7/17/2019 Elipse

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6. SECCIONES CÓNICAS 

6.2 LA ELIPSE

D!inici"n#$ 

i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F . Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugargeométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constantee igual a 2a (a > !. 

ii. Las rectas" La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatri# del segmento se llamanE$ES %E SI&E')* %E L* ELIPSE. 

iii. El punto de intersecci+n , de los dos e-es de simetra/ se llama 0E1', %E L* ELIPSE. Lospuntos *’/ */ y ’ se llaman 3E'I0ES %E L* ELIPSE.

Si el segmento es mayor que el segmento / am4os segmentos se llamanrespecti5amente E$E &*6, y E$E &E1, de la elipse. 

!i%. 6.2.1.

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O&#r'aci"n#$ 

i. %e 7ec7o/ cualquier par de puntos del plano pueden ser5ir como focos de una elipse. Porsimplicidad/ solo se considerar8n inicialmente aquellos casos en los cuales los focos est8n en elmismo e-e (e-e 9/ e-e y! y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. :.2.2.!. 

ii. 1+tese tam4ién que como / se sigue que(teorema de Pit8goras!. 

!i%. 6.2.2.

()6.2.1. Ecuaci"n# Anal*+ica# d la Elip# 

Ca#" 1. Elip## c"n !"c"#. ,-/c0 ,c0 c  

E-e mayor" Longitud 2a (2a > ! E-e menor" Longitud 24 (24 > ! 

EOEA$ 

La ecuaci+n de la elipse con focos en los puntos F’(;c/ ! y F(c/ !/ e-e mayor 2a/ y e-e menor24/ (fig. :.2.<.! 5iene dada por" 

(=! 

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!i%. 6.2.3. !i%. 6.2.4. 

D"#+raci:n 

Si p(9/ y! es un punto que pertenece a la elipse considerada/ se tiene de acuerdo a la definici+n

i que / o equi5alentemente/(f+rmula de distancia entre dos puntos! 

'ransponiendo el primer radical al segundo lado y ele5ando am4os miem4ros al cuadrado/ se

o4tiene"

Simplificando la ltima igualdad se llega a" 

*l ele5ar nue5amente am4os miem4ros al cuadrado en la ltima ecuaci+n/ se o4tiene" 

La cual se reduce a" 

ecordando adem8s que y al di5idir am4os miem4ros de la ltima igualdad por

/ se o4tiene finalmente " que corresponde a la ecuaci+n pedida. 

Ca#" 2. Elip## c"n !"c"# ,-0 /c ,0 c c  E-e mayor" Longitud 2a (a > ! 

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E-e menor" Longitud 24 (4 > ! 

EOEA$ 

La ecuaci+n de la elipse con focos en los puntos F’(/ ;c! y F(/ c!/ e-e mayor 2a/ y/ e-e menor24 (fig. :.2.?.!/ 5iene dada por"

(2! 

D"#+raci:n$ 

Es similar a la anterior/ se de-a por lo tanto como e-ercicio. 

NOA$ 

1+tese que si en las ecuaciones (=! y (2! de la elipse/ se 7ace a @ 4/ las ecuaciones setransforman en la ecuaci+n de una circunferencia de centro en el origen y radio a.  

Ca#" 3. Ca#" ;nral. 

Si en 5e# de considerar el centro de la elipse en el punto (/ !/ como se 7i#o en los dos casosanteriores/ se considera el punto 0 (7/ A!/ la ecuaci+n de la elipse correspondiente/ setransforma utili#ando las ecuaciones de traslaci+n (secci+n :.=.2.! en" 

(<! 

Si a > 4/ el e-e focal es paralelo al e-e 9. (so4re la recta y @ A! Si 4 > a/ el e-e focal es paralelo al e-e y. (so4re la recta 9 @ 7! 

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!i%. 6.2.5.

(a) (x-h)2

B (y-k)2

(4) (x-h)2

B (y-k)2

 a242 b2a2 

O&#r'aci"n#$ 

i. La ecuaci+n (<! se deduce considerando que los e-es de la elipse son paralelos a los e-escoordenados. 

ii. Si a > 4/ la ecuaci+n (<! corresponde a una elipse con centro en 0(7/ A! y cuyo e-e focal esparalelo al e-e 9 (fig. :.2.C. a!. 

Si 4 > a/ la ecuaci+n (<! corresponde a una elipse con centro en 0(7/ A! y cuyo e-e focal es

paralelo al e-e y (fig. :.2.C. 4!. 

6.2.2. C"n#+rucci:n d la Elip#

E9isten muc7as construcciones geométricas de la elipse/ pero en la mayora de ellas se requiereconocer algunos elementos adicionales (la directri#/ la e9centricidad/ ...etc.! de la elipse que no7an sido mencionados 7asta a7ora. Por esta ra#+n/ solo se presentan dos métodos geométricossencillos para construir la elipse. 

0onstrucci+n = 

Sup+ngase que en el plano se tienen dos puntos fi-os F y F’. Se toma una cuerda de longitud 2a

(mayor que la distancia entre los focos!. 0on la punta P de un l8pi# se tensiona la cuerda. *lmo5er el l8pi# manteniendo en todo momento tensionada la cuerda/ el punto P descri4e la elipsepedida. (fig. :.2.:.! 

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!i%. 6.2.6.

0onstrucci+n 2 

Sup+ngase que nos plantean el pro4lema de construir la elipse de ecuaci+n dada por

/ con a > 4. 

Se procede entonces como sigue" Se tra#an los llamados crculos directores/ que son crculos

concéntricos / con centro en / uno de radio y el otro de radio . (3er fig. :.2.D.! 

!i%. 6.2.7.

Se tra#a luego un rayo cualquiera con origen en / el cual intercepta a los crculos en los puntosS y 1. Por estos puntos/ se tra#an paralelas a los e-es 9 e y respecti5amente/ las cuales secortan en el punto &(9m/ ym!. 

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Se puede afirmar que el punto & est8 en la elipse de ecuaci+n . 

En efecto/ 4asta demostrar que . 

Para ello/ n+tese que" 

Sumando miem4ro a miem4ro las ltimas igualdades/ se concluye que

<An+ri"r= <C"n+nid"= <Si%uin+=

SIIO ELA>OADO EN ELCENO DE CAPACIACIÓN INENE

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