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Crisólogo Dolores Flores Centro de Investigación en Matemática Educativa

Universidad Autónoma de Guerrero

AGRADECIMIENTOS

Manifiesto mi agradecimiento al Fondo Mixto CONACYT- Gobierno del Estado de Guerrero ya

que gracias a los auspicios del el proyecto: GUE-2002-C0-7626, aprobado y financiado por el

Fondo, ha sido posible la publicación de esta obra.

El autor

Chilpancingo Gro. Agosto de 2004

PROLOGO

La enseñanza del Cálculo Diferencial (CD) en el Nivel Medio Superior, en muchos países,

se enfrenta a un problema generalizado: los estudiantes escasamente comprenden sus ideas

básicas, especialmente las relacionadas con la derivada. Las evidencias mostradas en

congresos especializados y la experiencia misma de los profesores de esta asignatura son

coincidentes: al terminar sus cursos de CD cantidades significativas de estudiantes logran un

dominio aceptable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas, pero

difícilmente comprenden el significado de esos procedimientos. Incluso, difícilmente logran

reconocer las ideas asociadas al concepto de derivada en la resolución de problemas

elementales sobre la rapidez de la variación a pesar de que en los problemas de este tipo se

encuentra la esencia de este concepto.

En esta obra se analizan algunas de las causas que están ocasionando estos problemas y en

su parte principal, se plantean algunos elementos para una propuesta para la enseñanza de la

derivada en el bachillerato, estos tiene el propósito de proporcionar a los estudiantes los

elementos necesarios que les ayuden a comprender este concepto. Los elementos están

planteados tomando en cuenta el análisis de varios aspectos, por una parte de un análisis

histórico sobre el origen del concepto de derivada, pues se asume que de ahí se puede

comprender su esencia, y por otra parte, del análisis de los programas, textos, tendencias

acerca de la enseñanza de la derivada y los resultados que los estudiantes obtienen al terminar

sus cursos ordinarios de CD.

En el terreno didáctico y metodológico se fundamentan en la Metodología de la Enseñanza

de la Matemática, en el terreno psicopedagógico en algunos elementos de la Teoría de la

Actividad, aunque incorpora algunas ideas tomadas del enfoque constructivista, que en la

práctica están muy cercanas a las concepciones antes señaladas. En especial se orientan bajo

el enfoque variacional, de modo que los conceptos e ideas básicas del CD se originan del

estudio de la variación y el cambio. Se trata de una introducción intuitiva e informal al

CD cuyo contenido no necesariamente se sujeta a la estructura lógico-formal del

Análisis Matemático, de modo que la derivada no se forma como concepto matemático

abstracto, sino un concepto desarrollado para cuantificar la rapidez de la variación.

En esta obra también se describe una experiencia escolar practicada con estudiantes del

bachillerato con el fin de explorar los alcances de una propuesta. La experiencia se

concretó en la conducción de un curso de CD, en el cual, mediante pruebas pedagógicas

y el análisis cualitativo de las respuestas, se hizo un seguimiento sobre el desarrollo de

algunas concepciones y habilidades desarrolladas por los estudiantes.

Dr. Gustavo Martínez Sierra

Miembro del Cuerpo Académico de Matemática Educativa de la UAG

Centro de Investigación en Matemática Educativa

Universidad Autónoma de Guerrero

I N D I C E

CONTENIDO PAG.

INTRODUCCION 1

CAPITULO 1

GENESIS Y DESARROLLO HISTORICO LA DERIVADA 7

Implicaciones didácticas del análisis histórico 13

CAPITULO 2

LA DERIVADA EN LOS TEXTOS Y LOS PROGRAMAS 15

Conceptos precedentes a la derivada en los textos 15

Relaciones y operaciones precedentes en los textos 17

Tratamiento del concepto de derivada 18

Una visión de conjunto de la derivada en los textos tradicionales 20

La derivada y el Cálculo Diferencial en los programas 21

La reforma curricular actual 24

Relación entre textos y programas 25

La derivada según los programas de otros países 25

Hacia dónde orientar la enseñanza de la derivada 27

CAPITULO 3

TENDENCIAS Y ENFOQUES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA 29

Enfoques que priorizan la estructura del contenido 29

Los enfoques innovadores 32

Orientación de nuestra propuesta 34

CAPITULO 4

ELEMENTOS PARAUNA PROPUESTA 35

Elementos de la Teoría del Conocimiento 36

Elementos sobre la naturaleza variacional de la derivada 37

Elementos psicopedagógicos 40

Elementos didácticos y metodológicos 44

Elementos sobre el enfoque 44

Sobre el objetivo del Cálculo Diferencial 45

Relativo a las líneas directrices 46

Estructura de una propuesta 46

Fase Preparatoria 47

Habilidades a desarrollar 48

Fase de formación del concepto 49

Estrategia metodológica en la formación del concepto 50

Fase de asimilación del concepto 52

CAPITULO 5

UNA EXPERIENCIA ESCOLAR 53

Aspectos básicos de la experiencia escolar 53

Reseña sobre la experiencia escolar 54

Obstáculos detectados en la experiencia escolar 58

SEGUIMIENTO DE LA EXPERIENCIA ESCOLAR 59

Primera evaluación 59

Síntesis sobre os resultados de la primera evaluación 63

Segunda evaluación 63

Síntesis sobre os resultados de la segunda evaluación 68

Tercera evaluación 69

Síntesis sobre os resultados de la tercera evaluación 71

Cuarta evaluación 72

Síntesis sobre os resultados de la cuarta evaluación 75

Síntesis global 76

Examen Pre-post 80

Sobre la situación 1 80

Sobre la situación 2 81

Sobre la situación 3 83

Un análisis comparativo 84

Análisis comparación entre los exámenes parciales y el pre-post 88

CONCLUSIONES 89

BIBLIOGRAFIA 92

ANEXO A 99

1

INTRODUCCION

En diversos sistemas educativos se acepta que la escuela tiene la función social de propiciar que

el hombre se apropie de los conocimientos y desarrolle las habilidades que lo capaciten para

integrarse, en mejores condiciones, a una sociedad cada vez más exigente. Sin embargo, en el

contexto mexicano, estas aspiraciones aún no han alcanzado los niveles de eficiencia deseados.

Es por eso que en México es cada vez más creciente el interés por perfeccionar la educación en

general y la enseñanza de la matemática en particular.

Generalmente, la matemática que se imparte hasta el bachillerato suele denominarse como

Matemática Elemental y la que se imparte en las carreras universitarias como Matemática

Superior. Esta diferenciación obedece fundamentalmente a que en la matemática elemental se

estudian exclusivamente los procesos finitos de cuantificación y en la matemática superior se

estudian además los procesos infinitos. Se asume que la transición de la primera a la segunda

deba concretarse en los dos últimos años del bachillerato, con el estudio del Cálculo Diferencial e

Integral, éste es tema de estudio obligatorio para aquellos estudiantes cuyas aspiraciones son

ingresar a alguna de las carreras universitarias relacionadas con las ciencias, la ingeniería, la

economía o la contabilidad, porque se espera que el curso de cálculo del bachillerato les permitirá

apropiarse de sus elementos básicos y prepararlos para sus estudios universitarios. En la práctica,

esto no suele suceder así, pues en el primer año de la universidad el curso de cálculo se vuelve a

repetir casi en los mismos términos que como se proyectó en el bachillerato, a pesar de que en la

universidad se pretende ampliar y profundizar sobre este tema.

Según reportes de varios investigadores, son generalizados los resultados que se obtienen después

de haber cursado Cálculo Diferencial (CD) en México y en varias partes del mundo: dominio

razonable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas, dificultades

significativas en la conceptualización de los procesos subyacentes al límite en la noción de

derivada (Sierpinska 1985, Wenzelburger 1993, Artigue 1991, Vinner 1992) y dificultades

mayores en la resolución de problemas de aplicación del concepto de derivada. Cantidades

significativas de estudiantes sólo pueden obtener derivadas de funciones algebraicas mediante

fórmulas, pero difícilmente comprenden el significado de los algoritmos que realizan, inclusive,

difícilmente logran asociar las ideas claves del cálculo en la resolución de problemas elementales

sobre la variación, a pesar de que históricamente del estudio de estos últimos se generaron las

ideas que le dieron origen.

Las causas atribuidas a esta problemática están relacionadas, fundamentalmente, con la

planificación y ejecución del proceso de enseñanza del CD y con los procesos de asimilación de

sus conceptos básicos. De entre los primeros se puede constatar que los programas (los que se

utilizan en el Estado de Guerrero) generalmente están estructurados de una abundante cantidad

decontenidos que no obedecen a una sistematización en términos de los objetivos y los métodos

de enseñanza, incluso existen programas que solo consisten de un listado de contenidos, la

organización de los contenidos está influenciada por la estructura formal del Análisis Matemático

por lo que predomina en ellos un enfoque abstracto con muy escasa relación con los fenómenos

de la variación física, las orientaciones metodológicas son prácticamente inexistentes y

escasamente aportan elementos para evaluar el rendimiento de los estudiantes. Al parecer, esta

problemática no es exclusiva del Estado de Guerrero sino que es extendible a muchos otros

2

países, un estudio realizado al currículo de Matemáticas del Nivel Medio a 22 países de

Iberoamérica, incluido México, por investigadores del Programa IBERCIMA así lo confirma:

Hemos constatado que la mayoría de los currículos están concebidos de manera restringida. Frente a la

concepción amplia del currículo como proyecto que indica de modo coherente qué, cómo y cuándo

enseñar y qué, cómo y cuándo evaluar, la mayoría de los currículos analizados consisten en un listado de

temas precedidos por objetivos didácticos y completados, en el mejor de los casos, con sugerencias

metodológicas muy puntuales. Existe una ausencia casi generalizada de los elementos que configuran un

auténtico currículo: Fundamentación, Objetivos Didácticos, Contenidos de Aprendizaje, Orientaciones

Didácticas y Procedimientos de Evaluación.

Análisis comparado del Currículo de Matemáticas (Nivel Medio) en Iberoamérica; pp. 162.

De entre las causas más cercanas a los procesos de ejecución se sabe que, en nuestro medio,

existe deficiencia generalizada en el nivel de partida de los estudiantes al iniciar los cursos de

CD, la mayoría de las veces los programas no son vistos cabalmente en el tiempo destinado para

ello, se usa excesivamente el método expositivo en la enseñanza, poco se utilizan los métodos

participativos, prácticamente no se utilizan los medios electrónicos, etc. En la práctica, las

introducciones a la derivada en nuestra región frecuentemente la presentan priorizando sólo la

regla de los cuatro pasos, minimizando su significado geométrico y prácticamente reduciendo a

cero su relación con la variación física. A todo esto habrá que agregar que no existen textos de

cálculo apropiados a las condiciones de nuestros estudiantes, de hecho en el mercado existen

decenas de ellos pero la mayoría fueron pensados para otras condiciones.

Varias de las causas cercanas a los procesos de asimilación se han encontrado en el terreno

epistemológico ligadas principalmente a las dificultades en la asimilación del conocimiento. A

este respecto, desde mediados de la década de los 70’s, en la enseñanza de las ciencias mucho se

ha escrito sobre las preconcepciones (Gil y De Guzmán 1993), sobre las imágenes conceptuales

(Tall y Vinner 1981) y los obstáculos epistemológicos (Sierpinska A. 1985). La mayoría de los

investigadores señalan que las preconcepciones se forman en los estudiantes a través de su

experiencia cotidiana, incluyendo, tanto sus experiencias físicas como sociales, constituyéndose

como un conocimiento precientífico fuertemente arraigado. Se caracterizan básicamente porque:

tienen cierta coherencia interna (de ahí que algunos los llamen esquemas conceptuales y no de

simples preconcepciones aisladas), son comunes a estudiantes de diferentes medios y edades,

presentan cierta semejanza con concepciones que estuvieron vigentes a lo largo de la historia del

pensamiento y, son persistentes, pues no se modifican mediante la enseñanza habitual, incluso

reiterada. Particularmente A. Sierpinska considera que si son producto de ciertas actitudes,

creencias y convicciones y además, si estuvieron presentes en varias personas o en toda una

cultura en algún periodo de la historia, entonces pueden conducir a obstáculos epistemológicos.

Una de las dificultades en la formación del concepto de derivada por la vía geométrica (Cantoral

1983, Dolores C. 1988) es la concepción griega de tangente formada en los estudiantes en la

escuela primaria, ya que puede obstaculizar el paso de una concepción global (propia de la

Geometría Euclidiana) a una concepción local (propiedad fundamental del cálculo), puede

dificultar la aceptación de que la recta (además de tocar) pueda cortar a la curva y ser tangente

en la zona del corte. El carácter estático de su determinación en la Geometría Euclidiana (pues es

dada como un lugar geométrico) también puede dificultar el arribo a una concepción dinámica

(sucesión de secantes). Más difíciles de franquear son aún las barreras que se desprenden de las

consideraciones de la derivada como un límite, en Orton A. (1977) se han obtenido evidencias de

lo difícil que es comprender para los estudiantes de que por medio de una sucesión de secantes se

3

obtenga realmente la tangente. A partir del estudio de los obstáculos epistemológicos, en el plano

histórico y con grupos pequeños de estudiantes, en Sierpinska A. (1985) se señala que los

estudiantes manifiestan cierta tendencia a evadir los procesos infinitos, son proclives a rechazar

el paso al límite como una nueva operación matemática, consideran el límite sólo como una

aproximación, presentan serios obstáculos con el manejo de la simbología matemática utilizada

para su representación, consideran que el límite se obtiene simplemente evaluando la función en

el punto deseado, etc.

Múltiples son las barreras que dificultan la asimilación de los conceptos del CD, sin embargo su

persistencia en la mente de los estudiantes puede también ser consecuencia de una inadecuada

dirección del proceso de su enseñanza, ésta no puede ignorar tales dificultades sino tomarlas en

cuenta para explotarlas didácticamente y sacar provecho de ellas.

Los conceptos del CD están estrechamente relacionados con las ideas de la variación, estas ideas

quedan escondidas en las introducciones rigurosas (formales) al cálculo. El empeño de los

programas, de los profesores, e incluso de los textos mismos, por presentarlo como un cuerpo de

conocimientos lógicamente estructurado deja de lado la esencia de sus conceptos básicos

relacionada con los fenómenos de la variación física. Dirigir el proceso de enseñanza del CD

mediante introducciones no formales que desarrollen ideas sobre la variación, que recuperen los

métodos infinitesimalistas que les dieron origen y que consideren las barreras que obstaculizan la

asimilación de sus conceptos, pueden crear las condiciones para que los estudiantes del

bachillerato comprendan sus conceptos básicos. Todas las consideraciones anteriores nos han

inducido a adoptar como objeto de investigación en este trabajo, al proceso de enseñanza de la

matemática del Nivel Medio Superior y como materia de investigación, el aporte de elementos

que posibiliten la comprensión de los conceptos centrales del CD en particular el de la derivada.

Desde principios de la década de los años 70, a partir de algunos trabajos en donde se revisan la

historia de las ideas matemáticas (Boyer 1968, Edwards 1979), varios investigadores han

sugerido priorizar el aspecto conceptual en la enseñanza del cálculo (Cantoral 1983). Estas ideas

influyeron en algunos grupos de profesores mexicanos del Nivel Medio Superior, de manera que

en la enseñanza del CD, la interpretación geométrica de la derivada como pendiente de tangentes

se le empezó a dar mayor importancia, pues se asumía que podía ayudar a los estudiantes a

comprender este concepto. Incluso los acercamientos al límite por medio de los y se fueron

relegando cada vez más y en su lugar se propuso el uso de los infinitesimales (Cordero F. 1983;

Imaz C., y otros, 1984) a efecto de recuperar las ideas intuitivas que históricamente dieron origen

al CD y así aportar más elementos para la comprensión de sus conceptos básicos.

En realidad el acercamiento geométrico a la derivada incorpora las nociones básicas de la línea de

trabajo iniciada por los griegos de la antigüedad, continuada por Descartes, Fermat, Barrow

(entre otros) y culminada por Leibniz, considerado uno de los creadores del cálculo. Aunque

también por otro lado, el cálculo recibió fuertes impulsos a partir de las exigencias de la práctica,

particularmente del campo de la mecánica, en la que tenía particular interés el estudio de los

fenómenos de la variación. Esta fue la línea de trabajo iniciada por Galileo, continuada

principalmente por Torricelli, Roverbal y culminada por Newton, considerado como el otro de los

creadores de los principios del Análisis.

En la mecánica newtoniana la idea de razón de cambio es la pieza clave para cuantificar la

variación relativa y constituye la idea germinal de nuestro actual concepto de derivada. La

4

cuantificación precisa de la variación física se logra por medio de la razón de cambio instantánea,

en ésta se encuentra la esencia del concepto de derivada. Los recursos como la razón de cambio

promedio e instantánea, que permiten saber cuánto cambia una variable respecto de otra, pueden

ser utilizados en la enseñanza para ayudar a los estudiantes a comprender la esencia del concepto

de derivada y su verdadera relación que tiene con los problemas de la realidad. Este enfoque, en

el terreno didáctico ha sido poco explorado, incluso omitido en las introducciones tradicionales al

CD, esta es una de las causas por la que los estudiantes no comprenden las ideas básicas del CD.

Por tales razones el problema nodal que motiva a esta investigación consiste en que: con los

cursos tradicionales de Cálculo Diferencial en el bachillerato, los alumnos no logran comprender

las ideas básicas asociadas a sus conceptos fundamentales, en especial las de la derivada. Este es

el problema que se aborda en este trabajo y mediante una propuesta alternativa se pretende

contribuir a su solución.

Del problema planteado se deriva el objetivo general de este trabajo consistente en, aportar los

elementos fundamentales que puedan constituirse en una alternativa didáctica para el tratamiento

del Cálculo Diferencial en el bachillerato. Tales elementos pueden posibilitar que los estudiantes

comprendan los conceptos fundamentales del CD a través de la formación y desarrollo del

pensamiento y lenguaje variacional. El logro de este objetivo presupone dar respuesta a las

siguientes cuestiones:

¿Cómo se originó el concepto de derivada y qué relación guarda su esencia con los

problemas de la variación física?

¿Cuáles son las causas atribuibles a los textos y programas que pueden estar incidiendo en

la escasa comprensión de las ideas básicas del cálculo y en particular de la derivada?

¿Cuáles son las tendencias existentes acerca de la enseñanza de la derivada, cómo se

manifiestan y cuáles han sido sus aciertos y limitaciones?

¿Bajo qué criterios puede elaborarse una propuesta de modo que posibilite la

comprensión de las ideas básicas del cálculo, en particular de la derivada, y cómo puede

concretarse en la práctica?

¿Posibilita la propuesta didáctica la comprensión de las ideas antes enunciadas en los

estudiantes del bachillerato mexicano?

Para dar respuesta a las preguntas anteriores fue necesario realizar las siguientes tareas de

investigación:

Revisión bibliográfica y estudio de la literatura científica, pedagógica y didáctica,

relacionada con la enseñanza de la derivada en el nivel preuniversitario.

Análisis histórico-lógico sobre la génesis y desarrollo de las principales ideas que fueron

conformando lo que actualmente en la matemática se le conoce como derivada de una

función.

Análisis de textos y programas oficiales del preuniversitario, atendiendo particularmente

lo relacionado con la enseñanza de la derivada y el CD.

5

Caracterización de tendencias y enfoques acerca de la enseñanza de la derivada y la

influencia que han tenido en el preuniversitario.

Elaboración de la propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada en el bachillerato a

partir del estudio de fenómenos de variación.

Planificación, ejecución y análisis de los resultados de una experiencia pedagógica con

estudiantes de bachillerato con la cual se evaluaron los alcances de la propuesta.

En la selección de los métodos se consideraron el carácter de la investigación, sus objetivos y

tareas planteadas para su realización. En virtud de que este trabajo es de corte teórico-

experimental se utilizaron algunos elementos básicos de los métodos teóricos y empíricos. En el

análisis de la bibliografía científica, pedagógica y didáctica, se utilizaron los métodos teóricos

siguientes:

Métodos histórico-lógicos empleados para analizar el origen y desarrollo del concepto de

derivada, tanto en el plano de la ciencia matemática, como en la trayectoria que han

seguido los diferentes tratamientos didácticos hasta llegar a los enfoques innovadores.

Métodos de análisis y síntesis que fueron empleados en la caracterización general de las

tendencias y lo particular que se refleja en los enfoques sobre la enseñanza de la derivada.

Con el fin de evaluar los alcances y factibilidad de la propuesta se llevó a cabo una experiencia

pedagógica de constatación, ésta se concretó en un curso de CD con 32 estudiantes del

bachillerato mexicano. En esta experiencia se incorporaron elementos de los experimentos

formativos y de los experimentos pedagógicos. Los primeros fueron la base para explorar

cualidades de los conocimientos desarrollados por los estudiantes y los segundos fueron el apoyo

para someter a prueba la efectividad de la propuesta. Con la experiencia pedagógica se trata de

formar los conceptos básicos del CD, en especial la derivada, a partir del desarrollo de las ideas

sobre la variación. Para explorar los cambios que se producen en los estudiantes en relación con

el desarrollo las ideas variacionales y la comprensión de la derivada, la experiencia fue realizada

con el mismo grupo. Al inicio del curso se exploró el estado de algunas ideas variacionales en los

estudiantes participantes, los cambios producidos por la puesta en práctica de la propuesta son

evaluados al final de modo que permitieron la comparación con el estado inicial. En la

experiencia fueron utilizados algunos métodos empíricos de investigación como la pruebas de

diagnóstico y la pruebas pedagógicas, las primeras fueron aplicadas para explorar lo que una

población de estudiantes dominan al terminar sus cursos ordinarios de CD y al iniciar estudios

universitarios, las segundas fueron utilizadas como exámenes para explorar el desarrollo de ideas,

conceptos y habilidades básicas del CD, logrado por los estudiantes en la experiencia pedagógica.

Lo novedoso que este trabajo es el aporte de elementos para la enseñanza de la derivada en el

bachillerato que rompen con la estructura tradicional de los cursos de CD. En este sentido se

propone una estructuración del contenido a partir de los requerimientos desprendidos de la

resolución de los problemas de la variación física, mientras que en los cursos tradicionales la

organización del contenido está determinado por la forma de como se le estructura en el Análisis

Matemático. La propuesta se orienta hacia el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional

6

como medio para la comprensión de los conceptos básicos del CD, mientras que los cursos

tradicionales enfatizan la mera transferencia de contenidos y el aprendizaje de algoritmos.

En el mercado encontramos escasez de textos y materiales didácticos con este enfoque, en virtud

de ello elaboramos una especie de apuntes en donde se concretan sus aspectos fundamentales.

Estos apuntes fueron enriquecidos y reestructurados, de manera que cobraron forma en el libro:

Una introducción a la derivada a través de la variación: obra publicada por primera vez en el año

de 1999 por el Grupo Editorial Iberoamérica. Por otra parte en este trabajo se aportan algunos

resultados obtenidos a lo largo de un curso en donde se puso en práctica la propuesta,

particularmente novedosos en el medio pueden ser los resultados sobre la relación entre el

desarrollo de algunas ideas de la variación y la comprensión de la derivada.

Actualmente en México, varios subsistemas de Educación Media Superior están interesados en

mejorar la calidad de la educación que imparten, por tal razón están reformando y actualizando

sus Planes y Programas de Estudio e incluso empiezan a fomentar la escritura de materiales

didácticos de apoyo. En cuanto a la enseñanza del CD se refiere, son aún muy escasas las

investigaciones que se atreven a proponer cambios a la práctica educativa a partir de propuestas

sistemáticas, en realidad la mayoría de los cambios que se introducen no son más que producto de

la experiencia de los profesores. Nuestra propuesta puede ser una alternativa que aligere esta

escasez. De ahí la importancia de este trabajo.

Este trabajo tiene una gran significación práctica, porque está pensada para incidir en la práctica

educativa. En este sentido, la propuesta alternativa de la cual se ocupa este trabajo, puede ser una

opción para ser utilizada en los cursos ordinarios de CD guiándose en el libro referido párrafos

antes, ya que en él se preserva lo esencial de los requerimientos generales de los programas de

estudio de los subsistemas de Educación Media Superior existentes en México. La propuesta

brinda una visión más sintética del CD y con mayor factibilidad de aplicación en las condiciones

en que se da la enseñanza de la matemática en el medio. Puede ser utilizada en los cursos de o en

seminarios dirigidos a profesores de matemáticas o incluso estudiantes, como un modelo para el

tratamiento de los conceptos del CD en el bachillerato. Por otro lado, el origen mismo de los

conceptos del cálculo está estrechamente relacionado con la práctica, las ideas el cálculo en la

propuesta son desarrolladas a través de su significado práctico relacionado con la variación. Este

enfoque puede ayudar a los estudiantes a entender y resolver problemas de la vida diaria o de las

ciencias.

Finalmente esta obra está estructurada de cinco capítulos. En el primer capítulo se analiza la

génesis y el desarrollo histórico del concepto de derivada. En el segundo se describe la forma de

cómo en los textos y programas de estudio se propone su tratamiento didáctico. En el tercero se

analizan las tendencias y enfoques más importantes sobre su enseñanza. En el cuarto capítulo se

aportan varios elementos para una propuesta de tratamiento de la derivada desde su perspectiva

variacional. En el quinto capítulo se habla sobre la planificación, ejecución y valoración de una

experiencia escolar, en la que se puso en práctica lo esencial de los elementos constitutivos de

una propuesta.

7

CAPITULO 1

GÉNESIS Y DESARROLLO HISTORICO DE LA DERIVADA

Los antecedentes del Cálculo Infinitesimal están relacionados con el cálculo de áreas y la

construcción de tangentes a las curvas. Los antecedentes históricos del concepto de derivada están

ligados al problema de las tangentes, éste fue estudiado por los griegos de la antigüedad clásica

(siglo VI-II A. N. E.) ya en el Libro III de los Elementos de Euclides (365-265 A. N. E.) se define

la tangente al círculo como la recta que lo toca y al prolongarla no lo corta y a partir de esta

definición se deduce un procedimiento geométrico para su trazo. Con el descubrimiento de las

cónicas, los geómetras griegos (en especial Apolonio de Pérgamo, 287-212 A. N. E.) idearon

métodos particulares para el trazo de sus tangentes basándose solamente en las propiedades

geométricas de estas curvas. Con la transición de la Matemática de las Constantes a la

Matemática de las Variables (Kolmogorov A., Laurentiev A. y otros 1985), el desarrollo de la

Matemática da un salto cualitativamente superior, pues el movimiento como propiedad esencial

de la materia es incorporado a la matemática en forma de variables, trascendiéndose así

concepciones estáticas acerca de la naturaleza y del universo. Este viraje en el desarrollo de la

matemática posibilitó soluciones más generales al problema de las tangentes.

La introducción de las magnitudes variables no fue, por supuesto, producto del libre juego de la

mente humana, sino que respondió a la necesidad de resolver problemas concretos derivados del

desarrollo de las fuerzas productivas, que en el siglo XVI y XVII determinaron la caída del

feudalismo y el nacimiento del capitalismo. Según señala Hessen, muchos problemas originados

del desarrollo del capital comercial, de la navegación marítima y de la industria pesada, fueron

abordados en el campo de la mecánica y otros subcampos de ésta. Varios científicos trabajaron en

la resolución de los múltiples problemas planteados propiciando el descubrimiento de varias de

las leyes generales de la naturaleza y su modelación mediante fórmulas matemáticas. Especial

relevancia tuvieron, por un lado, los trabajos de Kepler quien la primera mitad del siglo XVI

descubrió y formuló matemáticamente sus famosas leyes sobre el movimiento de los planetas, y

por otro lado los trabajos de Galileo, quien entre los años de 1632 y 1638 obtuvo la expresión

matemática de la caída libre de los cuerpos. A partir de estos trabajos (entre otros), las ideas de

variación y cambio como abstracciones obtenidas de la realidad, se van desarrollando y son

introducidas por Descartes en su Geometría como magnitudes variables definiéndolas en forma

dual: como coordenada variable de un punto que se mueve a lo largo de una curva y en la forma

de un elemento variable del conjunto de números. Sobre esta base las cónicas de Apolonio son

interpretadas por medio de ecuaciones algebraicas las cuales expresan, a su vez, relaciones entre

las variables x y las y (la noción de función), trascendiendo así la idea de incógnita propia del

Algebra y poniendo en su lugar la idea de variable propia del Análisis Matemático.

El auge que habían cobrado las Ciencias Naturales, la introducción de la Geometría Analítica y

las propias exigencias de la mecánica en el siglo XVII propiciaron nuevas soluciones que

relacionaron al problema de las tangentes con los fenómenos de la variación. Principalmente tres

problemas relativos a la variación eran acuciantes: determinar la velocidad de los cuerpos en

movimiento, dada la velocidad del movimiento determinar la trayectoria en un tiempo dado, y el

problema de los máximos y mínimos. De las soluciones destaca la aportada por Roverbal en

1640, la cual sigue la línea sugerida por Galileo y Torricelli, su idea fue considerar una curva

8

como la trayectoria de un punto en movimiento y la tangente como la recta de movimiento

instantáneo del punto en movimiento. Si el movimiento del punto que genera a la curva es la

resultante de dos movimientos suficientemente simples (ver figura 1), entonces la línea

instantánea de movimiento puede ser

determinada por la composición de los movimientos constituyentes por medio de la ley del

paralelogramo para la suma de los vectores (bien conocida en esa época). Bajo estas condiciones

el vector de la velocidad instantánea es la resultante del paralelogramo de vectores de las

velocidades instantáneas de los dos movimientos componentes. La dirección del vector resultante

coincide con la tangente y por tanto determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto

en cuestión. Este método era restringido sólo para aquéllas curvas cuya trayectoria podía ser

determinada por medio de componentes y trasladaba el problema a otro análogo, cómo calcular la

velocidad instantánea de los movimientos componentes, cuando esto era resuelto por medios

de la física el problema estaba resuelto, sin embargo esto no siempre era posible para

movimientos más complejos. A pesar de su importancia, el método cinemático era muy incómodo

ya que partía de las particularidades de las curvas y por eso no era suficientemente algorítmico, en

cambio el método de Descartes1 dado a conocer desde 1637, para la determinación de tangentes y

normales representaba mayores perspectivas. En este método se considera una curva f(x) y un

círculo con centro C(v, 0) y radio r = CQ, como se ilustra en la figura 2, en general una curva y

un círculo pueden cortarse en dos puntos, digamos P y Q, sin embargo si CQ es la normal a la

curva en Q entonces P = Q y por tanto Q puede ser un punto doble de contacto entre la curva y el

círculo.

Figura 2

El método del círculo

Asumiendo que [f(x)]2 es un polinomio entonces mediante la ecuación

1Conocido como Método del Círculo y contenido en su 2o. libro de La Geometría, la versión aquí expuesta se obtuvo

del libro The Historical Development of the Calculus de Edwards C.; Springer-Verlag, USA, pp. 126, 1979.

Figura 1 Trayectoria de una partícula material arrojada con cierta velocidad horizontal. (Lanzamiento parabólico).

vx = v0 vy = -gt

v0 x

y

y = f (x)

P

Q

P r

x C (v, 0) x

y

9

[ ( )] ( )f x v x r2 2 2

(con v y r y fijos) se obtiene la coordenada x de Q como una raíz doble, Descartes imponía esta

condición a la ecuación anterior escribiendo

[ ( )] ( ) ( )f x v x r x e c xi

i2 2 2 2

Por medio de la comparación de los coeficientes de los polinomios que de aquí se obtienen, se

resuelve el sistema de ecuaciones para v en términos de la raíz e = x, de modo que la pendiente

m de la tangente en Q se obtiene del cociente (v-x)/f(x). Este método es más generalizador que

los anteriores, pues era aplicable a aquellas curvas cuyas ecuaciones al elevarlas al cuadrado

daban un polinomio y este universo de curvas era relativamente considerable. En virtud de que la

búsqueda de coeficientes de polinomios con raíces dobles se complicaba en los casos en que las

curvas daban lugar a polinomios de cuarto grado o más, en la década de los años de 1650 los

matemáticos holandeses Hudde y Sluse idearon algoritmos más eficaces para el cálculo de

pendientes de tangentes a partir del método de Descartes. En 1638 el francés Pierre Fermat, en su

obra Método para hallar Máximos y Mínimos, propone una solución novedosa para el problema

de las tangentes utilizando ideas muy cercanas a las infinitesimales. Su método2 considera un

pequeño arco MN (ver figura 3) de una curva algebraica polinomial f(x), por medio del trazado

Figura 3

de la secante SMN se construye el triángulo MNP de manera que MNP MRS, de donde la

longitud de la subtangente SR está dada por:

SRMR.MP

PN

Expresión que en términos modernos se escribiría:

SR

f x h

f x h f x

( ).

( ) ( )

Después Fermat pasa de la secante a la tangente, poniendo h = 0 (aunque no menciona que h

debe aproximarse a cero o que se haga cero), de manera que si s = SR en términos modernos la

expresión anterior quedaría escrita como: s = f(x) / f’(x). Esto significa que la longitud de la

subtangente (con la que la tangente queda determinada) se obtiene del cociente de la función entre

su derivada. Siguiendo un camino parecido y utilizando explícitamente los infinitesimales en la

resolución del problema de las tangentes, Isaac Barrow publica en 1670 (conocida en Cambridge

2Esta versión fue obtenida de Ríbnikov K.; Historia de las Matemáticas; Mir, Moscú; pp. 185, 1987.

x R S

M P

R

N

y

10

desde 1664) un procedimiento en su obra Lecciones de Geometría, éste consistía en considerar de

una curva definida implícitamente por f(x, y) = 0 un arco infinitamente pequeño MN (ver figura

4) de coordenadas M(x, y) y N (x+e, y+a) en donde e y a son incrementos infinitesimales de x

y de y, respectivamente, de modo que se cumpliera:

f (x+e, y+a) = f (x, y)3

en la que al resolverla desprecia todos los términos que contienen potencias de e, de a o

productos de éstos. Finalmente, considerando como iguales el arco infinitamente pequeño y el

Figura 4

segmento de recta MN, aplica la semejanza entre los triángulos TQM y el triángulo

característico MNR y obtiene la pendiente m de la tangente en M a partir de la expresión y/s =

a/e de donde m = a/e. Como a y e son en realidad los diferenciales de y y de x,

respectivamente, su cociente es igual a una nueva función que en lenguaje moderno puede

escribirse mediante la expresión dy/dx =f’(x). Esta denota precisamente a la derivada como

cociente de diferenciales.

La abundancia de métodos para resolver el problema de las tangentes fue preparando el terreno

para que se le dieran respuestas más generalizadas a los problemas de la variación física, las

soluciones en este sentido fueron dadas por Isaac Newton en su Método de las Fluxiones (1665-

1666). En esta obra se estudian las magnitudes variables que representaban diversas formas de

movimiento mecánico continuo4, a las magnitudes que varían continuamente les llamó fluentes y

las consideró como variables dependientes del tiempo, después introduce las velocidades de las

fluentes que las denominó como fluxiones, para calcular las fluxiones les imponía a las fluentes la

condición de una variación infinitesimal y las representaba por e , en términos actuales

éstas son las derivadas de x e y con respecto a t, esto es:

= dt

dx

y

3Esta expresión era utilizada por Barrow en el mismo sentido que Fermat, como una pseudoigualdad. Es decir

asumían que en una zona infinitamente cercana a M, f(x, y) y f(x+e, y+a) son prácticamente iguales, aunque en el

sentido estricto la igualdad la obtenían al deshacerse de los infinitesimales de mayor orden. 4Esta condición de continuidad no era entendida por Newton como actualmente se entiende en la Matemática, sino

como una relación ininterrumpida entre dos magnitudes relacionadas entre sí, pues muchos fenómenos físicos son

continuos o a lo más tienen un número finito de discontinuidades.

R

N

M

e

a

R

y

Q T s x

y

0

R

11

= dt

dy

La razón entre ellas es la derivada de y con respecto a x,

= dx

dy

Con las fluxiones, Newton generaliza el método iniciado por Galileo y Roverbal (aunque

probablemente estos trabajos le fueron desconocidos) pues este último sólo era aplicable a

movimientos que determinaban curvas con ciertas particularidades, en cambio el método de las

fluxiones era aplicable a un universo más amplio de curvas y presentaba la gran ventaja de ser

más algorítmico. Las fluxiones o velocidades de las fluentes son en realidad razones de cambio

instantáneas, pues expresan la rapidez con que cambia una variable respecto a otra en un instante;

esta es la idea física fundamental que subyace en el actual concepto de derivada, idea que se

encuentra escondida detrás de las definiciones formales dadas por los textos de cálculo actuales.

En la cuantificación de la rapidez de la variación se encuentra el germen que posteriormente se

convertiría en derivada, así que para comprender la esencia de este concepto habrá que recuperar

las ideas subyacentes en las fluxiones. También el concepto de fluxión es asociado por Newton

con el problema de las tangentes, éstas son concebidas de manera muy similar a las ideas

desarrolladas por Roverbal y sus predecesores, pues considera una curva f(x, y) = 0 como el

lugar geométrico determinado por la intersección de dos rectas en movimiento, una vertical y la

otra horizontal, las coordenadas x e y del punto en movimiento son funciones del tiempo t y

están representadas por las rectas horizontal y vertical, respectivamente (ver figura 5).

El movimiento es entonces la composición del movimiento horizontal cuya velocidad está

representada por el módulo del vector de x y la del movimiento vertical por el módulo del vector

y, por medio de la ley del paralelogramo se obtiene el vector resultante cuya dirección determina

la tangente a la curva y que tiene como pendiente: /

La acumulación de una abundante cantidad de descubrimientos sobre los problemas derivados de

la mecánica y sus repercusiones sobre los problemas de las tangentes, las áreas y volúmenes (en

los que cobraba cada vez mayor auge el uso de los infinitesimales), propició que el centro de

atención pasara entonces, de los esfuerzos por resolver problemas independientes al método

mismo. En este empeño Newton resuelve los dos problemas fundamentales de la mecánica: la

determinación de la velocidad del movimiento en un momento dado según el camino dado, y,

dada la velocidad de un movimiento determinar el camino recorrido en un tiempo dado. El primer

problema representa el caso general de la diferenciación implícita de funciones y la obtención de

la ecuación diferencial correspondiente, el segundo se refiere al problema de la integración de

ecuaciones diferenciales presentado en su forma más general. Casi al mismo tiempo G. W.

Leibniz llega a resultados similares en 1684, explorando la vía geométrica obtiene un método

x

y f ( x, y)

Figura 5

12

general para la resolución del problema de las tangentes y la determinación de áreas y volúmenes.

Dos problemas aparentemente independientes son resueltos mediante algoritmos generales que

constituyeron las bases del Cálculo Infinitesimal, dentro del naciente cálculo la derivada es

considerada como velocidad instantánea en el cálculo de Newton y como cociente de

diferenciales en el cálculo de Leibniz.

El impacto de la efectividad del Cálculo Infinitesimal fue tan grande que en casi todo el siglo

XVIII los matemáticos se dedicaron a explorar sus aplicaciones a la mecánica obteniendo

resultados muy importantes en el cálculo variacional, en la astronomía, en la hidrodinámica, etc..

No obstante, ya desde 1737 en El Analista o Discurso dirigido a un matemático infiel el inglés

Berkeley lo criticaba por la imprecisión de sus fundamentos, particularmente criticaba la

vaguedad de los infinitesimales haciendo notar que se trabaja con incrementos pequeños, que en

principio son considerados diferentes de cero con el objeto de dividir por ellos pero al final se les

considera iguales a cero para poderse liberar de ellos. Pero el poderío del cálculo era mucho más

atrayente, de manera que pocos matemáticos se interesaron por esclarecer los problemas del rigor.

No fue sino hasta finales del siglo XVIII, que por diversas razones (principalmente porque

matemáticos prominentes consideraban agotados los métodos del siglo XVIII para un ulterior

desarrollo de la matemática) empezaron a buscar una fundamentación rigurosa del cálculo y ésta

empezó por la reflexión acerca de su concepto más endeble: el concepto de infinitesimal. Ya en

sus tiempos, Newton contestó a las críticas de Berkeley aduciendo que las fluxiones se obtienen

de las últimas razones, éstas son los límites a los cuales siempre convergen las razones de

cantidades que siempre decrecen ilimitadamente antes de que éstas se anulen. Ya desde estas

reflexiones la idea de límite hace sentir su importancia, pero ni Newton ni los matemáticos del

siglo XVIII inventaron un lenguaje algebraico que hiciera posible su utilización en las

demostraciones referentes a los límites. Los pasos en firme en la reconstrucción de los

fundamentos del Análisis Matemático, sobre la base de la teoría de los límites, fueron dados por

Cauchy en 1820 a través del lenguaje algebraico de las desigualdades. Con esta reconstrucción se

introducen definiciones sólidas sobre la convergencia de series, el límite, la continuidad y la

diferenciabilidad. Estos son los temas que en esencia manejan los libros usuales de cálculo, en

este contexto la derivada es un límite especial:

f x limf x x f x

xx' ( )

( ) ( )

0

siempre que este límite exista.

Con el perfeccionamiento del concepto del límite, definido en términos de los y , la

construcción de la teoría de los números reales, de la teoría de conjuntos y el desarrollo de la

teoría de las funciones, se le da al Análisis Matemático una estructura lógica coherente. En esta

estructura los conceptos básicos son definidos rigurosamente partiendo de los números reales y

las funciones, en virtud de que la derivada es definida como un límite especial existente sólo para

funciones continuas, se definen la continuidad y el límite previamente, la continuidad es definida

en términos del límite y éste a su vez es definido por medio de los y .

En resumen, en el desarrollo histórico del concepto de derivada se distinguen esencialmente tres

periodos: el de sus antecedentes geométricos, su periodo embrionario y el de su consolidación. En

el primero, sus antecedentes geométricos están estrechamente ligados al problema de las

13

tangentes, este problema es estudiado desde el periodo de la Matemática de las Constantes y

predominaron en él los métodos griegos de trazo de tangentes a la cónicas e incluso a la espiral de

Arquímedes, los griegos no vieron la necesidad de ir más allá de estos hallazgos pues satisfacían

enteramente los requerimientos de su geometría. El segundo periodo tiene lugar en la segunda

mitad del siglo XVII y casi todo el siglo XVIII, en este periodo embrionario de su desarrollo, el

concepto de derivada se origina del estudio de los problemas de la variación a través de los

métodos infinitesimales, en el Calculus de Newton aparece como velocidad instantánea y en el

Cálculo de los Diferenciales de Leibniz como cociente de diferenciales. En el tercer periodo, el

de su consolidación, se le considera como un concepto abstracto definido en términos del límite e

inserto en una estructura coherente determinada por el rigor matemático, así es como ha llegado a

la actualidad y así es como generalmente ha sido introducido a las escuelas con fines educativos.

Implicaciones didácticas del análisis histórico

En el análisis histórico anterior, se ha puesto de manifiesto que para llegar a lo que actualmente se

conoce como derivada, tuvieron que transcurrir varios siglos de desarrollo de las ideas

matemáticas relacionadas con las tangentes, con la variación y con los infinitesimales, para que se

formalizara una definición rigurosa en términos del límite. Antes de que se crease esta definición

y se enmarcase en una adecuada estructura deductiva del Análisis Matemático, no solamente se

había extendido y aplicado con mucho éxito el cálculo de Newton y Leibniz, sino que sobre sus

nociones fundamentales se habían desarrollado nuevos campos dentro de la matemática. ¿Cómo

fue que se lograron estos avances? Morris Kline da algunas explicaciones al respecto:

... en gran parte se debieron a que los matemáticos pensaron intuitivamente, a que usaron frecuentemente

los argumentos físicos. ...los esquemas geométricos y las generalizaciones a las que llegaron fueron

apoyadas en casos particulares conocidos que les permitieron llegar a conclusiones correctas. ..durante los

siglos en que se edificó el cálculo no había aún un desarrollo lógico que hiciera consistente sus

fundamentos, aparentemente la intuición de los matemáticos de ésa época fue más poderosa que su lógica.

Kline M.; El fracaso de la Matemática Moderna. Por qué Juanito no sabe sumar; pp. 47.

Así pues, el desarrollo histórico de las ideas matemáticas sugieren un camino que pudiera ser

explorado en la enseñanza, para que una persona alcance el nivel de pensamiento que alcanzaron

varias de sus generaciones precedentes es necesario que pase aproximadamente por las mismas

experiencias de sus antepasados. En la actualidad varios investigadores en matemática educativa

sugieren este camino, particularmente E. Wenzelburger en su libro de Cálculo Diferencial señala:

...de esta manera podría obtener del proceso histórico de desarrollo del análisis matemático indicaciones

importantes acerca del fin y propósito de esta rama de las matemáticas. La enseñanza del cálculo se

debería orientar en esta génesis que tuvo lugar en la historia de la ciencia matemática: una formación lenta

de conceptos matemáticos a través de la liberación de las percepciones sensoriales la intuición primaria.

Wenzelburger E.; Cálculo Diferencial. Una guía para maestros y alumnos; pp. 2.

14

La mayoría de los acercamientos en la enseñanza del concepto de derivada, en los textos y

programas (como se demostrará más adelante), generalmente siguen la estructura del Análisis

Matemático, quizá para ganar en rigor matemático. Sin embargo, detrás de este formalismo que

difícilmente los estudiantes comprenden se esconden las ideas intuitivas que dieron origen al

concepto de derivada. Es muy relevante la influencia de las motivaciones extramatemáticas en el

desarrollo histórico de este concepto, principalmente las provenientes de los problemas del

movimiento y la variación física, vale la pena entonces explorar acercamientos didácticos menos

rigurosos y más intuitivos que recuperen este camino y posibiliten una comprensión significativa

por parte de los estudiantes. Tampoco se trata de reproducir fielmente en el aula cada uno de los

episodios que tuvieron lugar en la historia de su desarrollo, sino de recuperar de ella las ideas,

estrategias y procedimientos claves que contribuyeron a su formación. Es razonable entonces

intentar la formación de este concepto explotando el potencial que las nociones de variable y

función tuvieron en la modelación de los problemas del movimiento, de manera que esto prepare

el terreno para estudiar los problemas de la rapidez de la variación por medios infinitesimales.

15

CAPITULO 2 LA DERIVADA EN LOS TEXTOS Y PROGRAMAS

Para caracterizar la enseñanza de la derivada en el bachillerato de la región y el papel que en ella

juega el estudio de la variación, a continuación se presenta un análisis sobre los textos y los

programas. Para facilitar el análisis, el contenido de los textos fue clasificado en conceptos,

relaciones y procedimientos. Entre los primeros se incluyen los conceptos más importantes y se

revisa de ellos la naturaleza de sus definiciones, la secuencia en que están ordenadas y su relación

con el estudio de la variación. En cuanto a las relaciones, se revisa cuáles son los teoremas,

propiedades y reglas más importantes que los autores proponen como elementos precedentes al

tema de derivada y el concerniente a este mismo concepto. En lo que se refiere a los

procedimientos, se indaga qué habilidades se pretenden desarrollar con los ejercicios y problemas

planteados y qué relaciones guardan éstas con los problemas de la variación.

En el mercado existen decenas de libros de texto de cálculo, sin embargo la revisión que aquí se

presenta fue realizada a los textos de uso frecuente en el bachillerato de la región. Su selección

fue determinada en base a cuatro criterios: los que con más frecuencia se citan en los Programas

Oficiales de los tres subsistemas de Educación Media Superior en el Estado de Guerrero, los que

con mayor frecuencia fueron citados en una encuesta realizada exprofeso a 9 profesores de

cálculo y a 183 estudiantes de las escuelas Preparatorias de la UAG en el año de 1990, los que

mayor demanda comercial tienen en el medio y los que invariablemente se encuentran

disponibles en las bibliotecas. Bajo esto criterios se seleccionaron los textos Cálculo Diferencial e

Integral de W. A. Granville, el de A. Anfossi y M. A. Flores Meyer, el de Ayres F. Jr. y el de M.

Santaló y V. Carbonell. Por otro lado, siguiendo un esquema parecido al utilizado en el análisis

de los textos, se hace un análisis sobre el enfoque, objetivos y contenidos que declaran los

programas de CD del Nivel Medio Superior del Estado de Guerrero. Para ampliar el panorama se

consultaron tres trabajos de corte curricular que atañen a 22 países iberoamericanos, a 13 países

de la Comunidad Europea, de Hungría, de Japón y de los Estados Unidos de Norteamérica.

Conceptos precedentes a la derivada en los textos

Se considera que los autores tratan tal o cual concepto, si estos son anunciados en los capítulos o

temas y se dan sus definiciones correspondientes, bajo estas premisas los textos revisados

invariablemente presentan los conceptos de: variable, función, límite y continuidad, antes de

introducir el concepto de derivada (ver Tabla 1). El concepto de variable en el texto de Granville

W. A. se define como una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso

de análisis, un número ilimitado de valores, las simboliza con las últimas letras del

alfabeto, en cambio aquéllas que su valor se mantiene fijo les denomina constantes. Anfossi/F.

Meyer no da una definición explícita, sino que mencionan que en las investigaciones matemáticas

intervienen dos clases de cantidades, unas que son constantes y otras que son variables. El

término cantidades puede ser motivo de ambigüedades y causar confusiones en los estudiantes

pues en la práctica generalmente se les relaciona con números estables y por tanto no admiten un

número ilimitado de valores, también la definición dada por Granville W. A. tiene sus

inconvenientes pues existen variables que no necesariamente admiten un número ilimitado de

16

valores. Santaló/Carbonell y Ayres F. Jr. dan definiciones de corte conjuntista, el primero

establece que una variable es la totalidad de elementos de un conjunto que se le representa con

una letra, esta definición es evidentemente errónea pues la variable es el símbolo que representa

a un elemento arbitrario del conjunto y no a la totalidad de ellos, en el segundo caso la definición

es menos problemática y es referida a intervalos de la recta real, son denotados como a x b

en donde el símbolo x es la variable que representa un número cualquiera del conjunto de

números reales comprendidos entre las constantes a y b.

TABLA 1. CONCEPTOS PRECEDENTES A LA DERIVADA EN LOS TEXTOS

GRANVILLE W. A. ANFOSSI/F. MEYER AYRES F. JR. SANTALÓ/CARBONELL

Variable y const. Variable y constante Números reales Relación y función

Intervalo Función Valor absoluto Variable

Variación continua Función algebraica y trasc. Intervalos Dominio e intervalo de variable.

Función entera y fraccionaria Constantes absolutas, parámetros

Funciones Función explícita e implícita Función de una var.

Variable dep. e

independientes

Función simple y compuesta Sucesión infinita Límite de una sucesión

Función de función e inversa Límite de una función

Límite de variables Funciones logarítmicas y

circulares

Límite de sucesiones

Límite de una

función

Límite Límite por la derecha y

por la izquierda.

Función continua

Función continua y

discontinua

Función continua y discontinua Límite de una función

(los y los )

Función discontinua

Series (converg., divergente,

armónica, alternante).

Continuidad (discontinuidad) en un

intervalo

Límites infinitos El número e como límite de una

suma

Función continua Incrementos

Infinitésimo. Logaritmo. Función discontinua

El concepto de función en los textos de Granville W. A. y Anfossi/F. Meyer se define como la

relación entre dos variables, de modo que la variable dependiente y es designada como función

de la variable independiente x, aunque Granville W. A. establece su existencia cuando el valor de

la primera queda determinada si se da un valor a la segunda y Anfossi/F. Meyer introduce la

propiedad de correspondencia uno a uno. En el mismo sentido está planteada en el resto de los

textos con la diferencia de que Santaló/Carbonell primero define el concepto de relación y a la

función la define como un caso particular de aquella. Todos estos textos plantean las definiciones

de variable y función para luego dar escasos ejemplos de la geometría o de la física para ilustrar

el significado de las variables, no se explota la relación entre los fenómenos de la variación y el

concepto de función como modelos que los describen, en Ayres F. Jr. solamente se resuelven a

manera de ejemplos dos problemas asociados a la variación, uno sobre áreas y otro sobre

volúmenes, de los que se extraen las funciones. Todo indica que la pretensión de los autores es

estudiar estos conceptos en el contexto puramente matemático y buscarle algunas interpretaciones

prácticas pero sólo como complemento, sin explotar el origen que estos conceptos tienen en la

modelación de los fenómenos de la variación.

El concepto de límite es definido en todos los textos revisados a la usanza de Weierstrass aunque

con algunas diferencias en cuanto a terminología. Esencialmente plantean:

Se dice que límx a

f x A

( ) si dado un tan pequeño como se quiera existe un tal que si 0 | x - a |

se verifica que 0 | f(x) - A | .

17

Mayoritariamente la definición está motivada por cuestiones intramatemáticas, en especial por el

análisis del comportamiento de algunas sucesiones. Particularmente Anfossi/F. Meyer lo

introduce a través del cálculo del área de un cuadrado inscribiendo sucesivamente otros

cuadrados de menor tamaño, este problema conduce al cálculo del límite de una serie. El estudio

de sucesiones convergentes es utilizado por casi todos los textos con el fin de explicar que la idea

de límite está asociada a la idea de aproximación hacia un valor fijo y que este valor, no

necesariamente es un término de la sucesión. Particularmente Santaló/Carbonell y Ayres F. Jr.

introducen la idea de límite analizando sucesiones del estilo 2.5, 2.9, 2.99, ..., Ayres F. Jr. agrega

algunas propiedades de los límites laterales. Todos los textos analizados trabajan solo la

continuidad puntual y la relacionan con los gráficos que no presentan saltos o huecos después de

dar una definición formal. Granville W. A. considera como condición suficiente para la

continuidad, que el límite y el valor de la función sean iguales en el punto. Anfossi/F. Meyer

también utiliza el concepto de límite para definir la continuidad, solamente que bajo la condición

de que para un incremento sumamente pequeño de la variable independiente le corresponda un

incremento también sumamente pequeño a la variable dependiente, aunque en la parte de

observaciones la define como lo hace Ayres F. Jr. Este último y Santaló/Carbonell, plantean, una

función f es continua en x0 si:

i) está definida f(x0 ); ii) existe el límite límx x

f x

0

( ) y iii) límx x

f x

0

( ) = f(x0 ).

Por lo general en los textos se ejemplifica la continuidad o discontinuidad utilizando las gráficas

de funciones del estilo: f(x) = 1/x y g(x) = (x2 - 4)/(x - 2); haciendo notar sus interrupciones.

Tanto el concepto del límite como el de continuidad no son introducidos a partir de la necesidad

de explicar los fenómenos de la variación, más bien son estudiados por la matemática misma.

Relaciones y operaciones precedentes en los textos

De los textos revisados, solamente Ayres F. Jr. en el primer tema, Variables y Funciones, hace

referencia a algunas propiedades de las desigualdades, éstas las utiliza para representar intervalos

de variación. En cuanto a funciones, sólo Santaló/Carbonell trabaja algunas propiedades de las

funciones y sus gráficos, caracteriza su crecimiento, decrecimiento, sus puntos máximos o

mínimos, intervalos donde es negativa, positiva, etc.. No se da en los textos una justificación

formal para la operatoria de funciones. Previo a la derivada, todos los textos establecen los

teoremas básicos del álgebra de los límites y agregan los criterios para calcular límites que

conducen a formas del tipo 0/0, /. Sólo Anfossi/F. Meyer introduce los límites especiales:

em

m

mlím

x

xtan

xlím

x

x sen

xlím

)

11( ;1

0 ;1

0

y establece algunas condiciones para la convergencia de sucesiones, pues una vez que trata el

límite inicia el estudio de las series y relaciona los límites de éstas con su convergencia. También

en el tema de límites, Granville W. A. presenta algunos teoremas relativos a los infinitésimos que

no los utiliza para definir la derivada. En cuanto a la continuidad, solamente Ayres F. Jr. plantea

tres de las propiedades (teoremas) de las funciones continuas, fundamentalmente las que

sustentan la existencia del valor nulo y de valores máximos o mínimos de este tipo de funciones.

18

En cuanto a los procedimientos, Granville W. A. propone sólo dos bloques de ejercicios en los

que pide demostraciones que no son tales, pues solo requieren transformaciones algebraicas y

calcular límites. Mayor cantidad de ejercicios proponen el resto de los textos, en general

proponen los relacionados con la evaluación, clasificación, graficación, determinación del

dominio, cálculo de límites y determinación de continuidad de funciones algebraicas. Sólo el

texto de Anfossi/F. Meyer plantea ejercicios sobre composición de funciones, convergencia o

divergencia de series y el cálculo de límites de funciones trascendentes. Es notorio que sólo

Santaló/Carbonell plantean un bloque de ejercicios en donde se pide analizar funciones simples a

partir del examen visual de sus gráficos. A excepción de Ayres F. Jr., los textos no plantean

problemas en los que se pida al lector obtener el modelo matemático de función o límite, en la

mayoría de los casos los modelos (fórmulas de funciones) son dados por el autor. Se percibe en

los ejercicios y problemas propuestos en los textos, una tendencia marcada hacia el uso de

algoritmos, pues presentan muy pocos en donde se requiere que la heurística juegue el papel

principal, la variedad es escasa y muchos de ellos implican el uso repetitivo de técnicas

preestablecidas, prácticamente todos ellos son de corte intramatemático y no se plantean

problemas relacionados con la variación física.

Tratamiento del concepto de derivada

El tratamiento de la derivada en los textos sigue, casi invariablemente la secuencia: incrementos,

límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero,

notación, regla general para la derivación e interpretación geométrica, ver Tabla 2. Todos definen

a la derivada prácticamente en los mismos términos:

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la

variable independiente cuando éste tiende a cero, en símbolos:

limx

f x x f x

xlimx

y

x

0 0

( ) ( )

Siempre que este límite exista.

En la mayoría de los textos, el concepto de derivada es introducido por medio de un ejemplo

específico en donde se utilizan las aproximaciones numéricas de los incrementos, de modo que se

analiza la sucesión de cocientes y/x cuando al x se le asignan valores muy próximos a cero,

el uso de las aproximaciones numéricas es muy escaso en el texto de Ayres F. Jr. En Granville W.

A., una vez que construye la definición de derivada, la detalla paso a paso para dar lugar a la

regla general de derivación, después propone 29 ejercicios en donde se pide calcular la derivada

de igual número de funciones por medio de la regla general, finalmente da la interpretación

geométrica. El texto de Anfossi/F. Meyer sigue prácticamente la misma secuencia, sólo que la

interpretación geométrica se presenta después de la regla de los cuatro pasos.

19

TABLA 2. CONTENIDO PRECEDENTE A LA DERIVADA

GRANVILLE W. A. ANFOSSI/F. MEYER AYRES F. JR. SANTALO/CARBONELL

Incrementos Incrementos Incrementos Cociente de incrementos.

Comparación de incrementos

Derivada Derivada Derivada en un punto

Derivada de una función

Operaciones para la derivación (regla de los 4 pasos)

Cálculo de derivadas (regla de los 4 pasos)

Función derivada y notaciones.

Notación para derivadas

Cálculo de derivadas por medio de la regla general

Interpretación geométrica y física

Obtención de la función derivada (regla de los 4 pasos)

Regla general de derivación (regla de los 4 pasos)

Representación geométrica de la derivada.

Derivadas sucesivas

Cálculo de derivadas (regla los 4 pasos)

Aplicación (obtención de ecuaciones de tangentes)

Reglas y fórmulas de derivación.

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica.

Más tardíamente dan la interpretación geométrica pues para llegar a ella le preceden la regla de

los cuatro pasos y las fórmulas básicas de derivación. En general el tratamiento que los textos le

dan a la derivada no es motivado por el estudio de los fenómenos de variación o partir del

problema de las tangentes, la mayoría utilizan introducciones de corte numérico y en lo analítico

se reduce al trabajo algebraico con los incrementos al aplicar la regla de los cuatro pasos. La

interpretación geométrica es planteada después de la definición y ésta consiste en considerar a la

derivada como la pendiente de la tangente a la gráfica de la función, la relación con los

problemas de la variación física son tratados hasta en el capítulo dedicado a las aplicaciones. Para

la asimilación del concepto de derivada, la mayoría de estos textos plantean ejercicios de

obtención de derivadas mediante la regla de los cuatro pasos, la obtención de pendientes de

curvas y tangentes, la determinación de ecuaciones de tangentes y normales y el cálculo del

ángulo de intersección entre dos curvas. Solamente Ayres F. Jr., en la parte tanto de problemas

resueltos como de problemas propuestos, plantea un ejercicio en donde se requiere del cálculo de

la velocidad media y de la velocidad instantánea.

En resumen, antes de arribar al concepto de derivada, todos los textos revisados tratan los

conceptos de, variable, función, límite y continuidad, aunque con ligeras variantes. Si se atiende

al rigor matemático, éste es más acentuado en los textos de Santaló/Carbonell y Ayres F. Jr., en

ellos se definen los conceptos básicos en términos conjuntistas (o por medio los y en el

caso del límite en Ayres F. Jr.) mientras que en los otros se utilizan las cantidades y las

magnitudes. Si se atiende a la cantidad de contenidos previos, éstos son mucho más abundantes

en el texto de Anfossi/F. Meyer, particularmente cuando se trata el tema de las funciones y los

límites, el tratamiento de los contenidos previos a la derivada es más sucinto en Granville W. A.

Mayoritariamente los textos trabajan con funciones algebraicas polinómicas, racionales e

irracionales a excepción de Anfossi/Flores Meyer que hacen un tratamiento muy amplio sobre

diversas clases de funciones. El tratamiento del concepto de derivada en los textos revisados se

ciñe a la secuencia: incrementos, límite del cociente incremental cuando el incremento de la

variable independiente tiende a cero, notación, regla general de derivación y por último su

interpretación geométrica. En su mayoría, este concepto es generado mediante aproximaciones

numéricas para explorar el límite del cociente y/x cuando a x se le asignan valores muy

próximos a cero (aunque en los problemas propuestos no se plantea ningún ejercicio de esta

naturaleza), luego se trabaja con la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas, finalmente

se plantean problemas relacionados con las tangentes, las normales y el ángulo de intersección

20

entre dos curvas. Solamente Ayres F. Jr., propone un ejercicio sobre velocidades instantáneas, en

el resto algunos problemas de este tipo son planteados hasta en el tema de las aplicaciones.

Una visión de conjunto de la derivada en los textos tradicionales

Utilizando los textos aquí revisados difícilmente los estudiantes podrán comprender la esencia del

concepto de derivada. En aras del predominio de cierto rigor matemático (malogrado en algunos)

y su empeño acentuado en el aprendizaje de algoritmos, de hecho omiten las relaciones claves

que este concepto tiene con la variación. En estos textos las motivaciones y el tratamiento de los

conceptos básicos del CD y en particular de a la derivada, siguen una línea de corte

intramatemático, de modo que son presentados como conceptos abstractos que parecen tener

existencia sólo dentro de la misma matemática. Si acaso se relacionan con la realidad es para

exponer ejemplos esporádicos muy puntuales que pronto son relegados u omitidos.

Todo indica que los textos sacrifican el desarrollo de ideas y significados variacionales de los

conceptos básicos del cálculo imponiendo el predominio del trabajo algorítmico. Todos plantean

la interpretación geométrica de la derivada como complemento o como parte de las aplicaciones,

pero esta es sólo una forma de interpretarla y además en cierto sentido esconde su naturaleza

variacional. Mediante las ideas de la variación, particularmente de la rapidez de la variación, se

puede hacer patente la esencia de este concepto. Con la interpretación geométrica queda

escondida, pues la pendiente de la tangente como su interpretación geométrica da idea de algo

estático en cambio la derivada es un concepto dinámico. Dinámico en el sentido de que cuantifica

el cambio y lo cuantifica de una manera muy especial, proporcionando un índice o razón de

cambio, bien en un punto o en todo un intervalo. En la cuantificación del cambio encuentran su

razón de ser los conceptos básicos del cálculo (y por supuesto la derivada), por eso muchos

matemáticos suelen caracterizar al cálculo y al Análisis Matemático en general, como la

matemática del cambio. Los textos usuales están muy lejanos de reflejar esta característica

fundamental del cálculo.

Por otro lado, para llegar al concepto de derivada los textos recorren un largo camino, pues la

asumen como un límite especial existente sólo para las funciones continuas, esto exige el

establecimiento de toda una cadena de definiciones previas de conceptos involucrados en la

definición. Esto obliga a definir previamente el límite y la continuidad, a establecer sus

propiedades, pero éstos a su vez están definidos en términos de números reales y asociadas a las

funciones por eso se hace necesario definirlos también y estudiar sus propiedades. Si este

volumen de contenidos es llevado al aula cabe entonces preguntarse ¿Tiene sentido hacer que los

estudiantes recorran este camino tan largo para arribar a la derivada? Los textos revisados

seguramente se ajustaron a ciertas condiciones de desarrollo de la enseñanza del cálculo y quizá

se sujetaron a ciertos programas preestablecidos. Pero de cualquier manera parece que este

recorrido es innecesario por varias razones, y una de las más inmediatas está relacionada con el

tiempo oficial otorgado al curso de CD. Por tal razón los profesores frecuentemente dicen que no

les dio tiempo siquiera llegar al concepto de derivada pues la mayor parte del tiempo se les

consumió en el tema de las funciones y los límites. Hace falta pues diseñar nuevos materiales que

coloquen a las ideas de la variación y el significado físico de los conceptos del cálculo, en

especial de la derivada, como los elementos centrales de este curso y que a partir de las

necesidades determinadas a partir de la explicación, modelación y predicción de los fenómenos

de la variación se simplifique y determine el contenido pertinente.

21

La derivada y el cálculo diferencial en los programas

En el Estado de Guerrero, los estudiantes del Nivel Medio Superior que realizan estudios de

bachillerato lo hacen en tres tipos de planteles: los que dirige directamente la Secretaría de

Educación Pública a través de la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial

(DGETI)1 o de la Dirección General de Educación Tecnológica Agropecuaria (DGETA)2, en los

Planteles del Colegio de Bachilleres (COBACH) que dirige el Gobierno del Estado y en las

Escuelas Preparatorias que dependen de la Universidad Autónoma de Guerrero. En este Estado, y

en el resto del país, la Educación Media Superior se ofrece después de la Educación Media

Básica (Secundaria) y orienta los estudios hacia tres alternativas: la propedéutica, terminal y la

bivalente. La primera encauza a los estudiantes hacia las licenciaturas, la segunda hacia el trabajo

técnico de producción o de servicios y la tercera hacia ambas finalidades. En los bachilleratos de

la primera y la tercera opciones generalmente se incluye el estudio del CD, el subsistema DGTI

lo incluye en el 4o. semestre, el COBACH y algunas Preparatorias de la UAG en el 5o.. Según el

Diagnóstico para la Modernización de la Educación en el Estado de Guerrero, en el año escolar

1989-90, las Preparatorias de la UAG atendían el 49 % de la población escolar total del Nivel

Medio Superior y, entre los Colegios de Bachilleres y Planteles dirigidos directamente de la SEP,

atendían el 30 %. En términos de población escolar, resulta representativo un análisis de los

programas de estos subsistemas y se puede obtener de él información sobre la enseñanza de la

derivada y el CD en las escuelas del Nivel Medio Superior del estado de Guerrero.

En virtud de que en los programas analizados solo declaran objetivos y contenidos (uno de ellos

agrega actividades de aprendizaje), solo se puede obtener de ellos una panorama general acerca

de cómo sugieren sea tratado el CD y la derivada. En cuanto al enfoque del contenido y los

objetivos generales, los programas de DGETI y el COBACH plantean un tratamiento del CD en

forma intuitiva e informal, reconocen su relación con los problemas de la física y la geometría

por lo que se sugieren relacionar los contenidos con problemas de la realidad. En el segundo

programa se declara a las funciones como el eje organizador de los contenidos en tanto que en el

primero (dado el carácter tecnológico de los bachilleratos a los que se dirige) destaca las

aplicaciones tecnológicas del CD y no declara ningún núcleo orientador. En los programas de las

Preparatorias de la UAG no encontramos ninguna alusión al enfoque ni a la concepción general

del curso. En los objetivos generales declarados en los programas del COBACH y de la UAG

(ver cuadro núm. 3) se declara el adquirir o comprender el concepto de derivada y en el de

DGETI se perciben inclinaciones marcadas hacia el trabajo algorítmico y no se hacen referencias

a la comprensión de este concepto. De una revisión global a los citados programas se aprecia que

las pretensiones son de que los estudiantes profundicen más sobre funciones, que sepan derivar y

que puedan aplicar la derivada a problemas de máximos y mínimos, aunque en los Programas de

la UAG sólo se declara que los alumnos comprendan el concepto de derivada y puedan derivar

funciones.

Previo a la derivada, los programas sugieren que se estudien las funciones, sus límites y su

continuidad, posterior a la derivada sugieren el tratamiento de los procedimientos de derivación,

las aplicaciones de la derivada al análisis de funciones y la resolución de problemas de

optimización. En cuanto a relaciones, proponen estudiar las propiedades de funciones algebraicas

1Que dirige a los Centros de Estudios Tecnológicos industrial y de servicios (CETis), los Centros de Bachillerato

Tecnológico industrial y de servicios (CBTis) y los Centros de Estudios Tecnológicos del mar (CET mar). 2Que dirige a los Centros de Estudios Tecnológicos Agropecuarios (CBTA) y a los Centros de Estudios

Tecnológicos Forestales (CBTF).

22

y trascendentes y de sus gráficos, así como las operaciones básicas con ellas. Los teoremas sobre

el álgebra de los límites son de estudio obligado según los programas, respecto a la continuidad

en ningún programa se sugiere ir más allá de la elemental asociación entre este concepto y las

gráficas de funciones que no presentan rupturas.

TABLA 3. OBJETIVOS GENERALES EN LOS PROGRAMAS DE CALCULO DIFERENCIAL

PROG O B J E T I V O S G E N E R A L ES

OBJETIVOS ASOCIADOS

D G E T I

Desarrollar la habilidad de reconocimiento de la dependencia entre una magnitud con respecto a otra (funciones). La habilidad de mecanismos de cálculo que le permitan analizar situaciones entre la dependencia, entre variantes y relaciones de comportamiento de la variación

Explicar a las funciones como un modelo que representa un problema real de dependencia entre dos magnitudes. Utilizar los algoritmos de derivación en funciones algebraicas y trascendentes. Resolver problemas prácticos que impliquen el uso de la derivada y la diferencial.

C O B A C H

...que el estudiante amplíe y profundice el estudio de las funciones a partir de su clasificación, su representación gráfica y los conceptos de continuidad y límite, asimismo partir de problemas de velocidad instantánea de un móvil o de pendiente de la recta tangente a una curva, el estudiante adquirirá el concepto de derivada y derivará funciones algebraicas y trascendentes, con lo cual podrá aplicar la derivada en la solución de problemas concretos que involucren máximos y mínimos.

U A G

Al terminar el curso el alumno comprenderá lo que es “derivada de una función” y podrá efectuar con facilidad el proceso general de derivación.

En cuanto a los procedimientos, los programas generalmente sugieren que los estudiantes deben

ser capaces de clasificar funciones, que puedan representarlas gráficamente y realizar las

operaciones básicas con ellas, solamente en el programa del COBACH plantea además que

puedan realizar análisis de las gráficos de funciones, a excepción de uno de los programas de las

Preparatorias de la UAG (el aprobado en 1981)3 se sugiere que los estudiantes puedan calcular

límites, en especial los que conducen a las formas indeterminadas. El contenido previo a la

derivada en el Programa Homologado de CD avalado por la Coordinación de Educación Media

Superior de la UAG (CENMSUAG) es prácticamente el mismo que el señalado por los demás

programas, aunque se nota cierta tendencia hacia una estructuración más formal desde el punto de

vista matemático, pues se agrega la relación entre el límite y la continuidad no contemplada en el

resto de los programas. En este programa no se declaran objetivos, en cambio aparece un

3En prácticamente toda la década de los 90, se trabajó con dos Planes de Estudio distintos dentro de las Escuelas

Preparatorias de la UAG. En uno de ellos, el Programa de Cálculo Diferencial está propuesto para el 5o. semestre

(aprobado en 1974), su estructura consta de tres apartados: Funciones y Límite, Derivadas y Máximos y Mínimos.

En él no se declaran objetivos, ni se declaran expresamente los contenidos, pero se plantea una especie de notas en

las cuales, en lo que concierne a la derivada, siguen la secuencia: incrementos, cociente incremental, límite del

cociente incremental, reglas de derivación para funciones de la forma y = mx +b, de sumas, productos, cocientes de

funciones y de funciones de la forma y = xn, y finalmente su interpretación geométrica y aplicaciones al cálculo de

velocidades y aceleraciones. En el año 2000 se publican los nuevos Programas de Estudios para el Nivel Medio

Superior de la UAG, incluidos los de cálculo, en cuanto a contenidos prevalecen los mismos: función, límite,

continuidad, derivada y aplicaciones. En cuanto a objetivos se pretende reforzar el concepto de función, explicar sin

demostrar las propiedades del límite, continuidad y diferenciabilidad; calcular derivadas y aplicarla en la resolución

de problemas. En todos ellos prevalece el predominio la estructura heredada del análisis matemático, la variación es

un tema relegado u omitido.

23

apartado titulado descripción del programa donde se hace una serie de recomendaciones

puntuales para tratar el contenido. Los objetivos generales del curso se encuentran en el Plan de

Estudios 1995, en este documento se fusionan los contenidos de los Programas Homologados de

Junio de 1994 los objetivos generales allí declarados se centran en consolidar el manejo y

aplicación del concepto de función, en que los estudiantes comprendan y manejen el concepto de

derivada, que desarrollen habilidades en el cálculo de derivadas e integrales y que puedan aplicar

el Cálculo Diferencial e Integral en la resolución de problemas prácticos.

En el programa de DGETI (ver cuadro 4), se plantea como objetivo interpretar el concepto de

derivada a través de las razones de cambio promedio y de las ideas de rapidez de la variación,

para arribar a la rapidez de variación instantánea como un límite especial. En las actividades de

aprendizaje se plantea discutir el concepto de incremento e interpretar la rapidez instantánea

como la pendiente de la tangente en un punto, por último sugiere la investigación de las

notaciones para derivadas y la extensión de derivada en un punto a un intervalo. En el programa

del COBACH se pretende una introducción más libre, pues el objetivo sugiere presentarla a

través de los problemas de las velocidades instantáneas o bien por la vía de las tangentes para

después obtener algunas fórmulas de derivación aplicando su definición. En el caso del programa

de las Preparatorias de la UAG (el aprobado en 1981) sólo se menciona que el alumno debe

interpretar geométricamente la derivada. El Programa Homologado de Cálculo Diferencial de la

CENMSUAG sugiere tratar la derivada en varias formas, como pendiente de tangentes o como

razón de cambio, después recomienda el trabajo con los cocientes de incrementos abriendo la

posibilidad de usar los infinitesimales, luego la derivada como función para después calcular

muchas derivadas, al final propone estudiar las aplicaciones. Nuevamente en este último

programa prevalece la inclinación de transmitir sólo contenido matemático y minimizar el papel

que juegan las ideas de la variación en la formación de los conceptos del cálculo, además, de un

programa nuevo se espera que supere a sus antecesores, sin embargo, se puede constatar que

carece de Fundamentación, Objetivos Didácticos, de Orientaciones Didácticas coherentes y

Procedimientos de Evaluación, que son los elementos básicos que configuran un auténtico

curriculum según se acepta actualmente por los especialistas.

TABLA 4. OBJETIVOS EN LOS PROGRAMAS RELATIVOS A LA DERIVADA

DGETI COBACH

PREPARATORIAS

UAG

Interpretar la razón de cambio promedio

como una rapidez de variación

Por medio de los problemas de velocidad instantánea de un

móvil o pendiente de la recta tangente a una curva que

conceptualice y obtenga la definición de derivada.

El alumno

interpretará

gráficamente el

concepto de

derivada

Interpretar la rapidez de variación

instantánea como el límite de la rapidez

de variación en un punto.

Utilice la definición derivada en la derivación de

funciones polinomiales y obtenga algunas fórmulas y

reglas de derivación.

Analizar bajo qué condiciones una

función es derivable.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Mediante ejemplos propuestos, discutir los conceptos de incremento correspondiente a una función y razón de cambio promedio.

Aplicando el concepto de límite, interpretar geométricamente a la razón de cambio promedio como la pendiente de la tangente en un

punto, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

Mediante una investigación bibliográfica distinguir entre las diferentes formas de notación utilizadas para la definición de la derivada

en un punto.

Extender el concepto de derivabilidad de una función en un punto a un intervalo de su dominio.

24

La reforma curricular actual

La reforma curricular para el bachillerato tecnológico dirigida por la SEP a través del COSNET

en el país está cifrado en tres documentos principales: El Modelo de la Educación Media Superior

Tecnológica, Estructura del Bachillerato Tecnológico y en los programas de Estudios insertos en

el documento la Reforma Curricular del Bachillerato Tecnológico. En cuanto a matemáticas se

refiere, en el último documento citado se plantea que el propósito del programa de matemáticas,

es que:

el estudiante, a partir de la apropiación de los contenidos fundamentales de la matemática, desarrollará

habilidades de pensamiento, comunicación y descubrimiento que le permitan usarlos en la resolución de

problemas cotidianos y ser partícipe del desarrollo sustentable de su entorno. Así mismo proporcionar los

elementos básicos de la materia requeridos por otras áreas del conocimiento.

Las asignaturas que se proponen a lo largo del bachillerato en los documentos de referencia

tienen inconsistencias, véase la Tabla 5.

TABLA. 5 ASIGNATURAS PROPUESTAS PARA EL BACHILLERATO TECNOLÓGICO

Documento 1er. Semestre 2º. Semestre 3er. Semestre 4º. Semestre 5º. Semestre 6º. Semestre

Estructura del

Bachillerato

Tecnológico.

SEP/ COSNET,

pp. 12-19

Álgebra Geometría y

Trigonometría

Geometría

Analítica

Probabilidad y

Estadística I

Probabilidad y

Estadística II

Taller de

matemática

aplicada

Reforma curricular

del Bachillerato

Tecnológico

Programa de

Estudios.

Matemáticas.

SEP/COSNET,

pp. 6

Álgebra Geometría y

Trigonometría

Geometría

Analítica

Cálculo Probabilidad y

Estadística I

Matemática

aplicada

En el primer documento se elimina el cálculo, en el segundo aparece en el cuarto semestre. El

primer documento está fechado en junio de 2004 y el segundo en agosto del mismo año. Había

pues la pretensión explícita de eliminar esta parte de la matemática escolar en la formación de los

bachilleres con orientación hacia el área físico-matemática. De concretarse la eliminación del

cálculo se estaría, por una parte alejando la posibilidad de una formación propedéutica que

ubicara a los estudiantes en condiciones de poder acceder en mejores condiciones a una

educación matemática en el nivel superior. Gran parte de la matemática superior está basada en

los elementos sustanciales del Cálculo Diferencial e Integral, quitarlo de la currícula equivaldría a

eliminar el puente entre la matemática básica y la matemática superior. Por otra parte ese cambio

curricular estaría caminando en sentido contrario a como se orientan las tendencias curriculares

en el mundo.

Por otro lado sobre los propósitos de la Asignatura, respecto del Cálculo en el Programa de

Estudios de Matemáticas ya referido se plantea: los estudiantes usarán los contenidos de las

matemáticas antecedentes en la resolución de problemas que los conduzcan hacia los conceptos

fundamentales de función, límite, derivada e integral que les permita construir una imagen de su

entorno social, científico y tecnológico. Los contenidos con los que se pretenden lograr tales

propósitos son: funciones, tipos de funciones, límites, derivada, comportamiento de la función e

25

integral. Respecto a la derivada es específico se plantean los siguientes contenidos: interpretación

geométrica de la derivada, resolución de derivada, regla de la cadena y fórmulas de derivación.

En la asignatura de Matemáticas Aplicadas que se propone sea impartida en el sexto semestre del

bachillerato, área Físico-Matemático, se recuperan dos temas del cálculo: aplicaciones de la

derivada y aplicaciones de la integral. Los contenidos para estos temas, tal y como aparecen el

documento son, área bajo curvas y volúmenes de sólidos de revolución para le primero y análisis

de funciones y rapidez de cambio para el segundo. Aquí es evidente un error de correspondencia.

Como puede apreciarse contenidos curriculares en lo que al Cálculo Diferencial se refieren no

son muy distintos de los que tradicionalmente se han venido trabajando en el bachillerato, a

excepción del intento de eliminarlo.

Relación entre textos y programas

En cuanto a los antecedentes a la derivada, entre los textos usuales y lo que declaran los

programas oficiales vigentes, no existen diferencias significativas, salvo que en los programas se

notan simplificaciones notorias en cuanto al volumen del contenido y suelen recomendar un

trabajo menos riguroso (matemáticamente hablando) con las teoremas y propiedades básicas del

cálculo. En cambio es notable que, mientras los textos sugieren una vía más numérica y

algebraica en la construcción del concepto de derivada para finalmente dar su interpretación

geométrica, los programas sugieren como vía la de las razones de cambio o la vía geométrica en

su proceso de formación. Particularmente uno de los programas revisados sugiere introducir la

derivada a través de la rapidez de la variación y las razones de cambio, para así pasar a su

representación geométrica como pendiente de tangentes, en los otros se sugiere la vía geométrica

o la de las velocidades instantáneas. Esto deja al descubierto la falta de correspondencia entre los

textos usuales y los exigencias de los programas. Además, en virtud de que los programas no son

lo suficientemente explícitos no parecen cumplir su función orientadora, pues los profesores

muchas veces prefieren atenerse al texto o textos de su preferencia para impartir sus clases.

La derivada en los programas de otros países

Para ampliar la panorámica sobre la derivada y el CD en el nivel preuniversitario, se consultaron

algunos trabajos de investigación en los que se presentan análisis de la currícula de matemáticas

del nivel medio. La información aquí vertida proviene principalmente del Análisis Comparado

del Currículo de Matemáticas (Nivel Medio) en Iberoamérica, trabajo auspiciado por el

Programa IBERCIMA; del libro National Currícula, de Geoffrey Howson y de los Estándares

Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática de la NCTM.

En el primer trabajo se revisan los currículos vigentes hasta 1991 de 22 países agrupados en

cuatro regiones: países del Cono Sur (Argentina, Brasil, Chile, Paraguay y Uruguay), países

Andinos (Bolivia, Colombia, Ecuador, Perú y Venezuela), países de Centroamérica, el Caribe y

México (Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras, México, Nicaragua, Panamá,

Puerto Rico y República Dominicana) y los países Ibéricos (España y Portugal). Aunque en este

trabajo se dejan al descubierto numerosas deficiencias que presentan los currículos analizados

respecto de una concepción amplia del currículo, es posible obtener del análisis un panorama

general sobre la enseñanza de la derivada en esos países. Según los analistas, predominan en los

26

objetivos generales de sus programas, aquellos que se refieren al campo de la información, al

campo de las habilidades, de las estrategias generales y actitudes. Al concretarse en los objetivos

específicos solo se priorizan al aprendizaje de hechos, conceptos y procedimientos algorítmicos,

también hacen notar que el nivel de aprendizaje requerido en casi todos los objetivos es el de

aplicación (tanto en conceptos como procedimientos algorítmicos) principalmente en la

resolución de problemas.

De los 22 países, en 14 de ellos se plantea como materia de estudio el Cálculo Diferencial sobre

todo para aquellos estudiantes que van para estudios universitarios en ciencias e ingeniería (no se

incluye en los programas de Perú, Venezuela, Costa Rica, Guatemala, Nicaragua, Puerto Rico y

República Dominicana). Los temas que se incluyen en el CD son las Sucesiones, Límites de

Funciones, Continuidad, Concepto de Derivada, Reglas de Derivación, Puntos Críticos y Estudio

de Funciones, aunque también se estudian previamente las funciones de variable real. A pesar de

que en algunos programas se señala que los criterios utilizados en la selección de los contenidos

fueron la significación científica, su valor formativo o su valor instrumental, los analistas

deducen que en la mayoría de los currículos, la elección de los contenidos estuvo influenciada

por la propia organización lógico-deductiva de la matemática, tal como la jerarquizó y formalizó

la llamada matemática moderna. Aunque este trabajo no describe de manera específica cómo los

programas sugieren sea tratado el concepto de derivada, se infiere que su tratamiento didáctico no

es significativamente distinto del que presentan los textos y programas del bachillerato

guerrerense.

En el segundo trabajo se revisan los currículos de Matemáticas de los países de la Comunidad

Europea agregando los de Hungría y Japón. Según los programas de estos países, el estudio del

CD es obligado para los estudiantes que se preparan para hacer estudios universitarios

relacionados con las ciencias, la ingeniería o la economía, siendo más amplio y profundo su

tratamiento en los programas para las dos primeras orientaciones. En varios países se introducen

algunas ideas intuitivas del cálculo en el 11o. grado y se amplían y profundizan en el 12o., en

dependencia de la frecuencia de sesiones semanales de matemáticas, pues estas fluctúan desde 2

hasta 9. No obstante la diversidad de ofertas, los programas relacionados con los principios del

Análisis Matemático de estos países, consideran invariablemente: las funciones numéricas

(algebraicas y trascendentes), límites, continuidad, otros temas relacionados a funciones y el

Cálculo Diferencial e Integral. En el CD incluyen el concepto de derivada, fórmulas de

derivación y aplicaciones de la derivada al análisis de funciones y la obtención de máximos y

mínimos. Particularmente algunas opciones del preuniversitario irlandés, japonés y holandés,

sugieren introducir el concepto de derivada a través de las razones de cambio y relacionarlo con

las pendientes de tangentes, en cambio en la mayoría de los demás países la secuencia: límite,

continuidad, derivada e interpretación geométrica o física, es casi inalterable. Es notable la

diferencia entre el tratamiento de la derivada sugerido en el programa francés y el sugerido en el

resto de los programas, pues en él se le trata a partir de una función lineal afín cuyo gráfico mejor

aproxima a una curva en una vecindad de un punto, de modo que la derivada se define como el

coeficiente del término de primer orden de la expansión de f en la vecindad de a para un h

dado.

La reforma de la enseñanza de la Matemática en Estados Unidos de Norteamérica para la actual

década se encuentra enmarcada en los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación

Matemática, documento diseñado por la Comission on Standars for School Mathematics de la

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) y discutido por una buena parte de la

comunidad de profesores de matemáticas e investigadores de ese país. En este documento se

27

establecen algunos criterios mínimos de calidad para la enseñanza de la matemática como el de,

un currículo, de lineamientos para la evaluación y los estándares. En el currículo se detalla qué

matemáticas deben conocer los alumnos y qué deben hacer los profesores para que los alumnos

alcancen estos conocimientos. En los lineamientos para la evaluación se trata de medir la eficacia

del currículo y la actuación de los estudiantes.

Los estándares son declaraciones de principios sobre qué tiene valor y qué no lo tiene en la

enseñanza de la matemática. En los niveles 9-12 se sugiere que el currículo de matemáticas debe

incluir una exploración informal de los conceptos del Análisis Matemático para todos los

estudiantes, inclusive para los futuros universitarios. También se sugiere que los estudiantes

tengan la oportunidad de investigar, de manera sistemática, las ideas centrales del Análisis

(límite, área bajo una curva, derivada y pendientes de tangentes y razones de cambio

instantáneas) de manera que contribuyan a la profundización de sus estructuras conceptuales

sobre las funciones y las utilicen para representar y responder a preguntas acerca del mundo real.

Se recomienda hacer énfasis en que los conocimientos del Análisis requieren de una forma

distinta de pensamiento matemático que trasciende las concepciones de los procesos finitos hacia

los procesos infinitos, además se sugiere que los estudiantes hagan exploraciones basadas en

experiencias numéricas y geométricas y que aprovechen la tecnología de la calculadora y el

ordenador. En este sentido se recomienda que los estudiantes puedan utilizar el ordenador para

resolver problemas de optimización sin necesariamente calcular derivadas, investigar

continuidad, asíntotas, concavidad e incluso les permita intuir ideas analíticas, por ejemplo que la

propiedad de diferenciabilidad, que en términos gráficos está asociada a la propiedad de que las

curvas posean rectitud local. Finalmente, se sugiere que en vez de dedicar tanto tiempo a los

algoritmos debe dedicarse más tiempo y esfuerzo a la adquisición de estructuras conceptuales

sobre las ideas claves del cálculo y sus aplicaciones.

En resumen, de los programas de los 37 países analizados, en 28 de ellos (el 75.6%) se incluye el

estudio del CD en el preuniversitario para estudiantes que se preparan para hacer estudios

universitarios en ciencias e ingeniería. Aunque con diferencias poco significativas en cuanto a

contenido, todos los programas incluyen como temas precedentes al CD, las sucesiones y las

funciones, para después tratar los límites, la continuidad y así preparar el terreno para arribar al

concepto de derivada, después se trabaja con las reglas de derivación y las aplicaciones al análisis

de funciones y a la solución de problemas sobre extremos. Generalmente la estructura de los

programas está influida por la estructura lógico-formal del análisis, aunque en trabajos recientes

se empiezan a introducir acercamientos más intuitivos e informales, éstos enfocan la atención en

la comprensión de las ideas básicas y sugieren utilización de la microcomputadora como

herramienta. No obstante en la mayoría de los documentos revisados, aún se ven lejanas las

introducciones didácticas que prioricen el significado físico de la derivada asociado a la rapidez

de la variación.

Hacia dónde orientar la enseñanza de la derivada

El análisis realizado en las páginas precedentes ha develado la falta de correspondencia entre los

textos usuales en la región y los programas de CD, los primeros proponen una forma de

introducir los conceptos básicos del cálculo y los segundos otra distinta. En el estado de Guerrero

y el país se siguen usando con frecuencia textos editados a principios de este siglo, a pesar de

28

haberse modificado los planes y programas en lo esencial prevalecen las formas, contenidos y

enfoques tradicionales en la enseñanza del cálculo. Si bien es necesario reformar los planes y

programas de estudio también lo es concretar esas reformas en nuevos textos que introduzcan en

las aulas los aportes obtenidos en las investigaciones científicas en matemática educativa. Desde

principios de la actual década círculos importantes de investigación sugieren que la enseñanza del

CD en el bachillerato debiera priorizar la comprensión de sus conceptos básicos y disminuir la

cantidad de tiempo dedicado a la mera transferencia de contenidos y el aprendizaje de algoritmos.

Al igual que en los textos, los programas revisados no siguen un tratamiento del cálculo que

considere a la variación o el cambio como eje rector del cual se desprendan los contenidos,

aunque algunos programas señalan aspectos puntuales sobre la variación éstos no logran penetrar

en todo el curso. Mas bien la mayor carga de trabajo se cede al tratamiento de una gran cantidad

de contenido matemático para después buscarle algunas aplicaciones. Para contribuir a la

comprensión de los conceptos básicos del cálculo en el bachillerato, los nuevos programas y

textos pudieran orientar su enseñanza a partir de la necesidad de resolver problemas de la

práctica, principalmente los relacionados con el movimiento y la variación, de modo que de aquí

se genere el contenido mínimo indispensable. En el desarrollo histórico del concepto de derivada

la introducción de la matemática de los cambios fue decisiva, pero ésta a su vez fue introducida

por la necesidad de resolver los problemas generados por el desarrollo de las fuerzas productivas

alcanzado en los siglos XVI y XVII, de la solución de esos problemas surgieron las estrategias

seguidas por los precursores e inventores del cálculo empeñados en darles explicaciones

racionales al movimiento de los astros, al flujo de los líquidos, al movimiento de un cuerpo

impulsado, etc. De ahí nacieron las nociones de variable y función, de ahí se generó la necesidad

de la cuantificación de la rapidez de la variación y el concepto de razón de cambio instantánea.

Este sendero, en esencia, pudieran recuperar los programas y los textos para contribuir a la

comprensión del concepto más importante del CD.

29

CAPITULO 3

TENDENCIAS Y ENFOQUES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA

DERIVADA

La orientación que se le ha dado a la enseñanza del CD en el preuniversitario ha sido fuertemente

influida por la organización de los contenidos de la manera como se les estructura en el Análisis

Matemático. Sin embargo, esta orientación en poco ha contribuido a la comprensión de los ideas

básicas del cálculo. Conocedores de esta problemática, varios investigadores sugieren enfoques

menos formales en los que la atención no se centre en la mera transferencia de contenidos (Gil y

De Guzmán 1993) sino en el desarrollo de procesos del pensamiento propios de la matemática

(resolución de problemas), en el desarrollo conceptual en forma significativa, explotando para

ello las ideas intuitivas subyacentes a los conceptos y su significado práctico.

La enseñanza de la derivada depende, en gran parte, de la orientación del curso de CD, en este

sentido se vislumbran dos tendencias fundamentales, en donde la primacía es conferida a la

organización del contenido clásico como se estructura en el Análisis Matemático para finalmente

buscarle sus aplicaciones, y la otra, en la que el contenido se genera a través de la necesidad de

resolver problemas prácticos, de modo que los conceptos básicos se forman a partir del problema

de la tangentes o de su significado físico. Ambas tendencias suelen manifestarse mediante ciertas

variantes que llamaré enfoques, en la primera tendencia se incluyen varios de los enfoques

tradicionales y en la segunda los enfoques innovadores. En la primer tendencia son visibles el

enfoque algebraico, el numérico, el formal, el infinitesimalista y el de la aproximación afín local,

en la segunda tendencia se distinguen básicamente los enfoques geométrico y el variacional.

Aunque siendo innovador el enfoque computacional, no necesariamente se ajusta a alguna de las

tendencias anteriores, sino que está más influenciado por el uso de los medios electrónicos en la

enseñanza, no obstante merece especial atención pues recientemente está cobrando mucho

interés.

Enfoques que priorizan la estructura del contenido

El enfoque algebraico prioriza el trabajo con los algoritmos, principalmente con la regla de los

cuatro pasos y los que se utilizan para obtener derivadas mediante fórmulas. La interpretación

geométrica de la derivada en este enfoque es relegada a un segundo plano y omite su significado

físico; el tratamiento de la derivada sigue la secuencia: incrementos, límite del cociente

incremental cuando x tiende a cero, regla general de derivación, ejercitación con la regla general

y por último la interpretación geométrica. Los textos que han contribuido para que este enfoque

se haya difundido y arraigado en nuestro medio son (entre otros), el Cálculo Diferencial e

Integral de Granville W. A y el de Santaló/Carbonell. Con este enfoque, se ha difundido la

creencia de que la derivada es simplemente una fórmula o una sucesión de algoritmos

algebraicos carentes de significado y alejados de la realidad.

En el enfoque numérico es característico el uso abundante de sucesiones numéricas,

particularmente en el tratamiento del límite de funciones. Esta inclinación hacia las sucesiones

presupone una mejor conceptualización del límite, por lo que la derivada siendo límite particular,

al introducirla mediante sucesiones sería más asequible a los estudiantes. En el texto de

30

Anfossi/Flores Meyer este enfoque es fácilmente reconocible, aunque se notan inclinaciones en el

Santaló/Carbonell, en estos textos son usuales las tablas de valores para mostrar el

comportamiento del cociente y/x a medida que x se hace tender a cero. Aunque las

sucesiones y las aproximaciones numéricas están más cercanas a la experiencia de los

estudiantes, en este enfoque se persiste aún en darle significado geométrico a la derivada después

de haber trabajado con los contenidos clásicos. La relación entre la derivada y la variación es

abordada hasta en el tema de las aplicaciones.

El lanzamiento del Sputnik por los soviéticos en 1957 tuvo gran impacto en el mundo occidental

al grado de provocar temor al rezago científico, estas reacciones llegaron a la educación y por

tanto se inició una reforma en los Planes y Programas de Enseñanza de la Matemática en varios

países del mundo. Esta reforma estuvo fuertemente influenciada por la escuela francesa

bourbaquista y se concretó con la introducción la Matemática Moderna (Piaget, Choquet, y otros,

1983). Estos cambios se empiezan a operar principalmente en Francia, llegan a Estados Unidos

de Norteamérica y dada la influencia que estos países tienen en Latinoamérica, estos cambios se

aplican (sin más) en México. Sus manifestaciones más importantes consistieron en la

incorporación de las estructuras matemáticas en los textos y programas escolares de matemáticas.

En este marco la formalización matemática, conducida por el rigor lógico, penetra en la

matemática escolar de la década de los 60’s y por tanto el enfoque formal se introduce en los

cursos de CD. La estructura de estos cursos comprende como primer tema el Conjunto de los

Números Reales, el concepto de función como un caso particular de relaciones, la definición del

límite en términos de y , una definición rigurosa de la continuidad por medio del límite. Una

vez definidos rigurosamente todos estos conceptos se plantean los teoremas y algoritmos

necesarios para llegar a la derivada y sus consecuentes fórmulas y reglas de derivación,

finalmente se proponen las aplicaciones.

Estos cambios influyeron fuertemente en la enseñanza del cálculo en general y por ende de la

derivada, los que cursaron CD guiados por el texto de Granville W. A, pronto arribaron al

concepto de derivada con un conocimiento mínimo de elementos precedentes, pero los que lo

cursaron guiándose en textos como el de Ayres F. Jr., el de Taylor/Wade o con el

Mazani/Patel/Patil, la derivada llegó hasta después de haber formalizado rigurosamente los

conceptos de números real, función, límite y continuidad. Los resultados no se hicieron esperar,

pues detrás del formalismo matemático quedaron escondidas las ideas físicas y geométricas que

generaron al concepto de derivada. Con este enfoque se exageró en darle a los contenidos del

cálculo una estructura lógica coherente en detrimento del desarrollo del significado de los

conceptos. Esto provocó que los estudiantes (y maestros) al no entender los aspectos formales del

cálculo se refugiaran nuevamente en el mero aprendizaje de algoritmos.

Inmersos en el afán de introducir acercamientos al cálculo más asequibles a los estudiantes a

principios de la década de los 60’s con la publicación del libro de Robinson, Análisis no

Standard, se rehabilitan los infinitesimales en la Matemática y se introduce el enfoque

infinitesimalista en la enseñanza del cálculo. Uno de los primeros intentos en Estados Unidos de

Norteamérica es plasmado en Keisler H. J. 1976, Hendle & Kleinberg 1979 y en México en

Cordero 0. F. 1986. En términos generales, la estructura de los contenidos básicos del cálculo en

esta tendencia son organizados mediante una especie de isomorfismo respecto de los contenidos

tradicionales. Primero se caracteriza el conjunto de los números Hiperreales (*), se asume que

(los números reales) es un campo completo y ordenado y * como una extensión de que

31

posee la propiedad de campo no arquimediano, los elementos de * son llamados infinitesimales

y se definen como:

Un número a (a *) es infinitésimo si |a| r para todo número real r.

por lo tanto un infinitamente grande (infinito) es aquel b* tal que |b| r para todo número

real r. Muchas operaciones sobre límites y derivadas que en el Análisis Standard resultan

altamente laboriosas, mediante los infinitesimales se facilitan considerablemente. En virtud de

que con este enfoque es posible definir a las curvas monótonas como si estuvieran formadas por

segmentos infinitesimales, resultan plausibles las representaciones geométricas de los triángulos

característicos de Leibniz, de los cuales se desprende que la derivada es el cociente de los

diferenciales dy y dx. Varios profesores e investigadores están en favor de introducir los

infinitesimales en la escuela, pues por su simplicidad los conceptos del cálculo pueden ser más

asequibles a los estudiantes, inclusive algunos trabajos de investigación reportan alcances

significativos con este enfoque. Aprovechando la simplicidad de las ideas infinitesimalistas en la

formación de los conceptos a través de los problemas de la variación, pueden crearse las

condiciones que propicien la comprensión del concepto de derivada.

La derivada como una aproximación afín local es una variante a la sugerida por Levi E. 1960 y

Cordero F. 198? y es actualmente utilizada en la secundaria francesa (Artigue M. 1991, Howson

G. 1991, Antibi et al 1991). En Antibi et al 1991, pp. 139-147, para introducir el concepto de

derivada se parte de la idea de coeficiente direccional (pendiente) de la recta para definir la

pendiente de la secante, estas definiciones sirven de base para introducir los conceptos de

velocidad media y de velocidad instantánea. Hechas estas consideraciones se introduce la idea de

tangente como el límite de una sucesión de secantes y con ello se establece la noción de

aproximación afín. Esta se auxilia de una función afín de la forma:

g x f a l x a( ) ( ) ( )

de modo que la aproximación afín d(x) = f(x) - g(x). De esta expresión se obtiene el grado de

aproximación entre la curva f y la tangente g(x) en una vecindad de x = a. Esta idea es

introducida con el objeto de caracterizar a la tangente g(x) como la mejor aproximación afín local

en una vecindad de a de la curva f (ver figura 6). La definición de derivada se presenta en los

siguientes términos:

Sea f una función definida en el intervalo I y a I. Decir que el número real l es la derivada de f en a

significa que la primera o la segunda de las condiciones siguientes se cumplen:

1.- La funciónh

f a h f a

h

( ) ( ) tiene por límite l si h tiende a 0.

2.- Para todo número real h suficientemente próximo a 0, f a h f a lh h h( ) ( ) ( ) donde la

función tiene por límite 0 cuando h tiende a 0.

32

Figura 6

Este enfoque (innovador dentro de los de su tipo) considera que la tangente g(x) es la mejor

aproximación lineal de la función f en la vecindad de a, de manera que l, la derivada, es el

factor de proporcionalidad entre la diferencia g(x) - g(a) y x - a. La idea de la recta como mejor

aproximación local de una curva es valiosa desde el punto de vista geométrico, sin embargo, la

derivada presentada como un factor de proporcionalidad es muy abstracto y no deja explícito el

significado de la derivada asociado a la rapidez de la variación.

Los enfoques innovadores

Un enfoque didáctico inverso a todos los anteriores es el enfoque geométrico y su principal

exponente es el libro de Cruse/Lehman publicado en USA en 1970, en este texto se parte de la

necesidad de resolver problemas de optimización en los que los recursos del álgebra resultan

insuficientes. En la solución de estos problemas aflora la necesidad de calcular pendientes de

tangentes en un punto, después sigue una línea casi histórica de la formación del concepto de

derivada a través de este problema. Primero lo estudia por medio de los métodos griegos de la

antigüedad clásica, luego por el método algebraico de las Raíces Iguales de Descartes, finalmente

con el Método de los Límites de Fermat. Con este último de hecho se arriba al concepto de

derivada (aunque a estas alturas los autores aún no utilizan este término) creando así un método

general para calcular pendientes de tangentes. Con este último método se da solución a los

problemas de optimización planteados inicialmente y se dan algunas reglas y fórmulas para

predecir pendientes de tangentes. El tratamiento explícito de las variables, funciones, las razones

instantáneas de cambio y la continuidad son tratados después. Este texto, rompe con las barreras

del formalismo matemático prevaleciente en los enfoques anteriores privilegiando ahora el

aspecto utilitarista del cálculo.

Una de las ventajas de este enfoque radica en que prioriza el significado y la utilidad práctica que

la derivada tiene en la resolución de problemas, sin embargo algunas experiencias de los

profesores (incluso la nuestra), han mostrado que seguir el desarrollo casi histórico del concepto

de la derivada consume mucho más tiempo del destinado para el curso de CD. Hay evidencias

empíricas que muestran la grandes dificultades de los estudiantes en entender que el límite de una

familia de secantes es la pendiente de la tangente (Sierpinska 1985, Orton 1977), además con este

a+h a x

f(a)

f(a+h)

0

A

g(x) = f(a) + l(x-a)

y = f(x) y

B

33

acercamientos no queda explícita la conexión entre la tangente geométrica que es un fenómeno

estático y la derivada como concepto dinámico que cuantifica la rapidez con que varía una

variable respecto de otra en un instante.

En México el enfoque variacional es sugerido por los grupos de trabajo que dirige el Dr. Ricardo

Cantoral y por el grupo que dirigía la Dra. Elfride Wenzelburger. En el primer caso se propone

remover el discurso matemático escolar desde el fondo, cambiando el papel principal que los

cursos de cálculo confieren al concepto de límite y poniendo en su lugar a la variación física, de

tal manera que no se sugiere tratar tan exhaustivamente las funciones, sino más bien las

cantidades y las magnitudes, en este sentido se expresa:

...en el terreno de la enseñanza, tendemos hacia la reconstrucción de una didáctica del cálculo basada más

en las intuiciones y vivencias cotidianas de los sujetos, mediante acercamientos fenomenológicos por lo

que se atiende más al fenómeno en su relación con el concepto matemático que al concepto per se.

Cantoral R.; 1991; Proyecto de investigación: formación de la noción de función analítica; Mathesis Vol.

7, núm. 2, pp. 224

Este enfoque considera como núcleo organizador del discurso la idea de predicción para conocer

las cantidades por medio de las variaciones y en el plano analítico se le confiere a la Serie de

Taylor el papel central, pues se asume que la noción de predicción en los fenómenos de flujo

continuo de la naturaleza se ubicó como la base de significación primaria. En algunas

experiencias con este enfoque, Campero/Cantoral 1991 reportan reducciones considerables de los

índices de reprobación con estudiantes de licenciatura y un ascenso creciente en el

aprovechamiento según los resultados de exámenes parciales de un curso de cálculo. En el

segundo caso la propuesta para la enseñanza del CD está plasmada en una publicación reciente de

la Dra. Wenzelburger titulada Cálculo Diferencial, una guía para maestros y alumnos dirigida al

nivel preuniversitario, en esta propuesta se sugiere presentar las ideas fundamentales en forma

significativa con un empleo mínimo del formalismo matemático, se pretende que en el CD se

desarrollen métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios, por lo que se

asume a la razón de cambio como su concepto fundamental. Al concretar estas ideas, se parte de

las razones de cambio promedio obtenidas del estudio de fenómenos de la vida diaria y se arriba a

la derivada como razón de cambio instantánea por medio de un manejo intuitivo del límite. Estas

dos variantes constituyen la línea de investigación en la enseñanza del CD de las que cuales se

nutre nuestra propuesta.

A partir de la consideración de las dimensiones intuitivas y visuales de la matemática, algunos

investigadores utilizan la microcomputadora y la calculadora como herramientas en la enseñanza

de los conceptos del cálculo (Tall D. 1991, Balderas 1992, Galindo 1992, Hitt F. y Chávez 1992).

De hecho existe una línea de investigación que explota las posibilidades que estos medios

brindan en la enseñanza de la matemática, de aquí ha emergido el enfoque computacional en la

enseñanza del cálculo. Los ordenadores han hecho realidad la posibilidad de la visualización

dinámica del comportamiento gráfico de las funciones, de observar mediante simulaciones

iterativas cómo la sucesión de secantes tiende a la tangente, de visualizar las disminución

iterativa de los triángulos característicos en la presentación geométrica de la derivada, de ayudar

a la visualización de la rectitud local de las curvas por medio de magnificaciones sucesivas, de

observar curvas continuas en todas partes pero derivables en ningún punto, de racionalizar

considerablemente el trabajo con los métodos numéricos, etc.. Se ha difundido en el país software

para la enseñanza del CD por medio de micromputadoras, e incluso a nivel experimental se han

diseñado programas para calculadoras que logran acercamientos intuitivos al límite y la derivada,

34

varios investigadores han reportado éxitos importantes en la enseñanza del CD utilizando estos

medios, sin embargo este tipo de acercamientos tiene el inconveniente de ser costoso y por tanto

tiene pocas posibilidades de convertirse en recurso de uso masivo en nuestro medio.

Orientación de nuestra propuesta

Después de haber analizado los diversos enfoques ¿Hacia dónde se dirige nuestro propuesta?

Antes de inclinarse por cualquier enfoque es necesario asumir el marco general en el que se

circunscribe y para ello también es necesario contestarse la interrogante ¿Para qué enseñar

cálculo y por tanto el concepto de derivada? Las respuestas a estas preguntas a su vez dependen

de las posiciones que se adopten sobre cuestiones más generales del estilo ¿por qué enseñar

matemática?, Campistrous L./Rizo C. 1993, analizan cuatro posibles respuestas: porque es

necesaria para la vida, porque es necesaria para la ciencia y la técnica, porque desarrolla el

pensamiento lógico y porque es parte inalienable de la cultura. Desde el punto vista oficial el

cálculo en el bachillerato cumple una función propedéutica, es decir se enseña a los adolescentes

para prepararlos para estudios universitarios de cierta especialización y en los estudios

universitarios se espera puedan aplicarlo en las ciencias, en la ingeniería o en la economía,

función y propósito que sin dejar de ser apropiados, en las condiciones en que se da la enseñanza

son muy difíciles de alcanzar. Si uno de los objetivos principales de la enseñanza del cálculo

tiene que ver con su carácter utilitario entonces no tiene sentido enfatizar tanto sobre sus

estructuras abstractas como se concibe en el enfoque formal. Tampoco contribuye al logro de este

objetivo el enfoque algebraico en el que se exagera la atención dedicada al dominio de los

algoritmos, e incluso poco se puede hacer con cualquier enfoque que priorice la mera

transferencia de contenidos. Además del carácter utilitario (entendido en su relación con la

resolución de problemas de aplicación), desde nuestro punto de vista la enseñanza del CD debiera

plantearse como objetivo primario la comprensión de sus conceptos básicos a partir del desarrollo

de las ideas de la variación, para contribuir al logro de este propósito pudiera seguirse lo esencial

de su génesis histórica. Mediante acercamientos intuitivos a partir de sus aplicaciones en los

problemas de la variación, la comprensión del concepto de derivada puede verse favorecida en

los estudiantes si resuelven sistemáticamente ejercicios, problemas, situaciones problémicas, etc.,

pensados para tal fin, esto puede desarrollar habilidades, estimular la comprensión y ser la fuente

del trabajo independiente.

Nuestra propuesta se funda en el enfoque variacional y de él se adoptan las siguientes ideas:

elaborar introducciones intuitivas e informales al CD que no necesariamente se sujeten a la

estructura lógico-formal del Análisis Matemático, que desarrollen ideas variacionales que

posibiliten la comprensión de sus conceptos fundamentales; ubicar como eje rector de todo el

curso de CD al estudio de la variación de modo que la derivada no venga siendo un concepto

matemático abstracto sino un concepto desarrollado para cuantificar, describir y pronosticar la

rapidez de la variación en fenómenos de la naturaleza o de la práctica. Bajo estas premisas no se

construye la estructura matemática del cálculo para después buscarle aplicaciones como lo hacen

los textos tradicionales y lo sugieren los programas, sino por el contrario, se genera el

conocimiento en contextos prácticos o de aplicación, de modo que la derivada en particular se

forma a través de su significado físico, Siguiendo estas líneas generales en su tratamiento

didáctico es posible aportar elementos a los estudiantes que les ayuden a comprender este

concepto.

CAPITULO 4

ELEMENTOS PARA UNA PROPUESTA

Al analizar la producción científica en México sobre la investigación educativa en cálculo en

la década de los 80’s, Bonilla E., Block D, Waldegg G. y otros,1 distinguen básicamente dos

corrientes, una cercana al aprendizaje y la otra a la enseñanza. Los trabajos que se inscriben

en la primera línea están orientados a investigar la génesis histórica de sus conceptos básicos,

en la detección y análisis de las dificultades que obstaculizan su adquisición, tanto en el

contexto histórico como en la práctica educativa; los trabajos de la segunda corriente se

interesan por reelaborar el discurso matemático escolar, ya que se reconoce que el vigente no

es el más apropiado para la comunicación de las ideas matemáticas. En la década pasada se

introdujo en las investigaciones educativas en cálculo, un método para llevar a la práctica el

cúmulo de resultados empíricos obtenidos en las investigaciones, en esta corriente,

denominada Ingeniería Didáctica, se inscriben varios trabajos que dirige actualmente la Dra.

Rosa María Farfán. Esta corriente es considerada en Farfán R. M. (1994) “como una

metodología de investigación, aplicable tanto a productos de la enseñanza basados o

derivados de la investigación, como una metodología de investigación para experimentación

en clase”.2

Uno de los motivos principales de nuestro trabajo es similar al de la Ingeniería Didáctica,

diseñar una propuesta didáctica que incida en la práctica educativa y que aporte elementos

para la comprensión de los principales conceptos del cálculo, en especial de la derivada, en

estudiantes del bachillerato. La razón que nos mueve hacia este objetivo se fundamenta en la

premisa de que, en la enseñanza no basta con conocer el fenómeno sino que, además, es

necesario transformarlo para mejorarlo. En el capítulo anterior se han puesto de manifiesto

varias deficiencias que pueden estar incidiendo en la compresión del concepto de derivada,

para contribuir a su mejoramiento en esta parte de la tesis nos proponemos desarrollar la

propuesta didáctica. Los fundamentos teóricos de nuestra propuesta descansan en las

modernas concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, partimos de los resultados

obtenidos por la psicología soviética y en sus aplicaciones a la enseñanza de la matemática

realizadas en el curso de los últimos 50 años. En cuanto a la Didáctica se asumen los

lineamientos, que para el tratamiento de conceptos, propone la Metodología de la Enseñanza

de la Matemática (MEM) además de que se toman en cuenta algunos elementos de la solución

de problemas. Incorporamos también algunos aportes que aunque parten de principios

diferentes no contradicen, sino que desde nuestro punto de vista, complementan estas ideas.

También en esta propuesta se utilizan algunos resultados derivados de las investigaciones

que en la enseñanza del cálculo se han obtenido en el contexto nacional, principalmente del

grupo de trabajo que dirigen los Doctores Ricardo Cantoral y Rosa María Farfán. Esta 1 Bonilla E., Block D; Waldegg G. y otros; Cuaderno 10 del 2o. Congreso Nacional de Investigación Educativa

titulado: La Investigación Educativa en los Ochentas perspectivas para los Noventas. Estados de Conocimiento.

Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas; Editorial del Magisterio; pp. 47, 1993. 2Farfán R. M; Ingeniería didáctica en precálculo. Acerca de la puesta en escena de los resultados de

investigación en el sistema de enseñanza; Memorias de la Octava Reunión Centroamericana y del Caribe sobre

Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa; San José de Costa Rica; pp. 457-462, 1994.

propuesta pudiera sumarse a los esfuerzos de investigadores mexicanos por conformar

nuestros propios acercamientos didácticos en la enseñanza del CD.

Elementos de la teoría del conocimiento

En la enseñanza de la matemática, en su acepción más general, se pretende que los estudiantes

adquieran conocimientos y desarrollen habilidades y capacidades matemáticas. Para nuestro

trabajo tienen interés los conceptos básicos del CD, en particular la derivada, y las ideas

variacionales que les dieron origen. Por tal razón, primero se establece lo que entendemos

por concepto en el contexto del conocimiento en general y luego se caracteriza el concepto

de derivada en el contexto de la variación.

Las discusiones sobre la naturaleza del conocimiento se dan en el terreno de las Teorías del

Conocimiento y en la Lógica, nuestra propuesta se fundamenta en las tesis del Materialismo

Dialéctico, especialmente en su Teoría del Conocimiento. En este marco, el conocimiento se

concibe como un proceso histórico-social de la actividad humana orientada a reflejar la

realidad objetiva en la mente del hombre. El conocimiento es posible gracias a la actividad

cognoscitiva, ésta “es una actividad que va más allá de la simple actividad práctica del

hombre y su objetivo esencial es el conocimiento de las propiedades y relaciones de los

hechos y fenómenos del mundo circundante”3. El conocimiento atraviesa por una

complejidad de niveles que se diferencian por el grado en que reflejan el mundo objetivo y

por las formas y métodos de la actividad cognoscitiva.

El conocimiento es primeramente sensorial, se logra mediante el contacto directo con el

mundo material y se refleja en forma de sensaciones, percepciones y nociones, con ellos se

dan los primeros acercamientos hacia los objetos y fenómenos circundantes. Sin embargo la

imagen sensorial del mundo es insuficiente para un conocimiento más profundo, para conocer

más a fondo la realidad objetiva el hombre no se limita a la contemplación directa, pues

conoce nexos y relaciones del mundo material que no se captan directamente. Es aquí donde

nace el pensamiento abstracto, primeramente en forma de conceptos íntimamente ligados al

lenguaje. El hombre no es capaz de conocer todas las propiedades de los hechos o fenómenos

de una sola vez, sino que selecciona aquellas que le son de interés y prescinde de las demás,

a esto se le reconoce como abstracción. Sólo mediante el lenguaje es posible la abstracción

de propiedades del objeto de conocimiento y en él se puede fijar la representación del

concepto mismo en una palabra, en una serie de símbolos o señales. Los conceptos son pues

las ideas que reflejan ésas propiedades esenciales de los objetos y procesos de la realidad y

se materializan por medio del lenguaje.

De las relaciones que se dan entre los conceptos o los fenómenos de la realidad se expresan

los juicios, en éstos se afirma o niega algo sobre aquéllos, de la conexión ordenada entre

conceptos y juicios resultan otros juicios que en su conjunto constituyen razonamientos.

Principalmente de conceptos, juicios y razonamiento se constituye el conocimiento

científico, éste tiene como rasgos esenciales la racionalidad y la objetividad. Desde luego que

el proceso del conocimiento no es lineal (y por supuesto el conocimiento científico no escapa

a esta regularidad) más bien es un complejo proceso que asemeja a una especie de espiral

3 Colectivo de autores del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación de Cuba,

Pedagogía; Editorial Pueblo y Educación, La Habana Cuba, pp. 197, 1989.

ascendente en donde el conocimiento sensorial está en estrecha conexión e interdependencia

con el conocimiento abstracto, aunque éste domina sobre el primero, siempre se apoya en el

conocimiento sensorial para cumplir mejor su papel. Estas interrelaciones no se dan en el

mismo nivel sino que siempre se dan en estadíos cada vez superiores, nuestro conocimiento

se desarrolla de un nivel superficial a un nivel más profundo teniendo a la práctica como

criterio de la verdad, Lenin sintetizaba este proceso estableciendo: “de la percepción viva el

pensamiento abstracto y de éste a la práctica, tal es el camino dialéctico del conocimiento de

la verdad, del conocimiento de la realidad objetiva”4.

Elementos sobre la naturaleza variacional de la derivada

La derivada, como concepto matemático refleja con gran precisión una de las propiedades

esenciales de los fenómenos de la realidad objetiva: la rapidez de la variación. En el contexto

de la variación está estrechamente relacionada con tres nociones fundamentales: el cambio,

la rapidez promedio del cambio y la rapidez instantánea de cambio. Analizaremos a

continuación cada uno de ellos y su relación con los conceptos fundamentales del CD.

La introducción de los conceptos de variable y función a la matemática fue propiciada

principalmente por el estudio de los fenómenos del movimiento que se dan en la naturaleza.

Aclaremos primero lo que se entiende por movimiento. En la obra Dialéctica de la

Naturaleza, Engels señala que el movimiento, en el sentido más general, “es una modalidad

o un atributo de la materia que abarca todos y cada uno de los cambios y procesos que se

operan en el universo que van desde el simple desplazamiento de lugar hasta el del

pensamiento”.5 En la mecánica, el movimiento se define como un cambio continuo de

posición y una de sus manifestaciones más simples es el desplazamiento de lugar, para

reflejar los desplazamientos y en general las fuerzas que obran sobre los cuerpos y

determinan los desplazamientos, en la física se introduce el concepto de vector, éste se

determina por su valor numérico, dirección y sentido y se representan mediante segmentos

dirigidos. Empero, muchos cambios que suceden en la naturaleza no necesariamente se

ajustan a una representación vectorial, pues hay fenómenos del movimiento como el aumento

o disminución de volúmenes de líquidos, de áreas, etc., que con sólo determinar el valor

numérico o el tamaño de los cambios es posible explorar otras de sus propiedades. En los

dos casos el valor de los cambios se determina por medio de la medición y la comparación.

El problema de la medición jugó un papel importante en el desarrollo de la matemática, pues

propició la interconexión entre la aritmética y la geometría, entre lo discreto y lo continuo,

entre el número y la magnitud. Las magnitudes son caracterizadas en Moreno A. L. (1991),

como “las abstracciones representadas geométricamente de las cosas medibles continuas”6.

El número, por otro lado, está asociado a la cantidad de veces que cabe la unidad de medida

en lo que se mide, aquí se entrecruzan dos de los elementos contrastantes abstraídos de la

4 Lenin V. I.; Obras completas, tomo 38; Editorial Política, La Habana Cuba, pp. 165, 1964. 5 Engels, F.; Dialéctica de la Naturaleza, OME-36 Obras de Marx y Engels; CRITICA Grupo Editorial Grijalvo;

Barcelona España, pp. 56-57, 1979. 6 Moreno A. L.; En torno del número y la variación; Mathesis (Departamento de Matemáticas de la Facultad

de Ciencias de la UNAM), Vol 7, Núm. 2; pp. 289-204, 1991.

realidad, lo discreto y lo continuo. Para cuantificar lo discreto conmensurable basta con los

números enteros, lo segundo históricamente estuvo relacionado con la divisibilidad de la

materia y sus implicaciones en la matemática dieron lugar a la creación de los números

racionales, los infinitesimales y los números reales. Lo discreto es característico de algunos

objetos de la realidad que son indivisibles en el sentido que cuando se dividen dejan de ser

lo que eran (medio de hombre, dos tercios de manzana, etc.), por otro lado, los objetos

continuos y homogéneos son susceptibles de ser divididos ilimitadamente y agrupados sin

perder su carácter esencial. De éstos últimos objetos se pueden abstraer sus longitudes, áreas,

volúmenes, o relacionarlos con el tiempo en ciertos fenómenos, éstas magnitudes como

representan alguna característica de objetos o fenómenos continuos son también continuas.

El concepto de variable es introducido en la matemática como magnitud variable la cual

evidencia su carácter geométrico y continuo, pues era condición suficiente para estudiar

curvas descritas por un movimiento continuo o de varios de estos movimientos. La condición

de continuidad de las variables fue necesaria para el establecimiento de las bases del cálculo.

Newton consideraba a las magnitudes matemáticas no como compuestas de partículas

extremadamente pequeñas “sino como descritas por movimientos continuos”7, continuos en

el sentido de que no presentaban interrupciones. De ahí que el concepto fundamental del

calculus, el infinitesimal, fuera considerado como variable continua que se desvanece

(actualmente diríamos que tienen como límite cero). No obstante, el desarrollo ulterior del

análisis requería de mayor precisión en la teoría de las magnitudes variables y sobre todo en

la definición de número real como valor posible una magnitud variable, en este empeño la

teoría rigurosa de los límites posibilitó el surgimiento de la teoría de los números reales. Con

ello las magnitudes variables son llevadas a un nivel de abstracción mayor, pues son

despojadas de su ropaje geométrico e intuitivo, ahora un intervalo es un conjunto de puntos

y el rango de variación de una variable un conjunto de números reales, por lo que una variable

numérica, digamos x, “es cualquier cosa que puede tomar distintos valores numéricos”8.

Aunado al desarrollo del concepto de variable, el concepto de continuidad pasó, de una

concepción geométrica e intuitiva de una variación ininterrumpida generada por

movimientos continuos, a un concepto matemático abstracto definido en términos del límite.

Todos los objetos y fenómenos de la naturaleza están relacionados de alguna manera, es de

esperarse por tanto que las variables que son abstracciones obtenidas de la variación concreta,

también lo estén. En la búsqueda de las leyes generales que rigen el movimiento de los

cuerpos en la naturaleza cobraron una importancia vital estas relaciones. Lo esencial de ellas

radica en que algunas variables quedan completamente determinadas por los valores que

adquieren las demás, un tipo particular de relación de correspondencia dio origen a las

funciones. Las variables y las funciones son modelos matemáticos, las primeras dan cuenta

de los cambios concretos que ocurren el realidad y las segundas dan cuenta de las relaciones

de correspondencia que guardan entre sí las variables en consideración. Una de las ideas más

fructíferas que influyó en el desarrollo de la matemática de las variables fue sin duda la

conexión entre la noción de función y la representación geométrica de una curva, esta

7 Wuissing H.; Conferencias sobre historia de las Matemáticas; Editorial Pueblo y Educación; La Habana Cuba,

pp. 140, 1990. 8 Aleksandrov, A. N.; Kolmogorov A. N.; Laurentiev y otros, La matemática; su contenido su método y su

significado; Alianza Universidad, séptima Edición. Madrid, España, pp. 66, 1985.

conexión fue desarrollada exitosamente con la introducción del sistema de coordenadas

rectangulares en la Geometría Analítica. Sus expresiones analíticas y su representaciones

geométricas hacen posible operar con ellas, en este sentido, Ríbnikov K. (1987)

atinadamente señala, que el concepto de función tiene dos aspectos importantes, “la función

como correspondencia y la función como expresión analítica, sin embargo, la posibilidad de

realizar operaciones con ellas está relacionada con sus expresiones concretas: con los medios

de la geometría o las expresiones analíticas simbólicas”9. Dado el desarrollo alcanzado por

el análisis, y en particular el impulso dado por la teoría de los limites y la teoría de conjuntos,

el concepto de función ha adquirido un alto nivel de abstracción. Este concepto tiene como

marco general la noción de correspondencia entre conjuntos, inclusive ahora se acepta que

una función es tal, aunque no necesariamente esté representada por una expresión analítica o

fórmula matemática, pues es condición necesaria y suficiente que, en el conjunto de pares

ordenados a que den lugar las correspondencias no aparezcan en más de una vez alguno de

las primeros elementos de ésos pares. De este modo las variables y funciones pasaron, de ser

modelos matemáticos que reflejan la variación concreta y las relaciones entre las variables,

a conceptos matemáticos abstractos distantes de los fenómenos que les dieron origen.

Existen muchos problemas del movimiento en donde no solo interesan las variables y las

relaciones que se dan entre ellas, sino que interesa la rapidez con que cambia una variable

respecto de otra. Una de las nociones más conocidas asociadas a la rapidez de la variación es

la velocidad10, por ejemplo en la trayectoria de un cuerpo impulsado se necesita saber con

qué velocidad se impactará con el blanco, en el flujo de los líquidos es muy importante

determinar el volumen del líquido que fluye por unidad de tiempo, en la variación de la

temperatura de los cuerpos interesa qué tan rápido ésta aumenta o disminuye en determinado

instante, etc.. Los fenómenos del movimiento de los objetos en la superficie de la tierra o

cerca de ésta y el movimiento de los astros, fueron de gran interés para los matemáticos del

pasado, de estos fenómenos la determinación de su velocidad y la aceleración era algo

fundamental. La velocidad y la aceleración miden la rapidez con que cambia la distancia y la

velocidad respecto del tiempo respectivamente. Cuando el movimiento del cuerpo describe

una trayectoria rectilínea y se mueve uniformemente su velocidad en cualquier instante puede

determinarse con la razón de cambio promedio, en cambio si la trayectoria es no rectilínea y

no uniforme, el cálculo de su velocidad en cada instante se complica. Complicaciones

similares se presentan cuando se desea determinar la aceleración instantánea de algún cuerpo

cuya velocidad también varía a cada instante. Otro problema parecido a los anteriores es la

determinación de la dirección instantánea del movimiento, en la cinemática la dirección del

movimiento se obtiene del vector resultante de la suma de sus componentes perpendiculares.

Determinar la dirección del movimiento cuya trayectoria cambia a cada instante, no es un

problema sencillo.

Para calcular tanto la rapidez como la dirección instantánea del movimiento (aunque esta

última requiere de una función vectorial) el recurso de la rapidez promedio es insuficiente,

para calcularlas no queda otra alternativa mas que introducir los procesos infinitos, en

9 Ibídem, Ob. Cit. 2, pp. 219-220 10 En la física se hace una diferenciación precisa de los conceptos de rapidez y velocidad, la primera es una

magnitud escalar y la segunda es una magnitud vectorial, sin embargo a veces se les utiliza indistintamente para

referirse al módulo del vector velocidad. Este es el sentido en que se manejan estos términos en esta tesis.

especial el concepto de límite o las magnitudes infinitamente pequeñas. Detrás de las

nociones de velocidad, aceleración y dirección instantáneas, subyace un concepto más

general, el de razón de cambio instantánea, ésta a su vez es modelada por la derivada. La

razón de cambio instantánea permite cuantificar la rapidez con que fluye una variable

continua respecto de otra en un instante teniendo disponible algún modelo funcional

(función). He aquí la relación entre las variables, las funciones y la derivada. Las fórmulas

de las funciones, que expresan la regla o ley a las que se sujetan las relaciones de

correspondencia entre las variables, son imprescindibles en el cálculo de las razones de

cambio instantáneas pues permiten realizar operaciones. Esta posibilidad de operativizar que

brindan las fórmulas de las funciones y la noción de límite, son los elementos fundamentales

en la determinación de las razones de cambio instantáneas y por tanto de la cuantifcación

relativa de la variación.

En síntesis, mientras las variables y las funciones dan cuenta de la variación concreta y de

las relaciones que se dan entre ellas y la razón promedio de cambio da una aproximación

sobre la rapidez de la variación, la derivada proporciona la cuantificación exacta de la rapidez

con que cambia una variable respecto de otra en cualquier instante. En un contexto mas

general la derivada puede ser considerada como la razón de cambio de una variable respecto

de otra en un punto. En el proceso de su formación, en tanto se parte del estudio de los

problemas del movimiento abstrayendo de ahí los conceptos y relaciones sobre las variables,

función, límite y el de la derivada mismo, para aplicarlos en la resolución de problemas de la

práctica, reafirma la validez de la premisa de que el conocimiento parte de la realidad objetiva

hacia el pensamiento abstracto y de éste a la práctica. Crear las condiciones didácticas que

acerquen a los estudiantes hacia este método del conocimiento puede proporcionar elementos

que les ayuden a comprender los principales conceptos del cálculo. Hacia esta meta está

dirigida nuestra propuesta.

Elementos psicopedagógicos

En las investigaciones sobre la enseñanza del cálculo en nuestro medio el constructivismo de

Piaget se ha convertido prácticamente en el paradigma psicológico en que se fundamentan

casi la totalidad de trabajos, inclusive bajo la perspectiva del constructivismo, de la

epistemología genética y del método histórico-crítico, varios investigadores han

profundizado sobre los procesos de adquisición de las nociones fundamentales del cálculo11.

El constructivismo considera el conocimiento como una reconstrucción, como una

reinvención, como una especie de redescubrimiento que el individuo realiza a través de su

actividad con el medio, este proceso será más o menos comprensible para el sujeto en

dependencia de las estructuras operatorias de pensamiento que posea (del pensamiento

preoperatorio, del pensamiento operatorio concreto y las del pensamiento lógico formal).

Bajo este enfoque se entiende que el aprendizaje es un proceso de reconstrucción, de

redescubrimiento en donde el contenido principal que va a ser aprendido no se da, sino que

debe ser descubierto por el alumno, éste organizará lo que se le proporciona de acuerdo con

los instrumentos intelectuales que posee y de sus conocimientos anteriores.

11 Varios investigadores que trabajan en esta línea confluyen en el grupo internacional Psicology of Mathematics

Education afiliado al International Comission for Mathematics Instruction (ICMI).

En la propuesta se asume que la elaboración de los conceptos del cálculo se puede facilitar

si se toma en cuenta la génesis histórica de su construcción, en este sentido se comparte la

posición constructivista y se utiliza en la concepción pedagógica. Esta presupone la

formación de los ideas y conceptos básicos del cálculo bajo la dirección fundamental del

profesor. Por tales razones en la propuesta, estas ideas y conceptos se forman paulatinamente

bajo la dirección del profesor a partir del estudio de los problemas de la variación física que

históricamente les dieron. Esta reconstrucción no es tan solo guiada el mero hecho del

redescubrimiento, sino porque seguir las ideas esenciales que sobre el movimiento

históricamente posibilitaron su creación puede ayudar a formar estos conceptos con un

significado muy cercano a la experiencia del individuo, porque esta vía evidencia la relación

entre este concepto matemático con la realidad, porque esta vía puede propiciar la formación

de este concepto a través de la resolución de problemas de la física, porque su formación a

partir de la resolución de problemas puede ser una condición necesaria para el desarrollo de

la habilidad de aplicación a otros campos de la ciencia, de la práctica o de la matemática

misma.

En la formación de los conceptos básicos del cálculo, en especial de la derivada, la propuesta

toma en cuenta también otras posiciones que no divergen mucho de las posiciones generales

adoptadas en un principio. Una de ellas es el aprendizaje significativo en el sentido en que lo

entienden D. P. Ausubel y colaboradores. De acuerdo con estas posiciones, la esencia del

aprendizaje significativo reside en que “las ideas expresadas simbólicamente son

relacionadas de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno

ya sabe, por relación sustancial y no arbitraria se entiende que las ideas se relacionan con

algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del alumno,

como una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición”.12

La potencialidad significativa de la tarea de aprendizaje depende de dos factores principales,

tanto de la naturaleza del contenido que va aprender como de la naturaleza cognoscitiva del

alumno en particular. La naturaleza del contenido matemático que se pretende sea aprendido

con nuestra propuesta, es potencialmente significativo, pues la esencia de los conceptos del

cálculo radican en los fenómenos de la variación y en particular la naturaleza de derivada

está estrechamente relacionada con en la velocidad o rapidez instantánea de la variación

física. La formación del concepto de derivada en nuestra propuesta es significativa en tanto

se relaciona con la velocidad o rapidez de la variación física y considera a este concepto

como parte de la estructura cognoscitiva del estudiante, es decir como un conocimiento que

ya posee, pues los fenómenos como la velocidad o la rapidez media forman parte de su

experiencia cotidiana. Es necesario aclarar que las relaciones entre el contenido y los

fenómenos de la variación física en la propuesta, no son establecidas una vez que se arriba al

concepto matemático, sino que son los problemas de la variación física los que dan origen al

contenido matemático. De este modo las ideas del cálculo en la propuesta emergen siempre

de su significado físico.

12Ausubel D. P.; Novak J. D; Hanesian H.; Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo; Editorial

Trillas; México D.F. pp. 48-49, 1995.

Por otro lado, la enseñanza tiene una fuerte influencia en el aprendizaje en el medio escolar,

por tanto no puede ser minimizada, a este respecto el Colectivo de Autores del ICCP (1989)

señalan que “la enseñanza existe para el aprendizaje y mediante ella se estimula éste, lo que

permite que estos dos procesos mantengan cada uno sus peculiaridades y al mismo tiempo

constituyan una unidad, el maestro es el creador de las condiciones para que los alumnos

puedan aprender en forma productiva y racional”.13 El énfasis del constructivismo en el

carácter activo que tiene el sujeto en la obtención del conocimiento, da pie para que la

enseñanza propicie las condiciones para que el sujeto por sí mismo construya los

conocimientos, evitando ofrecércelos como algo ya acabado, su limitación fundamental

reside, según varios investigadores14, en no comprender suficientemente el carácter

desarrollador y no tan solo facilitador del proceso de enseñanza, lo que reduce su rol de vía

esencial para el desarrollo de sus procesos intelectuales. Para nuestra propuesta, en la Teoría

psicológica de la Actividad desarrollada por L. S. Vyogotsky, S. L. Rubinstein, A. N.

Leontiev, P. Galperin, N. Talízina y otros, encontramos algunas de las bases

psicopedagógicas para estimular el papel desarrollador del proceso de enseñanza. En esta

teoría se parte de la premisa general de que el conocimiento es posible gracias a la actividad,

A. N. Leontiev, planteó que la interacción entre el sujeto y el objeto, gracias a la cual se

origina el reflejo psíquico que media esta interacción y la regula, se da en forma de actividad.

La actividad humana se sujeta a ciertas regularidades, es orientada hacia algo, la actividad

no se realiza sin motivo alguno, es básicamente inducida y regulada por ciertas motivaciones,

vivencias afectivas, por la voluntad, etc. A partir de esta regularidad se puede responder al

¿qué? y ¿por qué? de la actuación del sujeto, la actividad tiene que ser realizada por el sujeto

pero lo importante radica en cómo la ejecuta, la formas básicas de ejecución de la actividad

se expresan mediante las habilidades, los hábitos y las capacidades; la actividad no solo se

orienta y ejecuta, también juega un papel importante el control que se expresa mediante la

valoración de la actividad y es un elemento importante que ayuda a determinar su calidad.

Todos estos aspectos interactúan entre sí de manera que constituyen una unidad guardando

todos ellos sus peculiaridades, la calidad de las acciones no sólo depende de la forma de cómo

se realiza la actividad sino también de las condiciones que la inducen, a su vez la valoración

de la actividad permea a las acciones orientadoras y ejecutoras y constituye un indicador para

la retroalimentación y rectificación de errores. En este mismo contexto el aprendizaje viene

siendo la asimilación de la actividad que se da en condiciones concretas de un proceso

especialmente organizado y dirigido para ello, o sea, del proceso de la enseñanza. En la

enseñanza se organiza y dirige un tipo particular de actividad, la actividad cognoscitiva, la

asimilación de este tipo de actividad básicamente se manifiesta mediante la adquisición de

conocimientos, mediante el desarrollo de habilidades, hábitos y capacidades.

La adquisición de conocimientos está estrechamente relacionado con el saber y las

habilidades, los hábitos y las capacidades son manifestaciones del poder hacer. Aunque el

tema de las habilidades, hábitos y capacidades es aún controvertido, en este trabajo se

13Colectivo de autores; Pedagogía; Instituto Central de Ciencias Pedagógicas, MINED; Editorial Pueblo y

Educación; La Habana, Cuba, pp. 182-183, 1989. 14 Colectivo de autores; Tendencias Pedagógicas Contemporáneas; Ediciones ENPES, La Habana Cuba, pp.

76-77, 1991.

adoptan las establecidas por H. Brito (1988)15, que siguiendo la línea de A. N. Leontiev señala

que la actividad existe necesariamente a través de una serie de acciones y las acciones son

procesos subordinados a objetivos y fines conscientes. Las acciones se sustentan a su vez en

operaciones, que consisten en procedimientos o vías, que variarán en dependencia de las

condiciones con que el sujeto se enfrente para poder alcanzar el objetivo. Bajo estas premisas

considera que las habilidades son formas de ejecución de la actividad constituidas por una

sistematización de las acciones y como éstas son procesos subordinados a un objetivo o fin

consciente, no pueden automatizarse, ya que su regulación es consciente. Los hábitos por

otro lado, constituyen la sistematización de operaciones y como estas no responden a un

objetivo o fin consciente sino a las condiciones de la actividad que determinan la forma de

ejecución, la sistematización se convierte en una automatización. La capacidad es la forma

generalizadora de ejecución de la actividad y está constituida por el sistema de acciones y

operaciones, determinadas por las habilidades y los hábitos, los cuales garantizan la ejecución

del sujeto. Tanto las capacidades, habilidades y los hábitos tienen que ver con el dominio de

ejecución de la actividad del sujeto, el nivel dominio de la actividad está relacionado con el

grado de sistematización de su ejecución lo que trae aparejado que el sujeto llegue a ejecutar

las actividades con independencia, en tanto la sistematización en la ejecución de la actividad

se hace más consistente, el individuo gana en independencia.

Ahora bien, en la propuesta se asume que para desarrollar habilidades es necesario que los

estudiantes resuelvan problemas de manera sistemática. Se entiende por problema a aquélla

situación en la cual, dadas determinadas condiciones más o menos precisas, se plantean una

o varias exigencias, la vía de solución es desconocida por el sujeto. La comprensión de las

ideas básicas del cálculo, particularmente las asociadas a la derivada, puede ser más profunda

y significativa, si éstos son introducidos a través de la resolución de problemas,

particularmente los relacionados con la variación. Matemáticos e investigadores en

educación matemática como G. Polya, A. Schoenfeld, A. Labarrere, por mencionar algunos,

han destacado la importancia tan grande que tienen en la enseñanza de la matemática,

inclusive algunos opinan que ésta debiera reducirse a la resolución de problemas. La

enseñanza de la matemática a través de problemas se fundamenta en dos razones principales,

una histórica y otra psicopedagógica.

Históricamente se ha demostrado que el desarrollo de teorías y conceptos matemáticos casi

siempre ha provenido de la necesidad de resolver problemas concretos, por otro lado en el

plano psicopedagógico, la resolución de problemas puede desarrollar el pensamiento. Ya en

las páginas anteriores se han dado varios argumentos que la fundamentan el aspecto histórico.

En el plano psicopedagógico asumimos algunos criterios establecidos por Labarrere A.

(1987)16, estos consisten principalmente en considerar que la relación orgánica entre la

solución de problemas y el pensamiento, constituye la base y el punto de partida de la

formación de la actividad cognoscitiva del alumno en el proceso de enseñanza. En la

actividad cognoscitiva intervienen los conocimientos acumulados por el individuo y los

procedimientos a través de los cuales los obtiene, también en ella participan los procesos

15Brito H.; 1988; Habilidades y hábitos; consideraciones psicológicas para su manejo pedagógico; Revista

Varona; No. 20; pp. 53-60; La Habana, Cuba. 16Labarrere S. A. ; Bases psicopedagógica de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria.

Editorial Pueblo y Educación, La Habana, Cuba, pp. 53-60, 1987.

psíquicos como la percepción, la atención, la memoria y el pensamiento, éste último tiene un

papel central en la actividad cognoscitiva. Por el lugar que ocupa el pensamiento en la

actividad cognoscitiva, la tarea de su formación de esta última se corresponde, en gran

medida, con la formación del pensamiento en el escolar, por tal razón se comprende a la

formación de la actividad cognoscitiva como la formación del pensamiento en el alumno.

La propuesta aprovecha las potencialidades que desde el punto de vista cognoscitivo poseen

los problemas relacionados con la variación y son utilizados para explotar su función

desarrolladora del pensamiento, particularmente en la comprensión de las ideas básicas del

cálculo. ¿Qué se entiende por comprender un concepto? Varios profesores de cálculo creen

que sus alumnos han comprendido el concepto de derivada si reproducen fielmente la

definición vista en clase, creen además que con el hecho de escribir la definición en la pizarra

y exhibir algunos ejemplos ese concepto quedará asimilado. Estas prácticas y creencias sólo

atienden y estimulan la memorización, la cual no garantiza la comprensión.

En Vinner S. (1991)17 se asume que comprender un concepto significa tener una imagen

conceptual para él, por imagen conceptual se entiende a toda estructura cognoscitiva asociada

a un concepto que incluyen todas las imágenes mentales y sus propiedades asociadas a otros

procesos. Desde nuestra posición, la comprensión de un concepto no incluye sólo las

representaciones o imágenes mentales, sino implica sobre todo desarrollo del pensamiento y

éste puede ser desarrollado por medio de las habilidades. Por supuesto que es necesario que

el estudiante sepa y evoque, por ejemplo, que la derivada es la razón de cambio de una

variable respecto de otra en un instante, pero más importantes son las acciones que el

individuo realice apoyándose en este saber, de ahí la importancia de las habilidades en la

propuesta.

Elementos didácticos y metodológicos

La MEM es el marco didáctico general en el que se inscribe la propuesta. Esta metodología

fue difundida en Cuba por los Doctores Werner Jungk, Wolfgang Zillmer y otros,

actualmente es desarrollada en ese país por grupos importantes de profesores e

investigadores. La MEM, se define como una “disciplina pedagógica cuyo objeto de estudio

es el proceso de educación e instrucción que se opera en la transmisión y apropiación de los

conocimientos, las habilidades y capacidades matemáticas”.18 La MEM es una de las

disciplinas del Sistema de Ciencias Pedagógicas, tiene como marco más general a la

Pedagogía concebida como Ciencia de la Educación y a la Didáctica como Teoría de la

Enseñanza, se pudiera decir que la MEM y las Metodologías de la Enseñanza de otras

asignaturas, constituyen las Didácticas Especiales en las que se concretan las leyes y

principios generales establecidas en la Teoría de la Enseñanza y en la Ciencia de la

Educación. Las investigaciones científicas en la MEM surgen de la práctica de la enseñanza

de la matemática y el consumidor de los productos de la investigación es la práctica escolar

misma. De manera sintética Jungk W. (1989), caracteriza a la MEM estableciendo que “se

17Vinner S.; The role of definitions in the teaching and learning of mathematics; del libro Advanced

Mathematical Thinking, Editado por Kluwer Academic Publishers, pp. 65-79, 1991. 18 Colectivo de autores de la Facultad Matemáticas del ISPEJV; Metodología de la Enseñanza de la Matemática,

tomo 1; Editado por la Universidad Autónoma de Sinaloa, Méx., pp. 6, 1995.

ocupa de la determinación y diferenciación de los objetivos y contenidos de la enseñanza de

la matemática, sobre la base de las orientaciones dadas por la sociedad, de la investigación

de las leyes del proceso de enseñanza-aprendizaje, del desarrollo de métodos y medios para

dirigir el proceso y de la confección de una teoría de la MEM”.19

A fin de descubrir regularidades del proceso de enseñanza-aprendizaje bajo el enfoque

sistémico, en Zillmer W. (1981) se caracterizan ciertas situaciones de enseñanza

denominadas situaciones típicas. Estas se definen como situaciones reales en la enseñanza

de una o varias asignaturas que poseen semejanza entre sí, sobre todo con respecto a

determinados parámetros esenciales, especialmente con respecto de los objetivos y a la

estructura objetivo-materia, por eso, estas situaciones permiten un proceder semejante en la

aplicación de una determinada estrategia de conducción y de procedimientos metodológico-

organizativos20. En las clases de matemáticas son situaciones típicas, el tratamiento de

Conceptos y sus Definiciones, de Teoremas y sus Demostraciones, de Sucesiones de

Indicaciones con Carácter Algorítmico y de Ejercicios de Aplicación y Resolución de

Problemas. Todo profesor de matemáticas en algún momento tiene que ver con alguna de

estas situaciones porque le son inherentes a su trabajo. Particularmente nuestra propuesta se

basa en la situación típica tratamiento de Conceptos y sus Definiciones.

Elementos sobre el enfoque

Tradicionalmente el enfoque predominante en la enseñanza del CD, por ende del concepto

de derivada, no ha considerado prioritario la comprensión de sus ideas y conceptos básicos.

Nuestra propuesta se basa en el enfoque variacional, éste consiste fundamentalmente, en

considerar al estudio de la variación, como una especie de línea directriz que penetra a todo

lo largo del curso de cálculo (incluso que rebasa sus fronteras). En este enfoque se trata de

acercar a los estudiantes a la línea cognitiva que siguieron los matemáticos del pasado,

generando las nociones básicas partir del estudio de problemas sencillos sobre la variación.

Bajo estas consideraciones, el contenido matemático del curso de cálculo no se ciñe

necesariamente a la estructura lógico-formal del Análisis Matemático, más bien se trata de

una introducción intuitiva e informal que tiene como punto de partida las necesidades

prácticas desprendidas del estudio de la variación.

Sobre ésta última, tres nociones físicas son las fundamentales: la variación, la rapidez

promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación. A través del estudio de los

problemas de la variación queda al descubierto la verdadera esencia del concepto de derivada,

escondida detrás de la estructura rigurosa del análisis o detrás de su significado geométrico.

La esencia de este concepto radica en que cuantifica no al mero fenómeno del cambio, sino

la rapidez de los cambios, esto es, cuantifica la rapidez con que cambia una variable respecto

de otra, pero no en intervalos grandes de tiempo sino exactamente en un instante, en un

punto. Esta cuantificación implica necesariamente la introducción de otra noción clave del

cálculo, el límite, en la propuesta este concepto se introduce por la necesidad de calcular la

19 Jungk W.; Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática; Editorial Pueblo y Educación

, La Habana Cuba, pp. 7, 1989 20 Zillmer W.; Complementos de Metodología de la Enseñanza de la Matemática, Editorial de libros para la

Educación, La Habana Cuba, pp. 155, 1981

rapidez instantánea pues es una pieza clave en este cálculo y no por el hecho de ser un

concepto matemático interesante. Por tal razón no se abunda demasiado sobre este concepto,

su tratamiento se reduce al análisis de la convergencia de sucesiones de cocientes d/t

cuando a t se le asignan valores numéricos próximos a cero y se conecta con la noción de

infinitesimal a efecto de justificar las operaciones con ellos. Este enfoque pues, privilegia al

estudio de la variación física, ubica al límite como el recurso para resolver los problemas de

la rapidez instantánea de la variación y lo conecta con la noción de los infinitamente

pequeños.

Sobre el objetivo del Cálculo Diferencial

En un plano general, consideramos que el objetivo fundamental de la enseñanza del CD en

el bachillerato debiera centrarse que los estudiantes comprendan sus conceptos básicos, en

especial la derivada. Esto implica el desarrollo de las concepciones variacionales,

principalmente las de la variación física, el cual puede propiciar la comprensión de estos

conceptos por medio de su significado físico. Particularmente para propiciar que los

estudiantes comprendan el concepto de derivada y las ideas asociadas a ella, deben ser

capaces de: identificar ejemplos de su medio circundante con el concepto de derivada;

conocer y utilizar correctamente la simbología con que se le reconoce; conocer las

propiedades invariantes del concepto; reconocer el concepto en diversos contextos; dar

ejemplos y contraejemplos y fundamentar por qué estos pertenecen o no a la extensión del

concepto; calcular razones de cambio instantáneas; utilizar definiciones equivalentes sobre

el concepto de derivada; aplicarlo en la resolución de problemas tanto de la física como de

la misma matemática. Algunas de las actividades antes mencionadas, particularmente las que

tiene que ver con las aplicaciones físicas del concepto, son desarrolladas en la propuesta. Si

estas actividades son realizadas mecánicamente, es decir priorizando sólo la ejecución y

minimizando la base orientadora, la comprensión del concepto será escasa, porque el

estudiante no tendrá elementos para contestar por qué o para qué realizó tales actividades y

no otras. La comprensión de los conceptos es relativa ya que siempre es posible profundizar

sobre el conocimiento, realizar satisfactoriamente (con todo lo relativo que esto significa) las

actividades anteriormente señaladas pueden ser los indicadores de que los estudiantes

comprendieron los aspectos básicos relativos al concepto de derivada.

Relativo a las líneas directrices

Para contribuir a la creación de mejores condiciones para la comprensión de las ideas básicas

del cálculo, es necesario desarrollar las ideas sobre la variación desde mucho antes de que

los estudiantes ingresen al bachillerato. Esta idea puede ser reforzada si el contenido

matemático escolar es estructurado por medio de líneas directrices, en las que se incluya la

línea directriz los procesos de cambio. Esta puede crear una orientación general desde mucho

antes que inicie el curso de CD, con ella se puede familiarizar a los alumnos desde la escuela

elemental con las nociones y procedimientos básicos relativos a la variación, como las de

variable, de correspondencia, de variación directamente proporcional, de función, la

descripción gráfica la variación, la rapidez de la variación, etc.

El desarrollo y la orientación consciente de estas ideas, desde la escuela primaria y

secundaria, pueden constituirse en los cimientos de un ulterior desarrollo de las ideas de la

variación con la enseñanza de la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral en

el bachillerato. Con el programa oficial de la Secretaría de Educación Pública de 1993 de la

escuela primaria, se pretende desarrollar algunas ideas sobre la variación desde el cuarto

grado incluyendo un eje rector en la organización del contenido denominado procesos de

cambio, éste desaparece en el programa de la secundaria y algunas ideas sobre la variación

son incluidas en el área denominada presentación y tratamiento de la información. Esta

carencia de continuidad pudiera ser superada si los contenidos de la escuela primaria,

secundaria y el bachillerato, son unificados considerando el criterio de líneas directrices. En

particular el desarrollo de las ideas de la variación asociadas a la derivada se vería favorecido

si los procesos de cambio se constituyen en una línea directriz que penetre a lo largo de toda

la matemática escolar.

Estructura de una propuesta

La propuesta está basada en los lineamientos generales establecidos en la MEM para la

estructuración total de la elaboración de conceptos y sus definiciones21. En estos

lineamientos, que presuponen una estructuración sistémica del proceso de la enseñanza de la

matemática, se proponen tres fases fundamentales: la fase de las consideraciones y ejercicios

preparatorios, la fase de formación del concepto y la fase de fijación o asimilación. Para

ganar en especificidad y concreción la propuesta se centra en las fases de formación del

concepto y la de fijación o asimilación. La fase caracterizada por las consideraciones y

ejercicios preparatorios muchas veces comienza antes de la introducción del concepto y es

reforzada por medio de las consideraciones hechas anteriormente sobre la línea directriz

procesos de cambio.

Fase preparatoria

Previo a la formación del concepto de derivada se plantea una fase preparatoria en la que se

pretende formar una orientación general del curso de CD, al mismo tiempo que se orienta se

pretenden crear las condiciones mínimas del nivel de partida para acceder al proceso de

formación del concepto en cuestión. En esta fase se parte de la modelación de problemas

sencillos de la física de donde se abstraen las nociones de variable e intervalo de variación

como las formas más simples que reflejan la variación. Para desarrollar habilidades sobre

estos conocimientos se proponen algunos problemas en donde se requiere representar

geométricamente intervalos de variación y escribirlos correctamente utilizando la notación

matemática de las desigualdades. El otro concepto de importancia en esta fase es el de función

(ver cuadro 7), éste se obtiene de la búsqueda de la relación matemática que subyace entre

variables físicas concretas, de ahí surge la necesidad de expresar esta relación en términos de

21Jungk W.; Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática 2, Primera Parte; Editorial

Pueblo y Educación, la Habana, Cuba. pp. 58-63, 1985.

una fórmula matemática; para obtener las propiedades esenciales del concepto de función se

introduce la noción de correspondencia del cual se desprende que una función es un tipo

particular de correspondencia. Para destacar la importancia entre los modelos funcionales y

los fenómenos de la variación se plantean actividades tendientes a obtener estos modelos a

partir de la resolución de problemas sencillos.

ESTRUCTURA DE LA FASE PREPARATORIA

FENOMENOS DE LA VARIACION FISICA

CONCEPTOS RELACIONES PROCEDIMIENTOS

Variable e intervalos Representación geométrica, notación matemática.

Función Determinación del dominio e imagen.

Dominio, imagen, fórmula Obtención de funciones a través de la modelación

de problemas.

Evaluación y graficación de funciones.

Crecimiento,

decrecimiento, ceros,

máximos, mínimos

Relación entre el gráfico de

funciones y sus propiedades

Análisis de funciones a través de sus gráficos

Cuadro núm. 7

Desde el principio se trabaja con la variación continua o continua a trozos, aunque se dan

algunos ejemplos de variación discreta, también se trabaja con funciones continuas

esgrimiendo argumentos visuales (curvas sin interrupciones, sin saltos, sin huecos, etc.) sin

dar la definición formal y se estudian algunos casos de funciones que poseen discontinuidad

puntual. Se prioriza el trabajo con funciones algebraicas y algunas trigonométricas básicas y

se capacita a los estudiantes para puedan graficarlas por medio de tablas de valores, también

se introduce el método de graficación mediante el análisis de las fórmulas. No se pretende

que los estudiantes sólo sean capaces de dibujar las curvas sino que puedan realizar un

análisis visual del comportamiento de sus gráficos, este análisis se trabaja en el plano

matemático y en contexto, de modo que el comportamiento de una función tenga un

significado bien de crecimiento o decrecimiento (por hablar sólo de una propiedad) de

variables concretas como la temperatura, el volumen, la distancia, la velocidad, etc. Es

necesario recalcar que las funciones y sus propiedades no se estudian por ser cuestiones

matemáticas interesantes sino porque describen las relaciones entre las variables y porque

son pieza clave para estudiar la variación. Habrá que agregar que no se elabora una definición

formal sobre las operaciones básicas con las funciones, se presupone que las fórmulas que

las representan son manipulables mediante las operaciones básicas, la composición de

funciones es utilizada empíricamente en la modelación de situaciones de variación para

reducir la cantidad de variables.

Habilidades a desarrollar

En esta fase se pretende desarrollar en los estudiantes las habilidades siguientes:

Representar intervalos de variación

Evaluar y graficar funciones

Calcular

Relacionar gráficos y sus propiedades

Resolver problemas sobre la obtención de funciones

La habilidad de representar intervalos de variación incluye operaciones de identificación si

la variable a considerar es discreta o continua, de selección de su representación adecuada en

la recta real ya sea por medio de segmentos continuos o puntos aislados según sea el tipo de

variación, de traducción al lenguaje de las desigualdades y de comprobación de que las

representaciones geométricas y notaciones utilizadas correspondan a los intervalos de

variación deseados. Las habilidad de evaluar incluye operaciones de identificación del tipo

de expresión de la función a evaluar, la selección de los medios a utilizar como las tablas de

valores, los algoritmos, y el cálculo de los valores numéricos. La habilidad de graficar incluye

procedimientos de identificación del tipo de función a graficar, ubicación de puntos en el

plano cartesiano, determinación de puntos de discontinuidad, cálculo aproximado de sus

puntos máximos y mínimos, determinación del dominio e imagen y el trazo de la gráfica.

Para la graficación también se utiliza el análisis de las fórmulas de las funciones sobre todo

cuando son racionales o irracionales, en este caso se requiere de la habilidad de resolver

inecuaciones la cual incluye procedimientos como, identificar el tipo de expresión con que

se va a trabajar, calcular los puntos críticos (dónde la función se anula, dónde se indetermina),

determinar el o los intervalos para los cuales la fórmula tiene sentido, determinar los

intervalos donde la función es positiva, negativa, donde se anula y hacer el esbozo de la

gráfica.

La habilidad de relacionar los gráficos de las funciones y sus propiedades incluye

procedimientos de identificación de la relación entre la monotonía y el gráfico y la función,

identificar la relación entre la gráfica y el signo de la función, identificar la relación entre los

ceros de la función y la gráfica, la determinación de intervalos de monotonía y dónde la

función es positiva, negativa o nula. La habilidad de resolver problemas sobre la obtención

de funciones incluye la ejecución de los procedimientos del Programa Heurístico General en

el descubrimiento de la fórmula o regla que rige a la relación entre las variables, su

representación gráfica y la interpretación del fenómeno de variación que represente. Es obvio

que la habilidad de calcular es indispensable en el desarrollo de varias de las habilidades

antes mencionadas, habría que agregar que en el curso programado es necesario poder

calcular por medio de las operaciones básicas con números enteros, racionales, con radicales

y con algunas razones trigonométricas. En las clases 1, 2 y 3 de los apuntes (ver anexo B) se

proponen varios ejercicios y problemas con los cuales se pretende que los estudiantes puedan

desarrollar las habilidades antes señaladas.

Fase de formación del concepto

Lo esencial de esta fase consiste en formar en los estudiantes el concepto de derivada como

razón de cambio instantánea (RCI) y para ello se construye a partir de los conceptos de razón

de cambio promedio (RCP), de límite y de los infinitamente pequeños. Las relaciones más

importantes que se trabajan en esta fase son las existentes entre las RCP y la rapidez de la

variación y el criterio de la unicidad para la existencia del límite en el cálculo de la RCI. La

estructura de esta fase se ilustra en el siguiente cuadro.

ESTRUCTURA DE LA FASE DE FORMACION DE CONCEPTO

RAPIDEZ DE LA VARIACION

CONCEPTOS RELACIONES PROCEDIMIENTOS

Razón de Cambio Promedio Cálculo de la RCP.

Razón de Cambio Instantánea Relación entre la RCP y la

rapidez de la variación

Determinación de la rapidez

media de la variación.

Límite

Criterio de unicidad del límite

en la RCI

Cálculo de RCI por

aproximaciones numéricas y por

vía algebraica.

Infinitesimal Condición para la existencia de

la RCI (rectitud local y curvas

suaves)

Resolución de problemas sobre

rapidez instantánea.

Cuadro núm. 8

Para lograr la formación del concepto de RCI se pretende desarrollar las habilidades

siguientes:

Calcular la RCP (velocidad y aceleración promedio).

Relacionar la RCP y la rapidez media de la variación.

Calcular la RCI (velocidad y aceleraciones instantáneas) por aproximaciones

numéricas.

Relacionar la rectitud local de las funciones y la existencias de la RCI.

Relacionar la rectitud local de las funciones y la existencia de la RCI.

Resolver problemas sobre rapidez de la variación.

La habilidad de calcular la RCP incluye operaciones de identificación de los extremos del

intervalo (del tf y el ti), de evaluar la función en cuestión, simplificar la razón si es necesario

e interpretar el resultado en términos de la rapidez media de la variación. La habilidad de

relacionar la RCP y la rapidez media de la variación implica, la comparación entre el signo

de las secantes y el gráfico de las funciones, determinar los intervalos de mayor o menor

rapidez de la variación o rapidez nula si es que la hay. La habilidad de calcular la RCI por

aproximaciones numéricas incluye los procedimientos de, identificación del t0 (instante en

el que se requiere la RCI), determinar una vecindad de t0 , construir sucesiones numéricas

que acerquen lo suficiente al t0 tanto por la derecha como por la izquierda, calcular

reiteradamente la RCP para los intervalos reducidos, inducir el límite de la sucesión de

cocientes obtenidos, verificar la unicidad del límite, dar la RCI como el límite encontrado.

La habilidad de calcular la RCI por medios algebraicos implica la utilización de la definición

de la RCI, la utilización de la regla de los cuatro pasos, en la obtención de la RCI por la vía

algebraica se desarrolla la habilidad calcular límites usando ideas infinitesimalistas, por tanto

en esta habilidad se incluyen operaciones como la de considerar despreciables las sumas,

productos o potencias de términos que contengan a los infinitesimales. La habilidad de

relacionar las existencia de la RCI y la rectitud local (en el fondo esta una de las condiciones

para la derivabilidad) implica la identificación de las zonas donde los gráficos de las

funciones son suaves (monótonas) y dónde no lo son (dónde tienen picos, puntos de

indeterminación, etc.). La habilidad de resolver problemas sobre la rapidez y dirección de la

variación implica la utilización del Programa Heurístico General en la resolución de

problemas de este tipo por aproximaciones numéricas o aplicando la definición de RCI. En

las clases 4, 5, 6 y 7 de los apuntes (ver anexo B) se plantean ejercicios y problemas con los

cuales se pretende que los estudiantes desarrollen las habilidades antes mencionadas.

Estrategia metodológica en la formación del concepto

La fase de formación del concepto se orienta a través del estudio de la rapidez de la variación.

Particularmente la rapidez o velocidad promedio de cambio se introducen con el propósito

de que los estudiantes obtengan un recurso para cuantificar el cambio de una variable

respecto de otra en intervalos grandes. También se estudian las relaciones entre estas

nociones y las pendientes de secantes a los gráficos de funciones, estas relaciones son

trabajadas para dar una primera aproximación sobre la monotonía de las funciones y la

rapidez de la variación física. Las RCP (rapidez, velocidad) en principio se trabajan con

funciones cuyos gráficos son líneas rectas (variación directamente proporcional) después se

proponen problemas físicos en los que se requiere determinarlas cuando los gráficos son

curvas, de aquí se plantea una situación problémica como parte fundamental de la motivación

para la formación del concepto de derivada. Esta motivación se induce por medio del

planteamiento del problema de cálculo de la velocidad en un instante determinado, la cual no

puede ser obtenida por medio de la RCP pues conduce a una indeterminación. De aquí surge

la necesidad de introducir los procesos infinitos como un nuevo método de cálculo que,

ineludiblemente conduce a la noción de límite, éste surge a partir de la reducción de los

intervalos y la aplicación iterativa de la RCP en donde:

d t d t

t t

d

tRCP

( ) ( )0

0

Mediante el análisis de las sucesiones numéricas de cocientes originadas de la reducción del

intervalo se infiere (por inducción incompleta) el límite que constituye la velocidad o rapidez

instantánea buscada. La búsqueda de este límite mediante aproximaciones numéricas es

importante ya que puede enriquecer la experiencia de los estudiantes con los números muy

pequeños y posibilitar su predicción mediante el análisis de la sucesión de las razones d/t

al aproximar a cero al t. Para aportar más elementos sobre el límite, se proponen actividades

de búsqueda mediante aproximaciones numéricas al t0 , tanto por la derecha como por la

izquierda, para poder apreciar su unicidad y se plantean algunos contraejemplos donde el

límite no es único. Los procesos de aproximación numérica al límite se generalizan mediante

la definición de la RCI y se condensan en la notación:

limt t

d t d t

t tRCI

0

0

0

( ) ( )

siempre y cuando este límite exista. No se propone hacer un estudio exhaustivo de los límites

como lo sugieren los programas y textos comunes, sino que la atención se centra solo en el

límite anterior. Tampoco se establecen formalmente los teoremas sobre los límites de sumas,

productos y cocientes de funciones, sino que se conecta la noción de límite con la de

infinitesimal y a partir de éstos se sustenta la sucesión de algoritmos que operativizan el

cálculo de razones de cambio instantáneas. Bajo estas premisas cualquier término que

contenga productos o potencias de diferenciales es considerado infinitamente pequeño por lo

que su valor numérico es despreciable. La necesidad de abreviar las aproximaciones

numéricas y de una notación más operativa y sugerente, obliga a la introducción de la

notación de Leibniz:

limt

f t t f t

t

dy

dty f t

0

0 0( ) ( ), ( ) donde

Esta notación es muy sugerente para indicar que la razón entre los diferenciales de distancia

respecto del tiempo es la velocidad (v = ds/dt), o bien que la aceleración es la razón entre

los diferenciales de la velocidad respecto del tiempo (a = dv/dt), etc., por lo que se utiliza

para calcular las RCI por la vía algebraica, ésta consiste en una sucesión de algoritmos

similares a la regla de los cuatro pasos. Hasta aquí se ha arribado al concepto de derivada

concebido de manera restringida pues solo está referida a funciones que dependen del tiempo,

incluso a estas alturas del curso los estudiantes aún no están familiarizados con el término

derivada aunque sí lo están con sus características esenciales, a continuación se resume la

estrategia metodológica antes descrita.

FORMACION DEL CONCEPTO DE RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA

EST RAT EGIA MET ODOLO GIC A

ORIENTACION

HACIA EL

CONCEPTO

CONDICIONES

DEL

NIVEL

DE PARTIDA

Se plantean problemas físicos sobre velocidad y aceleración promedio.

Nociones que se generalizan mediante la razón de cambio promedio

En el MRU se relaciona las pendientes de las rectas y su RCP

Mediante el movimiento parabólico se hace notar que la velocidad de

promedio de los cuerpos puede ser variable.

Se plantea el cálculo de la velocidad en un instante determinado de un cuerpo

que sigue una trayectoria curvilínea.

MOTIVACION Imposibilidad de resolver el problema anterior mediante la RCP

ELEMENTOS

PARA LA

FORMACION

DEL

CONCEPTO

Búsqueda de la solución al problema. ¿Reduciendo el intervalo? ¿Moviendo

ambos extremos del intervalo? ¿Mover hacia dónde? ¿Qué tanto habrá que

reducir el intervalo?

Aproximaciones laterales mediante sucesiones numéricas al punto usando la

calculadora. Criterio intuitivo de la unicidad.

Predicción intuitiva del límite de sucesiones de cocientes. Obtención de la

velocidad instantánea

Propiedades invariantes de la RCI. Definición de la RCI.

Relación entre los diferenciales (infinitesimales) y el límite. Obtención de la

RCI por medios algebraicos

Cuadro núm. 9

Fase de asimilación del concepto

Dado el enfoque con que se ha conducido la formación del concepto de derivada como RCI,

se han venido planteando desde el inicio de su formación, ejercicios y problemas tendientes

a la asimilación de conceptos y procedimientos a él asociados en el contexto de la variación.

No obstante en la fase de asimilación del concepto se amplía la extensión de las aplicaciones

del concepto a las aplicaciones geométricas y de dirección de la variación, también se amplía

la extensión del concepto a funciones que no necesariamente dependen del tiempo

introduciendo la definición de derivada. Se introduce la noción de función derivada, se

deducen (por medio de los diferenciales) y utilizan las fórmulas y reglas básicas de

derivación. Es muy frecuente que cuando los estudiantes logran automatizar los algoritmos

algebraicos del cálculo de derivadas se olvidan del significado de estos procedimientos, para

tratar de hacer conscientes estos procedimientos se plantean situaciones problémicas sobre

la naturaleza de estos procedimientos. Para pasar de las RCI a las pendientes de tangentes se

utiliza la noción de dirección del movimiento y se aplica en la resolución de problemas sobre

pendientes y ecuaciones de tangentes. El estudio del problema de las tangentes se apoya en

la noción de rectitud local de curvas monótonas el cual, a su vez, sirve como base para

trascender el concepto euclídeo hacia un concepto más general sobre tangente. Para que los

estudiantes asimilen el concepto en cuestión, necesitan integrar y sistematizar varias

habilidades, básicamente se requiere que sean capaces de:

Resolver problemas sobre rapidez instantánea de la variación.

Resolver problemas sobre: dirección instantánea de la variación y tangentes a

curvas.

Utilizar e interpretar correctamente el significado de la notación con que se

reconoce a la derivada.

Poder señalar ejemplos y contraejemplos sobre la existencia de la derivada

Calcular derivadas mediante los diferenciales (regla de los cuatro pasos)

Memorizar la definición de derivada y las fórmulas básicas de derivación.

Calcular derivadas mediante fórmulas y reglas

Resolver problemas diversos conocidas las fórmulas y reglas de derivación

En las dos primeras se pretende que los estudiantes apliquen la definición del concepto de

RCI o derivada, en la solución de problemas sobre rapidez y dirección instantánea de la

variación. Los dos siguientes se refieren concepto en cuestión, con el primero se trata de que

los estudiantes interpreten correctamente el significado de la notación que se utiliza para la

derivada o la RCI y con el segundo, se trata de que los estudiantes sean capaces de decidir

cuándo una función tiene derivada o no la tiene, aplicando los criterios para ello establecidos

en el curso. En el resto se trata de que los estudiantes automaticen los algoritmos necesarios

para calcular derivadas y resuelvan otros problemas de mayor grado de generalización. Para

ampliar el campo de las aplicaciones hace falta estudiar las relaciones entre la función

derivada y la monotonía de las funciones y las condiciones para la existencia de valores

extremos, estas relaciones son muy importantes para el análisis de funciones y la resolución

de problemas de optimización. En los apuntes que se presentan como anexo sólo se trabajan

algunos aspectos de la función derivada y las fórmulas básicas de derivación. Si bien es

necesario que los estudiantes comprendan los conceptos fundamentales, el contexto en que

se da la enseñanza del CD obliga, necesariamente, a que los estudiantes dominen los

algoritmos de cálculo. Los estudiantes estarían en mejores condiciones de resolver problemas

de aplicación de la derivada, si han comprendido este concepto y por supuesto dominan los

conocimientos y algoritmos esenciales.

CAPITULO 5

UNA EXPERIENCIA ESCOLAR

Este capítulo está dedicado a la experiencia pedagógica y al análisis cualitativo de las

respuestas a los exámenes (pruebas pedagógica) aplicados en la experiencia, ésta se concretó

en un curso de CD en el que participaron 32 estudiantes del bachillerato. Se aplicaron en total

5 exámenes, 4 de ellos fueron aplicados con el propósito de explorar el desarrollo de los

conocimientos (básicamente concepciones y habilidades relativas a la variación) que

alcanzaron los estudiantes a lo largo del curso. El examen 5 fue aplicado junto con el primer

examen y explora algunas ideas generales que sobre la variación poseían los estudiantes al

principio del curso, este mismo examen fue aplicado al final, incluido en el cuarto examen,

el propósito era indagar el desarrollo de estas ideas logrado a través del curso, de este examen

se presenta un análisis comparativo. El análisis cualitativo fue realizado a las respuestas de

los cuatro exámenes y a las respuestas del examen que explora ideas generales sobre la

variación, para ello fueron asociadas en cada uno de los exámenes en pequeños grupos de

acuerdo a su afinidad matemática más cercana, esto con el propósito de detectar las

tendencias en el desarrollo tanto de las ideas como de las habilidades afines. Al final se

presenta una un análisis comparativo entre el rendimiento global obtenido en los 4 exámenes

y el desarrollo de las ideas generales sobre la variación.

Aspectos básicos de la experiencia escolar

Con la experiencia pedagógica se trata de formar los conceptos básicos del CD a partir del

desarrollo de las ideas sobre la variación. En virtud de que se trata de explorar los cambios

que se producen en los estudiantes en relación con el desarrollo de estas ideas y la

comprensión de los conceptos básicos del CD, la experiencia fue realizada con el mismo

grupo. Antes del curso se exploró el estado de algunas ideas variacionales en los estudiantes

participantes, los cambios producidos por la puesta en práctica de la propuesta didáctica son

evaluados al final del curso de modo que permiten la comparación con el estado inicial. Es

muy frecuente utilizar en la investigación experimental la modalidad del grupo de ensayo y

del grupo control, en el primero se somete la variable (o variables) como objetos de estudio

experimental mientras que en el grupo de control se sigue el procedimiento habitual. Para los

propósitos de la experiencia pedagógica que nos ocupa, un proceder parecido al anterior es

de muy escasa utilidad, pues el grupo de control sujeto a la enseñanza habitual del CD no

desarrollará ideas variacionales pues en ella estas ideas se omiten o si acaso se tocan es sólo

superficialmente. Por tal razón se eligió la modalidad de caso único1 donde la experiencia se

aplica al mismo grupo de estudiantes, pues nos interesa explorar la influencia que en ellos

produce la enseñanza de los conceptos básicos del cálculo a través del enfoque variacional.

1En el sentido como se entiende en la Metodología de la investigación pedagógica y psicológica, segunda

parte, de Irma Noceda de León y Eddy Abreu, pp. 34 - 35; 1984.

La experiencia pedagógica se concretó en la conducción de un curso de CD impartido a

estudiantes del cuarto semestre del bachillerato con especialidad en Construcción del Centro

de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios Núm. 134 (CBTis 134) de la ciudad de

Chilpancingo, Guerrero, México. Participaron 32 estudiantes cuyas edades fluctuaban entre

16 y 17 años, estuvieron divididos en dos grupos, el 4o. "C" y el 4o. "D". El curso fue

trabajado en horario matutino de 7 a 8:40 de la mañana. El curso inició el 1 de febrero y

finalizó 16 de junio de 1994 y su duración fue de 18 semanas, de un total de 90 sesiones de

50 minutos planificadas fue posible trabajar 79 sesiones efectivas. Todos los estudiantes que

participaron en la experiencia ya habían pasado (oficialmente) los cursos de Aritmética y

Algebra, Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica. Además de la asignatura que

oficialmente se reconoce como Matemáticas IV (el curso de CD) en el cuarto semestre en el

que se desarrolló la experiencia los estudiantes tenían que atender otras 7 asignaturas más.

El bachillerato que cursaban oficialmente se reconoce como el Físico-Matemático con

especialidad de Técnico en Construcción, lo primero les posibilita proseguir estudios

universitarios relacionados con la Ingeniería Civil o la Arquitectura y lo segundo les permite

incorporarse al trabajo productivo después de haber concluido el bachillerato.

Congruente con la estructura de la propuesta, el curso fue planificado en tres fases

fundamentales: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de

asimilación y fijación del concepto. El contenido, enfoque y habilidades a desarrollar en

cada fase se han descrito en el capítulo anterior.

Las formas metodológicas básicas de organización de la enseñanza mas utilizadas en el

curso fueron los métodos de elaboración conjunta, los de dirección del trabajo independiente

y algunos métodos expositivos. El trabajo docente se organizó en clases prácticas, clases de

repaso y las clases de control o evaluación. A fin de optimizar el tiempo se trabajó con los

apuntes escritos exprofeso (ver anexo B), esto permitió que los estudiantes se familiarizaran

con antelación con el contenido a tratar. Las clases prácticas fueron destinadas a la resolución

conjunta de los ejercicios y problemas más representativos planteados en los apuntes y el

esclarecimiento de dudas sobre las tareas asignadas para realizar en casa. Dado que se

pretendía desarrollar habilidades en los estudiantes, el trabajo con la resolución de ejercicios

y problemas ocupó alrededor de las tres cuartas partes del tiempo destinado al curso, inclusive

las tareas extraclase fueron sistemáticamente revisadas y evaluadas con el objetivo de

contribuir a la calificación de los estudiantes y así estimular su realización. En las clases de

repaso se planteaban actividades consistentes en la resolución de ejercicios y problemas a fin

de sistematizar, ampliar y profundizar los temas. En las clases de control o evaluación se

aplicaron cuestionarios de control o de sistematización y los exámenes elaborados con fines

investigativos.

Reseña sobre la experiencia escolar

Los contenidos del curso fueron escritos en forma de apuntes (ver anexo B), los apuntes

fueron estructurados en clases, en cada clase se tratan determinados temas y se plantean

ejercicios y problemas para la asimilación del contenido respectivo. Las clases fueron

desarrollados en dos o más sesiones de 50 minutos en dependencia de su extensión,

profundidad y condiciones generales de los estudiantes. Las primeras cuatro clases

corresponden a la fase preparatoria y el resto corresponde a las fases de formación y

asimilación del concepto. El curso se inició el 1 de febrero de 1994 con la clase 1 titulada la

variación, en ella se introdujeron las ideas de variable e intervalos de variación, a partir del

estudio de fenómenos. Se observaron grandes dificultades en los estudiantes en el manejo de

la notación matemática para de intervalos (símbolos <, >, , ), pues confesaron no haberla

trabajado antes.

La clase número 2 titulada los modelos que describen la relación entre las variables se inició

en la segunda semana de trabajo comprendida entre del 7 al 11 de febrero de 1994. La

actividad docente en esta clase se centra en el concepto de función, éste se formó a partir del

estudio de la variación de cierto volumen de gas en relación con la variación de sus

temperaturas absolutas (Ley de Charles). A esta clase le dedicamos dos sesiones de

conferencia y tres sesiones a la resolución de ejercicios y problemas, los tres primeros

ejercicios no causaron mayores problemas a los estudiantes, las dificultades empezaron a

manifestarse en la evaluación de funciones y en el esbozo de sus gráficos, dificultades

mayores aparecieron en la deducción de las fórmulas de algunas funciones a partir de las

situaciones de la práctica. La tercera semana de trabajo (del 14 al 18 de febrero) la dedicamos

a la resolución de ejercicios y problemas de sistematización de los contenidos de las clases 1

y 2. La resolución de estos ejercicios fue encargada a los estudiantes para ser realizada como

trabajo independiente, sin embargo surgieron muchas dificultades en su resolución. En estos

ejercicios se incluyeron el trabajo con intervalos, el trabajo con funciones, la determinación

de su dominio, imagen y fórmula.

En la cuarta semana, del 21 al 25 de febrero, iniciamos con la clase 3 titulada graficación de

funciones. Su propósito fundamental fue desarrollar habilidad en los estudiantes para esbozar

gráficas de funciones numéricas, para tal fin se les dio atención a la técnica de graficación

por medio de tabulación, la graficación a partir del análisis de sus fórmulas y al análisis visual

del comportamiento de sus gráficos. En el transcurso de la cuarta semana sólo alcanzamos a

trabajar con las gráficas de funciones enteras y racionales (algebraicas), en la quinta semana

(del 21 al 4 de marzo) se trabajó con algunas funciones irracionales y las trigonométricas

básicas, de estas últimas los estudiantes confesaron no haber estudiado siquiera las razones

trigonométricas en sus cursos anteriores. Al parecer los estudiantes no tuvieron muchas

dificultades para graficar funciones lineales, en cambio sí las tuvieron con las cuadráticas y

cúbicas sobre todo en la evaluación y el esbozo de sus gráficos cuando éstos cortan al eje de

las x en dos o más puntos pues muchos de ellos se perdían en el dibujo, las dificultades

mayores se presentaron al graficar y analizar los gráficos de funciones racionales e

irracionales particularmente al realizar el análisis de sus fórmulas. De las funciones

trigonométricas sólo fue posible graficar y analizar algunas de las básicas, no se trabajó con

las exponenciales y logarítmicas. Alrededor de la tercera parte de los estudiantes fueron

capaces de resolver más de la mitad de los ejercicios planteados en esta clase. A estas alturas

del curso se notaron irregularidades en el cumplimiento de las tareas y en la asistencia,

motivos por los cuales se decidió disminuir un poco el ritmo de trabajo alcanzado.

En la sexta semana, del 7 al 11 de marzo, se inicia la clase 4 titulada la rapidez de la

variación, con ella da inicio la formación del concepto de derivada como RCI. En estas clase

se introdujo el concepto de RCP como el medio para obtener la rapidez de la variación a

partir del estudio del movimiento rectilíneo uniforme. Con estos elementos se orientó a los

estudiantes para que pudieran calcular las RCP dados los gráficos o las fórmulas de ciertas

funciones y a partir de la resolución de problemas de la física, muchas dificultades

presentaron en la resolución de estos últimos. En virtud de que en esta semana los estudiantes

presentaron exámenes parciales de las otras asignaturas, además de serias dificultades que

manifestaron tener en la resolución de los ejercicios de esta clase, se utilizó casi la totalidad

del tiempo de la séptima semana (del 14 al 18 de marzo) en tratar de resarcir estas

deficiencias. Aproximadamente la quinta parte de los estudiantes resolvió la totalidad de los

ejercicios planteados en esta clase, dificultades notables tuvieron en el trabajo aritmético con

la fórmula de la RCP y en su representación geométrica, en el primero de los casos tenían

serias confusiones en discernir el orden en que deberían tomar los tf y los ti, sobre todo

cuando se les pedía calcular varias de ellas en una misma función y cuando la gráfica de la

función dada era descendente y por tanto se obtenían razones de cambio negativas.

En la octava semana, del 22 al 25 de marzo, se trabajó con la clase 5 titulada las razones de

cambio variables. Lo medular de esta clase es el estudio de la relación existente entre las

RCP cuando el movimiento sigue trayectorias curvilíneas, como punto de partida se abordó

la relación entre la pendiente de secantes a las curvas y la RCP. De las velocidades promedio

constantes del MRU de la clase anterior se pasa al análisis de las velocidades promedio del

movimiento de un cuerpo impulsado que sigue una trayectoria parabólica, de estos

movimientos se construyeron y analizaron los gráficos de sus velocidades promedio y se

relacionaron con los intervalos de crecimiento, decrecimiento y anulación de las RCP. Al

resolver los problemas propuestos en esta clase los estudiantes vuelven a tener dificultades

en la decisión de cuál es el valor de tf y cuál el de ti (sobre todo cuando RCP eran negativas),

al representar geométricamente la RCP confundían su signo con el signo de la función. En

esta semana de trabajo nuevamente un escaso número de estudiantes leen con anticipación

los apuntes, muy pocos pueden hacer las tareas encomendadas, de modo que esto provoca

que se tengan que repetir algunas de clases anteriores.

La clase número 6 titulada las razones de cambio instantáneas se trabajó del 11 al 15 de

abril. En esta clase se partió de la necesidad de calcular velocidades instantáneas y la

imposibilidad de calcularlas por medio de las RCP, de ahí se orientó a los estudiantes para

que reflexionaran si por medio de la reducción del intervalo esto sería posible, luego el

problema se trasladó a qué tan pequeña sería la reducción del intervalo. Esto se resolvió al

analizar el comportamiento de la sucesión de cocientes d/t al asignar a t valores muy

cercanos a cero de modo que se pudiera predecir su límite. Al parecer los estudiantes

aceptaron con naturalidad la notación:

limt t

d t d t

t td t

f i

f

f i

f

( ) ( )' ( )

i

para la RCI, en cambio cuando se pasó a la notación:

limt

d t t d t

td t

0

0 0

0( ) ( )

' ( )

se manifestaron dificultades serias en su manejo. También se presentaron dificultades en

decidir cuál es el punto que se mueve y cuál no, el tf o el ti , el t0 o el t. En las

aproximaciones numéricas también manifestaron dificultades al acercarse a un t0 , sobre todo

al tratar de construir sucesiones que acercaran al punto por la izquierda. Poco mas de la cuarta

parte de los estudiantes son capaces de resolver los problemas y ejercicios planteados en los

apuntes.

En la semana 10, comprendida del 18 al 22 de abril, se trabajó la clase 7 titulada Cálculo de

las RCI por Métodos Algebraicos, el objetivo fundamental se centró en desarrollar habilidad

en los estudiantes para calcular razones de cambio instantáneas por medio de su definición.

En esta clase se parte de la necesidad de buscar un método que abreviara el cálculo de las

RCI, este método en principio fue trabajado a partir de la definición dada de RCI y

posteriormente con la regla de los cuatro pasos. Aquí se presentaron ciertos problemas en

cuanto a la fundamentación de las sumas o productos de los límites, para fundamentar estas

operaciones se introdujo y utilizó la noción de cantidades infinitesimales definidas a partir

del límite, bajo estas condiciones cualquier suma o producto de infinitesimales se consideran

cantidades despreciables y tiene como límite cero. Al tratar de resolver los problemas

planteados de esta clase los estudiantes tuvieron dificultades con la evaluación de funciones

con argumento de la forma t + t, en el desarrollo de binomios al cuadrado o al cubo, las

dificultades aumentaron cuando se trataba de calcular las RCI de funciones racionales

sencillas, en especial en la simplificación de expresiones algebraicas racionales. Menos de la

cuarta parte de los estudiantes pudieron resolver más de la mitad de los ejercicios planteados.

Incluso muchos estudiantes no resolvieron la mayoría de los ejercicios planteados desde la

clase 5 hasta la 7, por tal razón en la semana 11 se hizo en un repaso general.

En la semana 12, del 2 al 6 de mayo, solamente fue posible trabajar una sesión de 50 minutos

con cada uno de los grupos, en ella se estudiaron algunos casos de funciones en las que no es

posible calcular la RCI en puntos determinados, además se estudió la relación entre rectitud

local y la existencia de la RCI. En la semana número 13, entre el 9 y 13 de mayo, se trabajaron

dos sesiones de 50 minutos con cada uno de los grupos y se repasaron algunas cuestiones de

clases anteriores. En la semana 14, del 16 al 20 de mayo, prosiguen las irregularidades con

la asistencia de los estudiantes y sólo se trabajaron tres sesiones de 50 minutos con cada

grupo, por tal razón se optó por repasar algunas temas de álgebra que los estudiantes no

dominaban. En la semana 15, del 23 al 27 de mayo, se trabajó con la clase núm. 8 titulada:

Las Razones de Cambio Instantáneas y las Tangentes a Curvas, en ella se extendió la

noción de RCI al de pendientes de tangentes a las curvas, esta clase se inició con una

discusión acerca de las ideas que de tangente tenían los estudiantes, en esta discusión se hizo

patente la necesidad de trascender la concepción griega hacia una concepción local de

tangente, hacia la posibilidad de que pudiese cortar o tocar a la curva, hacia el establecimiento

de las condiciones necesarias para poderlas trazar y determinar sus pendientes y ecuaciones.

En esta clase tuvimos serios problemas con el nivel de partida pues los estudiantes no

conocían las funciones trigonométricas, particularmente la f(x) = tan x, indispensable para

determinar pendientes de rectas, por eso se les dedicaran dos sesiones de 50 minutos para

ayudarlos a superar estas deficiencias. Solo la cuarta parte de los participantes fueron capaces

de resolver satisfactoriamente más de la mitad de los ejercicios planteados.

En la semana 16, del 30 de mayo al 3 de junio, se trabajó con la clase número 9 titulada Las

Razones de Cambio Instantáneas en cualquier punto, con ella se introdujo el concepto de

función derivada a partir de la necesidad de determinar la velocidad de los cuerpos en caída

libre en cualquier instante. La idea de función derivada subyacente en las RCI para cualquier

t sólo fue trabajada en funciones algebraicas sencillas surgidas de problemas de caída libre

y el llenado de vasijas con agua. Nuevamente en la resolución de los problemas y ejercicios

planteados se presentaron muchas deficiencias algebraicas, las dificultades mayores se

manifestaron en la resolución de problemas de aplicación en donde la fórmula de la función

no estaba dada.

En la semana 17, del 6 al 10 de junio, se inició la deducción y utilización de las fórmulas

básicas de derivación. En los días 6, 7 y 8 de junio se trabajó con la Clase 10 titulada: La

Notación de Leibniz para Derivadas y los Diferenciales, en ella se introdujo la notación de

Leibniz para derivadas y se precisó la idea del diferencial. Con la notación de Leibniz y la

idea del diferencial fue posible encontrar un argumento más consistente para deshacernos de

los productos con los diferenciales o de las potencias de éstos pasando de la idea del límite a

la de los diferenciales propiamente dichos. También se hizo notar la valía de la notación de

Leibniz porque es sugerente en el estudio de la variación. En la resolución de los ejercicios

y problemas planteados se presentaron deficiencias algebraicas, aunque más de la cuarta parte

de los participantes resolvieron más de la mitad de los ejercicios y problemas propuestos.

El 9 y 10 de junio se trabajó la clase 11 titulada Algunas fórmulas y reglas básicas para

calcular derivadas, en esta clase se deducen las fórmulas para derivadas de funciones de la

forma y = mx + b y de la forma y = xn (con n racional); el objetivo esta clase fue el que los

estudiantes desarrollaran habilidad para calcular derivadas por medios más rápidos que los

anteriormente conocidos, en la resolución de los ejercicios planteados las mayores

dificultades se presentaron con el cálculo de derivadas de funciones de la forma y = xn, con

n racional negativo. En la semana núm. 18, del 13 al 17 de junio, se trabajaron las clases 12

y 13. En la clase 12, titulada Fórmulas para derivadas de sumas y productos de funciones,

en ella se dedujeron las fórmulas para derivar sumas y productos de funciones a partir de la

necesidad de resolver ciertos problemas y utilizando la noción de infinitesimal; en la

resolución de los ejercicios y problemas planteados los estudiantes tuvieron dificultades en

la simplificación algebraica después de aplicar la regla de derivación correspondiente y en la

resolución de problemas sobre variación en donde no se daba la fórmula de la función, a esta

clase le dedicamos los días 13, 14 y 15 de junio. Los días 16 y 17 de junio (últimos días del

curso) fueron dedicados a la clase 13 titulada Fórmulas para derivadas de cocientes de

funciones, esta clase fue motivada por la resolución de un problema que da pie a la búsqueda

de una fórmula general para derivadas de funciones de la forma y = u/v; la utilización de la

fórmula para derivar cocientes de funciones ocasionó mayores problemas a los estudiantes,

sobre todo cuando había necesidad de simplificar expresiones algebraicas racionales.

Obstáculos enfrentados en la experiencia escolar

En el trabajo general del curso se enfrentaron una diversidad de obstáculos que influyeron en

su desarrollo normal, varios de ellos ya se han mencionado. Fue muy notoria la deficiencia

de conocimientos previos por parte de los estudiantes, ellos mismos confesaron no haber

visto muchos de los contenidos que se suponían vistos en los cursos anteriores, en gran parte

de los participantes (sobre todo los del 4o. “C”) eran evidentes las deficiencias en las

operaciones básicas con números racionales y con los acercamientos numéricos a un punto

determinado por medio de sucesiones numéricas. Las deficiencias en el trabajo algebraico

también fueron abundantes, específicamente con las operaciones básicas con expresiones

algebraicas, en la simplificación de expresiones algebraicas racionales, con la factorización

y con el desarrollo de binomios elevados a exponentes enteros positivos, etc.. Con más

agudeza los estudiantes se manifestaron deficiencias en sus conocimientos sobre Geometría

Euclidiana, específicamente sobre las aplicaciones de la semejanza de triángulos, la

utilización del Teorema de Pitágoras, sobre las propiedades de los triángulos, cuadriláteros y

la circunferencia, el trazo de tangentes a curvas etc.. Sus conocimientos sobre trigonometría

eran escasos y confesaron no haber estudiado las funciones trigonométricas básicas y sus

gráficos. En su curso de Geometría Analítica, según sus propias versiones, solamente

alcanzaron a trabajar hasta la ecuación de la recta, las cónicas y sus propiedades al parecer

no fueron vistas en este curso. En el tratamiento del concepto de RCI se presentaron diversas

dificultades como el manejo adecuado de la notación del límite, en las aproximaciones

numéricas para inducir intuitivamente el límite, en la concepción del límite (pues varios lo

consideraban simplemente como una aproximación), la asociación muy frecuente de la RCI

con dos puntos y no con uno solo (tal vez causada por el enfoque con que se dirigió la

experiencia), la confusión del valor de la derivada en un punto con el valor de la función en

ése mismo punto. En cuanto a las aplicaciones ningún estudiante se mostró capaz de deducir

las fórmulas de funciones que describen la relación entre las variables a partir de situaciones

de la práctica, la mayoría de los estudiantes se mostró incapaz de aplicar el concepto de

derivada en la obtención de ecuaciones de tangentes. A todo esto habrá que agregar escasa

puntualidad de los estudiantes, las frecuentes suspensiones de clases sobre todo en el mes de

mayo, la excesiva carga de trabajo en las demás asignaturas de la especialidad de los

estudiantes, deficiente trabajo de conjunto y cumplimiento de tareas, etc.

SEGUIMIENTO DE LA EXPERIENCIA ESCOLAR

PRIMERA EVALUACIÓN

La primera evaluación consistió esencialmente de un examen en él se plantean 5 situaciones

(ver examen 1 anexo A). Para el análisis de sus respuestas, las dos primeras fueron incluidas

en un primer grupo, ambas exploran el manejo de la notación para intervalos de variación y

funciones, estas dos situaciones. Las tres restantes se refieren al tema función, de éste se

explora el concepto desarrollado por los estudiantes, las habilidades en la graficación y la

aplicación a un problema de la práctica. Para el análisis, estas tres últimas situaciones fueron

agrupadas en un segundo grupo.

En cuanto a las preguntas del primer grupo, en la situación 1, sobre la traducción al lenguaje

ordinario y la representación geométrica de los tres intervalos, se plantean tres preguntas en

tres incisos respectivamente. A la pregunta del inciso a, sobre la traducción del primer

intervalo planteado, dan respuestas correctas 30 estudiantes y 2 se equivocan (véase cuadro

1 anexo A), prácticamente la totalidad de los estudiantes parecen no tener problemas con la

traducción al lenguaje ordinario del intervalo planteado, sin embargo en su representación

geométrica en la recta real aparecen las complicaciones, sólo 12 estudiantes hacen

representaciones correctas, 5 se equivocan y 15 no contestaron, véase cuadro 2 anexo A. En

el inciso b hacen una traducción correcta 29 estudiantes, 1 se equivoca y 2 no contestaron

esta pregunta, véase el cuadro 3 del mismo anexo; en cuanto a la representación geométrica

de este intervalo, 6 estudiantes lo hacen correctamente, 10 se equivocan y 15 nada hicieron

al respecto, ver el cuadro número 4. Cuando a los estudiantes se les pidió que tradujeran al

lenguaje ordinario los dos intervalos escritos en lenguaje matemático, prácticamente la

totalidad de ellos parece no tener dificultades en esta tarea, en cambio cuando se les pidió

representarlos en la recta real, en el primer caso el 37.5% lo hace correctamente y en el

segundo sólo el 18.7%. A juzgar por lo que dibujan los estudiantes que se equivocan, parece

ser que tienen confusiones con la idea del continuo, pues en el primer caso a pesar de tratarse

de intervalos que incluyen a todos los números reales mayores o iguales que 0 y menores que

100, los dibujos parecen indicar que incluyen sólo a los números enteros, algo parecido

sucede en el segundo caso, pues a pesar de que se trata de una variable discreta 3 estudiantes

la dibujan como si fuera variable continua. El manejo adecuado de los símbolos de las

desigualdades es aún deficiente en muchos estudiantes.

En la situación 2 se pide traducir al lenguaje de las desigualdades algunos intervalos dados

geométricamente. En cuanto al inciso a, 24 estudiantes realizan correctamente esta actividad,

7 se equivocan y 1 no la contestó, ver cuadro 5 anexo A. Nuevamente en los que se equivocan

se notan confusiones en el manejo de los símbolos de las desigualdades, no obstante las tres

cuartas partes del grupo parecen no tener problema en la escritura del intervalo solicitado.

Respecto al inciso b, 22 estudiantes hacen correctamente la traducción solicitada, 7 se

equivocan y 3 no la contestaron, ver cuadro 6 anexo A; en este caso la cantidad de estudiantes

que dan respuestas correctas disminuye ligeramente respecto del inciso a, esta disminución

probablemente se debe a que este intervalo representa una variación discontinua, en los que

se equivocan se notan otra vez confusiones en el uso del sentido de las desigualdades. Al

hacer una revisión global de las respuestas a estas dos situaciones (referidas a la notación de

intervalos de variación), se observa que 4 estudiantes contestan correctamente a las seis

preguntas, 7 lo hacen en cinco, 10 en 4, 4 en 3 y el resto en 2 o menos (véase cuadro 13). De

acuerdo con estos datos, parece ser que 11 estudiantes (las dos frecuencias más altas) manejan

en condiciones óptimas la notación y la interpretación geométrica de los intervalos de

variación. 14 estudiantes se ubican en un desarrollo aceptable, es notorio que la mayor parte

de ellos contestaron correctamente a las preguntas relacionadas con la escritura (con notación

matemática) de intervalos, pero se equivocaron frecuentemente en su representación

geométrica. El resto de estudiantes tiene muchas deficiencias.

SOBRE LA NOTACION DE INTERVALOS DE VARIACION

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En las 6 4 12.5% En 5 7 21.8% Cuadro 13

CORRECTAS En 4 10 31.2% En 3 4 12.5%

En 2 o menos 7 21.8%

En la situación 3, se plantean dos incisos que también exploran el manejo de la notación

variacional, aunque ambos se refieren a las funciones. Cuando a los estudiantes se les pidió

que identificaran la variable dependiente y la variable independiente, pregunta del inciso a,

20 dieron respuestas satisfactorias, 6 se equivocaron y 6 no contestaron, ver cuadro 7 anexo

A. En cuanto al inciso b de esta situación, contestan correctamente 21 estudiantes, 3 se

equivocan y 8 no contestaron, ver cuadro 8 mismo anexo. Las respuestas a estas dos

preguntas indican, que la mayoría de los estudiantes parecen no tener problemas con la

notación matemática con que se representan a la variable independiente y a la dependiente

en la fórmula de la función dada.

Al hacer una revisión global de los 8 incisos que corresponden al grupo Notación

Variacional, se observa (cuadro 14) que 4 estudiantes contestan correctamente en las 8

preguntas, 3 en 7, 9 en 6, 5 en 7 y el resto contestan correctamente en 4 o menos.

Considerando a las dos más altas frecuencias como indicador del desarrollo óptimo, y así en

orden descendente las demás, entonces en los datos de esta tabla se percibe cierta tendencia

hacia el desarrollo óptimo en el manejo correcto de la notación variacional en 7 estudiantes,

este desarrollo parece ser aceptable en 16 estudiantes, en el resto las evidencia señalan

marcadas deficiencias.

SOBRE EL GRUPO DE PREGUNTAS DE NOTACION VARIACIONAL

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En las 8 preg. 4 12.5% En 7 3 9.3% Cuadro 14

CORRECTAS En 6 9 28.1% En 5 7 21.8%

En 4 o menos 9 28.1%

En lo que respecta a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, las referidas al tema

función, de la situación 3 quedaron incluidas tres preguntas. Al plantearle a los estudiantes

que elaboraran la tabla de valores para la función d(t) = 29t -4.9t 2 , pregunta del inciso c,

resulta que 22 la elaboraron correctamente, 5 se equivocaron y 6 no la contestaron, véase el

cuadro 9 anexo A. Respecto al inciso d, en donde se les pide que dibujen la gráfica, 21

estudiantes hicieron un dibujo aceptable, 4 se equivocaron y 7 no la dibujaron, ver cuadro 10

anexo A, llama la atención que varios estudiantes en el dibujo sólo representaron los puntos

adecuadamente pero no los unen, otros suelen unir los puntos con segmentos de recta, aunque

la mayoría hace un esbozo satisfactorio del gráfico. Al preguntarles cuál por el dominio e

imagen de la función, pregunta del inciso e, 14 dieron respuestas correctas, 5 las dieron

incorrectas y 13 no contestaron, ver cuadro 11 anexo A. Al revisar globalmente la respuestas

a esto tres incisos se observa que 12 estudiantes realizaron las tres actividades correctamente,

7 realizaron correctamente solamente dos, 7 sólo realizan correctamente una de las

actividades encomendadas y el resto no realizó correctamente ninguna o simplemente no

contestaron, ver el cuadro siguiente:

SOBRE LA EVALUACION, GRAFICACION, DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En los 3 incisos 12 37.5%

En 2 7 21.8% Cuadro 15

CORRECTAS En uno, ninguno o no contestaron

13 40.6%

Estos datos parecen indicar que al menos 12 estudiantes son capaces de hacer la tabulación,

esbozar la gráfica y determinaren condiciones óptimas el dominio e imagen de la función, en

7 estudiantes estas habilidades parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable, en el resto

sus deficiencias son muy marcadas. De acuerdo con las frecuencias de respuestas correctas,

los estudiantes tienen mayores dificultades en determinar el dominio e imagen de la función

y son mayoritariamente proclives a poder realizar los cálculos aritméticos que implica la

elaboración de la tabla de valores, el poder dibujar aceptablemente la gráfica quedó en un

lugar intermedio.

La situación 4 se refiere al concepto de función y de ella se desprenden dos preguntas, al

inciso a contestaron correctamente 15 estudiantes, 4 dieron respuestas incorrectas y 13 no

contestaron. Quienes contestaron correctamente argumentaron más o menos los siguiente: no

es una función porque a cada elemento del dominio le corresponden dos valores de la

imagen. Los que dieron respuestas incorrectas argumentaron lo siguiente: si es función

porque el conjunto de partida corresponde al de llegada, no es función porque forma dos

paralelas al eje y, si es una función porque los números al estar entre paréntesis se están

sumando y a la misma vez se multiplican con otro porque se encuentran encerrados en

paréntesis, si es una función porque consta de dos elementos. De acuerdo con estos datos un

poco menos de la mitad del grupo tiene una idea aceptable de lo que es una función, aunque

un poco más de la mitad no contestó nada o parecen estar confundidos. En cuanto a la

pregunta del inciso b, 17 estudiantes la contestaron correctamente, 3 dieron respuestas

incorrectas y 12 no la contestaron, los que dan respuestas correctas escribieron algo parecido

a lo siguiente: si es una función porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y

sólo uno de la imagen, en cambio los que dieron respuestas incorrectas esgrimieron

argumentos como: No, porque el conjunto de llegada le corresponde el conjunto de partida;

sí es una función porque nos da el valor de G y nos indica igual que en a que se aplican

sumas y multiplicaciones; si es una función porque en un punto se unen dos coordenadas.

Algunos de los estudiantes que dieron respuestas correctas en ambos incisos también

esgrimieron argumentos geométricos parecidos a los siguientes: si una paralela al eje y sólo

corta a su gráfico en un sólo punto entonces sí es función, si la corta en varios entonces no

lo es. Al hacer una revisión global a las respuestas de los dos incisos, se observa que 15

estudiantes contestaron correctamente en los dos, 2 en uno solo y el resto en ninguno o no

contestaron ambas preguntas, véase el cuadro 16. Estos datos indican que un poco menos

de la

SOBRE EL CONCEPTO DE FUNCION

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En los 2 incisos 15 46.8%

CORRECTAS En 1 inciso 2 6.2% Cuadro 16 En ninguna o bien no

contestaron. 15

46.8%

mitad de los estudiantes parecen haber desarrollado una concepción óptima sobre la noción

de función como colección de parejas ordenadas, en 2 estudiantes parece haber confusiones,

en el resto las deficiencias notables.

En la situación 5 se pide obtener la fórmula de la función que expresa el área lateral de un

tetraedro en función de la longitud de sus aristas, para encontrar esta fórmula se sugirió el

Programa Heurístico General. La mitad de los estudiantes sólo identifican lo dado y lo

buscado, sin embargo ninguno obtiene la fórmula a pesar de haber resuelto problemas

similares en clase.

Al hacer una revisión de conjunto a las respuestas dadas a este grupo de preguntas, de 9

preguntas planteadas el máximo de respuestas correctas fue de 7, sólo 7 estudiantes logran

este máximo, 2 estudiantes lo logran en 6, 4 contestan correctamente en 5, 2 lo hacen en 4,

el resto lo hacen en 3 o menos o simplemente no contestaron, ver cuadro 17. Esto nos

permite concluir que,

SOBRE EL TEMA DE FUNCION

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En 7 incisos 7 21.8% Cuadro 17

En 6 incisos 2 6.2%

CORRECTAS En 5 incisos 4 12.5% En 4 incisos 2 6.2%

En 3 o menos 17 18.7%

en al menos 9 estudiantes (los de más alta frecuencia) se perfila cierta tendencia hacia un

desarrollo óptimo sobre el concepto de función, esta misma tendencia es extendible hacia la

elaboración de la tabla de valores, la graficación de la función dada y la determinación de su

dominio e imagen. En los 6 estudiantes, los que contestaron correctamente entre 5 o en 4

preguntas, las evaluaciones de sus respuestas son heterogéneas, sin embargo

mayoritariamente pudieron elaborar la tabla y la gráfica de la función dada y sus nociones

sobre el concepto de función no parecen ser tan consistentes como los del grupo anterior, en

los 17 estudiantes restantes las deficiencias son numerosas. De este grupo de preguntas todos

los estudiantes fueron incapaces de resolver el problema planteado en la situación 5.

Síntesis sobre los resultados de la primera evaluación

Visto de manera conjunta, este examen consta de 17 preguntas en total, 8 correspondientes a

la Notación Variacional y 9 correspondientes al tema Función. El máximo de respuestas

correctas fue de 15 y sólo lo alcanzaron 3 estudiantes, 2 lograron respuestas correctas en 14

preguntas, 3 en 13 preguntas, 1 en 12 preguntas, 4 en 11 preguntas, 3 en 10, 1 en 9, el resto

en 8 o menos (ver Cuadro de Concentración núm. 1 anexo A). Para detectar tendencias he

agrupado a las frecuencias de cuatro en cuatro, de mayor a menor, bajo estas condiciones

parece perfilarse una tendencia hacia un desarrollo óptimo de las habilidades relativas a la

notación variacional y al trabajo con funciones en 9 estudiantes (los que sus respuestas

correctas fluctúan entre 15 y 12), pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de

interpretar, traducir y representar intervalos de variación, tienen ideas correctas sobre el

concepto de función, pueden elaborar una tabla de valores, graficar y determinar dominio e

imagen de la función. Otros 10 estudiantes, los que sus respuestas correctas fluctúan entre 11

y 8 (ver el cuadro siguiente), aunque se nota gran heterogeneidad, las habilidades antes

mencionadas parecen haberse desarrollado aceptablemente, en los 13 estudiantes restantes

las deficiencias son numerosas. Las deficiencias más notorias fueron observadas en la

obtención de la fórmula de la función para expresar el área total de un tetraedro, pues ninguno

de los estudiantes fue capaz de obtenerla.

SOBRE NOTACION VARIACIONAL Y FUNCION (1er. EXAMEN)

DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.

OPTIMO 15 rc 12 9 28.5%

ACEPTABLE 11 rc 8 10 31.2%

DEFICIENTE rc 8 13 40.6%

Cuadro 18

SEGUNDA EVALUACIÓN

Para la segunda evaluación también se aplicó un examen, en él se plantean 3 situaciones con

sus gráficos respectivos (ver examen 2 anexo A) y de cada situación se hacen 4 preguntas.

Las dos primeras situaciones exploran el desarrollo de habilidades para evaluar funciones,

calcular el incremento de la variable dependiente si t cambia de t a t+t, para calcular la

RCP y la RCI, de la tercera se desprenden cuatro preguntas acerca de la interpretación de la

RCI. Para detectar tendencias sobre el desarrollo de estas habilidades y concepciones, las

preguntas y sus respuestas fueron conjuntadas en tres grupos, en el primero se incluyen las

relativas a la evaluación de funciones, en el segundo las que se refieren a la RCP y las del

tercero se refieren a la RCI.

Al primer grupo corresponden las preguntas 1A y 2A, en ellas se pide obtener el valor de la

función a partir de su gráfico. La pregunta 1A se refiere al gráfico que representa a la función

en V(t) = 10t + 5 (donde V es la velocidad de una piedra en términos del tiempo t) y la 2A

se refiere al gráfico de la función d(t) = t2 (donde d es la distancia que recorre un cuerpo en

el tiempo t en caída libre en la superficie lunar). A la pregunta 1A, 22 contestaron que la

velocidad de la piedra en t = 2 es de 25 m/s y 10 dieron otras respuestas, ver el cuadro 12

anexo A. En 5 de las respuestas incorrectas los estudiantes dicen que la velocidad de la piedra

en t = 2 es de 10 m/s, posiblemente confunden la razón de cambio instantánea en t = 5 con

el valor de la función en ése punto. Es notorio que todos los estudiantes que dieron respuestas

incorrectas parecen no usar la fórmula de la función, al menos en su cuestionario no

escribieron estos intentos, en cambio sí se observan las marcas en el dibujo para graduar y

dar una respuesta. De los que contestaron correctamente sólo 9 exhiben en su examen la

evaluación de la función en t = 2, el resto no la exhibieron. A la pregunta 2A, 22 estudiantes

dieron como respuesta 9 m, 1 no contestó, los restantes dieron otras respuestas, ver el cuadro

13 anexo A; de los 22 que contestaron correctamente 15 calculan d(3), en el resto no

encontramos en su examen esos cálculos. Es notorio que 2 estudiantes de los que dieron

respuestas incorrectas contestan que 8 m o 7.5 m es la distancia recorrida, esto parece

indicar que sólo se atienen al dibujo de la gráfica. Al conjuntar las respuestas de estas dos

preguntas, 19 estudiantes dan respuestas correctas a las dos, 4 en alguna de ellas y 9 se

equivocan en las dos, ver cuadro siguiente.

SOBRE LA EVALUACION DE FUNCIONES

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1A y 2A 19 59.3%

En 1A 4 12.5%

INCORRECTAS En 2A 3 9.3%

En 1A y 2A 6 18.7%

Cuadro 19

En el segundo grupo se incluyen las preguntas 1B, 2B, 1C y 2C. En las dos primeras se pide

el V y el d si el tiempo cambia de t a t+t, para valores dados de t y t, las dos últimas

se refieren al cálculo de la velocidad y aceleración promedio. A la pregunta 1B dan

respuestas correctas 23 estudiantes, 8 dan respuestas incorrectas y 1 no la contestó, ver cuadro

14 anexo A, en 14 de los 23 que contestaron correctamente encontramos ciertas marcas en

el gráfico que se supone fueron el auxilio geométrico para dar la respuesta a la pregunta;

llama la atención que 6 estudiantes contestan que la velocidad no cambia o que es de 0 m/s,

es posible que estén confundiendo la velocidad con la aceleración del cuerpo. A la pregunta

2B contestaron correctamente 18 estudiantes, 13 dieron otras respuestas y 1 no la contestó,

ver cuadro 15 anexo A, 10 de los 18 que contestaron correctamente anotaron los cálculos

numéricos que confirman haber obtenido el resultado correcto, el resto no los anotaron; la

mayoría de los estudiantes que dieron respuestas incorrectas se equivocaron en la obtención

del d(3) o d(4); es notorio que 3 de los que contestaron incorrectamente dicen que la respuesta

es 7.5 o 6, esto probablemente se debe a que la gráfica parece ser que sube aproximadamente

de entre 7.5 o 6 unidades de 3 a 4, estos estudiantes parecen confiar más en su capacidad

visual y no se dan cuenta o no prefieren usar la expresión analítica de la función. Al conjuntar

las respuestas a las preguntas 1B y 2B encontramos que 17 estudiantes dieron respuestas

correctas a las dos, 1 sólo se equivocó en la primera, 6 se equivocaron en la segunda y 7 se

equivocaron en las dos, ver el cuadro siguiente.

SOBRE EL CALCULO DEL V y el d

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1B y 2B 17 53.1%

En 1B 1 3.1% Cuadro 20 INCORRECTAS En 2B 6 18.7%

En 1B y 2B 7 21.8%

En la pregunta 1C y 2C se pide el cálculo de la RCP, a la 1C contestan correctamente 16

estudiantes, 10 dan respuestas equivocadas y 6 no contestaron, ver cuadro 16 anexo A, de los

16 que contestaron correctamente 9 escribieron en su cuestionario los cálculos en donde

utilizaron la fórmula de la RCP, 3 estudiantes de los que dieron respuestas incorrectas

cometieron errores en la evaluación de la función V(t), el resto no escribió sus cálculos en el

cuestionario. A la pregunta 2C contestan correctamente 13 estudiantes, 15 dan respuestas

equivocadas y 4 no contestaron, ver cuadro 17 mismo anexo; de los 13 que contestaron

correctamente 7 anotaron en su examen los cálculos realizados, el resto no lo hizo, 5 de los

que contestaron incorrectamente se equivocaron en la evaluación de la función para el cálculo

del d. Al conjuntar las respuestas dadas a las preguntas 1C y 2C, puesto que se refieren al

cálculo de la RCP, encontramos que 12 aciertan en las dos, 1 sólo se equivoca en la primera,

3 solamente se equivocan en la segunda y 9 no dieron respuestas correctas a las dos, el resto

no contestaron alguna o las dos, ver el cuadro siguiente.

SOBRE EL CALCULO DEL f Y DE LA RCP

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1C y 2C 12 37.5%

En 1C 1 3.1% Cuadro 21

INCORRECTAS En 2C 3 9.3%

En 1C y 2C 9 28.1%

Una revisión de conjunto a las cuatro preguntas de este segundo grupo arrojó los resultados

siguientes, ver cuadro 22. Esta revisión indica que en al menos en 10 estudiantes (casi la

tercera parte del grupo) existe una tendencia notable hacia el desarrollo óptimo de la habilidad

de cuantificar el cambio, tanto para la variable dependiente como en las RCP. En otros 3

estudiantes esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, el resto tienen serias

deficiencias.

SOBRE EL CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES PROMEDIO

PREGUNTAS ESTUD. PORC.

CORRECTAS En 1B, 2B, 1C y 2C 10 31.2%

En 1B, 2B y 1C 3 9.3%

En 1B, 2B, 1C y 2C 3 9.3%

INCORRECTAS En 1B, 1C y 2C 1 3.1%

En 2B, 1C y 2C 3 9.3%

En dos o menos o bien no contestó. 10 31. 2%

Cuadro 22

El tercer grupo incluye 6 preguntas relacionadas con la RCI, estas su vez las he agrupado

en dos subgrupos. En el primer subgrupo se incluyeron las preguntas 1D y 2D en donde se

pide que los estudiantes las calculen la RCI por la vía numérica para casos particulares

referidos a la aceleración y velocidad instantáneas, al segundo subgrupo pertenecen la

pregunta 3A, 3B, 3C y 3D que se refieren a las interpretaciones que los estudiantes

desarrollaron sobre las RCI. En cuanto al primer subgrupo en la pregunta 1D se pide el

cálculo de la aceleración instantánea, ésta es obtenida correctamente por 15 estudiantes, 12

se equivocan y 5 no contestaron, ver cuadro 18 anexo A. De los 15 estudiantes que

contestaron correctamente sólo 6 exhibieron los cálculos en donde se observan, por lo menos,

dos acercamientos numéricos a t = 3 (incluso 3 de ellos se acercaron a t = 3 por la derecha

y por la izquierda) y calcularon sus razones de cambio promedio para inducir la aceleración

instantánea en ese punto. De los 12 que se equivocaron 6 mostraron en su examen intentos

por calcular razones de cambio promedio por aproximaciones numéricas, pero generalmente

se equivocaron en la evaluación de la función al calcular el V; llama la atención que 8

estudiantes contestan que la aceleración en t = 2 es 25 m/s, estas respuestas parecen mostrar

que en al menos 8 estudiantes existe confusión entre el valor de la función en t = 2 y la

aceleración instantánea en ese mismo punto. El cálculo de la velocidad instantánea planteado

en la pregunta 2D lo realizan correctamente 8 estudiantes, 20 se equivocan y 4 no

contestaron, ver cuadro 19 anexo A; de los 8 que contestaron correctamente 6 hicieron los

cálculos de las RCP mediante los cuales se observa que efectivamente a medida que el t

se hace cada vez más pequeño el cociente d/t se acerca a 6; inclusive la serie de preguntas

2B y 2C están hechas de tal manera que la respuesta a la pregunta 2D se infiere de las

respuestas de las dos anteriores, no obstante parece ser que muy pocos estudiantes

(probablemente los 2 restantes) se dieron cuenta de esto. La presunción de que existe

confusión entre el valor de la función en un punto y su RCI en ese mismo punto parece

confirmarse con las respuestas que dieron los mismos 8 estudiantes, pues aquí incurren en el

mismo error. Al revisar conjuntamente las respuestas de este primer subgrupo se observa

(véase el cuadro 23) que 8 estudiantes obtuvieron el resultado correcto en las dos, 7 en la

1D, 5 sólo se equivocan en la 2D y 12 fallaron en las dos.

CALCULO NUMERICO DE VELOCIDAD Y ACELERACION INSTANTANEA

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1D y 2D 8 25%

Sólo en 1D 7 21.8%

Sólo en 1D 0 0% Cuadro 23

INCORRECTAS Sólo en 2D 5 15.6%

En 1D y 2D 12 37.5%

Pudiera decirse que en 8 estudiantes, a estas alturas del curso, se ha desarrollado óptimamente

la habilidad en el cálculo de la RCI por la vía numérica, en 7 estas habilidades alcanzan un

nivel aceptable, en el resto las deficiencias son numerosas.

En cuanto a las preguntas del segundo subgrupo, cuando a los estudiantes se les

preguntó en qué punto o puntos del gráfico la fórmula mide la RCI, pregunta 3.A, nadie

contesta correctamente, 16 contestan que en P y Q, 4 dicen que en Q, 9 escriben otras

respuestas y 3 no contestaron, véase cuadro 20 anexo A. Es evidente que todos los estudiantes

no interpretan correctamente el dibujo que se les presentó (dibujo ampliamente utilizado en

clase) pues la mitad de los estudiantes participantes se inclinan por la opción de que la RCI

es medida en P y Q, tal parece que mayoritariamente siguen pensando en la RCP que sí

requiere de dos puntos. Las respuestas parecen indicar que la RCP es confundida con la RCI,

existe confusión entre el medio para calcular la RCI y el fin, aunque en el fondo estas

dificultades están asociadas a la noción de límite de cantidades infinitamente pequeñas. Sobre

el significado de la expresión t0, pregunta 3B, 19 estudiantes respondieron que t es

infinitamente pequeño, 6 se inclinaron por la opción t 0, uno por la opción t = 0, 2 por

ninguno de los anteriores y 4 no contestaron, véase el cuadro 4 anexo A. Más de la mitad del

grupo considera que el significado de la expresión t0 está asociada a la idea del

infinitamente pequeño, tal parece que hay mayor asequibilidad de las nociones

infinitesimalistas que de la noción de límite del cociente d/t cuando el t0 de la

pregunta anterior. A la pregunta 3C, en donde se pide la interpretación de la expresión:

tlim

d

t

05

las interpretaciones dadas son diversas, ver cuadro 22 mismo anexo, en 4 de las

interpretaciones dadas, los estudiantes parecen considerar a la expresión como la RCI, en 3

se interpreta como que 5 es el límite, inclusive en una de éstas el límite se maneja como

único, en 3 de las interpretaciones parece considerarse como si fuera sólo el cociente d/t

en donde d y t fueran cantidades grandes y además fijas. Esto sugiere que la idea de

variación hacia cantidades infinitamente pequeñas aún no es perceptible en estos estudiantes.

En una de las interpretaciones sólo se atiende a que el t tienda a cero pero se desatiende lo

que sucede con d/t cuando aquélla cantidad tiende a cero, es notorio que 14 estudiantes

no contestaron la pregunta y en 8 se manifiestan ideas confusas. En resumen, se puede decir

que al menos 7 estudiantes manifiestan interpretaciones aceptables sobre la expresión dada,

como RCI o bien como un límite especial. Por otro lado, en la pregunta 3D que se refiere al

significado de la RCI, las respuestas dadas fueron clasificadas en cinco grupos de acuerdo a

la idea que se advierte es la central en sus explicaciones (ver listado en anexo A). En el 1er.

grupo se considera a la RCI como la velocidad de un cuerpo en un punto, en estas respuestas

se percibe cierta noción de la derivada como propiedad puntual de las funciones asociada a

la idea de velocidad. En el 2o. grupo se expresan ideas que destacan qué tanto cambia una

variable respecto a otra en un punto, o como razón de cambio en intervalos muy pequeños.

En el 3er. grupo se concibe como la razón de cambio que se aproxima al límite, en otras tres

se expresa la idea del límite del cociente entre dos cantidades muy pequeñas. En el 4o. grupo

se concibe a la RCI como un cambio rápido. En el 5o. grupo agrupamos las explicaciones

confusas. Los que sus explicaciones se ubicaron el 1o., 2o. y 3er. grupos (15 en total)

desarrollaron ideas muy próximas al significado de la RCI, bien como velocidad instantánea,

como una idea cercana al límite o como razón de cambio de cantidades muy pequeñas. Al

revisar de conjunto las respuestas del segundo subgrupo, se observa que nadie contestó las

4 preguntas correctamente, 3 lo hicieron en las tres últimas y 7 en la segunda y la última,

véase el cuadro siguiente:

SOBRE LAS INTERPRETACIONES ACERCA DE LA RCI

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En 3A, 3B, 3C y 3D 0 0%

CORRECTAS En 3B, 3C y 3D 3 9.3% Cuadro 24

En 3B y 3D 7 21.8%

En 3A, 3B, 3C y 3D 2 6.2%

INCORRECTAS En 3A y 3C 7 21.8%

Al hacer una revisión global de las respuestas de este tercer grupo se nota que ningún

estudiante es capaz de localizar en un gráfico el punto donde se mide la RCI, quizá la noción

de RCP (que requiere de dos puntos) está muy arraigada en la mitad de los estudiantes y

parece obstaculizar el desarrollo de la idea de RCI al menos en su representación geométrica.

Es también notable que, muy pocos estudiantes (7 en total), se aproximan a una interpretación

óptima sobre la expresión matemática de la RCI, en cambio cuando se les pide una

explicación más libre sobre este concepto o cuando se les pregunta sobre el significado del

x0, la mitad en el primer caso y más de la mitad en el segundo, se perciben

aproximaciones a concepciones aceptables. Al revisar de conjunto las respuestas del primero

y segundo subgrupos de preguntas, se observa que ningún estudiante dio respuestas correctas

a las 6 preguntas, 3 dan respuestas correctas a 5 preguntas, 4 en 4 preguntas, 3 en 3 preguntas

y el resto en dos una o ninguna, ver el cuadro:

SOBRE EL CALCULO NUMERICO E INTERPRETACIONES DE LA RCI

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORC.

En las 6 preguntas 0

CORRECTAS En 5 preguntas 3 7 21.8%

En 4 preguntas 4 Cuadro 25

En 3 preguntas 3 3 9.3%

En 2 o menos o no contestaron 22 68.7%

Estos datos indican que en 7 estudiantes se perfila una tendencia hacia el desarrollo óptimo

de las ideas relativas al concepto de RCI así como de la habilidad de su cálculo numérico, en

tres esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, en el resto hay muchas

deficiencias.

3.3.2.1.- Síntesis sobre los resultados del segundo examen

Este examen consta de 12 preguntas en total, 2 corresponden a la evaluación de

funciones, 4 tienen relación directa con la RCP y 6 están relacionadas con la RCI. El máximo

de respuestas correctas fue de 11 y sólo lo alcanzaron 2 estudiantes, 2 lograron respuestas

correctas en 10 preguntas, 5 en 9 preguntas, 1 en 8 preguntas, 3 en 7 preguntas, 4 en 6, y el

resto en 5 o menos (ver Cuadro de Concentración Núm. 2, Anexo A). Para detectar tendencias

he agrupado a las frecuencias tomando la media como punto de diferenciación fundamental,

de la media hacia arriba se ubican dos categorías (las de desarrollo óptimo y aceptable) y de

la media hacia abajo la categoría de desarrollo deficiente. Bajo estas condiciones se perfila

una tendencia hacia el desarrollo óptimo de concepciones y habilidades relativas a la

evaluación de funciones, a la RCP y al RCI en al menos 9 estudiantes (cuyas respuestas

correctas fluctúan entre 11 y 9) pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de:

evaluar funciones, calcular la variación de la variable dependiente si la variable

independiente cambia de t a t+t, calcular la RCP y la RCI mediante aproximaciones

numéricas, y aunque la mayoría desarrollaron concepciones óptimas sobre la RCI sus

interpretaciones sobre la notación con que se le representa no parecen ser aún consistentes.

Otros 8 estudiantes (los que sus respuestas correctas fluctúan entre 8 y 6) las concepciones y

habilidades antes mencionadas parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable aunque es

notorio que la mayoría de ellos no pudieron calcular la RCI por aproximaciones numéricas,

los 15 estudiantes restantes manifestaron numerosas deficiencias, estos datos se concentran

en el cuadro 26. Las deficiencias más notorias se observaron en la identificación en un

SOBRE EVALUACION DE FUNCIONES, LA RCP Y LA RCI (2o. EXAMEN)

DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.

OPTIMO 11 rc 9 9 28.1%

ACEPTABLE 8 rc 6 8 25% Cuadro 26

DEFICIENTE rc 5 15 46.8%

gráfico del punto donde se mide la RCI, pues ninguno de los estudiantes participantes dio

respuesta correcta a esta pregunta. Alrededor del 70% de los estudiantes pueden evaluar en

las funciones dadas y calcular el f(t+t) - f(t) (siendo f la velocidad V o la distancia d), en

cambio cuando se llega al cálculo de la RCP o al cálculo numérico de la RCI (inclusive en

las interpretaciones y concepciones sobre éste concepto), las respuestas correctas sólo llegan

al 50% o bien están por debajo de este porcentaje.

3.3.3.- Tercer examen

El tercer examen parcial fue aplicado el 23 de mayo de 1994, se plantean en él 4

situaciones referidas todas ellas a la RCI (ver examen 3, anexo A). En la primera se pide

calcularla a partir de su definición como un límite especial (vía algebraica), en la segunda se

pide comparar este resultado con el obtenido por medio de las aproximaciones numéricas,

las dos restantes tienen la intención de explorar si los estudiantes son conscientes de los

procedimientos que realizaron en las dos situaciones anteriores. Para el análisis las respuestas

fueron conjuntadas en dos grupos, en el primero se exploran procedimientos e incluye a las

dos primeras, en el segundo se incluyen las dos últimas que se exploran algunas concepciones

sobre aquéllos procedimientos.

En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, al plantearle a los

estudiantes que calcularan la velocidad de un cohete en t = 4 seg. por la vía algebraica, la

situación 1, resulta que 19 la calculan correctamente, 5 se equivocan y 8 no la contestaron,

véase cuadro 23 anexo A. Todos los estudiantes que arribaron al resultado correcto

escribieron en su examen los procedimientos algebraicos que implican el cálculo de:

limd

tlim

d t d

tt t

0 0

4 4( ) ( )...

aunque en 6 de ellos notamos errores leves de escritura que no influyeron en el resultado,

frecuentemente separaban el operador limt 0

del cociente d /t tal vez considerándolos

como

dos entidades separadas. En los que dieron respuestas incorrectas notamos equivocaciones

en la evaluación de la función, en el desarrollo del binomio elevado al cuadrado, en las

factorizaciones, en la utilización de los paréntesis o en la aplicación de las leyes de los signos,

etc.

En la situación 2, se les pidió obtener por la vía numérica el resultado encontrado en

la situación 1, para ello se le sugiere un acercamiento por la derecha, otro por la izquierda

para finalmente elaborar una conclusión. El acercamiento por la derecha, pregunta 2A, lo

realizan correctamente 19 estudiantes, 7 se equivocan y 6 no lo contestan, véase el cuadro 24

anexo A. Quienes resuelven correctamente este planteamiento exhibieron sucesiones que se

aproximaban a 4 parecidas a 4.1, 4.01, 4.001, ..., de modo que obtuvieron cocientes d/t

del estilo 30.4, 31.84, 31.984, ... El acercamiento por la izquierda, pregunta 2B, lo realizan

correctamente 18 estudiantes, 4 se equivocan y 10 no contestaron, ver cuadro 25 mismo

anexo. Los estudiantes que contestaron correctamente este planteamiento exhibieron

sucesiones que se acercaban a 4 parecidas a 3.9, 3.99, 3.999, ..., de modo que la sucesión de

cocientes d/t que obtuvieron eran de la forma 33.6, 32.16, 32.02, ..., . Los errores más

frecuentes que cometieron aquéllos estudiantes que dieron respuestas equivocadas se

manifestaron en la evaluación de la función d(t), en el cálculo del d y en la consideración

de que t en estos casos tiene signo negativo, pues el acercamiento es por la izquierda. La

conclusión solicitada en la pregunta 2C, es dada correctamente por 16 estudiantes, 4 se

equivocan y 12 no la contestaron, ver el cuadro 26 mismo anexo. Es notorio que 3 estudiantes

casi logran el resultado correcto, sin embargo no parecen tener posibilidades de inducir

correctamente el límite de la sucesión de cocientes que calcularon.

Al hacer una revisión global a las respuestas dadas a las preguntas 2A, 2B y 2C, se

observa que 16 estudiantes resuelven correctamente las tres, 2 resuelven correctamente las

dos primeras pero se equivocan en la conclusión, 5 se equivocan en dos y 6 dejaron en blanco

las tres, el resto se equivocaron el alguna o dejaron en blanco dos. Esto indica que al menos

la mitad de los estudiantes pueden calcular la RCI por medio de aproximaciones numéricas,

tres estudiantes, si bien pueden calcular correctamente los cocientes numéricos tanto por la

derecha como por la izquierda, al parecer no son capaces de inducir el límite de esta sucesión

de cocientes. Ahora bien, por medio de una revisión de conjunto a las respuestas dadas a las

preguntas del primer grupo se observa en el Cuadro de Concentración 3 del anexo A que, 15

estudiantes dieron respuestas correctas a las cuatro preguntas, 3 en tres, el resto en 2 o menos.

De los 3 que acertaron en tres preguntas 2 de ellos solamente no dieron respuestas correctas

a la 2C y uno de ellos en la pregunta 1, esto da ciertas indicaciones de que al menos los dos

primeros pueden calcular las RCI por la vía algebraica y por la vía numérica sin embargo

tienen problemas para inducir cuál es límite de la sucesión, en el caso del segundo estudiante

sabe hacer el cálculo numérico pero es incapaz de calcular la RCI por la vía el algebraica.

Estos resultados indican una tendencia notable en 15 estudiantes (casi el 50% de los

participantes) hacia un desarrollo óptimo de la habilidad de cálculo de las RCI por la vía

algebraica y por la vía numérica, en tres más esta tendencia disminuye sin embargo los he

considerado dentro de este mismo rango de modo que suman 18 en total (el 56.2%) en esta

categoría, en 3 estudiantes apenas si se manifiesta y en 11 hay serias deficiencias.

En cuanto a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, cuando a los

estudiantes se les preguntó cuál es la idea clave en el cálculo de la RCI, la situación 3, nos

encontramos que 24 subrayaron el inciso d, 3 el y inciso c, nadie el inciso b y 5 el inciso a,

(ver cuadro 27 anexo A). Estos resultados parecen indicar que en más de las tres cuartas

partes de los estudiantes se desarrolló una noción óptima sobre la RCI como el límite del

cociente d/t cuando t es infinitamente pequeño, aunque hay quienes parecen atender sólo

al acercamiento numérico al t0 y otros parecen estar de acuerdo en que la búsqueda de ese

límite es posible cuando x = 0. Sobre la interpretación de la expresión matemática de la

RCI en t = 2 para d(t) = 5t2, pregunta planteada en la situación 4, un poco menos de las tres

cuartas partes de los estudiantes participantes se inclinan por la idea de que la expresión

matemática dada indica que la RCI en t = 2 es exactamente 20 m/s (ver cuadro 28 mismo

anexo), interpretación que he considerado aceptable; 9 estudiantes se inclinan por la idea que

el límite se aproxima a 20 m/s y 2 por la interpretación de que en la proximidad de 2 la RCI

es aproximadamente 20 m/s. Se percibe en las respuestas de estos 11 últimos estudiantes

cierta noción de aproximación y no como un valor preciso, posiblemente el medio utilizado

para buscar el límite (las aproximaciones numéricas) está pesando más en sus concepciones

que el fin mismo de la búsqueda. La revisión de conjunto a las evaluaciones de las respuestas

a las dos situaciones de este segundo grupo de preguntas arrojó los siguientes resultados: 17

estudiantes dieron respuestas correctas ambas, 8 sólo dieron respuesta correcta a la situación

3 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 4, 4 estudiantes dieron respuesta correcta

sólo a la situación 4 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 3, ver cuadro 27. Esta

CONCEPCIONES SOBRE LOS PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER LA RCI

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

Situación 3 y 4 17 53.1% Cuadro 27

CORRECTAS Sólo la situación 3 8 25%

Sólo la situación 4 4 12.5%

revisión indica que, más del 50 % de los estudiantes se perfila una tendencia hacia el

mejoramiento óptimo de sus concepciones sobre la RCI, pues sus respuestas indican que

saben que la idea fundamental en el cálculo de la RCI es la búsqueda del límite del cociente

d/t cuando t infinitamente pequeño e interpretan satisfactoriamente el significado

semántico de la expresión:

limd

tm s

t

020 /

como que 20 m/s es el valor exacto de la RCI en t = 2 para d(t) = 5t2. El resto son proclives

solamente a identificar correctamente la idea clave que subyace en la búsqueda de la RCI,

un número menor sólo interpreta satisfactoriamente el significado semántico de la expresión

anterior.

3.3.3.1.- Síntesis sobre los resultados del tercer examen

El tercer examen consta de 6 preguntas en total, 3 se desprenden de la situación 2 y

las otras tres se desprenden de las tres preguntas restantes, las 4 primeras exploran

procedimientos y en las dos últimas exploran concepciones sobre aquéllos procedimientos.

Al hacer una revisión global (ver Cuadro de Concentración Núm. 3 anexo A) acerca de las

evaluaciones de las respuestas dadas a este examen se observa que, 9 estudiantes dieron

respuestas correctas a las seis preguntas, 7 dieron respuestas correctas en 5 preguntas, 2

contestaron correctamente en 4, 1 en 3 y el resto contestaron correctamente 2 preguntas o

menos. Con el propósito de detectar tendencias en las frecuencias de respuestas correctas,

éstas fueron agrupadas de dos en dos de mayor a menor, bajo estas condiciones se nota una

tendencia hacia un desarrollo óptimo de las habilidades de cálculo de la RCI y la comprensión

de este concepto en al menos 16 estudiantes, pues se mostraron capaces de calcularla por

medio de la definición (vía algebraica) y por aproximaciones numéricas (vía numérica) y

además (aunque con cierta heterogeneidad) parecen estar conscientes de los cálculos que

realizan. En tres la tendencia es hacia un desarrollo aceptable, en el resto (un poco más del

40%) las deficiencias son numerosas, ver el cuadro 28.

PROCEDIMIENTOS Y CONCEPCIONES SOBRE LA RCI (3er. EXAMEN)

DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES

OPTIMO 6 rc 5 16 50% Cuadro 28

ACEPTABLE 4 rc 3 3 9.3%

DEFICIENTE rc 2 13 40.6%

En las respuestas a este a este examen se manifestaron algunas deficiencias en el trabajo

algebraico y numérico en el cálculo de la RCI, algunos estudiantes si bien pueden calcular la

sucesión de cocientes d/t no son capaces de inducir correctamente el límite de esta

sucesión, en cuanto a las interpretaciones de la expresión que representa a la RCI, todavía

varios estudiantes conciben al límite como una aproximación y no como un valor preciso,

no obstante la cantidad de respuestas correctas en cada una de las preguntas de este examen

siempre fue superior al 50% excepto en una (la pregunta 2C) que fue exactamente del 50%.

3.3.4.- Cuarto examen

El cuarto examen fue aplicado el 20 de junio de 1994 como examen final del curso y

consta de 5 preguntas (ver examen 4 anexo A). Las preguntas 1 y 5 exploran las ideas que

los estudiantes desarrollaron sobre el concepto de derivada, las preguntas 2 y 3 exploran las

aplicaciones de la derivada al cálculo de velocidades instantáneas y de pendientes de

tangentes, la pregunta 4 explora el uso de fórmulas para calcular derivadas. Para el análisis

he agrupado a las preguntas en tres grupos, en el primero se ubicaron las que exploran

fundamentalmente concepciones, las preguntas 1 y 5; en el segundo las que exploran

aplicaciones, preguntas 2 y 3; el tercer grupo incluye las que se desprenden de la preguntas

4 y que exploran procedimientos.

En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, en la pregunta 1 se dan

el dibujo y la fórmula atribuidos a la derivada, de ellos se desprenden tres preguntas, a

continuación se analizan sus respuestas. En el inciso a se pide el punto del gráfico donde la

fórmula mide la RCI, en esta pregunta 11 estudiantes señalan los puntos P y Q (ver cuadro

29 anexo A), posiblemente esto indique que estos estudiantes siguen pensando en la RCP y

tengan dificultades en percibir que la derivada mide la razón de cambio en un punto; 11

estudiantes (2 de éstos también señalaron además los puntos P y Q) señalan que en x, esto

ni siquiera da idea de un punto sino de una magnitud, estas respuestas dan idea de la dificultad

que implica la interpretación de la derivada como una propiedad puntual de las funciones. A

esta pregunta contestaron correctamente solo 7 estudiantes, en el tercer examen las respuestas

mostraron mayores deficiencia. A la pregunta del inciso b, 29 estudiantes contestaron que P

está infinitamente cercano a Q, uno que P Q, dos que P = Q y nadie es de la opinión que

P se aleja de Q (ver cuadro 30 mismo anexo); aquí, casi todos los estudiantes no parecen

tener dificultad para percatarse de que cuando x tiende a cero Q está infinitamente cercano

a P o simplemente P está próximo a Q. A la pregunta del inciso c, donde se cuestiona sobre

lo que sucede con el cociente f/x cuando x tiende a cero, prácticamente la mitad parece

inclinarse por interpretaciones aceptables (véase cuadro 31 mismo anexo), pues subrayan la

opción de que el cociente citado tiene por tope un número, sin embargo 14 estudiantes se

inclinan por la idea de que el cociente f/x es un infinitesimal. Estas respuestas indican de

que casi la mitad de los estudiantes suponen que al dividir dos cantidades infinitamente

pequeñas, el resultado debe ser otra cantidad también infinitamente pequeña, respuestas de

este tipo aún se siguen dando al final del curso a pesar de que en las clases se insistió sobre

su falsedad. Una revisión de conjunto revela que, sólo 4 estudiantes contestaron

correctamente a las tres preguntas de este primer grupo y 14 en lo hicieron en las dos

últimas, véase el siguiente cuadro 29. Esto indica que un poco menos de la mitad de los

estudiantes poseen cierto dominio de la idea de derivada en un punto como el límite del

cociente f/x cuando x tiende a cero, ideas que posiblemente fueron basadas en la

experiencia numérica lograda en el curso, no obstante este dominio no parece corresponderse

con

CONCEPCIONES ASOCIADAS A LA DERIVADA

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS Incisos a, b y c 4 12.5%

Incisos b y c 14 43.7% Cuadro 29

NO CONTESTO 0 0%

la idea de que la derivada da la razón de cambio en un punto y no en una zona próxima a

éste. Estos resultados pueden ser evidencias de que en la gran mayoría de estudiantes aún

prevalece la idea de derivada como una aproximación y no como un valor numérico preciso.

En la pregunta 5 se solicita a los estudiantes que expliquen ampliamente lo que

entienden por derivada de una función. A esta pregunta 26 estudiantes le dieron respuesta y

6 no la contestaron, para efectos de evaluación las respuestas fueron clasificadas en ideas

aceptables, aproximadas y confusas. En 10 de los que contestaron se perciben ideas

aceptables sobre la derivada, en 6 ideas aproximadas al concepto y en 10 se manifiestan

ideas confusas (ver detalles en el Cuadro de Concentración 4 del anexo A). En las ideas

consideradas aceptables se habla de la derivada como RCI o como propiedad puntual de las

curvas, como cociente entre infinitesimales, como un límite especial, relacionada con sus

aplicaciones al cálculo de pendientes de tangentes velocidades y aceleraciones. De las

respuestas consideradas aproximadas, en 3 se percibe cierta relación entre la derivada y las

razones de cambio promedio aunque en ellas se expresan ideas erróneas sobre el concepto de

función, en prácticamente todas estas respuestas se asocia al concepto de derivada con sus

aplicaciones pues se menciona que sirve para calcular velocidades, aceleraciones, rapidez,

tangentes a curvas, la deficiencia en este tipo de respuestas radica en que no se habla de la

derivada como una propiedad puntual de las funciones. En las respuestas que dieron los 16

estudiantes (entre las consideradas aceptables y las aproximadas) se perciben ciertas ideas

fundamentales en donde se asocia la derivada con RCI, con la RCP, con el cociente de

infinitesimales, con la idea de un límite especial, con las tangentes, con la velocidad,

aceleración y la rapidez de la variación. En el siguiente cuadro se condensa la información

anterior.

I D E A S F U N D A M E N T A L E S

RCI RCP Cociente de infinitesimales

Límite especial

Tang. Vel, acel, rapidez.

ESTUDIANTES 7 2 4 2 4 4 Cuadro 30

PORCENTAJES 21.8% 6.2% 12.5% 6.2% 12.5% 12.5%

Es necesario agregar que en varias respuestas se mencionan dos o más de las ideas que

aparecen en el cuadro anterior asociadas al concepto de derivada. Entre los que sus respuestas

fueron consideradas confusas, se asocian a la derivada las siguientes ideas: como una

fórmula, como la variación de un número infinitamente pequeño, como un resultado que se

obtiene de una función, como una función donde la variable depende de una constante, como

funciones que se derivan de otras para calcular sus dominios, con una cantidad infinitamente

pequeña que se deriva de otra más grande, como la razón de cambio de una variable respecto

de una constante. La primera de estas ideas fue dada por tres estudiantes, las restantes cada

una fue dada por estudiantes diferentes. Por otro lado, en las respuestas consideradas

aceptables y las aproximadas se notan dos tendencias: quienes consideran a la derivada como

un cociente o un resultado y quienes la consideran como una función. Es claro que en la

primera subyace la idea de derivada en un punto como un número y en la segunda la idea de

función derivada, a juzgar por las respuestas, 7 estudiantes se inclinan por la primera

concepción y 9 por la segunda, evidentemente hay predominio de la derivada como una

función por sobre la idea de derivada como un cociente.

Revisando globalmente las respuestas dadas a las 4 preguntas de este primer grupo,

se observa que nadie contestó correctamente las 4 preguntas, 2 estudiantes lo hacen en las

tres primeras pero sus ideas sobre la derivada fueron evaluadas como aproximadas, 4 dan

respuesta correcta a dos de las tres primeras y dan ideas aceptables en la última pregunta,

otros 3 aciertan en dos de las primeras y sólo dan ideas aproximadas en la última pregunta.

En resumen, aunque no hubo estudiantes que contestaran correctamente las cuatro preguntas

de este grupo parece manifestarse una tendencia que apunta hacia un comprensión óptima

del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes (25% de los participantes) que fueron

quienes contestaron correctamente al menos en tres de las 4 preguntas. En 5 estudiantes

(15.6%) esta tendencia fue considerada aceptable, en 4 (el 12.5%) apenas si se manifiestan

algunos indicios y en el resto (casi la mitad de los participantes) parece haber serias

deficiencias.

En cuanto a las preguntas del segundo grupo, particularmente de la pregunta 2, se

desprenden tres preguntas sobre un objeto lanzado hacia arriba. En el inciso a se pide la altura

alcanzada por el objeto a los 3.5 segundos, 27 estudiantes la contestan correctamente y 5 no

la contestaron (ver cuadro 32 anexo A); las respuestas dadas a estas pregunta reafirman la

presunción de que la mayoría de los estudiantes pueden calcular los valores de la función a

partir de la fórmulas dada, aunque no es despreciable la cantidad de estudiantes que no la

contestaron. En el inciso b se pide calcular mediante aproximaciones numéricas la velocidad

del objeto a los 3.5 segundos, para tal fin se sugirió aplicar reiteradamente la RCP para

inducir el límite de la sucesión de los cocientes incrementales; de los 32 participantes 15

realizan correctamente esta actividad (ver cuadro 33 mismo anexo), 7 tuvieron dificultades

en inducir el límite, en el acercamiento numérico a 3.5, al evaluar en la fórmula de la función,

al calcular el valor del numerador f(xx) - f(x), varios estudiantes sólo calculan el valor de

f(x+x) pero se les olvida calcular el valor de f(x), otros alcanzan a calcular correctamente

todo el numerador pero no calculan el cociente, etc., 10 estudiantes no contestaron esta

pregunta. En el inciso c hay que obtener las fórmulas que dan las velocidades y aceleraciones

instantáneas del objeto utilizando los diferenciales (aquí, en esencia se explora la habilidad

de cálculo de derivadas por medio de los diferenciales), este ejercicio sólo fue resuelto cabal

y correctamente por 9 estudiantes (cuadro 34 mismo anexo), 3 llegan a las expresiones de las

aceleraciones utilizando la fórmulas de derivadas, no obstante fueron evaluadas como

correctas, es notorio que 19 estudiantes no hicieron nada por resolver el ejercicio y 1 se

equivocó en los procedimientos. En la pregunta 3 se pide obtener la ecuación de la tangente

a la curva determinada por f(x) en un punto dado, este problema solamente fue resuelto

satisfactoriamente por 5 estudiantes (ver cuadro 35 mismo anexo), 13 no lo pudieron resolver

cabalmente o se equivocaron en algún procedimiento, de éstos 13 estudiantes 10 intentan

resolver el problema pero la mayoría de ellos sólo calculan la derivada y otros pocos logran

esbozar la gráfica de f(x), sin embargo no relacionan a la pendiente de la tangente con la

función derivada y por consiguiente no son capaces de concluir la resolución del problema.

Es notorio que 14 estudiantes no intentaron siquiera resolver el problema.

Al revisar globalmente las respuestas a las dos situaciones de este segundo grupo

nos encontramos que sólo 4 estudiantes resuelven correcta y cabalmente los dos problemas

planteados, es decir, calcularon el valor de función en t = 3.5 segundos, calcularon la

velocidad instantánea, obtuvieron las fórmulas de las velocidades y aceleraciones

instantáneas y la ecuación de la tangente aplicando el concepto de derivada. 3 estudiantes

resolvieron correctamente los tres incisos de la pregunta 2, es decir sólo son capaces de

calcular el valor funcional, la velocidad instantánea en el instante dado y de obtener las

fórmulas que dan las aceleraciones y velocidades instantáneas. 7 estudiantes sólo acertaron

en los dos primeros, es decir, sólo pueden calcular el valor de la función y la velocidad

instantánea en t = 3.5 segundos. 4 acertaron en los incisos a y c, además de calcular el valor

de la función, pudieron obtener las fórmulas de las velocidades y aceleraciones instantáneas,

el resto de los estudiantes sólo acertó en un inciso o en ninguno. A partir de esta revisión se

nota cierto desarrollo óptimo en la aplicación del concepto de derivada en 7 estudiantes pues

parecen ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el geométrico y 4 en

ambos, en otros 7 su desarrollo es considerado aceptable con una tendencia marcada sólo

hacia las aplicaciones físicas, los restantes tienen serias deficiencias.

En cuanto a las preguntas relativas al tercer grupo iniciamos con la pregunta 3, en

ella se explora la habilidad para obtención de derivadas por medio de fórmulas. En el inciso

a, un poco menos de las tres cuartas partes (cuadro 36 anexo A) de los participantes pueden

obtener la derivada de la función algebraica dada. En el inciso b, donde se pide la derivada

de un producto de funciones, 13 estudiantes la obtienen correctamente (ver cuadro 37 mismo

anexo) aplicando la fórmula del producto. La derivada de la función del inciso b, es obtenida

correctamente por 13 estudiantes aplicando la regla del cociente, más de la mitad del grupo

no intentó siquiera hacer el ejercicio (ver cuadro 38 mismo anexo). Una revisión de conjunto

de las respuestas de este tercer grupo permite observar que la mayoría de los estudiantes (21

de ellos) obtienen derivadas de funciones polinómicas, la cantidad de estudiantes que logran

hacerlo en las dos restantes disminuye hasta 13 (el 40.6%). Los mismos estudiantes que

resolvieron correctamente el segundo y tercer ejercicios también lo hicieron en el primero.

3.3.4.1.- Síntesis sobre los resultados del cuarto examen

En el cuarto examen se plantearon 5 situaciones, de las cuales se desprenden 11

preguntas que exploran concepciones, aplicaciones y procedimientos relativos a la derivada.

A pesar de que en el grupo donde se exploran concepciones no hubo estudiantes que

contestaran correctamente todos los incisos de las dos preguntas, se percibe cierta tendencia

hacia una comprensión óptima del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes, en 5 se

percibe una tendencia aceptable, en el resto se notaron numerosas confusiones. En el grupo

de preguntas que exploran aplicaciones se percibe cierto desarrollo óptimo en 7 estudiantes,

pues parecen ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el contexto

geométrico y 4 en ambos; en 7 este desarrollo fue considerado aceptable y se inclina hacia

la aplicación en el contexto físico, en el resto hay muchas deficiencias. En las preguntas que

exploran procedimientos es en donde se obtienen los mejores resultados, pues 21 estudiantes

calcularon correctamente la derivada de la función polinómica dada y 13 calculan las otras

derivadas aplicando fórmulas del cociente y el producto, esto parece indicar que al menos 13

estudiantes desarrollaron óptimamente la habilidad de calcular derivadas mediante fórmulas,

en 8 la consistencia de esta habilidad aunque disminuye es considerada aceptable y en el

resto las deficiencias son notorias. Al hacer una revisión global sobre las evaluaciones

generales de este examen se observa (ver Cuadro de Concentración Núm. 4, anexo A) que el

máximo de respuestas correctas alcanzado fue 10 y fue obtenido solamente por dos

estudiantes. Con el fin de detectar tendencias sobre el desarrollo de las concepciones y

habilidades exploradas, he agrupado las frecuencias de respuestas en tres categorías tomando

como base a la media, las dos categorías superiores (de desarrollo óptimo y aceptable) de la

media hacia arriba y de la media hacia abajo la de desarrollo deficiente. Bajo estas

condiciones, se perfila una tendencia hacia el desarrollo óptimo de sus concepciones y

habilidades sobre la derivada en al menos 7 estudiantes (los que sus respuestas correctas

fluctúan entre 10 y 8, pues mayoritariamente fueron capaces de interpretar y explicar

aceptablemente el concepto de derivada, de aplicar la derivada en la obtención de ecuaciones

de tangentes y en el cálculo de velocidades y aceleraciones instantáneas, además de calcular

derivadas por medio de fórmulas. El desarrollo de las concepciones y habilidades anteriores

alcanzaron un nivel aceptable en al menos 10 estudiantes (cuyas respuestas correctas están

entre 7 y 5), el resto manifestaron tener bastantes deficiencias pues sólo contestaron

correctamente entre 4 preguntas o menos, véase el cuadro siguiente.

CONCEPCIONES, PROCEDIMIENTOS Y APLICACIONES SOBRE LA DERIVADA (4o. EXAMEN)

DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES

OPTIMO 10 rc 8 7 21.8%

ACEPTABLE 7 rc 5 10 31.2%

DEFICIENTE rc 4 15 46.8%

Cuadro 31

Las mayores deficiencias notadas en los estudiantes se presentaron al preguntarles sobre el

punto en donde se mide la RCI en un gráfico y en la aplicación de la derivada en la

determinación de ecuaciones de tangentes, tal vez esta última deficiencia sea atribuible a que

en el curso se le dio mayor énfasis a su significado físico que su significado geométrico.

3.3.5.- Síntesis global

A lo largo del curso se trabajaron los temas de intervalos de variación, funciones,

RCP, RCI y algunos principios de generalización del concepto de derivada, para exploran el

desarrollo que sobre estos conocimientos alcanzaron los 32 estudiantes participantes en la

experiencia pedagógica, se aplicaron los cuatro exámenes en cuatro momentos distintos. En

conjunto los cuatro exámenes contienen 46 preguntas que exploran concepciones,

procedimientos y aplicaciones, en realidad estos dos últimos pueden ser considerados

indistintamente porque casi la totalidad de los procedimientos fueron utilizados en

aplicaciones a situaciones de la física. En los cuatro exámenes se plantean varios ejercicios

y problemas para explorar el desarrollo de las habilidades en los estudiantes. En el primer

examen, en el trabajo con la notación variacional, la mayoría de los estudiantes parecen no

tener muchas complicaciones excepto cuando se les pide representar intervalos en la recta

numérica, pues cuando se les pide traducir al lenguaje ordinario ciertos intervalos dados en

forma de desigualdades, el promedio de los que dan respuestas correctas a estas preguntas

siempre es casi de 27 (82.8%). En cambio cuando se les pide representar intervalos en la

recta numérica el promedio de los que dan respuestas correctas es sólo de 9 (28.1%). En este

mismo examen cuando se les pide graficar una función el promedio de los que demuestran

ser capaces de hacerlo es de 19 estudiantes, véase la gráfica 1 (véase también el Concentrado

de Resultados de los Exámenes por Temas del anexo A). La habilidad de evaluar una función

fue explorada en tres momentos distintos: en el primero, en el segundo y en el cuarto examen,

al comparar estos resultados se observa una notable mejoría en el cuarto respecto de los dos

primeros exámenes, en las tres exploraciones, 22 o más estudiantes (68.7%) fueron capaces

de realizar correctamente esta actividad, no obstante en el primer examen una cantidad un

poco menor de estudiantes mostraron ser capaces de graficar la función. Nótese que en la

aplicación de las funciones en la modelación de problemas de la práctica el desarrollo fue

prácticamente nulo. Respecto del cálculo de la RCP, explorado en el segundo examen, un

promedio de casi 21 estudiantes pueden calcular el d, sin embargo el cálculo total de la RCP

solamente lo logran realizar correctamente un promedio de casi 15 estudiantes.

CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE RESOLVIERON CORRECTAMENTE

LAS PREGUNTAS RELATIVAS A LAS HABILIDADES

32 30 E 26 26.5 26 S T 22 22 22 U 20.5 20.5 D 18 19 17.6 19

I 15 15.6

A 14 14.5

N 11.5 12

T 10 9

E

S 6 5

2

0 E1 E1 E1 E1 E2 E4 E1 E1 E2 E2 E2 E3 E4 E3 E4 E4 E4 Trad. Rep. Func. Evaluación . Aplic. Graf. Cálc. Cálc. C á l c u l o Cálculo Der. Tang.

d RCP numérico algeb.

NOTACION F U N C I O N R C P R C I (DERIVADA)

VARIACIONAL

GRAFICA 1

Las habilidades relativas a la derivada empiezan a explorarse desde el segundo

examen con el cálculo de velocidades aceleraciones instantáneas, el cálculo numérico de ésta

es explorada en tres momentos distintos, en el segundo, en el tercero y en el cuarto examen

parcial; en el segundo examen el promedio de estudiantes que realizan correctamente esta

actividad es de casi de 12 (35.9%) en el tercero asciende a casi 18 (55%) y en el cuarto

examen desciende a 15 (46.8%). En la obtención por la vía algebraica de la RCI, también se

nota cierta tendencia descendente pues en el tercer examen la obtienen 19 estudiantes

(59.3%) y en el cuarto desciende a 12 (37.5%). Habrá que decir que en la segunda vez que

se explora esta habilidad la idea del diferencial sustituye a la idea del límite utilizada en la

primera exploración. Estas variaciones descendentes son explicables ya que varios

estudiantes dedicaron enormes esfuerzos para obtener la mejor calificación hasta el tercer

examen, una vez convencidos de que con el promedio logrado con estas tres calificaciones

lograban acreditar el curso, pusieron poco interés en el cuarto examen. El cuarto examen

también explora la habilidad de derivar funciones por medio fórmulas, mayoritariamente los

estudiantes demuestran poder obtener la derivada de funciones polinómicas pues lo hacen

correctamente 21 estudiantes, no obstante en promedio casi 16 pueden obtener las derivadas

de funciones polinómicas, de un producto y de un cociente de funciones. Finalmente, también

en el cuarto examen se explora la habilidad para obtener ecuaciones de tangentes a curvas

aplicando la idea de derivada, aquí los resultados son magros, pues sólo 5 estudiantes

demostraron ser capaces hacerlo. Probablemente esto se deba a que el curso estuvo

fuertemente orientado al estudio de la variación física y las ideas geométricas quedaron en

un lugar secundario.

Las concepciones de los estudiantes exploradas en los exámenes estuvieron enfocadas

mayoritariamente al concepto de derivada considerada como RCI, para obtener información

sobre su desarrollo 10 preguntas en total fueron hechas en los exámenes. En el primer examen

se explora el desarrollo del concepto de función, a este respecto 16 estudiantes en promedio

(véase la gráfica núm. 2) parecen tener un concepto óptimo de función como colección de

parejas ordenadas. En

CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE CONTESTARON CORRECTAMENTE

A LAS PREGUNTAS RELATIVAS A CONCEPCIONES

32 30 29 26 25

E S 22 21 T 19 GRAFICA NUM. 2

U 18 15.5 16 D 15 I 14 14

A N 10 7 7 T E 6 S

2 0

E1 E3 E4 E2 E4 E2 E3 E3 E4 E2 E4 Concepto Punto donde Signif. de Interp del.. I d e a Concepciones se mide RCI t0 lim (f/t)= 5 c l a v e generales t0

FUNCION RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA (DERIVADA)

el tercero y cuarto exámenes se les presentó un dibujo que representa a la RCI y la fórmula

matemática que lo identifica, sobre el dibujo se les preguntó en qué punto la fórmula dada

mide la RCI, en el tercer examen ningún estudiantes da respuestas correctas a esta pregunta

y en el cuarto solamente dan respuestas correctas 7. Estos resultados (aunque se logra mejoría

en el cuarto examen) dan una muestra de las grandes dificultades que tienen los estudiantes

para interpretar a la RCI como una propiedad puntual de las curvas, dificultades que a su vez

están asociadas a la idea del límite como una propiedad local. Sobre la comprensión del

significado del t0 se observa una notable mejoría en el cuarto examen respecto del

segundo, pues en el cuarto 30 estudiantes contestan correctamente la pregunta hecha al

respecto y 19 en el segundo, en ambos casos su significado se asocia con el infinitamente

pequeño. En el segundo y en el cuarto exámenes se pide una interpretación sobre la

expresión:

limf

tk k k

t

05 20, con en el primer caso y = en el segundo

las respuestas dadas por los estudiantes muestran un notable mejoría en el tercer examen pues

se triplica la cantidad de respuestas correctas en éste examen respecto del segundo, ya que

en el primer caso dan interpretaciones correctas 7 (21.8%) y en el segundo 21 (65.6%), en

dichas interpretaciones se asocia a las RCI con las velocidades y aceleraciones instantáneas,

con el límite o a la cuantificación puntual de la variación. En el tercer examen y en el cuarto

se pregunta sobre la idea clave para calcular la RCI (pregunta que en esencia indaga si los

estudiantes están conscientes de los procedimientos que realizan cuando calculan la RCI) se

presentó un sensible descenso entre las respuestas correctas dadas en tercer examen respecto

del cuarto, pues en el primer caso dan respuestas correctas 25 (78.1%) y en el segundo sólo

contestan correctamente 14 (43.7%). Las respuestas fueron consideradas correctas si de

alguna manera se expresaba que la idea clave consiste en la búsqueda del límite del cociente

f/t cuando t es infinitamente pequeño. En el segundo examen y en el cuarto se pide a

los estudiantes expliquen lo que entienden por derivada y por la RCI respectivamente, de

acuerdo con los datos obtenidos se observa una leve mejoría en el cuarto examen respecto

del tercero, pues 15 estudiantes (46.8%) dan explicaciones consideradas correctas en el tercer

examen y 16 (50%) en el cuarto. Las explicaciones correctas en el primer caso aluden a la

velocidades puntuales, variación instantánea a un límite especial, en el segundo caso se habla

de la RCI como cociente de infinitesimales, como velocidad, aceleración o rapidez

instantánea o asociada a la idea de tangente o como un límite.

En conjunto en los cuatro exámenes se hacen 46 preguntas y el máximo puntaje de

respuestas correctas alcanzado fue de 41 (véase el Concentrado de Evaluaciones Globales,

anexo A), este puntaje solamente fue obtenido por un estudiante. Con el fin de detectar

tendencias sobre el desarrollo de las concepciones y habilidades exploradas, he clasificado

en tres categorías a los estudiantes a partir de una revisión transversal: los que su puntaje es

inferior a 20 respuestas correctas (la media), los que su puntaje es igual o superior a 20 pero

menor que 30 y los que sus puntajes son iguales o mayores que 30 respuestas correctas. A

los estudiantes de la primera categoría los consideré incluidos en una tendencia hacia

desarrollo deficiente, a los de la segunda en una tendencia hacia un desarrollo aceptable y a

los de la última categoría en una tendencia hacia un desarrollo óptimo. En estas condiciones

en 14 estudiantes (43.7%) se nota una tendencia hacia un desarrollo deficiente de los

conocimientos trabajados a lo largo del curso, pues contestaron correctamente menos de la

mitad de preguntas respecto del máximo alcanzado; en 8 estudiantes (25%) la tendencia

apunta hacia un desarrollo aceptable y en otros 10 apunta hacia un desarrollo óptimo de las

habilidades y concepciones matemáticas relativas a los intervalos de variación, funciones y

la RCI. Véase cuadro siguiente.

DESARROLLO GLOBAL ALCANZADO POR LOS ESTUDIANTES EN EL CURSO

DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES

OPTIMO 41 rc 30 10 31.2%

ACEPTABLE 29 rc 20 8 25 %

DEFICIENTE rc 19 14 43.7%

Cuadro 32

3.3.6.- Examen 5

Este cuestionario explora el desarrollo de algunas ideas generales sobre la variación

y fue aplicado en dos ocasiones, al inicio del curso junto con el primer examen y al final del

mismo junto con el cuarto examen. En él se plantean tres situaciones (ver examen 5 anexo

A) en donde se presentan tres gráficos respectivamente, el primero representa la variación de

la temperatura de cierto volumen de agua, el segundo muestra la variación de la

concentración de un medicamento en la sangre y en el tercer gráfico se muestra una curva

que representa a cierta función f que no está referida a un contexto específico. En cada

situación se plantean cuatro preguntas que, asociadas en grupos, exploran ideas sobre rapidez

variación, variación positiva, variación negativa y variación nula. En las siguientes páginas

se presenta un análisis comparativo de las respuestas a cada una de estas preguntas y una

síntesis sobre estos resultados.

3.3.6.1.- Sobre la situacion núm. 1

Respecto a la pregunta 1.A, en la primera aplicación sólo 3 estudiantes del total

dieron respuestas correctas y en la segunda aplicación 19 (ver cuadro 39 anexo A), éstos

constituyen el 59.3 % del total, aquí hay una diferencia positiva de l6; en cuanto a las

respuestas incorrectas, en la primera aplicación incurrieron 29 estudiantes y en la segunda

13. Al inicio del curso, un poco más del 90 % de los estudiantes consideran que la mayor

variación sucede en el intervalo de 10 a 20 min., esto parece indicar que la idea de mayor

variación es asociada por estos estudiantes con la idea de mayor valor de la función, esta

concepción parece haber cambiado hacia una idea de mayor rapidez de variación en 21

estudiantes pero parece permanecer incólume en 8.

CAPITULO 5

UNA EXPERIENCIA ESCOLAR

Este capítulo está dedicado a la experiencia pedagógica y al análisis cualitativo de las

respuestas a los exámenes aplicados en la experiencia, ésta se concretó en un curso de CD en

el que participaron 32 estudiantes del bachillerato. Se aplicaron en total 5 exámenes, 4 de

ellos fueron aplicados con el propósito de explorar el desarrollo de los conocimientos

(básicamente concepciones y habilidades relativas a la variación) que alcanzaron los

estudiantes a lo largo del curso. El examen 5, descrito más adelante como examen pre-post,

fue aplicado junto con el primer examen y explora algunas ideas generales que sobre la

variación poseían los estudiantes al principio del curso, este mismo examen fue aplicado al

final, incluido en el cuarto examen, el propósito era indagar el desarrollo de estas ideas

logrado a través del curso, de este examen se presenta un análisis comparativo. El análisis

cualitativo fue realizado a las respuestas de los cuatro exámenes y a las respuestas del examen

que explora ideas generales sobre la variación, para ello fueron asociadas en cada uno de los

exámenes en pequeños grupos de acuerdo a su afinidad matemática más cercana, esto con el

propósito de detectar las tendencias en el desarrollo tanto de las ideas como de las habilidades

afines. Al final se presenta una un análisis comparativo entre el rendimiento global obtenido

en los 4 exámenes y el desarrollo de las ideas generales sobre la variación.

Aspectos básicos de la experiencia escolar

Con la experiencia pedagógica se trata de formar los conceptos básicos del CD a partir del

desarrollo de las ideas sobre la variación. En virtud de que se trata de explorar los cambios

que se producen en los estudiantes en relación con el desarrollo de estas ideas y la

comprensión de los conceptos básicos del CD, la experiencia fue realizada con el mismo

grupo. Antes del curso se exploró el estado de algunas ideas variacionales en los estudiantes

participantes, los cambios producidos por la puesta en práctica de la propuesta didáctica son

evaluados al final del curso de modo que permiten la comparación con el estado inicial. Es

muy frecuente utilizar en la investigación experimental la modalidad del grupo de ensayo y

del grupo control, en el primero se somete la variable (o variables) como objetos de estudio

experimental mientras que en el grupo de control se sigue el procedimiento habitual. Para los

propósitos de la experiencia pedagógica que nos ocupa, un proceder parecido al anterior es

de muy escasa utilidad, pues el grupo de control sujeto a la enseñanza habitual del CD no

desarrollará ideas variacionales pues en ella estas ideas se omiten o si acaso se tocan es sólo

superficialmente. Por tal razón se eligió la modalidad de caso único1 donde la experiencia se

aplica al mismo grupo de estudiantes, pues nos interesa explorar la influencia que en ellos

produce la enseñanza de los conceptos básicos del cálculo a través del enfoque variacional.

La experiencia pedagógica se concretó en la conducción de un curso de CD impartido a

estudiantes del cuarto semestre del bachillerato con especialidad en Construcción de un

1En el sentido como se entiende en la Metodología de la investigación pedagógica y psicológica, segunda

parte, de Irma Noceda de León y Eddy Abreu, pp. 34 - 35; 1984.

Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios de la ciudad de Chilpancingo,

Guerrero, México. Participaron 32 estudiantes cuyas edades fluctuaban entre 16 y 17 años,

estuvieron divididos en dos grupos, el 4o. "C" y el 4o. "D". El curso fue trabajado en horario

matutino de 7 a 8:40 de la mañana. El curso tuvo una duración fue de 18 semanas, de un total

de 90 sesiones de 50 minutos planificadas fue posible trabajar 79 sesiones efectivas. Todos

los estudiantes que participaron en la experiencia ya habían pasado los cursos de Aritmética

y Algebra, Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica. Además de la asignatura que

oficialmente se reconoce como Matemáticas IV (el curso de CD) en el cuarto semestre en el

que se desarrolló la experiencia los estudiantes tenían que atender otras 7 asignaturas más.

El bachillerato que cursaban se reconoce como el Físico-Matemático con especialidad de

Técnico en Construcción, lo primero les posibilita proseguir estudios universitarios

relacionados con la Ingeniería Civil o la Arquitectura y lo segundo les permite incorporarse

al trabajo productivo después de haber concluido el bachillerato.

Congruente con la estructura de la propuesta, el curso fue planificado en tres fases

fundamentales: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de

asimilación y fijación del concepto. El contenido, enfoque y habilidades a desarrollar en

cada fase se han descrito en el capítulo anterior.

Las formas metodológicas básicas de organización de la enseñanza mas utilizadas en el

curso fueron los métodos de elaboración conjunta, los de dirección del trabajo independiente

y algunos métodos expositivos. El trabajo docente se organizó en clases prácticas, clases de

repaso y las clases de control o evaluación. A fin de optimizar el tiempo se trabajó con los

apuntes escritos exprofeso, esto permitió que los estudiantes se familiarizaran con antelación

con el contenido a tratar. Las clases prácticas fueron destinadas a la resolución conjunta de

los ejercicios y problemas más representativos planteados en los apuntes y el esclarecimiento

de dudas sobre las tareas asignadas para realizar en casa. Dado que se pretendía desarrollar

habilidades en los estudiantes, el trabajo con la resolución de ejercicios y problemas ocupó

alrededor de las tres cuartas partes del tiempo destinado al curso, inclusive las tareas

extraclase fueron sistemáticamente revisadas y evaluadas con el objetivo de contribuir a la

calificación de los estudiantes y así estimular su realización. En las clases de repaso se

planteaban actividades consistentes en la resolución de ejercicios y problemas a fin de

sistematizar, ampliar y profundizar los temas. En las clases de control o evaluación se

aplicaron cuestionarios de control o de sistematización y los exámenes elaborados con fines

investigativos.

Reseña sobre la experiencia escolar

Los contenidos del curso fueron escritos en forma de apuntes los apuntes fueron estructurados

en clases, en cada clase se tratan determinados temas y se plantean ejercicios y problemas

para la asimilación del contenido respectivo. Las clases fueron desarrolladas en dos o más

sesiones de 50 minutos en dependencia de su extensión, profundidad y condiciones generales

de los estudiantes. Las primeras cuatro clases corresponden a la fase preparatoria y el resto

corresponde a las fases de formación y asimilación del concepto. El curso se inició con la

clase 1 titulada la variación, en ella se introdujeron las ideas de variable e intervalos de

variación, a partir del estudio de fenómenos. Se observaron grandes dificultades en los

estudiantes en el manejo de la notación matemática para de intervalos (símbolos <, >, , ),

pues confesaron no haberla trabajado antes.

La clase número 2 titulada los modelos que describen la relación entre las variables se inició

en la segunda semana de trabajo. La actividad docente en esta clase se centra en el concepto

de función, éste se formó a partir del estudio de la variación de cierto volumen de gas en

relación con la variación de sus temperaturas absolutas (Ley de Charles). A esta clase le

dedicamos dos sesiones de conferencia y tres sesiones a la resolución de ejercicios y

problemas, los tres primeros ejercicios no causaron mayores problemas a los estudiantes, las

dificultades empezaron a manifestarse en la evaluación de funciones y en el esbozo de sus

gráficos, dificultades mayores aparecieron en la deducción de las fórmulas de algunas

funciones a partir de las situaciones de la práctica. La tercera semana de trabajo la dedicamos

a la resolución de ejercicios y problemas de sistematización de los contenidos de las clases 1

y 2. La resolución de estos ejercicios fue encargada a los estudiantes para ser realizada como

trabajo independiente, sin embargo surgieron muchas dificultades en su resolución. En estos

ejercicios se incluyeron el trabajo con intervalos, el trabajo con funciones, la determinación

de su dominio, imagen y fórmula.

En la cuarta semana, iniciamos con la clase 3 titulada graficación de funciones. Su propósito

fundamental fue desarrollar habilidad en los estudiantes para esbozar gráficas de funciones

numéricas, para tal fin se les dio atención a la técnica de graficación por medio de tabulación,

la graficación a partir del análisis de sus fórmulas y al análisis visual del comportamiento de

sus gráficos. En el transcurso de la cuarta semana sólo alcanzamos a trabajar con las gráficas

de funciones enteras y racionales (algebraicas), en la quinta semana se trabajó con algunas

funciones irracionales y las trigonométricas básicas, de estas últimas los estudiantes

confesaron no haber estudiado siquiera las razones trigonométricas en sus cursos anteriores.

Al parecer los estudiantes no tuvieron muchas dificultades para graficar funciones lineales,

en cambio sí las tuvieron con las cuadráticas y cúbicas sobre todo en la evaluación y el esbozo

de sus gráficos cuando éstos cortan al eje de las x en dos o más puntos pues muchos de ellos

se perdían en el dibujo, las dificultades mayores se presentaron al graficar y analizar los

gráficos de funciones racionales e irracionales particularmente al realizar el análisis de sus

fórmulas. De las funciones trigonométricas sólo fue posible graficar y analizar algunas de las

básicas, no se trabajó con las exponenciales y logarítmicas. Alrededor de la tercera parte de

los estudiantes fueron capaces de resolver más de la mitad de los ejercicios planteados en

esta clase. A estas alturas del curso se notaron irregularidades en el cumplimiento de las

tareas y en la asistencia, motivos por los cuales se decidió disminuir un poco el ritmo de

trabajo alcanzado.

En la sexta semana, se inicia la clase 4 titulada la rapidez de la variación, con ella da inicio

la formación del concepto de derivada como RCI. En esta clase se introdujo el concepto de

RCP como el medio para obtener la rapidez de la variación a partir del estudio del

movimiento rectilíneo uniforme. Con estos elementos se orientó a los estudiantes para que

pudieran calcular las RCP dados los gráficos o las fórmulas de ciertas funciones y a partir de

la resolución de problemas de la física, muchas dificultades presentaron en la resolución de

estos últimos. En virtud de que en esta semana los estudiantes presentaron exámenes

parciales de las otras asignaturas, además de serias dificultades que manifestaron tener en la

resolución de los ejercicios de esta clase, se utilizó casi la totalidad del tiempo de la séptima

semana en tratar de resarcir estas deficiencias. Aproximadamente la quinta parte de los

estudiantes resolvió la totalidad de los ejercicios planteados en esta clase, dificultades

notables tuvieron en el trabajo aritmético con la fórmula de la RCP y en su representación

geométrica, en el primero de los casos tenían serias confusiones en discernir el orden en que

deberían tomar los tf y los ti, sobre todo cuando se les pedía calcular varias de ellas en una

misma función y cuando la gráfica de la función dada era descendente y por tanto se obtenían

razones de cambio negativas.

En la octava semana, se trabajó con la clase 5 titulada las razones de cambio variables. Lo

medular de esta clase es el estudio de la relación existente entre las RCP cuando el

movimiento sigue trayectorias curvilíneas, como punto de partida se abordó la relación entre

la pendiente de secantes a las curvas y la RCP. De las velocidades promedio constantes del

MRU de la clase anterior se pasa al análisis de las velocidades promedio del movimiento de

un cuerpo impulsado que sigue una trayectoria parabólica, de estos movimientos se

construyeron y analizaron los gráficos de sus velocidades promedio y se relacionaron con los

intervalos de crecimiento, decrecimiento y anulación de las RCP. Al resolver los problemas

propuestos en esta clase los estudiantes vuelven a tener dificultades en la decisión de cuál es

el valor de tf y cuál el de ti (sobre todo cuando RCP eran negativas), al representar

geométricamente la RCP confundían su signo con el signo de la función. En esta semana de

trabajo nuevamente un escaso número de estudiantes leen con anticipación los apuntes, muy

pocos pueden hacer las tareas encomendadas, de modo que esto provoca que se tengan que

repetir algunas de clases anteriores.

La clase número 6 titulada las razones de cambio instantáneas se trabajó en la novena

semana. En esta clase se partió de la necesidad de calcular velocidades instantáneas y la

imposibilidad de calcularlas por medio de las RCP, de ahí se orientó a los estudiantes para

que reflexionaran si por medio de la reducción del intervalo esto sería posible, luego el

problema se trasladó a qué tan pequeña sería la reducción del intervalo. Esto se resolvió al

analizar el comportamiento de la sucesión de cocientes d/t al asignar a t valores muy

cercanos a cero de modo que se pudiera predecir su límite. Al parecer los estudiantes

aceptaron con naturalidad la notación:

limt t

d t d t

t td t

f i

f

f i

f

( ) ( )' ( )

i

para la RCI, en cambio cuando se pasó a la notación:

limt

d t t d t

td t

0

0 0

0( ) ( )

' ( )

se manifestaron dificultades serias en su manejo. También se presentaron dificultades en

decidir cuál es el punto que se mueve y cuál no, el tf o el ti , el t0 o el t. En las

aproximaciones numéricas también manifestaron dificultades al acercarse a un t0 , sobre todo

al tratar de construir sucesiones que acercaran al punto por la izquierda. Poco mas de la cuarta

parte de los estudiantes son capaces de resolver los problemas y ejercicios planteados en los

apuntes.

En la semana 10, se trabajó la clase 7 titulada Cálculo de las RCI por Métodos Algebraicos,

el objetivo fundamental se centró en desarrollar habilidad en los estudiantes para calcular

razones de cambio instantáneas por medio de su definición. En esta clase se parte de la

necesidad de buscar un método que abreviara el cálculo de las RCI, este método en principio

fue trabajado a partir de la definición dada de RCI y posteriormente con la regla de los cuatro

pasos. Aquí se presentaron ciertos problemas en cuanto a la fundamentación de las sumas o

productos de los límites, para fundamentar estas operaciones se introdujo y utilizó la noción

de cantidades infinitesimales definidas a partir del límite, bajo estas condiciones cualquier

suma o producto de infinitesimales se consideran cantidades despreciables y tiene como

límite cero. Al tratar de resolver los problemas planteados de esta clase los estudiantes

tuvieron dificultades con la evaluación de funciones con argumento de la forma t + t, en el

desarrollo de binomios al cuadrado o al cubo, las dificultades aumentaron cuando se trataba

de calcular las RCI de funciones racionales sencillas, en especial en la simplificación de

expresiones algebraicas racionales. Menos de la cuarta parte de los estudiantes pudieron

resolver más de la mitad de los ejercicios planteados. Incluso muchos estudiantes no

resolvieron la mayoría de los ejercicios planteados desde la clase 5 hasta la 7, por tal razón

en la semana 11 se hizo en un repaso general.

En la semana 12, solamente fue posible trabajar una sesión de 50 minutos con cada uno de

los grupos, en ella se estudiaron algunos casos de funciones en las que no es posible calcular

la RCI en puntos determinados, además se estudió la relación entre rectitud local y la

existencia de la RCI. En la semana número 13, se trabajaron dos sesiones de 50 minutos con

cada uno de los grupos y se repasaron algunas cuestiones de clases anteriores. En la semana

14, prosiguen las irregularidades con la asistencia de los estudiantes y sólo se trabajaron tres

sesiones de 50 minutos con cada grupo, por tal razón se optó por repasar algunas temas de

álgebra que los estudiantes no dominaban. En la semana 15, se trabajó con la clase núm. 8

titulada: Las Razones de Cambio Instantáneas y las Tangentes a Curvas, en ella se extendió

la noción de RCI al de pendientes de tangentes a las curvas, esta clase se inició con una

discusión acerca de las ideas que de tangente tenían los estudiantes, en esta discusión se hizo

patente la necesidad de trascender la concepción griega hacia una concepción local de

tangente, hacia la posibilidad de que pudiese cortar o tocar a la curva, hacia el establecimiento

de las condiciones necesarias para poderlas trazar y determinar sus pendientes y ecuaciones.

En esta clase tuvimos serios problemas con el nivel de partida pues los estudiantes no

conocían las funciones trigonométricas, particularmente la f(x) = tan x, indispensable para

determinar pendientes de rectas, por eso se les dedicaran dos sesiones de 50 minutos para

ayudarlos a superar estas deficiencias. Solo la cuarta parte de los participantes fueron capaces

de resolver satisfactoriamente más de la mitad de los ejercicios planteados.

En la semana 16, se trabajó con la clase número 9 titulada Las Razones de Cambio

Instantáneas en cualquier punto, con ella se introdujo el concepto de función derivada a

partir de la necesidad de determinar la velocidad de los cuerpos en caída libre en cualquier

instante. La idea de función derivada subyacente en las RCI para cualquier t sólo fue

trabajada en funciones algebraicas sencillas surgidas de problemas de caída libre y el llenado

de vasijas con agua. Nuevamente en la resolución de los problemas y ejercicios planteados

se presentaron muchas deficiencias algebraicas, las dificultades mayores se manifestaron en

la resolución de problemas de aplicación en donde la fórmula de la función no estaba dada.

En la semana 17, se inició la deducción y utilización de las fórmulas básicas de derivación.

Se trabajó con la Clase 10 titulada: La Notación de Leibniz para Derivadas y los

Diferenciales, en ella se introdujo la notación de Leibniz para derivadas y se precisó la idea

del diferencial. Con la notación de Leibniz y la idea del diferencial fue posible encontrar un

argumento más consistente para deshacernos de los productos con los diferenciales o de las

potencias de éstos pasando de la idea del límite a la de los diferenciales propiamente dichos.

También se hizo notar la valía de la notación de Leibniz porque es sugerente en el estudio de

la variación. En la resolución de los ejercicios y problemas planteados se presentaron

deficiencias algebraicas, aunque más de la cuarta parte de los participantes resolvieron más

de la mitad de los ejercicios y problemas propuestos.

En la misma semana 17 se trabajó la clase 11 titulada Algunas fórmulas y reglas básicas

para calcular derivadas, en esta clase se deducen las fórmulas para derivadas de funciones

de la forma y = mx + b y de la forma y = xn (con n racional); el objetivo esta clase fue el

que los estudiantes desarrollaran habilidad para calcular derivadas por medios más rápidos

que los anteriormente conocidos, en la resolución de los ejercicios planteados las mayores

dificultades se presentaron con el cálculo de derivadas de funciones de la forma y = xn, con

n racional negativo. En la semana núm. 18, se trabajaron las clases 12 y 13. En la clase 12,

titulada Fórmulas para derivadas de sumas y productos de funciones, en ella se dedujeron

las fórmulas para derivar sumas y productos de funciones a partir de la necesidad de resolver

ciertos problemas y utilizando la noción de infinitesimal; en la resolución de los ejercicios y

problemas planteados los estudiantes tuvieron dificultades en la simplificación algebraica

después de aplicar la regla de derivación correspondiente y en la resolución de problemas

sobre variación en donde no se daba la fórmula de la función. En los últimos días del curso

fueron dedicados a la clase 13 titulada Fórmulas para derivadas de cocientes de funciones,

esta clase fue motivada por la resolución de un problema que da pie a la búsqueda de una

fórmula general para derivadas de funciones de la forma y = u/v; la utilización de la fórmula

para derivar cocientes de funciones ocasionó mayores problemas a los estudiantes, sobre todo

cuando había necesidad de simplificar expresiones algebraicas racionales.

Obstáculos detectados en la experiencia escolar

En el trabajo general del curso se enfrentaron una diversidad de obstáculos que influyeron en

su desarrollo normal, varios de ellos ya se han mencionado. Fue muy notoria la deficiencia

de conocimientos previos por parte de los estudiantes, ellos mismos confesaron no haber

visto muchos de los contenidos que se suponían vistos en los cursos anteriores, en gran parte

de los participantes (sobre todo los del 4o. “C”) eran evidentes las deficiencias en las

operaciones básicas con números racionales y con los acercamientos numéricos a un punto

determinado por medio de sucesiones numéricas. Las deficiencias en el trabajo algebraico

también fueron abundantes, específicamente con las operaciones básicas con expresiones

algebraicas, en la simplificación de expresiones algebraicas racionales, con la factorización

y con el desarrollo de binomios elevados a exponentes enteros positivos, etc. Con más

agudeza los estudiantes se manifestaron deficiencias en sus conocimientos sobre Geometría

Euclidiana, específicamente sobre las aplicaciones de la semejanza de triángulos, la

utilización del Teorema de Pitágoras, sobre las propiedades de los triángulos, cuadriláteros y

la circunferencia, el trazo de tangentes a curvas etc.. Sus conocimientos sobre trigonometría

eran escasos y confesaron no haber estudiado las funciones trigonométricas básicas y sus

gráficos. En su curso de Geometría Analítica, según sus propias versiones, solamente

alcanzaron a trabajar hasta la ecuación de la recta, las cónicas y sus propiedades al parecer

no fueron vistas en este curso. En el tratamiento del concepto de RCI se presentaron diversas

dificultades como el manejo adecuado de la notación del límite, en las aproximaciones

numéricas para inducir intuitivamente el límite, en la concepción del límite (pues varios lo

consideraban simplemente como una aproximación), la asociación muy frecuente de la RCI

con dos puntos y no con uno solo (tal vez causada por el enfoque con que se dirigió la

experiencia), la confusión del valor de la derivada en un punto con el valor de la función en

ése mismo punto. En cuanto a las aplicaciones ningún estudiante se mostró capaz de deducir

las fórmulas de funciones que describen la relación entre las variables a partir de situaciones

de la práctica, la mayoría de los estudiantes se mostró incapaz de aplicar el concepto de

derivada en la obtención de ecuaciones de tangentes. A todo esto habrá que agregar escasa

puntualidad de los estudiantes, las frecuentes suspensiones de clases sobre todo en el mes de

mayo, la excesiva carga de trabajo en las demás asignaturas de la especialidad de los

estudiantes, deficiente trabajo de conjunto y cumplimiento de tareas, etc.

SEGUIMIENTO DE LA EXPERIENCIA ESCOLAR

PRIMERA EVALUACIÓN

La primera evaluación consistió esencialmente de un examen en él se plantean 5 situaciones

(ver examen 1 anexo A). Para el análisis de sus respuestas, las dos primeras fueron incluidas

en un primer grupo, ambas exploran el manejo de la notación para intervalos de variación y

funciones, estas dos situaciones. Las tres restantes se refieren al tema función, de éste se

explora el concepto desarrollado por los estudiantes, las habilidades en la graficación y la

aplicación a un problema de la práctica. Para el análisis, estas tres últimas situaciones fueron

agrupadas en un segundo grupo.

En cuanto a las preguntas del primer grupo, en la situación 1, sobre la traducción al lenguaje

ordinario y la representación geométrica de los tres intervalos, se plantean tres preguntas en

tres incisos respectivamente. A la pregunta del inciso a, sobre la traducción del primer

intervalo planteado, dan respuestas correctas 30 estudiantes y 2 se equivocan (véase cuadro

1 anexo A), prácticamente la totalidad de los estudiantes parecen no tener problemas con la

traducción al lenguaje ordinario del intervalo planteado, sin embargo en su representación

geométrica en la recta real aparecen las complicaciones, sólo 12 estudiantes hacen

representaciones correctas, 5 se equivocan y 15 no contestaron, véase cuadro 2 anexo A. En

el inciso b hacen una traducción correcta 29 estudiantes, 1 se equivoca y 2 no contestaron

esta pregunta, véase el cuadro 3 del mismo anexo; en cuanto a la representación geométrica

de este intervalo, 6 estudiantes lo hacen correctamente, 10 se equivocan y 15 nada hicieron

al respecto, ver el cuadro número 4. Cuando a los estudiantes se les pidió que tradujeran al

lenguaje ordinario los dos intervalos escritos en lenguaje matemático, prácticamente la

totalidad de ellos parece no tener dificultades en esta tarea, en cambio cuando se les pidió

representarlos en la recta real, en el primer caso el 37.5% lo hace correctamente y en el

segundo sólo el 18.7%. A juzgar por lo que dibujan los estudiantes que se equivocan, parece

ser que tienen confusiones con la idea del continuo, pues en el primer caso a pesar de tratarse

de intervalos que incluyen a todos los números reales mayores o iguales que 0 y menores que

100, los dibujos parecen indicar que incluyen sólo a los números enteros, algo parecido

sucede en el segundo caso, pues a pesar de que se trata de una variable discreta 3 estudiantes

la dibujan como si fuera variable continua. El manejo adecuado de los símbolos de las

desigualdades es aún deficiente en muchos estudiantes.

En la situación 2 se pide traducir al lenguaje de las desigualdades algunos intervalos dados

geométricamente. En cuanto al inciso a, 24 estudiantes realizan correctamente esta actividad,

7 se equivocan y 1 no la contestó, ver cuadro 5 anexo A. Nuevamente en los que se equivocan

se notan confusiones en el manejo de los símbolos de las desigualdades, no obstante las tres

cuartas partes del grupo parecen no tener problema en la escritura del intervalo solicitado.

Respecto al inciso b, 22 estudiantes hacen correctamente la traducción solicitada, 7 se

equivocan y 3 no la contestaron, ver cuadro 6 anexo A; en este caso la cantidad de estudiantes

que dan respuestas correctas disminuye ligeramente respecto del inciso a, esta disminución

probablemente se debe a que este intervalo representa una variación discontinua, en los que

se equivocan se notan otra vez confusiones en el uso del sentido de las desigualdades. Al

hacer una revisión global de las respuestas a estas dos situaciones (referidas a la notación de

intervalos de variación), se observa que 4 estudiantes contestan correctamente a las seis

preguntas, 7 lo hacen en cinco, 10 en 4, 4 en 3 y el resto en 2 o menos (véase cuadro 13). De

acuerdo con estos datos, parece ser que 11 estudiantes (las dos frecuencias más altas) manejan

en condiciones óptimas la notación y la interpretación geométrica de los intervalos de

variación. 14 estudiantes se ubican en un desarrollo aceptable, es notorio que la mayor parte

de ellos contestaron correctamente a las preguntas relacionadas con la escritura (con notación

matemática) de intervalos, pero se equivocaron frecuentemente en su representación

geométrica. El resto de estudiantes tiene muchas deficiencias.

SOBRE LA NOTACION DE INTERVALOS DE VARIACION

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En las 6 4 12.5% En 5 7 21.8% Cuadro 13

CORRECTAS En 4 10 31.2% En 3 4 12.5%

En 2 o menos 7 21.8%

En la situación 3, se plantean dos incisos que también exploran el manejo de la notación

variacional, aunque ambos se refieren a las funciones. Cuando a los estudiantes se les pidió

que identificaran la variable dependiente y la variable independiente, pregunta del inciso a,

20 dieron respuestas satisfactorias, 6 se equivocaron y 6 no contestaron, ver cuadro 7 anexo

A. En cuanto al inciso b de esta situación, contestan correctamente 21 estudiantes, 3 se

equivocan y 8 no contestaron, ver cuadro 8 mismo anexo. Las respuestas a estas dos

preguntas indican, que la mayoría de los estudiantes parecen no tener problemas con la

notación matemática con que se representan a la variable independiente y a la dependiente

en la fórmula de la función dada.

Al hacer una revisión global de los 8 incisos que corresponden al grupo Notación

Variacional, se observa (cuadro 14) que 4 estudiantes contestan correctamente en las 8

preguntas, 3 en 7, 9 en 6, 5 en 7 y el resto contestan correctamente en 4 o menos.

Considerando a las dos más altas frecuencias como indicador del desarrollo óptimo, y así en

orden descendente las demás, entonces en los datos de esta tabla se percibe cierta tendencia

hacia el desarrollo óptimo en el manejo correcto de la notación variacional en 7 estudiantes,

este desarrollo parece ser aceptable en 16 estudiantes, en el resto las evidencia señalan

marcadas deficiencias.

SOBRE EL GRUPO DE PREGUNTAS DE NOTACION VARIACIONAL

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En las 8 preg. 4 12.5%

En 7 3 9.3% Cuadro 14

CORRECTAS En 6 9 28.1% En 5 7 21.8%

En 4 o menos 9 28.1%

En lo que respecta a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, las referidas al tema

función, de la situación 3 quedaron incluidas tres preguntas. Al plantearle a los estudiantes

que elaboraran la tabla de valores para la función d(t) = 29t -4.9t 2 , pregunta del inciso c,

resulta que 22 la elaboraron correctamente, 5 se equivocaron y 6 no la contestaron, véase el

cuadro 9 anexo A. Respecto al inciso d, en donde se les pide que dibujen la gráfica, 21

estudiantes hicieron un dibujo aceptable, 4 se equivocaron y 7 no la dibujaron, ver cuadro 10

anexo A, llama la atención que varios estudiantes en el dibujo sólo representaron los puntos

adecuadamente pero no los unen, otros suelen unir los puntos con segmentos de recta, aunque

la mayoría hace un esbozo satisfactorio del gráfico. Al preguntarles cuál por el dominio e

imagen de la función, pregunta del inciso e, 14 dieron respuestas correctas, 5 las dieron

incorrectas y 13 no contestaron, ver cuadro 11 anexo A. Al revisar globalmente la respuestas

a esto tres incisos se observa que 12 estudiantes realizaron las tres actividades correctamente,

7 realizaron correctamente solamente dos, 7 sólo realizan correctamente una de las

actividades encomendadas y el resto no realizó correctamente ninguna o simplemente no

contestaron, ver el cuadro siguiente:

SOBRE LA EVALUACION, GRAFICACION, DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En los 3 incisos 12 37.5%

En 2 7 21.8% Cuadro 15

CORRECTAS En uno, ninguno o

no contestaron

13 40.6%

Estos datos parecen indicar que al menos 12 estudiantes son capaces de hacer la tabulación,

esbozar la gráfica y determinaren condiciones óptimas el dominio e imagen de la función, en

7 estudiantes estas habilidades parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable, en el resto

sus deficiencias son muy marcadas. De acuerdo con las frecuencias de respuestas correctas,

los estudiantes tienen mayores dificultades en determinar el dominio e imagen de la función

y son mayoritariamente proclives a poder realizar los cálculos aritméticos que implica la

elaboración de la tabla de valores, el poder dibujar aceptablemente la gráfica quedó en un

lugar intermedio.

La situación 4 se refiere al concepto de función y de ella se desprenden dos preguntas, al

inciso a contestaron correctamente 15 estudiantes, 4 dieron respuestas incorrectas y 13 no

contestaron. Quienes contestaron correctamente argumentaron más o menos los siguiente: no

es una función porque a cada elemento del dominio le corresponden dos valores de la

imagen. Los que dieron respuestas incorrectas argumentaron lo siguiente: si es función

porque el conjunto de partida corresponde al de llegada, no es función porque forma dos

paralelas al eje y, si es una función porque los números al estar entre paréntesis se están

sumando y a la misma vez se multiplican con otro porque se encuentran encerrados en

paréntesis, si es una función porque consta de dos elementos. De acuerdo con estos datos un

poco menos de la mitad del grupo tiene una idea aceptable de lo que es una función, aunque

un poco más de la mitad no contestó nada o parecen estar confundidos. En cuanto a la

pregunta del inciso b, 17 estudiantes la contestaron correctamente, 3 dieron respuestas

incorrectas y 12 no la contestaron, los que dan respuestas correctas escribieron algo parecido

a lo siguiente: si es una función porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y

sólo uno de la imagen, en cambio los que dieron respuestas incorrectas esgrimieron

argumentos como: No, porque el conjunto de llegada le corresponde el conjunto de partida;

sí es una función porque nos da el valor de G y nos indica igual que en a que se aplican

sumas y multiplicaciones; si es una función porque en un punto se unen dos coordenadas.

Algunos de los estudiantes que dieron respuestas correctas en ambos incisos también

esgrimieron argumentos geométricos parecidos a los siguientes: si una paralela al eje y sólo

corta a su gráfico en un sólo punto entonces sí es función, si la corta en varios entonces no

lo es. Al hacer una revisión global a las respuestas de los dos incisos, se observa que 15

estudiantes contestaron correctamente en los dos, 2 en uno solo y el resto en ninguno o no

contestaron ambas preguntas, véase el cuadro 16.

SOBRE EL CONCEPTO DE FUNCION

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En los 2 incisos 15 46.8%

CORRECTAS En 1 inciso 2 6.2% Cuadro 16 En ninguna o bien no

contestaron.

15

46.8%

Estos datos indican que un poco menos de la mitad de los estudiantes parecen haber

desarrollado una concepción óptima sobre la noción de función como colección de parejas

ordenadas, en 2 estudiantes parece haber confusiones, en el resto las deficiencias notables.

En la situación 5 se pide obtener la fórmula de la función que expresa el área lateral de un

tetraedro en función de la longitud de sus aristas, para encontrar esta fórmula se sugirió el

Programa Heurístico General. La mitad de los estudiantes sólo identifican lo dado y lo

buscado, sin embargo ninguno obtiene la fórmula a pesar de haber resuelto problemas

similares en clase.

Al hacer una revisión de conjunto a las respuestas dadas a este grupo de preguntas, de 9

preguntas planteadas el máximo de respuestas correctas fue de 7, sólo 7 estudiantes logran

este máximo, 2 estudiantes lo logran en 6, 4 contestan correctamente en 5, 2 lo hacen en 4,

el resto lo hacen en 3 o menos o simplemente no contestaron, ver cuadro 17. Esto nos

permite concluir que,

SOBRE EL TEMA DE FUNCION

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En 7 incisos 7 21.8% Cuadro 17

En 6 incisos 2 6.2%

CORRECTAS En 5 incisos 4 12.5%

En 4 incisos 2 6.2%

En 3 o menos 17 18.7%

en al menos 9 estudiantes (los de más alta frecuencia) se perfila cierta tendencia hacia un

desarrollo óptimo sobre el concepto de función, esta misma tendencia es extendible hacia la

elaboración de la tabla de valores, la graficación de la función dada y la determinación de su

dominio e imagen. En los 6 estudiantes, los que contestaron correctamente entre 5 o en 4

preguntas, las evaluaciones de sus respuestas son heterogéneas, sin embargo

mayoritariamente pudieron elaborar la tabla y la gráfica de la función dada y sus nociones

sobre el concepto de función no parecen ser tan consistentes como los del grupo anterior, en

los 17 estudiantes restantes las deficiencias son numerosas. De este grupo de preguntas todos

los estudiantes fueron incapaces de resolver el problema planteado en la situación 5.

Síntesis sobre los resultados de la primera evaluación

Visto de manera conjunta, este examen consta de 17 preguntas en total, 8 correspondientes a

la Notación Variacional y 9 correspondientes al tema Función. El máximo de respuestas

correctas fue de 15 y sólo lo alcanzaron 3 estudiantes, 2 lograron respuestas correctas en 14

preguntas, 3 en 13 preguntas, 1 en 12 preguntas, 4 en 11 preguntas, 3 en 10, 1 en 9, el resto

en 8 o menos (ver Cuadro de Concentración núm. 1 anexo A). Para detectar tendencias he

agrupado a las frecuencias de cuatro en cuatro, de mayor a menor, bajo estas condiciones

parece perfilarse una tendencia hacia un desarrollo óptimo de las habilidades relativas a la

notación variacional y al trabajo con funciones en 9 estudiantes (los que sus respuestas

correctas fluctúan entre 15 y 12), pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de

interpretar, traducir y representar intervalos de variación, tienen ideas correctas sobre el

concepto de función, pueden elaborar una tabla de valores, graficar y determinar dominio e

imagen de la función. Otros 10 estudiantes, los que sus respuestas correctas fluctúan entre 11

y 8 (ver el cuadro siguiente), aunque se nota gran heterogeneidad, las habilidades antes

mencionadas parecen haberse desarrollado aceptablemente, en los 13 estudiantes restantes

las deficiencias son numerosas. Las deficiencias más notorias fueron observadas en la

obtención de la fórmula de la función para expresar el área total de un tetraedro, pues ninguno

de los estudiantes fue capaz de obtenerla.

SOBRE NOTACION VARIACIONAL Y FUNCION (1er. EXAMEN)

DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.

OPTIMO 15 rc 12 9 28.5%

ACEPTABLE 11 rc 8 10 31.2%

DEFICIENTE rc 8 13 40.6%

Cuadro 18

SEGUNDA EVALUACIÓN

Para la segunda evaluación también se aplicó un examen, en él se plantean 3 situaciones con

sus gráficos respectivos (ver examen 2 anexo A) y de cada situación se hacen 4 preguntas.

Las dos primeras situaciones exploran el desarrollo de habilidades para evaluar funciones,

calcular el incremento de la variable dependiente si t cambia de t a t+t, para calcular la

RCP y la RCI, de la tercera se desprenden cuatro preguntas acerca de la interpretación de la

RCI. Para detectar tendencias sobre el desarrollo de estas habilidades y concepciones, las

preguntas y sus respuestas fueron conjuntadas en tres grupos, en el primero se incluyen las

relativas a la evaluación de funciones, en el segundo las que se refieren a la RCP y las del

tercero se refieren a la RCI.

Al primer grupo corresponden las preguntas 1A y 2A, en ellas se pide obtener el valor de la

función a partir de su gráfico. La pregunta 1A se refiere al gráfico que representa a la función

en V(t) = 10t + 5 (donde V es la velocidad de una piedra en términos del tiempo t) y la 2A

se refiere al gráfico de la función d(t) = t2 (donde d es la distancia que recorre un cuerpo en

el tiempo t en caída libre en la superficie lunar). A la pregunta 1A, 22 contestaron que la

velocidad de la piedra en t = 2 es de 25 m/s y 10 dieron otras respuestas, ver el cuadro 12

anexo A. En 5 de las respuestas incorrectas los estudiantes dicen que la velocidad de la piedra

en t = 2 es de 10 m/s, posiblemente confunden la razón de cambio instantánea en t = 5 con

el valor de la función en ése punto. Es notorio que todos los estudiantes que dieron respuestas

incorrectas parecen no usar la fórmula de la función, al menos en su cuestionario no

escribieron estos intentos, en cambio sí se observan las marcas en el dibujo para graduar y

dar una respuesta. De los que contestaron correctamente sólo 9 exhiben en su examen la

evaluación de la función en t = 2, el resto no la exhibieron. A la pregunta 2A, 22 estudiantes

dieron como respuesta 9 m, 1 no contestó, los restantes dieron otras respuestas, ver el cuadro

13 anexo A; de los 22 que contestaron correctamente 15 calculan d(3), en el resto no

encontramos en su examen esos cálculos. Es notorio que 2 estudiantes de los que dieron

respuestas incorrectas contestan que 8 m o 7.5 m es la distancia recorrida, esto parece

indicar que sólo se atienen al dibujo de la gráfica. Al conjuntar las respuestas de estas dos

preguntas, 19 estudiantes dan respuestas correctas a las dos, 4 en alguna de ellas y 9 se

equivocan en las dos, ver cuadro siguiente.

SOBRE LA EVALUACION DE FUNCIONES

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1A y 2A 19 59.3%

En 1A 4 12.5%

INCORRECTAS En 2A 3 9.3%

En 1A y 2A 6 18.7%

Cuadro 19

En el segundo grupo se incluyen las preguntas 1B, 2B, 1C y 2C. En las dos primeras se pide

el V y el d si el tiempo cambia de t a t+t, para valores dados de t y t, las dos últimas

se refieren al cálculo de la velocidad y aceleración promedio. A la pregunta 1B dan

respuestas correctas 23 estudiantes, 8 dan respuestas incorrectas y 1 no la contestó, ver cuadro

14 anexo A, en 14 de los 23 que contestaron correctamente encontramos ciertas marcas en

el gráfico que se supone fueron el auxilio geométrico para dar la respuesta a la pregunta;

llama la atención que 6 estudiantes contestan que la velocidad no cambia o que es de 0 m/s,

es posible que estén confundiendo la velocidad con la aceleración del cuerpo. A la pregunta

2B contestaron correctamente 18 estudiantes, 13 dieron otras respuestas y 1 no la contestó,

ver cuadro 15 anexo A, 10 de los 18 que contestaron correctamente anotaron los cálculos

numéricos que confirman haber obtenido el resultado correcto, el resto no los anotaron; la

mayoría de los estudiantes que dieron respuestas incorrectas se equivocaron en la obtención

del d(3) o d(4); es notorio que 3 de los que contestaron incorrectamente dicen que la respuesta

es 7.5 o 6, esto probablemente se debe a que la gráfica parece ser que sube aproximadamente

de entre 7.5 o 6 unidades de 3 a 4, estos estudiantes parecen confiar más en su capacidad

visual y no se dan cuenta o no prefieren usar la expresión analítica de la función. Al conjuntar

las respuestas a las preguntas 1B y 2B encontramos que 17 estudiantes dieron respuestas

correctas a las dos, 1 sólo se equivocó en la primera, 6 se equivocaron en la segunda y 7 se

equivocaron en las dos, ver el cuadro siguiente.

SOBRE EL CALCULO DEL V y el d

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1B y 2B 17 53.1%

En 1B 1 3.1% Cuadro 20 INCORRECTAS En 2B 6 18.7%

En 1B y 2B 7 21.8%

En la pregunta 1C y 2C se pide el cálculo de la RCP, a la 1C contestan correctamente 16

estudiantes, 10 dan respuestas equivocadas y 6 no contestaron, ver cuadro 16 anexo A, de los

16 que contestaron correctamente 9 escribieron en su cuestionario los cálculos en donde

utilizaron la fórmula de la RCP, 3 estudiantes de los que dieron respuestas incorrectas

cometieron errores en la evaluación de la función V(t), el resto no escribió sus cálculos en el

cuestionario. A la pregunta 2C contestan correctamente 13 estudiantes, 15 dan respuestas

equivocadas y 4 no contestaron, ver cuadro 17 mismo anexo; de los 13 que contestaron

correctamente 7 anotaron en su examen los cálculos realizados, el resto no lo hizo, 5 de los

que contestaron incorrectamente se equivocaron en la evaluación de la función para el cálculo

del d. Al conjuntar las respuestas dadas a las preguntas 1C y 2C, puesto que se refieren al

cálculo de la RCP, encontramos que 12 aciertan en las dos, 1 sólo se equivoca en la primera,

3 solamente se equivocan en la segunda y 9 no dieron respuestas correctas a las dos, el resto

no contestaron alguna o las dos, ver el cuadro siguiente.

SOBRE EL CALCULO DEL f Y DE LA RCP

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1C y 2C 12 37.5%

En 1C 1 3.1% Cuadro 21

INCORRECTAS En 2C 3 9.3%

En 1C y 2C 9 28.1%

Una revisión de conjunto a las cuatro preguntas de este segundo grupo arrojó los resultados

siguientes, ver cuadro 22. Esta revisión indica que en al menos en 10 estudiantes (casi la

tercera parte del grupo) existe una tendencia notable hacia el desarrollo óptimo de la habilidad

de cuantificar el cambio, tanto para la variable dependiente como en las RCP. En otros 3

estudiantes esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, el resto tienen serias

deficiencias.

SOBRE EL CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES PROMEDIO

PREGUNTAS ESTUD. PORC.

CORRECTAS En 1B, 2B, 1C y 2C 10 31.2%

En 1B, 2B y 1C 3 9.3%

En 1B, 2B, 1C y 2C 3 9.3%

INCORRECTAS En 1B, 1C y 2C 1 3.1%

En 2B, 1C y 2C 3 9.3%

En dos o menos o bien no contestó. 10 31. 2%

Cuadro 22

El tercer grupo incluye 6 preguntas relacionadas con la RCI, estas su vez las he agrupado

en dos subgrupos. En el primer subgrupo se incluyeron las preguntas 1D y 2D en donde se

pide que los estudiantes las calculen la RCI por la vía numérica para casos particulares

referidos a la aceleración y velocidad instantáneas, al segundo subgrupo pertenecen la

pregunta 3A, 3B, 3C y 3D que se refieren a las interpretaciones que los estudiantes

desarrollaron sobre las RCI. En cuanto al primer subgrupo en la pregunta 1D se pide el

cálculo de la aceleración instantánea, ésta es obtenida correctamente por 15 estudiantes, 12

se equivocan y 5 no contestaron, ver cuadro 18 anexo A. De los 15 estudiantes que

contestaron correctamente sólo 6 exhibieron los cálculos en donde se observan, por lo menos,

dos acercamientos numéricos a t = 3 (incluso 3 de ellos se acercaron a t = 3 por la derecha

y por la izquierda) y calcularon sus razones de cambio promedio para inducir la aceleración

instantánea en ese punto. De los 12 que se equivocaron 6 mostraron en su examen intentos

por calcular razones de cambio promedio por aproximaciones numéricas, pero generalmente

se equivocaron en la evaluación de la función al calcular el V; llama la atención que 8

estudiantes contestan que la aceleración en t = 2 es 25 m/s, estas respuestas parecen mostrar

que en al menos 8 estudiantes existe confusión entre el valor de la función en t = 2 y la

aceleración instantánea en ese mismo punto. El cálculo de la velocidad instantánea planteado

en la pregunta 2D lo realizan correctamente 8 estudiantes, 20 se equivocan y 4 no

contestaron, ver cuadro 19 anexo A; de los 8 que contestaron correctamente 6 hicieron los

cálculos de las RCP mediante los cuales se observa que efectivamente a medida que el t

se hace cada vez más pequeño el cociente d/t se acerca a 6; inclusive la serie de preguntas

2B y 2C están hechas de tal manera que la respuesta a la pregunta 2D se infiere de las

respuestas de las dos anteriores, no obstante parece ser que muy pocos estudiantes

(probablemente los 2 restantes) se dieron cuenta de esto. La presunción de que existe

confusión entre el valor de la función en un punto y su RCI en ese mismo punto parece

confirmarse con las respuestas que dieron los mismos 8 estudiantes, pues aquí incurren en el

mismo error. Al revisar conjuntamente las respuestas de este primer subgrupo se observa

(véase el cuadro 23) que 8 estudiantes obtuvieron el resultado correcto en las dos, 7 en la

1D, 5 sólo se equivocan en la 2D y 12 fallaron en las dos.

CALCULO NUMERICO DE VELOCIDAD Y ACELERACION INSTANTANEA

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS En 1D y 2D 8 25%

Sólo en 1D 7 21.8%

Sólo en 1D 0 0% Cuadro 23

INCORRECTAS Sólo en 2D 5 15.6%

En 1D y 2D 12 37.5%

Pudiera decirse que en 8 estudiantes, a estas alturas del curso, se ha desarrollado óptimamente

la habilidad en el cálculo de la RCI por la vía numérica, en 7 estas habilidades alcanzan un

nivel aceptable, en el resto las deficiencias son numerosas.

En cuanto a las preguntas del segundo subgrupo, cuando a los estudiantes se les preguntó en

qué punto o puntos del gráfico la fórmula mide la RCI, pregunta 3.A, nadie contesta

correctamente, 16 contestan que en P y Q, 4 dicen que en Q, 9 escriben otras respuestas y 3

no contestaron, véase cuadro 20 anexo A. Es evidente que todos los estudiantes no interpretan

correctamente el dibujo que se les presentó (dibujo ampliamente utilizado en clase) pues la

mitad de los estudiantes participantes se inclinan por la opción de que la RCI es medida en P

y Q, tal parece que mayoritariamente siguen pensando en la RCP que sí requiere de dos

puntos. Las respuestas parecen indicar que la RCP es confundida con la RCI, existe confusión

entre el medio para calcular la RCI y el fin, aunque en el fondo estas dificultades están

asociadas a la noción de límite de cantidades infinitamente pequeñas. Sobre el significado de

la expresión t0, pregunta 3B, 19 estudiantes respondieron que t es infinitamente

pequeño, 6 se inclinaron por la opción t 0, uno por la opción t = 0, 2 por ninguno de los

anteriores y 4 no contestaron, véase el cuadro 4 anexo A. Más de la mitad del grupo considera

que el significado de la expresión t0 está asociada a la idea del infinitamente pequeño,

tal parece que hay mayor asequibilidad de las nociones infinitesimalistas que de la noción de

límite del cociente d/t cuando el t0 de la pregunta anterior. A la pregunta 3C, en

donde se pide la interpretación de la expresión:

tlim

d

t

05

las interpretaciones dadas son diversas, ver cuadro 22 mismo anexo, en 4 de las

interpretaciones dadas, los estudiantes parecen considerar a la expresión como la RCI, en 3

se interpreta como que 5 es el límite, inclusive en una de éstas el límite se maneja como

único, en 3 de las interpretaciones parece considerarse como si fuera sólo el cociente d/t

en donde d y t fueran cantidades grandes y además fijas. Esto sugiere que la idea de

variación hacia cantidades infinitamente pequeñas aún no es perceptible en estos estudiantes.

En una de las interpretaciones sólo se atiende a que el t tienda a cero pero se desatiende lo

que sucede con d/t cuando aquélla cantidad tiende a cero, es notorio que 14 estudiantes

no contestaron la pregunta y en 8 se manifiestan ideas confusas. En resumen, se puede decir

que al menos 7 estudiantes manifiestan interpretaciones aceptables sobre la expresión dada,

como RCI o bien como un límite especial. Por otro lado, en la pregunta 3D que se refiere al

significado de la RCI, las respuestas dadas fueron clasificadas en cinco grupos de acuerdo a

la idea que se advierte es la central en sus explicaciones (ver listado en anexo A). En el 1er.

grupo se considera a la RCI como la velocidad de un cuerpo en un punto, en estas respuestas

se percibe cierta noción de la derivada como propiedad puntual de las funciones asociada a

la idea de velocidad. En el 2o. grupo se expresan ideas que destacan qué tanto cambia una

variable respecto a otra en un punto, o como razón de cambio en intervalos muy pequeños.

En el 3er. grupo se concibe como la razón de cambio que se aproxima al límite, en otras tres

se expresa la idea del límite del cociente entre dos cantidades muy pequeñas. En el 4o. grupo

se concibe a la RCI como un cambio rápido. En el 5o. grupo agrupamos las explicaciones

confusas. Los que sus explicaciones se ubicaron el 1o., 2o. y 3er. grupos (15 en total)

desarrollaron ideas muy próximas al significado de la RCI, bien como velocidad instantánea,

como una idea cercana al límite o como razón de cambio de cantidades muy pequeñas. Al

revisar de conjunto las respuestas del segundo subgrupo, se observa que nadie contestó las

4 preguntas correctamente, 3 lo hicieron en las tres últimas y 7 en la segunda y la última,

véase el cuadro siguiente:

SOBRE LAS INTERPRETACIONES ACERCA DE LA RCI

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

En 3A, 3B, 3C y 3D 0 0%

CORRECTAS En 3B, 3C y 3D 3 9.3% Cuadro 24

En 3B y 3D 7 21.8%

En 3A, 3B, 3C y 3D 2 6.2%

INCORRECTAS En 3A y 3C 7 21.8%

Al hacer una revisión global de las respuestas de este tercer grupo se nota que ningún

estudiante es capaz de localizar en un gráfico el punto donde se mide la RCI, quizá la noción

de RCP (que requiere de dos puntos) está muy arraigada en la mitad de los estudiantes y

parece obstaculizar el desarrollo de la idea de RCI al menos en su representación geométrica.

Es también notable que, muy pocos estudiantes (7 en total), se aproximan a una interpretación

óptima sobre la expresión matemática de la RCI, en cambio cuando se les pide una

explicación más libre sobre este concepto o cuando se les pregunta sobre el significado del

x0, la mitad en el primer caso y más de la mitad en el segundo, se perciben

aproximaciones a concepciones aceptables. Al revisar de conjunto las respuestas del primero

y segundo subgrupos de preguntas, se observa que ningún estudiante dio respuestas correctas

a las 6 preguntas, 3 dan respuestas correctas a 5 preguntas, 4 en 4 preguntas, 3 en 3 preguntas

y el resto en dos una o ninguna, ver el cuadro:

SOBRE EL CALCULO NUMERICO E INTERPRETACIONES DE LA RCI

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORC.

En las 6 preguntas 0

CORRECTAS En 5 preguntas 3 7 21.8%

En 4 preguntas 4 Cuadro 25

En 3 preguntas 3 3 9.3%

En 2 o menos o no contestaron 22 68.7%

Estos datos indican que en 7 estudiantes se perfila una tendencia hacia el desarrollo óptimo

de las ideas relativas al concepto de RCI así como de la habilidad de su cálculo numérico, en

tres esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, en el resto hay muchas

deficiencias.

Síntesis sobre los resultados de la segundo evaluación

Este examen consta de 12 preguntas en total, 2 corresponden a la evaluación de funciones, 4

tienen relación directa con la RCP y 6 están relacionadas con la RCI. El máximo de respuestas

correctas fue de 11 y sólo lo alcanzaron 2 estudiantes, 2 lograron respuestas correctas en 10

preguntas, 5 en 9 preguntas, 1 en 8 preguntas, 3 en 7 preguntas, 4 en 6, y el resto en 5 o menos

(ver Cuadro de Concentración Núm. 2, Anexo A). Para detectar tendencias he agrupado a las

frecuencias tomando la media como punto de diferenciación fundamental, de la media hacia

arriba se ubican dos categorías (las de desarrollo óptimo y aceptable) y de la media hacia

abajo la categoría de desarrollo deficiente. Bajo estas condiciones se perfila una tendencia

hacia el desarrollo óptimo de concepciones y habilidades relativas a la evaluación de

funciones, a la RCP y al RCI en al menos 9 estudiantes (cuyas respuestas correctas fluctúan

entre 11 y 9) pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de: evaluar funciones,

calcular la variación de la variable dependiente si la variable independiente cambia de t a

t+t, calcular la RCP y la RCI mediante aproximaciones numéricas, y aunque la mayoría

desarrollaron concepciones óptimas sobre la RCI sus interpretaciones sobre la notación con

que se le representa no parecen ser aún consistentes. Otros 8 estudiantes (los que sus

respuestas correctas fluctúan entre 8 y 6) las concepciones y habilidades antes mencionadas

parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable aunque es notorio que la mayoría de ellos

no pudieron calcular la RCI por aproximaciones numéricas, los 15 estudiantes restantes

manifestaron numerosas deficiencias, estos datos se concentran en el cuadro 26. Las

deficiencias más notorias se observaron en la identificación en una gráfica, del punto donde

se mide la RCI, pues ninguno de los estudiantes participantes dio respuesta correcta a esta

pregunta. Alrededor del 70% de los estudiantes pueden evaluar en las funciones dadas y

calcular el f(t+t) - f(t) (siendo f la velocidad V o la distancia d), en cambio cuando se llega

al cálculo de la RCP o al cálculo numérico de la RCI (inclusive en las interpretaciones y

concepciones sobre éste concepto), las respuestas correctas sólo llegan al 50% o bien están

por debajo de este porcentaje.

SOBRE EVALUACION DE FUNCIONES, LA RCP Y LA RCI (2o. EXAMEN)

DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.

OPTIMO 11 rc 9 9 28.1%

ACEPTABLE 8 rc 6 8 25% Cuadro 26

DEFICIENTE rc 5 15 46.8%

TERCERA EVALUACIÓN

Como parte esencial de la tercera evaluación se aplicó el tercer examen parcial, se plantean

en él 4 situaciones referidas todas ellas a la RCI (ver examen 3, anexo A). En la primera se

pide calcularla a partir de su definición como un límite especial (vía algebraica), en la

segunda se pide comparar este resultado con el obtenido por medio de las aproximaciones

numéricas, las dos restantes tienen la intención de explorar si los estudiantes son conscientes

de los procedimientos que realizaron en las dos situaciones anteriores. Para el análisis las

respuestas fueron conjuntadas en dos grupos, en el primero se exploran procedimientos e

incluye a las dos primeras, en el segundo se incluyen las dos últimas que se exploran algunas

concepciones sobre aquéllos procedimientos.

En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, al plantearle a los estudiantes

que calcularan la velocidad de un cohete en t = 4 seg. por la vía algebraica, la situación 1,

resulta que 19 la calculan correctamente, 5 se equivocan y 8 no la contestaron, véase cuadro

23 anexo A. Todos los estudiantes que arribaron al resultado correcto escribieron en su

examen los procedimientos algebraicos que implican el cálculo de:

limd

tlim

d t d

tt t

0 0

4 4( ) ( )...

aunque en 6 de ellos notamos errores leves de escritura que no influyeron en el resultado,

frecuentemente separaban el operador limt 0

del cociente d /t tal vez considerándolos

como

dos entidades separadas. En los que dieron respuestas incorrectas notamos equivocaciones

en la evaluación de la función, en el desarrollo del binomio elevado al cuadrado, en las

factorizaciones, en la utilización de los paréntesis o en la aplicación de las leyes de los signos,

etc.

En la situación 2, se les pidió obtener por la vía numérica el resultado encontrado en la

situación 1, para ello se le sugiere un acercamiento por la derecha, otro por la izquierda para

finalmente elaborar una conclusión. El acercamiento por la derecha, pregunta 2A, lo realizan

correctamente 19 estudiantes, 7 se equivocan y 6 no lo contestan, véase el cuadro 24 anexo

A. Quienes resuelven correctamente este planteamiento exhibieron sucesiones que se

aproximaban a 4 parecidas a 4.1, 4.01, 4.001, ..., de modo que obtuvieron cocientes d/t

del estilo 30.4, 31.84, 31.984, ... El acercamiento por la izquierda, pregunta 2B, lo realizan

correctamente 18 estudiantes, 4 se equivocan y 10 no contestaron, ver cuadro 25 mismo

anexo. Los estudiantes que contestaron correctamente este planteamiento exhibieron

sucesiones que se acercaban a 4 parecidas a 3.9, 3.99, 3.999, ..., de modo que la sucesión de

cocientes d/t que obtuvieron eran de la forma 33.6, 32.16, 32.02, ..., . Los errores más

frecuentes que cometieron aquéllos estudiantes que dieron respuestas equivocadas se

manifestaron en la evaluación de la función d(t), en el cálculo del d y en la consideración

de que t en estos casos tiene signo negativo, pues el acercamiento es por la izquierda. La

conclusión solicitada en la pregunta 2C, es dada correctamente por 16 estudiantes, 4 se

equivocan y 12 no la contestaron, ver el cuadro 26 mismo anexo. Es notorio que 3 estudiantes

casi logran el resultado correcto, sin embargo no parecen tener posibilidades de inducir

correctamente el límite de la sucesión de cocientes que calcularon.

Al hacer una revisión global a las respuestas dadas a las preguntas 2A, 2B y 2C, se observa

que 16 estudiantes resuelven correctamente las tres, 2 resuelven correctamente las dos

primeras pero se equivocan en la conclusión, 5 se equivocan en dos y 6 dejaron en blanco las

tres, el resto se equivocaron el alguna o dejaron en blanco dos. Esto indica que al menos la

mitad de los estudiantes pueden calcular la RCI por medio de aproximaciones numéricas,

tres estudiantes, si bien pueden calcular correctamente los cocientes numéricos tanto por la

derecha como por la izquierda, al parecer no son capaces de inducir el límite de esta sucesión

de cocientes. Ahora bien, por medio de una revisión de conjunto a las respuestas dadas a las

preguntas del primer grupo se observa en el Cuadro de Concentración 3 del anexo A que, 15

estudiantes dieron respuestas correctas a las cuatro preguntas, 3 en tres, el resto en 2 o menos.

De los 3 que acertaron en tres preguntas 2 de ellos solamente no dieron respuestas correctas

a la 2C y uno de ellos en la pregunta 1, esto da ciertas indicaciones de que al menos los dos

primeros pueden calcular las RCI por la vía algebraica y por la vía numérica sin embargo

tienen problemas para inducir cuál es límite de la sucesión, en el caso del segundo estudiante

sabe hacer el cálculo numérico pero es incapaz de calcular la RCI por la vía el algebraica.

Estos resultados indican una tendencia notable en 15 estudiantes (casi el 50% de los

participantes) hacia un desarrollo óptimo de la habilidad de cálculo de las RCI por la vía

algebraica y por la vía numérica, en tres más esta tendencia disminuye sin embargo los he

considerado dentro de este mismo rango de modo que suman 18 en total (el 56.2%) en esta

categoría, en 3 estudiantes apenas si se manifiesta y en 11 hay serias deficiencias.

En cuanto a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, cuando a los estudiantes se les

preguntó cuál es la idea clave en el cálculo de la RCI, la situación 3, nos encontramos que

24 subrayaron el inciso d, 3 el y inciso c, nadie el inciso b y 5 el inciso a, (ver cuadro 27

anexo A). Estos resultados parecen indicar que en más de las tres cuartas partes de los

estudiantes se desarrolló una noción óptima sobre la RCI como el límite del cociente d/t

cuando t es infinitamente pequeño, aunque hay quienes parecen atender sólo al

acercamiento numérico al t0 y otros parecen estar de acuerdo en que la búsqueda de ese

límite es posible cuando x = 0. Sobre la interpretación de la expresión matemática de la

RCI en t = 2 para d(t) = 5t2, pregunta planteada en la situación 4, un poco menos de las tres

cuartas partes de los estudiantes participantes se inclinan por la idea de que la expresión

matemática dada indica que la RCI en t = 2 es exactamente 20 m/s (ver cuadro 28 mismo

anexo), interpretación que he considerado aceptable; 9 estudiantes se inclinan por la idea que

el límite se aproxima a 20 m/s y 2 por la interpretación de que en la proximidad de 2 la RCI

es aproximadamente 20 m/s. Se percibe en las respuestas de estos 11 últimos estudiantes

cierta noción de aproximación y no como un valor preciso, posiblemente el medio utilizado

para buscar el límite (las aproximaciones numéricas) está pesando más en sus concepciones

que el fin mismo de la búsqueda. La revisión de conjunto a las evaluaciones de las respuestas

a las dos situaciones de este segundo grupo de preguntas arrojó los siguientes resultados: 17

estudiantes dieron respuestas correctas ambas, 8 sólo dieron respuesta correcta a la situación

3 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 4, 4 estudiantes dieron respuesta correcta

sólo a la situación 4 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 3, ver cuadro 27.

CONCEPCIONES SOBRE LOS PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER LA RCI

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

Situación 3 y 4 17 53.1% Cuadro 27

CORRECTAS Sólo la situación 3 8 25%

Sólo la situación 4 4 12.5%

Esta revisión indica que, más del 50 % de los estudiantes se perfila una tendencia hacia el

mejoramiento óptimo de sus concepciones sobre la RCI, pues sus respuestas indican que

saben que la idea fundamental en el cálculo de la RCI es la búsqueda del límite del cociente

d/t cuando t infinitamente pequeño e interpretan satisfactoriamente el significado

semántico de la expresión:

limd

tm s

t

020 /

como que 20 m/s es el valor exacto de la RCI en t = 2 para d(t) = 5t2. El resto son proclives

solamente a identificar correctamente la idea clave que subyace en la búsqueda de la RCI,

un número menor sólo interpreta satisfactoriamente el significado semántico de la expresión

anterior.

Síntesis sobre los resultados de la tercera evaluación

El tercer examen consta de 6 preguntas en total, 3 se desprenden de la situación 2 y las otras

tres se desprenden de las tres preguntas restantes, las 4 primeras exploran procedimientos y

en las dos últimas exploran concepciones sobre aquéllos procedimientos. Al hacer una

revisión global (ver Cuadro de Concentración Núm. 3 anexo A) acerca de las evaluaciones

de las respuestas dadas a este examen se observa que, 9 estudiantes dieron respuestas

correctas a las seis preguntas, 7 dieron respuestas correctas en 5 preguntas, 2 contestaron

correctamente en 4, 1 en 3 y el resto contestaron correctamente 2 preguntas o menos. Con el

propósito de detectar tendencias en las frecuencias de respuestas correctas, éstas fueron

agrupadas de dos en dos de mayor a menor, bajo estas condiciones se nota una tendencia

hacia un desarrollo óptimo de las habilidades de cálculo de la RCI y la comprensión de este

concepto en al menos 16 estudiantes, pues se mostraron capaces de calcularla por medio de

la definición (vía algebraica) y por aproximaciones numéricas (vía numérica) y además

(aunque con cierta heterogeneidad) parecen estar conscientes de los cálculos que realizan. En

tres la tendencia es hacia un desarrollo aceptable, en el resto (un poco más del 40%) las

deficiencias son numerosas, ver el cuadro 28.

PROCEDIMIENTOS Y CONCEPCIONES SOBRE LA RCI (3er. EXAMEN)

DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES

OPTIMO 6 rc 5 16 50% Cuadro 28

ACEPTABLE 4 rc 3 3 9.3%

DEFICIENTE rc 2 13 40.6%

En las respuestas a este a este examen se manifestaron algunas deficiencias en el trabajo

algebraico y numérico en el cálculo de la RCI, algunos estudiantes si bien pueden calcular la

sucesión de cocientes d/t no son capaces de inducir correctamente el límite de esta

sucesión, en cuanto a las interpretaciones de la expresión que representa a la RCI, todavía

varios estudiantes conciben al límite como una aproximación y no como un valor preciso,

no obstante la cantidad de respuestas correctas en cada una de las preguntas de este examen

siempre fue superior al 50% excepto en una (la pregunta 2C) que fue exactamente del 50%.

CUARTA EVALUACIÓN

La cuarta evaluación tuvo como elemento central al cuarto examen que fue aplicado como

examen final del curso y consta de 5 preguntas (ver examen 4 anexo A). Las preguntas 1 y 5

exploran las ideas que los estudiantes desarrollaron sobre el concepto de derivada, las

preguntas 2 y 3 exploran las aplicaciones de la derivada al cálculo de velocidades

instantáneas y de pendientes de tangentes, la pregunta 4 explora el uso de fórmulas para

calcular derivadas. Para el análisis he agrupado a las preguntas en tres grupos, en el primero

se ubicaron las que exploran fundamentalmente concepciones, las preguntas 1 y 5; en el

segundo las que exploran aplicaciones, preguntas 2 y 3; el tercer grupo incluye las que se

desprenden de la preguntas 4 y que exploran procedimientos.

En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, en la pregunta 1 se dan el

dibujo y la fórmula atribuidos a la derivada, de ellos se desprenden tres preguntas, a

continuación se analizan sus respuestas. En el inciso a se pide el punto del gráfico donde la

fórmula mide la RCI, en esta pregunta 11 estudiantes señalan los puntos P y Q, posiblemente

esto indique que estos estudiantes siguen pensando en la RCP y tengan dificultades en

percibir que la derivada mide la razón de cambio en un punto; 11 estudiantes (2 de éstos

también señalaron además los puntos P y Q) señalan que en x, esto ni siquiera da idea de

un punto sino de una magnitud, estas respuestas dan idea de la dificultad que implica la

interpretación de la derivada como una propiedad puntual de las funciones. A esta pregunta

contestaron correctamente solo 7 estudiantes, en el tercer examen las respuestas mostraron

mayores deficiencia. A la pregunta del inciso b, 29 estudiantes contestaron que P está

infinitamente cercano a Q, uno que P Q, dos que P = Q y nadie es de la opinión que P se

aleja de Q; aquí, casi todos los estudiantes no parecen tener dificultad para percatarse de que

cuando x tiende a cero Q está infinitamente cercano a P o simplemente P está próximo a Q.

A la pregunta del inciso c, donde se cuestiona sobre lo que sucede con el cociente f/x

cuando x tiende a cero, prácticamente la mitad parece inclinarse por interpretaciones

aceptables, pues subrayan la opción de que el cociente citado tiene por tope un número, sin

embargo 14 estudiantes se inclinan por la idea de que el cociente f/x es un infinitesimal.

Estas respuestas indican de que casi la mitad de los estudiantes suponen que al dividir dos

cantidades infinitamente pequeñas, el resultado debe ser otra cantidad también infinitamente

pequeña, respuestas de este tipo aún se siguen dando al final del curso a pesar de que en las

clases se insistió sobre su falsedad. Una revisión de conjunto revela que, sólo 4 estudiantes

contestaron correctamente a las tres preguntas de este primer grupo y 14 en lo hicieron en

las dos últimas, véase el siguiente cuadro 29. Esto indica que un poco menos de la mitad de

los estudiantes poseen cierto dominio de la idea de derivada en un punto como el límite del

cociente f/x cuando x tiende a cero, ideas que posiblemente fueron basadas en la

experiencia numérica lograda en el curso, no obstante este dominio no parece corresponderse

con

CONCEPCIONES ASOCIADAS A LA DERIVADA

PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES

CORRECTAS Incisos a, b y c 4 12.5%

Incisos b y c 14 43.7% Cuadro 29

NO CONTESTO 0 0%

la idea de que la derivada da la razón de cambio en un punto y no en una zona próxima a

éste. Estos resultados pueden ser evidencias de que en la gran mayoría de estudiantes aún

prevalece la idea de derivada como una aproximación y no como un valor numérico preciso.

En la pregunta 5 se solicita a los estudiantes que expliquen ampliamente lo que entienden

por derivada de una función. A esta pregunta 26 estudiantes le dieron respuesta y 6 no la

contestaron, para efectos de evaluación las respuestas fueron clasificadas en ideas aceptables,

aproximadas y confusas. En 10 de los que contestaron se perciben ideas aceptables sobre la

derivada, en 6 ideas aproximadas al concepto y en 10 se manifiestan ideas confusas. En las

ideas consideradas aceptables se habla de la derivada como RCI o como propiedad puntual

de las curvas, como cociente entre infinitesimales, como un límite especial, relacionada con

sus aplicaciones al cálculo de pendientes de tangentes velocidades y aceleraciones. De las

respuestas consideradas aproximadas, en 3 se percibe cierta relación entre la derivada y las

razones de cambio promedio aunque en ellas se expresan ideas erróneas sobre el concepto de

función, en prácticamente todas estas respuestas se asocia al concepto de derivada con sus

aplicaciones pues se menciona que sirve para calcular velocidades, aceleraciones, rapidez,

tangentes a curvas, la deficiencia en este tipo de respuestas radica en que no se habla de la

derivada como una propiedad puntual de las funciones. En las respuestas que dieron los 16

estudiantes (entre las consideradas aceptables y las aproximadas) se perciben ciertas ideas

fundamentales en donde se asocia la derivada con RCI, con la RCP, con el cociente de

infinitesimales, con la idea de un límite especial, con las tangentes, con la velocidad,

aceleración y la rapidez de la variación. En el siguiente cuadro se condensa la información

anterior.

I D E A S F U N D A M E N T A L E S

RCI RCP Cociente de

infinitesimales

Límite

especial

Tang. Vel, acel,

rapidez.

ESTUDIANTES 7 2 4 2 4 4 Cuadro 30

PORCENTAJES 21.8% 6.2% 12.5% 6.2% 12.5% 12.5%

Es necesario agregar que en varias respuestas se mencionan dos o más de las ideas que

aparecen en el cuadro anterior asociadas al concepto de derivada. Entre los que sus respuestas

fueron consideradas confusas, se asocian a la derivada las siguientes ideas: como una

fórmula, como la variación de un número infinitamente pequeño, como un resultado que se

obtiene de una función, como una función donde la variable depende de una constante, como

funciones que se derivan de otras para calcular sus dominios, con una cantidad infinitamente

pequeña que se deriva de otra más grande, como la razón de cambio de una variable respecto

de una constante. La primera de estas ideas fue dada por tres estudiantes, las restantes cada

una fue dada por estudiantes diferentes. Por otro lado, en las respuestas consideradas

aceptables y las aproximadas se notan dos tendencias: quienes consideran a la derivada como

un cociente o un resultado y quienes la consideran como una función. Es claro que en la

primera subyace la idea de derivada en un punto como un número y en la segunda la idea de

función derivada, a juzgar por las respuestas, 7 estudiantes se inclinan por la primera

concepción y 9 por la segunda, evidentemente hay predominio de la derivada como una

función por sobre la idea de derivada como un cociente.

Revisando globalmente las respuestas dadas a las 4 preguntas de este primer grupo, se

observa que nadie contestó correctamente las 4 preguntas, 2 estudiantes lo hacen en las tres

primeras pero sus ideas sobre la derivada fueron evaluadas como aproximadas, 4 dan

respuesta correcta a dos de las tres primeras y dan ideas aceptables en la última pregunta,

otros 3 aciertan en dos de las primeras y sólo dan ideas aproximadas en la última pregunta.

En resumen, aunque no hubo estudiantes que contestaran correctamente las cuatro preguntas

de este grupo parece manifestarse una tendencia que apunta hacia un comprensión óptima

del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes (25% de los participantes) que fueron

quienes contestaron correctamente al menos en tres de las 4 preguntas. En 5 estudiantes

(15.6%) esta tendencia fue considerada aceptable, en 4 (el 12.5%) apenas si se manifiestan

algunos indicios y en el resto (casi la mitad de los participantes) parece haber serias

deficiencias.

En cuanto a las preguntas del segundo grupo, particularmente de la pregunta 2, se

desprenden tres preguntas sobre un objeto lanzado hacia arriba. En el inciso a se pide la altura

alcanzada por el objeto a los 3.5 segundos, 27 estudiantes la contestan correctamente y 5 no

la contestaron; las respuestas dadas a estas pregunta reafirman la presunción de que la

mayoría de los estudiantes pueden calcular los valores de la función a partir de la fórmulas

dada, aunque no es despreciable la cantidad de estudiantes que no la contestaron. En el inciso

b se pide calcular mediante aproximaciones numéricas la velocidad del objeto a los 3.5

segundos, para tal fin se sugirió aplicar reiteradamente la RCP para inducir el límite de la

sucesión de los cocientes incrementales; de los 32 participantes 15 realizan correctamente

esta actividad, 7 tuvieron dificultades en inducir el límite, en el acercamiento numérico a 3.5,

al evaluar en la fórmula de la función, al calcular el valor del numerador f(xx) - f(x), varios

estudiantes sólo calculan el valor de f(x+x) pero se les olvida calcular el valor de f(x),

otros alcanzan a calcular correctamente todo el numerador pero no calculan el cociente, etc.,

10 estudiantes no contestaron esta pregunta. En el inciso c hay que obtener las fórmulas que

dan las velocidades y aceleraciones instantáneas del objeto utilizando los diferenciales (aquí,

en esencia se explora la habilidad de cálculo de derivadas por medio de los diferenciales),

este ejercicio sólo fue resuelto cabal y correctamente por 9 estudiantes, 3 llegan a las

expresiones de las aceleraciones utilizando la fórmulas de derivadas, no obstante fueron

evaluadas como correctas, es notorio que 19 estudiantes no hicieron nada por resolver el

ejercicio y 1 se equivocó en los procedimientos. En la pregunta 3 se pide obtener la ecuación

de la tangente a la curva determinada por f(x) en un punto dado, este problema solamente

fue resuelto satisfactoriamente por 5 estudiantes, 13 no lo pudieron resolver cabalmente o se

equivocaron en algún procedimiento, de éstos 13 estudiantes 10 intentan resolver el problema

pero la mayoría de ellos sólo calculan la derivada y otros pocos logran esbozar la gráfica de

f(x), sin embargo no relacionan a la pendiente de la tangente con la función derivada y por

consiguiente no son capaces de concluir la resolución del problema. Es notorio que 14

estudiantes no intentaron siquiera resolver el problema.

Al revisar globalmente las respuestas a las dos situaciones de este segundo grupo nos

encontramos que sólo 4 estudiantes resuelven correcta y cabalmente los dos problemas

planteados, es decir, calcularon el valor de función en t = 3.5 segundos, calcularon la

velocidad instantánea, obtuvieron las fórmulas de las velocidades y aceleraciones

instantáneas y la ecuación de la tangente aplicando el concepto de derivada. 3 estudiantes

resolvieron correctamente los tres incisos de la pregunta 2, es decir sólo son capaces de

calcular el valor funcional, la velocidad instantánea en el instante dado y de obtener las

fórmulas que dan las aceleraciones y velocidades instantáneas. 7 estudiantes sólo acertaron

en los dos primeros, es decir, sólo pueden calcular el valor de la función y la velocidad

instantánea en t = 3.5 segundos. 4 acertaron en los incisos a y c, además de calcular el valor

de la función, pudieron obtener las fórmulas de las velocidades y aceleraciones instantáneas,

el resto de los estudiantes sólo acertó en un inciso o en ninguno. A partir de esta revisión se

nota cierto desarrollo óptimo en la aplicación del concepto de derivada en 7 estudiantes pues

parecen ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el geométrico y 4 en

ambos, en otros 7 su desarrollo es considerado aceptable con una tendencia marcada sólo

hacia las aplicaciones físicas, los restantes tienen serias deficiencias.

En cuanto a las preguntas relativas al tercer grupo iniciamos con la pregunta 3, en ella se

explora la habilidad para obtención de derivadas por medio de fórmulas. En el inciso a, un

poco menos de las tres cuartas partes de los participantes pueden obtener la derivada de la

función algebraica dada. En el inciso b, donde se pide la derivada de un producto de

funciones, 13 estudiantes la obtienen correctamente aplicando la fórmula del producto. La

derivada de la función del inciso b, es obtenida correctamente por 13 estudiantes aplicando

la regla del cociente, más de la mitad del grupo no intentó siquiera hacer el ejercicio. Una

revisión de conjunto de las respuestas de este tercer grupo permite observar que la mayoría

de los estudiantes (21 de ellos) obtienen derivadas de funciones polinómicas, la cantidad de

estudiantes que logran hacerlo en las dos restantes disminuye hasta 13 (el 40.6%). Los

mismos estudiantes que resolvieron correctamente el segundo y tercer ejercicios también lo

hicieron en el primero.

Síntesis sobre los resultados de la cuarta evaluación

En el cuarto examen se plantearon 5 situaciones, de las cuales se desprenden 11 preguntas

que exploran concepciones, aplicaciones y procedimientos relativos a la derivada. A pesar

de que en el grupo donde se exploran concepciones no hubo estudiantes que contestaran

correctamente todos los incisos de las dos preguntas, se percibe cierta tendencia hacia una

comprensión óptima del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes, en 5 se percibe una

tendencia aceptable, en el resto se notaron numerosas confusiones. En el grupo de preguntas

que exploran aplicaciones se percibe cierto desarrollo óptimo en 7 estudiantes, pues parecen

ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el contexto geométrico y 4 en

ambos; en 7 este desarrollo fue considerado aceptable y se inclina hacia la aplicación en el

contexto físico, en el resto hay muchas deficiencias. En las preguntas que exploran

procedimientos es en donde se obtienen los mejores resultados, pues 21 estudiantes

calcularon correctamente la derivada de la función polinómica dada y 13 calculan las otras

derivadas aplicando fórmulas del cociente y el producto, esto parece indicar que al menos 13

estudiantes desarrollaron óptimamente la habilidad de calcular derivadas mediante fórmulas,

en 8 la consistencia de esta habilidad aunque disminuye es considerada aceptable y en el

resto las deficiencias son notorias. Al hacer una revisión global sobre las evaluaciones

generales de este examen se observa que el máximo de respuestas correctas alcanzado fue 10

y fue obtenido solamente por dos estudiantes. Con el fin de detectar tendencias sobre el

desarrollo de las concepciones y habilidades exploradas, he agrupado las frecuencias de

respuestas en tres categorías tomando como base a la media, las dos categorías superiores (de

desarrollo óptimo y aceptable) de la media hacia arriba y de la media hacia abajo la de

desarrollo deficiente. Bajo estas condiciones, se perfila una tendencia hacia el desarrollo

óptimo de sus concepciones y habilidades sobre la derivada en al menos 7 estudiantes (los

que sus respuestas correctas fluctúan entre 10 y 8, pues mayoritariamente fueron capaces de

interpretar y explicar aceptablemente el concepto de derivada, de aplicar la derivada en la

obtención de ecuaciones de tangentes y en el cálculo de velocidades y aceleraciones

instantáneas, además de calcular derivadas por medio de fórmulas. El desarrollo de las

concepciones y habilidades anteriores alcanzaron un nivel aceptable en al menos 10

estudiantes (cuyas respuestas correctas están entre 7 y 5), el resto manifestaron tener

bastantes deficiencias pues sólo contestaron correctamente entre 4 preguntas o menos, véase

el cuadro siguiente.

CONCEPCIONES, PROCEDIMIENTOS Y APLICACIONES SOBRE LA DERIVADA (4o. EXAMEN)

DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES

OPTIMO 10 rc 8 7 21.8%

ACEPTABLE 7 rc 5 10 31.2%

DEFICIENTE rc 4 15 46.8%

Cuadro 31

Las mayores deficiencias notadas en los estudiantes se presentaron al preguntarles sobre el

punto en donde se mide la RCI en un gráfico y en la aplicación de la derivada en la

determinación de ecuaciones de tangentes, tal vez esta última deficiencia sea atribuible a que

en el curso se le dio mayor énfasis a su significado físico que su significado geométrico.

SÍNTESIS GLOBAL

A lo largo del curso se trabajaron los temas de intervalos de variación, funciones, RCP, RCI

y algunos principios de generalización del concepto de derivada, para exploran el desarrollo

que sobre estos conocimientos alcanzaron los 32 estudiantes participantes en la experiencia

pedagógica, se aplicaron los cuatro exámenes en cuatro momentos distintos. En conjunto los

cuatro exámenes contienen 46 preguntas que exploran concepciones, procedimientos y

aplicaciones, en realidad estos dos últimos pueden ser considerados indistintamente porque

casi la totalidad de los procedimientos fueron utilizados en aplicaciones a situaciones de la

física. En los cuatro exámenes se plantean varios ejercicios y problemas para explorar el

desarrollo de las habilidades en los estudiantes. En el primer examen, en el trabajo con la

notación variacional, la mayoría de los estudiantes parecen no tener muchas complicaciones

excepto cuando se les pide representar intervalos en la recta numérica, pues cuando se les

pide traducir al lenguaje ordinario ciertos intervalos dados en forma de desigualdades, el

promedio de los que dan respuestas correctas a estas preguntas siempre es casi de 27 (82.8%).

En cambio cuando se les pide representar intervalos en la recta numérica el promedio de los

que dan respuestas correctas es sólo de 9 (28.1%). En este mismo examen cuando se les pide

graficar una función el promedio de los que demuestran ser capaces de hacerlo es de 19

estudiantes, véase la gráfica 1. La habilidad de evaluar una función fue explorada en tres

momentos distintos: en el primero, en el segundo y en el cuarto examen, al comparar estos

resultados se observa una notable mejoría en el cuarto respecto de los dos primeros exámenes,

en las tres exploraciones, 22 o más estudiantes (68.7%) fueron capaces de realizar

correctamente esta actividad, no obstante en el primer examen una cantidad un poco menor

de estudiantes mostraron ser capaces de graficar la función. Nótese que en la aplicación de

las funciones en la modelación de problemas de la práctica el desarrollo fue prácticamente

nulo. Respecto del cálculo de la RCP, explorado en el segundo examen, un promedio de casi

21 estudiantes pueden calcular el d, sin embargo el cálculo total de la RCP solamente lo

logran realizar correctamente un promedio de casi 15 estudiantes.

CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE RESOLVIERON CORRECTAMENTE

LAS PREGUNTAS RELATIVAS A LAS HABILIDADES

32 30 E 26 26.5 26

S T 22 22 22

U 20.5 20.5

D 18 19 17.6 19

I 15 15.6

A 14 14.5

N 11.5 12

T 10 9

E

S 6 5

2 0

E1 E1 E1 E1 E2 E4 E1 E1 E2 E2 E2 E3 E4 E3 E4 E4 E4

Trad. Rep. Func. Evaluación. Aplic. Graf. Cálc. Cálc. C á l c u l o Cálculo Der. Tang.

d RCP numérico algeb.

NOTACION F U N C I O N R C P R C I (DERIVADA)

VARIACIONAL

GRAFICA 1

Las habilidades relativas a la derivada empiezan a explorarse desde el segundo examen con

el cálculo de velocidades aceleraciones instantáneas, el cálculo numérico de ésta es explorada

en tres momentos distintos, en el segundo, en el tercero y en el cuarto examen parcial; en el

segundo examen el promedio de estudiantes que realizan correctamente esta actividad es de

casi de 12 (35.9%) en el tercero asciende a casi 18 (55%) y en el cuarto examen desciende a

15 (46.8%). En la obtención por la vía algebraica de la RCI, también se nota cierta tendencia

descendente pues en el tercer examen la obtienen 19 estudiantes (59.3%) y en el cuarto

desciende a 12 (37.5%). Habrá que decir que en la segunda vez que se explora esta habilidad

la idea del diferencial sustituye a la idea del límite utilizada en la primera exploración. Estas

variaciones descendentes son explicables ya que varios estudiantes dedicaron enormes

esfuerzos para obtener la mejor calificación hasta el tercer examen, una vez convencidos de

que con el promedio logrado con estas tres calificaciones lograban acreditar el curso,

pusieron poco interés en el cuarto examen. El cuarto examen también explora la habilidad de

derivar funciones por medio fórmulas, mayoritariamente los estudiantes demuestran poder

obtener la derivada de funciones polinómicas pues lo hacen correctamente 21 estudiantes, no

obstante en promedio casi 16 pueden obtener las derivadas de funciones polinómicas, de un

producto y de un cociente de funciones. Finalmente, también en el cuarto examen se explora

la habilidad para obtener ecuaciones de tangentes a curvas aplicando la idea de derivada, aquí

los resultados son magros, pues sólo 5 estudiantes demostraron ser capaces hacerlo.

Probablemente esto se deba a que el curso estuvo fuertemente orientado al estudio de la

variación física y las ideas geométricas quedaron en un lugar secundario.

Las concepciones exploradas de los estudiantes en los exámenes estuvieron enfocadas

mayoritariamente al concepto de derivada considerada como RCI, para obtener información

sobre su desarrollo 10 preguntas en total fueron hechas en los exámenes. En el primer examen

se explora el desarrollo del concepto de función, a este respecto 16 estudiantes en promedio

(véase la gráfica núm. 2) parecen tener un concepto óptimo de función como colección de

parejas ordenadas.

CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE CONTESTARON CORRECTAMENTE

A LAS PREGUNTAS RELATIVAS A CONCEPCIONES

32 30 29 26 25

E S 22 21 T 19 GRAFICA NUM. 2

U 18 15.5 16 D 15 I 14 14

A N 10 7 7 T E 6 S

2 0

E1 E3 E4 E2 E4 E2 E3 E3 E4 E2 E4 Concepto Punto donde Signif. de Interp del.. I d e a Concepciones se mide RCI t0 lim (f/t)= 5 c l a v e generales t0

FUNCION RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA (DERIVADA)

En el tercero y cuarto exámenes se les presentó un dibujo que representa a la RCI y la fórmula

matemática que lo identifica, sobre el dibujo se les preguntó en qué punto la fórmula dada

mide la RCI, en el tercer examen ningún estudiantes da respuestas correctas a esta pregunta

y en el cuarto solamente dan respuestas correctas 7. Estos resultados (aunque se logra mejoría

en el cuarto examen) dan una muestra de las grandes dificultades que tienen los estudiantes

para interpretar a la RCI como una propiedad puntual de las curvas, dificultades que a su vez

están asociadas a la idea del límite como una propiedad local. Sobre la comprensión del

significado del t0 se observa una notable mejoría en el cuarto examen respecto del

segundo, pues en el cuarto 30 estudiantes contestan correctamente la pregunta hecha al

respecto y 19 en el segundo, en ambos casos su significado se asocia con el infinitamente

pequeño. En el segundo y en el cuarto exámenes se pide una interpretación sobre la

expresión:

limf

tk k k

t

05 20, con en el primer caso y = en el segundo

las respuestas dadas por los estudiantes muestran un notable mejoría en el tercer examen pues

se triplica la cantidad de respuestas correctas en éste examen respecto del segundo, ya que

en el primer caso dan interpretaciones correctas 7 (21.8%) y en el segundo 21 (65.6%), en

dichas interpretaciones se asocia a las RCI con las velocidades y aceleraciones instantáneas,

con el límite o a la cuantificación puntual de la variación. En el tercer examen y en el cuarto

se pregunta sobre la idea clave para calcular la RCI (pregunta que en esencia indaga si los

estudiantes están conscientes de los procedimientos que realizan cuando calculan la RCI) se

presentó un sensible descenso entre las respuestas correctas dadas en tercer examen respecto

del cuarto, pues en el primer caso dan respuestas correctas 25 (78.1%) y en el segundo sólo

contestan correctamente 14 (43.7%). Las respuestas fueron consideradas correctas si de

alguna manera se expresaba que la idea clave consiste en la búsqueda del límite del cociente

f/t cuando t es infinitamente pequeño. En el segundo examen y en el cuarto se pide a

los estudiantes expliquen lo que entienden por derivada y por la RCI respectivamente, de

acuerdo con los datos obtenidos se observa una leve mejoría en el cuarto examen respecto

del tercero, pues 15 estudiantes (46.8%) dan explicaciones consideradas correctas en el tercer

examen y 16 (50%) en el cuarto. Las explicaciones correctas en el primer caso aluden a la

velocidades puntuales, variación instantánea a un límite especial, en el segundo caso se habla

de la RCI como cociente de infinitesimales, como velocidad, aceleración o rapidez

instantánea o asociada a la idea de tangente o como un límite.

En conjunto en los cuatro exámenes se hacen 46 preguntas y el máximo puntaje de respuestas

correctas alcanzado fue de 41, este puntaje solamente fue obtenido por un estudiante. Con el

fin de detectar tendencias sobre el desarrollo de las concepciones y habilidades exploradas,

he clasificado en tres categorías a los estudiantes a partir de una revisión transversal: los que

su puntaje es inferior a 20 respuestas correctas (la media), los que su puntaje es igual o

superior a 20 pero menor que 30 y los que sus puntajes son iguales o mayores que 30

respuestas correctas. A los estudiantes de la primera categoría los consideré incluidos en una

tendencia hacia desarrollo deficiente, a los de la segunda en una tendencia hacia un desarrollo

aceptable y a los de la última categoría en una tendencia hacia un desarrollo óptimo. En estas

condiciones en 14 estudiantes (43.7%) se nota una tendencia hacia un desarrollo deficiente

de los conocimientos trabajados a lo largo del curso, pues contestaron correctamente menos

de la mitad de preguntas respecto del máximo alcanzado; en 8 estudiantes (25%) la tendencia

apunta hacia un desarrollo aceptable y en otros 10 apunta hacia un desarrollo óptimo de las

habilidades y concepciones matemáticas relativas a los intervalos de variación, funciones y

la RCI. Véase cuadro siguiente.

DESARROLLO GLOBAL ALCANZADO POR LOS ESTUDIANTES EN EL CURSO

DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES

OPTIMO 41 rc 30 10 31.2%

ACEPTABLE 29 rc 20 8 25 %

DEFICIENTE rc 19 14 43.7%

Cuadro 32

EXAMEN PRE-POST

Este cuestionario explora el desarrollo de algunas ideas generales sobre la variación y fue

aplicado en dos ocasiones, al inicio del curso junto con el primer examen y al final del mismo

junto con el cuarto examen. En él se plantean tres situaciones (ver examen 5 anexo A) en

donde se presentan tres gráficos respectivamente, el primero representa la variación de la

temperatura de cierto volumen de agua, el segundo muestra la variación de la concentración

de un medicamento en la sangre y en el tercer gráfico se muestra una curva que representa a

cierta función f que no está referida a un contexto específico. En cada situación se plantean

cuatro preguntas que, asociadas en grupos, exploran ideas sobre rapidez variación, variación

positiva, variación negativa y variación nula. En las siguientes páginas se presenta un

análisis comparativo de las respuestas a cada una de estas preguntas y una síntesis sobre estos

resultados.

Sobre la situación 1

Respecto a la pregunta 1.A, en la primera aplicación sólo 3 estudiantes del total dieron

respuestas correctas y en la segunda aplicación 19, éstos constituyen el 59.3 % del total, aquí

hay una diferencia positiva de l6; en cuanto a las respuestas incorrectas, en la primera

aplicación incurrieron 29 estudiantes y en la segunda 13. Al inicio del curso, un poco más

del 90 % de los estudiantes consideran que la mayor variación sucede en el intervalo de 10 a

20 min., esto parece indicar que la idea de mayor variación es asociada por estos estudiantes

con la idea de mayor valor de la función, esta concepción parece haber cambiado hacia una

idea de mayor rapidez de variación en 21 estudiantes pero parece permanecer incólume en

8.

A la pregunta 1.B dos opciones la contestan correctamente, la del inciso a y la del inciso d.

Al principio del curso 18 estudiantes se percatan de que la variación de la temperatura se

estabiliza en 0 C en el intervalo 2.5 t 5 y al final del curso se percatan de ello 26; de

los 18 estudiantes que contestaron correctamente al principio del curso 4 ya no señalaron este

intervalo en segunda aplicación. Ahora bien, 12 de los 26 estudiantes que dieron respuestas

correctas en la segunda aplicación no señalaron el intervalo 2.5 t 5 en la primera y 14 se

mantuvieron en una posición invariante en las dos aplicaciones, esto parece indicar que el

curso tuvo cierta influencia en 12 estudiantes (el 37.5% del total) en el desarrollo de la

habilidad para identificar en un gráfico la estabilización de la variación de la temperatura,

particularmente cuando su gráfico coincide con el eje las t. Respecto a la segunda opción

correcta, el intervalo 10 t 20, casi no hubo variación, en la primera aplicación la señalaron

27 estudiantes y en la segunda 29, en ambos se mantuvieron invariantes 26; de los 29 que

dan respuestas correctas en la segunda aplicación sólo 3 no señalaron este intervalo en la

primera aplicación. Para efectos de evaluación se consideró correcta cuando los estudiantes

contestaron subrayando los dos intervalos, bajo estas condiciones, 13 acertaron en la primera

aplicación y 22 en la segunda, los 13 que acertaron en la primera aplicación se mantuvieron

en su misma posición en la segunda. Entre la primera y segunda aplicaciones hay un

incremento de 9 estudiantes, éstos mejoran sus concepciones acerca de la estabilización de

la variación, aunque considerados los resultados aisladamente indican que la mayoría se

apropiaron de alguna noción satisfactoria sobre este fenómeno. Es notable la tendencia a no

identificar la estabilización de la variación cuando el gráfico está superpuesto al eje de las t.

En la pregunta 1.C se pide decidir qué fenómeno sucedió con mayor rapidez. En la primera

aplicación 26 estudiantes se inclinaron por el calentamiento y en la segunda 28, de los 26

estudiantes que señalaron el calentamiento en la primera aplicación 24 lo vuelven a señalar

en la segunda y 2 señalan el enfriamiento; en la primera aplicación 5 estudiantes se inclinaron

por el enfriamiento y en la segunda 4; en la primera aplicación hubo quien contestó que los

fenómenos suceden con igual rapidez. De los 5 que señalaron el enfriamiento al principio 3

en la segunda aplicación señalan el calentamiento y los dos restantes señalaron nuevamente

el enfriamiento, el que señaló que los dos fenómenos suceden con igual rapidez en la primera

aplicación en la segunda cambió hacia el calentamiento. Los resultados anteriores indican

que 24 estudiantes (el 75%) pueden distinguir en el gráfico que el calentamiento sucede con

mayor rapidez, pues mantienen esta posición en las dos aplicaciones, 4 cambiaron del

enfriamiento en la primera aplicación al calentamiento en la segunda, 2 se mantienen en el

enfriamiento en ambas aplicaciones, y 2 declinan su posición inicial del calentamiento hacia

el enfriamiento en la segunda.

En la pregunta 1.D se pide argumentar la respuesta dada a la pregunta 1.C. Los argumentos

dados por quienes contestaron el calentamiento fueron clasificados en tres grupos, en el

primer grupo se incluyeron los que se percibe como idea central que el calentamiento ocupa

un tiempo menor, al parecer centrando su atención en la comparación del tiempo en que el

agua se calienta y el del tiempo en que se enfría, sus argumentos fueron del estilo: ocupó un

menor tiempo en calentarse y para enfriarse tardó más, se realiza en de 0 a 10 minutos y el

enfriamiento de 20 a 40, pues sólo tarda 5 minutos y el enfriamiento tomó 20. En el segundo

grupo se incluyeron argumentos donde se percibe cierta idea de razón de cambio, estas

respuestas fueron del estilo: en 5 minutos subió de 0 a 100 y en 20 bajó 80, en 10 minutos

alcanza su temperatura máxima y enfriamiento tardó 20 minutos, en sólo 5 minutos la

temperatura sube de 0 a 100, porque la variación de la temperatura fue mayor. En el tercer

grupo conjuntamos los argumentos confusos. Los 11 estudiantes que en la primera aplicación

ubicamos en el primer grupo se mantienen en el mismo en la segunda y se agregan a esta

opinión 6 más, obteniéndose así un incremento del 18.7% del total; de los 6 estudiantes

ubicados en el segundo grupo de la primera aplicación sólo 4 mantienen su misma posición

en la segunda, de los otros dos, uno cambia hacia una posición del primer grupo, el otro hacia

una posición confusa. Uno de los cuatro estudiantes que dan argumentos confusos en la

primera aplicación pasa al primer grupo en la segunda, otro al segundo grupo, los dos

restantes no mejoran sus concepciones. En resumen, sólo 7 estudiantes parecen dar una

argumentación correcta del por qué contestaron que el calentamiento sucede con mayor

rapidez (utilizando alguna noción de razón de cambio), aunque la variación entre la cantidad

de estudiantes que argumentan de este modo al principio del curso no es significativa respecto

de la cantidad que lo hacen al final. Prácticamente el 44% de los estudiantes dan argumentos

que parecen sólo atender al intervalo de tiempo en que suceden los fenómenos representados,

esto nos permite conjeturar que, si bien el 75% de los estudiantes pueden decidir que

calentamiento sucede con mayor rapidez, sólo la tercera parte de ellos dan explicaciones

correctas de sus inclinaciones.

Sobre la situación 2

De esta situación se desprenden cuatro preguntas, la 2A, 2B, 2C y 2D. En la pregunta 2.A se

pide el intervalo donde la rapidez con que crece la concentración de un medicamento en la

sangre es mayor, en la primera aplicación dan respuestas correctas 11 estudiantes y en la

segunda 30, los mismos 11 estudiantes que dieron respuestas correctas en la primera

aplicación mantuvieron su posición en la segunda y se agregaron 19, esto significa un

incremento del 59.3% del total del grupo. De los 22 estudiantes que al inicio del curso dieron

respuestas incorrectas, solamente 1 persistió en su posición en el segundo. Estos resultados

apuntan hacia un cambio notable en los estudiantes sobre el esclarecimiento de la idea de

rapidez del crecimiento de una variable, pues en la segunda aplicación esta idea parece ser

clara para casi la totalidad del grupo en cambio al principio parece serlo sólo para 11.

En la pregunta 2.B se pide el intervalo donde la variación de la concentración es positiva.

En la primera aplicación 13 estudiantes dan respuestas correctas y en la segunda 29, los

mismos que acertaron en la primera persistieron en la segunda y se agregaron 16 más, esto

significa que al finalizar el curso hubo un cambio positivo en el 50% de los estudiantes. De

los que dieron respuestas incorrectas, hubo 13 en la primera aplicación que señalan que existe

variación positiva en todos los intervalos dados, esta puede ser una evidencia de que al

principio del curso estos estudiantes creen que la variación positiva es lo mismo que función

positiva, al final del curso esta confusión parece haberse superado en la mayoría de los

alumnos.

En la pregunta 2.C se piden los intervalos donde la variación de la concentración es negativa.

Aquí, tres son las respuestas correctas, los incisos b, c y d. 11 estudiantes en la primera

aplicación contestaron marcando los tres incisos, en la segunda aplicación 23 hacen lo

mismo, 3 subrayan uno de los que contestan correctamente y 3 más subrayan dos de esos

intervalos. Se consideraron correctas la respuestas en donde se subrayan al menos dos

intervalos que contestan correctamente, bajo estas condiciones a los 11 estudiantes que dieron

respuestas correctas en la primera aplicación se agregaron 15 más en la segunda, dando un

total de 26, esto significa que con el curso se generó una variación positiva de 46% del total

de participantes. Es notorio que al principio del curso, 15 estudiantes consideran que no existe

variación negativa en el gráfico, quizá porque consideran ideas equivalentes la variación

positiva y el signo positivo de la función. No obstante esta confusión parece haberse superado

en la mayoría de los participantes pues ya nadie dijo no existe variación negativa al finalizar

del curso.

Al revisar conjuntamente las respuestas correctas tanto a la pregunta 2.B como en la

pregunta 2.C obtenidas en la segunda aplicación, se observa que 26 estudiantes dieron

respuestas correctas a las dos preguntas (Tabla Global Comparativa 1), esto parece indicar

que la noción de variación positiva y variación negativa identificada a partir del gráfico fue

desarrollada óptimamente en más de las tres cuartas partes de los participantes en el curso,

aunque hay que notar que en la primera aplicación dan respuestas correctas en ambas 10

estudiantes, probablemente influenciados por los contenidos que a esas alturas ya se habían

visto en el curso.

En la pregunta 2.D se pide el intervalo donde no existe variación (más bien nulidad de la

rapidez de variación), si es que la hay. En la primera aplicación dos estudiantes parecen

percibir la no variación en t = 2 aunque uno de estos dos estudiantes al finalizar el curso

cambió de opinión. En la segunda aplicación, 15 estudiantes dicen que sí hay intervalo donde

no hay variación, 8 de los 15 escriben que no la hay en t = 2, en 4 se manifiesta cierta idea

de aproximación a 2 o en una vecindad de 2, uno escribe el intervalo 7 t 8 donde casi se

reduce a cero la concentración del medicamento, las respuestas dadas por estos últimos 13

estudiantes las he considerado correctas. En las respuestas de estos 13, parece expresarse

cierta idea de propiedad local de la función en t = 2, o en torno de este punto, esta idea es

muy importante en el CD pues detrás de ella está la propiedad de la nulidad de su derivada.

En conjunto, 11 estudiantes (el 34.3%) contestaron aceptablemente preguntas 2.B, 2.C y 2.D

(ver Tabla Global Comparativa 1), esto da una indicación de que un poco más de la tercera

parte de los estudiantes parecen haber desarrollado óptimamente susu ideas sobre variación

positiva, variación negativa y estabilización de la variación. Esto representa un avance

significativo, pues en la primera aplicación sólo un estudiante se ubicó en esta clasificación.

Sobre la situación 3

En la situación núm. 3 se muestra una curva que representa a cierta función f(x), de ella se

desprenden las preguntas 3A, 3B, 3C y 3D. En la pregunta 3.A se pide el intervalo de mayor

brusquedad de la variación. En la primera aplicación 18 estudiantes dieron respuestas

correctas y en la segunda 23, es decir hubo un incremento de 5, de acuerdo a esto, se puede

decir que cerca de las tres cuartas partes de los participantes desarrollaron cierta noción

aceptable sobre la mayor brusquedad (léase rapidez) de la variación al finalizar el curso.

En la pregunta 3.B se pide el intervalo donde la variación es positiva, dos opciones contestan

correctamente la pregunta, se consideró correcta cuando los estudiantes contestaron

correctamente con estos dos incisos. En la primera aplicación, cuando se les pregunta por el

intervalo de variación positiva, 8 estudiantes sugieren intervalos como -4 x -3 (a pesar de

no haberlo puesto como opción ) o algo parecido, 4 de estos 8 agregan el intervalo 6 x 8

. Esto parece corroborar lo detectado en la pregunta 2B en la primera aplicación, los

estudiantes confunden la variación positiva con el signo positivo de la función; es claro que

para estos 4 estudiantes la variación es positiva cuando el gráfico está por arriba del eje de

las x, inclusive se pudiera pensar que también lo es para los 21 que sólo señalaron el intervalo

6 x 8 a pesar de que la respuesta satisface parcialmente a la pregunta. En la segunda

aplicación estas ideas sobre la variación positiva parecen haber cambiado, pues 23

estudiantes señalaron los dos intervalos que contestan satisfactoriamente la pregunta y en la

primera aplicación sólo 3 lo hicieron.

En la pregunta 3.C se piden los intervalos de variación negativa, en la primera aplicación

sólo 6 estudiantes dan respuestas correctas y 22 de los que dan respuestas incorrectas señalan

el intervalo de 3 a 6. En la segunda aplicación el número de estudiantes que dan respuestas

correctas se incrementó notablemente llegando hasta 22, sin embargo 14 de estos señalaron

también el intervalo de 3 a 6, de modo que solamente en 8 estudiantes (el 25% del total)

parece ser clara la idea de variación negativa; es notorio también que de los 6 que al principio

del curso contestaron correctamente, sólo tres se mantiene en su misma posición al final y el

resto cambió de opinión. Estos resultados permiten conjeturar que la mayoría de los

estudiantes al final el curso aún confunden el signo de la función con el signo de la razones

de cambio de la función. Si bien el número de estudiantes que acertaron en la segunda

aplicación aumentó casi cuatro veces en relación a la cantidad inicial, la mayoría de ellos

señalan además el intervalo donde la función es negativa.

En la pregunta 3.D se piden los puntos donde cambia el sentido de la variación. En la primera

aplicación aunque 20 estudiantes solamente señalan el punto x = 4, 19 de ellos señalan los

dos puntos que contestan satisfactoriamente a la pregunta y 6 señalan los puntos x = -3.8 y

x = 2.9. En la segunda aplicación 21 estudiantes, señalaron los dos incisos de las respuestas

correctas. Estos resultados parecen indicar que la idea del cambio del sentido de la variación

experimentó una leve mejoría entre la primera y segunda aplicación aunque se nota que aún

prevalece en algunos (al menos 6 de ellos) la confusión entre el cambio de sentido de la

variación y el cambio de signo de la función.

UN ANÁLISIS COMPARATIVO

A fin de explorar el desarrollo de las ideas afines sobre la variación, las preguntas fueron

asociadas en dos grupos, en el primer grupo se conjuntaron las que tienen que ver con la

rapidez de la variación y en el segundo grupo se incluyen variación positiva, negativa y no

variación. Respecto de la idea de rapidez de la variación, respuestas al primer grupo de

preguntas, en la gráfica núm. 3 se observa que las mayores diferencias entre la segunda y la

primera aplicación se obtuvieron en las preguntas 2.A y 1A (+19 y +16 respectivamente) y

las menores en las preguntas 3A y 1C (+3 y +2 respectivamente). En la pregunta 2.A, donde

se pide el intervalo de mayor rapidez de la concentración de cierto medicamento en la sangre,

aunque la respuesta es evidente, sólo 11 se percatan de ello en la primera aplicación y

prácticamente todos dan respuestas correctas en la segunda. En la pregunta 1.A se pide el

intervalo de mayor variación de la temperatura, casi todos los estudiantes en la primera

aplicación contestaron señalando el intervalo de 10 a 20, quizá considerando como ideas

equivalentes a la mayor variación con el mayor valor de la función, no obstante en la segunda

aplicación 19 estudiantes la contestaron correctamente y sólo 3 en la primera. En la pregunta

1.C tal parece que la mayoría no tuvieron dificultades en decidir qué fenómeno sucedió con

mayor rapidez, pues 26 estudiantes se deciden por el calentamiento en la primera aplicación

y 28 en la segunda, aunque en los argumentos esgrimidos acerca del por qué dieron estas

respuestas (pregunta 1.D) en gran parte se alude a que el calentamiento sucedió en menor

tiempo, tal vez sólo priorizan la duración del tiempo en que suceden los fenómenos

minimizando lo que sucede en el eje de las f(t), muy pocos (solamente 7 estudiantes) parecen

utilizar cierta noción de razón de cambio promedio al final del curso para argumentar su

respuesta.

Vamos a ver lo que sucedió con las ideas del segundo grupo. La idea de variación positiva

es explorada en las preguntas 2.B y 3.B, en la pregunta 2.B se obtuvo un incremento de 16

estudiantes en la segunda aplicación respecto de la primera, pues en la primera aplicación 13

dan respuestas correctas y en la segunda 29. En la pregunta 3.B la diferencia es aún más

notable pues llega hasta 19 ya que en la primera aplicación dan respuestas correctas 3

estudiantes y en la segunda 22. Es destacable el hecho que en la primera aplicación la mayoría

parecen considerar a la variación positiva como una idea equivalente de función positiva, no

obstante la idea de variación positiva entendida como crecimiento de la función parece

haberse desarrollado en la mayor parte de los estudiantes participantes en el curso. La idea

de variación negativa es explorada en las preguntas 2.C y 3.C, en la pregunta 2.C se observa

(gráfica núm. 3) un desarrollo significativo pues se obtiene una diferencia positiva de 15

estudiantes, ya que en la primera aplicación contestan correctamente 11 y en la segunda 26.

En la pregunta 3.C contestan correctamente en la primera aplicación 6 estudiantes y en la

segunda 8 obteniéndose una diferencia positiva de 2, aunque aquí hubo 14 que si bien

señalaron intervalo donde efectivamente la variación es negativa, también señalaron el

intervalo donde la función es negativa, esto da indicaciones de que los estudiantes tienen

mayores dificultades en discernir la variación negativa cuando se les presenta un gráfico de

alguna función que también tenga intervalos donde sus valores son negativos.

COMPARACION ENTRE LA CANTIDAD DE ESTUDIANTES QUE DIERON RESPUESTAS

CORRECTAS EN LA PRIMERA Y LA SEGUNDA APLICACIÓN

33

30 30

C 27 28 29

O 24 26

26 segunda

R 21 23 22 23 21

aplicación

aplicación

R 18 19 18

19

E 15 primera

C 12

12

13 13 13 aplicación

T 9 11

11

A 6 7 8

S 3 3 6

3 6

2

1A 1C 1D 2A 3A 2B 3B 2C 3C 1B 2D 3D

RAPIDEZ DE VARIACION VARIACION NO LA VARIACION POSITIVA NEGATIVA VARIACION

GRAFICA NUM. 3

En la pregunta 3A un poco más de la mitad de los estudiantes mostraron no tener dificultades

para identificar el intervalo de mayor brusquedad de la variación, pues en la primera

aplicación contestan correctamente 18 y en la segunda 23; en esta pregunta se obtuvo una de

las menores diferencias positivas de las preguntas de este grupo, tal vez porque en intervalos

grandes sea evidente para la mayoría de los estudiantes identificar dónde sube más rápido el

gráfico de una función. Al hacer un conteo global de las respuestas correctas dadas a este

primer grupo de preguntas, se observa (ver Tabla Global Comparativa 1), que sólo un

estudiante contestó correctamente las cinco preguntas tanto en la primera como en la segunda

aplicación, 3 contestaron correctamente en cuatro en la primera aplicación y 15 lo hacen en

la segunda; 6 dan respuestas correctas en tres preguntas en la primera aplicación y 9 lo hacen

en la segunda, ver el cuadro siguiente. Hay que destacar que en la segunda aplicación todos

los estudiantes contestaron

correctamente dos o más preguntas de este grupo. En términos generales aunque se perfila

una tendencia hacia el desarrollo óptimo de las ideas de rapidez de la variación en al menos

25 estudiantes, esta tendencia es bien marcada en 16 de ellos pues contestan correctamente

el 80% o más de las preguntas planteadas a este respecto. Esta tendencia disminuye

levemente en 9, los que

se incluyen en una tendencia aceptable, pues contestan correctamente el 60% de las

preguntas de este grupo y en 7 estudiantes apenas si se manifiesta, pues contestan

correctamente menos de la mitad de las preguntas de este grupo.

La idea de no variación es explorada en tres preguntas 1.B, 2.D y 3.D, se explora con los

nombres de intervalos (o bien puntos) de estabilización y puntos donde cambia de sentido la

variación. En la pregunta 1.B se obtuvo una diferencia favorable de 10, pues en la primera

aplicación contestan correctamente 13 y en la segunda 23, parece no haber muchas

dificultades en los estudiantes en distinguir la estabilización de la variación en un gráfico

cuando ésta sucede en intervalos grandes, como es el caso de esta pregunta, aunque sí las

hay cuando la estabilización de la variación de la temperatura sucede a 0 C. A la pregunta

2.D dan respuestas aceptables en la primera aplicación sólo 2 estudiantes y en la segunda

aplicación 13, esto significa que hubo un incremento de 11 estudiantes que desarrollaron

cierta idea de no variación en un punto o una vecindad de éste.

IDEAS SOBRE LA RAPIDEZ DE LA VARIACION

CORRECTAS PRIMERA APLICACION SEGUNDA APLICACION DIFERENCIA

CANT. PORCENT. CANT. PORCENT.

Las cinco 1 3.1% 1 3.1% 0

En cuatro 3 9.3% 15 46.8% +12

En tres 6 18.7% 9 28.1% +3

En dos 11 34.3% 7 21.8% -5

En una o menos 11 34.3% 0 0% -11

Cuadro 33

En la pregunta 3.D, en la primera aplicación dan respuestas correctas 19 estudiantes y en la

segunda 21, cifras que dan una diferencia positiva de 3; esta no es una diferencia significativa

sin embargo parece indicar que para la mayoría de los estudiantes es clara la idea del cambio

de sentido de la variación aunque es muy probable que no la asocien con la nulidad de la

variación. Al hacer un conteo global de las respuestas correctas dadas a este grupo de

preguntas, solamente 3 estudiantes contestaron correctamente a las 7 preguntas en la segunda

aplicación y nadie lo logró en la primera; 5 lo hicieron en 6 preguntas en la segunda

aplicación y uno en la primera, 8 lo hicieron en 5 preguntas en la segunda aplicación y sólo

3 en la primera, 4 lo hicieron en 4 preguntas en la segunda y 2 en la primera, etc., ver el

cuadro siguiente.

SOBRE LAS IDEAS DE VARIACION, POSITIVA, NEGATIVA Y NO VARIACION

CORRECTAS PRIMERA APLICACION SEGUNDA APLICACION DIFERENCIA

CANTIDAD PORCENT. CANTIDAD PORCENT.

Las siete 0 0% 3 9.3% +3

En seis 1 3.1% 5 15.6% +4

En cinco 3 9.3% 8 25% +5

En cuatro 2 6.2% 4 12.5% +2

En tres 5 15.6% 3 9.3% -2

En dos 6 18.7% 6 18.7% 0

En una o menos 15 46.8% 3 9.3% -12

Cuadro 34

Nótese que la mitad de los estudiantes en la segunda aplicación contestaron correctamente

entre 5 y 7 preguntas, mientras que en la primera aplicación solamente 4 lograron ubicarse

en este mismo rango en la primera aplicación. También en la primera aplicación, 15

estudiantes contestaron correctamente en una pregunta o menos, mientras que en la segunda

aplicación solamente 3 se ubicaron en este rango. En términos globales estos resultados

hablan de un avance significativo en el desarrollo de las ideas generales que sobre la variación

se lograron en los estudiantes. Para establecer diferencias sobre los niveles de desarrollo

logrados por los estudiantes los he clasificado en dos grupos, los que contestaron

correctamente de 4 a 7 (arriba de la media) y los que contestaron correctamente 3 o menos

(debajo de la media). En este último grupo el desarrollo sobre las ideas de variación, positiva,

negativa y no variación es apenas incipiente y se incluyen en él 12 estudiantes; en el primer

grupo se vislumbran dos tendencias, en los que obtuvieron los dos máximos puntajes la

tendencia hacia el desarrollo de estas ideas es considerado óptimo y lo constituyen 8

estudiantes (25% del grupo), los que obtuvieron entre cuatro y cinco la tendencia apunta

hacia un nivel aceptable, este grupo lo constituyen 12 estudiantes (37.5% ).

En conjunto, este cuestionario contiene 12 preguntas. Al hacer una revisión longitudinal a

las evaluaciones globales obtenidas por cada estudiante se observa, que ningún estudiante

contestó correctamente las 12 preguntas planteadas en las dos aplicaciones, solamente un

estudiante en la segunda y otro en la primera aplicación obtuvieron 11 respuestas correctas

como máximo. Para detectar tendencias sobre el desarrollo de la ideas generales exploradas

en este cuestionario, he clasificado a los resultados obtenidos por los estudiantes en dos

grupos: los que contestaron correctamente por arriba del 50% de preguntas planteadas (la

media) y los que se ubicaron por debajo de este porcentaje. Los estudiantes del primer grupo

los he clasificado a su vez en dos pequeños subgrupos, los que sus respuestas correctas

fluctúan entre 12 y 10 y los que sus respuestas correctas fluctúan entre 9 y 7. Bajo estas

condiciones, en la segunda aplicación en el primer subgrupo quedaron ubicados 6 estudiantes

y en el segundo subgrupo 18; el segundo grupo quedó constituido por 8 estudiantes, en

cambio en la primera aplicación 4 estudiantes quedaron ubicados en el primer grupo, 1 quedó

ubicado en el primer subgrupo y 3 en el segundo subgrupo, 28 estudiantes quedaron ubicados

en el segundo grupo, véase el cuadro siguiente. Estos resultados ponen de manifiesto la

influencia favorable del curso en la mayoría de los estudiantes en el desarrollo de sus

concepciones generales sobre la variación. Particularmente en 6 se percibe una tendencia

notable hacia el desarrollo óptimo de estas ideas, mientras que al principio al parecer sólo un

estudiante estaba en condiciones similares. Menor consistencia se nota en 18 estudiantes al

finalizar el curso aunque la tendencia hacia el desarrollo de estas ideas fue aceptable mientras

que al principio sólo 3 se ubicaron en este rango. En 8 estudiantes al finalizar el curso sus

deficiencias son numerosas aunque al principio 28 mostraron condiciones similares.

CONTEO LONGITUDINAL DE RESPUESTAS CORRECTAS AL CUESTIONARIO

CORRECTAS 1a. APLICACION 2a. APLICACION INCREM.

CANT. PORC. CANT. PORC.

1er. 12 rc 10 1 3.2% 6 18.7% +5

GRUPO 9 rc 7 3 9.3% 18 56.2% +15

2o. GRUPO 6 rc 0 28 87.5% 8 25% -20

Cuadro 35

En términos generales, en la segunda aplicación no parece haber diferencias significativas

entre el conteo longitudinal de evaluaciones (analizando las evaluaciones de cada estudiante,

cada renglón le corresponde a un estudiante) y los que arrojaron los conteos parciales

transversales (asociando, en bloques de columnas, a las preguntas y sus evaluaciones por

afinidad matemática). Pues en el conteo longitudinal arroja que 24 estudiantes contestan

correctamente arriba del 50% de preguntas planteadas, y el transversal, en el primer grupo

(rapidez de la variación) se ubicaron un número similar de estudiantes en esta clasificación

y en el segundo grupo (de variación positiva, negativa y nula) se ubicaron 20. Aunque hay

diferencias significativas en cuanto a la consistencia del desarrollo las ideas, pues en el caso

de la revisión longitudinal la tendencia es bien marcada en sólo 6 estudiantes y en 18 la

consistencia es menor; en cambio en la revisión transversal para las ideas del primer grupo

la tendencia es bien marcada en 16 estudiantes y es menos consistente en 9 y para el segundo

grupo la tendencia es bien marcada en 8 estudiantes y es menos consistente en 12. Estos

resultados indican que la idea de rapidez de la variación alcanzó un mejor desarrollo que las

ideas de variación positiva, negativa y no variación, inclusive en estas últimas hay todavía

confusiones numerosas con el signo de las funciones.

ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS EXÁMENES PARCIALES Y EL PRE-

POST

Al comparar el desarrollo global de los estudiantes alcanzado sobre las ideas generales de la

variación y los obtenidos en los cuatro exámenes parciales, se observa (ver Tabla Global

Comparativa 2) que casi todos los estudiantes que en los cuatro exámenes parciales se

ubicaron en las tendencias hacia el desarrollo óptimo y aceptable, también quedaron ubicados

en alguna de estas categorías en el cuestionario que explora ideas generales sobre la

variación. Aunque en ninguno de los casos, un desarrollo óptimo de las ideas generales sobre

la variación correspondió a un desarrollo óptimo de las concepciones y habilidades

exploradas en los exámenes parciales, en cambio 3 de los 6 estudiantes que desarrollaron

óptimamente ideas generales sobre la variación desarrollaron a un nivel aceptable los

conocimientos explorados en los exámenes y en los otros 3 su desarrollo en los exámenes fue

deficiente. En cambio, todos los estudiantes que en los exámenes parciales se ubicaron en la

tendencia hacia un desarrollo óptimo en sus ideas generales sobre la variación lograron un

desarrollo aceptable, 3 de los 8 estudiantes considerados con desarrollo aceptable en los

exámenes parciales desarrollaron óptimamamente sus ideas generales sobre la variación y los

5 restantes también lograron un desarrollo aceptable en estas ideas. Nótese que 6 estudiantes,

a pesar de que quedaron ubicados en la tendencia hacia un desarrollo óptimo o aceptable en

sus ideas generales sobre la variación, su desarrollo en los conocimientos explorados en los

exámenes fue deficiente.

Si bien un desarrollo óptimo de las ideas generales sobre la variación no implicó un desarrollo

óptimo de los conocimientos explorados en los exámenes, todos los estudiantes con

tendencia hacia un desarrollo óptimo o aceptable logrado en éstos últimos, se ubicaron en

alguna de estas mismas categorías en sus evaluaciones obtenidas en el cuestionario que

explora ideas generales sobre la variación. Esto indica la existencia de cierta tendencia hacia

la correspondencia entre el desarrollo de las ideas generales de la variación y el desarrollo de

las concepciones y procedimientos asociados a la derivada como razón de cambio

instantánea, pues de las 46 preguntas planteadas en los cuatro exámenes 30 se relacionan

directamente con este concepto.

89

CONCLUSIONES

El interés que ha guiado este trabajo ha sido el de proponer los elementos esenciales para una

alternativa para la enseñanza de la derivada en el bachillerato. Para ello, se ha considerado que su

introducción a través de su significado físico pudiera favorecer su comprensión, pues hemos

encontrado evidencias de que las condiciones didácticas en que se enseña este concepto, en muy

poco han contribuido al logro de este propósito. Baste recalcar que, la estructura de los

contenidos tanto de los textos usuales como el que sugieren la mayoría de los programas oficiales

se asemejan más a la estructura formal del Análisis Matemático y por tanto esconden el origen

intuitivo de sus conceptos básicos, priorizan la mera transferencia de contenidos y el aprendizaje

de algoritmos por encima de la comprensión de las ideas básicas. Los textos tienen inclinaciones

muy marcadas a presentar a la derivada como un concepto abstracto con escasa relación con la

variación a pesar de que históricamente el estudio de la variación física fue la fuente de su

creación. Los resultados de los exámenes de diagnóstico parecen reflejar varias de estas

deficiencias, pues si bien cantidades importantes de estudiantes pueden calcular derivadas por

medio de fórmulas y reglas, muy escasa es su comprensión de la derivada como un límite y

prácticamente nula su capacidad de relacionarla con la velocidad instantánea en fenómenos de

variación y cambio.

Para enfrentar esta problemática, hemos propuesto varios elementos para una propuesta didáctica

diseñados sobre criterios diferentes de los que se suelen orientar a las existentes, pues adopta a la

variación como el eje rector de los contenidos del curso de cálculo. Con ella, se logra un

acercamiento intuitivo a la derivada a través del estudio de los problemas de la rapidez de la

variación, sin detenerse en un estudio teórico riguroso sobre los clásicos conceptos del límite y de

la continuidad, este empeño por estudiar la variación propicia la formación del concepto de

derivada como la rapidez instantánea de la variación. Existen muchas evidencias de que los

acercamientos inclinados por una presentación rigurosa del cálculo en el bachillerato (rigurosa en

el sentido como lo entienden los matemáticos), en vez de ayudar pueden ser nocivas para los

estudiantes. En este nivel tienen sus primeros contactos con esta parte de la matemática y por

tanto introducciones rigurosas pueden ser hasta traumáticas. La estructuración formal de los

contenidos del análisis obedece a razones de índole puramente matemáticas y no pedagógicas, la

forma de cómo se estructura el conocimiento matemático no necesariamente se corresponde con

la forma de como se asimila en la mente de los estudiantes. La historia nos ha demostrado que

antes de que el cálculo fuera impecablemente reestructurado a partir de premisas sólidas, las

estrategias, métodos y procedimientos basados en la intuición, en el sentido común, en la

heurística y en un mínimo de rigor matemático, condujeron a una basta cantidad de

descubrimientos en las ciencias naturales y dentro de la misma matemática. Esta es la vía que en

esencia se recupera en nuestros planteamientos.

La introducción de las ideas del cálculo a partir de la estudio de la variación en México han

empezado a cobrar fuerza desde finales de la década pasada, en Estados Unidos de Norteamérica

desde finales de la década de los 60’s se han sugerido estos tipos de acercamientos, muestra de

ello es el libro Matemáticas para Estudiantes de Humanidades de M. Kline editado por primera

vez en 1967, inclusive actualmente varias obras siguen esta línea, por ejemplo el libro de

Calculus and Analytic Geometry de Thomas y Finney. Adoptando algunas de estas ideas y

también de investigadores mexicanos que trabajan el enfoque variacional es como se ha logrado

concebir esta propuesta.

90

Para poner en práctica la propuesta es necesario un cambio radical de las concepciones

predominantes en los profesores acerca de la enseñanza del cálculo y por supuesto de los

programas y textos. La dirección de este cambio implica, principalmente, dedicar menos tiempo a

los algoritmos y atender la comprensión de los conceptos básicos del cálculo. Es posible

contribuir a este cambio si se explota la relación que estos conceptos tienen con los fenómenos de

la variación. Dadas las exigencias del Sistema Educativo Nacional Mexicano, no solamente se

requiere estudiar las ideas básicas del cálculo, es necesario también el dominio de los algoritmos

de cálculo (fórmulas y reglas de derivación por ejemplo), desde nuestro punto de vista, los

estudiantes estarían en mejores condiciones de resolver problemas de aplicación de la derivada, si

han comprendido este concepto y por supuesto dominan los conocimientos y algoritmos

esenciales. No tiene sentido enseñar cálculo solamente para mecanizar reglas y fórmulas de

derivación, hace falta comprender la esencia de sus conceptos para no actuar mecánicamente.

Si bien la puesta en práctica de una propuesta no arrojó resultados espectaculares, éstos son

significativamente superiores si se comparan con los que se obtienen en algunas escuelas del

Nivel Medio Superior en la región, pues en el Cuestionario de Diagnostico 1 mostró, que sólo un

19% de los estudiantes como promedio (con muchas inconsistencias) parecen tener ideas

aceptables sobre la derivada como un límite, como pendiente de una tangente, parecen interpretar

aceptablemente el significado de la notación con que se representa, y escasamente el 8%

relacionaron correctamente la derivada con la velocidad instantánea. En cambio, los resultados

obtenidos en la experiencia escolar resportada, obtuvimos resultados superiores, pues un poco

más del 50% de los participantes su tendencia hacia el desarrollo de las ideas antes mencionada y

de sus habilidades relativas a la cuantificación de la variación, fueron evaluadas como óptimas o

aceptables. Esto es un indicativo de que, en la experiencia escolar en la que se concretó la

propuesta, los estudiantes desarrollaron habilidades en el manejo de intervalos de variación, en la

graficación y análisis de funciones, en el cálculo de la razón de cambio promedio, en la obtención

de razones de cambio instantánea y en la obtención de derivadas mediante fórmulas. Es necesario

destacar que, el máximo desarrollo aceptable en la experiencia escolar se logró al finalizar el

cuarto mes de trabajo. En este mes se aplicó el tercer examen y en él, la mitad de los participantes

mostraron evidencias de que se apropiaron de los métodos numérico y algebraico para la

obtención de la razón de cambio instantánea, así como de una argumentación aceptable sobre la

idea esencial de esos procedimientos y sobre el significado de la expresión que la representa.

Finalmente el estudio realizado sobre los conceptos básicos del CD, en especial de la derivada, en

el plano histórico como en el de su enseñanza, el diseño y fundamentación de una propuesta y su

puesta en práctica, nos han permitido arribar a las siguientes conclusiones generales:

Existen diferencias en la enseñanza de los conceptos fundamentales del Cálculo

Diferencial que se reflejan en el dominio de estos conceptos y en el desarrollo de las ideas

relativas a la explicación de los fenómenos del cambio y la variación.

Las tendencias actuales en la enseñanza de la matemática priorizan el desarrollo de los

procesos de pensamiento sobre la mera transferencia de contenidos, en particular en el

Cálculo Diferencial se centra la atención en la comprensión de las ideas fundamentales y el

desarrollo de ideas claves que le dieron origen: las tangentes y la rapidez de la variación.

En la propuesta se ha logrado combinar las tendencias actuales en la enseñanza de la

matemática con las bases psicopedagógicas que se corresponden con las concepciones

91

actuales del proceso de enseñanza-aprendizaje, sin caer en el eclecticismo se han integrado

diferentes enfoques para lograr una concepción que se adapte a las condiciones regionales.

Los apuntes elaborados y la metodología propuesta resultan innovadoras en las

condiciones de México y reflejan las concepciones teóricas sobre las que se fundamenta la

propuesta. Su puesta en práctica mostró la factibilidad de la propuesta, la utilidad de los

apuntes y de la estrategia metodológica.

Con la propuesta se logró la formación de las ideas variacionales y la comprensión de los

conceptos básicos del cálculo, en especial de la derivada, en la mayoría de los alumnos que

participaron en la experiencia escolar.

Es recomendable que los profesores o investigadores enriquezcan este tipo de trabajos, los

pongan en práctica y valoren sus alcances, sus sugerencias y observaciones pueden ser valiosas

para su perfeccionamiento. Por otro lado este trabajo no está agotado, es tan solo una primera

aproximación tendiente al mejoramiento de la enseñanza de la derivada en el bachillerato.

Existen varias cuestiones que en el terreno investigativo merecen ser revisadas a la luz de los

resultados obtenidos en la experiencia escolar. Algunas de ellas se plantean a continuación.

Habría que investigar qué ideas y habilidades relativas al estudio de la variación son

factibles de ser desarrolladas en los estudiantes, previo al curso de cálculo en el

bachillerato, de modo que contribuyan a la formación de un nivel de partida más sólido.

Es necesario ampliar y profundizar el estudio sobre la línea directriz procesos de cambio y

cómo esta puede contribuir a preparar el terreno para la enseñanza del cálculo en el

bachillerato.

En cuanto a los apuntes es conveniente desglosar algunas lecciones en otras más sucintas

de manera que se dediquen a tratar temas más específicos factibles de ser trabajados a lo

más en tres sesiones de clase. En este sentido hemos ya avanzado considerablemente.

Es necesario lograr conexiones más oportunas entre el límite y el diferencial acompañado

de la introducción más temprana de la notación de Leibniz.

Hace falta elaborar sistemas de ejercicios y problemas para la sistematización,

profundización y repaso. Si bien el estudio de la variación y el cambio puede ser un punto

de vista adecuado para el estudio de la derivada hace falta generalizar y diversificar sus

aplicaciones.

Es necesario diversificar los problemas que hagan patente la imposibilidad de calcular la

rapidez y la dirección instantánea de la variación por medio de la razón de cambio

promedio, e incluso la no transferencia de los procedimientos de la matemática finita a la

matemática del infinito.

Conviene analizar cómo se pueden utilizar los medios electrónicos de enseñanza como la

microcomputadora o la calculadora para el perfeccionamiento de la propuesta.

Todas las cuestiones anteriores marcaran la pauta de futuras investigaciones.

92

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COSNET, (2004), Modelo de la Educación Superior Tecnológica, Editores e Impresores FOC,

Primera Edición, México D. F.

COSNET, (2004), Estructura del bachillerato tecnológico, Editores e Impresores FOC, Primera

Edición, México D. F.

COSNET, (2004), Reforma Curricular del bachillerato tecnológico. Programa de estudios.

Subsecretaría de Educación e investigación Tecnológica. SEP. Primera Edición, México D. F.

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ANEXO A

EXAMEN 1

1.- Traduzca al lenguaje ordinario lo que significan las siguientes expresiones y represéntelas en

la recta numérica:

a) 0 x 100, x b) l 5, l

2.- Traduzca al lenguaje de las desigualdades los intervalos de variación que aparecen dibujados a

continuación:

a) x b) y -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 2.1 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3.- Desde la superficie del piso se arroja hacia arriba un objeto y la altura que alcanza está

descrita por la fórmula:

d = 29t - 4.9t2

a) Identifique la variable dependiente y la variable independiente.

b) Escriba la fórmula de la función de modo que quede explícita la dependencia de d respecto de

t.

c) Haga una tabla de valores y en ella calcule los valores de d cuando t = 0, 0.5, 1, 1.5, ...

d) Dibuje la gráfica de la función.

e) Determine el dominio y la imagen de la función.

4.- Analice los siguientes conjuntos de pares ordenados y diga si representan funciones:

a) g = (1,1); (1, -1); (4, 2); (4, -2); ...; (r; r ) , r

b) h = (1,1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); ...; (r; r ), r

Argumente en cada caso sus respuestas.

5.- Exprese al área A de la superficie total de un tetraedro en función de la longitud variable de

sus aristas. ¿Qué cantidad de material se necesita para construir un tetraedro de cartón de 20 cm.

de arista? Siga el programa heurístico trabajado en clase:

LO DADO LO BUSCADO ESQUEMAS EJECUCION DE LA

ESTRATEGIA

FORMULA DE LA

FUNCION

100

100

EXAMEN 2

1.- Desde la cima de un risco de 45 m de altura es lanzada, hacia abajo, una piedra con una

velocidad de 5 m/s, pero por la fuerza gravitatoria su velocidad se aumenta 10 m/s por cada t

segundos (aproximadamente), de modo que su velocidad V está dada por la fórmula:

V(t) = 10t + 5, (t en segundos y V en m/s). Observe la gráfica.

60

50 V(t) = 10t + 5

40

V(t)

20

10

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo t en segundos

2.- La distancia que recorren los cuerpos en caída libre sobre la superficie de la luna, está dada

aproximadamente por la fórmula d(t) = t2 , en donde d está medida en metros y t en segundos.

Observa la gráfica. Supóngase que se deja caer un cuerpo en la superficie lunar desde una altura de 30

m.

30

25 d(t) = t2

20

d(t)

10

5

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo t en segundos

3.- El dibujo que abajo aparece lo hemos utilizado para representar la razón de cambio

instantánea (RCI) y las hemos definido como limd

tRCI

t

0

A) ¿ Cuál es la velocidad de la piedra en t = 2 seg.?__

B) ¿Cuánto cambia la velocidad de la piedra entre los

2 y 3 segundos_________

C) ¿Cuál es la aceleración promedio de la piedra de

los 2 a los 2.01 segundos?______

D) ¿Cuál es la aceleración instantánea de la piedra

exactamente a los 2 segundos?____

a) ¿Cuál es la distancia que ha recorrido el cuerpo a

los 3 segundos?__________________

b) ¿Qué distancia ha recorrido el cuerpo entre los 3 y

4 segundos?______________________

c) ¿Cuál será la velocidad promedio a la que se

desplaza el cuerpo entre los 3 y 3.01 seg. después de

su caída?________

d) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo exactamente a los

3 segundos?____

101

101

d(t1+t) Q

d(t1) P

t1 t1 +t

A) ¿En qué punto del gráfico la fórmula mide la razón de

cambio instantánea?_________________

B) ¿Cuál es el significado del t0?

a) t 0 b) t = 0 c) t es infinitamente pequeño .

d) ninguno de los anteriores...

C) Supongamos que lim (d/t) = 5

t0

¿Cómo interpretaría esta igualdad?_____________

D) ¿En general qué significa para usted la razón de

cambio instantánea?_________________________

102

102

EXAMEN 3

1.- Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba y la altura d que alcanza está dada por la

fórmula:

d(t) = 160t -16t2 .

Calcule la velocidad instantánea que lleva al cohete a los 4 segundos utilizando el método

algebraico. [Recuerde que la velocidad v instantánea en t0 está dada por limd

tv t

t

00( ) ]

2.- Verifique el resultado que encontró anteriormente pero por el método de aproximaciones

numéricas. Para ello a continuación le sugiero una vía: A) ACERCAMIENTO POR LA DERECHA B) ACERCAMIENTO POR LA IZQUIERDA

Intervalo t d/t= [d(t0 + t)- d(t0 )]/t) Intervalo t d/t= [d(t0 + t)- d(t0 )]/t)

4t4.1 3.9t?

?t ? ?t ?

?t? ?t ?

C) CONCLUSION

3.- SUBRAYE la idea clave para calcular l a Razón de Cambio Instantánea en t0 :

a) Sólo por medio de acercamientos numéricos sucesivos a t0 .

b) Por medio del cálculo del cociente d/ t.

c) Buscar el tope o límite del cociente d/ t cuando d = 0.

d) Por medio de la búsqueda del tope o límite del cociente d/t cuando t es infinitamente

pequeño.

4.- Si la Razón de Cambio Instantánea en t0 = 2 de la función d(t) = 5t2 es:

limd

tm s

t

020 /

si d está en metros y t en segundos, cómo interpretaría usted esta expresión. SUBRAYE la que

considere es la interpretación correcta.

a) Muy cerca de t = 2 la RCI de d(t) es 20 m/s.

b) Muy cerca de t = 2 la RCI de d(t) es aproximadamente 20 m/s.

c) La RCI de d(t) en el punto t = 2 es exactamente 20m/s.

d) El tope o límite del cociente d/ t tanto por la derecha como por la izquierda cuando t tiende a 0 se

aproxima a 20 m/s.

103

103

EXAMEN 4

1.- El dibujo que aparece a continuación lo hemos usado para representar a la derivada de una

función que la hemos definido como:

limf x x f x

x

dy

dxx

0

( ) ( )

f(x)

f(x1 +x) Q

f(x1) P

x1 x1 +x

2.- Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba recorre una distancia h dada por la fórmula

h(t) = 34.3t- 4.9t .

a) Calcule la altura que alcanza el objeto a 3.5 segundos.

b) Use las aproximaciones numéricas y calcule la velocidad del objeto a los 3.5 segundos.

c) Obtenga la fórmula que dan las velocidades y aceleraciones instantáneas del objeto lanzado

utilizando los diferenciales. 3.- Utilice las fórmulas para derivadas y obtenga la ecuación de la tangente a la curva determinada por la

función:

f(x) = x3 - 6x2 + 9x

en el punto P(1,4). Haga la gráfica de f(x) y la de su tangente.

4.- Obtenga las derivadas de las siguientes funciones usando las fórmulas adecuadas.

a) f(x) = 1

3x3 - 2x2 + 4x - 3 b) A(r) = (2r2 + r)( + r) c) V l

l

l( )

1

1

5.- Explique ampliamente lo que usted entiende por derivada de una función:________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

A) ¿En qué punto del gráfico la fórmula mide la

razón de cambio instantánea?

a) en P b) en Q c) en P y Q d) en t

B) Cuando t 0, entonces:

a) P = Q b) P Q c) P está infinitamente cercano

a Q. d) P se aleja de Q.

C) Cuando t 0, ¿Qué pasa con el cociente f/ t?

a) Se anula b) Se hace muy grande c) Es un

infinitesimal d) Tiene por tope un número.

104

104

EXAMEN PRE-POST

1.- En el gráfico siguiente se muestra la variación de la temperatura de cierto volumen de agua

desde el estado sólido hasta que ebulle, par después enfriarse y estabilizarse a la temperatura

ambiental.

T 100

e

80

m 60

p. 40

20

C 0 5 10 15 20 25 30 35 40

-20

Tiempo t en segundos

2.- Cuando se inyecta una medicina intramuscularmente, la concentración del medicamento en la

sangre tiene la curva de concentración que se muestra a continuación:.

0.06

0.05

Concentr. 0.04

mg/100ml 0.03

0.02

0.01

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo t en horas

3.- Dada la gráfica de cierta función f(x) contesta lo que se te pide:

5 y

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

-1

A) ¿En qué intervalo la variación de la temperatura

del agua es mayor:?

a) 0t2.5 b) 5t10 c) 20t40 d) 10t20

B) ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura no

experimentó variación?

a) 2.5t5 b) 5t10 c) 20t40 d) 10t20

C) ¿Qué fenómenos sucedió con mayor rapidez?

a) Calentamiento b) Enfriamiento c) Ninguno

D) Argumente su respuesta anterior____________

A) ¿En qué intervalo la rapidez con que crece la

concentración del medicamento en la sangre es

mayor?

a) 0t2 b) 2t4 c) 4t5 d) 5t7

B) ¿En qué intervalo la variación de la

concentración es positiva?

a) 0t2 b) 2t4 c) 4t5 d) 5t7

C) ¿En qué intervalos la variación de la

concentración es negativa?

a) 0t2 b) 2t4 c) 4t5 d) 5t7

D) ¿Hay algún intervalo donde no haya variación?

...Escríbalo____________

A) ¿En qué intervalo la variación es más brusca?

a) -4x-2 b) -2x4 c) 4x6 d) 6x8

B) ¿En qué intervalo la variación es positiva?

a) -4x-2 b) -2x3 c) 3x6 d) 6x8

C) ¿En qué intervalos la variación es negativa?

a) -4x-2 b) -2x3 c) 3x6 d) 6x8

D) ¿En qué puntos cambia de sentido la variación?

a) x = -3.8 b) x = -2 c) x = 2.9 d) x = 4

f(x)