MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)CÁTEDRA : METODO NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERIA CATEDRATICO : MSc. Ing. Iván Arturo Ayala Bizarro.ESTUDIANTE : QUISPE SANES, Gabriel David.______________________________________________________________________________________________________________

EJERCICIO RESUELTO1. Calcular μ de la ecuación diferencial μ' '+μ+ x=0, para 0<x<1 y las condiciones de borde:

μ (0 )=μ (1 )=0 y la solución exacta.

SOLUCIÓN: SOLUCIÓN ANALÍTICA :

μ ( x )= sin(x )cos(x )

−x

SOLUCIÓN NUMÉRICA : Método de colocación:

A. Planteamos una función con dos constantes:

μ≈ μ̂=x (1−x )(a1+a2 x )

B. Transformando la ecuación original:

μ=a1 x+a2 x2−a1 x

2−a2 x3

μ '=a1+2a2 x−2a1x−3 a2 x2

μ' '=2a2−2a1−6a2 x

C. Calculamos el residuo reemplazando la segunda derivada ( μ' ') y la función (μ) en la ecuación

original:

μ' '+μ+ x=0

R ( x )=μ' '+μ+x

R ( x )=(2a¿¿2−2a1−6 a2 x )+(a¿¿1x+a2 x2−a1 x

2−a2 x3)+x=0¿¿

R ( x )=x+ (−2+x−x2 )a1+(2−6 x+ x2− x3)a2

D. Calculamos las constantes a1y a2 para 3P(Colocación 3 puntos):

x=14; x=1

2; x=3

4

R( 14 )=−2916

a1+3564a2=

−14

R( 12 )=−74a1−

78a2=

−12

R( 34 )=−2916

a1−15164a2=

−34

Formamos y desarrollamos la matriz:

[A ] [x ]=[B ]

[−2916

3564

−74

−78

−2916

−15164

][a1a2]=[−14

−12

−34

][A ]T=[−2916 −7

4−2916

3564

−78

−15164 ]

[A ]T [A ] [x ]=[ A ]T [B ]

[−2916 −74

−2916

3564

−78

−15164 ]∗[

−2916

3564

−74

78

−2916

−15164

]∗[a1a2]=[−2916 −74

−2916

3564

−78

−15164 ]∗[

−14

−12

−34

][a1a2]=[0.192972820.17204301]

E. Finalmente la ecuación aproximada quedaría :

μ≈ μ̂=x (1−x )(0.19297282+0.17204301 x )

F. Ahora calculamos para 9P (Colocación 9 puntos ):

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Evaluamos los valores en la función residuo:

R (0.1 )=−0.91a1+1.409a2=−0.1

R (0.2 )=−1.84 a1+0.832a2=−0.2

R (0.3 )=−1.79a1+0.263a2=−0.3

R (0.4 )=−1.76a1−0.304a2=−0.4

R (0.5 )=−1.75a1−0.875a2=−0.5

R (0.6 )=−1.76a1−1.456 a2=−0.6

R (0.7 )=−1.79−2.053a2=−0.7

R (0.8 )=−1.84−2.672a2=−0.8

R (0.9 )=−1.91−3.319a2=−0.9

Formamos y desarrollamos la matriz:

[−0.91 1.409−0.84 0.832−0.79−1.76−1.75−1.76−1.79−1.84−1.91

0.263−0.304−0.875−1.456−2.053−2.672−3.319

] [a1a2]=[−0.1−0.2−0.3−0.4−0.5−0.6−0.7−0.8−0.9

][A ]T=[ −0.91 −0.84 −0.79 −1.76 −1.75 −1.76 −1.79 −1.84 −1.91

1.409 0.832 0.263 −0.304 −0.875 −1.456 −2.053 −2.672 −3.319][A ]T [A ] [x ]=[ A ]T [B ]

[a1a2]=[0.2630643063030.108158857401]Finalmente la ecuación nos quedaría:

μ≈ μ̂=x (1−x )(0.263064306303+0.108158857401 x )

Gráfica de las funciones

--------- Grafica de solución analítica. --------- Grafica de colocación 3 puntos. --------- Grafica de colocación 9 pintos.

XSOLUCION

EXACTACOLOCACION

3PCOLOCACION

9P0 0.0000 0.00000 0.0000

0.1 -0.0983 0.01892 0.02460.2 -0.1965 0.03638 0.04560.3 -0.2948 0.05136 0.06210.4 -0.3930 0.06283 0.07350.5 -0.4913 0.06975 0.07930.6 -0.5895 0.07109 0.07870.7 -0.6878 0.06581 0.07110.8 -0.7860 0.05290 0.05590.9 -0.8843 0.03130 0.0324

Cuadro de tabulación