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TEMA 15 ECUACIÓN DE LA

ELIPSE 01 5° DE SECUNDARIA MG. CARLOS LAURA Q.

1. MOTIVACIÓN

Durante muchos siglos se considero que las órbitas de los planetas

eran circunferenciales, con la Tierra como centro. El astrónomo

Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que las órbitas, que

describen los planetas al girar alrededor del Sol son elipses que

tienen al Sol en uno de sus focos.



2. ORIENTACIÓN

2.1. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE

2.2. CONCEPTO DE LA ELIPSE

Curva de intersección de

una superficie cónica con

un plano en el que θ >

V Elipse

θ

P

F1 F2

a a

d[PF1]+d[PF2]=2a

2.3. DEFINICIÓN DE LA ELIPSE

La elipse ( ) es un lugar geométrico

formado por los puntos de un plano

de tal manera que la suma de dichos

puntos hacia dos punto fijos

llamados focos es siempre

constante.

= {(x,y) R2 /d(PF1)+d(PF2)= 2a} E

E



3. INFORMACIÓN

3.1. ELEMENTOS DE LA ELIPSE

¡… Observación…! En la figura en el Triángulo rectángulo

CB1F1, aplicamos Pitágoras y

deducimos:

a2 = b2 + c2

ac

a2b2

Centro : C Vértices: V1, V2

Focos: F1 , F2

Extremos: B1 , B2

Eje Principal o Eje Focal: L Eje Transverso o Eje Normal: L’ CB1F1: Triángulo Fundamental

Eje Mayor: V1V2 = 2a

Eje Menor: B1B2 = 2b Distancia Focal: F1F2= 2c Semi-eje Mayor: d(CV1)=d(CV2)=a Semi-eje Menor: d(CB1)=d(CB2)=b Semi-eje Focal: d(CF1)=d(CF2)=c En toda elipse se cumple: a2 =b2+c2

Excentricidad: e = donde e < 1

Directrices: LD1 , LD2

Lado Recto: LR = = NS

x

y

0

LD1LD2

V2F2

B2

V1F1

S

C c

N

B1

b a

L

L’

P(x, y

)



3.2. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE

LA ELIPSE Para deducir la ecuación de la elipse, tomamos el origen de un sistema coordenado como centro de la elipse y los focos sobre el eje X, este será el eje mayor de la elipse, y la perpendicular que pasa por el centro (eje y) será el eje menor.

Se sabe por definición que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante:

d(F1P) + d (PF2) = 2a

O También del gráfico y considerando un vértice:

(a+c) + (a-c) = 2a

Ahora para cualquier punto (x,y) de la elipse, la suma de las distancias entre (x, y) y los dos focos es también 2 a luego:

2a0)(yc)(x0)(yc)-(x 2222 2222 0)(yc)(x - 2a0)(yc)-(x

Como: b2 =a2-c2

b2x2+a2y2=a2b2

Dividiendo a la ecuación entre a2b2

1b

y

a

x2

2

2

2

Elevando al cuadrado y simplificando

cx)4(a0)(yc)(x4a 222 22242222 xccx2aa)yc2cx(xa

224222222 caayaxcxa )c(aaya)c(ax 22222222

B2

F1 (C,0)0

2c

B1

a

y

F2 (-C,0)

NP(x

,y)

V(a,0)

M

V(-a,0)

x

2a



3.3. ECUACIONES DE LA ELIPSE:

ECUACIÓN CANÓNICA:

1b

y

a

x2

2

2

2

Eje Focal Coincidente a x:

Eje Focal Coincidente a y:

1a

y

b

x2

2

2

2

ECUACIÓN CARTESIANA:

Eje Focal Paralelo al eje x:

1b

k)-(y

a

h)-(x2

2

2

2

ECUACIÓN GENERAL:

Ax2 + Cy2 + D x + E y + F = 0

A C

a y c del mismo signo

Eje Focal Paralelo al eje y:

1a

k)-(y

b

h)-(x2

2

2

2

¡…IMPORTANTE…!

En el triángulo fundamental de la

elipse a >c, entonces la excentricidad

(e); e = Fluctuará entre 0 y 1

( 0 < e < 1 )

Si e se aproxima a 1, la elipse es muy

excéntrica (alargada). Y si se aproxima

a 0, será casi circular. Por esto a la

circunferencia se le considera un caso

especial de elipse con excentricidad

Cero.

a

c

C = Circunferencia; se considera e= 0

e1 < e2 < e3< e4

e1

C

e2 e3 e4



3.4. VARIANTES DE LA ELIPSE:

CENTRO EJE FOCAL GRÁFICA ECUACIÓN

[h, k]

Paralelo a X

[0, 0]

Coincidente a X

12b

2k]-[y

2a

2h]-[x

ea

V1,2 = C ± aµ = (h,k) ± a (1,0) F1,2 = C ± cµ = (h,k) ± c (1,0) B1,2= C ± bµ’ = (h,k) ± b (0,1)

LD1= X = h + →X =h +

LD2= X = h - →X =h -

LR =

ea

ca2

ca2

a2b2

Nota: µ = (1,0) ; µ’ = (0,1) µ = Vector unitario µ’= Vector unitario Ortogonal

12b

2y

2a

2x

ea

V1,2= ± aµ = ± a(1,0)=±(a,0) F1,2 = ± cµ = ± c(1,0)=±(c,0) B1,2= ± bµ’= ± b(0,1)=±(0,b)

LD1= X = h + = h +

LD2= X = h - = h -

LR =

ea

ca2

ca2

a2b2


K V2 F2 F1 V1

B1

B2

C

h0 X

Y

a

cb

V2 F2 F1 V1

B2

C X

Y

cb

a

B1



CENTRO EJE FOCAL GRÁFICA ECUACIÓN

[h, k]

Paralelo a Y

[0, 0]

Coincidente a Y

12a

2k]-[y

2b

2h]-[x

ea

V1,2= C ± aµ’ = (h,k) ± a (0,1) F1,2= C ± cµ’ = (h,k) ± c (0,1) B1,2= C ± bµ = (h,k) ± b (1,0)

LD1= y = k + = k +

LD2= y = k - = k -

LR =

ea

ca2

ca2

a2b2


12a

2y

2b

2x

ea

V1,2= ± aµ’ = ± a (0,1) F1,2 = ± cµ’ = ± c (0,1) B1,2= ± bµ = ± b (1,0)

LD1= y = k + = k +

LD2= y = k - = k -

LR =

ea

ca2

ca2

a2b2


B2

F2

B1

F1

k

h

V2

V1

a

b

c

X

B2

F2

B1

F1

C

Y

V2

V1

a

b

c



4. APLICACIÓN

4.1. ¡…Tiempo de practicar…!

Factorizando 4 en x y 9 en y.

Solución: Agrupando los términos en función a x e y.

4x2 - 48x + 9y2 + 72y = -144

4(x2-12x + 36)+9(y2+8y+16)=-144+144+144

[mitad]2 [mitad]2

Factorizando el Trimonio cuadrado perfecto

(TCP) 4(x - 6)2 + 9 (y + 4)2 = 144

Dividiendo toda la ecuación entre 144.

144

144

144

24)9(y

144

26)-4(x

116

4)(y

36

26)-(x

De donde: El Centro es: C = (6, - 4) a2 = 36 → a = 6 b2 = 16 → b =4 a2 = b2+c2 = → 36 = 16+c2 → c= 52

VÉRTICES: V1,2 = C±aμ = (6,-4) ± 6(1,0) V1 = (6,-4) + (6,0) =(12,-4) V2 = (6,-4) - (6,0) =(0,-4) FOCOS:

F1,2 = C±cμ = (6,-4) ± (1,0)

F1 = (6,-4)+( ,0) =(6+ , -4)

F2 = (6,-4)-( ,0) =(6 - , -4)

EXTREMOS:

B1,2 = C±bμ’ = (6,-4) ± 4(1,0)

B1 = (6,-4)+(0,4) =(6,0)

B2 = (6,-4)-(0,4) =(6,-8)

52

52

52

52

52

UBICA LOS ELEMENTOS DE LA ELIPSE EN EL PLANO CARTESIANO… !!!

¿Cómo saber si el eje focal es paralelo a x o y en

la ecuación general de la elipse? Si consideramos

el ejemplo anterior 4x2 + 9y2- 48x + 72y + 144 =0

…imaginariamente intercambiamos los

coeficientes de x2 y y2 (9x2 + 4y2) en este caso el

eje focal es paralelo a x pues 9 >4.

3

16

6

2.16LR

3

5

a

ce

5

51830

5

186

/35

66

e

ahXLD1

5

51830

5

18-6

3/5

6-6

e

a-hXLD2

LADO RECTO:

EXCENTRICIDAD

DIRECTRICES

EJERCICIO N°01: Sea la ecuación de la Elipse:

4x2 + 9y2- 48x + 72y + 144 = 0 Halle el centro, los vértices, los focos las directrices y el lado recto.



5. EVALUACIÓN

5.1. ¡…DESAFIO …! ¡…OBSERVACION …!

ORBITA DE LA TIERRA: Desde los tiempos kepler, se sabe que las órbitas de los planetas forman una elipse alrededor del Sol, con el Sol en uno de sus focos. Si la órbita de la Tierra tiene una excentricidad de 1/62 y la longitud del semi eje mayor es 1,485 x 108 km. Calcular las distancias máxima (afelio) y mínima (perihelio) de la Tierra al Sol. ¡…TU TURNO…! Afelio : 150,9 millones de kilómetros

Perihelio: 146,1 millones de kilómetros

IMPORTANTE!!!

UA = Unidad Astronómica 1UA = 150 millones de kilómetros

Recuerda que: También: Afelio = a + c Perihelio = a – c Respuestas:

;ace Por tanto C = a.e

Sol Tierra

PerihelioC

a

Afelio



EJERCICIO N° 01

Si : 3x2 + 4y2 – 12x + 24y = 0, es la ecuación general de una elipse. Hallar el Centro y la excentricidad. a. (2,-3) ; 1/2 b. (2, 3) ; 1/2 c. (-2,3) ; 3/2 d. (2,-4) ; 3/2 e. (2, 4) ; 7/2

EJERCICIO N° 02

Hallar las longitudes de los radios vectores del punto (2,1) de la elipse: 9x2+y2-18x-2y+1=0 a. 3 y 4 b. 3 y 5 c. 4 y 5 d. 3 y 3 e. 4 y 4

EJERCICIO N° 03

Si: 4x2+y2-16x+2y+13=0 es la ecuación general de una elipse determine su lado recto. a. 6 µ b.8µ c. 10µ d.12 µ e. 14 µ

EJERCICIO N° 04

Si: 4x2+9y2+32x-18y+37=0, es la ecuación general de una elipse, determinar el lado recto y la excentricidad.

a. b. c. d. e. 3

5;

3

8

3

3;

3

8

3

5;

3

7

5

3;

3

5

5

3;

3

5

EJERCICIO N° 05

Hallar la ecuación de la recta tangente

a la elipse: ; que es paralela a la

recta: 3x + 2y+7=0

a. 2x + 3y - 10 = 0 b. 2x + 3y + 10 =0 c. 3x + 2y + 10 =0 d. 3x+ 2y – 10 =0 e. 3x+ 2y +20 =0

5

2y;

10

x 22

EJERCICIO N° 05

Un puente que esta construido en forma de arco semielíptico y tiene una extensión de 200 m, la altura del arco a una distancia de 60 m del centro es de 20 m. Encuentre la altura del arco en el Centro. a.30m b.25m c.35m d.40m e.45m

5.2. ¿…CUÁNTO APRENDÍ…?

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