Emery Et Al 2004 - Razón de Solubilidad

7/23/2019 Emery Et Al 2004 - Razón de Solubilidad

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MODELAMIENTO GEOESTADÍSTICO DE LA RAZÓN DESOLUBILIDAD EN UN YACIMIENTO DE OXIDADOS DE COBRE

Xavier Emery y Julián OrtizUniversidad de Chile

Av. Tupper 2069. Santiago – [email protected]

Pedro CarrascoCodelco CentralHuérfanos 1270, piso 8. Santiago – [email protected]

ABSTRACT

Solubility, defined as the ratio between soluble and total copper grades, is a relevantparameter for assessing the metal recovery factor and therefore the economic value of themining business. It can be estimated by kriging at any unsampled location in the deposit,but such an approach cannot account for a change of support (estimation of blocks insteadof point-support locations). The reason is that the solubility is not an additive variable: itsvalue over a block is not the average of all the point-support values inside this block.

Another unsatisfactory approach consists in estimating the soluble and total copper blockgrades (by kriging or cokriging) and computing the ratio between both estimates, since the

result may be biased. A troubling situation can even occur when the soluble copper gradehas an estimated value greater than the total copper grade, which gives a solubility greaterthan 1.

This work aims at showing the strength of the conditional simulation concept in orderto model the block-support solubility, through an application to a Chilean copper deposit.Starting from a set of exploration samples from diamond drillholes in which both the totaland soluble copper grades are measured, we build several co-simulations of these gradesand of the solubility ratio. The model is simplified by the fact that the latter is practicallyindependent of the total copper grade. Now, the joint simulations of the grades enable torealize a change of support to a block size of 20m × 20m × 10m, then to deduce thesimulated values of the solubility at the block scale. It is worth noting that, contrarily toestimations, the simulations can be divided without provoking biases because they honorthe spatial variability and properties of the attributes they refer to.

The estimator obtained by averaging all the simulations of the block solubility isfinally compared to the one that consists in dividing the soluble and total copper gradesassessed by block kriging. The latter is more dispersed than the former and has a greaterconditional bias, i.e. given an estimated value of the solubility, the estimation error doesnot have a zero mean, a feature that is likely to occur in other case studies.



INTRODUCCIÓN

En los yacimientos de oxidados de cobre la razón de solubilidad (que se denominarásolubilidad más adelante) influye en la recuperación metalúrgica y por lo tanto en el valoreconómico del proyecto minero. Las pruebas de laboratorio permiten conocer las leyes decobre total y cobre soluble en las muestras recogidas en el yacimiento. A partir de dichainformación, se busca caracterizar la solubilidad a escala de bloques cuyo soporte es másvoluminoso que las muestras originales. Este trabajo propone una metodología para llegara este objetivo, a través de un estudio de caso en un yacimiento chileno. Se dispone deuna base de datos de sondajes de diamantina (DDH) de exploración; cada dato se refierea un compósito de 1.5m de longitud en el cual se ha medido las leyes de cobre total ycobre soluble.

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LOS DATOS

Las muestras disponibles se ubican en una zona de 2 km × 2.5 km × 0.4 km (figura1). El muestreo consta de sondajes verticales con una malla de aproximadamente 100m × 100m, completados por sondajes de relleno en dos zonas de mayores leyes, así comosondajes oblicuos en la dirección este-oeste en diversas partes del área.

Figura 1. Mapa de ubicación de las muestras de cobre total(la ley está codificada según la escala de grises)

Para evitar distorsiones en la representación de los histogramas de leyes, se asignaa cada muestra un peso estadístico, de tal modo de “corregir” los efectos que puedantener las irregularidades del muestreo. O sea, se atribuye a una muestra aislada un pesomayor que a una muestra agrupada con otras (desagrupamiento). El método usado es elmétodo de las celdas: se divide la zona muestreada en celdas de igual tamaño; cadacelda recibe el mismo peso, el cual se reparte en forma equitativa entre las muestraspertenecientes a dicha celda [2, 6]. En este caso, se decide tomar una celda de tamaño50m × 100m × 5m (la diferencia de tamaño entre los lados de la celda está sugerida por elmismo muestreo, más denso en la dirección este y mucho más en la vertical).



Los datos corresponden prácticamente en su totalidad a compósitos de longitud1.5m, por lo cual no es preciso regularizarlos a una longitud mayor. La distribución deleyes de cobre total y cobre soluble están visualizadas en la figura 2; ambos histogramas

toman en cuenta la ponderación obtenida en la fase de desagrupamiento. Poseen unaforma que se aparta levemente de una distribución lognormal.

Figura 2. Histogramas desagrupados de leyes de cobre total y cobre soluble

El cobre total cuenta 15 622 mediciones, con una ley promedio de 0.29%, valoresextremos de 0.01% y 2.74% y una baja dispersión (coeficiente de variación menor que 1).En tanto, se tiene 15 431 mediciones de cobre soluble, con una ley promedio de 0.18%,extremos de 0.00% y 2.72% y también una dispersión baja. Cabe señalar que el disponerde menos mediciones de cobre soluble que de cobre total no perjudica la metodología

propuesta en este trabajo: los conceptos en los cuales ésta se basa (kriging y simulacióncondicional) pueden utilizarse en caso de heterotopía, es decir, cuando las distintasvariables no están medidas en los mismos sitios del espacio [3]. El único requerimiento estener un número suficiente de muestras con ambas leyes (cobre total y cobre soluble), demodo de poder realizar el análisis variográfico conjunto de ellas.

Figura 3. Nube de correlación entre leyes de cobre total y soluble



Existe una dependencia entre las leyes de cobre total y soluble, la cual se apreciaen la nube de valores entre ambas leyes (figura 3). El coeficiente de correlación es igual a0.723, es decir indica una buena relación. Asimismo, se observa que la nube de puntos se

extiende por debajo de la primera bisectriz, lo que se explica porque la ley de cobre totalsiempre es mayor que la ley de cobre soluble.

ALTERNATIVAS PARA CARACTERIZAR LA SOLUBILIDAD DE BLOQUES

Las técnicas de kriging no permiten obtener modelos satisfactorios de la solubilidada escala de bloques:

1) Si bien la solubilidad está definida en cada muestra por el cuociente entre las leyes decobre soluble y cobre total, dicha variable no es aditiva, es decir, el valor de un bloqueno corresponde al promedio aritmético de los valores de las muestras que contiene

dicho bloque. Por esta razón no se puede emplear un kriging de bloques para efectuarun cambio de soporte [3].

2) Se puede estimar las leyes de cobre soluble y cobre total por kriging o por cokriging,pues estas variables sí son aditivas. Ahora bien, el cuociente de ambas estimacionesno constituye un buen estimador de la razón de solubilidad y puede originar un sesgo(tendencia a sobrestimar o subestimar). La explicación se debe a que las estimacionessiempre están sujetas a errores y esconden la variabilidad de los valores verdaderos[1]. Por lo tanto, no se puede manejar las estimaciones como los valores reales,en particular el cuociente de dos estimaciones no proporciona una buena estimacióndel cuociente real (en términos matemáticos, el valor esperado de un cuociente A/B noes igual al cuociente de los valores esperados de A y de B). Incluso suele darse la

situación donde el cobre soluble tiene un valor estimado mayor que el cobre total, loque da una solubilidad mayor que 1.

3) Tampoco es recomendable estimar (mediante kriging) la ley de cobre total y la razónde solubilidad, luego multiplicar ambos estimadores para obtener una estimación de laley de cobre soluble. Incluso, este enfoque encuentra los dos problemas mencionadosen los puntos anteriores: no aditividad de la solubilidad (que perjudica su estimación aescala de bloques) y multiplicación de dos estimadores, lo cual puede provocar unsesgo tal como en la operación de cuociente.

La solución propuesta aquí consiste en utilizar modelos numéricos o simulaciones

condicionales de la solubilidad, es decir, construir imágenes ficticias pero “realistas” de la

solubilidad en la zona, tomando en cuenta los valores medidos de las leyes en los sitiosde muestreo así como sus características geoestadísticas (histograma, variograma, etc.)[1,7]. Cada modelo numérico constituye una realización plausible y equiprobable de lo que“podría ser” la realidad del yacimiento. El construir numerosas realizaciones permiteapreciar la variabilidad e incertidumbre que se tiene sobre los atributos en estudio, en estecaso la solubilidad y las leyes de cobre total y soluble.

Para el estudio práctico, basta con simular dos de las tres variables (cobre total,cobre soluble, razón de solubilidad) para poder deducir la tercera: en efecto, por poseer lavariabilidad espacial correcta, las simulaciones se pueden utilizar como si fueran larealidad, luego las operaciones de multiplicación o división son legitimas. Así, sólo serequiere determinar cuál es el par de variables más adecuadas para la simulación.



La simulación de variables continuas se realiza a menudo gracias a la distribución

de probabilidad multigaussiana [1] por su comodidad y simplicidad matemática. Una etapa

previa consiste entonces en transformar cada variable en una variable cuyo histograma esgaussiano, de media cero y varianza unitaria (procedimiento de "anamorfosis"). El trabajose lleva a cabo sobre las variables gaussianas, las cuales serán finalmente transformadasde vuelta a las unidades originales.

El análisis de las nubes de correlación entre variables gaussianas revela que las dosvariables más adecuadas para el estudio son la ley de cobre total y la solubilidad, pues lanube correspondiente (de forma circular) es compatible con la hipótesis multigaussiana(figura 4). En cambio, las relaciones entre la ley de cobre soluble y la solubilidad o entrelas leyes de cobre total y soluble son más complejas: las nubes de correlación entre losvalores gaussianos correspondientes no se asemejan a círculos o elipses, lo cual significaque un modelo multigaussiano no sería adecuado para describir simultáneamente dichas

variables.

Figura 4. Nubes de correlación entre valores gaussianos; sólo la última nubepresenta características compatibles con una distribución multigaussiana

Es sorprendente notar que existe muy poca relación entre la ley de cobre total y lasolubilidad, ya que la nube de correlación entre sus valores gaussianos es casi circular. Elmodelo variográfico mostrará que este resultado es válido no solamente para los valoresco-localizados, sino que también espacialmente: dicho en otras palabras, la solubilidad esprácticamente independiente de la ley de cobre total. Ahora bien, esta ley se utilizó paradeterminar las unidades geológicas del yacimiento, luego el comportamiento metalúrgicono tiene relación con la definición de dichas unidades geológicas: la ley de cobre solublees un parámetro mucho más determinante para la metalurgia que la ley de cobre total. No

se puede pretender que estas aserciones constituyen un resultado general, sino que sólose refieren a este yacimiento particular.

ETAPAS DEL TRABAJO

El procedimiento para llevar a cabo las simulaciones conjuntas de la ley de cobretotal y la solubilidad es el siguiente:

• Transformación gaussiana de los valores iniciales (anamorfosis) [1,2]



• Test de adecuación de la hipótesis multigaussiana para las gaussianas asociadasa la ley de cobre total y a la solubilidad. Se puede comparar los variogramas con losmadogramas (variogramas de orden 1) [1].

• Análisis variográfico conjunto de ambas variables gaussianas. El ajuste se basaen el modelo lineal de corregionalización. Este modelo implica algunas restriccionesentre los parámetros de los variogramas de las gaussianas y su variograma cruzado[3,8]. El modelo final (figura 5) queda expresado por las siguientes fórmulas, en lascuales las distancias entre paréntesis indican los alcances a lo largo de las direccionesprincipales de anisotropía, a saber, el plano horizontal y la dirección vertical:

variograma para los datos gaussianos de solubilidad:

)m120,m700(exp04.0)m120,m1500(esf 29.0

)m120,m50(esf 14.0)m12,m50(exp26.027.0sol

++

++=γ

variograma para los datos gaussianos de cobre total:

)m120,m700(exp32.0)m120,m1500(esf 25.0

)m120,m50(esf 10.0)m12,m50(exp06.027.0CuT

++

++=γ

variograma cruzado para los datos gaussianos de solubilidad y de cobre total:

)m120,m700(exp11.0)m120,m1500(esf 0087.0

)m120,m50(esf 0048.0)m12,m50(exp047.00145.0sol/CuT

−+

−+=γ

Un punto destacable en el análisis variográfico es que los variogramas experimentalesno muestran mesetas bien definidas. Esto podría indicar que los datos estudiados noson homogéneos (estacionarios) a la escala de trabajo, lo que conduce a cuestionarla definición de la unidad geológica en la cual están distribuidas las muestras. Para elpresente estudio, se espera que esta posible heterogeneidad no tenga mucho impactoen los resultados, dado que se trabajará en una vecindad móvil , es decir, los modelosnuméricos serán condicionados por los datos cercanos al sitio considerado.

Otro punto interesante es la presencia de una microestructura (estructura de alcancepequeño) que explica una gran parte de la variabilidad total. Así, el variograma de lasolubilidad indica que la información que se tiene de este atributo pierde relevancia

rápidamente cuando uno se aleja de una muestra. Por lo tanto, se puede cuestionar lapertinencia de definir las unidades metalúrgicas a nivel local (bloque a bloque), dadoque la información disponible no permite tener tanta resolución.

También se puede constatar la poca correlación espacial entre la ley de cobre total yla solubilidad, puesto que los variogramas cruzados son cercanos a un efecto pepitapuro.



Figura 5. Variogramas experimentales (líneas punteadas) y modelados (líneas continuas)para los datos gaussianos a lo largo de las direcciones principales de anisotropía

• Simulación conjunta de las variables de origen (ley de cobre total y solubilidad). Elmétodo empleado para la simulación es el de las bandas rotantes [1], el cual es rápidoy eficiente, sobretodo cuando se trata de hacer una simulación de dos variables enforma simultánea. Las simulaciones se llevaron a cabo sobre una grilla densa con unamalla de 2 metros en las direcciones principales del espacio (este, norte, cota). Paradisminuir los tiempos de cálculo, se redujo el área simulada a una porción del áreatotal muestreada. De este modo, la grilla de simulación cuenta con 400 000 nodos y seextiende entre las coordenadas (600m, 1600m, 250m) y (1000m, 2000m, 270m).



Se aprecia en la figura 6 que las realizaciones de cada variable son bastante disímiles,lo cual significa que existe una importante incertidumbre en cuanto a sus valores; a laescala de trabajo (malla de 2m), la malla del muestreo original es amplia y no provee

mucha información. En total, se construyeron 65 realizaciones de cada variable.

Figura 6. Dos modelos numéricos para las leyes de cobre total (arriba),solubilidad (centro) y cobre soluble (abajo) (planta de cota 260m)



Se validan los modelos simulados al verificar que sus variogramas experimentales enel plano horizontal se parecen al modelo teórico de variograma (figura 5), al menos paralas distancias inferiores a los 200 metros (mitad del diámetro de la zona simulada). En

otras palabras, el tamaño de la zona simulada no permite validar la reproducción de losvariogramas verticales, ni de la estructura de largo alcance en el plano horizontal. En laopinión de los autores, no es un problema muy preocupante, puesto que la variabilidad delos valores simulados debe respetar el modelo variográfico.

CAMBIO DE SOPORTE

El tener modelos numéricos de las leyes de cobre total y cobre soluble hace posiblerealizar un cambio de soporte (es decir, un cambio en el volumen de la medición): estasdos variables son aditivas, pues el valor de un soporte más voluminoso se define como lamedia aritmética de los valores de las muestras contenidas en este soporte, lo cual no es

cierto para la solubilidad.

A continuación, consideramos bloques de 20m × 20m × 10m. Cada realización de lasleyes de cobre soluble y cobre total se puede promediar a la escala del bloque. La razónentre ambas leyes proporciona una realización de la solubilidad. De este modo, se obtiene65 realizaciones de la solubilidad sobre un soporte de 20m × 20m × 10m. Una estimacióntradicional de la solubilidad consiste en calcular el promedio de las 65 realizaciones (figura7): en teoría, tal estimador no tiene sesgo y es el que minimiza el error cuadráticopromedio cometido. Un simple análisis visual de la figura 7 muestra que la media de lasrealizaciones no tiene mucha dispersión en la zona de estudio: la mayoría de los valoresestán entre 0.6 y 0.75. Esto se debe a que la solubilidad tiene poca estructuraciónespacial, lo que refleja el crecimiento rápido de los variogramas para las distancias cortas:

esta escasa estructuración implica una alta dispersión en cada realización y grandesdiferencias entre una realización y otra, pero estas diferencias se neutralizan al sacar elpromedio, de modo que el estimador propuesto aparece como muy “suave”.

Ahora bien, se desea comparar este estimador con aquel que consiste en evaluarlas leyes de cobre soluble y cobre total por kriging de bloques y luego dividir ambas leyesestimadas. Esta estimación de la solubilidad del bloque es fácil de implementar (sólorequiere modelar los variogramas de las leyes de cobre soluble y total) pero puede tenerun sesgo y no ser óptima. La explicación radica en que la operación de división no esadecuada al momento de utilizar estimaciones, mientras que lo es al utilizar simulaciones.En la figura 7, se ve que la estimación obtenida por kriging es más dispersa que aquellaobtenida por medio de simulación; la mayoría de los valores estimados se concentra en el

intervalo [0.5,0.8].



Figura 7. Dos modelos numéricos para la solubilidad de bloques (arriba) y estimación porel promedio de los modelos numéricos (abajo izquierda) o por la razón entre leyes de

cobre soluble y total estimadas por kriging (abajo derecha) (planta de cota 260m)

Los estimadores obtenidos por simulación y por kriging son bastante diferentes; sucorrelación apenas alcanza 0.66. Asimismo se puede comparar, bloque a bloque, cadaestimador con la distribución de valores simulados, para estudiar su sesgo condicional :el sesgo condicional sucede cuando, dado cierto valor estimado, el error cometido notiene una esperanza nula. En tal caso, la curva de regresión de la nube de correlaciónentre valores estimados y simulados no coincide con la primera bisectriz. En la figura 8, se

ve que la estimación obtenida por kriging presenta un sesgo condicional, contrariamente ala estimación por la media de las realizaciones.

En una sección anterior, hemos señalado que la estimación mediante kriging correel riesgo de provocar un sesgo (por ser el cuociente de dos estimaciones). Ahora, conmayor razón se puede obtener un sesgo condicional, lo que indica que este rasgo no esun resultado particular al yacimiento en estudio, sino que puede repetirse en otros casos.Por esta razón, es importante tener cuidado del uso que se hace de las estimacionesobtenidas por kriging, sobre todo porque estas no reproducen la variabilidad espacial delos atributos en estudio. Al contrario, el recurrir a simulaciones condicionales evita estosproblemas y constituye una herramientas de mayor alcance.



Figura 8. Nube de correlación de los valores simulados de la solubilidad en función delvalor estimado por kriging o por la media de las realizaciones. La línea punteada indica la

curva de regresión (en el segundo caso, coincide exactamente con la diagonal).

La primera nube permite determinar la distribución de probabilidad del valor real dela solubilidad dado el valor obtenido mediante kriging. La figura 9 proporciona dosejemplos de ello, el primero cuando el valor estimado vale 0.6 (± 0.01), el segundo cuandovale 0.7 (± 0.01). El análisis de esta figura corrobora que el valor obtenido vía krigingposee un sesgo condicional: en general, el valor esperado de la solubilidad real (promedio

de las realizaciones) no coincide con el valor dado por el kriging. Se ve que el rango devalores [0.65,0.70] constituye una excepción: cuando el valor obtenido por kriging se ubicaen este intervalo, es prácticamente igual al valor esperado de la solubilidad real.

Figura 9. Distribución de probabilidad del valor real de la solubilidad cuando elvalor obtenido por kriging vale 0.6 ó 0.7. Los “boxplots” dibujados abajo indican

los cuantiles a 2.5%, 25%, 50%, 75%, 97.5% (barras) y la media (punto)



CONCLUSIONES

El presente estudio muestra los límites de las técnicas tradicionales de estimación,tal como el kriging, cuando involucran una variable no aditiva y un cambio de soporte. Unaherramienta potente para paliar estas deficiencias lo constituye el concepto de simulacióncondicional. Una simulación es un modelo numérico cuyo propósito es proporcionar unaimagen plausible de lo que podrían ser los valores reales, o sea, reproduce la variabilidadespacial de éstos. Su interés radica en que se puede utilizar como si fuese la realidad.

Así, en el estudio presentado, se puede promediar las leyes simuladas de cobre soluble ycobre total a escala de bloques, luego dividirlas para obtener modelos numéricos de larazón de solubilidad. La idea de realizar un cambio de soporte por medio de simulacionesya ha sido desarrollada, principalmente en un ámbito monovariable [4,5]. Una novedadde este trabajo es la extensión al marco multivariable, al considerar simultáneamente tresatributos (leyes de cobre soluble, cobre total y solubilidad).

El contar con una serie de simulaciones condicionales permite no solamente estimarla variable en estudio (por ejemplo, al calcular un promedio de las realizaciones), sino queademás las diferencias observadas de una realización a otra muestran la incertidumbreasociada a los valores reales desconocidos y permiten apreciar el impacto que puedeocasionar en el valor económico del proyecto. Esto convierte a las simulacionescondicionales en una herramienta de apoyo privilegiada para la evaluación de riesgo delnegocio minero.

REFERENCIAS

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[2] Deutsch C.V. and Journel A.G., 1998, GSLIB: Geostatistical software library and user’sguide, Second edition, Oxford University Press, New York, 369 p.

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