Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB - Mabel Panizza (comp.) - Análisis y propuestas -El abandono de viejas prácticas de enseñanza que no se adaptan a las demandas actuales no puede

realizarse por mandato, sino mediante el conocimiento de los fundamentos tanto de las propuestas que se abandonan como de los nuevos enfoques didácticos...El libro aborda también la finalidad de la enseñanza y los problemas de adquisición de conocimientos espaciales y geométricos - esa área de conocimientos con notables ausencias bibliográficas -.

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA APORTES DE LA ESCUELA FRANCESA

1. CONTRATO DIDÁCTICO Guy Brousseau aporta una definición para este título: Es un conjunto de comportamientos esperados por alumnos y docentes (unos de otros) que regulan las relaciones docente–alumno–saber

2. DISTINTOS MODELOS QUE REGULAN ESTAS RELACIONES o Modelo NORMATIVOo Modelo INCITATIVOo Modelo APROPIATIVO 3. MODELO NORMATIVO CENTRADO EN EL CONTENIDO

- El rol del docente es “bajar” el contenido al alumno, ofrecer un saber acabado - El rol del alumno es pasivo, imita, ejercita, repite - El saber se presenta como acabado, ya construido.

- El rol del problema: para el alumno uso de los conocimientos, para el maestro control

4. MODELO INCITATIVO CENTRADO EN LA DEMANDA DEL ALUMNO o El rol del docente es escuchar a los alumnos, responder a sus necesidades, se remite a ofrecer

herramientas de aprendizaje, motiva a sus alumnos.o El rol del alumno es participativo, busca, estudia, aprende.o El saber está condicionado y limitado a losintereses de los alumnos y recortados a problemáticas

cotidianas.o El rol del problema: es motivador, se basa en lo vivido, o sea en la demanda. Demasiado pendiente de

lo ocasional 5. MODELO APROPIATIVO ESTÁ CENTRADO EN SITUACIONES DIDÁCTICAS

o El rol del docente es proponer y organizar una serie de situaciones con distintas problemáticas a resolver. Proyecta y coordina la gestión de la clase, prevé hipótesis de trabajo, intervenciones y problematizaciones.

o El rol del estudiante es ensayar, buscar, proponer soluciones, confrontar ideas, defender las suyas. El estudiante construye un conocimiento

o El saber es considerado en su lógica propia. Ni responde a intereses contextuales, ni es acabado y “apenas” alcanzable. Se trata de construir un sentido para ese saber.

o El rol del problema: la resolución de problemas es fuente, lugar y criterio, de la elaboración del saber

6. CONSTRUCCIÓN DE SENTIDO La búsqueda de ese sentido tenemos que pensarla en al menos 3 dimensiones:

- para el que aprende: el contenido matemático a trabajar tiene que resolver algún problema, ya sea una problemática de la vida real o de un contexto matemático.- para el que enseña: se trata de encontrar ese sentido en lo planificado para enseñar, en la proyección y en la intencionalidad pedagógica.- disciplinar: ¿qué enseñamos? ¿cómo y por qué funciona (en el sentido de resolver problemáticas) determinada herramienta?

7. ¿Cómo hacer entonces para que los conocimientos matemáticos tengan sentido para el alumno?

Nuevos conocimientos matemáticos como herramientas que resuelven problemas (dialéctica herramienta-objeto)

SENTIDO EXTERNO

Estas herramientas se estudian por sí mismas

SENTIDO INTERNO

8. ¿¿¿ JUEGO PROBLEMA ???? En esta búsqueda de sentido cobra especial importancia el “enseñar por medio de la resolución de problemas” , lo que implica un trabajo importante por parte del docente en esta línea¿Qué son problemas? Son situaciones que presentan alguna dificultad en la resolución, pero que no tienen que inmovilizar al resolutor, se deben poder abordar con saberes que ya se posean pero que estos no alcancen para la resolución, de forma tal que el contar con un nuevo conocimiento cobre sentido. El contenido a enseñar debe ser necesario en la resolución del problema planteado.

9. PENSAMOS EN SIMILITUDES ENTRE PROBLEMAS Y JUEGOS Ambos: - presentan un desafío.

- aportan sentido a la resolución.

- pueden requerir para la resolución el aporte de un nuevo contenido

10.LA PLANIFICACIÓN El Modelo Apropiativo está centrado en situaciones didácticas que proponemos estén mediadas por la resolución de problemas y/o por el juego

11.ORGANIZACIÓN DE SITUACIONES DIDÁCTICAS o La secuencia didáctica consiste en disponer de una variedad de situaciones y establecer una

secuenciación que permita el trabajo espiralado de los contenidos matemáticos involucrados.o Una macrosituación didáctica se piensa como un conjunto de situaciones didácticas

interrelacionadas e integradas, que le dan sentido al conocimiento que se pretende abordar, involucrando al sujeto que aprende desde la necesidad que supone la resolución de las situaciones planteadas.

12. GESTIÓN DE LA CLASE La escuela Francesa nos aporta la idea de organizar las secuencias didácticas en fases:

o De acción: se presenta situación problema, el alumno busca un procedimiento de resolucióno De formulación – validación: a cargo de los estudiantes, estos formulan, confrontan las estrategias y

las resoluciones, los procedimientos se ponen a prueba, se validano De institucionalización: a cargo de la docente ya que es quién deberá dejar en claro qué aprendieron,

qué nueva herramienta poseen. Es la encargada de brindar una síntesis y de poner en juego el lenguaje convencional.

Bibliografía: Cabrera, G.-Sosa, Ana (2008): “Matemática con sentido – Una propuesta que replantea el modo de enseñar la Matemática desde edades tempranas” – Ed. Comunicarte – Colección Pedagogía y DidácticaPanizza, Mabel (comp) (2004): “Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y en el 1er. Ciclo de la EGB – Análisis y Propuestas – Ed- PaidósCharnay, R. (1994): Aprender (por medio de) la resolución de problemas. En C. Parra, & I. Saiz, Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones (págs. 51-63). Buenos Aires: Paidós.

Didáctica de Matemáticas - Cecilia Parra / Irma Saiz (comp.) - Aportes y reflexiones – Esta obra ha sido concebida con la intención de aportar elementos a los espacios de estudio, debate y producción en didáctica de las matemáticas, e incluye: - reflexiones sobre cuál es la matemática que hay que enseñar en la educación básica obligatoria; - aportes relativos al desarrollo de la didáctica de la matemática en el mundo; - análisis de la situación actual de la enseñanza y el aprendizaje de contenidos importantes de la escuela primaria; - propuestas didácticas que, a la vez que buscan dar oportunidad a los alumnos de poner en juego sus conceptualizaciones, sus reflexiones y sus cuestionamientos, otorgan un rol fundamental al maestro, quien asume la responsabilidad social de lograr más y mejor conocimiento matemático para todos los niños.

Resulta vano definir, componer, simbolizar los números fuera de un contexto de utilización de los números. Por el contrario, es a través del uso que haga, que el niño elaborará sus propias concepciones del número, no definitivas, siempre en evolución,

Desde esta perspectiva el rol de maestro no consiste en enseñar los números uno tras otro, sino proponer a los niños situaciones que les permitan utilizarlos de modo que las palabras y los símbolos se carguen de sentido.

Sí se plantea que los niños deben poder construir el sentido de los números funcionando como respuesta a problemas, desde la didáctica nos tenemos que preguntar: ¿Para qué sirven los números? ¿Cuáles son las funciones de los números que los alumnos de preescolar y de los primeros años pueden reconocer y utilizar para construir el significado?1

La primera función específica del número de la que pueden apropiarse los niños es "la memoria de la cantidad", es decir la posibilidad de evocar una cantidad sin que ésta esté presente. Cuando se le pide que represente

(registre) cierta cantidad de objetos pueden surgir varias soluciones posibles como por ejemplo, construir utilizando el conteo y recordar solamente el último número pronunciado.

El número es también un buen recurso para guardar "la memoria de la posición", que permite recordar el lugar ocupado por un objeto en una lista ordenada, sin tener que memorizar toda la lista. Se reconocen así los dos aspectos del número: cardinal y ordinal

Otra función del número es el "recurso para anticipar" que se refiere a la posibilidad que dan los números de anticipar los resultados a propósito de situaciones no visibles sobre las cuales se tienen ciertas informaciones.

Estos diferentes procedimientos dependen esencialmente del nivel de conocimientos de cada niño, del dominio de su conocimiento y sobre todo de su disponibilidad, por lo tanto, de sus significaciones.

Partir de lo que los niños saben, qué conocimientos tienen sobre los números; cómo los usan, con qué eficacia, qué dificultades nos revelan sus prácticas y favorecer las situaciones que dan significado a los números, asegurará en todos los niños la apropiación y dominio de los contenidos matemáticos socialmente establecidos.

Cuando hablamos de presentar situaciones a los niños para que vayan construyendo el sentido de los números y la apropiación de nuestro sistema de numeración, nos referimos a la presentación de problemas, entiéndase como tales no sólo a los enunciados, sino también a juegos, situaciones cotidianas que generen un obstáculo a franquear a partir de sus conocimientos que les sirven de herramientas para producir soluciones usando sus propios procedimientos.

¿Cuáles son los tipos de problemas que pueden dar sentido a los procedimientos numéricos utilizados y a las designaciones orales o escritas usadas?

a) Problemas que apunten a la "memoria de la cantidad": comparar dos o más colecciones, armar o completar una colección para que tenga tantos elementos como una dada. Por ejemplo, presentar dos portalápices con lápices y algunos sueltos:

( 1 Parra, Cecilia. Los niños, los maestros y los números. Documento de Actualización Curricular. Dirección de Currículum. Secretaría de Educación. G.C.B.A. 1992.)

8 Consigna: hacer "algo" para que los dos portalápices tengan la misma cantidad

b) Problemas relacionados a "la memoria de la posición (para ubicarse en una serie, en la fila, en el casillero.

c) Problemas ligados al " recurso para anticipar" ( ¿ en qué casillero va a caer si está en el 5 y sacó 4 con los dados? ¿cuánto tiene que sacar para alcanzar el 12 si está en el 6?).

d) Problemas en los que interviene la reunión de dos o más colecciones cuando se trata de anticipar resultados.

e) Problemas en los que una colección se distribuye en dos colecciones: Hay 14 niños, 8 son nenes, ¿cuántos son nenas?.

f) Problemas de canje.

g) Problemas de partición de una colección.

EL JUEGO DEL CASTILLO2

Esta actividad tiene por objetivos:

* El reconocimiento de la escritura en cifras de los números.

* La localización de esas escrituras en una tabla de números presentados en filas de diez.

* La toma de conciencia del diferente rol que juega cada cifra en la escritura de un número.

* El aprendizaje y la utilización del nombre de la decenas.

* La búsqueda de regularidades del Sistema de Numeración Decimal

* La utilización de procedimientos para encontrar resultados.

El juego inicial;

El tablero se presenta a los niños como un "castillo" que tiene 100 cuartos. Como son tantos cuartos, para poder identificarlos están numerados. Se les cuenta a los niños que algunos números van a estar tapados por un cartoncito y que la actividad consiste en decir qué número es el que está escondido.

Se puede hacer una presentación colectiva de la actividad en un tablero en el pizarrón, con algunos números tapados y pedir a los niños que señalen un cuarto y nombren el número correspondiente. Luego se destapa y se corrobora.

(2 Parra, C. Op.citada)

A continuación se organiza la clase en grupos de 5 ó 6 niños, cada uno con un tablero individual y tantos números tapados como jugadores (o el doble si se quiere que jueguen dos veces cada uno). Puede otorgarse puntaje (2, 3 o 4 puntos, en el reverso del cartoncito), que se obtiene cuando se dice el número correcto.

En su turno, cada jugador elige el cuarto que va a identificar, dice el número y, si es correcto, gana esos puntos.

A continuación presentamos un posible castillo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Los niños ya conocían algunos números y habían trabajado con bandas numéricas hasta 29 o 39. En primer lugar se presentó el castillo en el pizarrón con algunos números tapados, invitando a los niños a descubrir el número del cuarto que estaba oculto.

A continuación se presentan algunas de las interacciones que se produjeron en el aula de las escuelas y grados mencionados. se han incluido algunos de los registros que docentes

, Docente: ¿Qué numerito falta acá?

Jony Acá va el 34 (oralmente)

¿Qué números lleva?

Se fija en qué “familia” está. Busca en la del 30 y en la del 4 y dice “un 3 y un 4”

¿Y el 39?

Lleva un 3 y un uno. No un 3 y un 9

Alejandro ¿Qué número es este? (72)

El 72 ¿Por qué? Porque está en la fila del 7 y en la del 2

Yésica ¿Y este? (84) El 8 y el 4, porque está en la fila del 8 y en la del 4

Jony ¿Cómo se llama este (señala el 50)

Yésica Cincuenta

Se pudo observar que los niños apelaron a distintos procedimientos para decidir cuál era el número tapado, a saber:

- Realizan conteos desde cero

- Realizan conteos a partir de los nudos (10, 20, 30,etc), de izquierda a derecha hasta llegar al número tapado.

- Ubican los números que conforman el número tapado y dicen “tiene un 2 y un 8”, aunque no sepan que se llama veintiocho.

- Forman el número guiándose por filas y columnas “está en la familia del 8 y en la de los 4 es un 8 y un 4”

- Descubren el número teniendo en cuenta el que está arriba o abajo: “es el 35 porque está abajo del 25” o el que está adelante o detrás.

La presentación de la serie en un cuadro como el del Castillo pone en evidencia varias de las regularidades de la serie numérica, especialmente a nivel de escrituras que poco tiempo después de instalarla en el aula, se notan grandes adelantos en los niños hasta la aparición de pequeños cálculos mentales, por ejemplo: “62 + 12 lo piensan como 62 + 10, van a la fila de abajo, o sea al 72 y luego suman 2 llegando al 74”.

Otras cuestiones observadas fueron:

Edu (6 años): Inversión de números al completar el cuadro de manera individual:

Según los procedimientos que utilizan, estos pueden ser válidos según el campo numérico con el que se trabaja.

Contar de 1 en 1 desde 0 es válido para números “chicos”. Cuanto mayores son, aparecen errores como es el caso de Daniela (6 años): Confunde 81 con 18, y a partir de allí, sigue contando (19, 20, 21) para completar los casilleros vacíos.

El maestro deberá identificar estos procedimientos y por medio de otras actividades y confrontaciones, hacer que los niños descubran otros procedimientos para no caer en errores. En tanto, muchos otros chicos resuelven la situación sin inconvenientes:

Verónica (6 años): Mariela (6 años): Luciana (7 años):

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Tablas para completar: Se propone a los niños tres tipos de tablas incompletas: - Sólo están ubicados los números de la primera fila y la primera columna. Los niños tiene que completar los casilleros marcados:

Figura 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - Solo están ubicados los números de la primera fila y deben completar los casilleros marcados:

Figura 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Estas actividades tiene la finalidad de que los alumnos comiencen a abandonar los procedimientos vinculados al conteo, y descubran otro tipo de relaciones. 13 Algunos procedimientos observados fueron los siguientes: Alejandra (6 años) figura 1, comienza completando la fila del 10, luego interrumpe y al preguntarle como lo había hecho, respondió: "me iba fijando los números de arriba y me daba cuenta" : Aldana completa el cuadro teniendo en cuenta el número de la fila y el de la columna: Ale omite la fila del 10. Cuando llega al 90, para él es la fila del 100. El número marcado corresponde al 96, pero en su "cuenta" es el 106, y lo escribe como 1600. La docente le pide que se fije si falta alguna fila. Observa y dice "Me "saltié" la familia del 10. Dame otro que lo hago bien" 14 Miriam : Su procedimiento es escribir todos los números para encontrar los marcados. En este caso, el conteo sigue “mandando”: Fabián necesita colocar la primera columna para contar desde allí: Verónica y Aldana realizan el conteo de las filas y observan el número de la primera fila respetando el de la columna: Estas actividades permiten cuestionar algunos procedimientos que fueron elaborados por los alumnos, y fuerza a la búsqueda de otros más eficientes. La tabla de la figura 1 puede obstaculizar el procedimiento que se apoya en “está entre tal y tal” y favorecer la estrategia que relaciona columnas y filas. La tabla de la figura 2 permite continuar contando desde 1 pero posibilita que los alumnos “miren” las filas anteriores, e ir contando (o saltando) de diez en diez. 15 OTRAS ACTIVIDADES: El rompecabezas: Se corta la tabla en piezas. Los niños tiene que reconstruirl Muestra de algunos trabajos: Varios chicos arman sin dificultad el rompecabezas, pero no se apoyan en los números sino en las formas de los cortes. Por lo tanto, resultó conveniente que los rompecabezas tengan piezas que sean de la misma forma. Esto sí exigió que los chicos comiencen a buscar en los números la información que permita reconstruirlo. Extractos de tablas para completar: Se entrega un extracto de tabla y los chicos deben completar, a partir de un solo dato, los casilleros: 16 Muestras de algunos trabajos: Ale realiza el conteo mentalmente a partir del número dado. Tiene en cuenta los números de las columnas respetando las filas: José realiza un procedimiento similar al de Ale: Antonella necesita completar todos los casilleros pero no tiene en cuenta las filas y las columnas. Es decir, no considera a la tabla como un extracto del Castillo: