ENO 2 Matemática Clase 5

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ESPECIALIZACIN EN ENSEANZA DE LA MATEMTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA

Enseanza del Nmero y las Operaciones 2do. Ciclo

Clase 5: Las fracciones en el segundo ciclo:

introduccin a su estudio, comparaciones y

representaciones

Introduccin

Hola. Cmo estn? Dispuestos a seguir? Ya falta poco para terminar Hasta aqu hemos intentado discutir sobre las temticas ms importantes del segundo ciclo en relacin con las operaciones con nmeros naturales, pero como ven, tanto en esta clase como en la prxima, nos ocuparemos de las fracciones. Se trata de uno de los temas ms apasionantes de la matemtica del segundo ciclo, cuya comprensin generalmente es esquiva a los alumnos y con frecuencia a algunos colegas tambin.

En este tema, los mtodos y las reglas son numerosos. Hay una regla para sumar fracciones con igual denominador, otra para sumar fracciones con distinto denominador, una para comparar fracciones, etc. Tambin se ensea un mtodo para representar grficamente a las fracciones y otro para representarlas en la recta. Y el producto que refleja la realidad de los aprendizajes escolares es fcilmente detectable: los profesores de la escuela media acumulan quejas hacia la

escuela primaria porque no pueden aceptar que sus alumnos no sepan operar con las fracciones, tema que les resulta indispensable para gran nmero de contenidos relacionados con las mismas.

Por otro lado, es posible constatar que los alumnos poseen conocimientos producto de su vida social en relacin con las fracciones, pero pareciera que la escuela an no ha encontrado el lugar adecuado para estos conocimientos en sus propuestas de

aprendizaje.

Los numerosos resultados de las investigaciones en didctica de la matemtica nos permiten afirmar que con el correr del tiempo las reglas y mtodos aprendidos sin mayor comprensin pierden la posibilidad de aplicarse a problemas especficos y son olvidados. Adems, si los aprendizajes estn vinculados nicamente a tcnicas memorsticas, la enseanza estara ocultando una parte fundamental del conocimiento que tiene que ver con la construccin del sentido del mismo.

Hemos afirmado, a lo largo de estas clases, que la enseanza de un contenido matemtico exige considerar, por un lado, sus distintos significados, sus posibles representaciones, cul es el campo de utilizacin de ese conocimiento y tambin cules son los lmites de ese campo. Implica adems identificar las situaciones que

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pueden plantearse en la escuela para su apropiacin y evolucin, los distintos procedimientos que los alumnos pueden elaborar en la resolucin de las situaciones que les plantean y las dificultades matemticas a las que se enfrentarn.

El tema de las fracciones es, sin duda, uno de los ms problemticos de la escuela primaria. Los alumnos tienen que aprender en contra de los hasta ahora conocidos nmeros naturales. Deben aprender que estos nuevos nmeros y sus operaciones funcionan de manera diferente en muchos aspectos y que vienen a resolver problemas hasta ahora no resueltos por los nmeros ya conocidos. Y para que esto sea posible es fundamental tener en cuenta, en la organizacin de la enseanza, que los conocimientos son construidos por los alumnos a partir de su propia actividad, y que el aprendizaje ser significativo en la medida en que el alumno perciba un problema a resolver, es decir, cuando reconozca el nuevo conocimiento como medio para responder a una situacin planteada. Los problemas son, desde este punto de vista, los que permiten atribuirle sentido a los conocimientos.

Desde la perspectiva de este mdulo y de esta clase en particular, resulta primordial analizar los obstculos y limitaciones que algunas propuestas de enseanza desencadenan y, al mismo tiempo, pensar en propuestas a la luz de los resultados de las investigaciones que acercan ideas a ejecutar en las aulas.

Acceder al concepto de nmero racional requiere conocer los significados, los contextos de uso asociados a las distintas representaciones y los procedimientos de comparacin y clculo propios de cada tipo de representacin, avanzando en la articulacin de estos componentes. Extrado de: Equipo reas curriculares del Ministerio de Educacin. Chemelo, G., Agrasar, M., Chara, S. y Crippa, A. Plan Matemtica para Todos. Ciclo de Formacin de Acompaantes Didcticos. Mdulo 2 Los desafos de la enseanza de los nmeros racionales, clase 5 Transformaciones de las prcticas de enseanza: el caso de las expresiones decimales y las fracciones.

Abordaremos algunas de estas cuestiones a partir del anlisis de ciertas actividades habituales en la enseanza en relacin con la introduccin a este tema y de propuestas sugeridas en materiales de desarrollo curricular vinculadas a la comparacin de fracciones y a las representaciones grficas.

Sobre la introduccin de las fracciones en las propuestas de enseanza

Cmo introducir las fracciones en la escuela? Empezar presentando la definicin y los nombres de sus elementos: numerador y denominador, junto con una representacin grfica o un ejemplo? O empezar el trabajo con fracciones a

travs de un problema?

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Este conjunto de preguntas remite a distintas ideas de cmo introducir las fracciones, ideas que seguramente circulan en las aulas donde ustedes trabajan, en la bibliografa que comparten y en los intercambios entre colegas

La definicin matemtica de nmero racional dice: Llamaremos nmero racional a todo nmero real expresable en la forma de fraccin n/m donde m y n son enteros y m 0 (m no puede ser cero) (Gentile, 1976: 197). Habitualmente, tomando como referencia esta definicin matemtica y considerando que el estudio de un tema debe iniciarse por comunicar a los alumnos la definicin perspectiva que no compartimos, algunas propuestas para introducir las fracciones plantean una versin remixada de esta definicin, bajo el supuesto de adaptacin a los requerimientos de la escuela primaria, con el objetivo de hacer accesible su comprensin a los alumnos. Algunas propuestas que se orientan en este sentido son:

En esta presentacin de las fracciones se incluye una representacin grfica a partir de considerarlas como ciertas partes de enteros dividido/s en partes iguales, si bien no siempre se aclara que las partes deben ser iguales y qu significa que sean iguales, como en los ejemplos incluidos anteriormente.

Se destaca el nfasis puesto en el rectngulo o crculo como figuras modelos para la representacin. En particular, un rectngulo dividido en partes congruentes, en el que se puede saber a qu fraccin corresponde mirando y contando la cantidad de partes pintadas y la cantidad de partes en las que se encuentra efectivamente dividido el entero. De manera similar se utilizan los crculos, que son asociados, frecuentemente, con una pizza partida en porciones tambin congruentes, es decir que coinciden al superponerlas.

Advertidos sobre la necesidad de que los alumnos se enfrenten a situaciones con fracciones que representen verdaderos problemas, y dada la proximidad de las computadoras a la vida de los nios de hoy, quizs muchos colegas consideren conveniente utilizar los recursos e ideas que se ofrecen en la web. Al respecto sealamos la importancia de analizar las propuestas que all se presentan antes de

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tomar la decisin de incluirlas, para que efectivamente colaboren en el sentido de comprensin de los conceptos.

Veamos y analicemos algunas de ellas:

En qu se apoyan para presentar las fracciones estas propuestas? Por qu

usan contextos reales? Para las acciones que describen son necesarias las fracciones?

Los invitamos a visualizar el siguiente video (recomendamos verlo hasta el minuto 3:54)

Direccin web del video: https://youtu.be/10FQN14MpQY

En este video se puede observar que no hay un problema a resolver. Las pizzas pueden ser un buen contexto para plantear problemas que le den sentido a las

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fracciones, pero las situaciones que se diseen tienen que ser verosmiles y plantear desafos, anticipaciones y bsquedas por parte de los alumnos. En esta presentacin no se atiende a ninguna de estas cuestiones y de este modo no colabora con la comprensin de conocimientos relacionados con las fracciones.

En el video podemos observar que se representa una pizza en un material que permite lograr un parecido bastante ajustado a una pizza real y muestra fcilmente las subdivisiones realizadas. En este caso la pizza est dividida en 4 partes de igual forma y tamao. Para comunicar lo que son las fracciones va subdividiendo el material y mostrando la fraccin correspondiente.

Se apela aqu a elementos de la vida real, seguramente bajo el supuesto de que un acercamiento a un contexto de estas caractersticas puede aportar a la comprensin del objeto matemtico con el que se est tratando. Investigaciones en el rea de la didctica de la matemtica han demostrado que el solo hecho de valerse de un

contexto real no es garanta de comprensin. En estos dos ejemplos se est presentando la fraccin homologndola a un contexto extra matemtico y esto constituye un riesgo didctico, es necesario que el docente tenga cierto control didctico de las referencias que propone" (Sadovsky: 2005). Podemos preguntarnos, por ejemplo:

Qu pueden comprender/aprender los alumnos sobre las diferencias entre las fracciones y los nmeros naturales a partir de estas propuestas?

Para cortar una pizza o una tarta en 4 partes iguales no hace falta saber fracciones y tampoco es una situacin (la de partir estos comestibles) que requiera el uso de una representacin fraccionaria. Para quin ya ha comprendido las fracciones, las porciones claramente pueden resultar una representacin de las fracciones. Sin embargo advertimos siguiendo a la investigadora mencionada ms arriba que este uso ingenuo de un contexto extra matemtico, an con la intencin de colaborar con el alumno, lo aleja de las relaciones que debe elaborar necesariamente para acceder al conocimiento. En estas propuestas, quien aprende el alumno es un espectador que mira un espectculo (una exhibicin?) en el cual no es necesario comprometerse intelectualmente en lo que se refiere a las fracciones.

Otros ejemplos de propuestas que encontramos en la web, que persiguen seguramente aportar claridad y comprensin, trivializan an ms estos conocimientos:

Qu contextos se utilizan? Son pertinentes? Cul es el sentido de las fracciones que vehiculizan estas propuestas? Qu podran aprender los alumnos a

partir de estas propuestas?

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Los invitamos a observar los siguientes videos:

Direccin web del video: https://youtu.be/vK_XZnx_zOY

Direcin web del video: https://youtu.be/XJhaOwAth1M

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Decimos una vez ms que las fracciones son un conocimiento que permite resolver

ciertos problemas y que los alumnos tienen el derecho de aprenderlas con sentido.

Las propuestas que se difunden en los videos sugeridos distan enormemente de estas ideas fundamentales para aprender matemtica. Comunican que para conceptualizar las fracciones es pertinente subdividir distintos objetos y animales y atribuirles una fraccin para representar estas subdivisiones. No se tiene en cuenta en esta perspectiva que para aprender matemtica es necesario involucrar a los alumnos en la resolucin de verdaderos problemas matemticos: cada actividad constituye un problema matemtico para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafo a sus conocimientos matemticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolucin del problema y, para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificndolas y estableciendo nuevas relaciones (Matemtica 5, 2006: 17).

Advertimos la gravedad de lo que se comunica en estas propuestas porque implican una retrotraccin de las posibilidades de comprensin de los conceptos y proponen una visin trivializada de las fracciones. Adems, desde el punto de vista de la formacin de la persona no se tiene en cuenta que entre las subdivisiones que se realizan en cmara se encuentran animales u objetos que difcilmente se practicaran en la vida real.

Qu alternativas? Qu discusiones en torno a este tema son necesarias programar/proyectar con alumnos de primaria? Qu actividades podran ser

pertinentes para aportar progresivamente en comprensin?

Veamos y analicemos una propuesta de un libro para alumnos de primaria (Extrado de: Saiz y Parra, C. (2013). Hacer Matemtica 3. Buenos Aires: Estrada):

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En esta propuesta de introduccin de las fracciones al igual que las pizzas y tartas de los videos tambin se apela a un contexto extra matemtico conocido por los alumnos, pero una diferencia importante aqu es la pertinencia de los problemas que se plantean al usar los nmeros.

En los videos usan el contexto para explicar el tema, para exponer el concepto a ensear. Sin embargo, en el libro se usa el contexto para plantear una situacin problemtica que resulte un desafo para los alumnos pero a su vez se considera

que estn en condiciones de hacerse cargo con los recursos que disponen. Se utiliza la situacin problemtica para movilizar la idea de fraccin que tienen los estudiantes y a partir de esto hacerlos avanzar

En esta propuesta del libro a diferencia de las de los videos se contribuye a una cuestin importante como es el sentido de las fracciones: el para qu se usan las

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fracciones. En este caso, su uso tiene que ver con la representacin de pesos de distintos ingredientes para hacer una chocotorta para festejar los cumpleaos del mes. Tanto el contexto como las fracciones ( y ) y las relaciones entre ellas y con los enteros que se proponen aportan a darle sentido a su uso y comprensin.

Notemos que se parte del uso, sin que medie presentacin formal previa. Por qu tiene sentido o es pertinente una propuesta de estas caractersticas? Desde cierta mirada sobre la enseanza se podra pensar que los chicos no podran abordar una propuesta as, dado que no se les ha enseado previamente las fracciones. Lo que no se tiene en cuenta en esta mirada es que en la vida social de los chicos de la escuela primaria estn presentes las fracciones, por ejemplo para indicar pesos, como es este caso, por lo que desde la enseanza se apela a este conocimiento para hacerlos avanzar en comprensin a partir de interactuar con ciertos problemas como los que ofrece esta propuesta.

Pueden investigar otras propuestas de introduccin a las fracciones en:

Matemtica 3, Cuadernos para el aula: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/3ero_matema.pdf (pp. 126-129).

Matemtica 4, Cuadernos para el aula: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf (pp. 49-64).

Tanto en la propuesta del libro como las que habrn encontrado en los dos ltimos

links, los objetivos de la enseanza apuntan a analizar qu son las fracciones a diferencia esencialmente de los nmeros naturales y, por otro lado, cules son las situaciones que le dan sentido a estos nmeros, nuevos para los alumnos.

Dos grandes tipos de problemas dan sentido a las fracciones. En trminos de Vergnaud hablamos de significados de las fracciones, es decir, grupos de problemas que comparten un mismo significado de ese concepto. As, por ejemplo, las fracciones pueden tener un significado de reparto. Nos referimos a las situaciones de reparto en las que se involucra una divisin. Por ejemplo, la siguiente situacin:

Se quieren repartir 6 alfajores entre 4 nios de tal manera que todos coman lo mismo. Cunto recibir cada uno?

En este caso, como lo que se reparte son alfajores se puede seguir repartiendo y habr distintas maneras de hacerlo. Vemos que los nmeros naturales no son suficientes para responder a la pregunta planteada aqu. Ser necesario apelar a las fracciones para hablar del pedacito que tambin formar parte de lo que le tocar a cada uno. Sin embargo, si lo que se quiere repartir son globos en las mismas

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condiciones que el reparto de alfajores, claramente las fracciones no sern necesarias.

El otro tipo de situacin que permite dar sentido a las fracciones son los problemas de medicin en los que se involucra una medicin por ejemplo de longitudes, reas, pesos, capacidades y en los que la unidad de medida elegida no puede ser contenida una cantidad entera de veces en la cantidad que se desea medir, como en el siguiente ejemplo (Extrado de: MECyT. Matemtica 5. Serie Cuadernos para el aula. Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/mate5_final.pdf):

Los invitamos a analizar los procedimientos de la pgina 51.

Para profundizar sobre este tema de los significados de las fracciones se

puede consultar el documento (pgina 53 a 63).

Sobre la representacin grfica de fracciones

Uno de los recursos de enseanza que se plantean en la escuela es la representacin grfica de las fracciones. Se suelen utilizar figuras geomtricas como rectngulos, crculos y cuadrados, dndose por sentado que su inclusin facilita el aprendizaje de la definicin, de los nombres, etc.

En algunas propuestas sobre este recurso el docente explica que cada figura es un entero al que hay que dividirlo en partes iguales en una cantidad que est indicada en el denominador de la fraccin y luego hay que colorear las subdivisiones dependiendo de lo que indique el numerador. Algunas de las actividades que se proponen posteriormente tienen que ver con esta representacin grfica y, en general, son del siguiente tipo:

1) Representar grficamente 2/3; y 4/5

2) Qu fraccin est representada?

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Para qu hacer esta representacin? Al servicio de qu aprendizaje? Haciendo esta representacin qu estaran aprendiendo de las fracciones?

Para resolver estos ejercicios hay que saber leer nmeros (los del numerador y denominador) y contar (los cuadraditos sin pintar y los pintados), conocimientos que claramente no guardan relacin con lo conceptual de las fracciones. Se trata de

un recurso devenido en contenido de enseanza donde las fracciones vendran a ser dos nmeros naturales y no un nico nmero. Si pensamos por ejemplo al nmero como una fraccin formada por dos nmeros naturales: 3 y 4, perdemos de vista que se trata de un nmero que es menor que un entero, que le falta para ser un entero, que es ms grande que , que si se duplica corresponder al nmero 1 o 3/2, etc., conocimientos claramente diferentes a los que se vehiculiza con las propuestas de actividades citadas ms arriba y que apuntan a comprender de qu

nmero se trata, sus diferencias y relaciones con los nmeros naturales ya conocidos por los alumnos.

Pueden servir las representaciones grficas de las fracciones para aprender sobre las fracciones?

Veamos algunos ejemplos:

3) Marquen con una cruz aquellas figuras que tengan pintado 1/4 del entero:

4) Es verdad que el rectngulo y el tringulo pintados representan ambos 1/4 del entero? Cmo podras hacer para estar seguro de tu respuesta?

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5) Sin que hagas ms divisiones, pint, si es posible, 5/8 del rectngulo:

6) Este cuadrado Es 1/4 de un entero. Dibujen el entero. Todos lo hicieron igual?

Se trata de verdaderos problemas que ponen a jugar el significado de las fracciones como partes de un entero. Para poder responder las preguntas tienen que poner en

juego relaciones entre las fracciones y el entero o las fracciones entre s. No se trata, en ninguno de los casos, de contar las partes en la que est dividido cada entero y luego contar las pintadas sino de usar conocimientos sobre las fracciones.

Los invitamos a visitar el siguiente material:

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Direccin web de la presentacin: http://prezi.com/dvfvxnmgylga

En este caso, entonces, se podran dibujar distintos enteros, como por ejemplo:

O se podra dibujar el entero de este modo:

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O tambin:

En estos links pueden encontrar ms actividades sobre estos temas:

1) http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf (pp. 51-64)

2) http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/plan_plurianual_oct07/matematica/m5_docente.pdf (pp. 23-26)

Sobre la comparacin de fracciones

Decamos en la introduccin que los alumnos tienen que aprender en contra de los hasta ahora conocidos nmeros naturales. Deben aprender que estos nuevos nmeros y sus operaciones funcionan de manera diferente en muchos aspectos y que vienen a resolver problemas hasta ahora no resueltos por los nmeros naturales. Hablamos tambin de que muchas veces, como consecuencia de nuestras

experiencias como estudiantes de primaria, secundaria y a veces hasta del profesorado, no hemos tenido la oportunidad de enfrentarnos a situaciones que nos permitieran abordar estas cuestiones.

Son conocidos los errores que los alumnos cometen al comparar fracciones, precisamente porque sus conocimientos de los nmeros naturales constituyen un obstculo epistemolgico para enfrentarse a este nuevo conocimiento. Otras veces

este obstculo inevitable se ve reforzado por propuestas de aprendizaje que no permiten confrontar el funcionamiento de los nmeros naturales con el de las fracciones.

Por ejemplo, muchas veces se menciona que las fracciones son dos nmeros separados por una raya que indica una divisin, tal como vimos en el primer apartado sobre introduccin de las fracciones en la escuela primaria. Esto constituye un riesgo didctico dado que es posible que para los alumnos una presentacin de

este modo les haga concluir que efectivamente son dos nmeros naturales y no un nico nmero.

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De la experiencia con nmeros naturales los alumnos saben que, por ejemplo, 3 es mayor que 2 y frente al pedido de comparacin de fracciones como 1/3 y frecuentemente cometen el error de considerar que 1/3 es mayor que .

Ante el pedido de justificacin de esta afirmacin los alumnos argumentan que ambas tienen el mismo nmero arriba (numerador) y que entonces es ms grande la fraccin que tiene el nmero mayor.

Veamos qu sucede con docentes cuya nica experiencia ha sido comparar fracciones ya sea apelando a realizar la divisin entre numerador y denominador y luego comparar las expresiones decimales resultantes de ambos nmeros o, en otros casos, cuya experiencia ha sido utilizar la regla del producto cruzado.

Los invitamos a visionar el siguiente video

https://drive.google.com/file/d/0B4q1CtmT2LXfUWRnWE5xSnppYlE/view?usp=sharing

En este video se puede observar a docentes dudando sobre la desigualdad entre las fracciones 5/6 y 7/8. Algunos plantean que 5/6 es mayor, otros que son iguales y otros que 7/8 es mayor que 5/6, pero tal como les plantea la capacitadora las tres posibilidades no pueden ser correctas a la vez. En este caso, 7/8 es mayor que 5/6 y se puede argumentar que ambas son menores que un entero pero como a 7/8 le falta 1/8 para completar un entero y a 5/6 le falta 1/6, el nmero 7/8 es mayor

porque est ms cerca del entero que 5/6. Pero

Por qu dudarn tanto estos docentes? Qu tipo de prcticas de enseanza han dado lugar a estos resultados de aprendizaje?

El intercambio que se suscita en esta capacitacin con docentes a raz de las respuestas diferentes en la comparacin entre estas fracciones pone al descubierto, por un lado, la complejidad del conocimiento con el que estamos tratando y, por otro lado, el problema de formacin al que hacamos referencia. Este problema seguramente tiene su raz en las propuestas de aprendizaje que estos docentes no han tenido la oportunidad de participar.

El conocimiento de los nmeros racionales requiere de un proceso largo, que trasciende la escuela primaria, y que muchos adultos, incluidos los maestros, no han tenido la oportunidad de profundizar durante sus estudios. Este conocimiento muchas veces se limita a los procedimientos de clculo con representaciones fraccionarias y decimales, sin advertir la complejidad de relaciones que es necesario articular para comprender la verdadera naturaleza de estos nmeros. (extrado de:

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Equipo reas curriculares del Ministerio de Educacin. Chemelo, G., Agrasar, M., Chara, S. y Crippa, A. Plan Matemtica para Todos. Ciclo de Formacin de Acompaantes Didcticos. Mdulo 2 Los desafos de la enseanza de los nmeros racionales, clase 5 Transformaciones de las prcticas de enseanza: el caso de las expresiones decimales y las fracciones)

Se ve claramente la necesidad de dar cabida a otras propuestas que garanticen espacios de discusin e intercambios que problematicen las referencias previas sobre los naturales, que las pongan a prueba para obtener conclusiones, en definitiva, para que dispongan de nuevos conocimientos.

Los errores tanto de los alumnos como de los docentes de esta capacitacin se relacionan con una falta de comprensin sobre qu representa cada fraccin, tal como lo plantea esta reconocida autora (Irma Saiz) en el siguiente video:

Los invitamos a visionar el siguiente video:

Direccin web del video: https://youtu.be/7egz6u1HVG0

Sobre las propuestas de enseanza para comparar fracciones

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Una de las propuestas ms populares para comparar fracciones consiste en efectuar la divisin entre numerador y denominador. Por ejemplo, si se quieren comparar las fracciones y 4/5 se divide 3 : 4 = 0,75 y 4 : 5 = 0,8 y luego se comparan las expresiones decimales resultantes. Se evade as a las fracciones y ms all de que las expresiones decimales que pueden ser nmeros decimales o peridicos son otra representacin de las fracciones, con este modo de comparar las fracciones se involucran conocimientos de otra ndole.

Por ejemplo, en esta comparacin de expresiones decimales, muchos alumnos concluyen que 0,75 es mayor que 0,8 porque 75 es mayor que 8. Nuevamente las diferencias entre los decimales y los naturales no estn disponibles para estos alumnos. Es verdad que 75 es mayor que 8 si nos referimos a los nmeros naturales, pero el 8 en el nmero decimal 0,8 representa ocho dcimos y en el 0,75 hay slo 7 dcimos.

A sabiendas de esta dificultad de los alumnos, una idea que suele transmitirse es que para comparar los decimales hay que completar con ceros la parte decimal con el objetivo de que ambos nmeros tengan la misma cantidad de decimales. En este ejemplo, segn esta idea se procedera del siguiente modo: 0,8 = 0,80, y como 80 es mayor que 75, entonces 0,8 es mayor que 0,75. Se ve aqu que la decisin sobre la desigualdad se toma a partir de la comparacin de dos nmeros naturales, esquivndose de este modo la comprensin de estos nuevos nmeros diferentes a

los naturales.

Otra propuesta frecuentemente difundida en la formacin docente es la aplicacin de una regla que consiste en multiplicar cruzado numeradores y denominadores de ambas fracciones. Por ejemplo, si quisiramos comparar 5/12 con 3/4 utilizando la regla tendramos que efectuar los productos cruzados y comparar estos resultados.

5 x 4 ? 12 x 3

20 < 36

Entonces, como 20 es menor que 36, resulta que 5/12 < 3/4

Aqu tambin se decide la desigualdad entre estas dos fracciones a partir de comparar dos nmeros naturales.

Cmo y por qu funciona esta regla? Cmo es que de la comparacin de dos

nmeros naturales extraigo una conclusin sobre la comparacin de fracciones?

La comparacin de los nmeros naturales 20 y 36 permite comparar las fracciones 5/12 y porque esos nmeros corresponden a los numeradores de fracciones equivalentes a ambas fracciones de igual denominador:

5 x 4 = 20 3 x 12 = 36

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12 x 4 = 48 4 x 12 = 48

Es posible comparar estas fracciones sin utilizar esta regla?

La respuesta es s. Es posible compararlas si analizamos lo que representa cada fraccin. Por ejemplo, podemos usar el conocimiento de que 5/12 es una fraccin menor que la mitad (6/12) y que es una fraccin mayor que la mitad. No slo nos evitamos efectuar clculos sino y fundamentalmente estaramos usando conocimientos sobre las fracciones para poder compararlas, conocimientos que si slo se enseara la regla a los alumnos, no hara falta que aprendan nada sobre las fracciones, les bastara lo que saben de la comparacin de nmeros naturales.

Para analizar/para estudiar

Les proponemos que lean y analicen las actividades del apartado Plantear situaciones para comparar cantidades y nmeros de Matemtica 5, serie Cuadernos para el aula, pginas 58 a 67. Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/mate5_final.pdf

Consideraciones finales

Muchas veces se escucha a colegas decir: As es la matemtica, hay que aprenderse las reglas y con eso ya est, ya pods resolver. Son afirmaciones que no tienen fundamento dentro de esta ciencia. Tenemos que decir, por el contrario, que as no es la matemtica. Esta ciencia funciona de un modo diametralmente opuesto a esta postura. Todo lo que existe en la matemtica, todos los conocimientos matemticos son una respuesta que el ser humano ha elaborado para solucionar un problema.

En esta clase hemos tratado de discutir con ustedes que las fracciones son la respuesta a ciertos problemas, pero desde la enseanza no siempre se atiende a esta perspectiva. Las reglas permiten arribar a las repuestas pero no aportan en comprensin. En particular, las reglas que tratamos en esta clase refuerzan conocimientos anteriores de los alumnos los nmeros naturales con los que en realidad debern batallar para aprender nuevos, en este caso las fracciones.

No encontramos en la ltima clase!

BIBLIOGRAFA

Bibliografa obligatoria

Equipo reas curriculares del Ministerio de Educacin. Chemelo, G.,

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Agrasar, M., Chara, S. y Crippa, A. Plan Matemtica para Todos. Ciclo de Formacin de Acompaantes Didcticos. Mdulo 2: Los desafos de la enseanza de los nmeros racionales. Acerca de la enseanza de las fracciones, en: clase 5 Transformaciones de las prcticas de enseanza: el caso de las expresiones decimales y las fracciones (pp. 6-13) y Nmeros racionales, fracciones y decimales, enclase 6 Concepciones sobre los nmeros racionales: sus implicaciones en la enseanza (pp. 8 y ss.). Buenos Aires. Disponible en: http://portales.educacion.gov.ar/dep/plan-matematicas-para-todos/

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educacin. Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula. (2005). Plan Plurianual para el mejoramiento de la enseanza 2004-2007. Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 5 grado. Apuntes para la enseanza.(pp. 23-26).Buenos Aires. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/plan_plurianual_oct07/matematica/m5_docente.pdf

MECyT, Direccin Nacional de Gestin Curricular y Formacin Docente (2006). Plantear situaciones para comparar y medir longitudes, pesos y capacidades. En: Matemtica 3. Serie Cuadernos para el aula. Buenos Aires, pp. 126-129. Disponible en:

http://www.me.gov.ar/curriform/nap/3ero_matema.pdf

MECyT, Direccin Nacional de Gestin Curricular y Formacin Docente (2006).Para leer y escribir fracciones y expresiones decimales Plantear situaciones para medir, repartir o partir usando fracciones. En Matemtica 4. Serie Cuadernos para el aula. Buenos Aires, pp. 49-64. Disponible

en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf

MECyT, Direccin Nacional de Gestin Curricular y Formacin Docente (2006). Elegir los problemas. Plantear situaciones para medir, repartir o partir usando fracciones y/o expresiones decimales. Plantear situaciones para comparar cantidades y nmeros. En: Matemtica 5. Serie Cuadernos para el aula. Buenos Aires, pp. 17; 50-53; 58-67. Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/mate5_final.pdf

Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. Secretara de Educacin. Direccin de Currculum (1997). Actualizacin Curricular. EGB Matemtica. Las fracciones, esos objetos complejos. En: Documento de Trabajo N 4. Buenos Aires, pp. 58-63. Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/doc4.pdf

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ACTIVIDADES OBLIGATORIAS

Hemos publicado las consignas del trabajo final integrador del mdulo. Se las acercamos para que vayan analizndolas.

Cuentan con un foro de consultas para resolver las dudas que se presenten durante su elaboracin.

Como citar este texto:

Instituto Nacional de Formacin Docente (2015). Clase 5: Las fracciones en el

segundo ciclo: introduccin a su estudio, comparaciones y representaciones.

Especializacin Docente de Nivel Superior en Enseanza de la Matemtica en la

Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educacin de la Nacin.

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