PIERRE SIMON DE LAPLACE

Ensayo filosófico sobre las probabilidades

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Descubra como se aplican lasprobabilidades en los testimonios

judiciales,, en las elecciones, en lasasambleas, en las sentencias de los

tribunales

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Indice

Presentación: la búsqueda de nuevas lógicas.

Introducción de Laplace

De la Probabilidad

Principios generales del cálculo de probabilidadesPrimer principioSegundo principioTercer principioCuarto principioQuinto principioSexto principioSéptimo principio

De la esperanzaOctavo principioNoveno principioDécimo principio

Aplicación del cálculo de probabilidades a las ciencias moralesDe la probabilidad de los testimoniosDe las elecciones y las decisiones de las asambleasDe la probabilidad de las sentencias de los tribunales

De los diversos medios para aproximarse a la certeza

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Presentación: La búsqueda de nuevas lógicas

En el mismo año que Napoleón retorna a Francia, luego de perderla Campaña en Rusia, Pierre Simón de Laplace (1749-1827), publica laTeoría Analítica de las Probabilidades, esta obra tendría un éxitoinmediato. Seis años después, en la tercera edición de 1820, se le agregauna capitulo llamado Ensayo Filosófico de las Probabilidades, cuyosfragmentos más importantes publicamos ahora. Este ensayo introductorioextendía el uso del calculo de las probabilidades a las ciencias morales:el derecho y la política.

Para Laplace las sentencias judiciales podían fundarse en el calculode probabilidades. Esto no debe parecer muy razonable cuando hoy endía, de modo uniforme, en las teorías de la argumentación jurídica orazonamiento jurídico se enseña que las sentencias judiciales, en elllamado “contexto de justificación” se rigen por los dictados de la lógicadeductiva, en la forma del silogismo .

Sin embargo, Laplace pertenece a la larga lista de filósofosmatemáticos que desarrollan herramientas deductivas para aumentarnuestro conocimiento de la realidad y mejorar nuestras decisionesprácticas. Estos consideran que la lógica tradicional, en particular elsilogismo, no es suficiente. Por ejemplo, en 1637, el propio ReneDescartes, quien inicia el pensamiento moderno, en su famoso Discursodel Método cuando examina las ciencias de su tiempo dice:

“en lo tocante a la lógica, sus silogismos y la mayor parte de las demásinstrucciones que da, más sirven para explicar a otros las cosas ya sabidas oincluso, como el arte de Lulio, para hablar sin juicio de las ignoradas, que paraaprenderlas. Y si bien contiene, en verdad, muchos, muy buenos y verdaderospreceptos, hay, sin embargo, mezclados con ellos, tantos otros nocivos osuperfluos, que separarlos es casi tan difícil como sacar una Diana o unaMinerva de un bloque de mármol sin desbastar. “1

Durante el siglo XVII y XVIII la lógica era considerada inferior que laGeometría (el método axiomático, para ser precisos) y se sabia queambos procedimientos no eran suficientes para tomar decisionesprácticas. En todo caso la moda imperante aceptaba que para fundar unrazonamiento no se debía partir de premisas, tal como recomendaba lalógica, sino de principios, axiomas verdaderos e incontestables, comoexigía la axiomática. Pascal, en un texto olvidado en las facultades dederecho, titulado El Espíritu Geométrico, diría al respecto: 1 Discurso del Método, Parte Segunda.http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveObras/23581733103477295015568/p0000001.htm#10

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“El método de no errar es por todo el mundo buscado. Los lógicos hacenprofesión de conducir á él; sólo los geómetras llegan, y fuera de suciencia y de los que la imitan no hay verdaderas demostraciones”2

Lo que quiere decir es que si el razonamiento o argumentación nopartía de axiomas, las demostraciones no demostraban nada, eraninsuficientes y el test de la lógica contra el error no era fiable. Pero no poreso endiosa al método axiomático, Pascal muestra que a) no se puededemostrar todo y que b) en las cuestiones prácticas interesan más losdetalles, los cuales una excesiva generalización no puede percibir.Obviamente la lógica tradicional no se escapa de ese defecto:

“Ce n' est pas barbara et baralipton qui forment le raisonnement. Il ne faut pasguinder l' esprit ; les manières tendues et pénibles le remplissent d' une sotteprésomption par une élévation étrangère et par une enflure vaine et ridicule aulieu d' une nourriture solide et vigoureuse.”

Pascal nos dice “No con barbara y baralipton3 se forma elrazonamiento. No hay que inflar el espíritu; las maneras rígidas ypenosas le llenan de una necia presunción, con un ensoberbecimiento(élévation) extraño y una hinchazón vana y ridícula, en lugar de unanutrición sólida y vigorosa”. La razón era sencilla: para actuar en la vidacotidiana se debe decidir sobre múltiples cuestiones que requierenadhesión de las partes, convencerlas a participar, para esto se requiere elespíritu de la finesa, postulando un método que es mezcla de retórica conlógica para resolver los asuntos prácticos. Inclusive Leibniz a pesar desalvar a la Lógica de su total debacle también ensayaba otras formas decalcular el valor de los argumentos a fin de resolver disputas y formulocomo reformó a lo largo de su vida un proyecto de Arte Combinatoria ylenguaje universal4.

Existen muchas evidencias que muestran que durante el siglo XVIIy XVIII se buscaba una lógica de la justificación de las decisiones mejorque la lógica silogística o lógica tradicional, se propusieron desde una

2 De l'esprit géométrique en : http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N089259

3 Barbara y Baralipton son nombres nemotecnicos usados en la edad media para el silogismo (notaeditor)4 inclusive como se descubrió a comienzos del silo XX gracias a la obra de Couturat que revisó susmanuscritos dejados en la Biblioteca de Hannover, Leibniz corrigió el silogismo llegando a ensayar unateoría de los conjuntos siglos antes que Boole. Ver en Couturat, Louis La logique de Leibniz : d'après desdocuments inédits en http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N021048

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mezcla de métodos deductivos con retórica (Pascal), un calculo de laspalabras (Leibniz), una tabla de castigos y premios (Bentham) y Laplacenos muestra un procedimiento mucho mas refinado.

Las preguntas que vienen a la mente son ¿Porqué se perdieronestas líneas de investigación?, ¿Por qué se olvidaron las advertencias?.Son muchos factores, por un lado tenemos la Revolución Francesa quepropaló una serie de ideas falsas sobre el carácter axiomático-deductivode principios como la libertad, la igualdad (no necesitaban ser tratadoscomo entes geométricos) y el silogismo judicial, cambiando el problemade cómo usar la axiomática para hacer leyes y el papel de la lógicatradicional en ese proyecto (que fue el problema el siglo XVII y XVIII) alproblema de como justificar su uso y corregir todas las anomalías quecausaban. La Revolución impuso la drástica práctica de que los juecesutilicen la forma silogística para fundar sus fallos y que tomaran comopremisas leyes supuestamente demostradas axiomáticamente. Todos lospolíticos creían que eso era posible sin ningún problema y también locreían filósofos tan influyentes como Kant y Hegel, quienes fueron muylimitados en sus conocimientos de matemáticas y lógica5 pues estabanembelesados con la física newtoniana y su extensión al conocimiento delo humano.

Pero eso no fue lo peor, a veces la sociedad toma decisionesprácticas y se olvida de las conjeturas, para luego retomar lascorrecciones necesarias al modelo adoptado. Es como si ya no hubieratiempo para discutir los planos y proyectos y se pasa a la obra, confiadosen que los problemas que aparezcan se podrán corregir. En este casoacabado el edificio del Estado y Derecho moderno (al menos la partebásica) los planos se arrojaron al mar con sus anotaciones yobservaciones y se eliminaron a los diseñadores. Esto ocurrió amediados del siglo XIX con una reforma educativa6 que, con la idea demodernizar los estudios universitarios dejó a la ciencia jurídica sin culturaclásica y sin ciencia moderna. Primero se proscribió de las escuelas dederecho toda formación en lógica tradicional y retórica, como del idiomaen que se aprendían mejor: el latín ( eran la cultura clásica), cultivadasdurante siglos estaban demasiado contaminadas de metafísica y teologíapara una época de técnicas y empirismo. Pero esta reforma tambiénimpidió todo contacto con las ciencias. A lo largo del siglo XIX no existíaun manual de metodología de la ciencia, por tanto se imponen los cursosde literatura e historia como los únicos estudios generales universitarios 5 Ver en Kneale, William y Martha El desarrollo de la lógica Ed. Tecnos, madrid, 1972, reimpreso en 1980.6 Con mas detalle sobre esta reforma: Ver el articulo Ureta, Juan (2004) La enseñanza de las lógicas aplicadas alderecho en http://groups.msn.com/ARGUMENTACIONJURIDICA

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para poder ingresar a la escuela de derecho, expulsando de la Facultadde Derecho a la axiomática, a la inducción, al calculo de probabilidades, ala lógica tradicional y a la retórica.

Esta demás decir que los que hicieron posible crear el Código Civilfrancés, como los juristas Domat, Pothier, los tratadistas posterioresDemolombe, Aut y Aurby, Lacantiere, Savigny, Puchta, Winscheid., seeducaron bajo la forma clásica teniendo a mano las disputas modernas.La reforma provocó que las generaciones siguientes no puedan entenderlos fundamentos metodológicos de sus maestros, fundamentosprovenientes de fuentes tan diversas y opuestas.

Ya sabemos la historia siguiente, poco a poco se fue cuestionadoel Plan de Estudios de las facultades de derecho, pero como las cienciasavanzan, se cogía lo moderno y no se buscaban las raíces. A mediadosdel siglo XX se prefería discutir si se introducía el curso de sociología oeconomía y todos hubieran rechazado el curso de retórica. La lógicatradicional ya inutilizada, fue reemplazada por la lógica matemática quepoco o nada sirve al jurista sin conocimientos de la lógica tradicional.Conclusión no se entiende nada o se entendía todo mal. Hoy en día lasuniversidades europeas ofrecen maestrías para los abogados quecontienen prácticamente pura Retórica, pero ignoran el papel de laaxiomática moderna y la lógica tradicional, pues también desconoceneste pasado y la practica actual donde aún se usan diversas lógicas.

El propósito de estas ediciones y del grupo de discusiónhttp://groups.msn.com/ARGUMENTACIONJURIDICA es rescatar lostextos y documentos que permitirán, a usted amigo lector, formar supropio juicio sobre las fuentes que alimentan la argumentación jurídica ysu riqueza. Como aun hay mucho por investigar y desarrollar esperamosfomentar problemas que permitan generar la curiosidad de losinvestigadores. Tal vez una sentencia judicial contenga elementos dediversas fuentes, hilos que representan las huellas de distintas lógicasque se han sucedido en el tiempo y que las hemos asimilado como partede nuestras prácticas y cultura. Creo que si esto es cierto, el único modode mejorar nuestra forma de argumentar es conocer sus bases, paracontinuarlas o removerlas como intentó hacerlo Pierre Simon de Laplace.

Juan Ureta GuerraLima, enero de 2004

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Portada de la 3era Edición del libro Teoría Analíticade las Probabilidades, que incluye el Ensayo filosóficosobre las probabilidades. París, 1820

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ENSAYO FILOSÓFICO SOBRE LASPROBABILIDADES7

Introducción

Este ensayo filosófico es la exposición de una lección sobreprobabilidades que di en 1795 en las Escuelas Normales donde fuidesignado profesor de Matemáticas, junto con Lagrange, por decreto dela Convención Nacional. Poco después publiqué una obra sobre elmismo asunto titulada: Teoría analítica de las probabilidades.

Aquí presento, sin valerme del Análisis, los principios y resultadosgenerales de esa teoría aplicados a los problemas fundamentales de lavida que, en su mayoría, no son en el fondo más que problemas deprobabilidades. Rigurosamente hablando, se puede afirmar también quecasi todos nuestros conocimientos no son más que probables y en elreducido número de cosas que se pueden conocer con certeza, aun enlas ciencias matemáticas, los principales procedimientos para llegar a laverdad -la inducción y la analogía- descansan en las probabilidades, demodo que todo el sistema de los conocimientos humanos está ligado a lateoría que expongo en este ensayo. En su transcurso se verá, tal vezcon interés, que aun cuando sólo se consideren las oportunidadesfavorables, constantemente unidas a los principios eternos de razón,justicia y humanidad, es muy útil seguirlos y es peligroso apartarse deellos: sus probabilidades, como las favorables en las loterías, al finalprevalecen siempre entre las oscilaciones del azar.

Aspiro a que las reflexiones diseminadas en este ensayo merezcanla atención de los filósofos y la orienten hacia una finalidad digna de suspreocupaciones.

De la probabilidad

Todos los acontecimientos, incluso aquellos que por su pequeñezparece que escapan a las grandes leyes naturales, forman unencadenamiento tan necesario como las revoluciones del Sol. En la 7 Ensayo filosófico sobre las probabilidades. Buenos Aires, Espasa-Calpe Argentina, 1947 (trad. cast.de A. B. Besio y José Banfi).

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ignorancia de las relaciones que guardan con el sistema total deluniverso, se los ha supeditado a causas finales o al azar, segúnocurrieran o se repitieran con regularidad o sin orden aparente; pero esascausas imaginarias han cedido poco a poco ante nuestros conocimientosy desaparecen frente a la, sana filosofía que las considera como laexpresión de nuestra ignorancia de las causas verdaderas.

Los acontecimientos actuales se vinculan a los precedentes envirtud del principio evidente de que nada puede comenzar a ser sin unacausa que lo produzca. Este axioma, conocido con el nombre deprincipio de razón suficiente, vale también para las acciones que seconsideran indiferentes. No hay voluntad por más libre que sea, quepueda originarlas sin un motivo determinante, pues, al ser absolutamentesemejantes las circunstancias de dos situaciones, si obrara en una conpreferencia a la otra, la elección sería un efecto sin causa, sería -diceLeibniz- el ciego azar de los epicúreos. Lo contrario es una ilusión delespíritu que, al perder de vista las razones transitorias de la elección clela voluntad en las cosas indiferentes, se convence de que se hadeterminado a sí misma y sin motivos.

Hay, pues, que considerar el estado actual del universo comoefecto de su estado precedente y como causa del que lo sucederá. Unainteligencia que en un determinado instante pudiera conocer todas lasfuerzas que impulsan la naturaleza y la respectiva posición de los seresque la componen y que, además tuviera la suficiente amplitud parasometer esos datos al análisis, incluiría en una sola fórmula losmovimientos de los mayores cuerpos del universo y los más ínfimosátomos; nada le escaparía y tanto el pasado como el futuro estarían ensu presencia. El espíritu humano brinda un atisbo de tal inteligencia quese manifiesta en la perfección la que ha sabido llevar la astronomía. Ypuede, merced a sus descubrimientos en mecánica y en geometría,unidos al de la gravitación universal, comprender en las mismasexpresiones analíticas, los estados pasados y futuros del sistemauniversal. Al aplicar idéntico procedimiento a otros objetos de suconocimiento alcanzó a concretar en leyes generales los fenómenosobservados y predecir los que acaecerán en determinadascircunstancias. Todos sus esfuerzos en pos de la verdad lo aproximaráncontinuamente a esa inteligencia que acabamos de describir aunque sinentrar nunca en su contacto. Esta peculiar aspiración de nuestrainteligencia la ubica por encima de los animales y los progresos obtenidosseñalan las naciones y los siglos y constituyen su verdadera gloria.

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Pensemos que en una época no muy remota, una lluvia o una sequíaprolongadas, un cometa de larga cola, los eclipses, las auroras borealesy, en general cualquier fenómeno extraordinario, se concebían comosignos de cólera celeste. Se invocaba al cielo para conjurar su nefastainfluencia. No se le rogaba por que interceptara el curso de los planetasy del Sol; la observación hubiera en seguida demostrado la inutilidad detales súplicas. Pero como esos fenómenos aparecían y desaparecíanespaciosamente, se los interpretaba como opuestos al orden universal,se suponía que el cielo, irritado por los crímenes del mundo, losprovocaba para anunciar su castigo. La larga cola del cometa de 1456sembró el pánico por Europa desalentada ya por los triunfos de los turcosque habían abatido el Bajo Imperio. Después de cuatro revoluciones,este astro excitó nuestro interés de muy diverso modo. El conocimientode las leyes que rigen el sistema del mundo, adquirido en ese lapso,había desvanecido los temores engendrados por la ignorancia de lasverdaderas relaciones entre el hombre y el universo y Halley, que habíadescubierto la identidad del cometa con los de los años 1531, 1607 y1682, predijo su retorno para fines de 1758 o principios de 1759. Loscientíficos aguardaron ansiosamente esa vuelta que debía confirmar unode los más importantes descubrimientos científicos con la que se cumplíatambién la profecía de Séneca cuando, al referirse a la revolución deestos astros que proceden de distancias inmensas, afirmaba: "Vendrá eldía en que, mediante el estudio continuado de los siglos, las cosas ahoraocultas, resultarán evidentes y la posteridad se asombrará de que nohayamos conocido verdades tan claras". Clairaut sometió al Análisis lasperturbaciones que la acción de los dos planetas mayores, Júpiter ySaturno habían ocasionado al cometa; después de muchos cálculos pudopredecir su próximo paso por el perihelio para principios de abril de 1759,lo que se verificó. Esta misma regularidad que la astronomía nos señalacon respecto al movimiento de los planetas, aparece en todos losfenómenos. La curva trazada por una simple molécula de aire o de vaporresponde a la misma precisión de las órbitas planetarias. Toda diferenciaen ellas, es producto de nuestra ignorancia.

La probabilidad se vincula en parte con nuestra ignorancia y enparte con nuestro saber. Sabemos que de tres o más acontecimientossólo uno acaecerá, pero nada nos induce a creer que se cumplirá unocon preferencia sobre los otros. Tal incertidumbre nos impidepronunciarnos exactamente sobre su verificación. Sin embargo, esprobable que uno de esos acontecimientos, tomado al azar, no ocurra,porque vemos muchos casos igualmente posibles de existencia, perosólo una la favorece.

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La teoría del azar consiste en llevar todos los acontecimientossemejantes a una cierta cantidad de casos igualmente posibles, es decir,que nos despierten la misma duda sobre su existencia y en establecer elnúmero de casos favorables al hecho cuya probabilidad se persigue. Larelación de este número con el de todos los casos posibles da la medidade esa probabilidad que no consiste más que en una fracción cuyonumerador es el número de los casos favorables y el denominador el delos casos probables.

Este concepto de probabilidad supone que si aumenta en la mismaproporción el número de casos favorables y el de los posibles, laprobabilidad permanece constante. Para convencernos, tomemos dosurnas A y B. La primera contiene cuatro bolillas blancas y dos negras y lasegunda sólo dos blancas y una negra. Imaginemos las dos bolillasnegras de la primera urna unidas por un hilo que se rompe en elmomento de querer sacar una de ellas; las cuatro bolillas blancas formandos sistemas semejantes. Las probabilidades que harían tomar una delas bolillas del grupo negro, harán extraer una bolilla negra.

Al romperse el hilo que une las bolillas, es evidente que el número decasos posibles no se altera, así como el de los casos favorables a laextracción de bolillas negras, pero se sacarán dos bolillas a la vez; laprobabilidad de extraer una bolilla negra no ha variado, es la misma.Queda la urna B en la que las tres bolillas son sustituidas por tressistemas de dos bolillas invariablemente ligadas.

Cuando en un acontecimiento coinciden todos los casos favorables, suprobabilidad se transforma en certeza y su expresión resulta igual a launidad. Bajo este aspecto, probabilidad y certeza son comparables,aunque entre los dos estados del espíritu hay una diferencia fundamental;cuando una verdad le es absolutamente demostrada y cuando reconocetodavía una pequefía causa de error.

Si se trata de cosas verosímiles, la diferencia entre los datos que cadahombre posee sobre ellas, es una de las causas fundamentales de lasdistintas opiniones sobre los mismos objetos. Supongamos por ejemplo,que se tienen tres urnas, A, B y C. Una de ellas contiene sólo bolillasnegras y las otras dos no contienen más que bolillas blancas; se debeextraer una bolilla de C y se desea saber qué probabilidad existe de queesa bolilla sea negra. Si se ignora cuál es la urna que contiene sólobolillas negras, de modo que no existe motivo para creer que sea C másque A o B, estas tres hipótesis parecerán igualmente posibles y, como

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una bolilla negra no se puede obtener más que de la primera hipótesis, laprobabilidad de su extracción es igual a 1/3.

Si se conoce que la urna A no contiene más que bolillas blancas, laincertidumbre pasa a B y C, y la posibilidad de que la bolilla extraída de Csea negra es igual a 1/2. Por último la probabilidad se transforma encerteza cuando se tiene la seguridad de que las urnas A y B no contienenmás que bolillas blancas.

Análogamente, un mismo hecho presentado ante una asambleanumerosa, será aceptado diversamente según los conocimientos de losoyentes. Si la persona que lo relata está absolutamente convencida deél, si logra inspirar gran confianza, su narración por extraordinaria quesea, tendrá para los oyentes sin mayores alcances, la mismaverosimilitud que un hecho común presentado por la misma persona y lecreerán ciegamente.

Pero, si alguno de los oyentes sabe que ese hecho no es aceptado porotras personas igualmente respetables, dudará y el hecho seráconsiderado falso por los oyentes ilustrados que lo verán contrario o biena los hechos comprobados, o bien a las invariables leyes de lanaturaleza. La difusión de estos errores que en tiempos de ignorancia sehan desparramado por el mundo, se debe a la influencia de aquellosreputados instruidos por la multitud y en quienes suele depositar suconfianza sobre los más importantes hechos de la vida. La magia y laastrología son los dos grandes ejemplos de ellos.

Estos errores recibidos desde la infancia, aceptados sin prueba, sin másapoyo que la creencia universal, han perdurado largamente, hasta que elprogreso de las ciencias los ha aniquilado en el espíritu de los hombrescultos, quienes los han desterrado después del mismo pueblo, medianteel poder de imitación y de costumbres que los había difundido. Estepoder, gran resorte del mundo moral, crea y conserva en toda una naciónideas enteramente contrarias a las que alimenta en otra parte con lamisma fuerza.

¡Qué indulgentes debemos ser con las opiniones diferentes de lasnuestras ya que esta desigualdad no se debe, generalmente más que alos distintos puntos de vista en que las circunstancias nos han ubicado!¡Ilustremos a los que consideramos insuficientemente instruidos; peroexaminemos previamente con rigor nuestras opiniones y meditemos conimparcialidad en sus respectivas probabilidades!

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La desigualdad en las opiniones obedece también a cómo influyen losdatos conocidos. La teoría de las probabilidades va unida aconsideraciones tan delicadas que, naturalmente, con los mismos datos,dos personas llegan a resultados diferentes, sobre todo en cuestionescomplicadas.

Veamos los principios generales de esta teoría.

Principios generales del cálculo de probabilidades

Primer principio

El primero de estos principios está contenido en la definición misma deprobabilidades que, como vimos, consiste en la razón entre el número decasos favorables y el de todos los casos posibles.

Segundo principio

Lo cual supone que todos los casos diversos son igualmente posibles.De no serlo, habrá que determinar primero sus respectivasprobabilidades, cuya exacta apreciación constituye uno de los puntosmás delicados de la teoría del azar. Entonces se establecerá laprobabilidad mediante la suma de las probabilidades de cada casofavorable.

Supongamos que lanzamos al aire un tejo grande y muy delgado, cuyasdos caras opuestas, que llamaremos cara y cruz, son exactamenteiguales. Tratemos de encontrar la probabilidad de sacar “cara" al menosuna vez en dos tiradas. Pueden ocurrir cuatro casos con la mismaposibilidad a saber: "cara", en la primera y segunda largadas; “cara" en laprimera y "cruz" en la segunda; "cruz" en la primera y "cara" en lasegunda y finalmente, “cruz" en las dos.

Los tres primeros casos favorecen el hecho cuya probabilidad se busca,la cual es, por lo tanto, igual a 3/4, de modo que es posible apostar trescontra uno a que resultará "cara" por lo menos una vez, en dos tiradas.

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En este juego pueden ocurrir tres casos diferentes: "cara" en la primerajugada, lo que exime de arrojar una segunda vez; "cruz" en la primera ytocara" en la segunda y por último "cruz" en las dos con lo que laprobabilidad quedaría reducida a 2/3 Si con D'Alembert, atribuimos aestos dos casos la misma posibilidad.

Evidentemente, la probabilidad de obtener "cara" en la primera tirada es1/2, en tanto que en los otros dos casos es 1/4 al ser el primero unacontecimiento simple que corresponde a los dos compuestos, "cara" enla primera y en la segunda largada y "cara" en la primera, "cruz" en lasegunda.

Si conforme al segundo principio se añade la posibilidad 1/2 de sacar"cara" en la primera jugada a la posibilidad 1/4 de hacer "cruz" en laprimera jugada y "cara" en la segunda, se obtendrá 3/4 para laprobabilidad que se persigue, lo que coincide con el resultado obtenidoen el supuesto de que se realicen las dos jugadas. Tal supuesto nomodifica la suerte del que apuesta a este acontecimiento; se limita sólo areducir los diversos casos a casos igualmente probables.

Tercer principio

Uno de los temas más importantes de la teoría de las probabilidades y elmás ilusorio, es el modo en que las probabilidades aumentan odisminuyen por sus recíprocas combinaciones. Si se trata deacontecimientos independientes, la probabilidad de la existencia de suconjunto es el producto de las probabilidades parciales. Así, si laprobabilidad de sacar un as con un solo dado, es 1/6, la de sacar dosases jugando con dos dados a la vez, es de 1/36. En efecto, si cada unade las caras de uno puede combinarse con las seis caras del otro,resultan treinta y seis casos igualmente probables, de los cuales sólouno, presenta dos ases. En general, la probabilidad de que en idénticacircunstancias un hecho simple ocurra determinado número de veces, esigual a la probabilidad de este hecho simple elevado a la potenciaindicada por ese número.

Así como las potencias sucesivas de una fracción menor que la unidaddisminuyen continuamente, un acontecimiento supeditado a una serie deprobabilidades puede hacerse enormemente verosímil.

Imaginemos que un hecho llegue a nuestro conocimiento a través deveinte testigos de modo que el primero lo haya comunicado al segundo,

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éste, al tercero y así sucesivamente y que la probabilidad de cada testigosea iguala 9/10: la del hecho resultante de los testigos será inferior a 1/8.Cabe comparar esta disminución en la probabilidad con la pérdida denitidez de los objetos por la intercalación de varios fragmentos de vidrio;unos cuantos trozos de vidrio bastan para impedir la visión de un objetoque, a través de un solo vidrio se puede percibir nítidamente.

Los historiadores parecen no haber tenido muy en cuenta estadisminución de la probabilidad de los hechos cuando se los enfoca através de numerosas generaciones sucesivas; muchos acontecimientoshistóricos, aceptados como verdaderos, serían al menos dudosos si selos sometiera a análogo procedimiento.

En el campo de las ciencias puramente matemáticas las más remotasconsecuencias participan de la certidumbre del principio al cual estánsometidas. Aplicando el Análisis a la Física las consecuenciasparticipan de toda la certeza de los hechos o de las experiencias. Peroen las ciencias morales, donde cada consecuencia no es deducida másque con verosimilitud de la que le precede, por más probabilidad queencierren estas deducciones, la posibilidad de error aumenta con sunúmero y concluye por exceder la posibilidad de verdad en lasconsecuencias muy distantes del principio.

Cuarto principio

Si dos acontecimientos dependen el uno del otro, la probabilidad delacontecimiento compuesto es el producto de la probabilidad del primeropor la probabilidad de que si ocurre este acontecimiento, ocurrirá el otro.Así, en el caso anterior, tres urnas A, B y C, de las cuales dos nocontienen más que bolillas blancas, y una sola, bolillas negras, laprobabilidad de extraer una blanca de C es 2/3, pues de las tres urnas,dos encierran sólo bolillas blancas.

Pero si se ha sacado una bolilla blanca de la urna C, como laincertidumbre con respecto a dicha urna que no contiene más quebolillas negras sólo alcanza a A y B, la probabilidad de sacar una bolillablanca de B es 1/2; el producto de 2/3 por 1 2 sea 1/3 es la posibilidadde obtener simultáneamente dos bolillas blancas de B y C. En efecto,para ello es menester que A sea de los tres recipientes el que contengabolillas negras y su probabilidad es, indudablemente, 1/3.

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De este ejemplo resalta la influencia de los acontecimientos pasadossobre la probabilidad de los futuros. Pues, la probabilidad de sacar unabolilla blanca de B, que originariamente es 2/3, queda reducida a 1/2cuando se ha obtenido una bolilla blanca de C, pero se transforma encertidumbre si se obtiene una bolilla negra de la misma urna.

Estableceremos esta influencia por el próximo principio, que es uncorolario del precedente.

Quinto principio

Si se calculan a priori la probabilidad del hecho producido y la de unhecho compuesto de él y de otro que se aguarda, la segundaprobabilidad dividida por la primera, será la probabilidad del hechoesperado, deducida del hecho observado.

Se plantea aquí la cuestión suscitada por ciertos filósofos acerca de lainfluencia del pasado sobre la probabilidad del futuro.

Supongamos que, en el juego de "cara o cruz", se presente “cara" másfrecuentemente que "cruz"; sólo podríamos pensar que la causa de esafrecuencia existe en la constitución del tejo.

Igualmente, la felicidad constante no prueba más que la habilidad de lavida que, para producirla, hace actuar a las personas felicespreferentemente.

Ahora bien, si la inestabilidad de las circunstancias nos llevaincesantemente a una situación de completa incertidumbre; si en el juegode "cara o cruz", por ejemplo, se realiza cada jugada con un tejodiferente, entonces el pasado no puede incidir sobre el futuro y sería unabsurdo considerarlo.

Sexto principio

Cada una de las causas a las que puede referirse un hecho observadoestá indicada con tanta mayor verosimilitud cuanta mayor probabilidadtiene de producirse el acontecimiento si se supone dicha causa existente;la probabilidad de la existencia de una cualquiera de estas causas es,pues, una fracción cuyo numerador es la posibilidad del hecho producido

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por dicha causa y el denominador es la suma de las posibilidadessemejantes referentes a todas las causas.

Si, consideradas a priori, estas causas tienen distinta probabilidad envez de la probabilidad del hecho producido por cada causa, hay queutilizar el producto de esta probabilidad por la probabilidad de la causa.

Tal es el principio fundamental de esta parte del análisis del azar, queconsiste en ascender de los hechos a las causas. Este principio indica elmotivo por el cual se atribuyen los hechos regulares a una causadeterminada. Ciertos filósofos creen que estos acontecimientos sonmenos probables que los otros y en el juego de "cara o cruz" que dimoscomo ejemplo, la combinación en que se obtiene “cara" veinte vecesseguidas, es más difícil para la naturaleza que aquéllas en que "cara" y"cruz” salen confundidas irregularmente.

Esta manera de pensar supone que los hechos pasados repercuten enla posibilidad de los futuros, lo que es inadmisible. Las combinacionesregulares se presentan con menos frecuencia porque son menosnumerosas. Si buscamos una causa donde encontramos simetría, no esporque juzguemos el hecho simétrico con menos posibilidad que losotros, sino que, como este acontecimiento debe ser producido por unacausa regular o por el azar, la primera suposición es más probable quela segunda.

Encontramos tipos de imprenta sobre una mesa dispuestos en esteorden: Constantinopla, y pensamos que esta combinación no dependedel azar, no porque sea imposible -ya que si esta palabra no existiera enningún idioma no le atribuiríamos una causa particular- sino porque alser usada entre nosotros, es mucho más probable que alguien hayadispuesto los caracteres en ese orden y no que tal combinación seafruto del azar.

Se impone aquí la definición de la palabra "extraordinario". Ordenamosmentalmente todos los hechos posibles en distintas clases yconsideramos extraordinarios los de las clases que abarcan un númeromuy reducido de ellos. En el juego de “cara o cruz", si aparece "cara"cien veces seguidas, nos resulta extraordinario porque, al distribuirse lascombinaciones que pueden presentarse en cien jugadas consecutivas,en series regulares que ofrecen un orden fácil de comprender y enseries irregulares, las irregulares resultan mucho más numerosas.

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Si sale una bolilla blanca de una urna que contiene un millón denegras, una sola blanca nos parece extraordinario porque noconcebimos más que dos clases de hechos respecto a los dos colores.Pero la salida del número 475.812 por ejemplo, de la caja que contieneun millón de números, nos resulta natural porque, al compararindividualmente los números entre sí, sin distribuirlos en clases, no hayningún motivo para que salga uno más que otro.

De lo que antecede se deduce que, cuanto más extraordinario sea unhecho, tanto más debe apoyarse en sólidas pruebas, pues pudiendoengañar o ser engañados los que lo comprueban, estas dos causastienen tanta mayor probabilidad cuanto menos realidad tiene el hecho ensí.

Esto se verá detalladamente al ocuparnos de la probabilidad de lostestimonios.

Séptimo principio

La probabilidad de un hecho futuro se obtiene por la suma de losproductos de la probabilidad de cada causa, deducida del hechoobservado, por la probabilidad de que, al existir dicha causa, elacontecimiento futuro se realice. Con el ejemplo que sigue se aclararáeste principio.

Supongamos una urna que no contiene sino dos bolillas, y que cada unasea blanca o negra. Se saca una de las dos bolillas que se introducenuevamente en la urna para repetir la operación de extraer una bolilla.Imaginemos que en las dos primeras extracciones se obtuvieron bolillasblancas; se quiere saber ahora la posibilidad de sacar una bolilla blancaen una tercera extracción.

No caben aquí más que dos hipótesis: o una de las bolillas es blanca yla otra negra, o las dos son blancas. En el primer caso, la posibilidad delhecho observado es 1/4; en el segundo es la unidad o sea, la certeza.

Así, tomadas estas hipótesis como causas, según el sexto principio, susrespectivas probabilidades serán 1/5 y 4/5. Ahora, si la primera hipótesisse realiza, la probabilidad de sacar una bolilla blanca en la terceraextracción es de 1/2 y en la segunda hipótesis, la unidad; y simultiplicamos estas últimas probabilidades por las de las hipótesis

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correspondientes, la suma de los productos, 9/10, dará la probabilidad deextraer una bolilla blanca en la tercera operación.

Cuando se ignora la probabilidad de un hecho simple se le puedenatribuir, del mismo modo, todos los valores entre cero y uno. Laprobabilidad de cada una de estas hipótesis deducida del hechoobservado es, según el sexto principio, una fracción cuyo numeradorconsiste en la probabilidad del hecho en dicha hipótesis y eldenominador, la sum de las probabilidades semejantes correspondiente atodas las hipótesis.

Resulta así que la probabilidad de que la posibilidad del acontecimientoesté incluida dentro d los límites dados, es la suma de las fraccionescontenidas entre esos límites.

Si multiplicamos cada fracción por la probabilidad del hecho futuro,establecida en la hipótesis respectiva, la suma de los productoscorrespondientes a todas las hipótesis será, conforme al séptimoprincipio, la probabilidad del hecho futuro deducido del acontecimientoobservado.

Se tiene así que, si un hecho se repite seguidamente cualquiercantidad de veces, la probabilidad de que ocurra una vez más es igual aeste número más uno y dividido por este mismo número más dos.

Por ejemplo: haciendo llegar la más remota época de la historia a cincomil afíos o sea a 1.826.213 días y habiendo salido el sol invariablementedurante ese lapso en cada período de veinticuatro horas, se puedeapostar 1.826.214 veces contra uno a que saldrá también mañana.Pero esta cifra es infinitamente mayor para quien en conocimiento por elconjunto de los fenómenos, del principio regulador de los días y lasestaciones, vea que nada detendrá su curso en la actualidad.

En su aritmética política, Buffon calcula de distinto modo estaprobabilidad. Supone que sólo se diferencia de la unidad en unafracción que tiene la unidad por numerador y el número dos elevado auna potencia cuyo exponente es igual al número de días, transcurridosdesde aquella época. Pero Buffon desconocía la verdadera forma deascender de los acontecimientos pasados a la posibilidad de las causasy de los hechos futuros.

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De la esperanza

La probabilidad de los acontecimientos sirve para establecer laesperanza o el temor de los individuos interesados en su realización.

La palabra esperanza tiene varios significados; generalmente se refierea la ventaja del que espera un bien cualquiera dentro de hipótesis quesólo son probables. Dentro de la teoría del azar, esta ventaja resulta delproducto de la suma esperada por la probabilidad de recibirla; deberecuperarse la suma parcial cuando no se quieren correr lascontingencias del hecho, suponiendo que la repartición sea proporcionala las probabilidades. Cuando no se tienen en cuenta todas lascircunstancias extrañas, ésta es la única repartición justa porque elmismo grado de probabilidad da el mismo derecho a la suma esperada.

Designaremos con el nombre de esperanza matemática esta ventaja.

Octavo principio

Cuando la ventaja está subordinada a muchos acontecimientos, paraobtenerla hay que considerar la suma de los productos de la probabilidadde cada acontecimiento por el beneficio unido a su verificación.

Apliquemos el principio a algunos ejemplos: supongamos que en eljuego de "cara o cruz" Pablo recibe dos francos si obtiene "cara" en la,primera jugada y cinco francos si solamente la extrae en la segunda.Multiplicando 2 francos por la probabilidad 1/2 del primer caso y 5 francospor la probabilidad 1/4 del segundo, la suma de los productos, 2 1/4francos será la ventaja de Pablo. Es la suma que debe adelantar a quienle ha dado esta ventaja, pues para equilibrar el juego, la postura debeigualar a la ventaja que proporciona.

Si Pablo obtiene 2 francos al sacar "cara" en la primera jugada y 5 en lasegunda, aun en el supuesto de que la hubiese obtenido en la primera, laprobabilidad de obtener "cara" en la segunda tirada es 1/2 y multiplicando2 francos y 5 francos por 1/2, la suma de estos productos será igual a 31/2 francos, lo que representará la ventaja de Pablo, y por lo tanto serátambién su apuesta en el juego.

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Noveno principio

En una serie de acontecimientos posibles, de los cuales algunosproducen beneficios y otros ocasionan pérdida, la ventaja resultante seobtendrá mediante la suma de los productos de la probabilidad de cadaacontecimiento favorable por el beneficio que rinde, deduciendo de estasuma la de los productos de la probabilidad de cada acontecimientodesfavorable por la pérdida que entraña.

Si la segunda suma es superior a la primera, el beneficio se transformaen pérdida y la esperanza en temor.

En la vida se debe tratar de equilibrar, al menos, el producto delbeneficio que se espera por su probabilidad con el análogo productorelativo a la pérdida. Pero para obtenerlo se deben apreciarexactamente los beneficios, las pérdidas y sus probabilidadesrespectivas. Esto exige gran ecuanimidad, tacto y experiencia de lascosas; es indispensable precaverse de los prejuicios, cuidarse de lasilusiones del temor y la esperanza y de las falsas ideas de fortuna yfelicidad con que la mayoría de los hombres, satisface su amor propio.

La aplicación de estos principios a la cuestión siguiente ha sido duraprueba para los matemáticos.

Pablo juega a "cara o cruz": ha de recibir 2 francos si obtiene "cara" enla primera jugada, 4 francos si sólo la obtiene en la segunda, 8, si no lasaca más que en la tercera, y así sucesivamente. Según el octavoprincipio, su postura debe igualar el número de jugadas, de manera quesi el juego se prolonga al infinito, las posturas deben ser también infinitas.

Pero ningún hombre prudente sería capaz de exponer en este juegosiquiera una pequeña suma, 50 francos pongamos por caso.

¿De dónde procede esta diferencia entre el resultado del cálculo y loque aconseja el sentido común? Se comprendió en seguida queprocedía de que la ventaja moral que nos beneficia no equivale a esautilidad y está supeditada a mil circunstancias generalmente difíciles dedefinir, pero de las cuales la más general e importante es la fortuna.Evidentemente, un franco representa mucho más para quien no tienemás que cien, que para el millonario.

En el beneficio esperado hay, pues, que distinguir entre su valorabsoluto y su valor relativo, que se rige por los motivos que lo hacen

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desear, mientras que el absoluto es independiente. No es posibleestablecer un principio general para aquilatar este valor relativo. Sinembargo, hay uno propuesto por Daniel Bernouilli, que puede ser útil enmuchos casos.

Décimo principio

El valor relativo de una suma infinitamente pequeña es igual a su valorabsoluto dividido por el bien total de la persona interesada. Lo cualsupone que todo hombre posee siempre algún bien cuyo valor no puedeser nunca considerado nulo. Efectivamente, aun el que nada tieneatribuye al producto de su trabajo y a sus esperanzas un valor al menosequivalente a lo que le es indispensable para subsistir.

Sometiendo este principio al análisis, se obtiene la siguiente regla:

Si se considera como unidad la parte de la fortuna de una persona queno depende de sus expectativas, si se establecen los distintos valoresque esa fortuna puede recibir mediante esas expectativas y susprobabilidades, el producto de ciertos valores elevados respectivamente alas potencias señaladas por tales probabilidades será la fortuna física quedaría al individuo la misma ventaja moral que obtiene de la parte de sufortuna considerada como unidad de ese producto; la diferencia será elaumento de la fortuna física debido a las expectativas; no quedando másque la unidad de ese producto, la diferencia será el incremento de lafortuna física debido a las expectativas.

Daremos a este incremento el nombre de esperanza moral. Se adviertefácilmente que coincide con la esperanza matemática cuando la fortunaconsiderada como unidad se hace infinita con respecto a las variacionesque le imprimen las expectativas. Pero cuando tales variacionesconstituyen una parte apreciable de dicha unidad, las dos esperanzaspueden diferir fundamentalmente entre sí.

Esta regla lleva a resultados coincidentes con lo que el sentido comúnaconseja, pudiéndose así apreciar con cierta exactitud. De lo queantecede tenemos que, si la fortuna de Pablo es de 200 francos, no debe,ciertamente, apostar más de 9. La misma regla lleva también a distribuirel riesgo entre las varias partes de un bien que se espera antes queexponer el bien íntegro al mismo peligro. Igualmente resulta que, aun en

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el juego más equilibrado, la pérdida es siempre relativamente mayor quela ganancia.

Por ejemplo, si un jugador cuya fortuna asciende a 100 francos exponeen el juego de "cara o cruz", 50 francos, después de la apuesta su fortunaquedará reducida a 87 francos, vale decir, que esta suma leproporcionará la misma ventaja moral que la fortuna después de laapuesta. El juego es entonces desventajoso aun cuando la posturaiguale el producto de la suma esperada por su posibilidad. Por eso sepuede apreciar la inmoralidad de los juegos en los cuales la sumaesperada es inferior a ese producto. No perduran más que por los falsosrazonamientos y' la codicia que despiertan y que, al llevar a la gente ainmolar lo necesario a vanas esperanzas cuya inverosimilitud no puedediscernir, son el origen de muchos males.

El perjuicio de los juegos, la ventaja de no exponer al mismo riesgo todoel beneficio esperado y todos los resultados semejantes aconsejados porel buen sentido, persisten no importa cuál sea la función de la fortunafísica que, para cada individuo, representa su fortuna moral. Es suficienteque la causa del incremento de esta función respecto del aumento de lafortuna física, disminuya a medida que ésta se acreciente.

Aplicación del cálculo de probabilidades a las ciencias morales

Acabamos de considerar las ventajas de la teoría de las probabilidadesen la investigación de las leyes de los fenómenos de la naturaleza, cuyascausas o son desconocidas o son tan complejas que sus efectos escapanal cálculo. En las instituciones humanas actúan tantas causasimprevistas, ocultas o imponderables que no podemos a prior¡ postularsobre sus resultados. La sucesión de los acontecimientos producidas porel tiempo engendra esos resultados y proporciona los medios paracorregir los perjudiciales.

Sobre esto se han dictado frecuentemente leyes sabias, pero como sehabía descuidado la consideración de los motivos, muchas han sidodesechadas por inútiles y, para restablecerlas, hubo que recurrirnuevamente a experiencias molestas. Por eso es muy importanteconsiderar cada aspecto de la administración pública, un registro exactode los resultados obtenidos por los medios empleados, son otras tantasexperiencias intensamente realizadas por los gobiernos.

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Apliquemos a las ciencias políticas y morales el método basado en laobservación y el cálculo, tan eficaz para las ciencias naturales. Noopongamos estéril resistencia, frecuentemente peligrosa, a los inevitablesresultados del progreso de la ilustración, pero no alteremos sino conextremada cautela nuestras instituciones y las costumbres seguidasdurante mucho tiempo. La experiencia del pasado nos señala claramentesus inconvenientes, pero no conocemos el alcance de los males que sutransformación puede ocasionar.

Frente a tal ignorancia, la teoría de las probabilidades aconseja evitartodo cambio especialmente los bruscos que, tanto en lo moral cómo en lofísico no se producen nunca sin gran desperdicio de fuerza viva. Elcálculo de las probabilidades ha sido ya ensayado exitosamente enmuchas cuestiones de las ciencias morales.

Ofreceré aquí sus principales resultados.

De la probabilidad de los testimonios

Como la mayor parte de nuestros juicios se basa en la probabilidad delos testimonios, es muy importante someterlos al Cálculo. Aunque estoresulta frecuentemente imposible, por la dificultad de establecer laveracidad de los testigos y la cantidad de circunstancias que sepresentan unidas a los hechos atestiguados.

Sin embargo, muchas veces es posible resolver problemas que tienengran semejanza con las cuestiones propuestas y cuyas solucionespueden considerarse como acercamientos propicias para encaminarnos ylibrarnos de los errores y peligros a que nos exponen los razonamientosdesvirtuados. Una tal aproximación, cuando está bien orientada, essiempre preferible a los razonamientos particulares.

Procuremos ofrecer algunas reglas generales para alcanzarla.

Se ha sacado un solo número de una urna que contiene mil. Un testigoafirma que ha salido el número 79; se desea saber cuál es la posibilidadde esa salida.

Si sabemos por experiencia que ese testigo miente una vez sobre diez,la probabilidad de su testimonio será 9/10. En este caso el hechoobservado es el mismo testigo que asegura que ha salido el número 79.Este hecho puede resultar de una de estas dos hipótesis: o el testigo dice

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la verdad, o el testigo miente. Según el principio anteriormenteobservado, es necesario establecer a priori la probabilidad del hechodentro de cada hipótesis.

En la primera, la probabilidad de que el testigo anuncie el número 79es la probabilidad misma de la salida del número o sea 1/1000.Multiplicada por la probabilidad 9/10 de la veracidad del testimonio setendrá 9/1000 como probabilidad del hecho presenciado.

Si el testigo no es veraz, el número 79 no ha salido; la probabilidadserá en este caso 999/1000. Pero como para anunciar ese número eltestigo debió elegirlo entre los 999 restantes, y/como se piensa que notiene ninguna razón para preferir un número más que otro, la probabilidadde que haya escogido el 79 resulta 1/999; multiplicada esta probabilidadpor la anterior, se obtiene 1/1000 para la posibilidad de que el testigoafirme la salida del número 79 en la segunda hipótesis. Al multiplicar estaprobabilidad por la probabilidad 1/10 de la hipótesis se obtiene 1/10.000para la posibilidad del hecho correspondiente a esta hipótesis.

Formando una fracción cuyo numerador sea la probabilidad de laprimera hipótesis, y cuyo denominador la suma de las probabilidadesrelativas a ambas, se tendrá, por el sexto principio, la probabilidad de laprimera hipótesis 9/10, es decir, la veracidad misma del testigo y tambiénla probabílidad de la salida del número 79. La probabilidad de que eltestigo haya mentido o de que el número no haya salido, es 1/10.

Si el testigo, al querer engañar, lo hizo movido por algún interés enelegir el 79 entre todos los demás números no aparecidos; si por ejemplo,por una importante apuesta hecha sobre ese número, el anuncio de susalida aumentaría su crédito, la probabilidad de que lo hubiere elegido nosería ya 1/999; podría ser 1/2, 1/3, etcétera, según su interés enanunciarlo. Suponiendo que sea 1/9, habrá que multiplicar ¡esta fracciónpor la probabilidad 999/1000 para obtener, en la hipótesis de que mienta,la probabilidad del hecho observado que hay que multiplicar también por1/10, lo que da 111/10.000 como probabilidad del hecho en la segundahipótesis. Por la regla anterior, la probabilidad de la primera hipótesis, osea la salida del número 79, queda entonces reducida a 9/120. Está,pues, muy disminuida por la reflexión sobre el interés del testigo enanunciar el número 79.

En realidad, este mismo interés aumenta la probabilidad 9/10 sobre laveracidad del testigo, si aparece el número 79. Pero esta probabilidadno puede ser superior a la unidad o sea 10/10; en esa forma, la

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posibilidad de la aparición del número 79 no excederá a 10/121. Elsentido común nos indica que ese interés debe despertar desconfianza,pero el cálculo nos permite valorar su influencia.

La probabilidad a priori del número anunciado por el testigo consiste enla unidad dividida por el total de números contenidos en la urna; en virtuddel testimonio se convierte en la veracidad misma del testigo que puedeser disminuida por el propio testimonio. Como ejemplo: si la urnacontiene dos números solamente, lo que arroja 1/2 para la probabilidad apriori de que aparezca el número 1, y si la veracidad del testigo que laexpresa es 4/10, esta aparición se torna más improbable. Está claro quecomo el testigo se inclina más a la mentira que a la verdad, su testimoniodisminuye la probabilidad del hecho atestiguado, siempre que estaprobabilidad sea igual o mayor que 1/2.

Pero al haber tres números en la urna, la probabilidad a prior¡ de lasalida del número 1 se acrecienta por la afirmación de un testigo cuyaveracidad sobrepase a 1/3.

Supongamos ahora que la urna contiene 999 bolillas negras y unablanca y que al extraer una bolilla de la urna el testigo asegura que esblanca.

Establecida a priori; en la primera hipótesis la probabilidad del hechoobservado, será aquí, como en el caso anterior, igual a 9/10.000. Perosegún la hipótesis de que el testigo miente, la bolilla blanca no ha salido yla probabilidad es 999/1000. Multiplicada por la probabilidad 1110 de lamentira, produce 999/10.000 como probabilidad del hecho observadoreferente a la segunda hipótesis.

En el caso anterior esta probabilidad no era más que 1/10.000; Jaenorme diferencia está en que, al salir una bolilla negra, el testigo, siquiere mentir, para anunciar la aparición de la bolilla blanca no tiene porqué elegir entre las 999 bolillas.

Ahora bien, si formamos dos fracciones cuyos numeradores sean lasprobabilidades de cada hipótesis y cuyo común denominador, la suma deesas probabilidades, obtendremos 9/1008 como probabilidad de lasegunda hipótesis y de la extracción de una bolilla negra. Esta últimaprobabilidad es la que más se aproxima a la certeza y lo haría muchomás dando 999999/1000008 si en la urna hubiera un millón de bolillas delas cuales sólo una fuera blanca siendo, entonces, mucho más

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extraordinaria su aparición. Vemos cómo aumenta la probabilidad de lamentira a medida que el acontecimiento se hace más raro.

Hasta ahora supusimos que el testigo no se equivocaba, pero siañadimos la posibilidad del error, el hecho extraordinario va resultandomás inverosímil. Se tendrán entonces, en lugar de dos hipótesis, estascuatro: la del testigo que no engaña y no se equivoca, la del testigo queengaña y no se equivoca; la del testigo que no engaña y se equivoca ypor último la del testigo que engaña y se equivoca. Determinando a priorila probabilidad del hecho comprobado en cada caso, tenemos, conformeal sexto principio, que la probabilidad de la falsedad del hecho es igual auna fracción cuyo numerador consiste en la cantidad de bolillas negrascontenidos en la urna, multiplicada por la suma de las probabilidades deque el testigo no engañe y se equivoque o de que engañe y no seequivoque, y cuyo denominador es el mismo numerador aumentado en lasuma de las probabilidades que el testigo no engañe y no se equivoque oque engañe y se equivoque a la vez. Vemos que si la cantidad de bolillasnegras de la urna es muy grande, lo que hace extraordinaria la apariciónde la bolilla blanca, la probabilidad de que este hecho no se realice, seacerca considerablemente a la certeza.

Aplicando esta conclusión a todos los acontecimientos extraordinarios,resulta que la probabilidad de error o mentira del testigo aumenta cuantomás raro sea el hecho denunciado. Ciertos autores han sostenido locontrario basándose en que, al ser absolutamente semejantes laobservación de un hecho extraordinario y la de uno ordinario, los mismosmotivos nos harán creer por igual al testigo cuando afirma cualquiera deesos acontecimientos.

El sentido común no admite afirmación tan insólita, y el cálculo deprobabilidades que confirma la posición del sentido común, valoratambién. La inverosimilitud de los testimonios sobre esos acontecimientosextraordinarios.

Pero aquellos autores insisten y suponen dos testigos igualmente dignosde crédito: el uno u afirma haber visto muerta una persona hace quincedías, y el otro que asegura haberla visto ayer plena de vida. En ningunode los dos casos hay nada de inverosímil. La resurreción de la persona.es una consecuencia de su conjunto, pero como ninguno de los dostestigos la afirma directamente, Io que puede haber en ella deextraordinario no debe disminuir la creencia que se le debe.(Encyclopédie, art. "Certitude").

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Sin embargo, si la consecuencia resultante del conjunto de lostestimonios fuera imposible, uno de los dos tendría que sernecesariamente falso. Ahora bien, toda consecuencia imposible es eltérmino de las consecuencias extraordinarias, así como el error es eltérmino de las inverosimilitudes; por lo tanto, el valor de los testimoniosque en el caso de una consecuencia imposible desaparece, debedisminuir fundamentalmente en el caso de una consecuenciaextraordinaria. El cálculo de probabilidades lo confirma.

Para comprobarlo tomemos dos urnas A y B. La primera contiene unmillón de bolillas blancas y la segunda igual cantidad de negras. Seextrae una bolilla de una de las urnas y se coloca en la otra, y de estaurna se saca luego otra bolilla. Dos testigos, uno de la primera operacióny el otro de la segunda, sostienen que la bolilla que han visto aparecer esblanca sin indicar de qué urna procede. Considerando cada testimoniopor separado, el hecho no tiene nada de inverosímil y se adviertefácilmente que la probabilidad del acontecimiento declarado es laveracidad misma del testigo.

Del conjunto de los testimonios se infiere que de la urna A se ha sacadouna bolilla blanca en la primera extracción y que, puesta luego en la B, havuelto a salir por segunda vez, acontecimiento harto extraordinario ya quela urna B no contiene más que una bolilla blanca entre un millón denegras. .La probabilidad de obtenerla es l/l.000.001. Para establecer ladisminución que ello determine en la probabilidad del hecho afirmado porlos dos testígos, diremos que aquí el hecho observado es la declaraciónhecha por cada uno de ellos en el sentido de que la bolilla que ha vistoaparecer es blanca.

Expresemos con 9/10 la probabilidad de que se dice la verdad, lo quepuede haber sucedido en este caso si el testigo no engaña ni seequivoca, o si engaña y se equivoca a la vez. Caben las cuatro hipótesissiguientes:

1) Los dos testigos dicen la verdad. En este caso, primero se haobtenido uno bolilla blanca de A y su probabilidad es 1/2 ya que la bolillaobtenida pudo muy bien proceder de cualquiera de las dos urnas.

Luego, la bolilla extraída, colocada en B, ha vuelto a salir en la segundaextracción; la probabilidad es l/l.000.001 para este acontecimiento y laprobabilídad del hecho declarado por los testigos resulta, pues,1/2.000.002; multiplicado por el producto de las probabilidades 9/10, y

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9/10 de los testigos son veraces, se obtendrá en esta primera hipótesis81/200.000.200 para la probabilidad del hecho observado.

2) El primer testigo dice la verdad y el segundo, no: engaña y no seequivoca o no engaña y se equivoca. Aquí se ha sacado de la urna unabolilla blanca en la primera extracción y la probabilidad de esteacontecimiento es 1/2. Introducida luego esta bolilla en B, ha salido deesta urna una bolilla negra; la probabilidad de esta operación es1.000.000/ 1.000.001, y como probabilidad del acontecimiento compuestotenemos 1.000.000/2.000.002. Multiplicada por el producto de las dosprobabilidades 9/10 y 1/10 de que el primer testigo es veraz y el segundomiente, se tendrá en esta segunda hipótesis 9.000.000/2.000.000.200como probabilidad del hecho observado.

3) El primer testigo no dice la verdad y el segundo sí. En la primeraextracción se ha sacado una bolilla negra de la urna B, y después dehaberla depositado en la A, se ha obtenido de esta urna una bolillablanca. La probabilidad para el primer caso es 1/2 y para el segundo 1-000.000/1-000.901, la probabilidad del acontecimiento compuesto es1.000.000 /2.000.002 que multiplicado por el producto de lasprobabilidades 1/10 y 9/10 de que el primero no diga la verdad y elsegundo sí, resultará 9.000.0001 200.000.200 como probabilidad delhecho observado con respecto a esta hipótesis.

4) Ninguno de los dos testigos dice la verdad. En la primeraextracción ha salido una bolilla negra de la urna B, la que puesta enseguida en la urna A ha reaparecido en la segunda operación; laposibilidad de este hecho compuesto es 1/2.0002.002. Al multiplicarla porel producto de las probabilidades 1/10 y 1/10 de que ninguno de los dostestigos sea veraz, se tendrá para esta hipótesis 1/200.000.200 comoprobabilidad del hecho presentado.

Ahora bien, para alcanzar la probabilidad del acontecimiento indicadopor los testigos, o sea de que ha salido una bolilla blanca cada vez, hayque dividir la probabilidad de la primera hipótesis por la suma de lasprobabilidades correspondientes a las cuatro hipótesis, y se obtieneentonces para esta probabilidad 81/180.000.082 que es una fracciónsumamente pequeña.

Si de los dos testigos, el primero asegura que ha salido una bolillablanca de una de las dos urnas, A y B, y el segundo que también haaparecido una bolilla blanca de una de dos urnas A' y B' completamenteanálogas a las dos primeras, la probabilidad del hecho afirmado por los

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dos testigos sería el producto de las probabilidades de sus test¡monios,es decir, 81/100, por lo menos ciento ochenta mil veces mayor que laanterior. Así comprobamos cómo se reduce su valor, en el primer caso,por la reaparición, por segunda vez, de la bolilla blanca obtenida en laprimera; consecuencia extraordinaria de los dos testimonios.

No creeríamos en la afirmación de una persona que, habiendo arrojadocien dados al aire, asegurara que han caído todos sobre la misma cara.Y si hubiéramos presenciado nosotros mismos tal acontecimiento, nodaríamos fe a nuestra vista sino después de prolijo examen de todas lascircunstancias y de haber acudido al testimonio de otros ojos para nocreernos víctimas de alucinación o encantamiento. Sólo después deprolijo examen, podríamos admitirlo a pesar de su excesivainverosimilitud, sin que a nadie se le ocurriera pretender alterar las leyesde la visión para explicarlo.

Según eso concluimos que la probabilidad de la firmeza de las leyesnaturales vale para nosotros más que la no realización del hecho,probabilidad que supera ella misma a la de la mayoría de los hechoshistóricos aceptados como irrefutables. Se puede apreciar de ello quémagnitud de testimonios se requiere para admitir la cesación de las leyesnaturales y qué arriesgado sería aplicar a ese caso las reglas corrientesde la crítica.

Todos quienes, sin presentar esa cantidad de testimonios, sostienen loque ellos afirman sobre narraciones de hechos que contrarían esas leyes,en lugar de robustecer la fe que pueden inspirar, la disminuyen, pues enese caso todos los relatos hacen muy posible el error o la mentira de susautores. Lo que debilita la creencia de los sabios, fortifica la del vulgo,siempre al acecho de lo maravilloso.

Ocurren cosas tan extraordinarias cuya inverosimilitud no tieneparangón, pero una opinión dominante puede aminorar esainverosimilitud hasta hacerla parecer inferior a la probabilidad de lostestimonios; cuando esa opinión se modifica, un absurdo relato de ella,unánimemente admitido en su época, resulta para los siglos sucesivosuna prueba más de la enorme influencia que la opinión general ejerceaun sobre los más altos espíritus. Racine y Pascal, dos grandes hombresdel siglo de Luis XIV, son ejemplos sorprendentes.

Es doloroso comprobar con qué satisfacción Racine, el admirableintérprete del corazón humano y el poeta más perfecto que ha existido,refiere como milagrosa la cura de la joven Périer, sobrina de Pascal e

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interna de la abadía de Port-Royal; aflige leer los argumentos con loscuales Pascal trata de demostrar que la religión necesitaba de esemilagro para justificar la doctrina de las religiones de esa abadía, a lasazón perseguida por los jesuítas.

Hacía tres años y medio la joven Périer sufría de una fístula lacrimal;bastó que tocara su ojo con una reliquia que atribuían a una espina de lacorona del Salvador, para que se creyera inmediatamente curada. Pocosdías después los médicos y los cirujanos verificaron la curación yaseguraron que no había sido obra de la naturaleza ni de los ,remedios.Tal acontecimiento, ocurrido en 1656, produjo gran revuelo: "todo París -escribe Racine- se dirigió a Port-Royal. La muchedumbre era cada vezmayor y Dios mismo parecía complacido con la devoción popular por lacantidad de milagros que se operaron en esa iglesia". Era una época enla que se aceptaban los milagros y los sortilegios como verosímiles, ypara explicarlos se los incluía en las rarezas de la naturaleza.

Este modo de concebir los efectos extraordinarios se halla en las másfamosas obras del siglo de Luis XIV, en la propia obra del sabio LockeEnsayo sobre el entendimiento humano quien, al referirse a los grados deasentimiento expresa: "Aunque la experiencia corriente y la marchaordinaria de los acontecimientos ejerzan, con razón, poderosa influenciasobre el espíritu humano, para llevarlos a otorgar o negar su asentimientoa algo que se les induce a creer, existe, sin embargo, un caso en el quelo raro de un hecho no disminuye el asentimiento que debemos concederal testimonio sincero en que se basa. Cuando hechos sobrenaturalescoinciden con los fines que se propone el que puede modificar el curso dela naturaleza, en esa época y en esas circunstancias, pueden ser tantomás aptos para despertar fe en nuestro espíritu, cuánto más sobrepasenlas observaciones corrientes o también, cuanto más se opongan a ellas".

Como los filósofos, por quienes principalmente progresa la razón,desconocen los verdaderos principios de la probabilidad de lostestimonios, me siento en la necesidad de exponer ampliamente losresultados del cálculo aplicado a tan importante asunto.

Surge aquí naturalmente la discusión de un famoso argumento dePascal, que el matemático inglés Craig reprodujo en forma geométrica.Algunos testigos afirman la participación de la divinidad de modo que,adaptándose a una cosa, se disfrutaría no de una o de dos sino deinnumerables vidas felices. Por escasa que sea la probabilidad de lostestimonios con tal que no sea excesivamente pequeña, es evidente quelos beneficios de los dos que se ajustan a la cosa prescripta son

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inmensos puesto que se trata de la resultante del producto de estaprobabilidad por un bien infinito; no se debe, pues, titubear en perseguirtal ventaja.

Se basa este argumento en la cantidad de vidas felices que los testigosprometen en nombre de la divinidad; será indispensable, pues, hacer loque indican, porque exageran enormemente sus promesas, consecuenciaque el sentido común rechaza. Por otra parte, el cálculo pone demanifiesto que esta misma exageración disminuye la probabilidad de sutestimonio hasta reducirla considerablemente o anularla. En efecto, estecaso corresponde al de un testigo que afirmara la salida del número másalto de una urna que contiene gran cantidad de. números de los que seha extraído sólo uno, y que estuviera particularmente interesado enanunciar la salida de este número. Hemos visto ya cómo tal interésdebilita su testimonio. Si ponderamos sólo en, 1/2 la probabilidad de quesi el testigo miente elegirá el número mayor, el cálculo de la probabilidadde su anuncio será menor que una fracción cuyo numerador es la unidady cuyo denominador es la unidad más la mitad del producto de todos losnúmeros por la probabilidad de la mentira, considerada a priori o conprescindencia del anuncio. Para relacionar este caso con el delargumento de Pascal, se pueden representar todos los números posiblesde vidas felices por los números de la urna, con lo que resulta infinito eltotal de esos números; vemos que si los testigos engañan es porquetienen el mayor interés en prometer una vida dichosa para justificar sumentira y la expresión de la posibilidad de su testimonio disminuyeinfinitamente. Al multiplicarla por el número infinito de vidas dichosasanunciadas, desaparece el infinito del producto que expresa la ventajaconsiguiente a esa promesa y el argumento de Pascal se desvanece.

Veamos, ahora, la probabilidad del total de numerosos testimonios sobreun hecho determinado. Supongamos, para aclarar, que el hecho encuestión sea la extracción de un número de una urna que contiene cien,de los que se saca uno solo. Dos testigos afirman que salió el númerodos y se averigua la probabilidad obtenida del conjunto de estostestimonios. Caben estas dos hipótesis: los testigos dicen la verdad, lostestigos mienten. En el primer supuesto salió el número 2 y laprobabilidad del hecho será 1/100. Multiplicada por el producto de lasveracidades de los testigos, veracidades que suponemos 9/10 y 7/10 setendrá 63/10.000 como probabilidad del hecho. Conforme a la segundahipótesis, no salió el número 2, la probabilidad de este hecho es 99/100pero el acuerdo de los testigos requiere que al procurar engañar elijanambos el número 2 entre los 99 que quedaron en la urna; si los testigosno están de acuerdo, la probabilidad de esta elección es el producto de la

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fracción 1/99 por sí misma; hay que multiplicar, pues, estas dosprobabilidades entre sí y por el producto de las probabilidades 1/10 y 3/10de que los testigos mienten, lo que dará, así, 1/330.000 comoprobabilidad del hecho observado según la segunda hipótesis.

Para obtener la probabilidad del hecho declarado, la salida del número2, habrá que dividir la probabilidad de la primera hipótesis por la suma delas probabilidades de las dos hipótesis, esta probabilidad será 2079/2080y la probabilidad de que los testigos mienten y el número 2 no ha salidoserá 1/2080.

Si dentro de la urna no estuvieran más que los números 1 y 2, resultaríadel mismo modo 21/22 para la probabilidad de la salida del número 2 ypor lo tanto 1/22 para la probabilidad de que los testigos mienten. Estaprobabilidad será por lo menos 94 veces mayor que la primera. En estaforma se advierte cómo disminuye la probabilidad de la mentira de lostestigos cuando el hecho que afirman es probable de por sí. Resultatambién que el acuerdo de los testigos, cuando mienten, se hace másdifícil a no ser que estén de acuerdo, lo que no suponemos aquí.

En el caso anterior, al no contener la urna más que dos números, laprobabilidad a priori del hecho aseverado es 1/2; la probabilidad quesurge de los testimonios es el producto de las veracidades de los testigosdividido por este producto, más el de la probabilidad de cada una de lasmentiras respectivas. Resta ahora examinar la influencia del tiemposobre la probabilidad de los hechos trasmitidos por una tradicional seriede testigos. Es indudable que esta probabilidad tiene que disminuir amedida que la serie se alarga. Si el hecho carece por sí de probabilidad,tal como la salida de un número de una urna que contiene una infinitacantidad, la que le confieren los testimonios disminuye de acuerdo alproducto de las veracidades de los testigos. Si el acontecimiento tieneuna probabilidad por sí mismo, por ejemplo si el hecho es la salida delnúmero 2 de una urna que contiene un número infinito, y de la que concerteza no se ha sacado más que un solo número, lo que la serietradicional añade a esta posibilidad, disminuye conforme a un productocuyo primer factor es la relación del total de números de la urna menosuno con este mismo número y cada uno de cuyos factores restantes es laveracidad de cada testigo reducida en la proporción de la probabilidad desu mentira con todos los números de la urna menos uno, en forma tal queel alcance de la probabilidad del hecho es la de este hecho considerada aprior¡ o prescindiendo de los testimonios, probabilidad igual a la unidaddividida por el conjunto de los números de la urna.

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El paso del tiempo disminuye, pues, incesantemente la probabilidad delos acontecimientos históricos así como modifica los más perdurablesmonumentos. En realidad, es posible retrasarla, aumentando yconservando los testimonios y los documentos que los sustentan. Paraello la irnprenta proporciona un medio poderoso que los antiguosdesgraciadamente no conocían. A pesar de sus enormes beneficios, lasrevoluciones físicas y morales que conmoverán siempre la faz del mundo,unidas a la acción inevitable del tiempo, concluirán por hacer dudosos, alcabo de milenios, los acontecimientos históricos más verdaderos de laactualidad.

Craig intentó someter al cálculo el paulatino debilitamiento de laspruebas de la religión cristiana: Suponiendo que el mundo acabara en laépoca en que ella habrá perdido su probabilidad, resulta que ocurrirá1454 años después del instante en que lo escribió. Pero su análisis estan imperfecto, como arbitraria su hipótesis sobre la duración del mundo.

De las elecciones y las decisiones de las asambleas

La probabilidad de las determinaciones de una asamblea obedece a lacantidad de votos, a la cultura y a la ecuanimidad de sus participantes.Tantas son las pasiones y los intereses particulares que en ellaintervienen, que resulta imposible someter al cálculo esta posibilidad.Poseemos, sin embargo, algunas conclusiones generales sugeridas porel simple sentido común que han sido corroboradas por el cálculo. Porejemplo, si la asamblea no está suficientemente informada sobre elasunto, requiere Consideraciones delicadas o si su verdad contradiceprincipios heredados, de modo que es posible apostar más de uno contrauno a que cada votante se alejará de ella, entonces el veredicto de lamayoría será presumiblemente malo y el temor a este respecto será tantomás justo cuanto más nutrida sea la asamblea.

Es importante, pues, para la cosa pública, que las asambleas no tenganque dictaminar más que sobre asuntos al alcance de la mayoría; que lainstrucción esté uniformemente distribuida y que obras buenas, basadasen la razón y la experiencia, alumbren a aquellos a quienes correspondedecidir sobre la suerte de sus semejantes o gobernarlos y los amparen deantemano de las engañosas apariencias y los prejuicios de la ignorancia.

Los sabios tienen múltiples oportunidades de verificar que las primerasopiniones son generalmente erróneas y que lo verdadero no siempre es

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verosímil. No es fácil conocer, ni menos establecer el voto de unaasamblea ante la diversidad de opiniones de sus componentes.Procuremos dar algunas reglas al respecto teniendo en cuenta los doscasos más comunes: la elección entre varios candidatos y la elecciónentre varias proposiciones sobre el mismo asunto.

Cuando una asamblea se debe pronunciar entre varios candidatospresentados para uno o más cargos análogos, lo más elemental parecehacer escribir en un papel a cada uno de los votantes los nombres detodos los candidatos conforme a los merecimientos que se les atribuyen.Suponiendo que hayan sido clasificados de buena fe, el examen de esospapeles dará a conocer los resultados de la elección, prescindiendo delcriterio seguido para la comparación de los candidatos, de modo quenuevas elecciones no agregarían nada al respecto.

Se trata ahora de establecer el orden de preferencia que esos papeleshan revelado sobre los candidatos. Supongamos que se entrega a cadalector una urna con infinidad de bolillas que puede utilizar para determinarlas distintas gradaciones en el mérito de los candidatos; imaginemostambién que extraiga dé su urna cierto número de bolillas proporcional almérito de cada uno y que se escriba en un papel ese número junto alnombre correspondiente. Es evidente que al sumar todos los númeroscorrespondientes a cada candidato en cada papel, el que haya obtenidola suma mayor será el que la asamblea prefiere y que, en general, elorden de preferencia de los candidatos será el de las sumascorrespondientes, a cada uno de ellos.

Pero esos papeles no indican el número de bolillas que cada electoratribuye a los candidatos; indican simplemente que el primero tiene másque el segundo, éste más que el tercero y así sucesivamente. Sisuponemos para el primero un número cualquiera de bolillas en un papeldeterminado, serán igualmente admisibles todas las combinaciones delos números menores que llenen las condiciones precedentes y elnúmero de bolillas que corresponde a cada candidato se obtendrásumando todos los números que cada combinación le asigna,dividiéndola luego por el número total de combinaciones.

De un análisis muy simple resulta que los números que se han deconsignar en cada papel junto al último nombre, al penúltimo, etcétera,son proporcionales a los términos de la progresión aritmética 1, 2, 3 ... Sise anotan en cada papel los términos de esta progresión y se añaden lostérminos correspondientes a cada candidato, la magnitud de las diversassumas indicará el orden de preferencia entre los candidatos. Ésta es la

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forma de elección que indica la teoría de las probabilídades, que seríaindiscutiblemente la mejor si cada elector ordenara los nombres de loscandidatos de acuerdo al orden que les atribuye. Pero los interesesparticulares y toda clase de consideraciones ajenas a los propios méritosalteran ese orden, y muchas veces pasa a ocupar el último lugar eloponente más temible al candidato que se prefiere, con lo que sebenefician mucho los mediocres. Además, la experiencia aconsejóabandonar esa forma de elección a las instituciones que la habíanadoptado. La elección por mayoría absoluta de votos ofrece además dela ventaja de no aceptar ninguno de los candidatos que la mayoríarechaza, la ventaja de expresar lo más frecuentemente, la voluntad de laasamblea. Concuerda siempre con el sistema que antecede, cuando sólohay dos candidatos. En realidad, tiene el inconveniente de alargar laselecciones. La experiencia ha demostrado que tal inconveniente noexiste ya que, el deseo de terminar hace que se reúna pronto la mayoríade votos en un solo candidato.

Parece que el pronunciamiento entre varias proposiciones relativas a unmismo objeto obedece a las mismas normas que el pronunciamientoentre candidatos. Pero hay una diferencia entre ambos casos, o sea, queel mérito de un candidato no excluya el de sus oponentes, pero si lasproposiciones entre las que hay que elegir son contradictorias, la verdadde una excluye la de las otras. Veamos cómo hay que plantear,entonces, la cuestión.

Demos a cada elector una urna con un número infinito de bolillas, ysupongamos que las distribuye entre las distintas proposiciones conformea las respectivas probabilidades que les asigna. Es claro que como elnúmero total de bolillas expresa la certeza y el elector está convencido,por hipótesis, de que una de esas proposiciones tiene que ser verdadera,distribuirá íntegramente ese número entre las proposiciones. La cuestiónconsiste, pues, en establecer las combinaciones en que se repartirán lasbolillas, de modo que para la primera proposición haya más que para lasegunda, para ésta, más que para la tercera, etcétera; sumar luego eltotal de los números de bolillas correspondientes a cada proposición enlas distintas combinaciones y dividir esa suma por el número decombinaciones; los cocientes indicarán los números de bolillascorrespondientes a las proposiciones en una cédula cualquiera.

El análisis establece que, empezando por la última proposición parallegar a la primera, esos cocientes están entre sí como las cantidadessiguientes: primero, la unidad dividida por el número de proposiciones;segundo, la cantidad precedente más la unidad y dividida por el número

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de proposiciones menos una, y tercero, esta segunda cantidad más launidad y dividida por el número de proposíciones menos dos, y asísucesivamente. En cada cédula se anotarán esas cantidades junto a lasproposiciones respectivas, y al sumar las cantidades correspondientes acada proposición en las distintas cédulas, se obtendrá, de acuerdo con lamagnitud de la suma, el orden de preferencia atribuido por la asamblea atales proposiciones.

Veamos algo sobre la renovación de las asambleas que deben cambiartotalmente cada determinado número de años. Esa renovación ¿debeser simultánea o conviene distribuirla, entre esos años? En este últimocaso se constituirá la asamblea de acuerdo con las distintas opinionesimperantes durante el tiempo de su renovación; la opinión diariamente enella sería entonces, muy posiblemente, el promedio de todas esasopiniones. En ese caso! la asamblea obtendría del tiempo el mismobeneficio que recibe de la extensión de las elecciones de suscomponentes a todo el ámbito del territorio que representa.

Ahora bien, si se tiene en cuenta que la experiencia nos enseñasobradamente que las elecciones se inclinan exageradamente hacia lasopiniones dominantes, se advertirá la conveniencia de equilibrar esasopiniones mediante la renovación parcial.

De la probabilidad de las sentencias de los tribunales

El análisis corrobora lo que establece el simple sentido común, o seaque la justicia de las sentencias es tanto más probable cuanto másilustrados son los jueces. Es importante, pues, que los tribunales deapelación reúnan esas condiciones.

Los de primera instancia, más en contacto con los litigantes, losbenefician en el sentido de que les brindan un primer juicio ya probable,que frecuentemente aceptan, sea transando, sea desistiendo de susderechos. Pero si la incertidumbre del hecho en litigio y su importanciamueven al litigante a recurrir al tribunal de apelación, debe tener, con lamayor probabilidad de alcanzar un fallo justo, mayor seguridad para sufortuna y la compensación de las molestias y gastos que le ocasionaríaun proceso nuevo.

Esto no ocurría con la institución de apelación recíproca de lostribunales de departamento, institución que perjudicaba los intereses de

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los ciudadanos. Quizás convendría, y ello estaría de acuerdo con elcálculo de las probabilidades, exigir por lo menos una mayoría de dosvotos en un tribunal de apelación para anular el dictamen del tribunalinferior. Se llegaría a este resultado si persistiera la sentencia en el casode igualdad de votos por estar constituido el tribunal de selección con unnúmero par de jueces.

Examinaré particularmente los juicios en lo criminal.

Desde luego, para condenar a un acusado los jueces necesitan pruebasirrefutables del delito. Pero una prueba moral es tan sólo unaprobabilidad. La experiencia ha mostrado sobradamente los errores aque están expuestos los juicios criminales, hasta los que parecen másjustos. El mayor argumento de los filósofos contra la pena de muerte esla posibilidad de reparar estos errores. Habrá que abstenerse de juzgarantes de tener la evidencia- matemática. Pero el juicio se impone por elpeligro que resultaría de la impunidad del crimen. Si no me equivoco,este juicio se reduce a resolver esta cuestión: la prueba del delito delacusado ¿posee el alto grado de probabilidad requerido para que losciudadanos teman menos los errores de los tribunales, si el inocente escondenado, que sus nuevos atentados y los de los desdichados aquienes. exasperaría el hecho de su impunidad si el culpable fueraabsuelto? La solución de este problema obedece a muchos elementosdifíciles de determinar. Tal el peligro inminente a que estaría expuesta lasociedad si el criminal acusado quedara impune.

A veces este peligro es de tal magnitud que el magistrado se ve en lanecesidad de desistir de las formas prudentemente dispuestas paragarantizar la inocencia. Pero lo que casi siempre dificulta la cuestión esla imposibilidad de establecer con exactitud la probabilidad del delito y dedeterminar la que se requiere para condenar al acusado. A tal efectocada juez debe atenerse a su propia prudencia. Forma su opinión alcomparar los diversos testimonios y las circunstancias que rodean eldelito con los resultados de sus reflexiones y su experiencia; en estesentido, un inveterado hábito de indagar y de juzgar a los acusados esmuy favorable para descubrir la verdad entre indicios frecuentementecontradictorios.

La cuestión que antecede depende también de la importancia de la penaimpuesta al delito, pues para la pena de muerte se exigen, naturalmente,pruebas muy superiores a las que se requieren para aplicar unadetención de algunos meses. Éste es un fundamento para adecuar lapena al delito, pues una pena grave para un delito leve debe,

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necesariamente hacer absolver a muchos culpables. Una ley que permitaa los jueces aminorar la pena en los casos de circunstancias atenuantes,conviene simultáneamente a los principios de humanidad hacia elculpable y al interés social. Si la probabilidad del delito da por sugravedad la pauta del peligro a que estaría expuesta la sociedad por laabsolución del acusado, cabe pensar que la pena debe subordinarse aesta probabilidad. Esto se hace indirectamente en los tribunales quedemoran por cierto tiempo al acusado contra el cual se reúnen pruebasmuy grandes, pero que no bastan para condenarlo; a la espera depruebas más convincentes es que no se lo deja de inmediato entre susconciudadanos quienes no lo verían sin inquietarse. Los países en losque más valor se da a la libertad individual han rechazado esta medidapor su arbitrariedad y por el uso excesivo que se puede hacer de ella.

Cabe preguntar cuál es la probabilidad de que el fallo de un tribunal, quesólo puede condenar en mayoría, sea justo, es decir, adecuado a laauténtica solución de la cuestión antes propuesta. Este importanteproblema, perfectamente resuelto, proporcionará el medio de compararlos distintos tribunales. La mayoría por un solo voto en el caso detribunales muy numerosos, indica que se trata de un asunto muy dudoso,la condena del acusado no se ajustaría a los principios humanitarios enpro de la inocencia. El voto de los jueces dado por unanimidad,proporcionaría una gran probabilidad de decisión justa, peroconformándose a ella serían absueltos muchos culpables.

Habría, pues, que limitar el número de jueces para que sean unánimes obien, aumentar la mayoría requerida para condenar, cuando el tribunal esmás numeroso. Procuraré aplicar aquí también el cálculo, convencido deque es siempre el mejor camino cuando nos apoyamos en los datos quenos proporciona el sentido común.

La probabilidad de que la opinión de cada juez sea justa es fundamentalen este cálculo. Es evidente que esta probabilidad corresponde a cadaasunto. Si en un tribunal constituido por mil y un jueces, quinientos unotienen una opinión, y quinientos la opinión opuesta, evidentemente laprobabilidad de la opinión de cada juez apenas supera 1/2, pues si se lasupusiera notablemente mayor, un solo voto de diferencia sería un hechoinverosímil. Pero si hay unanimidad en los jueces ello significa que laspruebas son convincentes, y en ese caso la probabilidad de la opinión decada juez está muy próxima a la unidad o la certeza siempre quepasiones o prejuicios vulgares no perturben simultáneamente a todos losjueces. Exceptuando estos casos, sólo mediante la relación de los votosa favor o en contra del acusado se determina esta probabilidad. Pienso

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que puede oscilar entre la unidad y 1/2, pero no ser inferior a 1/2. De noser así, la decisión del tribunal será ínfima como la suerte; tiene validezmientras la opinión del juez se incline más a la verdad que al error.Luego establezco la probabilidad de esta opinión por la cantidad de votosfavorables y contrarios al acusado.

Bastan estos datos para llegar a la expresión general de la probabilidadde que el fallo de un tribunal que delibera con una mayoría conocida, esjusto. En los tribunales en los que sobre ocho jueces se necesitaroncinco votos para condenar un acusado la probabilidad del error que sepodría temer sobre la exactitud de la decisión sería superior a 1/4. Si eltribunal se redujera a seis miembros que no podrían condenar sino concuatro votos, la probabilidad del error que se podría temer sería menorque 1/4, de manera que esta reducción del tribunal favorecería alacusado. En ambos cas,os, la mayoría es la misma, o sea, igual a dos.Al .ser constante esta mayoría aumenta con el número de jueces, laprobabilidad de error, lo que es general, cualquiera sea la mayoríarequerida, con tal que no se altere. Si se considera la razón aritméticacomo regla, el acusado se halla en una situación cada vez menosfavorable cuanto más aumenta el número del tribunal. Podría suponerseque en un tribunal donde es necesaria una mayoría de doce votos,independientemente del número de jueces, como los votos de la minoríaequivaldría a igual número de votos de la mayoría, los doce restantesdarían la unanimidad a un jurado de doce miembros indispensable enInglaterra para condenar a un acusado. Lo que sería un error. El sentidocomún nos señala la diferencia entre la decisión de un jurado dedoscientos doce jueces, de los cuales ciento doce condenan al acusado ycien lo absuelven, y la de un tribunal de doce jueces que lo condenan porunanimidad.

En el primer caso, los cien votos favorables permiten pensar que laspruebas carecen de fuerza de convicción; en el segundo, la unanimidadde los jueces hace pensar que la han alcanzado. Pero el buen sentidosolo no basta para valorar la gran diferencia que existe en la probabilidaddel error en ambos casos. Mediante el cálculo tenemos casi 1/5 para laprobabilidad del error en el primer caso y solamente 1/8192 para lamisma probabilidad en el segundo caso y que no alcanza ni a unmilésimo: de la primera, con lo que se confirma el principio de que larazón aritmética no conviene al acusado cuando aumenta el número dejueces. Tomando en cambio como regla la razón geométrica, disminuyela probabilidad de error en la decisión cuando aumenta el número dejueces. Por ejemplo en los tribunales que necesitan la pluralidad de los2/3 de votos para condenar, debe haber una probabilidad de error de casi

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1/4, para seis jueces y es inferior a 1/7 si los jueces alcanzan a doce. Demodo que para que la probabilidad del error no esté nunca por debajo nipor encima de una fracción determinada, no deben regir ni la razónaritmética ni la geométrica.

Pero, ¿cuál es la fracción que debe fijarse? Aquí empieza laarbitrariedad, y los tribunales tienen en esto las mayores variantes. Enlos tribunales especiales donde por cinco votos sobre ocho se puedecondenar al acusado, la probabilidad de error que debe temerse sobre lajusticia del fallo es 65/256 o sea superior a 1/4. La medida de estafracción. es tremenda y lo que a veces intranquiliza un poco es quecuando el juez absuelve al acusado no lo declara inocente, sino tan sólo,que no hubo pruebas suficientes para condenarlo. Nos tranquilizamospor ese sentimiento de compasión que la naturaleza puso en el corazóndel hombre y que raramente lo inclina a considerar culpable al acusado.Este sentimiento, más intenso en los que no están habituados a losjuicios criminales, nos resarce de los inconvenientes propios de lainexperiencia de los jurados.

Si en un jurado de doce miembros la mayoría de votos requerida esocho, la probabilidad del error que debe temerse es de 1093/8192, esdecir, algo más que un octavo y es casi 1/22 si la mayoría necesariaalcanza a nueve votos. Al tratarse de unanimidad, la probabilidad deerror que debe temerse es 1/8192 o sea más de mil veces menor que ennuestros jurados. Esto supone que la unanimidad obedece solamente alas pruebas favorables o adversas al acusado pero entran en ella,frecuentemente, elementos extravíos cuando se impone al jurado comocondición indispensable de juicio.

Ya que las decisiones obedecen al temperamento, al carácter, a loshábitos de los jurados y a las circunstancias que los rodean, resultan aveces opuestas a las determinaciones que habría tomado la mayoría deljurado si solamente se hubiera atenido a las pruebas, lo que me pareceun gran defecto de este modo de juzgar.

En nuestros jurados es muy escasa la probabilidad de las decisiones ycreo que para garantizar suficientemente la inocencia se requiere, por lomenos, la mayoría de nueve votos sobre doce.

De los diversos medios para aproximarse a la certeza

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Los principales medios para alcanzar la verdad son: la inducción, lasemejanza de las hipótesis basadas en los hechos y rectificadasincesantemente por nuevas observaciones, y un seguro tactosuministrado por la naturaleza y enriquecido por las innumerablesconfrontaciones de sus indicaciones con la experiencia.

Pero tales relaciones están rodeadas con frecuencia de tantascircunstancias extrañas, que se necesita gran penetración para aclararlasy encontrar ese principio: ahí se manifiesta el verdadero genio científico.

Los mas importantes descubrimientos del análisis y la filosofía natural sedeben a ese magnifico medio que es la inducción. A el debe Newton unteorema del binomio y el principio de la gravedad universal. No es fácilvalorar la probabilidad de los resultados de la inducción que se apoya enel hecho de que las relaciones más simples son las más comunes; lasfórmulas del análisis lo verifican y lo encontramos también en losfenómenos naturales, en la cristalización y en las combinacionesquímicas. La simplicidad en las relaciones demuestra que todos losfenómenos naturales no son más que resultados matemáticos de unascuantas leyes naturales.

Pero si la inducción alcanza a descubrir los principios generales de lasciencias, no basta para establecerlos rigurosamente. Es necesarioconfirmarlos con demostraciones o experiencias irrefutables, pues lahistoria de las ciencias nos demuestra que la inducción ha llegadomuchas veces a resultados inexactos.

Como ejemplo daré el teorema de Fermat sobre los números primos.Este gran matemático que había meditado largamente su teoría, tratabade hallar una fórmula que al comprender solamente números primos,diera directamente un número primo mayor que cualquier otro númeroindicado. Por inducción llegó a pensar que dos, elevado a una potenciaque a la vez fuera potencia de dos y sumado a la unidad, formaba unnúmero primo. Por ejemplo, dos elevada al cuadrado más uno, forma elnúmero primo cinco; dos, elevado a la segunda potencia de dos, o sea,dieciséis, más uno, ,forma el número primo diecisiete. Comprobó que eracierto aun para las octava y décimosexta potencias de dos más la unidad,y esta inducción, basada en ciertas consideraciones aritméticas, lo llevó ageneralizar su resultado.

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Sin embargo verificó que no lo había comprobado. Euler estableció, enefecto, que eso no ocurría con la trigésimo segunda potencia de dosque, más uno, da 4294967297, divisible por 641.

Por inducción consideramos que si hechos diferentes, por ejemplomovimientos, aparecen continuamente y desde tiempo, vinculados poruna relación simple, seguirán sin cesar regidos por ella, y llegamos a laconclusión, por la teoría de las probabilidades, que esa relación noobedece al azar, sino a una causa regular.

Por ejemplo, la regularidad de los movimientos de rotación y revoluciónde la Luna, la de los movimientos de los nodos de la órbita y del ecuadorlunares y la coincidencia de esos nodos, la extraordinaria relación de losmovimientos de los tres primeros satélites de Júpiter, o sea que, lalongitud media del primer satélite, menos tres veces la del segundo, másdos veces la del tercero, equivale a dos ángulos rectos; la constanciadel intervalo de las marcas con el de los pasos de la Luna por elmeridiano, la coincidencia de las más altas mareas con las sicigias y delas más bajas con las cuadraturas, son fenómenos que se producendesde que se los observa, acusan, por lo tanto, con extremadaverosimilitud, la existencia de las causas constantes que losmatemáticos han vinculado felizmente a la ley de la gravitación universaly cuyo conocimiento indica la perpetuidad de tales relaciones.

El canciller Bacon, tan brillante creador del verdadero método filosófico,abusó extrañamente de la inducción para probar la inmovilidad de latierra.

Veamos cómo argumenta en su más hermosa obra, el Novum Organum:El movimiento de los astros, de oriente a occidente, se acelera tanto máscuanto más lejos están de la Tierra. Ese movimiento se acentúa en lasestrellas; se aminora tanto en Saturno, y así sucesivamente en la Lunalos cometas menos alejados. Se percibe también en la atmósfera,especialmente sobre los trópicos, por las grandes circunferencias que allírecorren las moléculas del aire; es casi imperceptible en el océano y nuloen la Tierra.

Pero con esta inducción, prueba solamente que Saturno y los astrosinferiores a él tienen movimientos propios opuestos al movimiento real oaparente que agita toda la esfera celeste de oriente a occidente, y queesos movimientos parecen más lentos en los astros más distantes, lo quese conforma a las leyes de óptica.

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Bacon se habría maravillado de la incalculable velocidad que serianecesario atribuir a los astros para que cumpliesen su revolución diurna sila tierra permaneciera inmóvil, y de la asombrosa simplicidad con que surotación explica cómo cuerpos tan alejados unos de otros como lasestrellas, los planetas, el Sol y la Luna, revelan estar sujetos también adicha revolución.

Al tratarse del océano y la atmósfera, no debía vincular sus movimientosa los de los astros alejados de la Tierra, ya que el aire y el mar formanparte del globo terrestre y participan, por lo tanto, de su movimiento o suquietud. Es raro que a Bacon, llevado por su genio a las grandesconcepciones, no lo haya seducido la extraordinaria concepción deCopérnico, aunque podía haber encontrado en favor de ese sistema, grananalogía con los descubrimientos de Galileo, que le eran conocidos. Diola idea para la investigación de la verdad, pero no el ejemplo. Insistióelocuentemente, con todo el poder de su razón, en la necesidad dealejarse de las pequeñas sutilezas de la Escuela, entregarse a laobservación y la experiencia y señalar así el método seguro paraalcanzar las causas generales de los fenómenos.

Con esto contribuyó el gran filósofo al inmenso progreso realizado por elespíritu humano durante él brillante siglo en que terminó su carrera.

La analogía se basa en la probabilidad de que hechos semejantestienen causas semejantes y producen los mismos efectos. Cuanto mayores la similitud, mayor es la probabilidad. Así pensamos, sin lugar a duda,que seres provistos de los mismo?, órganos realizan las mismas cosas,experimentan las mismas sensaciones y son impulsados por los mismosdeseos.

La probabilidad de que los animales que tienen órganos semejantes alos nuestros experimentan sensaciones parecidas, aunque con menosintensidad que las de los individuos de nuestra especie, es aún muygrande y se ha necesitado todo el peso de los prejuicios religiosos paraque ciertos filósofos concibieran a los animales como puros autómatas.

La probabilidad de la existencia de sentimiento disminuye a medida quese aleja la semejanza de sus órganos con los nuestros; pero de todosmodos es muy grande, aun con respecto a los insectos. Cuando vemos aseres de una misma especie realizar actos muy complicadosexactamente del mismo modo, de generación en generación y sinaprendizaje alguno, debemos creer que obran por una especie deafinidad semejante a la que acerca las moléculas de los cristales, pero

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que, al combinarse con el sentimiento inherente a toda organizaciónanimal, produce, con la exactitud de las combinaciones químicas,consecuencias muy particulares: tal vez podría llamarse afinidad animal aesa síntesis de afinidades efectivas y sentimiento.

Aunque hay mucha semejanza entre la organización de las plantas y delos animales, no basta sin embargo, para atribuir a los vegetales lafacultad de sentir; pero no hay nada en contra para negársela. Como porla acción benéfica de la luz y del calor del sol se desarrollan los animalesy las plantas que pueblan la tierra, juzgamos que por analogía producesemejantes efectos sobre los otros planetas; no es lógico pensar que lamateria que, como vemos, desarrolla su actividad de tantas maneras,pueda ser estéril en un planeta tan inmenso como Júpiter, el cual, asemejanza del nuestro, tiene sus días, sus coches y sus años y, según seobserva, tiene cambios que presuponen fuerzas muy activas.

Pero sería ampliar demasiado la analogía, deducir de ella unasemejanza entre los habitantes de la Tierra y los de los demás planetas.El hombre, conformado para la temperatura en que vive y para laatmósfera que respira, no podría aparentemente, vivir en los demásplanetas. Pero, ¿no existirán infinitas organizaciones hechas a lasdistintas conformaciones de los globos del universo? Si la simplediferencia de ambientes y climas origina tanta diversidad en lasproducciones terrestres, cuánto mayores deben ser entre las de losdistintos planetas y sus satélites. La más fértil imaginación no puedeconcebirla, pero es muy verosímil que exista.

Una notable analogía nos inclina a considerar a las estrellas como otrostantos soles que, al igual que el nuestro, tienen un poder de atraccióndirectamente proporcional a su masa e inversamente al cuadrado de ladistancia. Efectivamente, como está demostrada la existencia de esepoder en todos los cuerpos del sistema solar y en las más pequeñasmoléculas, cabe pensar que debiera existir en toda la materia. Parecenindicarlo los movimientos de las pequeñas estrellas llamadas dobles, acausa de su proximidad; con un siglo o más de observaciones exactas,verificados los movimientos de revolución de unas alrededor de las otras,quedará fuera de duda la reciprocidad de sus atracciones.

La analogía, que nos hace concebir cada estrella como el centro de unsistema planetario, es mucho menos visible que la anterior, aunqueverosímil de acuerdo con la hipótesis que hemos formulado sobre laformación de las estrellas y el Sol. Como, según esta hipótesis, el Sol ylas estrellas han estado originariamente envueltos por una vasta

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atmósfera, podemos atribuir a esta atmósfera los mismos efectos de lasolar y suponer que su condensación ha originado los planetas y lossatélites.

La analogía es la fuente de muchos descubrimientos científicos. Entrelos más notables citaré el de la electricidad atmosférica al que se hallegado por la analogía de los fenómenos eléctricos con los efectos delrayo. El método más directo en la búsqueda de la verdad consiste enpasar por inducción, de los fenómenos a las leyes y de las leyes a lascausas. Las leyes son las relaciones que ligan los fenómenosparticulares; cuando se conoce el principio general de las fuerzas del cualprovienen, se lo verifica, si es posible, mediante experiencias directas oinvestigando si corresponde a los fenómenos conocidos; si mediante unanálisis minucioso se prueba que todos proceden de ese principio hastaen sus menores detalles, si además son muy variados y numerosos, laciencia ha logrado su máxima certeza y perfección. Es lo que ha ocurridoen la astronomía después del descubrimiento de la gravitación universal.

La historia de las ciencias indica que este lento y arduo camino de lainducción ha sido siempre el de los investigadores. La imaginación en suafán por encontrar las causas, se complace en crear hipótesis yfrecuentemente desvirtúa los hechos para someterlos a su labor; en esoscasos, las hipótesis son peligrosas. Pero cuando no son más que mediospara relacionar los hechos y descubrir sus leyes, cuando, al no atribuirlesrealidad, se las enmienda constantemente con nuevas observaciones,pueden conducirnos a las causas verdaderas o al menos permitirnosinferir de los fenómenos conocidos los que los pudieron originar encircunstancias determinadas.

Si se probaran todas las hipótesis que se pueden expresar sobre lacausa de los fenómenos, se llegaría a la verdadera, por eliminación. Estemedio ha sido utilizado con éxito, llegándose a formular, a veces, variashipótesis que explicaban perfectamente bien y por igual, todos los hechosconocidos y entre ellas se pronunciaban los sabios, hasta que los hechosdecisivos indicaran la verdadera.

Por eso interesa a la historia del espíritu humano revisar esas hipótesis,observar cómo podían explicar gran número de hechos e investigar lasmodificaciones que debieron experimentar para participar de lanaturaleza.

Así, el sistema de Ptolomeo, que es la realización de las aparienciascelestes, se transforma en la hipótesis del movimiento de los planetas

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alrededor del Sol, concibiendo iguales y paralelas a la órbita solar lascircunferencias y los epicielos que Ptolomeo les hace recorreranualmente y cuya magnitud no estableció. Finalmente, al transferir a laTierra, en sentido contrario el movimiento aparente del Sol, se transformaesta hipótesis en el verdadero sistema del universo.

Resulta frecuentemente imposible, someter al cálculo los resultadosalcanzados por estos distintos medios, como sucede también con loshechos históricos. Pero el conjunto de los fenómenos explicados o de lostestimonios se ofrece a veces en tal forma, que aun sin poder abarcar suprobabilidad, no cabe ninguna duda a su respecto. En los otros casosconviene no admitirlos sino con mucha cautela.