpendicular a la dirección de

propagación, mientras que en las ondas longitudinales la perturbación tiene la misma

dirección.

Para la propagación de las ondas mecánicas es necesario un medio material, mientras que

en el caso de las ondas electromagnéticas no es necesario, estas se propagan en el vacío.

4. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire perpendicularmente sobre la

superficie lateral de un prisma triangular con índice de refracción 1,1 (ver figura).

- Hacer un esquema con la trayectoria del rayo y calcular el ángulo de refracción con el que

el rayo sale del prisma de nuevo al aire. (2 puntos)

- Calcular la desviación del rayo, al salir del prisma, respecto a la dirección inicial. (1

punto)

Datos: aire

1n .


Solución

Si la luz incide perpendicularmente sobre la superficie de separación de los dos medios,

seguirá propagándose en la misma dirección. Por la geometría del problema tenemos que el

ángulo de incidencia en la cara derecha del prisma es 60ºi . Aplicando la ley de la

refracción tenemos

sin sini i r r

n n

Despejando

arcsin sin 72,3ºprisma

r i

aire

n

n

La desviación del rayo con respecto a la dirección inicial será

60º 12,3ºr

60º

60º

i r



NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Queremos poner un satélite en una órbita circular estacionaria alrededor de la Tierra bajo

la acción de su campo gravitatorio con un periodo de 4 horas.

-Calcular el radio de la órbita. (1,5 puntos)

-Calcular la velocidad con la que debemos lanzarlo desde la superficie de la Tierra para que

la altura máxima coincida con el radio de la órbita. (1,5 puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Como la fuerza de atracción gravitatoria es la responsable del movimiento orbital podemos

escribir: 1/3

2 2

2

2 2 2

4 12796 km

4

T TmM GM T

G m R m R RR T

Ahora podemos calcular la velocidad de lanzamiento a partir del principio de conservación

de la energía mecánica. Si elegimos el origen de energía potencial ( 0U ) cuando r ,

la expresión de la energía potencial en función de la altura es

r

mMGU T .

Igualando la energía del satélite en la superficie de la Tierra y en la altura máxima tenemos:

21

2

T T

T

M m M mmv G G

R R .



2. Se disponen 4 cargas puntuales en los vértices de un cuadrado centrado en el

origen: una carga q en el punto ( 1,1) , una carga 2q en (1,1), una carga 3q en

(+1, 1) y otra de 6q en (1, 1). Calcular el campo eléctrico en el origen. (2,5 puntos) Solución

Para calcular el campo eléctrico en cualquier punto es necesario aplicar el principio de

superposición. Por la simetría del problema vemos que el campo resultante en el origen

tendrá componente nula en la dirección Y. En cuanto a la dirección X tenemos

2 3 6 2 N/C 2 2 N/C

2 2 2 2 2

q q q qk kq

E = i = i

3. Calcular la velocidad de propagación de un rayo de luz monocromática en un

determinado medio sabiendo que el ángulo límite de reflexión total cuando la luz pasa del

medio al aire es de 30º. (2 puntos)

Datos: aire

1n . 83 10 m/sc .

Solución

La ley de la refracción establece que

sin sini i r r

n n

o en términos de velocidad de propagación

sin sini r

i rv v



i aire iv v

4. El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda oscila con un movimiento

armónico simple de amplitud 20 cm. La cuerda, de masa 400 g y longitud 80 cm, se haya

en tensión al tirar del otro extremo un fuerza de 2 N. En el instante inicial ( 0t ) el

desplazamiento vertical del extremo que oscila es nulo y se mueve hacia abajo. Sabiendo

que la distancia entre dos puntos consecutivos que oscilan en fase es de 20 cm, obtener la

ecuación de la onda armónica transversal generada. (2,5 puntos)

Datos: La velocidad v de una onda en una cuerda de densidad de masa lineal (masa por

unidad de longitud) sometida a una tensión F es /v F .

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


0,2 m

2 231,4 rad/m

0,2


A

k

Para calcular la frecuencia angular necesitamos el periodo o la frecuencia de la

oscilación, dato que podemos calcular a partir de la velocidad de la onda

2 m/sF LF

vm


10 Hz 2 2 10 62,8 rad/sv

f f


( , ) 0,2 sen(31,4 62,8 ) my x t x t .

OPCIÓN B

1. Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del periodo orbital de un planeta es


distancia media. Suponiendo que estamos tratando de órbitas circulares, calcular el factor

de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo 2T y el cubo del radio de la órbita 3R

para los planetas del sistema solar que orbitan alrededor del Sol. (2 puntos)

Solución

Como la fuerza de atracción gravitatoria del Sol es la responsable del movimiento orbital de

los planetas del sistema solar podemos escribir: 2 2

2 2 3

2 2

4 4 S

S

mMG m R m R T R

R T GM

de modo que el factor de proporcionalidad será 24

SGM

.

2. Dos conductores rectilíneos infinitamente largos están situados en planos

perpendiculares tal y como se muestra en la figura. La dirección del conductor 1 coincide

con el eje Y, y por él circula una corriente en el sentido positivo de intensidad 1I . La

corriente que circula por el conductor 2 es 2I y tiene la dirección del eje Z y sentido

negativo (entrando en el papel), cortando al eje X a una distancia d del origen. Calcular el

vector inducción magnética en el punto , ,0d d en función de los datos del enunciado.

(2,5 puntos)

Datos: 7 2

04 10 N/A . El módulo del campo magnético producido por un conductor

rectilíneo infinitamente largo por el que circula una corriente I, a una distancia r

perpendicular al mismo es 0

2

IB

r

.

Solución

El campo magnético en el punto , ,0d d producido por el conductor 1 vale:

I1

I2

d


0 11

2

I

d

B k ,

donde hemos aplicado la regla de la mano derecha para obtener la dirección y sentido.

Para el conductor 2 tenemos

0 22

2

I

d

B i

El campo magnético resultante será

01 2 1 2

2I I

d

B B B k i

3. Tenemos dos masas idénticas de 1 kg. Cada una se encuentra sujeta a un muelle fijo que

descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los muelles son iguales y de

constante 100 N/mk . Un muelle se estira 10 cm y el otro 5 cm. Si se dejan en libertad al

mismo tiempo ( 0 st ), representar en la misma gráfica la posición de ambos objetos en función del tiempo (no es necesario una representación exacta, basta simplemente con

indicar los valores máximos y mínimos de cada función, los puntos de corte con los ejes y

la forma de las funciones) (2,5 puntos)

Solución

De las condiciones del enunciado está claro que las masas realizarán un movimiento

armónico simple, cuya ecuación de movimiento es

cos( )x A t


/ 10 rad/sk m

en ambos casos y fase inicial

0

ya que (0)x A . Por consiguiente, las funciones a representar serán

1

2

10cos(10 ) cm

5cos(10 ) cm

x t

x t

ambas con el mismo periodo / 5 0,63 sT . Serán dos funciones sinusoidales con el

mismo periodo pero distinta amplitud.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-10

-5

5

10


- Explicar razonadamente por qué la inestabilidad de los núcleos aumenta, de forma

general, con el número atómico. (1 punto)

Solución

Lo que determina la estabilidad-inestabilidad de los núcleos es el balance entre las fuerzas

de atracción entre los nucleones debido a las interacciones fuertes y las fuerzas de repulsión

coulombiana entre los protones por tener la misma carga. Al aumentar el número atómico

la repulsión coulombiana entre los protones se hace cada vez más intensa, pudiendo llegar a

ser el orden de la interacción fuerte que se establece entre un nucleón y sus vecinos.

- Complétese los números atómicos y másicos de los elementos que intervienen en la

siguiente secuencia de desintegraciones radiactivas. Los elementos están representados

mediante la pareja A

Z

. Recordamos que en la desintegración se emiten electrones. (2

puntos)

222 ... ... ... ... ...

86

206 ... ... ... ...

82

Solución

Debemos tener en cuenta que:

Desintegración : 4

2

A A

Z Z

Desintegración : 1

A A

Z Z

Desintegración : A A

Z Z

222 218 218 214 214 214

86 84 84 82 82 83

214 210 210 210 206

84 82 83 84 82


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Una estación espacial se encuentra a 2000 km de la superficie de la Tierra. Desde la

estación se quiere lanzar un satélite para ponerlo en una órbita superior alrededor de la

Tierra con radio 10000 km. Calcular la velocidad con la debe ser lanzado para que llegue a

esa distancia con velocidad nula. (2,5 puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución



r

mMGU T .


energía del satélite en la estación espacial con la energía en la altura máxima:

2

T

1

2

T TM m M m

mv G GR h R

,

siendo h la altura a la que se encuentra la estación con respecto a la superficie terrestre y R

el radio de la órbita del satélite. Despejando la velocidad inicial del lanzamiento obtenemos

3,94 km/sv .

2. Una carga puntual q1 se mueve con velocidad constante de módulo v1 a lo largo del eje X

en la dirección positiva. Determinar la fuerza que ejerce el campo magnético creado por esa

carga sobre otra carga q2 que se mueve sobre el eje Y en la dirección positiva con velocidad

v2, en el momento en el que la primera carga pasa por el origen de coordenadas y la

segunda carga pasa por el punto (0, b, 0). Expresar el resultado en función de los datos del

enunciado. (2,5 puntos)

Datos: El campo magnético creado por una carga puntual q con velocidad v en el punto

ˆrr r vale 0

2

ˆ

4

q

r

v rB

Solución

Los datos que tenemos son:

1 1

2 2

v

v

b

v i

v j

r j

El campo magnético creado por la carga 1 en la posición ocupada por la carga 2 es

0 1 1 0 1 1 0 1 1

2 2 2

ˆ

4 4 4

q q v q v

r b b

v rB i j k

y la fuerza que este campo ejercerá sobre la carga 2

0 1 2 1 2 0 1 2 1 22 2 2 24 4

q q v v q q v vq

b b

F v B j k i

3. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire sobre una de las caras de una lámina

de vidrio de caras plano-paralelas y espesor 5 cm, y de índice de refracción 1,52n , con

un ángulo de incidencia de 30º. Calcular el ángulo con el que el rayo de luz emerge

nuevamente al aire después de atravesar la lámina. (2,5 puntos)

Datos: aire

1n .

Solución

Es evidente que este ángulo será igual al ángulo de entrada, pero podemos comprobarlo

haciendo los cálculos.

En primer lugar calculamos el ángulo de refracción con el que el rayo se propaga dentro de

la lámina. La ley de la refracción establece que

sin sini i r r

n n

Despejando

arcsin sin 19,2ºaire

r i

r

n

n

Ahora volvemos a aplicar la ley de la refracción cuando el rayo llega a la interfase vidrio-

aire, teniendo en cuenta que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refracción

obtenido anteriormente

' arcsin sin 30ºi

r r

aire

n

n

4. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda en tensión en el sentido

positivo del eje X a una velocidad de 2 m/s. Si en el instante 3 st hacemos una foto a la

cuerda obtenemos que los desplazamientos de la cuerda están descritos por la función

( ) 0,5 sen(0,1 1,2) my x x . Obtener la ecuación completa de la onda armónica. (2,5

puntos)

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .

En el tiempo 3 st tenemos que

( ) sen( 3 )y x A kx .

Igualando con la expresión anterior obtenemos que

0,5 m

0,1 rad/m

1,2 3

A

k

Podemos calcular la frecuencia angular a partir de los datos del problema:

0,2 rad/skv ,

de modo que

1,2 3 1,8 rad .

La ecuación final de la onda será

( , ) 0,5sen(0,1 0,2 1,8) my x t x t .

OPCIÓN B

1. Supongamos que sólo conocemos el radio de la Tierra (T

6370 kmR ), la distancia

Tierra-Luna (T

60r R ) y el valor de la gravedad en la superficie terrestre ( 2

09,81 m/sg ),

calcular el periodo de rotación de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra en

función de estas magnitudes. (2,5 puntos)

Solución

Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra es la responsable del

movimiento orbital de la luna tenemos que: 2 3

2 2 2

2 3

4 T T

T

M m GM rG m r T

r r GM

.

Ahora necesitamos calcular el término T

GM , para lo cual podemos utilizar el dato de la

gravedad en la superficie terrestre:

2

0 0 T2

T

T

T

Mg G GM g R

R .

Sustituyendo en la ecuación de arriba llegamos a:

2 3 2 3

2

2 2

0 T 0 T

4 4 27,24 días

r rT T

g R g R

2. Un dipolo está constituido por dos cargas positivas iguales q situadas en el eje Y: una

está en y = a y la otra en y = a. Obtener la expresión del campo eléctrico en cualquier punto del eje X. (2,5 puntos)

Solución

Por la simetría del problema es fácil darse cuenta que campo eléctrico producido por el

dipolo en el eje X no tiene componente Y, y que vale

3/2

2 2

2qxk

x a

E i

3. Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de amplitud 15 cm. Si realiza

4 vibraciones por segundo, calcular:

- Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración. (1 punto)

- La aceleración cuando la elongación es 9 cm. (1,5 puntos)

Solución

La frecuencia es 4 Hzf y la frecuencia angular será 18 s , por lo que las

ecuaciones del movimiento son:

max

2

max

( ) 0,15cos 8

( ) 3,77sin 8 3,77 m/s

( ) 94,75cos 8 94,75 m/s

x t t

v t t v

a t t a

Si *( ) 0,09x t m , entonces en ese instante *t tenemos que *cos 8 0,6t . Así pues

* * 2( ) 94,75cos 8 56.85 /a t t m s

4. Una fuente radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 1 minuto. En el tiempo

0t se observa que la fuente tiene una actividad (número de desintegraciones por unidad

de tiempo) de 2000 desintegraciones/s. Determinar el número de núcleos que se han

desintegrado al cabo de 2 minutos. (2,5 puntos)

Solución

El número de núcleos N de una muestra varía en el tiempo como ln2

0 0( )t

t TN t N e N e

Por otro lado, la actividad de la muestra es

( ) ( )A t N t .

En nuestro caso, en el instante inicial tenemos

500 0 0

ln2 1,73123 10 núcleos

ln2

TAA N N

T .

Al cabo de 2 minutos tendremos

2ln 2 00 0( 2)

4

t NN t N e N e ,

De modo que se han desintegrado 03129843

4

N núcleos.


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. A 500 km de la superficie de la Tierra se encuentra una estación espacial desde la que se

quiere lanzar un satélite para ponerlo en una órbita superior alrededor de la Tierra con radio

10000 km. Calcular la velocidad con la debe ser lanzado para que llegue a esa distancia con

velocidad nula. (2,5 puntos)

Datos: T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución



r

mMGU T .


energía del satélite en la estación espacial con la energía en la altura máxima:

2

T

1

2

T TM m M m

mv G GR h R

,

siendo h la altura a la que se encuentra la estación con respecto a la superficie terrestre y R

el radio de la órbita del satélite. Despejando la velocidad inicial del lanzamiento obtenemos

6,03 km/sv .

2. En una zona del espacio hay un campo eléctrico en la dirección y sentido positivo del eje

Z: 1000 N/CE k , y un campo magnético en la dirección y sentido positivo del eje Y:


0,5 TB j . Se lanza un protón en esa zona del espacio perpendicularmente a ambos

campos. Calcular el vector velocidad con el que el protón debe penetrar en los campos para

que una vez dentro de ellos su velocidad no varíe ni en dirección ni en módulo. (2,5

puntos)

Solución

De la geometría del problema está claro que el vector velocidad debe tener la dirección del

eje X: m/svv i . Por otro lado

1000 N

( ) 0,5 N

e

m

q q

q qv

F E k

F v B k

Como 0F entonces tenemos que 2000 m/sm e v F F y por consiguiente

2000 m/s v i .

3. Un objeto realiza un movimiento armónico simple en la dirección del eje X ejecutando 5

oscilaciones por segundo. Sabiendo que en el instante inicial el objeto pasa por la posición

de equilibrio ( 0 cmx ) con una velocidad 63 cm/sv , obtener la ecuación completa de

la posición en función del tiempo. (2,5 puntos)

Solución


cos( )

sin( )

x A t

v A t

En nuestro caso tenemos que la frecuencia es 5 Hz, por lo que la frecuencia angular será

= 10 rad/s. Sustituimos la condición inicial de la posición para obtener la fase

3(0) 0 cos( ) cm ó

2 2x A

.

Elegimos 2

porque la velocidad es negativa:

63(0) 63 10 sin( / 2)

10v A A


63cos 10 cm

10 2x t

4. Supongamos que tenemos un átomo de hidrógeno descrito por el modelo de Bohr.

Recordamos que según este modelo, la energía total del electrón tiene la forma

0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . El electrón se encuentra en el estado fundamental ( 1n ) y

absorbe la energía de un fotón. Como consecuencia el electrón escapa del átomo con una

energía cinética de 15 eV, quedando este último ionizado. Calcular la frecuencia del fotón.

(2,5 puntos)


Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

Solución

La energía del fotón debe ser la necesaria para ionizar el átomo desde 1n y comunicar la

energía sobrante al electrón. La energía de ionización en el estado fundamental es

0

2 2

13,613,6 eV

1

EE

n

La energía del fotón incidente tiene que ser

13,6 15 28,6 eVhv

Y su frecuencia es

15 6,91 10 HzE

vh


OPCIÓN B

1. El radio de la órbita terrestre alrededor del Sol es de 1,46×1011 m y el de Saturno es de

1,43×1012 m. Aplicar la tercera Ley de Kepler para calcular el período de la órbita de

Saturno. (2 puntos)

Solución

La Tercera Ley de Kepler se formula de la siguiente forma 2 3T R .

Entonces tenemos

3

330,65 añosSaturno

Urano Tierra

Tierra

RT T

R

2. Considérese el cuadrupolo eléctrico de lado a que se muestra en la figura.

-Tomar como origen de coordenadas el centro del cuadrado y calcular el campo eléctrico en

ese punto. (1 punto)

-Tomando como origen de energía potencial la configuración en la que las cargas se

encuentran infinitamente alejadas entre sí, determínese el trabajo mínimo necesario para

deshacer el cuadrupolo de modo que las cargas queden separadas por distancias infinitas

entre sí. (2 puntos)

Solución

Por simetría es fácil darse cuenta de que el campo eléctrico en el centro del cuadrupolo es

cero.

Para deshacer esta configuración podemos ir separando carga a carga. Si comenzamos por

la carga situada en la esquina superior de la izquierda, tenemos que el trabajo necesario

para alejarla es igual a la variación de su energía potencial

2

1

2 2 10 J

2 2f i

q q qW U U U kq kq

a aa a

.

Ahora separamos la carga de la esquina superior derecha


2

2

2 10 J

2 2f i

q qW U U U qk kq

aa a

.

Finalmente, alejamos la carga en la esquina inferior izquierda 2

20 J

f i

q kqW U U U qk

a a

.

El trabajo total será la suma de los trabajos:

2 2

2

1 2 3

2 2 1 2 1 14 2 2,6 J

2 2

kq kqW W W W kq

a a aa a

3. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire sobre una de las caras de una lámina

de vidrio de caras plano-paralelas y espesor 5 cm, y de índice de refracción 1,52n , con

un ángulo de incidencia de 30º. Calcular la longitud recorrida por el rayo en el interior de la

lámina. (2,5 puntos)

Datos: aire

1n .

Solución

Calculamos el ángulo de refracción con el que el rayo se propaga dentro de la lámina. La

ley de la refracción establece que

sin sini i r r

n n

Despejando


r i

r

n

n

La distancia recorrida por el rayo en el interior de la lámina será

5,29 cm

cosr

hd

,

donde h es el espesor de la lámina.

4. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda en tensión en el sentido

positivo del eje X a una velocidad de 0,5 m/s. Si en el instante 5 st hacemos una foto a la

cuerda obtenemos que los desplazamientos de la cuerda están descritos por la función

( ) 0,2 sen(0,16 0,3) my x x . Obtener la ecuación completa de la onda armónica. (2,5

puntos)

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


( ) sen( 5 )y x A kx .


0,2 m

0,16 rad/m

0,3 5

A

k


0,08 rad/skv ,

de modo que

0,3 5 0,1 rad .


( , ) 0,2sen(0,16 0,08 0,1) my x t x t .

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Se lanza un objeto desde la superficie de un planeta de radio R con una velocidad igual a

la velocidad de escape ve. Determinar a cuántos radios de distancia del centro del planeta el

objeto habrá perdido el 90 % de su energía cinética. (2,5 puntos)

Solución

Las energías cinéticas y potenciales en los dos puntos de interés son:

-En la superficie, r = R

-En la distancia buscada r

Aplicamos conservación de la energía mecánica

Despejando en la ecuación resultante obtenemos:

Ahora podemos utilizar la ecuación de la velocidad de escape de un planeta:

√

y sustituyendo en la ecuación anterior:


Es decir, 10 veces el radio del planeta, independientemente del valor de la velocidad de

escape.

2. Un electrón es lanzado con una velocidad de 2106 m/s dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Si la velocidad inicial del electrón tiene la misma dirección y

sentido que las líneas del campo:

-Determinar la velocidad del electrón al cabo de 1,710-9 s. (1 punto)

-Calcular la variación de energía potencial que ha experimentado el electrón en ese

intervalo de tiempo. (1,5 puntos)

(Datos: e =1,6 10-19 C; me = 9,110-31 kg) Solución

Se trata de un movimiento unidimensional en el que la fuerza que experimenta el electrón

debido a la presencia del campo eléctrico tiene sentido contrario al propio campo y por

tanto a la velocidad inicial. Esta fuerza es constante y vale F eE , y producirá una

aceleración también constante que decelera al electrón:

F eEa

m m

Como se trata de un movimiento uniformemente acelerado tenemos que

6

0 00,505 10 m/s

eEv v at v t

m

.

Ahora podemos calcular la variación de la energía potencial de dos formas distintas.

a) Calculamos la distancia recorrida por el electrón

2 2 2 2

0 0

22 0,0021 m

2

eEd mv v ad d v v

m eE

.

y calculamos la diferencia de energía potencial entre dos puntos del campo separados por

esta distancia d: 181,70 10 JU q V qEd eEd

b) Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica

2 2 18

0

1( ) 1,70 10 J

2c e

U E m v v

3. Un objeto de 2 kg se sujeta a un muelle fijo horizontal con una constante 196 N/mk . El objeto se desplaza una distancia de 5 cm de su posición de equilibrio y se deja en

libertad en el tiempo 0 st . Obtener la ecuación de la aceleración del objeto en función

del tiempo suponiendo que no existe ningún tipo de rozamiento. (2 puntos).

Solución

De las condiciones del enunciado está claro que el objeto realizará un movimiento

armónico simple cuyas ecuaciones generales son

2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t


/ 9,9 rad/sk m

y la fase inicial

0

ya que (0) 5 cmx A . La ecuación de la aceleración en función del tiempo será 2490cos(9,9 ) cm/sa t


- Supongamos que tenemos tres especies radiactivas y sabemos que cada una emite un tipo

distinto radiación: , y , pero no sabemos el tipo de desintegración de cada una. Si hacemos pasar cada radiación por un campo magnético perpendicular a la dirección de

emisión, ¿esto nos ayudará a discriminar el tipo de radiación emitida por cada fuente?

Razonar la respuesta. (1,5 puntos)

Solución

Es evidente que sí, puesto que la radiación alfa está compuesta por partículas con carga

positiva (núcleos de He), la radiación beta por partículas con carga negativa (electrones) y

la radiación gamma por fotones sin carga. En los dos primeros casos, las fuerzas que

experimentarán las partículas de las radiaciones, debidas al campo magnético, tendrán

sentidos opuestos (por tener cargas opuestas) y distinto módulo (por tener diferente carga

neta), de modo que unas partículas se desviarán en un sentido y las otras en otro

(describiendo además circunferencias con distintos radios por tener masa y carga netas

diferentes), mientras que la dirección de los fotones sin carga de la radiación gamma no se

verá afectada.

- ¿Qué núcleo será más estable, el 3

1H (tritio) o el 3

2He (helio) ? Razonar la respuesta. (1,5

puntos)

Solución

El núcleo de helio consta de dos protones y un neutrón, mientras que el núcleo de tritio está

formado por dos neutrones y un protón. Será más fácil romper el núcleo del helio debido a

la repulsión coulombiana entre los dos protones, por lo que será más estable el núcleo de

tritio.

OPCIÓN B

1. Supongamos que un satélite tarda el mismo tiempo en describir una órbita alrededor de la

Tierra en su superficie que en describir una órbita alrededor de la Luna también en su

superficie. Sabiendo que el radio de la Tierra es 3,67 veces más grande que el radio de la

luna ( 3,67T L

R R ), calcular la relación entre las masas de la Tierra y la Luna. (2,5

puntos)

Solución

Como el satélite se mueve en ambos casos bajo la acción del campo gravitatorio de cada

astro tenemos que 2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

4

4

T T

T T T

T T T

L L

L L L

L L L

M m vG m m R m R

R R T

M m vG m m R m R

R R T

Como T L

T T , dividiendo ambas ecuaciones llegamos a 3

3

T T

L L

M R

M R

Por lo que el resultado final será 49,4T L

M M .

2. Sabemos que en una región del espacio existe un campo magnético B constante y

uniforme. Para determinar su módulo, dirección y sentido, lanzamos una partícula con

carga positiva q0 y velocidad v en diferentes direcciones del espacio, y medimos la fuerza F

que experimenta en el momento en el que la partícula penetra en la región donde existe el

campo. Cuando 0

vv k , la partícula no se desvía de su trayectoria al penetrar en el campo.

Sin embargo, cuando 0

vv j , la partícula experimenta una fuerza 0

F F i debido a la

presencia del campo magnético. Determinar B en función de q0, 0v y F0. (3 puntos)

Solución

Como en el primer ensayo la partícula no se desvía, la fuerza que experimenta es nula.

Sabiendo que la fuerza que experimenta es

00q F v B ,

nos damos cuenta de que el campo magnético debe ser paralelo al vector velocidad, es

decir, sólo debe tener una componente no nula en la dirección Z: BΒ k .

En el segundo caso, la fuerza que experimenta es 0

F F i , y teóricamente debería ser

0 0 0q q v B F v B i .

Igualando esta expresión a la fuerza obtenida en el experimento obtenemos finalmente que:

0

0 0

F

q v Β k .

3. Un rayo de luz monocromática incide oblicuamente desde un medio de índice de

refracción 1,1 hacia otro medio de índice de refracción 2,13. Obtener el ángulo de

refracción sabiendo que el rayo reflejado forma un ángulo de 60º con la superficie plana

entre ambos medios. (2 puntos)

Solución

La ley de la reflexión establece que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Como el ángulo de reflexión es 90º 60º 30º , tenemos que 30ºi .

Ahora podemos aplicar la ley de la refracción

sin sini i r r

n n

y despejar

arcsin sin 15ºi

r i

r

n

n

4. El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda en tensión situada en el eje

X oscila con un movimiento armónico en el que el desplazamiento transversal varía con el

tiempo según la ecuación ( ) 0,2sen( 2,1) my t t . Esto genera una onda armónica

transversal que se propaga por la cuerda en el sentido positivo del eje X a 0,5 m/s. Obtener

la ecuación de la onda. (2,5 puntos)

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .

En el origen 0x tenemos que

( ) sen( )y x A t .


0,2 m

rad/s

2,1 rad

A

Podemos calcular el número de onda partir de los datos del problema:

2 rad/mkv

,


( , ) 0,2sen(2 2,1) my x t x t .


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Se lanza un objeto desde la superficie de un planeta de radio R con una velocidad igual a

la velocidad de escape ve. Determinar a cuántos radios de distancia del centro del planeta el

objeto habrá perdido el 50 % de su energía cinética. (2,5 puntos)

Solución

Las energías cinéticas y potenciales en los dos puntos de interés son:

-En la superficie, r = R

-En la distancia buscada r

Aplicamos conservación de la energía mecánica

Despejando en la ecuación resultante obtenemos:

Ahora podemos utilizar la ecuación de la velocidad de escape de un planeta:

√

y sustituyendo en la ecuación anterior:


Es decir, 2 veces el radio del planeta, independientemente del valor de la velocidad de

escape.

2. Sabemos que en una región del espacio existe un campo magnético B constante y

uniforme. Para determinar su módulo, dirección y sentido, lanzamos una partícula con

carga positiva q0 y velocidad v en diferentes direcciones del espacio, y medimos la fuerza F

que experimenta en el momento en el que la partícula penetra en la región donde existe el

campo. Cuando 0

vv k , la partícula no se desvía de su trayectoria al penetrar en el campo.

Sin embargo, cuando 0

vv j , la partícula experimenta una fuerza 0

F F i debido a la

presencia del campo magnético. Determinar B en función de q0, 0v y F0. (3 puntos)

Solución

Como en el primer ensayo la partícula no se desvía, la fuerza que experimenta es nula.

Sabiendo que la fuerza que experimenta es

00q F v B ,

nos damos cuenta de que el campo magnético debe ser paralelo al vector velocidad, es

decir, sólo debe tener una componente no nula en la dirección Z: BΒ k .

En el segundo caso, la fuerza que experimenta es 0

F F i , y teóricamente debería ser

0 0 0q q v B F v B i .

Igualando esta expresión a la fuerza obtenida en el experimento obtenemos finalmente que:

0

0 0

F

q v Β k .

3. Supongamos que un cuerpo realiza un movimiento armónico simple alrededor de su

posición de equilibrio ( 0x ) debido a la acción de una fuerza F kx con 10 N/mk .

La amplitud de la oscilación es 2 m y el tiempo que tarda es describir una oscilación

completa es 2 segundos. Sabiendo que en 0t el desplazamiento es máximo y positivo, representar gráficamente la variación de la energía potencial en función del tiempo (no es

necesario una representación exacta, basta simplemente con indicar los valores máximos y

mínimos de cada función, los puntos de corte con los ejes y la forma de las funciones). (2,5

puntos)

Solución

La ecuación general del movimiento es

cos( )x A t

De los datos del enunciado deducimos que la fase inicial es nula ( 0 ) ya que

(0) 2 mx A , y la frecuencia angular es 2 / rad/sT . Por lo tanto, la ecuación

del movimiento será

2cos( ) mx t

y la energía potencial será:

2 2120cos ( ) J

2U kx t


0t se observa que la fuente tiene una actividad (número de desintegraciones por unidad de tiempo) de 2000 desintegraciones/s. Determinar la actividad de la fuente al cabo de 10

minutos. (2 puntos)

Solución

La actividad de una muestra varía como ln2

0 0( )t

t TA t A e A e

.

En nuestro caso tendremos 10ln2 10( ) 2000 2000 2 1,95 Bq.A t e

0.5 1 1.5 2

5

10

15

20

OPCIÓN B

1. Supongamos que tenemos dos satélites artificiales de la misma masa describiendo órbitas

circulares estacionarias de radios R1 y R2 respectivamente alrededor de la Tierra bajo la

acción de su campo gravitatorio. Suponiendo que el radio de la órbita del primer satélite es

menor que el radio de la órbita del segundo, es decir, que 1 2

R R , ¿qué satélite tendrá

mayor velocidad lineal? (2 puntos)

Solución

Podemos calcular la energía cinética de cualquier satélite sabiendo que la fuerza

gravitatoria de la Tierra es la responsable del movimiento orbital del satélite: 2

2T

2

1

2 2

T

c

v M m M mm G E mv G

R R R .

Vemos que cuanto mayor es el radio de la órbita menor es la energía cinética del satélite.

Como la masa de los dos satélites es la misma, llegamos a la conclusión de que el satélite

con menor órbita R1 es el que tendrá mayor velocidad lineal.

2. Una esfera hueca de radio interior R2 y radio exterior R3 (ver figura) contiene una carga

uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad . En su centro hay una

esfera sólida de radio R1 cargada uniformemente con una carga total q.

Encuéntrese la magnitud y dirección del campo eléctrico creado por esta distribución de

carga para:

a) 1

0 r R (1 punto)

b) 2 3

R r R (2 puntos)

Solución


interiorˆ 4

SdA kQ E n ,


interior

2

( )ˆ( )

kQ rr

rE n

R3

R2

R1



a) Cuando 1

0 r R tenemos que 3

3

interior 33

11

4( ) ( )

43

3

q rQ r V r r q

RR

3

1

ˆ( ) kq

r rR

E n

b) Cuando 2 3

R r R tenemos que

3 3

interior 2

4( )

3Q r q V q r R

3 3

2

2

4

3ˆ( )

k q r R

rr

E n

3. Provocamos en una cuerda tensa una onda armónica transversal ( , )y x t de 0,2 m de

longitud de onda que se propaga en la dirección y sentido positivo del eje X con una

velocidad de 10 m/s. En el origen tenemos que 2(0,0) 0,5 10 my moviéndose hacia

abajo. Si el módulo de la velocidad máxima de cualquier partícula de la cuerda es m/s,

determinar la ecuación de la onda. (2,5 puntos)

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t

y el módulo de la velocidad máxima de vibración es

max maxdy

v Adt


max

2 210 31,4 rad/m

0,2

100 314,2 rad/s

0,01 m100

k

kv

vA


( , ) 0,01 sen(10 100 ) my x t x t .

Para calcular la fase sabemos que 2 2(0,0) 10 sen( ) 0,5 10 my

Despejando obtenemos

5

arcsen 0,5 ó rad6 6

.


Como sabemos que se mueve hacia abajo tenemos que

0, 0

(0,0) cos( ) <0t x

dyv

dt

,

Por lo que rad6

.

La solución es

( , ) 0,01 sen(10 100 / 6) m

=0,01 sen(31,4 314,2 0,52) m

y x t x t

x t

4. Se ilumina la placa (cátodo) de una célula fotoeléctrica con luz azul de 460 nm de

longitud de onda. Los fotoelectrones arrancados del metal inciden sobre una segunda placa

(ánodo) que se encuentra en frente del cátodo y a un potencial negativo con respecto a éste

que puede variarse a voluntad. De este modo se produce una corriente debida al flujo de

electrones que van del cátodo al ánodo. Cuando el potencial del ánodo es de -550 mV se

observa que la intensidad de la corriente se hace súbitamente cero. Obtener la función de

trabajo del metal del cátodo. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh . 83 10 m/sc . 19eV 1,60 10 J .191,60 10 Ce

Solución

La intensidad se hace nula cuando la energía cinética con que son emitidos los

fotoelectrones es igual al aumento de su energía potencial en el trayecto cátodo-ánodo

(conservación de la energía mecánica):

2

max max

10,55 eV

2c eE m v q V .

Por otro lado tenemos que

maxcE hv .

Despejamos la función de trabajo

max 0,55 2,15 eVc

chv E h

.


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita circular alrededor de la Tierra

bajo la acción de su campo gravitatorio. Si su aceleración es 8,14 m/s2 y el periodo de su

órbita es de 97 minutos, calcular el radio de la órbita. (2 puntos)

Solución

La aceleración del satélite es la aceleración centrípeta:

2 2 2

2

2 2

4 6984 km

4

v R T gg R R

R T

2. La región del espacio donde existe un campo magnético está comprendida por todos

aquellos punto del espacio en los que la coordenada y es mayor o igual que 0. En esa región

el campo magnético es constante y uniforme, valiendo 0

BΒ k . Situamos una partícula

con carga positiva q0, masa m0 y velocidad 0

vv j , siendo 0

0v , en el origen de

coordenadas. Describir el movimiento de la partícula, calcular el tiempo que la partícula

estará en la región del campo magnético y en qué punto del espacio abandonará dicho

campo, en función de los datos del enunciado. (3 puntos)

Solución

Al penetrar la partícula en la región donde existe el campo magnético experimentará una

fuerza perpendicular a la velocidad:

0 0 0 0q q v B F v B i ,


por lo que el plano del movimiento será el plano XY y la trayectoria descrita será una

semicircunferencia recorrida en el sentido horario, de radio (obtenido de igualar la fuerza

magnética con la fuerza centrípeta)

0 0

0 0

m vR

q B .

La partícula entrará en la región del campo por el origen de coordenadas y abandonará el

campo en el punto 0 0

0 0

22 ,0,0 ,0,0

m vR

q B

con una velocidad 0

v v j . El tiempo de

permanencia en la región del campo será igual a la mitad del periodo del movimiento

circular, o periodo ciclotrón:

0

0 0 0

1 1 2

2 2

R mt T

v q B

.

3. Un rayo de luz monocromática incide oblicuamente desde un medio de índice de

refracción 1,1 hacia otro medio. Calcular el índice de refracción del segundo medio

sabiendo que el rayo reflejado y el rayo refractado forman, respectivamente, un ángulo de

60º y 75º con la superficie plana entre ambos medios. (2 puntos)

Solución

La ley de la reflexión establece que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Como el ángulo de reflexión es 90º 60º 30º , tenemos que 30ºi .

Ahora podemos aplicar la ley de la refracción, con 90º 75º 15ºr

sin sini i r r

n n

y despejar

sin2,13

sin

i

r i

r

n n

4. Por una cuerda tensa se propaga una onda armónica transversal ( , )y x t en la dirección y

sentido positivo del eje X con una velocidad de 10 m/s. Cada punto de la onda realiza un

movimiento armónico simple describiendo 50 ciclos por segundo. Sabiendo que en el

origen tenemos que 2(0,0) 0,5 10 my moviéndose hacia abajo y que el módulo de la

aceleración máxima de cualquier partícula de la cuerda es 1002 m/s, determinar la

ecuación de la onda. (3 puntos)

Solución


del eje X es


y el módulo de la aceleración máxima de vibración es

22

max 2max

d ya A

dt


2

max

2 2 2

2 100 314,2 rad/s

10 31,4 rad/m

1000,01 m

100

f

kv

aA


( , ) 0,01 sen(10 100 ) my x t x t .

Para calcular la fase sabemos que 2 2(0,0) 10 sen( ) 0,5 10 my


5

arcsen 0,5 ó rad6 6

.

Como sabemos que se mueve hacia abajo tenemos que

0, 0

(0,0) cos( ) <0t x

dyv

dt

,

Por lo que rad6

.

La solución es

( , ) 0,01 sen(10 100 / 6) m

=0,01 sen(31,4 314,2 0,52) m

y x t x t

x t


OPCIÓN B

1. Supongamos que tenemos dos satélites artificiales de la misma masa describiendo órbitas

circulares estacionarias de radios R1 y R2 respectivamente alrededor de la Tierra bajo la

acción de su campo gravitatorio. Suponiendo que el radio de la órbita del primer satélite es

menor que el radio de la órbita del segundo, es decir, que 1 2

R R :

-¿Qué satélite tendrá mayor velocidad lineal? (1,5 puntos)

-¿Qué satélite tendrá mayor momento angular? (1 punto)

Solución

Podemos calcular la energía cinética de cualquier satélite sabiendo que la fuerza

gravitatoria de la Tierra es la responsable del movimiento orbital del satélite: 2

2T

2

1

2 2

T

c

v M m M mm G E mv G

R R R .

Vemos que cuanto mayor es el radio de la órbita menor es la energía cinética del satélite.

Como la masa de los dos satélites es la misma, llegamos a la conclusión de que el satélite

con menor órbita R1 es el que tendrá mayor velocidad lineal.

El módulo del momento angular es

TL mRv m GM R

donde hemos sustituido la velocidad lineal obtenida en el apartado anterior:

TMv G

R .

Por lo tanto tendrá mayor momento angular el satélite con mayor radio orbital, esto es, el

segundo satélite.

2. Un electrón es lanzado con una velocidad de 2106 m/s dentro de un campo eléctrico

uniforme de 5000 V/m. Si la velocidad inicial del electrón tiene la misma dirección y

sentido que las líneas del campo:

-Determinar la velocidad del electrón al cabo de 1,710-9 s. (1 punto) -Calcular la variación de energía potencial que ha experimentado el electrón en ese

intervalo de tiempo. (1,5 puntos)

(Datos: e =1,6 10-19 C; me = 9,110-31 kg)

Solución

Se trata de un movimiento unidimensional en el que la fuerza que experimenta el electrón

debido a la presencia del campo eléctrico tiene sentido contrario al propio campo y por

tanto a la velocidad inicial. Esta fuerza es constante y vale F eE , y producirá una

aceleración también constante que decelera al electrón:

F eEa

m m

Como se trata de un movimiento uniformemente acelerado tenemos que

6

0 00,505 10 m/s

eEv v at v t

m

.

Ahora podemos calcular la variación de la energía potencial de dos formas distintas.

a) Calculamos la distancia recorrida por el electrón

2 2 2 2

0 0

22 0,0021 m

2

eEd mv v ad d v v

m eE

.

y calculamos la diferencia de energía potencial entre dos puntos del campo separados por

esta distancia d: 181,70 10 JU q V qEd eEd

b) Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica

2 2 18

0

1( ) 1,70 10 J

2c e

U E m v v

3. Un objeto de 3 kg ligado a un muelle oscila libremente realizando un movimiento

armónico simple de amplitud 4 cm en el que la energía total es 0,01 J.

- Calcular el módulo de la velocidad máxima del objeto. (1 punto)

- Calcular el módulo de la velocidad cuando el objeto se encuentra a 2 cm de la posición de

equilibrio. (1,5 puntos)

Solución

Para calcular la velocidad máxima igualamos la energía cinética a la energía total, ya que

en esta circunstancia la energía potencial será nula

2

max max

1 2 0,082 m/s

2

Emv E v

m

En cualquier punto de la oscilación se cumple que

2

2 21 1 2

2 2

E kxmv kx E v

m

Sólo necesitamos calcular la constante de recuperación k:

2

2

1 2 12,5 N/m

2

EE kA k

A

y sustituir los valores en la ecuación anterior: 22

0,071 m/sE kx

vm

4. Al incidir sobre un metal una radiación de 200 nm de longitud de onda, los

fotoelectrones son emitidos con una velocidad máxima de 106 m/s. Calcular la frecuencia

umbral para que se produzca la fotoemisión de electrones en ese metal. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc . 19eV 1,60 10 J .

319,1 10 kge

m .

Solución

El balance energético en el efecto fotoeléctrico tiene la forma

maxcE hv

Por otro lado, la frecuencia umbral se calcula a partir de la función de trabajo, o energía de

extracción del metal, , como

uvh

.

Sustituyendo la ecuación de arriba en la de abajo tenemos 2

14 max max/ / 28,1 10 Hzc e

u

hv E hc m vv

h h h

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Una estación espacial se mueve con velocidad constante en una órbita circular

estacionaria alrededor de la Tierra bajo la acción de su campo gravitatorio.

- Si su aceleración es 7 m/s2 y el periodo de su órbita es de 2 horas, calcular el radio de la

órbita. (2 puntos)

- ¿Con qué fuerza atraerá la Tierra a un astronauta de 70 kg que se encuentra en la estación?

(1 punto)

Solución

La aceleración del satélite es la aceleración centrípeta: 2 2 2

2

2 2

4 9192 km

4

v R T gg R R

R T

El módulo de la fuerza con la que la Tierra atraerá al astronauta será

490 NF mg

2. Una esfera hueca de radio interior R2 y radio exterior R3 (ver figura) contiene una carga

uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad . En su centro hay una

esfera sólida de radio R1 cargada uniformemente con una carga total q.

Encuéntrese la magnitud y dirección del campo eléctrico creado por esta distribución de

carga para:

a) 1 2

R r R (1 punto)

b) 3

r R (1,5 puntos)

Solución


interiorˆ 4

SdA kQ E n ,


interior

2

( )ˆ( )

kQ rr

rE n



a) Cuando 1 2

R r R

interior( )Q r q

2ˆ( )

kqr

rE n

b) Cuando 3

r R tenemos que

3 3

interior 3 2

4( )

3Q r q V q R R

3 3

3 2

2

4

3ˆ( )

k q R R

rr

E n

3. Determinar el ángulo límite de incidencia a partir del cual se produce reflexión total entre

un medio en el que la luz viaja a 5 12 10 km s y el aire. (1,5 puntos)

¿Se podrá producir la reflexión total en las dos direcciones, medioaire y airemedio?

Explicar razonadamente. (1 punto)

Datos: aire

1n . 83 10 m/sc .

Solución

R3

R2

R1

El ángulo límite de reflexión total, i

, es aquel que produce un ángulo de refracción de

90º, 90ºr

. Aplicando la ley de la refracción:

sin sini i r r

n n

bajo este supuesto tenemos que

arcsin arcsin 41,8ºr

i

i

n v

n c

.

(Recordamos que /n c v )

Como se puede apreciar, para que se pueda producir la reflexión total, el medio refractante

debe tener un índice de refracción menor que el medio de incidencia (r i

n n ), o lo que es

lo mismo, la velocidad de propagación de la luz en el medio refractante debe ser mayor que

en el medio de incidencia (r i

v v ). Por lo tanto, la reflexión total sólo podrá tener lugar en

la dirección medioaire, pero no al revés.

4. La función de onda de una onda armónica que se propaga en una cuerda situada a lo

largo del eje X es ( , ) 0,03sen(2,2 3,5 )y x t x t , donde todas las magnitudes están en

unidades del Sistema Internacional.

- Determinar cómo oscila un punto situado en el origen de coordenadas. (1 punto)

- Calcular la velocidad que tiene un punto de la cuerda situado en 3 mx cuando 2 st .

(1 punto)

Solución

La oscilación en el origen de coordenadas será

( 0, ) 0,03sen(3,5 ) my x t t .

La velocidad de cualquier punto de la cuerda será

( , )0,105cos(2,2 3,5 )y

dy x tv x t

dt .

En el punto e instante pedidos será

( 3, 2) 0,105cos(6,6 7) 0,054 m/syv x t

OPCIÓN B

1. Supongamos que un satélite tarda el mismo tiempo en describir una órbita alrededor de la

Tierra en su superficie que en describir una órbita alrededor de la Luna también en su

superficie. Sabiendo que el radio de la Tierra es 3,67 veces más grande que el radio de la

luna ( 3,67T L

R R ), calcular la relación entre las masas de la Tierra y la Luna. (2,5

puntos)

Solución

Como el satélite se mueve en ambos casos bajo la acción del campo gravitatorio de cada

astro tenemos que 2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

4

4

T T

T T T

T T T

L L

L L L

L L L

M m vG m m R m R

R R T

M m vG m m R m R

R R T

Como T L

T T , dividiendo ambas ecuaciones llegamos a 3

3

T T

L L

M R

M R

Por lo que el resultado final será 49,4T L

M M .

2. Supongamos una espira cuadrada de lado a situada en el plano del papel por la que

circula una corriente de intensidad I en el sentido horario. La espira se encuentra en un

campo magnético uniforme B perpendicular al plano de la espira saliendo del papel.

Calcular la fuerza total que el campo magnético ejerce sobre la espira y cuál será el efecto

de esas fuerzas sobre la misma: desplazarla, girarla, oprimirla o agrandarla. (3 puntos)

Solución

La fuerza que siente cada lado de la espira es

I F L B Por tanto, los lados opuestos de la espira experimentarán fuerzas iguales en módulo y

dirección, pero de sentidos opuestos ya que las corrientes son antiparalelas, de modo que se

cancelarán y la fuerza total será nula. Por otro lado, es fácil comprobar que todas las fuerzas

estarán contenidas en el plano de la espira, siendo perpendiculares a cada lado y apuntando

hacia adentro de la espira, por lo que tenderán a constreñirla.

3. Considerar un objeto que realiza un movimiento armónico simple con la siguiente

ecuación para la aceleración en función del tiempo: 2490cos(9,9 ) cm/sa t .

-¿Cuál es la amplitud de la oscilación? (1 punto).

-¿En qué tiempos alcanza el objeto los máximos desplazamientos? (1 punto).

Solución

Para un MAS se cumple que 2( ) ( )a t x t

de donde obtenemos la amplitud de la oscilación

max

2 2

4905 cm

9,9

aA


5cos(9,9 ) cmx t

de modo que el objeto alcanzará los máximos desplazamientos cuando

cos(9,9 ) 1 9,9 0, ,2 ,3 ... = , 0,1,2,3...t t n n

es decir

s, 0,1,2,3...9,9

nt n

4. Al incidir sobre un metal una radiación de 200 nm de longitud de onda, los

fotoelectrones son emitidos con una velocidad máxima de 106 m/s. Calcular la frecuencia

umbral para que se produzca la fotoemisión de electrones en ese metal. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh . 83 10 m/sc . 19eV 1,60 10 J . 319,1 10 kg

em .

Solución


maxcE hv

Por otro lado, la frecuencia umbral se calcula a partir de la función de trabajo, o energía de

extracción del metal, , como

uvh

.

Sustituyendo la ecuación de arriba en la de abajo tenemos 2

14 max max/ / 28,1 10 Hzc e

u

hv E hc m vv

h h h

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Deducir la expresión de la energía total de un satélite que orbita alrededor de la Tierra en

función exclusivamente de G, la masa de la Tierra MT, la masa del satélite m y la velocidad

angular del satélite. Considerar que el origen de energía potencial se encuentra en un

punto infinitamente alejado. (2,5 puntos)

Solución

En una órbita cualquiera la energía del satélite vendrá dada por la suma de su energía

cinética más potencial:

21

2

T

T c

M mE E U mv G

r ,

donde hemos elegido el origen de energía potencial ( 0U ) en r

Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria es la responsable del movimiento orbital

tenemos que: 2

2

2

1 1

2 2

T TM m v M m

G m mv Gr r r

,

por lo que la energía total tendrá la forma:

1

2

T

T

M mE G

r .

Ahora sólo tenemos que expresar el radio de la órbita en función de la velocidad angular, lo

cual es fácil volviendo a la igualdad entre fuerza de atracción y fuerza centrípeta:

2 3

2 2 T T

M m MG m r r G

r

,

de modo que tenemos

2/3

1/3

2

1 1

2 2

T

T T

T

M mE G m GM

MG

.

2. Se disponen 4 cargas puntuales en los vértices de un cuadrado centrado en el

origen: una carga q en el punto ( 1,1) , una carga 2q en (1,1), una carga 3q en

(+1, 1) y otra de 6q en (1, 1). Calcular el campo eléctrico en el origen. (2,5 puntos)

Solución

Para calcular el campo eléctrico en cualquier punto es necesario aplicar el principio de

superposición. Por la simetría del problema vemos que el campo resultante en el origen

tendrá componente nula en la dirección Y. En cuanto a la dirección X tenemos

2 3 6 2 N/C 2 2 N/C

2 2 2 2 2

q q q qk kq

E = i = i


ecuación para la aceleración en función del tiempo: 2( ) 490cos(9,9 ) cm/sa t t .

-¿Cuál es el valor máximo del módulo de la velocidad del objeto? (1 punto).

-¿En qué tiempos alcanza el objeto esta velocidad máxima? (1,5 puntos).

Solución

Las ecuaciones generales del movimiento son

2

( ) cos( )

( ) sin( )

( ) cos( )

x t A t

v t A t

a t A t

de donde se deduce que

max

max

49049,5 cm/s

9,9

av


( ) 49,5sin(9,9 ) cm/sv t t

de modo que el objeto alcanzará la velocidad máxima cuando

3 5sin(9,9 ) 1 9,9 , , ,... = , 0,1,2,3...

2 2 2 2t t n n

es decir

(2 1) s, 0,1,2,3...19,8

t n n

4. Supongamos que tenemos un átomo de hidrógeno descrito por el modelo de Bohr.

Recordamos que según este modelo, la energía total del electrón tiene la forma

0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . El electrón se encuentra en el primer nivel excitado ( 2n ) y

absorbe la energía de un fotón. Como consecuencia el electrón escapa del átomo con una

energía cinética de 10 eV, quedando este último ionizado. Calcular la frecuencia del fotón.

(2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

Solución

La energía del fotón debe ser la necesaria para ionizar el átomo desde 2n y comunicar la

energía sobrante al electrón. La energía de ionización en el primer estado excitado es

0

2 2

13,63,4 eV

2

EE

n

La energía del fotón incidente tiene que ser

3,4 10 13,4 eVhv

Y su frecuencia es

15 3,24 10 HzE

vh


OPCIÓN B

1. Un proyectil es lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad

inicial de 15 km/s. Explicar razonadamente qué sucederá con el proyectil y calcular el

estado final de su movimiento despreciando la interacción con otros astros. (2,5 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G T

6370 km.R 24

T5,98 10 kg.M

Solución

La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre desde la superficie de la Tierra es

211,2 km/sT

e

T

GMv

R

Como la velocidad inicial es mayor, el proyectil escapará del campo terrestre y se alejará

indefinidamente siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la dirección inicial del

lanzamiento. Su movimiento será decelerado tendiendo a una velocidad límite constante (ya

que no actúan más fuerzas sobre el proyectil). Aplicando conservación de la energía

mecánica podemos obtener la velocidad límite:

, ,

2 2

0

1 10

2 2

c i i c f f

T

f

T

E U E U

GM mmv mv

R

Despejando se obtiene 2 2 2

0 0

29,98 km/sT

f e

T

GMv v v v

R

2. Una carga puntual q1 se mueve con velocidad constante de módulo v1 a lo largo del eje X

en la dirección positiva. Determinar la fuerza que ejerce el campo magnético creado por esa

carga sobre otra carga q2 que se mueve sobre el eje Y en la dirección positiva con velocidad

v2, en el momento en el que la primera carga pasa por el origen de coordenadas y la

segunda carga pasa por el punto (0, b, 0). Expresar el resultado en función de los datos del

enunciado. (2,5 puntos)


ˆrr r vale 0

2

ˆ

4

q

r

v rB

Solución


1 1

2 2

v

v

b

v i

v j

r j


0 1 1 0 1 1 0 1 1

2 2 2

ˆ

4 4 4

q q v q v

r b b

v rB i j k

y la fuerza que este campo ejercerá sobre la carga 2


0 1 2 1 2 0 1 2 1 22 2 2 24 4

q q v v q q v vq

b b

F v B j k i

3. El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda en tensión situada en el eje

X oscila con un movimiento armónico en el que el desplazamiento transversal varía con el

tiempo según la ecuación ( ) 0,2sen( 2,1) my t t . Esto genera una onda armónica

transversal que se propaga por la cuerda en el sentido positivo del eje X a 0,5 m/s. Obtener

la ecuación de la onda. (2,5 puntos)

Solución


del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


( ) sen( )y t A t .


0,2 m

rad/s

2,1 rad

A


2 rad/mkv

,


( , ) 0,2sen(2 2,1) my x t x t .

4. Calcular la energía liberada en la reacción de fusión de cuatro núcleos de hidrógeno para

formar un núcleo de helio: 1 4

1 24 H He 2e ,

sabiendo que la masa del núcleo 4

2 He es 4,0015 u, la masa del núcleo 1

1H es 1,0073 u y la

masa del positrón e es 5,4910

-4 u. (2,5 puntos)

Datos: 2 931,5 MeV / uc .

Solución

42

2 2 2

He( ) 4 2 24,7 MeVi f p e

Q m c m m c m m m c


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Deducir la expresión de la energía total de un satélite que orbita alrededor de la Tierra en

función exclusivamente de G, la masa de la Tierra MT, la masa del satélite m y el periodo

orbital T del satélite. Considerar que el origen de energía potencial se encuentra en un punto

infinitamente alejado. (2,5 puntos)

Solución

En una órbita cualquiera la energía del satélite vendrá dada por la suma de su energía

cinética más potencial:

21

2

T

T c

M mE E U mv G

r ,

donde hemos elegido el origen de energía potencial ( 0U ) en r

Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria es la responsable del movimiento orbital

tenemos que: 2

2

2

1 1

2 2

T TM m v M m

G m mv Gr r r

,

por lo que la energía total tendrá la forma:

1

2

T

T

M mE G

r .

Ahora sólo tenemos que expresar el radio de la órbita en función del periodo de rotación, lo

cual es fácil volviendo a la igualdad entre fuerza de atracción y fuerza centrípeta: 2

3 2

2 2 2

4

4

T TM m M

G mr r G Tr T

,

de modo que tenemos

2/3

1/3

2

2

1 1 2

2 2

4

T

T T

T

M mE G m GM

TMG T

.

2. Un dipolo está constituido por dos cargas positivas iguales q situadas en el eje Y: una

está en y = a y la otra en y = a. Obtener la expresión del campo eléctrico en cualquier

punto del eje X. (2,5 puntos)

Solución

Por la simetría del problema es fácil darse cuenta que campo eléctrico producido por el

dipolo en el eje X no tiene componente Y, y que vale

3/2

2 2

2qxk

x a

E i


largo del eje X es ( , ) 0,03sen(2,2 3,5 )y x t x t , donde todas las magnitudes están en


- ¿En qué sentido se propaga la onda y cuál es su velocidad? (1 punto)

- Determinar el desplazamiento de la cuerda en función del tiempo en un punto situado en

a dos metros del origen. (1 punto)

Solución

La onda se propaga en el sentido negativo del eje X y su velocidad es

3,51,59 m/s

2,2v

k

El desplazamiento será

( 2, ) 0,03sin(3,5 4,4) my x t t .

4. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire perpendicularmente sobre la

superficie lateral de un prisma triangular con índice de refracción 1,5 (ver figura).

- Hacer un esquema con la trayectoria del rayo y calcular el ángulo de refracción con el que

el rayo sale del prisma de nuevo al aire. (2 puntos).

- Calcular la desviación del rayo, al salir del prisma, respecto a la dirección inicial. (1

punto).

Datos: aire

1n .

Solución

Si la luz incide perpendicularmente sobre la superficie de separación de los dos medios,

seguirá propagándose en la misma dirección. Por la geometría del problema tenemos que el

ángulo de incidencia en la cara derecha del prisma es 40ºi . Aplicando la ley de la

refracción tenemos

sin sini i r r

n n

Despejando

arcsin sin 74,6ºprisma

r i

aire

n

n

La desviación del rayo con respecto a la dirección inicial será

40º 34,6ºr

40º

40º

i r


OPCIÓN B

1. En relatividad general, el horizonte de sucesos es una superficie imaginaria de forma

esférica que rodea a un agujero negro, en la cual la velocidad de escape necesaria para

alejarse del mismo coincide con la velocidad de la luz (3×108 m/s). Por ello, ninguna cosa

dentro de él, incluyendo los fotones (partículas que “componen” la luz), puede escapar

debido a la atracción de un campo gravitatorio extremadamente intenso. Supongamos que

en la etapa final de nuestro Sol, éste colapsa gravitatoriamente debido a la atracción

gravitatoria provocada por su propia masa. Esto significa que su radio comienza a disminuir

con el tiempo y su densidad aumenta. Sabiendo que la masa del Sol es aproximadamente de

2×1030

kg, calcular el radio máximo que debería tener el nuevo objeto (lo que podría

identificarse con su horizonte de sucesos) para que pudiera considerarse como un agujero

negro. (2 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución:

La velocidad de escape de un campo gravitatorio creado por una masa M, a una distancia R

de la misma, tiene la forma:

2e

GMv

R ,

En nuestro caso, para calcular el horizonte de sucesos tenemos que considerar que esa

partícula es un fotón que se mueve a la velocidad de la luz c. Así pues tenemos:

2Sol

GMc

R .

Despejando obtenemos el radio de nuestra estrella convertida en agujero negro:

3 kmR

2. En una zona del espacio hay un campo eléctrico en la dirección y sentido positivo del eje

Z: 1000 N/CE k , y un campo magnético en la dirección y sentido positivo del eje Y:

0,5 TB j . Se lanza un protón en esa zona del espacio perpendicularmente a ambos

campos. Calcular el vector velocidad con el que el protón debe penetrar en los campos para

que una vez dentro de ellos su velocidad no varíe ni en dirección ni en módulo. (2,5

puntos)

Solución

De la geometría del problema está claro que el vector velocidad debe tener la dirección del

eje X: m/svv i . Por otro lado

1000 N

( ) 0,5 N

e

m

q q

q qv

F E k

F v B k

Como 0F entonces tenemos que 2000 m/sm e v F F y por consiguiente

2000 m/s v i .

http://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_escape

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz

http://es.wikipedia.org/wiki/Fot%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatorio

3. Considérese una partícula que describe un movimiento armónico simple de amplitud 10

cm alrededor del origen ( 0x ). En el instante inicial la partícula pasa por el origen con

velocidad 5 cm/sv .

- Obtener las ecuaciones de la posición x, la velocidad v y la aceleración a en función del

tiempo. (1,5 puntos)




Solución


2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t

En el instante inicial la partícula pasa por el origen, lo que significa que

(0) cos( ) 0

(0) sin( ) 5

x A

v A

De estas ecuaciones queda claro que = /2 rad/s y / 2 rad :

2

10cos cm2 2

15,7sin cm/s2 2

24,7cos cm/s2 2

x t

v t

a t


1 2 3 4

-10

-5

5

10

1 2 3 4

-15

-10

-5

5

10

15


0t se observa que la fuente tiene una actividad (número de desintegraciones por unidad

de tiempo) de 2000 desintegraciones/s. Determinar el número de núcleos que se han

desintegrado al cabo de 2 minutos. (2,5 puntos)

Solución

El número de núcleos N de una muestra varía en el tiempo como ln2

0 0( )t

t TN t N e N e

Por otro lado, la actividad de la muestra es

( ) ( )A t N t .

En nuestro caso, en el instante inicial tenemos

500 0 0

ln2 1,73123 10 núcleos

ln2

TAA N N

T .

Al cabo de 2 minutos tendremos

2ln 2 00 0( 2)

4

t NN t N e N e ,

De modo que se han desintegrado 03129843

4

N núcleos.

1 2 3 4

-20

-10

10

20

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Supongamos que lanzamos verticalmente un proyectil desde la superficie de la Tierra

dirigido hacia la Luna. Si despreciamos cualquier tipo de rozamiento y la influencia de

cualquier otro astro del Sistema Solar:

-¿En qué punto de su trayectoria la aceleración será nula? (1 punto)

-¿Cuál sería la velocidad inicial mínima del cohete necesaria para llegar a este punto y caer

en la Luna por acción de la gravedad lunar? (2 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G 24

T5,98 10 kg.M

T6370 km.R

22

Luna7,35 10 kg.M 8

Tierra-Luna3,84 10 m.d

Solución

La aceleración será nula cuando sobre el proyectil no actúe ninguna fuerza neta, o lo que es

lo mismo, cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo sea nula. En nuestro

problema esto ocurrirá cuando la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra se anule con

la atracción gravitatoria de la Luna (ya que tienen sentidos opuestos):

22

T L

T L

M m M mG G

r d r

,

donde r está medida con respecto a la Tierra. Esta ecuación tiene dos soluciones, pero sólo

nos interesa aquella que proporciona el punto entre la Tierra y la Luna en el que los campos

tienen sentidos opuestos, es decir T L

r d

, que es: 83,46 10 mr

Para calcular la velocidad inicial mínima que debe tener el proyectil hasta llegar a este

punto podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica, suponiendo

que llegará a este punto r con velocidad nula.

, , , , , ,

2

0

1

2

i f

c i T i L i c f T f L f

T L T L

T T L T T L

E E

E U U E U U

M m M m M m M mmv G G G G

R d R r d r

donde hemos elegido el origen de energías potenciales en un punto infinitamente alejado:

0U en r .

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: En la energía mecánica total de la partícula hay

que tener en cuenta la energía potencial debida al campo gravitatorio lunar.

Despejando v0 obtenemos la velocidad pedida:

v0 = 11,08 km/s.

2. Tres cargas puntuales positivas 1q , 2q y 3q , se encuentran fijadas en los vértices de un

triángulo equilátero de lado l .

- Calcular la energía potencial electrostática de la distribución. (1 punto)

- Supongamos que las dejamos en libertad sucesivamente: primero la carga 1q dejando fijas

las otras dos; al cabo de un tiempo suficientemente grande liberamos la carga 2q

manteniendo fija 3q . Finalmente, después de esperar otra vez el tiempo necesario, soltamos

la carga 3q . Calcular la energía cinética final que tendrá cada carga. (1,5 puntos)

Solución

La energía potencial electrostática de la distribución será

1 2 1 3 2 3q q q q q qU k

l

Las cargas, una vez en libertad, se mueven espontáneamente por la acción del campo

eléctrico creado por las otras cargas buscando minimizar su energía potencial. En este caso,

como todas son cargas positivas, tenderán a alejarse indefinidamente unas de otras. Como

el campo electrostático es conservativo, la energía cinética final que tendrá cada carga será

igual a la energía potencial que tenía en el momento de la liberación.

En el caso de 1q tenemos que la energía cinética final será:

1 2 1 3

1 1

q q q qT U k

l

Para la carga 2q tenemos

2 32 2

q qT U k

l .

En el caso de la carga 3q , como las otras dos se encuentran a una distancia infinita de ella,

no sentirá la acción de ningún campo eléctrico por lo que se quedará en reposo en la

posición en la que estaba inicialmente.

3 0T

3. Un rayo de luz monocromática incide desde al aire sobre un medio formado por dos

láminas de distinto material, tal y como se muestra en la figura. El ángulo de incidencia es

30ºi y el índice de refracción del primer material es n1=1,5. Después, el rayo alcanza el

punto A de la separación con el otro material. ¿Cuál es el máximo valor de n2 para que se

produzca la reflexión total? (2,5 puntos)

Datos: aire

1n .

Solución

De la ley de la refracción

sin sini i r r

n n ,

obtenemos el ángulo de refracción del rayo en el primer material:

1


r i

n

n

El ángulo complementario será el ángulo de incidencia sobre el segundo material:

' 90 70,53ºi r . Para que se produzca la reflexión total, el ángulo de refracción del

rayo en este segundo material debe ser 90º, ' 90ºr

. Ahora debemos aplicar de nuevo la

ley de la refracción bajo este supuesto

1 2 2 1sin ' sin ' sin ' 1,41

i r in n n n

4. La ecuación del efecto Doppler: r

r f

f

v uf f

v u

, relaciona la frecuencia observada por el

receptor, r

f , con la frecuencia del foco emisor f

f de una onda que se propaga por un

medio en reposo con velocidad v, siendo f

u el módulo de la velocidad del foco emisor con

respecto al medio y r

u el módulo de la velocidad del receptor. La elección correcta de los

signos depende de si foco y receptor se alejan o se acercan entre sí. Sabiendo en qué

consiste el efecto Doppler, responder razonadamente a las siguientes preguntas:

- ¿Qué signo deberá elegirse en el numerador cuando el receptor se mueve hacia el foco? (1

punto) - ¿Qué ocurrirá cuando el foco y el receptor se mueven con la misma velocidad en la misma

dirección y sentido? (1 punto)

Solución

i

n1

n2 A


La elección correcta del signo se determina recordando que la frecuencia tiende a aumentar

cuando el foco se mueve hacia el receptor o cuándo éste se mueve hacia el foco. Si el

receptor se mueve hacia el foco, en el numerador habrá que elegir el signo positivo, lo cual

tiende a aumentar la frecuencia recibida. Cuando r fu u tenemos que el signo en el

numerador y en el denominador será el mismo, por lo que r f

f f , es decir, la frecuencia

observada es igual a la emitida.

OPCIÓN B

1. Dos planetas orbitan alrededor de una estrella de masa desconocida por la acción de su

campo gravitatorio.

- El primero de ellos describe una órbita circular de radio 1010

m y periodo 1 año. Calcular

la masa de la estrella. (1 punto)

- El segundo, sin embargo, describe una órbita elíptica, encontrándose el afelio (punto más

alejado) a 2×1010

m de la estrella y el perihelio (punto más cercano) a 0,6×1010

m. Aplicar

la tercera Ley de Kepler para obtener el periodo de la órbita del segundo satélite. (1,5

puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Como la fuerza de atracción gravitatoria de la estrella es la responsable del movimiento

orbital de los planetas podemos escribir: 2 2 3

2 261

1 1 12 2 2

1 1 1

4 4 5,95 10 kg

mM RG m R m R M

R T G T

.

Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del periodo orbital de un planeta es


distancia media. Para el primer satélite esta longitud es el radio de la órbita, mientras que

para el segundo será:

10

21,3 10 m

2

afelio periheliod d

R

Ahora podemos aplicar la tercera Ley de Kepler:

2 2

3/21 2

2 1 2 13 3

1 2

/ 1,48 añosT T

T T R RR R

2. Una carga q1 se mueve con velocidad v1 a lo largo del eje X en el sentido positivo. En un

momento dado, cuando q1 se encuentra en el punto (-b,0,0) m, otra carga q2 que se mueve a

lo largo del eje Y en el sentido también positivo con velocidad v2, pasa por el origen de

coordenadas. Discutir de forma razonada cuál de las dos cargas siente en ese momento la

fuerza producida por el campo magnético inducido por la otra carga, y obtener el valor de

la fuerza en función de los datos del enunciado. (3 puntos)

Datos: El campo magnético creado por una carga puntual q situada en el origen con

velocidad v en el punto ˆrr r vale 0

2

ˆ

4

q

r

v rB

Solución




1 1

2 2

1 2

2 1

v

v

b

b

v i

v j

r i

r i


1 2

0 1 1 1 2 0 1 1

2 2

ˆ

4 4

q q v

r b

v rB i i 0

por lo que la carga 2 no sentirá el campo de la carga 1 y no experimentará ninguna fuerza.


2 1

0 2 2 2 1 0 2 2 0 2 2

2 2 2

ˆ

4 4 4

q q v q v

r b b

v rB j i k

por lo que la carga 1 sentirá la fuerza

0 2 2 1 1 0 2 2 1 1

2 1 1 1 2 1 2 24 4

q v q v q v q vq

b b

F v B i k j

3. Un objeto de masa 2 kg ligado a un muelle de constante 40 N/mk oscila libremente

realizando un movimiento armónico simple. Cuando pasa por la posición de equilibrio el

módulo de su velocidad es 25 cm/s.

- Calcular la energía total del objeto. (1 punto)

- ¿En qué posiciones el módulo de la velocidad es igual a la mitad de su valor máximo?

(1,5 puntos)

Solución

Del estudio del MAS sabemos que la velocidad máxima se alcanza cuando el objeto pasa

por la posición de equilibrio, por lo tanto tenemos que max

0,25 m/sv y la energía total del

objeto será (en este punto la energía potencial es nula)

2

max

1 = 0,0625 J

2E mv

Para el segundo apartado podemos escribir

2

2 2max

max

1 1 1

2 2 2 2

cE U E

vm kx E mv

Despejando obtenemos 2

max3 3

= 0,048 m4 2

mv Ex

k k

4. Según el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, la energía total del electrón tiene la

forma 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . Calcular la longitud de onda del fotón emitido como


consecuencia de la relajación del electrón desde el estado excitado ( 5)n hasta el estado

fundamental ( 1)n . (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ; 83 10 m/sc .

Solución

La energía del fotón emitido vendrá dada por la diferencia de energías entre los niveles

atómicos ocupados por el electrón:

0 2 2

1 1i f

i f

hv E E En n

.

Despejando la longitud de onda 1

8

2 2

0

1 19,51 10 m

i f

hc

E n n


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. Supongamos que lanzamos verticalmente un proyectil desde la superficie de la Tierra

dirigido hacia la Luna. Si despreciamos cualquier tipo de rozamiento y la influencia de

cualquier otro astro del Sistema Solar:

-¿En qué punto de su trayectoria la aceleración será nula? (1 punto)

-¿Cuál sería la velocidad inicial mínima del cohete necesaria para llegar a este punto y caer

en la Luna por acción de la gravedad lunar? (2 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G 24

T5,98 10 kg.M

T6370 km.R

22

Luna7,35 10 kg.M 8


Solución

La aceleración será nula cuando sobre el proyectil no actúe ninguna fuerza neta, o lo que es

lo mismo, cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre el mismo sea nula. En nuestro

problema esto ocurrirá cuando la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra se anule con

la atracción gravitatoria de la Luna (ya que tienen sentidos opuestos):

22

T L

T L

M m M mG G

r d r

,

donde r está medida con respecto a la Tierra. Esta ecuación tiene dos soluciones, pero sólo

nos interesa aquella que proporciona el punto entre la Tierra y la Luna en el que los campos

tienen sentidos opuestos, es decir T L

r d

, que es: 83,46 10 mr

Para calcular la velocidad inicial mínima que debe tener el proyectil hasta llegar a este

punto podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica, suponiendo

que llegará a este punto r con velocidad nula.


, , , , , ,

2

0

1

2

i f

c i T i L i c f T f L f

T L T L

T T L T T L

E E

E U U E U U

M m M m M m M mmv G G G G

R d R r d r

donde hemos elegido el origen de energías potenciales en un punto infinitamente alejado:

0U en r .

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: En la energía mecánica total de la partícula hay

que tener en cuenta la energía potencial debida al campo gravitatorio lunar.

Despejando v0 obtenemos la velocidad pedida:

v0 = 11,08 km/s.

2. Se lanzan desde el infinito dos protones el uno hacia el otro, cada uno con velocidad 64 10 m/s. ¿Cuál será la distancia mínima de acercamiento? (masa y carga del protón

-271,67 10 kg y -191,6 10 C respectivamente) (2,5 puntos)

Datos: 9 2 29 10 Nm Ck .

Solución

Este problema se resuelve fácilmente aplicando el principio de conservación de la energía

mecánica. En el instante de máximo acercamiento las velocidades de los dos protones serán

cero.

, ,

2 2

2 15

2

10 2 0 8,6 10 m

2

c

f i c i c f

U E

U U E E

q kqk mv r

r mv

3. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de

incidencia de 30º. Sabiendo que la velocidad de propagación de la luz roja en el vidrio es de

186000 km s-1

y la de la luz azul es 180000 km s-1

¿qué ángulo formarán entre sí, dentro del

vidrio, los rayos rojo y azul? (2,5 puntos)

Datos: aire

1n ; 83 10 m/sc

Solución

A partir de la ley de la refracción:

sin sini r

i rv v

obtenemos el ángulo de refracción de cada color

arcsin sin r

r i

v

c


Para el rojo tenemos 18,06ºrojo y para el azul 17,46º

azul , por lo que el ángulo que

forman entre sí es 0,6º.


largo del eje X es ( , ) 0,1sen(2,2 0,5 0,21)y x t x t , donde todas las magnitudes están en


- Determinar cómo oscila un punto situado en el origen de coordenadas. (1 punto)

- Calcular la aceleración que tiene un punto de la cuerda situado a 5 m del origen cuando

1 st . (1 punto)

Solución

La oscilación en el origen de coordenadas será

( 0, ) 0,1sen( 0,5 0,21)y x t t m.

La aceleración de cualquier punto de la cuerda será 2

2 2

2

( , )0,1 0,5 sen(2,2 0,5 0,21) m/sy

d y x ta x t

dt .

En el punto e instante pedidos será 2 2( 5, 1) 0,1 0,5 sen(11 0,5 0,21) 0,019 m/sya x t


OPCIÓN B

1. Un satélite geoestacionario es aquél cuya posición permanece siempre en la vertical de

un determinado punto de la superficie terrestre a una distancia fija. Explicar razonadamente

por qué los satélites geoestacionarios pueden estar solamente en la vertical de puntos del

ecuador terrestre. (2 puntos)

Solución Al permanecer siempre en la vertical de un determinado punto, los satélites

geoestacionarios giran con la misma velocidad angular que lo hace la Tierra. La única

fuerza que actúa sobre ellos es la atracción gravitatoria que está siempre dirigida hacia el

centro de la Tierra. La fuerza gravitatoria entonces debe ejercer de fuerza centrípeta

responsable del movimiento circular de los cuerpos. La fuerza centrípeta siempre apunta

hacia el centro del giro.

En la figura vemos por qué un satélite geoestacionario tiene que estar siempre en la vertical

de un punto de latitud 0º, es decir, sobre el Ecuador. Sólo en esa latitud, la fuerza

gravitatoria puede ejercer como fuerza centrípeta ya que tendrían la misma dirección. En

cualquier otra latitud, por ejemplo la ilustrada en la figura, la fuerza centrípeta (flecha con

trazo discontinuo) y la gravitacional (flecha con trazo continuo) no coinciden en dirección,

por lo que el satélite jamás podrá estar siempre sobre el mismo punto girando con la Tierra,

únicamente por atracción gravitatoria.

2. Una carga q1 se mueve con velocidad v1 a lo largo del eje X en el sentido positivo. En un

momento dado, cuando q1 se encuentra en el punto (-b,0,0) m, otra carga q2 que se mueve a

lo largo del eje Y en el sentido también positivo con velocidad v2, pasa por el origen de

coordenadas. Discutir de forma razonada cuál de las dos cargas siente en ese momento la

fuerza producida por el campo magnético inducido por la otra carga, y obtener el valor de

la fuerza en función de los datos del enunciado. (3 puntos)


ˆrr r vale 0

2

ˆ

4

q

r

v rB

Solución



1 1

2 2

1 2

2 1

v

v

b

b

v i

v j

r i

r i


1 2

0 1 1 1 2 0 1 1

2 2

ˆ

4 4

q q v

r b

v rB i i 0

por lo que la carga 2 no sentirá el campo de la carga 1 y no experimentará ninguna fuerza.


2 1

0 2 2 2 1 0 2 2 0 2 2

2 2 2

ˆ

4 4 4

q q v q v

r b b

v rB j i k

por lo que la carga 1 sentirá la fuerza

0 2 2 1 1 0 2 2 1 1

2 1 1 1 2 1 2 24 4

q v q v q v q vq

b b

F v B i k j

3. Una masa puntual de 20 g oscila con un movimiento armónico simple en el eje X

alrededor de la posición de equilibrio ( 0)x . Una persona con un cronómetro toma los

tiempos en los que la masa pasa periódicamente por el mismo punto de amplitud máxima

10 cmx . Si los tiempos anotados son: ... 2

7 ,

2

5 ,

2

3 ,

2

t :

- Obtener la ecuación del movimiento. (1,5 puntos)

- ¿Cuál es el valor de la fuerza recuperadora responsable del movimiento cuando s 5t ? (1

punto)

Solución

Primero debemos obtener la ecuación del movimiento, cuya forma general es

cos( )x A t

De los datos tomados por la persona tenemos que el periodo vale sT . Así pues,

podemos escribir

( ) 0,1cos(2 )x t t

Para obtener la fase utilizamos uno de los tiempos anotados, ya que sabemos la posición

para ese tiempo. Utilizamos el primero, por ejemplo,

0,1 0,1cos( ) -

Ahora tenemos que la fuerza recuperadora es 2( ) ( ) ( ) 0,08 ( ) NF t ma t m x t x t

Por lo tanto 3(5) 0,08 (5) 6,7 10 NF x

4. Calcular la energía liberada en la fusión de dos núcleos de deuterio para dar un núcleo de

helio: 2 4

1 22 H He . (2,5 puntos)

Datos: 21 H

2,01355 um ; 42 He

4,00150 um ; 2 931,5 MeV/uc .

Solución

2 2 2,01355 4,00150 931,5 23,85 MeVQ m c


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular alrededor de

Venus por la acción de su campo gravitatorio es = 1,45×10-4

rad/s.

- Calcular el radio de la órbita. (1,5 puntos)

- Calcular la velocidad mínima con la que debemos lanzar una sonda desde el satélite para

que escape del campo gravitatorio de Venus. (1,5 puntos)

Datos: 24

Venus4,87 10 kg.M 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Si el satélite describe una órbita estacionaria, la fuerza centrípeta responsable de su

movimiento es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce Venus sobre el satélite:

2

2

mMm R G

R

Despejando obtenemos el radio de la órbita 1

3

224906 km

GMR

La velocidad pedida es igual a la velocidad de escape del planeta a una distancia dada por

el radio orbital:

25,11 km/s

escape

GMv

R


2. Tres cargas puntuales positivas 1q , 2q y 3q , se encuentran fijadas en los vértices de un

triángulo equilátero de lado l .

- Calcular la energía potencial electrostática de la distribución. (1 punto)

- Supongamos que las dejamos en libertad sucesivamente: primero la carga 1q dejando fijas

las otras dos; al cabo de un tiempo suficientemente grande liberamos la carga 2q

manteniendo fija 3q . Finalmente, después de esperar otra vez el tiempo necesario, soltamos

la carga 3q . Calcular la energía cinética final que tendrá cada carga. (1,5 puntos)

Solución

La energía potencial electrostática de la distribución será

1 2 1 3 2 3q q q q q qU k

l

Las cargas, una vez en libertad, se mueven espontáneamente por la acción del campo

eléctrico creado por las otras cargas buscando minimizar su energía potencial. En este caso,

como todas son cargas positivas, tenderán a alejarse indefinidamente unas de otras. Como

el campo electrostático es conservativo, la energía cinética final que tendrá cada carga será

igual a la energía potencial que tenía en el momento de la liberación.

En el caso de 1q tenemos que la energía cinética final será:

1 2 1 3

1 1

q q q qT U k

l

Para la carga 2q tenemos

2 32 2

q qT U k

l .

En el caso de la carga 3q , como las otras dos se encuentran a una distancia infinita de ella,

no sentirá la acción de ningún campo eléctrico por lo que se quedará en reposo en la

posición en la que estaba inicialmente.

3 0T

3. Supongamos que un cuerpo realiza un movimiento armónico simple alrededor de su

posición de equilibrio ( 0x ) debido a la acción de una fuerza F kx con 10 N/mk .

La amplitud de la oscilación es 2 m y el tiempo que tarda es describir una oscilación

completa es 2 segundos. Sabiendo que en 0t el desplazamiento es máximo y positivo,

representar gráficamente la variación de la energía cinética en función del tiempo (no es

necesario una representación exacta, basta simplemente con indicar los valores máximos y

mínimos de cada función, los puntos de corte con los ejes y la forma de las funciones). (2,5

puntos)

Solución


cos( )

sin( )

x A t

v A t

De los datos del enunciado deducimos que la fase inicial es nula ( 0 ) ya que

(0) 2 mx A , y la frecuencia angular es 2 / rad/sT . Por lo tanto, las

ecuaciones del movimiento serán

2cos( ) m

2 sin( ) m/s

x t

v t

La energía cinética será:

2 2 2

2

1 120sin ( ) J

2 2c

kE mv v t

4. En el análisis de ciertas sustancias cristalinas se emplea la difracción de rayos X, que se

basa en efectos ondulatorios que suceden cuando la longitud de onda es comparable a la

separación entre átomos del cristal. Si la separación entre los átomos de un cristal es de

unos 4 angstroms, estímese la energía de los fotones de los rayos X que debemos emplear.

(2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ; 83 10 m/sc .

Solución

Una longitud de onda de 4 angstroms corresponde a una frecuencia de

17/ 7,5 10 Hzc .

Aplicando la fórmula de Planck tenemos que la energía de los fotones vale 164,97 10 J 3105 eVE h .

0.5 1 1.5 2

5

10

15

20

OPCIÓN B

1. Un satélite geoestacionario es aquél cuya posición permanece siempre en la vertical de

un determinado punto de la superficie terrestre a una distancia fija. Explicar razonadamente

por qué los satélites geoestacionarios pueden estar solamente en la vertical de puntos del

ecuador terrestre. (2 puntos)

Solución Al permanecer siempre en la vertical de un determinado punto, los satélites

geoestacionarios giran con la misma velocidad angular que lo hace la Tierra. La única

fuerza que actúa sobre ellos es la atracción gravitatoria que está siempre dirigida hacia el

centro de la Tierra. La fuerza gravitatoria entonces debe ejercer de fuerza centrípeta

responsable del movimiento circular de los cuerpos. La fuerza centrípeta siempre apunta

hacia el centro del giro.

En la figura vemos por qué un satélite geoestacionario tiene que estar siempre en la vertical

de un punto de latitud 0º, es decir, sobre el Ecuador. Sólo en esa latitud, la fuerza

gravitatoria puede ejercer como fuerza centrípeta ya que tendrían la misma dirección. En

cualquier otra latitud, por ejemplo la ilustrada en la figura, la fuerza centrípeta (flecha con

trazo discontinuo) y la gravitacional (flecha con trazo continuo) no coinciden en dirección,

por lo que el satélite jamás podrá estar siempre sobre el mismo punto girando con la Tierra,

únicamente por atracción gravitatoria.


r f

f

v uf f

v u


receptor, r









- ¿Qué signo deberá elegirse en el denominador cuando el foco se aleja del receptor? (1

punto)

- ¿Qué ocurrirá cuando el receptor se aleja de un foco emisor estático con una velocidad v?

(1,5 puntos)

Solución


cuando el foco se mueve hacia el receptor o cuándo éste se mueve hacia el foco. Si el foco

se aleja del receptor, en el denominador habrá que elegir el signo positivo, lo cual tiende a

disminuir la frecuencia recibida.

Cuando el receptor se aleja de un foco emisor estático con una velocidad v, en el numerador

debemos emplear el signo negativo, de modo que

0r f

v vf f

v

.

El resultado es lógico ya que el receptor escapa de la onda al moverse a la misma

velocidad.

3. Por un conductor infinitamente largo (conductor 2) circula una corriente de intensidad

2I tal y como se muestra en la figura. Podemos suponer que su dirección coincide con el eje

X y que el sentido de la corriente es positivo. El conductor 1, de longitud l, se encuentra

suspendido sobre el conductor 2 y es libre de moverse sin rozamiento en la dirección

vertical (siempre quedando paralelo al conductor 2). Sabiendo que la masa del conductor 1

es m, calcular el sentido y el módulo de la corriente que debe circular por este conductor

para que quede suspendido en equilibrio a una distancia d del conductor 2. Expresar el

resultado en función de los datos del enunciado. (3 puntos)



mismo es 0

2

IB

r

.

Solución

El campo magnético producido por el conductor 2 con corriente 2 2II i en cualquier

punto del conductor 1 es:

0 22

2

I

d

B k ,

saliendo del papel.

Ahora supongamos que por el conductor 1 circula una corriente 1 1II i . La fuerza

magnética que experimentará debido al campo magnético creado por el conductor 2 es

0 2 11 1 2

2

I I lI

d

F L B j .

Para que este conductor se encuentre en equilibrio esta fuerza debe ser igual a su peso

0 2 11

0 2

20 0

2

I I l mg dmg I

d I l

F P j j .

Por tanto tenemos que el sentido de la corriente debe ser contrario a la corriente del

conductor 2 y su valor es

0 2

2mg d

I l

I i

4. Calcular la energía liberada en la fusión de dos núcleos de deuterio para dar un núcleo de

helio: 2 4

1 22 H He . (2,5 puntos)

Datos: 21 H

2,01355 um ; 42 He

4,00150 um ; 2 931,5 MeV/uc .

Solución

2 2 2,01355 4,00150 931,5 23,85 MeVQ m c

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular alrededor de la

Tierra por la acción de su campo gravitatorio es = 5×10-4

rad/s.

- Calcular el radio de la órbita. (1,5 puntos)

- Calcular la velocidad mínima con la que debemos lanzar una sonda desde el satélite para

que escape del campo gravitatorio de la Tierra. (1,5 puntos)

Datos: 24

T5,98 10 kg.M 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Si el satélite describe una órbita estacionaria, la fuerza centrípeta responsable de su

movimiento es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite:

2

2

mMm R G

R


3

211685 km

GMR

La velocidad pedida es igual a la velocidad de escape del planeta a una distancia dada por

el radio orbital:

28,26 km/s

escape

GMv

R

2. Supongamos que situamos una carga negativa en reposo en una región del espacio en la

que existe un campo eléctrico constante y uniforme.

- Describir qué le ocurrirá a la carga y explicar razonadamente si aumentarán, disminuirán

o permanecerán constantes las siguientes magnitudes: el potencial eléctrico en las

posiciones ocupadas por la carga, la energía potencial de la carga y su energía cinética. (1,5

puntos)

-¿Qué cambiará en la respuesta anterior si la carga es positiva? (1 punto)

Solución

La carga experimentará una fuerza constante debido al campo eléctrico y se moverá de

forma acelerada. Por ser negativa la carga, ésta se moverá espontáneamente en la dirección

del campo pero en sentido contrario, es decir, hacia potenciales mayores, de modo que el

potencial eléctrico en la posición ocupada por la carga aumentará 0V . La energía

potencial disminuirá ya que 0U q V mientras que la energía cinética, por tratarse de

un campo conservativo, aumentará.

Si la carga es positiva lo único que cambiará es que la carga se moverá en el sentido del

campo eléctrico de modo que el potencial eléctrico disminuirá.

3. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de

incidencia de 30º. Sabiendo que el índice de refracción del vidrio para el rojo es

rojo1,612n y para el azul

azul1,671n , ¿qué ángulo formarán entre sí, dentro del vidrio,

los rayos rojo y azul? (2 puntos)

Datos: aire

1n .

Solución

A partir de la ley de la refracción:

sin sini i r r

n n

obtenemos el ángulo de refracción de cada color

1arcsin sin

r i

rn

Para el rojo tenemos 18,07ºrojo y para el azul 17,41º

azul , por lo que el ángulo que

forman entre sí es 0,6º.

4. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 10 minutos. En el

tiempo 1 mint se observa que una cierta cantidad de esa sustancia tiene una actividad

(número de desintegraciones por unidad de tiempo) de 100 desintegraciones/s. Determinar

la actividad de la fuente al cabo de 5 minutos. (2,5 puntos)

Solución

La actividad de una muestra varía como ln2

0 0( )t

t TA t A e A e

.

En 1 mint tenemos ln2 ln2

10 100 0( 1) 100 100 107,2 BqA t A e A e

y al cabo de 5 min: ln2

2( 5) 107,2 75,79 Bq.A t e

OPCIÓN B

1. Un satélite artificial de masa m describe una órbita circular estacionaria de radio R

alrededor de la Tierra, que tiene una masa MT, bajo la acción de su campo gravitatorio.

- ¿Cuánto vale la energía total del satélite (energía potencial + energía cinética) en función

del radio de la órbita? Considerar que el origen de energía potencial se encuentra en un

punto infinitamente alejado. (1 punto)

- Supongamos ahora que en un instante dado, debido al rozamiento, el satélite pierde

energía y se sitúa en una nueva órbita estacionaria, ¿aumentará o disminuirá el radio de la

nueva órbita? Razonar la respuesta. (0,75 puntos)

- ¿Deberá aumentar o disminuir el satélite su velocidad para mantenerse en esa nueva

órbita? Razonar la respuesta. (0,75 puntos)

Solución

La energía potencial del satélite viene dada por la expresión T

0

GM mU U

R , donde

0U

es una constante que depende del origen de energía potencial considerado. Si suponemos,

por ejemplo, que 0U cuando r , tenemos entonces que 0

0U . Por otro lado la

energía cinética se calcula a partir de 2

2T

2

1

2 2

T

c

v M m M mm G E mv G

R R R .

Sumando ambas energías obtenemos que la energía total del satélite es:

2

T

c

M mE E U G

R .

Vemos que cuanto mayor es el radio de la órbita, mayor es la energía total del satélite (ya

que es negativa). Por tanto, si el satélite pierde energía, R disminuirá y descenderá a una

órbita de radio menor. Por otro lado, hemos visto arriba que la energía cinética del satélite

aumenta si disminuye el radio de la órbita estacionaria, por lo que la velocidad del satélite

deberá ser mayor.

2. La región del espacio donde existe un campo magnético está comprendida por todos

aquellos puntos del espacio en los que la coordenada y es mayor o igual que 0. En esa

región el campo magnético es constante y uniforme, valiendo 0

BΒ k . Situamos una

partícula con carga positiva q0, masa m0 y velocidad 0

vv j , siendo 0

0v , en el origen de

coordenadas. Describir el movimiento de la partícula, calcular el tiempo que la partícula

estará en la región del campo magnético y en qué punto del espacio abandonará dicho

campo, en función de los datos del enunciado. (3 puntos)

Solución

Al penetrar la partícula en la región donde existe el campo magnético experimentará una

fuerza perpendicular a la velocidad:

0 0 0 0q q v B F v B i ,

por lo que el plano del movimiento será el plano XY y la trayectoria descrita será una

semicircunferencia recorrida en el sentido horario, de radio (obtenido de igualar la fuerza

magnética con la fuerza centrípeta)

0 0

0 0

m vR

q B .

La partícula entrará en la región del campo por el origen de coordenadas y abandonará el

campo en el punto 0 0

0 0

22 ,0,0 ,0,0

m vR

q B

con una velocidad 0

v v j . El tiempo de

permanencia en la región del campo será igual a la mitad del periodo del movimiento

circular, o periodo ciclotrón:

0

0 0 0

1 1 2

2 2

R mt T

v q B

.

3. Una masa oscila en el eje X alrededor de su posición de equilibrio ( 0 cmx )

describiendo un movimiento armónico simple. En cada segundo realiza 2 oscilaciones

completas de amplitud 10 cm. Sabiendo que en el instante inicial la masa tiene una

velocidad 20 cm/sv con valor positivo del desplazamiento, obtener la ecuación

completa de la posición en función del tiempo. (2,5 puntos)

Solución


( ) cos( )

( ) sin( )

x t A t

v t A t

En nuestro caso tenemos que la frecuencia f es 2 Hz, por lo que la frecuencia angular es =

4 rad/s y la ecuación del movimiento tiene la forma:

( ) 10cos(4 )x t t

Sólo nos queda obtener la fase, la cual se calcula a partir de la condición inicial de la

velocidad

20(0) 20 40 sin( ) arcsin 0,16 ó 0,16

40v

Elegimos la fase de 0,16 porque el desplazamiento es positivo, por lo que la ecuación del

movimiento será

10cos 4 0,16 cmx t

4. Al iluminar un metal con una luz de 460 nm de longitud de onda observamos que se

emiten electrones con energía cinéticas que llegan hasta los 0,55 eV. Calcular la función de

trabajo del metal. (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ; 83 10 m/sc ;

19eV 1,60 10 J .

Solución


La energía cinética máxima de los fotoelectrones está relacionada con la energía de los

fotones de la radiación incidente y la función del trabajo del metal mediante:

maxcE hv .

Despejamos la función de trabajo

max 0,55 2,15 eVc

chv E h

.

NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular alrededor de

Venus por la acción de su campo gravitatorio es = 1,45×10-4

rad/s. Sabiendo que su

energía cinética es de 109 J, calcular la masa del satélite. (2,5 puntos)

Datos: 24

Venus4,87 10 kg.M 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

En primer lugar debemos calcular el radio de la órbita. Si el satélite describe una órbita

estacionaria, la fuerza centrípeta responsable de su movimiento es la fuerza de atracción

gravitatoria que ejerce Venus sobre el satélite:

2

2

mMm R G

R


3

224906 km

GMR

Ahora podemos calcular la masa del satélite a partir de la energía cinética:

2 2 2

2 2

1 1 2153,3 kg

2 2

c

c

EE mv m R m

R

2. Supongamos una espira cuadrada de lado a situada en el plano del papel por la que

circula una corriente de intensidad I en el sentido horario. La espira se encuentra en un

campo magnético uniforme B perpendicular al plano de la espira entrando en el papel.

Calcular la fuerza total que el campo magnético ejerce sobre la espira y cuál será el efecto

de esas fuerzas sobre la misma: desplazarla, girarla, oprimirla o agrandarla. (3 puntos)

Solución

La fuerza que siente cada lado de la espira es

I F L B Por tanto, los lados opuestos de la espira experimentarán fuerzas iguales en módulo y

dirección, pero de sentidos opuestos ya que las corrientes son antiparalelas, de modo que se

cancelarán y la fuerza total será nula. Por otro lado, es fácil comprobar que todas las fuerzas

estarán contenidas en el plano de la espira, siendo perpendiculares a cada lado y apuntando

hacia afuera de la espira, por lo que tenderán a agrandarla.

3. Explicar brevemente cómo se propagan las ondas sonoras, ¿cuál es la perturbación que se

propaga? (2 puntos)

Solución

Las ondas sonoras se generan mediante una vibración en el medio. La fuente vibrante hace

que las moléculas oscilen alrededor de sus posiciones de equilibrio en la dirección de la

propagación (ondas longitudinales). Estas moléculas chocan con otras moléculas próximas

haciéndolas oscilar y, por lo tanto, propagan la onda sonora. La perturbación que se

propaga es, por tanto, el desplazamiento de las moléculas del medio con respecto a su

posición de equilibrio a lo largo de la dirección del movimiento de la onda. Estos

desplazamientos dan lugar a variaciones en la densidad y por tanto, en la presión en el

medio, lo que da lugar a oscilaciones de las mismas. Por esa razón también se puede decir

que las ondas sonoras propagan oscilaciones o cambios en la densidad y presión, esto es,

son ondas de presión.

4. Un rayo de luz monocromática incide desde al aire sobre un medio formado por dos

láminas de distinto material, tal y como se muestra en la figura. El índice de refracción del

primer material es n1=1,5 y el del segundo es n2=1,4. Después, el rayo alcanza el punto A

de la separación con el otro material. Calcular el mayor ángulo de incidencia i

para que se

produzca la reflexión total en el punto A. (2,5 puntos)

Datos: aire

1n .

Solución

i

n1

n2 A

Para que se produzca la reflexión total, el ángulo de refracción del rayo en el punto A debe

ser de 90º, ' 90ºr

. Aplicando la ley de la refracción bajo este supuesto tenemos que

2

1 2

1

sin ' sin ' ' arcsin 69ºi r i

nn n

n

Para ángulos de incidencia menores que este ángulo crítico se producirá la refracción. Por

otro lado, este ángulo es complementario al ángulo de refracción r

del rayo cuando pasa

del aire al medio 1:

90º ' 21ºr i

Ángulos de refracción mayores que 21º no producirán reflexión total entre el medio 1 y el

2. Aplicando nuevamente la ley de refracción tenemos

1sin sin

aire i rn n .

Despejando

1

1

arcsin sin 21º arcsin sin 21º 32,5ºaire

r i i

aire

n n

n n

OPCIÓN B

1. Un satélite artificial de masa m describe una órbita circular estacionaria de radio R

alrededor de la Tierra, que tiene una masa MT, bajo la acción de su campo gravitatorio.

- ¿Cuánto vale la energía total del satélite (energía potencial + energía cinética) en función

del radio de la órbita? Considerar que el origen de energía potencial se encuentra en un

punto infinitamente alejado. (1 punto)

- Supongamos ahora que en un instante dado, debido al rozamiento, el satélite pierde

energía y se sitúa en una nueva órbita estacionaria, ¿aumentará o disminuirá el radio de la

nueva órbita? Razonar la respuesta. (0,75 puntos)

- ¿Deberá aumentar o disminuir el satélite su velocidad para mantenerse en esa nueva

órbita? Razonar la respuesta. (0,75 puntos)

Solución


0

GM mU U

R , donde

0U

es una constante que depende del origen de energía potencial considerado. Si suponemos,

por ejemplo, que 0U cuando r , tenemos entonces que 0

0U . Por otro lado la

energía cinética se calcula a partir de 2

2T

2

1

2 2

T

c

v M m M mm G E mv G

R R R .


2

T

c

M mE E U G

R .

Vemos que cuanto mayor es el radio de la órbita, mayor es la energía total del satélite (ya

que es negativa). Por tanto, si el satélite pierde energía, R disminuirá y descenderá a una

órbita de radio menor. Por otro lado, hemos visto arriba que la energía cinética del satélite

aumenta si disminuye el radio de la órbita estacionaria, por lo que la velocidad del satélite

deberá ser mayor.

2. Se lanzan desde el infinito dos protones el uno hacia el otro, cada uno con velocidad 64 10 m/s. ¿Cuál será la distancia mínima de acercamiento? (masa y carga del protón

-271,67 10 kg y -191,6 10 C respectivamente) (2,5 puntos)

Datos: 9 2 29 10 Nm Ck .

Solución

Este problema se resuelve fácilmente aplicando el principio de conservación de la energía

mecánica. En el instante de máximo acercamiento las velocidades de los dos protones serán

cero.

, ,

2 2

2 15

2

10 2 0 8,6 10 m

2

c

f i c i c f

U E

U U E E

q kqk mv r

r mv


ecuación para la velocidad en función del tiempo: ( ) 49,5sen(9,9 ) cm/sv t t .

-¿Cuál es el valor máximo del módulo de la aceleración del objeto? (1 punto).

-¿En qué tiempos alcanza el objeto esta aceleración máxima? (1 punto).

Solución


2

( ) cos( )

( ) sin( )

( ) cos( )

x t A t

v t A t

a t A t

de donde se deduce que 2

max max49,5 9,9 490 cm/sa v

Por otro lado tenemos que 2( ) 490cos(9,9 ) cm/sa t t

de modo que el objeto alcanzará la aceleración máxima cuando

cos(9,9 ) 1 9,9 0, ,2 ,3 ... = , 0,1,2,3...t t n n

es decir

s, 0,1,2,3...9,9

nt n

4. Responder razonadamente a las siguientes preguntas sobre física nuclear:

- Supongamos que tenemos tres especies radiactivas y sabemos que cada una emite un tipo

distinto radiación: , y , pero no sabemos el tipo de desintegración de cada una. Si

hacemos pasar cada radiación por un campo eléctrico perpendicular a la dirección de

emisión, ¿esto nos ayudará a distinguir el tipo de radiación emitida por cada fuente?

Razonar la respuesta. (1,5 puntos)

Solución

Es evidente que sí, puesto que la radiación alfa está compuesta por partículas con carga

positiva (núcleos de He), la radiación beta por partículas con carga negativa (electrones) y

la radiación gamma por fotones sin carga. En los dos primeros casos, las fuerzas que

experimentarán las partículas de las radiaciones, debidas al campo eléctrico, tendrán

sentidos opuestos (por tener cargas opuestas) y distinto módulo (por tener diferente carga

neta), de modo que unas partículas se desviarán en un sentido y las otras en otro, mientras

que la dirección de los fotones sin carga de la radiación gamma no se verá afectada.


- Sabiendo que en núcleos pesados como el uranio el número de neutrones es

aproximadamente el doble que el de protones, y que en los núcleos estables más ligeros la

relación es de 1 a 1, ¿qué tipo de tipo de emisiones son esperables durante la fisión de

núcleos pesados a núcleos estables? Escoger la opción correcta y razonar la elección. (1,5

puntos)

a) Neutrones y partículas − (electrones)

b) Neutrones y partículas

c) Protones y partículas

d) Sólo partículas

Solución

El proceso de fisión de un núcleo pesado como el uranio debe dar lugar a núcleos más

ligeros en los que el número de protones se iguale al número de neutrones. Esto implica

disminuir el número de neutrones (emitiendo radiación de neutrones, por ejemplo), y

aumentar el número de protones a costa de disminuir el de neutrones (radiación beta). La

respuesta correcta será, por tanto, la a).


NOTA IMPORTANTE:




del mismo.






símbolos.



respuesta.


OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular alrededor de la

Tierra por la acción de su campo gravitatorio es = 5×10-4

rad/s. Sabiendo que su energía

cinética es de 109 J, calcular la masa del satélite. (2,5 puntos)

Datos: 24

T5,98 10 kg.M 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

En primer lugar debemos calcular el radio de la órbita. Si el satélite describe una órbita

estacionaria, la fuerza centrípeta responsable de su movimiento es la fuerza de atracción

gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite:

2

2

mMm R G

R


3

211685 km

GMR

Ahora podemos calcular la masa del satélite a partir de la energía cinética:

2 2 2

2 2

1 1 258,6 kg

2 2

c

c

EE mv m R m

R

2. Supongamos que situamos una carga negativa en reposo en una región del espacio en la

que existe un campo eléctrico constante y uniforme.

- Describir qué le ocurrirá a la carga y explicar razonadamente si aumentarán, disminuirán

o permanecerán constantes las siguientes magnitudes: el potencial eléctrico en las

posiciones ocupadas por la carga, la energía potencial de la carga y su energía cinética. (1,5

puntos)

-¿Qué cambiará en la respuesta anterior si la carga es positiva? (1 punto)

Solución

La carga experimentará una fuerza constante debido al campo eléctrico y se moverá de

forma acelerada. Por ser negativa la carga, ésta se moverá espontáneamente en la dirección

del campo pero en sentido contrario, es decir, hacia potenciales mayores, de modo que el

potencial eléctrico en la posición ocupada por la carga aumentará 0V . La energía

potencial disminuirá ya que 0U q V mientras que la energía cinética, por tratarse de

un campo conservativo, aumentará.

Si la carga es positiva lo único que cambiará es que la carga se moverá en el sentido del

campo eléctrico de modo que el potencial eléctrico disminuirá.

3. Una masa oscila en el eje X alrededor de su posición de equilibrio ( 0 cmx )

describiendo un movimiento armónico simple con frecuencia 2 Hz. Sabiendo que en el

instante inicial la masa pasa por la posición de equilibrio con una velocidad 20 cm/sv ,

obtener la ecuación completa de la posición en función del tiempo. (2,5 puntos)

Solución


( ) cos( )

( ) sin( )

x t A t

v t A t

En nuestro caso tenemos que la frecuencia angular es = 4 rad/s. Sustituimos la

condición inicial de la posición para obtener la fase

3(0) 0 cos( ) cm ó

2 2x A

Elegimos 2

porque la velocidad es negativa:

5(0) 20 4 sin( / 2) v A A


5( ) cos 4 cm

2x t t

4. La serie de Lyman del espectro de emisión del átomo de hidrógeno corresponde a

transiciones electrónicas que terminan en el estado fundamental ( 1n ). Sabiendo que

según el modelo de Bohr de este átomo, la energía total del electrón tiene la forma


0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n , determinar la longitud de onda más larga de todas las rayas de la

serie de Lyman. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ; 83 10 m/sc .

Solución

Para la serie de Lyman tendremos

0 2 2

1 1

1i f

hv E E En

La mayor longitud de onda corresponderá a la menor frecuencia (o menor energía), esto es,

a la transición menos energética, por lo que el estado inicial será al primer estado excitado

2n : 1

7

2 2

0

1 11,22 10 m

2 1

hc

E


OPCIÓN B

1. Dos planetas orbitan alrededor de una estrella de masa desconocida por la acción de su

campo gravitatorio.

- El primero de ellos describe una órbita circular de radio 1010

m y periodo 1 año. Calcular

la masa de la estrella. (1 punto)

- El segundo, sin embargo, describe una órbita elíptica, encontrándose el afelio (punto más

alejado) a 2×1010

m de la estrella y el perihelio (punto más cercano) a 0,6×1010

m. Aplicar

la tercera Ley de Kepler para obtener el periodo de la órbita del segundo satélite. (1,5

puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución

Como la fuerza de atracción gravitatoria de la estrella es la responsable del movimiento

orbital de los planetas podemos escribir: 2 2 3

2 261

1 1 12 2 2

1 1 1

4 4 5,95 10 kg

mM RG m R m R M

R T G T

.

Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del periodo orbital de un planeta es


distancia media. Para el primer satélite esta longitud es el radio de la órbita, mientras que

para el segundo será:

10

21,3 10 m

2

afelio periheliod d

R

Ahora podemos aplicar la tercera Ley de Kepler:

2 2

3/21 2

2 1 2 13 3

1 2

/ 1,48 añosT T

T T R RR R


r f

f

v uf f

v u


receptor, r









- ¿Qué signo deberá elegirse en el denominador cuando el foco se acerca al receptor? (1

punto) - ¿En qué condiciones el receptor medirá la máxima frecuencia y cuál es ese valor? (1,5

puntos)

Solución


cuando el foco se mueve hacia el receptor o cuándo éste se mueve hacia el foco. Si el foco



se acerca al recector, en el denominador habrá que elegir el signo negativo, lo cual tiende a

aumentar la frecuencia recibida.

En realidad, de la ecuación se deduce que la frecuencia recibida no está acotada y que se

hace tan grande como queramos a medida que la velocidad del foco emisor se aproxima a la

velocidad de transmisión de la onda en el medio, v. En este caso el foco emisor debe

aproximarse al receptor, que puede ser considerado estático o con una velocidad muy

inferior a v, para que se utilice el signo negativo en el denominador:

lim limf f

ru v u v

f

vf

v u

En el caso del sonido, por ejemplo, este límite produce una onda de choque que es

percibida por el receptor como un estallido.

3. Por un conductor infinitamente largo (conductor 2) circula una corriente de intensidad 2I

tal y como se muestra en la figura. Podemos suponer que su dirección coincide con el eje X

y que el sentido de la corriente es positivo. El conductor 1, de longitud l, se encuentra

suspendido sobre el conductor 2 y es libre de moverse sin rozamiento en la dirección

vertical (siempre quedando paralelo al conductor 2). Sabiendo que la masa del conductor 1

es m, calcular el sentido y el módulo de la corriente que debe circular por este conductor

para que quede suspendido en equilibrio a una distancia d del conductor 2. Expresar el

resultado en función de los datos del enunciado. (3 puntos)



mismo es 0

2

IB

r

.

Solución

El campo magnético producido por el conductor 2 con corriente 2 2II i en cualquier

punto del conductor 1 es:

0 22

2

I

d

B k ,

saliendo del papel.


Ahora supongamos que por el conductor 1 circula una corriente 1 1II i . La fuerza

magnética que experimentará debido al campo magnético creado por el conductor 2 es

0 2 11 1 2

2

I I lI

d

F L B j .

Para que este conductor se encuentre en equilibrio esta fuerza debe ser igual a su peso

0 2 11

0 2

20 0

2

I I l mg dmg I

d I l

F P j j .

Por tanto tenemos que el sentido de la corriente debe ser contrario a la corriente del

conductor 2 y su valor es

0 2

2mg d

I l

I i

4. En muchos materiales el índice de refracción disminuye ligeramente cuando crece la

longitud de onda de la luz, ¿qué longitudes de onda se desviarán menos (las cortas o las

largas) con respecto a la dirección incidente al atravesar el material? Justificar

razonadamente la respuesta. (2 puntos)

Solución

Partimos de la ley de Snell de la refracción

sin sini i r r

n n

y supondremos que el rayo incidente tiene la misma dirección y viene del mismo medio

independientemente de la longitud de onda (lo que ocurriría, por ejemplo, en el caso de un

haz de luz blanca incidiendo con un cierto ángulo sobre la superficie del material)

Tenemos que sin cte

i in y por consiguiente

ctesin ( )

( )r

rn

Vemos que al aumentar la longitud onda y disminuir el índice de refracción, el seno –y por

consiguiente el ángulo de refracción- aumentan, por lo que la desviación con respecto a la

dirección de incidencia será menor. Por lo tanto, se desviarán menos las longitudes de onda

largas

i

nr()

ni

r()


NOTA IMPORTANTE:

Este documento incluye DOS MODELOS DE EXAMEN denominados OPCIÓN A y OPCIÓN B. Cada una de las opciones está compuesta de cuatro ejercicios que podrán contener apartados. La puntuación máxima de cada ejercicio y/o apartado aparece al final del mismo.

El alumno deberá elegir una opción y responder a los ejercicios planteados en la misma. La opción elegida deberá estar claramente indicada en el examen, así como el ejercicio al que se está respondiendo.

En algunos ejercicios no se proporcionan datos numéricos, sino símbolos o expresiones que representan variables. En tal caso deberá desarrollar el problema operando con los símbolos.

En caso de que se responda a ejercicios de ambas opciones sólo se considerarán aquellos pertenecientes a la opción del primer ejercicio que aparezca en las hojas de respuesta.


OPCIÓN A

1. Sabiendo que la Luna tiene una masa L

M , que está situada a una distancia d

de la Tierra, y que el campo gravitatorio de la Tierra en la superficie terrestre 0

g

es 3600 mayor que el campo gravitatorio terrestre en el centro de la Luna, deducir la expresión de la energía cinética de la Luna en función, exclusivamente, de los datos del enunciado. (2,5 puntos)

Solución La energía cinética de la Luna es

21

2c L

E M v .

Ahora debemos calcular la velocidad v con la que orbita, a partir de la relación entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta:

1/22

2 T L T

L

M M MvG M v G

d d d

.

A partir del enunciado sabemos que

0

2 3600

TgM

Gd

De modo que finalmente obtenemos

2 01 1

2 2 3600

L

c L

M g dE M v

2. Se disponen 4 cargas puntuales en los vértices de un cuadrado de lado 2L centrado en el origen: una carga +q en el punto (-L, L), una carga -q en (L, L), una carga -q en (L, -L), y otra de +q en (-L, -L). - Calcular el potencial eléctrico creado por la distribución de carga en el origen. (1,5 puntos) - Calcular el trabajo total necesario para llevar una carga Q, inicialmente en reposo en el infinito, hasta situarla en el origen de coordenadas también en reposo. (1 punto)

Solución Primero calculamos el potencial en el origen debido a la distribución de carga

00 V

2 2 2 2

q q q qV k

L L L L

.

El trabajo necesario para mover una carga dentro de un campo conservativo sin modificar su velocidad es igual a la variación de su energía potencial. En este caso tenemos que la energía potencial inicial es nula por encontrarse la carga a una

distancia infinita del cuadrupolo: 0 Ji

U . Ahora tenemos que calcular la energía

potencial de la carga en el origen de coordenadas

00 J

fU QV .

Por consiguiente, el trabajo total será nulo

0 Jf i

W U U U .

3. - Explicar el principio de Huygens para la propagación de ondas. (1,5 puntos) - Ilustrar con una figura como se aplica este principio para explicar el proceso de propagación de una onda plana. (1 punto)

Solución El principio de Huygens es método geométrico para describir la propagación de una onda cualquiera a través del espacio. Cada punto de un frente de onda primario sirve como foco (o fuente) de ondas esféricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. El frente de onda primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas elementales

4. Calcular el número total de emisiones y que permitirían completar la

transmutación de 235

92 X a 207

82Y . (2,5 puntos)

Solución

La variación del número másico nos permite obtener el número de emisiones , ya que éste no varía durante las emisiones beta. Así pues tenemos que

235 4 207 7 emisiones x .

Después de esas 7 emisiones el número atómico debería haber disminuido en 14 unidades, y sin embargo ha disminuido en 10 unidades, lo que significa que ha

debido experimentar como mínimo 4 emisiones .

OPCIÓN B

1. Un satélite geoestacionario es aquél cuya posición permanece siempre en la vertical de un determinado punto de la superficie terrestre (más concretamente en la vertical del ecuador). Calcular el radio de la órbita de este tipo de satélites. (2.5 puntos)

Datos: 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución Al permanecer siempre en la vertical de un determinado punto, los satélites geoestacionarios giran con la misma velocidad angular con la que lo hace la Tierra, es decir, con un periodo T de revolución de 24 h (86400 s). Tenemos entonces que

2 2

2

2 2

4T T

M m vG m m R m R

R R T

.

Despejando R obtenemos

12 3

242000 km

4

TT M

R G

2. Supongamos una espira cuadrada de lado L situada en el plano xy por la que

circula una corriente de intensidad I en el sentido horario. La espira se encuentra

en un campo magnético uniforme B=B j con B positivo. - Calcular y representar en una figura la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado de la espira. (2 puntos) - Explicar razonadamente cuál será el efecto de la fuerza total del campo magnético sobre la espira: desplazarla, girarla, oprimirla o agrandarla. (1 punto)

Solución La fuerza que siente cada lado de la espira es

L F I B Los dos lados de la espira alineados con B no sentirán fuerza alguna, mientras que los otros dos lados, en la dirección x sentirán fuerzas iguales en módulo y dirección, perpendicular al plano de la espira, pero de sentidos opuestos.

1

2

L LIB

L LIB

F I B k

F I B k

Esto provocará un par de fuerzas sobre la espira que la hará girar, sin desplazarla, alrededor del eje x.

3. Los valores extremos de la aceleración de un movimiento armónico simple en el

eje X son 2 216 cm/s . Obtener la ecuación completa de la posición en función

del tiempo sabiendo que la frecuencia de la oscilación es de 4 Hz y que cuando t = 1/8 s la posición es x = 0,125 cm con velocidad negativa. (2,5 puntos)

Solución La solución general de la ecuación del movimiento armónico simple es

2 2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t x

De los datos del enunciado tenemos 2 8f rad/s

Además: 2 2 2 216 16 / 0,25 cmA A

Ahora sólo queda calcular la fase inicial a partir de la condición inicial

( 1/ 8) 0,125 cm 0,250cos( )x t .

Despejando

2

1 1 3cos( ) ( ) arcos

42 2 3

3

Para distinguir entre las dos posibles fases debemos utilizar el dato de la velocidad

25.44 si

3sin( )

45.44 si

3

v A t


2( ) 0,250cos 8

3x t t

4. Un rayo de luz monocromática incide oblicuamente desde un medio de índice

de refracción 1

n hacia otro medio de índice de refracción 2

n . Obtener el ángulo

que forma el rayo reflejado con la línea de separación de los dos medios sabiendo

que el ángulo de refracción es . (2 puntos)

Solución La ley de la reflexión establece que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Podemos aplicar la ley de la refracción para obtener el ángulo de incidencia

1 2sin sin

i rn n

y despejar

2

1

arcsin sini

n

n

El ángulo que formará el rayo reflejado con la horizontal será

2

1

90 90 arcsin sini

n

n

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Supongamos que sólo conocemos el valor de la constante de gravitación universal G, el radio de la órbita de la Luna alrededor de la tierra R y el periodo de su órbita T. - ¿Cuánto vale la masa de la Tierra en función de estos datos? (1,5 puntos) -¿Qué dato nos faltará para poder calcular la energía mecánica total de la Luna dentro del campo gravitatorio creado por nuestro satélite? (1,5 puntos)

Solución La fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la Luna es la responsable del movimiento de rotación de la última sobre la primera. Podemos escribir por tanto que

RT

mRmR

mMG LL

LT

2

22

2

4 .

Despejando TM obtenemos que 3

2

24R

GTM T

.

La energía total de nuestro satélite será (hemos tomado el origen de energía potencial en el infinito)

T

2

L

c

M mE E U G

R .

Es evidente que nos faltará la masa de la luna.

2. Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético dB producido por un

elemento de corriente Id l de longitud dl por el que circula una intensidad de

corriente I , viene dado por la ecuación

0

2

ˆ

4

Idd

r

l rB

Supongamos que tenemos la espira cuadrada mostrada en la figura por la que circula una corriente. ¿Qué lados de la espira contribuirán al campo magnético producido en el punto X indicado en la figura? Justificar la respuesta. Las líneas discontinuas sólo indican las direcciones de los lados de la espira. (2,5 puntos)

Solución

Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético dB producido por un elemento

de corriente Idl viene dado por la ecuación

0

2

ˆ

4

Idd

r

l rB

Este campo será nulo cuando ˆ 0d l r , es decir, cuando el elemento de corriente tenga la misma dirección que el vector posición del punto con respecto al elemento de corriente. En nuestro problema esto ocurrirá para todos los elementos de corriente del lado D, por lo que sólo contribuirán los lados A, B y C.

3. Una partícula oscila en el eje X con un movimiento armónico simple cuya

ecuación es ( ) 2cos 4 cmx t t . Calcular el espacio total que ha recorrido la

partícula cuando 1,2 st . (2,5 puntos)

Solución La posición inicial de la partícula es la posición de máximo desplazamiento

( 0) 2 cmix x t .

X A

B

C

D

La posición final es

( 1,2) 1.618 cmfx x t ,

moviéndose hacia la izquierda (velocidad negativa). Como el periodo de oscilación de la partícula es

2 1 s

2T

,

en esos primeros 1,2 s ha realizado dos oscilaciones completas, lo que equivale a una distancia total de 8 veces la amplitud de la oscilación, 16 cm (en cada oscilación recorre 4 veces la máxima elongación). A esto hay que añadir el valor absoluto de la diferencia entre la posición inicial y la final:

16 19,618 cmf id x x

4. ¿Cómo es la longitud de onda de De Broglie de los objetos macroscópicos que forman parte de nuestra vida diaria? a) mucho menor que el tamaño de los núcleos atómicos. b) mucho mayor que el tamaño de los núcleos atómicos. c) aproximadamente igual. Escoger la opción correcta considerando, por ejemplo, una pelota de tenis de 100 g que se mueve a 100 km/h, y sabiendo que el radio de un núcleo atómico es del orden de 10-15 m. (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

Solución

34

346,63 10 J s2,39 10 m

0,1 kg 27,8 m/s

h h

p mv

La respuesta correcta es la (a). Las longitudes de onda de De Broglie asociadas a objetos macroscópicos como en el ejemplo son mucho menores que cualquier posible abertura u obstáculo (el diámetro del núcleo atómico es de 10-15 m). Por esta razón es imposible observar las propiedades de onda de estos objetos, como por ejemplo, la difracción o la interferencia. De hecho, la propagación de ondas de longitudes de onda tan pequeñas no puede distinguirse de la propagación de partículas.

OPCIÓN B

1. La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre en la superficie de la

Tierra es 11,2 m/se

v . Calcular la velocidad de escape del campo gravitatorio

lunar en la superficie de la Luna, sabiendo que el radio terrestre es 3,7 veces

mayor que el lunar, y que la masa de la Tierra es 81,4 veces la masa de la Luna. (2 puntos)

Solución La velocidad de escape en la superficie lunar será

2

, ,

2 2 3,7 2 3,72,4 m/s

81,4 81,4

L L Te L e T

L L T

GM GM GMv v

R R R

2. Se sitúa un electrón con velocidad inicial nula dentro de un campo eléctrico

constante 5000 2000 +1000 N/C E i j k .

- Calcular la velocidad del electrón en función del tiempo t. (1,5 puntos) - Supongamos que el electrón recorre una cierta trayectoria debido a la acción del campo eléctrico, si la diferencia de potencial entre el punto final y el inicial es de 300 V, ¿cuánto valdrá la velocidad final del electrón? (1,5 puntos)

Datos: me = 9,110-31 kg; e = 1,610-19 C. Solución

La fuerza que experimenta el electrón debido a la presencia del campo eléctrico es

5000 2000 +1000 Nq e F E i j k ,

y la aceleración

25000 2000 +1000 m/se

m m

Fa i j k

por lo que la velocidad en función del tiempo será

111,76 10 5000 2000 +1000 m/st t 0

v v a i j k

Para la segunda parte aplicamos la conservación de la energía mecánica:

cE U

2 71 2 1,027 10 m/s

2

e Vmv q V e V v

m

3. Un rayo de luz monocromática incide oblicuamente desde un medio de índice

de refracción 1

n hacia otro medio de índice de refracción 2

n . Obtener el ángulo

que forma el rayo reflejado con la línea de separación de los dos medios sabiendo

que el ángulo de refracción es . (2 puntos)

Solución La ley de la reflexión establece que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Podemos aplicar la ley de la refracción para obtener el ángulo de incidencia

1 2sin sin

i rn n

y despejar

2

1

arcsin sini

n

n

El ángulo que formará el rayo reflejado con la horizontal será

2

1

90 90 arcsin sini

n

n

4. La radiación gamma emitida durante la desintegración beta del 60Co se utiliza 60Co 60 Nifrecuentemente en el tratamiento del cáncer. El cobalto decae a

mediante la siguiente desintegración beta, emitiendo dos fotones (radiación

gamma): 60 60Co Ni 2ee

e

e- Despreciando la masa del electrón y la del antineutrino , calcular la energía

liberada en la desintegración. (1,5 puntos) - De esa energía liberada, una parte aparece en forma de energía cinética de las partículas beta y el resto en forma de dos fotones gamma. Sabiendo que la energía cinética de las partículas beta es de 325 keV, calcular la frecuencia de los dos fotones emitidos suponiendo que son iguales. (1,5 puntos)

60 Co59,93382 um 60 N

59,9307864 ui

m 2 931,5 MeV/uc Datos: ; ; ;

154,14 10 eV sh .

Solución - Despreciando la masa del electrón y la del antineutrino, tenemos que la energía liberada en la desintegración es

60 60

2

Co Ni59,93382-59,9307864 931,5 2,826 MeVQ m m c

.

Como

1( ) 2 ( ) 1,25 MeV

2c cQ E e E E Q E e

,

por lo que en cada desintegración se producen dos fotones con energías 1,25 MeV. La frecuencia de cada fotón será

203.02 10 HzE

vh

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Sabiendo que la gravedad en la superficie de la Luna es 1/5 de la terrestre

(siendo ésta 2

09,81 m/sg ), calcular la velocidad de escape de la Luna sabiendo

que la velocidad de escape en la Tierra es de 11,2 km/s y que la relación entre los

radios terrestre y lunar es de 3,67T L

R R . (2,5 puntos)

Solución La velocidad de escape en la Luna es

LL

L

LL Rg

R

MGv 0

22

2

y en la Tierra

TT

T

TT Rg

R

MGv 0

22

2

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos que 2

2 2 0

0

2,61 km/s5 3,67

L L T

L T L

T T

g R vv v v

g R

2. Una carga puntual positiva 1

q está situada en el origen de coordenadas. Otra

carga puntual 2

q se sitúa en el punto (0,1) m. Calcular el campo eléctrico creado

por estas cargas en el punto (1/2,1/2) m en función de 1

q , 2

q y la constante de

Coulomb k. (2,5 puntos)

Solución Calcularemos primero el campo creado por la carga situada en el origen.

1

21 1

2 2

cos sin 24 41 1

2 2

qk k q

E i j i j

El campo creado por la carga situada en el punto (0,1) será:

2

22 2

2 2

cos sin 24 41 1

2 2

qk k q

E i j i j

El campo total será la suma de las dos contribuciones:

1 2 1 2 1 22k q q q q E E E i j

3. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire ( 1n ) perpendicularmente sobre la superficie lateral de un prisma triangular con índice de refracción 1,5 (ver figura). Describir qué ocurrirá dentro del prisma y calcular la desviación del rayo que sale del prisma con respecto a la dirección inicial. (3 puntos)

Solución

60º

Primero calculamos el ángulo límite para la reflexión total, para saber si puede haber refracción en la segunda cara del prisma

* 1arcsin arcsin 41,8º

1,5

r

i

i

n

n

Como se observa en la figura, el ángulo de incidencia sobre la segunda cara del prisma será de 60º. Como es mayor que 41,8º se producirá la reflexión total. De modo que el rayo reflejado saldrá perpendicularmente a la base del prisma. La desviación será de

180º 120º 30º

4. La actividad inicial de una muestra radiactiva es de 15 desintegraciones por minuto. Calcular el tiempo que ha transcurrido para que la actividad disminuya a 2 desintegraciones por minuto sabiendo que el periodo de semidesintegración es de 5730 años. (2,5 puntos)

Solución La actividad de una muestra varía como

ln2

0 0( )t

t TA t A e A e

.

Despejando tenemos

0ln 16656 añosln 2 ( )

T At

A t

OPCIÓN B

60º

i = 60º

60º

1. Un astronauta de 80 kg se encuentra en un globo espacial en reposo con respecto a la Tierra. Sabiendo que en el globo tiene un peso de 640 N, calcular la distancia del globo al centro del planeta. (2,5 puntos)

Datos: 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución A partir del peso del astronauta calculamos el campo gravitatorio a esa distancia de la Tierra:

2 8 m/sP

P mg gm

Ahora es fácil calcular la distancia a la que se encuentra el globo:

2 7061 kmT T

M GMg G R

R g

2. El sistema de conductores representado en la figura se encuentra dentro de un campo magnético constante e uniforme B, de módulo B, perpendicular al plano del papel y entrando hacia el mismo. El segmento conductor CD, de longitud L, se mueve sin rozamiento con velocidad constante v. Suponer que la resistencia total del circuito ABCD es R. - Aplicar la ley de Faraday para calcular la f.e.m. inducida sobre la espira ABCD y la corriente que circulará sobre la misma. (2 puntos) - A partir de la ley de Lenz, ¿cuál será el sentido de circulación de la corriente? (1 punto)

Solución

Según la ley de Faraday, la variación temporal del flujo magnético a través de un circuito cerrado induce una fuerza electromotriz cuyo módulo es

d

dt

donde el flujo viene dado por

( )S

d BS t B s .

A

B C

D

B v L

Derivando con respecto al tiempo tenemos

d BdS BLdxBLv

dt dt dt

Esta f.e.m inducida provoca una intensidad de corriente

BLvI

R R

Por la ley de Lenz sabemos que el sentido de la corriente deber ser tal que cree un campo magnético que se oponga a la variación del flujo que ha generado la f.e.m. Como se trata de un aumento del flujo, el campo magnético provocado por la corriente deberá ser perpendicular al plano del papel y saliendo del mismo (sentido opuesto a B), por lo que el sentido de la corriente será antihorario.


ecuación es 2( ) 10 cos 8 cm

6x t t

. Calcular el tiempo que tarda la

partícula en pasar por tercera vez por la posición de equilibrio ( 0 cmx ). (2,5 puntos)

Solución

En la posición de equilibrio se cumple ( ) 0x T . Sustituyendo tenemos

cos 8 0 8 arcos(0) 0,1,2,...6 6 2

T T n n

Despejando llegamos a

6 2 0,1,2,...

48

nT n

La tercera vez ocurrirá cuando 2n : 14

0,292 s48

T .

4. Según el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, la energía total del electrón

tiene la forma 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . Calcular la longitud de onda del fotón

emitido como consecuencia de la relajación del electrón desde el estado excitado

( 2)n hasta el estado fundamental ( 1)n . (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc .

Solución La energía del fotón emitido vendrá dada por la diferencia de energías entre los niveles atómicos ocupados por el electrón:

0 2 2

1 1i f

i f

hv E E En n

.


7

2 2

0

1 11,22 10 m

i f

hc

E n n

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Una estación espacial se encuentra en reposo con respecto al Sol a una distancia R. -Sabiendo que en el punto en el que se encuentra la estación la velocidad de escape del campo gravitatorio solar es de 30 km/s, calcular R. (1,5 puntos) -Desde la estación se quiere lanzar una sonda para que orbite en torno al Sol siguiendo una trayectoria circular estacionaria. Determine la velocidad angular que debe tener la sonda. (1,5 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

30

Sol2.0 10 kg.M

Solución La velocidad de escape es

2S

e

GMv

R

Despejando obtenemos la distancia a la que se encuentra la estación espacial

11

2

22,96 10 mS

e

GMR

v

El movimiento orbital de la sonda debe satisfacer la relación

2 8

2 3 7,16 10 rad/sS SM m GM

G m RR R

2. Una espira circular por la que circula una corriente de intensidad I en el sentido mostrado en la figura se encuentra dentro de un campo magnético B constante y perpendicular al plano de la espira, tal y como se muestra en la figura.

- Calcular el módulo y dibujar el vector fuerza ejercido por el campo magnético

sobre el pequeño elemento de corriente dl indicado en la figura. (1,5 puntos) - Discutir razonadamente el efecto neto que producirá la fuerza total debida al campo magnético sobre la espira: ninguno, desplazarla, rotarla, expandirla o contraerla. (1 punto)

Solución La fuerza ejercida por un campo magnético sobre un elemento diferencial de corriente es

d Id F l B

En nuestro caso, cualquier elemento diferencial de corriente será tangente a la circunferencia definida por la espira y, por tanto, será perpendicular al campo. Así pues, tendremos

ˆ d IdlB F r

donde r̂ es el vector unitario en la dirección radial que sale desde el centro de la espira y pasa por el elemento de corriente. Por consiguiente, el efecto de la fuerza debida al campo magnético será el de contraer la espira.


ecuación es 2( ) 10 cos 8 cm

6x t t

. Calcular el tiempo que tarda la

partícula en pasar por tercera vez por la posición de equilibrio ( 0 cmx ). (2,5 puntos)

Solución

En la posición de equilibrio se cumple ( ) 0x T . Sustituyendo tenemos

cos 8 0 8 arcos(0) 0,1,2,...6 6 2

T T n n


B

I dl

6 2 0,1,2,...

48

nT n

La tercera vez ocurrirá cuando 2n : 14

0,292 s48

T .

4. ¿Cómo es la longitud de onda de De Broglie de los objetos macroscópicos que forman parte de nuestra vida diaria? a) mucho menor que el tamaño de los núcleos atómicos. b) mucho mayor que el tamaño de los núcleos atómicos. c) aproximadamente igual. Escoger la opción correcta considerando, por ejemplo, una pelota de tenis de 100 g que se mueve a 100 km/h, y sabiendo que el radio de un núcleo atómico es del orden de 10-15 m. (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

Solución

34

346,63 10 J s2,39 10 m

0,1 kg 27,8 m/s

h h

p mv

La respuesta correcta es la (a). Las longitudes de onda de De Broglie asociadas a objetos macroscópicos como en el ejemplo son mucho menores que cualquier posible abertura u obstáculo (el diámetro del núcleo atómico es de 10-15 m). Por esta razón es imposible observar las propiedades de onda de estos objetos, como por ejemplo, la difracción o la interferencia. De hecho, la propagación de ondas de longitudes de onda tan pequeñas no puede distinguirse de la propagación de partículas.

OPCIÓN B

1. La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre en la superficie de la

Tierra es 11,2 m/se

v . Calcular la velocidad de escape del campo gravitatorio

lunar en la superficie de la Luna, sabiendo que el radio terrestre es 3,7 veces mayor que el lunar, y que la masa de la Tierra es 81,4 veces la masa de la Luna. (2 puntos)

Solución La velocidad de escape en la superficie lunar será

2

, ,

2 2 3,7 2 3,72,4 m/s

81,4 81,4

L L Te L e T

L L T

GM GM GMv v

R R R

2. Un dipolo consta de dos cargas iguales pero de distinto signo separadas por

una distancia L . Supongamos el dipolo mostrado en la figura, que forma un

ángulo con el eje y. El punto medio de su eje imaginario pasa por el origen de coordenadas.

- Calcular la energía potencial electrostática de esta configuración de carga. (1 punto) - Supongamos que el dipolo se encuentra dentro de un campo eléctrico externo que produce un potencial eléctrico que para cada punto del espacio tiene la

función 2 2( , )V x y x y (en voltios). Calcular la energía potencial electrostática

del dipolo (suma de las energías potenciales de las dos cargas) debida al campo externo. (2 puntos)

Solución La energía potencial interna del dipolo (producida por los campos generados por cada carga es)

2

dipolo int

qU k

L .

La energía potencial electrostática de cada carga del dipolo en el campo externo es

( , )i i i i

U qV x y

Los potenciales eléctricos debidos al campo eléctrico externo en las posiciones de las cargas del dipolo son

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

sin cos4 4 4

sin cos4 4 4

q

q

L L LV

L L LV

Por consiguiente, la energía del dipolo con respecto al campo externo será

dipolo ext0

q q q qU U U qV qV

.

+q

-q

x

y

L

3. Supongamos que el índice de refracción de un material varía con la longitud

onda del modo: 0( )n

, donde 0 es una constante tal que

0 . Un rayo

de luz blanca incide desde el aire ( 1n ) sobre el material con un ángulo de

incidencia . Calcular, en función de los datos del problema, qué rango de

longitudes de onda atravesarán el material. (2,5 puntos) Solución

El ángulo límite para que se produzca la reflexión total ( 90ºr ) es

* 1

0

arcsin arcsin ( ) arcsinr

i

i

nn

n

El ángulo de incidencia es y es el mismo para todas las longitudes de onda, de modo que las longitudes de onda que atravesaran el medio serán aquellas para las que se produce refracción

0

0

arcsin sin

4. La actividad inicial de una muestra radiactiva es de 15 desintegraciones por minuto. Calcular el tiempo que ha transcurrido para que la actividad disminuya a 2 desintegraciones por minuto sabiendo que el periodo de semidesintegración es de 5730 años. (2,5 puntos)

Solución La actividad de una muestra varía como

ln2

0 0( )t

t TA t A e A e

.

Despejando tenemos

0ln 16656 añosln 2 ( )

T At

A t

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular

estacionaria alrededor de la Tierra por la acción de su campo gravitatorio es Sabiendo que la energía mecánica total del satélite dentro del campo gravitatorio creado por la Tierra es E (donde para la energía potencial se ha tomado como origen de energía un punto infinitamente alejado del centro terrestre), calcular la masa del satélite en función de los datos del problema, G y la masa de la Tierra MT. (2,5 puntos)

Solución En primer lugar debemos calcular el radio de la órbita. Si el satélite describe una órbita estacionaria, la fuerza centrípeta responsable de su movimiento es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite:

2

2

TmM

m R GR


3

2

TGM

R

Ahora podemos calcular la masa del satélite a partir de su energía total:

T

2/3

T T

2 2

2c

M m RE EE E U G m

R GM GM

2. Como se muestra en la figura, se colocan 12 cargas positivas iguales +q distribuidas equitativamente sobre una circunferencia de radio R, es decir, los arcos de circunferencia entre cargas contiguas son todos iguales.

- Calcule la fuerza neta que actúa sobre una carga +Q en el centro del círculo. (1 punto) - Calcule la fuerza neta que actúa sobre la misma carga +Q situada en el centro del círculo si se quita la carga marcada con el recuadro gris. (1,5 puntos)

Solución En el caso inicial, las fuerzas eléctricas debidas a cargas diametralmente opuestas se anulan entre sí, por lo que la fuerza total sobre Q es cero. En el segundo caso es suficiente con calcular la fuerza que ejerce la partícula opuesta a la eliminada. Situando un sistema de coordenadas centrado en la carga +Q y cuyo eje positivo de las x pasa por la posición de la carga eliminada, tenemos que

2

Qqk

RF i

3. Una masa unida al extremo de un muelle horizontal de masa despreciable describe un movimiento armónico simple de amplitud 1 m. Calcular la elongación del muelle en el instante en el que la aceleración de la masa es la mitad de su valor máximo. (2 puntos)


2 2( ) cos( ) ( )a t A t x t

En el instante que se menciona en el enunciado tenemos que

* 2 2 * *1 1( ) ( ) ( ) cm

2 2a t A x t x t

4. Como se ilustra en la figura, tenemos un líquido contenido en un recipiente opaco que tiene un orificio en su superficie con forma circular de radio R = 4 cm. Los lados del recipiente tienen un grosor despreciable. En el fondo del recipiente, dentro del líquido, colocamos un objeto puntual situado en la vertical que pasa por el centro del orificio. Calcular la profundidad h que debe tener el recipiente para que el objeto se vea desde cualquier posición exterior a través del orificio. El índice de refracción del líquido con respecto al aire es 2. (3 puntos)

Solución

Para que el objeto se vea desde cualquier posición desde el aire es necesario que salgan del orificio rayos de luz en todas las direcciones y, por tanto, los que llegan a los bordes del orificio deben emerger rasantes a la superficie. Para ello es

necesario que el ángulo de incidencia sea el ángulo límite de reflexión total *

i

Por lo tanto tenemos que

R

h

R

R

h

*

i

*

*tan 6,93cm

tantan arcsin

i

iaire

líquido

R R Rh

h n

n

OPCIÓN B

1. La distancia media entre la Tierra y el Sol es de 150×109 m. Supongamos que nos encontramos en la superficie terrestre, calcular el cociente entre la velocidad con la que debemos lanzar un objeto para superar el campo gravitatorio terrestre y la velocidad que debe tener el mismo objeto lanzado desde el mismo punto para escapar del campo gravitatorio del Sol. (2,5 puntos)

Datos:11 2 26,67 10 Nm /kg .G

24

T5,98 10 kg.M

30

Sol2,0 10 kg.M

T6370 km.R


2e

GMv

R

Calculamos la velocidad de escape con respecto a la Tierra en un punto de su superficie

,Tierra

211,2 km/sT

e

T

GMv

R

Calculamos la velocidad de escape con respecto al Sol en un punto de la Tierra (obsérvese que como el radio terrestre es mucho menor que la distancia media del Sol a la Tierra , el resultado no variará con el punto en particular de la superficie que se considere, la Tierra puede ser vista como un punto)

,Sol

242,2 km/sS

e

T S

GMv

d

Vemos que la velocidad de escape del campo solar es más de 3,8 veces mayor que la del campo terrestre.

2. El sistema de conductores representado en la figura se encuentra dentro de un campo magnético constante e uniforme B, de módulo B, perpendicular al plano del papel y entrando hacia el mismo. El segmento conductor CD, de longitud L, se mueve sin rozamiento con velocidad constante v. Suponer que la resistencia total del circuito ABCD es R.

- Aplicar la ley de Faraday para calcular la f.e.m. inducida sobre la espira ABCD y la corriente que circulará sobre la misma. (2 puntos) - A partir de la ley de Lenz, ¿cuál será el sentido de circulación de la corriente? (1 punto)

Solución


d

dt


( )S

d BS t B s .

Derivando con respecto al tiempo tenemos

d BdS BLdxBLv

dt dt dt

Esta f.e.m inducida provoca una intensidad de corriente

BLvI

R R

Por la ley de Lenz sabemos que el sentido de la corriente deber ser tal que cree un campo magnético que se oponga a la variación del flujo que ha generado la f.e.m. Como se trata de un aumento del flujo, el campo magnético provocado por la corriente deberá ser perpendicular al plano del papel y saliendo del mismo (sentido opuesto a B), por lo que el sentido de la corriente será antihorario.

3. El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda en tensión situada en el eje X oscila con un movimiento armónico en el que el desplazamiento

transversal varía con el tiempo según la ecuación ( ) 2sen( / 2) my t t . Esto

genera una onda armónica transversal que se propaga por la cuerda en el sentido positivo del eje X a 2 m/s. Obtener la ecuación de la onda. (2,5 puntos)

Solución

A

B C

D

B v L

La ecuación general de una función de onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


( ) sen( )y x A t .

Igualando con la expresión anterior obtenemos que 2 m

1 rad/s

/ 2 rad

A


0,5 rad/mkv

,


( , ) 2sen(0,5 / 2) my x t x t .

4. Escoger la opción que mejor responde a la pregunta: ¿por qué las reacciones nucleares de fusión y fisión liberan tanta energía? Razonar la elección. (2 puntos) a) En realidad, las reacciones en sí mismas no liberan energía puesto que en el caso de la fisión es necesario bombardear los núcleos pesados con partículas muy energéticas (como los neutrones), mientras que en la caso de la fusión es necesario utilizar partículas también muy energéticas, como las partículas alfa. b) Porque la masa total en reposo de los productos de la reacción es significativamente mayor que la de los reactivos. c) Porque la energía de enlace (o energía de ligadura) por nucleón en los productos de la reacción es considerablemente mayor que la energía de enlace en los reactivos. d) Porque las reacciones de fisión y fusión son, en realidad, desintegraciones radiactivas en las que se produce la emisión espontánea de radiaciones muy energéticas.

Solución Las respuestas (a) y (b) son incorrectas. La fusión consiste en la reacción de núcleos muy ligeros para dar núcleos más pesados. Como estamos en la parte creciente (rama izquierda) de la Carta de Segré y A aumenta, la energía de enlace por nucleón aumentará con la fusión, por lo que se liberará energía. En la fisión, un núcleo muy grande se divide en dos núcleos intermedios. Estamos en la rama derecha de la Carta de Segré y como A disminuye, la energía de enlace por nucleón aumentará durante la fisión, por lo que se liberará energía. Los núcleos producidos en las reacciones de fisión y fusión son más estables que los núcleos que participan en la reacción. En estas reacciones, la masa en reposo de los productos de la reacción disminuye (opción (b) falsa) y la energía de enlace por nucleón aumenta. Esta disminución de masa aparece en forma de energía liberada durante la reacción. La respuesta correcta es la (c).

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. La intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra es 2

09,81 m/sg . Calcular la intensidad del campo gravitatorio generado por la

Luna en su propia superficie sabiendo que el radio terrestre es 3,7 veces mayor que el lunar, y que la masa de la Tierra es 81,4 veces la masa de la Luna. (2 puntos)

Solución El campo gravitatorio en la superficie de la Luna valdrá

2 2

2

2 2

3,7 3,71,65 m/s

81,4 81,4

TLL T

L T

MMg G G g

R R

2. Supongamos la siguiente distribución de carga: una carga q en el punto (-1,1),

una carga 2q en (1,1), una carga 3q en (+1,1) y otra de 6q en (1, 1). - Calcular el potencial eléctrico en el origen. (1,5 puntos) - Si situamos una quinta carga q y masa m en el origen, y la liberamos desde el reposo, calcular su velocidad cuando se encuentre a una distancia infinita de las cargas. (1,5 puntos)

Solución Para calcular el potencial eléctrico en cualquier punto es necesario aplicar el principio de superposición:

2 3 63 2 V

2 2 2 2

q q q qV k kq

= =

Al situar la carga q en el origen, su energía cinética es nula (ya que inicialmente está en reposo) y su energía potencial es qV, donde V es el potencial en el origen calculado anteriormente. Cuando esta carga se encuentra a gran distancia del origen su energía potencial es nula. Como todas las fuerzas aplicadas sobre la partícula son conservativas tenemos que

2

0 0

2 6 2 c f f

qV kqE U U U U qV v

m m m/s

3. Una partícula de 0,5 kg de masa describe un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, realizando 2 oscilaciones en cada segundo. Calcular la energía cinética que poseerá la partícula cuando pase por su posición de equilibrio. (2 puntos)

Solución La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio es la

velocidad máxima: max

2 1,257 m/sv A A f

La energía cinética será

2

max

10,395 J

2c

E mv

4. Como se ilustra en la figura, tenemos un líquido contenido en un recipiente opaco que tiene un orificio en su superficie con forma circular de radio R = 4 cm. Los lados del recipiente tienen un grosor despreciable. En el fondo del recipiente, dentro del líquido, colocamos un objeto puntual situado en la vertical que pasa por el centro del orificio. Calcular la profundidad h que debe tener el recipiente para que el objeto se vea desde cualquier posición exterior a través del orificio. El índice de refracción del líquido con respecto al aire es 2. (3 puntos)

R

h

Solución

Para que el objeto se vea desde cualquier posición desde el aire es necesario que salgan del orificio rayos de luz en todas las direcciones y, por tanto, los que llegan a los bordes del orificio deben emerger rasantes a la superficie. Para ello es

necesario que el ángulo de incidencia sea el ángulo límite de reflexión total *

i

Por lo tanto tenemos que

*

*tan 6,93cm

tantan arcsin

i

iaire

líquido

R R Rh

h n

n

OPCIÓN B

1. La velocidad angular con la que un satélite de 100 kg de masa describe una

órbita circular estacionaria en torno al planeta Venus es = 10-4 rad/s. -Calcular la energía total que tiene el satélite durante la órbita. Considerar que el origen de energía potencial se encuentra en un punto infinitamente alejado. (2 puntos) -¿Qué energía sería necesaria para cambiar a otra órbita circular con velocidad

angular = 10-5 rad/s? (1 punto)

Datos: MVenus= 5×1024

kg. 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución


0

GM mU U

R ,

donde 0

U es una constante que depende del origen de energía potencial

R

R

h

*

i

considerado. Si suponemos, por ejemplo, que 0U cuando r , tenemos

entonces que 0

0U . Por otro lado la energía cinética se calcula a partir de 2

2T

2

1

2 2

T

c

v M m M mm G E mv G

R R R .


Venus

2c

M mE E U G

R .

Ahora debemos calcular el radio de la órbita a partir del dato de la velocidad angular

1 32

2Venus Venus

2 2

M m v MG m m R R G

R R

.

Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior llegamos a

2/3

Venus

1 3 Venus

Venus

2

22

M m mE G GM

GM

En la órbita inicial la energía del satélite será 8

15,2 10 JE , mientras que en la

órbita final la energía será 8

21,1 10 JE . La diferencia de energías entre las dos

órbitas será precisamente la energía que deberá suministrarse al satélite: 8

2 14,1 10 JE E E .

2. Una espira circular por la que circula una corriente de intensidad I en el sentido mostrado en la figura se encuentra dentro de un campo magnético B constante y perpendicular al plano de la espira, tal y como se muestra en la figura.

- Calcular el módulo y dibujar el vector fuerza ejercido por el campo magnético

sobre el pequeño elemento de corriente dl indicado en la figura. (1,5 puntos) - Discutir razonadamente el efecto neto que producirá la fuerza total debida al campo magnético sobre la espira: ninguno, desplazarla, rotarla, expandirla o contraerla. (1 punto)

Solución La fuerza ejercida por un campo magnético sobre un elemento diferencial de corriente es

d Id F l B

B

I dl

En nuestro caso, cualquier elemento diferencial de corriente será tangente a la circunferencia definida por la espira y, por tanto, será perpendicular al campo. Así pues, tendremos

ˆ d IdlB F r

donde r̂ es el vector unitario en la dirección radial que sale desde el centro de la espira y pasa por el elemento de corriente. Por consiguiente, el efecto de la fuerza debida al campo magnético será el de contraer la espira.

3. Una onda armónica transversal ( , )y x t se propaga en la dirección y sentido

positivo del eje X con una velocidad de 10 m/s. La distancia horizontal entre dos puntos de la onda con la misma fase es de 0,2 m. En el instante inicial, la amplitud del punto situado en el origen es de 0,01 m. Sabiendo que el módulo de la

velocidad máxima de cualquier punto de la onda es m/s, determinar la ecuación de la onda. (2,5 puntos)

Solución La ecuación general de una función de onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X es



max maxdy

v Adt


max

2 210 31,4 rad/m

0,2

100 314,2 rad/s

0,01 m100

k

kv

vA

por lo que la función de onda será ( , ) 0,01 sen(10 100 ) my x t x t .

Para calcular la fase sabemos que 2 2(0,0) 10 sen( ) 10 my


arcsen(1)2

,

lo cual es lógico ya que la posición del origen en el instante inicial es la posición de máxima amplitud de la onda. La solución es

( , ) 0,01 sen(10 100 / 2) m

=0,01 sen(31,4 314,2 1,57) m

y x t x t

x t

4. Escoger la opción que mejor responde a la pregunta: ¿por qué las reacciones nucleares de fusión y fisión liberan tanta energía? Razonar la elección. (2 puntos) a) En realidad, las reacciones en sí mismas no liberan energía puesto que en el caso de la fisión es necesario bombardear los núcleos pesados con partículas muy energéticas (como los neutrones), mientras que en la caso de la fusión es necesario utilizar partículas también muy energéticas, como las partículas alfa. b) Porque la masa total en reposo de los productos de la reacción es significativamente mayor que la de los reactivos. c) Porque la energía de enlace (o energía de ligadura) por nucleón en los productos de la reacción es considerablemente mayor que la energía de enlace en los reactivos. d) Porque las reacciones de fisión y fusión son, en realidad, desintegraciones radiactivas en las que se produce la emisión espontánea de radiaciones muy energéticas.

Solución Las respuestas (a) y (b) son incorrectas. La fusión consiste en la reacción de núcleos muy ligeros para dar núcleos más pesados. Como estamos en la parte creciente (rama izquierda) de la Carta de Segré y A aumenta, la energía de enlace por nucleón aumentará con la fusión, por lo que se liberará energía. En la fisión, un núcleo muy grande se divide en dos núcleos intermedios. Estamos en la rama derecha de la Carta de Segré y como A disminuye, la energía de enlace por nucleón aumentará durante la fisión, por lo que se liberará energía. Los núcleos producidos en las reacciones de fisión y fusión son más estables que los núcleos que participan en la reacción. En estas reacciones, la masa en reposo de los productos de la reacción disminuye (opción (b) falsa) y la energía de enlace por nucleón aumenta. Esta disminución de masa aparece en forma de energía liberada durante la reacción. La respuesta correcta es la (c).

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. El planeta A tiene una masa 200 veces mayor que el planeta B y su radio es 10 veces también mayor. Calcular el peso de una persona de 80 kg en la superficie del planeta A sabiendo que en la superficie del planeta B pesa 880 N. (2,5 puntos)

Solución Del último dato del enunciado deducimos la gravedad en la superficie de B

211 m/sB

B

Pg

m

Por otro lado, la intensidad del campo gravitatorio de A en su superficie es

2

2 2

20022 km/s

10

A

A B

A

Mg G g

R ,

De modo que el peso de la persona será el doble, esto es, 1760 N.

2. Una varilla conductora de masa m y longitud L se encuentra suspendida del

techo por dos alambres como se muestra en la figura. ¿Qué corriente I debe

atravesar el conductor, y en qué sentido, para que la tensión en los alambres sea cero si el campo magnético sobre la región tiene módulo B y entra perpendicularmente en el papel? Obtener el resultado en función de los datos del enunciado. (2,5 puntos)

L B

Solución La fuerza del campo magnético sobre este segmento conductor es

I F L B Ahora elegimos un sistema de coordenadas, de modo que

II i (corriente hacia la derecha)

y B B k .

La fuerza magnética sobre el conductor será:

I ILB ILB F L B i ×k j ,

esto es, hacia arriba. Para que no haya ninguna tensión en los alambres esta fuerza tiene que compensar el peso del conductor:

mg P j ,

es decir

mg

mg ILB ILB

F P 0 j j 0 .

Finalmente, la corriente será

mg

LBI i

3. Responda razonadamente a las siguientes preguntas sobre las ondas estacionarias (puede utilizar como ejemplo una cuerda tensa de longitud L con sus dos extremos fijos): - ¿Cómo se forman las ondas estacionarias y qué son los modos de vibración? (1 punto) - ¿Vibran todos con los puntos con la misma amplitud máxima y frecuencia? (1 punto) - En el ejemplo de la cuerda, ¿cuál será la longitud de onda del modo fundamental de vibración -o primer armónico? (0,5 puntos

Solución - Las ondas estacionarias son el resultado de la superposición de dos ondas armónicas con la misma amplitud y misma frecuencia, que se mueven en sentido opuesto. En la práctica se obtienen en medios confinados, como el ejemplo de la cuerda tensa fija por sus extremos, haciendo vibrar uno de los extremos con una frecuencia que sea igual a una de las frecuencias naturales de vibración (o frecuencias de resonancia):

2n

vf n

L ,

siendo v la velocidad de la onda. La reflexión en los extremos produce ondas que se mueven en los dos sentidos combinándose de acuerdo con el principio de superposición y dando lugar a un patrón de vibración estacionario (onda estacionaria) que puede tener diferentes formas (modos de vibración) dependiendo de la frecuencia. - La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición. Hay ciertos puntos de la onda (nodos) cuya amplitud es nula. La frecuencia de vibración es la misma para todos los puntos.

- 1

2L

4. La energía total del electrón en el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno tiene

la forma: 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . Consideremos el electrón en el estado

fundamental ( 1n ): - Calcular la velocidad del electrón. (1,5 puntos) - Calcular la longitud de onda de De Broglie del electrón. (1 punto)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ;

19eV 1,60 10 J ; 319,1 10 kg

em

Solución La energía cinética en el modelo de Bohr es

2

13,6 eV

cE E

n ,

por lo que en el nivel fundamental ( 1n ) será

013,6 eV

cE E .

Ahora podemos despejar la velocidad del electrón en el estado fundamental

602

2,19 10 m/se

Ev

m

La longitud onda de De Broglie de cualquier partícula tiene la forma

h h

p mv

En el caso del electrón será:

10

0

3,33 10 m2

e

h

E m

Se puede comprobar que esta longitud de onda es próxima a las dimensiones atómicas. Por esta razón son tan importantes los efectos ondulatorios de los electrones en la comprensión de la estructura atómica.

OPCIÓN B

1. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Marte es 1,52 veces el radio medio de la órbita de la Tierra, ¿cuál será el periodo de la órbita de Marte? Suponer que las órbitas son circulares. (2 puntos)

Solución Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica o distancia media. Aplicando la ley tenemos

2 2

3/21 2

2 1 2 13 3

1 2

/ 1,87 añosT T

T T R RR R

2. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado existen cargas de 10 μC cada una.

- Calcular el trabajo necesario para llevar una carga negativa de 5 μC desde el cuarto vértice al centro del cuadrado. (2 puntos) - ¿Deberemos realizar un trabajo externo sobre la carga para moverla, o será el propio campo creado por la distribución de cargas el que realice el trabajo? Explicar razonadamente la respuesta. (1 punto)

Datos: 9 2 29 10 Nm Ck .

Solución

9 6 4

9 6 4

10 10 109 10 10 24,36 10 V

1 1 2

10 10 109 10 10 38,18 10 V

2 2 2

2 2 2

0,69 J.

vértice

centro

centro vértice

V

V

W q V q V V

Vemos que el signo del trabajo es negativo. Eso quiere decir que no es necesario realizar ningún trabajo externo, y que será el propio campo eléctrico el que lo haga. Las cargas negativas se dirigen espontáneamente hacia potenciales mayores.

3. El espectro visible de la luz en el vacío está comprendido entre las longitudes de onda de la luz roja, de 780 nm, y la luz violeta, de 380 nm. Calcular entre qué longitudes de onda estará comprendido el espectro visible en el agua, cuyo índice de refracción es 4/3. (2,5 puntos)

Solución


La velocidad de una luz c en un medio tiene la forma c v y en el vacío

tenemos 0 0

c v , de modo que

0

0

c c


0c

cn

Sustituyendo

0 0

0

c

c n

Así que finalmente 585 nm y 285 nmrojo violeta .

4. Determinar la energía de enlace (o de ligadura) del último neutrón del 4He sabiendo que las masas atómicas del 4He, 3He y del neutrón son 4,002603 u, 3,016030 u, y 1,008665 u, respectivamente. (2,5 puntos) Datos: c2 = 931,5 MeV/u.

Solución La energía de ligadura del neutrón vendrá dada por la diferencia de energías entre el estado no ligado (energía del 3He más energía del neutrón, ambos en reposo) y el estado neutrón-ligado (energía del 4He en reposo):

3 4

2 2

He He20,6 MeVnE m c m m m c

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. En qué punto o puntos de la línea que pasa por los centros de la Tierra y la Luna, los módulos de los campos gravitatorios creados por ambos astros se igualan. Realizar un diagrama en el que figuren los dos astros así como el punto, o los puntos, obtenidos. Indicar en cada punto el vector campo gravitatorio producido por cada astro. (2,5 puntos)

Datos: T

81L

M M . 8


Solución Tomemos como origen de nuestro sistema de referencia la Tierra. El eje X está dado por la dirección de la recta que pasa por los centros de la Tierra y la Luna, con el sentido positivo apuntando hacia la Luna. El módulo del campo gravitatorio creado por la Tierra será

2

T

T

Mg G

x

El módulo del campo gravitatorio creado por la Luna será

2

L

L

T L

Mg G

x d

Igualando ambas expresiones obtenemos 83,46 10 mr (punto situado entre la Tierra y la Luna) 84,32 10 mr (más allá de la Luna)

2. Dos cargas puntuales 1

q y 2

q del mismo signo, con masas 1

m y 2

m

respectivamente, se mueven una hacia la otra. Cuando la distancia entre ellas es

0r sus velocidades son

1v y

2v . Aplicar el principio de conservación de la energía

mecánica total del sistema (cinética + potencial) para calcular la distancia mínima a la que se aproximarán las cargas en función de los datos del enunciado. (2,5 puntos)

Solución Al tener el mismo signo ambas cargas se repelen mutuamente. Aplicando la conservación de la energía, y teniendo en cuenta que en el momento de máxima aproximación sus velocidades serán cero tenemos

2 2 1 2 1 2

1 1 2 2

0 min

1 1

2 2

q q q qm v m v k k

r r


1 2

min2 2 1 2

1 1 2 2

0

1 1

2 2

q qr k

q qm v m v k

r

3. El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda tensa situada en el eje X oscila en el eje Y con un movimiento armónico simple de 10 oscilaciones por

segundo y amplitud 1 cm. En el instante inicial ( 0t ) el desplazamiento vertical del extremo que oscila es nulo, moviéndose hacia arriba. Obtener la ecuación de la onda armónica transversal generada sabiendo que la longitud de onda es de 10 cm. (2,5 puntos)


( , ) sen( )y x t A kx t .

Ahora debemos calcular cada magnitud a partir de los datos del enunciado: 0,01 m

2 262,8 rad/m

0,1

2 2 10 62,8 rad/s

= rad (porque se mueve hacia arriba, velocidad positiva)

A

k

f


( , ) 0,01 sen 62,8 my x t x t .

4. El núcleo de 60Co se desintegra radiactivamente con un período de semidesintegración de 5,27 años, emitiendo dos fotones gamma de energía 1,33 MeV cada uno. Supongamos que tenemos un conjunto de 1023 núcleos de 60Co, y que este número es constante en el tiempo. Calcular la energía total emitida por el conjunto de núcleos en cada segundo. (2,5 puntos)

Solución Como el número de núcleos es constante en el tiempo, también lo será su actividad

140,693 desintegraciones4,17 10

sA N N

T

Como en cada desintegración se liberan dos fotones con una energía de 1,33 MeV cada uno, la energía emitida por segundo será

14 15desintegraciones MeV MeV4,17 10 2,66 1,11 10

desintegracións s

OPCIÓN B

1. Un satélite describe una órbita circular estacionaria de 1 hora de periodo y radio 5000 km alrededor de un planeta debido a la acción de su campo gravitatorio. Calcular el módulo del campo gravitatorio que actúa sobre el satélite utilizando exclusivamente los datos del enunciado. (2,5 puntos)

Solución No podemos calcular directamente el módulo del campo gravitatorio que actúa sobre el satélite ya que nos faltan los datos de la masa del planeta y la constante G. Sin embargo, sabemos que la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es igual a la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular. Así pues tenemos que:

22

2

2 2

2 15,23 N/kg

Mm v MG m G R R

R R R T

.

2. Una varilla conductora de masa m y longitud L se encuentra suspendida del

techo por dos alambres como se muestra en la figura. ¿Qué corriente I debe

atravesar el conductor, y en qué sentido, para que la tensión en los alambres sea cero si el campo magnético sobre la región tiene módulo B y entra perpendicularmente en el papel? Obtener el resultado en función de los datos del enunciado. (2,5 puntos)

L B

Solución La fuerza del campo magnético sobre este segmento conductor es

I F L B Ahora elegimos un sistema de coordenadas, de modo que

II i (corriente hacia la derecha)

y B B k .

La fuerza magnética sobre el conductor será:

I ILB ILB F L B i ×k j ,

esto es, hacia arriba. Para que no haya ninguna tensión en los alambres esta fuerza tiene que compensar el peso del conductor:

mg P j ,

es decir

mg

mg ILB ILB

F P 0 j j 0 .

Finalmente, la corriente será

mg

LBI i

3. Una partícula describe un movimiento armónico simple realizando 0,3 oscilaciones en cada segundo. En el momento de máximo desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio, la aceleración de la partícula es de -0,5 cm/s2. Calcular la amplitud de la oscilación. (2 puntos)

Solución En el momento de máximo desplazamiento la aceleración también es máxima (en valor absoluto), de modo que tenemos que

22 max

2max2 0,14 cm

2

aa A A f A

f

4. Supongamos que la longitud de onda de una cierta luz monocromática en dos

medios diferentes es 1 y

2 , siendo

1 2/ 1,5 . Un rayo de esa luz incide

desde uno de los medios hacia el otro. Discutir razonadamente desde cuál de los dos medios debe incidir para que se pueda producir la reflexión total. (3 puntos)

Solución La ley de la refracción establece que

sin sini i r r

n n


* arcsin r

i

i

n

n

Este ángulo estará definido sólo cuando 1r

i

n

n .

Por otro lado tenemos que 2 1

0 1 1 2 2

1 2

(vacío) 1,5n

n nn

Por lo tanto, el medio desde el que la luz incide debe ser el medio 2.

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Un satélite de 100 kg de masa describe una órbita circular estacionaria de 1 hora y radio 5000 km alrededor de un planeta debido a la acción de su campo gravitatorio. Calcular la energía cinética, la energía potencial y la energía total del satélite utilizando exclusivamente los datos del enunciado. Tomar como origen de energía potencial un punto infinitamente alejado del planeta. (2,5 puntos)

Solución Podemos calcular directamente la energía cinética a partir de los datos del enunciado:

2

2 2 2 2 91 1 1 23,81 10 J

2 2 2c

E mv m R m RT

.

Sin embargo, no podemos calcular directamente ni la energía potencial ni la energía total ya que nos faltan los datos de la masa del planeta y la constante G. Para calcular estas energías podemos relacionarlas con la energía cinética utilizando las expresiones deducidas del movimiento orbital bajo la acción de un campo gravitatorio. Sabemos que

1

2c

MmE G

r .

También sabemos que la energía potencial tiene la forma:

MmU G

r ,

de modo que tendremos

92 7,62 10 Jc

MmU G E

r .

Finalmente, para la energía total tenemos

913,81 10 J

2c

MmE G E

r

2. Una carga q está situada sobre el eje x en el punto x a . ¿Explicar

razonadamente cuál de estas cinco expresiones proporciona la expresión correcta del vector campo eléctrico generado por la carga en un punto cualquiera del eje x? (2,5 puntos)

a) 3

( )( )

q x ax k

x a x a

E i

b) 2

( )( )

qx k

x a

E i

c) 2

( )( )

qx k

x a

E i

d) 2

( )q

x kx

E i

e) 2

( )( )

q x ax k

x a x a

E i

Solución: Por la simetría del problema es fácil darse cuenta de que el campo eléctrico producido por la carga en el eje X no tiene componente Y. El campo en un punto x del eje X será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto y la carga, y su sentido vendrá dado por el signo de la carga cuando x a y el

contrario cuando x a . Por lo tanto la solución correcta es la e):

3. En rayo de luz monocromática incide desde el aire ( 1n ) sobre la superficie

lateral de un prisma triangular equilátero con índice de refracción 3 (ver figura).

- Calcular el ángulo inicial de incidencia para que la trayectoria del rayo sea la

ilustrada en la figura (no se han representado los rayos reflejados por las caras). (1,5 puntos) - Calcular la desviación del rayo que sale del prisma con respecto a la dirección inicial. (1,5 puntos)

2( )

( )

q x ax k

x a x a

E i

Solución

Es muy fácil darse cuenta de que el ángulo de refracción al atravesar la primera cara es de 30º, ya que el prisma es equilátero. Aplicando la ley de la refracción tenemos

sin sini i r r

n n

Despejando

arcsin sin 60ºprisma

i r

aire

n

n

Para la segunda cara del prisma volvemos a aplicar la ley de la refracción y obtenemos que el ángulo de refracción es, como era esperable, igual al de incidencia


r i

aire

n

n

La desviación será de 60º como se ilustra en la figura

60º

º

60º

º

30º

30º

4. Una partícula describe un movimiento armónico simple realizando 0,3 oscilaciones en cada segundo. En el momento de máximo desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio, la aceleración de la partícula es de -0,5 cm/s2. Calcular la amplitud de la oscilación. (2 puntos)

Solución En el momento de máximo desplazamiento la aceleración también es máxima (en valor absoluto), de modo que tenemos que

22 max

2max2 0,14 cm

2

aa A A f A

f

OPCIÓN B

1. Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra. ¿Con qué velocidad deberíamos lanzar horizontalmente un objeto para que, despreciando cualquier tipo de rozamiento, diera la vuelta a la Tierra y nos golpease en la espalda? (2,5 puntos)

Utilizar exclusivamente los siguientes datos: 2

09,81 m/s .g

T6370 km.R

Solución Para que esto ocurra el objeto debería describir una órbita en la superficie de la Tierra bajo la acción de su campo gravitatorio. Por lo tanto

2

1/2

02 7,9 km/sT

T

T T

M m vG m v g R

R R .

2. Supongamos que dos tipos de iones con la misma carga positiva q pero

diferentes masas m1 y m2 son acelerados desde el reposo en la dirección positiva

del eje X mediante un campo eléctrico uniforme de módulo E en el que recorren

una distancia d. Una vez acelerados penetran en un espectrógrafo de masas, que consiste básicamente en un campo magnético perpendicular a la dirección de la velocidad, dirigido en la dirección del eje Z negativo y de intensidad B. Dentro del campo magnético, los iones describen una semicircunferencia antes de impresionar una placa fotográfica situada en la dirección del eje y, tal y como se

indica en la figura. Encontrar la separación y entre las marcas producidas por los

dos iones. (2,5 puntos)

Solución El campo eléctrico acelera las cargas hasta una velocidad:

22

i

i

dqEv da

m

Al entrar en el campo magnético los iones experimentan una fuerza perpendicular a su velocidad y al campo. Esa fuerza actúa como una fuerza centrípeta que obliga a los iones a describir una trayectoria circular de radio

i i

i

m vR

qB

La separación entre las marcas dejadas sobre la placa fotográfica será

2 2 1 1

2 1 2 1

2 22( )2 2

dqEm v m vd R R m m

qB qB

3. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda en tensión en el sentido negativo del eje X a una velocidad de 0,5 m/s. Si en el instante inicial hacemos una foto a la cuerda vemos que los desplazamientos de la cuerda están

descritos por la función ( ) 2 sen( ) my x x . Obtener la ecuación completa de

la onda armónica. (2,5 puntos) Solución

La ecuación general de una función de onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


( ) sen( )y x A kx .


1 rad/m

rad

A

k

Podemos calcular la frecuencia angular a partir de los datos del problema: 0,5 rad/skv ,

x

y

d

y

E B


( , ) 2sen( 0,5 ) my x t x t .

4. La energía total del electrón en el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno tiene

la forma: 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . Consideremos el electrón en el estado

fundamental ( 1n ):

- Calcular la velocidad del electrón. (1,5 puntos) - Calcular la longitud de onda de De Broglie del electrón. (1 punto)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ;

19eV 1,60 10 J ; 319,1 10 kg

em

Solución La energía cinética en el modelo de Bohr es

2

13,6 eV

cE E

n ,

por lo que en el nivel fundamental ( 1n ) será

013,6 eV

cE E .

Ahora podemos despejar la velocidad del electrón en el estado fundamental

602

2,19 10 m/se

Ev

m

La longitud onda de De Broglie de cualquier partícula tiene la forma

h h

p mv

En el caso del electrón será:

10

0

3,33 10 m2

e

h

E m

Se puede comprobar que esta longitud de onda es próxima a las dimensiones atómicas. Por esta razón son tan importantes los efectos ondulatorios de los electrones en la comprensión de la estructura atómica.

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. El planeta A tiene una masa 200 veces mayor que el planeta B y su radio es 10 veces también mayor. Calcular el peso de una persona de 80 kg en la superficie del planeta A sabiendo que en la superficie del planeta B pesa 880 N. (2,5 puntos)

Solución Del último dato del enunciado deducimos la gravedad en la superficie de B

211 m/sB

B

Pg

m

Por otro lado, la intensidad del campo gravitatorio de A en su superficie es

2

2 2

20022 km/s

10

A

A B

A

Mg G g

R ,

De modo que el peso de la persona será el doble, esto es, 1760 N.

2. Una carga q está situada sobre el eje x en el punto x a . ¿Explicar

razonadamente cuál de estas cinco expresiones proporciona la expresión correcta del vector campo eléctrico generado por la carga en un punto cualquiera del eje x? (2,5 puntos)

a) 3

( )( )

q x ax k

x a x a

E i

b) 2

( )( )

qx k

x a

E i

c) 2

( )( )

qx k

x a

E i

d) 2

( )q

x kx

E i

e) 2

( )( )

q x ax k

x a x a

E i

Solución: Por la simetría del problema es fácil darse cuenta de que el campo eléctrico producido por la carga en el eje X no tiene componente Y. El campo en un punto x del eje X será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto y la carga, y su sentido vendrá dado por el signo de la carga cuando x a y el

contrario cuando x a . Por lo tanto la solución correcta es la e):

3. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda en tensión en el sentido negativo del eje X a una velocidad de 0,5 m/s. Si en el instante inicial hacemos una foto a la cuerda vemos que los desplazamientos de la cuerda están

descritos por la función ( ) 2 sen( ) my x x . Obtener la ecuación completa de

la onda armónica. (2,5 puntos) Solución

La ecuación general de una función de onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje X es

( , ) sen( )y x t A kx t .


( ) sen( )y x A kx .


1 rad/m

rad

A

k


0,5 rad/skv ,

La ecuación final de la onda será ( , ) 2sen( 0,5 ) my x t x t .

2( )

( )

q x ax k

x a x a

E i

4. El núcleo de 60Co se desintegra radiactivamente con un período de semidesintegración de 5,27 años, emitiendo dos fotones gamma de energía 1,33 MeV cada uno. Supongamos que tenemos un conjunto de 1023 núcleos de 60Co, y que este número es constante en el tiempo. Calcular la energía total emitida por el conjunto de núcleos en cada segundo. (2,5 puntos)

Solución Como el número de núcleos es constante en el tiempo, también lo será su actividad

140,693 desintegraciones4,17 10

sA N N

T

Como en cada desintegración se liberan dos fotones con una energía de 1,33 MeV cada uno, la energía emitida por segundo será

14 15desintegraciones MeV MeV4,17 10 2,66 1,11 10

desintegracións s

OPCIÓN B

1. Un satélite describe una órbita circular estacionaria de 1 hora de periodo y radio 5000 km alrededor de un planeta debido a la acción de su campo gravitatorio. Calcular el módulo del campo gravitatorio que actúa sobre el satélite utilizando exclusivamente los datos del enunciado. (2,5 puntos)

Solución No podemos calcular directamente el módulo del campo gravitatorio que actúa sobre el satélite ya que nos faltan los datos de la masa del planeta y la constante G. Sin embargo, sabemos que la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es igual a la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular. Así pues tenemos que:

22

2

2 2

2 15,23 N/kg

Mm v MG m G R R

R R R T

.

2. Una bobina de 80 vueltas tiene un radio de 5 cm y una resistencia de 30 . Determinar cuál debe ser el módulo de la variación de un campo magnético paralelo al eje de la bobina (perpendicular al plano de las espiras) para inducir en ésta una corriente de 4 A. (2,5 puntos)

Solución Según la ley de Faraday, la variación temporal del flujo magnético a través de un circuito cerrado induce una fuerza electromotriz cuyo módulo es

d

dt


Sd B s .

Podemos calcular la fem inducida de los datos del enunciado:

120 VIR

Por otro lado, el flujo magnético que atraviesa la bobina será 2( )

SN d NB t R B s .

Igualando obtenemos

2

2

( ) ( ) 191 T/s

d dB t dB tN R

dt dt dt N R

3. El espectro visible de la luz en el vacío está comprendido entre las longitudes de onda de la luz roja, de 780 nm, y la luz violeta, de 380 nm. Calcular entre qué longitudes de onda estará comprendido el espectro visible en el agua, cuyo índice de refracción es 4/3. (2,5 puntos)

Solución

La velocidad de una luz c en un medio tiene la forma c v y en el vacío

tenemos 0 0

c v , de modo que

0

0

c c


0c

cn

Sustituyendo

0 0

0

c

c n

Así que finalmente 585 nm y 285 nmrojo violeta .

4. La aceleración de un movimiento armónico simple en el eje X está determinada

por la expresión 2 2( ) 16 ( ) cm/sa t x t , siendo ( )x t la posición con respecto a

la posición de equilibrio ( 0 cmx ). Sabiendo que el desplazamiento máximo es 4

cm y que 2 2( 0) 64 cm/sa t , determinar la ecuación completa de la posición

en función del tiempo. (2,5 puntos) Solución


2 2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t x

De los datos del enunciado tenemos = 4 rad/s y A = 4 cm.

4cos(4 )x t

Ahora sólo queda utilizar la condición inicial ( 0) 4 cmx t para calcular la fase

inicial. Sustituimos las condiciones iniciales

(0) 4 cm 4cos( ) cm x

por lo que la ecuación del movimiento será 4cos(4 ) cmx t

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Un satélite de 100 kg de masa describe una órbita circular estacionaria de 1 hora y radio 5000 km alrededor de un planeta debido a la acción de su campo gravitatorio. Calcular la energía cinética, la energía potencial y la energía total del satélite utilizando exclusivamente los datos del enunciado. Tomar como origen de energía potencial un punto infinitamente alejado del planeta. (2,5 puntos)

Solución Podemos calcular directamente la energía cinética a partir de los datos del enunciado:

2

2 2 2 2 91 1 1 23,81 10 J

2 2 2c

E mv m R m RT

.

Sin embargo, no podemos calcular directamente ni la energía potencial ni la energía total ya que nos faltan los datos de la masa del planeta y la constante G. Para calcular estas energías podemos relacionarlas con la energía cinética utilizando las expresiones deducidas del movimiento orbital bajo la acción de un campo gravitatorio. Sabemos que

1

2c

MmE G

r .

También sabemos que la energía potencial tiene la forma:

MmU G

r ,

de modo que tendremos

92 7,62 10 Jc

MmU G E

r .

Finalmente, para la energía total tenemos

913,81 10 J

2c

MmE G E

r

2. Dos cargas puntuales 1

q y 2

q del mismo signo, con masas 1

m y 2

m

respectivamente, se mueven una hacia la otra. Cuando la distancia entre ellas es

0r sus velocidades son

1v y

2v . Aplicar el principio de conservación de la energía

mecánica total del sistema (cinética + potencial) para calcular la distancia mínima a la que se aproximarán las cargas en función de los datos del enunciado. (2,5 puntos)

Solución Al tener el mismo signo ambas cargas se repelen mutuamente. Aplicando la conservación de la energía, y teniendo en cuenta que en el momento de máxima aproximación sus velocidades serán cero tenemos

2 2 1 2 1 2

1 1 2 2

0 min

1 1

2 2

q q q qm v m v k k

r r


1 2

min2 2 1 2

1 1 2 2

0

1 1

2 2

q qr k

q qm v m v k

r

3. La aceleración de un movimiento armónico simple en el eje X está determinada

por la expresión 2 2( ) 16 ( ) cm/sa t x t , siendo ( )x t la posición con respecto a

la posición de equilibrio ( 0 cmx ). Sabiendo que el desplazamiento máximo es 4

cm y que 2 2( 0) 64 cm/sa t , determinar la ecuación completa de la posición

en función del tiempo. (2,5 puntos) Solución


2 2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t x

De los datos del enunciado tenemos = 4 rad/s y A = 4 cm.

4cos(4 )x t

Ahora sólo queda utilizar la condición inicial ( 0) 4 cmx t para calcular la fase

inicial. Sustituimos las condiciones iniciales (0) 4 cm 4cos( ) cm x


4cos(4 ) cmx t

4. La longitud de onda media de los fotones que llegan a la superficie de la Tierra procedentes del Sol es de 500 nm (visible). -Calcular la energía de cada fotón. (1,5 puntos) -Sabiendo que la intensidad de la luz del Sol en la superficie de la Tierra (energía recibida por unidad de tiempo y superficie) es aproximadamente de 1400 W/m2, calcular el número de fotones que inciden por unidad de área cada segundo. (1 punto)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ;

83 10 m/sc . 19eV 1,60 10 J .

Solución La energía correspondiente a esa longitud de onda es

191,24 eV 3,98 10 Jc

E hv h

La intensidad viene dada por I NE

donde N es el número de fotones que inciden cada segundo en la unidad de área. Despejando tenemos

21 1 23,52 10 fotones s mI

NE

OPCIÓN B

1. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Marte es 1,52 veces el radio medio de la órbita de la Tierra, ¿cuál será el periodo de la órbita de Marte? Suponer que las órbitas son circulares. (2 puntos)

Solución Según la tercera Ley de Kepler, el cuadrado del periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica o distancia media. Aplicando la ley tenemos

2 2

3/21 2

2 1 2 13 3

1 2

/ 1,87 añosT T

T T R RR R

2. Supongamos que dos tipos de iones con la misma carga positiva q pero

diferentes masas m1 y m2 son acelerados desde el reposo en la dirección positiva

del eje X mediante un campo eléctrico uniforme de módulo E en el que recorren

una distancia d. Una vez acelerados penetran en un espectrógrafo de masas, que consiste básicamente en un campo magnético perpendicular a la dirección de la

velocidad, dirigido en la dirección del eje Z negativo y de intensidad B. Dentro del campo magnético, los iones describen una semicircunferencia antes de impresionar una placa fotográfica situada en la dirección del eje y, tal y como se

indica en la figura. Encontrar la separación y entre las marcas producidas por los

dos iones. (2,5 puntos)

Solución El campo eléctrico acelera las cargas hasta una velocidad:

22

i

i

dqEv da

m

Al entrar en el campo magnético los iones experimentan una fuerza perpendicular a su velocidad y al campo. Esa fuerza actúa como una fuerza centrípeta que obliga a los iones a describir una trayectoria circular de radio

i i

i

m vR

qB

La separación entre las marcas dejadas sobre la placa fotográfica será

2 2 1 1

2 1 2 1

2 22( )2 2

dqEm v m vd R R m m

qB qB

3. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire ( 1n ) sobre la superficie

lateral de un prisma triangular equilátero con índice de refracción 3 (ver figura).

- Calcular el ángulo inicial de incidencia para que la trayectoria del rayo sea la

ilustrada en la figura (no se han representado los rayos reflejados por las caras). (1,5 puntos) - Calcular la desviación del rayo que sale del prisma con respecto a la dirección inicial. (1,5 puntos)

x

y

d

y

E B

Solución

Es muy fácil darse cuenta de que el ángulo de refracción al atravesar la primera cara es de 30º, ya que el prisma es equilátero. Aplicando la ley de la refracción tenemos

sin sini i r r

n n

Despejando


i r

aire

n

n

Para la segunda cara del prisma volvemos a aplicar la ley de la refracción y obtenemos que el ángulo de refracción es, como era esperable, igual al de incidencia


r i

aire

n

n

La desviación será de 60º como se ilustra en la figura

60º

º

60º

º

30º

30º

4. El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda tensa situada en el eje X oscila en el eje Y con un movimiento armónico simple de 10 oscilaciones por

segundo y amplitud 1 cm. En el instante inicial ( 0t ) el desplazamiento vertical del extremo que oscila es nulo, moviéndose hacia arriba. Obtener la ecuación de la onda armónica transversal generada sabiendo que la longitud de onda es de 10 cm. (2,5 puntos)


( , ) sen( )y x t A kx t .

Ahora debemos calcular cada magnitud a partir de los datos del enunciado: 0,01 m

2 262,8 rad/m

0,1

2 2 10 62,8 rad/s

= rad (porque se mueve hacia arriba, velocidad positiva)

A

k

f


( , ) 0,01 sen 62,8 my x t x t .

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Dos satélites idénticos A y B describen órbitas circulares estacionarias de

diferente radio ( )A B

R R alrededor de la Tierra debido a la acción de su campo

gravitatorio. Razone cuál de los dos tiene mayor energía cinética, mayor energía potencial y mayor energía total. (2,5 puntos)

Solución Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria es la responsable del movimiento orbital tenemos que:

2

2

2

1 1

2 2

T TM m v M m

G m mv Gr r r

,

por lo que la energía cinética dependerá directamente del radio de la órbita: menor radio implica mayor energía cinética, así que tendrá mayor energía cinética el satélite B. La energía potencial tiene la forma general:

0

TM m

U G Ur

.

Como es negativa, cuanto mayor es el radio orbital mayor es su energía potencial, así que tendrá mayor energía potencial el satélite A. Finalmente, la energía total, dada por la suma de cinética más potencial, valdrá:

0

1

2

TM m

E G Ur

,

y su comportamiento con la distancia es similar al de la energía potencial. De nuevo tendrá mayor energía potencial el satélite A.

2. Como se muestra en la figura, se colocan 12 cargas positivas iguales +q distribuidas equitativamente sobre una circunferencia de radio R, es decir, los arcos de circunferencia entre cargas contiguas son todos iguales.

- Calcule la fuerza neta que actúa sobre una carga +Q en el centro del círculo. (1 punto) - Calcule la fuerza neta que actúa sobre la misma carga +Q situada en el centro del círculo si se quita la carga marcada con el recuadro gris. (1,5 puntos)

Solución En el caso inicial, las fuerzas eléctricas debidas a cargas diametralmente opuestas se anulan entre sí, por lo que la fuerza total sobre Q es cero. En el segundo caso es suficiente con calcular la fuerza que ejerce la partícula opuesta a la eliminada. Situando un sistema de coordenadas centrado en la carga +Q y cuyo eje positivo de las x pasa por la posición de la carga eliminada, tenemos que

2

Qqk

RF i

3. Un objeto se encuentra sumergido en el fondo de una piscina a una distancia horizontal del borde de 18 m. Un observador, cuyos ojos están a 1,5 m del suelo, se encuentra en el borde de la piscina y ve la imagen del objeto en la superficie del agua a 6 m del borde (ver figura). Si el índice de refracción del agua con respecto al aire es 4/3, calcular la profundidad de la piscina. (2,5 puntos)

Solución

Aplicamos la ley de la refracción

sin sinagua i aire r

n n

y despejamos

arcsin sin aire

i r

agua

n

n

.

Como sabemos que

6tan 76º

1,5r r

obtenemos


i r

agua

n

n

Finalmente 18 6 18 6

tan 11,3 mtan

i

i

xx

4. El cesio emite electrones para una longitud de onda máxima de 579 nm. Calcular la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos si se ilumina con luz verde de 500 nm. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc .

Solución

En primer lugar debemos obtener la función de trabajo del cesio a partir de la

frecuencia umbral para la fotoemisión de electrones

uhv .


6 m

maxcE hv

Sustituyendo la ecuación de arriba en la de abajo tenemos

max

1 10,34 eVc

u

E hv hc

OPCIÓN B

1. A una altura h con respecto a la superficie de un planeta una persona tiene un cierto peso. Calcular el radio del planeta en función de h sabiendo que en su superficie, el peso de la persona se ha duplicado. (Considerar únicamente el campo gravitatorio creado por el planeta) (2,5 puntos)

Solución Los pesos de esa persona se calculan como

2

22

MP G m

R h

MP G m

R

Dividiendo ambas expresiones obtenemos

2

22

2 1

R h hR

R

2. Un campo magnético uniforme forma un ángulo de 30º con el eje de una bobina

circular de 300 vueltas, radio 4 cm y resistencia total 200 . El módulo del campo varía a razón de 85 T/s, permaneciendo fija su dirección. - Determinar la corriente inducida sobre la bobina y el sentido de la misma. Este sentido podrá ser horario o antihorario, y para determinarlo supondremos que una de las espiras de la bobina se encuentra en el plano del papel (la bobina atraviesa el papel) y que el campo magnético sale del mismo. (2 puntos) -¿Qué cambiará si en lugar de aumentar, el módulo del campo disminuyese a razón de -85 T/s? (1 punto)

Solución El módulo de la fem inducida viene dado por la ley de Faraday

d

dt


2 cosS

N d NB R B s .

Sustituyendo tenemos

2 cos 111 Vd dB

N Rdt dt

y la corriente inducida será :

0,555 AIR

Por la ley de Lenz sabemos que el sentido de la corriente debe ser tal que cree un campo magnético que se oponga a la causa de la variación del flujo magnético que ha generado la fem. Como el aumento del flujo es debido a un aumento del módulo del campo magnético, el campo magnético provocado por la corriente deberá tener sentido contrario al campo inicial. Por consiguiente, aplicando la regla de la mano derecha obtenemos que el sentido de la corriente será horario. En el segundo caso lo único que cambiará será el sentido de la corriente, que pasa a ser antihorario para “compensar” la disminución del módulo del campo.

3. Una masa unida al extremo de un muelle horizontal de masa despreciable describe un movimiento armónico simple de amplitud 1 m. Calcular la elongación del muelle en el instante en el que la aceleración de la masa es la mitad de su valor máximo. (2 puntos)


2 2( ) cos( ) ( )a t A t x t

En el instante que se menciona en el enunciado tenemos que

* 2 2 * *1 1( ) ( ) ( ) cm

2 2a t A x t x t

4. Un átomo de He-4 está compuesto por dos electrones y un núcleo con dos protones más dos neutrones. Calcular la energía liberada (o energía de enlace) en la síntesis de este átomo a partir de sus constituyentes. (2,5 puntos) Datos: mHe-4 = 4,002603 u; mp = 1,00728 u; mn = 1,00867 u; me = 0,000549 u; c2 = 931,5 MeV/u.

Solución La energía liberada es obtenida a partir del defecto másico:

2 2

He-42 2 2

0,030398 931,5 MeV 28,32 MeV

p n eE m c m m m m c

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. En qué punto o puntos de la línea que pasa por los centros de la Tierra y la Luna, los módulos de los campos gravitatorios creados por ambos astros se igualan. Realizar un diagrama en el que figuren los dos astros así como el punto, o los puntos, obtenidos. Indicar en cada punto el vector campo gravitatorio producido por cada astro. (2,5 puntos)

Datos: T

81L

M M . 8


Solución Tomemos como origen de nuestro sistema de referencia la Tierra. El eje X está dado por la dirección de la recta que pasa por los centros de la Tierra y la Luna, con el sentido positivo apuntando hacia la Luna. El módulo del campo gravitatorio creado por la Tierra será

2

T

T

Mg G

x

El módulo del campo gravitatorio creado por la Luna será

2

L

L

T L

Mg G

x d

Igualando ambas expresiones obtenemos 83,46 10 mr (punto situado entre la Tierra y la Luna) 84,32 10 mr (más allá de la Luna)

2. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado existen cargas de 10 μC cada una.

- Calcular el trabajo necesario para llevar una carga negativa de 5 μC desde el cuarto vértice al centro del cuadrado. (2 puntos) - ¿Deberemos realizar un trabajo externo sobre la carga para moverla, o será el propio campo creado por la distribución de cargas el que realice el trabajo? Explicar razonadamente la respuesta. (1 punto)

Datos: 9 2 29 10 Nm Ck .

Solución

9 6 4

9 6 4

10 10 109 10 10 24,36 10 V

1 1 2

10 10 109 10 10 38,18 10 V

2 2 2

2 2 2

0,69 J.

vértice

centro

centro vértice

V

V

W q V q V V

Vemos que el signo del trabajo es negativo. Eso quiere decir que no es necesario realizar ningún trabajo externo, y que será el propio campo eléctrico el que lo haga. Las cargas negativas se dirigen espontáneamente hacia potenciales mayores.

3. Supongamos que la velocidad de propagación de una cierta luz monocromática

en dos medios diferentes es 1

v y 2

v , siendo 1 2/ 1,5v v . Un rayo de esa luz incide

desde uno de los medios hacia el otro. Discutir razonadamente desde cuál de los dos medios debe incidir para que se pueda producir la reflexión total. (2 puntos)


sin sini i r r

n n


* arcsin r

i

i

n

n

Este ángulo estará definido sólo cuando 1ir

i r

vn

n v . Por lo tanto, el medio desde el

que la luz incide debe ser el medio 2.

4. La longitud de onda media de los fotones que llegan a la superficie de la Tierra procedentes del Sol es de 500 nm (visible). -Calcular la energía de cada fotón. (1,5 puntos) -Sabiendo que la intensidad de la luz del Sol en la superficie de la Tierra (energía recibida por unidad de tiempo y superficie) es aproximadamente de 1400 W/m2, calcular el número de fotones que inciden por unidad de área cada segundo. (1 punto)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh ;

83 10 m/sc . 19eV 1,60 10 J .

Solución La energía correspondiente a esa longitud de onda es

191,24 eV 3,98 10 Jc

E hv h

La intensidad viene dada por I NE

donde N es el número de fotones que inciden cada segundo en la unidad de área. Despejando tenemos

21 1 23,52 10 fotones s mI

NE

OPCIÓN B

1. Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra. ¿Con qué velocidad deberíamos lanzar horizontalmente un objeto para que, despreciando cualquier tipo de rozamiento, diera la vuelta a la Tierra y nos golpease en la espalda? (2,5 puntos)

Utilizar exclusivamente los siguientes datos: 2

09,81 m/s .g

T6370 km.R

Solución Para que esto ocurra el objeto debería describir una órbita en la superficie de la Tierra bajo la acción de su campo gravitatorio. Por lo tanto

2

1/2

02 7,9 km/sT

T

T T

M m vG m v g R

R R .

2. Una bobina de 80 vueltas tiene un radio de 5 cm y una resistencia de 30 . Determinar cuál debe ser el módulo de la variación de un campo magnético paralelo al eje de la bobina (perpendicular al plano de las espiras) para inducir en ésta una corriente de 4 A. (2,5 puntos)

Solución


d

dt


Sd B s .

Podemos calcular la fem inducida de los datos del enunciado:

120 VIR

Por otro lado, el flujo magnético que atraviesa la bobina será 2( )

SN d NB t R B s .

Igualando obtenemos

2

2

( ) ( ) 191 T/s

d dB t dB tN R

dt dt dt N R

3. Responda razonadamente a las siguientes preguntas sobre las ondas estacionarias (puede utilizar como ejemplo una cuerda tensa de longitud L con sus dos extremos fijos): - ¿Cómo se forman las ondas estacionarias y qué son los modos de vibración? (1 punto) - ¿Vibran todos con los puntos con la misma amplitud máxima y frecuencia? (1 punto) - En el ejemplo de la cuerda, ¿cuál será la longitud de onda del modo fundamental de vibración -o primer armónico? (0,5 puntos)

Solución - Las ondas estacionarias son el resultado de la superposición de dos ondas armónicas con la misma amplitud y misma frecuencia, que se mueven en sentido opuesto. En la práctica se obtienen en medios confinados, como el ejemplo de la cuerda tensa fija por sus extremos, haciendo vibrar uno de los extremos con una frecuencia que sea igual a una de las frecuencias naturales de vibración (o frecuencias de resonancia):

2n

vf n

L ,

siendo v la velocidad de la onda. La reflexión en los extremos produce ondas que se mueven en los dos sentidos combinándose de acuerdo con el principio de superposición y dando lugar a un patrón de vibración estacionario (onda estacionaria) que puede tener diferentes formas (modos de vibración) dependiendo de la frecuencia. - La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición. Hay ciertos puntos de la onda (nodos) cuya amplitud es nula. La frecuencia de vibración es la misma para todos los puntos.

- 1

2L

4. Determinar la energía de enlace (o de ligadura) del último neutrón del 4He sabiendo que las masas atómicas del 4He, 3He y del neutrón son 4,002603 u, 3,016030 u, y 1,008665 u, respectivamente. (2,5 puntos) Datos: c2 = 931,5 MeV/u.

Solución La energía de ligadura del neutrón vendrá dada por la diferencia de energías entre el estado no ligado (energía del 3He más energía del neutrón, ambos en reposo) y el estado neutrón-ligado (energía del 4He en reposo):

3 4

2 2

He He20,6 MeVnE m c m m m c

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular

estacionaria alrededor de la Tierra por la acción de su campo gravitatorio es Sabiendo que la energía mecánica total del satélite dentro del campo gravitatorio creado por la Tierra es E (donde para la energía potencial se ha tomado como origen de energía un punto infinitamente alejado del centro terrestre), calcular la masa del satélite en función de los datos del problema, G y la masa de la Tierra MT. (2,5 puntos)

Solución En primer lugar debemos calcular el radio de la órbita. Si el satélite describe una órbita estacionaria, la fuerza centrípeta responsable de su movimiento es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite:

2

2

TmM

m R GR


3

2

TGM

R

Ahora podemos calcular la masa del satélite a partir de su energía total:

T

2/3

T T

2 2

2c

M m RE EE E U G m

R GM GM

2. Una carga puntual positiva 1

q está situada en el origen de coordenadas. Otra

carga puntual 2

q se sitúa en el punto (0,1) m. Calcular el campo eléctrico creado

por estas cargas en el punto (1/2,1/2) m en función de 1

q , 2

q y la constante de

Coulomb k. (2,5 puntos)

Solución Calcularemos primero el campo creado por la carga situada en el origen.

1

21 1

2 2

cos sin 24 41 1

2 2

qk k q

E i j i j

El campo creado por la carga situada en el punto (0,1) será:

2

22 2

2 2

cos sin 24 41 1

2 2

qk k q

E i j i j

El campo total será la suma de las dos contribuciones:

1 2 1 2 1 22k q q q q E E E i j




2 1,257 m/sv A A f


2

max

10,395 J

2c

E mv

4. La relación entre los índices de refracción del hielo y el aire es

/ 1,41.hielo aire

n n Supongamos que tenemos un objeto puntual en el fondo de una

placa de hielo de espesor h = 10 cm, tal y como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser el radio mínimo R de un disco opaco plano que, colocado en la vertical del objeto sobre la superficie del hielo, no permita ver desde ningún punto del aire el objeto? (3 puntos)

Solución Todos los rayos que parten del objeto y llegan a la superficie con un ángulo de

incidencia mayor que el ángulo límite de reflexión total *

i sufrirán reflexión total y

no serán recibidos por el observador situado en el aire. Por lo tanto tenemos que

* *tan tan tan arcsin 10cmaire

i i

hielo

nRR h h

h n

OPCIÓN B


09,81 m/sg . Calcular la intensidad del campo terrestre a una distancia d del

centro de la Tierra dada por 6T

d R , siendo T

R el radio terrestre. (2 puntos)

Solución El campo gravitatorio en esta distancia será

h *

i

R

R

h

2

022

1( ) 0,27 m/s

366

T T

T

M Mg d G G g

d R

2. Un campo magnético uniforme forma un ángulo de 30º con el eje de una bobina

circular de 300 vueltas, radio 4 cm y resistencia total 200 . El módulo del campo varía a razón de 85 T/s, permaneciendo fija su dirección. - Determinar la corriente inducida sobre la bobina y el sentido de la misma. Este sentido podrá ser horario o antihorario, y para determinarlo supondremos que una de las espiras de la bobina se encuentra en el plano del papel (la bobina atraviesa el papel) y que el campo magnético sale del mismo. (2 puntos) -¿Qué cambiará si en lugar de aumentar, el módulo del campo disminuyese a razón de -85 T/s? (1 punto)

Solución El módulo de la fem inducida viene dado por la ley de Faraday

d

dt

donde el flujo viene dado por 2 cos

SN d NB R B s .

Sustituyendo tenemos

2 cos 111 Vd dB

N Rdt dt

y la corriente inducida será :

0,555 AIR

Por la ley de Lenz sabemos que el sentido de la corriente debe ser tal que cree un campo magnético que se oponga a la causa de la variación del flujo magnético que ha generado la fem. Como el aumento del flujo es debido a un aumento del módulo del campo magnético, el campo magnético provocado por la corriente deberá tener sentido contrario al campo inicial. Por consiguiente, aplicando la regla de la mano derecha obtenemos que el sentido de la corriente será horario. En el segundo caso lo único que cambiará será el sentido de la corriente, que pasa a ser antihorario para “compensar” la disminución del módulo del campo.

3. – Explicar en qué consiste la difracción de una onda y poner un ejemplo de difracción (se recomienda ilustrar el ejemplo con un dibujo). ¿Ocurre este fenómeno en todo tipo de ondas? (1,5 puntos) - Explicar la relevancia de este fenómeno en el desarrollo de la física cuántica. (1 punto)

Solución

La difracción es el cambio o desviación que experimentan todos los tipos de ondas cuando se encuentran con un obstáculo. Para que este fenómeno sea significativo, el tamaño del objeto, agujero, rendija,… debe ser menor o del orden de la longitud de onda. El ejemplo típico es la difracción que experimenta una onda plana cuando atraviesa una rendija o agujero situado en una barrera, como se muestra en la siguiente imagen.

Experimentos con haces de electrones incidiendo sobre rendijas o láminas delgadas revelaron fenómenos de difracción y patrones de interferencias similares a los de luz, que el modelo clásico de partícula no podía explicar. Fue la prueba crucial para demostrar la naturaleza ondulatoria de los mismos y por extensión de toda la materia. Mientras que para las partículas macroscópicas no es posible observar estos efectos ondulatorios, en los tamaños y energías característicos del mundo cuántico estos efectos son muy importantes, razón por la cual las partículas subatómicas son descritas mediante funciones de onda.

4. Calcular el número total de emisiones y que permitirían completar la

transmutación de 249

92 X a 233

86Y . (2,5 puntos)

Solución

La variación del número másico nos permite obtener el número de emisiones , ya que éste no varía durante las emisiones beta. Así pues tenemos que

249 4 233 4 emisiones x .

Después de esas 4 emisiones el número atómico debería haber disminuido en 8 unidades, y sin embargo ha disminuido en 6 unidades, lo que significa que ha

debido experimentar como mínimo 2 emisiones .

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Un astronauta de 80 kg se encuentra en un globo espacial en reposo con respecto a la Tierra. Sabiendo que en el globo tiene un peso de 640 N, calcular la distancia del globo al centro del planeta. (2,5 puntos)

Datos: 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución A partir del peso del astronauta calculamos el campo gravitatorio a esa distancia de la Tierra:

2 8 m/sP

P mg gm

Ahora es fácil calcular la distancia a la que se encuentra el globo:

2 7061 kmT T

M GMg G R

R g

2. En una región del espacio en donde existe un campo eléctrico uniforme EE i

con E positivo, depositamos una carga positiva q de masa m sin velocidad inicial.

- Explicar razonadamente el tipo de movimiento que experimentará la carga debido al campo. (1 punto)

- Al cabo de un cierto tiempo la partícula ha recorrido una distancia d bajo la

acción del campo eléctrico. Calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico entre los dos puntos. (1 punto) - Calcular la velocidad de la carga después de recorrer esa distancia. (1 punto)

Solución: La carga experimentará una fuerza constante debida al campo

qEF i

Esta fuerza es hacia la derecha, provocando un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección del eje x y sentido positivo. El trabajo realizado por el campo eléctrico es positivo

W qEd F d ,

Podemos obtener la velocidad de la carga de muchas formas:

21 2

2c

qEdW E qEd mv v

m

2 22 2

qEdv ad v ad v

m

2

c

qEdE U W v

m

3. Demostrar que la energía total (cinética más potencial) de una partícula que

describe un movimiento armónico simple tiene la forma 2 2 22E MA f , donde M

es la masa de la partícula, A la amplitud y f la frecuencia (en Hz). (2 puntos)

Solución La energía total de un movimiento armónico simple tiene la forma

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 = sin ( ) cos ( )

2 2

1 = 2

2

c pE E E Mv M x

MA t M A t

MA MA f

4. Un átomo de He-4 está compuesto por dos electrones y un núcleo con dos protones más dos neutrones. Calcular la energía liberada (o energía de enlace) en la síntesis de este átomo a partir de sus constituyentes. (2,5 puntos) Datos: mHe-4 = 4,002603 u; mp = 1,00728 u; mn = 1,00867 u; me = 0,000549 u; c2 = 931,5 MeV/u.

Solución La energía liberada es obtenida a partir del defecto másico:

2 2

He-42 2 2

0,030398 931,5 MeV 28,32 MeV

p n eE m c m m m m c

OPCIÓN B

1. Sabiendo que la Luna tiene una masa L

M , que está situada a una distancia d

de la Tierra, y que el campo gravitatorio de la Tierra en la superficie terrestre 0

g

es 3600 mayor que el campo gravitatorio terrestre en el centro de la Luna, deducir la expresión de la energía cinética de la Luna en función, exclusivamente, de los datos del enunciado. (2,5 puntos)

Solución La energía cinética de la Luna es

21

2c L

E M v .

Ahora debemos calcular la velocidad v con la que orbita, a partir de la relación entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta:

1/22

2 T L T

L

M M MvG M v G

d d d

.

A partir del enunciado sabemos que

0

2 3600

TgM

Gd

De modo que finalmente obtenemos

2 01 1

2 2 3600

L

c L

M g dE M v

2. Supongamos una espira cuadrada de lado L situada en el plano xy por la que

circula una corriente de intensidad I en el sentido horario. La espira se encuentra

en un campo magnético uniforme B=B j con B positivo. - Calcular y representar en una figura la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado de la espira. (2 puntos) - Explicar razonadamente cuál será el efecto de la fuerza total del campo magnético sobre la espira: desplazarla, girarla, oprimirla o agrandarla. (1 punto)

Solución La fuerza que siente cada lado de la espira es

L F I B

Los dos lados de la espira alineados con B no sentirán fuerza alguna, mientras que los otros dos lados, en la dirección x sentirán fuerzas iguales en módulo y dirección, perpendicular al plano de la espira, pero de sentidos opuestos.

1

2

L LIB

L LIB

F I B k

F I B k

Esto provocará un par de fuerzas sobre la espira que la hará girar, sin desplazarla, alrededor del eje x.

3. Supongamos que tenemos dos medios con índices de refracción 1

n y 2

n para

una cierta luz monocromática. La relación entre ambos índices es 1 2/ 1,3n n . Si

un rayo de esta luz incide desde el primer medio al segundo con un ángulo de incidencia de 60º, ¿se producirá refracción? Razonar la respuesta. (2 puntos)


1 2sin sin

i rn n

Despejando observamos que no existe un ángulo de refracción que satisfaga la anterior relación ya que

1

2

sin sin 1r i

n

n

Esto es debido a que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión total

* 2

1

arcsin 55,87ºi

n

n

4. La serie de Lyman del espectro de emisión del átomo de hidrógeno corresponde

a transiciones electrónicas que terminan en el estado fundamental ( 1n ). Sabiendo que según el modelo de Bohr de este átomo, la energía total del electrón

tiene la forma 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n , determinar la línea de la serie de Lyman

que tiene la longitud de onda más corta. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc .

Solución Para la serie de Lyman tendremos

0 2 2

1 1

1i f

hv E E En

La menor longitud de onda corresponderá a la mayor frecuencia (o mayor energía), esto es, a la transición más energética, por lo que el estado inicial corresponderá a n :

1

8

2

0

1 19,13 10 m

1

hc

E

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Una estación espacial se encuentra en reposo con respecto al Sol a una distancia R. -Sabiendo que en el punto en el que se encuentra la estación la velocidad de escape del campo gravitatorio solar es de 30 km/s, calcular R. (1,5 puntos) -Desde la estación se quiere lanzar una sonda para que orbite en torno al Sol siguiendo una trayectoria circular estacionaria. Determine la velocidad angular que debe tener la sonda. (1,5 puntos)

Datos: 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

30

Sol2.0 10 kg.M


2S

e

GMv

R

Despejando obtenemos la distancia a la que se encuentra la estación espacial

11

2

22,96 10 mS

e

GMR

v

El movimiento orbital de la sonda debe satisfacer la relación

2 8

2 3 7,16 10 rad/sS SM m GM

G m RR R

2. En una bobina de 250 espiras el flujo magnético por espira varía uniformemente desde 10-4 Wb hasta 10-5 Wb en una décima de segundo. Halla la f.e.m. inducida sobre la bobina. (2 puntos)

Solución De acuerdo con la Ley de Faraday

d

dt

.

En nuestro caso tenemos

t

con 5 410 10 WbN y 0,1t , por lo que 0.225 V .

3. –Explicar en qué consiste la difracción de una onda y poner un ejemplo de difracción (se recomienda ilustrar el ejemplo con un dibujo). ¿Ocurre este fenómeno en todo tipo de ondas? (1,5 puntos) - Explicar la relevancia de este fenómeno en el desarrollo de la física cuántica. (1 punto)

Solución La difracción es el cambio o desviación que experimentan todos los tipos de ondas cuando se encuentran con un obstáculo. Para que este fenómeno sea significativo, el tamaño del objeto, agujero, rendija,… debe ser menor o del orden de la longitud de onda. El ejemplo típico es la difracción que experimenta una onda plana cuando atraviesa una rendija o agujero situado en una barrera, como se muestra en la siguiente imagen.

Experimentos con haces de electrones incidiendo sobre rendijas o láminas delgadas revelaron fenómenos de difracción y patrones de interferencias similares a los de luz, que el modelo clásico de partícula no podía explicar. Fue la prueba crucial para demostrar la naturaleza ondulatoria de los mismos y por extensión de toda la materia. Mientras que para las partículas macroscópicas no es posible observar estos efectos ondulatorios, en los tamaños y energías característicos del mundo cuántico estos efectos son muy importantes, razón por la cual las partículas subatómicas son descritas mediante funciones de onda.

4. La serie de Lyman del espectro de emisión del átomo de hidrógeno corresponde

a transiciones electrónicas que terminan en el estado fundamental ( 1n ). Sabiendo que según el modelo de Bohr de este átomo, la energía total del electrón

tiene la forma 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n , determinar la línea de la serie de Lyman

que tiene la longitud de onda más corta. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc .

Solución Para la serie de Lyman tendremos

0 2 2

1 1

1i f

hv E E En

La menor longitud de onda corresponderá a la mayor frecuencia (o mayor energía), esto es, a la transición más energética, por lo que el estado inicial corresponderá a n :

1

8

2

0

1 19,13 10 m

1

hc

E

OPCIÓN B


09,81 m/sg . Calcular la intensidad del campo terrestre a una distancia d del

centro de la Tierra dada por 6T

d R , siendo T

R el radio terrestre. (2 puntos)

Solución El campo gravitatorio en esta distancia será

2

022

1( ) 0,27 m/s

366

T T

T

M Mg d G G g

d R

2. Un dipolo consta de dos cargas iguales pero de distinto signo separadas por

una distancia L . Supongamos el dipolo mostrado en la figura, que forma un

ángulo con el eje y. El punto medio de su eje imaginario pasa por el origen de coordenadas.

- Calcular la energía potencial electrostática de esta configuración de carga. (1 punto) - Supongamos que el dipolo se encuentra dentro de un campo eléctrico externo que produce un potencial eléctrico que para cada punto del espacio tiene la

función 2 2( , )V x y x y (en voltios). Calcular la energía potencial electrostática

del dipolo (suma de las energías potenciales de las dos cargas) debida al campo externo. (2 puntos)

Solución La energía potencial interna del dipolo (producida por los campos generados por cada carga es)

2

dipolo int

qU k

L .

La energía potencial electrostática de cada carga del dipolo en el campo externo es

( , )i i i i

U qV x y

Los potenciales eléctricos debidos al campo eléctrico externo en las posiciones de las cargas del dipolo son

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

sin cos4 4 4

sin cos4 4 4

q

q

L L LV

L L LV

Por consiguiente, la energía del dipolo con respecto al campo externo será

dipolo ext0

q q q qU U U qV qV

.

3. Demostrar que la energía total (cinética más potencial) de una partícula que

describe un movimiento armónico simple tiene la forma 2 2 22E MA f , donde M

es la masa de la partícula, A la amplitud y f la frecuencia (en Hz). (2 puntos)

Solución La energía total de un movimiento armónico simple tiene la forma

+q

-q

x

y

L

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 = sin ( ) cos ( )

2 2

1 = 2

2

c pE E E Mv M x

MA t M A t

MA MA f

4. La relación entre los índices de refracción del hielo y el aire es

/ 1,41.hielo aire

n n Supongamos que tenemos un objeto puntual en el fondo de una

placa de hielo de espesor h = 10 cm, tal y como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser el radio mínimo R de un disco opaco plano que, colocado en la vertical del objeto sobre la superficie del hielo, no permita ver desde ningún punto del aire el objeto? (3 puntos)

Solución

Todos los rayos que parten del objeto y llegan a la superficie con un ángulo de

incidencia mayor que el ángulo límite de reflexión total *

i sufrirán reflexión total y

no serán recibidos por el observador situado en el aire. Por lo tanto tenemos que

* *tan tan tan arcsin 10cmaire

i i

hielo

nRR h h

h n

h *

i

R

R

h

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. La velocidad angular con la que un satélite de 100 kg de masa describe una

órbita circular estacionaria en torno al planeta Venus es = 10-4 rad/s. -Calcular la energía total que tiene el satélite durante la órbita. Considerar que el origen de energía potencial se encuentra en un punto infinitamente alejado. (2 puntos) -¿Qué energía sería necesaria para cambiar a otra órbita circular con velocidad

angular = 10-5 rad/s? (1 punto)

Datos: MVenus= 5×1024

kg. 11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución


0

GM mU U

R ,

donde 0

U es una constante que depende del origen de energía potencial

considerado. Si suponemos, por ejemplo, que 0U cuando r , tenemos

entonces que 0

0U . Por otro lado la energía cinética se calcula a partir de 2

2T

2

1

2 2

T

c

v M m M mm G E mv G

R R R .


Venus

2c

M mE E U G

R .

Ahora debemos calcular el radio de la órbita a partir del dato de la velocidad angular

1 32

2Venus Venus

2 2

M m v MG m m R R G

R R

.

Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior llegamos a

2/3

Venus

1 3 Venus

Venus

2

22

M m mE G GM

GM

En la órbita inicial la energía del satélite será 8

15,2 10 JE , mientras que en la

órbita final la energía será 8

21,1 10 JE . La diferencia de energías entre las dos

órbitas será precisamente la energía que deberá suministrarse al satélite: 8

2 14,1 10 JE E E .

2. En una bobina de 250 espiras el flujo magnético por espira varía uniformemente desde 10-4 Wb hasta 10-5 Wb en una décima de segundo. Halla la f.e.m. inducida sobre la bobina. (2 puntos)

Solución De acuerdo con la Ley de Faraday

d

dt

.

En nuestro caso tenemos

t

con 5 410 10 WbN y 0,1t , por lo que 0.225 V .

3. Supongamos que tenemos dos medios con índices de refracción 1

n y 2

n para

una cierta luz monocromática. La relación entre ambos índices es 1 2/ 1,3n n . Si

un rayo de esta luz incide desde el primer medio al segundo con un ángulo de incidencia de 60º, ¿se producirá refracción? Razonar la respuesta. (2 puntos)


1 2sin sin

i rn n

Despejando observamos que no existe un ángulo de refracción que satisfaga la anterior relación ya que

1

2

sin sin 1r i

n

n

Esto es debido a que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión total

* 2

1

arcsin 55,87ºi

n

n

4. La radiación gamma emitida durante la desintegración beta del 60Co se utiliza

60Co 60 Nifrecuentemente en el tratamiento del cáncer. El cobalto decae a

mediante la siguiente desintegración beta, emitiendo dos fotones (radiación

gamma): 60 60Co Ni 2ee

e

e- Despreciando la masa del electrón y la del antineutrino , calcular la energía

liberada en la desintegración. (1,5 puntos) - De esa energía liberada, una parte aparece en forma de energía cinética de las partículas beta y el resto en forma de dos fotones gamma. Sabiendo que la energía cinética de las partículas beta es de 325 keV, calcular la frecuencia de los dos fotones emitidos suponiendo que son iguales. (1,5 puntos)

60 Co59,93382 um 60 N

59,9307864 ui

m 2 931,5 MeV/uc Datos: ; ; ;

154,14 10 eV sh .

Solución - Despreciando la masa del electrón y la del antineutrino, tenemos que la energía liberada en la desintegración es

60 60

2

Co Ni59,93382-59,9307864 931,5 2,826 MeVQ m m c

.

Como

1( ) 2 ( ) 1,25 MeV

2c cQ E e E E Q E e

,

por lo que en cada desintegración se producen dos fotones con energías 1,25 MeV. La frecuencia de cada fotón será

203.02 10 HzE

vh

OPCIÓN B

1. Sabiendo que la gravedad en la superficie de la Luna es 1/5 de la terrestre

(siendo ésta 2

09,81 m/sg ), calcular la velocidad de escape de la Luna sabiendo

que la velocidad de escape en la Tierra es de 11,2 km/s y que la relación entre los

radios terrestre y lunar es de 3,67T L

R R . (2.5 puntos)

Solución La velocidad de escape en la Luna es

LL

L

LL Rg

R

MGv 0

22

2

y en la Tierra

TT

T

TT Rg

R

MGv 0

22

2

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos que 2

2 2 0

0

2,61 km/s5 3,67

L L T

L T L

T T

g R vv v v

g R

2. Supongamos que tenemos dos cargas 1

q y 2

q situadas sobre el eje x en los

puntos x a y x a , respectivamente.

- Calcular el campo eléctrico producido en un punto del eje x. (1 punto)

- Calcular el campo eléctrico producido en un punto x a del eje x. (1 punto)

- Calcular el campo eléctrico producido en un punto a x a del eje x. (1

punto) Solución

El campo eléctrico producido por las dos cargas cuando es

1 2

2 2( )

( ) ( )

kq kqx

x a x a

E i i

Hacemos lo mismo para valores negativos de x, cuando x a tenemos:

1 2

2 2( )

( ) ( )

kq kqx

x a x a

E i i

Cuando a x a obtenemos

1 2

2 2( )

( ) ( )

kq kqx

x a x a

E i i

3. Los valores extremos de la aceleración de un movimiento armónico simple en el

eje X son 2 216 cm/s . Obtener la ecuación completa de la posición en función

del tiempo sabiendo que la frecuencia de la oscilación es de 4 Hz y que cuando t = 1/8 s la posición es x = 0,125 cm con velocidad negativa. (2,5 puntos)


2 2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

v A t

a A t x

De los datos del enunciado tenemos 2 8f rad/s

Además:

x a

x a

2 2 2 216 16 / 0,25 cmA A

Ahora sólo queda calcular la fase inicial a partir de la condición inicial

( 1/ 8) 0,125 cm 0,250cos( )x t .

Despejando

2

1 1 3cos( ) ( ) arcos

42 2 3

3

Para distinguir entre las dos posibles fases debemos utilizar el dato de la velocidad

25.44 si

3sin( )

45.44 si

3

v A t


2( ) 0,250cos 8

3x t t

4. En el análisis de ciertas sustancias se emplea la difracción de neutrones, que se basa en efectos ondulatorios que suceden cuando la longitud de onda de De Broglie de los neutrones es comparable a la separación entre átomos del material. Estímese el orden de magnitud de las distancias interatómicas que se pueden

distinguir cuando se usan neutrones con energía cinética de 0,027 eV . (2

puntos)

Datos: la masa del neutrón es 27

n1,67 10 kgm .

34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh . 19eV 1,60 10 J .

Solución Los neutrones con esa energía cinética tienen momentos lineales de

242 3,8 10 kg m/sp mE

La longitud de onda de De Broglie se calcula como /h p , por lo que 101,75 10 m , que es el orden de la distancia interatómica de un cristal.

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Supongamos que sólo conocemos el valor de la constante de gravitación universal G, el radio de la órbita de la Luna alrededor de la tierra R y el periodo de su órbita T. - ¿Cuánto vale la masa de la Tierra en función de estos datos? (1,5 puntos) -¿Qué dato nos faltará para poder calcular la energía mecánica total de la Luna dentro del campo gravitatorio creado por nuestro satélite? (1,5 puntos)

Solución La fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la Luna es la responsable del movimiento de rotación de la última sobre la primera. Podemos escribir por tanto que

RT

mRmR

mMG LL

LT

2

22

2

4 .

Despejando TM obtenemos que 3

2

24R

GTM T

.

La energía total de nuestro satélite será (hemos tomado el origen de energía potencial en el infinito)

T

2

L

c

M mE E U G

R .

Es evidente que nos faltará la masa de la luna.

2. Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético dB producido por un

elemento de corriente Id l de longitud dl por el que circula una intensidad de

corriente I , viene dado por la ecuación

0

2

ˆ

4

Idd

r

l rB

Supongamos que tenemos la espira cuadrada mostrada en la figura por la que circula una corriente. ¿Qué lados de la espira contribuirán al campo magnético producido en el punto X indicado en la figura? Justificar la respuesta. Las líneas discontinuas sólo indican las direcciones de los lados de la espira. (2,5 puntos)

Solución

Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético dB producido por un elemento

de corriente Idl viene dado por la ecuación

0

2

ˆ

4

Idd

r

l rB

Este campo será nulo cuando ˆ 0d l r , es decir, cuando el elemento de corriente tenga la misma dirección que el vector posición del punto con respecto al elemento de corriente. En nuestro problema esto ocurrirá para todos los elementos de corriente del lado D, por lo que sólo contribuirán los lados A, B y C.

3. Un rayo de luz monocromática incide desde el aire ( 1n ) perpendicularmente sobre la superficie lateral de un prisma triangular con índice de refracción 1,5 (ver figura). Describir qué ocurrirá dentro del prisma y calcular la desviación del rayo que sale del prisma con respecto a la dirección inicial. (3 puntos)

X A

B

C

D

Solución

Primero calculamos el ángulo límite para la reflexión total, para saber si puede haber refracción en la segunda cara del prisma

* 1arcsin arcsin 41,8º

1,5

r

i

i

n

n

Como se observa en la figura, el ángulo de incidencia sobre la segunda cara del prisma será de 60º. Como es mayor que 41,8º se producirá la reflexión total. De modo que el rayo reflejado saldrá perpendicularmente a la base del prisma. La desviación será de

180º 120º 30º

4. En el análisis de ciertas sustancias se emplea la difracción de neutrones, que se basa en efectos ondulatorios que suceden cuando la longitud de onda de De Broglie de los neutrones es comparable a la separación entre átomos del material. Estímese el orden de magnitud de las distancias interatómicas que se pueden

distinguir cuando se usan neutrones con energía cinética de 0,027 eV . (2

puntos)

60º

60º

i = 60º

60º

Datos: la masa del neutrón es 27

n1,67 10 kgm .

34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh . 19eV 1,60 10 J .

Solución Los neutrones con esa energía cinética tienen momentos lineales de

242 3,8 10 kg m/sp mE

La longitud de onda de De Broglie se calcula como /h p , por lo que 101,75 10 m , que es el orden de la distancia interatómica de un cristal.

OPCIÓN B


09,81 m/sg . Calcular la intensidad del campo gravitatorio generado por la

Luna en su propia superficie sabiendo que el radio terrestre es 3,7 veces mayor que el lunar, y que la masa de la Tierra es 81,4 veces la masa de la Luna. (2 puntos)

Solución El campo gravitatorio en la superficie de la Luna valdrá

2 2

2

2 2

3,7 3,71,65 m/s

81,4 81,4

TLL T

L T

MMg G G g

R R

2. Se sitúa un electrón con velocidad inicial nula dentro de un campo eléctrico

constante 5000 2000 +1000 N/C E i j k .

- Calcular la velocidad del electrón en función del tiempo t. (1,5 puntos) - Supongamos que el electrón recorre una cierta trayectoria debido a la acción del campo eléctrico, si la diferencia de potencial entre el punto final y el inicial es de 300 V, ¿cuánto valdrá la velocidad final del electrón? (1,5 puntos)

Datos: me = 9,110-31 kg; e = 1,610-19 C. Solución

La fuerza que experimenta el electrón debido a la presencia del campo eléctrico es

5000 2000 +1000 Nq e F E i j k ,

y la aceleración

25000 2000 +1000 m/se

m m

Fa i j k

por lo que la velocidad en función del tiempo será

111,76 10 5000 2000 +1000 m/st t 0

v v a i j k

Para la segunda parte aplicamos la conservación de la energía mecánica:

cE U

2 71 2 1,027 10 m/s

2

e Vmv q V e V v

m


ecuación es ( ) 2cos 4 cmx t t . Calcular el espacio total que ha recorrido la

partícula cuando 1,2 st . (2,5 puntos)

Solución La posición inicial de la partícula es la posición de máximo desplazamiento

( 0) 2 cmix x t .

La posición final es

( 1,2) 1.618 cmfx x t ,

moviéndose hacia la izquierda (velocidad negativa). Como el periodo de oscilación de la partícula es

2 1 s

2T

,

en esos primeros 1,2 s ha realizado dos oscilaciones completas, lo que equivale a una distancia total de 8 veces la amplitud de la oscilación, 16 cm (en cada oscilación recorre 4 veces la máxima elongación). A esto hay que añadir el valor absoluto de la diferencia entre la posición inicial y la final:

16 19,618 cmf id x x

4. Calcular la energía liberada en la reacción nuclear O O He Si sabiendo que la masa nuclear del O es 15,99491 u, la del Si es 27,97693 u y la del He es 4,00260 u. (2,5 puntos)

Datos: 2 931,5 MeV/uc

Solución La energía de la desintegración vale

2 2

O He Si2

2 15,99491 27,97693 4,00260 931,5 9,585 MeV

Q mc m m m c

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. Un satélite geoestacionario es aquél cuya posición permanece siempre en la vertical de un determinado punto de la superficie terrestre (más concretamente en la vertical del ecuador). Calcular el radio de la órbita de este tipo de satélites. (2,5 puntos)

Datos: 24

T5,98 10 kg.M

11 2 26,67 10 Nm /kg .G

Solución Al permanecer siempre en la vertical de un determinado punto, los satélites geoestacionarios giran con la misma velocidad angular con la que lo hace la Tierra, es decir, con un periodo T de revolución de 24 h (86400 s). Tenemos entonces que

2 2

2

2 2

4T T

M m vG m m R m R

R R T

.

Despejando R obtenemos 1

2 3

242000 km

4

TT M

R G

2. Supongamos que tenemos dos cargas 1

q y 2

q situadas sobre el eje x en los

puntos x a y x a , respectivamente.

- Calcular el campo eléctrico producido en un punto del eje x. (1 punto)

- Calcular el campo eléctrico producido en un punto x a del eje x. (1 punto)

x a

- Calcular el campo eléctrico producido en un punto a x a del eje x. (1

punto) Solución

El campo eléctrico producido por las dos cargas cuando es

1 2

2 2( )

( ) ( )

kq kqx

x a x a

E i i

Hacemos lo mismo para valores negativos de x, cuando x a tenemos:

1 2

2 2( )

( ) ( )

kq kqx

x a x a

E i i

Cuando a x a obtenemos

1 2

2 2( )

( ) ( )

kq kqx

x a x a

E i i




2 1,257 m/sv A A f


2

max

10,395 J

2c

E mv

4. Supongamos que el índice de refracción de un material varía con la longitud

onda del modo: 0( )n

, donde 0 es una constante tal que

0 . Un rayo

de luz blanca incide desde el aire ( 1n ) sobre el material con un ángulo de

incidencia . Calcular, en función de los datos del problema, qué rango de

longitudes de onda atravesarán el material. (2,5 puntos) Solución


* 1

0

arcsin arcsin ( ) arcsinr

i

i

nn

n

El ángulo de incidencia es y es el mismo para todas las longitudes de onda, de modo que las longitudes de onda que atravesaran el medio serán aquellas para las que se produce refracción

x a

0

0

arcsin sin

OPCIÓN B

1. Dos satélites idénticos A y B describen órbitas circulares estacionarias de

diferente radio ( )A B

R R alrededor de la Tierra debido a la acción de su campo

gravitatorio. Razone cuál de los dos tiene mayor energía cinética, mayor energía potencial y mayor energía total. (2.5 puntos)

Solución Sabiendo que la fuerza de atracción gravitatoria es la responsable del movimiento orbital tenemos que:

2

2

2

1 1

2 2

T TM m v M m

G m mv Gr r r

,

por lo que la energía cinética dependerá directamente del radio de la órbita: menor radio implica mayor energía cinética, así que tendrá mayor energía cinética el satélite B. La energía potencial tiene la forma general:

0

TM m

U G Ur

.

Como es negativa, cuanto mayor es el radio orbital mayor es su energía potencial, así que tendrá mayor energía potencial el satélite A. Finalmente, la energía total, dada por la suma de cinética más potencial, valdrá:

0

1

2

TM m

E G Ur

,

y su comportamiento con la distancia es similar al de la energía potencial. De nuevo tendrá mayor energía potencial el satélite A.

2. En un determinado instante una carga de 1 C entra con una velocidad 2 3 2 m/s v i j k en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico

2 N/C E i j k y un campo magnético 3 2 T B i j k . Calcular la fuerza que

experimenta la carga en ese momento. (2,5 puntos) Solución

La fuerza que experimenta será

62 10 2 3 7 Nq F E v B i j k

3. -Explicar el principio de Huygens para la propagación de ondas. (1,5 puntos) - Ilustrar con una figura como se aplica este principio para explicar el proceso de propagación de una onda circular. (1 punto)

Solución El principio de Huygens es método geométrico para describir la propagación de una onda cualquiera a través del espacio. Cada punto de un frente de onda primario sirve como foco (o fuente) de ondas esféricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. El frente de onda primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas elementales.

4. El cesio emite electrones para una longitud de onda máxima de 579 nm. Calcular la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos si se ilumina con luz verde de 500 nm. (2,5 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc .

Solución

En primer lugar debemos obtener la función de trabajo del cesio a partir de la

frecuencia umbral para la fotoemisión de electrones

uhv .


maxcE hv

Sustituyendo la ecuación de arriba en la de abajo tenemos

max

1 10,34 eVc

u

E hv hc

NOTA IMPORTANTE:






OPCIÓN A

1. A una altura h con respecto a la superficie de un planeta una persona tiene un cierto peso. Calcular el radio del planeta en función de h sabiendo que en su superficie, el peso de la persona se ha duplicado. (Considerar únicamente el campo gravitatorio creado por el planeta) (2,5 puntos)

Solución Los pesos de esa persona se calculan como

2

22

MP G m

R h

MP G m

R

Dividiendo ambas expresiones obtenemos

2

22

2 1

R h hR

R

2. En una región del espacio en donde existe un campo eléctrico uniforme EE i

con E positivo, depositamos una carga negativa - q de masa m sin velocidad

inicial. - Explicar razonadamente el tipo de movimiento que experimentará la carga debido al campo. (1 punto)

- Al cabo de un cierto tiempo la partícula ha recorrido una distancia d bajo la

acción del campo eléctrico. Calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico entre los dos puntos. (1 punto) - Calcular la velocidad de la carga después de recorrer esa distancia. (1 punto)

Solución: La carga experimentará una fuerza constante debida al campo

qE F i

Esta fuerza es hacia la izquierda, provocando un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección del eje x y sentido negativo. El trabajo realizado por el campo eléctrico es positivo

W qEd F d ,

Podemos obtener la velocidad de la carga de muchas formas:

21 2

2c

qEdW E qEd mv v

m

2 22 2

qEdv ad v ad v

m

2

c

qEdE U W v

m

3. Un objeto se encuentra sumergido en el fondo de una piscina a una distancia horizontal del borde de 18 m. Un observador, cuyos ojos están a 1,5 m del suelo, se encuentra en el borde de la piscina y ve la imagen del objeto en la superficie del agua a 6 m del borde (ver figura). Si el índice de refracción del agua con respecto al aire es 4/3, calcular la profundidad de la piscina. (2,5 puntos)

Solución

Aplicamos la ley de la refracción

6 m

sin sinagua i aire r

n n

y despejamos

arcsin sin aire

i r

agua

n

n

.

Como sabemos que

6tan 76º

1,5r r

obtenemos


i r

agua

n

n

Finalmente

18 6 18 6tan 11,3 m

tani

i

xx

4. Según el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, la energía total del electrón

tiene la forma 0

2 2

13,6( ) eV

EE n

n n . Calcular la longitud de onda del fotón

emitido como consecuencia de la relajación del electrón desde el estado excitado

( 2)n hasta el estado fundamental ( 1)n . (2 puntos)

Datos: 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh .

83 10 m/sc .

Solución La energía del fotón emitido vendrá dada por la diferencia de energías entre los niveles atómicos ocupados por el electrón:

0 2 2

1 1i f

i f

hv E E En n

.


7

2 2

0

1 11,22 10 m

i f

hc

E n n

OPCIÓN B

1. La distancia media entre la Tierra y el Sol es de 150×109 m. Supongamos que nos encontramos en la superficie terrestre, calcular el cociente entre la velocidad con la que debemos lanzar un objeto para superar el campo gravitatorio terrestre y

la velocidad que debe tener el mismo objeto lanzado desde el mismo punto para escapar del campo gravitatorio del Sol. (2,5 puntos)

Datos:11 2 26,67 10 Nm /kg .G

24

T5,98 10 kg.M

30

Sol2,0 10 kg.M

T6370 km.R


2e

GMv

R

Calculamos la velocidad de escape con respecto a la Tierra en un punto de su superficie

,Tierra

211,2 km/sT

e

T

GMv

R

Calculamos la velocidad de escape con respecto al Sol en un punto de la Tierra (obsérvese que como el radio terrestre es mucho menor que la distancia media del Sol a la Tierra , el resultado no variará con el punto en particular de la superficie que se considere, la Tierra puede ser vista como un punto)

,Sol

242,2 km/sS

e

T S

GMv

d

Vemos que la velocidad de escape del campo solar es más de 3,8 veces mayor que la del campo terrestre.

2. En un determinado instante una carga de 1 C entra con una velocidad

2 3 2 m/s v i j k en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico

2 N/C E i j k y un campo magnético 3 2 T B i j k . Calcular la fuerza que

experimenta la carga en ese momento. (2,5 puntos) Solución

La fuerza que experimenta será

62 10 2 3 7 Nq F E v B i j k

3. Una onda armónica transversal ( , )y x t se propaga en la dirección y sentido

positivo del eje X con una velocidad de 10 m/s. La distancia horizontal entre dos puntos de la onda con la misma fase es de 0,2 m. En el instante inicial, la amplitud del punto situado en el origen es de 0,01 m. Sabiendo que el módulo de la

velocidad máxima de cualquier punto de la onda es m/s, determinar la ecuación de la onda. (2,5 puntos)




max maxdy

v Adt


max

2 210 31,4 rad/m

0,2

100 314,2 rad/s

0,01 m100

k

kv

vA


( , ) 0,01 sen(10 100 ) my x t x t .

Para calcular la fase sabemos que 2 2(0,0) 10 sen( ) 10 my


arcsen(1)2

,

lo cual es lógico ya que la posición del origen en el instante inicial es la posición de máxima amplitud de la onda. La solución es

( , ) 0,01 sen(10 100 / 2) m

=0,01 sen(31,4 314,2 1,57) m

y x t x t

x t

4. Calcular la energía liberada en la reacción nuclear O O He Si sabiendo que la masa nuclear del O es 15,99491 u, la del Si es 27,97693 u y la del He es 4,00260 u. (2,5 puntos)

Datos: 2 931,5 MeV/uc

Solución La energía de la desintegración vale

2 2

O He Si2

2 15,99491 27,97693 4,00260 931,5 9,585 MeV

Q mc m m m c

FÍSICA


PAU-Selectividad

En la asignatura de FÍSICA se presentan al estudiante dos opciones de examen que se

denominan OPCIÓN A y OPCIÓN B, cada una de ellas está constituida por 4 ejercicios.

El estudiante deberá escoger solamente una de las dos opciones y realizar los ejercicios

planteados en la misma. Los ejercicios pueden consistir en simples cuestiones o problemas

con apartados. La puntuación de cada ejercicio o apartado aparecerá al final del mismo y

puede variar dependiendo del grado de dificultad o del tiempo de resolución estimado.

La corrección y calificación tendrá en cuenta los siguientes criterios:

La respuesta a cada ejercicio será calificada con la puntuación máxima (indicada al

final del mismo) cuando la solución del estudiante esté correctamente planteada, el

desarrollo bien justificado y al final se obtenga la solución correcta.

Se valorará positivamente la realización de esquemas, diagramas y/o dibujos, así como el razonamiento detallado de los diferentes pasos.

Es importante presentar los resultados con las unidades adecuadas.

Es importante respetar la naturaleza vectorial o escalar de las magnitudes con las que se operan.

Penalizará una mala presentación de las respuestas a los ejercicios.

Enunciados Examenes Fisica Selectividad PAU UNED 2011-2013

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