1

ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD PARA DATOS BIVARIADOS MEDIANTE LOS

TRIOGRAMAS

Vértices en la Triangulación

nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 1 0 -3

1 2 3 -3

1 3 1.5 -1.5

2 2 3 -3

2 4 3 0

2 3 1.5 -1.5

3 3 1.5 -1.5

3 4 3 0

3 5 0 0

4 1 0 -3

4 3 1.5 -1.5

4 5 0 0

5 1 0 -3

5 5 0 0

5 13 -1.5 -1.5

6 13 -1.5 -1.5

6 5 0 0

6 11 -3 0

7 11 -3 0

7 12 -3 -3

7 13 -1.5 -1.5

8 12 -3 -3

8 1 0 -3

8 13 -1.5 -1.5

9 5 0 0

9 4 3 0

9 6 1.5 1.5

10 4 3 0

10 8 3 3

10 6 1.5 1.5

11 6 1.5 1.5

11 8 3 3

11 7 0 3

12 7 0 3

12 5 0 0

12 6 1.5 1.5

13 5 0 0

13 7 0 3

13 9 -1.5 1.5

14 9 -1.5 1.5

14 7 0 3

14 10 -3 3

15 10 -3 3

2

15 11 -3 0

15 9 -1.5 1.5

16 9 -1.5 1.5

16 11 -3 0

16 5 0 0

La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o

nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas de cada nodo o vértice. La triangulación generada así junto con los

datos se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Triangulación de la Región ocupada por los Datos Bivariados

Normales

3

Figura 2. Función de Densidad Estimada mediante el Modelo Triograma a

partir de los Datos Bivariados Normales Simulados

Estimación de cada iα en cada Iteración

iter. 0 iter. 1 …………….. iter. 15

1 1.7913 0.7861 …………….. -4.5248

2 1.4619 0.4642 …………….. -18.5287

3 1.1557 0.1558 …………….. -3.9747

4 0.0806 -0.9197 …………….. -5.0551

5 1.3542 0.409 …………….. -1.1746

6 1.1378 0.1429 …………….. -3.5521

7 -0.5113 -1.5133 …………….. -5.5989

8 -0.7549 -1.7567 …………….. 18.5865

9 -0.5918 -1.532 …………….. -3.2743

10 -2.9503 -3.9847 …………….. -12.1234

11 -0.468 -1.4602 …………….. -4.9294

12 0.2369 -0.7654 …………….. -15.5439

13 0.6296 -0.362 …………….. -3.5904

Los 13 parámetros fueron obtenidos por el método de Newton, al tratarse de un sistema de ecuaciones no lineal. Para este método

numérico es necesario hallar la matriz de segundas derivadas (Hessiana), a partir de la cual se obtiene la matriz de información de

Fisher.

4

Matriz de Covarianzas 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.1 -0.1109 -0.0201 0.0122 -0.006 0.0013 0.0061 -0.0302

2 -0.1109 32.515 -0.2755 -0.1043 0.0389 -0.0042 -0.0377 0.2123

3 -0.0201 -0.2755 0.0901 -0.0222 -0.0053 0.0082 0.002 -0.0047

4 0.0122 -0.1043 -0.0222 0.1307 -0.0068 -0.0226 0.0154 -0.1116

5 -0.006 0.0389 -0.0053 -0.0068 0.0093 -0.0048 -0.0074 0.0385

6 0.0013 -0.0042 0.0082 -0.0226 -0.0048 0.0776 -0.0225 -0.2718

7 0.0061 -0.0377 0.002 0.0154 -0.0074 -0.0225 0.1535 -0.0971

8 -0.0302 0.2123 -0.0047 -0.1116 0.0385 -0.2718 -0.0971 32.305

9 0.0011 -0.0153 0.0031 0.0013 -0.0042 0.0066 -0.0212 -0.0064

10 -0.016 0.0876 -0.0102 -0.0173 0.02 -0.0034 -0.0544 0.1

11 0.0117 -0.034 0.0017 0.0059 -0.0064 0.0014 0.0151 -0.0314

12 -0.0798 0.1762 -0.0016 -0.0264 0.0291 -0.0131 -0.0284 0.1257

13 -0.0185 -0.0006 0.008 0.0016 -0.0048 0.0032 0.0017 -0.0177

9 10 11 12 13

1 0.0011 -0.016 0.0117 -0.0798 -0.0185

2 -0.0153 0.0876 -0.034 0.1762 -0.0006

3 0.0031 -0.0102 0.0017 -0.0016 0.008

4 0.0013 -0.0173 0.0059 -0.0264 0.0016

5 -0.0042 0.02 -0.0064 0.0291 -0.0048

6 0.0066 -0.0034 0.0014 -0.0131 0.0032

7 -0.0212 -0.0544 0.0151 -0.0284 0.0017

8 -0.0064 0.1 -0.0314 0.1257 -0.0177

9 0.0627 -0.1224 -0.0187 -0.0027 0.0065

10 -0.1224 6.045 -0.056 0.0828 -0.0018

11 -0.0187 -0.056 0.1115 -0.0718 -0.0181

12 -0.0027 0.0828 -0.0718 14.4847 -0.1814

13 0.0065 -0.0018 -0.0181 -0.1814 0.0712

Se obtiene la matriz de covarianza de los parámetros. A partir de la diagonal principal de esta matriz, se puede determinar, los parámetros que son influyentes y los que no lo son.

Intervalos de Confianza para

i αi inferior αi superior

1 -5.1446 -3.905

2 -29.705 -7.3524

3 -4.5629 -3.3865

4 -5.7638 -4.3464

5 -1.3639 -0.9853

6 -4.0982 -3.006

7 -6.3668 -4.8311

8 -29.7267 -7.4464

9 -3.7651 -2.7835

10 -16.9423 -7.3044

11 -5.5837 -4.275

12 -23.0034 -8.0844

13 -4.1135 -3.0673

5

Se construye intervalos de confianza al 95% para los parámetros estimados. A partir de los resultados presentados en la columna

anterior, no hay ningún intervalo que incluya el valor de cero, por lo que todos los parámetros estimados son significativos.

Medidas de Desempeño y Grados de Libertad

loglik AIC BIC Mv

-1858.1 3742.3 3797.0 13

Estos resultados, se utilizan para la comparación con otras

triangulaciones a partir de los mismos datos.

Vértices en la Triangulación 1 nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 1 -0.0705 -5.6506

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

Vértices en la Triangulación 2

nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 4 -0.0705 -0.026

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

2 1 -0.0705 -5.6506

2 4 -0.0705 -0.026

2 3 -4.9416 2.7864

3 1 -0.0705 -5.6506

3 2 4.8006 2.7864

3 4 -0.0705 -0.026

La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece

cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas

de cada nodo o vértice. El primer bloque indica la triangulación inicial que es mostrada en la Figura 3, donde el punto de intersección de las

tres líneas, indica el centro de gravedad del triángulo.

6

Figura 3. Triangulación Inicial de la Región ocupada por los Datos

Bivariados Normales

Vértices en la Triangulación 1 nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 1 -0.0705 -5.6506

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

Vértices en la Triangulación 2 nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 4 -0.0705 -0.026

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

2 1 -0.0705 -5.6506

2 4 -0.0705 -0.026

2 3 -4.9416 2.7864

3 1 -0.0705 -5.6506

3 2 4.8006 2.7864

3 4 -0.0705 -0.026

La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o

nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas de cada nodo o vértice. La Figura 4 muestra una vista desde abajo, donde se observa la triangulación inicial, junto con los datos simulados.

7

Figura 4. Modelo Triograma Estimador de la Función de Densidad para los

Datos Bivariados Normales Simulados. Vista de Abajo.

Figura 5. Modelo Triograma Estimador de la Función de Densidad para los

Datos Bivariados Normales Simulados. Vista de Perfil.

8

Estimación de cada iα en cada Iteración

iter. 0 iter. 1 …………….. iter. 10

1 -0.263 -1.3014 …………….. -6.4695

2 0.7798 -0.2627 …………….. -6.4695

3 0.176 -0.8648 …………….. -6.4695

4 -1.2709 -2.0375 …………….. -0.9747

error 1.9585 …………….. 7.9475E-07

Matriz de Covarianzas

1 2 3 4

1 0.0697 -0.004 -0.0041 -0.0076

2 -0.004 0.0697 -0.0039 -0.0076

3 -0.0041 -0.0039 0.0697 -0.0076

4 -0.0076 -0.0076 -0.0076 0.007

Intervalos de Confianza para

i αi inferior αi superior

1 -6.9868 -5.9522

2 -6.987 -5.952

3 -6.987 -5.952

4 -1.1383 -0.8112

Medidas de Desempeño y Grados de Libertad

loglik AIC BIC Mv

-1923.4 3854.8 3871.6 4

La Figura 5 muestra en forma visual, la superficie que es el estimador de la función de densidad, para los datos bivariados simulados. Obsérvese que se aproxima bastante a una distribución normal

bivariada. El método numérico utilizado, es el de Newton, ya que al derivar la función de verosimilitud se genera un sistema de ecuaciones

no lineales. A partir de la matriz Hessiana calculada, se obtiene la matriz de información de Fisher observada y por ende la matriz de

covarianzas de los parámetros como son mostrados. También se han calculado los intervalos de confianza al 95%. Los criterios BIC, AIC aquí son mayores que los obtenidos mediante la triangulación mostrada en

la Figura 4. Además el loglik de este modelo es menor que el de la triangulación anterior, por lo que el estimador de la función de

densidad que representa mejor a los datos es el de la Figura 5 por su simplicidad.

9

Vértices en la Triangulación 1 nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 1 -0.0705 -5.6506

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

Vértices en la Triangulación 2 nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 4 -0.0705 -0.026

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

2 1 -0.0705 -5.6506

2 4 -0.0705 -0.026

2 3 -4.9416 2.7864

3 1 -0.0705 -5.6506

3 2 4.8006 2.7864

3 4 -0.0705 -0.026

Vértices en la Triangulación 3

nodo vért. 1 vért. 2 vért. 3

1 5 -0.0883 0.8832

1 2 4.8006 2.7864

1 3 -4.9416 2.7864

2 4 -0.0705 -0.026

2 5 -0.0883 0.8832

2 3 -4.9416 2.7864

3 4 -0.0705 -0.026

3 2 4.8006 2.7864

3 5 -0.0883 0.8832

4 6 -0.9076 -0.5132

4 4 -0.0705 -0.026

4 3 -4.9416 2.7864

5 1 -0.0705 -5.6506

5 6 -0.9076 -0.5132

5 3 -4.9416 2.7864

6 1 -0.0705 -5.6506

6 4 -0.0705 -0.026

6 6 -0.9076 -0.5132

7 7 0.8016 -0.5178

7 2 4.8006 2.7864

7 4 -0.0705 -0.026

8 1 -0.0705 -5.6506

8 7 0.8016 -0.5178

8 4 -0.0705 -0.026

9 1 -0.0705 -5.6506

9 2 4.8006 2.7864

9 7 0.8016 -0.5178

La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o

nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas

10

de cada nodo o vértice. La Figura 4 muestra una vista desde abajo,

donde se observa la triangulación inicial, junto con los datos simulados. Los bloques representan los refinamientos sucesivos a partir de la

triangulación anterior. Obsérvese que el número de vértices o nodos crece en forma geométrica.

Figura 6. Modelo Triograma Estimador de la Función de Densidad para los Datos Bivariados Normales Simulados. La Triangulación mostrada es un

Refinamiento de la anterior. Vista de Abajo.

Figura 7. Modelo Triograma Estimador de la Función de Densidad para los

Datos Bivariados Normales Simulados utilizando la Triangulación más Refinada. Vista de Perfil.

11

Estimación de cada iα en cada Iteración

iter. 0 iter. 1 …………….. iter. 11

1 -1.1191 -2.1523 …………….. -7.4601

2 0.8873 -0.1285 …………….. -7.4841

3 -1.8998 -2.9127 …………….. -7.4476

4 1.5624 0.6034 …………….. -1.347

5 1.1379 0.1711 …………….. -1.9137

6 -1.6434 -2.4188 …………….. -2.0329

7 -0.5312 -1.4483 …………….. -2.0631

error 2.5341 …………….. 3.9093E-09

Matriz de Covarianzas

1 2 3 4 5 6 7

1 0.1432 -0.0018 -0.0023 -0.0038 0.0018 -0.0183 -0.0183

2 -0.0018 0.143 -0.0031 -0.0037 -0.0182 0.002 -0.0182

3 -0.0023 -0.0031 0.1415 -0.0035 -0.018 -0.0182 0.002

4 -0.0038 -0.0037 -0.0035 0.0109 -0.0025 -0.0028 -0.0029

5 0.0018 -0.0182 -0.018 -0.0025 0.0264 0.0031 0.0032

6 -0.0183 0.002 -0.0182 -0.0028 0.0031 0.0278 0.0033

7 -0.0183 -0.0182 0.002 -0.0029 0.0032 0.0033 0.0281

Intervalos de Confianza para

i αi inferior αi superior

1 -8.2019 -6.7184

2 -8.2252 -6.7429

3 -8.185 -6.7103

4 -1.5512 -1.1427

5 -2.232 -1.5954

6 -2.3597 -1.7061

7 -2.3915 -1.7346

Medidas de Desempeño y Grados de Libertad

loglik AIC BIC Mv

-1890.8 3795.5 3825.0 7

En la Figura 6 se muestra una vista desde abajo de la triangulación

más refinada junto con los datos. Los resultados anteriores, son obtenidos de la misma manera como en la triangulación inicial. Como

se observa este modelo triograma tiene los criterios AIC y BIC menores que el de la triangulación mostrada en la Figura 5, por lo que se toma este como mejor modelo.